Koordinātas un vektori. Visaptverošais ceļvedis (2020)

Tiek saukta abscisa un ordinātu asi koordinātas vektors. Vektoru koordinātas parasti ir norādītas veidlapā (x, y), un pats vektors kā: =(x, y).

Divdimensiju uzdevumu vektoru koordinātu noteikšanas formula.

Divdimensiju problēmas gadījumā vektors ar zināmu punktu koordinātas A(x 1;y 1) Un B(x 2 ; y 2 ) var aprēķināt:

= (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

Formula vektoru koordinātu noteikšanai telpiskām problēmām.

Telpiskas problēmas gadījumā vektors ar zināmu punktu koordinātas A (x 1;y 1;z 1 ) un B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) var aprēķināt, izmantojot formulu:

= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

Koordinātas sniedz visaptverošu vektora aprakstu, jo ir iespējams izveidot pašu vektoru, izmantojot koordinātas. Zinot koordinātas, ir viegli aprēķināt un vektora garums. (Tālāk redzams 3. īpašums).

Vektoru koordinātu īpašības.

1. Jebkurš vienādi vektori ir vienā koordinātu sistēmā vienādas koordinātas.

2. Koordinātas kolineārie vektori proporcionāls. Ar nosacījumu, ka neviens no vektoriem nav nulle.

3. Jebkura vektora garuma kvadrāts ir vienāds ar tā kvadrātu summu koordinātas.

4.Operācijas laikā vektoru reizināšana ieslēgts reāls skaitlis katra tās koordināte tiek reizināta ar šo skaitli.

5. Saskaitot vektorus, mēs aprēķinām atbilstošo summu vektora koordinātas.

6. Skalārais produkts divi vektori ir vienādi ar to atbilstošo koordinātu reizinājumu summu.

12. Vektora garums, segmenta garums, leņķis starp vektoriem, vektoru perpendikularitātes nosacījums.

Vektors - Šis ir virzīts segments, kas savieno divus punktus telpā vai plaknē. Vektorus parasti apzīmē vai nu ar maziem burtiem, vai ar sākuma un beigu punktiem. Augšpusē parasti ir domuzīme.

Piemēram, vektors, kas vērsts no punkta A līdz punktam B, var norādīt a ,

Nulles vektors 0 vai 0 - Šis ir vektors, kura sākuma un beigu punkti sakrīt, t.i. A = B. No šejienes, 0 = – 0 .

Vektora garums (modulis)a ir segmenta garums, kas to attēlo AB, apzīmēts ar |a | . Jo īpaši | 0 | = 0.

Vektorus sauc kolineārs, ja to virzītie segmenti atrodas uz paralēlām līnijām. Kolineārie vektori a Un b ir norādīti a || b .

Tiek izsaukti trīs vai vairāk vektori koplanārs, ja tie atrodas vienā plaknē.

Vektoru pievienošana. Tā kā vektori ir režisēts segmentus, tad var veikt to pievienošanu ģeometriski. (Vektoru algebriskā saskaitīšana ir aprakstīta tālāk sadaļā “Vienības ortogonālie vektori”). Izliksimies tā

a = AB un b = CD,

tad vektors __ __

a + b = AB+ CD

ir divu darbību rezultāts:

a)paralēla pārsūtīšana vienu no vektoriem tā, lai tā sākuma punkts sakristu ar otrā vektora beigu punktu;

b)ģeometrisks papildinājums, t.i. konstruējot iegūto vektoru, kas iet no fiksētā vektora sākuma punkta uz pārnestā vektora beigu punktu.

Vektoru atņemšana. Šī darbība tiek reducēta uz iepriekšējo, aizstājot apakšrindas vektoru ar pretējo: a – b =a + (– b ) .

Papildināšanas likumi.

es a + b = b + a (Pārejas likums).

II. (a + b ) + c = a + (b + c ) (Kombinatīvās tiesības).

III. a + 0 = a .

IV. a + (– a ) = 0 .

Likumi vektora reizināšanai ar skaitli.

es 1 · a = a , 0 · a = 0 , m· 0 = 0 , (– 1) · a = – a .

II. ma = a m,| ma | = | m | · | a | .

III. m(na ) = (min)a . (C o m b e t a l

reizināšanas ar skaitli likums).

IV. (m+n) a = ma +na , (IZPLATĪŠANAS

m(a + b ) = ma +mb . reizināšanas ar skaitli likums).

Vektoru punktu reizinājums. __ __

Leņķis starp vektoriem, kas nav nulles AB Un CD– tas ir leņķis, ko veido vektori, kad tie tiek pārnesti paralēli, līdz punkti ir izlīdzināti A Un C. Vektoru punktu reizinājumsa Un b sauc par skaitli, kas vienāds ar to garumu un starp tiem esošā leņķa kosinusa reizinājums:

Ja viens no vektoriem ir nulle, tad to skalārais reizinājums saskaņā ar definīciju ir vienāds ar nulli:

(a, 0 ) = ( 0 , b ) = 0 .

Ja abi vektori nav nulle, tad leņķa kosinusu starp tiem aprēķina pēc formulas:

Skalārais reizinājums ( a, a ), vienāds ar | a | 2, zvanīja skalārais kvadrāts. Vektora garums a un tā skalārais kvadrāts ir saistīti ar:

Divu vektoru punktu reizinājums:

- pozitīvi, ja leņķis starp vektoriem pikants;

- negatīvs, ja leņķis starp vektoriem strups.

Divu nulles vektoru skalārais reizinājums ir vienāds ar nulli un tikai tad, kad leņķis starp tiem ir taisns, t.i. kad šie vektori ir perpendikulāri (ortogonāli):

Skalārā reizinājuma īpašības. Jebkuriem vektoriem a, b,c un jebkuru numuru m ir spēkā šādas attiecības:

es (a, b ) = (ba ) . (Pārejas likums)

II. (ma, b ) = m(a, b ) .

III.(a+b,c ) = (a, c ) + (b, c ). (Sadales likums)

Vienības ortogonālie vektori. Jebkurā taisnstūra koordinātu sistēmā varat ievadīt vienību pāru ortogonālie vektorii , j Un k saistīti ar koordinātu asīm: i – ar asi X, j – ar asi Y Un k – ar asi Z. Saskaņā ar šo definīciju:

(i ,j ) = (i , k ) = (j , k ) = 0,

| es | =| j | =| k | = 1.

Jebkurš vektors a var izteikt ar šiem vektoriem unikālā veidā: a = xi+ yj+ zk . Vēl viens ierakstīšanas veids: a = (x, y, z). Šeit x, y, z - koordinātas vektors a šajā koordinātu sistēmā. Saskaņā ar vienību ortogonālo vektoru pēdējo attiecību un īpašībām es, j , k Divu vektoru skalāro reizinājumu var izteikt atšķirīgi.

Ļaujiet a = (x, y, z); b = (u, v, w). Tad ( a, b ) = xu + yv + zw.

Divu vektoru skalārā reizinājums ir vienāds ar atbilstošo koordinātu reizinājumu summu.

Vektora garums (modulis) a = (x, y, z ) ir vienāds ar:

Turklāt mums tagad ir iespēja diriģēt algebriskā darbības ar vektoriem, proti, vektoru saskaitīšanu un atņemšanu var veikt, izmantojot koordinātas:

a+ b = (x + u, y + v, z + w) ;

a – b = (x–u, y– v, z–w) .

Vektoru krustreizinājums. Vektoru mākslas darbs [a, b ] vektoria Unb (šajā secībā) sauc par vektoru:

Ir vēl viena formula vektora garumam [ a, b ] :

| [ a, b ] | = | a | | b | grēks ( a, b ) ,

t.i. garums ( modulis ) vektoru vektorreizinājumsa Unb ir vienāds ar šo vektoru garumu (moduļu) un starp tiem esošā leņķa sinusa reizinājumu. Citiem vārdiem sakot: vektora garums (modulis).[ a, b ] skaitliski vienāds ar uz vektoriem veidota paralelograma laukumu a Unb .

Vektorprodukta īpašības.

es Vektors [ a, b ] perpendikulāri (ortogonāls) abi vektori a Un b .

(Pierādiet, lūdzu!).

II.[ a, b ] = – [ba ] .

III. [ ma, b ] = m[a, b ] .

IV. [ a+b,c ] = [ a, c ] + [ b, c ] .

V. [ a, [ b,c ] ] = b (a, c ) – c (a, b ) .

VI. [ [ a, b ] , c ] = b (a, c ) – a (b,c ) .

Nepieciešams un pietiekams nosacījums kolinearitātei vektori a = (x, y, z) Un b = (u, v, w) :

Nepieciešams un pietiekams nosacījums koplanaritātei vektori a = (x, y, z), b = (u, v, w) Un c = (p, q, r) :

PIEMĒRS Ir doti vektori: a = (1, 2, 3) un b = (– 2 , 0 ,4).

Aprēķiniet to punktu un krustojumu reizinājumus un leņķi

starp šiem vektoriem.

