Kā aprēķināt aritmētiskās progresijas formulu. Aritmētiskā progresija: kas tas ir? Progresēšanas atšķirība: definīcija

Vai aritmētika ir sakārtotas skaitliskās secības veids, kuras īpašības tiek pētītas skolas algebras kursā. Šajā rakstā ir detalizēti aplūkots jautājums par to, kā atrast aritmētiskās progresijas summu.

Kas tas par progresu?

Pirms pāriet pie jautājuma (kā atrast aritmētiskās progresijas summu), ir vērts saprast, par ko mēs runājam.

Jebkuru reālu skaitļu secību, kas iegūta, saskaitot (atņemot) kādu vērtību no katra iepriekšējā skaitļa, sauc par algebrisko (aritmētisko) progresiju. Šī definīcija, tulkojot matemātiskā valodā, izpaužas šādā formā:

Šeit i ir rindas elementa a i sērijas numurs. Tādējādi, zinot tikai vienu sākuma numuru, jūs varat viegli atjaunot visu sēriju. Parametru d formulā sauc par progresijas starpību.

Var viegli parādīt, ka aplūkojamai skaitļu sērijai ir spēkā šāda vienādība:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Tas ir, lai secībā atrastu n-tā elementa vērtību, starpība d jāpievieno pirmajam elementam a 1 n-1 reizi.

Kāda ir aritmētiskās progresijas summa: formula

Pirms norādītās summas formulas došanas ir vērts apsvērt vienkāršu īpašu gadījumu. Ņemot vērā naturālo skaitļu progresēšanu no 1 līdz 10, jums jāatrod to summa. Tā kā progresijā (10) ir maz terminu, problēmu ir iespējams atrisināt uzreiz, tas ir, summēt visus elementus secībā.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Ir vērts apsvērt vienu interesantu lietu: tā kā katrs termins atšķiras no nākamā ar tādu pašu vērtību d = 1, tad pirmo saskaitot pa pāriem ar desmito, otro ar devīto un tā tālāk, tiks iegūts tāds pats rezultāts. Tiešām:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kā redzat, šīs summas ir tikai 5, tas ir, tieši divas reizes mazāk nekā sērijas elementu skaits. Pēc tam, reizinot summu skaitu (5) ar katras summas rezultātu (11), jūs iegūsit pirmajā piemērā iegūto rezultātu.

Ja mēs vispārinām šos argumentus, mēs varam uzrakstīt šādu izteiksmi:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Šī izteiksme parāda, ka nemaz nav nepieciešams summēt visus elementus pēc kārtas, pietiek zināt pirmā a 1 un pēdējā a n vērtību, kā arī kopējo terminu skaitu n.

Tiek uzskatīts, ka Gauss pirmo reizi domāja par šo vienlīdzību, kad viņš meklēja risinājumu problēmai, ko deva viņa skolas skolotājs: summējiet pirmos 100 veselos skaitļus.

Elementu summa no m līdz n: formula

Iepriekšējā rindkopā dotā formula atbild uz jautājumu, kā atrast aritmētiskās progresijas summu (pirmos elementus), taču bieži vien uzdevumos ir nepieciešams summēt skaitļu virkni progresijas vidū. Kā to izdarīt?

Vienkāršākais veids, kā atbildēt uz šo jautājumu, ir, ņemot vērā šādu piemēru: lai būtu nepieciešams atrast terminu summu no m-tā līdz n-tajai. Lai atrisinātu problēmu, jums jāiesniedz dotais progresijas segments no m līdz n jaunas skaitļu sērijas veidā. Šajā attēlojumā m-tais termins a m būs pirmais, un a n tiks numurēts ar n-(m-1). Šajā gadījumā, piemērojot summas standarta formulu, tiks iegūta šāda izteiksme:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Formulu izmantošanas piemērs

Zinot, kā atrast aritmētiskās progresijas summu, ir vērts apsvērt vienkāršu iepriekš minēto formulu izmantošanas piemēru.

Zemāk ir skaitliska secība, jums vajadzētu atrast tās terminu summu, sākot no 5. un beidzot ar 12.:

Dotie skaitļi norāda, ka starpība d ir vienāda ar 3. Izmantojot n-tā elementa izteiksmi, var atrast progresijas 5. un 12. vārda vērtības. Izrādās:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Zinot skaitļu vērtības aplūkojamās algebriskās progresijas galos, kā arī zinot, kādus skaitļus sērijā tie aizņem, varat izmantot iepriekšējā punktā iegūtās summas formulu. Izrādīsies:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Ir vērts atzīmēt, ka šo vērtību var iegūt citādi: vispirms atrodiet pirmo 12 elementu summu, izmantojot standarta formulu, pēc tam aprēķiniet pirmo 4 elementu summu, izmantojot to pašu formulu, pēc tam atņemiet otro no pirmās summas.

Tātad, apsēdīsimies un sāksim rakstīt dažus skaitļus. Piemēram:
Jūs varat rakstīt jebkurus ciparus, un to var būt tik daudz, cik vēlaties (mūsu gadījumā tie ir). Neatkarīgi no tā, cik skaitļus mēs rakstām, mēs vienmēr varam pateikt, kurš no tiem ir pirmais, kurš ir otrais un tā tālāk līdz pēdējam, tas ir, mēs varam tos numurēt. Šis ir skaitļu secības piemērs:

Skaitļu secība
Piemēram, mūsu secībai:

Piešķirtais numurs ir raksturīgs tikai vienam numuram secībā. Citiem vārdiem sakot, secībā nav trīs sekunžu skaitļu. Otrais cipars (tāpat kā th cipars) vienmēr ir vienāds.
Skaitli ar skaitli sauc par secības th terminu.

Mēs parasti saucam visu secību ar kādu burtu (piemēram,), un katrs šīs secības dalībnieks ir viens un tas pats burts ar indeksu, kas vienāds ar šī elementa numuru: .

Mūsu gadījumā:

Pieņemsim, ka mums ir skaitļu secība, kurā starpība starp blakus esošajiem skaitļiem ir vienāda un vienāda.
Piemēram:

utt.
Šo skaitļu secību sauc par aritmētisko progresiju.
Terminu "progresēšana" ieviesa romiešu autors Boetijs tālajā 6. gadsimtā un plašākā nozīmē to saprata kā bezgalīgu ciparu secību. Nosaukums "aritmētika" tika pārcelts no nepārtraukto proporciju teorijas, kuru pētīja senie grieķi.

Šī ir skaitļu virkne, kuras katrs dalībnieks ir vienāds ar iepriekšējo, kas pievienots tam pašam skaitlim. Šo skaitli sauc par aritmētiskās progresijas starpību un apzīmē.

Mēģiniet noteikt, kuras skaitļu secības ir aritmētiskā progresija un kuras nav:

a)
b)
c)
d)

Sapratu? Salīdzināsim mūsu atbildes:
Ir aritmētiskā progresija - b, c.
Nav aritmētiskā progresija - a, d.

Atgriezīsimies pie dotās progresijas () un mēģināsim atrast tās th vārda vērtību. Pastāv divi veids, kā to atrast.

1. Metode

Mēs varam pievienot progresijas skaitli iepriekšējai vērtībai, līdz mēs sasniedzam progresijas th. Labi, ka mums nav daudz ko apkopot - tikai trīs vērtības:

Tātad aprakstītās aritmētiskās progresijas th loceklis ir vienāds ar.

2. Metode

Ko darīt, ja mums būtu jāatrod progresijas th termina vērtība? Summēšana mums aizņemtu vairāk nekā vienu stundu, un tas nav fakts, ka mēs nekļūdītos, saskaitot skaitļus.
Protams, matemātiķi ir izdomājuši veidu, kā aritmētiskās progresijas starpību nav nepieciešams pievienot iepriekšējai vērtībai. Apskatiet uzzīmēto attēlu tuvāk... Noteikti jau esat pamanījuši noteiktu rakstu, proti:

Piemēram, paskatīsimies, no kā sastāv šīs aritmētiskās progresijas th termiņa vērtība:


Citiem vārdiem sakot:

Mēģiniet pats šādā veidā atrast dotās aritmētiskās progresijas locekļa vērtību.

Vai jūs aprēķinājāt? Salīdziniet savas piezīmes ar atbildi:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka jūs saņēmāt tieši tādu pašu skaitli kā iepriekšējā metodē, kad mēs secīgi pievienojām aritmētiskās progresijas nosacījumus iepriekšējai vērtībai.
Mēģināsim “depersonalizēt” šo formulu - formulēsim to vispārīgā formā un iegūsim:

Aritmētiskā progresija var palielināties vai samazināties.

