Plaknes un sfērisko viļņu vienādojumi. Plaknes ceļojošā viļņa vienādojums Plaknes vilni raksturojošs fragments

Svārstību process, kas izplatās vidē viļņa formā, kura priekšpuse ir lidmašīna, zvanīja plaknes skaņas vilnis. Praksē plakanu vilni var veidot avots, kura lineārie izmēri ir lieli, salīdzinot ar tā izstaroto garo viļņa garumu, un ja viļņa lauka zona atrodas pietiekami lielā attālumā no tā. Bet tas tā ir neierobežotā vidē. Ja avots iežogota jebkurš šķērslis, tad klasisks plaknes viļņa piemērs ir svārstības, ko ierosina stingrs, nelokāms virzulis garā caurulē (viļņvadā) ar stingrām sienām, ja virzuļa diametrs ir ievērojami mazāks par izstaroto viļņu garumu. Stingro sienu dēļ priekšējā virsma caurulē nemainās, vilnim izplatoties pa viļņvadu (sk. 3.3. att.). Mēs neņemam vērā skaņas enerģijas zudumus, ko rada absorbcija un izkliede gaisā.

Ja emitētājs (virzulis) svārstās saskaņā ar harmonikas likumu ar frekvenci
, un virzuļa izmēri (viļņvada diametrs) ir ievērojami mazāki par skaņas viļņa garumu, tad spiediens, kas rodas tā virsmas tuvumā
. Acīmredzot no attāluma X spiediens būs
, Kur
– viļņa pārvietošanās laiks no emitētāja līdz punktamx. Šo izteiksmi ir ērtāk rakstīt šādi:
, Kur
- viļņu izplatīšanās viļņu skaits. Darbs
- noteikta svārstību procesa fāzes nobīde attālumā noņemtā punktā X no emitētāja.

Aizvietojot iegūto izteiksmi kustības vienādojumā (3.1), mēs integrējam pēdējo attiecībā pret svārstību ātrumu:

(3.8)

Kopumā uz patvaļīgu brīdi izrādās, ka:

. (3.9)

Izteiksmes labā puse (3.9) ir vides raksturlielums, vilnis vai īpatnējā akustiskā pretestība (pretestība). Pats vienādojums (3.) dažkārt tiek saukts par akustisko “Oma likumu”. Kā izriet no risinājuma, iegūtais vienādojums ir spēkā plaknes viļņa laukā. Spiediens un vibrācijas ātrums fāzē, kas ir vides tīri aktīvās pretestības sekas.

Piemērs: maksimālais spiediens plaknes vilnī
Pa. Noteikt gaisa daļiņu pārvietošanās amplitūdu pēc frekvences?

Risinājums: Kopš , tad:

No izteiksmes (3.10.) izriet, ka skaņas viļņu amplitūda ir ļoti maza, vismaz salīdzinājumā ar pašu skaņas avotu lielumu.

Papildus skalārajam potenciālam, spiedienam un vibrācijas ātrumam skaņas lauku raksturo arī enerģētiskie raksturlielumi, no kuriem svarīgākais ir intensitāte - viļņa pārnestās enerģijas plūsmas blīvuma vektors laika vienībā. A-prioritāte
- ir skaņas spiediena un vibrācijas ātruma reizinājuma rezultāts.

Ja vidē nav zudumu, teorētiski plaknes vilnis bez vājināšanās var izplatīties patvaļīgi lielos attālumos, jo plakanas priekšējās formas saglabāšana norāda uz viļņa “diverģences” neesamību un līdz ar to arī vājināšanās neesamību. Situācija ir citāda, ja vilnim ir izliekta fronte. Šādi viļņi, pirmkārt, ietver sfēriskus un cilindriskus viļņus.

3.1.3. Viļņu modeļi ar neplaknu fronti

Sfēriskam viļņam vienādu fāžu virsma ir sfēra. Šāda viļņa avots ir arī sfēra, kuras visi punkti svārstās ar vienādām amplitūdām un fāzēm, un centrs paliek nekustīgs (sk. 3.4. att., a).

Sfērisku vilni apraksta ar funkciju, kas ir viļņa vienādojuma atrisinājums sfēriskā koordinātu sistēmā viļņa potenciālam, kas izplatās no avota:

. (3.11)

Strādājot pēc analoģijas ar plaknes vilni, var parādīt, ka attālumos no skaņas avota pētāmo viļņu garums ir ievērojami lielāks:
. Tas nozīmē, ka akustiskais “Oma likums” ir patiess arī šajā gadījumā. Praktiskos apstākļos sfēriskus viļņus ierosina galvenokārt kompakti patvaļīgas formas avoti, kuru izmēri ir ievērojami mazāki par ierosinātās skaņas vai ultraskaņas viļņu garumu. Citiem vārdiem sakot, “punktveida” avots izstaro galvenokārt sfēriskus viļņus. Lielos attālumos no avota vai, kā saka, “tālajā” zonā, sfērisks vilnis attiecībā uz ierobežota izmēra viļņu frontes daļām uzvedas kā plakans vilnis vai, kā saka: “deģenerējas plaknes vilnī." Prasības nelielai platībai nosaka ne tikai biežums, bet
- attālumu starpība starp salīdzinātajiem punktiem. Ņemiet vērā, ka šī funkcija
ir funkcija:
plkst
. Tas rada zināmas grūtības, precīzi risinot difrakcijas problēmas, kas saistītas ar skaņas starojumu un izkliedi.

Savukārt cilindriskus viļņus (viļņu frontes virsma ir cilindrs) izstaro bezgalīgi garš pulsējošs cilindrs (sk. 3.4. att.).

Tālajā zonā šāda avota potenciālās funkcijas izteiksme asimptotiski tiecas uz izteiksmi:


. (3.12)

Var parādīt, ka arī šajā gadījumā attiecība ir izpildīta
. Cilindriski viļņi, tāpat kā sfēriski, tālajā zonā deģenerēts plaknes viļņos.

Elastīgo viļņu vājināšanās izplatīšanās laikā ir saistīta ne tikai ar viļņu frontes izliekuma izmaiņām (viļņa "diverģence", bet arī ar "vājināšanās" klātbūtni), t.i. skaņas vājināšanās. Formāli vājinājuma klātbūtni vidē var aprakstīt, attēlojot viļņa numuru kā kompleksu
. Tad, piemēram, plakanam spiediena vilnim var iegūt: R(x, t) = P Maks
=
.

Redzams, ka kompleksā viļņa skaitļa reālā daļa raksturo telpiski ceļojošo vilni, bet iedomātā daļa – viļņa vājināšanos amplitūdā. Tāpēc vērtību  sauc par vājināšanās (attenuācijas) koeficientu,  ir dimensijas vērtība (Neper/m). Viens “Naper” atbilst viļņu amplitūdas izmaiņām par “e” reizēm, kad viļņu fronte pārvietojas uz garuma vienību. Vispārīgā gadījumā vājināšanu nosaka absorbcija un izkliede vidē:  =  absorbēt +  diss. Šo ietekmi nosaka dažādi iemesli, un tos var aplūkot atsevišķi.

Kopumā absorbcija ir saistīta ar neatgriezeniskiem skaņas enerģijas zudumiem, kad tā tiek pārvērsta siltumā.

Izkliede ir saistīta ar krītošā viļņa enerģijas daļas pārorientāciju uz citiem virzieniem, kas nesakrīt ar krītošo vilni.

Šai funkcijai jābūt periodiskai gan attiecībā uz laiku, gan koordinātām (vilnis ir izplatošas ​​svārstības, tātad periodiski atkārtojoša kustība). Turklāt punkti, kas atrodas attālumā l viens no otra, vibrē tāpat.

Plaknes viļņu vienādojums

Atradīsim funkcijas x formu plaknes viļņa gadījumā, pieņemot, ka svārstībām ir harmonisks raksturs.

Novirzīsim koordinātu asis tā, lai ass x sakrita ar viļņu izplatīšanās virzienu. Tad viļņu virsma būs perpendikulāra asij x. Tā kā visi viļņa virsmas punkti svārstās vienādi, nobīde x būs atkarīga tikai no X Un t: . Lai plaknē esošo punktu svārstībām būtu forma (sākotnējā fāzē)

Ļaujiet mums atrast daļiņu vibrācijas veidu plaknē, kas atbilst patvaļīgai vērtībai x. Lai iet ceļu x, Tas paņem laiku.

Tāpēc daļiņu vibrācijas plaknēxar laiku atpalikstno daļiņu vibrācijām plaknē, t.i.

,

(5.2.3)

-Šo plaknes viļņu vienādojums.

Tātad x Tur ir aizspriedums jebkurš no punktiem ar koordinātuxkādā brīdīt. Atvasinājumā mēs pieņēmām, ka svārstību amplitūda ir . Tas notiks, ja vide neuzsūc viļņu enerģiju.

Vienādojumam (5.2.3.) būs tāda pati forma, ja vibrācijas izplatīsies pa asi y vai z.

Vispār plaknes viļņu vienādojums ir rakstīts šādi:

Izteiksmes (5.2.3.) un (5.2.4.) ir ceļojošo viļņu vienādojumi .

Vienādojums (5.2.3.) apraksta vilni, kas izplatās pieauguma virzienā x. Vilnim, kas izplatās pretējā virzienā, ir šāda forma:

.

Viļņu vienādojumu var uzrakstīt citā formā.

Iepazīstinām viļņa numurs , vai vektora formā:

kur ir viļņu vektors un ir normāls pret viļņa virsmu.

Kopš tā laika . No šejienes. Tad plaknes viļņu vienādojums tiks rakstīts šādi:

.

(5.2.6)

Sfērisko viļņu vienādojums

Viļņi atkarībā no vienas telpiskās koordinātas

Animācija

Apraksts

Plaknes vilnī visi vides punkti, kas atrodas jebkurā plaknē, kas ir perpendikulāra viļņa izplatīšanās virzienam, katrā laika momentā atbilst vienādiem vides daļiņu pārvietojumiem un ātrumiem. Tādējādi visi plaknes vilni raksturojošie lielumi ir laika funkcijas un tikai viena koordināte, piemēram, x, ja Ox ass sakrīt ar viļņa izplatīšanās virzienu.

Viļņu vienādojumam garenvirziena plaknes viļņam ir šāda forma:

d 2 j / dx 2 = (1/c 2 ) d 2 j / dt 2 . (1)

Tās vispārīgais risinājums ir izteikts šādi:

j = f 1 (ct - x) + f 2 (ct + x) , (2)

kur j ir potenciāls vai cits lielums, kas raksturo vides viļņu kustību (pārvietošanās, pārvietošanās ātrums utt.);

c ir viļņu izplatīšanās ātrums;

f 1 un f 2 ir patvaļīgas funkcijas, kur pirmais termins (2) apraksta plaknes vilni, kas izplatās Ox ass pozitīvā virzienā, bet otrais – pretējā virzienā.

Viļņu virsmas vai punktu ģeometriskās atrašanās vietas vidē, kur noteiktā laika momentā viļņa fāzei ir vienāda vērtība, PV tie attēlo paralēlu plakņu sistēmu (1. att.).

Plaknes viļņa viļņu virsmas

Rīsi. 1

Viendabīgā izotropā vidē plakanā viļņa viļņu virsmas ir perpendikulāras viļņu izplatīšanās virzienam (enerģijas pārneses virzienam), ko sauc par staru.

Laika raksturlielumi

Uzsākšanas laiks (log līdz -10 līdz 1);

Kalpošanas laiks (log tc no -10 līdz 3);

Degradācijas laiks (log td no -10 līdz 1);

Optimālas attīstības laiks (log tk no -3 līdz 1).

Diagramma:

Efekta tehniskās realizācijas

Efekta tehniskā realizācija

Stingri sakot, neviens īsts vilnis nav plakana vilnis, jo Plaknes vilnim, kas izplatās pa x asi, ir jāaptver viss telpas apgabals pa y un z koordinātām no -Ґ līdz +Ґ. Taču daudzos gadījumos var norādīt y, z ierobežotu viļņa posmu, kur tas praktiski sakrīt ar plaknes vilni. Pirmkārt, tas ir iespējams viendabīgā izotropā vidē pietiekami lielos attālumos R no avota. Tādējādi harmoniskajam plaknes viļņam fāze visos plaknes punktos, kas ir perpendikulāri tā izplatīšanās virzienam, ir vienāda. Var parādīt, ka jebkuru harmonisko vilni var uzskatīt par plaknes vilni pāri r platuma sekcijai<< (2R l )1/2 .

Efekta pielietošana

Dažas viļņu tehnoloģijas ir visefektīvākās plaknes viļņu tuvināšanā. Jo īpaši tiek parādīts, ka seismoakustiskās ietekmes laikā (lai palielinātu naftas un gāzes atgūšanu) uz naftas un gāzes veidojumiem, ko attēlo slāņveida ģeoloģiskās struktūras, tiešo un plakanās viļņu frontes mijiedarbība, kas atspoguļojas no slāņu robežām, izraisa stāvviļņi, kas ierosina pakāpenisku ogļūdeņražu šķidrumu kustību un koncentrēšanos stāvošā viļņa antimezglos (skat. FE “Stāvviļņi”).

PLĀŠU VILNIS

PLĀŠU VILNIS

Vilnis, kura izplatīšanās virziens ir vienāds visos telpas punktos. Vienkāršākais piemērs ir viendabīgs monohromatisks. neslāpēts P.v.:

u(z, t)=Aeiwt±ikz, (1)

kur A ir amplitūda, j= wt±kz - , w=2p/T - apļveida frekvence, T - svārstību periods, k - . Pastāvīgās fāzes virsmas (fāžu frontes) j=konst. P.v. ir lidmašīnas.

Ja nav dispersijas, kad vph un vgr ir identiski un nemainīgi (vgr = vph = v), pastāv stacionāras (t.i., kustīgas kopumā) lineāras kustības, kas ļauj vispārīgi attēlot formu:

u(z, t)=f(z±vt), (2)

kur f ir patvaļīga funkcija. Nelineārā vidē ar dispersiju ir iespējami arī stacionāri strādājoši PV. tips (2), taču to forma vairs nav patvaļīga, bet gan atkarīga gan no sistēmas parametriem, gan no kustības rakstura. Absorbējošā (izkliedējošā) vidē P. v. samazināt to amplitūdu, kad tie izplatās; ar lineāro slāpēšanu, to var ņemt vērā, aizstājot k in (1) ar komplekso viļņu skaitli kd ± ikм, kur km ir koeficients. vājināšanās P. v.

Viendabīgs PV, kas aizņem visu bezgalīgo, ir idealizācija, bet jebkurš vilnis, kas koncentrēts ierobežotā reģionā (piemēram, virzīts ar pārvades līnijām vai viļņvadiem), var tikt attēlots kā PV superpozīcija. ar vienu vai otru atstarpi. spektrs k. Šajā gadījumā vilnim joprojām var būt plakana fāzes fronte, bet nevienmērīga amplitūda. Tāds P. v. sauca plaknes nehomogēni viļņi. Daži apgabali ir sfēriski. un cilindrisks viļņi, kas ir mazi salīdzinājumā ar fāzes frontes izliekuma rādiusu, uzvedas aptuveni kā fāzes vilnis.

Fiziskā enciklopēdiskā vārdnīca. - M.: Padomju enciklopēdija. . 1983 .

PLĀŠU VILNIS

- vilnis, izplatīšanās virziens ir vienāds visos telpas punktos.

Kur A - amplitūda, - fāze, - apļveida frekvence, T - svārstību periods k- viļņa numurs. = const P.v. ir lidmašīnas.
Ja nav dispersijas, kad fāzes ātrums v f un grupa v gr ir identiski un nemainīgi ( v gr = v f = v) ir stacionāri (t.i., kustīgi kopumā) darbojas P. c., ko var uzrādīt vispārīgā formā

Kur f- patvaļīga funkcija. Nelineārā vidē ar dispersiju ir iespējami arī stacionāri strādājoši PV. tips (2), taču to forma vairs nav patvaļīga, bet gan atkarīga gan no sistēmas parametriem, gan no viļņu kustības rakstura. Absorbējošā (izkliedējošā) vidē P. k uz kompleksā viļņa skaitļa k d ik m, kur k m - koeficients vājināšanās P. v. Viendabīgs viļņu lauks, kas aizņem visu bezgalību, ir idealizācija, bet jebkurš viļņu lauks, kas koncentrēts ierobežotā apgabalā (piemēram, virzīts pārvades līnijas vai viļņvadi), var attēlot kā superpozīciju P. V. ar vienu vai otru telpisko spektru k.Šajā gadījumā vilnim joprojām var būt plakana fāzes fronte ar nevienmērīgu amplitūdas sadalījumu. Tāds P. v. sauca plaknes nehomogēni viļņi. Dziļums. zonas sfēriskas vai cilindrisks viļņi, kas ir mazi salīdzinājumā ar fāzes frontes izliekuma rādiusu, uzvedas aptuveni kā PT.

Lit. skatīt zem art. Viļņi.

M. A. Millers, L. A. Ostrovskis.

Fiziskā enciklopēdija. 5 sējumos. - M.: Padomju enciklopēdija. Galvenais redaktors A. M. Prohorovs. 1988 .

: šāds vilnis dabā neeksistē, jo plaknes viļņa priekšpuse sākas plkst $-\backslash mathcal(1)$ un beidzas plkst $+\backslash mathcal(1)$, kas acīmredzot nevar būt. Turklāt plaknes vilnis nestu bezgalīgu spēku, un plaknes viļņa radīšanai būtu nepieciešama bezgalīga enerģija. Vilni ar sarežģītu (reālo) fronti var attēlot kā plakanu viļņu spektru, izmantojot Furjē transformāciju telpiskajos mainīgajos.

Kvaziplaknes vilnis- vilnis, kura fronte ir tuvu plakanai ierobežotā apgabalā. Ja apgabala izmēri ir pietiekami lieli aplūkojamajai problēmai, tad kvaziplaknes vilni var aptuveni uzskatīt par plakni. Vilni ar sarežģītu fronti var tuvināt ar lokālu kvaziplaknes viļņu kopu, kuru fāzes ātruma vektori katrā tā punktā ir normāli pret reālo fronti. Kvaziplaknes elektromagnētisko viļņu avotu piemēri ir lāzera, spoguļu un lēcu antenas: elektromagnētiskā lauka fāzes sadalījums plaknē, kas ir paralēla apertūrai (izstarojošais caurums), ir tuvu vienmērīgam. Atkāpjoties no atvēruma, viļņu fronte iegūst sarežģītu formu.

Definīcija

Jebkura viļņa vienādojums ir diferenciālvienādojuma risinājums, ko sauc vilnis. Funkcijas viļņu vienādojums $A$ rakstīts formā

$\backslash Delta\; A(\backslash vec(r),t)\; =\; \backslash frac\; (1)\; (v^2)\; \backslash ,\; \backslash frac\; (\backslash partial^2\; A(\backslash vec(r),t))\; (\backslash partial\; t^2)$ Kur

• $\backslash Delta$- Laplasa operators;
• $A(\backslash vec(r),t)$- nepieciešamā funkcija;
• $r$- vēlamā punkta rādiusa vektors;
• $v$- viļņu ātrums;
• $t$- laiks.