Risinājums Izmantojot atbilstošās formulas (skatīt iepriekš), iegūstam:

a). skalārais produkts:

(a, b ) = 1 · (– 2) + 2 · 0 + 3 · 4 = 10 ;

b). vektora produkts:

Vektora koordinātu atrašana ir diezgan izplatīts nosacījums daudzām matemātikas problēmām. Spēja atrast vektora koordinātas jums palīdzēs citās, sarežģītākās problēmās ar līdzīgām tēmām. Šajā rakstā apskatīsim vektora koordinātu atrašanas formulu un vairākas problēmas.

Vektora koordinātu atrašana plaknē

Kas ir lidmašīna? Plakne tiek uzskatīta par divdimensiju telpu, telpu ar divām dimensijām (x dimensija un y dimensija). Piemēram, papīrs ir plakans. Galda virsma ir plakana. Jebkura figūra, kas nav tilpuma (kvadrāts, trīsstūris, trapece) ir arī plakne. Tādējādi, ja problēmas izklāstā jums jāatrod vektora koordinātas, kas atrodas plaknē, mēs nekavējoties atceramies par x un y. Šāda vektora koordinātas var atrast šādi: Vektora koordinātes AB = (xB – xA; yB – xA). Formula parāda, ka jums ir jāatņem sākuma punkta koordinātas no beigu punkta koordinātām.

Piemērs:

• Vector CD ir sākotnējās (5; 6) un beigu (7; 8) koordinātes.
• Atrodiet paša vektora koordinātas.
• Izmantojot iepriekš minēto formulu, mēs iegūstam šādu izteiksmi: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• Tādējādi CD vektora koordinātas = (2; 2).
• Attiecīgi x koordināte ir vienāda ar divi, y koordināte arī ir divi.

Vektora koordinātu atrašana telpā

Kas ir kosmoss? Telpa jau ir trīsdimensiju dimensija, kur ir dotas 3 koordinātes: x, y, z. Ja jums ir jāatrod vektors, kas atrodas telpā, formula praktiski nemainās. Ir pievienota tikai viena koordināta. Lai atrastu vektoru, no beigu koordinātām ir jāatņem sākuma koordinātas. AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)

Piemērs:

• Vektora DF ir sākuma (2; 3; 1) un beigu (1; 5; 2).
• Pielietojot augstāk minēto formulu, iegūstam: Vektoru koordinātas DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• Atcerieties, ka koordinātu vērtība var būt negatīva, nav nekādu problēmu.

Kā tiešsaistē atrast vektora koordinātas?

Ja kāda iemesla dēļ nevēlaties pats atrast koordinātas, varat izmantot tiešsaistes kalkulatoru. Lai sāktu, atlasiet vektora dimensiju. Vektora dimensija ir atbildīga par tā izmēriem. 3. dimensija nozīmē, ka vektors atrodas telpā, 2. dimensija nozīmē, ka tas atrodas plaknē. Tālāk ievietojiet punktu koordinātas atbilstošajos laukos, un programma noteiks jums paša vektora koordinātas. Viss ir ļoti vienkārši.

Noklikšķinot uz pogas, lapa automātiski ritinās uz leju un sniegs pareizo atbildi kopā ar risinājuma soļiem.

Šo tēmu ieteicams labi izpētīt, jo vektora jēdziens ir sastopams ne tikai matemātikā, bet arī fizikā. Arī Informācijas tehnoloģiju fakultātes studenti apgūst vektoru tēmu, taču sarežģītākā līmenī.

1. Vektora definīcija. Vektora garums. Kolinearitāte, vektoru koplanaritāte.

Vektors ir virzīts segments. Vektora garums vai modulis ir atbilstošā virzītā segmenta garums.

Vektoru modulis a apzīmē ar . Vektors a sauc par vienību, ja . Vektorus sauc par kolineāriem, ja tie ir paralēli vienai un tai pašai taisnei. Vektorus sauc par koplanāriem, ja tie ir paralēli vienai un tai pašai plaknei.

2. Vektora reizināšana ar skaitli. Darbības īpašības.

Reizinot vektoru ar skaitli, tiek iegūts pretēji vērsts vektors, kas ir divreiz garāks. Vektora reizināšanu ar skaitli koordinātu formā veic, reizinot visas koordinātas ar šo skaitli:

Pamatojoties uz definīciju, mēs iegūstam vektora moduļa izteiksmi, kas reizināta ar skaitli:

Līdzīgi kā skaitļos, vektora pievienošanas darbību var uzrakstīt, reizinot ar skaitli:

Un vektoru atņemšanu var pārrakstīt, saskaitot un reizinot:

Pamatojoties uz to, ka reizināšana ar nemaina vektora garumu, bet tikai virzienu, un ņemot vērā vektora definīciju, mēs iegūstam:

3. Vektoru saskaitīšana, vektoru atņemšana.

Koordinātu attēlojumā summas vektoru iegūst, summējot atbilstošās terminu koordinātas:

Lai ģeometriski konstruētu summas vektoru, tiek izmantoti dažādi noteikumi (metodes), taču tie visi dod vienu un to pašu rezultātu. Viena vai otra noteikuma izmantošana ir pamatota ar risināmo problēmu.

Trijstūra noteikums

Trīsstūra noteikums visdabiskāk izriet no vektora izpratnes par pārnesi. Ir skaidrs, ka rezultāts, secīgi piemērojot divus pārsūtījumus noteiktā brīdī, būs tāds pats kā vienu pārsūtīšanu uzreiz piemērojot, kas atbilst šim noteikumam. Lai pievienotu divus vektorus saskaņā ar noteikumu trīsstūris abi šie vektori tiek pārnesti paralēli paši sev tā, lai viena sākums sakristu ar otra beigām. Tad summas vektoru uzrāda iegūtā trijstūra trešā mala, un tā sākums sakrīt ar pirmā vektora sākumu, bet beigas ar otrā vektora beigām.

Šo noteikumu var tieši un dabiski vispārināt, pievienojot jebkuru vektoru skaitu, pārvēršoties par lauztas līnijas noteikums:

Daudzstūra noteikums

Otrā vektora sākums sakrīt ar pirmā vektora beigām, trešā sākums ar otrā beigām un tā tālāk, vektoru summa ir vektors, kura sākums sakrīt ar pirmā vektora sākumu, un beigas, kas sakrīt ar th beigām (tas ir, tas ir attēlots ar virzītu segmentu, kas noslēdz lauzto līniju) . To sauc arī par lauztās līnijas noteikumu.

Paralelogrammas noteikums

Lai pievienotu divus vektorus un saskaņā ar likumu paralelograms abi šie vektori tiek pārnesti paralēli paši sev, lai to izcelsme sakristu. Tad summas vektoru dod uz tiem konstruētā paralelograma diagonāle, sākot no to kopīgās sākuma. (Izmantojot trijstūra likumu, ir viegli redzēt, ka šī diagonāle sakrīt ar trijstūra trešo malu).

Paralelograma noteikums ir īpaši ērts, ja ir nepieciešams attēlot summas vektoru, kas uzreiz tiek piemērots tam pašam punktam, kuram tiek piemēroti abi termini, tas ir, lai attēlotu visus trīs vektorus kā kopēju izcelsmi.

Vektoru summas modulis

Divu vektoru summas modulis var aprēķināt, izmantojot kosinusa teorēma:

Kur ir leņķa kosinuss starp vektoriem.

Ja vektori ir attēloti saskaņā ar trijstūra likumu un leņķis tiek ņemts saskaņā ar zīmējumu - starp trijstūra malām -, kas nesakrīt ar parasto leņķa definīciju starp vektoriem, un tāpēc ar leņķi iepriekš formulu, tad pēdējais termins iegūst mīnusa zīmi, kas atbilst kosinusa teorēmai tās tiešajā formulējumā.

Patvaļīga vektoru skaita summai ir piemērojama līdzīga formula, kurā ir vairāk terminu ar kosinusu: viens šāds termins pastāv katram vektoru pārim no summētās kopas. Piemēram, trīs vektoriem formula izskatās šādi:

Vektoru atņemšana

Divi vektori un to atšķirības vektors

Lai iegūtu koordinātu formas atšķirību, jums jāatņem atbilstošās vektoru koordinātas:

Lai iegūtu atšķirības vektoru, vektoru sākumi ir savienoti un vektora sākums būs beigas, un beigas būs beigas. Ja mēs to rakstām, izmantojot vektora punktus, tad.

Vektoru atšķirību modulis

Trīs vektori, tāpat kā saskaitīšanas gadījumā, veido trīsstūri, un atšķirības moduļa izteiksme ir līdzīga:

kur ir leņķa kosinuss starp vektoriem

Atšķirība no summas moduļa formulas ir zīmē kosinusa priekšā; šajā gadījumā jums rūpīgi jāuzrauga, kurš leņķis tiek ņemts (summas moduļa formulas versija ar leņķi starp trijstūra malas, summējot pēc trijstūra likuma, pēc formas neatšķiras no šīs atšķirības moduļa formulas, taču jums ir jābūt Ņemiet vērā, ka šeit tiek ņemti dažādi leņķi: summas gadījumā leņķis ir tiek ņemts, kad vektors tiek pārnests uz vektora galu; ja tiek meklēts atšķirības modelis, tiek ņemts leņķis starp vektoriem, kas pielietoti vienam punktam; summas moduļa izteiksme, izmantojot to pašu leņķi kā dotajā moduļa izteiksmē no starpības, atšķiras ar zīmi kosinusa priekšā).

Pirmkārt, mums ir jāsaprot pats vektora jēdziens. Lai ieviestu ģeometriskā vektora definīciju, atcerēsimies, kas ir segments. Ieviesīsim šādu definīciju.

1. definīcija

Nogrieznis ir līnijas daļa, kurai ir divas robežas punktu veidā.

Segmentam var būt 2 virzieni. Lai apzīmētu virzienu, vienu no segmenta robežām sauksim par tā sākumu, bet otru robežu par beigām. Virziens ir norādīts no tā sākuma līdz segmenta beigām.

2. definīcija

Vektors vai virzīts segments būs segments, kuram ir zināms, kura no segmenta robežām tiek uzskatīta par sākumu un kura ir tā beigas.

Apzīmējums: ar diviem burtiem: $\overline(AB)$ – (kur $A$ ir tā sākums un $B$ ir tā beigas).

Vienā mazā burtā: $\overline(a)$ (1. att.).

Tagad ieviesīsim tieši vektora garuma jēdzienu.

3. definīcija

Vektora $\overline(a)$ garums būs segmenta $a$ garums.

Apzīmējums: $|\overline(a)|$

Vektora garuma jēdziens ir saistīts, piemēram, ar tādu jēdzienu kā divu vektoru vienādība.

4. definīcija

Mēs nosauksim divus vektorus par vienādiem, ja tie atbilst diviem nosacījumiem: 1. Tie ir līdzvirziena; 1. To garumi ir vienādi (2. att.).

Lai definētu vektorus, ievadiet koordinātu sistēmu un nosakiet vektora koordinātas ievadītajā sistēmā. Kā zināms, jebkuru vektoru var sadalīt formā $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, kur $m$ un $n$ ir reāli skaitļi, un $\overline (i )$ un $\overline(j)$ ir vienības vektori attiecīgi uz $Ox$ un $Oy$ ass.

5. definīcija

Vektora $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ izplešanās koeficientus sauksim par šī vektora koordinātām ieviestajā koordinātu sistēmā. Matemātiski:

$\overline(c)=(m,n)$

Kā uzzināt vektora garumu?

Lai iegūtu formulu patvaļīga vektora garuma aprēķināšanai, ņemot vērā tā koordinātas, apsveriet šādu problēmu:

1. piemērs

Dots: vektors $\overline(α)$ ar koordinātām $(x,y)$. Atrast: šī vektora garums.

Ieviesīsim plaknē Dekarta koordinātu sistēmu $xOy$. Atcelsim $\overline(OA)=\overline(a)$ no ieviestās koordinātu sistēmas sākuma. Konstruēsim konstruētā vektora projekcijas $OA_1$ un $OA_2$ attiecīgi uz $Ox$ un $Oy$ asīm (3. att.).

Mūsu konstruētais vektors $\overline(OA)$ būs punkta $A$ rādiusa vektors, tāpēc tam būs koordinātes $(x,y)$, kas nozīmē

$=x$, $[OA_2]=y$

Tagad mēs varam viegli atrast vajadzīgo garumu, izmantojot Pitagora teorēmu, mēs iegūstam

$|\overline(α)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

Atbilde: $\sqrt(x^2+y^2)$.

Secinājums: Lai atrastu vektora garumu, kura koordinātas ir norādītas, ir jāatrod šo koordinātu summas kvadrāta sakne.

Uzdevumu paraugi

2. piemērs

Atrodiet attālumu starp punktiem $X$ un $Y$, kuriem ir šādas koordinātes: attiecīgi $(-1.5)$ un $(7.3)$.

Jebkurus divus punktus var viegli saistīt ar vektora jēdzienu. Apsveriet, piemēram, vektoru $\overline(XY)$. Kā jau zinām, šāda vektora koordinātas var atrast, no beigu punkta koordinātām ($Y$) atņemot atbilstošās sākuma punkta koordinātas ($X$). Mēs to saņemam