8 veidi, kā reizināt. Projekts par tēmu: "Neparasti reizināšanas veidi"
problēma: izprast reizināšanas veidus
Mērķis: iepazīšanās ar dažādām mācību stundās neizmantotajām naturālo skaitļu reizināšanas metodēm un to pielietojumu skaitlisko izteiksmju aprēķināšanā.
Uzdevumi:
1. Atrast un analizēt dažādas reizināšanas metodes.
2. Iemācieties demonstrēt dažas reizināšanas metodes.
3. Runājiet par jauniem reizināšanas veidiem un māciet skolēniem tos izmantot.
4. Attīstīt patstāvīgā darba iemaņas: informācijas meklēšana, atrastā materiāla atlase un apstrāde.
5. Eksperimentējiet, “kura metode ir ātrāka”
Hipotēze:Vai man jāzina reizināšanas tabula?
Atbilstība: Pēdējā laikā skolēni vairāk uzticas sīkrīkiem nekā sev. Un tāpēc viņi paļaujas tikai uz kalkulatoriem. Vēlējāmies parādīt, ka ir dažādi reizināšanas veidi, lai skolēniem būtu vieglāk skaitīt un interesanti mācīties.
IEVADS
Jūs nevarēsit reizināt vairāku ciparu skaitļus — pat divciparu skaitļus —, ja neiegaumēsit visus viencipara reizināšanas rezultātus, tas ir, tā saukto reizināšanas tabulu.
Dažādos laikos dažādām tautām bija dažādi veidi, kā reizināt naturālos skaitļus.
Kāpēc visas tautas tagad izmanto vienu reizināšanas metodi “kolonna”?
Kāpēc cilvēki atteicās no vecajām reizināšanas metodēm par labu mūsdienu?
Vai aizmirstām reizināšanas metodēm ir tiesības pastāvēt mūsu laikos?
Lai atbildētu uz šiem jautājumiem, es veicu šādu darbu:
1. Izmantojot internetu, atradu informāciju par dažām reizināšanas metodēm, kas tika izmantotas iepriekš.;
2. Studējis skolotāja ieteikto literatūru;
3. Atrisināju pāris piemērus, izmantojot visas pētītās metodes, lai noskaidrotu to nepilnības;
4) no tiem identificēti visefektīvākie;
5. Veikts eksperiments;
6. Izdarīja secinājumus.
1. Atrast un analizēt dažādas reizināšanas metodes.
Reizināšana uz pirkstiem.
Veckrievu metode reizināšanai uz pirkstiem ir viena no visbiežāk izmantotajām metodēm, ko krievu tirgotāji veiksmīgi izmantoja daudzus gadsimtus. Viņi iemācījās uz pirkstiem reizināt viencipara skaitļus no 6 līdz 9. Šajā gadījumā pietika ar pirkstu skaitīšanas pamatprasmēm “vienībās”, “pāros”, “trīs”, “četriniekos”, “pieciniekos” un. "desmitiem". Pirksti šeit kalpoja kā papildu skaitļošanas ierīce.
Lai to izdarītu, no vienas puses, viņi izstiepa tik daudz pirkstu, cik pirmais faktors pārsniedz skaitli 5, un, no otras puses, viņi darīja to pašu ar otro faktoru. Atlikušie pirksti bija saliekti. Pēc tam tika ņemts izstiepto pirkstu skaits (kopējais) un reizināts ar 10, pēc tam skaitļi tika reizināti, parādot, cik pirkstu ir saliekti, un rezultāti tika summēti.
Piemēram, sareizināsim 7 ar 8. Aplūkotajā piemērā 2 un 3 pirksti būs saliekti. Saskaitot saliekto pirkstu skaitu (2+3=5) un reizinot nesaliekto pirkstu skaitu (2 3=6), iegūsit attiecīgi desmitnieku un vieniniekus no vēlamās reizinājuma 56. Tādā veidā jūs varat aprēķināt jebkuru viencipara skaitļu reizinājumu, kas lielāks par 5.
Skaitļu reizināšanas metodes dažādās valstīs
Reiziniet ar 9.
Reizināšana skaitlim 9 - 9 1, 9 2 ... 9 10 - ir vieglāk aizmirst no atmiņas un grūtāk pārrēķināt manuāli, izmantojot saskaitīšanas metodi, tomēr īpaši skaitlim 9 reizināšana ir viegli atveidojama “uz pirkstiem ”. Izpletiet pirkstus uz abām rokām un pagrieziet rokas ar plaukstām prom no sevis. Garīgi piešķiriet pirkstiem skaitļus no 1 līdz 10, sākot ar kreisās rokas mazo pirkstiņu un beidzot ar labās rokas mazo pirkstiņu (tas ir parādīts attēlā). 
Kurš izgudroja reizināšanu uz pirkstiem
Pieņemsim, ka mēs vēlamies reizināt 9 ar 6. Mēs saliecam pirkstu ar skaitli, kas vienāds ar skaitli, ar kuru mēs reizināsim deviņus. Mūsu piemērā mums ir jāsaliek pirksts ar skaitli 6. Pirkstu skaits, kas atrodas pa kreisi no saliektā pirksta, parāda mums desmitu skaitu atbildē, pirkstu skaits pa labi parāda vienību skaitu. Kreisajā pusē mums ir 5 pirksti, kas nav saliekti, labajā pusē - 4 pirksti. Tādējādi 9·6=54. Zemāk esošajā attēlā ir detalizēti parādīts viss “aprēķina” princips. 
Reizināšana neparastā veidā
Vēl viens piemērs: jāaprēķina 9·8=?. Pa ceļam pieņemsim, ka pirksti ne vienmēr var darboties kā "rēķina mašīna". Ņemiet, piemēram, 10 šūnas piezīmju grāmatiņā. Izsvītrojiet 8. šūnu. Kreisajā pusē ir palikušas 7 šūnas, labajā pusē ir 2 šūnas. Tātad 9·8=72. Viss ir ļoti vienkārši.
7 šūnas 2 šūnas.
Indijas reizināšanas veids.
Visvērtīgākais ieguldījums matemātisko zināšanu krātuvē tika dots Indijā. Hinduisti ierosināja metodi, ko mēs izmantojam, lai rakstītu skaitļus, izmantojot desmit zīmes: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Šīs metodes pamatā ir ideja, ka viens un tas pats cipars apzīmē vienības, desmitus, simtus vai tūkstošus atkarībā no tā, kur šis cipars atrodas. Aizņemto vietu, ja nav ciparu, nosaka ar cipariem piešķirtajām nullēm.
Indiāņi lieliski prata skaitīt. Viņi izdomāja ļoti vienkāršu veidu, kā pavairot. Viņi veica reizināšanu, sākot no nozīmīgākā cipara, un pa bitam pierakstīja nepilnīgos reizinājumus tieši virs reizinātāja. Šajā gadījumā uzreiz bija redzams nokomplektētās preces nozīmīgākais cipars un turklāt tika novērsta jebkura cipara izlaišana. Reizināšanas zīme vēl nebija zināma, tāpēc viņi atstāja nelielu attālumu starp faktoriem. Piemēram, sareizināsim tos ar 6, izmantojot metodi 537:
(5 ∙ 6 =30) 30
(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318
(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222
6
Reizināšana, izmantojot metodi “MAZĀ PILS”.
Tagad pirmajā skolas klasē mācās skaitļu reizināšanu. Bet viduslaikos reizināšanas mākslu apguva ļoti maz. Tas bija rets aristokrāts, kurš varēja lepoties ar reizināšanas tabulu pārzināšanu, pat ja būtu beidzis kādu Eiropas universitāti.
Matemātikas attīstības tūkstošgades laikā ir izgudroti daudzi skaitļu reizināšanas veidi. Itāļu matemātiķis Luka Pacioli savā traktātā “Aritmētikas, attiecību un proporcionalitātes summa” (1494) sniedz astoņas dažādas reizināšanas metodes. Pirmo no tiem sauc par “Mazo pili”, bet otro ne mazāk romantiski sauc par “Greizsirdību vai režģa reizināšanu”.
Reizināšanas metodes “Mazā pils” priekšrocība ir tā, ka nozīmīgākie cipari tiek noteikti jau pašā sākumā, un tas var būt svarīgi, ja nepieciešams ātri novērtēt vērtību.
Augšējā skaitļa ciparus, sākot no nozīmīgākā cipara, pēc kārtas reizina ar apakšējo skaitli un ieraksta kolonnā, pievienojot vajadzīgo nulles skaitu. Pēc tam rezultāti tiek summēti. 
Skaitļu reizināšanas metodes dažādās valstīs
Skaitļu reizināšana, izmantojot “greizsirdības” metodi.
“Reizināšanas metodes Otrajai metodei ir romantisks nosaukums greizsirdība” vai “režģa reizināšana”.
Vispirms tiek uzzīmēts taisnstūris, kas sadalīts kvadrātos, un taisnstūra malu izmēri atbilst reizinātāja un reizinātāja decimāldaļu skaitam. Tad kvadrātveida šūnas tiek sadalītas pa diagonāli, un "... rezultāts ir režģa slēģiem līdzīgs attēls," raksta Pacioli. "Šādi slēģi tika piekārti uz venēciešu māju logiem, neļaujot ielu garāmgājējiem redzēt pie logiem sēdošās dāmas un mūķenes."
Sareizināsim 347 ar 29 šādi uzzīmēsim tabulu, virs tās uzrakstīsim skaitli 347, bet labajā pusē – 29.
Katrā rindā virs šīs šūnas un pa labi no tās rakstīsim skaitļu reizinājumu, savukārt virs slīpsvītras rakstīsim reizinājuma desmitciparu ciparu, bet zem tās – vienību ciparu. Tagad mēs pievienojam skaitļus katrā slīpajā joslā, veicot šo darbību, no labās uz kreiso pusi. Ja summa ir mazāka par 10, tad to rakstām zem sloksnes apakšējā numura. Ja izrādās, ka tas ir lielāks par 10, tad ierakstām tikai summas vienību ciparu un nākamajai summai pievienojam desmitciparu. Rezultātā iegūstam vēlamo preci 10063.
Zemnieku reizināšanas metode.
Manuprāt, “dzimtākais” un vienkāršākais reizināšanas veids ir krievu zemnieku izmantotā metode. Šim paņēmienam vispār nav vajadzīgas zināšanas par reizināšanas tabulu, kas pārsniedz skaitli 2. Tās būtība ir tāda, ka jebkuru divu skaitļu reizināšana tiek reducēta uz viena skaitļa secīgu dalīšanu uz pusēm, vienlaikus dubultojot otru skaitli. Dalīšana uz pusēm turpinās, līdz koeficients sasniedz 1, vienlaikus dubultojot otru skaitli. Pēdējais dubultotais skaitlis dod vēlamo rezultātu.
Ja skaitlis ir nepāra, noņemiet vienu un sadaliet atlikušo daļu uz pusēm; bet labās kolonnas pēdējam ciparam būs jāpievieno visi tie šīs kolonnas skaitļi, kas atrodas pretī kreisās kolonnas nepāra skaitļiem: summa būs vēlamā reizinājums
Visu atbilstošo skaitļu pāru reizinājums ir vienāds, tātad
37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184
Gadījumā, ja viens no skaitļiem ir nepāra vai abi skaitļi ir nepāra, rīkojieties šādi:
384 ∙ 1 = 384
24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408
Jauns veids, kā pavairot.
Nesen tika ziņots par interesantu jaunu reizināšanas metodi. Jaunās mentālās skaitīšanas sistēmas izgudrotājs, filozofijas kandidāts Vasilijs Okoņņikovs apgalvo, ka cilvēks spēj atcerēties milzīgu informācijas apjomu, galvenais, kā šo informāciju sakārtot. Pēc paša zinātnieka domām, visizdevīgākā šajā ziņā ir deviņkāršu sistēma – visi dati vienkārši ir ievietoti deviņās šūnās, kas atrodas kā kalkulatora pogas.
To ir ļoti viegli aprēķināt, izmantojot šādu tabulu. Piemēram, sareizināsim skaitli 15647 ar 5. Tabulas daļā, kas atbilst pieci, izvēlieties skaitļa cipariem atbilstošos skaitļus secībā: viens, pieci, seši, četri un septiņi. Mēs saņemam: 05 25 30 20 35
Kreiso ciparu (mūsu piemērā nulle) atstājam nemainītu un pa pāriem pievienojam šādus skaitļus: pieci ar divi, pieci ar trīs, nulle ar divi, nulle ar trīs. Arī pēdējais cipars ir nemainīgs.
Rezultātā mēs iegūstam: 078235. Skaitlis 78235 ir reizināšanas rezultāts.
Ja, saskaitot divus ciparus, tiek iegūts skaitlis, kas lielāks par deviņiem, tad tā pirmais cipars tiek pievienots iepriekšējam rezultāta ciparam, bet otrais tiek ierakstīts savā vietā.
 Secinājums.
Strādājot pie šīs tēmas, uzzināju, ka ir aptuveni 30 dažādi, jautri un interesanti veidi, kā pavairot. Daži joprojām tiek izmantoti dažādās valstīs. Esmu sev izvēlējies dažus interesantus veidus. Bet ne visas metodes ir ērti lietojamas, it īpaši, reizinot daudzciparu skaitļus.
Reizināšanas metodes
Matemātikas pētnieciskais darbs sākumskolā
Īss pētnieciskā darba kopsavilkumsKatrs skolēns zina, kā kolonnā reizināt daudzciparu skaitļus. Šajā darbā autore vērš uzmanību uz sākumskolēniem pieejamo alternatīvo reizināšanas metožu esamību, kas “nogurdinošus” aprēķinus var pārvērst jautrā spēlē.
Darbā aplūkotas sešas netradicionālas daudzciparu skaitļu reizināšanas metodes, kas lietotas dažādos vēstures laikmetos: krievu zemnieks, režģis, mazpils, ķīniešu, japāņu, pēc V. Okoņņikova tabulas.
Projekts paredzēts, lai attīstītu izziņas interesi par apgūstamo priekšmetu un padziļinātu zināšanas matemātikas jomā.
Satura rādītājs
Ievads 3
1. nodaļa. Alternatīvās reizināšanas metodes 4
1.1. Nedaudz vēstures 4
1.2. Krievu zemnieku reizināšanas metode 4
1.3. Reizināšana, izmantojot “Mazās pils” metodi 5
1.4. Skaitļu reizināšana, izmantojot “greizsirdības” vai “režģa reizināšanas” metodi 5
1.5. Ķīniešu veids, kā reizināt 5
1.6. Japāņu reizināšanas veids 6
1.7. Okoņņikova 6. tabula
1.8. Reizināšana ar kolonnu. 7
Nodaļa 2. Praktiskā daļa 7
2.1. Zemnieku veids 7
2.2. Mazā pils 7
2.3. Skaitļu reizināšana, izmantojot “greizsirdības” vai “režģa reizināšanas” metodi 7
2.4. Ķīniešu metode 8
2.5. Japāņu metode 8
2.6. Okoņņikova 8. tabula
2.7. Anketa 8
9. secinājums
10. pielikums
"Matemātikas priekšmets ir tik nopietns priekšmets, ka ir labi izmantot katru iespēju, lai padarītu to mazliet izklaidējošu."
