Kā strādāt ar koordinātu plakni. "Koordinātu plakne" - video stundas matemātikā (6. klase)

Punkti ir “reģistrēti” - “iedzīvotāji”, katram punktam ir savs “mājas numurs” - tā koordināte. Ja punkts tiek uzņemts lidmašīnā, tad tā “reģistrēšanai” ir jānorāda ne tikai “mājas numurs”, bet arī “dzīvokļa numurs”. Atcerieties, kā tas tiek darīts.

Nozīmēsim divas savstarpēji perpendikulāras koordinātu taisnes un par sākumpunktu uz abām taisnēm uzskatīsim to krustpunktu punktu O. Tādējādi plaknē tiek uzstādīta taisnstūra koordinātu sistēma (20. att.), kas pārveido ierasto. lidmašīna saskaņot. Punktu O sauc par koordinātu sākumpunktu, koordinātu līnijas (x ass un y ass) sauc par koordinātu asīm, bet taisnos leņķus, ko veido koordinātu asis, sauc par koordinātu leņķiem. Koordinātu taisnstūra stūri ir numurēti, kā parādīts 20. attēlā.

Un tagad pievērsīsimies 21. attēlam, kurā redzama taisnstūra koordinātu sistēma un atzīmēts punkts M. Novelkam cauri taisnu līniju paralēli y asij. Līnija kādā punktā krustojas ar x asi, šim punktam ir koordināte - uz x ass. Punktam, kas parādīts 21. attēlā, šī koordināta ir -1,5, to sauc par punkta M abscisu. Tālāk caur punktu M velkam taisnu līniju, kas ir paralēla x asij. Līnija kādā punktā krusto y asi, šim punktam ir koordināte - uz y ass.

Punktam M, kas parādīts 21. attēlā, šī koordināte ir 2, to sauc par punkta M ordinātu. Īsi rakstīts šādi: M (-1,5; 2). Abscisa ir rakstīta pirmajā vietā, ordināta - otrajā. Ja nepieciešams, viņi izmanto citu apzīmējumu: x = -1,5; y = 2.

1. piezīme . Praksē, lai atrastu punkta M koordinātas, parasti taisnu līniju vietā, kas paralēlas koordinātu asīm un iet caur punktu M, no punkta M uz koordinātu asīm tiek veidoti šo taisnes segmenti (22. att.).

2. piezīme. Iepriekšējā sadaļā mēs ieviesām dažādus skaitlisko intervālu apzīmējumus. Konkrēti, kā mēs vienojāmies, apzīmējums (3, 5) nozīmē, ka uz koordinātu līnijas tiek uzskatīts intervāls ar galiem punktos 3 un 5. Šajā sadaļā mēs uzskatām skaitļu pāri par punkta koordinātām; piemēram, (3; 5) ir punkts uz koordinātu plakne ar abscisu 3 un ordinātu 5. Kā pareizi pēc simboliskā apzīmējuma noteikt, kas ir uz spēles: par intervālu vai par punkta koordinātām? Lielāko daļu laika tas ir skaidrs no teksta. Ko darīt, ja tas nav skaidrs? Pievērsiet uzmanību vienai detaļai: mēs izmantojām komatu intervāla apzīmējumā un semikolu koordinātu apzīmējumā. Tas, protams, nav īpaši nozīmīgs, bet tomēr atšķirība; mēs to pielietosim.

Ņemot vērā ieviestos terminus un apzīmējumus, horizontālo koordinātu līniju sauc par abscisu jeb x asi, bet vertikālo koordinātu līniju par y asi vai y asi. Apzīmējumus x, y parasti lieto, norādot taisnstūra koordinātu sistēmu plaknē (skat. 20. att.), un tie bieži saka tā: ir dota xOy koordinātu sistēma. Taču ir arī citi apzīmējumi: piemēram, 23. attēlā ir dota koordinātu sistēma tOs.
Algoritms punkta M koordinātu atrašanai, kas dots taisnstūra koordinātu sistēmā хОу

Tieši tā mēs rīkojāmies, 21. attēlā atrodot punkta M koordinātas. Ja punkts M 1 (x; y) pieder pirmajam koordinātu leņķim, tad x\u003e 0, y\u003e 0; ja punkts M 2 (x; y) pieder otrajam koordinātu leņķim, tad x< 0, у >0; ja punkts M 3 (x; y) pieder trešajam koordinātu leņķim, tad x< О, у < 0; если точка М 4 (х; у) принадлежит четвертому координатному углу, то х >OU< 0 (рис. 24).

Bet kas notiek, ja punkts, kura koordinātas ir jāatrod, atrodas uz vienas no koordinātu asīm? Lai punkts A atrodas uz x ass, bet punkts B atrodas uz y ass (25. att.). Nav jēgas vilkt taisnu līniju, kas ir paralēla y asij caur punktu A un atrast šīs līnijas krustošanās punktu ar x asi, jo šāds krustošanās punkts jau ir - tas ir punkts A, tā koordināte ( abscisa) ir 3. Tādā pašā veidā jums nav jāvelk caur punktu Un taisni, kas ir paralēla x asij - šī taisne ir pati x ass, kas krusto y asi punktā O ar koordinātu ( ordināta) 0. Rezultātā punktam A iegūstam A (3; 0). Līdzīgi punktam B iegūstam B(0; - 1,5). Un punktam O mums ir O(0; 0).

Parasti jebkuram punktam uz x ass ir koordinātes (x; 0), un jebkuram punktam uz y ass ir koordinātes (0; y)

Tātad, mēs apspriedām, kā atrast punkta koordinātas koordinātu plaknē. Bet kā atrisināt apgriezto uzdevumu, t.i., kā, iedodot koordinātas, konstruēt atbilstošo punktu? Lai izstrādātu algoritmu, mēs veiksim divus palīgargumentus, bet tajā pašā laikā svarīgus argumentus.

Pirmā diskusija. Iezīmēsim I xOy koordinātu sistēmā, paralēli y asij un krustojot x asi punktā ar koordinātu (abscisu) 4

(26. att.). Jebkuram punktam, kas atrodas uz šīs līnijas, ir abscisa 4. Tātad punktiem M 1, M 2, M 3 mums ir M 1 (4; 3), M 2 (4; 6), M 3 (4; - 2). Citiem vārdiem sakot, jebkura taisnes punkta M abscisa atbilst nosacījumam x \u003d 4. Viņi saka, ka x \u003d 4 - vienādojums līnija l vai šī līnija I apmierina vienādojumu x = 4.

