Atrodiet vairāku mainīgo funkcijas lielāko vērtību. Funkcijas

2020. gada jūlijā NASA uzsāk ekspedīciju uz Marsu. Kosmosa kuģis uz Marsu nogādās elektronisku datu nesēju ar visu reģistrēto ekspedīcijas dalībnieku vārdiem.

Dalībnieku reģistrācija ir atvērta. Iegūstiet biļeti uz Marsu, izmantojot šo saiti.

Ja šī ziņa atrisināja jūsu problēmu vai jums tas vienkārši patika, kopīgojiet saiti uz to ar draugiem sociālajos tīklos.

Viena no šīm koda opcijām ir jākopē un jāielīmē jūsu tīmekļa lapas kodā, vēlams starp tagiem un vai tūlīt aiz taga. Saskaņā ar pirmo opciju MathJax tiek ielādēts ātrāk un mazāk palēnina lapu. Bet otrā opcija automātiski uzrauga un ielādē jaunākās MathJax versijas. Ja ievietojat pirmo kodu, tas būs periodiski jāatjaunina. Ja ievietosiet otro kodu, lapas tiks ielādētas lēnāk, taču jums nebūs pastāvīgi jāuzrauga MathJax atjauninājumi.

Vienkāršākais veids, kā savienot MathJax, ir pakalpojumā Blogger vai WordPress: vietnes vadības panelī pievienojiet logrīku, kas paredzēts trešās puses JavaScript koda ievietošanai, kopējiet tajā pirmo vai otro lejupielādes koda versiju un novietojiet logrīku tuvāk. līdz veidnes sākumam (starp citu, tas nemaz nav nepieciešams, jo MathJax skripts tiek ielādēts asinhroni). Tas ir viss. Tagad apgūstiet MathML, LaTeX un ASCIIMathML iezīmēšanas sintaksi, un esat gatavs ievietot matemātiskās formulas savas vietnes tīmekļa lapās.

Kārtējais Jaungada vakars... sals un sniegpārslas uz loga stikla... Tas viss pamudināja vēlreiz rakstīt par... fraktāļiem, un ko par to zina Volframs Alfa. Par šo tēmu ir interesants raksts, kurā ir divdimensiju fraktāļu struktūru piemēri. Šeit mēs aplūkosim sarežģītākus trīsdimensiju fraktāļu piemērus.

Fraktāli var vizuāli attēlot (aprakstīt) kā ģeometrisku figūru vai ķermeni (tas nozīmē, ka abi ir kopa, šajā gadījumā punktu kopa), kuras detaļām ir tāda pati forma kā pašai oriģinālajai figūrai. Tas ir, šī ir sev līdzīga struktūra, kuras detaļas, pārbaudot tās palielinātas, redzēsim tādu pašu formu kā bez palielinājuma. Savukārt parastas ģeometriskas figūras (nevis fraktāļa) gadījumā pēc palielinājuma mēs redzēsim detaļas, kurām ir vienkāršāka forma nekā pašai oriģinālajai figūrai. Piemēram, ar pietiekami lielu palielinājumu daļa elipses izskatās kā taisnas līnijas segments. Ar fraktāļiem tas nenotiek: ar to pieaugumu mēs atkal redzēsim to pašu sarežģīto formu, kas atkārtosies atkal un atkal ar katru pieaugumu.

Fraktāļu zinātnes pamatlicējs Benuā Mandelbrots savā rakstā Fraktāļi un māksla zinātnes vārdā rakstīja: "Fraktāļi ir ģeometriskas formas, kas ir tikpat sarežģītas gan detaļās, gan kopējā formā. Tas ir, ja ir daļa no fraktāļa. tiks palielināts līdz veseluma izmēram, tas parādīsies kopumā, vai nu precīzi, vai varbūt ar nelielu deformāciju."

Teorēma 1.5 Ļaujiet slēgtā apgabalā D norādīta funkcija z=z(x,y), kam ir nepārtraukti pirmās kārtas daļējie atvasinājumi. Robeža G novads D ir pa daļām gluda (tas ir, tas sastāv no “gludām uz pieskārienu” līknēm vai taisnām līnijām). Pēc tam apgabalā D funkciju z(x,y) sasniedz savu lielāko M un vismazāk m vērtības.

Nav pierādījumu.

Varat piedāvāt šādu atrašanas plānu M Un m.
1. Uzbūvējam rasējumu, atlasām visas apgabala robežas daļas D un atrodiet visus robežas “stūra” punktus.
2. Atrodiet iekšā stacionārus punktus D.
3. Atrodiet stacionārus punktus katrā no robežām.
4. Mēs aprēķinām visos stacionārajos un stūra punktos, un pēc tam atlasām lielāko M un vismazāk m nozīmes.

Piemērs 1.14 Atrodiet lielāko M un vismazāk m funkciju vērtības z= 4x2-2xy+y2-8x slēgtā zonā D, ierobežots: x= 0, y = 0, 4x+3y=12 .

1. Apbūvēsim teritoriju D(1.5. att.) plaknē Ohoo.

Stūra punkti: O (0; 0), B (0; 4), A (3; 0).

Robeža G novads D sastāv no trim daļām:

2. Atrodiet stacionārus punktus reģiona iekšienē D:

3. Stacionāri punkti uz robežām l 1, l 2, l 3:

4. Mēs aprēķinām sešas vērtības:

Piemēri

1. piemērs.

Šī funkcija ir definēta visām mainīgo vērtībām x Un y, izņemot sākumā, kur saucējs iet uz nulli.

Polinoms x 2 + y 2 ir nepārtraukts visur, un tāpēc nepārtrauktas funkcijas kvadrātsakne ir nepārtraukta.

Daļa būs nepārtraukta visur, izņemot punktus, kur saucējs ir nulle. Tas nozīmē, ka aplūkotā funkcija ir nepārtraukta visā koordinātu plaknē Ohoo, izņemot izcelsmi.

2. piemērs.

Pārbaudiet funkcijas nepārtrauktību z=tg(x,y). Pieskares ir definētas un nepārtrauktas visām argumenta galīgajām vērtībām, izņemot vērtības, kas vienādas ar nepāra daudzuma skaitli π /2 , t.i. neskaitot punktus, kur

Par katru fiksēto "k" vienādojums (1.11) definē hiperbolu. Tāpēc aplūkotā funkcija ir nepārtraukta funkcija xun y, izņemot punktus, kas atrodas uz līknēm (1.11).

3. piemērs.

Atrast funkcijas daļējos atvasinājumus u=z-xy, z > 0.

4. piemērs.

Parādiet šo funkciju

apmierina identitāti:

– šī vienlīdzība ir spēkā visiem punktiem M(x;y;z), izņemot punktu M 0 (a;b;c).

Apskatīsim divu neatkarīgu mainīgo funkciju z=f(x,y) un noteiksim daļējo mainīgo ģeometrisko nozīmi z"x = f"x(x,y) Un z" y = f" y(x,y).

Šajā gadījumā vienādojums z=f(x,y) ir kādas virsmas vienādojums (1.3. att.). Uzzīmēsim plakni y= konst. Šīs virsmas plaknes sadaļā z=f(x,y) jūs saņemat kādu līniju l 1 krustojums, pa kuru mainās tikai daudzumi X Un z.

Daļējs atvasinājums z"x(tā ģeometriskā nozīme tieši izriet no viena mainīgā funkcijas atvasinājuma zināmās ģeometriskās nozīmes) ir skaitliski vienāds ar leņķa tangensu α slīpums attiecībā pret asi Ak, tangenss L 1 uz līkni l 1, kā rezultātā veidojas virsmas daļa z=f(x,y) lidmašīna y= konst punktā M(x,y,f(xy)): z" x = tanα.

Virsmas griezumā z=f(x,y) lidmašīna X= konst jūs saņemat krustojuma līniju l 2, pa kuru mainās tikai daudzumi plkst Un z. Tad daļējais atvasinājums z" y skaitliski vienāds ar leņķa tangensu β slīpums attiecībā pret asi OU, tangenss L 2 uz norādīto līniju l 2 krustojumi punktā M(x,y,f(xy)): z" x = tanβ.

5. piemērs.

Kādu leņķi tas veido ar asi? Ak līnijas pieskare:

punktā M(2,4,5)?

Mēs izmantojam daļējā atvasinājuma ģeometrisko nozīmi attiecībā uz mainīgo X(pastāvīgi plkst):

6. piemērs.

Saskaņā ar (1.31):

7. piemērs.

Pieņemot, ka vienādojums

netieši definē funkciju

atrast z"x, z" y.

tāpēc saskaņā ar (1.37) mēs saņemam atbildi.

8. piemērs.

Izpētiet līdz galējībai:

1. Atrodiet stacionāros punktus, risinot sistēmu (1.41):

tas ir, tiek atrasti četri stacionāri punkti.
2.

pēc teorēmas 1.4 punktā ir minimums.

Turklāt

4. Mēs aprēķinām sešas vērtības:

No sešām iegūtajām vērtībām atlasiet lielāko un mazāko.

Bibliogrāfija:

ü Belko I.V., Kuzmich K.K. Augstākā matemātika ekonomistiem. I semestris: Ekspreskurss. – M.: Jaunas zināšanas, 2002. – 140 lpp.

ü Gusak A. A.. Matemātiskā analīze un diferenciālvienādojumi – Mn.: TetraSystems, 1998. – 416 lpp.

ü Gusak A. A.. Augstākā matemātika. Mācību grāmata augstskolu studentiem 2 sējumos. – Mn., 1998. – 544 lpp. (1 sējums), 448 lpp. (2 sējumi).

ü Krēmers N. Š., Putko B. A., Trišins I. M., Frīdmens M. N. Augstākā matemātika ekonomistiem: mācību grāmata universitātēm / Red. prof. N. Š. Krēmers – M.: UNITI, 2002. – 471 lpp.

ü Jablonskis A.I., Kuzņecovs A.V., Šilkina E.I. un citi. Augstākā matemātika. Vispārējais kurss: Mācību grāmata / Vispārīgi. ed. S. A. Samal. – Mn.: Viš. skola, 2000. – 351 lpp.

Lai funkcija $z=f(x,y)$ ir definēta un nepārtraukta kādā ierobežotā slēgtā domēnā $D$. Dotajai funkcijai šajā reģionā ir noteikti pirmās kārtas daļējie atvasinājumi (izņemot, iespējams, ierobežotam punktu skaitam). Lai atrastu divu mainīgo funkcijas lielākās un mazākās vērtības noteiktā slēgtā reģionā, ir jāveic trīs vienkārša algoritma darbības.

Kas ir kritiskie punkti? parādīt\slēpt

Zem kritiskie punkti ietver punktus, kuros abi pirmās kārtas daļējie atvasinājumi ir vienādi ar nulli (t.i., $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ un $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) vai vismaz viens daļējs atvasinājums nepastāv.

Bieži tiek izsaukti punkti, kuros pirmās kārtas daļējie atvasinājumi ir vienādi ar nulli stacionāri punkti. Tādējādi stacionārie punkti ir kritisko punktu apakškopa.

Piemērs Nr.1

Atrodiet funkcijas $z=x^2+2xy-y^2-4x$ lielāko un mazāko vērtību slēgtā apgabalā, ko ierobežo līnijas $x=3$, $y=0$ un $y=x +1 $.

Mēs sekosim iepriekšminētajam, bet vispirms tiksim galā ar dotā laukuma zīmējumu, ko apzīmēsim ar burtu $D$. Mums ir doti trīs taisnu līniju vienādojumi, kas ierobežo šo apgabalu. Taisne $x=3$ iet caur punktu $(3;0)$ paralēli ordinātu asij (Oy ass). Taisne $y=0$ ir abscisu ass (Ox ass) vienādojums. Nu, lai izveidotu līniju $y=x+1$, mēs atradīsim divus punktus, caur kuriem mēs novilksim šo līniju. Protams, $x$ vietā varat aizstāt pāris patvaļīgas vērtības. Piemēram, aizstājot $x=10$, mēs iegūstam: $y=x+1=10+1=11$. Mēs esam atraduši punktu $(10;11)$, kas atrodas uz līnijas $y=x+1$. Tomēr labāk ir atrast tos punktus, kuros taisne $y=x+1$ krustojas ar taisnēm $x=3$ un $y=0$. Kāpēc tas ir labāk? Jo mēs ar vienu akmeni nogalināsim pāris putnus: iegūsim divus punktus, lai uzbūvētu taisni $y=x+1$ un tajā pašā laikā noskaidrotu, kādos punktos šī taisne krusto citas doto laukumu ierobežojošas līnijas. Taisne $y=x+1$ krustojas ar taisni $x=3$ punktā $(3;4)$, bet taisne $y=0$ – punktā $(-1;0)$. Lai risinājuma gaitu nepārblīvētu ar palīgskaidrojumiem, jautājumu par šo divu punktu iegūšanu ielikšu piezīmē.

Kā iegūti punkti $(3;4)$ un $(-1;0)$? parādīt\slēpt

Sāksim no līniju $y=x+1$ un $x=3$ krustpunkta. Vēlamā punkta koordinātas pieder gan pirmajai, gan otrajai taisnei, tāpēc, lai atrastu nezināmās koordinātas, ir jāatrisina vienādojumu sistēma:

$$ \left \( \begin(līdzināts) & y=x+1;\\ & x=3. \end(līdzināts) \right. $$

Šādas sistēmas risinājums ir triviāls: aizstājot $x=3$ pirmajā vienādojumā, mēs iegūsim: $y=3+1=4$. Punkts $(3;4)$ ir vēlamais līniju $y=x+1$ un $x=3$ krustošanās punkts.

Tagad atradīsim līniju $y=x+1$ un $y=0$ krustošanās punktu. Vēlreiz sastādīsim un atrisināsim vienādojumu sistēmu:

$$ \left \( \begin(līdzināts) & y=x+1;\\ & y=0. \end(līdzināts) \right. $$

Pirmajā vienādojumā aizstājot $y=0$, iegūstam: $0=x+1$, $x=-1$. Punkts $(-1;0)$ ir vēlamais līniju $y=x+1$ un $y=0$ (x ass) krustošanās punkts.

Viss ir gatavs, lai izveidotu zīmējumu, kas izskatīsies šādi:

Jautājums par zīmīti šķiet pašsaprotams, jo bildē viss ir redzams. Tomēr ir vērts atcerēties, ka zīmējums nevar kalpot par pierādījumu. Zīmējums ir paredzēts tikai ilustratīviem nolūkiem.

Mūsu apgabals tika definēts, izmantojot taisnās līnijas vienādojumus, kas to saistīja. Acīmredzot šīs līnijas nosaka trīsstūri, vai ne? Vai arī tas nav pilnīgi acīmredzams? Vai varbūt mums ir piešķirts cits apgabals, ko ierobežo tās pašas līnijas:

Protams, nosacījums saka, ka teritorija ir slēgta, tāpēc redzamā bilde ir nepareiza. Bet, lai izvairītos no šādām neskaidrībām, labāk ir definēt reģionus pēc nevienlīdzības. Vai mūs interesē plaknes daļa, kas atrodas zem taisnes $y=x+1$? Labi, tāpēc $y ≤ x+1$. Vai mūsu apgabalam jāatrodas virs līnijas $y=0$? Lieliski, tas nozīmē, ka $y ≥ 0 $. Starp citu, pēdējās divas nevienādības var viegli apvienot vienā: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(līdzināts) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(līdzināts) \right. $$

Šīs nevienlīdzības nosaka reģionu $D$, un tās definē to nepārprotami, nepieļaujot nekādas neskaidrības. Bet kā tas mums palīdz risināt piezīmes sākumā uzdoto jautājumu? Tas arī palīdzēs :) Jāpārbauda, ​​vai punkts $M_1(1;1)$ pieder apgabalam $D$. Aizstāsim $x=1$ un $y=1$ nevienādību sistēmā, kas nosaka šo reģionu. Ja abas nevienādības ir izpildītas, tad punkts atrodas reģiona iekšienē. Ja vismaz viena no nevienādībām nav izpildīta, tad punkts nepieder reģionam. Tātad:

$$ \left \( \begin (līdzināts) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(līdzināts) \right. \;\; \left \( \begin (līdzināts) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(līdzināts) \right.$$

Abas nevienlīdzības ir spēkā. Punkts $M_1(1;1)$ pieder apgabalam $D$.

Tagad ir pienācis laiks izpētīt funkcijas uzvedību pie reģiona robežas, t.i. ejam uz . Sāksim ar taisni $y=0$.

Taisne $y=0$ (abscisu ass) ierobežo reģionu $D$ ar nosacījumu $-1 ≤ x ≤ 3$. Aizstāsim $y=0$ dotajā funkcijā $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Viena mainīgā $x$ funkciju, kas iegūta aizvietošanas rezultātā, apzīmējam kā $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Tagad funkcijai $f_1(x)$ ir jāatrod lielākās un mazākās vērtības intervālā $-1 ≤ x ≤ 3$. Atradīsim šīs funkcijas atvasinājumu un pielīdzināsim to nullei:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Vērtība $x=2$ pieder segmentam $-1 ≤ x ≤ 3$, tāpēc punktu sarakstam pievienosim arī $M_2(2;0)$. Turklāt aprēķināsim funkcijas $z$ vērtības segmenta $-1 ≤ x ≤ 3$ galos, t.i. punktos $M_3(-1;0)$ un $M_4(3;0)$. Starp citu, ja punkts $M_2$ nepiederētu apskatāmajam segmentam, tad tajā, protams, nebūtu jāaprēķina funkcijas $z$ vērtība.

Tātad, aprēķināsim funkcijas $z$ vērtības punktos $M_2$, $M_3$, $M_4$. Jūs, protams, varat aizstāt šo punktu koordinātas ar sākotnējo izteiksmi $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Piemēram, punktam $M_2$ mēs iegūstam:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Tomēr aprēķinus var nedaudz vienkāršot. Lai to izdarītu, ir vērts atcerēties, ka segmentā $M_3M_4$ mums ir $z(x,y)=f_1(x)$. Es to uzrakstīšu sīkāk:

\begin(līdzināts) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cpunkts (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cpunkts 3=-3. \beigas (līdzināts)

Protams, parasti nav nepieciešami šādi detalizēti ieraksti, un turpmāk mēs īsi pierakstīsim visus aprēķinus:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cpunkts (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Tagad pagriezīsimies uz taisni $x=3$. Šī taisne ierobežo reģionu $D$ ar nosacījumu $0 ≤ y ≤ 4$. Aizstāsim $x=3$ dotajā funkcijā $z$. Šīs aizstāšanas rezultātā mēs iegūstam funkciju $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Funkcijai $f_2(y)$ mums jāatrod lielākās un mazākās vērtības intervālā $0 ≤ y ≤ 4$. Atradīsim šīs funkcijas atvasinājumu un pielīdzināsim to nullei:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Vērtība $y=3$ pieder segmentam $0 ≤ y ≤ 4$, tāpēc iepriekš atrastajiem punktiem pievienosim arī $M_5(3;3)$. Papildus nepieciešams aprēķināt funkcijas $z$ vērtību punktos nogriežņa $0 ≤ y ≤ 4$ galos, t.i. punktos $M_4(3;0)$ un $M_6(3;4)$. Punktā $M_4(3;0)$ mēs jau esam aprēķinājuši $z$ vērtību. Aprēķināsim funkcijas $z$ vērtību punktos $M_5$ un $M_6$. Atgādināšu, ka segmentā $M_4M_6$ mums ir $z(x,y)=f_2(y)$, tāpēc:

\begin(līdzināts) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \beigas (līdzināts)

Un visbeidzot, apsveriet reģiona $D$ pēdējo robežu, t.i. taisne $y=x+1$. Šī taisne ierobežo reģionu $D$ ar nosacījumu $-1 ≤ x ≤ 3$. Aizstājot $y=x+1$ funkcijā $z$, mēs iegūsim:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Atkal mums ir viena mainīgā $x$ funkcija. Un atkal mums jāatrod šīs funkcijas lielākās un mazākās vērtības intervālā $-1 ≤ x ≤ 3$. Atradīsim funkcijas $f_(3)(x)$ atvasinājumu un pielīdzināsim to nullei:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Vērtība $x=1$ pieder intervālam $-1 ≤ x ≤ 3$. Ja $x=1$, tad $y=x+1=2$. Punktu sarakstam pievienosim $M_7(1;2)$ un noskaidrosim, kāda ir funkcijas $z$ vērtība šajā punktā. Punkti segmenta galos $-1 ≤ x ≤ 3$, t.i. punkti $M_3(-1;0)$ un $M_6(3;4)$ tika apskatīti agrāk, tajos jau atradām funkcijas vērtību.

$$z_7=f_3(1)=2\cpunkts 1^2-4\cpunkts 1-1=-3.$$

Otrais risinājuma posms ir pabeigts. Mēs saņēmām septiņas vērtības:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Pievērsīsimies. Izvēloties lielākās un mazākās vērtības no trešajā daļā iegūtajiem skaitļiem, mums būs:

$$z_(min)=-4; \; z_(maks.)=6,$$

Problēma atrisināta, atliek tikai pierakstīt atbildi.

