Matemātisko modeļu sastādīšana. Matemātiskais modelis praksē Kāda veida matemātiskajos modeļos tiek izmantoti algoritmi

Matemātiskā modelēšana

1. Kas ir matemātiskā modelēšana?

No 20. gadsimta vidus. Matemātiskās metodes un datorus sāka plaši izmantot dažādās cilvēka darbības jomās. Ir radušās jaunas disciplīnas, piemēram, “matemātiskā ekonomika”, “matemātiskā ķīmija”, “matemātiskā valodniecība” u.c., pētot attiecīgo objektu un parādību matemātiskos modeļus, kā arī šo modeļu izpētes metodes.

Matemātiskais modelis ir aptuvens jebkuras reālās pasaules parādību vai objektu klases apraksts matemātikas valodā. Modelēšanas galvenais mērķis ir izpētīt šos objektus un paredzēt turpmāko novērojumu rezultātus. Taču modelēšana ir arī metode, kā izprast apkārtējo pasauli, ļaujot to kontrolēt.

Matemātiskā modelēšana un ar to saistītais datoreksperiments ir neaizstājams gadījumos, kad pilna mēroga eksperiments viena vai otra iemesla dēļ nav iespējams vai sarežģīts. Piemēram, vēsturē nav iespējams izveidot dabisku eksperimentu, lai pārbaudītu, “kas būtu noticis, ja...” Nav iespējams pārbaudīt vienas vai otras kosmoloģiskās teorijas pareizību. Ir iespējams, bet maz ticams, ka tas ir saprātīgi, eksperimentēt ar slimības, piemēram, mēra, izplatību vai veikt kodolsprādzienu, lai izpētītu tās sekas. Taču to visu var izdarīt datorā, vispirms konstruējot pētāmo parādību matemātiskos modeļus.

2. Matemātiskās modelēšanas galvenie posmi

1) Modeļu veidošana. Šajā posmā tiek precizēts noteikts "ne matemātisks" objekts - dabas parādība, dizains, ekonomiskais plāns, ražošanas process utt. Šajā gadījumā, kā likums, ir grūti skaidri aprakstīt situāciju. Pirmkārt, tiek identificētas fenomena galvenās iezīmes un sakarības starp tām kvalitatīvā līmenī. Tad atrastās kvalitatīvās atkarības tiek formulētas matemātikas valodā, tas ir, uzbūvēts matemātiskais modelis. Šis ir visgrūtākais modelēšanas posms.

2) Matemātiskās problēmas risināšana, pie kuras modelis noved. Šajā posmā liela uzmanība tiek pievērsta algoritmu un skaitlisko metožu izstrādei problēmas risināšanai datorā, ar kuru palīdzību ar nepieciešamo precizitāti un pieņemamā laikā var atrast rezultātu.

3) Iegūto seku interpretācija no matemātiskā modeļa. No modeļa atvasinātās sekas matemātikas valodā tiek interpretētas nozarē pieņemtajā valodā.

4) Modeļa atbilstības pārbaude.Šajā posmā tiek noteikts, vai eksperimenta rezultāti noteiktā precizitātē saskan ar modeļa teorētiskajām sekām.

5) Modeļa modifikācija.Šajā posmā modelis ir vai nu sarežģīts, lai tas atbilstu realitātei, vai arī tas tiek vienkāršots, lai panāktu praktiski pieņemamu risinājumu.

3. Modeļu klasifikācija

Modeļus var klasificēt pēc dažādiem kritērijiem. Piemēram, pēc risināmo problēmu rakstura modeļus var iedalīt funkcionālajos un strukturālajos. Pirmajā gadījumā visi lielumi, kas raksturo parādību vai objektu, tiek izteikti kvantitatīvi. Turklāt daži no tiem tiek uzskatīti par neatkarīgiem mainīgajiem, bet citi tiek uzskatīti par šo lielumu funkcijām. Matemātiskais modelis parasti ir dažāda veida vienādojumu sistēma (diferenciālais, algebriskais utt.), kas nosaka kvantitatīvās attiecības starp aplūkotajiem lielumiem. Otrajā gadījumā modelis raksturo kompleksa objekta struktūru, kas sastāv no atsevišķām daļām, starp kurām pastāv noteiktas saiknes. Parasti šie savienojumi nav kvantitatīvi nosakāmi. Lai izveidotu šādus modeļus, ir ērti izmantot grafu teoriju. Grafs ir matemātisks objekts, kas attēlo punktu (virsotņu) kopu plaknē vai telpā, no kurām dažas ir savienotas ar līnijām (malām).

Pamatojoties uz sākotnējo datu un rezultātu raksturu, prognozēšanas modeļus var iedalīt deterministiskajos un varbūtības-statistiskajos. Pirmā tipa modeļi sniedz noteiktas, nepārprotamas prognozes. Otrā tipa modeļi ir balstīti uz statistisko informāciju, un ar to palīdzību iegūtajām prognozēm ir varbūtības raksturs.

4. Matemātisko modeļu piemēri

1) Problēmas par šāviņa kustību.

Apsveriet šādu mehānikas problēmu.

Lādiņš tiek palaists no Zemes ar sākuma ātrumu v 0 = 30 m/s leņķī a = 45° pret tās virsmu; jāatrod tā kustības trajektorija un attālums S starp šīs trajektorijas sākuma un beigu punktu.

Tad, kā zināms no skolas fizikas kursa, šāviņa kustību apraksta ar formulām:

kur t ir laiks, g = 10 m/s 2 ir gravitācijas paātrinājums. Šīs formulas nodrošina problēmas matemātisko modeli. Izsakot t līdz x no pirmā vienādojuma un aizstājot to ar otro, iegūstam šāviņa trajektorijas vienādojumu:

Šī līkne (parabola) krusto x asi divos punktos: x 1 = 0 (trajektorijas sākums) un (vieta, kur nokrita šāviņš). Aizvietojot dotās v0 un a vērtības iegūtajās formulās, mēs iegūstam

atbilde: y = x – 90x 2, S = 90 m.

Ņemiet vērā, ka, veidojot šo modeli, tika izmantoti vairāki pieņēmumi: piemēram, tiek pieņemts, ka Zeme ir plakana, un gaiss un Zemes rotācija neietekmē šāviņa kustību.

2) Problēma par tvertni ar mazāko virsmas laukumu.

Jāatrod skārda tvertnes augstums h 0 un rādiuss r 0 ar tilpumu V = 30 m 3 ar slēgta apļveida cilindra formu, pie kuras virsmas laukums S ir minimāls (šajā gadījumā mazākais tās ražošanai tiks izmantots alvas daudzums).

Uzrakstīsim šādas formulas cilindra tilpumam un virsmas laukumam ar augstumu h un rādiusu r:

V = p r 2 h, S = 2 p r(r + h).

Izsakot h līdz r un V no pirmās formulas un aizstājot iegūto izteiksmi ar otro, mēs iegūstam:

Tādējādi no matemātiskā viedokļa problēma ir saistīta ar r vērtības noteikšanu, pie kuras funkcija S(r) sasniedz savu minimumu. Atradīsim tās r 0 vērtības, kurām ir atvasinājums

iet uz nulli: Varat pārbaudīt, vai funkcijas S(r) otrais atvasinājums maina zīmi no mīnusa uz plusu, kad arguments r iet caur punktu r 0 . Līdz ar to punktā r0 funkcijai S(r) ir minimums. Atbilstošā vērtība ir h 0 = 2r 0 . Aizvietojot doto vērtību V izteiksmē r 0 un h 0, iegūstam vēlamo rādiusu un augstums

3) Transporta problēma.

Pilsētā ir divas miltu noliktavas un divas maizes ceptuves. Katru dienu no pirmās noliktavas tiek vestas 50 tonnas miltu, bet no otrās uz rūpnīcām 70 tonnas, no kurām 40 tonnas uz pirmo, bet 80 tonnas uz otro.

Apzīmēsim ar a ij ir izmaksas par 1 tonnas miltu transportēšanu no i-tās noliktavas uz j-to ražotni (i, j = 1,2). Ļaujiet

a 11 = 1,2 rubļi, a 12 = 1,6 rubļi, a 21 = 0,8 rub., a 22 = 1 rublis.

Kā jāplāno transports, lai tā izmaksas būtu minimālas?

Dosim uzdevumam matemātisku formulējumu. Ar x 1 un x 2 apzīmēsim miltu daudzumu, kas jātransportē no pirmās noliktavas uz pirmo un otro rūpnīcu, un ar x 3 un x 4 - attiecīgi no otrās noliktavas uz pirmo un otro rūpnīcu. Pēc tam:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Visa transporta kopējās izmaksas tiek noteiktas pēc formulas

f = 1,2x1 + 1,6x2 + 0,8x3 + x 4.

No matemātiskā viedokļa problēma ir atrast četrus skaitļus x 1, x 2, x 3 un x 4, kas atbilst visiem dotajiem nosacījumiem un dod funkcijas f minimumu. Atrisināsim vienādojumu sistēmu (1) xi (i = 1, 2, 3, 4), izslēdzot nezināmos. Mēs to saņemam

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)

un x 4 nevar noteikt unikāli. Tā kā x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), no vienādojumiem (2) izriet, ka 30Ј x 4 Ј 70. Aizvietojot izteiksmi x 1, x 2, x 3 formulā f, mēs iegūstam

f = 148 – 0,2x4.

Ir viegli redzēt, ka šīs funkcijas minimums tiek sasniegts pie maksimālās iespējamās vērtības x 4, tas ir, pie x 4 = 70. Citu nezināmo atbilstošās vērtības nosaka pēc formulas (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Radioaktīvās sabrukšanas problēma.

Lai N(0) ir radioaktīvās vielas sākotnējais atomu skaits, un N(t) ir nesabrukušo atomu skaits brīdī t. Eksperimentāli ir noskaidrots, ka šo atomu skaita izmaiņu ātrums N"(t) ir proporcionāls N(t), tas ir, N"(t)=–l N(t), l >0 ir noteiktas vielas radioaktivitātes konstante. Matemātiskās analīzes skolas kursā ir parādīts, ka šī diferenciālvienādojuma atrisinājumam ir forma N(t) = N(0)e –l t. Laiku T, kurā sākotnējo atomu skaits ir samazinājies uz pusi, sauc par pussabrukšanas periodu, un tas ir svarīgs vielas radioaktivitātes raksturlielums. Lai noteiktu T, mums jāievieto formula Tad Piemēram, radonam l = 2,084 · 10 –6, un tāpēc T = 3,15 dienas.

5) Ceļojošā pārdevēja problēma.

Ceļojošam pārdevējam, kas dzīvo pilsētā A 1, ir jāapmeklē pilsētas A2, A3 un A4, katra pilsēta tieši vienu reizi, un pēc tam jāatgriežas A1. Ir zināms, ka visas pilsētas pa pāriem savieno ceļi, un ceļu garumi b ij starp pilsētām A i un A j (i, j = 1, 2, 3, 4) ir šādi:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Ir jānosaka pilsētu apmeklēšanas kārtība, kurā atbilstošā ceļa garums ir minimāls.

Katru pilsētu attēlosim kā punktu plaknē un atzīmēsim to ar atbilstošo etiķeti Ai (i = 1, 2, 3, 4). Savienosim šos punktus ar taisnām līnijām: tie attēlos ceļus starp pilsētām. Katram “ceļam” norādām tā garumu kilometros (2. att.). Rezultāts ir grafs - matemātisks objekts, kas sastāv no noteiktas punktu kopas plaknē (sauktas par virsotnēm) un noteiktas līniju kopas, kas savieno šos punktus (sauktas par malām). Turklāt šis grafiks ir marķēts, jo tā virsotnēm un malām ir piešķirtas dažas etiķetes - cipari (malas) vai simboli (virsotnes). Cikls grafā ir virkne virsotņu V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 tā, ka virsotnes V 1 , ..., V k ir dažādas, un jebkurš virsotņu pāris V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) un pāri V 1, V k savieno mala. Tādējādi apskatāmā problēma ir atrast ciklu grafā, kas iet cauri visām četrām virsotnēm, kuram visu malu svaru summa ir minimāla. Pārmeklēsim visus dažādos ciklus, kas iet cauri četrām virsotnēm un sākot ar A 1:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1.

Tagad noskaidrosim šo ciklu garumus (km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Tātad īsākā garuma maršruts ir pirmais.

Ņemiet vērā, ka, ja grafā ir n virsotnes un visas virsotnes ir savienotas pa pāriem ar malām (šādu grafiku sauc par pabeigtu), tad ciklu skaits, kas iet cauri visām virsotnēm, ir Tāpēc mūsu gadījumā ir tieši trīs cikli.

6) Vielu struktūras un īpašību kopsakarības atrašanas problēma.

Apskatīsim vairākus ķīmiskos savienojumus, ko sauc par parastajiem alkāniem. Tie sastāv no n oglekļa atomiem un n + 2 ūdeņraža atomiem (n = 1, 2 ...), kas ir savstarpēji savienoti, kā parādīts 3. attēlā, ja n = 3. Lai ir zināmas šo savienojumu viršanas punktu eksperimentālās vērtības:

y e (3) = – 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

Ir nepieciešams atrast aptuvenu saistību starp viršanas temperatūru un skaitli n šiem savienojumiem. Pieņemsim, ka šai atkarībai ir forma

y" a n+b,

Kur a, b - nosakāmās konstantes. Atrast a un b mēs šajā formulā secīgi aizstājam n = 3, 4, 5, 6 un atbilstošās viršanas punktu vērtības. Mums ir:

– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+ b.

Lai noteiktu labāko a un b ir daudz dažādu metožu. Izmantosim vienkāršāko no tiem. Izteiksim b cauri a no šiem vienādojumiem:

b » – 42 – 3 a, b" – 4 a, b » 28–5 a, b » 69–6 a.

Ņemsim šo vērtību vidējo aritmētisko kā vēlamo b, tas ir, ievietosim b » 16 – 4,5 a. Aizstāsim šo b vērtību sākotnējā vienādojumu sistēmā un, aprēķinot a, mēs saņemam par ašādas vērtības: a» 37, a» 28, a» 28, a" 36. Ņemsim pēc vajadzības ašo skaitļu vidējā vērtība, tas ir, liksim a" 34. Tātad vajadzīgajam vienādojumam ir forma

y » 34n – 139.

Pārbaudīsim modeļa precizitāti sākotnējiem četriem savienojumiem, kuriem mēs aprēķinām viršanas punktus, izmantojot iegūto formulu:

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.

Tādējādi kļūda, aprēķinot šo īpašību šiem savienojumiem, nepārsniedz 5 °. Mēs izmantojam iegūto vienādojumu, lai aprēķinātu viršanas temperatūru savienojumam ar n = 7, kas nav iekļauts sākotnējā kopā, un šajā vienādojumā mēs aizstājam ar n = 7: y р (7) = 99°. Rezultāts bija diezgan precīzs: ir zināms, ka viršanas temperatūras eksperimentālā vērtība y e (7) = 98°.

7) Elektriskās ķēdes uzticamības noteikšanas problēma.

Šeit mēs aplūkosim varbūtības modeļa piemēru. Pirmkārt, mēs sniedzam informāciju no varbūtības teorijas - matemātiskās disciplīnas, kas pēta nejaušu parādību modeļus, kas novēroti atkārtotas eksperimentu atkārtošanas laikā. Sauksim nejaušu notikumu A par iespējamu kāda eksperimenta iznākumu. Notikumi A 1, ..., A k veido pilnu grupu, ja kāds no tiem obligāti notiek eksperimenta rezultātā. Notikumi tiek saukti par nesaderīgiem, ja tie nevar notikt vienlaicīgi vienā pieredzē. Ļaujiet notikumam A notikt m reizes eksperimenta n-kārtīgas atkārtošanas laikā. Notikuma A biežums ir skaitlis W = . Acīmredzot W vērtību nevar precīzi paredzēt, kamēr nav veikta n eksperimentu sērija. Tomēr nejaušo notikumu raksturs ir tāds, ka praksē dažkārt tiek novērots šāds efekts: palielinoties eksperimentu skaitam, vērtība praktiski pārstāj būt nejauša un stabilizējas ap kādu negadījuma skaitli P(A), ko sauc par varbūtību notikums A. Neiespējamam notikumam (kas nekad nenotiek eksperimentā) P(A)=0 un uzticamam notikumam (kas vienmēr notiek pieredzē) P(A)=1. Ja notikumi A 1 , ..., A k veido pilnīgu nesaderīgu notikumu grupu, tad P(A 1)+...+P(A k)=1.

Pieņemsim, piemēram, kauliņu mešanu un izmesto punktu skaita X novērošanu. Tad varam ieviest šādus nejaušus notikumus A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Tie. veido pilnīgu nesaderīgu vienlīdz iespējamu notikumu grupu, tāpēc P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Notikumu A un B summa ir notikums A + B, kas sastāv no tā, ka vismaz viens no tiem notiek pieredzē. Notikumu A un B reizinājums ir notikums AB, kas sastāv no šo notikumu vienlaicīgas iestāšanās. Neatkarīgiem notikumiem A un B ir patiesas šādas formulas:

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Tagad apskatīsim sekojošo uzdevums. Pieņemsim, ka trīs elementi ir virknē savienoti ar elektrisko ķēdi un darbojas neatkarīgi viens no otra. 1., 2. un 3. elementa atteices varbūtības ir attiecīgi vienādas ar P1 = 0,1, P2 = 0,15, P3 = 0,2. Mēs uzskatīsim ķēdi par uzticamu, ja varbūtība, ka ķēdē nebūs strāvas, nav lielāka par 0,4. Ir nepieciešams noteikt, vai dotā ķēde ir uzticama.

Tā kā elementi ir savienoti virknē, ķēdē nebūs strāvas (notikums A), ja vismaz viens no elementiem sabojājas. Pieņemsim, ka A i ir notikums, kurā darbojas i-tais elements (i = 1, 2, 3). Tad P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Acīmredzot A 1 A 2 A 3 ir notikums, kurā visi trīs elementi darbojas vienlaicīgi, un

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.

Tad P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, tātad P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Noslēgumā jāatzīmē, ka sniegtie matemātisko modeļu (tostarp funkcionālo un strukturālo, deterministisko un varbūtības) piemēri ir ilustratīvi un, protams, neizsmeļ matemātisko modeļu daudzveidību, kas rodas dabaszinātnēs un humanitārajās zinātnēs.

Kas ir matemātiskais modelis?

Matemātiskā modeļa jēdziens.

Matemātiskais modelis ir ļoti vienkāršs jēdziens. Un ļoti svarīgi. Tie ir matemātiskie modeļi, kas savieno matemātiku un reālo dzīvi.

Vienkāršiem vārdiem sakot, matemātiskais modelis ir jebkuras situācijas matemātisks apraksts. Tas ir viss. Modelis var būt primitīvs vai ļoti sarežģīts. Lai kāda būtu situācija, tāds ir modelis.)

Jebkurā (es atkārtoju - jebkurā!) gadījumā, ja vajag kaut ko saskaitīt un aprēķināt - nodarbojamies ar matemātisko modelēšanu. Pat ja mums par to nav aizdomas.)

P = 2 CB + 3 CM

Šis ieraksts būs mūsu pirkumu izmaksu matemātisks modelis. Modelis neņem vērā iepakojuma krāsu, derīguma termiņu, kasieru pieklājību utt. Tāpēc viņa modelis, nav īsts pirkums. Bet izdevumi, t.i. kas mums vajadzīgs- mēs to noteikti uzzināsim. Protams, ja modelis ir pareizs.

Ir lietderīgi iedomāties, kas ir matemātiskais modelis, bet ar to nepietiek. Pats galvenais ir spēt uzbūvēt šos modeļus.

Problēmas matemātiskā modeļa sastādīšana (konstruēšana).

Izveidot matemātisko modeli nozīmē uzdevuma nosacījumu tulkošanu matemātiskā formā. Tie. pārvērst vārdus vienādojumā, formulā, nevienādībā utt. Turklāt pārveidojiet to tā, lai šī matemātika stingri atbilstu avota tekstam. Pretējā gadījumā mēs nonāksim pie kādas citas mums nezināmas problēmas matemātikas modeļa.)

Precīzāk, jums ir nepieciešams

Pasaulē ir bezgalīgi daudz uzdevumu. Tāpēc piedāvājiet skaidrus soli pa solim norādījumus matemātiskā modeļa sastādīšanai jebkura uzdevumi nav neiespējami.

Bet ir trīs galvenie punkti, kuriem jums jāpievērš uzmanība.

1. Savādi, ka jebkura problēma satur tekstu.) Šis teksts, kā likums, satur skaidra, atklāta informācija. Skaitļi, vērtības utt.

2. Jebkura problēma ir slēptā informācija.Šis ir teksts, kas uzņemas papildu zināšanas jūsu galvā. Bez tiem - nekā. Turklāt matemātiskā informācija bieži slēpjas aiz vienkāršiem vārdiem un... paslīd garām uzmanībai.

3. Jādod jebkurš uzdevums datu savienošana savā starpā.Šo savienojumu var dot vienkāršā tekstā (kaut kas ir kaut kas līdzvērtīgs), vai arī to var paslēpt aiz vienkāršiem vārdiem. Bet vienkārši un skaidri fakti bieži tiek ignorēti. Un modelis nav sastādīts nekādā veidā.

Es teikšu uzreiz: lai piemērotu šos trīs punktus, problēma ir jāizlasa (un uzmanīgi!) vairākas reizes. Parasta lieta.

Un tagad - piemēri.

Sāksim ar vienkāršu problēmu:

Petrovičs atgriezās no makšķerēšanas un ar lepnumu iepazīstināja ģimeni ar savu lomu. Papētot tuvāk, izrādījās, ka 8 zivis nākušas no ziemeļu jūrām, 20% no visām zivīm nākušas no dienvidu jūrām, un neviena nav no vietējās upes, kurā makšķerēja Petrovičs. Cik zivju Petrovičs iegādājās Jūras velšu veikalā?

Visi šie vārdi ir jāpārvērš par kaut kādu vienādojumu. Lai to izdarītu, es atkārtoju, izveidot matemātisko savienojumu starp visiem uzdevumā esošajiem datiem.

Kur sākt? Vispirms izvilksim visus datus no uzdevuma. Sāksim secībā:

Pievērsīsim uzmanību pirmajam punktam.

Kurš no tiem ir šeit? nepārprotami matemātiskā informācija? 8 zivis un 20%. Nav daudz, bet mums nevajag daudz.)

Pievērsīsim uzmanību otrajam punktam.

meklē paslēptas informāciju. Tas ir šeit. Šie ir vārdi: "20% no visām zivīm"Te jāsaprot, kādi ir procenti un kā tie tiek aprēķināti. Citādi problēmu nevar atrisināt. Tieši tai papildus informācijai vajadzētu būt galvā.

Ir arī matemātiskā informācija, kas ir pilnīgi neredzama. Šis uzdevuma jautājums: "Cik zivju es nopirku..." Tas arī ir skaitlis. Un bez tā neviens modelis netiks izveidots. Tāpēc apzīmēsim šo skaitli ar burtu "X". Mēs vēl nezinām, ar ko x ir vienāds, taču šis apzīmējums mums būs ļoti noderīgs. Sīkāk par to, kas jāņem X un kā ar to rīkoties, ir rakstīts nodarbībā Kā risināt uzdevumus matemātikā? Uzreiz pierakstīsim:

x gabali - kopējais zivju skaits.

Mūsu problēmā dienvidu zivis ir norādītas procentos. Mums tie jāpārvērš gabalos. Par ko? Tad kas iekšā jebkura ir jāizstrādā modeļa problēma tāda paša veida daudzumos. Gabali - tātad viss ir gabalos. Ja ir dotas, teiksim, stundas un minūtes, mēs visu pārvēršam vienā – vai nu tikai stundās, vai tikai minūtēs. Nav svarīgi, kas tas ir. Svarīgi, ka visas vērtības bija viena veida.

Atgriezīsimies pie informācijas izpaušanas. Kurš nezina, cik procenti ir, tas nekad neatklās, jā... Bet, kas zina, tas uzreiz teiks, ka procenti šeit ir balstīti uz kopējo zivju skaitu. Un mēs nezinām šo numuru. Nekas nedarbosies!

Ne velti mēs rakstām kopējo zivju skaitu (gabalos!) "X" norādīts. Dienvidu zivis gabalos saskaitīt nevarēs, bet pierakstīt varam? Kā šis:

0,2 x gabali - zivju skaits no dienvidu jūrām.

Tagad mēs esam lejupielādējuši visu informāciju no uzdevuma. Gan acīmredzami, gan slēpti.

Pievērsīsim uzmanību trešajam punktam.

meklē matemātiskais savienojums starp uzdevuma datiem. Šis savienojums ir tik vienkāršs, ka daudzi to nepamana... Tā bieži notiek. Šeit ir noderīgi vienkārši pierakstīt savāktos datus kaudzē un redzēt, kas ir kas.

Kas mums ir? Ēst 8 gabali ziemeļu zivis, 0,2 x gabali- dienvidu zivis un x zivis- kopējā summa. Vai ir iespējams šos datus kaut kā savienot? Jā Viegli! Kopējais zivju skaits vienāds dienvidu un ziemeļu summa! Nu, kurš to būtu domājis...) Tāpēc mēs to pierakstām:

x = 8 + 0,2x

Šis ir vienādojums mūsu problēmas matemātiskais modelis.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka šajā problēmā Mums netiek lūgts neko salocīt! Mēs paši, bez galvas, sapratām, ka dienvidu un ziemeļu zivju summa mums dos kopējo skaitu. Lieta ir tik acīmredzama, ka tā paliek nepamanīta. Bet bez šiem pierādījumiem matemātisko modeli nevar izveidot. Kā šis.

Tagad jūs varat izmantot visu matemātikas jaudu, lai atrisinātu šo vienādojumu). Tieši tāpēc tika sastādīts matemātiskais modelis. Mēs atrisinām šo lineāro vienādojumu un saņemam atbildi.

Atbilde: x=10

Izveidosim citas problēmas matemātisko modeli:

Viņi jautāja Petrovičam: "Vai jums ir daudz naudas?" Petrovičs sāka raudāt un atbildēja: "Jā, tikai nedaudz, ja es iztērēšu pusi no visas naudas, un tad man paliks tikai viens maiss ar naudu..." Cik daudz naudas ir Petrovičam?

Atkal mēs strādājam punktu pa punktam.

1. Mēs meklējam skaidru informāciju. Jūs to neatradīsit uzreiz! Skaidra informācija ir viens naudas maiss. Ir dažas citas puses... Nu, mēs to aplūkosim otrajā rindkopā.

2. Mēs meklējam slēptu informāciju. Tās ir pusītes. Kas? Nav ļoti skaidrs. Mēs skatāmies tālāk. Ir vēl viens uzdevuma jautājums: — Cik naudas ir Petrovičam? Apzīmēsim naudas summu ar burtu "X":

X- visa nauda

Un atkal mēs lasām problēmu. Jau zinot, ka Petrovičs X naudu. Šeit darbosies pusītes! Mēs pierakstām:

0,5 x- puse no visas naudas.

Atlikušais arī būs puse, t.i. 0,5 x. Un pusi no puses var uzrakstīt šādi:

0,5 x 0,5 x = 0,25 x- puse no atlikuma.

Tagad visa slēptā informācija ir atklāta un ierakstīta.

3. Mēs meklējam savienojumu starp ierakstītajiem datiem. Šeit jūs varat vienkārši izlasīt Petroviča ciešanas un pierakstīt tās matemātiski:

Ja es iztērēšu pusi no visas naudas...

Reģistrēsim šo procesu. Visa nauda - X. puse - 0,5 x. Tērēt nozīmē atņemt. Frāze pārvēršas ierakstā:

x - 0,5 x

jā, puse pārējās...

Atņemsim vēl pusi no atlikuma:

x - 0,5 x - 0,25x

tad man paliks tikai viens maiss naudas...

Un te mēs esam atraduši vienlīdzību! Pēc visām atņemšanām paliek viens naudas maiss:

x - 0,5 x - 0,25x = 1

Šeit tas ir, matemātiskais modelis! Šis atkal ir lineārs vienādojums, mēs to atrisinām, iegūstam:

Jautājums izskatīšanai. Kas ir četri? Rublis, dolārs, juaņa? Un kādās vienībās nauda ir ierakstīta mūsu matemātiskajā modelī? Maisos! Tas nozīmē četrus soma nauda no Petroviča. Arī labi.)

Uzdevumi, protams, ir elementāri. Tas ir īpaši paredzēts, lai aptvertu matemātiskā modeļa sastādīšanas būtību. Dažos uzdevumos var būt daudz vairāk datu, kuros var viegli pazust. Tas bieži notiek t.s. kompetences uzdevumi. Kā izvilkt matemātisko saturu no vārdu un skaitļu kaudzes, parādīts ar piemēriem

Vēl viena piezīme. Klasiskās skolas problēmās (caurules, kas piepilda baseinu, kaut kur peld laivas utt.), Visi dati, kā likums, tiek atlasīti ļoti rūpīgi. Ir divi noteikumi:
- problēmā ir pietiekami daudz informācijas, lai to atrisinātu,
- Problēmā nav liekas informācijas.

Šis ir mājiens. Ja matemātiskajā modelī ir palikusi neizmantota vērtība, padomājiet, vai nav kļūda. Ja nav pietiekami daudz datu, visticamāk, ne visa slēptā informācija ir identificēta un ierakstīta.

Ar kompetencēm saistītos un citos dzīves uzdevumos šie noteikumi netiek stingri ievēroti. Ne jausmas. Bet arī šādas problēmas var atrisināt. Ja, protams, praktizējat klasiskos.)

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)

Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Saskaņā ar Sovetova un Jakovļeva mācību grāmatu: "modelis (lat. modulis - mērs) ir oriģinālā objekta aizstājējs, kas nodrošina dažu oriģināla īpašību izpēti." (6. lpp.) "Viena objekta aizstāšanu ar citu, lai iegūtu informāciju par sākotnējā objekta svarīgākajām īpašībām, izmantojot modeļa objektu, sauc par modelēšanu." (6. lpp.) “Ar matemātisko modelēšanu mēs saprotam procesu, kurā tiek noteikta atbilstība noteiktam reālam objektam ar noteiktu matemātisko objektu, ko sauc par matemātisko modeli, un šī modeļa izpēti, kas ļauj iegūt reālā objekta īpašības. apskatāmais objekts. Matemātiskā modeļa veids ir atkarīgs gan no reālā objekta rakstura, gan objekta izpētes uzdevumiem un šīs problēmas risināšanas nepieciešamās uzticamības un precizitātes.

Visbeidzot, visprecīzākā matemātiskā modeļa definīcija: "Vienādojums, kas izsaka ideju."

Modeļu klasifikācija

Modeļu formālā klasifikācija

Modeļu formālā klasifikācija balstās uz izmantoto matemātisko rīku klasifikāciju. Bieži vien konstruēts divkāršu veidā. Piemēram, viena no populārākajām dihotomiju kopām:

un tā tālāk. Katrs konstruētais modelis ir lineārs vai nelineārs, deterministisks vai stohastisks, ... Dabiski, ka ir iespējami arī jaukti tipi: koncentrēti vienā aspektā (parametru ziņā), sadalīti citā utt.

Klasifikācija pēc objekta attēlojuma veida

Līdzās formālai klasifikācijai modeļi atšķiras ar to, kā tie attēlo objektu:

• Strukturālie vai funkcionālie modeļi

Strukturālie modeļi attēlo objektu kā sistēmu ar savu struktūru un funkcionēšanas mehānismu. Funkcionālie modeļi neizmanto šādus attēlojumus un atspoguļo tikai objekta ārēji uztverto uzvedību (funkciju). Ekstrēmā izteiksmē tos sauc arī par “melnās kastes” modeļiem. Ir iespējami arī kombinētie modeļu veidi, kurus dažkārt dēvē par “pelēko kastīšu” modeļiem.

Satura un formālie modeļi

Gandrīz visi autori, kas apraksta matemātiskās modelēšanas procesu, norāda, ka vispirms tiek uzbūvēta īpaša ideāla struktūra, satura modelis. Šeit nav izveidotas terminoloģijas, un citi autori šo ideālo objektu sauc konceptuālais modelis , spekulatīvs modelis vai priekšmodelis. Šajā gadījumā tiek izsaukta galīgā matemātiskā konstrukcija formālais modelis vai vienkārši matemātiskais modelis, kas iegūts dotā jēgpilnā modeļa formalizācijas rezultātā (pirmsmodelis). Jēgpilna modeļa uzbūvi var veikt, izmantojot gatavu idealizāciju kopumu, kā mehānikā, kur ideālas atsperes, stingri ķermeņi, ideāli svārsti, elastīgie mediji u.c. nodrošina gatavus konstrukcijas elementus jēgpilnai modelēšanai. Tomēr zināšanu jomās, kurās nav pilnībā pabeigtu formalizētu teoriju (fizikas, bioloģijas, ekonomikas, socioloģijas, psiholoģijas un vairumā citu jomu līderi), jēgpilnu modeļu izveide kļūst ievērojami grūtāka.

Modeļu satura klasifikācija

Nevienu zinātnes hipotēzi nevar pierādīt vienreiz un uz visiem laikiem. Ričards Feinmens to ļoti skaidri formulēja:

“Mums vienmēr ir iespēja atspēkot teoriju, taču ņemiet vērā, ka mēs nekad nevaram pierādīt, ka tā ir pareiza. Pieņemsim, ka esat izvirzījis veiksmīgu hipotēzi, aprēķinājis, kurp tā ved, un konstatējis, ka visas tās sekas ir apstiprinātas eksperimentāli. Vai tas nozīmē, ka jūsu teorija ir pareiza? Nē, tas vienkārši nozīmē, ka jums neizdevās to atspēkot.

Ja tiek uzbūvēts pirmā tipa modelis, tas nozīmē, ka tas uz laiku tiek atzīts par patiesību un var koncentrēties uz citām problēmām. Tomēr tas nevar būt pētījuma punkts, bet tikai īslaicīga pauze: pirmā tipa modeļa statuss var būt tikai īslaicīgs.

2. veids: Fenomenoloģiskais modelis (mēs uzvedamies it kā…)

Fenomenoloģiskais modelis satur fenomena aprakstīšanas mehānismu. Tomēr šis mehānisms nav pietiekami pārliecinošs, to nevar pietiekami apstiprināt ar pieejamajiem datiem vai arī neatbilst esošajām teorijām un uzkrātajām zināšanām par objektu. Tāpēc fenomenoloģiskiem modeļiem ir pagaidu risinājumu statuss. Domājams, ka atbilde joprojām nav zināma un jāturpina meklēt “patiesos mehānismus”. Peierls ietver, piemēram, kaloriju modeli un elementārdaļiņu kvarku modeli kā otro veidu.

Modeļa loma pētījumos laika gaitā var mainīties, un var gadīties, ka jauni dati un teorijas apstiprina fenomenoloģiskos modeļus un tie tiek izvirzīti hipotēzes statusā. Tāpat jaunas zināšanas pamazām var nonākt pretrunā ar pirmā tipa modeļiem-hipotēzēm, un tās var pārtulkot otrajā. Tādējādi kvarku modelis pamazām pāriet hipotēžu kategorijā; atomisms fizikā radās kā pagaidu risinājums, bet līdz ar vēstures gaitu kļuva par pirmo veidu. Taču ētera modeļi ir nonākuši no 1. tipa līdz 2. tipam, un tagad tie ir ārpus zinātnes.

Veidojot modeļus, vienkāršošanas ideja ir ļoti populāra. Taču vienkāršošana izpaužas dažādos veidos. Peierls identificē trīs veidu modelēšanas vienkāršojumus.

3. veids: Tuvināšana (mēs uzskatām kaut ko ļoti lielu vai ļoti mazu)

Ja ir iespējams izveidot vienādojumus, kas apraksta pētāmo sistēmu, tas nenozīmē, ka tos var atrisināt pat ar datora palīdzību. Izplatīts paņēmiens šajā gadījumā ir tuvinājumu izmantošana (3. tipa modeļi). Starp viņiem lineārās atbildes modeļi. Vienādojumi tiek aizstāti ar lineāriem. Standarta piemērs ir Oma likums.

Šeit nāk 8. tips, kas ir plaši izplatīts bioloģisko sistēmu matemātiskajos modeļos.

8. veids: Funkciju demonstrācija (galvenais ir parādīt iespēju iekšējo konsekvenci)

Tie ir arī domu eksperimenti ar iedomātām vienībām, kas to pierāda domājama parādība saskaņā ar pamatprincipiem un iekšēji konsekventi. Šī ir galvenā atšķirība no 7. tipa modeļiem, kas atklāj slēptās pretrunas.

Viens no slavenākajiem no šiem eksperimentiem ir Lobačevska ģeometrija (Lobačevskis to sauca par "iedomātu ģeometriju"). Vēl viens piemērs ir formāli kinētisko ķīmisko un bioloģisko vibrāciju, autoviļņu uc modeļu masveida ražošana. Einšteina-Podoļska-Rozena paradokss tika iecerēts kā 7. tipa modelis, lai demonstrētu kvantu mehānikas nekonsekvenci. Pilnīgi neplānotā veidā tas galu galā pārtapa 8. tipa modelī – informācijas kvantu teleportācijas iespējas demonstrācijā.

Piemērs

Apsveriet mehānisko sistēmu, kas sastāv no vienā galā piestiprinātas atsperes un masas m piestiprināts pie atsperes brīvā gala. Mēs pieņemsim, ka slodze var pārvietoties tikai atsperes ass virzienā (piemēram, kustība notiek gar stieni). Izveidosim šīs sistēmas matemātisko modeli. Mēs aprakstīsim sistēmas stāvokli pēc attāluma x no slodzes centra līdz tā līdzsvara stāvoklim. Aprakstīsim atsperes un slodzes mijiedarbību Huka likums (F = − kx ) un pēc tam izmantojiet Ņūtona otro likumu, lai izteiktu to diferenciālvienādojuma veidā:

kur nozīmē otro atvasinājumu no x pēc laika:.

Iegūtais vienādojums apraksta aplūkotās fiziskās sistēmas matemātisko modeli. Šo modeli sauc par "harmonisko oscilatoru".

Pēc formālās klasifikācijas šis modelis ir lineārs, deterministisks, dinamisks, koncentrēts, nepārtraukts. Tās būvniecības procesā mēs izdarījām daudzus pieņēmumus (par ārējo spēku neesamību, berzes neesamību, noviržu mazumu utt.), kas patiesībā var arī nepiepildīties.

Attiecībā uz realitāti tas visbiežāk ir 4. tipa modelis vienkāršošana(“skaidrības labad mēs izlaidīsim dažas detaļas”), jo dažas būtiskas universālas pazīmes (piemēram, izkliedēšana) ir izlaistas. Aptuveni (teiksim, kamēr slodzes novirze no līdzsvara ir maza, ar zemu berzi, ne pārāk ilgu laiku un saskaņā ar noteiktiem citiem nosacījumiem), šāds modelis diezgan labi raksturo reālu mehānisko sistēmu, jo izmestie faktori ir niecīga ietekme uz tās uzvedību. Tomēr modeli var uzlabot, ņemot vērā dažus no šiem faktoriem. Tādējādi tiks izveidots jauns modelis ar plašāku (lai gan atkal ierobežotu) piemērojamības jomu.

Tomēr, pilnveidojot modeli, tā matemātiskās izpētes sarežģītība var ievērojami palielināties un padarīt modeli praktiski nederīgu. Bieži vien vienkāršāks modelis ļauj labāk un dziļāk izpētīt reālo sistēmu nekā sarežģītāks (un formāli “pareizāks”).

Ja mēs izmantojam harmonisko oscilatoru modeli objektiem, kas atrodas tālu no fizikas, tā saturs var atšķirties. Piemēram, piemērojot šo modeli bioloģiskajām populācijām, tas, visticamāk, būtu jāklasificē kā 6. tips līdzība(“ņemsim vērā tikai dažas funkcijas”).

Cietie un mīkstie modeļi

Harmoniskais oscilators ir tā sauktā “cietā” modeļa piemērs. To iegūst reālas fiziskās sistēmas spēcīgas idealizācijas rezultātā. Lai atrisinātu jautājumu par tā piemērojamību, ir jāsaprot, cik nozīmīgi ir faktori, kurus esam atstājuši novārtā. Citiem vārdiem sakot, ir jāizpēta “mīkstais” modelis, kas iegūts ar nelielu “cietā” perturbāciju. To var dot, piemēram, ar šādu vienādojumu:

Šeit ir kāda funkcija, kas var ņemt vērā berzes spēku vai atsperes stinguma koeficienta atkarību no tā stiepšanās pakāpes - kāds mazs parametrs. Skaidras funkcijas forma fŠobrīd mūs neinteresē. Ja mēs pierādīsim, ka mīkstā modeļa uzvedība būtiski neatšķiras no cietā modeļa uzvedības (neatkarīgi no izteiktā traucējošo faktoru veida, ja tie ir pietiekami mazi), problēma tiks reducēta uz cietā modeļa izpēti. Pretējā gadījumā stingrā modeļa pētījumos iegūto rezultātu pielietošanai būs nepieciešami papildu pētījumi. Piemēram, harmoniskā oscilatora vienādojuma risinājums ir formas funkcijas, tas ir, svārstības ar nemainīgu amplitūdu. Vai no tā izriet, ka īsts oscilators svārstīsies bezgalīgi ar nemainīgu amplitūdu? Nē, jo, ņemot vērā sistēmu ar patvaļīgi mazu berzi (vienmēr pastāv reālā sistēmā), mēs iegūstam slāpētas svārstības. Sistēmas uzvedība ir kvalitatīvi mainījusies.

Ja sistēma saglabā savu kvalitatīvo uzvedību nelielu traucējumu gadījumā, tā tiek uzskatīta par strukturāli stabilu. Harmoniskais oscilators ir strukturāli nestabilas (neapstrādātas) sistēmas piemērs. Tomēr šo modeli var izmantot, lai pētītu procesus ierobežotā laika periodā.

Modeļu daudzpusība

Vissvarīgākajiem matemātiskajiem modeļiem parasti ir svarīga īpašība daudzpusība: Principiāli atšķirīgas reālas parādības var aprakstīt ar vienu un to pašu matemātisko modeli. Piemēram, harmoniskais oscilators apraksta ne tikai slodzes uzvedību uz atsperes, bet arī citus svārstību procesus, kas bieži vien ir pavisam cita rakstura: nelielas svārsta svārstības, šķidruma līmeņa svārstības U- formas trauks vai strāvas stipruma izmaiņas svārstību ķēdē. Tādējādi, pētot vienu matemātisko modeli, mēs uzreiz pētām veselu ar to aprakstīto parādību klasi. Tieši šis likumu izomorfisms, ko izsaka matemātiskie modeļi dažādos zinātnisko zināšanu segmentos, iedvesmoja Ludvigu fon Bertalanfiju izveidot “Vispārīgo sistēmu teoriju”.

Matemātiskās modelēšanas tiešās un apgrieztās problēmas

Ar matemātisko modelēšanu ir saistītas daudzas problēmas. Pirmkārt, jums ir jāizdomā modelētā objekta pamata diagramma, jāatveido tā šīs zinātnes idealizāciju ietvaros. Tādējādi vilciena vagons pārvēršas par plākšņu un sarežģītāku virsbūvju sistēmu no dažādiem materiāliem, katrs materiāls tiek norādīts kā tā standarta mehāniskā idealizācija (blīvums, elastības moduļi, standarta stiprības raksturlielumi), pēc tam tiek sastādīti vienādojumi un pa ceļam. dažas detaļas tiek izmestas kā nesvarīgas, tiek veikti aprēķini, salīdzināti ar mērījumiem, tiek precizēts modelis utt. Tomēr, lai izstrādātu matemātiskās modelēšanas tehnoloģijas, ir lietderīgi izjaukt šo procesu tā galvenajos komponentos.

Tradicionāli ir divas galvenās problēmu klases, kas saistītas ar matemātiskajiem modeļiem: tiešās un apgrieztās.

Tiešais uzdevums: modeļa struktūra un visi tā parametri tiek uzskatīti par zināmiem, galvenais uzdevums ir veikt modeļa izpēti, lai iegūtu noderīgas zināšanas par objektu. Kādu statisko slodzi tilts izturēs? Kā tā reaģēs uz dinamisku slodzi (piemēram, uz karavīru rotas gājienu, vai uz vilciena pāreju dažādos ātrumos), kā lidmašīna pārvarēs skaņas barjeru, vai tā izjuks no plandīšanās - tie ir tipiski tiešas problēmas piemēri. Pareizas tiešās problēmas noteikšana (pareizā jautājuma uzdošana) prasa īpašas prasmes. Ja netiek uzdoti pareizie jautājumi, tilts var sabrukt, pat ja ir uzbūvēts labs tā uzvedības modelis. Tā 1879. gadā Anglijā sagruva metāla tilts pāri Tejas upei, kura projektētāji uzbūvēja tilta modeli, aprēķināja, ka tam ir 20-kārtīgs lietderīgās slodzes drošības koeficients, bet pastāvīgi aizmirsa par vējiem. pūš tajās vietās. Un pēc pusotra gada tas sabruka.

Vienkāršākajā gadījumā (piemēram, viens oscilatora vienādojums) tiešā problēma ir ļoti vienkārša un reducējas līdz šī vienādojuma skaidram risinājumam.

Apgrieztā problēma: ir zināmi daudzi iespējamie modeļi, ir jāizvēlas konkrēts modelis, pamatojoties uz papildu datiem par objektu. Visbiežāk ir zināma modeļa struktūra, un ir jānosaka daži nezināmi parametri. Papildu informācija var sastāvēt no papildu empīriskiem datiem vai prasībām objektam ( dizaina problēma). Papildu dati var saņemt neatkarīgi no apgrieztās problēmas risināšanas procesa ( pasīva novērošana) vai būt risinājuma laikā īpaši plānota eksperimenta rezultāts ( aktīva uzraudzība).

Viens no pirmajiem piemēriem apgrieztas problēmas meistarīgam risinājumam, maksimāli izmantojot pieejamos datus, bija I. Ņūtona konstruētā metode berzes spēku rekonstrukcijai no novērotajām slāpētām svārstībām.

Papildu piemēri

Kur x s- “līdzsvara” populācijas lielums, pie kura dzimstību precīzi kompensē mirstība. Iedzīvotāju skaitam šādā modelī ir tendence uz līdzsvara vērtību x s, un šī uzvedība ir strukturāli stabila.

Šai sistēmai ir līdzsvara stāvoklis, kad trušu un lapsu skaits ir nemainīgs. Novirze no šī stāvokļa rada trušu un lapsu skaita svārstības, kas ir līdzīgas harmoniskā oscilatora svārstībām. Tāpat kā ar harmonisko oscilatoru, šī uzvedība nav strukturāli stabila: neliela modeļa maiņa (piemēram, ņemot vērā ierobežotos resursus, kas nepieciešami trušiem) var izraisīt kvalitatīvas izmaiņas uzvedībā. Piemēram, līdzsvara stāvoklis var kļūt stabils, un skaitļu svārstības izzudīs. Iespējama arī pretēja situācija, kad jebkura neliela novirze no līdzsvara stāvokļa novedīs pie katastrofālām sekām, līdz pat vienas sugas pilnīgai izzušanai. Volterras-Lotkas modelis neatbild uz jautājumu, kurš no šiem scenārijiem tiek realizēts: šeit ir nepieciešama papildu izpēte.

Piezīmes

1. “Realitātes matemātisks attēlojums” (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I. B., Par kibernētiskās modelēšanas filozofiskiem jautājumiem. M., Zināšanas, 1964. gads.
3. Sovetovs B. Ja., Jakovļevs S. A., Sistēmu modelēšana: Proc. augstskolām - 3. izd., pārstrādāts. un papildu - M.: Augstāk. skola, 2001. - 343 lpp. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarskis A. A., Mihailovs A. P. Matemātiskā modelēšana. Idejas. Metodes. Piemēri. . - 2. izdevums, pārskatīts - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X.
5. Miškis A.D., Matemātisko modeļu teorijas elementi. - 3. izdevums, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 ar ISBN 978-5-484-00953-4
6. Vikivārdnīca: matemātiskais modelis
7. CliffsNotes
8. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlīne-Heidelberga-Ņujorka, 2006. XII+562 lpp. ISBN 3-540-35885-4
9. "Teorija tiek uzskatīta par lineāru vai nelineāru atkarībā no tā, kāda veida matemātiskais aparāts - lineārs vai nelineārs - un kādus lineāros vai nelineāros matemātiskos modeļus tā izmanto. ...nenoliedzot pēdējo. Mūsdienu fiziķis, ja viņam būtu atkārtoti jārada definīcija tādai svarīgai vienībai kā nelinearitāte, visticamāk, rīkotos citādi un, dodot priekšroku nelinearitātei kā svarīgākajam un izplatītākajam no diviem pretstatiem, linearitāti definētu kā “nevis. nelinearitāte." Daņilovs A., Lekcijas par nelineāro dinamiku. Elementārs ievads. Sērija “Sinerģētika: no pagātnes uz nākotni”. 2. izdevums. - M.: URSS, 2006. - 208 lpp. ISBN 5-484-00183-8
10. "Dinamikas sistēmas, kas modelētas ar ierobežotu skaitu parastu diferenciālvienādojumu, sauc par koncentrētām vai punktu sistēmām. Tie ir aprakstīti, izmantojot ierobežotu dimensiju fāzes telpu, un tos raksturo ierobežots brīvības pakāpju skaits. To pašu sistēmu dažādos apstākļos var uzskatīt par koncentrētu vai sadalītu. Sadalīto sistēmu matemātiskie modeļi ir daļēji diferenciālvienādojumi, integrālie vienādojumi vai parastie aiztures vienādojumi. Sadalītas sistēmas brīvības pakāpju skaits ir bezgalīgs, un ir nepieciešams bezgalīgs datu skaits, lai noteiktu tās stāvokli. Aniščenko V. S., Dinamiskās sistēmas, Sorosa izglītības žurnāls, 1997, Nr. 11, lpp. 77-84.
11. “Atkarībā no sistēmā S pētāmo procesu rakstura visus modelēšanas veidus var iedalīt deterministiskajā un stohastiskajā, statiskajā un dinamiskajā, diskrētajā, nepārtrauktajā un diskrētajā-nepārtrauktajā. Deterministiskā modelēšana atspoguļo deterministiskos procesus, tas ir, procesus, kuros tiek pieņemts, ka nav nejaušas ietekmes; stohastiskā modelēšana attēlo varbūtības procesus un notikumus. ... Statiskā modelēšana kalpo, lai aprakstītu objekta uzvedību jebkurā brīdī, un dinamiskā modelēšana atspoguļo objekta uzvedību laika gaitā. Diskrētā modelēšana tiek izmantota, lai aprakstītu procesus, kurus pieņem par diskrētiem, respektīvi, nepārtrauktā modelēšana ļauj atspoguļot nepārtrauktus procesus sistēmās, un diskrēta-nepārtraukta modelēšana tiek izmantota gadījumiem, kad vēlas izcelt gan diskrētu, gan nepārtrauktu procesu klātbūtni. ” Sovetovs B. Ja., Jakovļevs S. A., Sistēmu modelēšana: Proc. augstskolām - 3. izd., pārstrādāts. un papildu - M.: Augstāk. skola, 2001. - 343 lpp. ISBN 5-06-003860-2
12. Parasti matemātiskais modelis atspoguļo modelētā objekta struktūru (ierīci), šī objekta komponentu īpašības un attiecības, kas ir būtiskas izpētes mērķiem; šādu modeli sauc par strukturālu. Ja modelis atspoguļo tikai to, kā objekts funkcionē - piemēram, kā tas reaģē uz ārējām ietekmēm -, tad to sauc par funkcionālu jeb pārnestā nozīmē par melno kasti. Ir iespējami arī kombinēti modeļi. Miškis A.D., Matemātisko modeļu teorijas elementi. - 3. izdevums, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 ar ISBN 978-5-484-00953-4
13. “Acīmredzamais, bet vissvarīgākais matemātiskā modeļa konstruēšanas vai izvēles sākuma posms ir pēc iespējas skaidrāka priekšstata iegūšana par modelējamo objektu un jēgpilna modeļa pilnveidošana, balstoties uz neformālām diskusijām. Šajā posmā jums nevajadzētu tērēt laiku un pūles, un visa pētījuma panākumi lielā mērā ir atkarīgi no tā. Ne reizi vien ir gadījies, ka nozīmīgs darbs, kas veltīts matemātiskas problēmas risināšanai, izrādījies neefektīvs vai pat izniekots, jo šai lietas pusei netika pievērsta pietiekama uzmanība. Miškis A.D., Matemātisko modeļu teorijas elementi. - 3. izdevums, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 ar ISBN 978-5-484-00953-4, lpp. 35.
14. « Sistēmas konceptuālā modeļa apraksts.Šajā sistēmas modeļa izveides apakšposmā: a) konceptuālais modelis M ir aprakstīts abstraktos terminos un jēdzienos; b) modeļa apraksts sniegts, izmantojot standarta matemātiskās shēmas; c) beidzot tiek pieņemtas hipotēzes un pieņēmumi; d) ir pamatota reālo procesu tuvināšanas procedūras izvēle, veidojot modeli. Sovetovs B. Ja., Jakovļevs S. A., Sistēmu modelēšana: Proc. augstskolām - 3. izd., pārstrādāts. un papildu - M.: Augstāk. skola, 2001. - 343 lpp. ISBN 5-06-003860-2, lpp. 93.
15. Blehmans I. I., Miškis A. D., Panovko N. G., Lietišķā matemātika: Priekšmets, loģika, pieeju iezīmes. Ar piemēriem no mehānikas: Mācību grāmata. - 3. izdevums, rev. un papildu - M.: URSS, 2006. - 376 lpp. ISBN 5-484-00163-3, 2. nodaļa.

1. lekcija.

MODELĒŠANAS METODOLOĢISKIE PAMATI

Sistēmas modelēšanas problēmas pašreizējais stāvoklis

Modelēšanas un simulācijas jēdzieni

Modelēšana var uzskatīt par pētāmā objekta (oriģināla) aizstāšanu ar tā nosacīto attēlu, aprakstu vai citu objektu, ko sauc modelis un oriģinālam tuvu uzvedības nodrošināšana noteiktu pieņēmumu un pieļaujamu kļūdu ietvaros. Modelēšana parasti tiek veikta ar mērķi izprast oriģināla īpašības, pētot tā modeli, nevis pašu objektu. Protams, modelēšana ir attaisnojama, ja tā ir vienkāršāka nekā paša oriģināla radīšana, vai arī kaut kādu iemeslu dēļ labāk oriģinālu neveidot vispār.

Zem modelis tiek saprasts kā fizisks vai abstrakts objekts, kura īpašības noteiktā nozīmē ir līdzīgas pētāmā objekta īpašībām Šajā gadījumā prasības modelim nosaka risināmā problēma un pieejamie līdzekļi. Modeļiem ir vairākas vispārīgas prasības:

2) pilnīgums – adresāta nodrošināšana ar visu nepieciešamo informāciju

par objektu;

3) lokanība - spēja atveidot dažādas situācijas it visā

apstākļu un parametru izmaiņu diapazons;

4) izstrādes sarežģītībai jābūt pieņemamai esošajam

laiks un programmatūra.

Modelēšana ir objekta modeļa konstruēšanas un tā īpašību izpētes process, pārbaudot modeli.

Tādējādi modelēšana ietver 2 galvenos posmus:

1) modeļa izstrāde;

2) modeļa izpēte un secinājumu izdarīšana.

Tajā pašā laikā katrā posmā tiek risināti dažādi uzdevumi un

būtībā dažādas metodes un līdzekļi.

Praksē tiek izmantotas dažādas modelēšanas metodes. Atkarībā no ieviešanas metodes visus modeļus var iedalīt divās lielās klasēs: fiziskajā un matemātiskajā.

Matemātiskā modelēšana To parasti uzskata par līdzekli procesu vai parādību izpētei, izmantojot to matemātiskos modeļus.

Zem fiziskā modelēšana attiecas uz objektu un parādību izpēti pēc fizikāliem modeļiem, kad tiek reproducēts pētāmais process, saglabājot tā fizisko būtību, vai tiek izmantota cita pētāmajam līdzīga fiziska parādība. Kurā fiziskie modeļi Parasti tie pieņem to oriģināla fizisko īpašību reālo iemiesojumu, kas ir nozīmīgas konkrētā situācijā. Piemēram, projektējot jaunu lidaparātu, tiek izveidots makets, kuram ir tādas pašas aerodinamiskās īpašības. Plānojot attīstību, arhitekti veido modeli, kas atspoguļo tā elementu telpisko izvietojumu. Šajā sakarā tiek saukta arī fiziskā modelēšana prototipēšana.

Pusperioda modelēšana ir pētījums par vadāmām sistēmām uz modelēšanas kompleksiem, modelī iekļaujot reālu aprīkojumu. Līdzās reālajai iekārtai slēgtajā modelī ir iekļauti ietekmju un traucējumu simulatori, ārējās vides matemātiskie modeļi un procesi, kuriem nav zināms pietiekami precīzs matemātiskais apraksts. Reālu iekārtu vai reālu sistēmu iekļaušana sarežģītu procesu modelēšanas ķēdē ļauj samazināt a priori nenoteiktību un izpētīt procesus, kuriem nav precīza matemātiska apraksta. Izmantojot daļēji dabisku modelēšanu, pētījumi tiek veikti, ņemot vērā nelielas laika konstantes un reālām iekārtām raksturīgās linearitātes. Pētot modeļus, izmantojot reālu aprīkojumu, tiek izmantota koncepcija dinamiska simulācija, pētot sarežģītas sistēmas un parādības - evolucionārs, imitācija Un kibernētiskā modelēšana.

Acīmredzot reālo modelēšanas ieguvumu var iegūt tikai tad, ja ir izpildīti divi nosacījumi:

1) modelis nodrošina pareizu (adekvātu) īpašību attēlojumu

oriģināls, nozīmīgs no pētāmās operācijas viedokļa;

2) modelis ļauj novērst iepriekš uzskaitītās problēmas

reālu objektu izpētes veikšana.

2. Matemātiskās modelēšanas pamatjēdzieni

Praktisku uzdevumu risināšana ar matemātiskām metodēm tiek konsekventi veikta, formulējot problēmu (izstrādājot matemātisko modeli), izvēloties metodi iegūtā matemātiskā modeļa izpētei un analizējot iegūto matemātisko rezultātu. Problēmas matemātiskais formulējums parasti tiek pasniegts ģeometrisku attēlu, funkciju, vienādojumu sistēmu utt. Objekta (fenomena) aprakstu var attēlot, izmantojot nepārtrauktas vai diskrētas, deterministiskas vai stohastiskas un citas matemātiskas formas.

Matemātiskās modelēšanas teorija nodrošina dažādu apkārtējās pasaules parādību rašanās modeļu vai sistēmu un ierīču darbības identifikāciju ar to matemātisko aprakstu un modelēšanu, neveicot pilna mēroga pārbaudes. Šajā gadījumā tiek izmantoti matemātikas noteikumi un likumi, kas apraksta simulētās parādības, sistēmas vai ierīces kaut kādā to idealizācijas līmenī.

Matemātiskais modelis (MM) ir formalizēts sistēmas (vai darbības) apraksts kādā abstraktā valodā, piemēram, matemātisko attiecību kopas vai algoritmu diagrammas veidā, t.i. i., tāds matemātisks apraksts, kas nodrošina sistēmu vai ierīču darbības simulāciju līmenī, kas ir pietiekami tuvu to reālajai uzvedībai, kas iegūta pilna mēroga sistēmu vai ierīču testēšanas laikā.

Jebkurš MM apraksta reālu objektu, parādību vai procesu ar zināmu tuvinājumu realitātei. MM veids ir atkarīgs gan no reālā objekta rakstura, gan no pētījuma mērķiem.

Matemātiskā modelēšana sociālās, ekonomiskās, bioloģiskās un fiziskās parādības, objekti, sistēmas un dažādas ierīces ir viens no svarīgākajiem līdzekļiem dabas izpratnei un visdažādāko sistēmu un ierīču projektēšanai. Ir zināmi piemēri efektīvai modelēšanas izmantošanai kodoltehnoloģiju, aviācijas un kosmosa sistēmu izveidē, atmosfēras un okeāna parādību, laikapstākļu u.c. prognozēšanā.

Tomēr šādām nopietnām modelēšanas jomām bieži ir nepieciešami superdatori un lielu zinātnieku grupu darbs, lai sagatavotu datus modelēšanai un tās atkļūdošanai. Tomēr šajā gadījumā sarežģītu sistēmu un ierīču matemātiskā modelēšana ne tikai ietaupa naudu pētniecībai un testēšanai, bet arī var novērst vides katastrofas - piemēram, tas ļauj atteikties no kodolieroču un kodolieroču testēšanas par labu to matemātiskajai modelēšanai. jeb aviācijas sistēmu testēšana pirms to reālajiem lidojumiem Starp Līdz ar to matemātiskā modelēšana vienkāršāku uzdevumu risināšanas līmenī, piemēram, no mehānikas, elektrotehnikas, elektronikas, radiotehnikas un daudzām citām zinātnes un tehnoloģiju jomām. pieejams izpildīšanai mūsdienu datoros. Un, izmantojot vispārinātus modeļus, kļūst iespējams simulēt diezgan sarežģītas sistēmas, piemēram, telekomunikāciju sistēmas un tīklus, radaru vai radionavigācijas sistēmas.

Matemātiskās modelēšanas mērķis ir reālu procesu analīze (dabā vai tehnoloģijā), izmantojot matemātiskās metodes. Savukārt tas prasa pētāmā MM procesa formalizāciju. Modelis var būt matemātiska izteiksme, kas satur mainīgos lielumus, kuru uzvedība ir līdzīga reālas sistēmas uzvedībai divu vai vairāku “spēlētāju” iespējamās darbības, kā, piemēram, teorijas spēlēs; vai arī tas var attēlot reālus mainīgos savstarpēji savienotās operētājsistēmas daļās.

Matemātisko modelēšanu sistēmu raksturlielumu izpētei var iedalīt analītiskajā, simulācijas un kombinētajā. Savukārt MM ir sadalīti simulācijas un analītiskajos.

Analītiskā modelēšana

Priekš analītiskā modelēšana Raksturīgi, ka sistēmas funkcionēšanas procesi tiek rakstīti noteiktu funkcionālu sakarību veidā (algebriskie, diferenciālvienādojumi, integrālvienādojumi). Analītisko modeli var izpētīt, izmantojot šādas metodes:

1) analītiski, ja tie cenšas vispārīgā veidā iegūt nepārprotamas atkarības no sistēmu raksturlielumiem;

2) skaitliski, kad vienādojumiem nav iespējams atrast risinājumu vispārīgā formā un tie tiek risināti konkrētiem sākuma datiem;

3) kvalitatīvs, kad risinājuma neesamības gadījumā tiek atrastas dažas tā īpašības.

Analītiskus modeļus var iegūt tikai salīdzinoši vienkāršām sistēmām. Sarežģītām sistēmām bieži rodas lielas matemātiskas problēmas. Lai piemērotu analītisko metodi, viņi ievērojami vienkāršo sākotnējo modeli. Taču pētījumi, izmantojot vienkāršotu modeli, palīdz iegūt tikai indikatīvus rezultātus. Analītiskie modeļi matemātiski pareizi atspoguļo attiecības starp ievades un izvades mainīgajiem un parametriem. Bet to struktūra neatspoguļo objekta iekšējo struktūru.

Analītiskās modelēšanas laikā tās rezultāti tiek parādīti analītisko izteiksmju veidā. Piemēram, savienojot R.C.- ķēde uz pastāvīga sprieguma avotu E(R, C Un E- šī modeļa komponenti), mēs varam izveidot analītisko izteiksmi sprieguma atkarībai no laika u(t) uz kondensatora C:

Šis lineārais diferenciālvienādojums (DE) ir šīs vienkāršās lineārās ķēdes analītiskais modelis. Tā analītiskais risinājums sākotnējā stāvoklī u(0) = 0, kas nozīmē izlādētu kondensatoru C modelēšanas sākumā ļauj atrast vēlamo atkarību - formulas veidā:

u(t) = E(1− piemlpp(- t/RC)). (2)

Tomēr pat šajā vienkāršākajā piemērā ir jāpieliek zināmas pūles, lai atrisinātu DE (1) vai piemērotu datoru matemātikas sistēmas(SCM) ar simboliskiem aprēķiniem – datoralgebras sistēmas. Šim pilnīgi triviālajam gadījumam, atrisinot lineāras modelēšanas problēmu R.C.-shēma sniedz diezgan vispārīgas formas analītisko izteiksmi (2) - tā ir piemērota ķēdes darbības aprakstam jebkuram komponentu nominālam R, C Un E, un apraksta kondensatora eksponenciālo lādiņu C caur rezistoru R no pastāvīga sprieguma avota E.

Protams, analītisko risinājumu atrašana analītiskās modelēšanas laikā ir ārkārtīgi vērtīga, lai identificētu vienkāršu lineāro ķēžu, sistēmu un ierīču vispārīgus teorētiskos modeļus. Tomēr tā sarežģītība strauji palielinās, jo ietekme uz modeli kļūst sarežģītāka un to secība un skaits stāvokļu vienādojumi, kas apraksta modelētā objekta pieaugumu. Modelējot otrās vai trešās kārtas objektus, var iegūt vairāk vai mazāk redzamus rezultātus, bet ar augstāku secību analītiskās izteiksmes kļūst pārāk apgrūtinošas, sarežģītas un grūti uztveramas. Piemēram, pat vienkāršs elektroniskais pastiprinātājs bieži satur desmitiem komponentu. Tomēr daudzi mūsdienu SCM, piemēram, simboliskās matemātikas sistēmas Kļava, Mathematica vai vidi MATLAB, spēj lielā mērā automatizēt sarežģītu analītiskās modelēšanas problēmu risinājumu.

Viens no modelēšanas veidiem ir skaitliskā modelēšana, kas sastāv no nepieciešamo kvantitatīvo datu iegūšanas par sistēmu vai ierīču uzvedību ar jebkuru piemērotu skaitlisko metodi, piemēram, Eilera vai Runge-Kutta metodes. Praksē nelineāru sistēmu un ierīču modelēšana, izmantojot skaitliskās metodes, izrādās daudz efektīvāka nekā atsevišķu privāto lineāro ķēžu, sistēmu vai ierīču analītiskā modelēšana. Piemēram, DE (1) vai DE sistēmu risināšanai sarežģītākos gadījumos risinājumu analītiskā formā nevar iegūt, bet, izmantojot skaitliskas simulācijas datus, var iegūt diezgan pilnīgus datus par simulējamo sistēmu un ierīču uzvedību, kā arī kā izveidot atkarību grafikus, kas apraksta šo uzvedību.

Simulācijas modelēšana

Plkst imitācija 10un modelēšanas algoritms, kas ievieš modeli, atkārto sistēmas funkcionēšanas procesu laika gaitā. Procesu veidojošās elementārās parādības tiek simulētas, saglabājot to loģisko struktūru un notikumu secību laika gaitā.

Simulācijas modeļu galvenā priekšrocība salīdzinājumā ar analītiskajiem modeļiem ir spēja atrisināt sarežģītākas problēmas.

Simulācijas modeļi ļauj viegli ņemt vērā diskrētu vai nepārtrauktu elementu klātbūtni, nelineārus raksturlielumus, nejaušas ietekmes utt. Tāpēc šī metode tiek plaši izmantota sarežģītu sistēmu projektēšanas stadijā. Galvenais simulācijas modelēšanas realizācijas līdzeklis ir dators, kas ļauj veikt sistēmu un signālu digitālu modelēšanu.

Šajā sakarā definēsim frāzi " datormodelēšana”, ko arvien vairāk izmanto literatūrā. Pieņemsim, ka datormodelēšana ir matemātiskā modelēšana, izmantojot datortehnoloģiju. Attiecīgi datormodelēšanas tehnoloģija ietver šādu darbību veikšanu:

1) modelēšanas mērķa noteikšana;

2) konceptuālā modeļa izstrāde;

3) modeļa formalizēšana;

4) modeļa programmatūras realizācija;

5) plānošanas modeļu eksperimenti;

6) eksperimentālā plāna īstenošana;

7) modelēšanas rezultātu analīze un interpretācija.

Plkst simulācijas modelēšana izmantotais MM reproducē pētāmās sistēmas darbības algoritmu (“loģiku”) laika gaitā dažādām sistēmas parametru un ārējās vides vērtību kombinācijām.

Vienkāršākā analītiskā modeļa piemērs ir taisnvirziena vienmērīgas kustības vienādojums. Pētot šādu procesu, izmantojot simulācijas modeli, ir jārealizē noietā ceļa izmaiņu novērošana Acīmredzot, dažos gadījumos priekšroka ir analītiskai modelēšanai, citos - simulācijai (vai abu kombinācijai). Lai izdarītu veiksmīgu izvēli, jāatbild uz diviem jautājumiem.

Kāds ir modelēšanas mērķis?

Kurā klasē modelēto parādību var klasificēt?

Atbildes uz abiem šiem jautājumiem var iegūt pirmajos divos modelēšanas posmos.

Simulācijas modeļi ne tikai pēc īpašībām, bet arī pēc struktūras atbilst modelētajam objektam. Šajā gadījumā pastāv nepārprotama un acīmredzama atbilstība starp modelī iegūtajiem procesiem un objektā notiekošajiem procesiem. Simulācijas trūkums ir tāds, ka problēmas atrisināšana prasa ilgu laiku, lai iegūtu labu precizitāti.

Stohastiskās sistēmas darbības simulācijas modelēšanas rezultāti ir nejaušu lielumu jeb procesu realizācijas. Tāpēc, lai atrastu sistēmas raksturlielumus, ir nepieciešami vairāki atkārtojumi un sekojoša datu apstrāde. Visbiežāk šajā gadījumā tiek izmantots simulācijas veids - statistikas

modelēšana(vai Montekarlo metode), t.i. nejaušu faktoru, notikumu, daudzumu, procesu, lauku reproducēšana modeļos.

Pamatojoties uz statistiskās modelēšanas rezultātiem, tiek noteikti vispārīgo un specifisko varbūtības kvalitātes kritēriju aplēses, kas raksturo pārvaldītās sistēmas darbību un efektivitāti. Statistisko modelēšanu plaši izmanto zinātnisku un lietišķu problēmu risināšanai dažādās zinātnes un tehnoloģiju jomās. Statistiskās modelēšanas metodes tiek plaši izmantotas sarežģītu dinamisku sistēmu izpētē, novērtējot to funkcionēšanu un efektivitāti.

Statistiskās modelēšanas beigu posms balstās uz iegūto rezultātu matemātisku apstrādi. Šeit tiek izmantotas matemātiskās statistikas metodes (parametriskā un neparametriskā novērtēšana, hipotēžu pārbaude). Parametriskā novērtējuma piemērs ir veiktspējas mēra izlases vidējais lielums. Starp neparametriskām metodēm plaši izplatīta histogrammas metode.

Aplūkotās shēmas pamatā ir atkārtotas sistēmas statistiskās pārbaudes un neatkarīgo gadījuma lielumu statistikas metodes. Šī shēma ne vienmēr ir dabiska un izmaksu ziņā optimāla. Sistēmas testēšanas laiku var samazināt, izmantojot precīzākas novērtēšanas metodes. Kā zināms no matemātiskās statistikas, efektīvajiem aprēķiniem ir vislielākā precizitāte noteiktam izlases lielumam. Optimālā filtrēšana un maksimālās ticamības metode nodrošina vispārīgu metodi šādu aprēķinu iegūšanai Statistiskās modelēšanas problēmās nejaušu procesu realizācijas ir nepieciešamas ne tikai izvades procesu analīzei.

Ļoti svarīga ir arī ievades nejaušās ietekmes raksturlielumu kontrole. Kontrole sastāv no ģenerēto procesu sadalījumu atbilstības pārbaudes dotajiem sadalījumiem. Šī problēma bieži tiek formulēta kā hipotēžu pārbaudes problēma.

Sarežģītu vadāmu sistēmu datormodelēšanas vispārējā tendence ir vēlme samazināt modelēšanas laiku, kā arī veikt pētījumus reāllaikā. Ir ērti attēlot skaitļošanas algoritmus atkārtotā formā, ļaujot tos realizēt ar pašreizējās informācijas saņemšanas ātrumu.

SISTĒMAS PIEEJAS PRINCIPI MODELĒŠANĀ

Sistēmu teorijas pamatprincipi

Sistēmu teorijas pamatprincipi radās, pētot dinamiskās sistēmas un to funkcionālos elementus. Sistēma tiek saprasta kā savstarpēji saistītu elementu grupa, kas darbojas kopā, lai veiktu iepriekš noteiktu uzdevumu. Sistēmu analīze ļauj noteikt reālākos veidus, kā veikt doto uzdevumu, nodrošinot maksimālu izvirzīto prasību apmierināšanu.

Elementi, kas veido sistēmu teorijas pamatu, netiek radīti ar hipotēžu palīdzību, bet tiek atklāti eksperimentāli. Lai sāktu veidot sistēmu, ir nepieciešamas tehnoloģisko procesu vispārīgās īpašības. Tas pats attiecas uz matemātiski formulētu kritēriju veidošanas principiem, kuriem procesam vai tā teorētiskajam aprakstam ir jāatbilst. Modelēšana ir viena no svarīgākajām zinātniskās izpētes un eksperimentēšanas metodēm.

Konstruējot objektu modeļus, tiek izmantota sistēmiskā pieeja, kas ir sarežģītu problēmu risināšanas metodika, kuras pamatā ir objekta uzskatīšana par sistēmu, kas darbojas noteiktā vidē. Sistemātiska pieeja ietver objekta integritātes atklāšanu, tā iekšējās struktūras identificēšanu un izpēti, kā arī saiknes ar ārējo vidi. Šajā gadījumā objekts tiek pasniegts kā daļa no reālās pasaules, kas tiek izolēta un pētīta saistībā ar modeļa konstruēšanas problēmu. Turklāt sistēmiskā pieeja ietver konsekventu pāreju no vispārīgā uz konkrēto, kad apsvērumu pamatā ir dizaina mērķis un objekts tiek aplūkots saistībā ar vidi.

Sarežģītu objektu var iedalīt apakšsistēmās, kas ir objekta daļas, kas atbilst šādām prasībām:

1) apakšsistēma ir funkcionāli neatkarīga objekta daļa. Tas ir saistīts ar citām apakšsistēmām, apmainās ar tām informāciju un enerģiju;

2) katrai apakšsistēmai var definēt funkcijas vai īpašības, kas nesakrīt ar visas sistēmas īpašībām;

3) katra no apakšsistēmām var tikt pakļauta tālākai sadalīšanai elementu līmenī.

Šajā gadījumā elementu saprot kā zemāka līmeņa apakšsistēmu, kuras tālāka sadale no risināmās problēmas viedokļa nav piemērota.

Tādējādi sistēmu var definēt kā objekta attēlojumu apakšsistēmu, elementu un savienojumu kopas veidā tās izveides, izpētes vai uzlabošanas nolūkos. Šajā gadījumā palielinātu sistēmas attēlojumu, ieskaitot galvenās apakšsistēmas un savienojumus starp tām, sauc par makrostruktūru, bet detalizētu sistēmas iekšējās struktūras atklāšanu līdz elementu līmenim sauc par mikrostruktūru.

Kopā ar sistēmu parasti pastāv virssistēma - augstāka līmeņa sistēma, kas ietver attiecīgo objektu, un jebkuras sistēmas funkciju var noteikt tikai caur virssistēmu.

Jāizceļ jēdziens vide kā ārējās pasaules objektu kopums, kas būtiski ietekmē sistēmas efektivitāti, bet nav sistēmas un tās virssistēmas sastāvdaļa.

Saistībā ar sistēmisko pieeju būvniecības modeļiem tiek izmantots infrastruktūras jēdziens, kas raksturo sistēmas attiecības ar tās vidi (vidi). Šajā gadījumā tiek veikta objekta īpašību identificēšana, apraksts un izpēte konkrēta uzdevuma ietvaros sauc par objekta stratifikāciju, un jebkurš objekta modelis ir tā stratificētais apraksts.

Sistēmiskai pieejai ir svarīgi noteikt sistēmas struktūru, t.i. savienojumu kopums starp sistēmas elementiem, atspoguļojot to mijiedarbību. Lai to izdarītu, vispirms apsveram modelēšanas strukturālās un funkcionālās pieejas.

Ar strukturālu pieeju tiek atklāts izvēlēto sistēmas elementu sastāvs un sakarības starp tiem. Elementu un savienojumu kopums ļauj spriest par sistēmas uzbūvi. Vispārīgākais struktūras apraksts ir topoloģiskais apraksts. Tas ļauj noteikt sistēmas sastāvdaļas un to savienojumus, izmantojot grafikus. Mazāk vispārīgs ir funkcionālais apraksts, kad tiek aplūkotas atsevišķas funkcijas, t.i., sistēmas uzvedības algoritmi. Šajā gadījumā tiek īstenota funkcionāla pieeja, kas nosaka funkcijas, kuras sistēma veic.

Balstoties uz sistēmisko pieeju, var piedāvāt modeļa izstrādes secību, kurā izšķir divus galvenos projektēšanas posmus: makrodizainu un mikrodizainu.

Makroprojektēšanas stadijā tiek veidots ārējās vides modelis, identificēti resursi un ierobežojumi, tiek izvēlēts sistēmas modelis un kritēriji atbilstības novērtēšanai.

Mikroprojektēšanas stadija lielā mērā ir atkarīga no konkrētā izvēlētā modeļa veida. Kopumā tas ietver informācijas, matemātisko, tehnisko un programmatūras modelēšanas sistēmu izveidi. Šajā posmā tiek noteikti izveidotā modeļa galvenie tehniskie raksturlielumi, tiek aprēķināts darbam ar to nepieciešamais laiks un resursu izmaksas, lai iegūtu norādīto modeļa kvalitāti.

Neatkarīgi no modeļa veida, veidojot to, ir jāvadās pēc vairākiem sistemātiskas pieejas principiem:

1) konsekventa virzība pa modeļa izveides posmiem;

2) informācijas, resursu, uzticamības un citu raksturlielumu saskaņošana;

3) pareiza sakarība starp dažādiem modeļa uzbūves līmeņiem;

4) modeļa projektēšanas atsevišķu posmu integritāte.

Šajā rakstā mēs piedāvājam matemātisko modeļu piemērus. Turklāt mēs pievērsīsim uzmanību modeļu izveides posmiem un analizēsim dažas problēmas, kas saistītas ar matemātisko modelēšanu.

Vēl viens jautājums, kas mums ir, ir matemātiskie modeļi ekonomikā, kuru piemērus definīciju aplūkosim nedaudz vēlāk. Mēs ierosinām sarunu sākt ar pašu “modeļa” jēdzienu, īsi apsvērt to klasifikāciju un pāriet uz mūsu galvenajiem jautājumiem.

Jēdziens "modelis"

Mēs bieži dzirdam vārdu "modelis". Kas tas ir? Šim terminam ir daudz definīciju, šeit ir tikai trīs no tām:

• konkrēts objekts, kas izveidots, lai saņemtu un uzglabātu informāciju, atspoguļojot kādas šī objekta oriģināla īpašības vai raksturlielumus utt. (šo konkrēto objektu var izteikt dažādās formās: mentālā, apraksta, izmantojot zīmes, un tā tālāk);
• Modelis nozīmē arī konkrētas situācijas, dzīves vai vadības attēlojumu;
• modelis var būt neliela objekta kopija (tie ir izveidoti sīkākai izpētei un analīzei, jo modelis atspoguļo struktūru un attiecības).

Pamatojoties uz visu iepriekš teikto, mēs varam izdarīt nelielu secinājumu: modelis ļauj detalizēti izpētīt sarežģītu sistēmu vai objektu.

Visus modeļus var klasificēt pēc vairākiem raksturlielumiem:

• pēc izmantošanas jomas (izglītojošs, eksperimentāls, zinātnisks un tehnisks, spēļu, simulācijas);
• pēc dinamikas (statiskā un dinamiskā);
• pa zināšanu nozarēm (fizikālās, ķīmiskās, ģeogrāfiskās, vēsturiskās, socioloģiskās, ekonomiskās, matemātiskās);
• pēc prezentācijas metodes (materiāli un informatīvi).

Informācijas modeļi savukārt tiek iedalīti simboliskajos un verbālajos. Un simboliskos - datoros un nedatoros. Tagad pāriesim pie detalizēta matemātiskā modeļa piemēru izskatīšanas.

Matemātiskais modelis

Kā jūs varētu nojaust, matemātiskais modelis atspoguļo jebkuras objekta vai parādības iezīmes, izmantojot īpašus matemātiskos simbolus. Matemātika ir nepieciešama, lai modelētu apkārtējās pasaules modeļus savā konkrētajā valodā.

Matemātiskās modelēšanas metode radās diezgan sen, pirms tūkstošiem gadu, līdz ar šīs zinātnes parādīšanos. Taču impulsu šīs modelēšanas metodes attīstībai deva datoru (elektronisko datoru) rašanās.

Tagad pāriesim pie klasifikācijas. To var veikt arī pēc dažām pazīmēm. Tie ir parādīti zemāk esošajā tabulā.

Piedāvājam apstāties un tuvāk apskatīt jaunāko klasifikāciju, jo tā atspoguļo vispārējos modelēšanas modeļus un veidojamo modeļu mērķus.

Aprakstošie modeļi

Šajā nodaļā mēs piedāvājam sīkāk pakavēties pie aprakstošajiem matemātiskajiem modeļiem. Lai viss būtu ļoti skaidrs, tiks sniegts piemērs.

Sāksim ar to, ka šo veidu var saukt par aprakstošu. Tas ir saistīts ar to, ka mēs vienkārši veicam aprēķinus un prognozes, bet nekādi nevaram ietekmēt notikuma iznākumu.

Spilgts aprakstoša matemātiskā modeļa piemērs ir mūsu Saules sistēmas plašumos iebrukušās komētas lidojuma trajektorijas, ātruma un attāluma no Zemes aprēķins. Šis modelis ir aprakstošs, jo visi iegūtie rezultāti var tikai brīdināt mūs par jebkādām briesmām. Diemžēl nevaram ietekmēt pasākuma iznākumu. Tomēr, pamatojoties uz iegūtajiem aprēķiniem, ir iespējams veikt jebkādus pasākumus dzīvības saglabāšanai uz Zemes.

Optimizācijas modeļi

Tagad mēs nedaudz parunāsim par ekonomiskajiem un matemātiskajiem modeļiem, kuru piemēri var kalpot kā dažādas pašreizējās situācijas. Šajā gadījumā mēs runājam par modeļiem, kas noteiktos apstākļos palīdz atrast pareizo atbildi. Viņiem noteikti ir daži parametri. Lai tas būtu pilnīgi skaidrs, aplūkosim piemēru no lauksaimniecības nozares.

Mums ir klēts, bet graudi ļoti ātri bojājas. Šajā gadījumā mums ir jāizvēlas pareizi temperatūras apstākļi un jāoptimizē uzglabāšanas process.

Tādējādi mēs varam definēt jēdzienu “optimizācijas modelis”. Matemātiskā nozīmē tā ir vienādojumu sistēma (gan lineāra, gan ne), kuras risinājums palīdz atrast optimālo risinājumu konkrētā ekonomiskajā situācijā. Mēs apskatījām matemātiskā modeļa (optimizācijas) piemēru, bet es gribētu piebilst: šis tips pieder pie ekstrēmo problēmu klases, tās palīdz raksturot ekonomiskās sistēmas darbību.

Ņemsim vērā vēl vienu niansi: modeļi var būt dažāda rakstura (skat. tabulu zemāk).

Daudzkritēriju modeļi

Tagad mēs aicinām jūs nedaudz parunāt par daudzkritēriju optimizācijas matemātisko modeli. Pirms tam mēs sniedzām matemātiskā modeļa piemēru procesa optimizēšanai saskaņā ar vienu kritēriju, bet ja to ir daudz?

Spilgts daudzkritēriju uzdevuma piemērs ir pareiza, veselīga un tajā pašā laikā ekonomiska uztura organizēšana lielām cilvēku grupām. Ar šādiem uzdevumiem bieži nākas saskarties armijā, skolu ēdnīcās, vasaras nometnēs, slimnīcās utt.

Kādi kritēriji mums ir doti šajā uzdevumā?

1. Uzturam jābūt veselīgam.
2. Pārtikas izdevumiem jābūt minimāliem.

Kā redzat, šie mērķi nemaz nesakrīt. Tas nozīmē, ka, risinot problēmu, ir jāmeklē optimālais risinājums, līdzsvars starp diviem kritērijiem.

Spēļu modeļi

Runājot par spēļu modeļiem, ir jāsaprot jēdziens “spēles teorija”. Vienkārši sakot, šie modeļi atspoguļo reālu konfliktu matemātiskos modeļus. Jums tikai jāsaprot, ka atšķirībā no reāla konflikta, spēles matemātiskajam modelim ir savi specifiski noteikumi.

Tagad mēs sniegsim minimālu informāciju no spēļu teorijas, kas palīdzēs jums saprast, kas ir spēles modelis. Un tā, modelī obligāti ir partijas (divas vai vairākas), kuras parasti sauc par spēlētājiem.

Visiem modeļiem ir noteiktas īpašības.

Spēles modelis var būt savienots pārī vai vairāki. Ja mums ir divi subjekti, tad konflikts tiek savienots pārī, ja ir vairāk, tas ir daudzkārtējs. Varat arī atšķirt antagonistisku spēli, to sauc arī par nulles summas spēli. Šis ir modelis, kurā viena dalībnieka ieguvums ir vienāds ar otra dalībnieka zaudējumiem.

Simulācijas modeļi

Šajā sadaļā mēs pievērsīsim uzmanību simulācijas matemātiskajiem modeļiem. Uzdevumu piemēri:

• mikroorganismu populācijas dinamikas modelis;
• molekulārās kustības modelis utt.

Šajā gadījumā mēs runājam par modeļiem, kas ir pēc iespējas tuvāki reāliem procesiem. Kopumā tie atdarina kādu izpausmi dabā. Pirmajā gadījumā, piemēram, mēs varam simulēt skudru skaita dinamiku vienā kolonijā. Tajā pašā laikā jūs varat novērot katra indivīda likteni. Šajā gadījumā matemātiskais apraksts tiek izmantots reti, un biežāk ir sastopami nosacījumi:

• pēc piecām dienām mātīte dēj olas;
• pēc divdesmit dienām skudra nomirst utt.

Tādējādi tos izmanto, lai aprakstītu lielu sistēmu. Matemātisks secinājums ir iegūto statistikas datu apstrāde.

Prasības

Ir ļoti svarīgi zināt, ka šāda veida modeļiem ir dažas prasības, tostarp tās, kas norādītas zemāk esošajā tabulā.

Modelēšanas posmi

Kopumā matemātiskā modelēšana parasti tiek sadalīta četros posmos.

1. Modeļa daļas savienojošo likumu formulēšana.
2. Matemātisko problēmu izpēte.
3. Praktisko un teorētisko rezultātu sakritības noteikšana.
4. Modeļa analīze un modernizācija.

Ekonomiskais un matemātiskais modelis

Šajā sadaļā mēs īsi izcelsim šo problēmu, piemēram:

• ražošanas programmas veidošana gaļas produktu ražošanai, kas nodrošina maksimālu ražošanas peļņu;
• organizācijas peļņas maksimizēšana, aprēķinot optimālo mēbeļu rūpnīcā saražoto galdu un krēslu daudzumu utt.

Ekonomiski matemātiskais modelis parāda ekonomisko abstrakciju, kas tiek izteikta, izmantojot matemātiskos terminus un simbolus.

Datora matemātiskais modelis

Datora matemātiskā modeļa piemēri ir:

• hidrauliskās problēmas, izmantojot blokshēmas, diagrammas, tabulas utt.;
• problēmas ar cieto mehāniku utt.

Datormodelis ir objekta vai sistēmas attēls, kas parādīts šādā formā:

• galdi;
• blokshēmas;
• diagrammas;
• grafikas un tā tālāk.

Turklāt šis modelis atspoguļo sistēmas struktūru un savstarpējos savienojumus.

Ekonomiskā un matemātiskā modeļa konstruēšana

Mēs jau runājām par to, kas ir ekonomiski matemātiskais modelis. Problēmas risināšanas piemērs tiks apsvērts tieši tagad. Mums ir jāanalizē ražošanas programma, lai noteiktu rezervi peļņas palielināšanai, mainot sortimentu.

Mēs pilnībā neizskatīsim problēmu, bet veidosim tikai ekonomisko un matemātisko modeli. Mūsu uzdevuma kritērijs ir peļņas maksimizēšana. Tad funkcijai ir forma: А=р1*х1+р2*х2..., tiecoties uz maksimumu. Šajā modelī p ir peļņa uz vienību un x ir saražoto vienību skaits. Tālāk, balstoties uz konstruēto modeli, nepieciešams veikt aprēķinus un apkopot.

Vienkārša matemātiskā modeļa izveides piemērs

Uzdevums. Zvejnieks atgriezās ar šādu lomu:

• 8 zivis - ziemeļu jūru iemītnieki;
• 20% nozvejas veido dienvidu jūru iedzīvotāji;
• Vietējā upē netika atrasta neviena zivs.

Cik zivju viņš nopirka veikalā?

Tātad šīs problēmas matemātiskā modeļa konstruēšanas piemērs izskatās šādi. Kopējo zivju skaitu apzīmējam ar x. Ievērojot nosacījumu, 0,2x ir dienvidu platuma grādos dzīvojošo zivju skaits. Tagad apvienojam visu pieejamo informāciju un iegūstam uzdevuma matemātisko modeli: x=0,2x+8. Atrisinām vienādojumu un saņemam atbildi uz galveno jautājumu: viņš veikalā nopirka 10 zivis.