Īpaši gadījumi, kad centrā tiek nogādāta patvaļīga telpiskā spēku sistēma. Reducēšanas gadījumi līdz vienkāršākajai formai Spēku plaknes sistēmas līdzsvara vienādojumu formas

Cietam ķermenim vienlaikus jāpieliek vairāki spēku pāri ar momentiem, kas darbojas dažādās plaknēs. Vai ir iespējams reducēt šo pāru sistēmu uz vienkāršāku formu? Izrādās, ka tas ir iespējams, un atbildi ierosina šāda teorēma par divu pāru pievienošanu.

Teorēma. Divi spēku pāri, kas darbojas dažādās plaknēs, ir līdzvērtīgi vienam spēku pārim ar momentu, kas vienāds ar doto pāru momentu ģeometrisko summu.

Ļaujiet pāriem definēt to momentus un (36. att., a). Konstruēsim divas plaknes, kas ir perpendikulāras šiem vektoriem (pāru darbības plakne) un, izvēloties noteiktu segmentu AB uz plakņu krustošanās līnijas abiem pāriem kopīgajam plecam, konstruēsim atbilstošos pārus: (Zīm. 36, b).

Saskaņā ar pāra brīža definīciju mēs varam rakstīt

Punktos A un B mums ir saplūstoši spēki. Piemērojot spēku paralelograma likumu (3. aksioma), mēs iegūsim:

Dotie pāri izrādās līdzvērtīgi diviem spēkiem, kas arī veido pāri. Tādējādi teorēmas pirmā daļa ir pierādīta. Teorēmas otrā daļa tiek pierādīta, tieši aprēķinot iegūtā pāra momentu:

Ja ir vairāki pāri, tad saskaitot tos pa pāriem saskaņā ar šo teorēmu, jebkuru pāru skaitu var samazināt līdz vienam pārim. Rezultātā mēs nonākam pie šāda secinājuma: spēku pāru kopu (sistēmu), kas tiek pielietota absolūti stingram ķermenim, var reducēt uz vienu pāri ar momentu, kas vienāds ar visu doto pāru momentu ģeometrisko summu.

Matemātiski to var uzrakstīt šādi:

Attēlā 37. attēlā ir sniegta iegūtā secinājuma ģeometriska ilustrācija.

Spēku pāru līdzsvaram ir nepieciešams, lai iegūtā pāra moments būtu vienāds ar nulli, kas noved pie vienādības

Šo nosacījumu var izteikt ģeometriskā un analītiskā formā. Spēku pāru līdzsvara ģeometriskais nosacījums: lai spēku pāru sistēma būtu līdzsvarā, ir nepieciešams un pietiekami, lai no visu pāru momentiem konstruētais vektoru daudzstūris būtu aizvērts.

Spēku pāru līdzsvara analītiskais nosacījums: lai spēku pāru sistēma būtu līdzsvarā, ir nepieciešams un pietiekami, lai visu pāru momentu vektoru projekciju algebriskās summas uz patvaļīgi izvēlētām koordinātu asīm Oxyz ir vienādas ar nulli:

Ja visi pāri atrodas vienā plaknē, tas ir, veido plakanu pāru sistēmu, tiek iegūts tikai viens analītiskais līdzsvara nosacījums — pāru algebrisko momentu summa ir vienāda ar nulli.

Pašpārbaudes jautājumi

1. Kas ir spēka daudzstūra likums? Kam tiek izmantots spēka daudzstūris?

2. Kā analītiski atrast saplūstošo spēku rezultantu?

3. Kāds ir saplūstošo spēku līdzsvara ģeometriskais nosacījums? Kā šis pats nosacījums tiek formulēts analītiski?

4. Nosakiet trīs spēku teorēmu.

5. Kuras statikas problēmas sauc par statiski definētām un kuras par statiski nenoteiktām? Sniedziet statiski nenoteiktas problēmas piemēru.

6. Ko sauc par spēku pāri?

7. Ko sauc par spēku pāra momentu (vektori-momentu)? Kāds ir momenta virziens, lielums un pielietojuma punkts?

8. Ko sauc par pāra algebrisko momentu?

9. Formulējiet noteikumu kosmosā patvaļīgi izvietotu pāru pievienošanai.

10. Kādi ir vektoru, ģeometriskie un analītiskie nosacījumi spēku pāru sistēmas līdzsvaram?

Galvenā statikas teorēma par patvaļīgas spēku sistēmas nogādāšanu noteiktā centrā: Jebkura plaknes spēku sistēma ir ekvivalenta vienam spēkam, kas vienāds ar sistēmas galveno vektoru, kas pielikts kādā punktā (reducēšanas centrā) un spēku pārim, kura moments ir vienāds ar sistēmas relatīvo spēku galveno momentu. uz samazinājuma centru.

Teorēmas pierādīšana tiek veikta šādā secībā: atlasiet noteiktu punktu (piemēram, punktu PAR) kā samazināšanas centru un pārnes katru spēku uz šo punktu, saskaitot saskaņā ar teorēmu par paralēlu spēku pārnešanu, atbilstošos spēku pārus. Rezultātā tiek iegūta punktā pielikto konverģējošu spēku sistēma PAR, kur , un pievienoto spēku pāru sistēma, kuras momenti ir . Tad saplūstošo spēku sistēmu aizstāj ar rezultantu, kas vienāds ar sistēmas galveno vektoru, un spēku pāru sistēmu aizstāj ar vienu spēku pāri ar momentu, kas vienāds ar sistēmas galveno momentu attiecībā pret sistēmas centru. samazināšana . Rezultātā mēs iegūstam, ka ~. Līdz ar to teorēma ir pierādīta.

Spēku telpiskās sistēmas samazināšanas gadījumi vienkāršākajā formā:

1, a – sistēma tiek reducēta uz vienu spēku pāri ar momentu, kas vienāds ar sistēmas galveno momentu, un sistēmas galvenā momenta vērtība nav atkarīga no samazināšanas centra izvēles.

2, a – spēku sistēma reducēta līdz rezultātam, kas vienāds ar sistēmas galveno vektoru, kura darbības līnija iet caur samazinājuma centru O.

3, un – šāda spēku sistēma tiek reducēta līdz vienam rezultātam, kas vienāds ar sistēmas galveno vektoru, kura darbības līnija ir nobīdīta no iepriekšējā samazināšanas centra par attālumu.

4 Ja galvenais vektors un galvenais moments ir , tad spēku sistēma būs līdzsvarota, t.i. ~0.

2.1.5. Līdzsvara nosacījumi plakanai spēku sistēmai

Jebkuras plaknes spēku sistēmas līdzsvaram nepieciešamos un pietiekamos nosacījumus nosaka vienādojumi:

Plaknes spēku sistēmas galvenā vektora lielumu nosaka atkarības: , bet galveno momentu - atkarība .

Galvenais vektors būs vienāds ar nulli tikai tad, ja vienlaicīgi . Līdz ar to līdzsvara nosacījumi ir izpildīti, ja ir izpildīti šādi analītiskie vienādojumi:

Šie vienādojumi ir pamata ( vispirms ) patvaļīgas plaknes spēku sistēmas līdzsvara analītisko nosacījumu forma, kas formulēti šādi: patvaļīgas plaknes spēku sistēmas līdzsvaram ir nepieciešams un pietiekami, ka visu spēku projekciju summa uz katru no divām koordinātu asīm un šo spēku momentu algebriskā summa attiecībā pret jebkuru punktu uz plaknes spēku darbība ir vienāda ar nulli.

Ņemiet vērā, ka līdzsvara vienādojumu skaits patvaļīgai plaknes spēku sistēmai vispārējā gadījumā ir trīs. Tos var noformēt dažādās formās.

Patvaļīgai plaknes spēku sistēmai ir vēl divas līdzsvara vienādojumu formas, kuru izpilde izsaka līdzsvara nosacījumus ().

Otrkārt analītiskā līdzsvara nosacījumu forma nodrošina: patvaļīgas plaknes spēku sistēmas līdzsvaram ir nepieciešams un pietiekami, ka visu spēku momentu summa attiecībā pret diviem punktiem un šo spēku projekciju summa uz asi, kas nav perpendikulāra taisnei, kas novilkta caur šiem punktiem. punkti ir vienādi ar nulli:

(rinda AB nav perpendikulāra asij Ak)

Formulēsim trešais analītisko nosacījumu forma aplūkojamās spēku sistēmas līdzsvaram: patvaļīgas plaknes spēku sistēmas līdzsvaram ir nepieciešams un pietiekami, ka sistēmas spēku momentu summa attiecībā pret jebkuriem trim punktiem, kas neatrodas uz vienas taisnes, ir vienāda ar nulli:

Plaknes paralēlu spēku sistēmas gadījumā jūs varat virzīt asi OU paralēli sistēmas spēkiem. Tad katra sistēmas spēka projekcijas uz asi Ak būs vienāds ar nulli. Rezultātā plakanai paralēlu spēku sistēmai saglabāsies divas līdzsvara nosacījumu formas.

Plakanas paralēlu spēku sistēmas līdzsvaram ir nepieciešams un pietiekami, lai visu spēku projekciju summa uz tām paralēlo asi un visu spēku momentu summa attiecībā pret jebkuru punktu būtu vienāda ar nulli:

Šī pirmā analītiskā līdzsvara nosacījumu forma paralēlu spēku plaknes sistēmai izriet no vienādojumiem ().

Otro līdzsvara nosacījumu formu paralēlu spēku sistēmai iegūstam no vienādojumiem ().

Plakanas paralēlu spēku sistēmas līdzsvaram ir nepieciešams un pietiekami, ka visu sistēmas spēku momentu summa attiecībā pret diviem punktiem, kas neatrodas uz taisnas līnijas, kas ir paralēla spēkiem, ir vienāda ar nulli:

Kā parādīts 12. paragrāfā, jebkurš no tiem vispārējā gadījumā tiek reducēts līdz spēkam, kas vienāds ar galveno vektoru R un tiek pielikts patvaļīgā centrā O, un līdz pārim ar momentu, kas vienāds ar galveno momentu (sk. 40. att., b). ). Noskaidrosim, uz kādu vienkāršāko formu var reducēt telpisku spēku sistēmu, kas nav līdzsvarā. Rezultāts ir atkarīgs no vērtībām, kas šai sistēmai ir lielumiem R un

1. Ja dotajai spēku sistēmai , tad to reducē uz spēku pāri, kura moments ir vienāds un ko var aprēķināt, izmantojot formulas (50). Šajā gadījumā, kā parādīts 12. paragrāfā, vērtība nav atkarīga no centra O izvēles.

2. Ja dotajai spēku sistēmai, tad to samazina līdz rezultātam, kas vienāds ar R, kura darbības līnija iet caur centru O. R vērtību var atrast, izmantojot formulas (49).

3. Ja dotai spēku sistēmai bet tad arī šī sistēma tiek reducēta līdz rezultātam, kas vienāds ar R, bet neiet caur centru O.

Patiešām, kad pāris, ko attēlo vektors, un spēks R atrodas vienā plaknē (91. att.).

Pēc tam izvēloties pāra spēkus, kas vienādi ar moduli R, un sakārtojot tos, kā parādīts attēlā. 91, mēs atklājam, ka spēki tiks savstarpēji līdzsvaroti, un sistēma tiks aizstāta ar vienu rezultējošo darbības līniju, kura iet caur punktu O (sk. 15. §, 2. punkta b) apakšpunktu). Attālums ) tiek noteikts pēc formulas (28), kur

Ir viegli pārbaudīt, vai aplūkotais gadījums it īpaši vienmēr notiks jebkurai paralēlu spēku sistēmai vai spēku sistēmai, kas atrodas vienā plaknē, ja šīs sistēmas galvenais vektors Ja noteiktai spēku sistēmai un vektors ir paralēls R (92. att., a) , tas nozīmē, ka spēku sistēma tiek reducēta līdz spēka R un pāra P, P kombinācijai, kas atrodas plaknē, kas ir perpendikulāra spēkam (92. att., b). Šādu spēka un pāra kombināciju sauc par dinamisko skrūvi, un taisne, pa kuru virzīts vektors R, ir skrūves ass. Turpmāka šīs spēku sistēmas vienkāršošana nav iespējama. Faktiski, ja par samazināšanas centru ņemam jebkuru citu punktu C (92. att., a), tad vektoru var pārnest uz punktu C kā brīvu, un, kad spēks R tiek pārnests uz punktu C (sk. 11. §) , vēl viens pāris ar momentu, kas ir perpendikulārs vektoram R, un tāpēc . Rezultātā iegūtā pāra moments būs skaitliski lielāks, tāpēc iegūtā pāra momentam šajā gadījumā ir vismazākā vērtība, kad tas tiek novests uz centru O. Šo spēku sistēmu nevar reducēt uz vienu spēku (rezultātu) vai uz vienu pāri.

Ja spēkam R pievieno vienu no pāra spēkiem, piemēram, P, tad aplūkojamo spēku sistēmu var aizstāt arī ar diviem krustojošiem spēkiem, tas ir, spēkiem Q, kas neatrodas vienā plaknē (att. 93). Tā kā iegūtā spēku sistēma ir līdzvērtīga dinamiskai skrūvei, tai arī nav rezultāta.

5. Ja dotai spēku sistēmai un tajā pašā laikā vektori un R nav viens otram perpendikulāri un nav paralēli, tad arī šāda spēku sistēma tiek reducēta līdz dinamiskai skrūvei, bet skrūves ass nebūs. iet caur centru O.

Lai to pierādītu, sadalīsim vektoru komponentēs: vērsti pa R un perpendikulāri R (94. att.). Šajā gadījumā, kur ir vektori un R. Pāris, ko attēlo vektors un spēks R, var būt, kā attēlā parādītajā gadījumā. 91, aizstāt ar vienu spēku R, kas pielikts punktā O. Tad šī spēku sistēma tiks aizstāta ar spēku un paralēlu griezes momentu pāri, un vektoru kā brīvu var pielietot arī punktā O. Rezultāts faktiski būs jābūt dinamiskai skrūvei, bet ar asi, kas iet caur punktu

Ja pēc telpiskās spēku sistēmas nogādāšanas izvēlētajā centrā O galvenais vektors un galvenais moments ir vienādi ar nulli, t.i.

Spēku sistēma ir līdzsvarota. Šādas spēku sistēmas ietekmē cietais ķermenis būs līdzsvarā. Ir acīmredzams, ka vispārīgā gadījumā divi vektoru vienādojumi (4.1) atbilst sešiem skalārajiem vienādojumiem, kas atspoguļo šo vektoru projekciju vienādību ar nulli uz izvēlētās koordinātu sistēmas asīm (piemēram, Dekarta).

Ja pēc telpiskās spēku sistēmas nogādāšanas izvēlētajā centrā O galvenais vektors ir vienāds ar nulli, bet galvenais moments nav vienāds ar nulli, t.i.

Iegūtais spēku pāris iedarbojas uz ķermeni, tiecoties to pagriezt. Ņemiet vērā, ka šajā gadījumā samazināšanas centra izvēle neietekmē rezultātu.

Ja pēc telpiskās spēku sistēmas nogādāšanas izvēlētajā centrā O galvenais vektors nav vienāds ar nulli, bet galvenais moments ir vienāds ar nulli, t.i.

Uz ķermeni iedarbojas izrietošā spēku sistēma, kas iet caur samazinājuma centru un tiecas pārvietot ķermeni pa tā darbības līniju. Acīmredzami, ka attiecības (4.3.) ir spēkā visos rezultējošās darbības līnijas punktos.

Ņemiet vērā, ka saplūstošo spēku sistēmas darbība šajā gadījumā tiek samazināta, ja sistēmas spēku darbības līniju krustpunkts tiek ņemts par samazinājuma centru (jo spēku momenti attiecībā pret šo punktu ir vienādi līdz nullei).

Ja pēc telpiskās spēku sistēmas nogādāšanas izvēlētajā centrā O galvenais vektors un galvenais moments nav vienādi ar nulli un to virzieni veido taisnu leņķi, t.i.

tad arī šādu spēku sistēmu var reducēt uz rezultējošu, bet ejot caur citu samazinājuma centru - punktu. Lai veiktu šo darbību, vispirms apsveram līdzvērtīgās spēka sistēmas, kas parādītas attēlā. 4.2.b un att. 4.1. Acīmredzot, ja mēs mainām apzīmējumu (punktu B sauc par centru O, punktu A sauc par centru), uzdevums, ar kuru mēs saskaramies, prasa veikt operāciju, kas ir apgriezta tai, kas veikta lemmā par paralēlu spēka pārnešanu. Ņemot vērā iepriekš minēto, punktam, pirmkārt, jāatrodas plaknē, kas ir perpendikulāra galvenā momenta vektoram, kas iet caur centru O, un, otrkārt, jāatrodas uz taisnes, kas ir paralēla galvenā vektora darbības līnijai. spēki un atdalīti no tā attālumā h vienāds ar

No divām atrastajām līnijām jāizvēlas tā, kuras punktiem galvenā momenta vektors ir vienāds ar nulli (spēku galvenā vektora momentam attiecībā pret jauno centru jābūt vienādam pēc lieluma un pretējā virzienā spēku sistēmas galvenais moments attiecībā pret punktu O).

Vispārīgā gadījumā pēc telpiskās spēku sistēmas nogādāšanas izvēlētajā centrā O galvenais vektors un galvenais moments, kas nav vienādi ar nulli, neveido viens ar otru taisnu leņķi (4.5.a att.).

Ja galveno momentu sadala divās komponentēs - pa galveno spēku vektoru un perpendikulāri tam, tad saskaņā ar (4.5) var atrast redukcijas centru, kuram galvenā momenta perpendikulārā sastāvdaļa kļūst vienāda ar nulli, un galvenā vektora un galvenā momenta pirmo komponentu lielumi un virzieni paliek nemainīgi (4.5.b att.). Vektoru kolekciju sauc jaudas skrūve vai dinamo.

Turpmāka vienkāršošana nav iespējama.

Tā kā ar šādām redukcijas centra izmaiņām tikai galvenā momenta projekcija mainās virzienā, kas ir perpendikulārs spēku sistēmas galvenajam vektoram, tad šo vektoru skalārās reizinājuma vērtība paliek nemainīga, t.i.

Šo izteiksmi sauc otrais invariants

statika.

Piemērs 4.1. Taisnstūra paralēlskaldņa virsotnes ar malām un ir pakļautas spēkiem un (sk. 4.6. att.). Ņemot par spēku sistēmas samazinājuma centru attēlā norādītās Dekarta koordinātu sistēmas koordinātu sākumpunktu, pierakstiet galvenā vektora un galvenā momenta projekciju izteiksmes.

Pierakstīsim trigonometriskās attiecības, lai noteiktu leņķus:

Tagad mēs varam uzrakstīt izteiksmes galvenā vektora projekcijām un sistēmas galveno spēku momentiem:

Piezīme: zināšanas par vektoru projekcijām uz koordinātu asīm ļaus, ja nepieciešams, aprēķināt tā lielumu un virziena kosinusus.

Kā tika pierādīts iepriekš, patvaļīgu spēku sistēmu, kas patvaļīgi atrodas telpā, var reducēt līdz vienam spēkam, kas vienāds ar sistēmas galveno vektoru, un pielietot patvaļīgā samazināšanas centrā. PAR, un viens pāris ar momentu, kas vienāds ar sistēmas galveno momentu attiecībā pret to pašu centru. Tāpēc nākotnē patvaļīgu spēku sistēmu var aizstāt ar līdzvērtīgu divu vektoru kopu - spēku un momentu, kas pielikts punktā PAR. Mainot samazinājuma centra pozīciju PAR galvenais vektors saglabās lielumu un virzienu, bet mainīsies galvenais moments. Pierādīsim, ka, ja galvenais vektors nav nulle un ir perpendikulāra galvenajam momentam, tad spēku sistēma tiek reducēta uz vienu spēku, ko šajā gadījumā sauksim par rezultāto (8. att.). Galveno momentu var attēlot ar spēku pāri ( , ) ar plecu, tad spēki un galvenais vektors veido divu sistēmu

spēkus, kas līdzvērtīgi nullei, kurus var atmest. Paliks viens spēks, kas darbosies pa taisnu līniju, kas ir paralēla galvenajam

8. attēls uz vektoru un garāmejot no attāluma

h= no plaknes, ko veido vektori un . Aplūkotais gadījums parāda, ka, ja jau no paša sākuma izvēlamies samazinājuma centru uz taisnes L, tad spēku sistēma uzreiz tiktu nogādāta līdz rezultātam, galvenais moments būtu vienāds ar nulli. Tagad mēs pierādīsim, ka, ja galvenais vektors nav nulle un nav perpendikulārs galvenajam momentam, tad šādu punktu var izvēlēties par samazināšanas centru PAR* ka galvenais moments attiecībā pret šo punktu un galvenais vektors atradīsies uz vienas taisnes. Lai to pierādītu, sadalīsim momentu divās komponentēs - viena ir vērsta gar galveno vektoru, bet otra perpendikulāra galvenajam vektoram. Tādējādi spēku pāris ar momentiem tiek sadalīts divos pāros: un , un pirmā pāra plakne ir perpendikulāra , tad otrā pāra plakne, kas ir perpendikulāra vektoram (9. att.), satur vektoru . Pāra kombinācija ar momentu un spēku veido spēku sistēmu, kuru var reducēt uz vienu spēku (8. att.), kas iet caur punktu O*. Tādējādi (9. att.) galvenā vektora un galvenā momenta kombinācija punktā PAR samazināts līdz spēkam, kas iet caur punktu PAR*, un pāris ar momentu paralēli šai līnijai, kas bija tas, kas bija jāpierāda. Spēka un pāra kombināciju, kuras plakne ir perpendikulāra spēka darbības līnijai, sauc par dinamismu (10. att.). Spēku pāri var attēlot ar diviem vienāda lieluma spēkiem ( , ), kas atrodas, kā parādīts 10. attēlā. Bet, saskaitot abus spēkus un , iegūstam to summu un atlikušo spēku , no kura tas izriet (10. att. ), ka galvenā vektora un galvenā momenta kombinācija punktā PAR, var reducēt līdz diviem nekrustojas spēkiem un .

Apskatīsim dažus spēku sistēmas samazināšanas gadījumus.

1. Plakana spēku sistēma. Noteiktības labad ļaujiet visiem spēkiem atrasties plaknē OXY. Tad vispārīgākajā gadījumā

Galvenais vektors nav nulle, galvenais moments nav nulle, to punktu reizinājums ir nulle, patiešām

tāpēc galvenais vektors ir perpendikulārs galvenajam momentam: spēku plaknes sistēma tiek reducēta uz rezultēto.

2. Paralēlo spēku sistēma. Noteiktības labad visi spēki ir paralēli asij OZ. Tad vispārīgākajā gadījumā

Arī šeit galvenais vektors nav vienāds ar nulli, galvenais moments nav vienāds ar nulli, un to skalārais reizinājums ir vienāds ar nulli, patiešām

tāpēc šajā gadījumā galvenais vektors ir perpendikulārs galvenajam momentam: paralēlo spēku sistēma tiek reducēta līdz rezultētajam. Konkrētajā gadījumā, ja ir vienāds ar nulli, tad galvenais spēku vektors ir vienāds ar nulli, un spēku sistēma tiek reducēta uz spēku pāri, kura momenta vektors atrodas plaknē OXY. Tagad sistematizējam aplūkotos gadījumus. Atcerēsimies: patvaļīga telpiska spēku sistēma, kas pieliek cietam ķermenim, ir statiski ekvivalenta spēkam, kas vienāds ar galveno vektoru, kas pielikts patvaļīgā ķermeņa punktā (reducēšanas centrā), un spēku pārim ar momentu, kas vienāds ar spēku sistēmas galvenais moments attiecībā pret norādīto samazinājuma centru.