მიმდებარე და ვერტიკალური კუთხეები. გაკვეთილი: „მიმდებარე და ვერტიკალური კუთხეები

გაკვეთილის მიზანი:გააცნოს კონცეფცია "მიმდებარე და ვერტიკალური კუთხეები"

ამოცანები:

• 
  საგანმანათლებლო- კუთხის კონცეფციის კონსოლიდაცია, კუთხეების გაზომვისა და აგების წესები; გამოვლენილი ნიშნებიდან გამომდინარე, ასწავლეთ კუთხეების ჯგუფებად გაერთიანება; ასწავლოს მოქმედებების ალგორითმის საფუძველზე კვლევის ჩატარება, მიღებული მონაცემების ანალიზი და დასკვნების გამოტანა; კლასში მიღებული ცოდნის კონსოლიდაცია პრობლემების გადაჭრით.
• 
  განმავითარებელი– მულტიმედიური პრეზენტაციისა და ელექტრონული სახელმძღვანელოს შესაძლებლობების გამოყენება შესასწავლი საგნისადმი ინტერესის გაზრდის მიზნით; გეომეტრიული ინტუიციის განვითარება, გაკვეთილის ყველა ეტაპზე ყურადღების კონტროლის უნარი.
• 
  საგანმანათლებლო– განავითაროს სიყვარული სამშობლოსადმი, სიყვარული დედის მიმართ, განავითაროს სისუფთავე და შრომისმოყვარეობა.

გაკვეთილის მიმდინარეობა

1. 
   ორგანიზაციული მომენტი(სლაიდი 1)

რათა ყველამ ნახოს და იცოდეს მეტი,

რაც მამამ და ბაბუამ ნახეს და იცოდნენ"

ვიწყებთ გეომეტრიის გაკვეთილს. ყველას მაგიდაზე: სახელმძღვანელო, რვეული, ფანქარი, კალამი, სახაზავი, პროტრაქტორი.

(ემოციური განწყობა გაკვეთილზე. ევგენი ვინოკუროვის ლექსი.)

(სლაიდები 2)

პეტრე, შენ ააშენე ქალაქი
მკვდრებისთვის არა - ცოცხლებისთვის?
ჭიშკარს ძლიერი წვიმა გადის
გაქვავებული მცველები.

პარკების ჩიხები უძრავია.

(სლაიდი 3)

მარცხნივ ლომები არიან. და ლომები მარჯვნივ.

II. ემზადება თემის გასაგებად

დღეს ჩვენ ვაგრძელებთ მოგზაურობას "გეომეტრიის" ქვეყანაში და ვსაუბრობთ კუთხეებზე. მაგრამ რა კუთხით ვსაუბრობთ დღეს? ჩვენ ვისაუბრებთ, შევეცდებით გავარკვიოთ ჩვენი გაკვეთილის განმავლობაში. ამისათვის ჩვენ გამოვიყვანთ რაღაც ღირებულს მეხსიერების არდადეგებიდან და აღფრთოვანებული ვიქნებით ღრმა ცოდნა, რომელიც გამოგვადგება დღეს გაკვეთილზე. ( სლაიდი 4 – გაკვეთილის გეგმა). გასათბობად, გირჩევთ გააკეთოთ "ბრეინშტორმი"დიახ, სულ დამავიწყდა მეთქვა, რომ კლასში შეიძლება შეცდომის დაშვება, ეჭვის გაჩენა და კონსულტაცია. მაგრამ ამავე დროს, თქვენ უნდა დააყენოთ საკუთარი თავი (სლაიდი 5) "გაიგეთ და იყავით პირველი, ვინც დაინახავთ გადაწყვეტის პროგრესს და გაეცით სწორი პასუხი". თითოეულ სწორ პასუხს თქვენს საკონტროლო ფურცელზე მონიშნავთ. ეს დამეხმარება გაკვეთილის შეფასებაში. ვინც მეტ ქულას დააგროვებს მიიღებს უკეთესი ქულა. წახალისების გარეშე არავინ დარჩება. ასე რომ, აქ მივდივართ.

III. მოსწავლეთა ცოდნის განახლება. "ბრეინშტორმი"(სლაიდი 6)

- გავიხსენოთ, რომელ ფიგურაზე ვისაუბრეთ გასულ გაკვეთილზე? (ბოლო გაკვეთილზე ვისაუბრეთ ნახშირზე)

რომელ ფიგურას ეწოდება კუთხე? ( გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შედგება ერთი წერტილიდან გამომავალი ორი სხივისგან, კუთხე ეწოდება)

- რა არის კუთხის წვეროები და გვერდები? ( საერთო წერტილიეწოდება კუთხის წვერო, ხოლო სხივები გვერდები)

- )

რა ინსტრუმენტი გამოიყენება კუთხეების გასაზომად? კუთხეები იზომება პროტრატორის გამოყენებით)

(სლაიდი 7)

- რა არის ეს კუთხეები?
კუთხე, რომლის გრადუსის ზომა 90-ზე ნაკლებია 0 მწვავე)

(კუთხე, რომლის გრადუსის ზომა 90-ზე მეტია, მაგრამ 180-ზე ნაკლები 0 , დაურეკა სულელი)

რომელ კუთხეებს ჰქვია მართი კუთხეები? კუთხეს მართალი ეწოდება, თუ ის 90-ია 0 )

-რას ჰგავს მართი კუთხე?

კუთხე ეწოდება განვითარებულს, თუ ის უდრის 180-ს 0)

(სლაიდი 8)

ახლა ჩვენ გადავჭრით რამდენიმე პრობლემას კუთხის ხარისხის გაზომვის გამოთვლაზე. ყველა ირჩევს დავალებას თავისი ძალების მიხედვით. 1 დონისთვის, ეს არის ნახაზი 1-ის პრობლემა. ჩვენ გავაანალიზებთ მის გადაწყვეტას მე-2 დონისთვის, დავალება მოცემულია ნახატ 2-ში. მე ვთავაზობ მის გადაჭრას თავად. ვინც ირჩევს დამოუკიდებელი გადაწყვეტილება, ყველა მიიღებს პლიუსს თავის ქულათა ბარათზე, თუ პასუხი სწორია. ისინი, ვინც ირჩევენ დავალებას ნახაზ 2-ში, დამოუკიდებლად მუშაობენ. ვინ ირჩევს პრობლემას 1 ნახატზე და სურს გადაჭრას იგი დაფაზე.

რამდენ კუთხეს ვხედავთ სურათზე?( სურათზე არის 3 კუთხე)

-ნდაურეკე და აჩვენე? ( კუთხე AOS, კუთხე AOB, კუთხე BOS)

რა შეგვიძლია ვთქვათ BOS კუთხის ხარისხის ზომაზე?

მოდით ჩავწეროთ ეს და ვიპოვოთ BOC კუთხის ხარისხის ზომა. დავწეროთ პასუხი.

მოდით შევამოწმოთ ჩვენი პასუხები. ვინც დამოუკიდებლად იმუშავა, შეაფასეთ მათი ნამუშევარი, თუ პასუხები იგივეა, მაშინ ჩანაწერის ბარათზე დადეთ პლუსი.

ასე რომ, შევაჯამოთ.

(სლაიდი 9)

რის საფუძველზე ვყოფთ კუთხეებს? ( კუთხეები იყოფა ზომის მიხედვით)

რა კუთხეებია ეს (ოჰ ).

IV. პრაქტიკული სამუშაოკვლევის ბუნება

– ახლა გავეცნოთ კუთხეების მეორე ჯგუფს და შევეცადოთ გავარკვიოთ, რა კრიტერიუმებით შეგვიძლია მისი გამოყოფა. აქ არის ბარათები კუთხეების გამოსახულებით. თქვენი ამოცანაა შეასრულოთ შემდეგი ნაბიჯები N1 ბარათისთვის.

(სლაიდი 10 – მოქმედებების ალგორითმი).
-რა დასკვნა გამოიტანე? ( კუთხეების ჯამი 180 გრადუსია)

(სლაიდი 11)

რას დაარქმევთ ამ კუთხეებს?( დაკავშირებული)

რის საფუძველზე დავადგინეთ ამ ტიპის კუთხე? ( ჩვენ დავადგინეთ ამ ტიპის კუთხეები მათი ფარდობითი პოზიციიდან გამომდინარე)

მოდით ჩამოვწეროთ განმარტება

(სლაიდი 12)

ააგეთ მკვეთრი, მართი და ბლაგვი კუთხეები. გააგრძელეთ ერთ-ერთი მხარე და მიუთითეთ მიღებული მიმდებარე კუთხეები.

3 მოსწავლე დაფაზე, დანარჩენი რვეულში.

ნებისმიერი კუთხისთვის შეგიძლიათ ააგოთ მიმდებარე კუთხე? (დიახ)

(სლაიდი 13)
- რა დასკვნის გაკეთება შეიძლება (U თავები თანაბარია)

(სლაიდი 14)

რას დაარქმევდით ამ ტიპისკუთხეები?( ვერტიკალური)

(სლაიდი 15)

შეხედეთ ვერტიკალური კუთხეების აგების წესს და დაასრულეთ კონსტრუქცია ბლოკნოტში.

(სლაიდი 16)
-შეხედეთ ნახატებს და დაასახელეთ ვერტიკალური კუთხეები

(სლაიდი 17)
- დავუბრუნდეთ დიაგრამას, რომელიც გაკვეთილის დასაწყისში დავათვალიერეთ და შევაჯამოთ.

(სლაიდი 18)
-რა კრიტერიუმებით ვყოფთ კუთხეებს? (კუთხეები იყოფა კუთხის ზომისა და მათი შედარებითი პოზიციის მიხედვით)

რა კუთხეები ვიცით ხარისხის საზომით? ხარისხის საზომის სიდიდის მიხედვით კუთხეებია: მახვილი, ბლაგვი, სწორი, გაშლილი)

რა შედარებითი კუთხეები შევისწავლეთ დღეს? (ფარდობითი პოზიციის მიხედვით კუთხეებია: მიმდებარე და ვერტიკალური).

არ დაგავიწყდეთ თქვენი სწორი პასუხების მონიშვნა თქვენს ქულათა ბარათზე.

უფლება. "მიმდებარე და ვერტიკალური კუთხეები." შეხედეთ, რამდენად ნათლად ჩანს ეს პეტერბურგში.

(სლაიდი 19)
ვ. ფიზიკური აღზრდის წუთი.

დაიღალე? მოდი დავისვენოთ.

(სლაიდი 20)

1. თავი წრეში მიდის.

