Как найти r описанной окружности. Как найти радиус описанной окружности

Треугольник называется вписанным, если все его вершины лежат на окружности. В этом случае окружность называется описанной вокруг треугольника. Расстояние от ее центра до каждой вершины треугольника будет одинаковым и равным радиусу этой окружности. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, но только одну.

Центр описанной окружности будет лежать в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к каждой из сторон треугольника. Если окружность описана вокруг прямоугольного треугольника, то ее центр будет лежать на середине гипотенузы. Для любого треугольника, вокруг которого описана окружность действует формула площади треугольника через радиус описанной окружности:

в которой a,b,c – стороны треугольника, а R – радиус описанной окружности.

Пример расчета площади треугольника через радиус описанной окружности:
Пусть дан треугольник со сторонами a = 5 см, b = 6 см, c = 4 см. Вокруг него описана окружность с R = 3 см. найдите площадь.
Имея все требуемые данные, просто подставляем значения в формулу:

Площадь треугольника будет равна 10 кв. см

Довольно часто по условиям можно встретить данную площадь описанной окружности, которую необходимо использовать для нахождения площади вписанного треугольника. Формула площади треугольника через площадь описанной окружности находится после вычисления радиуса. Его можно вычислить несколькими способами. Для начала рассмотрим формулу площади окружности:
Преобразовав эту формулу, мы получим, что радиус:
Используя эту формулу, мы получаем, что зная площадь описанной окружности, можно найти площадь треугольника следующим способом:

Зная все три стороны заданного треугольника можно применить для нахождения площади . Из нее же можно найти и радиус описанной окружности. То есть если в условиях даны все стороны треугольника и требуется поиск площади через радиус описанной окружности, мы сначала должны вычислить его по формуле:

То есть, зная длины всех сторон треугольника, мы можем найти площадь треугольника через радиус описанной окружности.

Пример расчета площади треугольника через площадь описанной окружности:
Дан треугольник, вокруг которого описана окружность с площадью 8 кв. см. Стороны треугольника a = 4см, b = 3 см, c = 5 см. Для начала найдем радиус окружности через ее площадь:

Попробуем найти радиус по другой формуле, которую мы вывели из способа нахождения

Цели урока:

• Углубить знания по теме «Описанная окружности в треугольниках»

Задачи урока:

• Систематизировать знания по этой теме
• Подготовиться к решению задач повышенной сложности.

План урока:

1. Введение.
2. Теоретическая часть.
3. Для треугольника.
4. Практическая часть.

Введение.

Тема «Вписанные и описанные окружности в треугольниках» является одной из самых сложных в курсе геометрии. На уроках ей уделяется очень мало времени.

Геометрические задачи этой темы включаются во вторую часть экзаменационной работы ЕГЭ за курс средней школы.
Для успешного выполнения этих заданий необходимы твердые знания основных геометрических фактов и некоторый опыт в решении геометрических задач.

Теоретическая часть.

Описанная окружность многоугольника - окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать O) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Свойства.

Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Как следствие: если рядом с n-угольником описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности).
Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Для треугольника.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, притом только одну . Её центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров.

У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри , у тупоугольного - вне треугольника , у прямоугольного - на середине гипотенузы .

Радиус описанной окружности может быть найден по формулам:

Где:
a,b,c - стороны треугольника,
α - угол, лежащий против стороны a,
S - площадь треугольника.

Доказать:

т.О - точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам ΔABC

Доказательство:

1. ΔAОC - равнобедренный, т.к. ОА=ОС (как радиусы)
2. ΔAОC - равнобедренный, перпендикуляр OD - медиана и высота, т.е. т.О лежит на серединном перпендикуляре к стороне АС
3. Аналогично доказывается, что т.О лежит на серединных перпендикулярах к сторонам АВ и ВС

Что и требовалось доказать.

Замечание.

Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, часто называют серединным перпендикуляром. В связи с этим иногда говорят, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Радиус - это отрезок, который соединяет любую точку на окружности с ее центром. Это одна из самых важных характеристик данной фигуры, поскольку на ее основе можно вычислить все другие параметры. Если знать, как найти радиус окружности, то можно рассчитать ее диаметр, длину, а также площадь. В том случае, когда данная фигура вписана или описана вокруг другой, то можно решить еще целый ряд задач. Сегодня мы разберем основные формулы и особенности их применения.

Известные величины

Если знать, как найти радиус окружности, который обычно обозначают буквой R, то его можно вычислить по одной характеристике. К таким величинам относят:

• длину окружности (C);
• диаметр (D) - отрезок (вернее, хорда), который проходит через центральную точку;
• площадь (S) - пространство, которое ограничено данной фигурой.

По длине окружности

Если в задаче известна величина C, то R = С / (2 * П). Эта формула является производной. Если мы знаем, что из себя представляет длина окружности, то ее уже не нужно запоминать. Предположим, что в задаче C = 20 м. Как найти радиус окружности в этом случае? Просто подставляем известную величину в вышеприведенную формулу. Отметим, что в таких задачах всегда подразумевается знание числа П. Для удобства расчетов примем его значение за 3,14. Решение в этом случае выглядит следующим образом: записываем, какие величины даны, выводим формулу и проводим вычисления. В ответе пишем, что радиус равен 20 / (2 * 3,14) = 3,19 м. Важно не забыть о том, что мы считали, и упомянуть название единиц измерения.

По диаметру

Сразу подчеркнем, что это самый простой вид задач, в которых спрашивается о том, как найти радиус окружности. Если такой пример попался вам на контрольной, то можете быть спокойны. Тут даже не нужен калькулятор! Как мы уже говорили, диаметр - это отрезок или, правильнее сказать, хорда, которая проходит через центр. При этом все точки окружности равноудалены. Поэтому данная хорда состоит из двух половинок. Каждая из них является радиусом, что следует из его определения как отрезка, который соединяет точку на окружности и ее центр. Если в задаче известен диаметр, то для нахождения радиуса нужно просто разделить эту величину на два. Формула выглядит следующим образом: R = D / 2. Например, если диаметр в задаче равен 10 м, то радиус - 5 метров.

По площади круга

Этот тип задач обычно называют самым сложным. Это связано в первую очередь с незнанием формулы. Если знать, как найти радиус окружности в этом случае, то остальное - дело техники. В калькуляторе только нужно заранее найти значок вычисления квадратного корня. Площадь круга - это произведение числа П и радиуса, умноженного на самого себя. Формула выглядит следующим образом: S = П * R 2 . Обособив радиус на одной из сторон уравнения, можно с легкость решить задачу. Он будет равен квадратному корню из частного от деления площади на число П. Если S = 10 м, то R = 1,78 метров. Как и в предыдущих задачах, важно не забыть об используемых единицах измерения.

Как найти радиус описанной окружности

Предположим, что a, b, c - это стороны треугольника. Если знать их величины, то можно найти радиус описанной вокруг него окружности. Для этого сначала нужно найти полупериметр треугольника. Чтобы было легче для восприятия, обозначим его маленькой буквой p. Он будет равен половине суммы сторон. Его формула: p = (a + b + c) / 2.

Также вычислим произведение длин сторон. Для удобства обозначим его буквой S. Формула радиуса описанной окружности будет выглядеть так: R = S / (4 * √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).

Рассмотрим пример задачи. У нас есть окружность, описанная вокруг треугольника. Длины ее сторон составляют 5, 6 и 7 см. Сначала вычисляем полупериметр. В нашей задаче он будет равен 9 сантиметрам. Теперь вычислим произведение длин сторон - 210. Подставляем результаты промежуточных расчетов в формулу и узнаем результат. Радиус описанной окружности равен 3,57 сантиметра. Записываем ответ, не забывая о единицах измерения.

Как найти радиус вписанной окружности

Предположим, что a, b, c - длины сторон треугольника. Если знать их величины, то можно найти радиус вписанной в него окружности. Сначала нужно найти его полупериметр. Для облегчения понимания обозначим его маленькой буквой p. Формула его вычисления выглядит следующим образом: p = (a + b + c) / 2. Этот тип задачи несколько проще, чем предыдущий, поэтому больше не нужно никаких промежуточных расчетов.

Радиус вписанной окружности вычисляется по следующей формуле: R = √((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Рассмотрим это на конкретном примере. Предположим, в задаче описан треугольник со сторонами 5, 7 и 10 см. В него вписана окружность, радиус которой и нужно найти. Сначала находим полупериметр. В нашей задаче он будет равен 11 см. Теперь подставляем его в основную формулу. Радиус окажется равным 1,65 сантиметрам. Записываем ответ и не забываем о правильных единицах измерения.

Окружность и ее свойства

У каждой геометрической фигуры есть свои особенности. Именно от их понимания зависит правильность решения задач. Есть они и у окружности. Зачастую их используют при решении примеров с описанными или вписанными фигурами, поскольку они дают ясное представление о такой ситуации. Среди них:

• Прямая может иметь ноль, одну или две точки пересечения с окружностью. В первом случае она с ней не пересекается, во втором является касательной, в третьем - секущей.
• Если взять три точки, что не лежат на одной прямой, то через них можно привести только одну окружность.
• Прямая может быть касательной сразу двух фигур. В этом случае она будет проходить через точку, которая лежит на отрезке, соединяющем центры окружностей. Его длина равна сумме радиусов данных фигур.
• Через одну или две точки можно провести бесконечное количество окружностей.

В современном машиностроении используется масса элементов и запчастей, которые имеют в своей структуре как внешние окружности, так и внутренние. Самым ярким примером могут служить корпус подшипника, детали моторов, узлы ступицы и многое другое. При их изготовлении применяются не только высокотехнологичные приспособления, но и знания из геометрии, в частности информация об окружностях треугольника. Более детально с подобным знаниями познакомимся ниже.

Вконтакте

Какая окружность вписана, а какая описана

Прежде всего вспомним, что окружностью называется бесконечное множество точек, удаленных на одинаковом расстоянии от центра . Если внутри многоугольника допускается построить окружность, которая с каждой стороной будет иметь только одну общую точку пересечения, то она будет называться вписанной. Описанной окружностью (не круг, это разные понятия) называется такое геометрическое место точек, при котором у построенной фигуры с заданным многоугольником общими точками будут только вершины многоугольника. Ознакомимся с этими двумя понятиями на более наглядном примере (см. рис 1.).

Рисунок 1. Вписанная и описанная окружности треугольника

На изображении построены две фигуры большого и малого диаметров, центры которых находятся G и I. Окружность большего значения называется описанной окр-тью Δ ABC, а малого – наоборот, вписанной в Δ ABC.

Для того чтобы описать вокруг треугольника окр-ть, требуется провести через середину каждой стороны перпендикулярную прямую (т.е. под углом 90°) – это точка пересечения, она играет ключевую роль. Именно она будет представлять собой центр описанной окружности. Перед тем как найти окружность, ее центр в треугольнике, требуется построить для каждого угла , после чего выделить точку пересечения прямых. Она в свою очередь будет центром вписанной окр-ти, а ее радиус при любых условиях будет перпендикулярен любой из сторон.

На вопрос:«Какое количество окружностей вписанных может быть для многоугольника с тремя ?» ответим сразу, что в любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну. Потому что существует только одна точка пересечения всех биссектрис и одна точка пересечения перпендикуляров, исходящих из середин сторон.

Свойство окружности, которой принадлежат вершины треугольника

Описанная окружность, которая зависит от длин сторон при основании, имеет свои свойства. Укажем свойства описанной окружности:

Для того чтобы более наглядно понять принцип описанной окружности, решим простую задачу. Допустим, что дан треугольник Δ ABC, стороны которого равны 10, 15 и 8,5 см. Радиус описанной окружности около треугольника (FB) составляет 7,9 см. Найти значение градусной меры каждого угла и через них площадь треугольника.

Рисунок 2. Поиск радиуса окружности через отношение сторон и синусов углов

Решение: опираясь на ранее указанную теорему синусов, найдем значение синуса каждого угла в отдельности. По условию известно, что сторона АВ равна 10 см. Вычислим значение С:

Используя значения таблицы Брадиса, узнаем, что градусная мера угла С равна 39°. Таким же методом найдем и остальные меры углов:

Откуда узнаем, что CAB = 33°, а ABC = 108°. Теперь, зная значения синусов каждого из углов и радиус, найдем площадь, подставляя найденные значения:

Ответ: площадь треугольника равна 40,31 см², а углы равны соответственно 33°, 108° и 39°.

Важно! Решая задачи подобного плана, будет нелишним всегда иметь таблицы Брадиса либо соответствующее приложение на смартфоне, так как вручную процесс может затянуться на длительное время. Также для большей экономии времени не требуется обязательно строить все три середины перпендикуляра либо три биссектрисы. Любая третья из них всегда будет пересекаться в точке пересечения первых двух. А для ортодоксального построения обычно третью дорисовывают. Может, это неправильно в вопросе алгоритма, но на ЕГЭ или других экзаменах это здорово экономит время.

Исчисление радиуса вписанной окружности

Все точки окружности одинаково удалены от ее центра на одинаковом расстоянии. Длину этого отрезка (от и до) называют радиусом. В зависимости от того, какую окр-ть мы имеем, различают два вида – внутренний и внешний. Каждый из них вычисляется по собственной формуле и имеет прямое отношение к вычислению таких параметров, как:

• площадь;
• градусная мера каждого угла;
• длины сторон и периметр.

Рисунок 3. Расположение вписанной окружности внутри треугольника

Вычислить длину расстояния от центра до точки соприкосновения с любой из сторон можно такими способами: через стороны, боковые стороны и углы (для равнобокого треугольника).

Использование полупериметра

Полупериметром называется половина суммы длин всех сторон. Такой способ считается самым популярным и универсальным, потому как независимо от того, какой тип треугольника дан по условию, он подходит для всех. Порядок вычисления имеет следующий вид:

Если дан «правильный»

Одним из малых преимуществ «идеального» треугольника является то, что вписанная и описанная окружности имеют центр в одной точке . Это удобно при построении фигур. Однако в 80% случаев ответ получается «некрасивым». Тут имеется ввиду, что очень редко радиус вписанной окр-ти будет целым , скорее наоборот. Для упрощенного исчисления используется формула радиуса вписанной окружности в треугольник:

Если боковины одинаковой длины

Одним из подтипов задач на гос. экзаменах будет нахождение радиуса вписанной окружности треугольника, две стороны которого равны между собой, а третья нет. В таком случае рекомендуем использовать этот алгоритм, который даст ощутимую экономию времени на поиск диаметра вписанной окр-ти. Радиус вписанной окружности в треугольник с равными «боковыми» вычисляется по формуле:

Более наглядное применение указанных формул продемонстрируем на следующей задаче. Пускай имеем треугольник (Δ HJI), в который вписана окр-ть в точке K. Длина стороны HJ = 16 см, JI = 9,5 см и сторона HI равна 19 см (рисунок 4). Найти радиус вписанной окр-ти, зная стороны.

Рисунок 4. Поиск значения радиуса вписанной окружности

Решение: для нахождения радиуса вписанной окр-ти найдем полупериметр:

Отсюда, зная механизм вычисления, узнаем следующее значение. Для этого понадобятся длины каждой из сторон (дано по условию), а также половину периметра, получается:

Отсюда следует, что искомый радиус равен 3,63 см. Согласно условию, все стороны равны, тогда искомый радиус будет равен:

При условии, если многоугольник равнобокий (например, i = h = 10 см, j = 8 см), диаметр внутренней окр-ти с центром в точке K будет равен:

В условии задачи может даваться треугольник с углом 90°, в таком случае запоминать формулу нет необходимости. Гипотенуза треугольника будет равна диаметру. Более наглядно это выглядит так:

Важно! Если задана задача на поиск внутреннего радиуса, не рекомендуем проводить вычисления через значения синусов и косинусов углов, табличное значение которых точно не известно. В случае, если иначе узнать длину невозможно, не пытайтесь «вытащить» значение из-под корня. В 40% задач полученное значение будет трансцендентным (т.е. бесконечным), а комиссия может не засчитать ответ (даже если он будет правильным) из-за его неточности или неправильной формы подачи. Особое внимание уделите тому, как может видоизменяться формула радиуса описанной окружности треугольника в зависимости от предложенных данных. Такие «заготовки» позволяют заранее «видеть» сценарий решения задачи и выбрать наиболее экономное решение.

Радиус внутренней окружности и площадь

Для того чтобы вычислить площадь треугольника, вписанного в окружность, используют лишь радиус и длины сторон многоугольника :

Если в условии задачи напрямую не дано значение радиуса, а только площадь, то указанная формула площади трансформируется в следующую:

Рассмотрим действие последней формулы на более конкретном примере. Предположим, что дан треугольник, в который вписана окр-ть. Площадь окр-ти составляет 4π, а стороны равны соответственно 4, 5 и 6 см. Вычислим площадь заданного многоугольника при помощи вычисления полупериметра.

Используя вышеуказанный алгоритм, вычислим площадь треугольника через радиус вписанной окружности:

В силу того, что в любой треугольник можно вписать окружность, число вариаций нахождения площади значительно увеличивается. Т.е. поиск площади треугольника, включает в себя обязательное знание длины каждой стороны, а также значение радиуса.

Треугольник, вписанный в окружность геометрия 7 класс

Прямоугольные треугольники, вписанные в окружность

Вывод

Из указанных формул можно убедиться, что сложность любой задачи с использованием вписанной и описанной окружностей заключается только в дополнительных действия по поиску требуемых значений. Задачи подобного типа требуют только досконально понимания сути формул, а также рациональности их применения. Из практики решения отметим, что в будущем центр описанной окружности будет фигурировать и в дальнейших темах геометрии, поэтому запускать ее не следует. В противном случае решение может затянуться с использованием лишних ходов и логических выводов.

Видно, что каждая сторона треугольника , перпендикуляр, проведенный из ее середины и отрезки, соединяющие точку пересечения перпендикуляров с вершинами, образуют два равных прямоугольных треугольника . Отрезки MА, MВ, MС равны.

Вам дан треугольник. Найдите середину каждой стороны – возьмите линейку и измерьте его стороны. Полученные размеры разделите пополам. Отложите от вершин на каждой половину ее размера. Отметьте результаты точками.

Из каждой точки отложите перпендикуляр к стороне. Точка пересечения этих перпендикуляров будет центром описанной окружности. Для нахождения центра окружности достаточно двух перпендикуляров. Третий строится для самопроверки.

Обратите – в треугольнике, где все углы острые, пересечения внутри треугольника . В прямоугольном треугольнике – лежит на гипотенузе. В – находится за его пределами. Причем перпендикуляр к стороне напротив тупого угла не к центру треугольника , а наружу.

Обратите внимание

Существует теорема синусов, устанавливающая зависимость между сторонами треугольника, его углами и радиусами описанной окружности. Эта зависимость выражается формулой: a/sina = b/sinb = с/sinc = 2R, где a, b, c – стороны треугольника; sina, sinb, sinc – синусы углов, противолежащих этим сторонам; R – радиус окружности, которую можно описать вокруг треугольника.

Источники:

• как описать окружность четырехугольника

Согласно определению, описанная окружность должна проходить через все вершины углов заданного многоугольника. При этом совершенно неважно, что это за многоугольник - треугольник, квадрат, прямоугольник, трапеция или что-то иное. Также не играет роли, правильный или неправильный это многоугольник. Необходимо лишь учитывать, что существуют многоугольники, вокруг которых окружность описать нельзя. Всегда можно описать окружность вокруг треугольника. Что касается четырехугольников, то окружность можно описать около квадрата или прямоугольника или равнобедренной трапеции.

Вам понадобится

• Заданный многоугольника
• Линейка
• Угольник
• Карандаш
• Циркуль
• Транспортир
• Таблицы синусов и косинусов
• Математические понятия и формулы
• Теорема Пифагора
• Теорема синусов
• Теорема косинусов
• Признаки подобия треугольников

Инструкция

Постройте многоугольник с заданными параметрами и , можно ли описать вокруг него окружность . Если вам дан четырехугольник, посчитайте суммы его противоположных углов. Каждая из них должна равняться 180°.

Для того, чтобы описать окружность , нужно вычислить ее радиус. Вспомните, где лежит центр окружности в разных многоугольниках. В треугольнике он в точке пересечения всех высот данного треугольника. В квадрате и прямоугольники - в точке пересечения диагоналей, для трапеции- в точке пересечения оси симметрии к линии, соединяющей середины боковых сторон, а для любого другого выпуклого многоугольника - в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

Диаметр окружности, описанной вокруг квадрата и прямоугольника, вычислите по теореме Пифагора. Он будет равняться квадратному корню из суммы квадратов сторон прямоугольника. Для квадрата, у которого все стороны равны, диагональ равна квадратному корню из удвоенного квадрата стороны. Разделив диаметр на 2, получаете радиус.

Вычислите радиус описанной окружности для треугольника. Поскольку параметры треугольника заданы в условиях, вычислите радиус по формуле R = a/(2·sinA), где а - одна из сторон треугольника, ? - противолежащий ей угол. Вместо этой стороны можно взять сторону и противолежащий ей угол.

Вычислите радиус окружности, описанной вокруг трапеции. R = a*d*c / 4 v(p*(p-a)*(p-d)*(p-c)) В этой формуле a и b - известные по условиям основания трапеции, h - высота, d - диагональ, p = 1/2*(a+d+c) . Вычислите недостающие значения. Высоту можно вычислить по теореме синусов или косинусов, длины сторон трапеции и углы заданы в условиях . Зная высоту и учитывая подобия треугольников, вычислите диагональ. После этого останется вычислить радиус по указанной выше формуле.

Видео по теме

Полезный совет

Чтобы вычислить радиус окружности, описанной вокруг другого многоугольника, выполните ряд дополнительных построений. Получите более простые фигуры, параметры которых вам известны.

Совет 3: Как начертить прямоугольный треугольник по острому углу и гипотенузе

Прямоугольным называют треугольник, угол в одной из вершин которого равен 90°. Сторону, лежащую напротив этого угла, называют гипотенузой, а стороны, противолежащие двум острым углам треугольника, называются катетами. Если известна длина гипотенузы и величина одного из острых углов, то этих данных достаточно, чтоб построить треугольник, как минимум, двумя способами.