Pieaug- progresijas, kurās katra nākamā terminu vērtība ir lielāka par iepriekšējo.
Piemēram:

Dilstoša- progresijas, kurās katra nākamā terminu vērtība ir mazāka par iepriekšējo.
Piemēram:

Atvasinātā formula tiek izmantota aritmētiskās progresijas terminu aprēķināšanai gan pieaugošajos, gan samazinošajos termiņos.
Pārbaudīsim to praksē.
Mums ir dota aritmētiskā progresija, kas sastāv no šādiem skaitļiem: Pārbaudīsim, kāds būs šīs aritmētiskās progresijas skaitlis, ja izmantosim formulu, lai to aprēķinātu:

Kopš tā laika:

Tādējādi esam pārliecināti, ka formula darbojas gan dilstošā, gan pieaugošā aritmētiskajā progresijā.
Mēģiniet pats atrast šīs aritmētiskās progresijas th un th nosacījumus.

Salīdzināsim rezultātus:

Aritmētiskās progresijas īpašība

Sarežģīsim uzdevumu – atvasināsim aritmētiskās progresijas īpašību.
Pieņemsim, ka mums ir šāds nosacījums:
- aritmētiskā progresija, atrodiet vērtību.
Vienkārši, jūs sakāt un sāciet skaitīt pēc formulas, kuru jau zināt:

Ļaujiet, ah, tad:

Pilnīga taisnība. Sanāk, ka vispirms atrodam, tad pievienojam pirmajam ciparam un iegūstam to, ko meklējam. Ja progresiju attēlo mazas vērtības, tad tajā nav nekā sarežģīta, bet ja nu nosacījumā mums ir doti skaitļi? Piekrītu, aprēķinos ir iespējama kļūda.
Tagad padomājiet, vai šo problēmu ir iespējams atrisināt vienā solī, izmantojot jebkuru formulu? Protams, jā, un tieši to mēs tagad mēģināsim izcelt.

Apzīmēsim vajadzīgo aritmētiskās progresijas terminu kā mums zināmo formulu tā atrašanai - šī ir tā pati formula, ko mēs atvasinājām sākumā:
, Tad:

• iepriekšējais progresēšanas termiņš ir:
• nākamais progresēšanas termiņš ir:

Apkoposim iepriekšējos un turpmākos progresēšanas nosacījumus:

Izrādās, ka iepriekšējo un nākamo progresijas nosacījumu summa ir starp tiem esošā progresijas vārda dubultā vērtība. Citiem vārdiem sakot, lai atrastu progresijas vārda vērtību ar zināmām iepriekšējām un secīgām vērtībām, tās ir jāpievieno un jādala ar.

Tieši tā, mums ir vienāds numurs. Nostiprināsim materiālu. Aprēķiniet progresa vērtību pats, tas nepavisam nav grūti.

Labi padarīts! Jūs zināt gandrīz visu par progresu! Atliek noskaidrot tikai vienu formulu, kuru, saskaņā ar leģendu, viegli izsecināja viens no visu laiku izcilākajiem matemātiķiem, “matemātiķu karalis” - Karls Gauss...

Kad Kārlim Gausam bija 9 gadi, skolotājs, kas bija aizņemts ar citu klašu skolēnu darbu pārbaudīšanu, stundā uzdeva šādu uzdevumu: “Aprēķiniet visu naturālo skaitļu summu no līdz (saskaņā ar citiem avotiem līdz) ieskaitot.” Iedomājieties skolotāja pārsteigumu, kad viens no viņa audzēkņiem (tas bija Kārlis Gauss) minūti vēlāk sniedza pareizo atbildi uz uzdevumu, savukārt lielākā daļa pārdrošnieka klasesbiedru pēc ilgiem aprēķiniem saņēma nepareizu rezultātu...

Jaunais Karls Gauss pamanīja noteiktu modeli, ko arī jūs varat viegli pamanīt.
Pieņemsim, ka mums ir aritmētiskā progresija, kas sastāv no --ajiem vārdiem: Mums jāatrod šo aritmētiskās progresijas nosacījumu summa. Protams, mēs varam manuāli summēt visas vērtības, bet ja uzdevums prasa atrast tā terminu summu, kā to meklēja Gauss?

Attēlosim mums doto progresu. Uzmanīgi apskatiet izceltos skaitļus un mēģiniet ar tiem veikt dažādas matemātiskas darbības.


Vai esat to mēģinājuši? Ko jūs pamanījāt? Pa labi! Viņu summas ir vienādas

Tagad sakiet, cik mums dotajā progresijā kopumā ir šādu pāru? Protams, tieši puse no visiem skaitļiem, tas ir.
Pamatojoties uz to, ka aritmētiskās progresijas divu vārdu summa ir vienāda un līdzīgi pāri ir vienādi, mēs iegūstam, ka kopējā summa ir vienāda ar:
.
Tādējādi jebkuras aritmētiskās progresijas pirmo vārdu summas formula būs šāda:

Dažās problēmās mēs nezinām th terminu, bet mēs zinām progresijas atšķirību. Mēģiniet aizstāt th termina formulu ar summas formulu.
Ko tu dabūji?

Labi padarīts! Tagad atgriezīsimies pie uzdevuma, kas tika uzdots Karlam Gausam: aprēķiniet paši, ar ko ir vienāda skaitļu summa, sākot no th, un skaitļu summa, kas sākas no th.

Cik tu dabūji?
Gauss atklāja, ka terminu summa ir vienāda, un terminu summa. Vai tā nolēmāt?

Faktiski aritmētiskās progresijas terminu summas formulu jau 3. gadsimtā pierādīja sengrieķu zinātnieks Diofants, un visu šo laiku asprātīgi cilvēki pilnībā izmantoja aritmētiskās progresijas īpašības.
Piemēram, iedomājieties Seno Ēģipti un tā laika lielāko būvprojektu - piramīdas būvniecību... Attēlā redzama viena puse.

Kur te ir progresija, jūs sakāt? Paskatieties uzmanīgi un atrodiet smilšu bloku skaitu katrā piramīdas sienas rindā.


Kāpēc ne aritmētiskā progresija? Aprēķiniet, cik bloku nepieciešams vienas sienas uzbūvēšanai, ja pie pamatnes ir likti bloku ķieģeļi. Es ceru, ka jūs neskaitīsit, pārvietojot pirkstu pa monitoru, atceraties pēdējo formulu un visu, ko mēs teicām par aritmētisko progresiju?

Šajā gadījumā progresēšana izskatās šādi: .
Aritmētiskās progresijas atšķirība.
Aritmētiskās progresijas terminu skaits.
Aizstāsim savus datus pēdējās formulās (bloku skaitu aprēķināsim divos veidos).

1. metode.

2. metode.

Un tagad jūs varat aprēķināt monitorā: salīdziniet iegūtās vērtības ar bloku skaitu, kas atrodas mūsu piramīdā. Sapratu? Labi darīts, jūs esat apguvis aritmētiskās progresijas n-to vārdu summu.
Protams, jūs nevarat uzbūvēt piramīdu no blokiem pie pamatnes, bet no tā? Mēģiniet aprēķināt, cik smilšu ķieģeļu ir nepieciešams, lai izveidotu sienu ar šo nosacījumu.
Vai jums izdevās?
Pareizā atbilde ir bloki:

Apmācība

Uzdevumi:

1. Maša iegūst formu vasarai. Katru dienu viņa palielina pietupienu skaitu par. Cik reizes Maša veiks pietupienus nedēļā, ja viņa veica pietupienus pirmajā treniņā?
2. Kāda ir visu nepāra skaitļu summa, kas ietverta.
3. Uzglabājot baļķus, mežizstrādātāji tos sakrauj tā, lai katrā augšējā slānī būtu par vienu baļķi mazāk nekā iepriekšējā. Cik baļķu ir vienā mūrī, ja mūra pamats ir baļķi?

Atbildes:

1. Definēsim aritmētiskās progresijas parametrus. Šajā gadījumā
   (nedēļas = dienas).

   Atbilde: Divu nedēļu laikā Mašai reizi dienā jāveic pietupieni.

2. Pirmais nepāra skaitlis, pēdējais cipars.
   Aritmētiskās progresijas atšķirība.
   Nepāra skaitļu skaits ir uz pusi, tomēr pārbaudīsim šo faktu, izmantojot formulu aritmētiskās progresijas biedra atrašanai:

   Cipari satur nepāra skaitļus.
   Aizstāsim pieejamos datus formulā:

   Atbilde: Visu nepāra skaitļu summa ir vienāda.

3. Atcerēsimies problēmu par piramīdām. Mūsu gadījumā a , jo katrs virsējais slānis ir samazināts par vienu baļķi, tad kopā ir slāņu ķekars, tas ir.
   Aizstāsim datus formulā:

   Atbilde: Mūrē ir baļķi.

Apkoposim to

1. - skaitļu secība, kurā starpība starp blakus esošajiem skaitļiem ir vienāda un vienāda. Tas var palielināties vai samazināties.
2. Formulas atrašana Aritmētiskās progresijas th termiņu raksta ar formulu - , kur ir skaitļu skaits progresijā.
3. Aritmētiskās progresijas locekļu īpašība- - kur ir progresējošo skaitļu skaits.
4. Aritmētiskās progresijas vārdu summa var atrast divos veidos:
   
   , kur ir vērtību skaits.

ARITMĒTISKĀ PROGRESIJA. VIDĒJAIS LĪMENIS

Skaitļu secība

Apsēdīsimies un sāksim rakstīt dažus skaitļus. Piemēram:

Varat rakstīt jebkurus ciparus, un to var būt tik daudz, cik vēlaties. Bet mēs vienmēr varam pateikt, kurš ir pirmais, kurš otrais un tā tālāk, tas ir, mēs varam tos numurēt. Šis ir skaitļu virknes piemērs.

Skaitļu secība ir skaitļu kopa, no kuriem katram var piešķirt unikālu numuru.

Citiem vārdiem sakot, katru skaitli var saistīt ar noteiktu naturālu skaitli un unikālu. Un mēs nepiešķirsim šo numuru nevienam citam numuram no šī komplekta.

Skaitli ar skaitli sauc par secības th locekli.

Mēs parasti saucam visu secību ar kādu burtu (piemēram,), un katrs šīs secības dalībnieks ir viens un tas pats burts ar indeksu, kas vienāds ar šī elementa numuru: .

Tas ir ļoti ērti, ja secības th vārdu var norādīt ar kādu formulu. Piemēram, formula

nosaka secību:

Un formula ir šāda secība:

Piemēram, aritmētiskā progresija ir secība (pirmais termins šeit ir vienāds, un atšķirība ir). Vai (, atšķirība).

n-tā termina formula

Mēs saucam par atkārtotu formulu, kurā, lai uzzinātu th terminu, jums jāzina iepriekšējais vai vairāki iepriekšējie:

Lai, piemēram, atrastu progresijas th, izmantojot šo formulu, mums būs jāaprēķina iepriekšējie deviņi. Piemēram, ļaujiet tam. Pēc tam:

Nu, vai tagad ir skaidrs, kāda ir formula?

Katrā rindā mēs pievienojam, reizinot ar kādu skaitli. Kurš? Ļoti vienkārši: šis ir pašreizējā dalībnieka numurs mīnus:

Tagad daudz ērtāk, vai ne? Mēs pārbaudām:

Izlemiet paši:

Aritmētiskajā progresijā atrodiet n-tā vārda formulu un atrodiet simto daļu.

Risinājums:

Pirmais termiņš ir vienāds. Kāda ir atšķirība? Lūk, kas:

(Tāpēc to sauc par atšķirību, jo tā ir vienāda ar secīgu progresijas nosacījumu starpību).

Tātad, formula:

Tad simtais loceklis ir vienāds ar:

Kāda ir visu naturālo skaitļu summa no līdz?

Saskaņā ar leģendu, izcilais matemātiķis Karls Gauss, būdams 9 gadus vecs zēns, šo summu aprēķināja dažu minūšu laikā. Viņš pamanīja, ka pirmā un pēdējā skaitļa summa ir vienāda, otrā un priekšpēdējā summa ir vienāda, trešā un 3. summa no beigām ir vienāda un tā tālāk. Cik tādu pāru kopumā ir? Tieši tā, tieši puse no visu skaitļu skaita, tas ir. Tātad,

Jebkuras aritmētiskās progresijas pirmo vārdu summas vispārējā formula būs šāda:

Piemērs:
Atrodiet visu divciparu reizinājumu summu.

Risinājums:

Pirmais šāds skaitlis ir šis. Katru nākamo skaitli iegūst, pievienojot iepriekšējam skaitlim. Tādējādi mūs interesējošie skaitļi veido aritmētisko progresiju ar pirmo biedru un starpību.

Šīs progresēšanas termiņa formula:

Cik terminu ir progresijā, ja tiem visiem ir jābūt divciparu skaitlim?

Ļoti viegli: .

Pēdējais progresēšanas termiņš būs vienāds. Tad summa:

Atbilde: .

Tagad izlemiet paši:

1. Katru dienu sportists noskrien vairāk metru nekā iepriekšējā dienā. Cik kopumā kilometrus viņš noskries nedēļā, ja pirmajā dienā noskrēja km m?
2. Velosipēdists katru dienu nobrauc vairāk kilometru nekā iepriekšējā dienā. Pirmajā dienā viņš nobrauca km. Cik dienas viņam jābrauc, lai nobrauktu kilometru? Cik kilometrus viņš nobrauks pēdējā ceļojuma dienā?
3. Ledusskapja cena veikalā katru gadu samazinās par tādu pašu summu. Nosakiet, cik daudz ledusskapja cena samazinājās katru gadu, ja, laists pārdošanā par rubļiem, pēc sešiem gadiem tas tika pārdots par rubļiem.

Atbildes:

1. Šeit vissvarīgākais ir atpazīt aritmētisko progresiju un noteikt tās parametrus. Šajā gadījumā (nedēļas = dienas). Jums ir jānosaka šīs progresēšanas pirmo nosacījumu summa:
   .
   Atbilde:
2. Šeit ir dots: , jāatrod.
   Acīmredzot jums ir jāizmanto tā pati summas formula kā iepriekšējā uzdevumā:
   .
   Aizstāt vērtības:

   Sakne acīmredzami neder, tāpēc atbilde ir.
   Aprēķināsim pēdējās dienas laikā noieto ceļu, izmantojot th termina formulu:
   (km).
   Atbilde:

3. Ņemot vērā:. Atrast: .
   Tas nevar būt vienkāršāk:
   (berzēt).
   Atbilde:

ARITMĒTISKĀ PROGRESIJA. ĪSUMĀ PAR GALVENĀM LIETĀM

Šī ir skaitļu secība, kurā starpība starp blakus esošajiem skaitļiem ir vienāda un vienāda.

Aritmētiskā progresija var palielināties () un samazināties ().

Piemēram:

Formula aritmētiskās progresijas n-tā vārda atrašanai

tiek uzrakstīts pēc formulas, kur ir progresējošo skaitļu skaits.

Aritmētiskās progresijas locekļu īpašība

Tas ļauj viegli atrast progresijas terminu, ja ir zināmi tā blakus vārdi - kur ir progresijas skaitļu skaits.

Aritmētiskās progresijas terminu summa

Ir divi veidi, kā atrast summu:

Kur ir vērtību skaits.

Kur ir vērtību skaits.

PĀRĒJIE 2/3 RAKSTI IR PIEEJAMI TIKAI YOUCLEVER STUDENTIEM!

Kļūsti par YouClever studentu,

Sagatavojies vienotajam valsts eksāmenam vai vienotajam valsts eksāmenam matemātikā par cenu “tase kafijas mēnesī”,

Un arī iegūstiet neierobežotu piekļuvi mācību grāmatai “YouClever”, sagatavošanas programmai “100gia” (risinātāju grāmatai), neierobežotam izmēģinājuma Vienotajam valsts eksāmenam un Vienotajam valsts eksāmenam, 6000 problēmu ar risinājumu analīzi un citiem YouClever un 100gia pakalpojumiem.

Matemātikā jebkuru skaitļu kopumu, kas seko viens otram, kaut kādā veidā sakārtoti, sauc par secību. No visām esošajām skaitļu sekvencēm izšķir divus interesantus gadījumus: algebrisko un ģeometrisko progresiju.

Kas ir aritmētiskā progresija?

Uzreiz jāsaka, ka algebrisko progresiju bieži sauc par aritmētiku, jo tās īpašības pēta matemātikas nozare - aritmētika.

Šī progresija ir skaitļu secība, kurā katrs nākamais loceklis atšķiras no iepriekšējā ar noteiktu nemainīgu skaitli. To sauc par algebriskās progresijas starpību. Noteiktības labad mēs to apzīmējam ar latīņu burtu d.

Šādas secības piemērs varētu būt šāds: 3, 5, 7, 9, 11 ..., šeit var redzēt, ka skaitlis 5 ir lielāks par skaitli 3 ar 2, 7 ir lielāks par 5 x 2, un tā tālāk. Tādējādi parādītajā piemērā d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.

Kādi ir aritmētiskās progresijas veidi?

Šo sakārtoto skaitļu secību raksturu lielā mērā nosaka skaitļa d zīme. Izšķir šādus algebriskās progresijas veidus:

• pieaug, ja d ir pozitīvs (d>0);
• konstante, ja d = 0;
• samazinās, ja d ir negatīvs (d<0).

Iepriekšējā rindkopā sniegtais piemērs parāda pieaugošu progresu. Samazinošas secības piemērs ir šāda skaitļu secība: 10, 5, 0, -5, -10, -15 ... Pastāvīga progresija, kā izriet no tās definīcijas, ir identisku skaitļu kopums.

n-tais progresēšanas termiņš

Sakarā ar to, ka katrs nākamais skaitlis aplūkojamajā progresijā atšķiras ar konstanti d no iepriekšējā, tā n-to daļu var viegli noteikt. Lai to izdarītu, jums jāzina ne tikai d, bet arī 1 - pirmais progresijas termiņš. Izmantojot rekursīvo pieeju, var iegūt algebriskās progresijas formulu n-tā termina atrašanai. Tas izskatās šādi: a n = a 1 + (n-1) * d. Šī formula ir diezgan vienkārša un to var saprast intuitīvi.

To arī nav grūti lietot. Piemēram, iepriekš norādītajā progresijā (d=2, a 1=3) mēs definējam tā 35. terminu. Saskaņā ar formulu tas būs vienāds ar: a 35 = 3 + (35-1) * 2 = 71.

Summas formula

Ja tiek dota aritmētiskā progresija, tās pirmo n vārdu summa ir bieži sastopama problēma, kā arī n-tā vārda vērtības noteikšana. Algebriskās progresijas summas formula ir uzrakstīta šādā formā: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2, šeit simbols ∑ n 1 norāda, ka 1. līdz n-tais termins ir summēts.

Iepriekš minēto izteiksmi var iegūt, izmantojot vienas un tās pašas rekursijas īpašības, taču ir vienkāršāks veids, kā pierādīt tās derīgumu. Pierakstīsim šīs summas pirmos 2 un pēdējos 2 vārdus, izsakot tos skaitļos a 1, a n un d, un iegūstam: a 1, a 1 +d,...,a n -d, a n. Tagad ņemiet vērā, ka, ja mēs pievienosim pirmo biedru pēdējam, tas būs tieši vienāds ar otrā un priekšpēdējā vārda summu, tas ir, 1 +a n. Līdzīgā veidā var parādīt, ka tādu pašu summu var iegūt, saskaitot trešo un priekšpēdējo vārdu utt. Ja secībā ir skaitļu pāris, mēs iegūstam n/2 summas, no kurām katra ir vienāda ar 1 +a n. Tas ir, mēs iegūstam iepriekš minēto formulu algebriskajai progresijai summai: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2.

Nepāra terminu skaitam n līdzīgu formulu iegūst, ja ievēro aprakstīto argumentāciju. Vienkārši neaizmirstiet pievienot atlikušo termiņu, kas atrodas progresēšanas centrā.

Parādīsim, kā izmantot iepriekš minēto formulu, izmantojot vienkāršas progresēšanas piemēru, kas tika ieviests iepriekš (3, 5, 7, 9, 11 ...). Piemēram, ir jānosaka tā pirmo 15 terminu summa. Pirmkārt, definēsim 15. Izmantojot n-tā termina formulu (skat. iepriekšējo rindkopu), mēs iegūstam: a 15 = a 1 + (n-1)*d = 3 + (15-1)*2 = 31. Tagad mēs varam piemērot formulu algebriskās progresijas summa: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255.

Interesanti minēt kādu interesantu vēsturisku faktu. Aritmētiskās progresijas summas formulu pirmais ieguva Karls Gauss (slavenais 18. gadsimta vācu matemātiķis). Kad viņam bija tikai 10 gadu, skolotājs viņam lūdza atrast skaitļu summu no 1 līdz 100. Viņi saka, ka mazais Gauss šo uzdevumu atrisinājis dažu sekunžu laikā, pamanījis, ka, summējot skaitļus no virknes sākuma un beigām pa pāriem vienmēr var dabūt 101, un tā kā tādas summas ir 50, tad viņš ātri sniedza atbildi: 50*101 = 5050.

Problēmas risinājuma piemērs

Lai pabeigtu tēmu par algebrisko progresiju, mēs sniegsim piemēru citas interesantas problēmas risināšanai, tādējādi stiprinot izpratni par aplūkojamo tēmu. Dota noteikta progresija, kurai zināma starpība d = -3, kā arī tās 35. termins a 35 = -114. Nepieciešams atrast progresijas a 7 7 .

Kā redzams no uzdevuma nosacījumiem, a 1 vērtība nav zināma, tāpēc n-tā vārda formulu tieši izmantot nebūs iespējams. Neērta ir arī rekursijas metode, kuru ir grūti ieviest manuāli, turklāt pastāv liela iespēja kļūdīties. Turpināsim šādi: uzrakstiet formulas 7 un 35, mums ir: a 7 = a 1 + 6*d un a 35 = a 1 + 34*d. Atņemot otro no pirmās izteiksmes, mēs iegūstam: a 7 - a 35 = a 1 + 6*d - a 1 - 34*d. No tā izriet: a 7 = a 35 - 28*d. Atliek aizstāt zināmos datus no problēmas paziņojuma un pierakstīt atbildi: a 7 = -114 - 28*(-3) = -30.

Ģeometriskā progresija

Lai pilnīgāk atklātu raksta tēmu, mēs sniedzam īsu cita veida progresijas aprakstu - ģeometrisko. Matemātikā šis nosaukums tiek saprasts kā skaitļu virkne, kurā katrs nākamais termins atšķiras no iepriekšējā ar noteiktu faktoru. Apzīmēsim šo faktoru ar burtu r. To sauc par aplūkojamā progresijas veida saucēju. Šīs skaitļu secības piemērs varētu būt: 1, 5, 25, 125, ...

Kā redzams no iepriekš minētās definīcijas, algebriskās un ģeometriskās progresijas idejā ir līdzīgas. Atšķirība starp tām ir tāda, ka pirmais mainās lēnāk nekā otrais.

Ģeometriskā progresija var būt arī pieaugoša, nemainīga vai dilstoša. Tās veids ir atkarīgs no saucēja r vērtības: ja r>1, tad ir pieaugoša progresija, ja r<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.

Ģeometriskās progresijas formulas

Tāpat kā algebriskajā gadījumā, ģeometriskās progresijas formulas tiek reducētas līdz tās n-tā termiņa noteikšanai un n vārdu summai. Zemāk ir šie izteicieni:

• a n = a 1 *r (n-1) - šī formula izriet no ģeometriskās progresijas definīcijas.
• ∑ n 1 = a 1 *(r n -1)/(r-1). Ir svarīgi atzīmēt, ka, ja r = 1, tad iepriekš minētā formula rada nenoteiktību, tāpēc to nevar izmantot. Šajā gadījumā n vārdu summa būs vienāda ar vienkāršu reizinājumu a 1 *n.

Piemēram, atradīsim tikai 10 virknes 1, 5, 25, 125, ... vārdu summu, zinot, ka a 1 = 1 un r = 5, mēs iegūstam: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1 )/4 = 2441406. Iegūtā vērtība ir skaidrs piemērs tam, cik ātri ģeometriskā progresija aug.

Iespējams, pirmo reizi vēsturē par šo progresu tiek pieminēta leģenda ar šaha galdu, kad kāda sultāna draugs, iemācījis viņam spēlēt šahu, prasīja labību par viņa dienestu. Turklāt graudu daudzumam vajadzēja būt šādam: uz šaha galdiņa pirmā lauciņa jāliek viens graudiņš, uz otrā - divreiz vairāk nekā uz pirmā, uz trešā - divreiz vairāk nekā uz otrā utt. . Sultāns labprāt piekrita izpildīt šo lūgumu, taču viņš nezināja, ka viņam būs jāiztukšo visas savas valsts tvertnes, lai turētu savu vārdu.