Atbilde: $z_(min)=-4; \; z_(maks.)=6$.

Piemērs Nr.2

Atrodiet funkcijas $z=x^2+y^2-12x+16y$ lielāko un mazāko vērtību reģionā $x^2+y^2 ≤ 25$.

Pirmkārt, izveidosim zīmējumu. Vienādojums $x^2+y^2=25$ (šī ir dotā apgabala robežlīnija) definē apli, kura centrs atrodas sākuma punktā (t.i., punktā $(0;0)$) un rādiuss ir 5. Nevienādība $x^2 +y^2 ≤ $25 apmierina visus punktus minētā apļa iekšpusē un uz tā.

Mēs rīkosimies saskaņā ar. Atradīsim daļējos atvasinājumus un noskaidrosim kritiskos punktus.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Nav punktu, kuros atrastie daļējie atvasinājumi nepastāv. Noskaidrosim, kādos punktos abi parciālie atvasinājumi vienlaikus ir vienādi ar nulli, t.i. meklēsim stacionārus punktus.

$$ \left \( \begin(līdzināts) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(līdzināts) \right. \;\; \left \( \begin(līdzināts) & x =6;\\ & y=-8.\end(līdzināts)\right.$$

Esam ieguvuši stacionāru punktu $(6;-8)$. Taču atrastais punkts nepieder pie reģiona $D$. To ir viegli parādīt, pat neizmantojot zīmēšanu. Pārbaudīsim, vai pastāv nevienādība $x^2+y^2 ≤ 25$, kas nosaka mūsu reģionu $D$. Ja $x=6$, $y=-8$, tad $x^2+y^2=36+64=100$, t.i. nevienādība $x^2+y^2 ≤ 25$ nepastāv. Secinājums: punkts $(6;-8)$ neietilpst apgabalā $D$.

Tātad reģionā $D$ nav kritisku punktu. Pārejam pie... Mums ir jāizpēta funkcijas uzvedība uz dotā reģiona robežas, t.i. uz apļa $x^2+y^2=25$. Mēs, protams, varam izteikt $y$ kā $x$ un pēc tam iegūto izteiksmi aizstāt ar mūsu funkciju $z$. No apļa vienādojuma iegūstam: $y=\sqrt(25-x^2)$ vai $y=-\sqrt(25-x^2)$. Dotajā funkcijā aizstājot, piemēram, $y=\sqrt(25-x^2)$, mēs iegūsim:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Tālākais risinājums būs pilnīgi identisks funkcijas uzvedības izpētei pie reģiona robežas iepriekšējā piemērā Nr.1. Tomēr man šķiet saprātīgāk šajā situācijā piemērot Lagranža metodi. Mūs interesēs tikai šīs metodes pirmā daļa. Pēc Lagranža metodes pirmās daļas pielietošanas iegūsim punktus, kuros pārbaudīsim funkciju $z$ minimālajām un maksimālajām vērtībām.

Mēs veidojam Lagranža funkciju:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Mēs atrodam Lagranža funkcijas daļējos atvasinājumus un veidojam atbilstošo vienādojumu sistēmu:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (līdzināts) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \end(līdzināts) \ pa labi. \;\; \left \( \begin(līdzināts) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( līdzināts)\pa labi.$$

Lai atrisinātu šo sistēmu, uzreiz norādīsim, ka $\lambda\neq -1$. Kāpēc $\lambda\neq -1$? Mēģināsim aizstāt $\lambda=-1$ pirmajā vienādojumā:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Iegūtā pretruna $0=6$ norāda, ka vērtība $\lambda=-1$ ir nepieņemama. Izvade: $\lambda\neq -1$. Izteiksim $x$ un $y$ kā $\lambda$:

\begin(līdzināts) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \beigas (līdzināts)

Es uzskatu, ka šeit kļūst skaidrs, kāpēc mēs īpaši izvirzījām nosacījumu $\lambda\neq -1$. Tas tika darīts, lai bez traucējumiem iekļautu izteiksmi $1+\lambda$ saucējos. Tas ir, lai pārliecinātos, ka saucējs $1+\lambda\neq 0$.

Aizstāsim iegūtās izteiksmes $x$ un $y$ ar trešo sistēmas vienādojumu, t.i. $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

No iegūtās vienādības izriet, ka $1+\lambda=2$ vai $1+\lambda=-2$. Tādējādi mums ir divas parametra $\lambda$ vērtības, proti: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Attiecīgi mēs iegūstam divus vērtību pārus $x$ un $y$:

\begin(līdzināts) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \beigas (līdzināts)

Tātad esam ieguvuši divus iespējamā nosacītā ekstrēma punktus, t.i. $M_1(3;-4)$ un $M_2(-3;4)$. Atradīsim funkcijas $z$ vērtības punktos $M_1$ un $M_2$:

\begin(līdzināts) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cpunkts 3+16\cpunkts (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \beigas (līdzināts)

Mums vajadzētu izvēlēties lielākās un mazākās vērtības no tām, kuras ieguvām pirmajā un otrajā solī. Bet šajā gadījumā izvēle ir maza :) Mums ir:

$$ z_(min)=-75; \; z_(maks.)=125. $$

Atbilde: $z_(min)=-75; \; z_(maks.) = 125 ASV dolāri.

No praktiskā viedokļa vislielākā interese ir par atvasinājuma izmantošanu, lai atrastu funkcijas lielākās un mazākās vērtības. Ar ko tas ir saistīts? Peļņas maksimizēšana, izmaksu samazināšana, aprīkojuma optimālās slodzes noteikšana... Citiem vārdiem sakot, daudzās dzīves jomās mums ir jāatrisina dažu parametru optimizācijas problēmas. Un tie ir uzdevumi, kā atrast funkcijas lielākās un mazākās vērtības.

Jāatzīmē, ka lielākās un mazākās funkcijas vērtības parasti tiek meklētas noteiktā intervālā X, kas ir vai nu viss funkcijas domēns, vai definīcijas domēna daļa. Pats intervāls X var būt segments, atvērts intervāls , bezgalīgs intervāls.

Šajā rakstā mēs runāsim par viena mainīgā y=f(x) skaidri definētas funkcijas lielāko un mazāko vērtību atrašanu.

Lapas navigācija.

Īsi apskatīsim galvenās definīcijas.

Funkcijas lielākā vērtība ka jebkuram nevienlīdzība ir patiesa.

Funkcijas y=f(x) mazākā vērtība intervālā X ir šāda vērtība ka jebkuram nevienlīdzība ir patiesa.

Šīs definīcijas ir intuitīvas: lielākā (mazākā) funkcijas vērtība ir lielākā (mazākā) pieņemtā vērtība aplūkotajā intervālā pie abscisas.

Stacionārie punkti ir argumenta vērtības, pie kurām funkcijas atvasinājums kļūst par nulli.

Kāpēc mums ir nepieciešami stacionāri punkti, atrodot lielākās un mazākās vērtības? Atbildi uz šo jautājumu sniedz Fermā teorēma. No šīs teorēmas izriet, ka, ja diferencējamai funkcijai kādā brīdī ir ekstrēmums (lokālais minimums vai lokālais maksimums), tad šis punkts ir stacionārs. Tādējādi funkcija bieži vien iegūst lielāko (mazāko) vērtību intervālā X vienā no šī intervāla stacionārajiem punktiem.

Arī funkcija bieži var iegūt lielākās un mazākās vērtības punktos, kuros šīs funkcijas pirmais atvasinājums nepastāv, un pati funkcija ir definēta.

Uzreiz atbildēsim uz vienu no visbiežāk uzdotajiem jautājumiem par šo tēmu: “Vai vienmēr ir iespējams noteikt funkcijas lielāko (mazāko) vērtību”? Nē ne vienmēr. Dažreiz intervāla X robežas sakrīt ar funkcijas definīcijas apgabala robežām, vai arī intervāls X ir bezgalīgs. Un dažas funkcijas bezgalībā un definīcijas apgabala robežās var iegūt gan bezgalīgi lielas, gan bezgalīgi mazas vērtības. Šajos gadījumos neko nevar teikt par funkcijas lielāko un mazāko vērtību.

Skaidrības labad mēs sniegsim grafisku ilustrāciju. Paskaties bildes un daudz kas kļūs skaidrāks.

Uz segmentu

Pirmajā attēlā funkcija ņem lielākās (max y) un mazākās (min y) vērtības stacionārajos punktos, kas atrodas segmenta iekšpusē [-6;6].

Apsveriet gadījumu, kas parādīts otrajā attēlā. Mainīsim segmentu uz . Šajā piemērā mazākā funkcijas vērtība tiek sasniegta stacionārā punktā, bet lielākā – punktā ar abscisu, kas atbilst intervāla labajai robežai.

3. attēlā segmenta [-3;2] robežpunkti ir to punktu abscises, kas atbilst funkcijas lielākajai un mazākajai vērtībai.

Atvērtā intervālā

Ceturtajā attēlā funkcija ņem lielākās (max y) un mazākās (min y) vērtības stacionārajos punktos, kas atrodas atvērtā intervāla iekšpusē (-6; 6).

Intervālā nevar izdarīt secinājumus par lielāko vērtību.

Bezgalībā

Septītajā attēlā parādītajā piemērā funkcija iegūst lielāko vērtību (max y) stacionārā punktā ar abscisu x=1, un mazākā vērtība (min y) tiek sasniegta intervāla labajā malā. Pie mīnus bezgalības funkcijas vērtības asimptotiski tuvojas y=3.

Intervālā funkcija nesasniedz ne mazāko, ne lielāko vērtību. Kad x=2 tuvojas no labās puses, funkciju vērtībām ir tendence uz mīnus bezgalību (līnija x=2 ir vertikāla asimptote), un, tā kā abscisai ir tendence uz plus bezgalību, funkcijas vērtības asimptotiski tuvojas y=3. Šī piemēra grafisks attēls ir parādīts 8. attēlā.

Uzrakstīsim algoritmu, kas ļauj mums atrast segmenta funkcijas lielākās un mazākās vērtības.

Analizēsim piemēra risināšanas algoritmu, lai segmentā atrastu lielākās un mazākās funkcijas vērtības.

Piemērs.

Atrodiet funkcijas lielāko un mazāko vērtību

• uz segmenta;
• uz segmenta [-4;-1] .

Risinājums.

Funkcijas definīcijas apgabals ir visa reālo skaitļu kopa, izņemot nulli, tas ir. Abi segmenti ietilpst definīcijas jomā.

Atrodiet funkcijas atvasinājumu attiecībā uz:

Acīmredzot funkcijas atvasinājums pastāv visos segmentu punktos un [-4;-1].

No vienādojuma nosakām stacionārus punktus. Vienīgā reālā sakne ir x=2. Šis stacionārais punkts ietilpst pirmajā segmentā.

Pirmajā gadījumā mēs aprēķinām funkcijas vērtības segmenta galos un stacionārajā punktā, tas ir, x=1, x=2 un x=4:

Tāpēc funkcijas lielākā vērtība tiek sasniegts pie x=1 un mazākās vērtības – pie x=2.

Otrajā gadījumā funkciju vērtības aprēķinām tikai segmenta [-4;-1] galos (jo tajā nav neviena stacionāra punkta):

Risinājums.

Sāksim ar funkcijas domēnu. Kvadrātveida trinomāls frakcijas saucējā nedrīkst pazust:

Ir viegli pārbaudīt, vai visi intervāli no problēmas paziņojuma pieder funkcijas definīcijas jomai.

Atšķirsim funkciju:

Acīmredzot atvasinājums pastāv visā funkcijas definīcijas jomā.

Atradīsim stacionārus punktus. Atvasinājums iet uz nulli pie . Šis stacionārais punkts ietilpst intervālos (-3;1] un (-3;2).

Tagad jūs varat salīdzināt katrā punktā iegūtos rezultātus ar funkcijas grafiku. Zilas punktētas līnijas norāda uz asimptotiem.

Šajā brīdī mēs varam pabeigt funkcijas lielāko un mazāko vērtību atrašanu. Šajā rakstā aplūkotie algoritmi ļauj iegūt rezultātus ar minimālu darbību skaitu. Tomēr var būt noderīgi vispirms noteikt funkcijas palielināšanas un samazināšanas intervālus un tikai pēc tam izdarīt secinājumus par funkcijas lielākajām un mazākajām vērtībām jebkurā intervālā. Tas sniedz skaidrāku priekšstatu un stingru rezultātu pamatojumu.

§ Ekstrēma, vairāku mainīgo funkciju maksimālās un minimālās vērtības - lapa Nr. 1/1

Punkts
sauca maksimālais punkts funkcijas
, ja par kādu punktu

nevienlīdzība pastāv

.

Tāpat punkts
sauca minimālais punkts funkcijas
, ja par kādu punktu
no kāda punkta apkārtnes
nevienlīdzība pastāv

.

Piezīmes. 1) Saskaņā ar definīcijām, funkcija
jādefinē kādā punkta apkārtnē
. Tie. funkcijas maksimālie un minimālie punkti
var būt tikai reģiona iekšējie punkti
.

2) Ja ir kāda punkta apkārtne
, kurā par jebkuru punktu
atšķirīgs no
nevienlīdzība pastāv

(

), tad punkts
sauca stingrs maksimālais punkts(attiecīgi stingrs minimālais punkts) funkcijas
. Šajā sakarā augstāk definētos maksimālos un minimālos punktus dažkārt sauc par nestingrajiem maksimālajiem un minimālajiem punktiem.

Ekstrēmu jēdzieni pēc būtības ir lokāli: funkcijas vērtība punktā
tiek salīdzināts ar funkciju vērtībām diezgan tuvu punktos. Noteiktā apgabalā funkcijai var nebūt ekstrēmu, vai arī tai var būt vairāki minimumi, vairāki maksimumi un pat bezgalīgs skaits abu. Turklāt daži minimumi var būt lielāki par dažiem tā maksimumiem. Nejauciet funkcijas maksimālo un minimālo vērtību ar tās maksimālajām un minimālajām vērtībām.

Ļaujiet mums atrast nepieciešamo nosacījumu ekstrēmam. Ļaujiet, piemēram,
– funkcijas maksimālais punkts
. Tad pēc definīcijas ir gif" align=absmiddle width="17px" height="18px">-punkta apkārtne
tāds, ka
jebkuram punktam
no šīs apkārtnes. It īpaši,

(1)

Kur
,
, Un

(2)

Kur
,
. Bet (1) nozīmē, ka viena mainīgā funkcija
ir punktā maksimums vai ir uz intervāla
nemainīgs. Tāpēc

vai
- neeksistē,

⇒
vai
- neeksistē.

Līdzīgi no (2) mēs to iegūstam

vai
- neeksistē.