Viendimensionāls korpuss

Kopējā enerģija ir

$W\; =\; \backslash Delta\; W\_k\; +\; \backslash Delta\; W\_p\; =\; \backslash cfrac(\backslash rho)(2)\; \backslash bigg[\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; t)\; \backslash right)^2\; +\; v^2\; \backslash left(\backslash \; cfrac(\backslash partial\; A)(\backslash partial\; (x))\; \backslash right)^2\; \backslash bigg]\; \backslash Delta\; V\; .$

Enerģijas blīvums attiecīgi ir vienāds ar

$\backslash omega\; =\; \backslash cfrac\; (W)\; (\backslash Delta\; V)\; =\; \backslash cfrac(\backslash rho)(2)\; \backslash bigg[\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; t)\; \backslash right)^2\; +\; v^2\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; (x))\; \backslash right)^2\; \backslash bigg]\; =\; \backslash rho\; A^2\; \backslash omega^2\; \backslash sin^2\; \backslash left(\backslash omega\; t\; -\; k\; x\; +\; \backslash varphi\_0\; \backslash pa\; labi)\; .$

Polarizācija

Uzrakstiet atsauksmi par rakstu "Lidmašīnas vilnis"

Literatūra

• Saveļjevs I.V.[2. daļa. Viļņi. Elastīgie viļņi.] // Vispārējās fizikas kurss / Rediģēja Gladņevs L.I., Mihalins N.A., Mirtovs D.A.. - 3. izd. - M.: Nauka, 1988. - T. 2. - P. 274-315. - 496 s. - 220 000 eksemplāru.

