სტაბილური და არასტაბილური წონასწორობა ფიზიკაში. სტატიკა

მექანიკური სისტემის წონასწორობა არის მდგომარეობა, რომელშიც განსახილველი სისტემის ყველა წერტილი დასვენებულია არჩეული საცნობარო სისტემის მიმართ.

ძალის მომენტი ნებისმიერი ღერძის გარშემო არის ამ ძალის F სიდიდის ნამრავლი d მკლავით.

წონასწორობის პირობების გასარკვევად ყველაზე მარტივი გზაა უმარტივესი მექანიკური სისტემის - მატერიალური წერტილის მაგალითი. დინამიკის პირველი კანონის მიხედვით (იხ. მექანიკა), ინერციულ კოორდინატულ სისტემაში მატერიალური წერტილის დასვენების (ან ერთგვაროვანი წრფივი მოძრაობის) პირობაა, რომ მასზე მიმართული ყველა ძალის ვექტორული ჯამი ნულის ტოლია.

უფრო რთულ მექანიკურ სისტემებზე გადასვლისას მხოლოდ ეს მდგომარეობა არ არის საკმარისი მათი წონასწორობისთვის. გარდა მთარგმნელობითი მოძრაობისა, რომელიც გამოწვეულია არაკომპენსირებული გარეგანი ძალებით, რთული მექანიკური სისტემა შეიძლება განიცადოს ბრუნვითი მოძრაობა ან დეფორმაცია. მოდით გავარკვიოთ აბსოლუტურად ხისტი სხეულის წონასწორობის პირობები - მექანიკური სისტემა, რომელიც შედგება ნაწილაკების კრებულისგან, რომელთა შორის მანძილი არ იცვლება.

მექანიკური სისტემის მთარგმნელობითი მოძრაობის შესაძლებლობა (აჩქარებით) შეიძლება აღმოიფხვრას ისევე, როგორც მატერიალური წერტილის შემთხვევაში, მოთხოვნით, რომ სისტემის ყველა წერტილზე გამოყენებული ძალების ჯამი იყოს ნულის ტოლი. ეს არის პირველი პირობა მექანიკური სისტემის წონასწორობისთვის.

ჩვენს შემთხვევაში, მყარი სხეული ვერ დეფორმირდება, რადგან ჩვენ შევთანხმდით, რომ მის წერტილებს შორის მანძილი არ იცვლება. მაგრამ მატერიალური წერტილისგან განსხვავებით, თანაბარი და საპირისპიროდ მიმართული ძალების წყვილი შეიძლება გამოყენებულ იქნას აბსოლუტურად ხისტ სხეულზე სხვადასხვა წერტილში. უფრო მეტიც, ვინაიდან ამ ორი ძალის ჯამი არის ნულოვანი, განხილული მექანიკური სისტემა არ შეასრულებს მთარგმნელობით მოძრაობას. თუმცა, აშკარაა, რომ ასეთი წყვილი ძალების გავლენით სხეული დაიწყებს ბრუნვას გარკვეულ ღერძთან მიმართებაში მუდმივად მზარდი კუთხური სიჩქარით.

განსახილველ სისტემაში ბრუნვის მოძრაობის წარმოქმნა განპირობებულია ძალების არაკომპენსირებული მომენტების არსებობით. ნებისმიერი ღერძის ირგვლივ ძალის მომენტი არის $F$ ამ ძალის სიდიდის ნამრავლი $d,$-ის მკლავით, ანუ $O$ წერტილიდან (იხ. სურათი), რომლითაც გადის ღერძი ჩამოშვებული პერპენდიკულარულის სიგრძით. , ძალის მიმართულებით . გაითვალისწინეთ, რომ ამ განსაზღვრებით ძალის მომენტი არის ალგებრული სიდიდე: ის დადებითად ითვლება, თუ ძალა იწვევს ბრუნვას საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, ხოლო წინააღმდეგ შემთხვევაში უარყოფითი. ამრიგად, ხისტი სხეულის წონასწორობის მეორე პირობა არის მოთხოვნა, რომ ყველა ძალის მომენტების ჯამი ბრუნვის ნებისმიერ ღერძთან იყოს ნულის ტოლი.

იმ შემთხვევაში, როდესაც ნაპოვნი წონასწორობის ორივე პირობა დაკმაყოფილებულია, მყარი სხეული ისვენებს, თუ იმ მომენტში, როდესაც ძალებმა დაიწყეს მოქმედება, მისი ყველა წერტილის სიჩქარე ნულის ტოლი იქნება. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ის შეასრულებს ერთგვაროვან მოძრაობას ინერციით.

მექანიკური სისტემის წონასწორობის განხილული განმარტება არაფერს ამბობს იმაზე, თუ რა მოხდება, თუ სისტემა ოდნავ გადავა წონასწორობის პოზიციიდან. ამ შემთხვევაში, არსებობს სამი შესაძლებლობა: სისტემა დაუბრუნდება წონასწორობის წინა მდგომარეობას; სისტემა, მიუხედავად გადახრისა, არ შეცვლის წონასწორობის მდგომარეობას; სისტემა წონასწორობიდან გამოვა. პირველ შემთხვევას წონასწორობის სტაბილურ მდგომარეობას უწოდებენ, მეორეს - ინდიფერენტულს, მესამეს - არასტაბილურს. წონასწორული პოზიციის ბუნება განისაზღვრება სისტემის პოტენციური ენერგიის კოორდინატებზე დამოკიდებულებით. ნახატზე ნაჩვენებია წონასწორობის სამივე სახეობა მძიმე ბურთის მაგალითის გამოყენებით, რომელიც მდებარეობს დეპრესიაში (სტაბილური წონასწორობა), გლუვ ჰორიზონტალურ მაგიდაზე (გულგრილი), ტუბერკულოზის თავზე (არასტაბილური).

