Ņemot vērā diskrēta gadījuma lieluma sadalījumu, atrodiet. Nejaušo lielumu sadalījuma likums

X; nozīmē F(5); varbūtība, ka nejaušais mainīgais Xņems vērtības no segmenta . Izveidojiet sadalījuma daudzstūri.

1. Ir zināma diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma funkcija F(x). X:

Iestatiet nejauša lieluma sadalījuma likumu X tabulas veidā.

1. Ir dots gadījuma lieluma sadalījuma likums X:

1. Varbūtība, ka veikalam ir kvalitātes sertifikāti visam preču klāstam, ir 0,7. Sertifikātu pieejamību komisija pārbaudīja četros apkārtnes veikalos. Sastādiet izplatīšanas likumu, aprēķiniet to veikalu skaita matemātisko cerību un izkliedi, kuros pārbaudes laikā kvalitātes sertifikāti netika atrasti.

1. Lai noteiktu elektrisko spuldžu vidējo degšanas laiku 350 identisku kastu partijā, testēšanai tika ņemta viena elektriskā lampa no katras kastes. Aprēķiniet no zemākas varbūtības, ka izvēlēto elektrisko spuldžu vidējais degšanas ilgums atšķiras no visas partijas vidējā degšanas ilguma absolūtā vērtībā mazāk nekā par 7 stundām, ja ir zināms, ka elektrisko spuldžu degšanas ilguma standartnovirze katra kaste ir mazāka par 9 stundām.

1. Telefona centrālē notiek nepareizs savienojums ar varbūtību 0,002. Atrodiet varbūtību, ka starp 500 savienojumiem notiks:

Atrodiet gadījuma lieluma sadalījuma funkciju X. Izveidojiet funkciju grafikus un . Aprēķiniet nejaušā lieluma matemātisko cerību, dispersiju, režīmu un mediānu X.

1. Automātiska mašīna izgatavo veltņus. Tiek uzskatīts, ka to diametrs ir normāli sadalīts gadījuma lielums ar vidējo vērtību 10 mm. Kāda ir standarta novirze, ja ar varbūtību 0,99 diametrs ir diapazonā no 9,7 mm līdz 10,3 mm.

A paraugs: 6 9 7 6 4 4

B paraugs: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

17. variants.

1. No 35 daļām 7 ir nestandarta. Atrodiet varbūtību, ka divas nejauši ņemtas daļas izrādīsies standarta.

1. Tiek izmesti trīs kauliņi. Atrodiet varbūtību, ka punktu summa nomestajās malās ir 9 reizinājums.

1. Vārds “PIEDZĪVOJUMS” ir veidots no kartītēm, uz katras uzrakstīts viens burts. Kartes tiek sajauktas un izņemtas pa vienai, neatgriežot. Atrodi varbūtību, ka parādīšanās secībā izņemtie burti veido vārdu: a) PIEDZĪVOJUMS; b) Ieslodzītais.

1. Urnā ir 6 melnas un 5 baltas bumbiņas. Pēc nejaušības principa tiek izlozētas 5 bumbiņas. Atrodiet varbūtību, ka starp tiem ir:
1. 2 baltas bumbiņas;
2. mazāk nekā 2 baltas bumbiņas;
3. vismaz viena melna bumbiņa.

1. A vienā testā ir vienāds ar 0,4. Atrodiet šādu notikumu iespējamības:
1. notikumu A parādās 3 reizes 7 neatkarīgu izmēģinājumu sērijā;
2. notikumu A 400 izmēģinājumu sērijā parādīsies ne mazāk kā 220 un ne vairāk kā 235 reizes.

1. Rūpnīca uz bāzi nosūtīja 5000 labas kvalitātes produktu. Katras preces bojājuma iespējamība transportēšanas laikā ir 0,002. Atrodiet varbūtību, ka brauciena laikā tiks bojāti ne vairāk kā 3 produkti.

1. Pirmajā urnā ir 4 baltas un 9 melnas bumbiņas, bet otrajā urnā ir 7 baltas un 3 melnas bumbiņas. No pirmās urnas nejauši tiek izvilktas 3 bumbiņas, bet no otrās – 4. Atrodi varbūtību, ka visas izvilktās bumbiņas ir vienā krāsā.

1. Ir dots gadījuma lieluma sadalījuma likums X:

Aprēķiniet tā matemātisko cerību un dispersiju.

1. Kastītē ir 10 zīmuļi. Pēc nejaušības principa tiek izlozēti 4 zīmuļi. Izlases vērtība X– zilo zīmuļu skaits starp atlasītajiem. Atrodi tā sadalījuma likumu, 2. un 3. kārtas sākuma un centrālo momentu.

1. Tehniskās kontroles nodaļa pārbauda 475 izstrādājumus, vai tiem nav defektu. Varbūtība, ka precei ir defekts, ir 0,05. Atrodiet ar varbūtību 0,95 robežas, kurās tiks iekļauts pārbaudīto produktu skaits ar trūkumiem.

1. Telefona centrālē notiek nepareizs savienojums ar varbūtību 0,003. Atrodiet varbūtību, ka starp 1000 savienojumiem notiks:
1. vismaz 4 nepareizi savienojumi;
2. vairāk nekā divi nepareizi savienojumi.

1. Nejaušo lielumu nosaka sadalījuma blīvuma funkcija:

Atrodiet gadījuma lieluma sadalījuma funkciju X. Izveidojiet funkciju grafikus un . Aprēķiniet nejaušā lieluma X matemātisko cerību, dispersiju, režīmu un mediānu.

1. Nejaušo lielumu nosaka sadalījuma funkcija:

1. Pēc parauga A atrisināt šādas problēmas:
1. izveidot variāciju sēriju;

· izlases vidējais rādītājs;

· izlases dispersija;

Režīms un mediāna;

A paraugs: 0 0 2 2 1 4

1. aprēķina variāciju sērijas skaitliskos raksturlielumus:

· izlases vidējais rādītājs;

· izlases dispersija;

standarta parauga novirze;

· režīms un mediāna;

B paraugs: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

18. variants.

1. No 10 loterijas biļetēm 2 ir laimējošās. Atrodiet varbūtību, ka no piecām nejauši paņemtajām biļetēm viena būs uzvarētāja.

1. Tiek izmesti trīs kauliņi. Atrodiet varbūtību, ka velmēto punktu summa ir lielāka par 15.

1. Vārdu “PERIMETRS” veido kartītes, uz kurām katrā ir uzrakstīts viens burts. Kartes tiek sajauktas un izņemtas pa vienai, neatgriežot. Atrodi varbūtību, ka izņemtie burti veido vārdu: a) PERIMETRS; b) MĒRĪTĀJS.

1. Urnā ir 5 melnas un 7 baltas bumbiņas. Pēc nejaušības principa tiek izlozētas 5 bumbiņas. Atrodiet varbūtību, ka starp tiem ir:
1. 4 baltas bumbiņas;
2. mazāk nekā 2 baltas bumbiņas;
3. vismaz viena melna bumbiņa.

1. Notikuma rašanās varbūtība A vienā izmēģinājumā ir vienāds ar 0,55. Atrodiet šādu notikumu iespējamības:
1. notikumu A parādīsies 3 reizes 5 izaicinājumu sērijā;
2. notikumu A 300 izmēģinājumu sērijā parādīsies ne mazāk kā 130 un ne vairāk kā 200 reizes.

1. Konservu skārdenes salūzšanas iespējamība ir 0,0005. Atrodiet varbūtību, ka no 2000 kārbām divās būs noplūde.

1. Pirmajā urnā ir 4 baltas un 8 melnas bumbiņas, bet otrajā urnā ir 7 baltas un 4 melnas bumbiņas. Divas bumbiņas tiek nejauši izvilktas no pirmās urnas un trīs bumbiņas tiek izvilktas no otrās urnas. Atrodiet varbūtību, ka visas uzzīmētās bumbiņas ir vienā krāsā.

1. No detaļām, kas tiek piegādātas montāžai, 0,1% ir bojātas no pirmās iekārtas, 0,2% no otrās, 0,25% no trešās un 0,5% no ceturtās. Mašīnu produktivitātes koeficienti ir attiecīgi 4:3:2:1. Nejauši ņemtā daļa izrādījās standarta. Atrodiet varbūtību, ka detaļa tika izgatavota pirmajā mašīnā.

1. Ir dots gadījuma lieluma sadalījuma likums X:

Aprēķiniet tā matemātisko cerību un dispersiju.

1. Elektriķim ir trīs spuldzes, katrai no kurām ir defekts ar varbūtību 0,1 Spuldzes tiek ieskrūvētas rozetē un tiek ieslēgta strāva. Ieslēdzot strāvu, bojātā spuldze nekavējoties izdeg un tiek aizstāta ar citu. Atrodiet sadalījuma likumu, matemātisko cerību un pārbaudīto spuldžu skaita izkliedi.

1. Varbūtība trāpīt mērķī ir 0,3 katram no 900 neatkarīgiem šāvieniem. Izmantojot Čebiševa nevienādību, novērtējiet varbūtību, ka mērķis tiks trāpīts vismaz 240 un ne vairāk kā 300 reizes.

1. Telefona centrālē notiek nepareizs savienojums ar varbūtību 0,002. Atrodiet varbūtību, ka starp 800 savienojumiem notiks:
1. vismaz trīs nepareizi savienojumi;
2. vairāk nekā četri nepareizi savienojumi.

1. Nejaušo lielumu nosaka sadalījuma blīvuma funkcija:

Atrodiet gadījuma lieluma X sadalījuma funkciju. Uzzīmējiet funkciju grafikus un . Aprēķiniet nejaušā mainīgā matemātisko cerību, dispersiju, režīmu un mediānu X.

1. Nejaušo lielumu nosaka sadalījuma funkcija:

1. Pēc parauga A atrisināt šādas problēmas:
1. izveidot variāciju sēriju;
2. aprēķināt relatīvās un uzkrātās frekvences;
3. sastādīt empīrisko sadalījuma funkciju un uzzīmēt to;
4. aprēķina variāciju sērijas skaitliskos raksturlielumus:

· izlases vidējais rādītājs;

· izlases dispersija;

standarta parauga novirze;

· režīms un mediāna;

A paraugs: 4 7 6 3 3 4

1. Izmantojot B paraugu, atrisiniet šādas problēmas:
1. izveidot grupētu variāciju sēriju;
2. izveidot histogrammu un frekvenču daudzstūri;
3. aprēķina variāciju sērijas skaitliskos raksturlielumus:

· izlases vidējais rādītājs;

· izlases dispersija;

standarta parauga novirze;

· režīms un mediāna;

B paraugs: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

19. variants.

1. Objektā strādā 16 sievietes un 5 vīrieši. 3 cilvēki tika atlasīti pēc nejaušības principa, izmantojot viņu personāla numurus. Atrodiet varbūtību, ka visi izvēlētie cilvēki būs vīrieši.

2. Tiek izmestas četras monētas. Atrodiet varbūtību, ka tikai divām monētām būs “ģerbonis”.

3. Vārdu “PSIHOLOĢIJA” veido kartītes, uz kurām katrā ir uzrakstīts viens burts. Kartes tiek sajauktas un izņemtas pa vienai, neatgriežot. Atrodi varbūtību, ka izņemtie burti veido vārdu: a) PSIHOLOĢIJA; b) PERSONĀLS.

4. Urnā ir 6 melnas un 7 baltas bumbiņas. Pēc nejaušības principa tiek izlozētas 5 bumbiņas. Atrodiet varbūtību, ka starp tiem ir:

a. 3 baltas bumbiņas;

b. mazāk nekā 3 baltas bumbiņas;

c. vismaz viena balta bumbiņa.

5. Notikuma iestāšanās varbūtība A vienā izmēģinājumā ir vienāds ar 0,5. Atrodiet šādu notikumu iespējamības:

a. notikumu A parādās 3 reizes 5 neatkarīgu izmēģinājumu sērijā;

b. notikumu A 50 izmēģinājumu sērijā parādīsies vismaz 30 un ne vairāk kā 40 reizes.

6. Ir 100 vienādas jaudas mašīnas, kas darbojas neatkarīgi viena no otras vienā režīmā, kurā to piedziņa tiek ieslēgta uz 0,8 darba stundām. Kāda ir iespējamība, ka jebkurā brīdī tiks ieslēgtas no 70 līdz 86 mašīnas?

7. Pirmajā urnā ir 4 baltas un 7 melnas bumbiņas, bet otrajā urnā ir 8 baltas un 3 melnas bumbiņas. No pirmās urnas nejauši tiek izvilktas 4 bumbiņas, bet no otrās - 1 bumbiņa. Atrodi varbūtību, ka starp izvilktajām bumbiņām ir tikai 4 melnās bumbiņas.

8. Automašīnu tirdzniecības salons katru dienu saņem trīs marku automašīnas apjomos: “Moskvich” – 40%; "Oka" - 20%; "Volga" - 40% no visām importētajām automašīnām. Starp automašīnām Moskvich pretaizdzīšanas ierīce ir 0,5%, Oka – 0,01%, Volga – 0,1%. Atrodiet varbūtību, ka pārbaudei nogādātajā automašīnā ir pretaizdzīšanas ierīce.

9. Cipari un segmentā tiek izvēlēti nejauši. Atrodiet varbūtību, ka šie skaitļi apmierina nevienādības.

10. Dots gadījuma lieluma sadalījuma likums X:

Atrodiet gadījuma lieluma sadalījuma funkciju X; nozīmē F(2); varbūtība, ka nejaušais mainīgais Xņems vērtības no intervāla . Izveidojiet sadalījuma daudzstūri.

Kā zināms, nejaušais mainīgais tiek saukts par mainīgu lielumu, kas atkarībā no gadījuma var iegūt noteiktas vērtības. Nejaušie mainīgie tiek apzīmēti ar latīņu alfabēta lielajiem burtiem (X, Y, Z), un to vērtības ir apzīmētas ar atbilstošiem mazajiem burtiem (x, y, z). Nejaušie mainīgie tiek sadalīti nepārtrauktos (diskrētos) un nepārtrauktos.

Diskrēts nejaušības lielums ir nejaušs mainīgais, kas ņem tikai ierobežotu vai bezgalīgu (skaitāmu) vērtību kopu ar noteiktām varbūtībām, kas nav nulles.

Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums ir funkcija, kas savieno nejauša lieluma vērtības ar tām atbilstošajām varbūtībām. Izplatīšanas likumu var precizēt vienā no šiem veidiem.

1 . Sadales likumu var norādīt tabulā:

kur λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) izmantojot sadalījuma funkcija F(x) , kas katrai vērtībai x nosaka varbūtību, ka gadījuma lielums X pieņems vērtību, kas mazāka par x, t.i. F(x) = P(X< x).

Funkcijas F(x) īpašības

3 . Izplatīšanas likumu var norādīt grafiski – sadalījuma daudzstūris (daudzstūris) (skat. 3. uzdevumu).

Ņemiet vērā, ka, lai atrisinātu dažas problēmas, nav nepieciešams zināt sadales likumu. Dažos gadījumos pietiek zināt vienu vai vairākus skaitļus, kas atspoguļo sadales likuma svarīgākās iezīmes. Tas var būt skaitlis, kam ir nejauša lieluma “vidējās vērtības” nozīme, vai skaitlis, kas parāda nejaušā mainīgā lieluma novirzes vidējo lielumu no tā vidējās vērtības. Šāda veida skaitļus sauc par nejauša lieluma skaitliskiem raksturlielumiem.

Diskrēta gadījuma lieluma skaitliskās pamatraksturības :

• Matemātiskās cerības diskrēta gadījuma lieluma (vidējā vērtība). M(X)=Σ x i p i.
  Binomiālajam sadalījumam M(X)=np, Puasona sadalījumam M(X)=λ
• Izkliede diskrētais gadījuma mainīgais D(X)=M2 vai D(X) = M(X 2) − 2. Atšķirību X–M(X) sauc par nejauša lieluma novirzi no tā matemātiskās cerības.
  Binomiālajam sadalījumam D(X)=npq, Puasona sadalījumam D(X)=λ
• Standarta novirze (standarta novirze) σ(X)=√D(X).

Problēmu risināšanas piemēri par tēmu “Diskrētā gadījuma lieluma sadalījuma likums”

1. uzdevums.

Tika izdotas 1000 loterijas biļetes: 5 no tām laimēs 500 rubļus, 10 laimēs 100 rubļus, 20 laimēs 50 rubļus, 50 laimēs 10 rubļus. Noteikt nejaušā lieluma X varbūtības sadalījuma likumu - laimests uz vienu biļeti.

Risinājums. Atbilstoši problēmas nosacījumiem ir iespējamas šādas nejaušā lieluma X vērtības: 0, 10, 50, 100 un 500.

Biļešu skaits bez laimesta ir 1000 – (5+10+20+50) = 915, tad P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Līdzīgi mēs atrodam visas pārējās varbūtības: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X) =500) = 5/1000=0,005. Iesniegsim iegūto likumu tabulas veidā:

Atradīsim vērtības X matemātisko cerību: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

3. uzdevums.

Ierīce sastāv no trim neatkarīgi strādājošiem elementiem. Katra elementa atteices varbūtība vienā eksperimentā ir 0,1. Sastādiet sadalījuma likumu neveiksmīgo elementu skaitam vienā eksperimentā, izveidojiet sadalījuma daudzstūri. Atrodiet sadalījuma funkciju F(x) un uzzīmējiet to. Atrodiet diskrēta gadījuma lieluma matemātisko cerību, dispersiju un standartnovirzi.

Risinājums. 1. Diskrētajam nejaušajam mainīgajam X = (neizdevušos elementu skaits vienā eksperimentā) ir šādas iespējamās vērtības: x 1 = 0 (neviens no ierīces elementiem neizdevās), x 2 = 1 (viens elements neizdevās), x 3 = 2 ( divi elementi neizdevās ) un x 4 =3 (trīs elementi neizdevās).

Elementu atteices ir neatkarīgas viena no otras, katra elementa atteices varbūtības ir vienādas, tāpēc ir piemērojams Bernulli formula . Ņemot vērā, ka atbilstoši nosacījumam n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, nosakām vērtību varbūtības:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Pārbaudiet: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Tādējādi vēlamajam X binominālā sadalījuma likumam ir šāda forma:

Mēs uzzīmējam iespējamās x i vērtības pa abscisu asi un atbilstošās varbūtības p i pa ordinātu asi. Konstruēsim punktus M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Savienojot šos punktus ar taisnu līniju segmentiem, mēs iegūstam vēlamo sadalījuma daudzstūri.

3. Atradīsim sadalījuma funkciju F(x) = Р(Х

Funkcijas F(x) grafiks

4. Binomiālajam sadalījumam X:
- matemātiskā cerība M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersija D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standartnovirze σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

IZPLATĪŠANAS LIKUMS UN RAKSTUROJUMS

NEJAUŠI MAINĪGIE

Nejaušie lielumi, to klasifikācija un aprakstīšanas metodes.

Nejaušs lielums ir lielums, kas eksperimenta rezultātā var iegūt vienu vai otru vērtību, bet kurš nav iepriekš zināms. Tāpēc nejaušam mainīgajam var norādīt tikai vērtības, no kurām vienu tas noteikti izmantos eksperimenta rezultātā. Turpmāk šīs vērtības sauksim par iespējamām nejaušā mainīgā vērtībām. Tā kā gadījuma lielums kvantitatīvi raksturo eksperimenta nejaušo rezultātu, to var uzskatīt par nejauša notikuma kvantitatīvu raksturlielumu.

Nejaušie mainīgie parasti tiek apzīmēti ar latīņu alfabēta lielajiem burtiem, piemēram, X..Y..Z, un to iespējamās vērtības ar atbilstošiem mazajiem burtiem.

Pastāv trīs veidu nejaušie mainīgie:

Diskrēts; Nepārtraukts; Jaukti.

Diskrēts ir nejaušs lielums, kura iespējamo vērtību skaits veido saskaitāmu kopu. Savukārt kopu, kuras elementus var numurēt, sauc par saskaitāmu. Vārds "diskrēts" nāk no latīņu vārda discretus, kas nozīmē "pārtraukts, kas sastāv no atsevišķām daļām".

1. piemērs. Diskrēts gadījuma lielums ir bojāto daļu X skaits n-produktu partijā. Patiešām, šī nejaušā mainīgā iespējamās vērtības ir veselu skaitļu virkne no 0 līdz n.

2. piemērs. Diskrēts nejaušības lielums ir šāvienu skaits pirms pirmā trāpījuma mērķī. Šeit, tāpat kā 1. piemērā, iespējamās vērtības var numurēt, lai gan ierobežojošā gadījumā iespējamā vērtība ir bezgalīgi liels skaitlis.

Nepārtraukta ir nejaušs lielums, kura iespējamās vērtības nepārtraukti aizpilda noteiktu skaitliskās ass intervālu, ko dažreiz sauc par šī nejaušā mainīgā pastāvēšanas intervālu. Tādējādi jebkurā ierobežotā pastāvēšanas intervālā nepārtraukta gadījuma lieluma iespējamo vērtību skaits ir bezgalīgi liels.

3. piemērs. Nepārtraukts gadījuma lielums ir uzņēmuma mēneša elektroenerģijas patēriņš.

4. piemērs. Nepārtraukts gadījuma lielums ir kļūda augstuma mērīšanā, izmantojot altimetru. No altimetra darbības principa ir zināms, ka kļūda ir diapazonā no 0 līdz 2 m. Tāpēc šī nejaušā lieluma pastāvēšanas intervāls ir intervāls no 0 līdz 2 m.

Nejaušo lielumu sadalījuma likums.

Nejaušais lielums tiek uzskatīts par pilnībā noteiktu, ja tā iespējamās vērtības ir norādītas uz skaitliskās ass un ir izveidots sadalījuma likums.

Gadījuma lieluma sadalījuma likums ir sakarība, kas nosaka saikni starp iespējamām gadījuma lieluma vērtībām un atbilstošajām varbūtībām.

Tiek uzskatīts, ka nejaušs mainīgais ir sadalīts saskaņā ar noteiktu likumu vai ir pakļauts noteiktam sadalījuma likumam. Kā sadalījuma likumi tiek izmantotas vairākas varbūtības, sadalījuma funkcija, varbūtības blīvums un raksturīgā funkcija.

Sadales likums sniedz pilnīgu iespējamo gadījuma lieluma aprakstu. Saskaņā ar sadalījuma likumu pirms eksperimenta var spriest, kuras iespējamās gadījuma lieluma vērtības parādīsies biežāk un kuras retāk.

Diskrētam gadījuma mainīgajam sadalījuma likumu var norādīt tabulas veidā, analītiski (formulas veidā) un grafiski.

Vienkāršākā diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likuma precizēšanas forma ir tabula (matrica), kurā augošā secībā uzskaitītas visas iespējamās nejaušā lieluma vērtības un tām atbilstošās varbūtības, t.i.

Šādu tabulu sauc par diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma sēriju. 1

Notikumi X 1, X 2,..., X n, kas sastāv no tā, ka testa rezultātā nejaušais lielums X pieņems attiecīgi vērtības x 1, x 2,... x n nekonsekventas un vienīgās iespējamās (jo tabulā ir uzskaitītas visas iespējamās nejaušā lieluma vērtības), t.i. veido pilnu grupu. Tāpēc to varbūtību summa ir vienāda ar 1. Tātad jebkuram diskrētam gadījuma mainīgajam

(Šī vienība ir kaut kādā veidā sadalīta starp nejaušā mainīgā vērtībām, tāpēc termins "izplatījums").

Sadalījuma sēriju var attēlot grafiski, ja gadījuma lieluma vērtības ir attēlotas pa abscisu asi, un tām atbilstošās varbūtības ir attēlotas pa ordinātu asi. Iegūto punktu savienojums veido lauztu līniju, ko sauc par varbūtības sadalījuma daudzstūri vai daudzstūri (1. att.).

Piemērs Loterijā ietilpst: automašīna 5000 den vērtībā. vienības, 4 televizori maksā 250 den. vienības, 5 videoreģistratori 200 den vērtībā. vienības Kopā uz 7 dienām tiek pārdotas 1000 biļetes. vienības Sastādiet sadales likumu loterijas dalībnieka, kurš iegādājies vienu biļeti, saņemto neto laimestu.

Risinājums. Iespējamās gadījuma lieluma X vērtības - neto laimests uz vienu biļeti - ir vienādas ar 0-7 = -7 nauda. vienības (ja biļete neuzvarēja), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. vienības (ja biļetē ir attiecīgi videomagnetofona, televizora vai automašīnas laimests). Ņemot vērā, ka no 1000 biļetēm neieguvušo skaits ir 990, un norādītie laimesti ir attiecīgi 5, 4 un 1, un izmantojot klasisko varbūtības definīciju, iegūstam.

Ir dota diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma sērija. Atrodiet trūkstošo varbūtību un uzzīmējiet sadalījuma funkciju. Aprēķiniet šī daudzuma matemātisko cerību un dispersiju.

Nejaušajam lielumam X ir tikai četras vērtības: -4, -3, 1 un 2. Tas ņem katru no šīm vērtībām ar noteiktu varbūtību. Tā kā visu varbūtību summai ir jābūt vienādai ar 1, trūkstošā varbūtība ir vienāda ar:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

Sastādām gadījuma lieluma X sadalījuma funkciju. Ir zināms, ka sadalījuma funkcija , tad:

Tāpēc

Uzzīmēsim funkciju F(x) .

Diskrēta gadījuma lieluma matemātiskā cerība ir vienāda ar nejaušā lieluma vērtības un atbilstošās varbūtības reizinājumu summu, t.i.

Mēs atrodam diskrēta gadījuma lieluma dispersiju, izmantojot formulu:

PIETEIKUMS

Kombinatorikas elementi Šeit: - skaitļa faktoriāls

Darbības saistībā ar notikumiem Notikums ir jebkurš fakts, kas var notikt vai nenotikt pieredzes rezultātā. Notikumu apvienošana A Un IN- šis pasākums AR kas sastāv no parādīšanās vai notikuma A, vai notikumiem IN, vai abus notikumus vienlaikus. Apzīmējums: ; Šķērsošanas pasākumi A Un IN- šis pasākums AR, kas sastāv no abu notikumu vienlaicīgas iestāšanās. Apzīmējums: ;

Klasiskā varbūtības definīcija Notikuma varbūtība A ir eksperimentu skaita attiecība , labvēlīgs notikuma rašanās brīdim A, uz kopējo eksperimentu skaitu :

Varbūtības reizināšanas formula Notikuma varbūtība var atrast, izmantojot formulu: - notikuma varbūtība A, - notikuma varbūtība IN, - notikuma varbūtība IN ar nosacījumu, ka pasākums A jau ir noticis. Ja notikumi A un B ir neatkarīgi (viena iestāšanās neietekmē otra iestāšanos), tad notikuma iespējamība ir vienāda ar:

Formula varbūtību pievienošanai Notikuma varbūtību var atrast, izmantojot formulu: Notikuma varbūtība A, Notikuma varbūtība IN, - notikumu līdzās rašanās varbūtība A Un IN. Ja notikumi A un B ir nesaderīgi (nevar notikt vienlaicīgi), tad notikuma varbūtība ir vienāda ar:

Kopējās varbūtības formula Ļaujiet pasākumam A var notikt vienlaikus ar kādu no notikumiem , , …, - sauksim tās par hipotēzēm. Zināms arī - izpildes varbūtība i-th hipotēze un - notikuma A iestāšanās varbūtība izpildes laikā i-tā hipotēze. Tad notikuma varbūtība A var atrast pēc formulas:

Bernulli shēma Lai ir n neatkarīgi testi. Notikuma iestāšanās (veiksmes) varbūtība A katrā no tiem ir nemainīgs un vienāds lpp, kļūmes varbūtība (t.i., notikums nenotiek A) q = 1 - lpp. Tad rašanās varbūtība k panākumi iekšā n testus var atrast, izmantojot Bernulli formulu: Visticamāk, panākumu skaits Bernulli shēmā tas ir noteikta notikuma gadījumu skaits, kam ir vislielākā iespējamība. To var atrast, izmantojot formulu:

Nejauši mainīgie diskrēta nepārtraukta (piemēram, meiteņu skaits ģimenē ar 5 bērniem) (piemēram, laiks, kad tējkanna darbojas pareizi) Diskrētu gadījuma lielumu skaitliskās īpašības Ļaujiet diskrētu lielumu dot sadalījuma sērijā: X R , , …, - nejauša lieluma vērtības X; , , … ir atbilstošās varbūtības vērtības. Sadales funkcija Gadījuma lieluma sadalījuma funkcija X ir funkcija, kas definēta visā skaitļu rindā un ir vienāda ar varbūtību, ka X būs mazāk X:

Jautājumi eksāmenam

Pasākums.

Darbības nejaušos notikumos.

Notikuma varbūtības jēdziens.

Noteikumi varbūtību saskaitīšanai un reizināšanai. Nosacītās varbūtības.

Kopējās varbūtības formula. Beijesa formula.

Bernulli shēma.

Gadījuma lielums, tā sadalījuma funkcija un sadalījuma rindas.

Sadales funkcijas pamatīpašības.

Paredzamā vērtība. Matemātiskās gaidīšanas īpašības.

Izkliede.

Izkliedes īpašības.

Viendimensionāla gadījuma lieluma varbūtības blīvuma sadalījums.

Sadalījumu veidi: vienmērīgs, eksponenciālais, normālais, binomālais un Puasona sadalījums.

Moivre-Laplasa lokālās un integrālās teorēmas.

Divu gadījuma lielumu sistēmas likums un sadalījuma funkcija.

Divu nejaušu lielumu sistēmas sadalījuma blīvums.

Nosacīti sadales likumi, nosacītā matemātiskā cerība.

Atkarīgie un neatkarīgie gadījuma lielumi. Korelācijas koeficients.

Paraugs.

Paraugu apstrāde. Daudzstūris un frekvences histogramma. Empīriskā sadalījuma funkcija. Izplatības parametru novērtēšanas jēdziens. Prasības novērtējumam. Ticamības intervāls. Intervālu konstruēšana matemātiskās cerības un standartnovirzes novērtēšanai.

Statistiskās hipotēzes. Piekrišanas kritēriji.

Varbūtību teorijas pielietojumos eksperimenta kvantitatīvie raksturlielumi ir primāri svarīgi. Tiek saukts daudzums, ko var kvantitatīvi noteikt un kurš eksperimenta rezultātā var iegūt dažādas vērtības atkarībā no gadījuma

nejaušais mainīgais.

Nejaušo mainīgo piemēri:

1. Reižu skaits, kad desmit kauliņa metienos parādās pāra punktu skaits.

2. Šāvēja sitienu skaits mērķī, kurš veic šāvienu sēriju. 3. Sprāgstoša čaulas fragmentu skaits.

Katrā no sniegtajiem piemēriem nejaušajam mainīgajam var būt tikai izolētas vērtības, tas ir, vērtības, kuras var numurēt, izmantojot dabisku skaitļu sēriju.

Tādu nejaušu lielumu, kura iespējamās vērtības ir atsevišķi izolēti skaitļi, kurus šis mainīgais ņem ar noteiktām varbūtībām, sauc Diskrēts gadījuma lielums ir tā iespējamo vērtību un to atbilstošo varbūtību saraksts. Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likumu var norādīt tabulas veidā (varbūtības sadalījuma rindas), analītiski un grafiski (varbūtības sadalījuma daudzstūris).

Veicot eksperimentu, kļūst nepieciešams novērtēt pētāmo vērtību “vidēji”. Gadījuma lieluma vidējās vērtības lomu spēlē skaitlisks raksturlielums, ko sauc matemātiskās cerības, ko nosaka pēc formulas

Kur x 1 , x 2 ,.. , x n– gadījuma lieluma vērtības X, A lpp 1 ,lpp 2 , ... , lpp n- šo vērtību varbūtības (ņemiet vērā, ka lpp 1 + lpp 2 +…+ lpp n = 1).

Piemērs. Šaušana tiek veikta mērķī (11. att.).

I trāpījums dod trīs punktus, II – divus punktus, III – vienu punktu. Viena šāvēja vienā šāvienā gūto punktu skaitam ir formas sadalījuma likums

Lai salīdzinātu šāvēju meistarību, pietiek salīdzināt iegūto punktu vidējās vērtības, t.i. matemātiskās cerības M(X) Un M(Y):

M(X) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

M(Y) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

Otrais šāvējs dod vidēji nedaudz lielāku punktu skaitu, t.i. tas dos labākus rezultātus, ja to atlaidīs atkārtoti.

Atzīmēsim matemātiskās cerības īpašības:

1. Pastāvīgās vērtības matemātiskā sagaidāmā vērtība ir vienāda ar pašu konstanti:

M(C) = C.

2. Nejaušo lielumu summas matemātiskā cerība ir vienāda ar terminu matemātisko gaidu summu:

M=(X 1 + X 2 +…+ X n)= M(X 1)+ M(X 2)+…+ M(X n).

3. Savstarpēji neatkarīgu gadījuma lielumu reizinājuma matemātiskā cerība ir vienāda ar faktoru matemātisko gaidu reizinājumu.

M(X 1 X 2 … X n) = M(X 1)M(X 2)… M(X n).

4. Binoma sadalījuma matemātiskais noliegums ir vienāds ar mēģinājumu skaita un notikuma iespējamības reizinājumu vienā izmēģinājumā (4.6. uzdevums).

M(X) = pr.

Lai novērtētu, kā nejaušs mainīgais “vidēji” novirzās no tā matemātiskās cerības, t.i. Lai raksturotu gadījuma lieluma vērtību izplatību varbūtības teorijā, tiek izmantots dispersijas jēdziens.

dispersija nejaušais mainīgais X sauc par novirzes kvadrātā matemātisko cerību:

D(X) = M[(X - M(X)) 2 ].

Izkliede ir gadījuma lieluma izkliedes skaitlisks raksturlielums. No definīcijas ir skaidrs, ka jo mazāka ir nejaušā lieluma izkliede, jo tuvāk tā iespējamās vērtības atrodas ap matemātisko cerību, tas ir, jo labāk nejaušā lieluma vērtības raksturo tā matemātiskā gaida. .

No definīcijas izriet, ka dispersiju var aprēķināt, izmantojot formulu

.

Ir ērti aprēķināt dispersiju, izmantojot citu formulu:

D(X) = M(X 2) - (M(X)) 2 .

Dispersijai ir šādas īpašības:

1. Konstantes dispersija ir nulle:

D(C) = 0.

2. Pastāvīgo koeficientu var izņemt no dispersijas zīmes, sadalot to kvadrātā:

D(CX) = C 2 D(X).

3. Neatkarīgo gadījuma lielumu summas dispersija ir vienāda ar terminu dispersijas summu:

D(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X n)= D(X 1)+ D(X 2)+…+ D(X n)

4. Binomiālā sadalījuma dispersija ir vienāda ar mēģinājumu skaita un notikuma iestāšanās un nenotikšanas varbūtības reizinājumu vienā izmēģinājumā:

D(X) = npq.

Varbūtību teorijā bieži tiek izmantots skaitlisks raksturlielums, kas vienāds ar nejauša lieluma dispersijas kvadrātsakni. Šo skaitlisko raksturlielumu sauc par vidējo kvadrātveida novirzi un apzīmē ar simbolu

.

Tas raksturo nejauša lieluma novirzes aptuveno lielumu no tā vidējās vērtības, un tam ir tāda pati dimensija kā nejaušajam mainīgajam.

4.1. Šāvējs izšauj trīs šāvienus mērķī. Varbūtība trāpīt mērķī ar katru šāvienu ir 0,3.

Izveidojiet izplatīšanas sēriju trāpījumu skaitam.

Risinājums. Trāpījumu skaits ir diskrēts gadījuma mainīgais X. Katra vērtība x n nejaušais mainīgais X atbilst noteiktai varbūtībai P n .

Diskrētā gadījuma lieluma sadalījuma likumu šajā gadījumā var norādīt tuvu izplatīšanai.

Šajā problēmā Xņem vērtības 0, 1, 2, 3. Saskaņā ar Bernulli formulu

,

Atradīsim nejaušā lieluma iespējamo vērtību varbūtības:

R 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

R 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

R 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

R 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

Sakārtojot nejaušā lieluma vērtības X augošā secībā iegūstam sadalījuma sēriju:

Ņemiet vērā, ka summa

nozīmē varbūtību, ka nejaušais mainīgais Xņems vismaz vienu vērtību no iespējamām vērtībām, un tāpēc šis notikums ir ticams

.

4.2 .Urnā ir četras bumbiņas ar cipariem no 1 līdz 4. Izņem divas bumbiņas. Izlases vērtība X– bumbiņu skaitļu summa. Izveidojiet nejauša lieluma sadalījuma sēriju X.

Risinājums. Gadījuma mainīgo vērtības X ir 3, 4, 5, 6, 7. Atradīsim atbilstošās varbūtības. Gadījuma mainīgā vērtība 3 X var pieņemt vienīgajā gadījumā, ja vienai no izvēlētajām bumbiņām ir skaitlis 1, bet otrai 2. Iespējamo pārbaudes rezultātu skaits ir vienāds ar četru kombināciju skaitu (iespējamo bumbiņu pāru skaits) no diviem.

Izmantojot klasisko varbūtības formulu, mēs iegūstam

Tāpat

R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6.

Summa 5 var parādīties divos gadījumos: 1 + 4 un 2 + 3, tātad

.

X ir šāda forma:

Atrodiet sadales funkciju F(x) nejaušais mainīgais X un uzzīmējiet to. Aprēķināt par X tā matemātiskā cerība un dispersija.

Risinājums. Gadījuma lieluma sadalījuma likumu var norādīt ar sadalījuma funkciju

F(x) = P(X x).

Sadales funkcija F(x) ir nesamazinoša, pa kreisi nepārtraukta funkcija, kas definēta visā skaitļu rindā, while

F (- )= 0,F (+ )= 1.

Diskrētam gadījuma mainīgajam šo funkciju izsaka ar formulu

.

Tāpēc šajā gadījumā

Sadales funkcijas grafiks F(x) ir pakāpju līnija (12. att.)

Paredzamā vērtībaM(X) ir vērtību vidējā svērtā aritmētiskā vērtība X 1 , X 2 ,……X n nejaušais mainīgais X ar svariem ρ 1, ρ 2, …… , ρ n un to sauc par nejaušā mainīgā lieluma vidējo vērtību X. Pēc formulas

M(X)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 +……+ x n ρ n

M(X) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.

Izkliede raksturo nejauša lieluma vērtību izkliedes pakāpi no tā vidējās vērtības un tiek apzīmēta D(X):

D(X)=M[(HM(X)) 2 ]= M(X 2) –[M(X)] 2 .

Diskrēta gadījuma mainīgā dispersijai ir forma

vai arī to var aprēķināt, izmantojot formulu

Aizvietojot uzdevuma skaitliskos datus formulā, mēs iegūstam:

M(X 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D(X) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. Divus kauliņus met divas reizes vienlaicīgi. Uzrakstiet diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma binominālo likumu X- pāra kopējo punktu skaitu uz diviem kauliņiem.

Risinājums. Ieviesīsim nejaušu notikumu

A= (divi kauliņi ar vienu metienu kopā radīja pāra punktu skaitu).

Izmantojot klasisko varbūtības definīciju, mēs atrodam

R(A)= ,

Kur n - iespējamo testa rezultātu skaitu nosaka noteikums

reizināšana:

n = 6∙6 =36,

m - cilvēku skaits, kas atbalsta pasākumu A rezultāti - vienādi

m= 3∙6=18.

Tādējādi veiksmes varbūtība vienā izmēģinājumā ir

ρ = P(A)= 1/2.

Problēma tiek atrisināta, izmantojot Bernulli testa shēmu. Viens izaicinājums šeit būs vienu reizi mest divus kauliņus. Šādu pārbaužu skaits n = 2. Nejaušs lielums Xņem vērtības 0, 1, 2 ar varbūtībām

R 2 (0) =,R 2 (1) =∙,R 2 (2) =

Nepieciešamais gadījuma lieluma binomiālais sadalījums X var attēlot kā izplatīšanas sēriju:

4.5 . Sešu daļu partijā ir četras standarta daļas. Trīs daļas tika atlasītas pēc nejaušības principa. Izveidojiet diskrēta gadījuma lieluma varbūtības sadalījumu X– standarta detaļu skaits starp atlasītajām un atrast tā matemātisko cerību.

Risinājums. Gadījuma mainīgo vērtības X ir skaitļi 0,1,2,3. Tas ir skaidrs R(X=0)=0, jo ir tikai divas nestandarta daļas.

R(X=1) =
=1/5,

R(X= 2) =
= 3/5,

R(X=3) =
= 1/5.

Gadījuma lieluma sadalījuma likums X Iesniegsim to izplatīšanas sērijas veidā:

Paredzamā vērtība

M(X)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Pierādīt, ka diskrēta gadījuma lieluma matemātiskā cerība X- notikuma gadījumu skaits A V n neatkarīgi izmēģinājumi, kuros katrā notikuma rašanās varbūtība ir vienāda ar ρ – vienāds ar mēģinājumu skaita reizinājumu ar notikuma rašanās varbūtību vienā izmēģinājumā, tas ir, lai pierādītu, ka binomiālā sadalījuma matemātiskā cerība

M(X) =n . ρ ,

un dispersija

D(X) =n.p. .

Risinājums. Izlases vērtība X var ņemt vērtības 0, 1, 2..., n. Varbūtība R(X= k) tiek atrasts, izmantojot Bernulli formulu:

R(X=k)= R n(k)= ρ Uz (1-ρ ) n- Uz

Gadījuma lieluma sadalījuma rindas X ir šāda forma:

Kur q= 1- ρ .

Matemātiskajām cerībām mums ir izteiksme:

M(X)=ρq n - 1 +2 ρ 2 q n - 2 +…+.n ρ n

Viena testa gadījumā, tas ir, ar n= 1 nejaušam mainīgajam X 1 – notikuma reižu skaits A- izplatīšanas sērijai ir šāda forma:

M(X 1)= 0∙q + 1 ∙ lpp = lpp

D(X 1) = lpp – lpp 2 = lpp(1- lpp) = pq.

Ja X k – notikuma reižu skaits A kurā testā, tad R(X Uz)= ρ Un

X=X 1 +X 2 +….+X n .

No šejienes mēs iegūstam

M(X)=M(X 1 )+M(X 2)+ … +M(X n)= nr,

D(X)=D(X 1)+D(X 2)+ ... +D(X n)=npq.

4.7. Kvalitātes kontroles nodaļa pārbauda produktu standartu. Varbūtība, ka produkts ir standarta, ir 0,9. Katrā partijā ir 5 produkti. Atrodiet diskrēta gadījuma lieluma matemātisko cerību X- partiju skaits, kurās katrā būs 4 standarta produkti - ja pārbaudei pakļautas 50 partijas.

Risinājums. Varbūtība, ka katrā nejauši izvēlētajā partijā būs 4 standarta produkti, ir nemainīga; apzīmēsim to ar ρ .Tad nejaušā lieluma matemātiskā gaida X vienāds M(X)= 50∙ρ.

Noskaidrosim varbūtību ρ pēc Bernulli formulas:

ρ=P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

M(X)= 50∙0,32=16.

4.8 . Tiek izmesti trīs kauliņi. Atrodiet nomesto punktu summas matemātisko cerību.

Risinājums. Jūs varat atrast izlases lieluma sadalījumu X- nomesto punktu summa un pēc tam tās matemātiskās cerības. Tomēr šis ceļš ir pārāk apgrūtinošs. Vieglāk ir izmantot citu paņēmienu, kas attēlo nejaušu mainīgo X, kuras matemātiskā gaida ir jāaprēķina, vairāku vienkāršāku nejaušības lielumu summas veidā, kuru matemātisko gaidu ir vieglāk aprēķināt. Ja nejaušais mainīgais X i- tas ir punktu skaits, par kuru ir samazinājies i- kauli ( i= 1, 2, 3), tad punktu summa X tiks izteikts formā

X = X 1 + X 2 + X 3 .

Lai aprēķinātu sākotnējā gadījuma lieluma matemātisko cerību, atliek tikai izmantot matemātiskās gaidīšanas īpašību

M(X 1 + X 2 + X 3 )= M(X 1 )+ M(X 2)+ M(X 3 ).

Ir skaidrs, ka

R(X i = K)= 1/6, UZ= 1, 2, 3, 4, 5, 6, i= 1, 2, 3.

Tāpēc nejaušā mainīgā matemātiskā cerība X i izskatās kā

M(X i) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

M(X) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Nosakiet matemātisko paredzamo to ierīču skaitu, kuras testēšanas laikā neizdevās, ja:

a) atteices iespējamība visām ierīcēm ir vienāda R, un pārbaudāmo ierīču skaits ir vienāds ar n;

b) neveiksmes varbūtība par i – ierīces vērtība ir vienāda ar lpp i , i= 1, 2, … , n.

Risinājums.Ļaujiet nejaušajam mainīgajam X ir bojāto ierīču skaits

X = X 1 + X 2 + … + X n ,

X i =

Tas ir skaidrs

R(X i = 1)= R i , R(X i = 0)= 1– R i ,i= 1, 2, … ,n.

M(X i)= 1∙R i + 0∙(1-R i)=P i ,

M(X)=M(X 1)+M(X 2)+ … +M(X n)=P 1 +P 2 + … + P n .

Gadījumā “a” ierīces atteices varbūtība ir tāda pati, tas ir

R i =p,i= 1, 2, … ,n.

M(X)= n.p..

Šo atbildi varētu iegūt uzreiz, ja pamanām, ka nejaušais mainīgais X ir binomiāls sadalījums ar parametriem ( n, lpp).

4.10. Divas reizes tiek izmesti divi kauliņi. Uzrakstiet diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma binominālo likumu X - pāra punktu skaita metienu skaits uz diviem kauliņiem.

Risinājums. Ļaujiet

A=(pāra skaitļa mešana uz pirmā kauliņa),

B =(pāra skaitļa mešana uz otrā kauliņa).

Pāra skaitļa iegūšana uz abiem kauliņiem vienā metienā tiek izteikta ar reizinājumu AB. Tad

R (AB) = R(A)∙R(IN) =
.

Divu kauliņu otrā metiena rezultāts nav atkarīgs no pirmā, tāpēc Bernulli formula tiek piemērota, kad

n = 2,p = 1/4, q = 1– p = 3/4.

Izlases vērtība X var ņemt vērtības 0, 1, 2 , kuras varbūtību var atrast, izmantojot Bernulli formulu:

R(X= 0)= P 2 (0) = q 2 = 9/16,

R(X= 1)= P 2 (1)= C ,R∙q = 6/16,

R(X= 2)= P 2 (2)= C , R 2 = 1/16.

Gadījuma lieluma sadalījuma rindas X:

4.11. Ierīce sastāv no liela skaita neatkarīgi strādājošu elementu ar tādu pašu ļoti mazu katra elementa atteices iespējamību laika gaitā t. Atrodiet vidējo atteikumu skaitu laika gaitā t elementi, ja varbūtība, ka vismaz viens elements šajā laikā neizdosies, ir 0,98.

Risinājums. Cilvēku skaits, kuri laika gaitā atteicās t elementi – gadījuma lielums X, kas tiek sadalīts pēc Puasona likuma, jo elementu skaits ir liels, elementi darbojas neatkarīgi un katra elementa atteices varbūtība ir maza. Vidējais notikuma gadījumu skaits n testi vienādi

M(X) = n.p..

Kopš neveiksmes varbūtības UZ elementi no n izteikts ar formulu

R n (UZ)
,

kur  = n.p., tad varbūtība, ka šajā laikā neizdosies neviens elements t mēs nokļūstam plkst K = 0:

R n (0)= e -  .

Tāpēc pretēja notikuma varbūtība ir laikā t vismaz viens elements neizdodas - vienāds ar 1 - e -  . Atbilstoši problēmas nosacījumiem šī varbūtība ir 0,98. No Eq.

1 - e -  = 0,98,

e -  = 1 – 0,98 = 0,02,

no šejienes  = -ln 0,02  4.

Tātad ar laiku t ierīces darbība, vidēji 4 elementi neizdosies.

4.12 . Kauliņus met, līdz parādās “divi”. Atrodi vidējo metienu skaitu.

Risinājums. Ieviesīsim nejaušu mainīgo X– testu skaits, kas jāveic, līdz notiek mūs interesējošais notikums. Varbūtība, ka X= 1 ir vienāda ar varbūtību, ka viena kauliņa mešanas laikā parādīsies “divi”, t.i.

R(X= 1) = 1/6.

Pasākums X= 2 nozīmē, ka pirmajā testā “divi” nesanāca, bet otrajā sanāca. Notikuma varbūtība X= 2 tiek atrasts pēc neatkarīgu notikumu varbūtību reizināšanas likuma:

R(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

Tāpat

R(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

utt. Mēs iegūstam varbūtības sadalījumu sēriju:

Vidējais metienu (mēģinājumu) skaits ir matemātiskā cerība

M(X) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + UZ (5/6) UZ -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + UZ (5/6) UZ -1 + …)

Atradīsim sērijas summu:

UZg UZ -1 = (g UZ) g 
.

Tāpēc

M(X) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

Tādējādi jums ir jāizdara vidēji 6 kauliņu metieni, līdz parādās “divi”.

4.13. Neatkarīgi testi tiek veikti ar tādu pašu notikuma rašanās varbūtību A katrā testā. Atrodiet notikuma varbūtību A, ja notikuma gadījumu skaita dispersija trīs neatkarīgos izmēģinājumos ir 0,63 .

Risinājums. Notikuma gadījumu skaits trīs izmēģinājumos ir nejaušs mainīgais X, sadalīts saskaņā ar binominālo likumu. Notikuma atgadījumu skaita dispersija neatkarīgos izmēģinājumos (ar vienādu notikuma iestāšanās varbūtību katrā izmēģinājumā) ir vienāda ar izmēģinājumu skaita reizinājumu ar notikuma iestāšanās un nenotikšanas varbūtību (4.6. problēma)

D(X) = npq.

Pēc nosacījuma n = 3, D(X) = 0,63, lai jūs varētu R atrast no vienādojuma

0,63 = 3∙R(1-R),

kam ir divi risinājumi R 1 = 0,7 un R 2 = 0,3.