2. მკლავები გვერდებზე (სრული კუთხე, მართი კუთხე).

3.ხელები მეზობელთან. (მიმდებარე კუთხეები).

4. ზურგით მეზობლისკენ (ვერტიკალური კუთხეები).

ვმე. მუშაობა ZUN-ის ტესტირებაზე. სახელოსნო

ახლა ვნახოთ პრაქტიკაში, როგორ ისწავლეთ დღევანდელი გაკვეთილის თემა.

1.ზეპირი ნამუშევარი

(სლაიდი 21).

ჩაწერეთ კითხვებზე პასუხები ბლოკნოტში. შეამოწმეთ თქვენი პასუხები. ჩანაწერის ფურცელზე მონიშნეთ სწორი პასუხები.

2. პრობლემების გადაჭრა.

ახლა კი ისევ ჯგუფებად დავყოფთ. თითოეული ჯგუფი ირჩევს დავალებას თავისი ძალის მიხედვით.

დონე 1 - ატარებს ტესტს დაფაზე.

(სლაიდები 22, 23, 24)

დონე 2 - დამოუკიდებლად ხსნის ამოცანებს სახელმძღვანელოდან 24 გვერდი No58 (ა, ბ) და No66 (ა). პასუხების შემოწმება შეგიძლიათ აქ უკანა მხარებარათები, რომლებიც თქვენს მაგიდაზეა.

დონე 3 - ატარებს ტესტს ელექტრონული საგანმანათლებლო პროგრამიდან.( კომპიუტერებზე მუშაობა)

თითოეულ თქვენგანს შეუძლია კიდევ 3 პლუსის მიღება.

ჩანაწერის ფურცელზე მონიშნეთ სწორი პასუხები.

რა მითითებები მივეცით საკუთარ თავს გაკვეთილზე?

(სლაიდი 25)

მოდით დავთვალოთ უპირატესობები. ვინ გაიტანა 10 პლუსი? თქვენ მიიღებთ "5" შეფასებას. ვინ გაიტანა 7 პლუსი? თქვენ მიიღებთ "4" შეფასებას. დანარჩენები, ვფიქრობ, სახლში შეისწავლიან ამ თემას და მომავალ გაკვეთილზე კარგ შეფასებებს მიიღებენ.

VI. საბოლოო ანარეკლი

- ჩვენი მოგზაურობა დასრულდა.

რა ფიგურაზე ვისაუბრეთ კლასში?

რა ახალი ისწავლეთ დღეს კლასში?

სად გვინახავს ცხოვრებაში მიმდებარე და ვერტიკალური კუთხეები?

(სლაიდი 26)

(სლაიდი 27)

თუ ყველაფერი გესმით, წითელი კუთხეებით ყვავილები მიამაგრეთ ჩვენს კალათში, თუ რამემ დაგაფიქრათ - ყვითელიდა თუ არის რაიმე შეკითხვა - ლურჯი. ამ თაიგულს ჩვენ დედებს, ბებიებს, დებს ვაჩუქებთ კვირას დედის დღესთან დაკავშირებით.

VII. საშინაო დავალების ჩაწერა.

ახლა დავწეროთ ჩვენი საშინაო დავალება

(სლაიდი 28)

1.გვ. 11, კითხვები 17,18.

2. ამოცანების ამოხსნა: დონე 1-No 42,45,46 სამუშაო რვეულიდან

დონე 2 - No64, No61 (ა, ბ) სახელმძღვანელოდან

3. შემოქმედებითი დავალება: დაწერეთ მოთხრობა მიმდებარე და ვერტიკალურ კუთხეებზე.

- მადლობა ყველას გაკვეთილისთვის!

(სლაიდი 29)

1) – გავიხსენოთ რა ფიგურაზე ვისაუბრეთ წინა გაკვეთილზე? (ნახშირის შესახებ)

- რა არის კუთხეების საზომი ერთეული? კუთხეების საზომი ერთეული არის გრადუსი)
- რა ჰქვია კუთხის გრადუსულ ზომას? დადებითი რიცხვი, რომელიც გვიჩვენებს რამდენჯერ ჯდება გრადუსი და მისი ნაწილები მოცემულ კუთხეში)
– რის საფუძველზე ვყოფთ კუთხეებს ჯგუფებად? (კუთხის მიხედვით)

- რა არის ეს კუთხეები? (მწვავე, ბლაგვი, სწორი, განლაგებული)

– რა კუთხეებს უწოდებენ მახვილს? ( კუთხე, რომლის გრადუსის ზომა 90-ზე ნაკლებია 0 )

შეარჩიეთ მისი სურათი თქვენთვის შემოთავაზებული კუთხის ვარიანტებიდან.

რომელ კუთხეებს უწოდებენ ბლაგვი? (კუთხე, რომლის გრადუსის ზომა 90-ზე მეტია, მაგრამ 180-ზე ნაკლები 0 )

სურათის ჩვენება ბლაგვი კუთხე.

რომელ კუთხეებს უწოდებენ მართკუთხას (კუთხე 90 0)

-რას ჰგავს მართი კუთხე?

