Ja 2 ir paralēli. Paralēlas līnijas, zīmes un nosacījumi paralēlām līnijām

Divu taisnes paralēlisma pazīmes

1. teorēma. Ja divām taisnēm krustojas ar sekantu:

šķērsotie leņķi ir vienādi vai

attiecīgie leņķi ir vienādi, vai

vienpusējo leņķu summa ir 180°, tad

līnijas ir paralēlas(1. att.).

Pierādījums. Mēs aprobežojamies ar 1. gadījuma pierādīšanu.

Lai krustojošās taisnes a un b ir šķērsām un leņķi AB ir vienādi. Piemēram, ∠ 4 = ∠ 6. Pierādīsim, ka a || b.

Pieņemsim, ka taisnes a un b nav paralēlas. Tad tie krustojas kādā punktā M, un tāpēc viens no leņķiem 4 vai 6 būs trijstūra ABM ārējais leņķis. Noteiktības labad pieņemsim, ka ∠ 4 ir trijstūra ABM ārējais leņķis, bet ∠ 6 – iekšējais leņķis. No teorēmas par trijstūra ārējo leņķi izriet, ka ∠ 4 ir lielāks par ∠ 6, un tas ir pretrunā ar nosacījumu, kas nozīmē, ka taisnes a un 6 nevar krustoties, tāpēc tās ir paralēlas.

Secinājums 1. Divas dažādas taisnes plaknē, kas ir perpendikulāra vienai un tai pašai taisnei, ir paralēlas(2. att.).

komentēt. Veids, kā mēs tikko pierādījām 1. teorēmas 1. gadījumu, tiek saukts par pierādīšanas metodi ar pretrunu vai redukciju līdz absurdam. Šī metode saņēma savu pirmo nosaukumu, jo argumenta sākumā tiek izteikts pieņēmums, kas ir pretējs (pretējs) tam, kas ir jāpierāda. To sauc par novedšanu pie absurda tāpēc, ka, spriežot, pamatojoties uz izdarīto pieņēmumu, mēs nonākam pie absurda secinājuma (līdz absurdam). Šāda secinājuma saņemšana liek noraidīt sākumā izteikto pieņēmumu un pieņemt to, kas bija jāpierāda.

1. uzdevums. Izveidojiet taisni, kas iet caur doto punktu M un paralēli noteiktai taisnei a, nevis iet caur punktu M.

Risinājums. Caur punktu M velkam taisni p, kas ir perpendikulāra taisnei a (3. att.).

Tad caur punktu M novelkam taisni b, kas ir perpendikulāra taisnei p. Taisne b ir paralēla taisnei a saskaņā ar 1. teorēmas secinājumu.

No aplūkotās problēmas izriet svarīgs secinājums:
caur punktu, kas neatrodas uz noteiktas taisnes, vienmēr ir iespējams novilkt taisni paralēli dotajai.

Paralēlo līniju galvenā īpašība ir šāda.

Paralēlu līniju aksioma. Caur doto punktu, kas neatrodas uz noteiktas taisnes, iet tikai viena taisne, kas ir paralēla dotajai.

Apskatīsim dažas paralēlu līniju īpašības, kas izriet no šīs aksiomas.

1) Ja taisne krusto vienu no divām paralēlām taisnēm, tad tā krusto arī otru (4. att.).

2) Ja divas dažādas taisnes ir paralēlas trešajai taisnei, tad tās ir paralēlas (5. att.).

Pareiza ir arī sekojošā teorēma.

2. teorēma. Ja divas paralēlas taisnes krustojas ar šķērsvirzienu, tad:

šķērsām leņķi ir vienādi;

attiecīgie leņķi ir vienādi;

vienpusējo leņķu summa ir 180°.

Secinājums 2. Ja taisne ir perpendikulāra vienai no divām paralēlām taisnēm, tad tā ir perpendikulāra arī otrai(skat. 2. att.).

komentēt. 2. teorēmu sauc par 1. teorēmas apgriezto. 1. teorēmas secinājums ir 2. teorēmas nosacījums. Un 1. teorēmas nosacījums ir 2. teorēmas secinājums. Ne katrai teorēmai ir inverss, tas ir, ja dotā teorēma ir taisnība, tad apgrieztā teorēma var būt nepatiesa.

Paskaidrosim to, izmantojot vertikālo leņķu teorēmas piemēru. Šo teorēmu var formulēt šādi: ja divi leņķi ir vertikāli, tad tie ir vienādi. Apgrieztā teorēma būtu: ja divi leņķi ir vienādi, tad tie ir vertikāli. Un tas, protams, nav taisnība. Diviem vienādiem leņķiem nav jābūt vertikāliem.

1. piemērs. Divas paralēlas līnijas šķērso trešā. Ir zināms, ka starpība starp diviem iekšējiem vienpusējiem leņķiem ir 30°. Atrodiet šos leņķus.

Risinājums. Ļaujiet 6. attēlam atbilst nosacījumam.

III NODAĻA.
PARALĒLI TIEŠAIS

§ 38. ATKARĪBA STARP LEĶIEM,
VEIDO DIVAS PARALĒLAS LĪNIJAS UN SEKUNDĀRĀS.

Mēs zinām, ka divas taisnes ir paralēlas, ja, krustojot trešo taisni, attiecīgie leņķi ir vienādi vai iekšējie vai ārējie leņķi, kas atrodas šķērsām, ir vienādi, vai iekšējo, vai ārējo vienpusējo leņķu summa ir vienāda ar 2 d. Pierādīsim, ka arī apgrieztās teorēmas ir patiesas, proti:

Ja divas paralēlas līnijas šķērso trešā, tad:

1) atbilstošie leņķi ir vienādi;
2) iekšējie šķērsleņķi ir vienādi;
3) ārējie šķērsleņķi ir vienādi;
4) iekšējo vienpusējo leņķu summa ir vienāda ar 2 d ;
5) ārējo vienpusējo leņķu summa ir vienāda ar 2 d .

Pierādīsim, piemēram, ja divas paralēlas taisnes krustojas ar trešo taisni, tad attiecīgie leņķi ir vienādi.

Lai taisnes AB un CD ir paralēlas, un MN ir to sekants (202. att.) Pierādīsim, ka attiecīgie leņķi 1 un 2 ir vienādi viens ar otru.

Pieņemsim, ka / 1 un / 2 nav vienādi. Tad punktā O mēs varam konstruēt / SOK, atbilstošs un vienāds / 2 (203. zīmējums).

Bet ja / MOQ = / 2, tad taisne OK būs paralēla CD (§ 35).

Mēs atklājām, ka divas taisnes AB un OK tika novilktas caur punktu O, paralēli taisnei CD. Bet tā nevar būt (37.§).

Mēs nonācām pie pretrunas, jo mēs tā pieņēmām / 1 un / 2 nav vienādi. Tāpēc mūsu pieņēmums ir nepareizs un / 1 jābūt vienādam / 2, t.i., attiecīgie leņķi ir vienādi.

Nosakīsim attiecības starp atlikušajiem leņķiem. Lai taisnes AB un CD ir paralēlas, un MN ir to sekants (204. att.).

Mēs tikko pierādījām, ka šajā gadījumā attiecīgie leņķi ir vienādi. Pieņemsim, ka jebkurām divām no tām ir 119°. Aprēķināsim katra no pārējiem sešiem leņķiem lielumu. Pamatojoties uz blakus esošo un vertikālo leņķu īpašībām, mēs atklājam, ka četriem no astoņiem leņķiem katram būs 119°, bet pārējiem katram būs 61°.

Izrādījās, ka gan iekšējie, gan ārējie šķērsleņķi ir vienādi pa pāriem, un iekšējo vai ārējo vienpusējo leņķu summa ir vienāda ar 180° (vai 2 d).

Tas pats notiks ar jebkuru citu vienādu atbilstošo leņķu vērtību.

Secinājums 1. Ja katra no divām taisnēm AB un CD ir paralēla vienai un tai pašai trešajai taisnei MN, tad pirmās divas taisnes ir paralēlas viena otrai (205. zīmējums).

Faktiski, uzzīmējot sekantu EF (206. att.), mēs iegūstam:
A) / 1 = / 3, kopš AB || MN; b) / 2 = / 3, kopš CO || MN.

nozīmē, / 1 = / 2, un tie ir leņķi, kas atbilst taisnēm AB un CD un sekantam EF, tāpēc taisnes AB un CD ir paralēlas.

Secinājums 2. Ja taisne ir perpendikulāra vienai no divām paralēlām taisnēm, tad tā ir perpendikulāra arī otrai (207. zīmējums).

Patiešām, ja EF _|_ AB, tad / 1 = d; ja AB || CD, tad / 1 = / 2.

Tāpēc / 2 = d t.i., EF _|_ CD .

1) Ja divām taisnēm krustojoties ar šķērsvirzienu, guļus leņķi ir vienādi, tad taisnes ir paralēlas.

2) Ja, divām taisnēm krustojoties ar šķērsvirzienu, attiecīgie leņķi ir vienādi, tad taisnes ir paralēlas.

3) Ja, divām taisnēm krustojoties ar šķērsvirzienu, vienpusējo leņķu summa ir vienāda ar 180°, tad taisnes ir paralēlas.

3. Caur punktu, kas neatrodas uz noteiktas taisnes, iet tikai viena taisne, kas ir paralēla dotajai.

4 Ja taisne krusto vienu no divām paralēlām taisnēm, tad tā krusto arī otru.

5. Ja divas taisnes ir paralēlas trešajai taisnei, tad tās ir paralēlas.

Paralēlu līniju īpašības

1) Ja divas paralēlas taisnes krustojas ar šķērsvirzienu, tad krustošanās leņķi ir vienādi.

2) Ja divas paralēlas taisnes krustojas ar šķērsvirzienu, tad attiecīgie leņķi ir vienādi.

3) Ja divas paralēlas taisnes krustojas ar šķērsvirzienu, tad vienpusējo leņķu summa ir 180°.

7. Ja taisne ir perpendikulāra vienai no divām paralēlām taisnēm, tad tā ir perpendikulāra arī otrai.

8. Divu vienādojumu sistēmas atrisināšana ar diviemŠādu skaitļu pāri sauc par nezināmu X Un plkst , kas, aizvietojot ar šo sistēmu, pārvērš katru tās vienādojumu pareizā skaitliskā vienādībā.

9.Atrisiniet vienādojumu sistēmu- nozīmē atrast visus tā risinājumus vai konstatēt, ka tādu nav.

1. Vienādojumu sistēmas risināšanas metodes:

a) aizstāšana

b) pievienošana;

c) grafisks.

10. Trijstūra leņķu summa ir 180°.

11.Ārējais stūris trijstūra ir leņķis, kas atrodas blakus kādam šī trīsstūra leņķim.

Trijstūra ārējais leņķis ir vienāds ar divu trijstūra leņķu summu, kas nav tam blakus.

12. Jebkurā trijstūrī vai nu visi leņķi ir asi, vai arī divi leņķi ir asi, bet trešais ir strups vai taisns.

13Ja trijstūram visi trīs leņķi ir asi, tad trijstūri sauc akūts leņķis.

14.Ja viens no trijstūra leņķiem ir neass, tad trijstūri sauc strupleņķa.

15. Ja viens no trijstūra leņķiem ir taisns, tad trijstūri sauc taisnstūrveida.

16. Tiek saukta taisnleņķa trijstūra mala, kas atrodas pretī taisnajam leņķim hipotenūza, un pārējās divas puses ir kājas.

17. Trijstūrī: 1) lielākais leņķis atrodas pretī lielākajai malai; 2) aizmugurē, lielākā puse atrodas pretī lielākajam leņķim.

