Kustības ātrums, pārvietojoties pa apli. Ķermeņa kustība pa apli ar nemainīgu absolūto ātrumu

Šajā nodarbībā aplūkosim līknes kustību, proti, ķermeņa vienmērīgu kustību pa apli. Mēs uzzināsim, kas ir lineārais ātrums, centripetālais paātrinājums, ķermenim pārvietojoties pa apli. Ieviesīsim arī lielumus, kas raksturo rotācijas kustību (rotācijas periods, griešanās frekvence, leņķiskais ātrums), un savienosim šos lielumus savā starpā.

Ar vienmērīgu apļveida kustību mēs saprotam, ka ķermenis griežas vienā un tajā pašā leņķī jebkurā vienādā laika periodā (sk. 6. att.).

Rīsi. 6. Vienota kustība pa apli

Tas ir, momentānā ātruma modulis nemainās:

Šo ātrumu sauc lineārs.

Lai gan ātruma lielums nemainās, ātruma virziens mainās nepārtraukti. Apskatīsim ātruma vektorus punktos A Un B(skat. 7. att.). Tie ir vērsti dažādos virzienos, tāpēc tie nav vienādi. Ja atņemam no ātruma punktā Bātrums punktā A, mēs iegūstam vektoru .

Rīsi. 7. Ātruma vektori

Ātruma izmaiņu () attiecība pret laiku, kurā šīs izmaiņas notika () ir paātrinājums.

Tāpēc jebkura izliekta kustība tiek paātrināta.

Ja ņemam vērā 7. attēlā iegūto ātruma trīsstūri, tad ar ļoti tuvu punktu izvietojumu A Un B viens pret otru, leņķis (α) starp ātruma vektoriem būs tuvu nullei:

Ir arī zināms, ka šis trīsstūris ir vienādsānu, tāpēc ātruma moduļi ir vienādi (vienmērīga kustība):

Tāpēc abi leņķi šī trīsstūra pamatnē ir nenoteikti tuvi:

Tas nozīmē, ka paātrinājums, kas ir vērsts gar vektoru, faktiski ir perpendikulārs pieskarei. Ir zināms, ka taisne riņķī, kas ir perpendikulāra pieskarei, ir rādiuss, tāpēc paātrinājums ir vērsts pa rādiusu uz apļa centru. Šo paātrinājumu sauc par centripetālu.

8. attēlā parādīts iepriekš apskatītais ātruma trīsstūris un vienādsānu trīsstūris (divas malas ir apļa rādiusi). Šie trīsstūri ir līdzīgi, jo tiem ir vienādi leņķi, ko veido savstarpēji perpendikulāras līnijas (rādiuss un vektors ir perpendikulāri pieskarei).

Rīsi. 8. Centrpetālā paātrinājuma formulas atvasinājuma ilustrācija

Līnijas segments AB ir pārvietot (). Mēs apsveram vienmērīgu kustību aplī, tāpēc:

Aizstāsim iegūto izteiksmi ar AB trijstūra līdzības formulā:

Ar jēdzieniem “lineārais ātrums”, “paātrinājums”, “koordināta” nepietiek, lai aprakstītu kustību pa izliektu trajektoriju. Tāpēc ir nepieciešams ieviest lielumus, kas raksturo rotācijas kustību.

1. Rotācijas periods (T ) sauc par vienas pilnas revolūcijas laiku. Mērīts SI vienībās sekundēs.

Periodu piemēri: Zeme ap savu asi apgriežas 24 stundās (), bet ap Sauli - 1 gadā ().

Perioda aprēķināšanas formula:

kur ir kopējais griešanās laiks; - apgriezienu skaits.

2. Rotācijas frekvence (n ) - apgriezienu skaits, ko ķermenis veic laika vienībā. Mērīts SI vienībās apgrieztās sekundēs.

