Как решить трапецию. Как найти площадь трапеции: формулы и примеры

Как правильно рассчитать стоимость грузоперевозки, и из чего складывается цена грузоперевозки? Данный вопрос встает перед большинством логистов. Это необходимо для правильного контроля за соотношением цены и себестоимости. Кроме того, подобные расчеты могут потребоваться для предоставления клиенту, чтобы обосновать требуемую цену. Сервис по транспортировке товара должен быть оплачен заказчиком транспортных услуг.

Что должно входить в стоимость грузоперевозок?

Цены на грузоперевозки состоят из множества факторов. На их размер может влиять особенности продукции, ее масса и габариты, число мест, категория сложности, тип упаковки. Густота груза может быть различной: продукция может быть обыкновенной, жидкой, сыпучей или являться продуктами питания. Получив от грузоотправителя информацию о перевозимом товаре, перевозчик берет во внимание особенности его транспортировки и исходя из этого рассчитывает стоимость доставки продукции.

Расчет цены на грузоперевозку

Чаще всего, стоимость перевозки прямо пропорциональна массе, объему или количеству мест занятых грузом. Логист должен выделить для себя наиболее определяющий из перечисленных моментов. Расчет ставки должен опираться на определенное условие: масса одного кубического метра не должна быть выше конкретного числа килограммов. При сборном тарифе за основу берется расчетная масса груза. К примеру, масса одного кубического метра равна 0,5 тонны, а одного погонного метра – 1,5 тонны. Рассчитывается 2 расчетных веса: по «погонникам» и по кубическим метрам. Затем они сравниваются с реальным весом. Из трех полученных результатов нужно выбрать самый большой. В итоге, необходимо посмотреть в тарифную схему и выяснить стоимость конкретной доставки.

Расчет тарифа по транспортировке, цена за километр

Каким же правилом руководствуются транспортные компании, рассчитывая свои ставки? Традиционно расчет происходит на каждый километр. В перечень основных расходов входит покупка топлива, материалов и оснащения. Сюда же можно отнести издержки на инфраструктуру, оплата налоговых и других взносов. В итоге получается себестоимость одного километра пути, плюс налоги и расходы на усовершенствование. В том случае, если перевозчик работает лишь на конкретном маршруте и знает собственные месячные затраты и расходы на пробег, то ему значительно легче вычислить тариф. На развитие транспортной сферы закладывается примерно 25%. В итоге получаются расценки за километр. Хотя, перевозчик должен понимать, что в действительности прибыль редко получается выше 5-10%.

Расчет цены грузоперевозки, ставка за полный круг

При дальнейшем расчете стоимости доставки тариф за километр необходимо умножить на удвоенное число километров до конечного места. В итоге получится ставка за полный «круг». При односторонней загрузке количество километров должно быть не удвоенное, а одинарное. В основе числа поездок за месяц лежит пробег в сутки. Полученное число и есть стоимость рейса туда и обратно. Нужно помнить, что себестоимость станет заметно ниже, если за одни сутки погрузка совмещается с выгрузкой.

Расчет стоимости перевозки, часто используемый транспортными компаниями

Существует еще один вариант расчета цены грузоперевозки, в основе которого лежит бюджет транспортной фирмы. При нем, все расходы организации равными частями распределяются между разными заказчиками.

Не стоит забывать, что на расценки могут повлиять не только внутренние причины и расчеты. К примеру, для каждого региона существует свой тариф. В центральных городах России они выше среднего на 20-30%. В данном случае, увеличение стоимости транспортировки объясняется большим числом предложений по перевозке продукции.

Водитель фуры заснул за рулем

2.3 Расчёт статьи "Затраты на 1 км пробега" производится по формуле

где - затраты на топливо, ден.ед. / км;

Затраты на смазочные и обтирочные материалы, ден.ед.. / км;

Затраты на тех. обслуживание и текущий ремонт, ден.ед. /км;

Затраты на амортизацию, ден.ед. /км;

Затраты на ремонт и восстановление шин, ден.ед. / км;

Затраты на зарплату водителей, ден.ед. / км;

Затраты на накладные расходы, ден.ед. / км.

2.4. Расчет статьи "Затраты топлива" производится по формуле:

,

где - оптовая цена топлива;

Норма расхода топлива, л / 100 км;

Коэффициент, учитывающий повышенный расход топлива в зимний период.

2.5 Расчёт статьи "Затраты на смазочные и обтирочные материалы" производится по формуле:

где , - нормы расхода машинного, трансмиссионного масел и пластической смазки на 100 км пробега.

Оптовые цены соответственно на применяемые масла, ден.ед.

2.6 Расчёт статьи " Затраты на техническое обслуживание и эксплуатационный ремонт" производится по формуле:

где - стоимость по нормам затрат на ТО-1,ТО-2, ЕО, ден.ед.;

Средняя стоимость текущих ремонтов на 1000 км пробега;

- нормативный пробег автомобиля до ТО-1,ТО-2, ЕО, км;

,

где - коэффициент, учитывающий снижение затрат на эксплуатационный ремонт для нового автомобиля.

2.7 Расчёт статьи "Затраты на амортизацию" производится по формуле:

,

где - оптовая цена, ден.ед.;

Годовой пробег автомобиля, км;

Годовая норма амортизационных отчислений на полное восстановление автомобиля, %,

Годовая норма амортизационных отчислений на капитальный ремонт автомобиля, %.

2.8 Расчет статьи "Затраты на восстановление и ремонт шин" производится по формуле:

,

где - оптовая (розничная) цена на одну шину, ден.ед.;

Количество ходовых шин, шт.;

Амортизационный пробег шин, т.е. ходимость шин, км;

Коэффициент, учитывающий затраты на ремонт шин.

2.9 Расчёт статьи "Затраты на зарплату водителей" производится по формуле:

,

где - тарифный заработок водителя, ден.ед.;

Коэффициент, учитывающий доплаты и премии;

12 - количество месяцев в году.

2.10. Расчёт статьи "Затраты на накладные расходы" производится по формуле:

,

где - норматив годовых накладных расходов на один автомобиль, ден.ед.

II. Составление сметы эксплуатационных затрат на 1 км пробега

Таблица 51. – СМЕТА ЭКСПЛУАТАЦИОННЫХ ЗАТРАТ

III. Затраты на единицу транспортной работы (себестоимость1 т-км.), определяются по формуле:

;

IV. Годовые эксплуатационные затраты рассчитываются по объёму транспортной работы, выполняемой новым автомобилем для базового и нового автомобиля:

,

где , - затраты в эксплуатации на год соответственно по базовой и новой технике.

ЧАСТЬ 3. Расчёт показателей экономической эффективности новой техники.

I. Определение условно годовой экономии (удорожание) производится в трёх сферах:

3.1 в сфере производства:

,

где - годовая программа выпуска новой техники.

3.2. в сфере эксплуатации:

,

3.3. в целом по народному хозяйству:

,

II. Определение годового экономического эффекта по народному хозяйству производится по одной из приведённых формул:

3.4. Если новая техника уменьшает затраты, как в сфере производства, так и в сфере эксплуатации, экономический эффект рассчитывается по формуле:

3.5 Если новая техника даёт экономический эффект только в сфере эксплуатации, а в производстве обходится дороже, то экономический эффект рассчитывают по формуле:

3.6. Если новая техника повышенного качества (с более высокой ценой), экономический эффект, рассчитывают по формуле.

Всем выпускникам, которые готовятся к сдаче ЕГЭ по математике, будет полезно освежить в памяти тему «Произвольная трапеция». Как показывает многолетняя практика, планиметрические задачи из этого раздела вызывают у многих старшеклассников определенные сложности. При этом решить задачи ЕГЭ на тему «Произвольная трапеция» требуется при прохождении и базового, и профильного уровня аттестационного испытания. Следовательно, уметь справляться с подобными упражнениями должны все выпускники.

Как подготовиться к экзамену?

Большинство планиметрических задач решаются путем классических построений. Если в задаче ЕГЭ требуется найти, к примеру, площадь трапеции, изображенной на рисунке, стоит отметить на чертеже все известные параметры. После этого вспомните основные теоремы, относящиеся к ним. Применив их, вы сможете найти правильный ответ.

Чтобы подготовка к экзамену была действительно эффективной, обратитесь к образовательному порталу «Школково». Здесь вы найдете весь базовый материал по темам «Произвольная трапеция или который поможет вам успешно сдать ЕГЭ. Основные свойства фигуры, формулы и теоремы собраны в разделе «Теоретическая справка».

«Прокачать» навыки решения задач выпускники смогут также на нашем математическом портале. В разделе «Каталог» представлена большая подборка соответствующих упражнений разного уровня сложности. Перечень заданий наши специалисты регулярно обновляют и дополняют.

Последовательно выполнять упражнения учащиеся из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. При необходимости любое задание можно сохранить в разделе «Избранное» и в дальнейшем вернуться к нему, чтобы обсудить с преподавателем.

В этой статье для вас сделана очередная подборка задач с трапецией. Условия так или иначе связаны с её средней линией. Типы заданий взяты из открытого банка типовых задач. Если есть желание, то можете освежить свои теоретические знания . На блоге уже рассмотрены задачи условия которых связаны с , а также . Кратко о средней линии:

Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон. Она параллельна основаниям и равна их полусумме.

Перед решением задач давайте рассмотрим теоретический пример.

Дана трапеция ABCD. Диагональ АС пересекаясь со средней линией образует точку К, диагональ BD точку L. Доказать, что отрезок KL равен половине разности оснований.

Давайте сначала отметим тот факт, что средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок концы которого лежат на её основаниях. Этот вывод напрашивается сам собой. Представьте отрезок соединяющий две точки оснований, он разобьёт данную трапецию на две других. Получится, что отрезок параллельный основаниям трапеции и проходящий через середину боковой стороны на другой боковой стороне пройдёт через её середину.

Так же это основывается на теореме Фалеса:

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.

То есть в данном случае К середина АС и L середина BD. Следовательно EK есть средняя линия треугольника АВС, LF есть средняя линия треугольника DCB. По свойству средней линии треугольника:

Можем теперь выразить отрезок KL через основания:

Доказано!

Данный пример приведён не просто так. В задачах для самостоятельного решения имеется именно такая задача. Только в ней не сказано, что отрезок соединяющий середины диагоналей лежит на средней линии. Рассмотрим задачи:

27819. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания равны 30 и 16.

Вычисляем по формуле:

27820. Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основание равно 18. Найдите большее основание трапеции.

Выразим большее основание:

Таким образом:

27836. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 и 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Для того, чтобы найти среднюю линию необходимо знать основания. Основание АВ найти просто: 10+4=14. Найдём DC.

Построим второй перпендикуляр DF:

Отрезки AF, FE и EB будут равны соответственно 4, 6 и 4. Почему?

В равнобедренной трапеции перпендикуляры опущенные к большему основанию разбивают его на три отрезка. Два из них, являющиеся катетами отсекаемых прямоугольных треугольников, равны друг другу. Третий отрезок равен меньшему основанию, так как при построении указанных высот образуется прямоугольник, а в прямоугольнике противолежащие стороны равны. В данной задаче:

Таким образом DC=6. Вычисляем:

27839. Основания трапеции относятся 2:3, а средняя линия равна 5. Найдите меньшее основание.

Введём коэффициент пропорциональности х. Тогда АВ=3х, DC=2х. Можем записать:

Следовательно меньшее основание равно 2∙2=4.

27840. Периметр равнобедренной трапеции равен 80, ее средняя линия равна боковой стороне. Найдите боковую сторону трапеции.

Исходя из условия можем записать:

Если обозначить среднюю линию через величину х, то получится:

Второе уравнение уже можно записать в виде:

27841. Средняя линия трапеции равна 7, а одно из ее оснований больше другого на 4. Найдите большее основание трапеции.

Обозначим меньшее основание (DC) как х, тогда большее (AB) будет равно х+4. Можем записать

Получили, что меньшее основание рано пяти, значит большее равно 9.

27842. Средняя линия трапеции равна 12. Одна из диагоналей делит ее на два отрезка, разность которых равна 2. Найдите большее основание трапеции.

Большее основание трапеции мы без труда найдём если вычислим отрезок ЕО. Он является средней линией в треугольнике ADB, и АВ=2∙ЕО.

Что имеем? Сказано что средняя линия равна 12 и разность отрезков ЕО и ОF равна 2. Можем записать два уравнения и решить систему:

Понятно, что в данном случае подобрать пару чисел можно без вычислений, это 5 и 7. Но, всё-таки, решим систему:

Значит ЕО=12–5=7. Таким образом, большее основание равно АВ=2∙ЕО=14.

27844. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12. Найдите ее среднюю линию.

Сразу отметим, что высота проведённая через точку пересечения диагоналей в равнобедренной трапеции лежит на оси симметрии и разбивает трапецию на две равные прямоугольные трапеции, то есть основания этой высотой делятся пополам.

Казалось бы, для вычисления средней линии мы должны найти основания. Тут небольшой тупик возникает… Как зная высоту, в данном случае, вычислить основания? А ни как! Таких трапеций с фиксированной высотой и диагоналями пересекающимися по углом 90 градусов можно построить множество. Как быть?

Посмотрите на формулу средней линии трапеции. Ведь нам необязательно знать сами основания, достаточно узнать их сумму (или полусумму). Это мы сделать можем.

Так как диагонали пересекаются под прямым углом, то высотой EF образуются равнобедренные прямоугольные треугольники:

Из выше сказанного следует, что FO=DF=FC, а OE=AE=EB. Теперь запишем чему равна высота выраженная через отрезки DF и AE:

Таким образом, средняя линия равна 12.

*Вообще это задачка, как вы поняли, для устного счёта. Но, уверен, представленное подробное объяснение необходимо. А так… Если взглянуть на рисунок (при условии, что при построении соблюдён угол между диагоналями), сразу в глаза бросается равенство FO=DF=FC, а OE=AE=EB.

В составе прототипов имеется ещё типы заданий с трапециями. Построена она на листе в клетку и требуется найти среднюю линию, сторона клетки обычно равна 1, но может быть другая величина.

27848. Найдите среднюю линию трапеции ABCD , если стороны квадратных клеток равны 1.

Всё просто, вычисляем основания по клеткам и используем формулу: (2+4)/2=3

Если же основания построены под углом к клеточной сетке, то есть два способа. Например!

Задачи с трапецией не кажутся сложными в ряде фигур, которые изучены ранее. Как частный случай рассматривается прямоугольная трапеция. А при поиске ее площади иногда бывает удобнее разбить ее на две уже знакомые: прямоугольник и треугольник. Стоит только немного подумать, и решение обязательно найдется.

Определение прямоугольной трапеции и ее свойства

У произвольной трапеции основания параллельны, а боковые стороны могут иметь произвольное значение углов к ним. Если рассматривается прямоугольная трапеция, то в ней одна из сторон всегда перпендикулярна основаниям. То есть два угла в ней будут равны 90 градусам. Причем они всегда принадлежат смежным вершинам или, другими словами, одной боковой стороне.

Каждая диагональ образует с ее меньшей боковой стороной прямоугольный треугольник. А высота, которая проведена из вершины с тупым углом, делит фигуру на две. Одна из них прямоугольник, а другая − прямоугольный треугольник. Кстати, эта сторона всегда равна высоте трапеции.

Какие обозначения приняты в представленных формулах?

Все величины, используемые в разных выражениях, которые описывают трапецию, удобно сразу оговорить и представить в таблице:

Формулы, которые описывают элементы прямоугольной трапеции

Самая простая из них связывает высоту и меньшую боковую сторону:

Еще несколько формул для этой стороны прямоугольной трапеции:

с = d *sinα;

c = (a - b) * tg α;

c = √ (d 2 - (a - b) 2).

Первая вытекает из прямоугольного треугольника. И говорит о том, что катет к гипотенузе дает синус противолежащего угла.

В том же треугольнике второй катет равен разности двух оснований. Поэтому справедливо утверждение, которое приравнивает тангенс угла к отношению катетов.

Из того же треугольника можно вывести формулу, основываясь на знании теоремы Пифагора. Это третье записанное выражение.

d = (a - b) /cosα;

d = c / sin α;

d = √ (c 2 + (а - b) 2).

Первые две опять получаются из соотношения сторон в том же прямоугольном треугольнике, а вторая выводится из теоремы Пифагора.

Какой формулой можно воспользоваться для расчета площади?

Той, что дана для произвольной трапеции. Только нужно учесть, что высотой является сторона, перпендикулярная к основаниям.

S = (a + b) * h / 2.

Эти величины не всегда даны явно. Поэтому чтобы вычислить площадь прямоугольной трапеции, потребуется выполнить некоторые математические выкладки.

Как быть, если нужно вычислить диагонали?

В этом случае нужно увидеть, что они образуют два прямоугольных треугольника. Значит, всегда можно воспользоваться теоремой Пифагора. Тогда первая диагональ будет выражаться так:

d1 = √ (с 2 + b 2)

или по-другому, заменив «с» на «h»:

d1 = √ (h 2 + b 2).

Аналогичным образом получаются формулы для второй диагонали:

d2 = √ (с 2 + b 2) или d 2 = √ (h 2 + а 2).

Задача №1

Условие . Площадь прямоугольной трапеции известна и равна 120 дм 2 . Ее высота имеет длину 8 дм. Необходимо вычислить все стороны трапеции. Дополнительным условием является то, что одно основание меньше другого на 6 дм.

Решение. Поскольку дана прямоугольная трапеция, в которой известна высота, то сразу же можно сказать о том, что одна из сторон равна 8 дм, то есть меньшая боковая сторона.

Теперь можно сосчитать другую: d = √ (с 2 + (а - b) 2). Причем здесь сразу даны и сторона с, и разность оснований. Последнее равно 6 дм, это известно из условия. Тогда d будет равняться квадратному корню из (64 + 36), то есть из 100. Так найдена еще одна боковая сторона, равная 10 дм.

Сумму оснований можно найти из формулы для площади. Она будет равна удвоенному значению площади, разделенному на высоту. Если считать, то получается 240 / 8. Значит, сумма оснований — это 30 дм. С другой стороны, их разность равна 6 дм. Объединив эти уравнения, можно сосчитать оба основания:

а + b = 30 и а - b = 6.

Можно выразить а как (b + 6), подставить его в первое равенство. Тогда получится, что 2b будет равняться 24. Поэтому просто b окажется 12 дм.

Тогда последняя сторона а равна 18 дм.

Ответ. Стороны прямоугольной трапеции: а = 18 дм, b = 12 дм, с = 8 дм, d = 10 дм.

Задача №2

Условие. Дана прямоугольная трапеция. Ее большая боковая сторона равняется сумме оснований. Ее высота имеет длину 12 см. Построен прямоугольник, стороны которого равны основаниям трапеции. Необходимо вычислить площадь этого прямоугольника.

Решение. Начать нужно с искомого. Нужная площадь определится как произведение a и b. Обе эти величины не известны.

Потребуется использовать дополнительные равенства. Одно из них построено на утверждении из условия: d = а + b. Необходимо воспользоваться третьей формулой для этой стороны, которая дана выше. Получится: d 2 = с 2 + (a - b) 2 или (a + b) 2 = с 2 + (a - b) 2 .

Необходимо сделать преобразования, подставив вместо с его значение из условия - 12. После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получается, что 144 = 4 ab.

В начале решения шла речь о том, что а*b дает искомую площадь. Поэтому в последнем выражении можно заменить это произведение на S. Простой расчет даст значение площади. S = 36 см 2 .

Ответ. Искомая площадь 36 см 2 .

Задача №3

Условие. Площадь прямоугольной трапеции 150√3 см². Острый угол равняется 60 градусам. Такое же значение имеет угол между маленьким основанием и меньшей диагональю. Нужно вычислить меньшую диагональ.

Решение. Из свойства углов трапеции получается, что ее тупой угол равен 120º. Тогда диагональ делит его на равные, потому что одна его часть уже 60 градусов. Тогда и угол между этой диагональю и вторым основанием тоже 60 градусов. То есть треугольник, образованный большим основанием, наклонной боковой стороной и меньшей диагональю, является равносторонним. Таким образом, искомая диагональ будет равна а, как и боковая сторона d = а.

Теперь нужно рассмотреть прямоугольный треугольник. В нем третий угол равен 30 градусам. Значит катет, лежащий против него, равен половине гипотенузы. То есть меньшее основание трапеции равно половине искомой диагонали: b = a/2. Из него же нужно найти высоту, равную боковой стороне, перпендикулярной основаниям. Сторона с здесь катет. Из теоремы Пифагора:

с = (a/2) * √3.

Теперь осталось только подставить все величины в формулу площади:

150√3 = (a + a/2) * (a/2 * √3) / 2.

Решение этого уравнения дает корень 20

Ответ. Меньшая диагональ имеет длину 20 см.