Pārveido izteiksmes, kas satur pilnvaras. Izteiksmju konvertēšana

Aritmētiskā darbība, kas tiek veikta pēdējā, aprēķinot izteiksmes vērtību, ir “galvenā” darbība.

Tas ir, ja burtu vietā aizstājat dažus (jebkurus) ciparus un mēģināt aprēķināt izteiksmes vērtību, tad, ja pēdējā darbība ir reizināšana, tad mums ir reizinājums (izteiksme ir faktorizēta).

Ja pēdējā darbība ir saskaitīšana vai atņemšana, tas nozīmē, ka izteiksme nav faktorizēta (un tāpēc to nevar samazināt).

Lai to nostiprinātu, pats atrisiniet dažus piemērus:

Piemēri:

Risinājumi:

1. Ceru, ka uzreiz nesteidzies griezt un? Joprojām nebija pietiekami, lai “samazinātu” šādas vienības:

Pirmajam solim jābūt faktorizācijai:

4. Daļskaitļu saskaitīšana un atņemšana. Daļskaitļu samazināšana līdz kopsaucējam.

Parasto daļskaitļu saskaitīšana un atņemšana ir pazīstama darbība: mēs meklējam kopsaucēju, reizinām katru daļu ar trūkstošo koeficientu un saskaitām/atņemam skaitītājus.

Atcerēsimies:

Atbildes:

1. Saucēji un ir relatīvi pirmie, tas ir, tiem nav kopīgu faktoru. Tāpēc šo skaitļu LCM ir vienāds ar to reizinājumu. Šis būs kopsaucējs:

2. Šeit kopsaucējs ir:

3. Šeit, pirmkārt, jauktās frakcijas pārvēršam par nepareizām, un pēc tam saskaņā ar parasto shēmu:

Tas ir pavisam cits jautājums, ja daļskaitļos ir burti, piemēram:

Sāksim ar kaut ko vienkāršu:

a) saucēji nesatur burtus

Šeit viss ir tāpat kā ar parastajām skaitliskām daļām: atrodam kopsaucēju, reizinām katru daļu ar trūkstošo koeficientu un saskaitām/atņemam skaitītājus:

Tagad skaitītājā varat norādīt līdzīgus, ja tādi ir, un faktorēt tos:

Izmēģiniet to pats:

Atbildes:

b) saucēji satur burtus

Atcerēsimies principu atrast kopsaucēju bez burtiem:

· vispirms nosakām kopējos faktorus;

· pēc tam izrakstām visus kopīgos faktorus pa vienam;

· un reizināt tos ar visiem citiem neparastajiem faktoriem.

Lai noteiktu saucēju kopīgos faktorus, mēs tos vispirms iekļaujam galvenajos faktoros:

Uzsvērsim kopīgos faktorus:

Tagad rakstīsim pa vienam izplatītākos faktorus un pievienosim tiem visus neparastos (nepasvītrotos) faktorus:

Tas ir kopsaucējs.

Atgriezīsimies pie burtiem. Saucēji tiek norādīti tieši tādā pašā veidā:

· faktorēt saucējus;

· noteikt kopīgus (identiskus) faktorus;

· vienu reizi izrakstīt visus izplatītos faktorus;

· reizināt tos ar visiem citiem neparastajiem faktoriem.

Tātad, secībā:

1) faktorējiet saucējus:

2) noteikt kopīgus (identiskus) faktorus:

3) vienu reizi uzrakstiet visus kopīgos faktorus un reiziniet tos ar visiem pārējiem (nepasvītrotiem) faktoriem:

Tātad šeit ir kopsaucējs. Pirmā daļa jāreizina ar, otrā - ar:

Starp citu, ir viens triks:

Piemēram: .

Mēs redzam vienus un tos pašus faktorus saucējos, tikai visi ar dažādiem rādītājiem. Kopsaucējs būs:

līdz pakāpei

līdz pakāpei

līdz pakāpei

līdz pakāpei.

Sarežģīsim uzdevumu:

Kā panākt, lai daļskaitļiem būtu vienāds saucējs?

Atcerēsimies daļskaitļa pamatīpašību:

Nekur nav teikts, ka vienu un to pašu skaitli var atņemt (vai pievienot) no daļskaitļa skaitītāja un saucēja. Jo tā nav taisnība!

Skatieties paši: ņemiet, piemēram, jebkuru daļskaitli un pievienojiet skaitītājam un saucējam kādu skaitli, piemēram, . Ko tu iemācījies?

Tātad, vēl viens nesatricināms noteikums:

Samazinot daļskaitļus līdz kopsaucējam, izmantojiet tikai reizināšanas darbību!

Bet ar ko jāreizina, lai iegūtu?

Tātad reiziniet ar. Un reiziniet ar:

Izteiksmes, kuras nevar faktorizēt, sauksim par elementārajiem faktoriem.

Piemēram, - tas ir elementārs faktors. - Tas pats. Bet nē: to var faktorizēt.

Kā ar izteiksmi? Vai tas ir elementāri?

Nē, jo to var faktorizēt:

(par faktorizēšanu jūs jau lasījāt tēmā “”).

Tātad elementārie faktori, kuros jūs sadalāt izteiksmi ar burtiem, ir analogi vienkāršiem faktoriem, kuros jūs sadalāt skaitļus. Un mēs ar viņiem tiksim galā tāpat.

Mēs redzam, ka abiem saucējiem ir reizinātājs. Tas nonāks pie kopsaucēja līdz pakāpei (atcerieties, kāpēc?).

Koeficients ir elementārs, un tiem nav kopīga faktora, kas nozīmē, ka pirmā daļa būs vienkārši jāreizina ar to:

Vēl viens piemērs:

Risinājums:

Pirms panikā reizināt šos saucējus, jums jādomā, kā tos faktorēt? Viņi abi pārstāv:

Lieliski! Pēc tam:

Vēl viens piemērs:

Risinājums:

Kā parasti, faktorizēsim saucējus. Pirmajā saucējā mēs to vienkārši ievietojam iekavās; otrajā - kvadrātu atšķirība:

Šķiet, ka nav kopīgu faktoru. Bet, ja paskatās uzmanīgi, tie ir līdzīgi... Un tā ir taisnība:

Tātad rakstīsim:

Tas ir, tas izrādījās šādi: iekavas iekšpusē mēs samainījām terminus, un tajā pašā laikā zīme daļskaitļa priekšā mainījās uz pretējo. Ņemiet vērā, ka jums tas būs jādara bieži.

Tagad pievedīsim to pie kopsaucēja:

Sapratu? Tagad pārbaudīsim.

Uzdevumi patstāvīgam risinājumam:

Atbildes:

Šeit mums jāatceras vēl viena lieta - kubu atšķirība:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka otrās daļdaļas saucējs nesatur formulu “summas kvadrāts”! Summas kvadrāts izskatītos šādi: .

A ir tā sauktais summas nepilnīgais kvadrāts: otrais loceklis tajā ir pirmā un pēdējā reizinājums, nevis to dubultreizinājums. Summas daļējais kvadrāts ir viens no faktoriem, kas palielina kubu starpību:

Ko darīt, ja jau ir trīs frakcijas?

Jā, tas pats! Vispirms pārliecināsimies, ka saucējos ir vienāds maksimālais faktoru skaits:

Lūdzu, ņemiet vērā: ja maināt zīmes vienā iekavas iekšpusē, zīme daļskaitļa priekšā mainās uz pretējo. Mainot zīmes otrajā iekavā, zīme daļskaitļa priekšā atkal mainās uz pretējo. Rezultātā tā (zīme daļskaitļa priekšā) nav mainījusies.

Mēs ierakstām visu pirmo saucēju kopsaucējā un pēc tam pievienojam tam visus vēl neuzrakstītos faktorus, sākot no otrā un pēc tam no trešā (un tā tālāk, ja ir vairāk daļskaitļu). Tas ir, tas izrādās šādi:

Hmm... Ir skaidrs, ko darīt ar daļskaitļiem. Bet kā ir ar abiem?

Tas ir vienkārši: jūs zināt, kā pievienot daļskaitļus, vai ne? Tātad, mums jāpanāk, lai divi kļūtu par daļu! Atcerēsimies: daļskaitlis ir dalīšanas darbība (skaitītājs tiek dalīts ar saucēju, ja esat aizmirsis). Un nav nekā vieglāk, kā dalīt skaitli ar. Šajā gadījumā pats skaitlis nemainīsies, bet pārvērtīsies par daļu:

Tieši tas, kas vajadzīgs!

5. Daļskaitļu reizināšana un dalīšana.

Nu, tagad grūtākā daļa ir beigusies. Un mums priekšā ir visvienkāršākais, bet tajā pašā laikā vissvarīgākais:

Procedūra

Kāda ir skaitliskās izteiksmes aprēķināšanas procedūra? Atcerieties, aprēķinot šīs izteiksmes nozīmi:

Vai skaitījāt?

Tam vajadzētu strādāt.

Tātad, ļaujiet man jums atgādināt.

Pirmais solis ir aprēķināt grādu.

Otrais ir reizināšana un dalīšana. Ja vienlaikus ir vairākas reizināšanas un dalīšanas, tās var veikt jebkurā secībā.

Visbeidzot, mēs veicam saskaitīšanu un atņemšanu. Atkal, jebkurā secībā.

Bet: izteiksme iekavās tiek vērtēta ārpus kārtas!

Ja vairākas iekavas tiek reizinātas vai dalītas savā starpā, vispirms mēs aprēķinām izteiksmi katrā no iekavām un pēc tam tās reizinām vai sadalām.

Ko darīt, ja iekavās ir vairāk iekavu? Nu, padomāsim: iekavās ir ierakstīts kāds izteiciens. Kas vispirms jādara, aprēķinot izteiksmi? Tieši tā, aprēķiniet iekavas. Nu, mēs to izdomājām: vispirms mēs aprēķinām iekšējās iekavas, pēc tam visu pārējo.

Tātad iepriekš minētās izteiksmes procedūra ir šāda (pašreizējā darbība ir iezīmēta sarkanā krāsā, tas ir, darbība, kuru es pašlaik veicu):

Labi, viss ir vienkārši.

Bet tas nav tas pats, kas izteiksme ar burtiem?

Nē, tas ir tas pats! Tikai aritmētisko darbību vietā ir jāveic algebriskās darbības, tas ir, iepriekšējā sadaļā aprakstītās darbības: atnesot līdzīgu, frakciju pievienošana, frakciju samazināšana utt. Vienīgā atšķirība būs faktoringa polinomu darbība (mēs to bieži izmantojam, strādājot ar daļām). Visbiežāk, lai veiktu faktorizāciju, ir jāizmanto I vai vienkārši iekavās jāizliek kopējais faktors.

Parasti mūsu mērķis ir attēlot izteiksmi kā produktu vai koeficientu.

Piemēram:

Vienkāršosim izteicienu.

1) Pirmkārt, mēs vienkāršojam izteiksmi iekavās. Tur mums ir daļskaitļu atšķirība, un mūsu mērķis ir to parādīt kā reizinājumu vai koeficientu. Tātad, mēs apvienojam daļskaitļus līdz kopsaucējam un pievienojam:

Šo izteicienu vairs nav iespējams vienkāršot, visi faktori šeit ir elementāri (vai jūs joprojām atceraties, ko tas nozīmē?).

2) Mēs iegūstam:

Daļskaitļu reizināšana: kas var būt vienkāršāks.

3) Tagad jūs varat saīsināt:

Labi, tagad viss ir beidzies. Nekas sarežģīts, vai ne?

Vēl viens piemērs:

Vienkāršojiet izteiksmi.

Vispirms mēģiniet to atrisināt pats, un tikai tad skatieties risinājumu.

Risinājums:

Vispirms noteiksim darbību secību.

Vispirms pievienosim iekavās esošās daļskaitļus, lai divu daļskaitļu vietā iegūtu vienu.

Tad mēs veiksim daļu dalīšanu. Nu, pievienosim rezultātu ar pēdējo daļu.

Es shematiski numurēšu soļus:

Tagad es jums parādīšu procesu, tonējot pašreizējo darbību sarkanā krāsā:

1. Ja ir līdzīgas, tās nekavējoties jāatved. Jebkurā brīdī, kad mūsu valstī rodas līdzīgi, ieteicams tos nekavējoties audzināt.

2. Tas pats attiecas uz frakciju samazināšanu: tiklīdz parādās iespēja samazināt, tā ir jāizmanto. Izņēmums attiecas uz daļskaitļiem, ko pievienojat vai atņemat: ja tām tagad ir vienādi saucēji, samazinājums jāatstāj vēlākam laikam.

Šeit ir daži uzdevumi, kas jums jāatrisina pašam:

Un tas, kas tika solīts pašā sākumā:

Atbildes:

Risinājumi (īsi):

Ja esat ticis galā vismaz ar pirmajiem trim piemēriem, tad tēmu esat apguvis.

Tagad uz mācīšanos!

IZTEIKSMES PĀRVEIDOŠANA. KOPSAVILKUMS UN PAMATFORMULAS

Galvenās vienkāršošanas darbības:

• Atvedot līdzīgu: lai pievienotu (samazinātu) līdzīgus terminus, jāpievieno to koeficienti un jāpiešķir burtu daļa.
• Faktorizācija: kopfaktora izlikšana iekavās, pielietošana utt.
• Daļas samazināšana: Daļas skaitītāju un saucēju var reizināt vai dalīt ar to pašu skaitli, kas nav nulle, kas nemaina daļskaitļa vērtību.
  1) skaitītājs un saucējs faktorizēt
  2) ja skaitītājam un saucējam ir kopīgi faktori, tos var izsvītrot.

  SVARĪGI: samazināt var tikai reizinātājus!

• Daļskaitļu pievienošana un atņemšana:
  ;
• Daļskaitļu reizināšana un dalīšana:
  ;

Izteiksmes, izteiksmju konvertēšana

Spēka izteiksmes (izteiksmes ar pilnvarām) un to transformācija

Šajā rakstā mēs runāsim par izteiksmju konvertēšanu ar pilnvarām. Pirmkārt, mēs pievērsīsimies transformācijām, kas tiek veiktas ar jebkāda veida izteiksmēm, tostarp spēka izteiksmēm, piemēram, atverot iekavas un ienesot līdzīgus terminus. Un tad mēs analizēsim transformācijas, kas īpaši raksturīgas izteiksmēm ar pakāpēm: strādājot ar bāzi un eksponentu, izmantojot grādu īpašības utt.

Lapas navigācija.

Kas ir spēka izpausmes?

Jēdziens “spēka izteiksmes” praktiski neparādās skolu matemātikas mācību grāmatās, taču diezgan bieži parādās uzdevumu krājumos, īpaši tajos, kas paredzēti, piemēram, gatavošanai vienotajam valsts eksāmenam un vienotajam valsts eksāmenam. Izanalizējot uzdevumus, kuros nepieciešams veikt jebkādas darbības ar spēka izteiksmēm, kļūst skaidrs, ka spēka izteiksmes tiek saprastas kā izteiksmes, kas savos ierakstos satur spēkus. Tāpēc jūs varat pieņemt šādu definīciju sev:

Definīcija.

Spēka izpausmes ir izteiksmes, kas satur grādus.

Dosim spēka izteiksmes piemēri. Turklāt mēs tos parādīsim atbilstoši tam, kā notiek uzskatu attīstība no pakāpes ar naturālo eksponentu līdz pakāpei ar reālu eksponentu.

Kā zināms, vispirms iepazīstas ar skaitļa pakāpju ar naturālo eksponentu, šajā posmā pirmās vienkāršākās pakāpju izteiksmes tipam 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 parādās −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 utt.

Nedaudz vēlāk tiek pētīta skaitļa pakāpe ar veselu eksponentu, kā rezultātā parādās pakāpes izteiksmes ar negatīvu veselu skaitļu pakāpēm, piemēram: 3 −2, , a -2 +2 b -3 +c 2 .

Vidusskolā viņi atgriežas pie grādiem. Tur tiek ieviests grāds ar racionālu eksponentu, kas nozīmē atbilstošo jaudas izteiksmju parādīšanos: , , un tā tālāk. Visbeidzot tiek aplūkoti grādi ar iracionāliem eksponentiem un tos saturošas izteiksmes: , .

Lieta neaprobežojas tikai ar uzskaitītajām pakāpju izteiksmēm: tālāk mainīgais iekļūst eksponentā, un, piemēram, rodas šādas izteiksmes: 2 x 2 +1 vai . Un pēc iepazīšanās ar , sāk parādīties izteiksmes ar pakāpēm un logaritmiem, piemēram, x 2·lgx −5·x lgx.

Tātad, mēs esam risinājuši jautājumu par to, ko pārstāv varas izpausmes. Tālāk mēs iemācīsimies tos pārveidot.

Galvenie spēka izteiksmju transformāciju veidi

Izmantojot spēka izteiksmes, jūs varat veikt jebkuru no izteiksmju pamata identitātes pārveidojumiem. Piemēram, varat atvērt iekavas, aizstāt skaitliskās izteiksmes ar to vērtībām, pievienot līdzīgus terminus utt. Protams, šajā gadījumā ir jāievēro pieņemtā darbību veikšanas kārtība. Sniegsim piemērus.

Piemērs.

Aprēķināt jaudas izteiksmes vērtību 2 3 ·(4 2 −12) .

Risinājums.

Atbilstoši darbību izpildes secībai vispirms veiciet darbības iekavās. Tur, pirmkārt, jaudu 4 2 aizstājam ar tās vērtību 16 (ja nepieciešams, skat.), otrkārt, aprēķinām starpību 16−12=4. Mums ir 2 3 · (4 2–12) = 2 3 · (16–12) = 2 3 ·4.

Iegūtajā izteiksmē jaudu 2 3 aizstājam ar tās vērtību 8, pēc kuras aprēķinām reizinājumu 8·4=32. Šī ir vēlamā vērtība.

Tātad, 2 3 · (4 2 -12) = 2 3 · (16 - 12) = 2 3 · 4 = 8 · 4 = 32.

Atbilde:

2 3 · (4 2 -12)=32.

Piemērs.

Vienkāršojiet izteicienus ar pilnvarām 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Risinājums.

Acīmredzot šī izteiksme satur līdzīgus terminus 3·a 4 ·b −7 un 2·a 4 ·b −7 , un mēs varam tos uzrādīt: .

Atbilde:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Piemērs.

Izsakiet izteiksmi ar pilnvarām kā produktu.

Risinājums.

Ar uzdevumu varat tikt galā, attēlojot skaitli 9 kā pakāpju 3 2 un pēc tam izmantojot formulu saīsinātai reizināšanai - kvadrātu starpība:

Atbilde:

Ir arī vairākas identiskas transformācijas, kas īpaši raksturīgas spēka izteiksmēm. Mēs tos analizēsim sīkāk.

Darbs ar bāzi un eksponentu

Ir grādi, kuru bāze un/vai eksponents nav tikai skaitļi vai mainīgie, bet gan dažas izteiksmes. Kā piemēru dodam ierakstus (2+0.3·7) 5−3.7 un (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Strādājot ar šādām izteiksmēm, jūs varat aizstāt gan izteiksmi pakāpes bāzē, gan izteiksmi eksponentā ar identiski vienādu izteiksmi tās mainīgo ODZ. Citiem vārdiem sakot, saskaņā ar mums zināmajiem noteikumiem mēs varam atsevišķi pārveidot pakāpes bāzi un atsevišķi eksponentu. Ir skaidrs, ka šīs transformācijas rezultātā tiks iegūta izteiksme, kas ir identiski vienāda ar sākotnējo.

Šādas transformācijas ļauj mums vienkāršot izteicienus ar spēku vai sasniegt citus mums nepieciešamos mērķus. Piemēram, augstāk minētajā pakāpju izteiksmē (2+0.3 7) 5−3.7 var veikt darbības ar skaitļiem bāzē un eksponentā, kas ļaus pāriet uz pakāpju 4.1 1.3. Un pēc iekavas atvēršanas un līdzīgu terminu piesaistīšanas pakāpes (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) bāzei, mēs iegūstam vienkāršākas formas pakāpju izteiksmi a 2·(x+ 1) .

Grāda īpašību izmantošana

Viens no galvenajiem instrumentiem izteiksmju pārveidošanai ar pilnvarām ir vienādības, kas atspoguļo . Atgādināsim galvenos. Jebkuriem pozitīviem skaitļiem a un b un patvaļīgiem reāliem skaitļiem r un s ir patiesas šādas pakāpju īpašības:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Ņemiet vērā, ka naturālajiem, veseliem skaitļiem un pozitīviem eksponentiem ierobežojumi attiecībā uz skaitļiem a un b var nebūt tik stingri. Piemēram, naturāliem skaitļiem m un n vienādība a m ·a n =a m+n ir patiesa ne tikai pozitīvajam a, bet arī negatīvajam a un a=0.

Skolā galvenā uzmanība, transformējot spēka izteiksmes, tiek likta uz spēju izvēlēties atbilstošu īpašību un pareizi to pielietot. Šajā gadījumā grādu bāzes parasti ir pozitīvas, kas ļauj bez ierobežojumiem izmantot grādu īpašības. Tas pats attiecas uz izteiksmju pārveidošanu, kas satur mainīgos pakāpju bāzēs - mainīgo lielumu pieļaujamo vērtību diapazons parasti ir tāds, ka bāzes ņem tikai pozitīvas vērtības, kas ļauj brīvi izmantot pakāpju īpašības . Kopumā jums pastāvīgi jājautā sev, vai šajā gadījumā ir iespējams izmantot kādu grādu īpašību, jo neprecīza īpašību izmantošana var izraisīt izglītojošās vērtības samazināšanos un citas nepatikšanas. Šie punkti ir detalizēti un ar piemēriem apskatīti rakstā izteiksmju transformācija, izmantojot spēku īpašības. Šeit mēs aprobežosimies ar dažu vienkāršu piemēru apsvēršanu.

Piemērs.

Izteikt izteiksmi a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 kā pakāpju ar bāzi a.

Risinājums.

Pirmkārt, mēs pārveidojam otro koeficientu (a 2) -3, izmantojot īpašību palielināt jaudu par jaudu: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Sākotnējā jaudas izteiksme būs 2.5 ·a −6:a −5.5. Acīmredzot atliek izmantot pilnvaru reizināšanas un dalīšanas īpašības ar to pašu bāzi, kas mums ir
a 2,5 ·a -6:a -5,5 =
a 2,5-6:a -5,5 =a -3,5:a -5,5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

Atbilde:

a 2,5 · (a 2) -3:a -5,5 =a 2.

Pakāpju īpašības, transformējot pakāpju izteiksmes, tiek izmantotas gan no kreisās uz labo, gan no labās uz kreiso.

Piemērs.

Atrodiet jaudas izteiksmes vērtību.

Risinājums.

Vienādība (a·b) r =a r ·b r, kas piemērota no labās puses uz kreiso pusi, ļauj pāriet no sākotnējās izteiksmes uz formas produktu un tālāk. Un, reizinot jaudas ar tām pašām bāzēm, eksponenti summējas: .

Sākotnējo izteiksmi bija iespējams pārveidot citā veidā:

Atbilde:

.

Piemērs.

Ņemot vērā jaudas izteiksmi a 1,5 −a 0,5 −6, ievadiet jaunu mainīgo t = a 0,5.

Risinājums.

Pakāpi a 1,5 var attēlot kā 0,5 3 un pēc tam, pamatojoties uz pakāpes īpašību pakāpei (a r) s =a r s, piemērojot no labās puses uz kreiso, pārveidot to formā (a 0,5) 3. Tādējādi a 1,5 -a 0,5 -6 = (a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Tagad ir viegli ieviest jaunu mainīgo t=a 0,5, mēs iegūstam t 3 −t−6.

Atbilde:

t 3 −t−6 .

Pārvērš daļskaitļus, kas satur pakāpes

Spēka izteiksmes var saturēt vai attēlot daļskaitļus ar pakāpēm. Jebkura no daļskaitļu pamatpārveidojumiem, kas ir raksturīgi jebkura veida frakcijām, ir pilnībā piemērojama šādām daļām. Tas ir, daļskaitļus, kas satur pakāpes, var samazināt, reducēt līdz jaunam saucējam, apstrādāt atsevišķi ar to skaitītāju un atsevišķi ar saucēju utt. Lai ilustrētu šos vārdus, apsveriet risinājumus vairākiem piemēriem.

Piemērs.

Vienkāršojiet spēka izteiksmi .

Risinājums.

Šī jaudas izteiksme ir daļa. Strādāsim ar tā skaitītāju un saucēju. Skaitītājā mēs atveram iekavas un vienkāršojam iegūto izteiksmi, izmantojot pakāpju īpašības, un saucējā mēs parādām līdzīgus terminus:

Un mainīsim arī saucēja zīmi, daļskaitļa priekšā ievietojot mīnusu: .

Atbilde:

.

Pakāpju daļskaitļu samazināšana līdz jaunam saucējam tiek veikta līdzīgi kā racionālu daļu samazināšana līdz jaunam saucējam. Šajā gadījumā tiek atrasts arī papildu koeficients un ar to tiek reizināts daļskaitļa skaitītājs un saucējs. Veicot šo darbību, ir vērts atcerēties, ka samazināšana līdz jaunam saucējam var izraisīt VA sašaurināšanos. Lai tas nenotiktu, ir nepieciešams, lai papildu faktors nenonāktu līdz nullei nevienai mainīgo vērtībām no sākotnējās izteiksmes ODZ mainīgajiem.

Piemērs.

Samaziniet daļskaitļus līdz jaunam saucējam: a) līdz saucējam a, b) uz saucēju.

Risinājums.

a) Šajā gadījumā ir diezgan viegli izdomāt, kurš papildu reizinātājs palīdz sasniegt vēlamo rezultātu. Tas ir reizinātājs ar 0,3, jo 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Ņemiet vērā, ka mainīgā a pieļaujamo vērtību diapazonā (tā ir visu pozitīvo reālo skaitļu kopa) 0,3 jauda nepazūd, tāpēc mums ir tiesības reizināt dotā skaitītāju un saucēju. daļa ar šo papildu faktoru:

b) Uzmanīgāk apskatot saucēju, jūs to atradīsit

un reizinot šo izteiksmi ar, tiks iegūta kubu summa un , tas ir, . Un tas ir jaunais saucējs, līdz kuram mums jāsamazina sākotnējā daļa.

Tādā veidā mēs atradām papildu faktoru. Mainīgo x un y pieļaujamo vērtību diapazonā izteiksme nepazūd, tāpēc ar to varam reizināt daļskaitļa skaitītāju un saucēju:

Atbilde:

A) , b) .

Arī pakāpju daļskaitļu samazināšanā nav nekā jauna: skaitītājs un saucējs tiek attēloti kā vairāki faktori, un tie paši skaitītāja un saucēja faktori tiek samazināti.

Piemērs.

Samaziniet daļu: a) , b) .

Risinājums.

a) Pirmkārt, skaitītāju un saucēju var samazināt par skaitļiem 30 un 45, kas ir vienāds ar 15. Acīmredzot ir arī iespējams veikt samazināšanu par x 0,5 +1 un par . Lūk, kas mums ir:

b) Šajā gadījumā identiski faktori skaitītājā un saucējā nav uzreiz redzami. Lai tos iegūtu, jums būs jāveic iepriekšējas pārvērtības. Šajā gadījumā tie sastāv no saucēja faktorēšanas, izmantojot kvadrātu starpības formulu:

Atbilde:

A)

b) .

Daļskaitļu pārvēršana jaunā saucējā un daļskaitļu samazināšana galvenokārt tiek izmantota, lai veiktu darbības ar daļskaitļiem. Darbības tiek veiktas saskaņā ar zināmiem noteikumiem. Saskaitot (atņemot) daļskaitļus, tās tiek reducētas līdz kopsaucējam, pēc kā tiek saskaitīti (atņemti) skaitītāji, bet saucējs paliek nemainīgs. Rezultātā tiek iegūta daļa, kuras skaitītājs ir skaitītāju reizinājums, bet saucējs ir saucēju reizinājums. Dalīšana ar daļskaitli ir reizināšana ar apgriezto.

Piemērs.

Izpildiet norādītās darbības .

Risinājums.

Pirmkārt, mēs atņemam iekavās esošās daļas. Lai to izdarītu, mēs tos apvienojam ar kopsaucēju, kas ir , pēc kura mēs atņemam skaitītājus:

Tagad mēs reizinām daļskaitļus:

Acīmredzot ir iespējams samazināt ar jaudu x 1/2, pēc kura mums ir .

Varat arī vienkāršot jaudas izteiksmi saucējā, izmantojot kvadrātu atšķirības formulu: .

Atbilde:

Piemērs.

Vienkāršojiet spēka izteiksmi .

Risinājums.

Acīmredzot šo daļu var samazināt par (x 2,7 +1) 2, tas dod daļu . Ir skaidrs, ka ar X pilnvarām ir jādara kaut kas cits. Lai to izdarītu, mēs pārveidojam iegūto frakciju produktā. Tas dod mums iespēju izmantot iespēju sadalīt pilnvaras ar vienādām bāzēm: . Un procesa beigās mēs pārejam no pēdējā produkta uz frakciju.

Atbilde:

.

Un vēl piebildīsim, ka ir iespējams un daudzos gadījumos vēlams pārnest faktorus ar negatīviem eksponentiem no skaitītāja uz saucēju vai no saucēja uz skaitītāju, mainot eksponenta zīmi. Šādas pārvērtības bieži vien vienkāršo turpmākās darbības. Piemēram, jaudas izteiksmi var aizstāt ar .

Izteicienu pārvēršana ar saknēm un pilnvarām

Bieži vien izteiksmēs, kurās nepieciešamas dažas transformācijas, kopā ar pakāpēm ir arī saknes ar daļskaitļiem. Lai pārveidotu šādu izteiksmi vēlamajā formā, vairumā gadījumu pietiek tikai ar saknēm vai tikai pilnvarām. Bet, tā kā ir ērtāk strādāt ar pilnvarām, tie parasti pāriet no saknēm uz pilnvarām. Tomēr ir ieteicams veikt šādu pāreju, ja sākotnējās izteiksmes mainīgo ODZ ļauj aizstāt saknes ar pilnvarām bez nepieciešamības atsaukties uz moduli vai sadalīt ODZ vairākos intervālos (mēs to detalizēti apspriedām raksta pāreja no saknēm uz pakāpēm un atpakaļ Pēc iepazīšanās ar grādu ar racionālo eksponentu tiek ieviests grāds ar iracionālo eksponentu, kas ļauj runāt par pakāpi ar patvaļīgu reālo eksponentu Šajā posmā skola sāk pētījums eksponenciālā funkcija, ko analītiski dod pakāpē, kuras bāze ir skaitlis, bet eksponents ir mainīgais. Tātad mēs saskaramies ar pakāpju izteiksmēm, kas satur skaitļus pakāpju bāzē, bet eksponentā - izteiksmes ar mainīgajiem, un dabiski rodas nepieciešamība veikt šādu izteiksmju transformācijas.

Jāteic, ka norādītā tipa izteiksmju transformācija parasti ir jāveic risinot eksponenciālie vienādojumi Un eksponenciālās nevienlīdzības, un šie reklāmguvumi ir diezgan vienkārši. Lielākajā daļā gadījumu tie ir balstīti uz grāda īpašībām un lielākoties ir vērsti uz jauna mainīgā ieviešanu nākotnē. Vienādojums ļaus mums tos parādīt 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Pirmkārt, pakāpes, kuru eksponentos ir noteikta mainīgā lieluma (vai izteiksmes ar mainīgajiem) un skaitļa summa, tiek aizstāti ar reizinājumiem. Tas attiecas uz izteiksmes pirmo un pēdējo vārdu kreisajā pusē:
5 2 x 5 1 -3 5 x 7 x -14 7 2 x 7 -1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Tālāk abas vienādības puses tiek dalītas ar izteiksmi 7 2 x, kas mainīgā x ODZ sākotnējam vienādojumam ņem tikai pozitīvas vērtības (šī ir standarta tehnika šāda veida vienādojumu risināšanai, mēs neesam runājot par to tagad, tāpēc koncentrējieties uz nākamajām izteicienu transformācijām ar pilnvarām ):

Tagad mēs varam atcelt daļskaitļus ar pakāpēm, kas dod .

Visbeidzot, pakāpju attiecība ar vienādiem eksponentiem tiek aizstāta ar attiecību pakāpēm, kā rezultātā tiek iegūts vienādojums , kas ir līdzvērtīgs . Veiktās transformācijas ļauj ieviest jaunu mainīgo, kas reducē sākotnējā eksponenciālā vienādojuma atrisinājumu līdz kvadrātvienādojuma atrisinājumam

Pašvaldības valsts izglītības iestāde

25. pamatskola

Algebras stunda

Temats:

« Pārveido izteiksmes, kas satur pakāpes ar daļskaitļa eksponentiem"

Izstrādāja:

,

matemātikas skolotājs

augstāks uzkvalifikācijas kategorija

Mezgls

2013

Nodarbības tēma: izteiksmju, kas satur eksponentus, konvertēšana ar daļskaitļiem

Nodarbības mērķis:

1. Prasmju, zināšanu un prasmju tālāka pilnveidošana, pārveidojot izteiksmes, kas satur pakāpes ar daļskaitļa eksponentiem

2. Attīstīt spēju atrast kļūdas, attīstīt domāšanu, radošumu, runas, skaitļošanas prasmes

3. Veicināt neatkarību, interesi par priekšmetu, vērīgumu, precizitāti.

TCO: magnētiskā tāfele, ieskaites kartītes, galdi, individuālās kartītes, skolēniem uz galda ir tukšas parakstītas lapas individuālajiem darbiem, krustvārdu mīkla, matemātiskās iesildīšanās tabulas, multimediju projektors.

Nodarbības veids: ZUN nodrošināšana.

Nodarbības plāns laika gaitā

1. Organizatoriskie aspekti (2 min)

2. Mājas darbu pārbaude (5 min)

3. Krustvārdu mīkla (3 min)

4. Matemātiskā iesildīšanās (5 min)

5. Frontālās stiprināšanas vingrinājumu risināšana (7 min)

6. Individuālais darbs (10 min)

7. Atkārtošanas vingrinājumu risinājums (5 min)

8. Nodarbības kopsavilkums (2 min)

9. Mājas darbs (1 min)

Nodarbību laikā

1) Mājas darbu pārbaude salīdzinošās pārskatīšanas veidā . Labi skolēni pārbauda vāju bērnu klades. Un vājie puiši pārbauda ar stiprajiem, izmantojot kontrolkartes paraugu. Mājas darbi tiek sniegti divās versijās.

es variants uzdevums nav grūts

II variants uzdevums ir grūts

Pārbaudes rezultātā puiši ar vienkāršu zīmuli izceļ kļūdas un dod vērtējumu. Beidzot pārbaudu darbu pēc tam, kad bērni pēc stundām iedod klades. Es jautāju puišiem viņu pārbaudes darbu rezultātus un savā kopsavilkuma tabulā ievietoju atzīmes par šāda veida darbiem.

2) Teorētiskā materiāla pārbaudei tiek piedāvāta krustvārdu mīkla.

Vertikāli:

1. Reizināšanas īpašība, ko izmanto, reizinot monomu ar polinomu?

2. Eksponentu ietekme, paaugstinot jaudu par jaudu?

3. Grāds ar nulles indeksu?

4. Produkts, kas sastāv no identiskiem faktoriem?

Horizontāli:

5. Sakne n – ak, nenegatīva skaitļa pakāpe?

6. Eksponentu darbība, reizinot pilnvaras?

7. Eksponentu ietekme spēku sadalē?

8. Visu identisko faktoru skaits?

3) Matemātiskā iesildīšanās

a) veiciet aprēķinu un izmantojiet šifru, lai izlasītu uzdevumā paslēpto vārdu.

Jūsu priekšā uz tāfeles ir galds. Tabulā 1. ailē ir piemēri, kas jāaprēķina.

Atslēga pie galda

Un ierakstiet atbildi ailē II un III ailē ielieciet šai atbildei atbilstošo burtu.

Skolotājs: Tātad šifrētais vārds ir “grāds”. Nākamajā uzdevumā strādājam ar 2. un 3. pakāpi

b) Spēle “Pārliecinies, ka nekļūdies”

Punktu vietā ievietojiet skaitli

a) x=(x...)2; b) a3/2 = (a1/2)…; c) a=(a1/3)…; d) 5... = (51/4)2; e) 34/3=(34/9)…; e) 74/5 = (7...)2; g) x1/2=(x...)2; h) y1/2=(y...)2

Atradīsim kļūdu:

А1/4 – 2а1/2 + 1 = (а1/

Tātad, puiši, kas bija jāizmanto, lai izpildītu šo uzdevumu:

Pakāpju īpašība: paaugstinot pakāpi līdz pakāpei, eksponenti tiek reizināti;

4) Tagad sāksim ar priekšgala rakstisko darbu. , izmantojot iepriekšējā darba rezultātus. Atveriet piezīmju grāmatiņas un pierakstiet stundas datumu un tēmu.

№ 000

a) a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2 = (a1/2 – b1/2)*(a1/2 + b1/2)

b) a – c = (a1/3)3 – (b1/3)3 = (a1/3 – c1/3)* (a2/3 + a1/3 b1/3 + b2/3)

Nr. 000 (a, c, d, e)

A ) m2 – 5 = m2 – (m1/2)2 = (m – 51/2)*(m+51/2)

c) a3 – 4 = (a3/2) 2 – 22 = (a3/2 – 2)* (a3/2 +2)

d) x2/5 – y4/5 = (x1/5)2 – (y2/5)2 = (x1/5 – y2/5)* (x1/5 + y2/5)

e) 4 – a = 22 – (a1/2)2 = (2 – a1/2)*(2+a1/2)

Nr. 000 (a, d, f)

a) x3 – 2 = x3 – (21/3) 3 = (x – 21/3)* (x2 + 21/3 x + 22/3)

d) a6/5 + 27 = (a2/5) 3 + 33 = (a2/5 + 3)* (a4/3 – 3 a2/5 + 9)

e) 4 + y = (41/3) 3 + (y1/3)3 = (41/3 + y1/3)* (42/3 + 41/3 y1/3 + y2/3)

Novērtējums

5) Strādājiet ar atsevišķām kartēm, izmantojot četras iespējas uz atsevišķām lapām

Uzdevumi ar dažādu grūtības pakāpi tiek izpildīti bez skolotāja pamudinājuma.

Es nekavējoties pārbaudu darbu un ievietoju atzīmes savā tabulā un puišu papīros.

Nr. 000 (a, c, d, h)

a) 4*31/2/(31/2–3) = 4*31/2 /31/2*(1–31/2) = 4 / (1–31/2)

c) x + x1/2/2x = x1/2*(x1/2+1)/ 2*(x1/2)2 = (x1/2+1)/ 2x1/2

e) (a2/3 – b2/3)/(a1/3 +b1/3) = (a1/3)2 – (b1/3)2/(a1/3 +b1/3) = (a1/3) + b1/3)*(a1/3 – b1/3)/(a1/3 + b1/3) = a1/3 – b1/3

h) (x2/3 - x1/3 y1/3 + y2/3)/(x + y) = ((x1/3)2 - x1/3 y1/3 + (y1/3)2)/(( x1/3)3 +(y1/3)3) = ((x1/3)2 – x1/3 y1/3 +(y1/3)2)/(x1/3 +y1/3)*((x1) /3)2 – x1/3 y1/3 + (y1/3)2) = 1/ (x1/3 + y1/3)

7) Darbs ar atsevišķām kartēm ar dažādu sarežģītības pakāpi. Dažos vingrinājumos ir skolotāja ieteikumi, jo materiāls ir sarežģīts un vājiem bērniem ir grūti tikt galā ar darbu

Ir pieejamas arī četras iespējas. Novērtēšana notiek nekavējoties. Visas atzīmes saliku izklājlapā.

Problēma Nr no kolekcijas

Skolotājs uzdod jautājumus:

1. Kas ir jāatrod problēmā?

2. Kas jums par to jāzina?

3. Kā izteikt 1 gājēja un 2 gājēju laiku?

4. Salīdzini 1. un 2. gājēju laikus atbilstoši uzdevuma nosacījumiem un izveido vienādojumu.

Problēmas risinājums:

Ļaujiet x (km/h) apzīmēt 1 gājēja ātrumu

X +1 (km/h) – 2 gājēju ātrums

4/х (h) – gājēju laiks

4/(x +1) (h) – otrā gājēja laiks

Atbilstoši uzdevuma nosacījumiem 4/x >4/ (x +1) 12 minūtes

12 min = 12 /60 h = 1/5 h

Izveidosim vienādojumu

X/4 – 4/ (x +1) = 1/5

NOZ: 5x(x +1) ≠ 0

5*4*(x+1) – 5*4x = x*(x+1)

20x + 20 - 20x - x2 - x = 0

X2 +x –20 = 0

D=1 – 4*(-20) = 81, 81>0, 2 k

x1 = (-1 -√81)/(-2) = 5 km/h – 1 gājēja ātrums

x2 = (-1 + √81)/(-2) = 4 – neatbilst uzdevuma jēgai, jo x>0

Atbilde: 5 km/h – 2 gājēju ātrums

9) Nodarbības kopsavilkums: Tātad, puiši, šodien nodarbībā nostiprinājām zināšanas, prasmes un pakāpes saturošu izteiksmju pārveidošanas prasmes, pielietojām saīsinātas reizināšanas formulas, izņēmām kopējo koeficientu no iekavām un atkārtojām aplūkoto materiālu. Es norādu uz priekšrocībām un trūkumiem.

Nodarbības apkopošana tabulā.

10) Paziņoju atzīmes. Mājas darba uzdevums

Individuālās kārtis K – 1 un K – 2

Es mainu B – 1 un B – 2; B – 3 un B – 4, jo tie ir līdzvērtīgi

Pieteikumi nodarbībai.

1) Mājas darbu kartītes

1. vienkāršot

a) (x1/2 – y1/2)2 + 2x1/2 y1/2

b) (a3/2 + 5a1\2)2 – 10a2

2. klāt kā summa

a) a1/3 c1\4*(b2/3 + c3/4)

b) (a1/2 – b1/2)*(a + a1/2 b1\2 + c)

3. izņemt kopējo reizinātāju

c) 151/3 +201/3

1. vienkāršot

a) √m + √n – (m1/4 – n1/4)2

b) (a1/4 + b1/4)*(a1/8 + b1/8)*(a1\8 – b1/8)

2. klāt kā summa

a) x0,5 y0,5* (x-0,5–y1,5)

b) (x1/3 +y1/3)*(x2\3 – x1/3 y1\3 +y2/3)

3. Izņemiet kopējo koeficientu no iekavām

b) c1\3 – c

c) (2a)1/3 – (5a)1\3

2) kontrolkarte B – 2

a) √m + √n – (m 1|4 – n 1|4)2 = m 1|2 + n 1|2 – ((m 1|2)2 – 2 m 1/4 n 1/4 + (n 1/2) 2) = m 1/2 + n 1/2 - m 1/2 + 2 m 1/4 n 1/4 - n 1/2 = 2 m 1/4 n 1/4

b) (a1/4 + b1/4)*(a1/8 + b1/8)*(a1/8 – b1/8) = (a1/4 + b1/4)*(a1/8)2 – ( в1/8)2 = (а1/4 + в1/4)*(а1/4 – в1/4) = (а1/4)2 - (в1/4)2 = а1/2 - в1/2

a) x0,5 y0,5* (x-0,5-y1,5) = x0,5 y0,5 x-0,5 - x0,5 y0,5y1,5 = x0 y0,5 - x0,5 y2 = y0. 5 – x0,5 g2

b) (x1/3 + y1/3)*(x2/3 – x1/3 y1\3 + y2/3) = (x1\3 + y1/3)*((x1/3)2 – x1/3 y1\3 + (y1/3)2) = (x1/3)2 + (y1/3)2 = x + y

a) 3–31/2 = 31/2 * (31/2–1)

b) v1/3 – v = v1/3 *(1 – v2/3)

c) (2a) 1/3 – (5a) 1/3 = a1/3* (21/3 – 51/3)

3) Kartiņas pirmajam individuālajam darbam

a) a – y, x ≥ 0, y ≥ 0

b) a – un, a ≥ 0

1. Faktorizēt kā kvadrātu starpību

a) a1/2 – b1/2

2. Faktorizēt kā starpību vai kubu summu

a) c1/3 + d1/3

1. Faktorizēt kā kvadrātu starpību

a) X1/2 + Y1/2

b) X1/4 – U1/4

2. Faktorizēt kā starpību vai kubu summu

4) kartes otrajam individuālajam darbam

a) (x – x1/2)/ (x1/2 – 1)

Instrukcija: x1/2, noņemiet skaitītājus no iekavām

b) (a–c)/(a1/2–b1/2)

Piezīme: a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2

Samaziniet daļu

a) (21/4 – 2)/ 5*21/4

Instrukcija: noņemiet 21/4 no iekavām

b) (a–c)/(5а1/2–5в1/2)

Piezīme: a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2

3. iespēja

1. Samaziniet daļu

a) (x1/2 – x1/4)/x3/4

Instrukcija: novietojiet x1/4 no iekavām

b) (a1/2 – b1/2)/(4a1/4 – 4b1/4)

4. iespēja

Samaziniet daļu

a) 10/ (10–101/2)

b) (a–c)/(a2/3 + a1\3b1/3+ B 1/3)

Temats: " Pārvērš izteiksmes, kas satur pakāpes ar daļēju eksponentu"

"Ļaujiet kādam mēģināt izslēgt grādus no matemātikas, un viņš redzēs, ka bez tiem jūs netiksit tālu." (M.V. Lomonosovs)

Nodarbības mērķi:

izglītojošs: apkopot un sistematizēt studentu zināšanas par tēmu "Grāds ar racionālu rādītāju"; uzraudzīt materiāla apguves līmeni; novērst nepilnības studentu zināšanās un prasmēs;

izstrādājot: Attīstīt skolēnos paškontroles prasmes, radīt katram skolēnam interesējošu atmosfēru savā darbā, attīstīt skolēnu izziņas darbību;

izglītojošs: attīstīt interesi par priekšmetu, matemātikas vēsturi.

Nodarbības veids: zināšanu vispārināšanas un sistematizēšanas nodarbība

Aprīkojums: vērtējuma lapas, kartītes ar uzdevumiem, dekoderi, krustvārdu mīklas katram skolēnam.

Iepriekšēja sagatavošanās: klase ir sadalīta grupās, katrā grupā vadītājs ir konsultants.

NODARBĪBU LAIKĀ

I. Organizatoriskais moments.

Skolotājs: Esam beiguši pētīt tēmu “Jaudu ar racionālu eksponentu un tā īpašībām”. Tavs uzdevums šajā nodarbībā ir parādīt, kā esi apguvis apgūto materiālu un kā iegūtās zināšanas vari pielietot konkrētu problēmu risināšanā. Katram no jums uz galda ir rezultātu lapa. Tajā jūs ievadīsiet savu vērtējumu katram nodarbības posmam. Nodarbības beigās jūs piešķirsiet vidējo vērtējumu par stundu.

Novērtēšanas papīrs

II. Mājas darbu pārbaude.

Kolēģu pārbaude ar zīmuli rokās, atbildes nolasa skolēni.

III. Studentu zināšanu papildināšana.

Skolotājs: Slavenais franču rakstnieks Anatols Frenss reiz teicis: "Mācīties ir jābūt jautrai... Lai apgūtu zināšanas, tās jāuzņem ar apetīti."

Risinot krustvārdu mīklu, atkārtosim nepieciešamo teorētisko informāciju.

Horizontāli:

1. Darbība, ar kuru tiek aprēķināta grāda vērtība (būvniecība).

2. Produkts, kas sastāv no identiskiem faktoriem (grāds).

3. Paaugstinātāju darbība, paaugstinot spēku par spēku (darbs).

4. Pakāpju darbība, kurā tiek atņemti pakāpju eksponenti (sadalījums).

Vertikāli:

5. Visu identisku faktoru skaits (indekss).

6. Grāds ar nulles indeksu (vienība).

7. Atkārtots reizinātājs (bāze).

8. Vērtība 10 5: (2 3 5 5) (četri).

9. Eksponents, ko parasti neraksta (vienība).

IV. Matemātiskā iesildīšanās.

Skolotājs. Atkārtosim pakāpes definīciju ar racionālu eksponentu un tā īpašībām un izpildīsim sekojošus uzdevumus.

1. Izteiksmi x 22 uzrādīt kā divu pakāpju reizinājumu ar bāzi x, ja viens no faktoriem ir vienāds ar: x 2, x 5.5, x 1\3, x 17.5, x 0

2. Vienkāršojiet:

b) y 5\8 y 1\4: y 1\8 = y

c) no 1,4 no -0,3 no 2,9

3. Aprēķiniet un izveidojiet vārdu, izmantojot dekodētāju.

Pēc šī uzdevuma pabeigšanas jūs, puiši, uzzināsit tā vācu matemātiķa vārdu, kurš ieviesa terminu “eksponents”.

1) (-8) 1\3 2) 81 1\2 3) (3\5) -1 4) (5\7) 0 5) 27 -1\3 6) (2\3) -2 7) 16 1\2 * 125 1\3

Vārds: 1234567 (Stifel)

V. Rakstisks darbs piezīmju grāmatiņās (atbildes tiek atvērtas uz tāfeles) .

Uzdevumi:

1. Vienkāršojiet izteiksmi:

(x-2): (x 1\2 -2 1\2) (y-3): (y 1\2 - 3 1\2) (x-1): (x 2\3 - x 1\3 +1)

2. Atrodiet izteiksmes vērtību:

(x 3\8 x 1\4:) 4 pie x=81

VI. Darbs grupās.

Vingrinājums. Atrisiniet vienādojumus un veidojiet vārdus, izmantojot dekodētāju.

Karte Nr.1

Vārds: 1234567 (Diophantus)

Karte Nr.2

Karte Nr.3

Vārds: 123451 (Ņūtons)

Dekodētājs

Skolotājs. Visi šie zinātnieki piedalījās jēdziena “grādi” izstrādē.

VII. Vēsturiskā informācija par grāda jēdziena attīstību (studenta vēstījums).

Jēdziens grāds ar dabisku rādītāju veidojās seno tautu vidū. Laukumu un tilpumu aprēķināšanai tika izmantoti kvadrātu un kubu skaitļi. Dažu skaitļu pilnvaras izmantoja Senās Ēģiptes un Babilonas zinātnieki noteiktu problēmu risināšanā.

3. gadsimtā tika izdota grieķu zinātnieka Diofanta grāmata “Aritmētika”, kas lika pamatus burtu simbolu ieviešanai. Diofants ievieš simbolus, kas apzīmē pirmos sešus nezināmā spēkus un to abpusējus. Šajā grāmatā kvadrāts ir apzīmēts ar zīmi ar apakšindeksu r; kubs – zīme k ar indeksu r utt.

No sarežģītāku algebrisko problēmu risināšanas prakses un darbības ar pakāpēm radās nepieciešamība vispārināt pakāpes jēdzienu un paplašināt to, kā eksponentu ieviešot nulles, negatīvus un daļskaitļus. Matemātiķi nonāca pie idejas pakāpeniski vispārināt pakāpes jēdzienu ar nedabisku eksponentu pakāpeniski.

Frakcionālie eksponenti un vienkāršākie noteikumi darbības pakāpēm ar daļskaitļu eksponentiem ir atrodami franču matemātiķa Nikolasa Oresma (1323–1382) darbā “Proporciju algoritms”.

Vienādību a 0 =1 (par un nav vienāds ar 0) savos darbos 15. gadsimta sākumā izmantoja Samarkandas zinātnieks Giyasaddin Kashi Dzhemshid. Patstāvīgi nulles rādītāju ieviesa Nikolajs Šuke 15. gadsimtā. Ir zināms, ka Nikolass Šukets (1445–1500) uzskatīja grādus ar negatīvu un nulles eksponentu.

Vēlāk daļskaitļi un negatīvie eksponenti ir atrodami vācu matemātiķa M. Stīfela grāmatā “Pilnīgā aritmētika” (1544) un Simona Stīvina. Saimons Stīvins ierosināja, ka 1/n ir domāta kā sakne.

Vācu matemātiķis M. Stīfels (1487–1567) sniedza 0 = 1 at definīciju un ieviesa vārda eksponentu (tas ir burtisks tulkojums no vācu eksponenta). Vācu potenzieren nozīmē paaugstināt spēku.

16. gadsimta beigās Fransuā Vjete ieviesa burtus, lai apzīmētu ne tikai mainīgos, bet arī to koeficientus. Viņš izmantoja saīsinājumus: N, Q, C - pirmajai, otrajai un trešajai pakāpei. Bet mūsdienu apzīmējumus (piemēram, 4, 5) 17. gadsimtā ieviesa Renē Dekarts.

Mūsdienu definīcijas un apzīmējumi pakāpēm ar nulles, negatīviem un daļējiem eksponentiem nāk no angļu matemātiķu Džona Volisa (1616–1703) un Īzaka Ņūtona (1643–1727) darbiem.

Pirmo reizi angļu matemātiķis Džons Voliss 1665. gadā detalizēti rakstīja, ka ir ieteicams ieviest nulles, negatīvas un daļskaitļa eksponentus un modernos simbolus. Viņa darbu pabeidza Īzaks Ņūtons, kurš sāka sistemātiski lietot jaunus simbolus, pēc tam tos sāka lietot vispār.

Grāda ieviešana ar racionālu eksponentu ir viens no daudzajiem piemēriem matemātiskās darbības jēdzienu vispārināšanai. Pakāpe ar nulles, negatīvu un daļēju eksponentu tiek definēta tā, ka tam tiek piemēroti tie paši darbības noteikumi, kas pakāpei ar naturālo eksponentu, t.i. lai tiktu saglabātas sākotnējās definētās pakāpes jēdziena pamatīpašības.

Jaunā pakāpes definīcija ar racionālu eksponentu nav pretrunā ar veco pakāpes definīciju ar naturālo eksponentu, tas ir, jaunās pakāpes definīcijas ar racionālo eksponentu nozīme grāda īpašajam gadījumam paliek nemainīga. ar dabisko eksponentu. Šo principu, kas tiek ievērots, vispārinot matemātiskos jēdzienus, sauc par pastāvības (noturības saglabāšanas) principu. To nepilnīgā formā 1830. gadā izteica angļu matemātiķis J. Pīkoks, un to pilnībā un skaidri konstatēja vācu matemātiķis G. Henkels 1867. gadā.

VIII. Pārbaudiet sevi.

Patstāvīgais darbs, izmantojot kārtis (atbildes tiek atklātas uz tāfeles) .

1. iespēja

1. Aprēķināt: (1 punkts)

(a + 3a 1\2): (a 1\2 +3)

2. iespēja

1. Aprēķināt: (1 punkts)

2. Vienkāršojiet izteiksmi: katrs 1 punkts

a) x 1,6 x 0,4 b) (x 3\8) -5\6

3. Atrisiniet vienādojumu: (2 punkti)

4. Vienkāršojiet izteiksmi: (2 punkti)

5. Atrodiet izteiksmes vērtību: (3 punkti)

IX. Apkopojot stundu.

Kādas formulas un noteikumus jūs atcerējāties stundā?

Analizējiet savu darbu klasē.

Tiek vērtēts skolēnu darbs stundās.

X. Mājas darbs. K: R IV (atkārtot) art. 156-157 Nr. 4 (a-c), Nr. 7 (a-c),

Papildus: Nr.16

Pieteikums

Novērtēšanas papīrs

Vārds/vārds/students___________________________________________________

Karte Nr.1

1) X 1\3 =4; 2) y -1 = 3\5; 3) a 1\2 = 2\3; 4) x -0,5 x 1,5 = 1; 5) y 1\3 =2; 6) a 2\7 a 12\7 = 25; 7) a 1\2: a = 1\3

Dekodētājs

Karte Nr.2

1) X 1\3 =4; 2) y -1 = 3; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4) y 1\3 =2; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) a 1\2: a = 1\3

Dekodētājs

Karte Nr.3

1) a 2\7 a 12\7 = 25; 2) (x-12) 1\3 =2; 3) x -0,7 x 3,7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) un 1\2 = 2\3

Dekodētājs

Karte Nr.1

1) X 1\3 =4; 2) y -1 = 3\5; 3) a 1\2 = 2\3; 4) x -0,5 x 1,5 = 1; 5) y 1\3 =2; 6) a 2\7 a 12\7 = 25; 7) a 1\2: a = 1\3

Dekodētājs

Karte Nr.2

1) X 1\3 =4; 2) y -1 = 3; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4) y 1\3 =2; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) a 1\2: a = 1\3

Dekodētājs

Karte Nr.3

1) a 2\7 a 12\7 = 25; 2) (x-12) 1\3 =2; 3) x -0,7 x 3,7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) un 1\2 = 2\3

Dekodētājs

Karte Nr.1

1) X 1\3 =4; 2) y -1 = 3\5; 3) a 1\2 = 2\3; 4) x -0,5 x 1,5 = 1; 5) y 1\3 =2; 6) a 2\7 a 12\7 = 25; 7) a 1\2: a = 1\3

Dekodētājs

Karte Nr.2

1) X 1\3 =4; 2) y -1 = 3; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4) y 1\3 =2; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) a 1\2: a = 1\3

Dekodētājs

Karte Nr.3

1) a 2\7 a 12\7 = 25; 2) (x-12) 1\3 =2; 3) x -0,7 x 3,7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) un 1\2 = 2\3

Dekodētājs

Sadaļas: Matemātika

Klase: 9

MĒRĶIS: Nostiprināt un pilnveidot grāda īpašību pielietošanas prasmes ar racionālu eksponentu; Attīstīt iemaņas vienkāršu pakāpju izteiksmju transformāciju veikšanā ar daļskaitli.

NODARBĪBAS VEIDS: nodarbība par zināšanu nostiprināšanu un pielietošanu par šo tēmu.

MĀCĪBU GRĀMATA: Algebra 9 ed. S.A. Teļakovskis.

NODARBĪBU LAIKĀ

Skolotājas atklāšanas runa

"Cilvēki, kas nav pazīstami ar algebru, nevar iedomāties pārsteidzošas lietas, ko var sasniegt ar šīs zinātnes palīdzību." G.V. Leibnica

Algebra mums atver durvis uz laboratoriju kompleksu "Grāds ar racionālu eksponentu."

1. Frontālā aptauja

1) Sniedziet pakāpes definīciju ar daļēju eksponentu.

2) Kādam daļējam eksponentam ir definēta pakāpe, kuras bāze ir vienāda ar nulli?

3) Vai pakāpe tiks noteikta ar daļēju eksponentu negatīvai bāzei?

Uzdevums: Iedomājieties skaitli 64 kā jaudu ar bāzi - 2; 2; 8.

Kāda skaitļa kubs ir 64?

Vai ir kāds cits veids, kā attēlot skaitli 64 kā pakāpju ar racionālu eksponentu?

2. Darbs grupās

1 grupa. Pierādīt, ka izteiksmes (-2) 3/4 ; 0-2 nav jēgas.

2. grupa. Iedomājieties pakāpju ar daļēju eksponentu saknes formā: 2 2/3; 3 -1|3 ; -1,5; 5a 1/2; (x-y) 2/3 .

3. grupa. Uzrādīt kā pakāpju ar daļskaitli: v3; 8 va 4; 3v2 -2; v(x+y) 2/3 ; vvv.

3. Pāriesim uz laboratoriju “Rīcība uz pilnvarām”

Bieži laboratorijas viesi ir astronomi. Viņi ienes savus “astronomiskos skaitļus”, pakļauj tos algebriskai apstrādei un iegūst noderīgus rezultātus

Piemēram, attālumu no Zemes līdz Andromedas miglājam izsaka ar skaitli

95000000000000000000 = 95 10 18 km;

to sauc kvintiljons.

Saules masu gramos izsaka ar skaitli 1983 10 30 g - nonnalion.

Turklāt laboratoriju gaida citi nopietni uzdevumi. Piemēram, problēma ar tādu izteiksmju aprēķināšanu kā:

A) ; b) ; V) .

Laboratorijas darbinieki veic šādus aprēķinus visērtākajā veidā.

Varat izveidot savienojumu ar darbu. Lai to izdarītu, atkārtosim pakāpju īpašības ar racionāliem eksponentiem:

Tagad aprēķiniet vai vienkāršojiet izteiksmi, izmantojot pakāpju īpašības ar racionāliem eksponentiem:

1. grupa:

2. grupa:

3. grupa:

Pārbaude: viena persona no grupas pie tāfeles.

4. Salīdzināšanas uzdevums

Kā mēs varam salīdzināt izteiksmes 2 100 un 10 30, izmantojot pakāpju īpašības?

Atbilde:

2 100 =(2 10) 10 =1024 10 .

10 30 =(10 3) 10 =1000 10

1024 10 >1000 10

2 100 >10 30

5. Un tagad aicinu uz laboratoriju “Grādu izpēte”.

Kādas transformācijas mēs varam veikt ar pilnvarām?

1) Iedomājieties skaitli 3 kā pakāpju ar eksponentu 2; 3; -1.

2) Kā var faktorizēt izteiksmes a-c? in+in 1/2; a-2a 1/2; 2's 2?

3) Samaziniet daļu, kam seko savstarpēja pārbaude:

4) Izskaidrojiet veiktās transformācijas un atrodiet izteiciena nozīmi:

6. Darbs ar mācību grāmatu. Nr. 611(g, d, f).

1. grupa: (d).

2. grupa: (e).

3. grupa: (f).

Nr.629 (a, b).

Salīdzinošā pārskatīšana.

7. Veicam darbnīcu (patstāvīgais darbs).

Dotie izteicieni:

Kuras daļskaitļus samazinot, tiek saīsinātas reizināšanas formulas un kopējo koeficientu izliekot iekavās?

1. grupa: Nr.1, 2, 3.

2. grupa: Nr.4, 5, 6.

3. grupa: Nr.7, 8, 9.

Veicot uzdevumu, varat izmantot ieteikumus.

1. Ja piemēra apzīmējumā ir gan pakāpes ar racionālo eksponentu, gan n-tās pakāpes saknes, tad rakstiet n-tās pakāpes saknes pakāpju formā ar racionālo eksponentu.
2. Mēģiniet vienkāršot izteiksmi, ar kuru tiek veiktas darbības: atveriet iekavas, izmantojot saīsināto reizināšanas formulu, pārejiet no pakāpes ar negatīvu eksponentu uz izteiksmi, kurā ir pakāpes ar pozitīvu eksponentu.
3. Nosakiet secību, kādā jāveic darbības.
4. Pabeidziet darbības tādā secībā, kādā tās tiek veiktas.

Skolotājs vērtē pēc burtnīcu savākšanas.

8. Mājas darbs: Nr.624, 623.