რომელ კუთხეებს უწოდებენ შემობრუნებულ კუთხეებს? (კუთხე, რომლის გრადუსის ზომაა 180 0)

-როგორ ავაშენოთ სწორი კუთხე?(დახაზეთ სწორი ხაზი, მონიშნეთ წვერო, მოაწერეთ გვერდები)

2) -რა შეგვიძლია ვთქვათ BOS კუთხის ხარისხის ზომაზე?( მისი ხარისხის ზომა უდრის სხვაობას AOS და AOB კუთხეების გრადუსის ზომებს შორის)

რატომ (სხივი OB ყოფს კუთხეს AOS ორ კუთხედ: AOB და BOC)

- რამდენს მივიღებთ? ?(49 0 )

- რა შეგვიძლია ვთქვათ კუთხეზე SON ? (მისი ხარისხი არის 180 0 მინუს AOC კუთხის ხარისხის ზომა და მინუს კუთხის გრადუსული ზომაBON)

- რატომ 180 0 მინუს? რადგან კუთხე AOB არის საპირისპირო კუთხე და მისი გრადუსის საზომია 180 0 )

რამდენს ვიღებთ? ( 94 0 )

ასე რომ, შევაჯამოთ. კუთხეები, კუთხის ზომის მიხედვით, იყოფა: რა? სწორი, ბლაგვი, სწორი და გაშლილი).

3)კუთხეები, კუთხის ზომის მიხედვით, იყოფა: ( მკვეთრი, ბლაგვი, სწორი და განლაგებული). მათი მიხედვით შედარებითი პოზიცია on (მიმდებარე და ვერტიკალური).

მიზნები:

1. დიდაქტიკური:

შეამოწმეთ მოსწავლეების ოსტატობის დონე თემის „მიმდებარე და ვერტიკალური კუთხეები“.

2. საგანმანათლებლო:

ხელი შეუწყოს სტუდენტებს კომუნიკაციის უნარების შეძენას ერთობლივი მუშაობისას;

მათი შემოქმედებითი აზროვნების გააქტიურება;

გააგრძელეთ მოსწავლეებში საგნის შესწავლის მოტივაციის ჩამოყალიბება.

3. განმავითარებელი:

ფორმა პიროვნული თვისებები, მიზნად ისახავს მეგობრულ, ტოლერანტულ დამოკიდებულებას ბუნების, ადამიანების, ცხოვრების მიმართ;

ხელი შეუწყოს ინიციატივისა და დამოუკიდებლობის განვითარებას საქმიანობაში.

გაკვეთილის ტიპი:ინტეგრირებული გაკვეთილი – ცოდნის განზოგადება და სისტემატიზაცია.

აღჭურვილობა:

კომპიუტერი;

პროექტორი, ეკრანი;

მაგნიტური დაფა;

დარიგების მასალა.

მოსამზადებელი ეტაპი.

განხილვამდე ორი კვირით ადრე ოფისის სტენდზე განთავსდა კითხვები და ისეთი დავალებები, რომლებიც წარმოდგენილი იქნება მიმოხილვაზე.

დაფის დიზაინი.

„გეომეტრია არის ყველაფრის ცოდნა“ (პლატონი);

„გეომეტრიის უზარმაზარ ბაღში ყველა იპოვის თავისი გემოვნების თაიგულს“ (დ. გილბერტი).

მომზადდა ცოდნის მიმოხილვის ეკრანი (თითოეული ტიპის სამუშაოსთვის). ეკრანი დაკიდებულია თვალსაჩინო ადგილას. განხილვისას ჟიურის ერთ-ერთი წევრი აფასებს თითოეულ ნამუშევარს. გაკვეთილის ბოლოს ენიჭება საბოლოო შეფასება.

ცოდნის საჯარო განხილვის პროგრესი

მასწავლებლის გახსნის სიტყვა. (აცხადებს თემას, ადგენს მიზანს, აცნობებს განხილვის პროცესს.)

განხილვის გეგმა.

ეტაპი I(მუშაობა ვარიანტებზე).

ვარიანტი 1 მუშაობს ფრონტალურად დასმულ კითხვებზე.

ვარიანტი 2 - წყვეტს პრობლემებს ბარათების გამოყენებით.

II ეტაპი(მუშაობა ვარიანტებზე).

ვარიანტი 1 დამოუკიდებლად აგვარებს პრობლემებს ბარათების გამოყენებით.

ვარიანტი 2 - მუშაობს ფრონტალურად დასმულ კითხვებზე.

III ეტაპი(მთელი კლასი მუშაობს).

გეომეტრიულ ნახაზებზე მუშაობა.

IV ეტაპი(მთელი კლასი მუშაობს).

გეომეტრიული კარნახი.

V ეტაპი.

ერთი დავალების აუქციონი (იპოვეთ რაც შეიძლება მეტი მომიჯნავე კუთხე, ვინც დაასახელა უკანასკნელი იგებს პრიზს).

ეტაპი VI.

მიმოხილვის შეჯამება. კროსვორდის ამოხსნა (წყვილებში მუშაობა).

ოფციონებთან მუშაობა(ერთი ჯგუფი მუშაობს ზეპირად, მეორე კი ბარათების გამოყენებით).

ვარიანტი 1(მუშაობს ზეპირად).

რომელ კუთხეებს უწოდებენ მიმდებარედ?

რა არის მიმდებარე კუთხეების ჯამი?

დაამტკიცეთ თეორემა მიმდებარე კუთხეების ჯამის შესახებ.

რომელ კუთხეს ეწოდება მართალი (მწვავე, ბლაგვი)?

მართალია, რომ ბლაგვი კუთხის მიმდებარე კუთხე ბლაგვია; მართი კუთხის მიმდებარე კუთხე არის მართი კუთხე?

რომელ კუთხეებს უწოდებენ ვერტიკალურს?

ახსენით თეორემა ვერტიკალური კუთხეების შესახებ.

დაამტკიცეთ თეორემა ვერტიკალური კუთხეების შესახებ.

დაამტკიცეთ, რომ თუ ორი წრფის გადაკვეთისას ერთი კუთხე სწორია, მაშინ დანარჩენი სამი კუთხეც მართია.

შეიძლება თუ არა ოთხი მახვილი კუთხის ჩამოყალიბება, როდესაც ორი სწორი ხაზი იკვეთება?

( დროს ზეპირი სამუშაოჯგუფი, ერთი მოსწავლე ამზადებს (ამტკიცებს) დაფაზე თეორემის მტკიცებულებას მიმდებარე კუთხეების ჯამის შესახებ.)

ვარიანტი 2(აგვარებს პრობლემებს).

ბარათი No1.

იპოვეთ მიმდებარე კუთხეები, თუ ერთი მათგანი 4-ჯერ მეტია მეორეზე.

ორი სწორი ხაზის გადაკვეთისას მიღებული ერთი კუთხე მეორეზე 20°-ით ნაკლებია. იპოვეთ ეს კუთხეები.

(ერთი ჯგუფი მუშაობს ბარათების გამოყენებით, მეორე ზეპირად.)

ვარიანტი 1(აგვარებს პრობლემებს).

ბარათი No1.

იპოვეთ მიმდებარე კუთხეები, თუ ერთი მათგანი 5-ჯერ მცირეა მეორეზე.

ორი სწორი ხაზის გადაკვეთისას მიღებული ერთი კუთხე მეორეზე 40°-ით მეტია. იპოვეთ ეს კუთხეები.

ვარიანტი 2 (მუშაობს ზეპირად).

რომელ კუთხეებს უწოდებენ მიმდებარედ?

რა არის მიმდებარე კუთხეების ჯამი?

დაამტკიცეთ თეორემა მიმდებარე კუთხეების ჯამის შესახებ.

რომელ კუთხეს ეწოდება მართალი (მწვავე, ბლაგვი)?

მართალია, რომ ბლაგვი კუთხის მიმდებარე კუთხე ბლაგვია; მართი კუთხის მიმდებარე კუთხე არის მართი კუთხე?

რომელ კუთხეებს უწოდებენ ვერტიკალურს?

ახსენით თეორემა ვერტიკალური კუთხეების შესახებ.

დაამტკიცეთ თეორემა ვერტიკალური კუთხეების შესახებ.

დაამტკიცეთ, რომ თუ ორი წრფის გადაკვეთისას ერთი კუთხე სწორია, მაშინ დანარჩენი სამი კუთხეც მართია.

შეიძლება თუ არა ოთხი მახვილი კუთხის ჩამოყალიბება, როდესაც ორი სწორი ხაზი იკვეთება?

(ჯგუფის ზეპირი მუშაობის დროს ერთი მოსწავლე ამზადებს (ამტკიცებს) დაფაზე ვერტიკალური კუთხეების შესახებ თეორემის დადასტურებას.)

მუშაობა მზა გეომეტრიული დიზაინისგან.

გამოთვალეთ კუთხეები:

გეომეტრიული კარნახი(ორივე ვარიანტი იწერება ერთდროულად).

დაასრულეთ ნახატი აღწერილობის მიხედვით. ხაზი, რომელიც კვეთს ხაზს ვ.

მონიშნეთ მიღებული კუთხეები.

ჩამოწერეთ ვერტიკალური კუთხეების წყვილი.

ჩამოწერეთ მიმდებარე კუთხეების წყვილი.

განაგრძე წინადადება:

თუ ორი კუთხე ტოლია, მაშინ მათი მიმდებარე კუთხეები...;

თუ კუთხე არ არის შებრუნებული, მაშინ მისი ხარისხის საზომია ...

დახაზეთ კუთხეები: სწორი, ბლაგვი, მწვავე.

ერთი დავალების აუქციონი.

იპოვეთ რაც შეიძლება მეტი მიმდებარე კუთხე (სურათი 5). ვინც ბოლო დაასახელა, პრიზს იღებს.

სურათი 5

სანამ კომისია აჯამებს შედეგებს, მოსწავლეები ხსნიან კროსვორდის თავსატეხს.

კროსვორდი.

კუთხეები, რომელთა გვერდები დამატებითი ნახევრად მარჯვენაა.

ხაზები, რომლებიც დევს სიბრტყეში და არ იკვეთება.

განცხადება ფიგურების თვისებების შესახებ, რომელიც უნდა დადასტურდეს.

საერთო წარმოშობის ორი სხივის გეომეტრიული ფიგურა.

ოთხკუთხედი, რომელშიც ყველა კუთხე მართია.

კუთხე ტოლია 90°.

ნაწილები, რომლებშიც წერტილი ყოფს რომელიმე წრფეს.

მკაცრი ლოგიკური მსჯელობა.

კუთხეების მქონე საერთო მხარე, ხოლო მეორე მხარეები დამატებითი ნახევარხაზებია.

კუთხეების საზომი ინსტრუმენტი.

განცხადება ფიგურების თვისებების შესახებ, რომლებიც მიღებულია მტკიცებულების გარეშე.

პრობლემები თემაზე „ვერტიკალური და მიმდებარე კუთხეები“.

იპოვეთ კუთხეების მიმდებარე კუთხეები 35°, 90°.

იპოვეთ მიმდებარე კუთხეები, თუ ერთი 40°-ით ნაკლებია მეორეზე.

იპოვეთ მიმდებარე კუთხეები, თუ ერთი მათგანი 3-ჯერ დიდია მეორეზე.

იპოვეთ მიმდებარე კუთხეები, თუ არსებობს ხარისხის ზომებითანაფარდობა არის 2:4.

ერთ-ერთი კუთხე, რომელიც მიიღება ორი სწორი ხაზის გადაკვეთისას არის 50°. იპოვეთ ეს კუთხეები.

რატომ კუთხის ტოლითუ ორი მიმდებარე კუთხე ემატება 200°-ს.

ერთი კუთხე, რომელიც მიიღება ორი სწორი ხაზის გადაკვეთისას, მეორეზე 5-ჯერ დიდია. იპოვეთ ეს კუთხეები.

ლიტერატურა:

M. E. Kozina, O. M. Fadeeva. არატრადიციული გაკვეთილები. მათემატიკა. 5-11 კლასები. – ვოლგოგრადი: მასწავლებელი, 2006 წ.

ა.ს. ბელკინი. წარმატებული სიტუაცია. როგორ შევქმნათ იგი. – მ.: „განმანათლებლობა“, 1991 წ.

ა.ვ.პოგორელოვი. "გეომეტრია. 7 - 9".

A.P. Ershova, V.V. გოლობოროდკო, ა.ს. ერშოვა. ალგებრა. გეომეტრია. დამოუკიდებელი და კონტროლირებადი

თავი I.

ძირითადი ცნებები.

§11. მიმდებარე და ვერტიკალური კუთხეები.

1. მიმდებარე კუთხეები.

თუ რომელიმე კუთხის გვერდს გავაგრძელებთ მის წვეროს მიღმა, მივიღებთ ორ კუთხეს (სურ. 72): / და მზე და / SVD, რომელშიც ერთი მხარე BC არის საერთო, ხოლო დანარჩენი ორი A და BD ქმნიან სწორ ხაზს.

ორ კუთხეს, რომლებშიც ერთი მხარე საერთოა, ხოლო დანარჩენი ორი სწორ ხაზს ქმნის, მიმდებარე კუთხეები ეწოდება.

მომიჯნავე კუთხეების მიღება შეიძლება ასეც: თუ სხივს დავხატავთ წრფის რომელიღაც წერტილიდან (მოცემულ წრფეზე არ დევს), მივიღებთ მომიჯნავე კუთხეებს.
მაგალითად, / ADF და / FDВ - მიმდებარე კუთხეები (სურ. 73).

მიმდებარე კუთხეებს შეიძლება ჰქონდეთ მრავალფეროვანი პოზიციები (სურ. 74).

მიმდებარე კუთხეები ემატება სწორ კუთხეს, ასე რომ ორი მიმდებარე კუთხის უმმა ტოლია 2დ.

მაშასადამე, მართი კუთხე შეიძლება განისაზღვროს, როგორც მისი მიმდებარე კუთხის ტოლი კუთხე.

თუ ვიცით ერთი მიმდებარე კუთხის ზომა, შეგვიძლია ვიპოვოთ მის მიმდებარე კუთხის ზომა.

მაგალითად, თუ ერთ-ერთი მიმდებარე კუთხე არის 3/5 დ, მაშინ მეორე კუთხე ტოლი იქნება:

2დ- 3 / 5 დ= ლ 2/5 დ.

2. ვერტიკალური კუთხეები.

თუ კუთხის გვერდებს გავაგრძელებთ მის წვეროს მიღმა, მივიღებთ ვერტიკალურ კუთხეებს. 75-ე ნახატზე EOF და AOC კუთხეები ვერტიკალურია; კუთხეები AOE და COF ასევე ვერტიკალურია.

ორ კუთხეს ვერტიკალური ეწოდება, თუ ერთი კუთხის გვერდები მეორე კუთხის გვერდების გაგრძელებაა.

დაე / 1 = 7 / 8 დ(სურათი 76). მის მიმდებარედ / 2 უდრის 2-ს დ- 7 / 8 დ, ანუ 1 1/8 დ.

ანალოგიურად შეგიძლიათ გამოთვალოთ რის ტოლია ისინი / 3 და / 4.
/ 3 = 2დ - 1 1 / 8 დ = 7 / 8 დ; / 4 = 2დ - 7 / 8 დ = 1 1 / 8 დ(დიაგრამა 77).

ჩვენ ამას ვხედავთ / 1 = / 3 და / 2 = / 4.

თქვენ შეგიძლიათ გადაჭრათ კიდევ რამდენიმე იგივე პრობლემა და ყოველ ჯერზე მიიღებთ ერთსა და იმავე შედეგს: ვერტიკალური კუთხეები ერთმანეთის ტოლია.

თუმცა, იმისთვის, რომ დარწმუნდეთ, რომ ვერტიკალური კუთხეები ყოველთვის ერთმანეთის ტოლია, საკმარისი არ არის ინდივიდუალური განხილვა რიცხვითი მაგალითები, ვინაიდან კონკრეტული მაგალითების საფუძველზე გამოტანილი დასკვნები ზოგჯერ შეიძლება იყოს მცდარი.

საჭიროა ვერტიკალური კუთხეების თვისებების მართებულობის შემოწმება მსჯელობით, მტკიცებით.

მტკიცებულება შეიძლება განხორციელდეს შემდეგნაირად (ნახ. 78):

/ a+/ გ = 2დ;
/ ბ+/ გ = 2დ;

(რადგან მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 2 დ).

/ a+/ გ = / ბ+/ გ

(რადგან ამ ტოლობის მარცხენა მხარეც უდრის 2-ს დდა მისი მარჯვენა მხარეც უდრის 2-ს დ).

ეს თანასწორობა მოიცავს იმავე კუთხეს თან.

თუ ჩვენ ვართ თანაბარი ღირებულებებიგამოვაკლოთ თანაბრად, შემდეგ ის თანაბრად დარჩება. შედეგი იქნება: / ა = / ბ, ანუ ვერტიკალური კუთხეები ერთმანეთის ტოლია.

ვერტიკალური კუთხეების საკითხის განხილვისას ჯერ ავხსენით, რომელ კუთხეებს უწოდებენ ვერტიკალურს, ე.ი. განმარტებავერტიკალური კუთხეები.

შემდეგ ჩვენ გავაკეთეთ განსჯა (განცხადება) ვერტიკალური კუთხეების ტოლობის შესახებ და დავრწმუნდით ამ განსჯის მართებულობაში მტკიცების გზით. ისეთ განაჩენებს, რომელთა მართებულობა უნდა დადასტურდეს, ე.წ თეორემები. ამრიგად, ამ ნაწილში ჩვენ მივეცით ვერტიკალური კუთხეების განმარტება, ასევე დავამტკიცეთ და დავამტკიცეთ თეორემა მათი თვისებების შესახებ.

მომავალში გეომეტრიის შესწავლისას მუდმივად მოგვიწევს თეორემების განმარტებები და მტკიცებულებები.

3. კუთხეების ჯამი, რომლებსაც აქვთ საერთო წვერო.

ნახაზზე 79 / 1, / 2, / 3 და / 4 განლაგებულია ხაზის ერთ მხარეს და აქვს საერთო წვერო ამ ხაზზე. ჯამში ეს კუთხეები ქმნიან სწორ კუთხეს, ე.ი.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2დ.

ნახატზე 80 / 1, / 2, / 3, / 4 და / 5-ს აქვს საერთო წვერო. ამ კუთხეების ჯამი არის სრული კუთხე, ე.ი. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4დ.

სავარჯიშოები.

1. ერთ-ერთი მიმდებარე კუთხე არის 0,72 დ.გამოთვალეთ კუთხე, რომელიც წარმოიქმნება ამ მიმდებარე კუთხეების ბისექტორებით.

2. დაამტკიცეთ, რომ ორი მიმდებარე კუთხის ბისექტრები მართ კუთხეს ქმნიან.

3. დაამტკიცეთ, რომ თუ ორი კუთხე ტოლია, მაშინ მათი მიმდებარე კუთხეც ტოლია.

4. რამდენი წყვილი მიმდებარე კუთხეა ნახაზზე 81?

5. შეიძლება თუ არა მიმდებარე კუთხეების წყვილი ორი მახვილი კუთხისგან შედგებოდეს? ორი ბლაგვი კუთხიდან? სწორი და ბლაგვი კუთხიდან? პირდაპირიდან და მწვავე კუთხე?

6. თუ ერთ-ერთი მიმდებარე კუთხე სწორია, მაშინ რა შეიძლება ითქვას მის მიმდებარე კუთხის ზომაზე?

7. თუ ორი სწორი ხაზის გადაკვეთაზე ერთი კუთხე სწორია, მაშინ რა შეიძლება ითქვას დანარჩენი სამი კუთხის ზომაზე?

ორ კუთხეს მეზობლად უწოდებენ, თუ მათ ერთი გვერდი აქვთ საერთო, ხოლო ამ კუთხის მეორე მხარე არის დამატებითი სხივები. სურათზე 20, კუთხეები AOB და BOC მიმდებარეა.

მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 180°

თეორემა 1. მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 180°.

მტკიცებულება. სხივი OB (იხ. სურ. 1) გადის გაშლილი კუთხის გვერდებს შორის. ამიტომაც ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

თეორემა 1-დან გამომდინარეობს, რომ თუ ორი კუთხე ტოლია, მაშინ მათი მიმდებარე კუთხეები ტოლია.

ვერტიკალური კუთხეები ტოლია

ორ კუთხეს ვერტიკალური ეწოდება, თუ ერთი კუთხის გვერდები მეორის გვერდების დამატებითი სხივებია. ორი სწორი ხაზის გადაკვეთაზე წარმოქმნილი კუთხეები AOB და COD, BOD და AOC, ვერტიკალურია (ნახ. 2).

თეორემა 2. ვერტიკალური კუთხეები ტოლია.

მტკიცებულება. განვიხილოთ ვერტიკალური კუთხეები AOB და COD (იხ. სურ. 2). კუთხე BOD არის AOB და COD თითოეული კუთხის მიმდებარედ. 1 თეორემით ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

აქედან ვასკვნით, რომ ∠ AOB = ∠ COD.

დასკვნა 1. მართი კუთხის მიმდებარე კუთხე არის მართი კუთხე.

განვიხილოთ ორი გადამკვეთი სწორი ხაზი AC და BD (ნახ. 3). ისინი ქმნიან ოთხ კუთხეს. თუ ერთ-ერთი მათგანი სწორია (კუთხე 1 ნახ. 3-ზე), მაშინ დანარჩენი კუთხეებიც მართია (კუთხეები 1 და 2, 1 და 4 მიმდებარეა, 1 და 3 კუთხეები ვერტიკალურია). ამ შემთხვევაში, ისინი ამბობენ, რომ ეს ხაზები იკვეთება სწორი კუთხით და უწოდებენ პერპენდიკულურს (ან ორმხრივ პერპენდიკულურს). AC და BD წრფეების პერპენდიკულარულობა შემდეგნაირად აღინიშნება: AC ⊥ BD.

სეგმენტის პერპენდიკულური ბისექტორი არის წრფე ამ სეგმენტის პერპენდიკულარული და გადის მის შუა წერტილში.

AN - წრფის პერპენდიკულარული

განვიხილოთ სწორი ხაზი a და წერტილი, რომელიც არ არის მასზე (ნახ. 4). დავუკავშიროთ A წერტილი სეგმენტს H წერტილს სწორი a ხაზით. სეგმენტს AN ეწოდება A წერტილიდან a წრფემდე დახატული პერპენდიკულური, თუ ხაზები AN და a პერპენდიკულარულია. H წერტილს პერპენდიკულარულის ფუძე ეწოდება.

სახატავი კვადრატი

შემდეგი თეორემა მართალია.

თეორემა 3. ნებისმიერი წერტილიდან, რომელიც არ დევს წრფეზე, შესაძლებელია ამ წრფეზე პერპენდიკულარულის დახატვა და უფრო მეტიც, მხოლოდ ერთი.

ნახაზზე წერტილიდან სწორ ხაზამდე პერპენდიკულარის დასახატად გამოიყენეთ სახატავი კვადრატი (სურ. 5).

კომენტარი. თეორემის ფორმულირება ჩვეულებრივ შედგება ორი ნაწილისგან. ერთი ნაწილი საუბრობს იმაზე, რაც მოცემულია. ამ ნაწილს თეორემის პირობა ეწოდება. მეორე ნაწილი საუბრობს იმაზე, რაც დასამტკიცებელია. ამ ნაწილს თეორემის დასკვნა ეწოდება. მაგალითად, თეორემა 2-ის პირობაა, რომ კუთხეები ვერტიკალურია; დასკვნა - ეს კუთხეები ტოლია.

ნებისმიერი თეორემა შეიძლება დეტალურად გამოითქვას სიტყვებით ისე, რომ მისი მდგომარეობა იწყება სიტყვით „თუ“ და დასკვნა სიტყვით „მაშინ“. მაგალითად, თეორემა 2 შეიძლება დეტალურად იყოს ჩამოყალიბებული შემდეგნაირად: „თუ ორი კუთხე ვერტიკალურია, მაშინ ისინი ტოლია“.

მაგალითი 1.ერთ-ერთი მიმდებარე კუთხე არის 44°. რის ტოლია მეორე?

გამოსავალი. მოდი, სხვა კუთხის ხარისხიანი ზომა ავღნიშნოთ x-ით, შემდეგ თეორემა 1-ით.
44° + x = 180°.
მიღებული განტოლების ამოხსნით, ვხვდებით, რომ x = 136°. ამიტომ, მეორე კუთხე არის 136°.

მაგალითი 2.მოდით, COD კუთხე 21-ზე იყოს 45°. რა არის AOB და AOC კუთხეები?

გამოსავალი. კუთხეები COD და AOB ვერტიკალურია, ამიტომ თეორემა 1.2-ით ისინი ტოლია, ანუ ∠ AOB = 45°. AOC კუთხე არის COD კუთხის გვერდით, რაც ნიშნავს თეორემა 1-ის მიხედვით.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

მაგალითი 3.იპოვეთ მიმდებარე კუთხეები, თუ ერთი მათგანი 3-ჯერ დიდია მეორეზე.

გამოსავალი. მოდით აღვნიშნოთ ხარისხის საზომი უფრო მცირე კუთხე x-ის მეშვეობით. შემდეგ ხარისხის გაზომვა უფრო დიდი კუთხეიქნება Zx. ვინაიდან მიმდებარე კუთხეების ჯამი უდრის 180°-ს (თეორემა 1), მაშინ x + 3x = 180°, საიდანაც x = 45°.
ეს ნიშნავს, რომ მიმდებარე კუთხეებია 45° და 135°.

მაგალითი 4.ორი ვერტიკალური კუთხის ჯამი არის 100°. იპოვეთ ოთხივე კუთხის ზომა.

გამოსავალი. დაე, ნახაზი 2 აკმაყოფილებდეს ამოცანის პირობებს. ვერტიკალური კუთხეები COD-მდე AOB ტოლია (თეორემა 2), რაც ნიშნავს, რომ მათი ხარისხის ზომები ასევე ტოლია. ამიტომ, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (მათი ჯამი პირობის მიხედვით არის 100°). კუთხე BOD (ასევე კუთხე AOC) არის COD კუთხის გვერდით და, შესაბამისად, თეორემა 1-ით
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.