ამოცანა C2: სიბრტყის განტოლება დეტერმინანტის მეშვეობით. მოცემული წრფის პერპენდიკულარულ სივრცეში მოცემულ წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლების პოვნა

იმისათვის, რომ ერთი სიბრტყე დაიხაზოს სივრცის ნებისმიერ სამ წერტილში, აუცილებელია, რომ ეს წერტილები არ იყოს იმავე სწორ ხაზზე.

განვიხილოთ წერტილები M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) ზოგადად დეკარტის სისტემაკოორდინატები

იმისათვის, რომ თვითნებური წერტილი M(x, y, z) მდებარეობდეს იმავე სიბრტყეში M 1, M 2, M 3 წერტილებთან, აუცილებელია ვექტორები იყოს თანაპლექტური.

(
) = 0

ამრიგად,

თვითმფრინავის განტოლება, რომელიც გადის სამ წერტილში:

სიბრტყის განტოლება, მოცემული სიბრტყის ორი წერტილი და ვექტორი.

მიეცით წერტილები M 1 (x 1,y 1,z 1), M 2 (x 2,y 2,z 2) და ვექტორი
.

შევქმნათ განტოლება სიბრტყისთვის, რომელიც გადის მოცემულ M 1 და M 2 წერტილებზე და ვექტორის პარალელურად M (x, y, z) წერტილს. .

ვექტორები
და ვექტორი
უნდა იყოს თანაპლენარული, ე.ი.

(
) = 0

სიბრტყის განტოლება:

სიბრტყის განტოლება ერთი წერტილისა და ორი ვექტორის გამოყენებით,

სიბრტყეზე კოლინერი.

მიეცით ორი ვექტორი
და
, კოლინარული სიბრტყეები. შემდეგ თვითნებური წერტილისთვის M(x, y, z), თვითმფრინავს ეკუთვნის, ვექტორები
უნდა იყოს თანაპლენარული.

სიბრტყის განტოლება:

სიბრტყის განტოლება წერტილით და ნორმალური ვექტორით .

თეორემა. თუ M წერტილი მოცემულია სივრცეში 0 (X 0 , y 0 , ზ 0 ), შემდეგ M წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლება 0 ნორმალური ვექტორის პერპენდიკულარული (ა, ბ, C) აქვს ფორმა:

ა(x – x 0 ) + ბ(წ – წ 0 ) + C(ზ – ზ 0 ) = 0.

მტკიცებულება. თვითმფრინავის კუთვნილი M(x, y, z) თვითნებური წერტილისთვის ვქმნით ვექტორს. იმიტომ რომ ვექტორი არის ნორმალური ვექტორი, მაშინ ის სიბრტყის პერპენდიკულარულია და, შესაბამისად, ვექტორზე პერპენდიკულარული
. შემდეგ სკალარული პროდუქტი

= 0

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ თვითმფრინავის განტოლებას

თეორემა დადასტურებულია.

სიბრტყის განტოლება სეგმენტებში.

თუ ზოგად განტოლებაში Ax + By + Cz + D = 0 გავყოფთ ორივე მხარეს (-D)

,

ჩანაცვლება
, ვიღებთ სიბრტყის განტოლებას სეგმენტებში:

რიცხვები a, b, c არის სიბრტყის გადაკვეთის წერტილები x, y, z ღერძებთან შესაბამისად.

სიბრტყის განტოლება ვექტორული სახით.

სად

- მიმდინარე წერტილის რადიუსის ვექტორი M(x, y, z),

ერთეული ვექტორი, რომელსაც აქვს პერპენდიკულარული მიმართულება, ჩამოვარდა საწყისიდან სიბრტყეზე.

,  და  არის ამ ვექტორის მიერ წარმოქმნილი კუთხეები x, y, z ღერძებით.

p არის ამ პერპენდიკულურის სიგრძე.

კოორდინატებში ეს განტოლება ასე გამოიყურება:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

მანძილი წერტილიდან თვითმფრინავამდე.

მანძილი თვითნებური წერტილიდან M 0 (x 0, y 0, z 0) სიბრტყემდე Ax+By+Cz+D=0 არის:

მაგალითი.იპოვეთ სიბრტყის განტოლება, რადგან იცოდეთ, რომ წერტილი P(4; -3; 12) არის ამ სიბრტყის საწყისიდან ჩამოშვებული პერპენდიკულურის საფუძველი.

ასე რომ A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

მაგალითი.იპოვეთ სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის ორ წერტილზე P(2; 0; -1) და

Q(1; -1; 3) სიბრტყის პერპენდიკულარული 3x + 2y – z + 5 = 0.

ნორმალური ვექტორი სიბრტყეზე 3x + 2y – z + 5 = 0
სასურველი სიბრტყის პარალელურად.

ჩვენ ვიღებთ:

მაგალითი.იპოვეთ A(2, -1, 4) წერტილებზე გამავალი სიბრტყის განტოლება და

B(3, 2, -1) სიბრტყის პერპენდიკულარული X + ზე + 2ზ – 3 = 0.

სიბრტყის საჭირო განტოლებას აქვს ფორმა: ა x+ბ წ+C ზ+ D = 0, ნორმალური ვექტორი ამ სიბრტყისთვის (A, B, C). ვექტორი
(1, 3, -5) ეკუთვნის თვითმფრინავს. ჩვენთვის მოცემულ სიბრტყეს, სასურველზე პერპენდიკულარულად, აქვს ნორმალური ვექტორი (1, 1, 2). იმიტომ რომ წერტილები A და B ეკუთვნის ორივე სიბრტყეს და სიბრტყეები ერთმანეთის პერპენდიკულურია, მაშინ

ასე რომ, ნორმალური ვექტორი (11, -7, -2). იმიტომ რომ წერტილი A ეკუთვნის სასურველ სიბრტყეს, მაშინ მისი კოორდინატები უნდა აკმაყოფილებდეს ამ სიბრტყის განტოლებას, ე.ი. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

საერთო ჯამში ვიღებთ სიბრტყის განტოლებას: 11 x - 7წ – 2ზ – 21 = 0.

მაგალითი.იპოვეთ სიბრტყის განტოლება, რადგან იცოდეთ, რომ წერტილი P(4, -3, 12) არის ამ სიბრტყეზე ამოვარდნილი პერპენდიკულარულის საფუძველი.

ნორმალური ვექტორის კოორდინატების პოვნა
= (4, -3, 12). სიბრტყის საჭირო განტოლებას აქვს ფორმა: 4 x – 3წ + 12ზ+ D = 0. D კოეფიციენტის საპოვნელად, P წერტილის კოორდინატებს ვცვლით განტოლებაში:

16 + 9 + 144 + D = 0

ჯამში ვიღებთ საჭირო განტოლებას: 4 x – 3წ + 12ზ – 169 = 0

მაგალითი.პირამიდის წვეროების კოორდინატები მოცემულია: A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

იპოვეთ A 1 A 2 კიდის სიგრძე.

იპოვეთ კუთხე A 1 A 2 და A 1 A 4 კიდეებს შორის.

იპოვეთ კუთხე A 1 A 4 კიდესა და სახე A 1 A 2 A 3 შორის.

ჯერ ვპოულობთ A 1 A 2 A 3 სახის ნორმალურ ვექტორს Როგორ ვექტორული პროდუქტივექტორები
და
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

ვიპოვოთ კუთხე ნორმალურ ვექტორსა და ვექტორს შორის
.

-4 – 4 = -8.

ვექტორსა და სიბრტყეს შორის სასურველი კუთხე  ტოლი იქნება  = 90 0 - .

იპოვეთ სახის ფართობი A 1 A 2 A 3.

იპოვნეთ პირამიდის მოცულობა.

იპოვეთ A 1 A 2 A 3 სიბრტყის განტოლება.

გამოვიყენოთ სამ წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლების ფორმულა.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

კომპიუტერის ვერსიის გამოყენებისას " მათემატიკის უმაღლესი კურსი” შეგიძლიათ გაუშვათ პროგრამა, რომელიც გადაჭრის ზემოხსენებულ მაგალითს პირამიდის წვეროების ნებისმიერი კოორდინატისთვის.

პროგრამის დასაწყებად, ორჯერ დააწკაპუნეთ ხატულაზე:

პროგრამის ფანჯარაში, რომელიც იხსნება, შეიყვანეთ პირამიდის წვეროების კოორდინატები და დააჭირეთ Enter. ამ გზით, ყველა გადაწყვეტილების ქულების მიღება შესაძლებელია სათითაოდ.

შენიშვნა: პროგრამის გასაშვებად, თქვენს კომპიუტერში უნდა იყოს დაინსტალირებული Maple პროგრამა ( Waterloo Maple Inc.) ნებისმიერი ვერსიით, დაწყებული MapleV Release 4-ით.

13.კუთხე სიბრტყეებს შორის, მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე.

მოდით, α და β სიბრტყეები გადაიკვეთონ c სწორი ხაზის გასწვრივ.
სიბრტყეებს შორის კუთხე არის კუთხე პერპენდიკულარებს შორის მათი გადაკვეთის ხაზთან, რომელიც შედგენილია ამ სიბრტყეებში.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, α სიბრტყეში გავავლეთ სწორი ხაზი c-ზე პერპენდიკულარული. β სიბრტყეში - სწორი ხაზი b, ასევე c-ის პერპენდიკულარული. კუთხე α და β სიბრტყეებს შორის კუთხის ტოლი a და b ხაზებს შორის.

გაითვალისწინეთ, რომ როდესაც ორი სიბრტყე იკვეთება, ფაქტობრივად იქმნება ოთხი კუთხე. ხედავთ მათ სურათზე? როგორც კუთხე სიბრტყეებს შორის ვიღებთ ცხარეკუთხე.

თუ სიბრტყეებს შორის კუთხე 90 გრადუსია, მაშინ სიბრტყეები პერპენდიკულარული,

ეს არის სიბრტყეების პერპენდიკულარობის განმარტება. სტერეომეტრიაში პრობლემების გადაჭრისას ასევე ვიყენებთ სიბრტყეების პერპენდიკულარობის ნიშანი:

თუ სიბრტყე α გადის β სიბრტყის პერპენდიკულარულზე, მაშინ α და β სიბრტყეები პერპენდიკულარულია..

მანძილი წერტილიდან თვითმფრინავამდე

განვიხილოთ წერტილი T, რომელიც განისაზღვრება მისი კოორდინატებით:

T = (x 0 , y 0 , z 0)

ჩვენ ასევე განვიხილავთ α სიბრტყეს, მოცემული განტოლებით:

Ax + By + Cz + D = 0

შემდეგ მანძილი L T წერტილიდან α სიბრტყემდე შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით:

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ ვცვლით წერტილის კოორდინატებს სიბრტყის განტოლებაში და შემდეგ ვყოფთ ამ განტოლებას სიბრტყეზე ნორმალური ვექტორის n სიგრძით:

შედეგად მიღებული რიცხვი არის მანძილი. ვნახოთ, როგორ მუშაობს ეს თეორემა პრაქტიკაში.

ჩვენ უკვე გამოვიყვანეთ სიბრტყეზე სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებები, მივიღოთ სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებები, რომელიც განსაზღვრულია სამგანზომილებიან სივრცეში მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში.

დაფიქსირდეს სამგანზომილებიან სივრცეში მართკუთხა სისტემაკოორდინატები ოქსიზი. მოდით განვსაზღვროთ მასში სწორი ხაზი ა(იხილეთ განყოფილება სივრცეში წრფის განსაზღვრის მეთოდების შესახებ), წრფის მიმართულების ვექტორის მითითებით და წრფის რომელიმე წერტილის კოორდინატები . ამ მონაცემებიდან დავიწყებთ სივრცეში სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებების შედგენისას.

მოდით იყოს თვითნებური წერტილი სამგანზომილებიან სივრცეში. თუ წერტილის კოორდინატებს გამოვაკლებთ მშესაბამისი წერტილის კოორდინატები M 1, მაშინ მივიღებთ ვექტორის კოორდინატებს (იხილეთ სტატია ვექტორის კოორდინატების პოვნის შესახებ მისი დასასრულისა და დასაწყისის წერტილების კოორდინატებიდან), ანუ, .

ცხადია, წერტილთა სიმრავლე განსაზღვრავს ხაზს ათუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ვექტორები და არიან კოლინარული.

დავწეროთ რა საჭიროა და საკმარისი მდგომარეობავექტორების კოლინარულობა და : , სადაც - ზოგიერთი ნამდვილი რიცხვი. შედეგად მიღებული განტოლება ე.წ წრფის ვექტორულ-პარამეტრული განტოლებამართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ოქსიზისამგანზომილებიან სივრცეში. სწორი ხაზის ვექტორულ-პარამეტრულ განტოლებას კოორდინატულ ფორმაში აქვს ფორმა და წარმოადგენს წრფის პარამეტრული განტოლებები ა. სახელი "პარამეტრული" შემთხვევითი არ არის, რადგან ხაზის ყველა წერტილის კოორდინატები მითითებულია პარამეტრის გამოყენებით.

მოვიყვანოთ სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლების მაგალითი მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ოქსიზიკოსმოსში: . Აქ

15.კუთხე სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის. წრფის სიბრტყეს გადაკვეთის წერტილი.

ყოველი პირველი ხარისხის განტოლება კოორდინატებთან მიმართებაში x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

განსაზღვრავს სიბრტყეს და პირიქით: ნებისმიერი სიბრტყე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს განტოლებით (3.1), რომელიც ე.წ. სიბრტყის განტოლება.

ვექტორი ნ(A, B, C) სიბრტყეზე ორთოგონალური ეწოდება ნორმალური ვექტორითვითმფრინავი. განტოლებაში (3.1) კოეფიციენტები A, B, C არ არის ერთდროულად 0-ის ტოლი.

განსაკუთრებული შემთხვევებიგანტოლებები (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - თვითმფრინავი გადის საწყისზე.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - სიბრტყე ოზის ღერძის პარალელურია.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - თვითმფრინავი გადის ოზის ღერძზე.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - სიბრტყე პარალელურია Oyz სიბრტყის პარალელურად.

განტოლებები საკოორდინაციო თვითმფრინავები: x = 0, y = 0, z = 0.

სწორი ხაზი სივრცეში შეიძლება განისაზღვროს:

1) როგორც ორი სიბრტყის გადაკვეთის წრფე, ე.ი. განტოლებათა სისტემა:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) მისი ორი წერტილით M 1 (x 1, y 1, z 1) და M 2 (x 2, y 2, z 2), მაშინ მათზე გამავალი სწორი ხაზი მოცემულია განტოლებებით:

3) მას ეკუთვნის წერტილი M 1 (x 1, y 1, z 1) და ვექტორი ა(m, n, p), მასზე კოლინარული. შემდეგ სწორი ხაზი განისაზღვრება განტოლებებით:

. (3.4)

განტოლებები (3.4) ეწოდება კანონიკური განტოლებებისწორი.

ვექტორი ადაურეკა მიმართულების ვექტორი სწორი.

ჩვენ ვიღებთ წრფის პარამეტრულ განტოლებებს თითოეული მიმართულების (3.4) t პარამეტრთან გატოლებით:

x = x 1 +mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + rt. (3.5)

სისტემის (3.2) ამოხსნა, როგორც სისტემა წრფივი განტოლებებიშედარებით უცნობი xდა წ, მივდივართ წრფის განტოლებამდე პროგნოზებიან რომ მოცემული სწორი ხაზის განტოლებები:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

(3.6) განტოლებებიდან შეგვიძლია გადავიდეთ კანონიკურ განტოლებაზე, ვიპოვოთ ზთითოეული განტოლებიდან და მიღებული მნიშვნელობების გათანაბრება:

.

ზოგადი განტოლებიდან (3.2) შეგიძლიათ სხვა გზით გადახვიდეთ კანონიკურ განტოლებაზე, თუ იპოვით რაიმე წერტილს ამ წრფეზე და მის მიმართულების ვექტორზე. ნ= [ნ 1 , ნ 2], სადაც ნ 1 (A 1, B 1, C 1) და ნ 2 (A 2 , B 2 , C 2 ) - მოცემული სიბრტყეების ნორმალური ვექტორები. თუ ერთ-ერთი მნიშვნელი მ, ნან რ(3.4) განტოლებებში გამოდის ნულის ტოლი, მაშინ შესაბამისი წილადის მრიცხველი უნდა იყოს ნულის ტოლი, ე.ი. სისტემა

სისტემის ტოლფასია ; ასეთი სწორი ხაზი Ox ღერძის პერპენდიკულარულია.

სისტემა უდრის სისტემას x = x 1, y = y 1; სწორი ხაზი ოზის ღერძის პარალელურია.

მაგალითი 1.15. დაწერეთ განტოლება სიბრტყისთვის, რადგან იცოდეთ, რომ წერტილი A(1,-1,3) ემსახურება საწყისიდან ამ სიბრტყემდე გამოყვანილი პერპენდიკულურის საფუძველს.

გამოსავალი.პრობლემური პირობების მიხედვით ვექტორი OA(1,-1,3) არის სიბრტყის ნორმალური ვექტორი, მაშინ მისი განტოლება შეიძლება დაიწეროს როგორც
x-y+3z+D=0. სიბრტყის კუთვნილი A(1,-1,3) წერტილის კოორდინატების ჩანაცვლებით ვხვდებით D: 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11. ასე რომ x-y+3z-11=0.

მაგალითი 1.16. შექმენით განტოლება სიბრტყისთვის, რომელიც გადის ოზის ღერძზე და ქმნის 60 გრადუსიან კუთხეს სიბრტყეზე 2x+y-z-7=0.

გამოსავალი.ოზის ღერძზე გამავალი სიბრტყე მოცემულია განტოლებით Ax+By=0, სადაც A და B ერთდროულად არ ქრება. დაე B არა
უდრის 0, A/Bx+y=0. ორ სიბრტყეს შორის კუთხისთვის კოსინუსური ფორმულის გამოყენება

.

გადამწყვეტი კვადრატული განტოლება 3m 2 + 8m - 3 = 0, იპოვეთ მისი ფესვები
m 1 = 1/3, m 2 = -3, საიდანაც ვიღებთ ორ სიბრტყეს 1/3x+y = 0 და -3x+y = 0.

მაგალითი 1.17.შეადგინეთ წრფის კანონიკური განტოლებები:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

გამოსავალი.წრფის კანონიკურ განტოლებებს აქვს ფორმა:

სად მ, ნ, გვ- სწორი ხაზის მიმართული ვექტორის კოორდინატები, x 1, y 1, z 1- წრფის კუთვნილი ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები. სწორი ხაზი განისაზღვრება, როგორც ორი სიბრტყის გადაკვეთის ხაზი. წრფის კუთვნილი წერტილის საპოვნელად ფიქსირდება ერთ-ერთი კოორდინატი (უმარტივესი გზაა, მაგალითად, x=0) და მიღებული სისტემა იხსნება, როგორც წრფივი განტოლებათა სისტემა ორი უცნობით. ასე რომ, მოდით x=0, მაშინ y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, შესაბამისად y=-1, z=1. ვიპოვეთ ამ წრფის კუთვნილი M(x 1, y 1, z 1) წერტილის კოორდინატები: M (0,-1,1). სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორის პოვნა მარტივია, თუ ვიცით საწყისი სიბრტყეების ნორმალური ვექტორები ნ 1 (5,1,1) და ნ 2 (2,3,-2). მერე

წრფის კანონიკურ განტოლებებს აქვს ფორმა: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

მაგალითი 1.18. 2x-y+5z-3=0 და x+y+2z+1=0 სიბრტყეებით განსაზღვრულ სხივში იპოვეთ ორი პერპენდიკულარული სიბრტყე, რომელთაგან ერთი გადის M(1,0,1) წერტილზე.

