Vispārinātās koordinātas un vispārinātie spēki. Vispārinātās koordinātas un vispārinātie spēki Kā izskatās spēku darbs vispārinātās koordinātās

Analītiskā mehānika. Savienojumu klasifikācija. Piemēri. Iespējamās kustības.

Savienojums– tā ir sakarība starp sistēmas punktu koordinātām un ātrumiem, kas attēlota vienādību vai nevienādību veidā.

Klasifikācija:

Ģeometriski– uzliek ierobežojumus tikai sistēmas punktu koordinātām (ātrumi nav iekļauti)

Kinemātiskais– vienādojumos iekļūst ātrumi. Ja jūs varat atbrīvoties no ātrumiem, tad savienojums ir integrēts.

Holonomiski savienojumi– ģeometriski un integrējami diferenciālie savienojumi.

Savienojums tiek saukts turēšana(uzlikti vai ierobežojumi paliek jebkurā sistēmas pozīcijā) un nesaturošs, kuriem šī īpašība nepiemīt (no šādiem savienojumiem, kā saka, sistēmu var “atbrīvot”

Iespējama pārcelšanās

Jebkura garīga

Bezgalīgi mazs

Sistēmas punktu pārvietošana ir atļauta

Šajā laika brīdī

Sistēmai uzliktie savienojumi.

Faktiskā kustība– atkarīgs no spēkiem, laika, sakariem, sākuma apstākļiem.

Iespējamā kustība ir atkarīga tikai no savienojumiem.

Stacionāriem savienojumiem faktiskā kustība ir viena no iespējamām.

Ideāli savienojumi. Iespējamo kustību princips.

Ideāli sauc par savienojumiem, kuriem visu to reakciju elementāro darbu summa uz jebkuru iespējamo pārvietojumu ir vienāda ar 0.

Iespējamo kustību princips.

Mehāniskās sistēmas līdzsvaram ar ideāliem stacionāriem savienojumiem ir nepieciešams un pietiekami, lai visu aktīvo spēku elementāro darbu summa uz jebkuru iespējamo pārvietojumu būtu vienāda ar 0. Šajā gadījumā pietiekamības labad sākuma ātrumam jābūt vienādam uz nulli. Nepieciešamais atlikums => Pietiekams => atlikums.

Vispārinātas koordinātas. Sistēmas brīvības pakāpju skaits. Vispārinātie spēki, to aprēķināšanas metodes. Līdzsvara nosacījumi sistēmai ar holonomiskiem ierobežojumiem, kas izteikti ar vispārinātiem spēkiem.

Vispārinātas koordinātas– neatkarīgs parametrs, kas pilnībā nosaka sistēmas pozīciju un caur kuru var izteikt visas sistēmas punktu Dekarta koordinātas.

Brīvības pakāpju skaitu nosaka vispārināto koordinātu skaits

Savstarpēji neatkarīgu skalāro lielumu skaitu, kas unikāli nosaka mehāniskās sistēmas stāvokli telpā, sauc par brīvības pakāpju skaitu.

Mehāniskās sistēmas vispārinātās koordinātas ir jebkuri viens no otra neatkarīgi ģeometriski lielumi, kas unikāli nosaka sistēmas stāvokli telpā.

Q i = δA j /δq j vai δA j = Q i ⋅ δq j .

Vispārējs spēks- tas ir spēks, kas veic tādu pašu darbu pie iespējamās nobīdes gar tās vispārināto koordinātu kā visi spēki, kas tiek pielietoti sistēmai, to pielietojuma punktu atbilstošajā nobīdē.

Lai atrastu vispārināto spēku, mēs sniedzam iespējamo pārvietojumu pa tā vispārināto koordinātu, pārējās koordinātas atstājot nemainīgas. Tad mēs atrodam visu sistēmai pielietoto spēku darbu un dalām ar iespējamo pārvietojumu.

Iespējamo pārvietojumu princips vispārināto spēku izteiksmē.

Tā kā līdzsvarā elementārā darba summa par jebkuru iespējamo pārvietojumu ( bA=bq j , kas nav atkarīgi viens no otra, tad šim ir jābūt patiesam: Q 1 =0; Q2 =0; Q K =0

Vispārināto spēku definīcija

Sistēmai ar vienu brīvības pakāpi vispārināts spēks, kas atbilst vispārinātajai koordinātei q, sauc par daudzumu, ko nosaka formula

kur d q– neliels vispārinātās koordinātas pieaugums; – sistēmas spēku elementāro darbu summa uz tās iespējamo kustību.

Atgādināsim, ka sistēmas iespējamā kustība tiek definēta kā sistēmas pārvietošanās uz bezgalīgi tuvu pozīciju, ko noteiktā laika momentā pieļauj savienojumi (sīkāk sk. 1. pielikumā).

Ir zināms, ka ideālo saišu reakcijas spēku veiktā darba summa uz jebkuru iespējamo sistēmas nobīdi ir vienāda ar nulli. Tāpēc sistēmai ar ideāliem savienojumiem izteiksmē jāņem vērā tikai sistēmas aktīvo spēku darbs. Ja savienojumi nav ideāli, tad to reakcijas spēki, piemēram, berzes spēki, nosacīti tiek uzskatīti par aktīviem spēkiem (sk. zemāk norādījumus par diagrammu 1.5. attēlā). Tas ietver aktīvo spēku elementāro darbu un aktīvo spēku pāru momentu elementāro darbu. Pierakstīsim formulas šo darbu noteikšanai. Teiksim, spēks ( F kx ,F ky ,F kz) pielietots punktā UZ, kura rādiusa vektors ir ( x k , y k , z k), un iespējamā pārvietošanās – (d xk, d y k , d z k). Spēka elementārais darbs pie iespējamā pārvietojuma ir vienāds ar skalāro reizinājumu, kas analītiskā formā atbilst izteiksmei

d A( ) = F līdz d r uz cos(), (1.3.a)

un koordinātu formā – izteiksme

d A( ) = F kx d x k + F ky d y k + F kz d z k. (1.3b)

Ja pāris spēki ar momentu M uzliek rotējošam ķermenim, kura leņķiskā koordināte ir j un iespējamais pārvietojums dj, tad momenta elementārais darbs M uz iespējamo pārvietojumu dj nosaka pēc formulas

d A(M) = ± M d j. (1,3 v)

Šeit zīme (+) atbilst gadījumam, kad brīdis M un iespējamais kustības dj sakrīt virzienā; zīme (–), ja tie atrodas pretējā virzienā.

Lai varētu noteikt vispārināto spēku, izmantojot formulu (1.3), ir jāizsaka iespējamās ķermeņu un punktu kustības iekšā, izmantojot nelielu vispārinātās koordinātas d pieaugumu. q, izmantojot atkarības (1)…(7) adj. 1.

Vispārējā spēka definīcija J, kas atbilst izvēlētajai vispārinātajai koordinātei q, ieteicams to darīt šādā secībā.

· Uzzīmējiet projektēšanas diagrammā visus sistēmas aktīvos spēkus.

· Piešķiriet nelielu pieaugumu vispārinātajai koordinātei d q> 0; aprēķinu diagrammā parādīt atbilstošos iespējamos nobīdes visiem punktiem, kuros tiek pielikti spēki, un visu ķermeņu iespējamos leņķiskos pārvietojumus, kuriem tiek pielietoti spēku pāru momenti.

· Izveidojiet izteiksmi visu sistēmas aktīvo spēku elementāram darbam uz šīm kustībām, izsakiet iespējamās kustības caur d q.

· Noteikt vispārināto spēku, izmantojot formulu (1.3).

1.4. piemērs (sk. 1.1. att. nosacījumu).

Definēsim vispārinātajai koordinātei atbilstošo vispārināto spēku s(1.4. att.).

Uz sistēmu iedarbojas aktīvi spēki: P- kravas svars; G– trumuļa svars un griezes moments M.

Nelīdzenā slīpā plakne ir paredzēta slodzei A nepilnīgs savienojums. Slīdošais berzes spēks F tr, iedarbojoties uz slodzi A no šī savienojuma, ir vienāds ar F tr = f N.

Lai noteiktu spēku N slodzes normāls spiediens uz plakni kustības laikā, mēs izmantojam D'Alemberta principu: ja katram sistēmas punktam papildus aktīvajiem aktīvajiem spēkiem un savienojumu reakcijas spēkiem tiek pielikts nosacīts inerces spēks, tad iegūtā kopa spēki tiks līdzsvaroti un dinamiskajiem vienādojumiem var piešķirt statiskā līdzsvara vienādojumu formu. Ievērojot labi zināmo šī principa piemērošanas metodi, mēs attēlosim visus spēkus, kas iedarbojas uz slodzi A(1.5. att.), – un , kur ir troses stiepes spēks.

Rīsi. 1.4. att. 1.5

Saskaitīsim inerces spēku, kur ir slodzes paātrinājums. D'Alemberta principa vienādojums projekcijā uz asi y izskatās kā N–Pcos a = 0.

No šejienes N = PC a. Slīdes berzes spēku tagad var noteikt pēc formulas F tr = f P cos a.

Dosim vispārināto koordinātu s neliels pieaugums d s> 0. Šajā gadījumā slodze (1.4. att.) virzīsies augšup pa slīpo plakni līdz attālumam d s, un cilindrs griezīsies pretēji pulksteņrādītāja virzienam par leņķi dj.

Izmantojot tādas formulas kā (1.3a) un (1.3c), izveidosim izteiksmi elementāru griezes momenta darbu summai M, spēks P Un F tr:

Izteiksim dj šajā vienādojumā caur d s: , Tad

mēs definējam vispārināto spēku, izmantojot formulu (1.3)

Ņemsim vērā iepriekš uzrakstīto formulu par F tr un mēs beidzot saņemsim

Ja tajā pašā piemērā par vispārināto koordinātu ņemam leņķi j, tad vispārināto spēku Qj izteikts ar formulu

1.4.2. Vispārējo sistēmas spēku noteikšana
ar divām brīvības pakāpēm

Ja sistēmai ir n brīvības pakāpes, tiek noteikta tā pozīcija n vispārinātas koordinātas. Katra koordināte q i(i = 1,2,…,n) atbilst tā vispārinātajam spēkam Q i, ko nosaka pēc formulas

kur ir aktīvo spēku elementāro darbu summa uz i-th iespējamā sistēmas kustība, kad d q i > 0, un pārējās vispārinātās koordinātas nav mainītas.

Nosakot, ir jāņem vērā norādījumi vispārināto spēku noteikšanai pēc formulas (1.3).

Sistēmas ar divām brīvības pakāpēm vispārinātos spēkus ieteicams noteikt sekojošā secībā.

· Projektēšanas diagrammā parādīt visus sistēmas aktīvos spēkus.

· Noteikt pirmo vispārināto spēku 1. jautājums. Lai to izdarītu, piešķiriet sistēmai pirmo iespējamo kustību, kad d q 1 > 0 un d q 2 =q 1 iespējamās visu ķermeņu un sistēmas punktu kustības; komponēt - sistēmas spēku elementārā darba izpausme pirmajā iespējamajā pārvietojumā; iespējamās kustības, kas izteiktas caur d q 1; atrast 1. jautājums pēc formulas (1.4), ņemot i = 1.

· Noteikt otro vispārināto spēku 2. jautājums. Lai to izdarītu, piešķiriet sistēmai otru iespējamo kustību, kad d q 2 > 0 un d q 1 = 0; dizaina diagrammā parādiet atbilstošo d q 2 visu ķermeņu un sistēmas punktu iespējamās kustības; komponēt - sistēmas spēku elementārā darba izpausme uz otro iespējamo pārvietojumu; iespējamās kustības, kas izteiktas caur d q 2; atrast 2. jautājums pēc formulas (1.4), ņemot i = 2.

1.5. piemērs (skatiet 1.2. att. nosacījumu)

Definēsim 1. jautājums Un 2. jautājums, kas atbilst vispārinātām koordinātām xD Un x A(1.6. att. A).

Uz sistēmu iedarbojas trīs aktīvi spēki: P A = 2P, P B = P D = P.

Definīcija 1. jautājums. Dosim sistēmai pirmo iespējamo kustību, kad d xD> 0, d x A = 0 (1.6. att., A). Tajā pašā laikā slodze D xD, bloķēt B griezīsies pretēji pulksteņrādītāja virzienam par leņķi dj B, cilindra ass A paliks nekustīgs, cilindrisks A griezīsies ap asi A uz leņķi dj A pulksteņrādītāja virzienā. Apkoposim norādīto kustību darba summu:

definēsim

Definēsim 2. jautājums. Dosim sistēmai otru iespējamo kustību, kad d x D = 0, d xA> 0 (1.6. att., b). Šajā gadījumā cilindra ass A pārvietosies vertikāli uz leju par attālumu d x A, cilindrs A griezīsies ap asi A pulksteņrādītāja virzienā uz leņķi dj A, bloķēt B un kravas D paliks nekustīgs. Apkoposim norādīto kustību darba summu:

definēsim

1.6. piemērs (skatiet 1.3. att. nosacījumu)

Definēsim 1. jautājums Un 2. jautājums, kas atbilst vispārinātajām koordinātām j, s(1.7. att. A). Uz sistēmu iedarbojas četri aktīvie spēki: stieņa svars P, lodītes svars, atsperes elastīgais spēks un .

Ņemsim to vērā. Elastīgo spēku moduli nosaka pēc formulas (a).

Ņemiet vērā, ka spēka pielietošanas punkts F 2 ir nekustīgs, tāpēc šī spēka darbs uz jebkuru iespējamo sistēmas nobīdi ir nulle, vispārināto spēku izteiksmē spēks F 2 neies iekšā.

Definīcija 1. jautājums. Dosim sistēmai pirmo iespējamo kustību, kad dj > 0, d s = 0 (1.7. att., A). Šajā gadījumā stienis AB griezīsies ap asi z pretēji pulksteņrādītāja virzienam ar leņķi dj, iespējamās bumbas kustības D un centrs E stieņi ir vērsti perpendikulāri segmentam AD, pavasara garums nemainīsies. Ieliksim koordinātu formā [sk. formula (1.3b)]:

(Lūdzu, ņemiet vērā, ka tāpēc darbs, ko šis spēks veic pirmajā iespējamā pārvietojumā, ir nulle).

Izteiksim pārvietojumus d x E un d xD caur dj. Lai to izdarītu, mēs vispirms rakstām

Pēc tam saskaņā ar formulu (7) adj. 1 mēs atradīsim

Atrastās vērtības aizstājot ar , mēs iegūstam

Izmantojot formulu (1.4), ņemot vērā to, mēs nosakām

Definīcija 2. jautājums. Dosim sistēmai otru iespējamo kustību, kad dj = 0, d s> 0 (1.7. att., b). Šajā gadījumā stienis AB paliks nekustīgs, un bumba M pārvietosies pa stieni par attālumu d s. Apkoposim norādīto kustību darba summu:

definēsim

aizstājot spēka vērtību F 1 no formulas (a), mēs iegūstam

1.5. Sistēmas kinētiskās enerģijas izteikšana
vispārinātās koordinātēs

Sistēmas kinētiskā enerģija ir vienāda ar tās ķermeņu un punktu kinētisko enerģiju summu (2. pielikums). Lai iegūtu par T Izteiksmei (1.2.) jāizsaka visu sistēmas ķermeņu un punktu ātrumi, izmantojot vispārinātus ātrumus, izmantojot kinemātikas metodes. Šajā gadījumā sistēma tiek uzskatīta par patvaļīgu pozīciju, visi tās vispārinātie ātrumi tiek uzskatīti par pozitīviem, t.i., ir vērsti uz vispārināto koordinātu palielināšanu.

1. piemērs. 7 (skatīt nosacījumu 1.1. att.)

Nosakīsim sistēmas kinētisko enerģiju (1.8. att.), attālumu ņemot par vispārinātu koordinātu s,

T = TA + T B.

Saskaņā ar (2) un (3) formulām adj. 2 mums ir: .

Šo datu aizstāšana ar T un, ņemot vērā to, mēs iegūstam

Piemērs 1.8(skatīt nosacījumu 1.2. att.)

Ļaujiet mums noteikt sistēmas kinētisko enerģiju attēlā. 1.9, par vispārinātām koordinātēm ņemot daudzumus xD Un x A,

T = T A + T B + T D.

Saskaņā ar formulām (2), (3), (4) adj. 2 mēs pierakstīsim

Izteiksim V A , V D , w B un w A caur:

Nosakot w A tiek ņemts vērā, ka punkts O(1.9. att.) – momentānais cilindru apgriezienu centrs A Un V k = V D(sk. atbilstošos skaidrojumus, piemēram, 2. pielikuma 2. pielikumu).

Iegūto rezultātu aizstāšana ar T un ņemot vērā to

definēsim

Piemērs 1.9(skatīt nosacījumu 1.3. att.)

Ļaujiet mums noteikt sistēmas kinētisko enerģiju attēlā. 1.10, ņemot j un kā vispārinātas koordinātas s,

T = TAB + T D.

Saskaņā ar (1) un (3) formulām adj. 2 mums ir

Izteiksim w AB Un V D izmantojot un:

kur ir bumbiņas pārvietošanas ātrums D, tā moduli nosaka pēc formulas

Ir vērsta perpendikulāri segmentam AD leņķa j pieauguma virzienā; – bumbiņas relatīvais ātrums, tās moduli nosaka formula, kas vērsta uz pieaugošām koordinātām s. Ņemiet vērā, ka tāpēc ir perpendikulārs

Šo rezultātu aizstāšana ar T un ņemot vērā to

1.6. Diferenciālvienādojumu sastādīšana
mehānisko sistēmu kustība

Lai iegūtu nepieciešamos vienādojumus, Lagranža vienādojumos (1.1) ir jāaizvieto iepriekš atrastā sistēmas kinētiskās enerģijas izteiksme vispārinātās koordinātēs un vispārinātos spēkos. J 1 , J 2 , … , Qn.

Meklējot daļējus atvasinājumus T izmantojot vispārinātās koordinātas un vispārinātos ātrumus, jāņem vērā, ka mainīgie q 1 , q 2 , … , q n; tiek uzskatīti par neatkarīgiem viens no otra. Tas nozīmē, ka, definējot daļējo atvasinājumu T vienam no šiem mainīgajiem, visi pārējie mainīgie izteiksmē for T jāuzskata par konstantēm.

Veicot darbību, visi mainīgajā iekļautie mainīgie ir jādiferencē laikā.

Mēs uzsveram, ka Lagranža vienādojumi ir rakstīti katrai vispārinātajai koordinātei q i (i = 1, 2,…n) sistēmas.

Analītiskajā mehānikā kopā ar spēka jēdzienu kā vektora lielumu, kas raksturo citu materiālo ķermeņu ietekmi uz noteiktu ķermeni, viņi izmanto jēdzienu vispārināts spēks. Lai noteiktu vispārināta vara Apskatīsim sistēmas punktiem pielietoto spēku virtuālo darbu.

Ja mehāniska sistēma ar tai uzliktiem holonomiskiem ierobežojošiem spēkiem h ir savienojumi s = 3n-h brīvības pakāpes , tad tiek noteikta šīs sistēmas pozīcija ( i = s)

vispārinātās koordinātas un (2.11) : Saskaņā ar (2.13), (2.14) virtuālo pārvietojumu k – punktus

(2.13)

(2.14)

Aizstāšana (2.14): spēku virtuālā darba formulā

(2.24), mēs iegūstam

Skalārais daudzums = (2.26)

sauca vispārināts spēks, atbilstošs i th vispārinātā koordināte.

Vispārējs spēkskas atbilst i-vispārinātā koordināte ir lielums, kas vienāds ar reizinātāju dotās vispārinātās koordinātas variācijai, izsakot spēku, kas iedarbojas uz mehānisku sistēmu, virtuālo darbu.

Virtuālais darbs noteikts no

¾ noteikti aktīvie spēki neatkarīgi no ierobežojumiem un

¾ savienojuma reakcijas (ja savienojumi nav ideāli, tad problēmas risināšanai papildus jāiestata fiziskā atkarība T j no N j , ( T j ¾ tie, kā likums, ir berzes spēki vai pretestības momenti pret rites berzi, ko mēs varam noteikt).

Vispār vispārināts spēks ir vispārināto koordinātu, sistēmas punktu ātruma un laika funkcija. No definīcijas izriet, ka vispārināts spēks¾ ir skalārs lielums, kas ir atkarīgs no vispārinātajām koordinātām, kas izvēlētas konkrētai mehāniskai sistēmai. Tas nozīmē, ka, mainoties vispārināto koordinātu kopai, kas nosaka dotās sistēmas pozīciju, vispārinātie spēki.

Piemērs 2.10. Diskam ar rādiusu r un masa m, kas ripo neslīdot pa slīpu plakni (2.9. att.), var ņemt par vispārinātu koordinātu:

¾ vai q = s¾ diska masas centra kustība,

¾ vai nu q= j ¾ diska griešanās leņķis. Ja mēs neņemam vērā rites pretestību, tad:

¾ pirmajā gadījumā vispārināts spēks gribu

Rīsi. 2.9 Q s = mg sina, a

¾ otrajā gadījumā ¾ Q j = mg r cosa.

Vispārinātā koordināta nosaka arī atbilstošās mērvienību vispārināta vara. No izteiksmes (2.25)

(2.27)

no tā izriet, ka mērvienība vispārināta vara vienāds ar darba vienību, kas dalīta ar vispārinātās koordinātas vienību.

Ja kā vispārināta koordināte q pieņemt q = s¾ jebkura punkta kustība, tad mērvienība vispārināta vara Q s ¾ būs [ņūtons] ,

Ja, kā a q= j ¾ tiks ņemts ķermeņa griešanās leņķis (radiānos), tad mērvienība vispārināta vara Q j 2 būs [ ņūtonmetrs].

Pierakstīsim to spēku elementāro darbu summu, kas iedarbojas uz sistēmas punktiem uz iespējamo sistēmas nobīdi:

Lai holonomiskajai sistēmai ir brīvības pakāpes un līdz ar to tiek noteikta tā pozīcija telpā vispārinātas koordinātas
.

(225) aizstāšana ar (226) un summēšanas secības maiņa pēc indeksiem Un , saņemam

. (226")

kur ir skalārais lielums

sauca vispārināts spēks, kas saistīts ar vispārināto koordinātu . Izmantojot labi zināmo izteiksmi divu vektoru punktu reizinājumam, piešķirto spēku var attēlot arī kā

– spēka projekcijas uz koordinātu asīm;
– spēka pielikšanas punkta koordinātas.

Vispārējā spēka izmērs saskaņā ar (226") ir atkarīgs no izmēra šādi , kas sakrīt ar izmēru :

, (228)

tas ir, vispārinātā spēka izmērs ir vienāds ar spēka (enerģijas) darba dimensiju vai spēka momentu, kas dalīts ar vispārinātās koordinātas izmēru, kurai piešķirts vispārinātais spēks. No tā izriet, ka vispārinātam spēkam var būt spēka vai spēka momenta dimensija.

Ģeneralizētā spēka aprēķins

1. Vispārināto spēku var aprēķināt, izmantojot formulu (227), kas to definē, t.i.

2. Vispārinātos spēkus var aprēķināt kā koeficientus atbilstošām vispārināto koordinātu variācijām izteiksmē elementāram darbam (226"), t.i.

3. Vispiemērotākā vispārināto spēku aprēķināšanas metode, kas iegūta no (226 ""), ir, ja sistēmai tiek dota tāda iespējamā kustība, ka mainās tikai viena vispārinātā koordināte, bet pārējās nemainās. Tātad ja
, un pārējais
, tad no (179") mums ir

.

Rādītājs norāda, ka elementāru darbu summa tiek aprēķināta uz iespējamo nobīdi, kuras laikā mainās (mainās) tikai koordinātas . Ja mainīgā koordināta ir , Tas

. (227")

Līdzsvara nosacījumi spēku sistēmai vispārināto spēku izteiksmē

Sistēmas līdzsvara apstākļi ir atvasināti no iespējamo kustību principa. Tie attiecas uz sistēmām, kurām ir spēkā šis princips: holonomiskiem, stacionāriem, ideāliem un neatbrīvojošiem ierobežojumiem pakļautas mehāniskās sistēmas līdzsvaram brīdī, kad visu sistēmas punktu ātrumi ir vienādi ar nulli, ir nepieciešams un pietiekami, lai visi vispārinātie spēki būtu vienādi ar nulli

. (228")

3.6.7. Vispārējais dinamikas vienādojums

Vispārējs dinamikas vienādojums sistēmai ar jebkādiem savienojumiem (kombinētais d'Alembert-Lagrange princips vai vispārējais mehānikas vienādojums):

, (229)

Kur – aktīvais spēks, kas pielikts -sistēmas punkts; – savienojumu reakcijas stiprums;
– punktveida inerces spēks; - iespējama kustība.

Sistēmas līdzsvara gadījumā, kad izzūd visi sistēmas punktu inerces spēki, tas pārvēršas par iespējamo pārvietojumu principu. To parasti izmanto sistēmām ar ideāliem savienojumiem, kurām nosacījums ir izpildīts

Šajā gadījumā (229) ir vienā no formām:

,

,

. (230)

Tādējādi saskaņā ar vispārējo dinamikas vienādojumu jebkurā sistēmas kustības brīdī ar ideāliem savienojumiem visu aktīvo spēku un sistēmas punktu inerces spēku elementāro darbu summa ir vienāda ar nulli pie jebkuras iespējamās sistēmas kustības pieļaujamās. pēc savienojumiem.

Vispārīgajam dinamikas vienādojumam var dot citas, līdzvērtīgas formas. Paplašinot vektoru skalāro reizinājumu, to var izteikt kā

Kur
- koordinātas - sistēmas punkts. Ņemot vērā, ka inerces spēku projekcijas uz koordinātu asīm caur paātrinājumu projekcijām uz šīm asīm tiek izteiktas ar attiecībām

,

vispārējam dinamikas vienādojumam var dot formu

Šajā formā to sauc vispārējs dinamikas vienādojums analītiskā formā.

Izmantojot vispārējo dinamikas vienādojumu, ir jāprot aprēķināt sistēmas inerces spēku elementāro darbu uz iespējamajiem pārvietojumiem. Lai to izdarītu, izmantojiet atbilstošās formulas elementārajam darbam, kas iegūts parastajiem spēkiem. Apskatīsim to pielietojumu stingra ķermeņa inerces spēkiem konkrētos tā kustības gadījumos.

Kustības uz priekšu laikā. Šajā gadījumā ķermenim ir trīs brīvības pakāpes, un uzlikto ierobežojumu dēļ tas var veikt tikai translācijas kustību. Iespējamās ķermeņa kustības, kas pieļauj savienojumus, ir arī translatīvas.

Inerces spēki translācijas kustības laikā tiek samazināti līdz rezultētajam
. Par elementāru inerces spēku darbu summu uz ķermeņa iespējamo translācijas kustību iegūstam

Kur
– iespējamā masas centra un jebkura ķermeņa punkta kustība, jo visu ķermeņa punktu translācijas iespējamā kustība ir vienāda: arī paātrinājumi ir vienādi, t.i.
.

Kad stingrs ķermenis griežas ap fiksētu asi. Ķermenim šajā gadījumā ir viena brīvības pakāpe. Tas var griezties ap fiksētu asi
. Iespējamā kustība, ko pieļauj uzklāti savienojumi, ir arī ķermeņa pagriešana par elementāru leņķi
ap fiksētu asi.

Inerces spēki samazināti līdz punktam uz rotācijas ass, tiek reducēti līdz galvenajam vektoram un galvenais punkts
. Galvenais inerciālo spēku vektors tiek pielietots fiksētam punktam, un tā elementārais darbs pie iespējamās nobīdes ir nulle. Galvenajam inerces spēku momentam elementārs darbs, kas nav nulle, tiks veikts tikai ar tā projekciju uz rotācijas asi
. Tādējādi mēs iegūstam inerces spēku darba summu uz iespējamo nobīdi

,

ja leņķis
ziņot leņķiskā paātrinājuma loka bultiņas virzienā .

Plakanā kustībā. Šajā gadījumā stingrajam korpusam noteiktie ierobežojumi pieļauj tikai iespējamu plakanu kustību. Vispārīgā gadījumā tas sastāv no iespējamās translācijas kustības kopā ar stabu, kuram izvēlamies masas centru, un griešanās pa elementāru leņķi
ap asi
, kas iet caur masas centru un ir perpendikulāra plaknei, kurai paralēli ķermenis var veikt plaknes kustību.

Tā kā inerces spēkus stingra ķermeņa plaknes kustībā var reducēt līdz galvenajam vektoram un galvenais punkts
(ja par samazinājuma centru izvēlamies masas centru), tad inerces spēku elementārā darba summa uz plaknes iespējamā nobīde tiks samazināta līdz inerces spēka vektora elementārdarbam
par iespējamo masas centra kustību un galveno inerces momentu spēku elementāru darbu elementārai rotācijas kustībai ap asi
, kas iet caur masas centru. Šajā gadījumā elementāru darbu, kas atšķiras no nulles, var veikt tikai projicējot galveno inerces spēku momentu uz asi
, t.i.
. Tādējādi izskatāmajā gadījumā mums ir

ja rotācija notiek ar elementāru leņķi
tieši loka bultiņā uz .

Protams, aprēķinot šo vispārināto spēku, potenciālā enerģija jānosaka kā funkcija no vispārinātajām koordinātām

P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).

Piezīmes.

Pirmkārt. Aprēķinot vispārinātos reakcijas spēkus, ideālie savienojumi netiek ņemti vērā.

Otrkārt. Vispārinātā spēka izmērs ir atkarīgs no vispārinātās koordinātas izmēra. Tātad, ja dimensija [ q] – metrs, tad izmērs

[Q] = Nm/m = Ņūtons, ja [ q] – radiāns, tad [Q] = Nm; Ja [ q] = m 2, tad [Q] = H/m utt.

4. piemērs. Gredzens slīd pa stieni, kas šūpojas vertikālā plaknē. M svars R(10. att.). Mēs uzskatām stieni par bezsvara. Definēsim vispārinātos spēkus.

10. att

Risinājums. Sistēmai ir divas brīvības pakāpes. Mēs piešķiram divas vispārinātas koordinātas s Un .

Atradīsim vispārināto spēku, kas atbilst koordinātei s. Mēs piešķiram šai koordinātei pieaugumu, atstājot koordinātu nemainīgu un aprēķinot vienīgā aktīvā spēka darbu R, mēs iegūstam vispārināto spēku

Tad mēs palielinām koordinātu, pieņemot s= konst. Kad stieni pagriež leņķī, spēka pielikšanas punkts ir R, gredzens M, pārvietosies uz . Vispārinātais spēks būs

Tā kā sistēma ir konservatīva, vispārējos spēkus var atrast arī izmantojot potenciālo enerģiju. Mēs saņemam Un . Tas izrādās daudz vienkāršāk.

Lagranža līdzsvara vienādojumi

Pēc definīcijas (7) vispārinātie spēki , k = 1,2,3,…,s, Kur s– brīvības pakāpju skaits.

Ja sistēma ir līdzsvarā, tad saskaņā ar iespējamo pārvietojumu principu (1) . Šeit ir kustības, ko pieļauj savienojumi, iespējamās kustības. Tāpēc, kad materiāla sistēma ir līdzsvarā, visi tās vispārinātie spēki ir vienādi ar nulli:

Q k= 0, (k=1,2,3,…, s). (10)

Šie vienādojumi līdzsvara vienādojumi vispārinātās koordinātās vai Lagranža līdzsvara vienādojumi , Ļaujiet vēl vienu metodi statikas problēmu risināšanai.

Ja sistēma ir konservatīva, tad . Tas nozīmē, ka tas atrodas līdzsvara stāvoklī. Tas ir, šādas materiālās sistēmas līdzsvara stāvoklī tās potenciālā enerģija ir vai nu maksimālā, vai minimālā, t.i. funkcijai П(q) ir ekstrēmums.

Tas ir acīmredzams no vienkāršākā piemēra analīzes (11. att.). Bumbiņas potenciālā enerģija pozīcijā M 1 ir minimums, pozīcijā M 2 – maksimums. Var pamanīt, ka pozīcijā M 1 līdzsvars būs stabils; grūtniece M 2 – nestabils.

11. att

Līdzsvars tiek uzskatīts par stabilu, ja ķermenim šajā stāvoklī tiek dots mazs ātrums vai tas tiek pārvietots nelielā attālumā un šīs novirzes nākotnē nepalielinās.

Var pierādīt (Lagranža-Dirihlē teorēma), ka, ja konservatīvas sistēmas līdzsvara stāvoklī tās potenciālajai enerģijai ir minimums, tad šī līdzsvara pozīcija ir stabila.

Konservatīvai sistēmai ar vienu brīvības pakāpi minimālās potenciālās enerģijas nosacījumu un līdz ar to līdzsvara stāvokļa stabilitāti nosaka otrais atvasinājums, tā vērtība līdzsvara stāvoklī,

5. piemērs. Kodols OA svars R var griezties vertikālā plaknē ap asi PAR(12. att.). Ļaujiet mums atrast un pētīt līdzsvara pozīciju stabilitāti.

12. att

Risinājums. Stienim ir viena brīvības pakāpe. Vispārinātā koordināte – leņķis.

Potenciālā enerģija P = attiecībā pret apakšējo nulles pozīciju Ph vai

Līdzsvara stāvoklī jābūt . Tādējādi mums ir divas līdzsvara pozīcijas, kas atbilst leņķiem un (pozīcijām OA 1 un OA 2). Izpētīsim to stabilitāti. Otrā atvasinājuma atrašana. Protams, ar , . Līdzsvara stāvoklis ir stabils. plkst. . Otrā līdzsvara pozīcija ir nestabila. Rezultāti ir acīmredzami.

Vispārējie inerces spēki.

Izmantojot to pašu metodi (8), ar kuru tika aprēķināti vispārinātie spēki Q k, kas atbilst aktīvajiem, norādītajiem, spēkiem, tiek noteikti arī vispārinātie spēki S k, kas atbilst sistēmas punktu inerces spēkiem:

Un kopš Tas

Dažas matemātiskas transformācijas.

Acīmredzot,

Tā kā a qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), tad

Tas nozīmē, ka ātruma daļējais atvasinājums attiecībā pret

Turklāt pēdējā terminā (14) varat mainīt diferenciācijas secību:

Aizstājot (15) un (16) ar (14) un pēc tam (14) ar (13), mēs iegūstam

Dalot pēdējo summu ar divi un paturot prātā, ka atvasinājumu summa ir vienāda ar summas atvasinājumu, mēs iegūstam

kur ir sistēmas kinētiskā enerģija un vispārinātais ātrums.

Lagranža vienādojumi.

Pēc definīcijas (7) un (12) vispārinātie spēki

Bet, pamatojoties uz vispārējo dinamikas vienādojumu (3), vienādības labā puse ir vienāda ar nulli. Un tā kā viss ( k = 1,2,3,…,s) atšķiras no nulles, tad . Aizvietojot vispārinātā inerces spēka vērtību (17), iegūstam vienādojumu

Šie vienādojumi tiek saukti par kustības diferenciālvienādojumiem vispārinātās koordinātās, otrā veida Lagranža vienādojumi vai vienkārši – Lagranža vienādojumi.

Šo vienādojumu skaits ir vienāds ar materiālās sistēmas brīvības pakāpju skaitu.

Ja sistēma ir konservatīva un pārvietojas potenciālo lauka spēku ietekmē, kad vispārinātie spēki ir , Lagranža vienādojumus var sastādīt formā

Kur L = T– sauc P Lagranža funkcija (tiek pieņemts, ka potenciālā enerģija P nav atkarīga no vispārinātajiem ātrumiem).

Bieži vien, pētot materiālu sistēmu kustību, atklājas, ka dažas vispārinātas koordinātas q j nav tieši iekļauti Lagranža funkcijā (vai tajā T un P). Šādas koordinātas sauc ciklisks. Šīm koordinātām atbilstošos Lagranža vienādojumus iegūst vienkāršāk.

Pirmo šādu vienādojumu integrāli var atrast uzreiz. To sauc par ciklisko integrāli:

Turpmākie Lagranža vienādojumu pētījumi un transformācijas ir speciālas teorētiskās mehānikas sadaļas “Analītiskā mehānika” priekšmets.

Lagranža vienādojumiem ir vairākas priekšrocības salīdzinājumā ar citām sistēmu kustības izpētes metodēm. Galvenās priekšrocības: vienādojumu sastādīšanas metode visos uzdevumos ir vienāda, ideālo savienojumu reakcijas, risinot uzdevumus, netiek ņemtas vērā.

Un vēl viena lieta - ar šiem vienādojumiem var pētīt ne tikai mehāniskās, bet arī citas fizikālās sistēmas (elektriskās, elektromagnētiskās, optiskās utt.).

6. piemērs. Turpināsim pētīt gredzena kustību M uz šūpošanās stieņa (4. piemērs).

Tiek piešķirtas vispārinātas koordinātas – un s (13. att.). Vispārinātos spēkus nosaka: un .

13. att

Risinājums. Gredzena kinētiskā enerģija Kur a un .

Mēs sastādām divus Lagranža vienādojumus

tad vienādojumi izskatās šādi:

Esam ieguvuši divus nelineārus otrās kārtas diferenciālvienādojumus, kuru atrisināšanai nepieciešamas īpašas metodes.

7. piemērs. Izveidosim stara kustības diferenciālvienādojumu AB, kas ripo neslīdot pa cilindrisku virsmu (14. att.). Sijas garums AB = l, svars - R.

Līdzsvara stāvoklī stars bija horizontāls un smaguma centrs AR tas atradās cilindra augšējā punktā. Sijai ir viena brīvības pakāpe. Tās atrašanās vietu nosaka vispārināta koordināta – leņķis (76. att.).

14. att

Risinājums. Sistēma ir konservatīva. Tāpēc mēs sastādīsim Lagranža vienādojumu, izmantojot potenciālo enerģiju P=mgh, kas aprēķināta attiecībā pret horizontālo stāvokli. Saskares punktā atrodas momentānais ātrumu centrs un (vienāds ar apļveida loka garumu ar leņķi).

Tāpēc (sk. 76. att.) un.

Kinētiskā enerģija (staurs tiek pakļauts plaknei paralēlai kustībai)

Mēs atrodam nepieciešamos atvasinājumus vienādojumam un

Izveidosim vienādojumu

vai, visbeidzot,

Pašpārbaudes jautājumi

Kāda ir ierobežotas mehāniskās sistēmas iespējamā kustība?

Kā ir saistītas iespējamās un faktiskās sistēmas kustības?

Kādus savienojumus sauc: a) stacionāri; b) ideāls?

Formulējiet iespējamo kustību principu. Pierakstiet tā formulu izteiksmi.

Vai ir iespējams piemērot virtuālo kustību principu sistēmām ar neideāliem savienojumiem?

Kādas ir mehāniskās sistēmas vispārīgās koordinātas?

Kāds ir mehāniskās sistēmas brīvības pakāpju skaits?

Kādā gadījumā sistēmas punktu Dekarta koordinātas ir atkarīgas ne tikai no vispārinātām koordinātām, bet arī no laika?

Kā sauc iespējamās mehāniskās sistēmas kustības?

Vai iespējamās kustības ir atkarīgas no spēkiem, kas iedarbojas uz sistēmu?

Kādus mehāniskās sistēmas savienojumus sauc par ideāliem?

Kāpēc saite, kas izveidota ar berzi, nav ideāla saite?

Kā tiek formulēts iespējamo kustību princips?

Kādi veidi var būt darba vienādojumam?

Kāpēc iespējamo pārvietojumu princips vienkāršo līdzsvara nosacījumu atvasināšanu spēkiem, kas pielietoti ierobežotām sistēmām, kas sastāv no liela skaita ķermeņu?

Kā tiek konstruēti darba vienādojumi spēkiem, kas iedarbojas uz mehānisku sistēmu ar vairākām brīvības pakāpēm?

Kādas ir attiecības starp dzinējspēku un pretestības spēku vienkāršākajās mašīnās?

Kā tiek formulēts mehānikas zelta likums?

Kā tiek noteiktas savienojumu reakcijas, izmantojot iespējamo kustību principu?

Kādus savienojumus sauc par holonomiskiem?

Kāds ir mehāniskās sistēmas brīvības pakāpju skaits?

Kādas ir sistēmas vispārīgās koordinātas?

Cik vispārinātu koordinātu ir nebrīvai mehāniskai sistēmai?

Cik brīvības pakāpju ir automašīnas stūrei?

Kas ir vispārināts spēks?

Pierakstiet formulu, kas izsaka visu sistēmai pielikto spēku kopējo elementāro darbu vispārinātās koordinātēs.

Kā tiek noteikts vispārinātā spēka izmērs?

Kā konservatīvajās sistēmās aprēķina vispārinātos spēkus?

Pierakstiet vienu no formulām, kas izsaka vispārēju sistēmas dinamikas vienādojumu ar ideāliem savienojumiem. Kāda ir šī vienādojuma fiziskā nozīme?

Kāds ir sistēmai pielikto aktīvo spēku vispārējais spēks?

Kas ir vispārinātais inerces spēks?

Formulējiet d'Alemberta principu vispārinātos spēkos.

Kāds ir vispārējais dinamikas vienādojums?

Ko sauc par vispārināto spēku, kas atbilst kādai vispārinātai sistēmas koordinātei, un kāda tā dimensija ir?

Kādas ir ideālo saišu vispārinātās reakcijas?

Atvasiniet vispārējo dinamikas vienādojumu vispārinātos spēkos.

Kādi ir līdzsvara nosacījumi mehāniskai sistēmai pieliktajiem spēkiem, kas iegūti no vispārējā dinamikas vienādojuma vispārinātos spēkos?

Kādas formulas izsaka vispārinātus spēkus, izmantojot spēku projekcijas uz Dekarta koordinātu fiksētajām asīm?

Kā tiek noteikti vispārinātie spēki konservatīvo un nekonservatīvo spēku gadījumā?

Kādus savienojumus sauc par ģeometriskiem?

Dodiet iespējamo pārvietojumu principa vektorattēlu.

Nosauc nepieciešamo un pietiekamo nosacījumu mehāniskas sistēmas līdzsvaram ar ideāliem stacionāriem ģeometriskiem savienojumiem.

Kāda īpašība ir konservatīvas sistēmas spēka funkcijai līdzsvara stāvoklī?

Pierakstiet otrā veida Lagranža diferenciālvienādojumu sistēmu.

Cik otrā veida Lagranža vienādojumus var izveidot ierobežotai mehāniskai sistēmai?

Vai mehāniskās sistēmas Lagranža vienādojumu skaits ir atkarīgs no sistēmā iekļauto ķermeņu skaita?

Kāds ir sistēmas kinētiskais potenciāls?

Kurām mehāniskām sistēmām pastāv Lagranža funkcija?

Kādi argumenti ir mehāniskai sistēmai piederoša punkta ātruma vektora funkcija ar s brīvības pakāpes?

Kāds ir sistēmas punkta ātruma vektora daļējais atvasinājums attiecībā pret kādu vispārinātu ātrumu?

Kuru argumentu funkcija ir sistēmas kinētiskā enerģija, kas pakļauta holonomiskiem nestacionāriem ierobežojumiem?

Kāda forma ir otrā veida Lagranža vienādojumiem? Kāds ir šo vienādojumu skaits katrai mehāniskajai sistēmai?

Kādu formu iegūst otrā veida Lagranža vienādojumi, ja uz sistēmu vienlaikus iedarbojas konservatīvi un nekonservatīvi spēki?

Kas ir Lagranža funkcija jeb kinētiskais potenciāls?

Kāda forma ir otrā veida Lagranža vienādojumiem konservatīvai sistēmai?

Atkarībā no kādiem mainīgajiem ir jāizsaka mehāniskās sistēmas kinētiskā enerģija, veidojot Lagranža vienādojumus?

Kā nosaka mehāniskās sistēmas potenciālo enerģiju elastīgo spēku ietekmē?

Problēmas, kas jārisina patstāvīgi

1. uzdevums. Izmantojot iespējamo pārvietojumu principu, noteikt salikto konstrukciju savienojumu reakcijas. Strukturālās diagrammas ir parādītas attēlā. 15, un risinājumam nepieciešamie dati doti tabulā. 1. Attēlos visi izmēri ir metros.

1. tabula

1. iespēja 2. iespēja

3. iespēja 4. iespēja

5. iespēja 6. iespēja

7. iespēja 8. iespēja

16. att. 17. att

Risinājums. Ir viegli pārbaudīt, vai šajā uzdevumā ir izpildīti visi Lagranža principa piemērošanas nosacījumi (sistēma ir līdzsvarā, savienojumi ir stacionāri, holoniski, ierobežojoši un ideāli).

Atbrīvosimies no reakcijai atbilstošās saiknes X A (17. att.). Lai to izdarītu, punktā A ir jānomaina fiksētā vira, piemēram, ar stieņa balstu, un tādā gadījumā sistēma saņem vienu brīvības pakāpi. Kā jau minēts, sistēmas iespējamo kustību nosaka tai uzliktie ierobežojumi, un tā nav atkarīga no pielietotajiem spēkiem. Tāpēc iespējamo pārvietojumu noteikšana ir kinemātiska problēma. Tā kā šajā piemērā rāmis var kustēties tikai attēla plaknē, arī tā iespējamās kustības ir plakanas. Plakanā kustībā ķermeņa kustību var uzskatīt par rotāciju ap momentāno ātrumu centru. Ja momentānais ātrumu centrs atrodas bezgalībā, tad tas atbilst momentānas translācijas kustības gadījumam, kad visu ķermeņa punktu nobīdes ir vienādas.

Lai atrastu momentāno ātrumu centru, ir jāzina jebkuru divu ķermeņa punktu ātruma virzieni. Tāpēc kompozītmateriālu struktūras iespējamo pārvietojumu noteikšana jāsāk ar tā elementa iespējamo pārvietojumu atrašanu, kuram ir zināmi šādi ātrumi. Šajā gadījumā jums vajadzētu sākt ar rāmi CDB, kopš tā punkta IN ir nekustīgs, un tāpēc šī rāmja iespējamā kustība ir tā griešanās leņķī ap asi, kas iet caur viru B. Tagad, zinot punkta iespējamo kustību AR(tā vienlaikus pieder abiem sistēmas rāmjiem) un punkta iespējamā kustība A(iespējamā punkta A kustība ir tā kustība pa asi X), atrodiet kadra momentānā ātruma centru C 1 AES. Tādējādi iespējama rāmja kustība AES ir tā rotācija ap punktu C 1 par leņķi . Savienojums starp leņķiem un tiek noteikts caur punkta C kustību (sk. 17. att.)

No trīsstūru līdzības EC 1 C un BCD mums ir

Rezultātā mēs iegūstam atkarības:

Pēc iespējamo kustību principa

Ļaujiet mums secīgi aprēķināt iespējamos šeit iekļautos darbus:

Q=2q – sadalītās slodzes rezultants, kura pielikšanas punkts parādīts att. 79; iespējamais darbs, ko tas veic, ir vienāds.