Sarežģītas funkcijas x x atvasinājums. Kompleksie atvasinājumi

Ir doti piemēri atvasinājumu aprēķināšanai, izmantojot kompleksas funkcijas atvasinājuma formulu.

Skatīt arī: Sarežģītas funkcijas atvasinājuma formulas pierādījums

Pamatformulas

Šeit mēs sniedzam piemērus šādu funkciju atvasinājumu aprēķināšanai:
; ; ; ; .

Ja funkciju var attēlot kā sarežģītu funkciju šādā formā:
,
tad tā atvasinājumu nosaka pēc formulas:
.
Tālāk sniegtajos piemēros mēs rakstīsim šo formulu šādi:
.
Kur.
Šeit apakšindeksi vai , kas atrodas zem atvasinājuma zīmes, apzīmē mainīgos, pēc kuriem tiek veikta diferencēšana.

Parasti atvasinājumu tabulās ir doti funkciju atvasinājumi no mainīgā x. Tomēr x ir formāls parametrs. Mainīgo x var aizstāt ar jebkuru citu mainīgo. Tāpēc, atšķirot funkciju no mainīgā, mēs atvasinājumu tabulā vienkārši mainām mainīgo x uz mainīgo u.

Vienkārši piemēri

1. piemērs

Atrodiet sarežģītas funkcijas atvasinājumu
.

Uzrakstīsim doto funkciju līdzvērtīgā formā:
.
Atvasinājumu tabulā mēs atrodam:
;
.

Saskaņā ar kompleksas funkcijas atvasinājuma formulu mums ir:
.
Šeit .

2. piemērs

Atrodiet atvasinājumu
.

Mēs izņemam konstanti 5 no atvasinājuma zīmes un no atvasinājumu tabulas atrodam:
.

.
Šeit .

3. piemērs

Atrodiet atvasinājumu
.

Mēs izņemam konstanti -1 atvasinājuma zīmei un no atvasinājumu tabulas atrodam:
;
No atvasinājumu tabulas mēs atrodam:
.

Mēs izmantojam kompleksas funkcijas atvasinājuma formulu:
.
Šeit .

Sarežģītāki piemēri

Sarežģītākos piemēros mēs vairākas reizes piemērojam sarežģītu funkciju diferencēšanas noteikumu. Šajā gadījumā mēs aprēķinām atvasinājumu no beigām. Tas ir, mēs sadalām funkciju tā sastāvdaļās un atrodam vienkāršāko daļu atvasinājumus, izmantojot atvasinājumu tabula. Mēs arī lietojam summas diferencēšanas noteikumi, produkti un frakcijas. Pēc tam veicam aizvietojumus un pielietojam kompleksas funkcijas atvasinājuma formulu.

4. piemērs

Atrodiet atvasinājumu
.

Izvēlēsimies vienkāršāko formulas daļu un atradīsim tās atvasinājumu. .

.
Šeit mēs esam izmantojuši apzīmējumu
.

Mēs atrodam sākotnējās funkcijas nākamās daļas atvasinājumu, izmantojot iegūtos rezultātus. Mēs piemērojam summas diferencēšanas noteikumu:
.

Atkal piemērojam sarežģītu funkciju diferenciācijas likumu.

.
Šeit .

5. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu
.

Izvēlēsimies vienkāršāko formulas daļu un atradīsim tās atvasinājumu no atvasinājumu tabulas. .

Mēs piemērojam sarežģītu funkciju diferenciācijas likumu.
.
Šeit
.

Atšķirsim nākamo daļu, izmantojot iegūtos rezultātus.
.
Šeit
.

Atšķirsim nākamo daļu.

.
Šeit
.

Tagad mēs atrodam vajadzīgās funkcijas atvasinājumu.

.
Šeit
.

Sarežģīta veida funkcijas ne vienmēr atbilst sarežģītas funkcijas definīcijai. Ja ir funkcija formā y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, tad to nevar uzskatīt par kompleksu, atšķirībā no y = sin 2 x.

Šajā rakstā tiks parādīts sarežģītas funkcijas jēdziens un tās identificēšana. Strādāsim ar formulām atvasinājuma atrašanai ar risinājumu piemēriem noslēgumā. Atvasinājumu tabulas un diferenciācijas noteikumu izmantošana ievērojami samazina atvasinājuma atrašanas laiku.

Pamatdefinīcijas

Sarežģīta funkcija ir funkcija, kuras arguments ir arī funkcija.

To apzīmē šādi: f (g (x)). Mums ir, ka funkcija g (x) tiek uzskatīta par argumentu f (g (x)).

2. definīcija

Ja ir funkcija f un tā ir kotangentes funkcija, tad g(x) = ln x ir naturālā logaritma funkcija. Mēs atklājam, ka kompleksā funkcija f (g (x)) tiks uzrakstīta kā arctg(lnx). Vai arī funkcija f, kas ir funkcija, kas paaugstināta līdz 4. pakāpei, kur g (x) = x 2 + 2 x - 3 tiek uzskatīta par veselu racionālu funkciju, mēs iegūstam, ka f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Acīmredzot g (x) var būt sarežģīts. No piemēra y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 ir skaidrs, ka g vērtībai ir daļas kubsakne. Šo izteiksmi var apzīmēt kā y = f (f 1 (f 2 (x))). No tā izriet, ka f ir sinusa funkcija un f 1 ir funkcija, kas atrodas zem kvadrātsaknes, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 ir daļēja racionāla funkcija.

3. definīcija

Ligzdošanas pakāpi nosaka jebkurš naturāls skaitlis, un to raksta kā y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

4. definīcija

Funkciju kompozīcijas jēdziens attiecas uz ligzdoto funkciju skaitu atbilstoši problēmas apstākļiem. Lai atrisinātu, izmantojiet formulu, lai atrastu formas kompleksās funkcijas atvasinājumu

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Piemēri

Atrodiet atvasinājumu kompleksai funkcijai formā y = (2 x + 1) 2.

Risinājums

Nosacījums parāda, ka f ir kvadrātveida funkcija, un g(x) = 2 x + 1 tiek uzskatīta par lineāru funkciju.

Pielietosim atvasināto formulu sarežģītai funkcijai un ierakstīsim:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Jāatrod atvasinājums ar vienkāršotu funkcijas oriģinālformu. Mēs iegūstam:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

No šejienes mums tas ir

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Rezultāti bija tādi paši.

Risinot šāda veida uzdevumus, ir svarīgi saprast, kur atradīsies formas f un g (x) funkcija.

2. piemērs

Jums vajadzētu atrast kompleksu funkciju atvasinājumus formā y = sin 2 x un y = sin x 2.

Risinājums

Pirmajā funkcijas apzīmējumā teikts, ka f ir kvadrātveida funkcija un g(x) ir sinusa funkcija. Tad mēs to saņemam

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

Otrais ieraksts parāda, ka f ir sinusa funkcija, un g(x) = x 2 apzīmē pakāpes funkciju. No tā izriet, ka sarežģītas funkcijas reizinājumu mēs rakstām kā

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Atvasinājuma y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) formula tiks uzrakstīta kā y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (..). .. ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2" (f 3 (. . . (f n (x)) )) )) · . . . fn "(x)

3. piemērs

Atrodiet funkcijas y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) atvasinājumu.

Risinājums

Šis piemērs parāda, cik grūti ir rakstīt un noteikt funkciju atrašanās vietu. Tad y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) apzīmē kur f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) ir sinusa funkcija, paaugstināšanas funkcija līdz 3 grādiem, funkcija ar logaritmu un e bāzi, arktangenta un lineāra funkcija.

No formulas sarežģītas funkcijas definēšanai mums ir tā

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Mēs iegūstam to, kas mums jāatrod

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) kā sinusa atvasinājums saskaņā ar atvasinājumu tabulu, tad f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ()) x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) kā jaudas funkcijas atvasinājums, tad f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) kā logaritmisks atvasinājums, tad f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) kā arktangenta atvasinājums, tad f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Atrodot atvasinājumu f 4 (x) = 2 x, no atvasinājuma zīmes noņemiet 2, izmantojot formulu pakāpes funkcijas atvasinājumam ar eksponentu, kas vienāds ar 1, tad f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Mēs apvienojam starprezultātus un iegūstam to

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Šādu funkciju analīze atgādina ligzdošanas lelles. Diferenciācijas noteikumus ne vienmēr var tieši piemērot, izmantojot atvasinājumu tabulu. Bieži vien ir jāizmanto formula, lai atrastu sarežģītu funkciju atvasinājumus.

Pastāv dažas atšķirības starp sarežģītu izskatu un sarežģītām funkcijām. Ar skaidru spēju to atšķirt, atrast atvasinājumus būs īpaši viegli.

4. piemērs

Ir jāapsver iespēja sniegt šādu piemēru. Ja ir funkcija formā y = t g 2 x + 3 t g x + 1, tad to var uzskatīt par formas g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 kompleksu funkciju. . Acīmredzot ir jāizmanto kompleksa atvasinājuma formula:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Funkcija formā y = t g x 2 + 3 t g x + 1 netiek uzskatīta par kompleksu, jo tai ir summa t g x 2, 3 t g x un 1. Taču t g x 2 uzskata par kompleksu funkciju, tad iegūstam pakāpju funkciju formā g (x) = x 2 un f, kas ir pieskares funkcija. Lai to izdarītu, atšķiriet pēc daudzuma. Mēs to saņemam

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 un 2 x

Pāriesim pie sarežģītas funkcijas atvasinājuma atrašanas (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Mēs iegūstam, ka y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Sarežģīta tipa funkcijas var iekļaut sarežģītās funkcijās, un pašas sarežģītas funkcijas var būt sarežģīta tipa funkciju sastāvdaļas.

5. piemērs

Piemēram, apsveriet kompleksu funkciju formā y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Šo funkciju var attēlot kā y = f (g (x)), kur f vērtība ir 3. bāzes logaritma funkcija, un g (x) tiek uzskatīta par divu funkciju summu formā h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 un k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Acīmredzot y = f (h (x) + k (x)).

Apsveriet funkciju h(x). Šī ir attiecība l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 līdz m (x) = e x 2 + 3 3

Mums ir, ka l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) ir divu funkciju summa n (x) = x 2 + 7 un p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , kur p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) ir sarežģīta funkcija ar skaitlisko koeficientu 3, un p 1 ir kuba funkcija, p 2 pēc kosinusa funkcijas, p 3 (x) = 2 x + 1 pēc lineāras funkcijas.

Mēs noskaidrojām, ka m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) ir divu funkciju q (x) = e x 2 un r (x) = 3 3 summa, kur q (x) = q 1 (q 2 (x)) ir kompleksa funkcija, q 1 ir funkcija ar eksponenciālu, q 2 (x) = x 2 ir pakāpes funkcija.

Tas parāda, ka h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Pārejot uz izteiksmi formā k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), ir skaidrs, ka funkcija ir parādīta kompleksa s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) ar racionālu veselu skaitli t (x) = x 2 + 1, kur s 1 ir kvadrātveida funkcija un s 2 (x) = ln x ir logaritmisks ar bāze e.

No tā izriet, ka izteiksme būs formā k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Tad mēs to saņemam

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 () x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Pamatojoties uz funkcijas struktūrām, kļuva skaidrs, kā un kādas formulas jāizmanto izteiksmes vienkāršošanai, to diferencējot. Lai iepazītos ar šādām problēmām un to risinājuma jēdzienu, ir jāvēršas pie funkcijas diferencēšanas, tas ir, jāatrod tās atvasinājums.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Ja g(x) Un f(u) – to argumentu diferencējamās funkcijas, attiecīgi, punktos x Un u= g(x), tad arī kompleksā funkcija ir diferencējama punktā x un tiek atrasts pēc formulas

Tipiska kļūda, risinot atvasinātās problēmas, ir vienkāršu funkciju diferencēšanas noteikumu mehāniska pārnese uz sarežģītām funkcijām. Mācīsimies izvairīties no šīs kļūdas.

2. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Nepareizs risinājums: aprēķiniet katra iekavās esošā vārda naturālo logaritmu un atrodiet atvasinājumu summu:

Pareizs risinājums: atkal nosakām, kur ir “ābols” un kur “maltā gaļa”. Šeit iekavās esošās izteiksmes dabiskais logaritms ir “ābols”, tas ir, funkcija pār starpposma argumentu u, un izteiciens iekavās ir “malta gaļa”, tas ir, starparguments u pēc neatkarīga mainīgā x.

Pēc tam (izmantojot 14. formulu no atvasinājumu tabulas)

Daudzās reālās dzīves problēmās izteiksme ar logaritmu var būt nedaudz sarežģītāka, tāpēc ir mācība

3. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Nepareizs risinājums:

Pareizs risinājums. Vēlreiz nosakām, kur atrodas “ābols” un kur “maltā gaļa”. Šeit izteiksmes kosinuss iekavās (atvasinājumu tabulā 7. formula) ir “ābols”, tas ir sagatavots 1. režīmā, kas ietekmē tikai to, un izteiksme iekavās (pakāpes atvasinājums ir skaitlis 3 atvasinājumu tabulā) ir “maltā gaļa”, to gatavo 2. režīmā, kas ietekmē tikai to. Un kā vienmēr, mēs savienojam divus atvasinājumus ar produkta zīmi. Rezultāts:

Sarežģītas logaritmiskās funkcijas atvasinājums ir bieži sastopams uzdevums testos, tāpēc mēs ļoti iesakām apmeklēt nodarbību “Logaritmiskās funkcijas atvasinājums”.

Pirmie piemēri bija par sarežģītām funkcijām, kurās neatkarīgā mainīgā starpposma arguments bija vienkārša funkcija. Bet praktiskajos uzdevumos bieži vien ir jāatrod kompleksas funkcijas atvasinājums, kur starparguments vai nu pati par sevi ir sarežģīta funkcija, vai satur šādu funkciju. Ko darīt šādos gadījumos? Atrodiet šādu funkciju atvasinājumus, izmantojot tabulas un diferenciācijas noteikumus. Kad tiek atrasts starpposma argumenta atvasinājums, tas vienkārši tiek aizstāts pareizajā formulas vietā. Zemāk ir divi piemēri, kā tas tiek darīts.

Turklāt ir noderīgi zināt sekojošo. Ja sarežģītu funkciju var attēlot kā trīs funkciju ķēdi

tad tā atvasinājums ir jāatrod kā katras šīs funkcijas atvasinājumu reizinājums:

Daudziem mājasdarbu uzdevumiem var būt nepieciešams atvērt rokasgrāmatas jaunos logos. Darbības ar spējām un saknēm Un Darbības ar daļskaitļiem .

4. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Mēs piemērojam sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu, neaizmirstot, ka iegūtajā atvasinājumu produktā ir starparguments attiecībā uz neatkarīgo mainīgo x nemainās:

Mēs sagatavojam produkta otro koeficientu un piemērojam summas diferencēšanas noteikumu:

Otrais termins ir sakne, tātad

Tādējādi mēs noskaidrojām, ka starparguments, kas ir summa, satur sarežģītu funkciju kā vienu no terminiem: paaugstināšana līdz jaudai ir sarežģīta funkcija, un tas, kas tiek paaugstināts par spēku, ir starparguments attiecībā uz neatkarīgo. mainīgs x.

Tāpēc mēs atkal piemērojam sarežģītas funkcijas diferencēšanas noteikumu:

Mēs pārveidojam pirmā faktora pakāpi par sakni, un, diferencējot otro faktoru, neaizmirstiet, ka konstantes atvasinājums ir vienāds ar nulli:

Tagad mēs varam atrast atvasinājumu starpposma argumentam, kas nepieciešams, lai aprēķinātu problēmas priekšrakstā nepieciešamās kompleksās funkcijas atvasinājumu y:

5. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Pirmkārt, mēs izmantojam noteikumu summas diferencēšanai:

Mēs ieguvām divu sarežģītu funkciju atvasinājumu summu. Atradīsim pirmo:

Šeit sinusa paaugstināšana līdz pakāpei ir sarežģīta funkcija, un pats sinuss ir starpposma arguments neatkarīgajam mainīgajam. x. Tāpēc mēs izmantosim sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu izņemot faktoru iekavās :

Tagad mēs atrodam funkcijas atvasinājumu otro vārdu y:

Šeit kosinusa paaugstināšana līdz pakāpei ir sarežģīta funkcija f, un pats kosinuss ir starpposma arguments neatkarīgajā mainīgajā x. Atkal izmantosim noteikumu, lai atšķirtu sarežģītu funkciju:

Rezultāts ir nepieciešamais atvasinājums:

Dažu sarežģītu funkciju atvasinājumu tabula

Sarežģītām funkcijām, pamatojoties uz sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu, vienkāršas funkcijas atvasinājuma formula iegūst citu formu.

1. Sarežģītas jaudas funkcijas atvasinājums, kur u x
2. Izteiksmes saknes atvasinājums
3. Eksponenciālās funkcijas atvasinājums
4. Eksponenciālās funkcijas īpašs gadījums
5. Logaritmiskas funkcijas atvasinājums ar patvaļīgu pozitīvu bāzi A
6. Sarežģītas logaritmiskās funkcijas atvasinājums, kur u– argumenta diferencējamā funkcija x
7.Sinusa atvasinājums
8.Kosinusa atvasinājums
9. Pieskares atvasinājums
10.Kotangensa atvasinājums
11.Arksīna atvasinājums
12.Arkosīna atvasinājums
13.Arktangenta atvasinājums
14. Loka kotangensa atvasinājums

Ļoti viegli atcerēties.

Nu, neiesim tālu, nekavējoties apsvērsim apgriezto funkciju. Kura funkcija ir eksponenciālās funkcijas apgrieztā vērtība? Logaritms:

Mūsu gadījumā bāze ir skaitlis:

Šādu logaritmu (tas ir, logaritmu ar bāzi) sauc par “dabisku”, un mēs tam izmantojam īpašu apzīmējumu: tā vietā rakstām.

Ar ko tas ir vienāds? Protams, .

Arī dabiskā logaritma atvasinājums ir ļoti vienkāršs:

Piemēri:

1. Atrodiet funkcijas atvasinājumu.
2. Kāds ir funkcijas atvasinājums?

Atbildes: Eksponenciālais un naturālais logaritms ir unikāli vienkāršas funkcijas no atvasinātā viedokļa. Eksponenciālajām un logaritmiskajām funkcijām ar jebkuru citu bāzi būs atšķirīgs atvasinājums, ko mēs analizēsim vēlāk, kad būsiet cauri diferencēšanas noteikumiem.

Diferencēšanas noteikumi

Noteikumi par ko? Atkal jauns termins, atkal?!...

Diferencēšana ir atvasinājuma atrašanas process.

Tas ir viss. Kā vēl vienā vārdā var nosaukt šo procesu? Nav atvasinājums... Matemātiķi diferenciāli sauc par tādu pašu funkcijas pieaugumu pie. Šis termins cēlies no latīņu vārda differentia – atšķirība. Šeit.

Atvasinot visus šos noteikumus, mēs izmantosim divas funkcijas, piemēram, un. Mums būs nepieciešamas arī formulas to palielinājumam:

Kopumā ir 5 noteikumi.

Konstante tiek izņemta no atvasinātās zīmes.

Ja - kāds konstants skaitlis (konstante), tad.

Acīmredzot šis noteikums darbojas arī attiecībā uz atšķirību: .

Pierādīsim to. Lai tas būtu vai vienkāršāk.

Piemēri.

Atrodiet funkciju atvasinājumus:

1. punktā;
2. punktā;
3. punktā;
4. punktā.

Risinājumi:

1. (atvasinājums visos punktos ir vienāds, jo tā ir lineāra funkcija, atceries?);

Produkta atvasinājums

Šeit viss ir līdzīgi: ieviesīsim jaunu funkciju un atradīsim tās pieaugumu:

Atvasinājums:

Piemēri:

1. Atrast funkciju un atvasinājumus;
2. Atrodiet funkcijas atvasinājumu punktā.

Risinājumi:

Eksponenciālās funkcijas atvasinājums

Tagad pietiek ar jūsu zināšanām, lai uzzinātu, kā atrast jebkuras eksponenciālas funkcijas atvasinājumu, nevis tikai eksponentus (vai jūs jau esat aizmirsis, kas tas ir?).

Tātad, kur ir kāds skaitlis.

Mēs jau zinām funkcijas atvasinājumu, tāpēc mēģināsim reducēt savu funkciju uz jaunu bāzi:

Lai to izdarītu, mēs izmantosim vienkāršu noteikumu: . Pēc tam:

Nu, izdevās. Tagad mēģiniet atrast atvasinājumu un neaizmirstiet, ka šī funkcija ir sarežģīta.

Vai notika?

Lūk, pārbaudiet sevi:

Formula izrādījās ļoti līdzīga eksponenta atvasinājumam: tā, kā bija, tā paliek nemainīga, parādījās tikai faktors, kas ir tikai skaitlis, bet ne mainīgais.

Piemēri:
Atrodiet funkciju atvasinājumus:

Atbildes:

Tas ir tikai skaitlis, ko nevar aprēķināt bez kalkulatora, tas ir, to nevar pierakstīt vienkāršāk. Tāpēc atbildē to atstājam šādā formā.

Ņemiet vērā, ka šeit ir divu funkciju koeficients, tāpēc mēs izmantojam atbilstošo diferenciācijas noteikumu:

Šajā piemērā divu funkciju reizinājums:

Logaritmiskās funkcijas atvasinājums

Šeit ir līdzīgi: jūs jau zināt dabiskā logaritma atvasinājumu:

Tāpēc, lai atrastu patvaļīgu logaritmu ar citu bāzi, piemēram:

Mums šis logaritms jāsamazina līdz bāzei. Kā mainīt logaritma bāzi? Es ceru, ka atceraties šo formulu:

Tikai tagad tā vietā rakstīsim:

Saucējs ir vienkārši konstante (konstants skaitlis, bez mainīgā). Atvasinājumu iegūst ļoti vienkārši:

Vienotajā valsts pārbaudījumā gandrīz nekad nav atrodami eksponenciālo un logaritmisko funkciju atvasinājumi, taču tos zināt nebūs lieki.

Sarežģītas funkcijas atvasinājums.

Kas ir "sarežģīta funkcija"? Nē, tas nav logaritms un nav arktangenss. Šīs funkcijas var būt grūti saprotamas (lai gan, ja jums šķiet sarežģīts logaritms, izlasiet tēmu "Logaritmi" un jums būs labi), taču no matemātiskā viedokļa vārds "sarežģīts" nenozīmē "grūti".

Iedomājieties mazu konveijera lenti: divi cilvēki sēž un veic darbības ar dažiem priekšmetiem. Piemēram, pirmais ietin šokolādes tāfelīti iesaiņojumā, bet otrais to sasien ar lenti. Rezultāts ir salikts priekšmets: šokolādes tāfelīte, kas ietīta un pārsieta ar lenti. Lai ēst šokolādes tāfelīti, jums ir jāveic apgrieztās darbības apgrieztā secībā.

Izveidosim līdzīgu matemātisko cauruļvadu: vispirms atradīsim skaitļa kosinusu un pēc tam iegūto skaitli kvadrātā. Tātad, mums tiek dots skaitlis (šokolāde), es atrodu tā kosinusu (iesaiņojums), un tad jūs kvadrātā to, ko es saņēmu (piesiet to ar lenti). Kas notika? Funkcija. Šis ir sarežģītas funkcijas piemērs: kad, lai atrastu tās vērtību, mēs veicam pirmo darbību tieši ar mainīgo un pēc tam otro darbību ar to, kas izriet no pirmās.

Citiem vārdiem sakot, sarežģīta funkcija ir funkcija, kuras arguments ir cita funkcija: .

Mūsu piemēram, .

Mēs varam viegli veikt tās pašas darbības apgrieztā secībā: vispirms jūs to kvadrātā, un tad es meklēju iegūtā skaitļa kosinusu: . Ir viegli uzminēt, ka rezultāts gandrīz vienmēr būs atšķirīgs. Sarežģītu funkciju svarīga iezīme: mainoties darbību secībai, mainās funkcija.

Otrais piemērs: (tas pats). .

Darbība, ko veicam pēdējā, tiks saukta "ārēja" funkcija, un darbība, kas veikta vispirms - attiecīgi "iekšējā" funkcija(tie ir neoficiāli nosaukumi, es tos izmantoju tikai, lai izskaidrotu materiālu vienkāršā valodā).

Mēģiniet pats noteikt, kura funkcija ir ārēja un kura iekšēja:

Atbildes: Iekšējo un ārējo funkciju atdalīšana ir ļoti līdzīga mainīgo mainīšanai: piemēram, funkcijā

1. Kādu darbību mēs veiksim vispirms? Vispirms aprēķināsim sinusu un tikai pēc tam sagriezīsim to kubā. Tas nozīmē, ka tā ir iekšēja funkcija, bet ārēja.
   Un sākotnējā funkcija ir to sastāvs: .
2. Iekšējais: ; ārējais: .
   Pārbaude:.
3. Iekšējais: ; ārējais: .
   Pārbaude:.
4. Iekšējais: ; ārējais: .
   Pārbaude:.
5. Iekšējais: ; ārējais: .
   Pārbaude:.

Mainām mainīgos un iegūstam funkciju.

Tagad mēs izvilksim savu šokolādes tāfelīti un meklēsim atvasinājumu. Procedūra vienmēr ir apgriezta: vispirms meklējam ārējās funkcijas atvasinājumu, pēc tam rezultātu reizinām ar iekšējās funkcijas atvasinājumu. Saistībā ar sākotnējo piemēru tas izskatās šādi:

Vēl viens piemērs:

Tātad, beidzot formulēsim oficiālo noteikumu:

Algoritms sarežģītas funkcijas atvasinājuma atrašanai:

Šķiet vienkārši, vai ne?

Pārbaudīsim ar piemēriem:

Risinājumi:

1) Iekšējais: ;

Ārējais: ;

2) Iekšējais: ;

(Tikai nemēģiniet to tagad izgriezt! No zem kosinusa nekas neiznāk, atceries?)

3) Iekšējais: ;

Ārējais: ;

Uzreiz ir skaidrs, ka tā ir trīs līmeņu kompleksa funkcija: galu galā tā jau pati par sevi ir sarežģīta funkcija, un mēs no tās arī izņemam sakni, tas ir, veicam trešo darbību (ieliekam šokolādi iesaiņojumā). un ar lenti portfelī). Bet nav pamata baidīties: mēs joprojām “izpakosim” šo funkciju tādā pašā secībā kā parasti: no beigām.

Tas ir, vispirms mēs atšķiram sakni, tad kosinusu un tikai pēc tam izteiksmi iekavās. Un tad mēs to visu reizinām.

Šādos gadījumos ir ērti numurēt darbības. Tas ir, iedomāsimies, ko mēs zinām. Kādā secībā mēs veiksim darbības, lai aprēķinātu šīs izteiksmes vērtību? Apskatīsim piemēru:

Jo vēlāk darbība tiks veikta, jo “ārējāka” būs atbilstošā funkcija. Darbību secība ir tāda pati kā iepriekš:

Šeit ligzdošana parasti ir 4 līmeņu. Noteiksim darbības virzienu.

1. Radikāla izteiksme. .

2. Sakne. .

3. Sine. .

4. Kvadrāts. .

5. Saliekot visu kopā:

ATvasinājums. ĪSUMĀ PAR GALVENĀM LIETĀM

Funkcijas atvasinājums- funkcijas pieauguma attiecība pret argumenta pieaugumu bezgalīgi mazam argumenta pieaugumam:

Pamata atvasinājumi:

Atšķiršanas noteikumi:

Konstante tiek izņemta no atvasinātās zīmes:

Summas atvasinājums:

Produkta atvasinājums:

Koeficienta atvasinājums:

Sarežģītas funkcijas atvasinājums:

Algoritms sarežģītas funkcijas atvasinājuma atrašanai:

1. Mēs definējam “iekšējo” funkciju un atrodam tās atvasinājumu.
2. Mēs definējam “ārējo” funkciju un atrodam tās atvasinājumu.
3. Mēs reizinām pirmā un otrā punkta rezultātus.

“Vecajās” mācību grāmatās to sauc arī par “ķēdes” likumu. Tātad ja y = f (u) un u = φ (x), tas ir

y = f (φ (x))

komplekss - saliktā funkcija (funkciju sastāvs) tad

Kur , pēc aprēķina tiek uzskatīts plkst u = φ (x).

Ņemiet vērā, ka šeit mēs paņēmām “dažādas” kompozīcijas no tām pašām funkcijām, un diferenciācijas rezultāts, protams, izrādījās atkarīgs no “sajaukšanas” secības.

Ķēdes noteikums, protams, attiecas uz kompozīcijām ar trīs vai vairākām funkcijām. Šajā gadījumā atvasinājumu veidojošajā “ķēdē” būs trīs vai vairākas “saites”. Šeit ir līdzība ar reizināšanu: “mums ir” atvasinājumu tabula; “tur” - reizināšanas tabula; “ar mums” ir ķēdes noteikums, un “tur” ir “kolonnas” reizināšanas noteikums. Aprēķinot šādus “sarežģītus” atvasinājumus, palīgargumenti (u¸v utt.), protams, netiek ieviesti, taču, paši atzīmējot kompozīcijā iesaistīto funkciju skaitu un secību, tiek “savērtas” atbilstošās saites. norādītajā secībā.

. Šeit ar “x”, lai iegūtu “y” vērtību, tiek veiktas piecas darbības, tas ir, ir piecu funkciju sastāvs: “ārējā” (pēdējā no tām) - eksponenciāls - e  ; tad apgrieztā secībā, jauda. (♦) 2 ; trigonometriskais grēks(); nomierinošs. () 3 un visbeidzot logaritmiskais ln.(). Tāpēc

Ar šādiem piemēriem mēs “nogalināsim pāris putnu ar vienu akmeni”: praktizēsim sarežģītu funkciju diferenciāciju un papildināsim elementāro funkciju atvasinājumu tabulu. Tātad:

4. Jaudas funkcijai - y = x α - to pārrakstot, izmantojot labi zināmo "logaritmisko pamatidentitāti" - b=e ln b - iegūstam formā x α = x α ln x

5. Patvaļīgai eksponenciālai funkcijai, izmantojot to pašu paņēmienu, kas mums būs

6. Patvaļīgai logaritmiskai funkcijai, izmantojot labi zināmo formulu pārejai uz jaunu bāzi, mēs konsekventi iegūstam

.

7. Lai diferencētu tangensu (kotangensu), mēs izmantojam koeficientu diferencēšanas noteikumu:

Lai iegūtu apgriezto trigonometrisko funkciju atvasinājumus, mēs izmantojam sakarību, kuru apmierina divu savstarpēji apgrieztu funkciju atvasinājumi, tas ir, ar relācijām saistītās funkcijas φ (x) un f (x):

Šī ir attiecība

Tas ir no šīs formulas savstarpēji apgrieztām funkcijām

Un
,

Visbeidzot, apkoposim šos un dažus citus atvasinājumus, kas arī ir viegli iegūstami nākamajā tabulā.