განტოლებათა სისტემები პარამეტრით. ნორმალური განტოლებების კოეფიციენტების გამოთვლის მეთოდის აღწერა

§2. ამოცანები ორი უცნობის მქონე ორი განტოლების წრფივი სისტემის ამონახსნების შესასწავლად

მაგალითი 1. განსაზღვრეთ m პარამეტრის რა მნიშვნელობებზეა განტოლების სისტემა

Მას აქვს მხოლოდ გადაწყვეტილება.

გამოსავალი

სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა, თუ x-ის კოეფიციენტების თანაფარდობა არ არის y-ის კოეფიციენტების თანაფარდობის ტოლი:

.

მოდით გადავიდეთ ურთიერთობების შედარებიდან პროდუქტების შედარებაზე. შემდეგ განხილვა მოიცავს ნულოვანი მნიშვნელობებიკოეფიციენტები დამოკიდებულია m პარამეტრზე.

შედეგად მიღებული ინდიფერენტული უტოლობის ამოხსნას ვპოულობთ

3 + 8 მ + 4 მ 2 ≠ 4 + 5 მ; 4 მ 2 + 3 მ - 1 ≠ 0.

თუ m 1 და m 2 არის 4m 2 + 3m მრავალწევრის ფესვები - 1 ≠ 0, მაშინ

მ 1 = – 1; m 2 = პოზიცია:აბსოლუტური;z-ინდექსი:1;მარცხნივ:0px;ზღვარი-მარცხნივ:11px;ზღვარი-ზედა:2px; სიგანე: 14 px; სიმაღლე: 74 px">

მ ≠

ან როგორც ინტერვალების გაერთიანება:

m (– ∞; – 1) (– 1; )(;+∞).

კიდევ ერთხელ აღვნიშნოთ, რომ m = –EN-US">m = – ან m = –EN-US">m-სთვის, ისევე როგორც უამრავი სხვასთვის, რომლებიც აკმაყოფილებენ მიღებულ ციფრულ სიმრავლეს, ამ სისტემას ექნება უნიკალური გადაწყვეტა. .

უპასუხე: სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა, თუ

m (– ∞; – 1) (– 1; 0.25)EN-US">m და n განტოლებათა სისტემა

აქვს უთვალავი გამოსავალი.

გამოსავალი

სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა, თუ x-ის კოეფიციენტების თანაფარდობა უდრის y-ის კოეფიციენტების შეფარდებას და უდრის თავისუფალი წევრთა შეფარდებას, ე.ი.

მოდით შევცვალოთ მიღებული ტოლობების ჯაჭვი განტოლებათა სისტემით

გადაადგილება წილადი განტოლებებიმთლიანად. ჩვენ ასევე გავითვალისწინებთ ამ სისტემის კოეფიციენტების ნულოვან მნიშვნელობებს. (აღსანიშნავია, რომ ამ სისტემის ყველა კოეფიციენტი ვერ გაქრება. ერთ-ერთი მათგანია EN-US">n ≠ 0. ცხადია, სასურველი პასუხი ამ პირობას უნდა აკმაყოფილებდეს.)

EN-US">n 2 + n – 6 = 0,

n (n 2 + m) = 10.

სისტემის 1-ლი და მე-2 განტოლებების ამოხსნა m-სთან მიმართებაში, ვიღებთ

n 1 = – 3; n 2 = 2,

m = – n 2.

სად

თუ n 1 = – 3; თუ n 2 = 2,

მაშინ m 1 = –– 9 = –; მაშინ m 2 = EN-US">m და n ანბანური თანმიმდევრობით, გვაქვს

პასუხი: {(–; –3); (1; 2)}

მაგალითი 3. განსაზღვრეთ m პარამეტრის რა მნიშვნელობებზეა განტოლებათა სისტემა

(2მ – 3)x – ჩემი = 3მ – 2,

(2m + 3)y – 5x + 5 = 0

არ აქვს გადაწყვეტილებები.

გამოსავალი

განტოლებათა სისტემას არ აქვს ამონახსნები, თუ x-ის კოეფიციენტების თანაფარდობა უდრის y-ის კოეფიციენტების შეფარდებას, მაგრამ არ უდრის თავისუფალი წევრთა შეფარდებას. ეს წესი, ისევე როგორც წინა, ვარაუდობს, რომ ამ განტოლებების წერისას უცნობიები ტოლობის ერთ (მაგალითად, მარცხენა) მხარეს არიან და ერთნაირად მონაცვლეობენ. ასევე ვარაუდობენ, რომ თავისუფალი ტერმინები ტოლობის ერთ (მაგალითად, მარჯვენა) მხარეშია. ამ მოთხოვნების დაკმაყოფილება

(2მ – x)x – ჩემი = 3მ – 2,

– 5x + (2m + 3)y = – 5

და სისტემის შეუთავსებლობის ნიშნის გამოყენებით ვიღებთ

სისტემა დაკმაყოფილებულია, როდესაც m = EN-US">m = 2.25.

Სავარჯიშოები

1. განსაზღვრეთ m პარამეტრის რა მნიშვნელობებზეა განტოლებათა სისტემა

2x + ჩემი = 5

აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.

პასუხი:მ (– ∞; – 1,5) პოზიცია:აბსოლუტური;z-ინდექსი:9;მარცხნივ:0px;ზღვარი-მარცხნივ:59px;ზღვარი-ზედა:23px; სიგანე: 14 px; სიმაღლე: 62 px"> m პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე მუშაობს განტოლებათა სისტემა

(2მ + 1)x +7y = 2მ,

1. სისტემები წრფივი განტოლებებიპარამეტრით

პარამეტრით წრფივი განტოლებათა სისტემები წყდება იგივე ძირითადი მეთოდებით, როგორც განტოლებების ჩვეულებრივი სისტემები: ჩანაცვლების მეთოდი, განტოლებების დამატების მეთოდი და გრაფიკული მეთოდი. გრაფიკული ინტერპრეტაციის ცოდნა ხაზოვანი სისტემებიაადვილებს პასუხის გაცემას ფესვების რაოდენობისა და მათი არსებობის შესახებ.

მაგალითი 1.

იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა პარამეტრისთვის, რომლის განტოლების სისტემას არ აქვს ამონახსნები.

(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.

გამოსავალი.

მოდით შევხედოთ ამ ამოცანის გადაჭრის რამდენიმე გზას.

1 გზა.ჩვენ ვიყენებთ თვისებას: სისტემას არ აქვს ამონახსნები, თუ x-ის წინ კოეფიციენტების თანაფარდობა უდრის y-ის წინ კოეფიციენტების შეფარდებას, მაგრამ არა თავისუფალი წევრების შეფარდებას (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). მაშინ გვაქვს:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 ან სისტემა

(და 2 – 3 = 1,
(a ≠ 2.

პირველი განტოლებიდან a 2 = 4, შესაბამისად, იმ პირობის გათვალისწინებით, რომ a ≠ 2, მივიღებთ პასუხს.

პასუხი: a = -2.

მეთოდი 2.ვხსნით ჩანაცვლების მეთოდით.

(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,

((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.

პირველი განტოლების ფრჩხილებიდან y საერთო ფაქტორის ამოღების შემდეგ მივიღებთ:

((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.

სისტემას არ აქვს ამონახსნები, თუ პირველ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები, ანუ

(და 2 – 4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.

ცხადია, a = ± 2, მაგრამ მეორე პირობის გათვალისწინებით, პასუხი მოდის მხოლოდ მინუს პასუხით.

პასუხი: a = -2.

მაგალითი 2.

იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა a პარამეტრისთვის, რომლისთვისაც აქვს განტოლებათა სისტემა უსასრულო ნაკრებიგადაწყვეტილებები.

(8x + ay = 2,
(ცული + 2y = 1.

გამოსავალი.

თვისების მიხედვით, თუ x და y კოეფიციენტების თანაფარდობა ერთნაირია და უდრის სისტემის თავისუფალი წევრების შეფარდებას, მაშინ მას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა (ე.ი. a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). ამიტომ 8/a = a/2 = 2/1. თითოეული მიღებული განტოლების ამოხსნით, ჩვენ აღმოვაჩენთ, რომ a = 4 არის პასუხი ამ მაგალითში.

პასუხი: a = 4.

2. სისტემები რაციონალური განტოლებებიპარამეტრით

მაგალითი 3.

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

გამოსავალი.

მოდით გავამრავლოთ სისტემის პირველი განტოლება 2-ზე:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

თუ გამოვაკლებთ მეორე განტოლებას პირველს, მივიღებთ 5|x| = 4 – ა. ამ განტოლებას ექნება უნიკალური ამონახსნი a = 4-ისთვის. სხვა შემთხვევებში, ამ განტოლებას ექნება ორი ამონახსნები (ა.< 4) или ни одного (при а > 4).

პასუხი: a = 4.

მაგალითი 4.

იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც განტოლებათა სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნები.

(x + y = a,
(y – x 2 = 1.

გამოსავალი.

ამ სისტემას გრაფიკული მეთოდით მოვაგვარებთ. ამრიგად, სისტემის მეორე განტოლების გრაფიკი არის პარაბოლა, რომელიც ამაღლებულია Oy ღერძის გასწვრივ ერთი ერთეული სეგმენტით ზემოთ. პირველი განტოლება განსაზღვრავს ხაზების ერთობლიობას y = -x წრფის პარალელურად (სურათი 1). ნახატიდან ნათლად ჩანს, რომ სისტემას აქვს ამონახსნი, თუ სწორი წრფე y = -x + a არის პარაბოლის ტანგენსი კოორდინატებით (-0.5, 1.25) წერტილში. ამ კოორდინატების ჩანაცვლებით სწორი ხაზის განტოლებაში x და y-ის ნაცვლად, ვპოულობთ a პარამეტრის მნიშვნელობას:

1,25 = 0,5 + ა;

პასუხი: a = 0.75.

მაგალითი 5.

ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენებით გაარკვიეთ a პარამეტრის რა მნიშვნელობით აქვს სისტემას უნიკალური გამოსავალი.

(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

გამოსავალი.

პირველი განტოლებიდან გამოვხატავთ y-ს და ვცვლით მეორეში:

(y = ცული – a – 1,
(ცული + (a + 2) (ცული – a – 1) = 2.

მეორე განტოლება შევამციროთ kx = b ფორმამდე, რომელსაც ექნება უნიკალური ამონახსნი k ≠ 0-ისთვის. გვაქვს:

ცული + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.

ჩვენ წარმოვადგენთ კვადრატულ ტრინომს a 2 + 3a + 2, როგორც ფრჩხილების ნამრავლი

(a + 2)(a + 1), ხოლო მარცხნივ ვიღებთ x-ს ფრჩხილებიდან:

(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2) (a + 1).

ცხადია, 2 + 3a არ უნდა იყოს ნულის ტოლი, ამიტომ,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, რაც ნიშნავს a ≠ 0 და ≠ -3.

პასუხი: a ≠ 0; ≠ -3.

მაგალითი 6.

გრაფიკული ამოხსნის მეთოდის გამოყენებით დაადგინეთ a პარამეტრის რა მნიშვნელობით აქვს სისტემას უნიკალური გამოსავალი.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.

გამოსავალი.

მდგომარეობიდან გამომდინარე, ჩვენ ვაშენებთ წრეს საწყისზე ცენტრით და 3 ერთეული სეგმენტის რადიუსით ეს არის მითითებული სისტემის პირველი განტოლებით

x 2 + y 2 = 9. სისტემის მეორე განტოლება (y = |x| + a) არის გატეხილი ხაზი. Გამოყენებით სურათი 2ჩვენ განვიხილავთ მისი მდებარეობის ყველა შესაძლო შემთხვევას წრესთან შედარებით. ადვილი მისახვედრია, რომ a = 3.

პასუხი: a = 3.

ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები? არ იცით განტოლების სისტემების ამოხსნა?
დამრიგებლის დახმარების მისაღებად დარეგისტრირდით.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.

მიღებული განტოლებათა სისტემები ფართო აპლიკაციაეკონომიკურ სექტორში მათემატიკური მოდელირებასხვადასხვა პროცესები. მაგალითად, წარმოების მართვისა და დაგეგმვის პრობლემების გადაჭრისას, ლოგისტიკური მარშრუტები ( ტრანსპორტის პრობლემა) ან აღჭურვილობის განთავსება.

განტოლებათა სისტემები გამოიყენება არა მხოლოდ მათემატიკაში, არამედ ფიზიკაში, ქიმიასა და ბიოლოგიაში, მოსახლეობის ზომის პოვნის ამოცანების გადაჭრისას.

წრფივი განტოლებათა სისტემა არის ორი ან მეტი განტოლება რამდენიმე ცვლადით, რისთვისაც საჭიროა საერთო ამონახსნის პოვნა. რიცხვების ისეთი თანმიმდევრობა, რომლისთვისაც ყველა განტოლება ხდება ჭეშმარიტი თანასწორობა ან ამტკიცებს, რომ მიმდევრობა არ არსებობს.

წრფივი განტოლება

ax+by=c ფორმის განტოლებებს წრფივი ეწოდება. აღნიშვნები x, y არის უცნობი, რომლის მნიშვნელობაც უნდა მოიძებნოს, b, a არის ცვლადების კოეფიციენტები, c არის განტოლების თავისუფალი წევრი.
განტოლების ამოხსნა მისი შედგენით სწორ ხაზს წააგავს, რომლის ყველა წერტილი მრავალწევრის ამონახსნებია.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ტიპები

უმარტივეს მაგალითებად ითვლება წრფივი განტოლებების სისტემები ორი ცვლადით X და Y.

F1(x, y) = 0 და F2(x, y) = 0, სადაც F1,2 არის ფუნქციები და (x, y) ფუნქციის ცვლადები.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა - ეს ნიშნავს მნიშვნელობების (x, y) პოვნას, რომლებშიც სისტემა გადაიქცევა ნამდვილ თანასწორობაში ან იმის დადგენა, რომ x და y შესაფერისი მნიშვნელობები არ არსებობს.

მნიშვნელობების წყვილს (x, y), დაწერილი, როგორც წერტილის კოორდინატები, ეწოდება ამონახსნი წრფივი განტოლებათა სისტემისთვის.

თუ სისტემებს აქვთ ერთი საერთო გამოსავალი ან არ არსებობს, მათ ექვივალენტი ეწოდება.

წრფივი განტოლებების ჰომოგენური სისტემები არის სისტემები, რომელთა მარჯვენა მხარე ნულის ტოლია. თუ ტოლობის ნიშნის შემდეგ მარჯვენა ნაწილს აქვს მნიშვნელობა ან გამოიხატება ფუნქციით, ასეთი სისტემა ჰეტეროგენულია.

ცვლადების რაოდენობა შეიძლება იყოს ორზე ბევრად მეტი, მაშინ უნდა ვისაუბროთ ხაზოვანი განტოლების სისტემის მაგალითზე სამი ან მეტი ცვლადით.

სისტემებთან შეხვედრისას სკოლის მოსწავლეები თვლიან, რომ განტოლებების რაოდენობა აუცილებლად უნდა ემთხვეოდეს უცნობთა რაოდენობას, მაგრამ ეს ასე არ არის. განტოლებათა რაოდენობა სისტემაში არ არის დამოკიდებული ცვლადებზე, შეიძლება იყოს იმდენი, რამდენიც სასურველია.

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის მარტივი და რთული მეთოდები

საერთო არ არის ანალიტიკური მეთოდიასეთი სისტემების გადაწყვეტილებებს, ყველა მეთოდი ეფუძნება რიცხვითი გადაწყვეტილებები. სკოლის მათემატიკის კურსი დეტალურად აღწერს ისეთ მეთოდებს, როგორიცაა პერმუტაცია, ალგებრული შეკრება, ჩანაცვლება, ასევე გრაფიკული და მატრიცული მეთოდი, გამოსავალი გაუსის მეთოდით.

ამოხსნის მეთოდების სწავლებისას მთავარი ამოცანაა ასწავლოს სისტემის სწორად გაანალიზება და თითოეული მაგალითისთვის ოპტიმალური ამოხსნის ალგორითმის პოვნა. მთავარია არა თითოეული მეთოდისთვის წესების და მოქმედებების სისტემის დამახსოვრება, არამედ კონკრეტული მეთოდის გამოყენების პრინციპების გაგება.

მე-7 კლასის პროგრამის წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა საშუალო სკოლასაკმაოდ მარტივი და დეტალურად ახსნილი. მათემატიკის ნებისმიერ სახელმძღვანელოში ამ განყოფილებას საკმარისი ყურადღება ეთმობა. წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა გაუსის და კრამერის მეთოდით უფრო დეტალურად არის შესწავლილი უმაღლესი განათლების პირველ წლებში.

სისტემების ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით

ჩანაცვლების მეთოდის მოქმედებები მიზნად ისახავს ერთი ცვლადის მნიშვნელობის გამოხატვას მეორის მიხედვით. გამოთქმა ჩანაცვლებულია დარჩენილ განტოლებაში, შემდეგ ის მცირდება ფორმაში ერთი ცვლადით. მოქმედება მეორდება სისტემაში უცნობის რაოდენობის მიხედვით

მოდით მივცეთ ამონახსნი მე-7 კლასის წრფივი განტოლებების სისტემის მაგალითზე ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენებით:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, x ცვლადი გამოისახა F(X) = 7 + Y-ით. შედეგად მიღებული გამოხატულება, რომელიც ჩანაცვლებულია სისტემის მე-2 განტოლებაში X-ის ნაცვლად, დაეხმარა მე-2 განტოლებაში Y ცვლადის მიღებაში. . გამოსავალი ეს მაგალითიარ იწვევს სირთულეებს და საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ Y მნიშვნელობა. ბოლო ნაბიჯი არის მიღებული მნიშვნელობების შემოწმება.

ყოველთვის არ არის შესაძლებელი წრფივი განტოლებათა სისტემის მაგალითის ამოხსნა ჩანაცვლებით. განტოლებები შეიძლება იყოს რთული და ცვლადის გამოხატვა მეორე უცნობის მიხედვით ზედმეტად რთული იქნება შემდგომი გამოთვლებისთვის. როდესაც სისტემაში 3-ზე მეტი უცნობია, ჩანაცვლებით ამოხსნაც შეუსაბამოა.

წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებების სისტემის მაგალითის ამოხსნა:

ამოხსნა ალგებრული შეკრების გამოყენებით

შეკრების მეთოდის გამოყენებით სისტემების ამონახსნების ძიებისას განტოლებები ემატება ტერმინით და მრავლდება სხვადასხვა რიცხვებით. საბოლოო მიზანიმათემატიკური ოპერაციები არის განტოლება ერთი ცვლადით.

აპლიკაციებისთვის ამ მეთოდითსაჭიროა პრაქტიკა და დაკვირვება. წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა შეკრების მეთოდით, როცა 3 ან მეტი ცვლადია, ადვილი არ არის. ალგებრული შეკრება მოსახერხებელია გამოსაყენებლად, როდესაც განტოლებები შეიცავს წილადებსა და ათწილადებს.

გადაწყვეტის ალგორითმი:

1. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე გარკვეულ რიცხვზე. Როგორც შედეგი არითმეტიკული ოპერაციაცვლადის ერთ-ერთი კოეფიციენტი უნდა გახდეს 1-ის ტოლი.
2. დაამატეთ მიღებული გამოხატულება ტერმინით და იპოვნეთ ერთ-ერთი უცნობი.
3. შეცვალეთ მიღებული მნიშვნელობა სისტემის მე-2 განტოლებაში, რათა იპოვოთ დარჩენილი ცვლადი.

ამოხსნის მეთოდი ახალი ცვლადის შემოღებით

ახალი ცვლადის შემოღება შესაძლებელია, თუ სისტემა მოითხოვს ამოხსნის პოვნას არაუმეტეს ორი განტოლებისათვის.

მეთოდი გამოიყენება ერთ-ერთი განტოლების გასამარტივებლად ახალი ცვლადის შემოღებით. ახალი განტოლება იხსნება შემოტანილი უცნობისთვის და მიღებული მნიშვნელობა გამოიყენება თავდაპირველი ცვლადის დასადგენად.

მაგალითი გვიჩვენებს, რომ ახალი t ცვლადის შემოღებით შესაძლებელი გახდა სისტემის 1-ლი განტოლების სტანდარტულზე დაყვანა. კვადრატული ტრინომიალი. თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ მრავალწევრი დისკრიმინანტის მოძიებით.

აუცილებელია დისკრიმინაციული მნიშვნელობის პოვნა ცნობილი ფორმულა: D = b2 - 4*a*c, სადაც D არის სასურველი დისკრიმინანტი, b, a, c არის მრავალწევრის ფაქტორები. IN მოცემული მაგალითი a=1, b=16, c=39, შესაბამისად D=100. თუ დისკრიმინანტი ნულზე მეტია, მაშინ არსებობს ორი ამონახსნი: t = -b±√D / 2*a, თუ დისკრიმინანტი ნაკლებია ნულზე, მაშინ არის ერთი ამონახსნი: x = -b / 2*a.

შედეგად მიღებული სისტემების გამოსავალი ნაპოვნია დამატების მეთოდით.

სისტემების ამოხსნის ვიზუალური მეთოდი

ვარგისია 3 განტოლების სისტემისთვის. მეთოდი არის აშენება კოორდინატთა ღერძისისტემაში შემავალი თითოეული განტოლების გრაფიკები. მრუდების გადაკვეთის წერტილების კოორდინატები იქნება სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა.

გრაფიკულ მეთოდს აქვს მთელი რიგი ნიუანსი. მოდით შევხედოთ წრფივი განტოლებების სისტემების ვიზუალურად ამოხსნის რამდენიმე მაგალითს.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, თითოეული ხაზისთვის აშენდა ორი წერტილი, თვითნებურად აირჩიეს x ცვლადის მნიშვნელობები: 0 და 3. x-ის მნიშვნელობების საფუძველზე, ნაპოვნი იქნა y-ის მნიშვნელობები: 3 და 0. წერტილები (0, 3) და (3, 0) კოორდინატებით დაფიქსირდა გრაფიკზე და იყო დაკავშირებული ხაზით.

ნაბიჯები უნდა განმეორდეს მეორე განტოლებისთვის. ხაზების გადაკვეთის წერტილი არის სისტემის ამოხსნა.

შემდეგი მაგალითი მოითხოვს პოვნას გრაფიკული გადაწყვეტაწრფივი განტოლებათა სისტემები: 0.5x-y+2=0 და 0.5x-y-1=0.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, სისტემას არ აქვს გამოსავალი, რადგან გრაფიკები პარალელურია და არ იკვეთება მთელ სიგრძეზე.

2 და 3 მაგალითების სისტემები მსგავსია, მაგრამ აგებისას აშკარა ხდება, რომ მათი გადაწყვეტილებები განსხვავებულია. უნდა გვახსოვდეს, რომ ყოველთვის არ არის შესაძლებელი იმის თქმა, აქვს თუ არა სისტემას გამოსავალი, ყოველთვის აუცილებელია გრაფიკის აგება.

მატრიცა და მისი ჯიშები

მატრიცები გამოიყენება მოკლე შენიშვნაწრფივი განტოლებათა სისტემები. მატრიცა არის ცხრილი სპეციალური ტიპირიცხვებით სავსე. n*m აქვს n - რიგები და m - სვეტები.

მატრიცა არის კვადრატი, როდესაც სვეტების და რიგების რაოდენობა ტოლია. მატრიცა-ვექტორი არის ერთი სვეტის მატრიცა მწკრივების უსასრულოდ შესაძლო რაოდენობით. მატრიცას ერთ-ერთ დიაგონალის გასწვრივ და სხვა ნულოვანი ელემენტებით იდენტურობა ეწოდება.

ინვერსიული მატრიცა არის მატრიცა, როდესაც გამრავლებულია, რომლითაც ორიგინალი იქცევა ერთეულ მატრიცაში, არსებობს მხოლოდ თავდაპირველი კვადრატისთვის.

განტოლებათა სისტემის მატრიცად გადაქცევის წესები

განტოლებათა სისტემებთან მიმართებაში განტოლებების კოეფიციენტები და თავისუფალი წევრები იწერება როგორც მატრიცული რიცხვები.

მატრიცის მწკრივი არ არის ნულოვანი, თუ მწკრივის ერთი ელემენტი მაინც არ არის ნულის ტოლი. მაშასადამე, თუ რომელიმე განტოლებაში ცვლადების რაოდენობა განსხვავდება, მაშინ აუცილებელია ნულის შეყვანა გამოტოვებული უცნობის ნაცვლად.

მატრიცის სვეტები მკაცრად უნდა შეესაბამებოდეს ცვლადებს. ეს ნიშნავს, რომ x ცვლადის კოეფიციენტები შეიძლება ჩაიწეროს მხოლოდ ერთ სვეტში, მაგალითად პირველი, უცნობი y-ის კოეფიციენტი - მხოლოდ მეორეში.

მატრიცის გამრავლებისას მატრიცის ყველა ელემენტი თანმიმდევრულად მრავლდება რიცხვზე.

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ვარიანტები

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ფორმულა საკმაოდ მარტივია: K -1 = 1 / |K|, სადაც K -1 არის შებრუნებული მატრიცა და |K| არის მატრიცის განმსაზღვრელი. |კ| არ უნდა იყოს ნულის ტოლი, მაშინ სისტემას აქვს გამოსავალი.

განმსაზღვრელი ადვილად გამოითვლება ორ-ორ მატრიცისთვის, თქვენ უბრალოდ უნდა გაამრავლოთ დიაგონალური ელემენტები ერთმანეთზე. „სამი სამზე“ ვარიანტისთვის არის ფორმულა |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა, ან გახსოვდეთ, რომ თქვენ უნდა აიღოთ ერთი ელემენტი თითოეული მწკრივიდან და თითოეული სვეტიდან ისე, რომ სვეტების და ელემენტების მწკრივების რაოდენობა არ განმეორდეს ნამუშევარში.

ხაზოვანი განტოლების სისტემების მაგალითების ამოხსნა მატრიცული მეთოდით

ამოხსნის მატრიცული მეთოდი საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ უხერხული ჩანაწერები სისტემების ამოხსნისას დიდი თანხაცვლადები და განტოლებები.

მაგალითში a nm არის განტოლებების კოეფიციენტები, მატრიცა არის ვექტორი x n არის ცვლადები და b n არის თავისუფალი ტერმინები.

სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით

IN უმაღლესი მათემატიკაკრამერის მეთოდთან ერთად შესწავლილია გაუსის მეთოდი, ხოლო სისტემებისთვის ამონახსნების ძიების პროცესს ეწოდება გაუს-კრამერის ამოხსნის მეთოდი. ეს მეთოდები გამოიყენება საპოვნელად ცვლადი სისტემებიწრფივი განტოლებების დიდი რაოდენობით.

გაუსის მეთოდი ძალიან ჰგავს გადაწყვეტილებებს, რომლებიც იყენებენ ჩანაცვლებას და ალგებრული დამატება, მაგრამ უფრო სისტემატური. სასკოლო კურსში გაუსის მეთოდით ამონახსნები გამოიყენება 3 და 4 განტოლების სისტემებისთვის. მეთოდის მიზანია სისტემის შემცირება ინვერსიული ტრაპეციის სახით. ალგებრული გარდაქმნებისა და ჩანაცვლების საშუალებით სისტემის ერთ-ერთ განტოლებაში გვხვდება ერთი ცვლადის მნიშვნელობა. მეორე განტოლება არის გამოხატულება 2 უცნობით, ხოლო 3 და 4 არის, შესაბამისად, 3 და 4 ცვლადით.

სისტემის აღწერილ ფორმამდე მიყვანის შემდეგ, შემდგომი ამოხსნა მცირდება ცნობილი ცვლადების თანმიმდევრულ ჩანაცვლებამდე სისტემის განტოლებებში.

IN სასკოლო სახელმძღვანელოებიმე-7 კლასისთვის, გაუსის მეთოდით ამოხსნის მაგალითი აღწერილია შემდეგნაირად:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, საფეხურზე (3) მიიღეს ორი განტოლება: 3x 3 -2x 4 =11 და 3x 3 +2x 4 =7. რომელიმე განტოლების ამოხსნა საშუალებას მოგცემთ გაარკვიოთ x ​​n-ის ერთ-ერთი ცვლადი.

მე-5 თეორემა, რომელიც ტექსტშია ნახსენები, წერს, რომ თუ სისტემის ერთ-ერთი განტოლება შეიცვალა ეკვივალენტით, მაშინ მიღებული სისტემაც ორიგინალის ეკვივალენტური იქნება.

გაუსის მეთოდი ძნელად გასაგებია სტუდენტებისთვის უმაღლესი სკოლა, მაგრამ ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო გზებიპროგრამის ფარგლებში სწავლული ბავშვების გამომგონებლობის განვითარება სიღრმისეული შესწავლამათემატიკის და ფიზიკის გაკვეთილებზე.

ჩაწერის გამარტივებისთვის, გამოთვლები ჩვეულებრივ კეთდება შემდეგნაირად:

განტოლებების და თავისუფალი ტერმინების კოეფიციენტები იწერება მატრიცის სახით, სადაც მატრიცის თითოეული მწკრივი შეესაბამება სისტემის ერთ-ერთ განტოლებას. გამოყოფს განტოლების მარცხენა მხარეს მარჯვნიდან. რომაული ციფრები მიუთითებს სისტემაში განტოლებების რაოდენობაზე.

ჯერ ჩაწერეთ მატრიცა, რომლითაც უნდა იმუშავოთ, შემდეგ კი ყველა მოქმედება, რომელიც შესრულებულია ერთ-ერთი მწკრივით. შედეგად მიღებული მატრიცა იწერება "ისრის" ნიშნის შემდეგ და აგრძელებს საჭიროების შესრულებას ალგებრული ოპერაციებიშედეგის მიღწევამდე.

შედეგი უნდა იყოს მატრიცა, რომელშიც ერთ-ერთი დიაგონალი უდრის 1-ს, ხოლო ყველა სხვა კოეფიციენტი ნულის ტოლია, ანუ მატრიცა მცირდება ერთეულ ფორმამდე. არ უნდა დაგვავიწყდეს გამოთვლების შესრულება განტოლების ორივე მხარეს რიცხვებით.

ჩაწერის ეს მეთოდი ნაკლებად შრომატევადია და საშუალებას გაძლევთ არ გადაიტანოთ ყურადღება მრავალი უცნობის ჩამოთვლებით.

ნებისმიერი გადაწყვეტის მეთოდის უფასო გამოყენება მოითხოვს ზრუნვას და გარკვეულ გამოცდილებას. ყველა მეთოდი არ არის გამოყენებული. გადაწყვეტილებების პოვნის ზოგიერთი მეთოდი უფრო სასურველია ადამიანის საქმიანობის კონკრეტულ სფეროში, ზოგი კი საგანმანათლებლო მიზნებისთვის არსებობს.

58. შეკრებისა და გამოკლების მეთოდი ან კოეფიციენტების განტოლების მეთოდი. ერთად ამოვხსნათ შემდეგი 2 განტოლება:

7x + 5y = 47 და 7x – 5y = 9 (1)

ჩვენ ვხედავთ, რომ ერთი განტოლების მარცხენა მხარე მოიცავს +5y წევრს, ხოლო მეორის მარცხენა მხარე მოიცავს –5y წევრს. თუ ეს ნაწილები უნდა გაერთიანდეს, მაშინ ეს წევრები განადგურდებიან. და ამის მიღწევა ადვილია: ამ ორი განტოლებიდან ჩვენ ვქმნით ახალს, რომელიც მოჰყვება მათ, რისთვისაც ვამატებთ ორივე განტოლების მარცხენა მხარეს ერთმანეთს და მარჯვენა მხარეს - ამ დამატებების შედეგებს, ცხადია, ერთმანეთის ტოლი უნდა იყოს, ანუ მივიღებთ:

(ტერმინები +5y და –5y გაუქმებულია). აქედან ვიღებთ x = 4. შემდეგ გავამრავლოთ მეორე განტოლების ორივე მხარე –1-ზე; ჩვენ ვიღებთ:

7x + 5y = 47
–7x + 5y = –9

ახლა კი ისევ დავუმატოთ მარცხენა ნაწილები და მარჯვენა ნაწილები ერთად (ამბობენ: მოდით დავამატოთ ეს 2 განტოლება ნაწილებით). ჩვენ ვიღებთ, რადგან ტერმინები +7x და –7x ანადგურებენ ერთმანეთს:

10y = 38, საიდანაც y = 3.8

ამის ნაცვლად, ჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ ეს: დავუბრუნდეთ განტოლებებს (1) და გამოვაკლოთ ნაწილებით (ანუ მარცხენა მხრიდან მარცხენა და მარჯვენა მხრიდან მარჯვენა მხარე) პირველი განტოლებიდან მეორე. შემდეგ თქვენ უნდა შეცვალოთ მე-2 განტოლების ყველა ტერმინის ნიშნები - შედეგი იგივე იქნება.

გაანალიზებულ მაგალითში აბსოლუტური ღირებულებებითითოეულ განტოლებაში თითოეული უცნობის კოეფიციენტები ტოლი იყო; ახლა განვიხილოთ მაგალითი, სადაც ამ კოეფიციენტების აბსოლუტური მნიშვნელობები არათანაბარია.

3x + 4y = 23 და 9x + 10y = 65.

ამ განტოლებების დათვალიერებისას, ჩვენ ვხედავთ, რომ x-ის კოეფიციენტები არ არის ტოლი, მაგრამ ისინი ადვილად შეიძლება იყოს ტოლი, თუ გავამრავლებთ პირველი განტოლების ორივე მხარეს 3-ზე. ამის შემდეგ მივიღებთ:

9x + 12y = 69
9x + 10y = 65

ახლა გამოვაკლოთ მეორე პირველ განტოლებას ნაწილებად (აუცილებელია მე-2 განტოლების ყველა წევრის ნიშნების შეცვლა). ჩვენ ვიღებთ:

2y = 4, საიდანაც y = 2.

ამ განტოლებების გათვალისწინებით, ახლა მივდივართ y-სთვის კოეფიციენტების გათანაბრების შესაძლებლობამდე, რისთვისაც შეგვიძლია სხვაგვარად გავაკეთოთ: 1) გავამრავლოთ 1-ლი განტოლების ორივე მხარე 2 ½-ზე - მაშინ მივიღებთ:

7 ½ x + 10y = 57 ½
9x + 10y = 65

ახლა გამოვაკლოთ 1-ლი მე-2 განტოლებას ნაწილებად, რისთვისაც ვცვლით 1-ლი განტოლების ყველა პუნქტის ნიშანს (პირველს გამოვაკლებთ მე-2-ს და არა პირიქით, მხოლოდ ისე, რომ მარცხენა მხარეს კოეფიციენტი x აღმოჩნდება დადებითი), ვიღებთ:

1 ½ x = 7 ½, საიდანაც x = 7 ½: 1 ½ = 5.

2) ვამრავლებთ მე-2 განტოლების ორივე მხარეს 2/5-ზე და მივიღებთ:
3x + 4y = 23 (დატოვეთ პირველი უცვლელი).

3 3/5 x + 4y = 26

თუ გამოვაკლებთ პირველ ნაწილს მე-2 განტოლებას ნაწილებად, მივიღებთ:

3/5 x = 3, საიდანაც x = 3: 3/5 = 5.

3) თუ არ გვსურს საქმე წილადის კოეფიციენტებთან, მაშინ ვიპოვით საერთო უმცირეს ჯერადს y-ის კოეფიციენტებისთვის, ანუ 4 და 10 რიცხვებისთვის - ეს არის 20 და, 1-ლი განტოლების ორივე მხარის გამრავლებით და მე-2-ის ორივე მხარე, მატერია დავიყვანოთ იქამდე, რომ თითოეულ განტოლებაში y-ის კოეფიციენტი არის ეს საერთო უმცირესი ჯერადი. ჩვენს მაგალითში, ამისათვის ჩვენ გავამრავლებთ 1-ლი განტოლების ორივე მხარეს 5-ზე და მე-2 განტოლების ორივე მხარეს 2-ზე. მივიღებთ:

15x + 20y = 115
18x + 20y = 130.

მოდით, კვლავ გამოვაკლოთ პირველი ნაწილებად მე-2 განტოლებას და მივიღებთ:

3x = 15, აქედან გამომდინარე x = 5.

აქვე აღვნიშნოთ, რომ როდესაც ერთი უცნობი განისაზღვრება, მეორეს მიღება შესაძლებელია ჩანაცვლებით. ასე რომ, ჩვენ პირველად ვიპოვეთ y = 2. ჩაანაცვლეთ ეს მნიშვნელობა 1-ელ განტოლებაში:

3x + 4 2 = 23

3x = 23 – 8 = 15, აქედან გამომდინარე x = 5.

მოკლედ მოვიყვანოთ კიდევ ერთი მაგალითი:

6x – 15y = 32 | · 3 | · 2
4x + 9y = 34 | · 5 | · 3

მხარეს ჩვენ აღვნიშნეთ, რომ ჩვენ უნდა გავამრავლოთ 1-ლი განტოლების ორივე მხარე 3-ზე და მე-2-ის ორივე მხარე 5-ზე - ვგულისხმობთ y-ისთვის კოეფიციენტების აბსოლუტური მნიშვნელობების გათანაბრებას. ჩვენ ვიღებთ:

18x - 45y = 96.
20x + 45y = 170.

ამ განტოლებების ნაწილების შეკრებით მივიღებთ:

38x = 266 და x = 7.

ახლა გავამრავლოთ 1-ლი განტოლების ორივე მხარე 2-ზე და მეორის ორივე მხარე 3-ზე (მონიშნულია გვერდზე). ჩვენ ვიღებთ:

12x - 30y = 64
12x + 27y = 102.

პირველს გამოვაკლოთ მე-2 განტოლებას ნაწილებით; ჩვენ ვიღებთ:

57y = 38 და y = 38/57 = 2/3.

მოდით გამოვიყენოთ ეს მეთოდი ორი განტოლების გადასაჭრელად ორი უცნობით ზოგადი ფორმით:

ცული + by = m | · დ | · გ
cx + dy = n | ბ | ა

პირველ რიგში, როგორც აღინიშნა, გავამრავლოთ 1-ლი განტოლების ორივე მხარე d-ზე და მე-2-ის ორივე მხარე b-ზე. ჩვენ ვიღებთ:

adx + bdy = md
cbx + =bdy = nb.

1-ლი განტოლებიდან მეორეს გამოვაკლებთ ნაწილებად, მივიღებთ:

adx – cbx = md – nb.

მარცხენა მხარეს ფრჩხილებიდან x ამოვიღებთ, მივიღებთ:

(ad – cb)x = md – nb,

x = (md – nb) / (ad – cb).

ახლა გავათანაბროთ x-ის კოეფიციენტები, რისთვისაც გავამრავლებთ 1-ლი განტოლების ორივე მხარეს c-ზე და მეორის ორივე მხარეს a-ზე. ჩვენ ვიღებთ:

მე-2 განტოლებიდან პირველს გამოვაკლებთ ნაწილებად, მივიღებთ:

ady – bcy = na – mc,

(ad – bc) y = na – mc

y = (na – mc) / (ad – bc).

აქ პირველი გამოვაკლეთ მე-2 განტოლებას და არა პირიქით, რათა მივიღოთ იგივე მნიშვნელი ad – bc, რაც მიღებულია x – a-ს განსაზღვრისას.

ჩვენ განვიხილავთ ნორმალური ფორმის წრფივ სისტემებს, სადაც a(- არის ნებისმიერი რიცხვი და /, (*) ცნობილი ფუნქციები. ვექტორულ აღნიშვნაში უცნობი და /(*) ცნობილი ვექტორული ფუნქციებია, A არის ნებისმიერი მუდმივი მატრიცა. ხშირად გვხვდება და თეორიულად დიფერენციალური განტოლებებიდა აპლიკაციებში. საერთო გადაწყვეტილებაასეთი სისტემის შემთხვევაში f(t) = 0 ყოველთვის გამოიხატება მეშვეობით ელემენტარული ფუნქციები. ამიტომ, ასეთი სისტემები ხშირად გამოიყენება მეტი შესასწავლად რთული სისტემებიწონასწორობის პოზიციის მახლობლად. აპლიკაციებში ისინი ჩნდებიან, მაგალითად, მოძრაობების შესწავლისას მექანიკური სისტემებითავისუფლების რამდენიმე ხარისხით და განშტოებულ ელექტრულ წრეებში დენების აღწერისას. გამორიცხვით უცნობი სისტემაშეიძლება შემცირდეს ერთ ან მეტ განტოლებამდე ერთი უცნობი ფუნქციით. ამისათვის, ნებისმიერი განტოლებიდან ჩვენ გამოვხატავთ ერთ უცნობს სხვების მიხედვით და ვცვლით სისტემის დანარჩენ განტოლებებს. ჩვენ ვიღებთ სისტემას ნაკლები უცნობით. თქვენ შეგიძლიათ იგივე გააკეთოთ მასთან. ეს მეთოდი მოსახერხებელია მხოლოდ მარტივი სისტემების გადასაჭრელად. ხაზოვანი სისტემებით მუდმივი კოეფიციენტები I მაგალითი 20. სისტემის ამოხსნა მაგალითის ამოხსნა. ჩვენ გამოვრიცხავთ y. პირველი განტოლებიდან გვაქვს y = x" - t. მეორე განტოლებაში ჩანაცვლებით ვიღებთ. ამ განტოლებას ვხსნით § 11 მეთოდით. ​​ვპოულობთ. აქედან გამომდინარე, 1 2. | სისტემის ამოხსნა x" = Ax. (x 6 Rn) იმ შემთხვევაში, როდესაც A ბრძანებას n მატრიცას აქვს n წრფივად დამოუკიდებელი საკუთარი ვექტორი. ეს მოხდება იმ შემთხვევებში, როდესაც ან det (A-XE) = 0 განტოლებას არ აქვს მრავალი ფესვი A, ან ყოველი მრავალჯერადი ფესვისთვის A - \E მატრიცის r წოდება უდრის n - k, სადაც k არის. ამ ფესვის სიმრავლე (რადგან განტოლებას (A - XE)v = 0 v საკუთრივ ვექტორებისთვის აქვს n - r წრფივად დამოუკიდებელი ამონახსნები). მოდით A იყოს საკუთარი მნიშვნელობა, a v იყოს საკუთარი ვექტორიმატრიცა A. მაშინ x = eMv არის x1 = Axy განტოლების კონკრეტული ამონახსნი. თუ Vх,..., vn საკუთრივ ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია, მაშინ გვაქვს ამონახსნები. ისინი წრფივად დამოუკიდებელნი არიან, ვინაიდან მათი Wronskian W Ф 0 at t = 0 (მისი სვეტები vl,..., vn წრფივად დამოუკიდებელია). შესაბამისად, სისტემის ზოგად ამოხსნას x* = Ax აქვს ფორმა - თვითნებური მუდმივები. ლემა 9. თუ A( = a + pi (fi Ф 0) არის A რეალური მატრიცის საკუთრივ მნიშვნელობა, და vl = (»(,... არის საკუთრივვექტორი A1#-ისთვის, მაშინ Aj = X( = a - pi - eigenvalue , a v2 = v1 = (v),..., არის საკუთრივ ვექტორი A2-სთვის, საკუთრივ ვექტორი შეიძლება მივიღოთ რეალურად: Av( = A^1. ტოლობა არ ირღვევა ( და მასში არის კოორდინატები. v1 ვექტორები ჩანაცვლებულია კონიუგატებით: Avl = Ajt;1, ანუ რეალური Xp-სთვის, საკუთარი ვექტორის კოორდინატები განისაზღვრება სისტემიდან და რეალური კოეფიციენტებით, ამიტომ ვექტორი v შეიძლება მივიღოთ. რომ იყოს რეალური x სისტემის ზოგადი ამონახსნები" = Ax რეალური მატრიცით შეიძლება გამოისახოს რეალური ფუნქციები. ამისათვის ჩვენ უნდა ავიღოთ საკუთრივ ვექტორები, როგორიცაა ლემა 9-ში და შემდეგ შეცვალოთ რთული კონიუგატური ამონახსნების თითოეული წყვილი x1 = eAlV, x2 = eXltv2 რეალური ამონახსნებით, როგორც ეს არის. ჩვენ ვიღებთ ნამდვილს ფუნდამენტური სისტემაამონახსნები და მისი მეშვეობით გამოხატოს ზოგადი ამოხსნა. I მაგალითი 21. ამოხსენით სისტემა მაგალითის ამოხსნა. ჩვენ ვადგენთ და ვხსნით დამახასიათებელ განტოლებას წრფივი სისტემები მუდმივი კოეფიციენტებით. ჩვენ ვპოულობთ საკუთრივ ვექტორს (^j შეგვიძლია ავიღოთ მივიღებთ კონკრეტულ ამონახსნებს ამ სისტემის ამონახსნები არის ამ კონკრეტული ამონახსნის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები: J ამოხსნა ზოგად შემთხვევაში მოდით გავამარტივოთ სისტემა A მატრიცის შემცირებით უმარტივესი ფორმა- ჟორდანოვა. ცნობილია, რომ ნებისმიერი კვადრატული მატრიცადა არსებობს არაერთობითი მატრიცა C ისეთი, რომ მატრიცა B = C~[ AC არის იორდანული, ანუ Ki უჯრედები შეიძლება იყოს ნებისმიერი ზომის; თითოეულ უჯრედში მთელი დიაგონალის გასწვრივ არის ერთი და იგივე რიცხვი Af, ხოლო სხვადასხვა უჯრედებში A(შეიძლება იყოს განსხვავებული ან იგივე. ამიტომ მატრიცებს C"1 AC და A აქვთ იგივე დამახასიათებელი განტოლება, რაც ნიშნავს, რომ ისინი ერთი და იგივე ფესვებია. A^ იგივე სიმრავლით ჩვენ მივმართავთ სისტემას x" = Ax. ხაზოვანი ტრანსფორმაციაკოორდინატები x = Cy y, ანუ სადაც C მატრიცა იგივეა რაც ზემოთ. ვიღებთ მარცხნიდან გამრავლებას C"1-ზე, გვაქვს, ანუ სადაც B მატრიცა არის Jordan. თუ პირველ უჯრედს აქვს ზომა k x k, მეორეს - 1x1 და ა.შ., მაშინ y სისტემის პირველი k განტოლებები" = შეიტანეთ მხოლოდ უცნობი y p..., y*, შემდეგ I განტოლებებში - მხოლოდ უცნობი yt+1,..., yk+1 და ა.შ. ეს ნიშნავს, რომ სისტემა იყოფა ქვესისტემებად, რომელთაგან თითოეული შეიძლება ცალკე გადაწყდეს. პირველ ქვესისტემას აქვს ფორმა (სადაც A = X() სხვა ქვესისტემები განსხვავდებიან მხოლოდ X და k რიცხვებით. ჩანაცვლებით ვიღებთ ამ სისტემის ამოხსნას, ბოლო განტოლებიდან დაწყებული, ვპოულობთ გამრავლებას ex,t-ზე, ვიღებთ. პირველი ქვესისტემის ამონახსნი ეს ამონახსნი ზოგადია, ვინაიდან იგი მიღებულია განტოლებებიდან (73) იდენტური გარდაქმნების გამოყენებით, სხვა ქვესისტემების ამონახსნებს აქვთ მსგავსი ფორმა, განსხვავებული იქნება მხოლოდ რიცხვები k = k- და თვითნებური მუდმივები (cf-). Ly არის რიცხვი A j-ft უჯრედში, k არის მისი ზომა) ყველა ქვესისტემის ამონახსნის შეგროვებით, ჩვენ ვიღებთ მთლიანი სისტემის ზოგად ამონახსნებს" = By. y-დან x-ზე დაბრუნება (72). ), ვიღებთ შემდეგ შედეგს 16* სისტემის ზოგადი ამოხსნა x" = Ax არის ვექტორული ფუნქცია, რომელშიც თითოეულ კოორდინატს აქვს ფორმა, სადაც Ar .., At განსხვავებულია. საკუთარი მნიშვნელობებიმატრიცები A, არის ალგებრული პოლინომი, რომლის ხარისხი 1-ით ნაკლებია იორდანიის ყველაზე დიდი უჯრედის ზომაზე, რომელიც შეიცავს A;. ^(t) (» = 1,..., n; j = 1,..., m) მრავალწევრების კოეფიციენტები დამოკიდებულია n თვითნებურ მუდმივებზე. გადაწყვეტა კონკრეტული სისტემის x" = Ax შეიძლება მიღებულ იქნას A მატრიცის ჯორდანის ფორმამდე შემცირების გარეშე. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ A მატრიცის ყველა საკუთრივ მნიშვნელობები det (A - AE) განტოლებიდან - 0. თითოეული A-სთვის თქვენ უნდა იპოვოთ m წრფივი დამოუკიდებელი საკუთრივვექტორების რიცხვი m = n - r, სადაც n არის მატრიცის A - XE9 r მისი რიგი A ფესვის სიმრავლე, ეს ფესვი შეესაბამება ამონახსნებს, სადაც b!,..., b* არიან წრფივი საკუთრივ ვექტორები, თუ მატრიცა A რეალურია, მაშინ უნდა გამოვიყენოთ ლემა 9 და რაც იყო ნათქვამი. m-ის შემთხვევაში უნდა ვეძებოთ ამონახსნი x = (xр..., xn)T სახით, სადაც 8 = k - n კოეფიციენტები a, b,... c ამ სისტემას, შემცირებით e^-ით და გავუტოლებით მსგავსი ტერმინების კოეფიციენტებს, ვიღებთ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემას a, b, რიცხვების საპოვნელად.... აუცილებელია ამ სისტემის ზოგადი ამონახსნის პოვნა, k თვითნებური მუდმივებიდან გამომდინარე. . (გაითვალისწინეთ, რომ k ^ 4-ის შემთხვევაში, პოლინომებში ყველა წამყვანი კოეფიციენტი ზოგჯერ აღმოჩნდება ნულის ტოლი, მაგრამ ეს არ გვიშლის ხელს ამოხსნის პოვნაში.) ამის გაკეთების შემდეგ თითოეული A-სთვის და ნაპოვნი ამონახსნების შეკრებით, მივიღებთ სისტემის ზოგად ამონახსნებს. თუ მატრიცა A რეალურია, მაშინ საკმარისია გავაკეთოთ ის, რაც აღწერილია მხოლოდ ნამდვილ ფესვებზე და კომპლექსური კონიუგატური ფესვებიდან თითოეული წყვილისთვის A = a ± pi (RF 0) და მიღებულიდან აიღოთ რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები. გამოსავალი. მაგალითად, x1 = (cj + C2t)elt ამონახსნიდან მიიღება ორი ამონახსნი: u1 = Re xx - (cj + cjt) cos t და u2 = (C3 + cAt) sin t ახალი მუდმივებით Cj,c4. (ამ მეთოდის დასაბუთება მოითხოვს დეტალური ანალიზიდა მითითებულია , § 34.) I მაგალითი 22. ამოხსენით სისტემა მაგალითის ამოხსნა. ჩვენ ვადგენთ და ვხსნით დამახასიათებელ განტოლებას For მარტივი ფესვი A = -2 ჩვენ ვპოულობთ საკუთრივ ვექტორს (a, p, 7) შეგიძლიათ აიღოთ a = p = 2, 7 = -2. ჩვენ გვაქვს კონკრეტული ამონახსნი მრავალჯერადი ფესვისთვის A2 3 = 1, ვპოულობთ A - XE მატრიცის წოდებას, საკუთრივ ვექტორების რიცხვს m და მრავალწევრის ხარისხს: ჩვენ ვეძებთ ამონახსნის სახით ჩაანაცვლეთ ეს ამ სისტემაში. და შეამცირეთ e*-ით. ჩვენ ვაიგივებთ მსგავსი ტერმინების კოეფიციენტებს, დაწყებული უმაღლესით: ამ სისტემის ზოგადი გამოსავალი უნდა ვიპოვოთ. A = 1 ფესვის სიმრავლე არის 2, ასე რომ ყველაფერი უცნობი ა, ბ,... ორი მათგანის მეშვეობით უნდა გამოიხატოს (ჯერ არ ვიცით რომელი). პირველი სამი განტოლებიდან გვაქვს b = d = 2d. დარჩენილი განტოლებებით ჩანაცვლებით მივიღებთ ყველა უცნობის გამოხატვას ბოლომდე. Ჩვენ გვაქვს. პარამეტრი d = Cj, c = Cj, ვიღებთ. მისი ჩანაცვლებით (77) და დავამატებთ კონკრეტული ამონახსნებს (76), გამრავლებული su-ზე, მივიღებთ სისტემის ზოგად ამონახსნებს: ხაზოვანი. ჰეტეროგენული სისტემებიმუდმივი კოეფიციენტებით. ასეთი სისტემის ამოხსნა ყოველთვის შეიძლება მიღებულ იქნას მუდმივების ცვალებადობის მეთოდით (§9 პუნქტის 5). ამ შემთხვევაში ინტეგრაცია გამოიყენება. თუმცა, იმ შემთხვევაში, როდესაც f((t) არაერთგვაროვნება სისტემაში (70) გამოიხატება მხოლოდ atm, e7*, cos/3*, sin fit ფუნქციების ჯამებითა და ნამრავლებით, სისტემის კონკრეტული ამოხსნა შეიძლება იყოს. ნაპოვნი ინტეგრაციის გარეშე - მეთოდით გაურკვეველი კოეფიციენტები, როგორც ქვემოთაა ნაჩვენები. ვინაიდან სისტემის ამონახსნი x" = Ax + fl(t) +... + fr(t) უდრის სისტემების ამონახსნების ჯამს (xj)" = Axj + fj(t) (j = 1 ,..., r), და სინუსები და კოსინუსები ეილერის ფორმულების მიხედვით გამოიხატება მეშვეობით ექსპონენციალური ფუნქციები, მაშინ საკმარისია მიუთითოთ სისტემის კონკრეტული ამოხსნის ფორმა x" = Ax + pfe7*, სადაც p(t) - amtm + am_xtm~x +... + a0; ao" "at - ვექტორები. ამ სისტემით გავაკეთეთ იგივე გარდაქმნები, როგორც მე-3 პუნქტში x1 = Ax სისტემით, ვიღებთ (74) სისტემას, სადაც p*(ξ) არის მაქსიმუმ m ხარისხის პოლინომები ამ თემიდან თანმიმდევრულად ვპოულობთ zk, zk_v ..., zx შესაძლებელია ორი შემთხვევა, თუ 7 - А Ф 0, მაშინ Jpl(t)eb-»dt = ql(t) არის იგივე ხარისხის მრავალწევრი. ინტეგრაციის მუდმივები ნულის ტოლია, რადგან ჩვენ ვეძებთ კონკრეტულ ამონახსნებს zk_v... ,z (. ვიღებთ * სადაც q*(t) არის m-ზე მაღალი ხარისხის პოლინომები. თუ 7 - A = 0, მაშინ £. 1, და ყოველ ჯერზე, როდესაც ინტეგრირებულია მხოლოდ პოლინომი, მისი ხარისხი იზრდება 1-ით. k ინტეგრაციის შემდეგ, ხარისხი იზრდება k-ით + k z- ფუნქციებიდან y-ზე დაბრუნებით (და შემდეგ x-ზე, ვხვდებით, რომ სისტემას აქვს კონკრეტული ამონახსნი, სადაც q^t) - m-ზე მაღალი ხარისხის მრავალწევრი, თუ 7 არ ემთხვევა. ნებისმიერი ფესვი და ხარისხი, რომელიც არ აღემატება m + fy, თუ 7 ემთხვევა A^ ფესვს; რიცხვი k- უდრის იორდანეს უჯრედებიდან ყველაზე დიდი ზომის A;-ს. მაშასადამე, kj 1-ით მეტია მრავალწევრების უმაღლეს ხარისხზე გამრავლებული ex"r-ზე ზოგად ამონახსნში. ერთგვაროვანი სისტემა. I მაგალითი 23. სისტემის ამოხსნა I L მაგალითის ამოხსნა. ერთგვაროვანი სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა მიღებული იქნა მაგალით 21-ში, აქ A. 2 = 2 ± i. არაჰომოგენურობისთვის 4е და cos* რიცხვები 7 = 2 და 7 = 2 +t განსხვავებულია, ამიტომ ორი სისტემა უნდა გადაწყდეს სისტემისთვის 7 = 2^ A;, შესაბამისად, კონკრეტული ამოხსნა. ჩანაცვლებით (79), ჩვენ ვპოულობთ a = b = c = 1, d = 0. ეს ნიშნავს, რომ სისტემაში (80) ჩვენ ვცვლით 4e2*cos$-ს 4e*2+|^. რიცხვი 4 მივიჩნევთ 0 ხარისხის მრავალწევრად. ვინაიდან 7 = 2 + i = A, k = 1, მრავალწევრის ხარისხი იზრდება 1-ით და სისტემაში ჩანაცვლებით, რომელშიც Re გაუქმებულია, მივიღებთ განტოლებებს დამოკიდებულები. ბევრი გამოსავალია. ვიღებთ კონკრეტულ ამონახსანს, მაგალითად, სისტემის ზოგადი ამონახსნი x = x0 + x( + x2, y = y0 + y! + y2* სადაც x0, y0 არის ერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნი (მაგალითი 21) და x. (, y, x2, y2 აქ არის ამოცანები სავარჯიშოებისთვის: წრფივი სისტემები მუდმივი კოეფიციენტებით I განტოლებათა სისტემებს, რომლებიც არ შემცირდება ნორმალურ ფორმამდე, აქვთ თვისებები განსხვავებული ფორმის სისტემებისგან (70). § 11-ის მიხედვით, ყველა ამონახსნები არის ამონახსნების წრფივი კომბინაციები x = r(t)ext, y = s(f)eM, სადაც A არის დამახასიათებელი განტოლების ნებისმიერი ფესვი - პოლინომები, რომელთა ხარისხი ნაკლებია A ფესვის k მრავალჯერადზე (თუ A = 1, მაშინ * არის რიცხვები). თუ ცნობილია არა მხოლოდ რიცხვები A, არამედ ის საფუძველი, რომლითაც მატრიცას აქვს იორდანიის ფორმა, მაშინ ამონახსნი x" = Ax იწერება აშკარა ფორმით (თეორემა 11; § 14, პუნქტი 3) მუდმივი კოეფიციენტებით წრფივი განტოლებების და სისტემების ამოხსნის ოპერატიული მეთოდი წარმოდგენილია §24-ში. ცნობილია x1 = Ax 4 - f(t) სისტემის პერიოდული ამონახსნის არსებობის პირობები f(t) პერიოდული ვექტორული ფუნქციით (თავი 4, §7, პუნქტი 3).