Formula frekvences noteikšanai:

kur ir kopējais griešanās laiks; - apgriezienu skaits

Biežums un periods ir apgriezti proporcionāli lielumi:

3. Leņķiskais ātrums () sauc par leņķa, caur kuru ķermenis pagriezās, izmaiņu attiecību pret laiku, kurā notika šī rotācija. Mērīts SI vienībās radiānos, dalīts ar sekundēm.

Formula leņķiskā ātruma noteikšanai:

kur ir leņķa izmaiņas; - laiks, kurā notika pagrieziens cauri leņķim.

Svarīgs īpašs daļiņu kustības gadījums pa doto trajektoriju ir kustība pa apli. Daļiņas novietojumu uz apļa (46. att.) var norādīt, norādot nevis attālumu no kāda sākuma punkta A, bet leņķi, ko veido rādiuss, kas novilkts no riņķa centra O līdz daļiņai ar rādiusu, kas novilkts uz sākuma punkts A.

Kopā ar kustības ātrumu pa trajektoriju, kas tiek definēts kā

ir ērti ieviest leņķisko ātrumu, kas raksturo leņķa maiņas ātrumu

Kustības ātrumu pa trajektoriju sauc arī par lineāro ātrumu. Izveidosim saikni starp lineāro un leņķisko ātrumu. I loka garums, kas aptver leņķi, ir vienāds ar kur ir apļa rādiuss, un leņķi mēra radiānos. Tāpēc leņķiskais ātrums co ir saistīts ar lineāro ātrumu ar attiecību

Rīsi. 46. ​​Leņķis norāda punkta pozīciju uz riņķa līnijas

Paātrinājumam, pārvietojoties pa apli, kā arī patvaļīgas izliektas kustības laikā, kopumā ir divas sastāvdaļas: tangenciāls, kas vērsts tangenciāli aplim un raksturo ātruma vērtības maiņas ātrumu, un normāls, kas vērsts uz apļa centru. aplis un raksturojot izmaiņu ātrumu ātruma virzienā.

Paātrinājuma normālās sastāvdaļas, ko šajā gadījumā sauc par (apļveida kustības) centripetālo paātrinājumu, vērtību nosaka vispārējā formula (3) § 8, kurā tagad lineāro ātrumu var izteikt leņķiskā ātruma izteiksmē, izmantojot formulu (3). ):

Šeit apļa rādiuss, protams, ir vienāds visiem trajektorijas punktiem.

Ar vienmērīgu kustību aplī, kad vērtība ir nemainīga, arī leņķiskais ātrums co, kā redzams no (3), ir nemainīgs. Šajā gadījumā to dažreiz sauc par ciklisko frekvenci.

Periods un biežums. Lai raksturotu vienmērīgu apļveida kustību, kopā ar c ir ērti izmantot apgriezienu periodu T, kas definēts kā laiks, kurā tiek veikts viens pilns apgrieziens, un frekvence - perioda T apgrieztā vērtība, kas ir vienāda ar apgriezienu skaitu. apgriezieni laika vienībā:

No leņķiskā ātruma definīcijas (2) izriet attiecība starp lielumiem

Šī attiecība ļauj mums uzrakstīt formulu (4) centripetālajam paātrinājumam šādā formā:

Ņemiet vērā, ka leņķiskais ātrums co tiek mērīts radiānos sekundē, un frekvence tiek mērīta apgriezienos sekundē. Izmēri un ir vienādi, jo šie daudzumi atšķiras tikai ar skaitlisko faktoru

Uzdevums

Pa apvedceļu. Rotaļu dzelzceļa sliedes veido rādiusa gredzenu (47. att.). Automašīna pārvietojas pa tām, stumjot ar stieni, kas griežas ar nemainīgu leņķisko ātrumu ap punktu, kas atrodas gredzena iekšpusē gandrīz pie pašām sliedēm. Kā mainās piekabes ātrums, tai kustoties?