18. Taisnstūra trīsstūrī hipotenūza ir garāka par kāju.

19. Ja trijstūra divi leņķi ir vienādi, tad trijstūris ir vienādsānu (viensānu trijstūra zīme).

20. Katra trijstūra mala ir mazāka par pārējo divu malu summu.

21 Taisnleņķa trijstūra divu asu leņķu summa ir 90°.

22. Taisnleņķa trijstūra kāja, kas atrodas pretī 30° leņķim, ir vienāda ar pusi hipotenūzas.

Taisnleņķa trijstūra vienādības zīmes: 1) uz divām malām; 2) pa hipotenūzu un akūtu leņķi; 3) gar hipotenūzu un kāju; 4) gar kāju un akūtu leņķi

Perpendikula garumu, kas novilkts no punkta līdz taisnei, sauc par attālumu no šī punkta līdz taisnei.

Šajā rakstā mēs runāsim par paralēlām līnijām, sniegsim definīcijas un ieskicēsim paralēlisma pazīmes un nosacījumus. Lai teorētiskais materiāls būtu skaidrāks, izmantosim ilustrācijas un tipisku piemēru risinājumus.

Yandex.RTB R-A-339285-1 1. definīcija

Paralēlas līnijas plaknē– divas plaknes taisnes, kurām nav kopīgu punktu.

2. definīcija

Paralēlas līnijas trīsdimensiju telpā– divas taisnas līnijas trīsdimensiju telpā, kas atrodas vienā plaknē un kurām nav kopīgu punktu.

Jāatzīmē, ka, lai noteiktu paralēlas līnijas telpā, ir ārkārtīgi svarīgs precizējums “atrodas vienā plaknē”: divas līnijas trīsdimensiju telpā, kurām nav kopīgu punktu un neatrodas vienā plaknē, nav paralēlas. , bet krustojas.

Lai norādītu paralēlas līnijas, parasti tiek izmantots simbols ∥. Tas ir, ja dotās līnijas a un b ir paralēlas, šis nosacījums īsi jāuzraksta šādi: a ‖ b. Verbāli līniju paralēlisms tiek apzīmēts šādi: taisnes a un b ir paralēlas vai taisne a ir paralēla taisnei b, vai taisne b ir paralēla taisnei a.

Formulēsim apgalvojumu, kam ir svarīga loma pētāmajā tēmā.

Aksioma

Caur punktu, kas nepieder noteiktai taisnei, iet vienīgā taisne, kas ir paralēla dotajai taisnei. Šo apgalvojumu nevar pierādīt, pamatojoties uz zināmajām planimetrijas aksiomām.

Gadījumā, ja mēs runājam par telpu, teorēma ir patiesa:

1. teorēma

Caur jebkuru telpas punktu, kas nepieder noteiktai taisnei, būs viena taisne, kas ir paralēla dotajai līnijai.

Šo teorēmu ir viegli pierādīt, pamatojoties uz iepriekš minēto aksiomu (ģeometrijas programma 10. - 11. klasei).

Paralēlitātes kritērijs ir pietiekams nosacījums, kura izpilde garantē līniju paralēlismu. Citiem vārdiem sakot, šī nosacījuma izpilde ir pietiekama, lai apstiprinātu paralēlisma faktu.

Jo īpaši ir nepieciešami un pietiekami nosacījumi līniju paralēlismam plaknē un telpā. Paskaidrosim: nepieciešams nozīmē nosacījumu, kura izpilde ir nepieciešama paralēlām taisnēm; ja tas nav izpildīts, līnijas nav paralēlas.

Rezumējot, nepieciešams un pietiekams līniju paralēlisma nosacījums ir nosacījums, kura ievērošana ir nepieciešama un pietiekama, lai taisnes būtu paralēlas viena otrai. No vienas puses, tā ir paralēlisma pazīme, no otras puses, tā ir īpašība, kas raksturīga paralēlām līnijām.

Pirms sniegt precīzu nepieciešamā un pietiekama nosacījuma formulējumu, atcerēsimies dažus papildu jēdzienus.

3. definīcija

Sekanta līnija– taisne, kas krusto katru no divām noteiktām nesakrītošām taisnēm.

Krustojoties divām taisnēm, šķērsvirziena veido astoņus neattīstītus leņķus. Nepieciešamā un pietiekamā nosacījuma formulēšanai izmantosim tādus leņķu veidus kā krustveida, atbilstošos un vienpusējos. Parādīsim tos ilustrācijā:

2. teorēma

Ja plaknē divas taisnes krustojas ar šķērsvirzienu, tad, lai dotās taisnes būtu paralēlas, ir nepieciešams un pietiekami, lai krustošanās leņķi būtu vienādi vai attiecīgie leņķi būtu vienādi, vai vienpusējo leņķu summa būtu vienāda ar 180 grādi.

Grafiski ilustrēsim nepieciešamo un pietiekamo nosacījumu līniju paralēlumam plaknē:

Šo nosacījumu pierādījums ir ģeometrijas programmā 7. - 9. klasei.

Kopumā šie nosacījumi attiecas arī uz trīsdimensiju telpu, ja divas līnijas un sekants pieder vienai plaknei.

Norādīsim vēl dažas teorēmas, kuras bieži izmanto, lai pierādītu, ka taisnes ir paralēlas.

3. teorēma

Plaknē divas taisnes, kas ir paralēlas trešajai, ir paralēlas viena otrai. Šī pazīme ir pierādīta, pamatojoties uz iepriekš norādīto paralēlisma aksiomu.

4. teorēma

Trīsdimensiju telpā divas līnijas, kas ir paralēlas trešajai, ir paralēlas viena otrai.

Zīmes apliecinājums tiek apgūts 10. klases ģeometrijas mācību programmā.

Sniegsim šo teorēmu ilustrāciju:

Norādīsim vēl vienu teorēmu pāri, kas pierāda līniju paralēlismu.

5. teorēma

Plaknē divas taisnes, kas ir perpendikulāras trešajai daļai, ir paralēlas viena otrai.

Noformulēsim līdzīgu lietu trīsdimensiju telpai.

6. teorēma

Trīsdimensiju telpā divas taisnes, kas ir perpendikulāras trešajai daļai, ir paralēlas viena otrai.

Ilustrēsim:

Visas iepriekš minētās teorēmas, zīmes un nosacījumi ļauj ērti pierādīt līniju paralēlismu, izmantojot ģeometrijas metodes. Tas ir, lai pierādītu taisnes paralēlismu, var parādīt, ka attiecīgie leņķi ir vienādi, vai parādīt faktu, ka divas dotās taisnes ir perpendikulāras trešajai utt. Bet ņemiet vērā, ka bieži vien ērtāk ir izmantot koordinātu metodi, lai pierādītu līniju paralēlismu plaknē vai trīsdimensiju telpā.

Līniju paralēlisms taisnstūra koordinātu sistēmā

Dotajā taisnstūrveida koordinātu sistēmā taisni nosaka taisnes vienādojums plaknē viena no iespējamajiem veidiem. Tāpat taisne, kas definēta taisnstūra koordinātu sistēmā trīsdimensiju telpā, atbilst dažiem vienādojumiem taisnei telpā.

Pierakstīsim nepieciešamos un pietiekamos nosacījumus taisnstūra paralēlismam taisnstūra koordinātu sistēmā atkarībā no vienādojuma veida, kas apraksta dotās taisnes.

Sāksim ar nosacījumu par līniju paralēli plaknē. Tas ir balstīts uz līnijas virziena vektora un līnijas normālā vektora definīcijām plaknē.

7. teorēma

Lai divas nesakrītošas ​​taisnes būtu paralēlas plaknē, ir nepieciešams un pietiekami, lai doto taisnes virziena vektori būtu kolineāri vai doto taisnes normālvektori ir kolineāri, vai vienas taisnes virziena vektors būtu perpendikulārs otras līnijas normālais vektors.

Kļūst acīmredzams, ka plaknes taisnes paralēlisma nosacījums ir balstīts uz vektoru kolinearitātes nosacījumu vai divu vektoru perpendikularitātes nosacījumu. Tas ir, ja a → = (a x , a y) un b → = (b x , b y) ir taisnes a un b virziena vektori;

un n b → = (n b x , n b y) ir taisnes a un b normālie vektori, tad augstāk minēto nepieciešamo un pietiekamo nosacījumu rakstām šādi: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y vai n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y vai a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , kur t ir kāds reāls skaitlis. Vadlīniju jeb taisnu vektoru koordinātas nosaka dotie taisnes vienādojumi. Apskatīsim galvenos piemērus.

1. Taisni a taisnstūra koordinātu sistēmā nosaka taisnes vispārīgais vienādojums: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; taisna līnija b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Tad doto līniju normālvektoriem būs attiecīgi koordinātes (A 1, B 1) un (A 2, B 2). Paralēlitātes nosacījumu rakstām šādi:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. Taisni a apraksta ar vienādojumu taisnei ar slīpumu y = k 1 x + b 1 . Taisne b - y = k 2 x + b 2. Tad doto līniju normāliem vektoriem būs attiecīgi koordinātes (k 1, - 1) un (k 2, - 1), un paralēlisma nosacījumu rakstīsim šādi:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Tātad, ja paralēlas taisnes uz plaknes taisnstūrveida koordinātu sistēmā ir dotas ar vienādojumiem ar leņķa koeficientiem, tad doto līniju leņķiskie koeficienti būs vienādi. Un patiess ir pretējais apgalvojums: ja taisnstūra koordinātu sistēmā plaknē nesakrītošas ​​taisnes nosaka taisnes vienādojumi ar identiskiem leņķa koeficientiem, tad šīs dotās taisnes ir paralēlas.

1. Taisniņas a un b taisnstūra koordinātu sistēmā nosaka ar plaknes taisnes kanoniskajiem vienādojumiem: x - x 1 a x = y - y 1 a y un x - x 2 b x = y - y 2 b y vai ar parametru vienādojumiem taisne plaknē: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y un x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Tad doto līniju virziena vektori būs attiecīgi: a x, a y un b x, b y, un paralēlisma nosacījumu rakstīsim šādi:

a x = t b x a y = t b y

Apskatīsim piemērus.

1. piemērs

Ir dotas divas rindas: 2 x - 3 y + 1 = 0 un x 1 2 + y 5 = 1. Ir jānosaka, vai tie ir paralēli.

Risinājums

Uzrakstīsim taisnas līnijas vienādojumu segmentos vispārējā vienādojuma veidā:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Mēs redzam, ka n a → = (2, - 3) ir taisnes 2 x - 3 y + 1 = 0 normālvektors, un n b → = 2, 1 5 ir taisnes x 1 2 + y 5 normālvektors. = 1.

Iegūtie vektori nav kolineāri, jo nav tādas tat vērtības, kurā vienlīdzība būtu patiesa:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Tādējādi nav izpildīts nepieciešamais un pietiekams nosacījums līniju paralēlumam plaknē, kas nozīmē, ka dotās taisnes nav paralēlas.

Atbilde: dotās taisnes nav paralēlas.

2. piemērs

Ir dotas rindas y = 2 x + 1 un x 1 = y - 4 2. Vai tie ir paralēli?

Risinājums

Pārveidosim taisnes x 1 = y - 4 2 kanonisko vienādojumu par taisnes ar slīpumu vienādojumu:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Mēs redzam, ka taisnu vienādojumi y = 2 x + 1 un y = 2 x + 4 nav vienādi (ja tas būtu citādi, taisnes sakristu) un līniju leņķiskie koeficienti ir vienādi, kas nozīmē dotās līnijas ir paralēlas.

Mēģināsim atrisināt problēmu savādāk. Vispirms pārbaudīsim, vai dotās rindas sakrīt. Mēs izmantojam jebkuru punktu uz līnijas y = 2 x + 1, piemēram, (0, 1), šī punkta koordinātas neatbilst taisnes vienādojumam x 1 = y - 4 2, kas nozīmē, ka līnijas atbilst vienādojumam. nesakrīt.

Nākamais solis ir noteikt, vai ir izpildīts doto līniju paralēlisma nosacījums.

Taisnes y = 2 x + 1 normālvektors ir vektors n a → = (2 , - 1) , un otrās dotās taisnes virziena vektors ir b → = (1 , 2) . Šo vektoru skalārais reizinājums ir vienāds ar nulli:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Tādējādi vektori ir perpendikulāri: tas mums parāda vajadzīgā un pietiekamā sākotnējās līnijas paralēlisma nosacījuma izpildi. Tie. dotās taisnes ir paralēlas.

Atbilde:šīs līnijas ir paralēlas.

Lai pierādītu līniju paralēlismu trīsdimensiju telpas taisnstūra koordinātu sistēmā, tiek izmantots šāds nepieciešamais un pietiekams nosacījums.

8. teorēma

Lai divas nesakrītošas ​​taisnes trīsdimensiju telpā būtu paralēlas, ir nepieciešams un pietiekami, lai šo līniju virziena vektori būtu kolineāri.

Tie. ņemot vērā līniju vienādojumus trīsdimensiju telpā, atbildi uz jautājumu: vai tās ir paralēlas vai nē, atrod, nosakot doto līniju virziena vektoru koordinātas, kā arī pārbaudot to kolinearitātes nosacījumu. Citiem vārdiem sakot, ja a → = (a x, a y, a z) un b → = (b x, b y, b z) ir attiecīgi taisnes a un b virziena vektori, tad, lai tās būtu paralēlas, pastāv ir nepieciešams šāds reāls skaitlis t, lai vienādība būtu spēkā:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

3. piemērs

Ir dotas rindas x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 un x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Ir jāpierāda šo līniju paralēlisms.

Risinājums

Problēmas nosacījumus nosaka vienas līnijas kanoniskie vienādojumi telpā un citas līnijas parametriskie vienādojumi telpā. Vadošie vektori a → un b → dotajām līnijām ir koordinātas: (1, 0, - 3) un (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2, tad a → = 1 2 · b → .

Līdz ar to ir izpildīts nepieciešamais un pietiekams nosacījums līniju paralēlismam telpā.

Atbilde: ir pierādīts doto līniju paralēlisms.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

atbilstošie leņķi: 1 un 5, 4 un 8, 2 un 6, 3 un 7;

iekšējie šķērsleņķi: 3 un 5, 4 un 6;

ārējie šķērsleņķi: 1 un 7, 2 un 8;

iekšējie vienpusējie stūri: 3 un 6, 4 un 5;

ārējie vienpusējie stūri: 1 un 8, 2 un 7.

Tātad ∠ 2 = ∠ 4 un ∠ 8 = ∠ 6, bet saskaņā ar to, kas ir pierādīts, ∠ 4 = ∠ 6.

Tāpēc ∠ 2 = ∠ 8.

3. Atbilstoši leņķi 2 un 6 ir vienādi, jo ∠ 2 = ∠ 4 un ∠ 4 = ∠ 6. Tāpat pārliecināsimies, ka pārējie atbilstošie leņķi ir vienādi.

4. Summa iekšējie vienpusējie stūri 3 un 6 būs 2d, jo summa blakus esošie stūri 3 un 4 ir vienāds ar 2d = 180 0, un ∠ 4 var aizstāt ar identisku ∠ 6. Mēs arī pārliecināmies, ka leņķu summa 4 un 5 ir vienāds ar 2d.

5. Summa ārējie vienpusējie stūri būs 2d, jo šie leņķi ir attiecīgi vienādi iekšējie vienpusējie stūri kā stūri vertikāli.

No iepriekšminētā pierādītā pamatojuma mēs iegūstam apgrieztās teorēmas.

Kad divu līniju krustpunktā ar patvaļīgu trešo līniju mēs iegūstam, ka:

1. Iekšējie šķērsleņķi ir vienādi;

vai 2.Ārējie šķērsām leņķi ir identiski;

vai 3. Atbilstošie leņķi ir vienādi;

vai 4. Iekšējo vienpusējo leņķu summa ir 2d = 180 0;

vai 5.Ārējo vienpusējo summu summa ir 2d = 180 0 ,

tad pirmās divas taisnes ir paralēlas.