27. attēlā parādītas līnijas, kas atbilst vienādojumu x = - 4 (rinda I 1), x = - 1
(taisne I 2) x = 3,5 (taisne I 3). Un kura rinda apmierina vienādojumu x = 0? Uzminēji? y ass

Otrā diskusija. Ļaujiet xOy koordinātu sistēmā novilkt taisni I, kas ir paralēla x asij un krustojas ar y asi punktā ar koordinātu (ordinātu) 3 (28. att.). Jebkuram punktam, kas atrodas uz šīs taisnes, ir ordināta 3. Tātad punktiem M 1, M 2, M 3 mums ir: M 1 (0; 3), M 2 (4; 3), M 3 (- 2; 3). ) . Citiem vārdiem sakot, jebkura līnijas I punkta M ordināta atbilst nosacījumam y \u003d 3. Viņi saka, ka y \u003d 3 ir I līnijas vienādojums vai līnija I apmierina vienādojumu y \u003d 3.

29. attēlā parādītas līnijas, kas apmierina vienādojumus y \u003d - 4 (rinda l 1), y \u003d - 1 (rinda I 2), y \u003d 3.5 (rinda I 3) - A kura līnija apmierina vienādojumu y \u003d 01 Uzminiet? x ass.

Ņemiet vērā, ka matemātiķi, tiecoties pēc runas īsuma, saka "taisne x = 4", nevis "taisne, kas apmierina vienādojumu x = 4". Tāpat viņi saka "rinda y = 3", nevis "rinda, kas atbilst y = 3". Mēs darīsim tieši tāpat. Tagad atgriezīsimies pie 21. attēla. Lūdzu, ņemiet vērā, ka tur parādītais punkts M (- 1,5; 2) ir taisnes x = -1,5 un taisnes y = 2 krustošanās punkts. Tagad, acīmredzot, algoritms punkta konstruēšanai būs skaidrs pēc tā dotajām koordinātām.

Algoritms punkta M (a; b) konstruēšanai taisnstūra koordinātu sistēmā хОу

PIEMĒRS xOy koordinātu sistēmā konstruē punktus: A (1; 3), B (- 2; 1), C (4; 0), D (0; - 3).

Lēmums. Punkts A ir taisnes x = 1 un y = 3 krustpunkts (skat. 30. att.).

Punkts B ir taisnes x = - 2 un y = 1 krustošanās punkts (30. att.). Punkts C pieder pie x ass, bet punkts D pieder pie y ass (skat. 30. att.).

Nodaļas noslēgumā mēs atzīmējam, ka pirmo reizi plaknes taisnstūra koordinātu sistēma tika aktīvi izmantota, lai aizstātu algebrisko. modeļiemģeometriskais franču filozofs Renē Dekarts (1596-1650). Tāpēc dažreiz viņi saka "Dekarta koordinātu sistēma", "Dekarta koordinātas".

Pilns tēmu saraksts pa klasēm, kalendāra plāns saskaņā ar skolas matemātikas programmu tiešsaistē, kadrus matemātikā 7. klasei lejupielādēt

A. V. Pogorelovs, Ģeometrija 7.-11.klasei, Mācību grāmata izglītības iestādēm

Taisnstūra koordinātu sistēmu plaknē veido divas savstarpēji perpendikulāras koordinātu asis X'X un Y'Y. Koordinātu asis krustojas punktā O, ko sauc par koordinātu sākumpunktu, uz katras ass tiek izvēlēts pozitīvs virziens.Asu pozitīvais virziens (labās puses koordinātu sistēmā) ir izvēlēts tā, lai tad, kad X'X ass ir pagriezts pretēji pulksteņrādītāja virzienam par 90 °, tā pozitīvais virziens sakrīt ar Y'Y ass pozitīvo virzienu. Četrus leņķus (I, II, III, IV), ko veido X'X un Y'Y koordinātu asis, sauc par koordinātu leņķiem (skat. 1. att.).

Punkta A atrašanās vietu plaknē nosaka divas koordinātas x un y. X-koordināta ir vienāda ar OB segmenta garumu, y-koordināta ir OC segmenta garums atlasītajās vienībās. Segmenti OB un OC ir definēti ar līnijām, kas novilktas no punkta A paralēli Y'Y ​​un X'X asīm, attiecīgi. Koordinātu x sauc par punkta A abscisu, y koordinātu par punkta A ordinātu. Viņi to raksta šādi: A (x, y).

Ja punkts A atrodas koordinātu leņķī I, tad punktam A ir pozitīva abscise un ordināta. Ja punkts A atrodas koordinātu leņķī II, tad punktam A ir negatīva abscise un pozitīva ordināta. Ja punkts A atrodas koordinātu leņķī III, tad punktam A ir negatīva abscise un ordināta. Ja punkts A atrodas koordinātu leņķī IV, tad punktam A ir pozitīva abscise un negatīva ordināta.

Taisnstūra koordinātu sistēma telpā veido trīs savstarpēji perpendikulāras koordinātu asis OX, OY un OZ. Koordinātu asis krustojas punktā O, ko sauc par sākumpunktu, uz katras ass tiek izvēlēts pozitīvais virziens, kas norādīts ar bultiņām, un nogriežņu mērvienība uz asīm. Mērvienības visām asīm ir vienādas. OX - abscisu ass, OY - ordinātu ass, OZ - aplikācijas ass. Asu pozitīvais virziens ir izvēlēts tā, lai, OX asi pagriežot pretēji pulksteņrādītāja virzienam par 90°, tās pozitīvais virziens sakristu ar OY ass pozitīvo virzienu, ja šo griešanos novēro no OZ ass pozitīvā virziena. Šādu koordinātu sistēmu sauc par labo. Ja labās rokas īkšķi pieņem par X virzienu, rādītājpirkstu par Y virzienu un vidējo pirkstu par Z virzienu, tad veidojas labās puses koordinātu sistēma. Līdzīgi kreisās rokas pirksti veido kreiso koordinātu sistēmu. Labo un kreiso koordinātu sistēmu nevar apvienot tā, lai atbilstošās asis sakristu (skat. 2. att.).

Punkta A vietu telpā nosaka trīs koordinātes x, y un z. Koordināta x ir vienāda ar segmenta OB garumu, y koordināte ir vienāda ar segmenta OC garumu, z koordināte ir segmenta OD garums atlasītajās vienībās. Nogriežņus OB, OC un OD nosaka plaknes, kas novilktas no punkta A paralēli plaknēm YOZ, XOZ un XOY, attiecīgi. X koordinātu sauc par punkta A abscisu, y koordinātu sauc par punkta A ordinātu, z koordinātu sauc par punkta A aplikāciju. Viņi to raksta šādi: A (a, b, c).

Horts

Taisnstūra koordinātu sistēmu (jebkura izmēra) apraksta arī ortu kopa, kas ir virzīta kopā ar koordinātu asīm. Ortu skaits ir vienāds ar koordinātu sistēmas izmēru, un tie visi ir perpendikulāri viens otram.

Trīsdimensiju gadījumā šādus vektorus parasti apzīmē i j k vai e x e y e z . Šajā gadījumā pareizās koordinātu sistēmas gadījumā ir derīgas šādas formulas ar vektoru vektorreizinājumu:

• [i j]=k ;
• [j k]=i ;
• [k i]=j .

Stāsts

Renē Dekarts bija pirmais, kurš savā Diskursā par metodi 1637. gadā ieviesa taisnstūra koordinātu sistēmu. Tāpēc taisnstūra koordinātu sistēmu sauc arī - Dekarta koordinātu sistēma. Ģeometrisko objektu aprakstīšanas koordinātu metode lika pamatu analītiskajai ģeometrijai. Pjērs Fermā arī piedalījās koordinātu metodes izstrādē, taču viņa darbs pirmo reizi tika publicēts pēc viņa nāves. Dekarts un Fermā koordinātu metodi izmantoja tikai plaknē.

Trīsdimensiju telpas koordinātu metodi Leonhards Eilers pirmo reizi izmantoja jau 18. gadsimtā.

Skatīt arī

Saites

Wikimedia fonds. 2010 .

Skatiet, kas ir "koordinātu plakne" citās vārdnīcās:

griešanas plakne- (Pn) Koordinātu plakne, kas pieskaras griešanas malai aplūkotajā punktā un ir perpendikulāra pamatplaknei. […

Topogrāfijā iedomātu līniju tīkls, kas apņem zemeslodi platuma un meridionālā virzienā, ar kuru palīdzību var precīzi noteikt jebkura punkta stāvokli uz zemes virsmas. Platuma grādus mēra no ekvatora - lielais aplis, ... ... Ģeogrāfiskā enciklopēdija

Topogrāfijā iedomātu līniju tīkls, kas apņem zemeslodi platuma un meridionālā virzienā, ar kuru palīdzību var precīzi noteikt jebkura punkta stāvokli uz zemes virsmas. Platuma grādus mēra no lielā apļa ekvatora, ... ... Collier enciklopēdija

Šim terminam ir citas nozīmes, skatiet fāzes diagrammu. Fāzes plakne ir koordinātu plakne, kurā pa koordinātu asīm ir uzzīmēti jebkuri divi mainīgie (fāzes koordinātes), kas unikāli nosaka sistēmas stāvokli ... ... Wikipedia

galvenā griešanas plakne- (Pτ) Koordinātu plakne, kas ir perpendikulāra galvenās plaknes un griešanas plaknes krustošanās līnijai. [GOST 25762 83] Griešanas tēmas Koordinātu plakņu un koordinātu plakņu sistēmu vispārināšanas termini ... Tehniskā tulkotāja rokasgrāmata

instrumentālā galvenā griešanas plakne- (Pτi) Koordinātu plakne, kas ir perpendikulāra instrumentālās galvenās plaknes un griešanas plaknes krustošanās līnijai. [GOST 25762 83] Griešanas tēmas Koordinātu plakņu un koordinātu plakņu sistēmu vispārināšanas termini ... Tehniskā tulkotāja rokasgrāmata

instrumentu griešanas plakne- (Pni) Koordinātu plakne, kas attiecīgajā punktā pieskaras griešanas malai un ir perpendikulāra instrumenta pamatplaknei. [GOST 25762 83] Griešanas tēmas Koordinātu plakņu sistēmu vispārināšanas termini un ... ... Tehniskā tulkotāja rokasgrāmata

kinemātiskā galvenā griešanas plakne- (Pτк) Koordinātu plakne, kas ir perpendikulāra kinemātiskās galvenās plaknes un griešanas plaknes krustošanās līnijai ... Tehniskā tulkotāja rokasgrāmata

kinemātiskā griešanas plakne- (Pnk) Koordinātu plakne, kas pieskaras griešanas malai attiecīgajā punktā un ir perpendikulāra kinemātiskajai pamatplaknei ... Tehniskā tulkotāja rokasgrāmata

galvenā plakne- (Pv) Koordinātu plakne, kas novilkta caur aplūkojamo griešanas malas punktu, kas ir perpendikulāra galvenās vai neto griešanas kustības ātruma virzienam šajā punktā. Piezīme Instrumentālajā koordinātu sistēmā virziens ... ... Tehniskā tulkotāja rokasgrāmata

Ja plaknē izveidojam divas savstarpēji perpendikulāras skaitliskās asis: VĒRSIS un OY, tad viņus sauks koordinātu asis. Horizontālā ass VĒRSIS sauca x-ass(ass x), vertikālā ass OY - y ass(ass y).

Punkts O, kas stāv asu krustpunktā, sauc izcelsmi. Tas ir nulles punkts abām asīm. Pozitīvie skaitļi tiek parādīti uz abscisu ass ar punktiem pa labi, bet uz ordinātu ass - uz augšu no nulles punkta. Negatīvie skaitļi ir attēloti ar punktiem pa kreisi un uz leju no sākuma (punkti O). Tiek izsaukta plakne, uz kuras atrodas koordinātu asis koordinātu plakne.

Koordinātu asis sadala plakni četrās daļās, ko sauc ceturtdaļas vai kvadranti. Šos ceturkšņus pieņemts numurēt ar romiešu cipariem tādā secībā, kādā tie numurēti zīmējumā.

Punktu koordinātas plaknē

Ja ņemam patvaļīgu punktu koordinātu plaknē A un no tā novilkt perpendikulu uz koordinātu asīm, tad perpendikulu pamati atradīsies uz diviem skaitļiem. Tiek izsaukts skaitlis, uz kuru norāda vertikālais perpendikuls abscisu punkts A. Skaitlis, uz kuru norāda horizontālais perpendikuls, ir - punktu ordināta A.

Uz punkta abscisu zīmējuma A ir 3 un ordināta ir 5.

Abscisu un ordinātu sauc par konkrētā plaknes punkta koordinātām.

Punkta koordinātas ir ierakstītas iekavās pa labi no punkta apzīmējuma. Vispirms raksta abscisu, pēc tam ordinātu. Tātad ierakstiet A(3; 5) nozīmē, ka punkta abscisa A ir trīs, un ordināta ir piecas.

Punkta koordinātas ir skaitļi, kas nosaka tā atrašanās vietu plaknē.

Ja punkts atrodas uz x ass, tad tā ordināta ir nulle (piemēram, punkts B ar koordinātām -2 un 0). Ja punkts atrodas uz y ass, tad tā abscisa ir nulle (piemēram, punkts C ar koordinātām 0 un -4).

Izcelsme - punkts O- gan abscisa, gan ordināta ir vienāda ar nulli: O (0; 0).

Šo koordinātu sistēmu sauc taisnstūrveida vai Dekarta.

Darba teksts ievietots bez attēliem un formulām.
Pilna darba versija ir pieejama cilnē "Darba faili" PDF formātā

Ievads

Pieaugušo runā varēja dzirdēt šādu frāzi: "Atstājiet man savas koordinātes." Šis izteiciens nozīmē, ka sarunu biedram ir jāatstāj sava adrese vai tālruņa numurs, pēc kura viņu var atrast. Tie, kas ir spēlējuši "jūras kauju", izmantoja atbilstošu koordinātu sistēmu. Līdzīga koordinātu sistēma tiek izmantota šahā. Sēdvietas kinoteātra auditorijā ir apzīmētas ar diviem cipariem: pirmais cipars norāda rindas numuru, bet otrais ir sēdvietas numurs šajā rindā. Ideja par punkta atrašanās vietas noteikšanu plaknē, izmantojot skaitļus, radās senatnē. Koordinātu sistēma caurstrāvo visu cilvēka praktisko dzīvi un tai ir milzīgs praktisks pielietojums. Tāpēc mēs nolēmām izveidot šo projektu, lai paplašinātu savas zināšanas par tēmu "Koordinātu plakne"

Projekta mērķi:

iepazīties ar taisnstūra koordinātu sistēmas rašanās vēsturi plaknē;

izcilas personas, kas nodarbojas ar šo tēmu;

atrast interesantus vēstures faktus;

labi uztver koordinātas pēc auss; skaidri un precīzi veikt konstrukcijas;

sagatavot prezentāciju.

I nodaļa. Koordinātu plakne

Ideja noteikt punkta stāvokli plaknē, izmantojot skaitļus, radās senatnē - galvenokārt astronomu un ģeogrāfu vidū, sastādot zvaigžņu un ģeogrāfiskās kartes, kalendārus.

§ viens. Koordinātu izcelsme. Koordinātu sistēma ģeogrāfijā

200 gadus pirms mūsu ēras grieķu zinātnieks Hiparhs ieviesa ģeogrāfiskās koordinātas. Viņš ieteica zīmēt paralēles un meridiānus ģeogrāfiskajā kartē un atzīmēt platumu un garumu ar cipariem. Izmantojot šos divus skaitļus, jūs varat precīzi noteikt salas, ciema, kalna vai akas stāvokli tuksnesī un ievietot tos kartē vai globusā.Mācoties noteikt kuģa atrašanās vietas platumu un garumu atklātajā pasaulē , jūrnieki varēja izvēlēties sev vajadzīgo virzienu.

Austrumu garums un ziemeļu platums ir norādīts ar cipariem ar plus zīmi, bet rietumu garums un dienvidu platums ir norādīts ar mīnusa zīmēm. Tādējādi skaitļu pāris ar zīmēm unikāli definē punktu uz zemeslodes.

Ģeogrāfiskais platums? - leņķis starp svērteni noteiktā punktā un ekvatora plakni, skaitot no 0 līdz 90 abos virzienos no ekvatora. Ģeogrāfiskais garums? - leņķis starp meridiāna plakni, kas iet caur doto punktu, un meridiāna sākuma plakni (skat. Griničas meridiānu). Garuma grādus no 0 līdz 180 uz austrumiem no meridiāna sākuma sauc par austrumiem, uz rietumiem - par rietumiem.

Lai pilsētā atrastu kādu objektu, vairumā gadījumu pietiek zināt tā adresi. Grūtības rodas, ja jāpaskaidro, kur atrodas, piemēram, vasarnīca, vieta mežā. Ģeogrāfiskās koordinātas kalpo kā universāls līdzeklis atrašanās vietas noteikšanai.

Nokļūstot avārijas situācijā, cilvēkam vispirms ir jāspēj orientēties reljefā. Dažkārt ir nepieciešams noteikt savas atrašanās vietas ģeogrāfiskās koordinātas, piemēram, lai nodotu glābšanas dienestam vai citiem mērķiem.

Mūsdienu navigācijā standartā tiek izmantota pasaules koordinātu sistēma WGS-84. Visi GPS navigatori un lielākie kartēšanas projekti internetā strādā šajā koordinātu sistēmā. Koordinātas WGS-84 sistēmā ir tikpat plaši izmantotas un saprotamas kā universālais laiks. Kopumā pieejamā precizitāte, strādājot ar ģeogrāfiskajām koordinātām, ir 5 - 10 metri uz zemes.

Ģeogrāfiskās koordinātas ir ar zīmēm apzīmēti cipari (platums no -90° līdz +90°, garums no -180° līdz +180°) un rakstāmas dažādās formās: grādos (ddd.ddddd°); grādi un minūtes (ddd° mm.mmm"); grādi, minūtes un sekundes (ddd° mm" ss.s"). Ierakstu veidlapas var viegli pārvērst vienu citā (1 grāds = 60 minūtes, 1 minūte = 60 sekundes) Lai norādītu koordinātu zīmi, bieži tiek izmantoti burti ar galveno punktu nosaukumiem: N un E - ziemeļu platums un austrumu garums - pozitīvi skaitļi, S un R - dienvidu platums un rietumu garums - negatīvi skaitļi.

Koordinātu rakstīšanas forma GRĀDOS ir ērtākā manuālai ievadīšanai un sakrīt ar skaitļa matemātisko apzīmējumu. Daudzos gadījumos vēlamais formāts ir koordinātu forma GRĀDI UN MINŪTES, tas ir noklusējuma formāts lielākajā daļā GPS navigatoru un ir standarts, ko izmanto aviācijā un jūrā. Klasiskā forma koordināšu rakstīšanai GRĀDOS, MINŪTĒS UN SEKUNDĒS īsti praktiski neizmanto.

§2. Koordinātu sistēma astronomijā. Mīti par zvaigznājiem

Kā minēts iepriekš, ideja noteikt punkta pozīciju plaknē, izmantojot skaitļus, radās senos laikos astronomu vidū, veidojot zvaigžņu kartes. Cilvēkiem bija jāskaita laiks, jāparedz sezonālās parādības (paisuma un bēguma, sezonālās lietusgāzes, plūdi), ceļojot bija jāorientējas reljefā.

Astronomija ir zinātne par zvaigznēm, planētām, debess ķermeņiem, to uzbūvi un attīstību.

Ir pagājuši tūkstošiem gadu, zinātne ir gājusi tālu uz priekšu, un cilvēks joprojām nevar atraut savu apbrīnas pilno skatienu no naksnīgo debesu skaistuma.

Zvaigznāji ir zvaigžņoto debesu posmi, raksturīgas figūras, ko veido spilgtas zvaigznes. Visas debesis ir sadalītas 88 zvaigznājos, kas atvieglo navigāciju starp zvaigznēm. Lielākā daļa zvaigznāju nosaukumu nāk no senatnes.

Slavenākais zvaigznājs ir Ursa Major. Senajā Ēģiptē to sauca par "nīlzirgu", un kazahi to sauca par "zirgu pie pavadas", lai gan ārēji zvaigznājs nelīdzinās nevienam vai citam dzīvniekam. Kas tas ir?

Senajiem grieķiem bija leģenda par Lielās un Mazās zvaigznes zvaigznājiem. Visvarenais dievs Zevs nolēma apprecēties ar skaisto nimfu Kalisto, vienu no dievietes Afrodītes kalpiem, pretēji pēdējās vēlēšanās. Lai glābtu Kalisto no dievietes vajāšanas, Zevs Kalisto pārvērta par Ursa Major, viņas mīļoto suni par Ursa Minor un paņēma viņus uz debesīm. Pārvietojiet zvaigznājus Lielās un Mazās zvaigznes no zvaigžņotajām debesīm uz koordinātu plakni. . Katrai no Ursa Major Bucket zvaigznēm ir savs vārds.

LIELAIS LĀCIS

Es atpazīstu pēc BUCKET!

Šeit mirdz septiņas zvaigznes

Un lūk, kā tos sauc:

DUBHE apgaismo tumsu,

MERAK deg viņam blakus,

Sānos ir FEKDA ar MEGRETS,

Nekaunīgs jauneklis.

No Megrets uz izbraukšanu

ALIOT atrodas,

Un aiz viņa - MITSAR ar ALCOR

(Šie divi spīd korī).

Aizver mūsu spaini

Nesalīdzināms BENETNASH.

Viņš norāda uz aci

Ceļš uz zvaigznāju BOOTES,

Kur mirdz skaistais ARCTUR,

Tagad visi to pamanīs!

Ne mazāk skaista leģenda par Cepheus, Cassiopeia un Andromeda zvaigznājiem.

Etiopiju savulaik valdīja karalis Kefejs. Reiz viņa sievai, karalienei Kasiopejai, bija neapdomība lielīties ar savu skaistumu jūras iemītnieku - nereīdu priekšā. Pēdējais, aizvainots, sūdzējās jūras dievam Poseidonam, un jūru valdnieks, Kasiopejas pārgalvības saniknots, Etiopijas krastos izlaida jūras briesmoni Kita. Lai glābtu savu valstību no iznīcināšanas, Kefejs pēc orākula ieteikuma nolēma upurēt briesmoni un dot viņam apēst savu mīļoto meitu Andromedu. Viņš pieķēdēja Andromedu pie piekrastes klints un atstāja viņu gaidīt viņas likteņa lēmumu.

Tikmēr otrā pasaules malā mītiskais varonis Persejs paveica pārdrošu varoņdarbu. Viņš iekļuva nomaļā salā, kur dzīvoja gorgoni - pārsteidzoši monstri sieviešu formā ar čūskām uz galvas matu vietā. Gorgonu skatiens bija tik šausmīgs, ka visi, uz kuriem viņi skatījās, acumirklī pārvērtās par akmeņiem.

Izmantojot šo briesmoņu miegu, Persejs vienam no tiem, Gorgon Medusa, nocirta galvu. Tajā brīdī zirgs Pegass izlidoja no sagrieztā Medūzas ķermeņa. Persejs satvēra medūzas galvu, uzlēca Pegazam un pa gaisu metās uz savu dzimteni. Kad viņš lidoja pāri Etiopijai, viņš redzēja Andromedu pieķēdētu pie klints. Šajā brīdī Valis jau ir iznācis no jūras dzīlēm, gatavojoties norīt savu upuri. Bet Persejs, steidzoties mirstīgajā cīņā ar Kītu, uzvarēja briesmoni. Viņš parādīja Kītam medūzas galvu, kura vēl nebija zaudējusi spēkus, un briesmonis pārakmeņojās, pārvēršoties par salu. Kas attiecas uz Perseju, Andromedu atraisījis, viņš to atdeva viņas tēvam, un Cefejs, laimes aizkustināts, atdeva Andromedu par savu sievu Persejam. Tā nu šis stāsts beidzās laimīgi, kura galvenos varoņus senie grieķi izvietoja debesīs.

Zvaigžņu kartē var atrast ne tikai Andromedu ar savu tēvu, māti un vīru, bet arī burvju zirgu Pegazu un visu nepatikšanu vaininieku - briesmoni Kita.

Cetus zvaigznājs atrodas zem Pegaza un Andromedas. Diemžēl tas nav iezīmēts ar raksturīgām spilgtām zvaigznēm un tāpēc pieder pie mazāko zvaigznāju skaita.

§3. Taisnstūra koordinātu idejas izmantošana glezniecībā.

Taisnstūra koordinātu idejas pielietošanas pēdas kvadrātveida režģa (paletes) veidā ir attēlotas uz vienas no Senās Ēģiptes apbedīšanas kamerām. Ramzesa tēva piramīdas apbedīšanas kamerā pie sienas ir izveidots laukumu tīkls. Ar viņu palīdzību attēls tika pārsūtīts palielinātā formā. Taisnstūrveida režģus izmantoja arī renesanses mākslinieki.

Vārds "perspektīva" latīņu valodā nozīmē "skaidri redzēt". Vizuālajā mākslā lineārā perspektīva ir objektu attēlojums plaknē atbilstoši to redzamajām izmēra izmaiņām. Mūsdienu perspektīvas teorijas pamatus lika lielie renesanses mākslinieki - Leonardo da Vinči, Albrehts Dīrers un citi. Vienā no Durera gravējumiem (3. att.) redzama metode, kā zīmēt no dzīves caur stiklu, uz kura uzlikts kvadrātveida režģis. Šo procesu var raksturot šādi: ja stāvēsi pie loga un, nemainot skatu punktu, visu, kas ir redzams aiz tā, apvelk uz stikla, tad iegūtais zīmējums būs perspektīvs telpas attēls.

Ēģiptes dizaina metodes, kas, šķiet, ir balstītas uz kvadrātveida režģa modeļiem. Ēģiptes mākslā ir daudz piemēru, kas liecina, ka gleznotāji un tēlnieki vispirms uz sienas uzzīmēja režģi, kas bija jākrāso vai jāizgrebj, lai saglabātu noteiktās proporcijas. Šo režģu vienkāršās skaitliskās attiecības ir visu lielo ēģiptiešu mākslas darbu pamatā.

To pašu metodi izmantoja daudzi renesanses mākslinieki, tostarp Leonardo da Vinči. Senajā Ēģiptē tas tika iemiesots Lielajā piramīdā, ko pastiprina tās ciešā saikne ar rakstu Marlborough Down.

Sākot darbu, ēģiptiešu mākslinieks uz sienas uzzīmēja taisnu līniju režģi un pēc tam uzmanīgi pārnesa uz tās figūras. Bet ģeometriskā kārtība viņam netraucēja atjaunot dabu ar detalizētu precizitāti. Katras zivs, katra putna izskats tiek nodots tik patiesi, ka mūsdienu zoologi var viegli noteikt to sugu. 4. attēlā redzama kompozīcijas detaļa no ilustrācijas - koks ar putniem, kas ieķerti Khnumhotepa tīklā. Mākslinieka rokas kustību vadīja ne tikai viņa prasmju rezerves, bet arī dabas aprises jūtīga acs.

Att.4 Putni uz akācijas

II nodaļa. Koordinātu metode matemātikā

§ viens. Koordinātu pielietojums matemātikā. Nopelni

Franču matemātiķis Renē Dekarts

Ilgu laiku tikai ģeogrāfija "zemes apraksts" izmantoja šo brīnišķīgo izgudrojumu, un tikai 14. gadsimtā franču matemātiķis Nikolass Orems (1323-1382) mēģināja to piemērot "zemes mērīšanai" - ģeometrijai. Viņš ierosināja segt plakni ar taisnstūrveida režģi un saukt platumu un garumu to, ko mēs tagad saucam par abscisu un ordinātu.

Pamatojoties uz šo veiksmīgo jauninājumu, radās koordinātu metode, kas saistīja ģeometriju ar algebru. Galvenais nopelns šīs metodes izveidē pieder izcilajam franču matemātiķim Renē Dekartam (1596 - 1650). Viņam par godu šādu koordinātu sistēmu sauc par Dekartu, apzīmējot jebkura plaknes punkta atrašanās vietu ar attālumiem no šī punkta līdz "nulles platuma grādam" - abscisu asij "un "nulles meridiānam" - ordinātu asij.

Tomēr šis izcilais franču zinātnieks un 17. gadsimta (1596 - 1650) domātājs ne uzreiz atrada savu vietu dzīvē. Dzimis dižciltīgā ģimenē, Dekarts ieguva labu izglītību. 1606. gadā tēvs viņu nosūtīja uz La Flešas jezuītu koledžu. Ņemot vērā Dekarta ne pārāk labo veselību, šīs izglītības iestādes stingrajā režīmā viņam tika veiktas dažas atlaidības, piemēram, viņš drīkstēja celties vēlāk nekā citi. Ieguvis daudz zināšanu koledžā, Dekartu tajā pašā laikā pārņēma antipātijas pret sholastisko filozofiju, kuras viņš saglabāja visu mūžu.

Pēc koledžas beigšanas Dekarts turpināja izglītību. 1616. gadā Puatjē universitātē viņš ieguva tiesību zinātņu bakalaura grādu. 1617. gadā Dekarts pievienojās armijai un daudz ceļoja pa Eiropu.

Zinātniski izrādījās, ka 1619. gads Dekartam bija galvenais gads.

Tieši šajā laikā, kā viņš pats rakstīja savā dienasgrāmatā, viņam atklājās jaunas “apbrīnojamās zinātnes” pamati. Visticamāk, Dekarts domāja par universālas zinātniskas metodes atklāšanu, ko viņš vēlāk auglīgi pielietoja dažādās disciplīnās.

20. gadsimta 20. gados Dekarts iepazinās ar matemātiķi M. Mersennu, caur kuru viņš ilgus gadus “uzturēja sakarus” ar visu Eiropas zinātnieku aprindām.

1628. gadā Dekarts Nīderlandē apmetās uz dzīvi vairāk nekā 15 gadus, taču neapmetās nevienā vietā, bet mainīja dzīvesvietu aptuveni divus desmitus reižu.

1633. gadā, uzzinājis par Galileja nosodījumu no baznīcas puses, Dekarts atsakās publicēt dabā-filozofisko darbu Pasaule, kurā izklāstītas idejas par Visuma dabisko izcelsmi saskaņā ar matērijas mehāniskajiem likumiem.

1637. gadā franču valodā tika izdots Dekarta Diskurss par metodi, ar kuru, kā daudzi uzskata, sākās mūsdienu Eiropas filozofija.

Lielu ietekmi uz Eiropas domu atstāja arī 1649. gadā izdotais pēdējais Dekarta filozofiskais darbs "Dvēseles kaislības", tajā pašā gadā pēc Zviedrijas karalienes Kristīnas aicinājuma Dekarts devās uz Zviedriju. Bargais klimats un neparastais režīms (karaliene piespieda Dekartu celties pulksten 5 no rīta, lai dotu viņai nodarbības un veiktu citus uzdevumus) iedragāja Dekarta veselību, un viņš, saaukstējies.

nomira no pneimonijas.

Saskaņā ar Dekarta ieviesto tradīciju punkta "platuma grādu" apzīmē ar burtu x, "garumu" - ar burtu y.

Šīs sistēmas pamatā ir daudzi veidi, kā norādīt vietu.

Piemēram, uz kinoteātra biļetes ir divi cipari: rinda un vieta – tos var uzskatīt par sēdvietas koordinātām zālē.

Līdzīgas koordinātas tiek pieņemtas šahā. Viena no skaitļiem vietā tiek ņemts burts: vertikālās šūnu rindas tiek apzīmētas ar latīņu alfabēta burtiem, bet horizontālās rindas ar cipariem. Tādējādi katrai šaha galdiņa šūnai tiek piešķirts burtu un ciparu pāris, un šahisti iegūst iespēju pierakstīt savas partijas. Konstantīns Simonovs raksta par koordinātu izmantošanu dzejolī "Artilērista dēls".

Visu nakti staigāju kā ar svārstu

Majors neaizvēra acis,

Kamēr radio no rīta

Atnāca pirmais signāls:

"Tas ir labi, sapratu,

Vācieši mani pameta

Koordinātas (3;10),

Drīzāk iesim!

Ieroči bija pielādēti

Majors visu aprēķināja pats.

Un ar rūkoņu pirmās zalves

Viņi skāra kalnus.

Un atkal signāls radio:

"Vācieši mani taisno,

Koordinātas (5; 10),

Vairāk uguns!

Zeme un akmeņi lidoja

Pacēlās dūmu stabs.

Likās, ka tagad no turienes

Neviens neizkļūst dzīvs.

Trešais signāls radio:

"Vācieši man apkārt,

Koordinātas (4; 10),

Netaupiet uguni.

Majors nobālēja, kad dzirdēja:

(4;10) - tikai

Vieta, kur viņa Lionka

Tagad jāsēž.

Konstantīns Simonovs "Artilērijas dēls"

§2. Leģendas par koordinātu sistēmas izgudrošanu

Ir vairākas leģendas par koordinātu sistēmas izgudrošanu, kas nes Dekarta vārdu.

Leģenda 1

Šāds stāsts ir nonācis līdz mūsu laikam.

Viesojoties Parīzes teātros, Dekarts nenogura būt pārsteigts par apjukumu, strīdiem un reizēm arī izaicinājumiem duelim, ko izraisīja elementāras skatītāju sadales kārtības trūkums skatītāju zālē. Viņa piedāvātā numerācijas sistēma, kurā katra vieta saņēma rindas numuru un sērijas numuru no malas, nekavējoties novērsa visus strīdus iemeslus un izraisīja Parīzes augstāko sabiedrību.

Leģenda 2. Reiz Renē Dekarts visu dienu gulēja gultā, par kaut ko domādams, un apkārt zumēja muša un neļāva viņam koncentrēties. Viņš sāka domāt, kā matemātiski aprakstīt mušas stāvokli jebkurā brīdī, lai varētu to nocirst bez garām. Un ... nāca klajā ar Dekarta koordinātas, vienu no lielākajiem izgudrojumiem cilvēces vēsturē.

Markovcevs Ju.

Reiz nepazīstamā pilsētā

Ieradās jaunais Dekarts.

Viņš bija šausmīgi izsalcis.

Tas bija vēss marta mēnesis.

Nolēma vērsties pie kāda garāmgājēja

Dekarts, cenšoties nomierināt trīci:

Kur ir viesnīca, lūdzu?

Un dāma sāka skaidrot:

- Iet uz pienotavu

Tad uz maiznīcu, aiz tās

Čigāns pārdod piespraudes

Un inde žurkām un pelēm,

Noteikti atrodiet tos

Sieri, cepumi, augļi

Un krāsaini zīdi...

Es klausījos visos šajos skaidrojumos

Dekarts, drebuļi no aukstuma.

Viņš ļoti gribēja ēst

- Aiz veikaliem ir aptieka

(tur farmaceits ir ūsains zviedrs),

Un baznīca, kur gadsimta sākumā

Precējies, šķiet, mans vectēvs ...

Kad kundze uz mirkli apklusa,

Pēkšņi viņas kalps sacīja:

- Ejiet trīs kvartālus taisni

Un divi pa labi. Ieeja no stūra.

Šī ir trešā garā pasaka par notikumu, kas Dekartam radīja ideju par koordinātēm.

Secinājums

Veidojot savu projektu, uzzinājām par koordinātu plaknes izmantošanu dažādās zinātnes jomās un sadzīvē, kādu informāciju no koordinātu plaknes rašanās vēstures un matemātiķiem, kas devuši lielu ieguldījumu šī izgudrojuma tapšanā. Materiālu, ko esam savākuši darba rakstīšanas gaitā, var izmantot klasē kā papildus materiālu nodarbībām. Tas viss var ieinteresēt skolēnus un paspilgtināt mācību procesu.

Un mēs vēlētos beigt ar šiem vārdiem:

“Iedomājieties savu dzīvi kā koordinātu plakni. Y ass ir jūsu pozīcija sabiedrībā. X ass virzās uz priekšu, uz mērķi, uz jūsu sapni. Un, kā mēs zinām, tas ir bezgalīgi... mēs varam nokrist, arvien dziļāk ieejot mīnusā, mēs varam palikt uz nulles un nedarīt neko, absolūti neko. Mēs varam piecelties, mēs varam nokrist, mēs varam iet uz priekšu vai atgriezties, un tas viss tāpēc, ka visa mūsu dzīve ir koordinātu plakne, un šeit vissvarīgākais ir tas, kāda ir jūsu koordināte ... "

Bibliogrāfija

Glazer G.I. Matemātikas vēsture skolā: - M.: Izglītība, 1981. - 239 lpp., ill.

Ljatkers Ja. A. Dekarts. M .: Doma, 1975. - (Pagātnes domātāji)

Matvievskaja G. P. Renē Dekarts, 1596-1650. Maskava: Nauka, 1976.

A. Savins. Koordinātas Kvants. 1977. 9.nr

Matemātika - laikraksta "Pirmais septembris" pielikums, Nr.7, Nr.20, Nr.17, 2003, Nr.11, 2000.

Siegel F.Yu. Zvaigžņu alfabēts: ceļvedis studentiem. - M.: Apgaismība, 1981. - 191 lpp., Illus.

Stīvs Pārkers, Nikolass Heriss. Ilustrēta enciklopēdija bērniem. Visuma noslēpumi. Harkova Belgoroda. 2008. gads

Materiāli no vietnes http://istina.rin.ru/

Šīs video nodarbības tēma: Koordinātu plakne.

Nodarbības mērķi un uzdevumi:

Pazīstams ar taisnstūra koordinātu sistēma plaknē
- iemācīties brīvi orientēties koordinātu plaknē
- veidot punktus atbilstoši tai dotajām koordinātām
- noteikt koordinātu plaknē atzīmēta punkta koordinātas
- labi uztver koordinātas pēc auss
- precīzi un precīzi veikt ģeometriskās konstrukcijas
- radošo spēju attīstība
- intereses celšana par tēmu

Termiņš " koordinātas"Atvasināts no latīņu vārda -" pasūtīts "

Lai norādītu punkta atrašanās vietu plaknē, tiek ņemtas divas perpendikulāras līnijas X un Y.

X ass — abscisa
Y ass y ass
Punkts O - izcelsme

Tiek izsaukta plakne, kurā norādīta koordinātu sistēma koordinātu plakne.

Katrs punkts M koordinātu plaknē atbilst skaitļu pārim: tā abscisei un ordinātai. Gluži pretēji, katrs skaitļu pāris atbilst vienam plaknes punktam, kuram šie skaitļi ir koordinātes.

Apskatītie piemēri:

• konstruējot punktu pēc tā koordinātām
• koordinātu plaknē izvietota punkta koordinātu atrašana

Daža papildu informācija:

Ideja noteikt punkta stāvokli plaknē radās senatnē - galvenokārt astronomu vidū. II gadsimtā. Sengrieķu astronoms Klaudijs Ptolemajs kā koordinātas izmantoja platumu un garumu. Koordinātu izmantošanas apraksts sniegts grāmatā "Ģeometrija" 1637. gadā.

Koordinātu lietojuma aprakstu grāmatā "Ģeometrija" 1637. gadā sniedza franču matemātiķis Renē Dekarts, tāpēc taisnstūrveida koordinātu sistēmu mēdz dēvēt par Dekartu.

Vārdi " abscisa», « ordinātas», « koordinātas» pirmo reizi sāka lietot XVII beigās.

Lai labāk izprastu koordinātu plakni, iedomāsimies, ka mums ir dots: ģeogrāfiskais globuss, šaha galds, teātra biļete.

Lai noteiktu punkta atrašanās vietu uz zemes virsmas, jums jāzina garums un platums.
Lai noteiktu figūras pozīciju uz šaha galdiņa, jāzina divas koordinātas, piemēram: e3.
Sēdvietas auditorijā tiek noteiktas pēc divām koordinātēm: rinda un sēdeklis.

Papildu uzdevums.

Pēc video nodarbības apguves, lai nostiprinātu materiālu, iesaku paņemt kastē pildspalvu un papīru, uzzīmēt koordinātu plakni un veidot figūras pēc dotajām koordinātām:

Sēnīte
1) (6; 0), (6; 2), (5; 1,5), (4; 3), (2; 1), (0; 2,5), (- 1,5; 1,5), (- 2; 5), (- 3; 0,5), (- 4; 2), (- 4; 0).
2) (2; 1), (2,2; 2), (2,3; 4), (2,5; 6), (2,3; 8), (2; 10), (6; 10), (4,8; 12), (3; 13,3), (1; 14),
(0; 14), (- 2; 13,3), (- 3,8; 12), (- 5; 10), (2; 10).
3) (- 1; 10), (- 1,3; 8), (- 1,5; 6), (- 1,2; 4), (- 0,8;2).
mazā pele 1) (3; - 4), (3; - 1), (2; 3), (2; 5), (3; 6), (3; 8), (2; 9), (1; 9), (- 1; 7), (- 1; 6),
(- 4; 4), (- 2; 3), (- 1; 3), (- 1; 1), (- 2; 1), (-2; - 1), (- 1; 0), (- 1; - 4), (- 2; - 4),
(- 2; - 6), (- 3; - 6), (- 3; - 7), (- 1; - 7), (- 1; - 5), (1; - 5), (1; - 6), (3; - 6), (3; - 7),
(4; - 7), (4; - 5), (2; - 5), (3; - 4).
2) Aste: (3; - 3), (5; - 3), (5; 3).
3) Acs: (- 1; 5).
Gulbis
1) (2; 7), (0; 5), (- 2; 7), (0; 8), (2; 7), (- 4; - 3), (4; 0), (11; - 2), (9; - 2), (11; - 3),
(9; - 3), (5; - 7), (- 4; - 3).
2) Knābis: (- 4; 8), (- 2; 7), (- 4; 6).
3) Spārns: (1; - 3), (4; - 2), (7; - 3), (4; - 5), (1; - 3).
4) Acs: (0; 7).
Kamielis
1) (- 9; 6), (- 5; 9), (- 5; 10), (- 4; 10), (- 4; 4), (- 3; 4), (0; 7), (2; 4), (4; 7), (7; 4),
(9; 3), (9; 1), (8; - 1), (8; 1), (7; 1), (7; - 7), (6; - 7), (6; - 2), (4; - 1), (- 5; - 1), (- 5; - 7),
(- 6; - 7), (- 6; 5), (- 7;5), (- 8; 4), (- 9; 4), (- 9; 6).
2) Acs: (- 6; 7).
Zilonis
1) (2; - 3), (2; - 2), (4; - 2), (4; - 1), (3; 1), (2; 1), (1; 2), (0; 0), (- 3; 2), (- 4; 5),
(0; 8), (2; 7), (6; 7), (8; 8), (10; 6), (10; 2), (7; 0), (6; 2), (6; - 2), (5; - 3), (2; - 3).
2) (4; - 3), (4; - 5), (3; - 9), (0; - 8), (1; - 5), (1; - 4), (0; - 4), (0; - 9), (- 3; - 9),
(- 3; - 3), (- 7; - 3), (- 7; - 7), (- 8; - 7), (- 8; - 8), (- 11; - 8), (- 10; - 4), (- 11; - 1),
(- 14; - 3), (- 12; - 1), (- 11;2), (- 8;4), (- 4;5).
3) Acis: (2; 4), (6; 4).
Zirgs
1) (14; - 3), (6,5; 0), (4; 7), (2; 9), (3; 11), (3; 13), (0; 10), (- 2; 10), (- 8; 5,5),
(- 8; 3), (- 7; 2), (- 5; 3), (- 5; 4,5), (0; 4), (- 2; 0), (- 2; - 3), (- 5; - 1), (- 7; - 2),
(- 5; - 10), (- 2; - 11), (- 2; - 8,5), (- 4; - 8), (- 4; - 4), (0; - 7,5), (3; - 5).
2) Acs: (- 2; 7).