Rīsi. 47. Atrast leņķisko ātrumu, braucot pa apvedceļu

Risinājums. Leņķis, ko veido stienis ar noteiktu virzienu, laika gaitā mainās saskaņā ar lineāru likumu: . Kā virzienu, no kura tiek mērīts leņķis, ir ērti ņemt apļa diametru, kas iet caur punktu (47. att.). Punkts O ir apļa centrs. Ir skaidrs, ka centrālais leņķis, kas nosaka piekabes novietojumu uz apļa, ir divreiz lielāks par ierakstīto leņķi, kas balstās uz to pašu loka: Tāpēc leņķiskais ātrums no piekabes, pārvietojoties pa sliedēm, ir divreiz lielāks par leņķisko ātrumu, ar kādu stienis. griežas:

Tādējādi leņķiskais ātrums no piekabes izrādījās nemainīgs. Tas nozīmē, ka piekabe vienmērīgi pārvietojas pa sliedēm. Tā lineārais ātrums ir nemainīgs un vienāds ar

Piekabes paātrinājums ar šādu vienmērīgu apļveida kustību vienmēr ir vērsts uz centru O, un tā moduli uzrāda izteiksmē (4):

Apskatiet formulu (4). Kā tas jāsaprot: vai paātrinājums joprojām ir proporcionāls vai apgriezti proporcionāls?

Paskaidrojiet, kāpēc nevienmērīgas kustības laikā ap apli leņķiskais ātrums co saglabā savu nozīmi, bet zaudē nozīmi?

Leņķiskais ātrums kā vektors. Dažos gadījumos ir ērti uzskatīt leņķisko ātrumu kā vektoru, kura lielums ir vienāds ar un tā nemainīgais virziens ir perpendikulārs plaknei, kurā atrodas aplis. Izmantojot šādu vektoru, var uzrakstīt formulu, kas līdzīga (3), kas izsaka apli kustīgas daļiņas ātruma vektoru.

Rīsi. 48.Leņķiskā ātruma vektors

Novietosim sākumpunktu apļa O centrā. Tad, daļiņai kustoties, tās rādiusa vektors griezīsies tikai ar leņķisko ātrumu co, un tās modulis vienmēr būs vienāds ar apļa rādiusu (48. att.). Redzams, ka ātruma vektoru, kas vērsts tangenciāli uz apli, var attēlot kā leņķiskā ātruma vektora с un daļiņas rādiusa vektora reizinājumu:

Vektoru mākslas darbs. Pēc definīcijas divu vektoru šķērsreizinājums ir vektors, kas ir perpendikulārs plaknei, kurā atrodas reizinātie vektori. Vektora reizinājuma virzienu izvēlas saskaņā ar šādu noteikumu. Pirmais faktors ir garīgi pagriezts pret otro, it kā tas būtu uzgriežņu atslēgas rokturis. Vektora reizinājums ir vērsts tajā pašā virzienā, kur pārvietotos skrūve ar labās puses vītni.

Ja vektora reizinājuma faktori tiek apmainīti, tas mainīs virzienu uz pretēju: tas nozīmē, ka vektora reizinājums nav komutatīva.

No att. 48 var redzēt, ka formula (8) dos pareizo virzienu vektoram, ja vektors co ir vērsts tieši tā, kā parādīts šajā attēlā. Tāpēc varam formulēt šādu noteikumu: leņķiskā ātruma vektora virziens sakrīt ar kustības virzienu skrūvei ar labās puses vītni, kuras galva griežas tajā pašā virzienā, kurā daļiņa pārvietojas ap apli.

Pēc definīcijas vektora reizinājuma modulis ir vienāds ar reizināto vektoru moduļu un starp tiem esošā leņķa a sinusa reizinājumu:

Formulā (8) reizinātie vektori с un ir perpendikulāri viens otram, tāpēc, kā tam vajadzētu būt saskaņā ar formulu (3).

Ko jūs varat teikt par divu paralēlu vektoru krustojumu?

Kāds ir pulksteņa rādītāja leņķiskā ātruma vektora virziens? Kā šie vektori atšķiras minūšu un stundu rādītājiem?

Vienota kustība ap apli- tas ir vienkāršākais piemērs. Piemēram, pulksteņa rādītāja gals pārvietojas pa apli ap ciparnīcu. Tiek saukts ķermeņa kustības ātrums pa apli lineārais ātrums.

Ar vienmērīgu ķermeņa kustību aplī ķermeņa ātruma modulis laika gaitā nemainās, tas ir, v = const, un mainās tikai ātruma vektora virziens; šajā gadījumā izmaiņu nav (a r = 0), un ātruma vektora izmaiņas virzienā raksturo lielums, ko sauc centripetālais paātrinājums() a n vai CS. Katrā punktā centripetālā paātrinājuma vektors ir vērsts uz apļa centru pa rādiusu.

Centrpetālā paātrinājuma modulis ir vienāds ar

a CS =v 2 / R

Kur v ir lineārais ātrums, R ir apļa rādiuss

Rīsi. 1.22. Ķermeņa kustība pa apli.

Aprakstot ķermeņa kustību pa apli, mēs izmantojam rādiusa griešanās leņķis– leņķis φ, caur kuru laikā t griežas rādiuss, kas novilkts no apļa centra līdz punktam, kurā tajā brīdī atrodas kustīgais ķermenis. Rotācijas leņķi mēra radiānos. vienāds ar leņķi starp diviem riņķa rādiusiem, starp kuriem loka garums ir vienāds ar apļa rādiusu (1.23. att.). Tas ir, ja l = R, tad

1 radiāns = l/R

Jo apkārtmērs vienāds ar

l = 2πR

360 o = 2πR / R = 2π rad.

Līdz ar to

1 rad. = 57,2958 o = 57 o 18'

Leņķiskais ātrums Vienmērīga ķermeņa kustība aplī ir vērtība ω, kas vienāda ar rādiusa φ griešanās leņķa attiecību pret laika periodu, kurā tiek veikta šī griešanās:

ω = φ / t

Leņķiskā ātruma mērvienība ir radiāns sekundē [rad/s]. Lineārā ātruma moduli nosaka nobrauktā ceļa l garuma attiecība pret laika intervālu t:

v=l/t

Lineārais ātrums ar vienmērīgu kustību ap apli, tas ir vērsts pa tangenti noteiktā apļa punktā. Kad punkts pārvietojas, apļa loka garums l, kuru šķērso punkts, ir saistīts ar griešanās leņķi φ ar izteiksmi

l = Rφ

kur R ir apļa rādiuss.

Tad punkta vienmērīgas kustības gadījumā lineāro un leņķisko ātrumu saista ar sakarību:

v = l / t = Rφ / t = Rω vai v = Rω

Rīsi. 1.23. Radiāns.

Aprites periods– tas ir laika periods T, kurā ķermenis (punkts) veic vienu apgriezienu ap apli. Biežums– tas ir apgriezienu perioda reciproks – apgriezienu skaits laika vienībā (sekundē). Aprites biežumu apzīmē ar burtu n.

n=1/T

Viena perioda laikā punkta griešanās leņķis φ ir vienāds ar 2π rad, tāpēc 2π = ωT, no kurienes

T = 2π/ω

Tas ir, leņķiskais ātrums ir vienāds ar

ω = 2π / T = 2πn

Centripetālais paātrinājums var izteikt ar periodu T un cirkulācijas biežumu n:

a CS = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2

Tā kā lineārais ātrums vienmērīgi maina virzienu, apļveida kustību nevar saukt par vienmērīgu, tā ir vienmērīgi paātrināta.

Leņķiskais ātrums

Izvēlēsimies punktu uz apļa 1 . Izveidosim rādiusu. Laika vienībā punkts pārvietosies uz punktu 2 . Šajā gadījumā rādiuss raksturo leņķi. Leņķiskais ātrums ir skaitliski vienāds ar rādiusa griešanās leņķi laika vienībā.

Periods un biežums

Rotācijas periods T- tas ir laiks, kurā ķermenis veic vienu apgriezienu.

Rotācijas frekvence ir apgriezienu skaits sekundē.

