§13. Šteinera teorēma par inerces momentu ap patvaļīgu asi

Ķermeņi m uz attāluma kvadrātu d starp asīm:

J = J c + m d 2 , (\displeja stils J=J_(c)+md^(2),)

Kur m- kopējais ķermeņa svars.

Piemēram, stieņa inerces moments attiecībā pret asi, kas iet caur tā galu, ir vienāds ar:

J = J c + m d 2 = 1 12 m l 2 + m (l 2) 2 = 1 3 m l 2. (\displaystyle J=J_(c)+md^(2)=(\frac (1)(12))ml^(2)+m\left((\frac (l)(2))\right)^ (2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)

Dažu ķermeņu aksiālie inerces momenti

Inerces momenti vienkāršākās formas viendabīgi ķermeņi attiecībā pret noteiktām rotācijas asīm

Apraksts	Ass pozīcija a	Inerces moments J a
Materiāla punktu masa m	Uz attālumu r no punkta, stacionārs
Dobs plānsienu cilindrs vai rādiusa gredzens r un masas m	Cilindra ass	m r 2 (\displaystyle mr^(2))
Ciets cilindrs vai rādiusa disks r un masas m	Cilindra ass	1 2 m r 2 (\displaystyle (\frac (1) (2))mr^ (2))
Dobs biezsienu masas cilindrs m ar ārējo rādiusu r 2 un iekšējais rādiuss r 1	Cilindra ass	m r 2 2 + r 1 2 2 (\displaystyle m(\frac (r_(2)^(2)+r_(1)^(2))(2)))
Ciets cilindra garums l, rādiuss r un masas m		1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 4)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2))
Dobu plānsienu cilindra (gredzena) garums l, rādiuss r un masas m	Ass ir perpendikulāra cilindram un iet caur tā masas centru	1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 2)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2))
Taisns, tievs garums l un masas m	Ass ir perpendikulāra stienim un iet caur tā masas centru	1 12 m l 2 (\displaystyle (\frac (1) (12)) ml^ (2))
Taisns, tievs garums l un masas m	Ass ir perpendikulāra stienim un iet caur tā galu	1 3 m l 2 (\displaystyle (\frac (1) (3)) ml^ (2))
Plānsienu rādiusa sfēra r un masas m	Ass iet caur sfēras centru	2 3 m r 2 (\displaystyle (\frac (2) (3))mr^(2))
Rādiusa bumba r un masas m	Ass iet caur bumbas centru	2 5 m r 2 (\displaystyle (\frac (2) (5))mr^(2))
Rādiusa konuss r un masas m	Konusa ass	3 10 m r 2 (\displaystyle (\frac (3) (10))mr^(2))
Vienādsānu trīsstūris ar augstumu h, pamats a un masa m	Ass ir perpendikulāra trijstūra plaknei un iet caur virsotni	1 24 m (a 2 + 12 h 2) (\displaystyle (\frac (1) (24)) m(a^(2)+12 h^(2)))
Regulārs trīsstūris ar malu a un masa m	Ass ir perpendikulāra trijstūra plaknei un iet caur masas centru	1 12 m a 2 (\displaystyle (\frac (1) (12))ma^(2))
Kvadrāts ar sāniem a un masa m	Ass ir perpendikulāra kvadrāta plaknei un iet caur masas centru	1 6 m a 2 (\displaystyle (\frac (1) (6))ma^(2))
Taisnstūris ar malām a Un b un masa m	Ass ir perpendikulāra taisnstūra plaknei un iet caur masas centru	1 12 m (a 2 + b 2) (\displaystyle (\frac (1) (12)) m(a^(2)+b^(2)))
Regulārs rādiusa n-stūris r un masa m	Ass ir perpendikulāra plaknei un iet caur masas centru	m r 2 6 [ 1 + 2 cos ⁡ (π / n) 2 ] (\displaystyle (\frac (mr^(2))(6))\left)
Torus (doba) ar virzošā apļa rādiusu R, ģenerējošā apļa rādiuss r un masa m	Ass ir perpendikulāra tora virzošā apļa plaknei un iet caur masas centru	I = m (3 4 r2 + R2) (\displeja stils I=m\left((\frac (3)(4))\,r^(2)+R^(2)\labais))

Formulu atvasināšana

Plānsienu cilindrs (gredzens, stīpa)

Formulas atvasināšana

Ķermeņa inerces moments ir vienāds ar tā sastāvdaļu inerces momentu summu. Sadalīsim plānsienu cilindru elementos ar masu dm un inerces momenti dJ i. Tad

J = ∑ d J i = ∑ R i 2 d m. (1) .

(\displaystyle J=\sum dJ_(i)=\sum R_(i)^(2)dm.\qquad (1).)

Tā kā visi plānsienu cilindra elementi atrodas vienādā attālumā no rotācijas ass, formula (1) tiek pārveidota formā

J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2 . (\displaystyle J=\sum R^(2)dm=R^(2)\sum dm=mR^(2).)

Formulas atvasināšana

Cilindrs ar biezām sienām (gredzens, stīpa) R Lai ir viendabīgs gredzens ar ārējo rādiusu R, iekšējais rādiuss h 1, biezs un blīvums ρ. Salaužam to plānos gredzenos biezi dr r. Plāna rādiusa gredzena masa un inerces moments

būs

d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r ; d J = r 2 d m = 2 π ρ h r 3 d r . (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^(2)dm=2\pi \rho hr^(3)dr.)

Atradīsim biezā gredzena inerces momentu kā integrāli J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 d r = (\displeja stils J=\int _(R_(1))^(R)dJ=2\pi \rho h\int _ (R_(1))^(R)r^(3)dr=)

= 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h (R 4 − R 1 4) = 1 2 π ρ h (R 2 − R 1 2) (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle =2\pi \rho h\left.(\frac (r^(4))(4))\right|_(R_(1))^(R)=(\frac (1)(2 ))\pi \rho h\left(R^(4)-R_(1)^(4)\right)=(\frac (1) (2))\pi \rho h\left(R^(2) )-R_(1)^(2)\labais)\kreisais(R^(2)+R_(1)^(2)\pa labi).)

Tā kā gredzena tilpums un masa ir vienādi

iegūstam gredzena inerces momenta galīgo formulu

J = 1 2 m (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle J=(\frac (1)(2))m\left(R^(2)+R_(1)^(2)\right).)

Homogēns disks (ciets cilindrs)

Formulas atvasināšana

Uzskatot cilindru (disku) par gredzenu ar nulles iekšējo rādiusu ( R 1 = 0 ), iegūstam cilindra (diska) inerces momenta formulu:

J = 12 m R2. (\displaystyle J=(\frac (1)(2))mR^(2).)

Ciets konuss

Formulas atvasināšana

Salaužam konusu plānos diskos ar biezumu dh, perpendikulāri konusa asij. Šāda diska rādiuss ir vienāds ar

r = Rh H , (\displaystyle r=(\frac (Rh)(H)),)

Kur R– konusa pamatnes rādiuss, H- konusa augstums, h– attālums no konusa augšdaļas līdz diskam. Šāda diska masa un inerces moments būs

d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R h H) 4 d h ; (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left((\frac (Rh)(H))\right)^(4)dh;)

Integrējot, mēs iegūstam

J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 h 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J=\int _(0)^(H)dJ=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H)) \right)^(4)\int _(0)^(H)h^(4)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H) )\right)^(4)\left.(\frac (h^(5))(5))\right|_(0)^(H)==(\frac (1)(10))\pi \rho R^(4)H=\left(\rho \cdot (\frac (1)(3))\pi R^(2)H\right)(\frac (3)(10))R^( 2)=(\frac (3)(10))mR^(2).\end(līdzināts)))

Cieta viendabīga bumbiņa

Formulas atvasināšana

Salaužam bumbiņu plānos biezuma diskos dh, perpendikulāri rotācijas asij. Šāda diska rādiuss atrodas augstumā h no sfēras centra mēs to atrodam, izmantojot formulu

r = R 2 - h 2 . (\displaystyle r=(\sqrt (R^(2)-h^(2))).)

Šāda diska masa un inerces moments būs

d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h ; (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^(2)dh;) d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R 2 − h 2) 2 d h = 1 2 π ρ (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h . (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left(R^(2)-h^(2)\right)^(2)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left(R^( 4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\labais)dh.)

Mēs atrodam lodītes inerces momentu, integrējot:

J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h = = π ρ (R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 1 5 h 5) | 0 R = π ρ (R 5 − 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 . (\displaystyle (\begin(līdzināts)J&=\int _(-R)^(R)dJ=2\int _(0)^(R)dJ=\pi \rho \int _(0)^(R )\left(R^(4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\right)dh=\\&=\pi \rho \left.\left(R^(4) h-(\frac (2)(3))R^(2)h^(3)+(\frac (1)(5))h^(5)\right)\right|_(0)^( R)=\pi \rho \left(R^(5)-(\frac (2)(3))R^(5)+(\frac (1)(5))R^(5)\right) =(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5)=\\&=\left((\frac (4) (3))\pi R^(3)\rho \right) \cdot (\frac (2) (5))R^(2)=(\frac (2) (5))mR^(2).\end(līdzināts)))

Plānsienu sfēra

Formulas atvasināšana

Lai to iegūtu, mēs izmantojam homogēnas rādiusa lodes inerces momenta formulu R :

J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5 . (\displaystyle J_(0)=(\frac (2)(5))MR^(2)=(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5).)

Aprēķināsim, cik mainīsies lodes inerces moments, ja pie nemainīga blīvuma ρ tās rādiuss palielināsies par bezgalīgi mazu dR .

J = d J 0 d R d R = d d R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J&=(\frac (dJ_(0))(dR))dR=(\frac (d)(dR))\left((\frac (8)(15))\ pi \rho R^(5)\right)dR=\\&=(\frac (8)(3))\pi \rho R^(4)dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^ (2)dR\right)(\frac (2)(3))R^(2)=(\frac (2)(3))mR^(2).\beigas (līdzināts)))

Plāns stienis (ass iet caur centru)

Formulas atvasināšana

Sadalīsim stieni mazos garuma fragmentos un blīvums ρ. Salaužam to plānos gredzenos biezi. Šāda fragmenta masa un inerces moments ir vienādi ar

d m = m d r l ; d J = r 2 d m = m r 2 d r l . (\displaystyle dm=(\frac (mdr)(l));\qquad dJ=r^(2)dm=(\frac (mr^(2)dr)(l)).)

Integrējot, mēs iegūstam

J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 m l l 3 24 = 1 12 m l 2 . (\displaystyle J=\int _(-l/2)^(l/2)dJ=2\int _(0)^(l/2)dJ=(\frac (2m)(l))\int _ (0)^(l/2)r^(2)dr=(\frac (2m)(l))\left.(\frac (r^(3))(3))\right|_(0) ^(l/2)=(\frac (2m)(l))(\frac (l^(3))(24))=(\frac (1)(12))ml^(2.)

Plāns stienis (ass iet caur galu)

Formulas atvasināšana

Kad rotācijas ass virzās no stieņa vidus līdz tā galam, stieņa smaguma centrs pārvietojas attiecībā pret asi par attālumu l ⁄ 2. Saskaņā ar Šteinera teorēmu jaunais inerces moments būs vienāds ar

J = J 0 + m r 2 = J 0 + m (l 2) 2 = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2 . (\displaystyle J=J_(0)+mr^(2)=J_(0)+m\left((\frac (l)(2))\right)^(2)=(\frac (1)( 12))ml^(2)+(\frac (1)(4))ml^(2)=(\frac (1)(3))ml^(2.)

Planētu un satelītu bezizmēra inerces momenti

To bezizmēra inerces momentiem ir liela nozīme planētu un to pavadoņu iekšējās struktūras pētījumos. Rādiusa ķermeņa bezizmēra inerces moments r un masas m ir vienāds ar tā inerces momenta attiecību pret griešanās asi un tādas pašas masas materiāla punkta inerces momentu attiecībā pret fiksētu griešanās asi, kas atrodas attālumā r(vienāds ar Mr 2). Šī vērtība atspoguļo masas sadalījumu dziļumā. Viena no metodēm tā mērīšanai planētu un satelītu tuvumā ir noteiktas planētas vai satelīta tuvumā lidojošā AMS raidītā radiosignāla Doplera nobīdes noteikšana. Plānsienu lodei bezizmēra inerces moments ir 2/3 (~0,67), viendabīgai lodei tas ir 0,4, un vispār, jo mazāks, jo lielāka ķermeņa masa ir koncentrēta tās centrā. Piemēram, Mēness bezdimensijas inerces moments ir tuvu 0,4 (vienāds ar 0,391), tāpēc tiek pieņemts, ka tas ir samērā viendabīgs, tā blīvums maz mainās līdz ar dziļumu. Zemes bezizmēra inerces moments ir mazāks nekā viendabīgai lodei (vienāds ar 0,335), kas ir arguments par labu blīva kodola esamībai.

Centrbēdzes inerces moments

Ķermeņa centrbēdzes inerces momenti attiecībā pret taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmas asīm ir šādi lielumi:

J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , (\displaystyle J_(xy)=\int \limits _(m))xydm=\int \limits _((V))xy\ rho dV) J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , (\displaystyle J_(xz)=\int \limits _(m))xzdm=\int \limits _((V))xz\ rho dV) J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , (\displaystyle J_(yz)=\int \limits _((m))yzdm=\int \limits _((V))yz\ rho dV)

Kur x , y Un z- neliela ķermeņa elementa koordinātas ar tilpumu dV, blīvums ρ un masa dm .

OX asi sauc ķermeņa galvenā inerces ass, ja centrbēdzes inerces momenti J xy Un J xz vienlaikus ir vienādi ar nulli. Caur katru ķermeņa punktu var izvilkt trīs galvenās inerces asis. Šīs asis ir savstarpēji perpendikulāras viena otrai. Ķermeņa inerces momenti attiecībā pret trīs galvenajām inerces asīm, kas novilktas patvaļīgā punktā Oķermeņus sauc galvenie inerces momentišī ķermeņa.

Tiek sauktas galvenās inerces asis, kas iet caur ķermeņa masas centru ķermeņa galvenās centrālās inerces asis, un inerces momenti attiecībā uz šīm asīm ir tā galvenie centrālie inerces momenti. Viendabīga ķermeņa simetrijas ass vienmēr ir viena no tā galvenajām centrālajām inerces asīm.

Ģeometriskie inerces momenti

Tilpuma ģeometriskais inerces moments

J V a = ∫ (V) r 2 d V , (\displaystyle J_(Va)=\int \limits _((V))r^(2)dV,)

kur, tāpat kā iepriekš r- attālums no elementa dV uz asi a .

Laukuma ģeometriskais inerces moments attiecībā pret asi - ķermeņa ģeometriskais raksturlielums, kas izteikts ar formulu:

J S a = ∫ (S) r 2 d S , (\displaystyle J_(Sa)=\int \limits _((S))r^(2)dS,)

kur integrācija tiek veikta virs virsmas S, A dS- šīs virsmas elements.

Izmērs JSa- garums līdz ceturtajai pakāpei ( d i m J S a = L 4 (\displaystyle \mathrm (dim) J_(Sa)=\mathrm (L^(4)))), attiecīgi SI mērvienība ir 4. Būvniecības aprēķinos, literatūrā un velmēto metālu sortimentā tas bieži norādīts cm 4.

Sekcijas pretestības momentu izsaka ar laukuma ģeometrisko inerces momentu:

W = J S a r m a x . (\displaystyle W=(\frac (J_(Sa))(r_(max))).)

Šeit r maks- maksimālais attālums no virsmas līdz asij.

Dažu figūru laukuma ģeometriskie inerces momenti
Taisnstūra augstums h (\displaystyle h) un platums b (\displaystyle b):	J y = b h 3 12 (\displaystyle J_(y)=(\frac (bh^(3))(12))) J z = hb 3 12 (\displaystyle J_(z)=(\frac (hb^(3))(12)))
Taisnstūra kastes sekcija ar augstumu un platumu gar ārējām kontūrām H (\displaystyle H) Un B (\displeja stils B), un iekšējai lietošanai h (\displaystyle h) Un b (\displaystyle b) attiecīgi	J z = BH 3 12 − b h 3 12 = 1 12 (B H 3 − b h 3) (\displeja stils J_(z)=(\frac (BH^(3))(12))-(\frac (bh^() 3))(12))=(\frac (1)(12))(BH^(3)-bh^(3))) J y = HB 3 12 - hb 3 12 = 1 12 (H B 3 - h b 3) (\displaystyle J_(y)=(\frac (HB^(3))(12))-(\frac (hb^() 3))(12))=(\frac (1)(12))(HB^(3)-hb^(3)))
Apļa diametrs d (\displaystyle d)	J y = J z = π d 4 64 (\displaystyle J_(y)=J_(z)=(\frac (\pi d^(4))(64)))

Inerces moments attiecībā pret plakni

Stingra ķermeņa inerces moments attiecībā pret noteiktu plakni ir skalārs lielums, kas vienāds ar katra ķermeņa punkta masas reizinājumu ar attāluma kvadrātu no šī punkta līdz attiecīgajai plaknei.

Ja caur patvaļīgu punktu O (\displaystyle O) zīmēt koordinātu asis x , y , z (\displaystyle x,y,z), tad inerces momenti attiecībā pret koordinātu plaknēm x O y (\displaystyle xOy), y O z (\displaystyle yOz) Un z O x (\displaystyle zOx) tiks izteikts ar formulām:

J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2 , (\displaystyle J_(xOy)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)z_(i)^(2)\ ,) J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2 , (\displeja stils J_(yOz)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)x_(i)^(2)\ ,) J z O x = ∑ i = 1 n m i y i 2 . (\displaystyle J_(zOx)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)y_(i)^(2)\ .)

Cieta ķermeņa gadījumā summēšanu aizstāj ar integrāciju.

Centrālais inerces moments

Centrālais inerces moments (inerces moments ap punktu O, inerces moments ap polu, polārais inerces moments) J O (\displaystyle J_(O)) ir daudzums, ko nosaka izteiksme:

J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V , (\displaystyle J_(a)=\int \limits _(m))r^(2)dm=\int \limits _((V))\rho r^(2)dV,)

Centrālo inerces momentu var izteikt ar galvenajiem aksiālajiem inerces momentiem, kā arī ar inerces momentiem attiecībā uz plaknēm:

J O = 1 2 (J x + J y + J z) , (\displaystyle J_(O)=(\frac (1) (2))\left(J_(x)+J_(y)+J_(z) \pa labi),) J O = J x O y + J y O z + J x O z . (\displaystyle J_(O)=J_(xOy)+J_(yOz)+J_(xOz).)

Inerces tenzors un inerces elipsoīds

Ķermeņa inerces moments attiecībā pret patvaļīgu asi, kas iet caur masas centru un kuras virzienu nosaka vienības vektors s → = ‖ s x , s y , s z ‖ T , | s → | = 1 (\displaystyle (\vec (s))=\left\Vert s_(x),s_(y),s_(z)\right\Vert ^(T),\left\vert (\vec (s) )\right\vert =1), var attēlot kvadrātveida (bilineāras) formas veidā:

I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , (\displaystyle I_(s)=(\vec (s))^(T)\cdot (\hat (J))\cdot (\vec (s)) ,\qquad) (1)

kur ir inerces tenzors. Inerces tenzora matrica ir simetriska un tai ir izmēri 3 × 3 (\displeja stils 3\reizes 3) un sastāv no centrbēdzes momentu sastāvdaļām:

J ^ = ‖ J x x − J x y − J x z − J y x J y y − J y z − J z x − J z y J z z ‖ , (\displaystyle (\hat (J))=\left\Vert (\begin(masīvs) )(ccc)J_(xx)&-J_(xy)&-J_(xz)\\-J_(yx)&J_(yy)&-J_(yz)\\-J_(zx)&-J_(zy) &J_(zz)\beigas(masīvs))\right\Vert ,) J x y = J y x , J x z = J z x , J z y = J y z , (\displeja stils J_(xy)=J_(yx),\quad J_(xz)=J_(zx),\quad J_(zy)= J_(yz),\quad )J x x = ∫ (m) (y 2 + z 2) d m , J y y = ∫ (m) (x 2 + z 2) d m , J z z = ∫ (m) (x 2 + y 2) d m . (\displaystyle J_(xx)=\int \limits _((m))(y^(2)+z^(2))dm,\quad J_(yy)=\int \limits _(m)) (x^(2)+z^(2))dm,\quad J_(zz)=\int \limits _((m))(x^(2)+y^(2))dm.)

Izvēloties atbilstošu koordinātu sistēmu, inerces tenzora matricu var reducēt līdz diagonālai formai. Lai to izdarītu, jums jāatrisina tenzoru matricas īpašvērtības problēma J ^ (\displaystyle (\cepure (J))):

J ^ d = Q ^ T ⋅ J ^ ⋅ Q ^ , (\displeja stils (\cepure (J))_(d)=(\cepure (Q))^(T)\cdot (\cepure (J))\ cdot (\cepure (Q)),) J ^ d = ‖ J X 0 0 0 J Y 0 0 0 J Z ‖ , (\displeja stils (\hat (J))_(d)=\left\Vert (\begin(masīvs)(ccc)J_(X)&0&0\ \0&J_(Y)&0\\0&0&J_(Z)\end(masīvs))\right\Vert ,)

Kur Q ^ (\displaystyle (\cepure (Q)))- ortogonālā matrica pārejai uz pašu inerces tenzora bāzi. Pareizā pamatā koordinātu asis ir vērstas gar inerces tenzora galvenajām asīm, kā arī sakrīt ar inerces tenzora elipsoīda galvenajām pusasīm. Daudzumi J X , J Y , J Z (\displeja stils J_(X), J_(Y), J_(Z))- galvenie inerces momenti. Izteiksmei (1) savā koordinātu sistēmā ir šāda forma:

I s = J X ⋅ s x 2 + J Y ⋅ s y 2 + J Z ⋅ s z 2, (\displeja stils I_(s)=J_(X)\cdot s_(x)^(2)+J_(Y)\cdot s_(y) )^(2)+J_(Z)\cdot s_(z)^(2),)

no kura iegūstam elipsoīda vienādojumu savās koordinātēs. Abas vienādojuma puses dalot ar I s (\displaystyle I_(s))

(s x I s) 2 ⋅ J X + (s y I s) 2 ⋅ J Y + (s z I s) 2 ⋅ J Z = 1 (\displaystyle \left((s_(x) \over (\sqrt (I_(s)))) ))\right)^(2)\cdot J_(X)+\left((s_(y) \over (\sqrt (I_(s))))\right)^(2)\cdot J_(Y) +\left((s_(z) \over (\sqrt (I_(s))))\right)^(2)\cdot J_(Z)=1)

un nomaiņu veikšana:

ξ = s x I s , η = s y I s , ζ = s z I s , (\displaystyle \xi =(s_(x) \over (\sqrt (I_(s)))),\eta =(s_(y) ) \over (\sqrt (I_(s)))),\zeta =(s_(z) \over (\sqrt (I_(s)))),)

iegūstam elipsoīda vienādojuma kanonisko formu koordinātēs ξ η ζ (\displaystyle \xi \eta \zeta ):

ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1. (\displaystyle \xi ^(2)\cdot J_(X)+\eta ^(2)\cdot J_(Y)+\zeta ^( 2)\cdot J_(Z)=1.)

Attālums no elipsoīda centra līdz noteiktam punktam ir saistīts ar ķermeņa inerces momenta vērtību pa taisnu līniju, kas iet caur elipsoīda centru un šo punktu.

Lai ir ciets ķermenis. Izvēlēsimies kādu taisni OO (6.1. att.), ko sauksim par asi (taisne OO var būt ārpus ķermeņa). Sadalīsim ķermeni elementārajās daļās (materiālajos punktos) ar masām
atrodas attālumā no ass
attiecīgi.

Materiāla punkta inerces moments attiecībā pret asi (OO) ir materiāla punkta masas reizinājums ar tā attāluma līdz šai asij kvadrātu:

. (6.1)

Ķermeņa inerces moments (MI) attiecībā pret asi (OO) ir ķermeņa elementāro daļu masu reizinājumu summa ar kvadrātu no attāluma līdz asij:

. (6.2)

Kā redzat, ķermeņa inerces moments ir aditīvs lielums - visa ķermeņa inerces moments attiecībā pret noteiktu asi ir vienāds ar tā atsevišķu daļu inerces momentu summu attiecībā pret vienu un to pašu asi.

Šajā gadījumā

Inerces momentu mēra kgm 2. Jo

, (6.3)

kur  - vielas blīvums,
- apjoms i- tad sadaļa

vai pārejot uz bezgalīgi maziem elementiem,

. (6.4)

Formulu (6.4) ir ērti izmantot, lai aprēķinātu viendabīgu regulāras formas ķermeņu MI attiecībā pret simetrijas asi, kas iet caur ķermeņa masas centru. Piemēram, cilindra MI attiecībā pret asi, kas iet caur masas centru paralēli ģeneratoram, šī formula dod

Kur T- svars; R- cilindra rādiuss.

Šteinera teorēma sniedz lielu palīdzību, lai aprēķinātu ķermeņu MI attiecībā pret noteiktām asīm: ķermeņu MI es attiecībā pret jebkuru asi ir vienāds ar šī ķermeņa MI summu es c attiecībā pret asi, kas iet caur ķermeņa masas centru un ir paralēla dotajam, un ķermeņa masas reizinājumu ar attāluma kvadrātu d starp norādītajām asīm:

. (6.5)

Spēka moments ap asi

Ļaujiet spēkam iedarboties uz ķermeni F. Vienkāršības labad pieņemsim, ka spēks F atrodas plaknē, kas ir perpendikulāra kādai taisnei OO (6.2. att., A), ko sauksim par asi (piemēram, šī ir ķermeņa rotācijas ass). Attēlā 6.2, A A- spēka pielikšanas punkts F,
- ass krustošanās punkts ar plakni, kurā atrodas spēks; r- rādiusa vektors, kas nosaka punkta pozīciju A attiecībā pret punktu PAR"; O"B = b - spēka plecu. Spēka plecs attiecībā pret asi ir mazākais attālums no ass līdz taisnei, uz kuras atrodas spēka vektors F(no punkta novilktā perpendikula garums uz šo līniju).

Spēka moments attiecībā pret asi ir vektora lielums, ko nosaka vienādība

. (6.6)

Šī vektora modulis ir . Tāpēc dažreiz viņi saka, ka spēka moments ap asi ir spēka un tā rokas reizinājums.

Ja spēks F tiek novirzīts patvaļīgi, tad to var sadalīt divās komponentēs; Un (6.2. att., b), t.i.
+, Kur - komponents, kas vērsts paralēli OO asij, un atrodas plaknē, kas ir perpendikulāra asij. Šajā gadījumā zem spēka momenta F attiecībā pret OO asi saprot vektoru

. (6.7)

Saskaņā ar izteiksmēm (6.6) un (6.7) vektors M vērsta pa asi (sk. 6.2. att., A,b).

Ķermeņa impulss attiecībā pret rotācijas asi

P Ļaujiet ķermenim griezties ap noteiktu asi OO ar leņķisko ātrumu
. Garīgi sadalīsim šo ķermeni elementārās daļās ar masām
, kas atrodas no ass, attiecīgi, attālumos
un griezties pa apļiem ar lineāru ātrumu
Ir zināms, ka vērtība ir vienāda
- ir impulss i- sižets. impulsa moments i-sekciju (materiāla punktu) attiecībā pret rotācijas asi sauc par vektoru (precīzāk, par pseidovektoru)

, (6.8)

Kur r i– rādiusa vektors, kas nosaka pozīciju i- laukums attiecībā pret asi.

Visa ķermeņa leņķisko impulsu attiecībā pret rotācijas asi sauc par vektoru

(6.9)

kura modulis
.

Saskaņā ar izteiksmēm (6.8) un (6.9), vektori
Un vērsta pa griešanās asi (6.3. att.). Ir viegli parādīt, ka ķermeņa leņķiskais impulss L attiecībā pret griešanās asi un inerces momentu esšī ķermeņa daļas attiecībā pret vienu un to pašu asi ir saistītas ar attiecību

. (6.10)

Ķermeņa (sistēmas) inerces moments attiecībā pret noteiktu asi Oz (vai aksiālais inerces moments) ir skalārs lielums, kas atšķiras no visu ķermeņa (sistēmas) punktu masu reizinājumu summas ar to attālumu kvadrāti no šīs ass:

No definīcijas izriet, ka ķermeņa (vai sistēmas) inerces moments attiecībā pret jebkuru asi ir pozitīvs lielums un nav vienāds ar nulli.

Nākotnē tiks parādīts, ka aksiālajam inerces momentam ķermeņa rotācijas kustības laikā ir tāda pati loma kā masai translācijas kustības laikā, t.i., ka aksiālais inerces moments ir ķermeņa inerces mērs rotācijas laikā. kustība.

Saskaņā ar formulu (2) ķermeņa inerces moments ir vienāds ar visu tā daļu inerces momentu summu attiecībā pret vienu un to pašu asi. Vienam materiāla punktam, kas atrodas attālumā h no ass, . Inerces momenta mērvienība SI būs 1 kg (MKGSS sistēmā -).

Lai aprēķinātu aksiālos inerces momentus, punktu attālumus no asīm var izteikt caur šo punktu koordinātām (piemēram, attāluma kvadrāts no Vērša ass būs utt.).

Tad inerces momenti attiecībā uz asīm tiks noteikti pēc formulām:

Bieži aprēķinos tiek izmantots griešanās rādiusa jēdziens. Ķermeņa inerces rādiuss attiecībā pret asi ir lineārs lielums, ko nosaka vienādība

kur M ir ķermeņa masa. No definīcijas izriet, ka inerces rādiuss ir ģeometriski vienāds ar attālumu no punkta ass, kurā jākoncentrē visa ķermeņa masa, lai šī viena punkta inerces moments būtu vienāds ar inerces momentu. no visa ķermeņa.

Zinot inerces rādiusu, var izmantot formulu (4), lai atrastu ķermeņa inerces momentu un otrādi.

Formula (2) un (3) ir derīga gan cietam ķermenim, gan jebkurai materiālu punktu sistēmai. Cieta ķermeņa gadījumā, sadalot to elementārās daļās, mēs atklājam, ka robežā summa vienādībā (2) pārvērtīsies par integrāli. Rezultātā, ņemot vērā, kur ir blīvums un V ir tilpums, mēs iegūstam

Integrālis šeit sniedzas līdz visam ķermeņa tilpumam V, un blīvums un attālums h ir atkarīgi no ķermeņa punktu koordinātām. Līdzīgi formulām (3) cietajiem ķermeņiem ir forma

Formulas (5) un (5) ir ērti lietojamas, aprēķinot regulāras formas viendabīgu ķermeņu inerces momentus. Šajā gadījumā blīvums būs nemainīgs un izkritīs ārpus integrālās zīmes.

Atradīsim dažu viendabīgu ķermeņu inerces momentus.

1. Tievs viendabīgs stienis ar garumu l un masu M. Aprēķināsim tā inerces momentu attiecībā pret asi, kas ir perpendikulāra stienim un iet caur tā galu A (275. att.). Novirzīsim koordinātu asi pa AB Tad jebkuram elementāram segmentam ar garumu d vērtība ir , un masa ir , kur ir stieņa garuma vienības masa. Rezultātā formula (5) dod

Aizstājot šeit ar tā vērtību, mēs beidzot atrodam

2. Plāns apaļš viendabīgs gredzens ar rādiusu R un masu M. Atradīsim tā inerces momentu attiecībā pret asi, kas ir perpendikulāra gredzena plaknei un iet caur tā centru C (276. att.).

Tā kā visi gredzena punkti atrodas attālumā no ass, formula (2) dod

Tāpēc gredzenam

Acīmredzot tādu pašu rezultātu iegūs plāna cilindriska apvalka ar masu M un rādiusu R inerces momentam attiecībā pret tā asi.

3. Apaļa viendabīga plāksne vai cilindrs ar rādiusu R un masu M. Aprēķināsim apaļās plāksnes inerces momentu attiecībā pret asi, kas ir perpendikulāra plāksnei un iet caur tās centru (sk. 276. att.). Lai to izdarītu, mēs izvēlamies elementāru gredzenu ar rādiusu un platumu (277. att., a). Šī gredzena laukums ir , un masa ir, kur ir masa uz plāksnes laukuma vienību. Tad saskaņā ar formulu (7) izvēlētam elementāram gredzenam būs un visai plāksnei

Kā minēts iepriekš, vienkāršas plaknes figūras ietver trīs figūras: taisnstūri, trīsstūri un apli. Šie skaitļi tiek uzskatīti par vienkāršiem, jo šo figūru smaguma centra atrašanās vieta ir zināma iepriekš. Visas pārējās figūras var veidot no šiem vienkāršajiem skaitļiem un tiek uzskatītas par sarežģītām. Aprēķināsim vienkāršu figūru aksiālos inerces momentus attiecībā pret to centrālajām asīm.

1. Taisnstūris. Apskatīsim taisnstūra profila šķērsgriezumu ar izmēriem (4.6. att.). Atlasīsim sekcijas elementu ar divām bezgalīgi tuvām sekcijām attālumā no centrālās ass
.

Aprēķināsim taisnstūra šķērsgriezuma inerces momentu attiecībā pret asi:

. (4.10)

Taisnstūra griezuma inerces moments ap asi
mēs atradīsim līdzīgi. Secinājums šeit nav sniegts.

. (4.11)

Un
ir vienāds ar nulli, jo asis
Un
ir simetrijas asis un līdz ar to galvenās asis.

2. Vienādsānu trīsstūris. Apskatīsim trīsstūrveida profila posmu ar izmēriem
(4.7. att.). Atlasīsim sekcijas elementu ar divām bezgalīgi tuvām sekcijām attālumā no centrālās ass
. Trijstūra smaguma centrs atrodas attālumā
no pamatnes. Tiek pieņemts, ka trīsstūris ir vienādsānu, tātad ass
sekcija ir simetrijas ass.

Aprēķināsim sekcijas inerces momentu attiecībā pret asi
:

. (4.12)

Izmērs no trīsstūru līdzības mēs nosakām:

; kur
.

Izteicienu aizstāšana ar punktā (4.12) un integrējot, mēs iegūstam:

. (4.13)

Inerces moments vienādsānu trīsstūrim ap asi
ir atrodams līdzīgā veidā un ir vienāds ar:

(4.14)

Centrbēdzes inerces moments attiecībā pret asīm
Un
ir vienāds ar nulli, jo ass
ir sekcijas simetrijas ass.

3. Aplis. Apsveriet apļveida profila šķērsgriezumu ar diametru (4.8. att.). Izcelsim sekcijas elementu ar diviem bezgalīgi tuvu koncentriskiem apļiem, kas atrodas attālumā no apļa smaguma centra .

Aprēķināsim apļa polāro inerces momentu, izmantojot izteiksmi (4.5):

. (4.15)

Izmantojot invariances nosacījumu aksiālo inerces momentu summai par divām savstarpēji perpendikulārām asīm (4.6) un ņemot vērā to, ka riņķim simetrijas dēļ
, mēs nosakām aksiālo inerces momentu vērtību:

. (4.16)

. (4.17)

Centrbēdzes inerces moments attiecībā pret asīm Un ir vienāds ar nulli, jo asis
Un
ir sekcijas simetrijas asis.

4.4. Atkarības starp inerces momentiem attiecībā pret paralēlām asīm

Aprēķinot inerces momentus sarežģītām figūrām, jāatceras viens noteikums: var pievienot inerces momentu vērtības, ja tos aprēķina attiecībā pret vienu un to pašu asi. Sarežģītām figūrām visbiežāk atsevišķu vienkāršu figūru un visas figūras smaguma centri nesakrīt. Attiecīgi atsevišķu vienkāršu figūru centrālās asis un visa figūra nesakrīt. Šajā sakarā ir paņēmieni, kā inerces momentus pārnest uz vienu asi, piemēram, visas figūras centrālo asi. Tas var būt saistīts ar inerces asu paralēlu tulkošanu un papildu aprēķiniem.

Apskatīsim inerces momentu noteikšanu attiecībā pret paralēlajām inerces asīm, kas parādītas 4.9. attēlā.

Ļaujiet aksiālajiem un centrbēdzes inerces momentiem, kas parādīti 4.9. attēlā. skaitļi attiecībā pret patvaļīgi izvēlētām asīm
Un
ar izcelsmi punktā zināms. Ir nepieciešams aprēķināt figūras aksiālos un centrbēdzes inerces momentus attiecībā pret patvaļīgām paralēlām asīm
Un
ar izcelsmi punktā . Asis
Un
veic attālumos Un attiecīgi no asīm
Un
.

Izmantosim izteiksmes aksiālajiem inerces momentiem (4.4) un centrbēdzes inerces momentam (4.7). Aizstāsim ar šīm izteiksmēm pašreizējo koordinātu vietā
Un
elements ar bezgalīgi mazu koordinātu laukumu
Un
jaunajā koordinātu sistēmā. Mēs iegūstam:

Analizējot iegūtās izteiksmes, mēs nonākam pie secinājuma, ka, aprēķinot inerces momentus attiecībā pret paralēlām asīm, inerces momentiem, kas aprēķināti attiecībā pret sākotnējām inerces asīm, ir jāpievieno piedevas papildu terminu veidā, kas var būt daudz lielāki. nekā inerces momentu vērtības attiecībā pret sākotnējām asīm. Tādēļ šos papildu noteikumus nekādā gadījumā nevajadzētu atstāt novārtā.

Aplūkotais gadījums ir vispārīgākais paralēlas asu pārneses gadījums, kad par sākotnējām tika ņemtas patvaļīgas inerces asis. Lielākajā daļā aprēķinu ir īpaši inerces momentu noteikšanas gadījumi.

Pirmais īpašais gadījums. Sākotnējās asis ir figūras centrālās inerces asis. Pēc tam, izmantojot laukuma statiskā momenta galveno īpašību, no (4.18)–(4.20) vienādojumiem varam izslēgt tos vienādojumus, kas ietver figūras laukuma statisko momentu. Rezultātā mēs iegūstam:

. (4.21)

. (4.22)

. (4.23)

Šeit ir asis
Un
- centrālās inerces asis.

Otrais īpašais gadījums. Atsauces asis ir galvenās inerces asis. Tad, ņemot vērā, ka attiecībā pret galvenajām inerces asīm centrbēdzes inerces moments ir vienāds ar nulli, iegūstam:

. (4.24)

. (4.25)

. (4.26)

Šeit ir asis
Un
galvenās inerces asis.

Izmantosim iegūtās izteiksmes un aplūkosim vairākus inerces momentu aprēķināšanas piemērus plaknes figūrām.

Piemērs 4.2. Nosakiet attēlā redzamā attēla aksiālos inerces momentus. 4.10, attiecībā pret centrālajām asīm Un .

Iepriekšējā 4.1. piemērā 4.10. attēlā redzamajam attēlam tika noteikta smaguma centra C pozīcija. Smaguma centra koordinātas tika uzzīmētas no ass un apkopoja
. Aprēķināsim attālumus Un starp asīm Un un cirvji Un . Šie attālumi bija attiecīgi
Un
. Kopš oriģinālajiem cirvjiem Un ir centrālās asis vienkāršām figūrām taisnstūra formā, lai noteiktu figūras inerces momentu attiecībā pret asi Izmantosim secinājumus par pirmo konkrēto gadījumu, jo īpaši formulu (4.21.).

Inerces moments ap asi iegūstam, saskaitot vienkāršu figūru inerces momentus attiecībā pret vienu un to pašu asi, jo ass ir kopējā centrālā ass vienkāršām figūrām un visai figūrai.

cm 4.

Centrbēdzes inerces moments attiecībā pret asīm Un ir vienāds ar nulli, jo inerces ass ir galvenā ass (figūras simetrijas ass).

Piemērs 4.3. Kāds ir izmērs? b(cm) attēlā parādīto skaitli. 4.11, ja figūras inerces moments attiecībā pret asi vienāds ar 1000 cm 4?

Izteiksim inerces momentu ap asi izmantojot nezināmu sekcijas izmēru , izmantojot formulu (4.21), ņemot vērā, ka attālums starp asīm Un vienāds ar 7 cm:

cm 4. (A)

Izteiksmes (a) atrisināšana attiecībā pret sekcijas izmēru , mēs iegūstam:

cm.

Piemērs 4.4. Kuram no 4.12. att. parādītajiem attēliem ir lielāks inerces moments attiecībā pret asi ja abām figūrām ir vienāds laukums
cm 2?

1. Izteiksim figūru laukumus to izmēru izteiksmē un noteiksim:

a) sekcijas diametrs apaļai sekcijai:

cm 2; Kur
cm.

b) kvadrātveida malas izmērs:

; Kur
cm.

2. Aprēķiniet inerces momentu riņķveida griezumam:

cm 4.

3. Aprēķiniet kvadrātveida sekcijas inerces momentu:

cm 4.

Salīdzinot iegūtos rezultātus, mēs nonākam pie secinājuma, ka kvadrātveida posmam būs vislielākais inerces moments salīdzinājumā ar riņķveida posmu ar tādu pašu laukumu.

Piemērs 4.5. Noteikt taisnstūra griezuma polāro inerces momentu (cm 4) attiecībā pret tā smaguma centru, ja griezuma platums
cm, sekcijas augstums
cm.

1. Atrodiet griezuma inerces momentus attiecībā pret horizontāli un vertikāli centrālās inerces asis:

cm 4;
cm 4.

2. Nosakām posma polāro inerces momentu kā aksiālo inerces momentu summu:

cm 4.

Piemērs 4.6. Noteikt 4.13. attēlā redzamās trīsstūra figūras inerces momentu attiecībā pret centrālo asi. , ja figūras inerces moments attiecībā pret asi vienāds ar 2400 cm4.

Trīsstūrveida sekcijas inerces moments attiecībā pret galveno inerces asi būs mazāks, salīdzinot ar inerces momentu ap asi pēc summas
. Tāpēc, kad
cm griezuma inerces moments attiecībā pret asi mēs to atrodam šādi.

DEFINĪCIJA

Rotējoša ķermeņa inerces mērs ir inerces moments(J) attiecībā pret asi, ap kuru notiek rotācija.

Tas ir skalārs (vispārīgi tenzors) fiziskais lielums, kas ir vienāds ar materiālo punktu () masu reizinājumu, kurā attiecīgais ķermenis jāsadala attāluma kvadrātos () no tiem līdz rotācijas asi:

kur r ir funkcija no materiāla punkta stāvokļa telpā; - ķermeņa blīvums; - ķermeņa elementa tilpums.

Viendabīgam ķermenim izteiksmi (2) var attēlot šādi:

Inerces momentu starptautiskajā mērvienību sistēmā mēra:

Lielums J ir iekļauts pamatlikumos, ar kuriem apraksta cieta ķermeņa rotāciju.

Vispārīgā gadījumā inerces momenta lielums ir atkarīgs no griešanās ass virziena, un, tā kā kustības laikā vektors parasti maina savu virzienu attiecībā pret ķermeni, tad inerces moments ir jāuzskata par laika funkciju. Izņēmums ir ķermeņa inerces moments, kas griežas ap fiksētu asi. Šajā gadījumā inerces moments paliek nemainīgs.

Šteinera teorēma

Šteinera teorēma ļauj aprēķināt ķermeņa inerces momentu attiecībā pret patvaļīgu rotācijas asi, ja ir zināms attiecīgā ķermeņa inerces moments attiecībā pret asi, kas iet caur šī ķermeņa masas centru, un šīs asis ir paralēli. Matemātiskā formā Šteinera teorēma ir attēlota šādi:

kur ir ķermeņa inerces moments attiecībā pret rotācijas asi, kas iet caur ķermeņa masas centru; m ir attiecīgā ķermeņa masa; a ir attālums starp asīm. Noteikti atcerieties, ka asīm jābūt paralēlām. No (4) izteiksmes izriet, ka:

Dažas izteiksmes ķermeņa inerces momentu aprēķināšanai

Rotējot ap asi, materiāla punktam ir inerces moments, kas vienāds ar:

kur m ir punkta masa; r ir attālums no punkta līdz rotācijas asij.

Viendabīgam plānam stienim ar masu m un garumu l J attiecībā pret asi, kas iet caur tā masas centru (ass ir perpendikulāra stienim), ir vienāds ar:

Plāns gredzens ar masu, kas rotē ap asi, kas iet caur tā centru, perpendikulāri gredzena plaknei, tad inerces momentu aprēķina šādi:

kur R ir gredzena rādiuss.

Apaļam viendabīgam diskam ar rādiusu R un masu m ir J attiecībā pret asi, kas iet caur tā centru un ir perpendikulāra diska plaknei, ir vienāds ar:

Viendabīgai bumbiņai

kur m ir lodītes masa; R ir bumbiņas rādiuss. Bumba griežas ap asi, kas iet caur tās centru.

Ja griešanās asis ir taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmas asis, tad nepārtrauktam ķermenim inerces momentus var aprēķināt šādi:

kur ir bezgalīgi maza ķermeņa elementa koordinātas.

Problēmu risināšanas piemēri

1. PIEMĒRS

Vingrinājums

Divas bumbiņas, kuras var uzskatīt par punktveida bumbiņām, tiek turētas kopā ar tievu bezsvara stienīti. Stieņa garums l. Kāds ir šīs sistēmas inerces moments attiecībā pret asi, kas iet perpendikulāri stienim caur masas centru. Punktu masas ir vienādas un vienādas ar m.

Risinājums

Atradīsim vienas lodītes () inerces momentu attiecībā pret asi, kas atrodas attālumā no tās:

Otrās lodītes inerces moments būs vienāds ar:

Sistēmas kopējais inerces moments ir vienāds ar summu:

Atbilde

2. PIEMĒRS

Vingrinājums	Kāds ir fiziskā svārsta inerces moments attiecībā pret asi, kas iet caur punktu O (1. att.)? Ass ir perpendikulāra zīmējuma plaknei. Apsveriet, ka fiziskais svārsts sastāv no tieva stieņa, kura garums ir l un kura masa ir m, un diska ar masu . Disks ir piestiprināts pie stieņa apakšējā gala, un tā rādiuss ir vienāds ar
Risinājums	Mūsu svārsta (J) inerces moments būs vienāds ar stieņa () inerces momenta summu, kas griežas ap asi, kas iet caur punktu O, un diska (), kas rotē ap to pašu asi: