Nepārtraukts gadījuma mainīgais ir. Nepārtraukts gadījuma mainīgais

§ 3. NEJAUŠI MAINĪGIE

3. Nepārtraukti nejauši mainīgie.

Papildus diskrētiem nejaušības lielumiem, kuru iespējamās vērtības veido ierobežotu vai bezgalīgu skaitļu virkni, kas pilnībā neaizpilda nevienu intervālu, bieži vien ir nejauši mainīgie, kuru iespējamās vērtības veido noteiktu intervālu. Šāda nejauša lieluma piemērs ir novirze no noteikta izmēra detaļas nominālvērtības ar pareizi pielāgotu tehnoloģisko procesu. Šāda veida gadījuma lielumus nevar norādīt, izmantojot varbūtības sadalījuma likumu p(x). Tomēr tos var norādīt, izmantojot varbūtības sadalījuma funkciju F(x). Šī funkcija ir definēta tieši tādā pašā veidā kā diskrēta gadījuma mainīgā gadījumā:

Tādējādi arī šeit funkcija F(x) definēts visā skaitļu rindā, un tā vērtība punktā X ir vienāds ar varbūtību, ka nejaušajam mainīgajam būs vērtība, kas mazāka par X.
Formula () un īpašības 1° un 2° ir derīgas jebkura gadījuma lieluma sadalījuma funkcijai. Pierādīšana tiek veikta līdzīgi kā diskrēta daudzuma gadījumā.
Nejaušais mainīgais tiek saukts nepārtraukts, ja tai ir nenegatīva pa daļām nepārtraukta funkcija*, kas apmierina jebkuras vērtības x vienlīdzība
Pamatojoties uz integrāļa kā laukuma ģeometrisko nozīmi, mēs varam teikt, ka nevienādību izpildes varbūtība ir vienāda ar līknes trapeces laukumu ar pamatni. , ko augšpusē ierobežo līkne (6. att.).
Kopš , un pamatojoties uz formulu ()
, Tas
Ņemiet vērā, ka nepārtrauktam gadījuma mainīgajam sadalījuma funkcija F(x) nepārtraukti jebkurā punktā X, kur funkcija ir nepārtraukta. Tas izriet no tā, ka F(x)šajos punktos ir atšķirīgs.
Pamatojoties uz formulu (), pieņemot x 1 =x, , mums ir

Funkciju nepārtrauktības dēļ F(x) mēs to saņemam

Līdz ar to

Tādējādi varbūtība, ka nepārtraukts gadījuma lielums var iegūt jebkuru atsevišķu vērtību x, ir nulle.
No tā izriet, ka notikumi, kas sastāv no katras nevienlīdzības piepildīšanās
, , ,
Viņiem ir vienāda varbūtība, t.i.

Patiesībā, piemēram,

jo

komentēt. Kā zināms, ja notikums nav iespējams, tad tā iestāšanās varbūtība ir nulle. Izmantojot klasisko varbūtības definīciju, kad testa rezultātu skaits ir ierobežots, spēkā ir arī apgrieztais apgalvojums: ja notikuma varbūtība ir nulle, tad notikums nav iespējams, jo šajā gadījumā neviens no testa rezultātiem tam nav labvēlīgs. Nepārtraukta gadījuma lieluma gadījumā tā iespējamo vērtību skaits ir bezgalīgs. Varbūtība, ka šis daudzums iegūs noteiktu vērtību x 1 kā mēs redzējām, ir vienāds ar nulli. Tomēr no tā neizriet, ka šis notikums nav iespējams, jo testa rezultātā nejaušais mainīgais jo īpaši var iegūt vērtību x 1. Tāpēc nepārtraukta gadījuma lieluma gadījumā ir jēga runāt par varbūtību, ka gadījuma lielums iekritīs intervālā, nevis par varbūtību, ka tas iegūs kādu konkrētu vērtību.
Tātad, piemēram, izgatavojot veltni, mūs neinteresē varbūtība, ka tā diametrs būs vienāds ar nominālvērtību. Mums ir svarīga varbūtība, ka veltņa diametrs ir pielaides diapazonā.

Izplatības blīvums varbūtības X izsaukt funkciju f(x)– sadalījuma funkcijas pirmais atvasinājums F(x):

Gadījuma lieluma varbūtības sadalījuma blīvuma jēdziens X nav piemērojams diskrētiem daudzumiem.

Varbūtību sadalījuma blīvums f(x)- sauc par diferenciālā sadalījuma funkciju:

1. īpašums. Izkliedes blīvums ir nenegatīvs lielums:

2. īpašums. Nepareizais sadalījuma blīvuma integrālis diapazonā no līdz ir vienāds ar vienību:

Piemērs 1.25. Dota nepārtraukta gadījuma lieluma sadalījuma funkcija X:

f(x).

Risinājums: Sadalījuma blīvums ir vienāds ar sadalījuma funkcijas pirmo atvasinājumu:

1. Dota nepārtraukta gadījuma lieluma sadalījuma funkcija X:

Atrodiet sadalījuma blīvumu.

2. Dota nepārtraukta gadījuma lieluma sadalījuma funkcija X:

Atrodiet sadalījuma blīvumu f(x).

1.3. Nepārtrauktas nejaušības skaitliskie raksturlielumi

daudzumus

Paredzamā vērtība nepārtraukts gadījuma mainīgais X, kuru iespējamās vērtības attiecas uz visu asi Ak, nosaka vienlīdzība:

Tiek pieņemts, ka integrālis saplūst absolūti.

a, b), Tas:

f(x)– gadījuma lieluma sadalījuma blīvums.

Izkliede nepārtraukts gadījuma mainīgais X, kuras iespējamās vērtības pieder visai asij, nosaka vienādība:

Īpašs gadījums. Ja gadījuma lieluma vērtības pieder intervālam ( a, b), Tas:

Varbūtība, ka Xņems vērtības, kas pieder intervālam ( a, b), nosaka vienlīdzība:

Piemērs 1.26. Nepārtraukts gadījuma mainīgais X

Atrodiet matemātisko cerību, dispersiju un varbūtību trāpīt nejaušam mainīgajam X intervālā (0;0,7).

Risinājums: Nejaušais lielums ir sadalīts pa intervālu (0,1). Noteiksim nepārtraukta gadījuma lieluma sadalījuma blīvumu X:

a) Matemātiskās cerības :

b) dispersija

Uzdevumi patstāvīgam darbam:

1. Nejaušs mainīgais X ko nosaka sadales funkcija:

M(x);

b) dispersija D(x);

X intervālā (2,3).

2. Izlases lielums X

Atrodi: a) matemātisko cerību M(x);

b) dispersija D(x);

c) nosaka gadījuma lieluma sitiena varbūtību X intervālā (1;1,5).

3. Izlases lielums X tiek iegūta ar kumulatīvo sadalījuma funkciju:

Atrodi: a) matemātisko cerību M(x);

b) dispersija D(x);

c) nosaka gadījuma lieluma sitiena varbūtību X intervālā

1.4. Nepārtraukta gadījuma lieluma sadalījuma likumi

1.4.1. Vienveidīgs sadalījums

Nepārtraukts gadījuma mainīgais X ir vienmērīgs sadalījums segmentā [ a, b], ja šajā segmentā nejaušā lieluma varbūtības sadalījuma blīvums ir nemainīgs un ārpus tā ir vienāds ar nulli, t.i.:

Rīsi. 4.

; ; .

Piemērs 1.27. Autobuss noteiktā maršrutā kursē vienmērīgi ar 5 minūšu intervālu. Atrodiet varbūtību, ka vienmērīgi sadalīts gadījuma mainīgais X– autobusa gaidīšanas laiks būs mazāks par 3 minūtēm.

Risinājums: Izlases vērtība X– vienmērīgi sadalīts pa intervālu .

Varbūtības blīvums: .

Lai gaidīšanas laiks nepārsniegtu 3 minūtes, pasažierim pieturā jāierodas 2 līdz 5 minūšu laikā pēc iepriekšējā autobusa atiešanas, t.i. nejauša vērtība X jāiekrīt intervālā (2;5). Tas. nepieciešamā varbūtība:

Uzdevumi patstāvīgam darbam:

1. a) atrast gadījuma lieluma matemātisko cerību X vienmērīgi sadalīts intervālā (2;8);

b) atrast nejaušā lieluma dispersiju un standartnovirzi X, vienmērīgi sadalīti intervālā (2;8).

2. Elektriskā pulksteņa minūšu rādītājs pēkšņi kustas katras minūtes beigās. Atrodiet varbūtību, ka konkrētajā brīdī pulkstenis rādīs laiku, kas no patiesā laika atšķiras ne vairāk kā par 20 sekundēm.

1.4.2. Eksponenciālais sadalījums

Nepārtraukts gadījuma mainīgais X tiek sadalīts saskaņā ar eksponenciālo likumu, ja tā varbūtības blīvumam ir šāda forma:

kur ir eksponenciālā sadalījuma parametrs.

Tādējādi

Rīsi. 5.

Skaitliskās īpašības:

Piemērs 1.28. Izlases vērtība X– spuldzes darbības laiks – ir eksponenciāls sadalījums. Nosakiet varbūtību, ka spuldzes darbības laiks būs vismaz 600 stundas, ja vidējais darbības laiks ir 400 stundas.

Risinājums: Atbilstoši uzdevuma nosacījumiem gadījuma lieluma matemātiskā cerība X ir vienāds ar 400 stundām, tāpēc:

;

Nepieciešamā varbūtība, kur

Visbeidzot:

Uzdevumi patstāvīgam darbam:

1. Uzrakstiet eksponenciālā likuma blīvuma un sadalījuma funkciju, ja parametrs .

2. Izlases lielums X

Atrodiet daudzuma matemātisko cerību un dispersiju X.

3. Izlases lielums X tiek dota ar varbūtības sadalījuma funkciju:

Atrodiet nejauša lieluma matemātisko cerību un standarta novirzi.

1.4.3. Normāls sadalījums

Normāls sauc par nepārtraukta gadījuma lieluma varbūtības sadalījumu X, kura blīvumam ir šāda forma:

Kur A– matemātiskā cerība, – standartnovirze X.

Varbūtība, ka Xņems vērtību, kas pieder intervālam:

, Kur

– Laplasa funkcija.

Izplatījums, kuram ; , t.i. ar varbūtības blīvumu sauc par standartu.

Rīsi. 6.

Varbūtība, ka absolūtā vērtība tiks noraidīta mazāka par pozitīvu skaitli:

Jo īpaši, kad a= 0 vienādība ir patiesa:

Piemērs 1.29. Izlases vērtība X parasti izplatīts. Standarta novirze. Atrodiet varbūtību, ka gadījuma lieluma novirze no tā matemātiskās cerības absolūtā vērtībā būs mazāka par 0,3.

Risinājums: .

Uzdevumi patstāvīgam darbam:

1. Uzrakstiet nejaušā lieluma normālā sadalījuma varbūtības blīvumu X, to zinot M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Normāli sadalīta gadījuma lieluma gaidīšana un standartnovirze X attiecīgi vienāds ar 20 un 5. Atrodiet varbūtību, ka testa rezultātā Xņems vērtību, kas ietverta intervālā (15;20).

3. Nejaušas mērījumu kļūdas ir pakļautas parastajam likumam ar standarta novirzi mm un matemātisko cerību a= 0. Atrast varbūtību, ka no 3 neatkarīgiem mērījumiem vismaz viena kļūda nepārsniegs 4 mm absolūtā vērtībā.

4. Noteikta viela tiek nosvērta bez sistemātiskām kļūdām. Nejaušas svēršanas kļūdas ir pakļautas parastajam likumam ar standarta novirzi r. Atrodiet varbūtību, ka svēršana tiks veikta ar kļūdu, kas absolūtā vērtībā nepārsniedz 10 g.

Sadales funkcija šajā gadījumā saskaņā ar (5.7) būs šāda:

kur: m – matemātiskā cerība, s – standartnovirze.

Normālo sadalījumu vācu matemātiķa Gausa vārdā sauc arī par Gausu. To, ka nejaušam mainīgajam ir normāls sadalījums ar parametriem: m, apzīmē šādi: N (m,s), kur: m =a =M ;

Diezgan bieži formulās matemātiskās cerības tiek apzīmētas ar A . Ja gadījuma lielumu sadala saskaņā ar likumu N(0,1), tad to sauc par normalizētu vai standartizētu normālo mainīgo. Tās izplatīšanas funkcijai ir šāda forma:

Normālā sadalījuma blīvuma grafiks, ko sauc par normālo līkni vai Gausa līkni, parādīts 5.4. attēlā.

Rīsi. 5.4. Normāls sadalījuma blīvums

Gadījuma lieluma skaitlisko raksturlielumu noteikšana pēc tā blīvuma tiek aplūkota, izmantojot piemēru.

6. piemērs.

Nepārtrauktu gadījuma lielumu nosaka sadalījuma blīvums: .

Noteikt sadalījuma veidu, atrast matemātisko cerību M(X) un dispersiju D(X).

Salīdzinot doto sadalījuma blīvumu ar (5.16), varam secināt, ka ir dots normālā sadalījuma likums ar m = 4. Tāpēc matemātiskā cerība M(X)=4, dispersija D(X)=9.

Standarta novirze s=3.

Laplasa funkcija, kurai ir šāda forma:

ir saistīta ar normālā sadalījuma funkciju (5.17), attiecība:

F 0 (x) = Ф(x) + 0,5.

Laplasa funkcija ir nepāra.

Ф(-x)=-Ф(x).

Laplasa funkcijas Ф(х) vērtības ir apkopotas tabulā un ņemtas no tabulas atbilstoši x vērtībai (skat. 1. pielikumu).

Nepārtraukta gadījuma lieluma normālajam sadalījumam ir liela nozīme varbūtību teorijā un realitātes aprakstīšanā, tas ir ļoti izplatīts nejaušās dabas parādībās. Praksē ļoti bieži sastopamies ar nejaušiem mainīgajiem, kas veidojas tieši daudzu nejaušu terminu summēšanas rezultātā. Jo īpaši mērījumu kļūdu analīze parāda, ka tās ir dažāda veida kļūdu summa. Prakse rāda, ka mērījumu kļūdu varbūtības sadalījums ir tuvs parastajam likumam.

Izmantojot Laplasa funkciju, varat atrisināt problēmu, kā aprēķināt varbūtību iekrist noteiktā intervālā un normālā gadījuma lieluma noteiktā novirzē.

NEJAUŠI MAINĪGIE

Piemērs 2.1. Izlases vērtība X ko dod sadales funkcija

Atrodiet varbūtību, ka testa rezultātā Xņems vērtības, kas ietvertas intervālā (2.5; 3.6).

Risinājums: X intervālā (2.5; 3.6) var noteikt divos veidos:

Piemērs 2.2. Pie kādām parametru vērtībām A Un IN funkciju F(x) = A + Be - x var būt sadalījuma funkcija nejauša lieluma nenegatīvām vērtībām X.

Risinājums: Tā kā visas iespējamās nejaušā lieluma vērtības X pieder intervālam , tad, lai funkcija būtu sadalījuma funkcija priekš X, īpašums ir jāapmierina:

Atbilde: .

Piemērs 2.3. Nejaušo lielumu X nosaka sadalījuma funkcija

Atrodiet varbūtību, ka četru neatkarīgu testu rezultātā vērtība X tieši 3 reizes tiks ņemta vērtība, kas pieder intervālam (0.25;0.75).

Risinājums: Varbūtība sasniegt vērtību X intervālā (0,25; 0,75) mēs atrodam, izmantojot formulu:

Piemērs 2.4. Varbūtība, ka bumba ar vienu sitienu trāpīs grozā, ir 0,3. Sastādiet sadales likumu sitienu skaitam ar trīs metieniem.

Risinājums: Izlases vērtība X– sitienu skaits grozā ar trim metieniem – var iegūt šādas vērtības: 0, 1, 2, 3. Varbūtības, ka X

Piemērs 2.5. Divi šāvēji katrs izšauj vienu šāvienu mērķī. Varbūtība, ka pirmais šāvējs to trāpīs, ir 0,5, otrais - 0,4. Sastādiet izplatīšanas likumu mērķa trāpījumu skaitam.

Risinājums: Atradīsim diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likumu X– sitienu skaits mērķī. Lai notikums ir pirmais šāvējs, kas trāpa mērķī, un lai otrais šāvējs trāpa mērķī, un attiecīgi ir viņu garām.

Sastādām SV varbūtības sadalījuma likumu X:

Piemērs 2.6. Tiek pārbaudīti trīs elementi, kas darbojas neatkarīgi viens no otra. Elementu bezatteices darbības laika ilgumam (stundās) ir sadalījuma blīvuma funkcija: pirmajam: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, otrajam: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, par trešo: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. Atrodiet varbūtību, ka laika intervālā no 0 līdz 5 stundām: sabojāsies tikai viens elements; tikai divi elementi neizdosies; visi trīs elementi neizdosies.

Risinājums: Izmantosim varbūtību ģenerējošās funkcijas definīciju:

Varbūtība, ka neatkarīgos izmēģinājumos, no kuriem pirmajā ir notikuma rašanās varbūtība A vienāds ar , otrajā utt., notikums A parādās tieši vienu reizi, kas ir vienāds ar ģenerējošās funkcijas izplešanās koeficientu pakāpēs . Atradīsim attiecīgi pirmā, otrā un trešā elementa neveiksmes un neveiksmes varbūtības laika intervālā no 0 līdz 5 stundām:

Izveidosim ģenerēšanas funkciju:

Koeficients pie ir vienāds ar varbūtību, ka notikums A parādīsies tieši trīs reizes, tas ir, visu trīs elementu neveiksmes varbūtība; koeficients at ir vienāds ar varbūtību, ka tieši divi elementi neizdosies; koeficients pie ir vienāds ar varbūtību, ka tikai viens elements neizdosies.

Piemērs 2.7.Ņemot vērā varbūtības blīvumu f(x) gadījuma mainīgais X:

Atrodiet sadalījuma funkciju F(x).

Risinājums: Mēs izmantojam formulu:

Tādējādi sadales funkcija izskatās šādi:

Piemērs 2.8. Ierīce sastāv no trim neatkarīgi strādājošiem elementiem. Katra elementa atteices varbūtība vienā eksperimentā ir 0,1. Sastādiet sadalījuma likumu neveiksmīgo elementu skaitam vienā eksperimentā.

Risinājums: Izlases vērtība X– to elementu skaits, kuriem neizdevās vienā eksperimentā – var būt šādas vērtības: 0, 1, 2, 3. Varbūtības, ka Xņem šīs vērtības, mēs atrodam, izmantojot Bernulli formulu:

Tādējādi mēs iegūstam šādu nejauša lieluma varbūtības sadalījuma likumu X:

Piemērs 2.9. 6 detaļu partijā ir 4 standarta. 3 daļas tika atlasītas pēc nejaušības principa. Sastādiet sadales likumu standarta daļu skaitam starp atlasītajām.

Risinājums: Izlases vērtība X– standarta detaļu skaits starp atlasītajām – var iegūt šādas vērtības: 1, 2, 3 un ir hiperģeometrisks sadalījums. Varbūtības, ka X

Kur -- detaļu skaits partijā;

-- standarta detaļu skaits partijā;

– izvēlēto daļu skaits;

-- standarta detaļu skaits starp atlasītajām.

Piemērs 2.10. Nejaušajam mainīgajam ir sadalījuma blīvums

un nav zināmi, bet , a un . Atrodi un.

Risinājums:Šajā gadījumā nejaušais mainīgais X ir trīsstūrveida sadalījums (Simpsona sadalījums) intervālā [ a, b]. Skaitliskie raksturlielumi X:

Tāpēc . Atrisinot šo sistēmu, iegūstam divus vērtību pārus: . Tā kā saskaņā ar problēmas apstākļiem mums beidzot ir: .

Atbilde: .

Piemērs 2.11. Vidēji zem 10% līgumu apdrošināšanas sabiedrība izmaksā apdrošināšanas summas saistībā ar apdrošināšanas gadījuma iestāšanos. Aprēķiniet šādu līgumu skaita matemātisko cerību un izkliedi starp četriem nejauši izvēlētiem līgumiem.

Risinājums: Matemātisko cerību un dispersiju var atrast, izmantojot formulas:

Iespējamās SV vērtības (līgumu skaits (no četriem) ar apdrošināšanas gadījuma iestāšanos): 0, 1, 2, 3, 4.

Mēs izmantojam Bernulli formulu, lai aprēķinātu varbūtību dažādam līgumu skaitam (no četriem), par kuriem tika maksātas apdrošināšanas summas:

IC sadales sērijai (līgumu skaits ar apdrošināšanas gadījuma iestāšanos) ir šāda forma:


	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Atbilde: , .

Piemērs 2.12. No piecām rozēm divas ir baltas. Sastādiet nejauša lieluma sadalījuma likumu, kas izsaka balto rožu skaitu starp divām vienlaicīgi ņemtām rozēm.

Risinājums: Divu rožu izlasē var nebūt balto rožu, vai arī var būt viena vai divas baltas rozes. Tāpēc nejaušais mainīgais X var ņemt vērtības: 0, 1, 2. Varbūtības, ka Xņem šīs vērtības, mēs to atrodam, izmantojot formulu:

Kur -- rožu skaits;

-- balto rožu skaits;

– vienlaikus uzņemto rožu skaits;

-- balto rožu skaits starp paņemtajām.

Tad nejaušā lieluma sadalījuma likums būs šāds:

Piemērs 2.13. No 15 samontētajām vienībām 6 nepieciešama papildu eļļošana. Sastādiet sadales likumu to vienību skaitam, kurām nepieciešama papildu eļļošana, starp pieciem nejauši izvēlētiem no kopējā skaita.

Risinājums: Izlases vērtība X– vienību skaits, kurām nepieciešama papildu eļļošana, starp piecām atlasītajām – var iegūt šādas vērtības: 0, 1, 2, 3, 4, 5, un tam ir hiperģeometrisks sadalījums. Varbūtības, ka Xņem šīs vērtības, mēs to atrodam, izmantojot formulu:

Kur -- salikto vienību skaits;

-- vienību skaits, kurām nepieciešama papildu eļļošana;

– izvēlēto vienību skaits;

-- to vienību skaits, kurām nepieciešama papildu eļļošana starp atlasītajām.

Tad nejaušā lieluma sadalījuma likums būs šāds:

Piemērs 2.14. No 10 remontam saņemtajiem pulksteņiem 7 nepieciešama vispārēja mehānisma tīrīšana. Pulksteņi nav sakārtoti pēc remonta veida. Meistars, vēlēdamies atrast pulksteņus, kuriem nepieciešama tīrīšana, tos apskata pa vienam un, atradis šādus pulksteņus, pārtrauc tālāko apskati. Atrodiet noskatīto stundu skaita matemātisko cerību un dispersiju.

Risinājums: Izlases vērtība X– to vienību skaits, kurām nepieciešama papildu eļļošana no piecām atlasītajām – var iegūt šādas vērtības: 1, 2, 3, 4. Varbūtības, ka Xņem šīs vērtības, mēs to atrodam, izmantojot formulu:

Tad nejaušā lieluma sadalījuma likums būs šāds:

Tagad aprēķināsim daudzuma skaitliskos raksturlielumus:

Atbilde: , .

Piemērs 2.15. Abonents ir aizmirsis vajadzīgā tālruņa numura pēdējo ciparu, bet atceras, ka tas ir nepāra. Atrodiet matemātisko cerību un dispersiju, cik reižu viņš sastāda tālruņa numuru pirms vēlamā numura sasniegšanas, ja viņš nejauši sastāda pēdējo ciparu un pēc tam neizsauc izsaukto ciparu.

Risinājums: Nejaušajam mainīgajam var būt šādas vērtības: . Tā kā abonents turpmāk neizsauc sastādīto ciparu, šo vērtību varbūtība ir vienāda.

Sastādīsim nejauša lieluma sadalījuma sēriju:


	0,2

Aprēķināsim numuru sastādīšanas mēģinājumu skaita matemātisko cerību un dispersiju:

Atbilde: , .

Piemērs 2.16. Atteices varbūtība uzticamības testu laikā katrai sērijas ierīcei ir vienāda ar lpp. Nosakiet matemātisko sagaidāmo ierīču skaitu, kas neizdevās, ja tās tika pārbaudītas N ierīces.

Risinājums: Diskrētais gadījuma mainīgais X ir bojāto ierīču skaits N neatkarīgi testi, kuros katrā neveiksmes varbūtība ir vienāda p, sadalīta saskaņā ar binominālo likumu. Binomiālā sadalījuma matemātiskā prognoze ir vienāda ar izmēģinājumu skaitu, kas reizināts ar notikuma varbūtību vienā izmēģinājumā:

Piemērs 2.17. Diskrēts nejaušības lielums Xņem 3 iespējamās vērtības: ar varbūtību ; ar varbūtību un ar varbūtību. Atrodiet un, zinot, ka M( X) = 8.

Risinājums: Mēs izmantojam matemātiskās cerības definīcijas un diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likumu:

Mēs atradām: .

Piemērs 2.18. Tehniskās kontroles nodaļa pārbauda produktu standartitāti. Varbūtība, ka produkts ir standarta, ir 0,9. Katrā partijā ir 5 produkti. Atrodiet nejauša lieluma matemātisko cerību X– partiju skaits, kurās katrā ir tieši 4 standarta produkti, ja pārbaudei pakļautas 50 partijas.

Risinājums:Šajā gadījumā visi veiktie eksperimenti ir neatkarīgi, un varbūtība, ka katrā partijā ir tieši 4 standarta produkti, ir vienādas, tāpēc matemātisko cerību var noteikt pēc formulas:

kur ir partiju skaits;

Varbūtība, ka partijā ir tieši 4 standarta produkti.

Mēs atrodam varbūtību, izmantojot Bernulli formulu:

Atbilde: .

Piemērs 2.19. Atrodiet nejauša lieluma dispersiju X– notikuma reižu skaits A divos neatkarīgos izmēģinājumos, ja notikuma rašanās varbūtības šajos izmēģinājumos ir vienādas un ir zināms, ka M(X) = 0,9.

Risinājums: Problēmu var atrisināt divos veidos.

1) Iespējamās SV vērtības X: 0, 1, 2. Izmantojot Bernulli formulu, mēs nosakām šo notikumu varbūtības:

, , .

Tad sadales likums X ir šāda forma:

No matemātiskās cerības definīcijas mēs nosakām varbūtību:

Atradīsim SV izkliedi X:

2) Varat izmantot formulu:

Atbilde: .

Piemērs 2.20. Normāli sadalīta gadījuma lieluma gaidīšana un standartnovirze X attiecīgi vienāds ar 20 un 5. Atrodiet varbūtību, ka testa rezultātā Xņems vērtību, kas ietverta intervālā (15; 25).

Risinājums: Varbūtība trāpīt parastajam gadījuma mainīgajam X sadaļā no līdz tiek izteikta ar Laplasa funkciju:

Piemērs 2.21. Dotā funkcija:

Pie kādas parametra vērtības Cšī funkcija ir kāda nepārtraukta gadījuma lieluma sadalījuma blīvums X? Atrodiet nejauša lieluma matemātisko cerību un dispersiju X.

Risinājums: Lai funkcija būtu kāda nejauša lieluma sadalījuma blīvums, tai jābūt nenegatīvai un tai jāatbilst īpašībai:

Tātad:

Aprēķināsim matemātisko cerību, izmantojot formulu:

Aprēķināsim dispersiju, izmantojot formulu:

T ir vienāds lpp. Ir jāatrod šī nejaušā mainīgā matemātiskā cerība un dispersija.

Risinājums: Diskrētā gadījuma lieluma X sadalījuma likums - notikuma atgadījumu skaits neatkarīgos izmēģinājumos, kuros katrā notikuma iestāšanās varbūtība ir vienāda ar , sauc par binomiālu. Binomiālā sadalījuma matemātiskā cerība ir vienāda ar mēģinājumu skaita un notikuma A iestāšanās varbūtības reizinājumu vienā izmēģinājumā:

Piemērs 2.25. Mērķī tiek raidīti trīs neatkarīgi šāvieni. Katra metiena trāpīšanas iespējamība ir 0,25. Nosakiet trāpījumu skaita standartnovirzi ar trim šāvieniem.

Risinājums: Tā kā tiek veikti trīs neatkarīgi izmēģinājumi un notikuma A (trāpījuma) iespējamība katrā izmēģinājumā ir vienāda, pieņemsim, ka diskrētais gadījuma mainīgais X - trāpījumu skaits uz mērķi - tiek sadalīts atbilstoši binominālais likums.

Binomiālā sadalījuma dispersija ir vienāda ar mēģinājumu skaita un notikuma iestāšanās un nenotikšanas varbūtības reizinājumu vienā izmēģinājumā:

Piemērs 2.26. Vidējais klientu skaits, kas 10 minūšu laikā apmeklē apdrošināšanas sabiedrību, ir trīs. Atrodiet varbūtību, ka tuvāko 5 minūšu laikā ieradīsies vismaz viens klients.

Vidējais klientu skaits, kas ierodas 5 minūtēs: . .

Piemērs 2.29. Lietojumprogrammas gaidīšanas laiks procesora rindā atbilst eksponenciālas sadales likumam ar vidējo vērtību 20 sekundes. Atrodiet varbūtību, ka nākamais (nejaušais) pieprasījums procesorā gaidīs vairāk nekā 35 sekundes.

Risinājums:Šajā piemērā matemātiskās cerības , un atteices līmenis ir vienāds ar .

Tad vēlamā varbūtība:

Piemērs 2.30. 15 studentu grupa sapulces notiek zālē ar 20 rindām pa 10 sēdvietām. Katrs students ieņem vietu zālē nejauši. Kāda ir varbūtība, ka rindas septītajā vietā būs ne vairāk kā trīs cilvēki?

Risinājums:

Piemērs 2.31.

Tad saskaņā ar klasisko varbūtības definīciju:

Kur -- detaļu skaits partijā;

-- nestandarta detaļu skaits partijā;

– izvēlēto daļu skaits;

-- nestandarta detaļu skaits starp atlasītajām.

Tad gadījuma lieluma sadalījuma likums būs šāds.

Nepārtrauktiem nejaušiem mainīgajiem ir bezgalīgs skaits iespējamo vērtību. Tāpēc viņiem nav iespējams ieviest izplatīšanas sēriju.

Tā vietā, lai varbūtība, ka nejaušais lielums X pieņems vērtību, kas vienāda ar x, t.i. p(X = x), ņem vērā varbūtību, ka X pieņems vērtību, kas mazāka par x, t.i. P(X< х).

Ieviesīsim jaunu nejaušo mainīgo raksturlielumu - sadalījuma funkciju un aplūkosim tās īpašības.

Sadalījuma funkcija ir visuniversālākā gadījuma lieluma īpašība. To var definēt gan diskrētiem, gan nepārtrauktiem nejaušiem mainīgajiem:

F(x) = p(X< x).

Sadales funkcijas īpašības.

Sadalījuma funkcija ir tās argumenta nesamazinoša funkcija, t.i. Ja:

Pie mīnus bezgalības sadalījuma funkcija ir nulle:

Pie plus bezgalības sadalījuma funkcija ir vienāda ar vienu:

Varbūtību, ka gadījuma lielums ietilpst noteiktā intervālā, nosaka pēc formulas:

Funkciju f(x), kas vienāda ar sadalījuma funkcijas atvasinājumu, sauc par nejaušā lieluma X varbūtības blīvumu vai sadalījuma blīvumu:

Izteiksim varbūtību nokļūt sadaļā b līdz c caur f(x). Tas ir vienāds ar šīs sadaļas varbūtības elementu summu, t.i. integrāls:

No šejienes mēs varam izteikt sadalījuma funkciju varbūtības blīvuma izteiksmē:

Varbūtību blīvuma īpašības.

Varbūtības blīvums ir nenegatīva funkcija (jo sadalījuma funkcija ir nesamazinoša funkcija):

Droši vien blīvums

tā ir nepārtraukta funkcija.

Varbūtības blīvuma bezgalīgais integrālis ir vienāds ar 1:

Varbūtības blīvumam ir nejauša lieluma dimensija.

Nepārtraukta gadījuma lieluma gaidas un dispersija

Matemātiskās cerības un dispersijas nozīme paliek tāda pati kā diskrēto gadījuma lielumu gadījumā. To atrašanas formulu veids mainās, aizstājot:

Tad iegūstam formulas nepārtraukta gadījuma lieluma matemātiskās cerības un dispersijas aprēķināšanai:

Piemērs. Nepārtraukta gadījuma lieluma sadalījuma funkciju nosaka izteiksme:

Atrodiet a vērtību, varbūtības blīvumu, varbūtību trāpīt vietā (0,25-0,5), matemātisko cerību un izkliedi.

Tā kā sadalījuma funkcija F(x) ir nepārtraukta, tad pie x = 1 ax2 = 1, tāpēc a = 1.

Varbūtības blīvums tiek atrasts kā sadalījuma funkcijas atvasinājums:

Aprēķināt varbūtību trāpīt noteiktā apgabalā var veikt divos veidos: izmantojot sadalījuma funkciju un izmantojot varbūtības blīvumu.

1. metode. Mēs izmantojam formulu, lai atrastu varbūtību, izmantojot sadalījuma funkciju:
2. metode. Mēs izmantojam formulu varbūtības noteikšanai, izmantojot varbūtības blīvumu:

Mēs atrodam matemātisko cerību:

Atšķirības atrašana:

Vienveidīgs sadalījums

Apskatīsim nepārtrauktu gadījuma lielumu X, kura iespējamās vērtības atrodas noteiktā intervālā un ir vienlīdz iespējamas.

Šāda nejauša lieluma varbūtības blīvumam būs šāda forma:

kur c ir kāda konstante.

Varbūtības blīvuma grafiks izskatīsies šādi:

Izteiksim parametru c b un c izteiksmē. Lai to izdarītu, mēs izmantojam faktu, ka varbūtības blīvuma integrālim visā reģionā jābūt vienādam ar 1:

Vienmērīgi sadalīta gadījuma lieluma sadalījuma blīvums

Atradīsim sadales funkciju:

Vienmērīgi sadalīta gadījuma lieluma sadalījuma funkcija

Uzzīmēsim sadalījuma funkciju:

Aprēķināsim nejauša lieluma matemātisko cerību un dispersiju, kas pakļauta vienmērīgam sadalījumam.

Tad standarta novirze izskatīsies šādi:

Normāls (Gausa) sadalījums

Nepārtrauktu gadījuma lielumu X sauc par normāli sadalītu ar parametriem a, y > 0, ja tam ir varbūtības blīvums:

Gadījuma lieluma sadalījuma līknei ir šāda forma:

2. pārbaude

1. uzdevums. Sastādiet sadalījuma likumu diskrētam gadījuma lielumam X, aprēķiniet nejaušā lieluma matemātisko cerību, dispersiju un standartnovirzi.

1. iespēja

Kvalitātes kontroles nodaļa pārbauda produktu standartitāti. Varbūtība, ka produkts ir standarta, ir 0,7. Pārbaudīti 20 produkti. Atrodiet nejaušā lieluma X sadalījuma likumu - standarta produktu skaitu starp pārbaudītajiem. Aprēķiniet nejauša lieluma matemātisko paredzamo vērtību, dispersiju un standartnovirzi.

2. iespēja

Urnā ir 4 bumbiņas, kas norāda punktus 2; 4; 5; 5. Nejauši tiek izlozēta bumbiņa. Atrodiet nejaušā lieluma X sadalījuma likumu - punktu skaitu uz tā. Aprēķiniet nejauša lieluma matemātisko paredzamo vērtību, dispersiju un standartnovirzi.

3. iespēja

Mednieks šauj uz medījumu, līdz trāpa, bet var izšaut ne vairāk kā trīs šāvienus. Katra metiena trāpīšanas iespējamība ir 0,6. Sastādiet sadalījuma likumu nejaušajam lielumam X - šāvēja izdarīto šāvienu skaits. Aprēķiniet nejauša lieluma matemātisko paredzamo vērtību, dispersiju un standartnovirzi.

4. iespēja

Noteiktās precizitātes pārsniegšanas varbūtība mērījuma laikā ir 0,4. Sastādiet sadalījuma likumu gadījuma lielumam X - kļūdu skaits 10 mērījumos. Aprēķiniet nejauša lieluma matemātisko paredzamo vērtību, dispersiju un standartnovirzi.

5. iespēja

Varbūtība trāpīt mērķī ar vienu šāvienu ir 0,45. Izšauts 20 šāvieni. Sastādiet sadalījuma likumu nejaušajam lielumam X - trāpījumu skaits. Aprēķiniet nejauša lieluma matemātisko paredzamo vērtību, dispersiju un standartnovirzi.

6. iespēja

Dažu augu produkti satur 5% defektu. Sastādiet sadalījuma likumu nejaušajam mainīgajam X - bojāto produktu skaitam starp pieciem, kas ņemti par veiksmi. Aprēķiniet nejauša lieluma matemātisko paredzamo vērtību, dispersiju un standartnovirzi.

7. iespēja

Detaļas, kas nepieciešamas montētājam, ir trīs no piecām kastēm. Montētājs atver kastes, līdz atrod vajadzīgās detaļas. Sastādiet sadalījuma likumu nejaušajam lielumam X - atvērto kastīšu skaitam. Aprēķiniet nejauša lieluma matemātisko paredzamo vērtību, dispersiju un standartnovirzi.

8. iespēja

Urnā ir 3 melnas un 2 baltas bumbiņas. Bumbiņas tiek noņemtas secīgi, neatgriežoties, līdz parādās melns. Sastādiet sadalījuma likumu nejaušajam lielumam X - izvilkto bumbiņu skaitam. Aprēķiniet nejauša lieluma matemātisko paredzamo vērtību, dispersiju un standartnovirzi.

9. iespēja

Skolēns zina 15 jautājumus no 20. Uz biļetes ir 3 jautājumi. Sastādiet nejaušā lieluma X sadalījuma likumu - studentam zināmo jautājumu skaitu biļetē. Aprēķiniet nejauša lieluma matemātisko paredzamo vērtību, dispersiju un standartnovirzi.

10. variants

Ir 3 spuldzes, katrai no tām ir defekts ar varbūtību 0,4. Ieslēdzot, bojātā spuldze izdeg un tiek aizstāta ar citu. Sastādiet sadalījuma likumu nejaušajam lielumam X - pārbaudīto lampu skaits. Aprēķiniet nejauša lieluma matemātisko paredzamo vērtību, dispersiju un standartnovirzi.

Uzdevums 2. Nejaušo lielumu X nosaka sadalījuma funkcija F(X). Atrodiet sadalījuma blīvumu, matemātisko cerību, dispersiju, kā arī varbūtību, ka gadījuma lielums iekritīs intervālā (b, c). Uzzīmējiet funkciju F(X) un f(X) grafikus.

1. iespēja