გამოსავალი.ამ სიბრტყეებით განსაზღვრული სხივის განტოლებას აქვს ფორმა u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0, სადაც u და v ერთდროულად არ ქრება. მოდით გადავწეროთ სხივის განტოლება შემდეგნაირად:

(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.

იმისათვის, რომ შევარჩიოთ სიბრტყე სხივიდან, რომელიც გადის M წერტილში, ჩვენ ვცვლით M წერტილის კოორდინატებს სხივის განტოლებაში. ჩვენ ვიღებთ:

(2u+v)×1 + (-u + v)×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, ან v = - u.

შემდეგ ვპოულობთ M-ის შემცველი სიბრტყის განტოლებას v = - u სხივის განტოლებაში ჩანაცვლებით:

u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.

იმიტომ რომ u¹0 (წინააღმდეგ შემთხვევაში v=0 და ეს ეწინააღმდეგება სხივის განსაზღვრებას), მაშინ გვაქვს სიბრტყის განტოლება x-2y+3z-4=0. სხივის კუთვნილი მეორე სიბრტყე უნდა იყოს მასზე პერპენდიკულარული. ჩამოვწეროთ სიბრტყეების ორთოგონალურობის პირობა:

(2u+ v)×1 + (v - u)×(-2) + (5u +2v)×3 = 0, ან v = - 19/5u.

ეს ნიშნავს, რომ მეორე სიბრტყის განტოლებას აქვს ფორმა:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 ან 9x +24y + 13z + 34 = 0

ეს სტატია გვაძლევს იდეას, თუ როგორ უნდა შევქმნათ განტოლება სიბრტყისთვის, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში სამგანზომილებიან სივრცეში მოცემული ხაზის პერპენდიკულარულად. გავაანალიზოთ მოცემული ალგორითმი ტიპიური ამოცანების გადაჭრის მაგალითის გამოყენებით.

Yandex.RTB R-A-339285-1

მოცემული წრფის პერპენდიკულარულ სივრცეში მოცემულ წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლების პოვნა

მასში მოყვანილი იყოს სამგანზომილებიანი სივრცე და მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა O x y z. ასევე მოცემულია წერტილი M 1 (x 1, y 1, z 1), წრფე a და სიბრტყე α, რომელიც გადის A წრფეზე პერპენდიკულარულ M 1 წერტილში. აუცილებელია α სიბრტყის განტოლების ჩაწერა.

სანამ ამ პრობლემის გადაჭრას დავიწყებთ, გავიხსენოთ გეომეტრიის თეორემა 10-11 კლასების სილაბუსიდან, რომელიც ამბობს:

განმარტება 1

მოცემული წრფის პერპენდიკულარული სიბრტყე გადის მოცემულ წერტილში სამგანზომილებიან სივრცეში.

ახლა ვნახოთ, როგორ ვიპოვოთ ამ ერთი სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის საწყის წერტილში და მოცემულ წრფეზე პერპენდიკულარულია.

სიბრტყის ზოგადი განტოლების ჩაწერა შესაძლებელია, თუ ცნობილია ამ სიბრტყის კუთვნილი წერტილის კოორდინატები, აგრეთვე სიბრტყის ნორმალური ვექტორის კოორდინატები.

ამოცანის პირობები გვაძლევს M 1 წერტილის x 1, y 1, z 1 კოორდინატებს, რომლითაც გადის α სიბრტყე. თუ განვსაზღვრავთ α სიბრტყის ნორმალური ვექტორის კოორდინატებს, მაშინ შევძლებთ ჩავწეროთ საჭირო განტოლება.

α სიბრტყის ნორმალური ვექტორი, რადგან ის არ არის ნულოვანი და დევს a წრფეზე, სიბრტყეზე პერპენდიკულარულიα იქნება a სწორი წრფის ნებისმიერი მიმართულების ვექტორი. ამრიგად, α სიბრტყის ნორმალური ვექტორის კოორდინატების პოვნის პრობლემა გარდაიქმნება a სწორი ხაზის მიმართული ვექტორის კოორდინატების განსაზღვრის პრობლემად.

სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორის კოორდინატების განსაზღვრა შეიძლება განხორციელდეს სხვადასხვა მეთოდით: ეს დამოკიდებულია საწყის პირობებში a სწორი ხაზის მითითების ვარიანტზე. მაგალითად, თუ სწორი ხაზი a პრობლემის ფორმულაში მოცემულია ფორმის კანონიკური განტოლებებით

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

ან პარამეტრული განტოლებებიტიპი:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

მაშინ სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორს ექნება კოორდინატები a x, a y და a. იმ შემთხვევაში, როდესაც სწორი ხაზი a წარმოდგენილია ორი წერტილით M 2 (x 2, y 2, z 2) და M 3 (x 3, y 3, z 3), მაშინ მიმართულების ვექტორის კოორდინატები განისაზღვრება როგორც ( x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).

განმარტება 2

ალგორითმი მოცემული წრფის პერპენდიკულარულ მოცემულ წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლების საპოვნელად:

ჩვენ განვსაზღვრავთ სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორის კოორდინატებს a: a → = (a x, a y, a z) ;

ჩვენ განვსაზღვრავთ α სიბრტყის ნორმალური ვექტორის კოორდინატებს, როგორც a სწორი ხაზის მიმართული ვექტორის კოორდინატებს:

n → = (A , B , C) , სადაც A = a x, B = a y, C = a z;

ჩვენ ვწერთ სიბრტყის განტოლებას, რომელიც გადის M 1 წერტილში (x 1, y 1, z 1) და აქვს ნორმალური ვექტორი. n → = (A, B, C) სახით A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0. ეს იქნება სიბრტყის საჭირო განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში სივრცეში და არის მოცემული წრფის პერპენდიკულარული.

თვითმფრინავის ზოგადი განტოლება არის: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 შესაძლებელს ხდის სიბრტყის განტოლების მიღებას სეგმენტებში ან ნორმალური განტოლებათვითმფრინავი.

ზემოთ მიღებული ალგორითმის გამოყენებით გადავჭრათ რამდენიმე მაგალითი.

მაგალითი 1

მოცემულია წერტილი M 1 (3, - 4, 5), რომლითაც გადის სიბრტყე და ეს სიბრტყე პერპენდიკულარულია O z კოორდინატთა წრფეზე.

გამოსავალი

O z კოორდინატთა წრფის მიმართულების ვექტორი იქნება კოორდინატთა ვექტორი k ⇀ = (0 , 0 , 1) . ამრიგად, სიბრტყის ნორმალურ ვექტორს აქვს კოორდინატები (0, 0, 1). დავწეროთ სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში M 1 (3, - 4, 5), რომლის ნორმალურ ვექტორს აქვს კოორდინატები (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

პასუხი: z – 5 = 0 .

განვიხილოთ ამ პრობლემის გადაჭრის კიდევ ერთი გზა:

მაგალითი 2

სიბრტყე, რომელიც პერპენდიკულარულია O z სწორი ხაზის მიმართ, არასრულად იქნება მითითებული ზოგადი განტოლებასიბრტყე ფორმის C z + D = 0, C ≠ 0. მოდით განვსაზღვროთ C და D მნიშვნელობები: ისინი, რომლებზეც თვითმფრინავი გადის მოცემულ წერტილში. ამ წერტილის კოორდინატები ჩავანაცვლოთ განტოლებით C z + D = 0, მივიღებთ: C · 5 + D = 0. იმათ. რიცხვები, C და D დაკავშირებულია მიმართებით - D C = 5. თუ ვიღებთ C = 1, ვიღებთ D = - 5.

მოდით ჩავანაცვლოთ ეს მნიშვნელობები განტოლებაში C z + D = 0 და მივიღოთ სიბრტყის საჭირო განტოლება O z სწორი ხაზის პერპენდიკულარული და M 1 წერტილის გავლით (3, - 4, 5).

ეს ასე გამოიყურება: z – 5 = 0.

პასუხი: z – 5 = 0 .

მაგალითი 3

დაწერეთ განტოლება სიბრტყისთვის, რომელიც გადის საწყისზე და პერპენდიკულარულია x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

გამოსავალი

ამოცანის პირობებიდან გამომდინარე, შეიძლება ითქვას, რომ მოცემული სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი შეიძლება მივიღოთ, როგორც მოცემული სიბრტყის ნორმალური ვექტორი n →. ამრიგად: n → = (- 3 , - 7 , 2) . დავწეროთ სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის O (0, 0, 0) წერტილში და აქვს ნორმალური ვექტორი n → = (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

ჩვენ მივიღეთ მოცემული წრფის პერპენდიკულარული კოორდინატების საწყისზე გამავალი სიბრტყის საჭირო განტოლება.

პასუხი:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

მაგალითი 4

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა O x y z მოცემულია სამგანზომილებიან სივრცეში, მასში არის ორი წერტილი A (2, - 1, - 2) და B (3, - 2, 4). α სიბრტყე გადის A წერტილზე A B წრფის პერპენდიკულარულად. აუცილებელია α სიბრტყის განტოლების შექმნა სეგმენტებად.

გამოსავალი

α სიბრტყე პერპენდიკულარულია A B წრფეზე, მაშინ ვექტორი A B → იქნება α სიბრტყის ნორმალური ვექტორი. ამ ვექტორის კოორდინატები განისაზღვრება, როგორც სხვაობა B (3, - 2, 4) და A (2, - 1, - 2) წერტილების შესაბამის კოორდინატებს შორის:

A B → = (3 - 2, - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

თვითმფრინავის ზოგადი განტოლება დაიწერება შემდეგნაირად:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

ახლა შევადგინოთ სიბრტყის საჭირო განტოლება სეგმენტებად:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

პასუხი:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

აქვე უნდა აღინიშნოს, რომ არის ამოცანები, რომელთა მოთხოვნაა მოცემულ წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლების დაწერა და ორზე პერპენდიკულარული. მოცემული თვითმფრინავები. ზოგადად, ამ პრობლემის გადაწყვეტა არის განტოლების აგება სიბრტყისთვის, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში მოცემული წრფის პერპენდიკულარულად, რადგან ორი გადამკვეთი სიბრტყე განსაზღვრავს სწორ ხაზს.

მაგალითი 5

მოცემულია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა O x y z, მასში არის წერტილი M 1 (2, 0, - 5). ასევე მოცემულია ორი სიბრტყის 3 x + 2 y + 1 = 0 და x + 2 z – 1 = 0 განტოლებები, რომლებიც იკვეთება a სწორი ხაზის გასწვრივ. აუცილებელია განტოლების შექმნა თვითმფრინავისთვის, რომელიც გადის M 1 წერტილზე პერპენდიკულარულ a სწორ ხაზზე.

გამოსავალი

განვსაზღვროთ სწორი წრფის მიმართული ვექტორის კოორდინატები a. ის პერპენდიკულარულია როგორც n → (1, 0, 2) სიბრტყის ნორმალურ ვექტორთან n 1 → (3, 2, 0), ასევე ნორმალურ ვექტორთან 3 x + 2 y + 1 = 0 x + 2 z - 1 = 0 თვითმფრინავი.

შემდეგ, როგორც მიმართული ვექტორი α → a წრფე, ვიღებთ ვექტორების ნამრავლს n 1 → და n 2 →:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2)

ამრიგად, ვექტორი n → = (4, - 6, - 2) იქნება სიბრტყის ნორმალური ვექტორი a წრფეზე პერპენდიკულარული. მოდით ჩამოვწეროთ სიბრტყის საჭირო განტოლება:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

პასუხი: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter