Trijstūra laukums - problēmas risināšanas formulas un piemēri. Teorēma par trijstūra laukumu, sinusu un kosinusu teorēmas Trijstūra laukums ar kosinusu un divām malām

Var atrast, zinot pamatni un augstumu. Visa diagrammas vienkāršība slēpjas faktā, ka augstums sadala pamatni a divās daļās a 1 un a 2 un pašu trīsstūri divos taisnleņķa trīsstūros, kuru laukums ir un. Tad visa trīsstūra laukums būs divu norādīto laukumu summa, un, ja no kronšteina izņemam vienu sekundi no augstuma, tad summā mēs iegūstam pamatni:

Sarežģītāka aprēķinu metode ir Herona formula, kurai jāzina visas trīs puses. Šai formulai vispirms jāaprēķina trijstūra pusperimetrs: Pati Herona formula ietver pusperimetra kvadrātsakni, kas reizināta ar tās starpību katrā pusē.

Šī metode, kas attiecas arī uz jebkuru trīsstūri, ļauj atrast trijstūra laukumu caur divām malām un leņķi starp tām. Pierādījums tam nāk no formulas ar augstumu - mēs uzzīmējam augstumu jebkurā no zināmajām malām un caur leņķa α sinusu iegūstam, ka h=a⋅sinα. Lai aprēķinātu laukumu, reiziniet pusi augstuma ar otro pusi.

Vēl viens veids ir atrast trīsstūra laukumu, zinot 2 leņķus un malu starp tiem. Šīs formulas pierādījums ir diezgan vienkāršs, un to var skaidri redzēt no diagrammas.

Mēs pazeminām augstumu no trešā leņķa virsotnes uz zināmo pusi un attiecīgi izsaucam iegūtos segmentus x. No taisnleņķa trijstūriem var redzēt, ka pirmais segments x ir vienāds ar reizinājumu

Vienkārši sakot, tie ir dārzeņi, kas vārīti ūdenī pēc īpašas receptes. Izskatīšu divus sākotnējos komponentus (dārzeņu salātus un ūdeni) un gatavo rezultātu - boršču. Ģeometriski to var uzskatīt par taisnstūri, kura viena puse attēlo salātus, bet otra - ūdeni. Šo divu pušu summa norādīs boršču. Šāda “borša” taisnstūra diagonāle un laukums ir tīri matemātiski jēdzieni un nekad netiek izmantoti boršča receptēs.

Matemātikas mācību grāmatās neko neatradīsit par lineārām leņķiskām funkcijām. Bet bez tiem nevar būt matemātikas. Matemātikas likumi, tāpat kā dabas likumi, darbojas neatkarīgi no tā, vai mēs zinām par to esamību vai nē.

Lineāras leņķiskās funkcijas ir saskaitīšanas likumi. Skatiet, kā algebra pārvēršas ģeometrijā un ģeometrija pārvēršas trigonometrijā.

Vai var iztikt bez lineārām leņķiskām funkcijām? Tas ir iespējams, jo matemātiķi joprojām iztiek bez tiem. Matemātiķu viltība ir tāda, ka viņi mums vienmēr stāsta tikai par tām problēmām, kuras paši zina, kā atrisināt, un nekad nerunā par tām problēmām, kuras nevar atrisināt. Skaties. Ja mēs zinām saskaitīšanas un viena vārda rezultātu, mēs izmantojam atņemšanu, lai atrastu otru terminu. Visi. Mēs nezinām citas problēmas un nezinām, kā tās atrisināt. Kā rīkoties, ja zinām tikai pievienošanas rezultātu un nezinām abus terminus? Šajā gadījumā pievienošanas rezultāts ir jāsadala divos terminos, izmantojot lineārās leņķiskās funkcijas. Tālāk mēs paši izvēlamies, kāds var būt viens termins, un lineārās leņķiskās funkcijas parāda, kādam jābūt otrajam terminam, lai saskaitīšanas rezultāts būtu tieši tas, kas mums nepieciešams. Šādu terminu pāru var būt bezgalīgi daudz. Ikdienā mēs iztiekam lieliski, nesadalot summu, mums pietiek ar atņemšanu. Taču dabas likumu zinātniskajos pētījumos summas sadalīšana tās sastāvdaļās var būt ļoti noderīga.

Vēl viens saskaitīšanas likums, par kuru matemātiķiem nepatīk runāt (vēl viens viņu triks), nosaka, ka terminiem jābūt vienādām mērvienībām. Salātiem, ūdenim un borščam tās var būt svara, tilpuma, vērtības vai mērvienības.

Attēlā parādīti divi matemātiskās atšķirības līmeņi. Pirmais līmenis ir atšķirības skaitļu laukā, kas ir norādītas a, b, c. To dara matemātiķi. Otrais līmenis ir atšķirības mērvienību laukā, kas parādītas kvadrātiekavās un norādītas ar burtu U. To dara fiziķi. Mēs varam saprast trešo līmeni - atšķirības aprakstāmo objektu zonā. Dažādiem objektiem var būt vienāds identisku mērvienību skaits. Cik tas ir svarīgi, mēs varam redzēt boršča trigonometrijas piemērā. Ja pievienojam apakšindeksus vienam un tam pašam vienības apzīmējumam dažādiem objektiem, mēs varam precīzi pateikt, kāds matemātiskais lielums apraksta konkrēto objektu un kā tas mainās laika gaitā vai mūsu darbību dēļ. Vēstule W Es apzīmēšu ūdeni ar burtu S Es apzīmēšu salātus ar burtu B- borščs. Šādi izskatīsies boršča lineārās leņķiskās funkcijas.

Ja paņemsim kādu daļu ūdens un kādu daļu no salātiem, tie kopā pārvērtīsies par vienu boršča porciju. Šeit es iesaku jums nedaudz atpūsties no boršča un atcerēties savu tālo bērnību. Atcerieties, kā mums mācīja salikt zaķus un pīles? Vajadzēja noskaidrot, cik dzīvnieku būs. Ko tad mums mācīja darīt? Mums mācīja atdalīt mērvienības no skaitļiem un saskaitīt skaitļus. Jā, jebkuru numuru var pievienot jebkuram citam numuram. Tas ir tiešs ceļš uz mūsdienu matemātikas autismu - mēs to darām nesaprotami, ko, nesaprotami kāpēc, un ļoti slikti saprotam, kā tas ir saistīts ar realitāti, jo trīs atšķirības līmeņu dēļ matemātiķi darbojas tikai ar vienu. Pareizāk būtu iemācīties pāriet no vienas mērvienības uz citu.

Zaķus, pīles un mazus dzīvniekus var saskaitīt gabalos. Viena kopēja mērvienība dažādiem objektiem ļauj tos saskaitīt kopā. Šī ir problēmas bērnu versija. Apskatīsim līdzīgu problēmu pieaugušajiem. Ko jūs saņemat, pievienojot zaķus un naudu? Šeit ir divi iespējamie risinājumi.

Pirmais variants. Nosakām zaķu tirgus vērtību un pievienojam pieejamajai naudas summai. Mēs saņēmām mūsu bagātības kopējo vērtību naudas izteiksmē.

Otrais variants. Jūs varat pievienot zaķu skaitu mūsu banknošu skaitam. Kustamās mantas summu saņemsim gabalos.

Kā redzat, viens un tas pats pievienošanas likums ļauj iegūt dažādus rezultātus. Tas viss ir atkarīgs no tā, ko tieši mēs vēlamies uzzināt.

Bet atgriezīsimies pie mūsu boršča. Tagad mēs varam redzēt, kas notiks ar dažādām lineāro leņķisko funkciju leņķu vērtībām.

Leņķis ir nulle. Mums ir salāti, bet nav ūdens. Mēs nevaram pagatavot boršču. Arī boršča daudzums ir nulle. Tas nebūt nenozīmē, ka nulle boršča ir vienāda ar nulli ūdens. Var būt nulles borščs ar nulles salātiem (taisnā leņķī).

Man personīgi šis ir galvenais matemātiskais pierādījums tam, ka . Nulle nemaina numuru, kad to pievieno. Tas notiek tāpēc, ka pati pievienošana nav iespējama, ja ir tikai viens termins un trūkst otrā termina. Jūs varat justies par to, kā vēlaties, bet atcerieties - visas matemātiskās darbības ar nulli ir izdomājuši paši matemātiķi, tāpēc izmetiet savu loģiku un stulbi piebāzt matemātiķu izdomātās definīcijas: "dalīšana ar nulli nav iespējama", "jebkurš skaitlis reizināts ar nulle ir vienāda ar nulli”, “aiz pārduršanas punkta nulles” un citas muļķības. Pietiek vienreiz atcerēties, ka nulle nav skaitlis, un jums nekad vairs nebūs jautājumu, vai nulle ir naturāls skaitlis vai nē, jo šāds jautājums zaudē visu nozīmi: kā to, kas nav skaitlis, var uzskatīt par skaitli ? Tas ir tāpat kā jautāt, kādā krāsā ir klasificējama neredzamā krāsa. Nulles pievienošana skaitlim ir tas pats, kas krāsot ar krāsu, kuras tur nav. Mēs pamājām ar sausu otu un visiem teicām, ka "mēs krāsojām". Bet es nedaudz novirzos.

Leņķis ir lielāks par nulli, bet mazāks par četrdesmit pieciem grādiem. Mums ir daudz salātu, bet nepietiek ūdens. Rezultātā iegūsim biezu boršču.

Leņķis ir četrdesmit pieci grādi. Mums ir vienāds daudzums ūdens un salātu. Šis ir ideāls borščs (piedodiet, šefpavāri, tā ir tikai matemātika).

Leņķis ir lielāks par četrdesmit pieciem grādiem, bet mazāks par deviņdesmit grādiem. Mums ir daudz ūdens un maz salātu. Jūs saņemsiet šķidru boršču.

Pareizā leņķī. Mums ir ūdens. No salātiem paliek tikai atmiņas, jo turpinām mērīt leņķi no līnijas, kas kādreiz iezīmēja salātus. Mēs nevaram pagatavot boršču. Boršča daudzums ir nulle. Šajā gadījumā turiet un dzeriet ūdeni, kamēr jums tas ir)))

Šeit. Kaut kas tamlīdzīgs. Es varu šeit pastāstīt citus stāstus, kas šeit būtu vairāk nekā piemēroti.

Diviem draugiem bija savas daļas kopīgā biznesā. Pēc viena nogalināšanas viss pārgāja uz otru.

Matemātikas parādīšanās uz mūsu planētas.

Visi šie stāsti tiek stāstīti matemātikas valodā, izmantojot lineāras leņķiskās funkcijas. Citreiz es jums parādīšu šo funkciju īsto vietu matemātikas struktūrā. Tikmēr atgriezīsimies pie boršča trigonometrijas un apsvērsim projekcijas.

Sestdien, 26.10.2019

Noskatījos interesantu video par Grundy sērija Viens mīnus viens plus viens mīnus viens - Numberphile. Matemātiķi melo. Sprieduma laikā viņi neveica vienlīdzības pārbaudi.

Tas sasaucas ar manām domām par.

Apskatīsim tuvāk zīmes, kas liecina, ka matemātiķi mūs maldina. Pašā argumenta sākumā matemātiķi saka, ka secības summa IR ATKARĪGA no tā, vai tai ir pāra elementu skaits vai nav. Tas ir OBJEKTĪVI KONSTATĒTS FAKTS. Kas notiek tālāk?

Tālāk matemātiķi atņem secību no vienotības. Pie kā tas noved? Tas noved pie secības elementu skaita izmaiņām - pāra skaitlis mainās uz nepāra skaitli, nepāra skaitlis mainās par pāra skaitli. Galu galā mēs secībai pievienojām vienu elementu, kas vienāds ar vienu. Neskatoties uz visu ārējo līdzību, secība pirms transformācijas nav vienāda ar secību pēc transformācijas. Pat ja mēs runājam par bezgalīgu secību, mums jāatceras, ka bezgalīga secība ar nepāra elementu skaitu nav vienāda ar bezgalīgu secību ar pāra elementu skaitu.

Liekot vienādības zīmi starp divām sekvencēm ar atšķirīgu elementu skaitu, matemātiķi apgalvo, ka secības summa NAV ATKARĪGA no elementu skaita secībā, kas ir pretrunā ar OBJEKTĪVI NOTEIKTU FAKTU. Papildu argumentācija par bezgalīgas secības summu ir nepatiesa, jo tā ir balstīta uz nepatiesu vienādību.

Ja redzat, ka matemātiķi pierādīšanas gaitā liek iekavas, pārkārto matemātiskās izteiksmes elementus, kaut ko pievieno vai noņem, esiet ļoti uzmanīgi, visticamāk, viņi mēģina jūs maldināt. Tāpat kā kāršu burvji, matemātiķi izmanto dažādas izteiksmes manipulācijas, lai novērstu jūsu uzmanību, lai galu galā sniegtu nepatiesu rezultātu. Ja jūs nevarat atkārtot kāršu triku, nezinot maldināšanas noslēpumu, tad matemātikā viss ir daudz vienkāršāk: jūs pat neko nenojaušat par maldināšanu, bet atkārtojot visas manipulācijas ar matemātisku izteiksmi, jūs varat pārliecināt citus par maldināšanas pareizību. iegūtais rezultāts, tāpat kā tad, kad -viņi jūs pārliecināja.

Klausītāju jautājums: vai bezgalība (kā elementu skaits secībā S) ir pāra vai nepāra? Kā jūs varat mainīt paritāti kaut kam, kam nav paritātes?

Bezgalība ir matemātiķiem, tāpat kā Debesu valstība ir priesteriem - neviens tur nav bijis, bet visi precīzi zina, kā tur viss darbojas))) Piekrītu, pēc nāves jums būs absolūti vienaldzīgs, vai dzīvojāt pāra vai nepāra skaitļa. dienu, bet... Pievienojot jūsu dzīves sākumam tikai vienu dienu, mēs iegūsim pavisam citu cilvēku: viņa uzvārds, vārds un uzvārds ir pilnīgi vienādi, tikai dzimšanas datums ir pilnīgi atšķirīgs - viņš bija dzimis vienu dienu pirms tevis.

Tagad ķersimies pie lietas))) Pieņemsim, ka ierobežota secība, kurai ir paritāte, zaudē šo paritāti, dodoties uz bezgalību. Tad jebkuram bezgalīgas secības ierobežotam segmentam ir jāzaudē paritāte. Mēs to neredzam. Tas, ka mēs nevaram droši pateikt, vai bezgalīgā secībā ir pāra vai nepāra elementu skaits, nenozīmē, ka paritāte ir pazudusi. Paritāte, ja tāda pastāv, nevar bez pēdām pazust bezgalībā, kā spica piedurknē. Šim gadījumam ir ļoti laba līdzība.

Vai esat kādreiz jautājuši pulkstenī sēdošajai dzeguzei, kurā virzienā griežas pulksteņa rādītājs? Viņai bultiņa griežas pretējā virzienā tam, ko mēs saucam par “pulksteņrādītāja virzienu”. Lai cik paradoksāli tas neizklausītos, griešanās virziens ir atkarīgs tikai no tā, no kuras puses mēs novērojam rotāciju. Un tā, mums ir viens ritenis, kas griežas. Mēs nevaram pateikt, kurā virzienā notiek rotācija, jo mēs to varam novērot gan no vienas rotācijas plaknes puses, gan no otras. Mēs varam liecināt tikai par to, ka ir rotācija. Pilnīga analoģija ar bezgalīgas secības paritāti S.

Tagad pievienosim otru rotējošu riteni, kura griešanās plakne ir paralēla pirmā rotējošā riteņa griešanās plaknei. Mēs joprojām nevaram precīzi pateikt, kādā virzienā šie riteņi griežas, taču mēs varam pilnībā pateikt, vai abi riteņi griežas vienā virzienā vai pretējā virzienā. Divu bezgalīgu secību salīdzināšana S Un 1-S, ar matemātikas palīdzību parādīju, ka šīm sekvencēm ir dažādas paritātes un vienādības zīmes likšana starp tām ir kļūda. Personīgi es uzticos matemātikai, es neuzticos matemātiķiem))) Starp citu, lai pilnībā izprastu bezgalīgu secību transformāciju ģeometriju, ir jāievieš jēdziens "vienlaicīgums". Tas būs jāuzzīmē.

Trešdien, 2019. gada 7. augustā

Noslēdzot sarunu par to, mums jāapsver bezgalīgs kopums. Lieta tāda, ka jēdziens “bezgalība” ietekmē matemātiķus tāpat kā boa konstriktors uz trusi. Bezgalības drebošās šausmas atņem matemātiķiem veselo saprātu. Šeit ir piemērs:

Sākotnējais avots atrodas. Alfa apzīmē reālo skaitli. Vienādības zīme iepriekš minētajās izteiksmēs norāda, ka, ja bezgalībai pievienosi skaitli vai bezgalību, nekas nemainīsies, rezultāts būs tā pati bezgalība. Ja par piemēru ņemam bezgalīgo naturālo skaitļu kopu, tad aplūkotos piemērus var attēlot šādā formā:

Lai skaidri pierādītu, ka viņiem ir taisnība, matemātiķi nāca klajā ar daudzām dažādām metodēm. Personīgi es uz visām šīm metodēm skatos kā uz šamaņiem, kas dejo ar tamburīnām. Būtībā tie visi ir saistīti ar faktu, ka vai nu dažas telpas ir neapdzīvotas un ievācas jauni viesi, vai arī daži apmeklētāji tiek izmesti gaitenī, lai atbrīvotu vietu viesiem (ļoti cilvēciski). Es izklāstīju savu skatījumu uz šādiem lēmumiem kā fantāzijas stāstu par Blondīni. Uz ko balstās mans arguments? Bezgalīgi liela apmeklētāju skaita pārvietošana prasa bezgalīgi daudz laika. Pēc tam, kad esam atbrīvojuši pirmo istabu viesim, kāds no apmeklētājiem vienmēr staigās pa gaiteni no savas istabas uz nākamo līdz pat laika beigām. Protams, laika faktoru var muļķīgi ignorēt, bet tas būs kategorijā "neviens likums nav rakstīts muļķiem". Tas viss ir atkarīgs no tā, ko mēs darām: pielāgojam realitāti matemātiskām teorijām vai otrādi.

Kas ir "bezgalīga viesnīca"? Bezgalīga viesnīca ir viesnīca, kurā vienmēr ir neierobežots skaits tukšu gultu neatkarīgi no aizņemto numuru skaita. Ja visas telpas bezgalīgajā "apmeklētāju" koridorā ir aizņemtas, ir vēl viens bezgalīgs koridors ar "viesu" istabām. Tādu koridoru būs bezgalīgi daudz. Turklāt “bezgalīgajai viesnīcai” ir bezgalīgs stāvu skaits bezgalīgā daudzumā ēku uz bezgalīgi daudzām planētām bezgalīgā skaitā visumu, ko radījis bezgalīgs skaits dievu. Matemātiķi nespēj distancēties no banālām ikdienas problēmām: vienmēr ir tikai viens Dievs-Allāhs-Buda, ir tikai viena viesnīca, ir tikai viens koridors. Tāpēc matemātiķi mēģina žonglēt ar viesnīcu numuru sērijas numuriem, pārliecinot mūs, ka ir iespējams "iegrūst neiespējamo".

Es jums parādīšu sava argumentācijas loģiku, izmantojot bezgalīgas naturālu skaitļu kopas piemēru. Vispirms jums jāatbild uz ļoti vienkāršu jautājumu: cik naturālo skaitļu kopu ir - viens vai vairāki? Uz šo jautājumu nav pareizas atbildes, jo mēs paši izgudrojām skaitļus; skaitļi dabā neeksistē. Jā, Daba lieliski prot skaitīt, taču šim nolūkam viņa izmanto citus matemātiskos rīkus, kas mums nav pazīstami. Es jums pastāstīšu, ko Daba domā citreiz. Tā kā mēs izdomājām skaitļus, mēs paši izlemsim, cik naturālo skaitļu kopu ir. Apsvērsim abus variantus, kā jau īstiem zinātniekiem pienākas.

Pirmais variants. “Lai mums tiek dota” viena naturālo skaitļu kopa, kas mierīgi atrodas plauktā. Mēs ņemam šo komplektu no plaukta. Tas tā, citu naturālu skaitļu plauktā nav palicis un nav kur ņemt. Mēs nevaram to pievienot šim komplektam, jo ​​mums tas jau ir. Ko darīt, ja jūs patiešām vēlaties? Nekādu problēmu. Varam paņemt vienu no jau paņemtā komplekta un atdot plauktā. Pēc tam varam paņemt vienu no plaukta un pievienot tam, kas mums ir palicis. Rezultātā mēs atkal iegūsim bezgalīgu naturālu skaitļu kopu. Visas mūsu veiktās manipulācijas varat pierakstīt šādi:

Darbības pierakstīju algebriskajā un kopu teorijas pierakstā, detalizēti uzskaitot kopas elementus. Apakšraksts norāda, ka mums ir viena un vienīgā naturālo skaitļu kopa. Izrādās, ka naturālo skaitļu kopa paliks nemainīga tikai tad, ja no tās atņem vienu un saskaita to pašu vienību.

Otrais variants. Mūsu plauktā ir daudz dažādu bezgalīgu naturālu skaitļu kopu. Uzsveru - ATŠĶIRĪGI, neskatoties uz to, ka praktiski nav atšķirami. Ņemsim vienu no šiem komplektiem. Tad mēs ņemam vienu no citas naturālo skaitļu kopas un pievienojam jau ņemtajai kopai. Mēs pat varam pievienot divas naturālo skaitļu kopas. Tas ir tas, ko mēs iegūstam:

Apakšraksti "viens" un "divi" norāda, ka šie elementi piederēja dažādām kopām. Jā, ja bezgalīgai kopai pievienosit vienu, rezultāts būs arī bezgalīga kopa, taču tā nebūs tāda pati kā sākotnējā kopa. Ja vienai bezgalīgai kopai pievienojat vēl vienu bezgalīgu kopu, rezultāts ir jauna bezgalīga kopa, kas sastāv no pirmo divu kopu elementiem.

Naturālo skaitļu kopa tiek izmantota skaitīšanai tāpat kā lineāls mērīšanai. Tagad iedomājieties, ka lineālam pievienojāt vienu centimetru. Šī būs cita līnija, kas nav vienāda ar sākotnējo.

Jūs varat pieņemt vai nepieņemt manu argumentāciju - tā ir jūsu pašu darīšana. Bet, ja jūs kādreiz saskaraties ar matemātiskām problēmām, padomājiet par to, vai ejat nepareizas spriešanas takas, ko staigājušas matemātiķu paaudzes. Galu galā matemātikas studijas, pirmkārt, veido mūsos stabilu domāšanas stereotipu un tikai pēc tam papildina mūsu garīgās spējas (vai, gluži pretēji, atņem mums brīvdomību).

pozg.ru

Svētdien, 2019. gada 4. augustā

Es pabeidzu pēcskriptu rakstam par un ieraudzīju šo brīnišķīgo tekstu Vikipēdijā:

Mēs lasām: "... bagātajai Babilonas matemātikas teorētiskajai bāzei nebija holistiska rakstura, un tā tika samazināta līdz atšķirīgu paņēmienu kopumam, kam nebija kopīgas sistēmas un pierādījumu bāzes."

Oho! Cik mēs esam gudri un cik labi spējam saskatīt citu trūkumus. Vai mums ir grūti aplūkot mūsdienu matemātiku tādā pašā kontekstā? Nedaudz pārfrāzējot iepriekš minēto tekstu, es personīgi saņēmu sekojošo:

Mūsdienu matemātikas bagātīgā teorētiskā bāze pēc būtības nav holistiska, un tā ir reducēta uz atšķirīgu sadaļu kopumu, kam nav kopīgas sistēmas un pierādījumu bāzes.

Es neiešu tālu, lai apstiprinātu savus vārdus – tai ir valoda un noteikumi, kas atšķiras no daudzu citu matemātikas nozaru valodas un konvencijām. Vieniem un tiem pašiem nosaukumiem dažādās matemātikas nozarēs var būt dažādas nozīmes. Es vēlos veltīt veselu virkni publikāciju mūsdienu matemātikas acīmredzamākajām kļūdām. Uz drīzu redzēšanos.

Sestdien, 2019. gada 3. augustā

Kā kopu sadalīt apakškopās? Lai to izdarītu, jums jāievada jauna mērvienība, kas atrodas dažos atlasītās kopas elementos. Apskatīsim piemēru.

Lai mums ir daudz A kas sastāv no četriem cilvēkiem. Šī kopa veidota uz “cilvēku” bāzes. Apzīmēsim šīs kopas elementus ar burtu A, apakšindekss ar numuru norādīs katras personas sērijas numuru šajā komplektā. Ieviesīsim jaunu mērvienību "dzimums" un apzīmēsim to ar burtu b. Tā kā seksuālās īpašības ir raksturīgas visiem cilvēkiem, mēs reizinām katru komplekta elementu A pamatojoties uz dzimumu b. Ievērojiet, ka mūsu “cilvēku” kopums tagad ir kļuvis par “cilvēku ar dzimuma īpašībām” kopu. Pēc tam mēs varam sadalīt seksuālās īpašības vīriešiem bm un sieviešu bw seksuālās īpašības. Tagad mēs varam izmantot matemātisko filtru: mēs izvēlamies vienu no šīm seksuālajām pazīmēm neatkarīgi no tā, kura - vīrietis vai sieviete. Ja cilvēkam ir, tad reizinām ar vienu, ja tādas zīmes nav, tad ar nulli. Un tad mēs izmantojam parasto skolas matemātiku. Paskaties, kas notika.

Pēc reizināšanas, samazināšanas un pārkārtošanas mēs nonācām pie divām apakškopām: vīriešu apakškopas Bm un sieviešu apakškopa Bw. Matemātiķi spriež aptuveni tādā pašā veidā, kad viņi praksē pielieto kopu teoriju. Bet viņi mums nestāsta detaļas, bet sniedz mums gatavo rezultātu - "daudzi cilvēki sastāv no vīriešu apakškopas un sieviešu apakškopas." Protams, jums var rasties jautājums: cik pareizi matemātika ir izmantota iepriekš aprakstītajās transformācijās? Es uzdrošinos apliecināt, ka būtībā viss tika izdarīts pareizi, pietiek zināt aritmētikas matemātisko bāzi, Būla algebru un citas matemātikas nozares. Kas tas ir? Citreiz par to pastāstīšu.

Kas attiecas uz superkopām, varat apvienot divas kopas vienā superkopā, atlasot šo divu kopu elementos esošo mērvienību.

Kā redzat, mērvienības un parastā matemātika padara kopu teoriju par pagātnes reliktu. Pazīme, ka ar kopu teoriju viss nav kārtībā, ir tas, ka matemātiķi ir nākuši klajā ar savu valodu un apzīmējumu kopu teorijai. Matemātiķi rīkojās kā kādreiz šamaņi. Tikai šamaņi zina, kā “pareizi” pielietot savas “zināšanas”. Viņi mums māca šīs "zināšanas".

Nobeigumā es vēlos jums parādīt, kā matemātiķi manipulē
Pieņemsim, ka Ahillejs skrien desmit reizes ātrāk nekā bruņurupucis un ir tūkstoš soļu aiz tā. Laikā, kas nepieciešams Ahillam, lai noskrietu šo distanci, bruņurupucis rāpos simts soļus tajā pašā virzienā. Kad Ahillejs noskrien simts soļus, bruņurupucis rāpo vēl desmit soļus utt. Process turpināsies bezgalīgi, Ahillejs nekad nepanāks bruņurupuci.

Šī argumentācija kļuva par loģisku šoku visām nākamajām paaudzēm. Aristotelis, Diogēns, Kants, Hēgelis, Hilberts... Viņi visi tā vai citādi uzskatīja Zenona aporiju. Šoks bija tik spēcīgs, ka " ... diskusijas turpinās līdz šai dienai, zinātnieku aprindās vēl nav izdevies nonākt pie vienota viedokļa par paradoksu būtību ... jautājuma izpētē tika iesaistīta matemātiskā analīze, kopu teorija, jaunas fizikālās un filozofiskās pieejas ; neviens no tiem nekļuva par vispārpieņemtu problēmas risinājumu..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Visi saprot, ka tiek muļķoti, bet neviens nesaprot, no kā sastāv maldināšana.

No matemātikas viedokļa Zenons savā aporijā skaidri demonstrēja pāreju no kvantitātes uz . Šī pāreja nozīmē piemērošanu, nevis pastāvīgus. Cik es saprotu, matemātiskais aparāts mainīgo mērvienību izmantošanai vai nu vēl nav izstrādāts, vai arī tas nav piemērots Zenona aporijai. Pielietojot mūsu ierasto loģiku, mēs nonākam slazdā. Mēs, pateicoties domāšanas inercei, abpusējai vērtībai piemērojam nemainīgas laika vienības. No fiziskā viedokļa tas izskatās pēc laika palēnināšanās, līdz tas pilnībā apstājas brīdī, kad Ahillejs panāk bruņurupuci. Ja laiks apstājas, Ahillejs vairs nevar apsteigt bruņurupuci.

Ja pagriežam savu ierasto loģiku otrādi, viss nostājas savās vietās. Ahillejs skrien nemainīgā ātrumā. Katrs nākamais viņa ceļa posms ir desmit reizes īsāks nekā iepriekšējais. Attiecīgi tās pārvarēšanai pavadītais laiks ir desmit reizes mazāks nekā iepriekšējā. Ja šajā situācijā pielietojam jēdzienu “bezgalība”, tad būtu pareizi teikt: “Ahillejs bezgalīgi ātri panāks bruņurupuci”.

Kā izvairīties no šīs loģiskās lamatas? Palieciet nemainīgās laika vienībās un nepārslēdzieties uz abpusējām vienībām. Zenona valodā tas izskatās šādi:

Laikā, kas vajadzīgs Ahillam, lai noskrietu tūkstoš soļu, bruņurupucis rāpos simts soļus tajā pašā virzienā. Nākamajā laika intervālā, kas vienāds ar pirmo, Ahillejs noskrien vēl tūkstoš soļu, un bruņurupucis rāpos simts soļus. Tagad Ahillejs ir astoņsimt soļu priekšā bruņurupucim.

Šī pieeja adekvāti apraksta realitāti bez jebkādiem loģiskiem paradoksiem. Bet tas nav pilnīgs problēmas risinājums. Einšteina apgalvojums par gaismas ātruma neatvairāmību ir ļoti līdzīgs Zenona aporijai “Ahillejs un bruņurupucis”. Mums šī problēma vēl ir jāpēta, jāpārdomā un jāatrisina. Un risinājums jāmeklē nevis bezgala lielos skaitļos, bet mērvienībās.

Vēl viena interesanta Zenona aporija stāsta par lidojošu bultu:

Lidojoša bulta ir nekustīga, jo tā atrodas miera stāvoklī katrā laika brīdī, un, tā kā tā atrodas miera stāvoklī, tā vienmēr atrodas miera stāvoklī.

Šajā aporijā loģiskais paradokss tiek pārvarēts ļoti vienkārši - pietiek precizēt, ka katrā laika brīdī dažādos telpas punktos atrodas lidojoša bulta, kas patiesībā ir kustība. Šeit ir jāatzīmē vēl viens punkts. No vienas automašīnas fotogrāfijas uz ceļa nav iespējams noteikt ne tās kustības faktu, ne attālumu līdz tai. Lai noteiktu, vai automašīna pārvietojas, ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas uzņemtas no viena un tā paša punkta dažādos laika punktos, taču jūs nevarat noteikt attālumu no tām. Lai noteiktu attālumu līdz automašīnai, ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas vienā brīdī uzņemtas no dažādiem telpas punktiem, bet no tām nevar noteikt kustības faktu (protams, joprojām ir nepieciešami papildu dati aprēķiniem, trigonometrija jums palīdzēs ). Īpaši gribu pievērst uzmanību tam, ka divi punkti laikā un divi punkti telpā ir dažādas lietas, kuras nevajag jaukt, jo tās sniedz dažādas izpētes iespējas.
Es jums parādīšu procesu ar piemēru. Mēs izvēlamies “sarkano cietvielu pūtītē” - tas ir mūsu “viss”. Tajā pašā laikā mēs redzam, ka šīs lietas ir ar loku, un ir bez loka. Pēc tam mēs atlasām daļu no “veseluma” un veidojam komplektu “ar loku”. Šādi šamaņi iegūst ēdienu, saistot savu kopu teoriju ar realitāti.

Tagad izdarīsim nelielu triku. Ņemsim “cieto ar pūtīti ar banti” un apvienosim šos “veselumus” pēc krāsas, izvēloties sarkanos elementus. Mēs saņēmām daudz "sarkano". Tagad pēdējais jautājums: vai iegūtie komplekti “ar loku” un “sarkans” ir viens un tas pats komplekts vai divi dažādi komplekti? Atbildi zina tikai šamaņi. Precīzāk, paši neko nezina, bet kā saka, tā būs.

Šis vienkāršais piemērs parāda, ka kopu teorija ir pilnīgi bezjēdzīga, kad runa ir par realitāti. Kāds ir noslēpums? Mēs izveidojām komplektu "sarkans ciets ar pūtīti un loku". Veidošana notika četrās dažādās mērvienībās: krāsa (sarkana), stiprība (ciets), raupjums (pūtīte), dekorēšana (ar banti). Tikai mērvienību kopums ļauj adekvāti aprakstīt reālus objektus matemātikas valodā. Tas izskatās šādi.

Burts "a" ar dažādiem indeksiem apzīmē dažādas mērvienības. Mērvienības, ar kurām sākotnējā posmā tiek atšķirts “veselais”, ir izceltas iekavās. Mērvienība, pēc kuras tiek veidota kopa, tiek izņemta no iekavām. Pēdējā rindā redzams gala rezultāts – komplekta elements. Kā redzat, ja kopas veidošanai izmantojam mērvienības, tad rezultāts nav atkarīgs no mūsu darbību secības. Un tā ir matemātika, nevis šamaņu dejas ar tamburīnām. Šamaņi var “intuitīvi” nonākt pie tāda paša rezultāta, apgalvojot, ka tas ir “acīmredzams”, jo mērvienības neietilpst viņu “zinātniskajā” arsenālā.

Izmantojot mērvienības, ir ļoti viegli sadalīt vienu komplektu vai apvienot vairākas kopas vienā supersetā. Apskatīsim tuvāk šī procesa algebru.

Trijstūra laukuma teorēma

1. teorēma

Trijstūra laukums ir vienāds ar pusi no abu malu reizinājuma un leņķa starp šīm malām sinusa.

Pierādījums.

Dosim mums patvaļīgu trīsstūri $ABC$. Apzīmēsim šī trijstūra malu garumus kā $BC=a$, $AC=b$. Ieviesīsim Dekarta koordinātu sistēmu, lai punkts $C=(0,0)$, punkts $B$ atrodas uz labās pusass $Ox$, bet punkts $A$ atrodas pirmajā koordinātu kvadrantā. Uzzīmēsim augstumu $h$ no punkta $A$ (1. att.).

1. attēls. 1. teorēmas ilustrācija

Augstums $h$ ir vienāds ar punkta $A$ ordinātu, tāpēc

Sinusu teorēma

2. teorēma

Trijstūra malas ir proporcionālas pretējo leņķu sinusiem.

Pierādījums.

Dosim mums patvaļīgu trīsstūri $ABC$. Apzīmēsim šī trijstūra malu garumus kā $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ (2. att.).

2. attēls.

Pierādīsim to

Saskaņā ar 1. teorēmu mums ir

Pielīdzinot tos pa pāriem, mēs to iegūstam

Kosinusa teorēma

3. teorēma

Trijstūra malas kvadrāts ir vienāds ar trijstūra pārējo divu malu kvadrātu summu, neskaitot šo malu divkāršu reizinājumu ar leņķa kosinusu starp šīm malām.

Pierādījums.

Dosim mums patvaļīgu trīsstūri $ABC$. Apzīmēsim tā malu garumus kā $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$. Ieviesīsim Dekarta koordinātu sistēmu tā, ka punkts $A=(0,0)$, punkts $B$ atrodas uz pozitīvās pusass $Ox$ un punkts $C$ atrodas pirmajā koordinātu kvadrantā (att. 3).

3. attēls.

Pierādīsim to

Šajā koordinātu sistēmā mēs to iegūstam

Atrodiet malas $BC$ garumu, izmantojot formulu attālumam starp punktiem

Problēmas piemērs, izmantojot šīs teorēmas

1. piemērs

Pierādīt, ka patvaļīga trijstūra ierobežotā apļa diametrs ir vienāds ar trijstūra jebkuras malas attiecību pret leņķa, kas ir pretējs šai malai, sinusu.

Risinājums.

Dosim mums patvaļīgu trīsstūri $ABC$. $R$ ir ierobežotā apļa rādiuss. Uzzīmēsim diametru $BD$ (4. att.).

Trijstūra laukums ir vienāds ar pusi no tā malu un starp tām esošā leņķa sinusa reizinājuma.

Pierādījums:

Apsveriet patvaļīgu trīsstūri ABC. Lai mala BC = a, mala CA = b un S ir šī trīsstūra laukums. Tas ir jāpierāda S = (1/2)*a*b*sin(C).

Sākumā ieviesīsim taisnstūra koordinātu sistēmu un novietosim koordinātu sākumpunktu punktā C. Novietosim savu koordinātu sistēmu tā, lai punkts B atrodas Cx ass pozitīvā virzienā, bet punktam A ir pozitīva ordināta.

Ja viss ir izdarīts pareizi, jums vajadzētu iegūt šādu zīmējumu.

Dotā trijstūra laukumu var aprēķināt, izmantojot šādu formulu: S = (1/2)*a*h, kur h ir trijstūra augstums. Mūsu gadījumā trijstūra h augstums ir vienāds ar punkta A ordinātu, tas ir, h = b*sin(C).

Ņemot vērā iegūtos rezultātus, trijstūra laukuma formulu var pārrakstīt šādi: S = (1/2)*a*b*sin(C). Q.E.D.

Problēmu risināšana

1. uzdevums. Atrodiet trīsstūra ABC laukumu, ja a) AB = 6*√8 cm, AC = 4 cm, leņķis A = 60 grādi b) BC = 3 cm, AB = 18*√2 cm, leņķis B = 45 grādi c ) AC = 14 cm, CB = 7 cm, leņķis C = 48 grādi.

Saskaņā ar iepriekš pierādīto teorēmu trijstūra ABC laukums S ir vienāds ar:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Veiksim aprēķinus:

a) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 cm^2.

b) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 cm^2.

c) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ cm^2.

Mēs aprēķinām leņķa sinusa vērtību uz kalkulatora vai izmantojam vērtības no trigonometrisko leņķu vērtību tabulas. Atbilde:

a) 12*√6 cm^2.

c) aptuveni 36,41 cm^2.

2. uzdevums. Trijstūra ABC laukums ir 60 cm^2. Atrodiet malu AB, ja AC = 15 cm, leņķis A = 30˚.

Lai S ir trijstūra ABC laukums. Pēc teorēmas par trijstūra laukumu mums ir:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Aizstāsim tajā esošās vērtības:

60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.

No šejienes mēs izsakām malas AB garumu: AB = (60*4)/15 = 16.

Ja uzdevumā ir norādīti trijstūra divu malu garumi un leņķis starp tām, tad varat pielietot formulu trijstūra laukumam caur sinusu.

Piemērs trijstūra laukuma aprēķināšanai, izmantojot sinusu. Dotās malas ir a = 3, b = 4 un leņķis γ = 30°. 30° leņķa sinuss ir 0,5

Trijstūra laukums būs 3 kvadrātmetri. cm.

Laukums būs vienāds ar pusi no malas kvadrāta, kas reizināts ar daļu. Tā skaitītājs ir blakus esošo leņķu sinusu reizinājums, un tā saucējs ir pretējā leņķa sinuss. Tagad mēs aprēķinām laukumu, izmantojot šādas formulas:

Piemēram, dots trīsstūris ar malu a=3 un leņķiem γ=60°, β=60°. Aprēķiniet trešo leņķi:
Datu aizstāšana formulā
Mēs atklājam, ka trīsstūra laukums ir 3,87 kvadrātmetri. cm.

II. Trīsstūra laukums caur kosinusu

Lai atrastu trīsstūra laukumu, jums jāzina visu malu garumi. Izmantojot kosinusa teorēmu, jūs varat atrast nezināmas puses un tikai pēc tam tās izmantot.
Saskaņā ar kosinusa teorēmu trijstūra nezināmās malas kvadrāts ir vienāds ar atlikušo malu kvadrātu summu, no kuras atņemtas šo malu divkāršs reizinājums un starp tām esošā leņķa kosinuss.

No teorēmas iegūstam formulas nezināmās malas garuma atrašanai:

Zinot, kā atrast trūkstošo pusi, kam ir divas malas un leņķis starp tām, jūs varat viegli aprēķināt laukumu. Formula trīsstūra laukumam caur kosinusu palīdz ātri un viegli atrast dažādu problēmu risinājumus.

Trijstūra laukuma formulas aprēķināšanas piemērs, izmantojot kosinusu
Dots trīsstūris ar zināmām malām a = 3, b = 4 un leņķis γ = 45°. Vispirms atradīsim trūkstošo pusi Ar. Kosinuss 45°=0,7. Lai to izdarītu, mēs aizstājam datus vienādojumā, kas iegūts no kosinusa teorēmas.
Tagad, izmantojot formulu, mēs atrodam