Piezīmes

Skatīt arī

Fragments, kas raksturo plaknes vilni

Laukumā, kur devās suverēns, labajā pusē aci pret aci stāvēja Preobraženska karavīru bataljons, bet kreisajā pusē - franču gvardes bataljons lāčādas cepurēs.
Kamēr suverēns tuvojās vienam sardzē pildījušo bataljonu flangam, uz pretējo flangu uzlēca cits jātnieku pūlis, un Rostova viņu priekšā atpazina Napoleonu. Tas nevarēja būt neviens cits. Viņš jāja galopā mazā cepurē, ar Svētā Andreja lenti pār plecu, zilā uniformā, kas atvērta virs balta kamzola, uz neparasti tīrasiņu arābu pelēka zirga, uz sārtinātas, zelta izšūtas seglu drānas. Piegājis pie Aleksandra, viņš pacēla cepuri un ar šo kustību Rostovas kavalērijas acs nevarēja nepamanīt, ka Napoleons sēdēja slikti un nav stingri uz zirga. Bataljoni kliedza: Urā un Vive l "Imperators! [Lai dzīvo imperators!] Napoleons kaut ko teica Aleksandram. Abi imperatori nokāpa no zirgiem un satvēra viens otra rokas. Napoleona sejā bija nepatīkami izlikti smaids. Aleksandrs kaut ko teica viņam ar sirsnīgu sejas izteiksmi .
Rostova, nenolaižot acis, neskatoties uz pūli aplenkušo franču žandarmu zirgu mīdīšanu, sekoja katrai imperatora Aleksandra un Bonaparta kustībai. Viņu pārsteidza fakts, ka Aleksandrs uzvedās kā līdzvērtīgs Bonapartam un ka Bonaparts bija pilnīgi brīvs, it kā šī tuvība ar suverēnu viņam būtu dabiska un pazīstama, kā līdzvērtīgs viņš izturējās pret Krievijas caru.
Aleksandrs un Napoleons ar garu svītas asti tuvojās Preobraženska bataljona labajā flangā, tieši pretī tur stāvošajam pūlim. Pūlis pēkšņi atradās tik tuvu imperatoriem, ka Rostovam, kurš stāvēja pirmajās rindās, kļuva bail, ka viņi viņu atpazīs.
"Sire, je vous requeste la permission de donner la Legion d"honneur au plus brave de vos soldats, [Sirre, es lūdzu jūsu atļauju piešķirt Goda leģiona ordeni drosmīgākajiem jūsu karavīriem,] teica griezīgs zvans: precīza balss, pabeidzot katru burtu Runāja īsais Bonaparts, skatīdamies tieši Aleksandram acīs, Aleksandrs uzmanīgi klausījās teiktajā un nolieca galvu, patīkami smaidot.
"A celui qui s"est le plus vaillament conduit dans cette derieniere guerre, [Tam, kurš kara laikā izrādījās drosmīgākais]," piebilda Napoleons, akcentējot katru zilbi, ar mieru un pārliecību, kas ir nežēlīgs Rostovam, skatoties apkārt. no krieviem, kas izstiepušies priekšā, ir karavīri, kas visu sargā un nekustīgi skatās sava imperatora sejā.
"Votre majeste me permettra t elle de demander l"avis du Colonel? [Jūsu Majestāte atļaus man pajautāt pulkveža viedokli?] - sacīja Aleksandrs un paspēra vairākus steidzīgus soļus pret bataljona komandieri kņazu Kozlovski. Tikmēr Bonaparts sāka iet. Novilka balto cimdu, mazo plaukstu un saplēsa to, Adjutants to nosvieda, steidzīgi metoties uz priekšu no aizmugures un pacēla.
- Kam man to dot? – Imperators Aleksandrs jautāja Kozlovskim ne skaļi, krieviski.
- Kam jūs pasūtāt, majestāte? "Imperators neapmierināti sarauca pieri un, paskatījies apkārt, sacīja:
– Bet tev viņam jāatbild.
Kozlovskis ar izlēmīgu skatienu atskatījās uz rindām un šajā skatienā notvēra arī Rostovu.
"Vai tas neesmu es?" domāja Rostova.
- Lazarevs! – pulkvedis saraucis pieri pavēlēja; un pirmā ranga karavīrs Lazarevs gudri pakāpās uz priekšu.
-Kur tu dosies? Apstājies šeit! - balsis čukstēja Lazarevam, kurš nezināja, kur iet. Lazarevs apstājās, bailēs paskatījās uz sāniem uz pulkvedi, un viņa seja trīcēja, kā tas notiek ar karavīriem, kas izsaukti uz fronti.
Napoleons nedaudz pagrieza galvu atpakaļ un atvilka savu mazo apaļo roku, it kā gribētu kaut ko paņemt. Viņa svītas sejas, tajā pašā mirklī uzminējušas, kas notiek, sāka satraukt, čukstēt, kaut ko nodot viena otrai, un lapa, tā pati, kuru Rostovs vakar redzēja pie Borisa, skrēja uz priekšu un ar cieņu noliecās. izstiepto roku un nelika viņai gaidīt nevienu sekundi, viņš ielika tajā sarkanu lentīti. Napoleons, nepaskatīdamies, saspieda divus pirkstus. Ordenis atradās starp viņiem. Napoleons piegāja pie Lazareva, kurš, izbolījis acis, spītīgi turpināja skatīties tikai uz savu valdnieku un atskatījās uz imperatoru Aleksandru, tādējādi parādot, ka to, ko viņš tagad dara, viņš dara sava sabiedrotā labā. Maza balta roka ar pavēli pieskārās karavīra Lazareva pogai. It kā Napoleons zināja, ka, lai šis karavīrs būtu laimīgs, atalgots un atšķirts no visiem pārējiem uz visiem laikiem, tikai viņam, Napoleona rokai, ir jābūt cienīgam pieskarties karavīra krūtīm. Napoleons tikko pielika krustu pie Lazareva krūtīm un, atlaidis roku, pagriezās pret Aleksandru, it kā zinātu, ka krustam jālīp pie Lazareva krūtīm. Krusts tiešām iestrēga.