B. Paskāls
Ievads
Cilvēkam ikdienā bez aprēķiniem iztikt nav iespējams. Tāpēc matemātikas stundās mums vispirms māca veikt darbības ar skaitļiem, tas ir, skaitīt. Mēs reizinām, dalām, saskaitām un atņemam parastajos veidos, ko mācās skolā. Radās jautājums: vai ir kādas citas alternatīvas aprēķina metodes? Es gribēju tos izpētīt sīkāk. Meklējot atbildes uz šiem jautājumiem, tika veikts šis pētījums.
Pētījuma mērķis: identificēt netradicionālas reizināšanas metodes, lai izpētītu to pielietošanas iespēju.
Atbilstoši mērķim mēs formulējām šādus uzdevumus:
- Atrodiet pēc iespējas vairāk neparastu reizināšanas veidu.
- Iemācieties tos izmantot.
- Izvēlieties sev interesantākos vai vieglākos par skolā piedāvātajiem un izmantojiet tos skaitot.
- Praksē pārbaudiet daudzciparu skaitļu reizināšanu.
- Veikt 4. klases skolēnu aptauju
Pētījuma objekts: dažādi nestandarta algoritmi daudzciparu skaitļu reizināšanai
Studiju priekšmets: matemātiskā darbība “reizināšana”
Hipotēze: ja ir standarta veidi, kā reizināt daudzciparu skaitļus, iespējams, ir alternatīvi veidi.
Atbilstība: izplatīt zināšanas par alternatīvām reizināšanas metodēm.
Praktiskā nozīme. Darba gaitā tika atrisināti daudzi piemēri un izveidots albums, kurā tika iekļauti piemēri ar dažādiem algoritmiem daudzciparu skaitļu reizināšanai vairākos alternatīvos veidos. Tas var ieinteresēt klasesbiedrus paplašināt savu matemātisko redzesloku un kalpot kā sākums jauniem eksperimentiem.
1. nodaļa. Alternatīvās reizināšanas metodes
1.1. Nedaudz vēsturesAprēķinu metodes, kuras mēs izmantojam tagad, ne vienmēr bija tik vienkāršas un ērtas. Senākos laikos tika izmantoti apgrūtinošāki un lēnāki paņēmieni. Un, ja mūsdienu skolnieks varētu atgriezties piecsimt gadus atpakaļ, viņš visus pārsteigtu ar savu aprēķinu ātrumu un precizitāti. Baumas par viņu būtu izplatījušās pa apkārtējām skolām un klosteriem, aizēnot tā laikmeta prasmīgāko kalkulatoru slavu, un cilvēki no visas malas nāktu, lai mācītos pie jaunā izcilā meistara.
Sevišķi grūtas bija reizināšanas un dalīšanas darbības.
V. Bellustina grāmatā “Kā cilvēki pamazām sasniedza īstu aritmētiku” ir iezīmētas 27 reizināšanas metodes, un autors atzīmē: “ļoti iespējams, ka grāmatu krātuvju padziļinājumos ir paslēptas arī citas metodes, kas izkaisītas daudzās, galvenokārt ar roku rakstītās. kolekcijas.” Un visas šīs reizināšanas tehnikas sacentās savā starpā un tika apgūtas ar lielām grūtībām.
Apskatīsim interesantākos un vienkāršākos reizināšanas veidus.
1.2. Krievu zemnieku reizināšanas metode
Krievijā pirms 2-3 gadsimtiem dažās provincēs zemniekiem bija izplatīta metode, kurai nebija vajadzīgas zināšanas par visu reizināšanas tabulu. Bija tikai jāprot reizināt un dalīt ar 2. Šo metodi sauca par zemnieku metodi.
Lai reizinātu divus skaitļus, tie tika uzrakstīti blakus, un pēc tam kreisais skaitlis tika dalīts ar 2, bet labais skaitlis tika reizināts ar 2. Rezultāti tika ierakstīti kolonnā, līdz 1 palika kreisajā pusē. Izsvītrojiet tās līnijas, kurām kreisajā pusē ir pāra skaitļi. Mēs saskaitām atlikušos skaitļus labajā kolonnā.
1.3. Reizināšana ar “Mazās pils” metodi
Itāļu matemātiķis Luka Pacioli savā traktātā “Aritmētikas, attiecību un proporcionalitātes summa” (1494) sniedz astoņas dažādas reizināšanas metodes. Pirmo no tiem sauc par “Mazo pili”.
Reizināšanas metodes “Mazā pils” priekšrocība ir tā, ka nozīmīgākie cipari tiek noteikti jau pašā sākumā, un tas var būt svarīgi, ja nepieciešams ātri novērtēt vērtību.
Augšējā skaitļa ciparus, sākot no nozīmīgākā cipara, pēc kārtas reizina ar apakšējo skaitli un ieraksta kolonnā, pievienojot vajadzīgo nulles skaitu. Pēc tam rezultāti tiek summēti.
1.4. Skaitļu reizināšana, izmantojot “greizsirdības” vai “režģa reizināšanas” metodi
Luka Pacioli otro metodi sauc par "greizsirdību" vai "režģa reizināšanu".
Vispirms tiek uzzīmēts taisnstūris, kas sadalīts kvadrātos. Tad kvadrātveida šūnas tiek sadalītas pa diagonāli un "... rezultāts ir režģa slēģiem līdzīgs attēls," raksta Pacioli. "Šādi slēģi tika piekārti uz venēciešu māju logiem, neļaujot ielu garāmgājējiem redzēt pie logiem sēdošās dāmas un mūķenes."
Reizinot katru pirmā faktora ciparu ar katru otrā ciparu, reizinājumus ieraksta attiecīgajās šūnās, liekot desmitniekus virs diagonāles un vienus zem tās. Produkta ciparus iegūst, saskaitot ciparus slīpās svītrās. Papildinājumu rezultāti ir uzrakstīti zem tabulas, kā arī pa labi no tās.
1.5. Ķīniešu reizināšanas veids
Tagad iepazīstināsim ar internetā enerģiski apspriesto reizināšanas metodi, ko sauc par ķīniešu valodu. Reizinot skaitļus, tiek aprēķināti līniju krustošanās punkti, kas atbilst abu faktoru katra cipara ciparu skaitam.
1.6. Japāņu reizināšanas veids
Japāņu reizināšanas metode ir grafiska metode, izmantojot apļus un līnijas. Ne mazāk smieklīgi un interesanti kā ķīniešu. Pat nedaudz līdzīgs viņam.
1.7. Okoņņikova galds
Filozofijas kandidāts Vasilijs Okoņņikovs, jaunas garīgās skaitīšanas sistēmas izgudrotājs uz pusslodzi, uzskata, ka skolēni varēs iemācīties verbāli saskaitīt un reizināt miljonus, miljardus un pat sekstiljonus un kvadriljonus. Pēc paša zinātnieka domām, visizdevīgākā šajā ziņā ir deviņkāršu sistēma – visi dati vienkārši ir ievietoti deviņās šūnās, kas atrodas kā kalkulatora pogas.
Pēc zinātnieka domām, pirms kļūt par skaitļošanas “datoru”, ir jāiegaumē viņa izveidotā tabula.
Tabula ir sadalīta 9 daļās. Tie atrodas pēc mini kalkulatora principa: “1” apakšējā kreisajā stūrī, “9” augšējā labajā stūrī. Katra daļa ir reizināšanas tabula skaitļiem no 1 līdz 9 (izmantojot to pašu "spiedpogu" sistēmu). Lai reizinātu jebkuru skaitli, piemēram, ar 8, mēs atrodam lielu kvadrātu, kas atbilst skaitlim 8, un no šī kvadrāta izrakstām skaitļus, kas atbilst daudzciparu reizinātāja cipariem. Mēs pievienojam iegūtos skaitļus atsevišķi: pirmais cipars paliek nemainīgs, un visi pārējie tiek pievienoti pa pāriem. Iegūtais skaitlis būs reizināšanas rezultāts.
Ja, saskaitot divus ciparus, tiek iegūts skaitlis, kas lielāks par deviņiem, tad tā pirmais cipars tiek pievienots iepriekšējam rezultāta ciparam, bet otrais tiek ierakstīts savā vietā.
Jaunā tehnika tika pārbaudīta vairākās Krievijas skolās un universitātēs. Krievijas Federācijas Izglītības ministrija atļāvusi kopā ar ierasto Pitagora tabulu izdot jaunu reizināšanas tabulu rūtainajās kladēs - pagaidām tikai iepazīšanai.
1.8. Kolonnu reizināšana.
Ne daudzi cilvēki zina, ka mūsu ierastās metodes, kā daudzciparu skaitli reizināt ar daudzciparu skaitli ar kolonnu, autoru vajadzētu uzskatīt par Ādamu Rīsu (7. pielikums). Šis algoritms tiek uzskatīts par ērtāko.
2. nodaļa. Praktiskā daļa
Apgūstot uzskaitītās reizināšanas metodes, tika atrisināti daudzi piemēri, sagatavots albums ar dažādu aprēķinu algoritmu paraugiem. (Pieteikums). Apskatīsim aprēķinu algoritmu, izmantojot piemērus.
2.1. Zemnieku veids
Reiziniet 47 ar 35 (1. pielikums),
-uzrakstiet skaitļus uz vienas līnijas, novelciet starp tiem vertikālu līniju;
-kreisais skaitlis tiks dalīts ar 2, labais skaitlis tiks reizināts ar 2 (ja dalīšanas laikā rodas atlikums, tad atlikums tiks izmests);
- sadalīšana beidzas, kad kreisajā pusē parādās vienība;
-izsvītro tās rindas, kurās kreisajā pusē ir pāra skaitļi;
- mēs saskaitām atlikušos skaitļus labajā pusē - šāds ir rezultāts.
35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.
Secinājums. Metode ir ērta ar to, ka pietiek zināt tabulu tikai 2. Tomēr, strādājot ar lieliem skaitļiem, tas ir ļoti apgrūtinoši. Ērts darbam ar divciparu skaitļiem.
2.2. Mazā pils
(2. pielikums). Secinājums. Metode ir ļoti līdzīga mūsu mūsdienu “kolonnai”. Turklāt nekavējoties tiek noteikti augstāko ciparu skaitļi. Tas var būt svarīgi, ja nepieciešams ātri novērtēt vērtību.
2.3. Skaitļu reizināšana, izmantojot “greizsirdības” vai “režģa reizināšanas” metodi
Sareizināsim, piemēram, skaitļus 6827 un 345 (3.pielikums):
1. Uzzīmējiet kvadrātveida režģi un ierakstiet vienu no faktoriem virs kolonnām, bet otro - gar augstumu.
2. Secīgi reiziniet katras rindas skaitu ar katras kolonnas numuriem. Mēs secīgi reizinām 3 ar 6, ar 8, ar 2 un ar 7 utt.
4. Pievienojiet ciparus aiz diagonālajām svītrām. Ja vienas diagonāles summa satur desmitus, tad pievienojiet tos nākamajai diagonālei.
No skaitļu saskaitīšanas pa diagonālēm rezultātiem veidojas skaitlis 2355315, kas ir skaitļu 6827 un 345 reizinājums, tas ir, 6827 ∙ 345 = 2355315.
Secinājums. “Režģa reizināšanas” metode nav sliktāka par vispārpieņemto. Tas ir vēl vienkāršāk, jo skaitļi tiek ievadīti tabulas šūnās tieši no reizināšanas tabulas bez vienlaicīgas saskaitīšanas standarta metodē.
2.4. Ķīniešu veids
Pieņemsim, ka jums ir jāreizina 12 ar 321 (4. pielikums). Uz papīra lapas pa vienai zīmējam līnijas, kuru skaits tiek noteikts pēc šī piemēra.
Izvelkam pirmo skaitli – 12. Lai to izdarītu, no augšas uz leju, no kreisās uz labo pusi, zīmējam:
viena zaļa nūja (1)
un divi oranži (2).
Uzzīmējiet otro skaitli – 321, no apakšas uz augšu, no kreisās uz labo:
trīs zilas nūjas (3);
divi sarkani (2);
viens ceriņš (1).
Tagad, izmantojot vienkāršu zīmuli, mēs atdalām krustojuma punktus un sākam tos skaitīt. Mēs virzāmies no labās puses uz kreiso (pulksteņrādītāja virzienā): 2, 5, 8, 3.
Lasīsim rezultātu no kreisās puses uz labo - 3852
Secinājums. Interesants veids, bet uzvilkt 9 taisnes, reizinot ar 9 ir kaut kā gari un neinteresanti, un tad skaitīt krustpunktus. Bez iemaņām ir grūti saprast skaitļu dalījumu ciparos. Kopumā jūs nevarat iztikt bez reizināšanas tabulas!
2.5. Japāņu veids
Sareizināsim 12 ar 34 (5. pielikums). Tā kā otrais faktors ir divciparu skaitlis un pirmā faktora pirmais cipars ir 1, mēs izveidojam divus atsevišķus apļus augšējā rindā un divus bināros apļus apakšējā rindā, jo pirmā faktora otrais cipars ir 2 .
Tā kā otrā faktora pirmais cipars ir 3, bet otrais ir 4, mēs sadalām pirmās kolonnas apļus trīs daļās, bet otrās kolonnas apļus četrās daļās.
Daļu skaits, kurās apļi tika sadalīti, ir atbilde, tas ir, 12 x 34 = 408.
Secinājums. Metode ir ļoti līdzīga ķīniešu grafikai. Tikai taisnas līnijas tiek aizstātas ar apļiem. Vieglāk ir noteikt skaitļa ciparus, bet zīmēt apļus nav tik ērti.
2.6. Okoņņikova galds
Jāreizina 15647 x 5. Mēs uzreiz atceramies lielo “pogu” 5 (tā atrodas pa vidu) un garīgi atrodam uz tās mazās pogas 1, 5, 6, 4, 7 (arī tās atrodas kā uz kalkulatora) . Tie atbilst cipariem 05, 25, 30, 20, 35. Mēs saskaitām iegūtos skaitļus: pirmais cipars ir 0 (paliek nemainīgs), 5 tiek garīgi pievienots 2, mēs iegūstam 7 - tas ir rezultāta otrais cipars. , 5 pievieno 3, iegūstam trešo ciparu - 8 , 0+2=2, 0+3=3 un reizinājuma pēdējais cipars paliek - 5. Rezultāts ir 78 235.
Secinājums. Metode ir ļoti ērta, taču jums tā jāiemācās no galvas vai vienmēr ir pie rokas galds.
2.7. Studentu aptauja
Tika veikta ceturto klašu skolēnu aptauja. Piedalījās 26 cilvēki (8.pielikums). Balstoties uz aptauju, atklājās, ka visi respondenti spējuši reizināt tradicionālā veidā. Bet lielākā daļa puišu nezina par netradicionālajām reizināšanas metodēm. Un ir cilvēki, kas vēlas viņus iepazīt.
Pēc sākotnējās aptaujas notika ārpusstundu nodarbība “Reizināšana ar aizrautību”, kurā bērni iepazinās ar alternatīvajiem reizināšanas algoritmiem. Pēc tam tika veikta aptauja, lai noskaidrotu metodes, kuras mums patika visvairāk. Neapstrīdams līderis bija vismodernākā Vasilija Okonešņikova metode. (9. pielikums)
Secinājums
Iemācījies skaitīt, izmantojot visas piedāvātās metodes, uzskatu, ka visērtākā reizināšanas metode ir “Mazā pils” metode - galu galā tā ir tik līdzīga mūsu pašreizējai!
No visām neparastajām skaitīšanas metodēm, ko atradu, interesantāka šķita “japāņu” metode. Vienkāršākā metode man šķita “dubultošana un sadalīšana”, ko izmantoja krievu zemnieki. Es to izmantoju, reizinot ne pārāk lielus skaitļus. Tas ir ļoti ērti lietojams, reizinot divciparu skaitļus.
Tādējādi es sasniedzu sava pētījuma mērķi - mācījos un iemācījos izmantot netradicionālas daudzciparu skaitļu reizināšanas metodes. Mana hipotēze apstiprinājās – apguvu sešas alternatīvas metodes un atklāju, ka tie nav visi iespējamie algoritmi.
Manis pētītās netradicionālās reizināšanas metodes ir ļoti interesantas un tām ir tiesības pastāvēt. Un dažos gadījumos tos ir pat vieglāk izmantot. Ticu, ka par šo metožu esamību var runāt skolā, mājās un pārsteigt draugus un paziņas.
Līdz šim esam pētījuši un analizējuši tikai jau zināmās reizināšanas metodes. Bet kas zina, varbūt nākotnē mēs paši spēsim atklāt jaunus reizināšanas veidus. Tāpat es nevēlos apstāties pie tā un turpināt pētīt netradicionālas reizināšanas metodes.
Informācijas avotu saraksts
1. Atsauces
1.1. Harutyunyan E., Levitas G. Izklaidējošā matemātika. - M.: AST - PRESS, 1999. - 368 lpp.
1.2. Bellustina V. Kā cilvēki pamazām sasniedza reālo aritmētiku. - LKI, 2012.-208 lpp.
1.3. Depmane I. Stāsti par matemātiku. – Ļeņingrada: Izglītība, 1954. – 140 lpp.
1.4. Likums A. Viss par visu. T. 2. - M.: Filoloģijas biedrība “Slovo”, 1993. - 512 lpp.
1.5. Olehnik S.N., Nesterenko Yu.V., Potapov M.K.. Vecas izklaides problēmas. – M.: Zinātne. Fiziskās un matemātiskās literatūras galvenā redakcija, 1985. – 160 lpp.
1.6. Perelmans Ya.I. Interesanta aritmētika. - M.: Rusanova, 1994 – 205 lpp.
1.7. Perelmans Ya.I. Ātra skaitīšana. Trīsdesmit vienkāršas garīgās skaitīšanas metodes. L.: Lenizdats, 1941 - 12 lpp.
1.8. Savin A.P. Matemātiskās miniatūras. Izklaidējoša matemātika bērniem. - M.: Bērnu literatūra, 1998 - 175 lpp.
1.9. Enciklopēdija bērniem. Matemātika. – M.: Avanta +, 2003. – 688 lpp.
1.10. Es izpētu pasauli: Bērnu enciklopēdija: Matemātika / sast. Savins A.P., Stanzo V.V., Kotova A.Ju. - M.: AST Publishing House LLC, 2000. - 480 lpp.
2. Citi informācijas avoti
Interneta resursi:
2.1. Korņejevs A.A. Krievu reizināšanas fenomens. Stāsts. [Elektroniskais resurss]
publicēts 20.04.2012
Veltīts Jeļenai Petrovnai Karinskajai
,
manai skolas matemātikas skolotājai un klases audzinātājai
Almati, ROFMSH, 1984–1987
"Zinātne sasniedz pilnību tikai tad, kad tai izdodas izmantot matemātiku". Kārlis Heinrihs Markss
šie vārdi bija ierakstīti virs tāfeles mūsu matemātikas klasē ;-)
Datorzinātņu nodarbības(lekciju materiāli un darbnīcas)
Kas ir reizināšana?
Šī ir pievienošanas darbība.
Bet ne pārāk patīkami
Jo daudzas reizes...
Tims Sobakins
Mēģināsim veikt šo darbību
patīkami un aizraujoši ;-)
REIZINĀŠANAS METODES BEZ REIZINĀŠANAS TABULAS (prāta vingrošana)
Piedāvāju zaļo lappušu lasītājiem divas reizināšanas metodes, kurās netiek izmantota reizināšanas tabula;-) Ceru, ka informātikas skolotājiem patiks šis materiāls, kuru viņi var izmantot, vadot ārpusstundu nodarbības.
Šī metode bija izplatīta krievu zemnieku vidū un tika mantota no seniem laikiem. Tās būtība ir tāda, ka jebkuru divu skaitļu reizināšanu samazina līdz viena skaitļa secīgu dalījumu sērijai uz pusēm, vienlaikus dubultojot otru skaitli, Šajā gadījumā reizināšanas tabula nav vajadzīga :-)
Dalīšana uz pusēm turpinās, līdz koeficients izrādās 1, vienlaikus dubultojot otru skaitli. Pēdējais dubultotais skaitlis dod vēlamo rezultātu(1. attēls). Nav grūti saprast, uz ko šī metode ir balstīta: produkts nemainās, ja vienu faktoru samazina uz pusi, bet otru dubulto. Tāpēc ir skaidrs, ka šīs darbības atkārtotas atkārtošanas rezultātā tiek iegūts vēlamais produkts.
Tomēr, kas jums jādara, ja jums tas ir jādara uz pusi nepāra skaitli? Šajā gadījumā mēs noņemam vienu no nepāra skaitļa un atlikušo sadalām uz pusēm, savukārt labās kolonnas pēdējam ciparam mums būs jāpievieno visi tie skaitļi šajā kolonnā, kas atrodas pretī nepāra skaitļiem kreisajā kolonnā - summa būs nepieciešamais produkts (attēli: 2, 3).
Citiem vārdiem sakot, mēs izsvītrojam visas līnijas ar pāra kreisajiem cipariem; atstāj un tad saskaita cipari nav izsvītroti labā kolonna.
2. attēlam: 192 + 48 + 12 = 252
Uzņemšanas pareizība kļūs skaidra, ja ņemsim vērā, ka:
5× 48
= (4 + 1) × 48 = 4 × 48 + 48
21× 12
= (20 + 1) × 12 = 20 × 12 + 12
Skaidrs, ka skaitļi 48
, 12
, kas zaudēts, dalot nepāra skaitli uz pusēm, jāpievieno pēdējā reizinājuma rezultātam, lai iegūtu reizinājumu.
Krievu reizināšanas metode ir vienlaikus eleganta un ekstravaganta ;-)
§ Loģiskā problēma par Zmeya Gorynych un slavenie krievu varoņi ieslēgts zaļā lapa “Kurš no varoņiem uzvarēja čūsku Goriniču?”
loģisko uzdevumu risināšana, izmantojot loģisko algebru
Tiem, kam patīk mācīties! Tiem, kas ir laimīgi vingrošana prātam ;-)
§ Loģisko uzdevumu risināšana, izmantojot tabulas metodi
Turpinām sarunu :-)
ķīniešu??? Zīmēšanas reizināšanas metode
Mans dēls mani iepazīstināja ar šo reizināšanas metodi, nododot manā rīcībā vairākas papīra lapas no piezīmju grāmatiņas ar gataviem risinājumiem sarežģītu zīmējumu veidā. Algoritma atšifrēšanas process sāka vārīties zīmēšanas reizināšanas veids :-) Skaidrības labad nolēmu ķerties klāt krāsainajiem zīmuļiem, un... ledus bija ielūzis žūrijas kungi :-)
Es vēršu jūsu uzmanību uz trim piemēriem krāsainos attēlos (augšējā labajā stūrī čeku pastu).
1. piemērs: 12
× 321
= 3852
Zīmējam pirmais numurs no augšas uz leju, no kreisās uz labo: viena zaļa nūja ( 1
); divas apelsīnu nūjiņas ( 2
). 12
zīmēju :-)
Zīmējam otrais numurs no apakšas uz augšu, no kreisās uz labo: trīs mazi zili nūjiņas ( 3
); divi sarkani ( 2
); viens ceriņš ( 1
). 321
zīmēju :-)
Tagad, izmantojot vienkāršu zīmuli, mēs izstaigāsim zīmējumu, sadalīsim nūjas skaitļu krustošanās punktus daļās un sāksim skaitīt punktus. Pārvietošanās no labās puses uz kreiso (pulksteņrādītāja virzienā): 2 , 5 , 8 , 3 . Rezultāta numurs mēs “savāksim” no kreisās puses uz labo (pretēji pulksteņrādītāja virzienam) un... voila, mēs saņēmām 3852 :-)
2. piemērs: 24
× 34
= 816
Šajā piemērā ir nianses;-) Saskaitot punktus pirmajā daļā, izrādījās 16
. Mēs nosūtām vienu un pievienojam to otrās daļas punktiem ( 20 + 1
)…
3. piemērs: 215
× 741
= 159315
Bez komentāriem:-)
Sākumā man tas šķita kaut cik pretenciozi, bet tajā pašā laikā intriģējoši un pārsteidzoši harmoniski. Piektajā piemērā pieķēru sevi pie domas, ka reizināšana paceļas :-) un tas darbojas autopilota režīmā: zīmēt, skaitīt punktus, Mēs neatceramies reizināšanas tabulu, it kā mēs to nemaz nezinām :-)))
Godīgi sakot, pārbaudot reizināšanas zīmēšanas metode un pārejot uz kolonnu reizināšanu, un vairāk nekā vienu vai divas reizes, man par kaunu, es pamanīju dažus palēninājumus, kas liecināja, ka mana reizināšanas tabula dažviet bija sarūsējusi: - (un to nevajadzētu aizmirst. Strādājot ar “nopietnāku” cipariem reizināšanas zīmēšanas metode kļuva pārāk apjomīgs, un reizināšana ar kolonnu tas bija prieks.
Reizināšanas tabula(piezīmju grāmatiņas aizmugures skice)
P.S.: Slava un slava dzimtajai padomju kolonnai!
Konstrukcijas ziņā metode ir nepretencioza un kompakta, ļoti ātra, Tas trenē atmiņu – neļauj aizmirst reizināšanas tabulas :-) Un tāpēc es ļoti iesaku jums un sev, ja iespējams, aizmirst par kalkulatoriem tālruņos un datoros ;-) un periodiski ļauties reizināšanai. Citādi sižets no filmas “Mašīnu kāpums” risināsies nevis uz kinoekrāna, bet gan mūsu virtuvē vai zālienā pie mājas...
Trīs reizes pār kreiso plecu..., klauvē pie koka... :-))) ...un pats galvenais Neaizmirstiet par garīgo vingrošanu!
Ziņkārīgajiem: Reizināšana apzīmēts ar [×] vai [·]
[×] zīmi ieviesa angļu matemātiķis Viljams Oightreds 1631. gadā.
Zīmi [ · ] ieviesa vācu zinātnieks Gotfrīds Vilhelms Leibnics 1698. gadā.
Burtu apzīmējumā šīs zīmes ir izlaistas un to vietā a × b vai a · b rakstīt ab.
Uz tīmekļa pārziņa krājkasīti: daži matemātiski simboli HTML
| ° | ° vai ° | grāds |
| ± | ± vai ± | plus vai mīnuss |
| ¼ | ¼ vai ¼ | frakcija - viena ceturtdaļa |
| ½ | ½ vai ½ | frakcija - viena puse |
| ¾ | ¾ vai ¾ | frakcija - trīs ceturtdaļas |
| × | × vai × | reizināšanas zīme |
| ÷ | ÷ vai ÷ | sadalījuma zīme |
| ƒ | ƒ vai ƒ | funkcijas zīme |
| ′ | ' vai ' | viens sitiens – minūtes un pēdas |
| ″ | "vai" | dubultā pirmizrāde – sekundes un collas |
| ≈ | ≈ vai ≈ | aptuvenā vienādības zīme |
| ≠ | ≠ vai ≠ | nav vienādības zīme |
| ≡ | ≡ vai ≡ | identiski |
| > | > vai > | vairāk |
| < | < или | mazāk |
| ≥ | ≥ vai ≥ | vairāk vai vienādi |
| ≤ | ≤ vai ≤ | mazāks vai vienāds |
| ∑ | ∑ vai ∑ | summēšanas zīme |
| √ | √ vai √ | kvadrātsakne (radikāls) |
| ∞ | ∞ vai ∞ | bezgalība |
| Ø | Ø vai Ø | diametrs |
| ∠ | ∠ vai ∠ | stūrī |
| ⊥ | ⊥ vai ⊥ | perpendikulāri |
Pašvaldības izglītības iestāde "Kurovskas 6.vidusskola"
MATEMĀTIKAS KOPSAVILKUMS PAR TĒMU:
« NEPARASTIE REIZINĀŠANAS VEIDI».
Aizpildījis 6.b klases skolēns
Krestņikovs Vasilijs.
Pārraugs:
Smirnova Tatjana Vladimirovna.
Ievads…………………………………………………………………………2
Galvenā daļa. Neparasti reizināšanas veidi…………………………3
2.1. Nedaudz vēstures………………………………………………………………..3
2.2. Reizināšana uz pirkstiem…………………………………………………………4
2.3. Reizināšana ar 9……………………………………………………………………………………5
2.4. Indijas reizināšanas veids……………………………………………….6
2.5. Reizināšana ar “Mazās pils” metodi……………………………………7
2.6. Reizināšana, izmantojot “greizsirdības” metodi…………………………………………………………8
2.7. Zemnieku reizināšanas metode……………………………………………..9
2.8 Jauns veids…………………………………………………………………………………..10
Secinājums……………………………………………………………………………………11
Atsauces…………………………………………………………….1 2
es. Ievads.
Cilvēkam ikdienā bez aprēķiniem iztikt nav iespējams. Tāpēc matemātikas stundās mums vispirms māca veikt darbības ar skaitļiem, tas ir, skaitīt. Mēs reizinām, dalām, saskaitām un atņemam parastajos veidos, ko mācās skolā.
Kādu dienu nejauši uzgāju S. N. Olehnika, Ju V. Ņesterenko un M. K. Potapova grāmatu “Vecas izklaides problēmas. Pāršķirstot šo grāmatu, manu uzmanību pievērsa lapa ar nosaukumu “Reiģēšana uz pirkstiem”. Izrādījās, ka var reizināt ne tikai tā, kā mums ieteikts matemātikas mācību grāmatās. Es domāju, vai ir vēl kādas aprēķina metodes. Galu galā spēja ātri veikt aprēķinus ir atklāti pārsteidzoša.
Pastāvīga moderno datortehnoloģiju izmantošana noved pie tā, ka studentiem ir grūti veikt aprēķinus, ja viņu rīcībā nav tabulas vai skaitļošanas mašīnas. Vienkāršotu aprēķinu tehnikas pārzināšana dod iespēju ne tikai ātri veikt vienkāršus aprēķinus prātā, bet arī kontrolēt, novērtēt, atrast un labot kļūdas mehanizēto aprēķinu rezultātā. Turklāt skaitļošanas prasmju apgūšana attīsta atmiņu, paaugstina domāšanas matemātiskās kultūras līmeni un palīdz pilnībā apgūt fiziskā un matemātiskā cikla priekšmetus.
Darba mērķis:
Parādiet neparastureizināšanas metodes.
Uzdevumi:
Atrodiet pēc iespējas vairākneparastas aprēķinu metodes.
Iemācieties tos izmantot.
Izvēlieties sev interesantākos vai vieglākos par tiemtiek piedāvātiskolā un izmantot tos skaitot.
II. Galvenā daļa. Neparasti reizināšanas veidi.
2.1. Nedaudz vēstures.
Aprēķinu metodes, kuras mēs izmantojam tagad, ne vienmēr bija tik vienkāršas un ērtas. Senākos laikos tika izmantoti apgrūtinošāki un lēnāki paņēmieni. Un, ja 21. gadsimta skolēns varētu ceļot piecus gadsimtus atpakaļ, viņš pārsteigtu mūsu senčus ar savu aprēķinu ātrumu un precizitāti. Baumas par viņu būtu izplatījušās pa apkārtējām skolām un klosteriem, aizēnot tā laikmeta prasmīgāko kalkulatoru slavu, un cilvēki no visas malas nāktu, lai mācītos pie jaunā izcilā meistara.
Sevišķi grūtas bija reizināšanas un dalīšanas darbības. Tad nebija vienas prakses izstrādātas metodes katrai darbībai. Gluži otrādi, vienlaikus tika lietots gandrīz ducis dažādu reizināšanas un dalīšanas metožu - viens par otru sarežģītāks paņēmiens, ko cilvēks ar vidēju spēju nespēja atcerēties. Katrs skaitīšanas skolotājs pieturējās pie savas iecienītākās tehnikas, katrs “dalīšanas meistars” (bija tādi speciālisti) slavēja savu veidu, kā šo darbību veikt.
V. Bellustina grāmatā “Kā cilvēki pamazām sasniedza īstu aritmētiku” ir iezīmētas 27 reizināšanas metodes, un autors atzīmē: “ļoti iespējams, ka grāmatu krātuvju padziļinājumos ir paslēptas arī citas metodes, kas izkaisītas daudzās, galvenokārt ar roku rakstītās. kolekcijas.”
Un visas šīs reizināšanas metodes - “šahs vai ērģeles”, “locīšana”, “krusts”, “režģis”, “aizmugure uz priekšu”, “dimants” un citas sacentās savā starpā un tika apgūtas ar lielām grūtībām.
Apskatīsim interesantākos un vienkāršākos reizināšanas veidus.
2.2. Reizināšana uz pirkstiem.
Veckrievu metode reizināšanai uz pirkstiem ir viena no visbiežāk izmantotajām metodēm, ko krievu tirgotāji veiksmīgi izmantoja daudzus gadsimtus. Viņi iemācījās uz pirkstiem reizināt viencipara skaitļus no 6 līdz 9. Šajā gadījumā pietika ar pirkstu skaitīšanas pamatprasmēm “vienībās”, “pāros”, “trīs”, “četriniekos”, “pieciniekos” un. "desmitiem". Pirksti šeit kalpoja kā papildu skaitļošanas ierīce.
Lai to izdarītu, no vienas puses, viņi izstiepa tik daudz pirkstu, cik pirmais faktors pārsniedz skaitli 5, un, no otras puses, viņi darīja to pašu ar otro faktoru. Atlikušie pirksti bija saliekti. Pēc tam tika ņemts izstiepto pirkstu skaits (kopējais) un reizināts ar 10, pēc tam skaitļi tika reizināti, parādot, cik pirkstu ir saliekti, un rezultāti tika summēti.
Piemēram, sareizināsim 7 ar 8. Aplūkotajā piemērā 2 un 3 pirksti būs saliekti. Saskaitot saliekto pirkstu skaitu (2+3=5) un reizinot nesaliekto pirkstu skaitu (2 3=6), iegūsit attiecīgi desmitnieku un vieniniekus no vēlamās reizinājuma 56. Tādā veidā jūs varat aprēķināt jebkuru viencipara skaitļu reizinājumu, kas lielāks par 5.
2.3. Reiziniet ar 9.
Reizināšana ar skaitli 9– 9·1, 9·2 ... 9,10 – ir vieglāk aizmirst no atmiņas un grūtāk pārrēķināt manuāli, izmantojot saskaitīšanas metodi, tomēr tieši skaitlim 9 reizināšana ir viegli atveidojama “uz pirkstiem”. Izpletiet pirkstus uz abām rokām un pagrieziet rokas ar plaukstām prom no sevis. Garīgi piešķiriet pirkstiem skaitļus no 1 līdz 10, sākot ar kreisās rokas mazo pirkstiņu un beidzot ar labās rokas mazo pirkstiņu (tas ir parādīts attēlā).
Pieņemsim, ka mēs vēlamies reizināt 9 ar 6. Mēs saliecam pirkstu ar skaitli, kas vienāds ar skaitli, ar kuru mēs reizināsim deviņus. Mūsu piemērā mums ir jāsaliek pirksts ar skaitli 6. Pirkstu skaits pa kreisi no saliektā pirksta parāda mums desmitnieku skaitu atbildē, pirkstu skaits labajā pusē parāda vieninieku skaitu. Kreisajā pusē mums ir 5 pirksti, kas nav saliekti, labajā pusē mums ir 4 pirksti. Tādējādi 9·6=54. Zemāk esošajā attēlā ir detalizēti parādīts viss “aprēķina” princips.
Vēl viens piemērs: jāaprēķina 9·8=?. Pa ceļam pieņemsim, ka pirksti ne vienmēr var darboties kā "rēķina mašīna". Ņemiet, piemēram, 10 šūnas piezīmju grāmatiņā. Izsvītrojiet 8. šūnu. Kreisajā pusē ir palikušas 7 šūnas, labajā pusē ir 2 šūnas. Tātad 9·8=72. Viss ir ļoti vienkārši.
7 šūnas 2 šūnas.
2.4. Indijas reizināšanas veids.
Visvērtīgākais ieguldījums matemātisko zināšanu krātuvē tika dots Indijā. Hinduisti ierosināja metodi, ko mēs izmantojam, lai rakstītu skaitļus, izmantojot desmit zīmes: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Šīs metodes pamatā ir ideja, ka viens un tas pats cipars apzīmē vienības, desmitus, simtus vai tūkstošus atkarībā no tā, kur šis cipars atrodas. Aizņemto vietu, ja nav ciparu, nosaka ar cipariem piešķirtajām nullēm.
Indiāņi lieliski prata skaitīt. Viņi izdomāja ļoti vienkāršu veidu, kā pavairot. Viņi veica reizināšanu, sākot no nozīmīgākā cipara, un pa bitam pierakstīja nepilnīgos reizinājumus tieši virs reizinātāja. Šajā gadījumā uzreiz bija redzams nokomplektētās preces nozīmīgākais cipars un turklāt tika novērsta jebkura cipara izlaišana. Reizināšanas zīme vēl nebija zināma, tāpēc viņi atstāja nelielu attālumu starp faktoriem. Piemēram, sareizināsim tos ar 6, izmantojot metodi 537:
(5 ∙ 6 =30) 30
(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318
(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222
2.5 . Reizināšanas veids"MAZĀ PILS".
Tagad pirmajā skolas klasē mācās skaitļu reizināšanu. Bet viduslaikos reizināšanas mākslu apguva ļoti maz. Tas bija rets aristokrāts, kurš varēja lepoties ar reizināšanas tabulu pārzināšanu, pat ja būtu beidzis kādu Eiropas universitāti.
Matemātikas attīstības tūkstošgades laikā ir izgudroti daudzi skaitļu reizināšanas veidi. Itāļu matemātiķis Luka Pacioli savā traktātā “Aritmētikas, attiecību un proporcionalitātes summa” (1494) sniedz astoņas dažādas reizināšanas metodes. Pirmo no tiem sauc par “Mazo pili”, bet otro ne mazāk romantiski sauc par “Greizsirdību vai režģa reizināšanu”.
Reizināšanas metodes “Mazā pils” priekšrocība ir tā, ka nozīmīgākie cipari tiek noteikti jau pašā sākumā, un tas var būt svarīgi, ja nepieciešams ātri novērtēt vērtību.
Augšējā skaitļa ciparus, sākot no nozīmīgākā cipara, pēc kārtas reizina ar apakšējo skaitli un ieraksta kolonnā, pievienojot vajadzīgo nulles skaitu. Pēc tam rezultāti tiek summēti.
2.6. Skaitļu reizināšanaizmantojot "greizsirdības" metodi.
Otrajai metodei ir romantisks nosaukums “greizsirdība” vai “režģa reizināšana”.
Vispirms tiek uzzīmēts taisnstūris, kas sadalīts kvadrātos, un taisnstūra malu izmēri atbilst reizinātāja un reizinātāja decimāldaļu skaitam. Tad kvadrātveida šūnas tiek sadalītas pa diagonāli, un "... rezultāts ir režģa slēģiem līdzīgs attēls," raksta Pacioli. "Šādi slēģi tika piekārti uz venēciešu māju logiem, neļaujot ielu garāmgājējiem redzēt pie logiem sēdošās dāmas un mūķenes."
Sareizināsim 347 ar 29 šādi uzzīmēsim tabulu, virs tās uzrakstīsim skaitli 347, bet labajā pusē – 29.
Katrā rindā virs šīs šūnas un pa labi no tās rakstīsim skaitļu reizinājumu, savukārt virs slīpsvītras rakstīsim reizinājuma desmitciparu ciparu, bet zem tās – vienību ciparu. Tagad mēs pievienojam skaitļus katrā slīpajā joslā, veicot šo darbību, no labās uz kreiso pusi. Ja summa ir mazāka par 10, tad to rakstām zem sloksnes apakšējā numura. Ja izrādās, ka tas ir lielāks par 10, tad ierakstām tikai summas vienību ciparu un nākamajai summai pievienojam desmitciparu. Rezultātā iegūstam vēlamo preci 10063.
2.7. UZzemnieku reizināšanas metode.
Manuprāt, “dzimtākais” un vienkāršākais reizināšanas veids ir krievu zemnieku izmantotā metode. Šim paņēmienam vispār nav vajadzīgas zināšanas par reizināšanas tabulu, kas pārsniedz skaitli 2. Tās būtība ir tāda, ka jebkuru divu skaitļu reizināšana tiek reducēta uz viena skaitļa secīgu dalīšanu uz pusēm, vienlaikus dubultojot otru skaitli. Dalīšana uz pusēm turpinās, līdz koeficients sasniedz 1, vienlaikus dubultojot otru skaitli. Pēdējais dubultotais skaitlis dod vēlamo rezultātu.
Ja skaitlis ir nepāra, noņemiet vienu un sadaliet atlikušo daļu uz pusēm; bet labās kolonnas pēdējam ciparam būs jāpievieno visi tie šīs kolonnas skaitļi, kas atrodas pretī kreisās kolonnas nepāra skaitļiem: summa būs vēlamā reizinājums
Visu atbilstošo skaitļu pāru reizinājums ir vienāds, tātad
37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184
Gadījumā, ja viens no skaitļiem ir nepāra vai abi skaitļi ir nepāra, rīkojieties šādi:
384 ∙ 1 = 384
24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408
2.8 . Jauns veids, kā pavairot.
Interesanti jauna reizināšanas metode, par kuru nesen ziņots. Jaunās mentālās skaitīšanas sistēmas izgudrotājs, filozofijas kandidāts Vasilijs Okoņņikovs apgalvo, ka cilvēks spēj atcerēties milzīgu informācijas apjomu, galvenais, kā šo informāciju sakārtot. Pēc paša zinātnieka domām, visizdevīgākā šajā ziņā ir deviņkāršu sistēma – visi dati vienkārši ir ievietoti deviņās šūnās, kas atrodas kā kalkulatora pogas.
To ir ļoti viegli aprēķināt, izmantojot šādu tabulu. Piemēram, sareizināsim skaitli 15647 ar 5. Tabulas daļā, kas atbilst pieci, izvēlieties skaitļa cipariem atbilstošos skaitļus secībā: viens, pieci, seši, četri un septiņi. Mēs saņemam: 05 25 30 20 35
Kreiso ciparu (mūsu piemērā nulle) atstājam nemainītu un pa pāriem pievienojam šādus skaitļus: pieci ar divi, pieci ar trīs, nulle ar divi, nulle ar trīs. Arī pēdējais cipars ir nemainīgs.
Rezultātā mēs iegūstam: 078235. Skaitlis 78235 ir reizināšanas rezultāts.
Ja, saskaitot divus ciparus, tiek iegūts skaitlis, kas lielāks par deviņiem, tad tā pirmais cipars tiek pievienots iepriekšējam rezultāta ciparam, bet otrais tiek ierakstīts savā vietā.
III. Secinājums.
No visām neparastajām skaitīšanas metodēm, ko atradu, interesantāka šķita “režģa reizināšanas vai greizsirdības” metode. Parādīju saviem klasesbiedriem un arī viņiem ļoti patika.
Vienkāršākā metode man šķita “dubultošana un sadalīšana”, ko izmantoja krievu zemnieki. Es to izmantoju, reizinot ne pārāk lielus skaitļus (ļoti ērti to izmantot, reizinot divciparu skaitļus).
Mani ieinteresēja jaunā reizināšanas metode, jo tā man ļauj prātā “mētāt” milzīgus skaitļus.
Es domāju, ka mūsu metode reizināšanai ar kolonnu nav ideāla, un mēs varam izdomāt vēl ātrākas un uzticamākas metodes.
Literatūra.
Depmans I. “Stāsti par matemātiku”. – Ļeņingrada: Izglītība, 1954. – 140 lpp.
Korņejevs A.A. Krievu reizināšanas fenomens. Stāsts. http://numbernautics.ru/
Olehnik S. N., Nesterenko Yu, Potapov M. K. “Vecas izklaides problēmas. – M.: Zinātne. Fiziskās un matemātiskās literatūras galvenā redakcija, 1985. – 160 lpp.
Perelmans Ya.I. Ātra skaitīšana. Trīsdesmit vienkāršas garīgās skaitīšanas metodes. L., 1941 - 12 lpp.
Perelmans Ya.I. Interesanta aritmētika. M. Rusanova, 1994–205 lpp.
Enciklopēdija “Es izpētu pasauli. Matemātika". – M.: Astrela Ermaka, 2004.
Enciklopēdija bērniem. "Matemātika". – M.: Avanta +, 2003. – 688 lpp.