Biežums un periods ir savstarpēji saistīti ar attiecībām

Saistība ar leņķisko ātrumu

Lineārais ātrums

Katrs apļa punkts pārvietojas ar noteiktu ātrumu. Šo ātrumu sauc par lineāru. Lineārā ātruma vektora virziens vienmēr sakrīt ar riņķa pieskari. Piemēram, dzirksteles no slīpmašīnas pārvietojas, atkārtojot momentānā ātruma virzienu.

Apsveriet punktu uz apļa, kas veic vienu apgriezienu, pavadītais laiks ir periods T Ceļš, ko šķērso punkts, ir apkārtmērs.

Centripetālais paātrinājums

Pārvietojoties pa apli, paātrinājuma vektors vienmēr ir perpendikulārs ātruma vektoram, vērsts uz apļa centru.

Izmantojot iepriekšējās formulas, mēs varam iegūt šādas attiecības

Punktiem, kas atrodas uz vienas taisnas līnijas, kas izplūst no apļa centra (piemēram, tie varētu būt punkti, kas atrodas uz riteņa spieķiem), būs vienādi leņķiskie ātrumi, periods un frekvence. Tas ir, tie griezīsies vienādi, bet ar atšķirīgu lineāro ātrumu. Jo tālāk punkts atrodas no centra, jo ātrāk tas pārvietosies.

Ātrumu saskaitīšanas likums ir spēkā arī rotācijas kustībai. Ja ķermeņa vai atskaites sistēmas kustība nav vienmērīga, tad likums attiecas uz momentānajiem ātrumiem. Piemēram, cilvēka ātrums, kas iet gar rotējoša karuseļa malu, ir vienāds ar karuseļa malas lineārā griešanās ātruma un cilvēka ātruma vektoru summu.

Zeme piedalās divās galvenajās rotācijas kustībās: diennakts (ap savu asi) un orbitālā (ap Sauli). Zemes rotācijas periods ap Sauli ir 1 gads jeb 365 dienas. Zeme griežas ap savu asi no rietumiem uz austrumiem, šīs rotācijas periods ir 1 diena jeb 24 stundas. Platums ir leņķis starp ekvatora plakni un virzienu no Zemes centra līdz punktam uz tās virsmas.

Saskaņā ar otro Ņūtona likumu jebkura paātrinājuma cēlonis ir spēks. Ja kustīgs ķermenis piedzīvo centripetālu paātrinājumu, tad spēku, kas izraisa šo paātrinājumu, raksturs var būt atšķirīgs. Piemēram, ja ķermenis pārvietojas pa apli pa tam piesietu virvi, tad iedarbīgais spēks ir elastīgais spēks.

Ja ķermenis, kas atrodas uz diska, griežas kopā ar disku ap savu asi, tad šāds spēks ir berzes spēks. Ja spēks aptur savu darbību, tad ķermenis turpinās kustēties taisnā līnijā

Apsveriet apļa punkta kustību no A līdz B. Lineārais ātrums ir vienāds ar

Tagad pāriesim uz stacionāru sistēmu, kas savienota ar zemi. Punkta A kopējais paātrinājums paliks nemainīgs gan lielumā, gan virzienā, jo, pārejot no vienas inerciālās atskaites sistēmas uz otru, paātrinājums nemainās. No stacionāra novērotāja viedokļa punkta A trajektorija vairs nav aplis, bet gan sarežģītāka līkne (cikloīds), pa kuru punkts pārvietojas nevienmērīgi.

Apļveida kustība ir vienkāršākais ķermeņa izliekuma kustības gadījums. Ķermenim pārvietojoties ap noteiktu punktu, kopā ar nobīdes vektoru ir ērti ievadīt leņķisko nobīdi ∆ φ (griešanās leņķis attiecībā pret apļa centru), ko mēra radiānos.

Zinot leņķisko nobīdi, var aprēķināt apļveida loka (ceļa) garumu, ko ķermenis ir šķērsojis.

∆ l = R ∆ φ

Ja griešanās leņķis ir mazs, tad ∆ l ≈ ∆ s.