ზემოთ მოყვანილი მიდგომა მექანიკური სისტემის წონასწორობის პრობლემისადმი განიხილებოდა მეცნიერების მიერ ჯერ კიდევ ძველ სამყაროში. ამრიგად, ბერკეტის წონასწორობის კანონი (ანუ ხისტი სხეული ბრუნვის ფიქსირებული ღერძით) არქიმედესმა აღმოაჩინა III საუკუნეში. ძვ.წ ე.

1717 წელს იოჰან ბერნულმა შეიმუშავა სრულიად განსხვავებული მიდგომა მექანიკური სისტემის წონასწორობის პირობების მოსაძებნად - ვირტუალური გადაადგილების მეთოდი. იგი ეფუძნება ბმის რეაქციის ძალების თვისებებს, რომლებიც წარმოიქმნება ენერგიის შენარჩუნების კანონიდან: სისტემის მცირე გადახრით წონასწორობის პოზიციიდან, ბმის რეაქციის ძალების მთლიანი მუშაობა ნულის ტოლია.

ზემოთ აღწერილი წონასწორობის პირობების საფუძველზე სტატიკის ამოცანების გადაჭრისას (იხ. მექანიკა), სისტემაში არსებული კავშირები (საყრდენები, ძაფები, წნელები) ხასიათდება მათში წარმოქმნილი რეაქციის ძალებით. ამ ძალების გათვალისწინების აუცილებლობა წონასწორობის პირობების განსაზღვრისას რამდენიმე სხეულისგან შემდგარი სისტემების შემთხვევაში იწვევს რთულ გამოთვლებს. თუმცა, იმის გამო, რომ ბმის რეაქციის ძალების მუშაობა წონასწორობის პოზიციიდან მცირე გადახრებისთვის ნულის ტოლია, შესაძლებელია ამ ძალების გათვალისწინება საერთოდ ავარიდოთ თავი.

რეაქციის ძალების გარდა, გარე ძალები ასევე მოქმედებენ მექანიკური სისტემის წერტილებზე. რა არის მათი მუშაობა წონასწორობის პოზიციიდან მცირე გადახრისთვის? ვინაიდან სისტემა თავდაპირველად ისვენებს, ნებისმიერი მოძრაობისთვის აუცილებელია გარკვეული დადებითი სამუშაოს შესრულება. პრინციპში, ეს სამუშაო შეიძლება შესრულდეს როგორც გარე ძალებით, ასევე ბმული რეაქციის ძალებით. მაგრამ, როგორც უკვე ვიცით, რეაქციის ძალების მიერ შესრულებული მთლიანი სამუშაო ნულის ტოლია. ამიტომ, იმისათვის, რომ სისტემამ დატოვოს წონასწორობის მდგომარეობა, გარე ძალების მთლიანი მუშაობა ნებისმიერი შესაძლო გადაადგილებისთვის უნდა იყოს დადებითი. შესაბამისად, მოძრაობის შეუძლებლობის პირობა, ანუ წონასწორობის მდგომარეობა, შეიძლება ჩამოყალიბდეს როგორც მოთხოვნა, რომ გარე ძალების მთლიანი მუშაობა იყოს არაპოზიტიური ნებისმიერი შესაძლო მოძრაობისთვის: $ΔA≤0.$.

დავუშვათ, რომ $Δ\overrightarrow(γ)_1 სისტემის წერტილების გადაადგილებისას...\ Δ\overrightarrow(γ)_n$ გარე ძალების მუშაობის ჯამი $ΔA1.$-ის ტოლი აღმოჩნდა და რა ხდება. თუ სისტემა აკეთებს მოძრაობებს $−Δ\overrightarrow(γ)_1,−Δ\overrightarrow(γ)_2,\ …,−Δ\overrightarrow(γ)_n?$ ეს მოძრაობები შესაძლებელია ისევე, როგორც პირველი; თუმცა, გარე ძალების მუშაობა ახლა შეიცვლის ნიშანს: $ΔA2 =−ΔA1.$ წინა შემთხვევის მსგავსად მსჯელობით, მივალთ დასკვნამდე, რომ ახლა სისტემის წონასწორობის მდგომარეობას აქვს ფორმა: $ΔA1≥0,$. ანუ გარე ძალების მუშაობა უნდა იყოს არაუარყოფითი. ამ ორი თითქმის ურთიერთგამომრიცხავი პირობის „შერიგების“ ერთადერთი გზა არის გარე ძალების მთლიანი მუშაობის ნულთან ზუსტი ტოლობის მოთხოვნა სისტემის ნებისმიერი შესაძლო (ვირტუალური) გადაადგილებისთვის წონასწორული პოზიციიდან: $ΔA=0.$ შესაძლებელია. (ვირტუალური) მოძრაობა აქ ვგულისხმობთ სისტემის უსასრულო გონებრივ მოძრაობას, რომელიც არ ეწინააღმდეგება მასზე დაწესებულ კავშირებს.

ასე რომ, მექანიკური სისტემის წონასწორობის მდგომარეობა ვირტუალური გადაადგილების პრინციპის სახით ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად:

„იდეალური კავშირებით ნებისმიერი მექანიკური სისტემის წონასწორობისთვის აუცილებელია და საკმარისია, რომ სისტემაზე მოქმედი ძალების ელემენტარული სამუშაოების ჯამი ნებისმიერი შესაძლო გადაადგილებისთვის ნულის ტოლი იყოს“.

ვირტუალური გადაადგილების პრინციპის გამოყენებით მოგვარებულია არა მხოლოდ სტატიკის, არამედ ჰიდროსტატიკისა და ელექტროსტატიკის პრობლემები.

ეს ლექცია მოიცავს შემდეგ საკითხებს:

1. მექანიკური სისტემების წონასწორობის პირობები.

2. ბალანსის სტაბილურობა.

3. წონასწორული პოზიციების განსაზღვრისა და მათი მდგრადობის შესწავლის მაგალითი.

ამ საკითხების შესწავლა აუცილებელია მექანიკური სისტემის რხევის მოძრაობების შესასწავლად წონასწორობის პოზიციის მიმართ დისციპლინაში „მანქანის ნაწილები“, პრობლემების გადასაჭრელად დისციპლინებში „მანქანებისა და მექანიზმების თეორია“ და „მასალების სიძლიერე“.

მექანიკური სისტემების მოძრაობის მნიშვნელოვანი შემთხვევაა მათი რხევითი მოძრაობა. რხევები არის მექანიკური სისტემის განმეორებითი მოძრაობები მის ზოგიერთ პოზიციასთან მიმართებაში, რომელიც მეტ-ნაკლებად რეგულარულად ხდება დროთა განმავლობაში. კურსის მუშაობა განიხილავს მექანიკური სისტემის რხევად მოძრაობას წონასწორულ პოზიციასთან (შეფარდებითი ან აბსოლუტური) მიმართ.

მექანიკურ სისტემას შეუძლია საკმარისად ხანგრძლივი დროის განმავლობაში რხევა მხოლოდ სტაბილური წონასწორობის პოზიციის მახლობლად. ამიტომ რხევითი მოძრაობის განტოლებების შედგენამდე საჭიროა წონასწორული პოზიციების პოვნა და მათი მდგრადობის შესწავლა.

წონასწორობის პირობები მექანიკური სისტემებისთვის.

შესაძლო გადაადგილების პრინციპის მიხედვით (სტატიკის ძირითადი განტოლება), იმისათვის, რომ მექანიკური სისტემა, რომელზეც იდეალური, სტაციონარული, შემაკავებელი და ჰოლონომიური შეზღუდვებია დაწესებული, იყოს წონასწორობაში, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ამ სისტემაში ყველა განზოგადებული ძალა იყოს ნულის ტოლი:

სად - განზოგადებული ძალა შესაბამისი j- oh განზოგადებული კოორდინატი;

ს- განზოგადებული კოორდინატების რაოდენობა მექანიკურ სისტემაში.

თუ შესწავლილი სისტემისთვის შედგენილია მოძრაობის დიფერენციალური განტოლებები მეორე სახის ლაგრანჟის განტოლებების სახით, მაშინ შესაძლო წონასწორობის პოზიციების დასადგენად საკმარისია განზოგადებული ძალების გათანაბრება ნულამდე და მიღებული განტოლებების ამოხსნა განზოგადებულთან მიმართებაში. კოორდინატები.

თუ მექანიკური სისტემა წონასწორობაშია პოტენციური ძალის ველში, მაშინ (1) განტოლებებიდან ვიღებთ წონასწორობის შემდეგ პირობებს:

ამრიგად, წონასწორობის მდგომარეობაში პოტენციურ ენერგიას აქვს უკიდურესი მნიშვნელობა. ზემოაღნიშნული ფორმულებით განსაზღვრული ყველა წონასწორობა პრაქტიკულად არ შეიძლება განხორციელდეს. სისტემის ქცევიდან გამომდინარე, როდესაც ის გადახრის წონასწორობის პოზიციიდან, საუბარია ამ პოზიციის სტაბილურობაზე ან არასტაბილურობაზე.

წონასწორობის სტაბილურობა

წონასწორული პოზიციის სტაბილურობის კონცეფციის განმარტება მოცემულია XIX საუკუნის ბოლოს რუსი მეცნიერის ა.მ. ლიაპუნოვის ნაშრომებში. მოდით შევხედოთ ამ განმარტებას.

გამოთვლების გასამარტივებლად ჩვენ შემდგომში შევთანხმდებით განზოგადებულ კოორდინატებზე ქ 1 , ქ 2 ,...,ქ ს დათვალეთ სისტემის წონასწორული პოზიციიდან:

სად

წონასწორობის პოზიციას ეწოდება სტაბილური, თუ რაიმე თვითნებურად მცირე რიცხვისთვისშეგიძლიათ იპოვოთ სხვა ნომერი იმ შემთხვევაში, როდესაც განზოგადებული კოორდინატების და სიჩქარის საწყისი მნიშვნელობები არ აღემატება:

სისტემის შემდგომი მოძრაობისას განზოგადებული კოორდინატების და სიჩქარის მნიშვნელობები არ აღემატება .

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სისტემის წონასწორული პოზიცია ქ 1 = ქ 2 = ...= ქ s = 0 ეწოდება მდგრადი, თუ ყოველთვის შესაძლებელია ასეთი საკმარისად მცირე საწყისი მნიშვნელობების პოვნა, რომლის დროსაც სისტემის მოძრაობაარ დატოვებს წონასწორობის პოზიციის რომელიმე მოცემულ, თვითნებურად მცირე მეზობელს. ერთი ხარისხის თავისუფლების სისტემისთვის, სისტემის სტაბილური მოძრაობა ნათლად შეიძლება იყოს გამოსახული ფაზის სიბრტყეში (ნახ. 1).სტაბილური წონასწორობის პოზიციისთვის, წარმომადგენლობითი წერტილის მოძრაობა, დაწყებული რეგიონიდან [ ] , მომავალში რეგიონს არ გასცდება.

ნახ.1

წონასწორობის პოზიცია ეწოდება ასიმპტომურად სტაბილური , თუ დროთა განმავლობაში სისტემა უახლოვდება წონასწორობის პოზიციას, ე.ი

წონასწორული პოზიციის სტაბილურობის პირობების დადგენა საკმაოდ რთული ამოცანაა, ამიტომ შემოვიფარგლებით უმარტივესი შემთხვევით: კონსერვატიული სისტემების წონასწორობის სტაბილურობის შესწავლით.

ასეთი სისტემებისთვის დადგენილია წონასწორობის პოზიციების სტაბილურობის საკმარისი პირობები ლაგრანჟ-დირიხლეს თეორემა : კონსერვატიული მექანიკური სისტემის წონასწორული პოზიცია სტაბილურია, თუ წონასწორობის მდგომარეობაში სისტემის პოტენციურ ენერგიას აქვს იზოლირებული მინიმალური .

მექანიკური სისტემის პოტენციური ენერგია განისაზღვრება ზუსტად მუდმივამდე. მოდით ავირჩიოთ ეს მუდმივი ისე, რომ წონასწორობის მდგომარეობაში პოტენციური ენერგია ნულის ტოლია:

P (0)=0.

მაშინ, ერთი ხარისხის თავისუფლების სისტემისთვის საკმარისი პირობა იზოლირებული მინიმუმის არსებობისთვის, აუცილებელ პირობასთან ერთად (2) იქნება პირობა.

ვინაიდან წონასწორობის მდგომარეობაში პოტენციურ ენერგიას აქვს იზოლირებული მინიმუმი და P (0)=0 , შემდეგ ამ პოზიციის ზოგიერთ სასრულ უბანში

P(q)=0.

ფუნქციები, რომლებსაც აქვთ მუდმივი ნიშანი და ტოლია ნულის მხოლოდ მაშინ, როცა მათი ყველა არგუმენტი ნულის ტოლია, გამოძახებულია განსაზღვრული ნიშნით. შესაბამისად, იმისათვის, რომ მექანიკური სისტემის წონასწორობა სტაბილური იყოს, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ამ პოზიციის სიახლოვეს პოტენციური ენერგია იყოს განზოგადებული კოორდინატების დადებითი განსაზღვრული ფუნქცია.

ხაზოვანი სისტემებისთვის და სისტემებისთვის, რომლებიც შეიძლება შემცირდეს წრფივამდე წონასწორობის პოზიციიდან მცირე გადახრებისთვის (ხაზოვანი), პოტენციური ენერგია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს განზოგადებული კოორდინატების კვადრატული ფორმის სახით.

სად - განზოგადებული სიხისტის კოეფიციენტები.

განზოგადებული კოეფიციენტებიარის მუდმივი რიცხვები, რომლებიც შეიძლება განისაზღვროს უშუალოდ პოტენციური ენერგიის სერიის გაფართოებიდან ან პოტენციური ენერგიის მეორე წარმოებულების მნიშვნელობებით განზოგადებულ კოორდინატებთან მიმართებაში წონასწორობის პოზიციაზე:

ფორმულიდან (4) გამომდინარეობს, რომ განზოგადებული სიხისტის კოეფიციენტები სიმეტრიულია ინდექსების მიმართ

ამისთვის იმისათვის, რომ საკმარისი პირობები იყოს წონასწორული პოზიციის სტაბილურობისთვის, პოტენციური ენერგია უნდა იყოს მისი განზოგადებული კოორდინატების დადებითი განსაზღვრული კვადრატული ფორმა.

მათემატიკაში არის სილვესტერის კრიტერიუმი , რომელიც იძლევა აუცილებელ და საკმარის პირობებს კვადრატული ფორმების დადებითი განსაზღვრებისათვის: კვადრატული ფორმა (3) იქნება დადებითი განსაზღვრული, თუ მისი კოეფიციენტებით და მისი ყველა ძირითადი დიაგონალური მცირე მნიშვნელობით შედგენილი დეტერმინანტი დადებითია, ე.ი. თუ შანსები დააკმაყოფილებს პირობებს

.....

კერძოდ, ორი ხარისხის თავისუფლების მქონე ხაზოვანი სისტემისთვის პოტენციურ ენერგიას და სილვესტერის კრიტერიუმის პირობებს ექნება ფორმა.

ანალოგიურად, შესაძლებელია შედარებითი წონასწორობის პოზიციების შესწავლა, თუ პოტენციური ენერგიის ნაცვლად გავითვალისწინებთ შემცირებული სისტემის პოტენციურ ენერგიას.

პ წონასწორული პოზიციების განსაზღვრისა და მათი მდგრადობის შესწავლის მაგალითი

ნახ.2

განვიხილოთ მექანიკური სისტემა, რომელიც შედგება მილისგან AB, რომელიც არის კვერთხი OO 1დაკავშირებულია ბრუნვის ჰორიზონტალურ ღერძთან და ბურთი, რომელიც მოძრაობს მილის გასწვრივ ხახუნის გარეშე და უკავშირდება წერტილს ამილები ზამბარით (ნახ. 2). მოდით განვსაზღვროთ სისტემის წონასწორობის პოზიციები და შევაფასოთ მათი სტაბილურობა შემდეგი პარამეტრების მიხედვით: მილის სიგრძე ლ 2 = 1 მ , ჯოხის სიგრძე l 1 = 0,5 მ . არადეფორმირებული ზამბარის სიგრძე ლ 0 = 0,6 მ ზამბარის სიმტკიცე გ= 100 ნ/მ. მილის წონა მ 2 = 2 კგ, ჯოხი - მ 1 = 1 კგ და ბურთი - მ 3 = 0,5 კგ. მანძილი ო.ა.უდრის ლ 3 = 0,4 მ.

მოდით ჩამოვწეროთ განსახილველი სისტემის პოტენციური ენერგიის გამოხატულება. იგი შედგება სამი სხეულის პოტენციური ენერგიისგან, რომლებიც მდებარეობს გრავიტაციის ერთგვაროვან ველში და დეფორმირებული ზამბარის პოტენციური ენერგიისგან.

სხეულის პოტენციური ენერგია სიმძიმის ველში უდრის სხეულის წონის ნამრავლს და სიმძიმის ცენტრის სიმაღლეს იმ სიბრტყეზე, რომელშიც პოტენციური ენერგია ითვლება ნულის ტოლი. პოტენციური ენერგია ნული იყოს სიბრტყეში, რომელიც გადის ღეროს ბრუნვის ღერძზე ო.ო. 1, შემდეგ გრავიტაციისთვის

ელასტიური ძალისთვის პოტენციური ენერგია განისაზღვრება დეფორმაციის სიდიდით

მოდით ვიპოვოთ სისტემის შესაძლო წონასწორობის პოზიციები. წონასწორობის პოზიციებზე კოორდინატების მნიშვნელობები არის შემდეგი განტოლებების სისტემის ფესვები.

განტოლებათა მსგავსი სისტემა შეიძლება შედგეს ნებისმიერი მექანიკური სისტემისთვის, თავისუფლების ორი ხარისხით. ზოგიერთ შემთხვევაში შესაძლებელია სისტემის ზუსტი გადაწყვეტის მიღება. სისტემისთვის (5) ასეთი გამოსავალი არ არსებობს, ამიტომ ფესვები უნდა მოძებნოთ რიცხვითი მეთოდების გამოყენებით.

ტრანსცენდენტული განტოლებების სისტემის ამოხსნით (5), ჩვენ ვიღებთ ორ შესაძლო წონასწორობის პოზიციას:

მიღებული წონასწორობის პოზიციების მდგრადობის შესაფასებლად ვიპოვით პოტენციური ენერგიის ყველა მეორე წარმოებულს განზოგადებულ კოორდინატებთან მიმართებაში და მათგან განვსაზღვრავთ განზოგადებულ სიმყარის კოეფიციენტებს.

მექანიკური სისტემის წონასწორობა- ეს არის მდგომარეობა, რომელშიც მექანიკური სისტემის ყველა წერტილი მოსვენებულია განსახილველ საცნობარო სისტემასთან მიმართებაში. თუ საცნობარო ჩარჩო ინერციულია, წონასწორობა ეწოდება აბსოლუტური, თუ არაინერტული - ნათესავი.

აბსოლუტურად ხისტი სხეულის წონასწორობის პირობების საპოვნელად აუცილებელია მისი გონებრივად დაშლა საკმაოდ მცირე ელემენტებად, რომელთაგან თითოეული შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მატერიალური წერტილით. ყველა ეს ელემენტი ურთიერთქმედებს ერთმანეთთან - ამ ურთიერთქმედების ძალებს ე.წ შიდა. გარდა ამისა, გარე ძალებს შეუძლიათ იმოქმედონ სხეულის რამდენიმე წერტილზე.

ნიუტონის მეორე კანონის მიხედვით, იმისთვის, რომ წერტილის აჩქარება იყოს ნული (და დასვენების წერტილის აჩქარება ნული), ამ წერტილზე მოქმედი ძალების გეომეტრიული ჯამი უნდა იყოს ნული. თუ სხეული მოსვენებულ მდგომარეობაშია, მაშინ მისი ყველა წერტილი (ელემენტი) ასევე ისვენებს. ამრიგად, სხეულის ნებისმიერი წერტილისთვის შეგვიძლია დავწეროთ:

სადაც არის მოქმედი ყველა გარე და შინაგანი ძალების გეომეტრიული ჯამი მესხეულის ე ელემენტი.

განტოლება ნიშნავს, რომ სხეულის წონასწორობაში ყოფნისთვის აუცილებელია და საკმარისია, რომ ამ სხეულის რომელიმე ელემენტზე მოქმედი ყველა ძალის გეომეტრიული ჯამი იყოს ნულის ტოლი.

