Funkcija y=sinx, tās galvenās īpašības un grafiks. Funkcijas y = sin x, y = cos x, to īpašības un grafiki - Zināšanu hipermārkets Funkcijas y grafiks ir vienāds ar sinusu x

"Joshkar-Ola pakalpojumu tehnoloģiju koledža"

Trigonometriskās funkcijas y=sinx grafika konstruēšana un izpēte izklājlapāJAUNKUNDZE Excel

/metodiskā izstrāde/

Joškars - Ola

Priekšmets. Trigonometriskās funkcijas grafika konstruēšana un izpētey = sinx MS Excel izklājlapā

Nodarbības veids- integrēta (jaunu zināšanu iegūšana)

Mērķi:

Didaktiskais mērķis - izpētīt trigonometrisko funkciju grafiku uzvedībuy= sinxatkarībā no izredzēm, izmantojot datoru

Izglītojoši:

1. Noskaidrot trigonometriskās funkcijas grafika izmaiņas y= grēks x atkarībā no izredzēm

2. Parādīt datortehnoloģiju ieviešanu matemātikas mācīšanā, divu priekšmetu integrāciju: algebru un informātiku.

3. Attīstīt iemaņas datortehnoloģiju lietošanā matemātikas stundās

4. Nostiprināt iemaņas funkciju pētīšanā un to grafiku konstruēšanā

Izglītojoši:

1. Attīstīt studentu izziņas interesi par akadēmiskajām disciplīnām un spēju pielietot zināšanas praktiskās situācijās

2. Attīstīt spēju analizēt, salīdzināt, izcelt galveno

3. Veicināt vispārējā skolēnu attīstības līmeņa uzlabošanos

Izglītojot :

1. Veiciniet neatkarību, precizitāti un smagu darbu

2. Veicināt dialoga kultūru

Darba formas nodarbībā - apvienots

Didaktiskās telpas un aprīkojums:

1. Datori

2. Multivides projektors

4. Izdales materiāli

5. Prezentāciju slaidi

Nodarbību laikā

es. Nodarbības sākuma organizācija

· Studentu un viesu sveikšana

· Noskaņojums nodarbībai

II. Mērķu noteikšana un tēmas aktualizēšana

Funkcijas izpēte un tās grafika izveidošana prasa daudz laika, ir jāveic daudz apgrūtinošu aprēķinu, tas nav ērti, palīgā nāk datortehnoloģijas.

Šodien mēs iemācīsimies veidot trigonometrisko funkciju grafikus MS Excel 2007 izklājlapu vidē.

Mūsu nodarbības tēma ir “Trigonometriskās funkcijas grafika konstruēšana un izpēte y= sinx galda procesorā"

No algebras kursa mēs zinām shēmas funkcijas izpētei un tās grafika konstruēšanai. Atcerēsimies, kā to izdarīt.

2. slaids

Funkciju izpētes shēma

1. Funkcijas domēns (D(f))

2. Funkcijas E(f) diapazons

3. Paritātes noteikšana

4. Biežums

5. Funkcijas nulles (y=0)

6. Pastāvīgās zīmes intervāli (y>0, y<0)

7. Vienmuļības periodi

8. Funkcijas ekstrēma

III. Jauna mācību materiāla primārā asimilācija

Atveriet programmu MS Excel 2007.

Uzzīmēsim funkciju y=sin x

Grafiku veidošana izklājlapu procesorāJAUNKUNDZE Excel 2007

Mēs attēlosim šīs funkcijas grafiku segmentā xЄ [-2π; 2π]

Argumentu vērtības ņemsim ar soli , lai grafiks būtu precīzāks.

Tā kā redaktors strādā ar skaitļiem, pārveidosim radiānus skaitļos, to zinot P ≈ 3,14 . (tulkojuma tabula izdales materiālā).

1. Atrodiet funkcijas vērtību punktā x=-2P. Pārējā daļā redaktors automātiski aprēķina atbilstošās funkciju vērtības.

2. Tagad mums ir tabula ar argumenta un funkcijas vērtībām. Izmantojot šos datus, šī funkcija ir jāatzīmē, izmantojot diagrammas vedni.

3. Lai izveidotu grafiku, ir jāizvēlas nepieciešamais datu diapazons, līnijas ar argumentu un funkciju vērtībām

4..jpg" width="667" height="236 src=">

Secinājumus pierakstām piezīmju grāmatiņā (5. slaids)

Secinājums. Funkcijas grafiks formā y=sinx+k tiek iegūts no funkcijas y=sinx grafika, izmantojot paralēlo translāciju pa op-amp asi par k vienībām.

Ja k >0, tad grafiks nobīdās uz augšu par k vienībām

Ja k<0, то график смещается вниз на k единиц

Formas funkcijas konstruēšana un izpētey=k*sinx,k- konst

2. uzdevums. Darbā 2. lapa uzzīmēt funkciju grafikus vienā koordinātu sistēmā y= sinx y=2* sinx, y= * sinx, uz intervāla (-2π; 2π) un vērojiet, kā mainās grafika izskats.

(Lai atkārtoti netiktu iestatīta argumenta vērtība, kopēsim esošās vērtības. Tagad jums ir jāiestata formula un jāizveido grafiks, izmantojot iegūto tabulu.)

Mēs salīdzinām iegūtos grafikus. Kopā ar studentiem mēs analizējam trigonometriskās funkcijas grafika uzvedību atkarībā no koeficientiem. (6. slaids)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif" width="16" height="41 src=">x , uz intervāla (-2π; 2π) un vērojiet, kā mainās grafika izskats.

Mēs salīdzinām iegūtos grafikus. Kopā ar studentiem mēs analizējam trigonometriskās funkcijas grafika uzvedību atkarībā no koeficientiem. (8. slaids)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg" width="649" height="281 src=">

Secinājumus pierakstām piezīmju grāmatiņā (11. slaids)

Secinājums. Funkcijas grafiks formā y=sin(x+k) tiek iegūts no funkcijas y=sinx grafika, izmantojot paralēlo translāciju pa OX asi ar k vienībām

Ja k >1, tad grafiks nobīdās pa labi pa OX asi

Ja 0

IV. Iegūto zināšanu primārā nostiprināšana

Diferencētas kartes ar uzdevumu konstruēt un pētīt funkciju, izmantojot grafiku

V. Mājas darbu organizēšana

Uzzīmējiet funkcijas y=-2*sinх+1 grafiku, pārbaudiet un pārbaudiet konstrukcijas pareizību Microsoft Excel izklājlapu vidē. (12. slaids)

VI. Atspulgs

Šajā nodarbībā detalizēti aplūkosim funkciju y = sin x, tās pamatīpašības un grafiku. Nodarbības sākumā dosim trigonometriskās funkcijas y = sin t definīciju uz koordinātu apļa un aplūkosim funkcijas grafiku uz apļa un taisnes. Parādīsim šīs funkcijas periodiskumu grafikā un apsvērsim funkcijas galvenās īpašības. Nodarbības beigās risināsim vairākas vienkāršas problēmas, izmantojot funkcijas grafiku un tās īpašības.

Tēma: Trigonometriskās funkcijas

Nodarbība: Funkcija y=sinx, tās pamatīpašības un grafiks

Apsverot funkciju, ir svarīgi katru argumenta vērtību saistīt ar vienu funkcijas vērtību. Šis korespondences likums un to sauc par funkciju.

Definēsim korespondences likumu priekš .

Jebkurš reāls skaitlis atbilst vienam punktam uz vienības apļa. Punktam ir viena ordināta, ko sauc par skaitļa sinusu (1. att.).

Katra argumenta vērtība ir saistīta ar vienu funkcijas vērtību.

Acīmredzamas īpašības izriet no sinusa definīcijas.

Attēlā redzams, ka jo ir vienības riņķa punkta ordināta.

Apsveriet funkcijas grafiku. Atcerēsimies argumenta ģeometrisko interpretāciju. Arguments ir centrālais leņķis, ko mēra radiānos. Gar asi mēs attēlosim reālos skaitļus vai leņķus radiānos, pa asi - atbilstošās funkcijas vērtības.

Piemēram, leņķis uz vienības apļa atbilst punktam grafikā (2. att.)

Mēs esam ieguvuši funkcijas grafiku apgabalā. Bet, zinot sinusa periodu, mēs varam attēlot funkcijas grafiku visā definīcijas jomā (3. att.).

Funkcijas galvenais periods ir Tas nozīmē, ka grafiku var iegūt segmentā un pēc tam turpināt visā definīcijas jomā.

Apsveriet funkcijas īpašības:

1) Definīcijas darbības joma:

2) Vērtību diapazons:

3) nepāra funkcija:

4) Mazākais pozitīvais periods:

5) Grafika un abscisu asi krustošanās punktu koordinātas:

6) Grafika un ordinātu asi krustošanās punkta koordinātas:

7) Intervāli, kuros funkcija iegūst pozitīvas vērtības:

8) Intervāli, kuros funkcija iegūst negatīvas vērtības:

9) Intervālu palielināšana:

10) Samazinoši intervāli:

11) Minimālais punktu skaits:

12) Minimālās funkcijas:

13) Maksimālais punktu skaits:

14) Maksimālās funkcijas:

Mēs apskatījām funkcijas īpašības un tās grafiku. Rekvizīti tiks izmantoti atkārtoti, risinot problēmas.

Bibliogrāfija

1. Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm (profila līmenis), izd. A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Problēmu grāmata izglītības iestādēm (profila līmenis), red. A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra un matemātiskā analīze 10. klasei (mācību grāmata skolu un klašu skolēniem ar padziļinātu matemātikas apguvi - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Padziļināta algebras un matemātiskās analīzes izpēte.-M.: Izglītība, 1997.g.

5. Matemātikas uzdevumu krājums reflektantiem uz augstskolām (M.I. Skanavi redakcija - M.: Augstskola, 1992).

6. Merzļaks A.G., Polonskis V.B., Jakirs M.S. Algebriskais simulators.-K.: A.S.K., 1997.g.

7. Sahakjans S.M., Goldmens A.M., Deņisovs D.V. Problēmas par algebru un analīzes principiem (rokasgrāmata vispārējās izglītības iestāžu 10.-11. klašu skolēniem - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karps A.P. Problēmu krājums par algebru un analīzes principiem: mācību grāmata. pabalsts 10-11 klasēm. ar dziļumu pētīta Matemātika.-M.: Izglītība, 2006.g.

Mājasdarbs

Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Problēmu grāmata izglītības iestādēm (profila līmenis), red.

A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Papildu tīmekļa resursi

3. Izglītības portāls eksāmenu sagatavošanai ().

Kā attēlot funkcijas y=sin x grafiku? Vispirms apskatīsim intervāla sinusa grafiku.

Mēs piezīmjdatorā ņemam vienu segmentu 2 šūnu garumā. Uz Oy ass atzīmējam vienu.

Ērtības labad mēs noapaļojam skaitli π/2 līdz 1,5 (un nevis līdz 1,6, kā to nosaka noapaļošanas noteikumi). Šajā gadījumā segments ar garumu π/2 atbilst 3 šūnām.

Uz Vērša ass mēs atzīmējam nevis atsevišķus segmentus, bet segmentus ar garumu π/2 (ik pēc 3 šūnām). Attiecīgi segments ar garumu π atbilst 6 šūnām, un segments ar garumu π/6 atbilst 1 šūnai.

Izvēloties vienību segmentu, grafiks, kas attēlots uz piezīmju grāmatiņas lodziņā, visvairāk atbilst funkcijas y=sin x grafikam.

Izveidosim intervāla sinusa vērtību tabulu:

Iegūtos punktus atzīmējam koordinātu plaknē:

Tā kā y=sin x ir nepāra funkcija, sinusa grafiks ir simetrisks attiecībā pret sākuma punktu - punktu O(0;0). Ņemot vērā šo faktu, mēs turpinām zīmēt grafiku pa kreisi, pēc tam punktus -π:

Funkcija y=sin x ir periodiska ar periodu T=2π. Tāpēc funkcijas grafiks, kas uzņemts intervālā [-π;π], tiek atkārtots bezgalīgi daudz reižu pa labi un pa kreisi.

Šajā nodarbībā detalizēti aplūkosim funkciju y = sin x, tās pamatīpašības un grafiku. Nodarbības sākumā dosim trigonometriskās funkcijas y = sin t definīciju uz koordinātu apļa un aplūkosim funkcijas grafiku uz apļa un taisnes. Parādīsim šīs funkcijas periodiskumu grafikā un apsvērsim funkcijas galvenās īpašības. Nodarbības beigās risināsim vairākas vienkāršas problēmas, izmantojot funkcijas grafiku un tās īpašības.

Tēma: Trigonometriskās funkcijas

Nodarbība: Funkcija y=sinx, tās pamatīpašības un grafiks

Apsverot funkciju, ir svarīgi katru argumenta vērtību saistīt ar vienu funkcijas vērtību. Šis korespondences likums un to sauc par funkciju.

Definēsim korespondences likumu priekš .

Jebkurš reāls skaitlis atbilst vienam punktam uz vienības apļa. Punktam ir viena ordināta, ko sauc par skaitļa sinusu (1. att.).

Katra argumenta vērtība ir saistīta ar vienu funkcijas vērtību.

Acīmredzamas īpašības izriet no sinusa definīcijas.

Attēlā redzams, ka jo ir vienības riņķa punkta ordināta.

Apsveriet funkcijas grafiku. Atcerēsimies argumenta ģeometrisko interpretāciju. Arguments ir centrālais leņķis, ko mēra radiānos. Gar asi mēs attēlosim reālos skaitļus vai leņķus radiānos, pa asi - atbilstošās funkcijas vērtības.

Piemēram, leņķis uz vienības apļa atbilst punktam grafikā (2. att.)

Mēs esam ieguvuši funkcijas grafiku apgabalā. Bet, zinot sinusa periodu, mēs varam attēlot funkcijas grafiku visā definīcijas jomā (3. att.).

Funkcijas galvenais periods ir Tas nozīmē, ka grafiku var iegūt segmentā un pēc tam turpināt visā definīcijas jomā.

Apsveriet funkcijas īpašības:

1) Definīcijas darbības joma:

2) Vērtību diapazons:

3) nepāra funkcija:

4) Mazākais pozitīvais periods:

5) Grafika un abscisu asi krustošanās punktu koordinātas:

6) Grafika un ordinātu asi krustošanās punkta koordinātas:

7) Intervāli, kuros funkcija iegūst pozitīvas vērtības:

8) Intervāli, kuros funkcija iegūst negatīvas vērtības:

9) Intervālu palielināšana:

10) Samazinoši intervāli:

11) Minimālais punktu skaits:

12) Minimālās funkcijas:

13) Maksimālais punktu skaits:

14) Maksimālās funkcijas:

Mēs apskatījām funkcijas īpašības un tās grafiku. Rekvizīti tiks izmantoti atkārtoti, risinot problēmas.

Bibliogrāfija

1. Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm (profila līmenis), izd. A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Problēmu grāmata izglītības iestādēm (profila līmenis), red. A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra un matemātiskā analīze 10. klasei (mācību grāmata skolu un klašu skolēniem ar padziļinātu matemātikas apguvi - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Padziļināta algebras un matemātiskās analīzes izpēte.-M.: Izglītība, 1997.g.

5. Matemātikas uzdevumu krājums reflektantiem uz augstskolām (M.I. Skanavi redakcija - M.: Augstskola, 1992).

6. Merzļaks A.G., Polonskis V.B., Jakirs M.S. Algebriskais simulators.-K.: A.S.K., 1997.g.

7. Sahakjans S.M., Goldmens A.M., Deņisovs D.V. Problēmas par algebru un analīzes principiem (rokasgrāmata vispārējās izglītības iestāžu 10.-11. klašu skolēniem - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karps A.P. Problēmu krājums par algebru un analīzes principiem: mācību grāmata. pabalsts 10-11 klasēm. ar dziļumu pētīta Matemātika.-M.: Izglītība, 2006.g.

Mājasdarbs

Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Problēmu grāmata izglītības iestādēm (profila līmenis), red.

A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Papildu tīmekļa resursi

3. Izglītības portāls eksāmenu sagatavošanai ().

Mēs noskaidrojām, ka trigonometrisko funkciju uzvedība un funkcijas y = grēks x it īpaši, visā skaitļu rindā (vai visām argumenta vērtībām X) pilnībā nosaka tā uzvedība intervālā 0 < X < π / 2 .

Tāpēc, pirmkārt, mēs attēlosim funkciju y = grēks x tieši šajā intervālā.

Izveidosim šādu mūsu funkcijas vērtību tabulu;

Atzīmējot atbilstošos punktus koordinātu plaknē un savienojot tos ar gludu līniju, iegūstam attēlā redzamo līkni

Iegūto līkni var izveidot arī ģeometriski, nesastādot funkciju vērtību tabulu y = grēks x .

1. Apļa ar rādiusu 1 pirmo ceturtdaļu sadaliet 8 vienādās daļās Apļa dalīšanas punktu ordinātas ir atbilstošo leņķu sinusi.

2.Apļa pirmā ceturtdaļa atbilst leņķiem no 0 līdz π / 2 . Tāpēc uz ass XŅemsim segmentu un sadalīsim to 8 vienādās daļās.

3. Zīmēsim taisnas līnijas paralēli asīm X, un no dalīšanas punktiem veidojam perpendikulu, līdz tie krustojas ar horizontālām līnijām.

4. Savienojiet krustojuma punktus ar gludu līniju.

Tagad apskatīsim intervālu π / 2 < X < π .
Katra argumenta vērtība X no šī intervāla var attēlot kā

x = π / 2 + φ

Kur 0 < φ < π / 2 . Pēc samazināšanas formulām

grēks ( π / 2 + φ ) = cos φ = grēks ( π / 2 - φ ).

Asu punkti X ar abscisēm π / 2 + φ Un π / 2 - φ simetriski viens otram ap ass punktu X ar abscisu π / 2 , un sinusi šajos punktos ir vienādi. Tas ļauj iegūt funkcijas grafiku y = grēks x intervālā [ π / 2 , π ], vienkārši simetriski attēlojot šīs funkcijas grafiku intervālā attiecībā pret taisni X = π / 2 .

Tagad izmanto īpašumu nepāra paritātes funkcija y = grēks x,

grēks (- X) = - grēks X,

šo funkciju ir viegli attēlot intervālā [- π , 0].

Funkcija y = sin x ir periodiska ar periodu 2π ;. Tāpēc, lai izveidotu visu šīs funkcijas grafiku, pietiek periodiski turpināt attēlā parādīto līkni pa kreisi un pa labi ar punktu 2π .

Iegūto līkni sauc sinusoidāls . Tas attēlo funkcijas grafiku y = grēks x.

Attēlā labi parādītas visas funkcijas īpašības y = grēks x , ko mēs esam pierādījuši iepriekš. Atcerēsimies šīs īpašības.

1) Funkcija y = grēks x definēts visām vērtībām X , tāpēc tā domēns ir visu reālo skaitļu kopa.

2) Funkcija y = grēks x ierobežots. Visas vērtības, ko tas pieņem, ir no -1 līdz 1, ieskaitot šos divus skaitļus. Līdz ar to šīs funkcijas variācijas diapazonu nosaka nevienādība -1 < plkst < 1. Kad X = π / 2 + 2k π funkcija ņem lielākās vērtības, kas vienādas ar 1, un x = - π / 2 + 2k π - mazākās vērtības ir vienādas ar - 1.

3) Funkcija y = grēks x ir nepāra (sinusoidālais vilnis ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi).

4) Funkcija y = grēks x periodisks ar 2. periodu π .

5) 2n intervālos π < x < π + 2n π (n ir jebkurš vesels skaitlis) tas ir pozitīvs un intervālos π + 2k π < X < 2π + 2k π (k ir jebkurš vesels skaitlis) tas ir negatīvs. Pie x = k π funkcija iet uz nulli. Tāpēc šīs argumenta x vērtības (0; ± π ; ±2 π ; ...) sauc par funkcijas nullēm y = grēks x

6) Ar intervālu - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funkciju y = grēks x palielinās monotoni un ar intervāliem π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π tas monotoni samazinās.

Īpaša uzmanība jāpievērš funkcijas darbībai y = grēks x punkta tuvumā X = 0 .

Piemēram, grēks 0,012 ≈ 0,012; grēks (-0,05) ≈ -0,05;

sin 2° = grēks π 2 / 180 = grēks π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Tajā pašā laikā jāatzīmē, ka jebkurai x vērtībai

| grēks x| < | x | . (1)

Patiešām, lai attēlā parādītā apļa rādiuss būtu vienāds ar 1,
a / AOB = X.

Tad grēks x= AC. Bet AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Šī loka garums acīmredzami ir vienāds ar X, jo apļa rādiuss ir 1. Tātad pie 0< X < π / 2

grēks x< х.

Tādējādi funkcijas dīvainības dēļ y = grēks x ir viegli parādīt, ka tad, kad - π / 2 < X < 0

| grēks x| < | x | .

Visbeidzot, kad x = 0

| grēks x | = | x |.

Tādējādi par | X | < π / 2 ir pierādīta nevienlīdzība (1). Faktiski šī nevienlīdzība attiecas arī uz | x | > π / 2 sakarā ar to, ka | grēks X | < 1, a π / 2 > 1

Vingrinājumi

1.Pēc funkcijas grafika y = grēks x noteikt: a) grēks 2; b) grēks 4; c) grēks (-3).

2.Saskaņā ar funkciju grafiku y = grēks x noteikt, kurš skaitlis no intervāla
[ - π / 2 , π / 2 ] ir sinuss, kas vienāds ar: a) 0,6; b) -0,8.

3. Saskaņā ar funkcijas grafiku y = grēks x noteikt, kuriem skaitļiem ir sinuss,
vienāds ar 1/2.

4. Atrodiet aptuveni (neizmantojot tabulas): a) sin 1°; b) grēks 0,03;
c) grēks (-0,015); d) grēks (-2°30").