Tādējādi ir spēkā sekojošā teorēma.

TEORĒMA 8.1. (nepieciešamie nosacījumi ekstrēmam). Ja funkcija
punktā
ir ekstrēmums, tad šajā brīdī vai nu abi tā pirmās kārtas daļējie atvasinājumi ir vienādi ar nulli, vai arī vismaz viens no šiem daļējiem atvasinājumiem neeksistē.

Ģeometriski teorēma 8.1 nozīmē, ka, ja
– funkcijas galējais punkts
, tad šīs funkcijas grafika pieskares plakne punktā ir vai nu paralēla plaknei
, vai vispār neeksistē. Lai to pārbaudītu, pietiek atcerēties, kā atrast virsmas pieskares plaknes vienādojumu (sk. formulu (4.6)).

Tiek izsaukti punkti, kas atbilst 8.1. teorēmas nosacījumiem kritiskie punkti funkcijas
. Tāpat kā viena mainīgā funkcijai, ekstrēmumam nepieciešamie nosacījumi nav pietiekami. Tie. ne katrs funkcijas kritiskais punkts būs tās galējais punkts.

PIEMĒRS. Apsveriet funkciju
. Punkts
ir būtiska šai funkcijai, jo šajā brīdī abi tās pirmās kārtas daļējie atvasinājumi
Un
ir vienādi ar nulli. Tomēr tas nebūs galējs punkts. Tiešām,
, bet jebkurā punkta apkārtnē
ir punkti, kuros funkcija iegūst pozitīvas vērtības, un punkti, kuros funkcija iegūst negatīvas vērtības. To ir viegli pārbaudīt, ja izveidojat funkcijas grafiku - hiperbolisko paraboloīdu.

Divu mainīgo funkcijai ērtākos pietiekamus nosacījumus dod šāda teorēma.

TEORĒMA 8.2. (pietiekami nosacījumi divu mainīgo funkcijas galējībai). Ļaujiet
– funkcijas kritiskais punkts
un kādā punkta apkārtnē
funkcijai ir nepārtraukti parciālie atvasinājumi līdz otrajai secībai ieskaitot. Apzīmēsim

,
,
.

Tad 1) ja
, tad norādiet
nav galējības punkts;


Ja kritiskā punkta izpētei izmantojam teorēmu 8.2
neizdevās (t.i., ja
vai funkcijai apkārtnē vispār nav jēgas
vajadzīgās kārtas nepārtraukti daļēji atvasinājumi), atbilde uz jautājumu par atrašanos punktā
extremum šajā punktā dos funkcijas pieauguma zīmi.

Patiešām, no definīcijas izriet, ka, ja funkcija
ir punktā
tad stingrs maksimums

visiem punktiem
no kāda punkta apkārtnes
, vai citādi

visiem pietiekami mazs
Un
. Tāpat, ja
ir stingra minimuma punkts, tad visiem pietiekami mazs
Un
nevienlīdzība tiks apmierināta
.

Tātad, lai noskaidrotu, vai kritiskais punkts ir
Ekstrēma punkts, šajā punktā ir jāpārbauda funkcijas pieaugums. Ja visiem pietiekami mazs
Un
tas saglabās zīmi, tad punktā
funkcijai ir stingrs galējība (minimums, ja
, un maksimālais, ja
).

komentēt. Noteikums paliek spēkā attiecībā uz nestingru ekstrēmu, bet ar grozījumu, kas attiecas uz dažām vērtībām
Un
funkcijas pieaugums būs nulle
PIEMĒRS. Atrodiet funkciju galējo daļu:

1)
; 2)
.

Lai pētītu kritiskos punktus, mēs izmantojam teorēmu 8.2. Mums ir:

,
,
.

Izpētīsim būtību
:

,
,
,

;
.

Tāpēc punktā
šai funkcijai ir minimums, proti
.

Kritiskā punkta izpēte
:

,
,
,


.

Tāpēc otrais kritiskais punkts nav funkcijas galējais punkts.

Lai izpētītu kritisko punktu, mēs izmantojam teorēmu 8.2. Mums ir:

,
,
,

,
,
,

.

Nosakiet ekstremuma esamību vai neesamību punktā
izmantojot teorēmu 8.2 neizdevās.

Apskatīsim funkcijas pieauguma zīmi punktā
:

Ja
, Tas
;

Ja
, Tas
.

Tāpēc ka
nesaglabā zīmi punkta tuvumā
, tad šajā brīdī funkcijai nav galējības.

.

Līdzīgi, funkcijas vērtība punktā
sauca mazākais, ja par kādu punktu
no reģiona
nevienlīdzība pastāv

.

Agrāk mēs jau teicām, ka, ja funkcija ir nepārtraukta un apgabals
– ir slēgta un ierobežota, tad funkcija šajā jomā iegūst lielākās un mazākās vērtības. Tajā pašā laikā punkti
Un
var gulēt gan apgabala iekšienē
, un uz tās robežas. Ja punkts
(vai
) atrodas reģionā
, tad tas būs funkcijas maksimālais (minimālais) punkts
, t.i. funkcijas kritiskais punkts reģionā
. Tāpēc, lai atrastu funkcijas lielākās un mazākās vērtības
apgabalā
vajag:
.