აქედან ადვილია სხეულის (სხეულების სისტემის) წონასწორობის პირველი პირობის მიღება. ამისათვის საკმარისია სხეულის ყველა ელემენტის განტოლების შეჯამება:

.

მეორე ჯამი ნიუტონის მესამე კანონის მიხედვით ნულის ტოლია: სისტემის ყველა შინაგანი ძალის ვექტორული ჯამი ნულის ტოლია, ვინაიდან ნებისმიერი შინაგანი ძალა შეესაბამება სიდიდის ტოლ და მიმართულების საწინააღმდეგო ძალას.

აქედან გამომდინარე,

.

ხისტი სხეულის წონასწორობის პირველი პირობა(სხეულების სისტემები)არის სხეულზე მიმართული ყველა გარეგანი ძალის გეომეტრიული ჯამის ნულის ტოლი.

ეს პირობა აუცილებელია, მაგრამ არა საკმარისი. ამის გადამოწმება ადვილია ძალების წყვილის ბრუნვის მოქმედების დამახსოვრების გზით, რომელთა გეომეტრიული ჯამი ასევე ნულის ტოლია.

ხისტი სხეულის წონასწორობის მეორე პირობაარის სხეულზე მოქმედი ყველა გარე ძალების მომენტების ჯამის ნულის ტოლი რომელიმე ღერძის მიმართ.

ამრიგად, ხისტი სხეულის წონასწორობის პირობები გარე ძალების თვითნებური რაოდენობის შემთხვევაში ასე გამოიყურება:

.

Კლასი: 10

პრეზენტაცია გაკვეთილისთვის

უკან წინ

ყურადღება! სლაიდების გადახედვა მხოლოდ საინფორმაციო მიზნებისთვისაა და შესაძლოა არ წარმოადგენდეს პრეზენტაციის ყველა მახასიათებელს. თუ გაინტერესებთ ეს ნამუშევარი, გთხოვთ გადმოწეროთ სრული ვერსია.

გაკვეთილის მიზნები:სხეულების წონასწორობის მდგომარეობის შესწავლა, წონასწორობის სხვადასხვა ტიპების გაცნობა; გაარკვიეთ რა პირობებშია სხეული წონასწორობაში.

გაკვეთილის მიზნები:

• საგანმანათლებლო:წონასწორობის ორი პირობის შესწავლა, წონასწორობის ტიპები (სტაბილური, არასტაბილური, ინდიფერენტული). გაარკვიეთ, რა პირობებშია სხეულები უფრო სტაბილური.
• საგანმანათლებლო:ხელი შეუწყოს ფიზიკის მიმართ შემეცნებითი ინტერესის განვითარებას. შედარების, განზოგადების, მთავარის გამოკვეთისა და დასკვნების გამოტანის უნარების განვითარება.
• საგანმანათლებლო:ყურადღების, საკუთარი აზრის გამოხატვისა და მისი დაცვის უნარის გამომუშავება, მოსწავლეთა კომუნიკაციური შესაძლებლობების განვითარება.

გაკვეთილის ტიპი:გაკვეთილი ახალი მასალის შესწავლის შესახებ კომპიუტერული მხარდაჭერით.

აღჭურვილობა:

1. დისკი "მუშაობა და ძალა" "ელექტრონული გაკვეთილები და ტესტები".
2. ცხრილი „წონასწორობის პირობები“.
3. დახრილი პრიზმა ქლიავის ხაზით.
4. გეომეტრიული სხეულები: ცილინდრი, კუბი, კონუსი და ა.შ.
5. კომპიუტერი, მულტიმედიური პროექტორი, ინტერაქტიული დაფა ან ეკრანი.
6. პრეზენტაცია.

გაკვეთილების დროს

დღეს გაკვეთილზე გავიგებთ, რატომ არ ვარდება ამწე, რატომ უბრუნდება ვანკა-ვსტანკას სათამაშო ყოველთვის პირვანდელ მდგომარეობას, რატომ არ ვარდება პიზის დახრილი კოშკი?

I. ცოდნის გამეორება და განახლება.

1. დაასახელეთ ნიუტონის პირველი კანონი. რა პირობას ეხება კანონი?
2. რა კითხვაზე პასუხობს ნიუტონის მეორე კანონი? ფორმულა და ფორმულირება.
3. რა კითხვაზე პასუხობს ნიუტონის მესამე კანონი? ფორმულა და ფორმულირება.
4. რა არის შედეგის ძალა? როგორ მდებარეობს იგი?
5. დისკიდან „სხეულების მოძრაობა და ურთიერთქმედება“ დაასრულეთ დავალება No9 „სხვადასხვა მიმართულების ძალების შედეგი“ (ვექტორების დამატების წესი (2, 3 სავარჯიშო)).

II. ახალი მასალის სწავლა.

1. რას ჰქვია წონასწორობა?

ბალანსი დასვენების მდგომარეობაა.

2. წონასწორობის პირობები.(სლაიდი 2)

ა) როდის არის სხეული მოსვენებულ მდგომარეობაში? რა კანონიდან გამომდინარეობს ეს?

წონასწორობის პირველი პირობა:სხეული წონასწორობაშია, თუ სხეულზე მიმართული გარე ძალების გეომეტრიული ჯამი ნულის ტოლია. ∑F = 0

ბ) ორმა თანაბარმა ძალამ იმოქმედოს დაფაზე, როგორც ეს ნაჩვენებია სურათზე.

იქნება ბალანსში? (არა, ის შემობრუნდება)

მხოლოდ ცენტრალური წერტილი ისვენებს, დანარჩენები მოძრაობენ. ეს ნიშნავს, რომ სხეულის წონასწორობისთვის აუცილებელია, რომ ყველა ელემენტზე მოქმედი ძალების ჯამი იყოს 0.

წონასწორობის მეორე პირობა:საათის ისრის მიმართულებით მოქმედი ძალების მომენტების ჯამი უნდა იყოს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ მოქმედი ძალების მომენტების ჯამის ტოლი.

∑ M საათის ისრის მიმართულებით = ∑ M საათის ისრის საწინააღმდეგოდ

ძალის მომენტი: M = F L

L – ძალის მკლავი – უმოკლესი მანძილი საყრდენი წერტილიდან ძალის მოქმედების ხაზამდე.

3. სხეულის სიმძიმის ცენტრი და მისი მდებარეობა.(სლაიდი 4)

სხეულის სიმძიმის ცენტრი- ეს ის წერტილია, რომლითაც გადის სხეულის ცალკეულ ელემენტებზე მოქმედი სიმძიმის ყველა პარალელური ძალის შედეგი (სივრცეში სხეულის ნებისმიერი პოზიციისთვის).

იპოვეთ შემდეგი ფიგურების სიმძიმის ცენტრი:

4. ბალანსის სახეები.

ა) (სლაიდები 5–8)

დასკვნა:წონასწორობა სტაბილურია, თუ წონასწორობის პოზიციიდან მცირე გადახრით, არსებობს ძალა, რომელიც ცდილობს მის დაბრუნებას ამ პოზიციაზე.

პოზიცია, რომელშიც მისი პოტენციური ენერგია მინიმალურია, სტაბილურია. (სლაიდი 9)

ბ) საყრდენ წერტილში ან საყრდენი ხაზზე მდებარე სხეულების სტაბილურობა.(სლაიდები 10–17)

დასკვნა:სხეულის მდგრადობისთვის, რომელიც მდებარეობს ერთ წერტილში ან საყრდენი ხაზში, აუცილებელია, რომ სიმძიმის ცენტრი იყოს საყრდენი წერტილის (ხაზის) ქვემოთ.

გ) ბრტყელ ზედაპირზე მდებარე სხეულების სტაბილურობა.

(სლაიდი 18)

1) საყრდენი ზედაპირი- ეს ყოველთვის არ არის ზედაპირი, რომელიც კონტაქტშია სხეულთან (მაგრამ ის, რომელიც შემოიფარგლება მაგიდის, სამფეხის ფეხების დამაკავშირებელი ხაზებით)

2) სლაიდის ანალიზი „ელექტრონული გაკვეთილები და ტესტები“, დისკი „მუშაობა და სიმძლავრე“, გაკვეთილი „ბალანსის ტიპები“.

სურათი 1.

1. რით განსხვავდება განავალი? (მხარდაჭერის ზონა)
2. რომელი უფრო სტაბილურია? (უფრო დიდი ფართობით)
3. რით განსხვავდება განავალი? (სიმძიმის ცენტრის მდებარეობა)
4. რომელია ყველაზე სტაბილური? (სიმძიმის რომელი ცენტრია დაბალი)
5. რატომ? (რადგან მისი დახრილობა შესაძლებელია უფრო დიდ კუთხით გადახრის გარეშე)

3) ექსპერიმენტი გადახრის პრიზმით

1. დაფაზე დავდოთ პრიზმა ქლიავის ხაზით და დავიწყოთ მისი თანდათან აწევა ერთი კიდით. რას ვხედავთ?
2. სანამ ქლიავის ხაზი კვეთს საყრდენით შემოზღუდულ ზედაპირს, წონასწორობა შენარჩუნებულია. მაგრამ როგორც კი ვერტიკალური ხაზი, რომელიც გადის სიმძიმის ცენტრში, იწყებს გასვლას საყრდენი ზედაპირის საზღვრებს მიღმა, რა არ იშლება.

ანალიზი სლაიდები 19–22.

დასკვნები:

1. სხეული, რომელსაც აქვს ყველაზე დიდი საყრდენი არე, სტაბილურია.
2. ერთი და იგივე არეალის ორი სხეულიდან ის, რომლის სიმძიმის ცენტრი უფრო დაბალია, სტაბილურია, რადგან მისი დახრილობა შესაძლებელია დიდი კუთხით გადაბრუნების გარეშე.

ანალიზი სლაიდები 23–25.

რომელი გემებია ყველაზე სტაბილური? რატომ? (რომელშიც ტვირთი მდებარეობს სათავსოებში და არა გემბანზე)

რომელი მანქანებია ყველაზე სტაბილური? რატომ? (მოხვევისას მანქანების სტაბილურობის გასაზრდელად გზის ზედაპირი დახრილია შემობრუნების მიმართულებით.)

დასკვნები:წონასწორობა შეიძლება იყოს სტაბილური, არასტაბილური, გულგრილი. რაც უფრო დიდია საყრდენი ფართობი და რაც უფრო დაბალია სიმძიმის ცენტრი, მით მეტია სხეულების სტაბილურობა.

III. ცოდნის გამოყენება სხეულების სტაბილურობის შესახებ.

1. რომელ სპეციალობებს სჭირდებათ ყველაზე მეტად სხეულის წონასწორობის ცოდნა?
2. სხვადასხვა სტრუქტურების დიზაინერები და კონსტრუქტორები (მაღლივი შენობები, ხიდები, სატელევიზიო ანძები და ა.შ.)
3. ცირკის შემსრულებლები.
4. მძღოლები და სხვა პროფესიონალები.

(სლაიდები 28–30)

1. რატომ უბრუნდება "ვანკა-ვსტანკა" წონასწორობის მდგომარეობას სათამაშოს ნებისმიერ დახრილობაზე?
2. რატომ დგას პიზის დახრილი კოშკი დახრილი და არ ეცემა?
3. როგორ ინარჩუნებენ წონასწორობას ველოსიპედისტები და მოტოციკლისტები?

დასკვნები გაკვეთილიდან:

1. წონასწორობის სამი ტიპი არსებობს: სტაბილური, არასტაბილური, გულგრილი.
2. სხეულის სტაბილური პოზიცია, რომელშიც მისი პოტენციური ენერგია მინიმალურია.
3. რაც უფრო დიდია საყრდენი ფართობი და რაც უფრო დაბალია სიმძიმის ცენტრი, მით მეტია სხეულების სტაბილურობა ბრტყელ ზედაპირზე.

Საშინაო დავალება: § 54 – 56 (G.Ya. Myakishev, B.B. Bukhovtsev, N.N. Sotsky)

გამოყენებული წყაროები და ლიტერატურა:

1. გ.ია. მიაკიშევი, ბ.ბ. ბუხოვცევი, ნ.ნ.ფიზიკა. მე-10 კლასი.
2. ფილმის ზოლი „მდგრადობა“ 1976 წელი (ჩემ მიერ სკანირებული ფილმის სკანერზე).
3. დისკი "სხეულების მოძრაობა და ურთიერთქმედება" "ელექტრონული გაკვეთილები და ტესტები".
4. დისკი "მუშაობა და ძალა" "ელექტრონული გაკვეთილები და ტესტები".

განმარტება

სტაბილური ბალანსი- ეს არის წონასწორობა, რომელშიც წონასწორობის პოზიციიდან ამოღებული და თავისთვის დარჩენილი სხეული უბრუნდება თავის წინა პოზიციას.

ეს ხდება იმ შემთხვევაში, თუ სხეულის უმნიშვნელო გადაადგილებით ნებისმიერი მიმართულებით საწყისი პოზიციიდან, სხეულზე მოქმედი ძალების შედეგი ხდება ნულოვანი და მიმართულია წონასწორობის პოზიციისკენ. მაგალითად, ბურთი, რომელიც დევს სფერული დეპრესიის ბოლოში (ნახ. 1 ა).

განმარტება

არასტაბილური წონასწორობა- ეს არის წონასწორობა, რომელშიც წონასწორული მდგომარეობიდან ამოღებული და თავისთვის დატოვებული სხეული წონასწორული პოზიციიდან კიდევ უფრო გადაიხრება.

ამ შემთხვევაში, სხეულის მცირედი გადაადგილებით წონასწორული პოზიციიდან, მასზე მიმართული ძალების შედეგი არ არის ნულოვანი და მიმართულია წონასწორული პოზიციიდან. მაგალითად არის ბურთი, რომელიც მდებარეობს ამოზნექილი სფერული ზედაპირის ზედა წერტილში (ნახ. 1 ბ).

განმარტება

ინდიფერენტული წონასწორობა- ეს არის წონასწორობა, რომლის დროსაც წონასწორული მდგომარეობიდან გამოყვანილი და თავისთვის მიტოვებული სხეული არ ცვლის თავის პოზიციას (მდგომარეობას).

ამ შემთხვევაში, სხეულის მცირე გადაადგილებით საწყისი პოზიციიდან, სხეულზე მიყენებული ძალების შედეგი ნულის ტოლი რჩება. მაგალითად, ბრტყელ ზედაპირზე დაყრილი ბურთი (ნახ. 1c).

ნახ.1. სხეულის ბალანსის სხვადასხვა სახეობა საყრდენზე: ა) სტაბილური წონასწორობა; ბ) არასტაბილური წონასწორობა; გ) ინდიფერენტული წონასწორობა.

სხეულების სტატიკური და დინამიური ბალანსი

თუ ძალების მოქმედების შედეგად სხეული არ იღებს აჩქარებას, ის შეიძლება იყოს მოსვენებულ მდგომარეობაში ან თანაბრად მოძრაობდეს სწორი ხაზით. აქედან გამომდინარე, შეგვიძლია ვისაუბროთ სტატიკურ და დინამიურ წონასწორობაზე.

განმარტება

სტატიკური ბალანსი- ეს არის წონასწორობა, როდესაც გამოყენებული ძალების გავლენის ქვეშ სხეული ისვენებს.

დინამიური ბალანსი- ეს არის წონასწორობა, როდესაც ძალების მოქმედების გამო სხეული არ ცვლის თავის მოძრაობას.

კაბელებზე დაკიდებული ფარანი ან შენობის ნებისმიერი სტრუქტურა სტატიკური წონასწორობის მდგომარეობაშია. როგორც დინამიური წონასწორობის მაგალითი, განვიხილოთ ბორბალი, რომელიც ბრტყელ ზედაპირზე ტრიალებს ხახუნის ძალების არარსებობის შემთხვევაში.