Как найти производную дробной функции. Производная функции

Методическая разработка урока геометрии в 7 классе по теме: «Решение задач на применение теоремы о сумме углов треугольника и теоремы о внешнем угле треугольника» урок - практикум Глухова Лидия Юрьевна учитель математики

Урок по теме «Сумма углов треугольника »проводился в традиционной школе.Это урок закрепления ранее изученного материала содержание его опирается на знания учащихся,полученные как на предыдущих уроках,так и во всей теме «Треугольники».

При подготовке урока учтены следующие программные требования: умение применять теорему о сумме углов треугольника, как в простейших задачах так и в более сложных, видоизмененных ситуациях.

Урок продуман с учетом особенностей данного класса. У большинства учащихся хорошо развито логическое мышление, память. Они умеют анализировать и сравнивать, находить аналогии. Часть учащихся требует дополнительного внимания со стороны учителя, поэтому на уроке необходим дифференцированный подход.

Подборка заданий, их количество, организация учебной деятельности, использование различных форм работы на уроке позволяют проводить его на высоком методическом уровне, решить основные учебно- воспитательные задачи

Цели урока:

1.Образовательные:

Систематизировать знания учащихся по теме «Сумма углов треугольника и внешний угол треугольника»

Создать разноуровневые условия контроля (самоконтроля и взаимоконтроля) усвоения знаний и умений.

2.Развивающие:

Способствовать формированию умения применять полученные знания в новой ситуации,

Развивать математическое мышление, речь,

Развивать навыки творческого мышления.

3.Воспитательные:

Содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности,умения общаться.

Оборудование урока:

1.Учебник «Геометрия 7-9» Л.С.Атанасян, рабочая тетрадь, инструменты.

2.Задачи на готовых чертежах.

3.Карточки для самостоятельной работы.

4.Карточки для устного опроса.

5.Кодоскоп.

6.Кодокадры для проверки графического диктанта и для устной работы.

Структура урока

Ход урока:

1.Организационный момент.

Учитель сообщает тему урока, цели урока и согласует их с учащимися.Каждый из учеников должен поставить себе цель на уроке. Один из них ее озвучивает. Например: «Проверить свои знания теории по данной теме и умение решать задачи»(возможны варианты)

2.Проверка домашнего задания.

Ученики на прошлом уроке получили дифференцированное домашнее задание: одна группа составляла кроссворд по теме «Треугольники», вторая заполняла готовый кроссворд по этой же теме, а третья заполняла таблицу «Классификация треугольников».

Первая и вторая группа сдают домашнее задание,а один из учащихся третьей группы,выполнивший свое задание на кодокадре демонстрирует его, используя кодоскоп. Учитель делает обобщение по составленной таблице

Вопросы :

1.Треугольник, в котором все три угла острые.

2.Сторона треугольника, лежащая напротив прямого угла.

3.Треугольник с прямым углом.

4.Угол, смежный с одним из углов треугольника.

5.Стороны в прямоугольном треугольнике, образующие прямой угол.

6.Треугольник, в котором есть прямой угол.

7.Геометрическая фигура.

(Это пример кроссворда, составленного одним из учащихся.)

Таблица «Классификация треугольников»

Задание : Нарисовать треугольники в каждой свободной графе таблицы так, чтобы они соответствовали заданным условиям.

Учащиеся работают в статистических парах. На столе у каждой пары карточка опроса. Во время опроса учащиеся оценивают друг друга.

Карточки подписывают, а оценку ставят на карточку карандашом.

Целью данного этапа урока является проверка знания теории учащимися.Развитие коммуникативных способностей, умения оценивать друг друга.

4
.Графический диктант.

У каждого ученика листочек для диктанта.Работаем на два варианта.

На вопросы учителя ученики должны отвечать либо «да»,либо «нет»

При ответе «да» ученик ставит значок , при ответе

«нет» ставит значок.

Вопросы для диктанта (в скобках записаны вопросы для второго варианта):

1.Сумма углов треугольника равна 90°(180°)?

2.На рисунке 2 угол в 40°(в 110°) является внешним углом треугольника?

3.Внешний угол треугольника равен сумме углов треугольника не смежных с ним (разности между развернутым углом и смежным с ним углом треугольника)?

4.На рисунке 1 тупоугольный треугольник (на рисунке 9 остроугольный треугольник)?

5.Прямоугольный ли это треугольник на рисунке 3 (на рисунке 1)?

7.Катетом прямоугольного треугольника является любая сторона треугольника (сторона прилежащая к прямому углу)?

8.В треугольнике может быть только один прямой угол(только один тупой угол)?

Все рисунки для диктанта отпечатаны на отдельных листах (смотри приложение 1) здесь они помещены общей таблицей.

П
осле выполнения диктанта учитель показывает какой рисунок должен получится у каждого варианта.

1вариант

2вариант

Каждый проверяет свою работу и ставит себе оценку. Нормы оценок:

Нет ошибок –«5»,одна ошибка – «4»,две ошибки –«3»,более двух ошибок – «2»

Целью данного этапа является обучение учащихся умению применять теорию в видоизмененной ситуации, умению анализировать, сравнивать. Учащиеся на этом этапе учатся самооценке.

Приложение 1

Для небольшого отдыха учащихся проводим зрительную гимнастику. Для нее в углах доски расположены рисунки: на одном -прямоугольный треугольник, на втором -остроугольный, на третьем -тупоугольный.Ученики должны,не поворачивая головы,по команде учителя переводить взгляд с одного треугольника на другой.Для создания более комфортной ситуации включается тихая музыка.

6.Решение задач.

Класс работает фронтально,решая задачи, условия которых записаны на кодокадре и задачи на готовых чертежах. Двое, наиболее «сильных »учащихся, работают по решению задач повышенной сложности на боковой доске.

Задачи на кодокадре:

Определите вид треугольника, в котором

Один из его углов больше суммы двух других углов

Один из его углов равен сумме двух других углов

Сумма двух любых углов больше 90 градусов

Каждый из его углов меньше суммы двух других

Сумма любых двух углов меньше 120 градусов

Задачи на готовых чертежах (смотри приложение 1) задачи номер5,6,7,8,12.

Задание: «Найти неизвестные углы треугольника АВС»

Задачи,которые решаются на доске:

1.Найти сумму внешних углов треугольника взятых по одному при каждой вершине.

2.Найти углы треугольника АВС, если
= 2:3:4

Найдите внешний угол при вершине А.

Целью данного этапа является формирование умения решать задачи, применяя для этого теоретический материал в нестандартной ситуации, развитие устной математической речи учащихся.

Целью данного этапа является проверка сформированности умения

учащимися решать задачи на применение теоремы о сумме углов треугольника и теоремы о внешнем угле треугольника

Домашнее задание : повторять теоремы о сумме углов треугольника и внешнем угле треугольника, попытаться найти новое доказательство теоремы о сумме углов треугольника(по желанию)

Учитель подводит итог урока: отмечает наиболее активных учеников,выставляет оценки.Каждый ученик получил две оценки на уроке(за графический диктант и за устный опрос),так же индивидуально оцениваются учащиеся за решение задач, самостоятельная работа будет проверена учителем, а оценки объявлены на следующем уроке.

Литература:

1.Л.С.Атанасян. «Геометрия 7-9».

2.Е.М. Рабинович «Геометрия 7-9 . Задачи на готовых чертежах».

3.Программа по математике для общеобразовательных школ.

Происхождение дифференциального исчисления вызвано необходимостью решать определенные физические задачи. Предполагается, что человек, обладающий дифференциальным исчислением, может брать производные от разных функций. Умеете ли вы брать производную от функции, выраженной дробью?

Инструкция

1. Любая дробь имеет числитель и знаменатель. В процессе нахождения производной от дроби понадобится находить отдельно производную числителя и производную знаменателя.

2. Дабы обнаружить производную от дроби , производную числителя домножьте на знаменатель. Вычтите из полученного выражения производную знаменателя, помноженную на числитель. Итог поделите на знаменатель в квадрате.

3. Пример 1’ = / cos? (x) = / cos? (x) = / cos? (x) = 1 / cos? (x).

4. Полученный итог является ничем другим, как табличным значением производной функции тангенса. Оно и внятно, чай отношение синуса к косинусу и есть, по определению, тангенс. Выходит,tg (x) = ’ = 1 / cos? (x).

5. Пример 2[(x? - 1) / 6x]’ = [(2x · 6x - 6 · x?) / 6?] = / 36 = 6x? / 36 = x? / 6.

6. Частным случаем дроби является такая дробь, у которой в знаменателе единица. Обнаружить производную от такого вида дроби проще: довольно представить ее в виде знаменателя со степенью (-1).

7. Пример(1 / x)’ = ’ = -1 · x^(-2) = -1 / x?.

Обратите внимание!
Дробь может содержать в своем составе еще несколько дробей. В таком случае комфортнее находить вначале отдельно производные «первичных» дробей.

Полезный совет
Когда вы ищите производные знаменателя и числителя, применяйте правила дифференцирования: суммы, произведения, трудных функций. Пригодно удерживать в голове производные простейших табличных функций: линейной, показательной, степенной, логарифмической, тригонометрических и т.д.

Формула производной дроби из двух функций. Доказательство двумя способами. Подробно разобранные примеры дифференцирования частного.

Формула производной дроби

Пусть функции и определены в некоторой окрестности точки и имеют в точке производные. И пусть . Тогда их частное имеет в точке производную, которая определяется по формуле:
(1) .

Доказательство

Введем обозначения:
;
.
Здесь и являются функциями от переменных и . Но для простоты записи мы будем опускать обозначения их аргументов.

Далее замечаем, что
;
.
По условию функции и имеют производные в точке , которые являются следующими пределами:
;
.
Из существования производных следует, что функции и непрерывны в точке . Поэтому
;
.

Рассмотрим функцию y от переменной x , которая является дробью из функций и :
.
Рассмотрим приращение этой функции в точке :
.
Умножим на :

.
Отсюда
.

Теперь находим производную:

.

Итак,
.
Формула доказана.

Вместо переменной можно использовать любую другую переменную. Обозначим ее как x . Тогда если существуют производные и , причем , то производная дроби, составленной двух функций, определяется по формуле:
.
Или в более короткой записи
(1) .

Доказательство вторым способом

Примеры

Здесь мы рассмотрим простые примеры вычисления производной дроби, применяя формулу производной частного (1). Заметим, что в более сложных случаях, находить производную дроби проще с помощью логарифмической производной .

Пример 1

Найдите производную дроби
,
где , , , - постоянные.

Применим правило дифференцирования суммы функций :
.
Производная постоянной
.
Из таблицы производных находим:
.
Тогда
;
.

Заменим на и на :
.

Теперь находим производную дроби по формуле
.

.

Пример 2

Найти производную функции от переменной x
.

Применяем правила дифференцирования , как в предыдущем примере.
;
.

Применяем правило дифференцирования дроби
.


.