Ilustrēsim teikto:

Leņķiskais ātrums

Ar līknes kustību tiek ieviests leņķiskā ātruma ω jēdziens, tas ir, griešanās leņķa izmaiņu ātrums.

Definīcija. Leņķiskais ātrums

Leņķiskais ātrums dotajā trajektorijas punktā ir leņķiskās nobīdes ∆ φ attiecības robeža ar laika periodu ∆ t, kurā tas noticis. ∆ t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

Leņķiskā ātruma mērvienība ir radiāns sekundē (r a d s).

Pastāv saistība starp ķermeņa leņķisko un lineāro ātrumu, pārvietojoties pa apli. Formula leņķiskā ātruma noteikšanai:

Vienmērīgi kustoties aplī, ātrumi v un ω paliek nemainīgi. Mainās tikai lineārā ātruma vektora virziens.

Šajā gadījumā vienmērīga kustība aplī ietekmē ķermeni ar centripetālu jeb normālu paātrinājumu, kas virzīts pa apļa rādiusu uz tā centru.

a n = ∆ v → ∆ t, ∆ t → 0

Centrpetālā paātrinājuma moduli var aprēķināt, izmantojot formulu:

a n = v 2 R = ω 2 R

Pierādīsim šīs attiecības.

Apskatīsim, kā vektors v → mainās īsā laika periodā ∆ t. ∆ v → = v B → - v A → .

Punktos A un B ātruma vektors ir vērsts tangenciāli uz apli, savukārt ātruma moduļi abos punktos ir vienādi.

Pēc paātrinājuma definīcijas:

a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Apskatīsim attēlu:

Trijstūri OAB un BCD ir līdzīgi. No tā izriet, ka O A A B = B C C D .

Ja leņķa ∆ φ vērtība ir maza, attālums A B = ∆ s ≈ v · ∆ t. Ņemot vērā, ka O A = R un C D = ∆ v līdzīgiem iepriekš apskatītajiem trīsstūriem, iegūstam:

R v ∆ t = v ∆ v vai ∆ v ∆ t = v 2 R

Kad ∆ φ → 0, vektora ∆ v → = v B → - v A → virziens tuvojas virzienam uz apļa centru. Pieņemot, ka ∆ t → 0, mēs iegūstam:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v 2 R .

Vienmērīgi kustoties ap apli, paātrinājuma modulis paliek nemainīgs, un vektora virziens laika gaitā mainās, saglabājot orientāciju uz apļa centru. Tāpēc šo paātrinājumu sauc par centripetālu: vektors jebkurā laika brīdī ir vērsts uz apļa centru.

Centrpetālā paātrinājuma ierakstīšana vektora formā izskatās šādi:

a n → = - ω 2 R → .

Šeit R → ir tāda apļa punkta rādiusa vektors, kura izcelsme atrodas tā centrā.

Kopumā paātrinājums, pārvietojoties pa apli, sastāv no diviem komponentiem - normālā un tangenciālā.

Apskatīsim gadījumu, kad ķermenis ap apli pārvietojas nevienmērīgi. Ieviesīsim tangenciālā (tangenciālā) paātrinājuma jēdzienu. Tā virziens sakrīt ar ķermeņa lineārā ātruma virzienu un katrā apļa punktā ir vērsts tam pieskares.

a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆ t → 0

Šeit ∆ v τ = v 2 - v 1 - ātruma moduļa izmaiņas intervālā ∆ t

Kopējā paātrinājuma virzienu nosaka normālā un tangenciālā paātrinājuma vektoru summa.

Apļveida kustību plaknē var aprakstīt, izmantojot divas koordinātas: x un y. Katrā laika momentā ķermeņa ātrumu var sadalīt komponentos v x un v y.

Ja kustība ir vienmērīga, lielumi v x un v y, kā arī atbilstošās koordinātas laika gaitā mainīsies saskaņā ar harmonikas likumu ar periodu T = 2 π R v = 2 π ω

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter