Как доказать что фигура параллелограмм. Параллелограмм

На сегодняшнем уроке мы повторим основные свойства параллелограмма, а затем уделим внимание рассмотрению первых двух признаков параллелограмма и докажем их. В ходе доказательства вспомним применение признаков равенства треугольников, которые мы изучали в прошлом году и повторяли на первом уроке. В конце будет приведен пример на применение изученных признаков параллелограмма.

Тема: Четырехугольники

Урок: Признаки параллелограмма

Начнем с того, что вспомним определение параллелограмма.

Определение. Параллелограмм - четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (см. Рис. 1).

Рис. 1. Параллелограмм

Вспомним основные свойства параллелограмма :

Для того, чтобы иметь возможность пользоваться всеми этими свойствами, необходимо быть уверенным, что фигура, о которой идет речь, - параллелограмм. Для этого необходимо знать такие факты, как признаки параллелограмма. Первые два из них мы сегодня и рассмотрим.

Теорема. Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм . .

Рис. 2. Первый признак параллелограмма

Доказательство. Проведем в четырехугольнике диагональ (см. Рис. 2), она разбила его на два треугольника. Запишем, что мы знаем об этих треугольниках:

по первому признаку равенства треугольников.

Из равенства указанных треугольников следует, что по признаку параллельности прямых при пересечении их секущей. Имеем, что:

Доказано.

Теорема. Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник - параллелограмм . .

Рис. 3. Второй признак параллелограмма

Доказательство. Проведем в четырехугольнике диагональ (см. Рис. 3), она разбивает его на два треугольника. Запишем, что мы знаем об этих треугольниках, исходя из формулировки теоремы:

по третьему признаку равенства треугольников.

Из равенства треугольников следует, что и по признаку параллельности прямых при пересечении их секущей. Получаем:

параллелограмм по определению. Что и требовалось доказать.

Доказано.

Рассмотрим пример на применение признаков параллелограмма.

Пример 1. В выпуклом четырехугольнике Найти: а) углы четырехугольника; б) сторону .

Решение. Изобразим Рис. 4.

Рис. 4

параллелограмм по первому признаку параллелограмма.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель урока: рассмотреть признаки параллелограмма и закрепить полученные знания в процессе решения задач.

Задачи:

• образовательная: формирование умений применять признаки параллелограмма для решения задач;
• развивающая: развитие логического мышления, внимания, навыков самостоятельной работы, навыков самооценки;
• воспитательная: воспитание интереса к предмету, умение работать в коллективе, культуре общения.

Тип урока: изучение нового материала, первичное закрепление.

Оборудование: интерактивная доска, проектор, карточки с заданием, презентация.

Ход урока

1. Организационный момент.

У: Добрый день, ребята! Сегодня на уроке мы опять будем говорить о параллелограмме. Нам предстоит выполнить много заданий, доказать теоремы и научиться применять их при решении задач. Девизом нашего урока будут слова Ле Карбюзье: "Всё вокруг - геометрия".

2. Актуализация знаний учащихся.

Теоретический опрос

Некоторым учащимся дать индивидуальные задания по карточкам на тему свойства параллелограмма (задания выбирает каждый самостоятельно на слайде презентации по гиперссылке, наводя указатель мышки на фигуру, но не на цифру) , выслушать индивидуально каждого отвечающего.

С остальным - доказать дополнительные свойства параллелограмма. (Сначала обсудить устно доказательство, затем сверить с интерактивной доской).

1°. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

2°. Биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны, а биссектрисы противоположных углов параллельны или лежат на одной прямой.

После подготовки выслушать доказательства дополнительных свойств параллелограмма.

ABCD -параллелограмм,

AE -биссектриса угла BAD.

Доказать: ABE - равнобедренный.

Доказательство:

Так как ABCD - параллелограмм, значит BC || AD, тогда угол EAD = углу BEA как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AE. AE - биссектриса угла BAD, значит, угол BAE = углу EAD, поэтому угол BAE = углу BEA.

В ABE угол BAE =углу BEA, значит, ABE - равнобедренный с основанием AE.

Наводящие вопросы:

Сформулируйте признак равнобедренного треугольника.

Какие углы в BAE могут быть равными? Почему?

ABCD -параллелограмм,

BE -биссектриса угла CBA,

AE - биссектриса угла BAD.

Наводящие вопросы:

Когда прямые AE и CK будут параллельными?

Равны ли углы BEA и <3? Почему?

В каком случае AE и CK совпадут?

Подготовка к изучению нового материала

Фронтальная работа с классом (устно).

• Что означают слова "свойства" и "признак"? Приведите примеры.
• Что такое обратная теорема?
• Всегда ли верно утверждение обратное данному? Приведите примеры.

3. Объяснение нового материала.

У.: У каждого объекта есть свои свойства и признаки. Скажите, пожалуйста, чем отличаются свойства от признаков.

Давайте попробуем разобраться в этом вопросе на простом примере. Дан объект - осень. Назовите его свойства: Его признаки:

• Какими утверждениями являются по отношению друг к другу свойство и признак объекта? (ответ: обратными)
• Какие свойства в курсе геометрии мы уже изучали? Сформулируйте их. (называют несколько)

Для любого ли свойства можно построить верное обратное утверждение? (разные ответы).

Проверим это на следующих свойствах:

Сделайте вывод: Для любого ли свойства можно построить верное обратное утверждение? (нет, не для любого)

Теперь, давайте вернёмся к нашему четырёхугольнику, вспомним его свойства и сформулируем обратные для них утверждения, т.е:.. (ответ - признаки параллелограмма). Итак, тема сегодняшнего урока: "Признаки параллелограмма".

Итак, назовите свойства параллелограмма.

Сформулируйте обратные свойствам утверждения. (ученики формулируют признаки, учитель их корректирует и формулирует повторно)

Докажем, эти признаки. Первый признак - подробно, второй - коротко, третий - самостоятельно дома.

4. Закрепление изученного материала.

Работа в рабочих тетрадях: решить задачу №11 на интерактивной доске к доске вызвать менее подготовленного учащегося.

Решение задачи № 379 (решение записать на интерактивной доске). Из вершин B и D параллелограмма ABCD, у которого AB BC и А острый, проведены перпендикуляры ВК и DМ к прямой АС. Докажите, что четырёхугольник BMDK - параллелограмм.

Параллелограмм представляет собой четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Это определение уже достаточно, так как остальные свойства параллелограмма следуют из него и доказываются в виде теорем.

Основными свойствами параллелограмма являются:

• параллелограмм - это выпуклый четырехугольник;
• у параллелограмма противоположные стороны попарно равны;
• у параллелограмма противоположные углы попарно равны;
• диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Параллелограмм - выпуклый четырехугольник

Докажем сначала теорему о том, что параллелограмм является выпуклым четырехугольником . Многоугольник является выпуклым тогда, когда какая бы его сторона не была продлена до прямой, все остальные стороны многоугольника окажутся по одну сторону от этой прямой.

Пусть дан параллелограмм ABCD, у которого AB противоположная сторона для CD, а BC - противоположная для AD. Тогда из определения параллелограмма следует, что AB || CD, BC || AD.

У параллельных отрезков нет общих точек, они не пересекаются. Это значит, что CD лежит по одну сторону от AB. Поскольку отрезок BC соединяет точку B отрезка AB с точкой C отрезка CD, а отрезок AD соединяет другие точки AB и CD, то отрезки BC и AD также лежат по ту же сторону от прямой AB, где лежит CD. Таким образом, все три стороны - CD, BC, AD - лежат по одну сторону от AB.

Аналогично доказывается, что по отношению к другим сторонам параллелограмма три остальные стороны лежат с одной стороны.

Противоположные стороны и углы равны

Одним из свойств параллелограмма является то, что в параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы попарно равны . Например, если дан параллелограмм ABCD, то у него AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Доказывается эта теорема следующим образом.

Параллелограмм является четырехугольником. Значит, у него две диагонали. Так как параллелограмм - это выпуклый четырехугольник, то любая из них делит его на два треугольника. Рассмотрим в параллелограмме ABCD треугольники ABC и ADC, полученные в результате проведения диагонали AC.

У этих треугольников одна сторона общая - AC. Угол BCA равен углу CAD, как вертикальные при параллельных BC и AD. Углы BAC и ACD также равны как вертикальные при параллельных AB и CD. Следовательно, ∆ABC = ∆ADC по двум углам и стороне между ними.

В этих треугольниках стороне AB соответствует сторона CD, а стороне BC соответствует AD. Следовательно, AB = CD и BC = AD.

Углу B соответствует угол D, т. е. ∠B = ∠D. Угол A параллелограмма представляет собой сумму двух углов - ∠BAC и ∠CAD. Угол же C равен состоит из ∠BCA и ∠ACD. Так как пары углов равны друг другу, то ∠A = ∠C.

Таким образом, доказано, что в параллелограмме противоположные стороны и углы равны.

Диагонали делятся пополам

Так как параллелограмм - это выпуклый четырехугольник, то у него две две диагонали, и они пересекаются. Пусть дан параллелограмм ABCD, его диагонали AC и BD пересекаются в точке E. Рассмотрим образованные ими треугольники ABE и CDE.

У этих треугольников стороны AB и CD равны как противоположные стороны параллелограмма. Угол ABE равен углу CDE как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD. По этой же причине ∠BAE = ∠DCE. Значит, ∆ABE = ∆CDE по двум углам и стороне между ними.

Также можно заметить, что углы AEB и CED вертикальные, а следовательно, тоже равны друг другу.

Так как треугольники ABE и CDE равны друг другу, то равны и все их соответствующие элементы. Стороне AE первого треугольника соответствует сторона CE второго, значит, AE = CE. Аналогично BE = DE. Каждая пара равных отрезков составляет диагональ параллелограмма. Таким образом доказано, что диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам .

Для того, чтобы определить является ли данная фигура параллелограммом существует ряд признаков. Рассмотрим три основных признака параллелограмма.

1 признак параллелограмма

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Пусть в нем стороны AB и СD параллельны. И пусть AB=CD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.

Эти треугольники равны между собой по двум сторонам и углу между ними (BD - общая сторона, AB = CD по условию, угол1 = угол2 как накрест лежащие углы при секущей BD параллельных прямых AB и CD.), а следовательно угол3 = угол4.

А эти углы будут являться накрест лежащими при пересечении прямых BC и AD секущей BD. Из этого следует что BC и AD параллельны между собой. Имеем, что в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

2 признак параллелограмма

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник будет параллелограммом.

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.

Эти два треугольника буду равны между собой по трем сторонам (BD - общая сторона, AB = CD и BC = AD по условию). Из этого можно сделать вывод, что угол1 = угол2. Отсюда следует, что AB параллельна CD. А так как AB = CD и AB параллельна CD, то по первому признаку параллелограмма, четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом.

3 признак параллелограмма

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем две диагонали AC и BD, которые будут пересекаться в точке О и делятся этой точкой пополам.

Треугольники AOB и COD будут равны между собой, по первому признаку равенства треугольников. (AO = OC, BO = OD по условию, угол AOB = угол COD как вертикальные углы.) Следовательно, AB = CD и угол1 = угол 2. Из равенства углов 1 и 2 имеем, что AB параллельна CD. Тогда имеем, что в четырехугольнике ABCD стороны AB равны CD и параллельны, и по первому признаку параллелограмма четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом.

Теорема: Четырехугольник является параллелограммом, если:

1. противоположные его углы равны;
2. противоположные его стороны попарно равны;
3. его диагонали точкой пересечения делятся пополам;
4. две его противоположные стороны параллельны и равны.

Доказательство:

A. Пусть в четырехугольнике KLMN углы К и М равны друг другу и равны а, пусть также равны друг другу и равны р углы L и N (рисунок). Учитывая, что сумма углов четырехугольника равна 360°, получаем, что 2α + 2β = 360°, или α + β = 180°. Учитывая, что углы К и L, равные соответственно аир, являются внутренними односторонними углами при прямых KN и LM, пересеченных прямой KL, заключаем, что стороны KN и LM параллельны. Также по углам К и N заключаем, что стороны KL и NM параллельны. Теперь по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник KLMN - параллелограмм.

B. Пусть в четырехугольнике CDEF стороны CD и FE, а также CF и DE попарно равны (рисунок). Проведем одну из диагоналей четырехугольника, например СЕ. Треугольники CDE и EFC равны по трем сторонам. Поэтому углы DEC и FCE равны. Поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых DE и CF, пересеченных прямой СЕ, то стороны DE и CF параллельны. Также из равенства углов DCE и FEC получаем, что стороны CD и FE параллельны. Теперь по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник CDEF - параллелограмм.

C. Пусть точка В пересечения диагоналей IL и КМ четырехугольника IKLM делит эти диагонали пополам: IB = BL и KB = ВМ (рисунок). Тогда треугольники KBL и MBI равны по двум сторонам и углу между ними. Это позволяет утверждать, что углы 1MB и LKB равны, а значит, стороны IM и KL параллельны. Аналогично из равенства треугольников KBI и MBL делаем вывод о параллельности сторон IK и LM. Теперь по определению параллелограмма можем утверждать, что четырехугольник IKLM - параллелограмм. Очень часто это надо знать при решении олимпиадных задачах на школьных олимпиадах.

D. Пусть в четырехугольнике OPQR противоположные стороны ОР и RQ параллельны и равны (рисунок). Проведем диагональ OQ. Полученные углы POQ и RQO равны, так как они являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых ОР и RQ, пересеченных прямой OQ. Поэтому треугольники OPQ и RQO равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, их соответствующие углы PQO и ROQ равны.

А поскольку они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых PQ и OR, пересеченных прямой OQ, то стороны PQ и OR параллельны. Учитывая параллельность сторон ОР и RQ, по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник OPQR - параллелограмм.