მარტივი ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნა. ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნა - დასკვნითი გაკვეთილი

დღეს ჩვენ ვისწავლით უმარტივესი ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნას, სადაც არ არის საჭირო წინასწარი გარდაქმნები ან ფესვების შერჩევა. მაგრამ თუ ისწავლით ასეთი განტოლებების ამოხსნას, მაშინ ეს ბევრად უფრო ადვილი იქნება.

უმარტივესი ლოგარითმული განტოლება არის log a f (x) = b ფორმის განტოლება, სადაც a, b არის რიცხვები (a > 0, a ≠ 1), f (x) არის გარკვეული ფუნქცია.

გამორჩეული თვისება ყველა ლოგარითმული განტოლებები- x ცვლადის არსებობა ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ. თუ ეს არის განტოლება თავდაპირველად მოცემულ პრობლემაში, მას უმარტივესს უწოდებენ. ნებისმიერი სხვა ლოგარითმული განტოლება მცირდება უმარტივესამდე სპეციალური გარდაქმნებით (იხ. „ლოგარითმების ძირითადი თვისებები“). ამასთან, გასათვალისწინებელია მრავალი დახვეწილობა: შეიძლება წარმოიშვას დამატებითი ფესვები, ამიტომ რთული ლოგარითმული განტოლებები ცალკე განიხილება.

როგორ ამოხსნათ ასეთი განტოლებები? საკმარისია ტოლობის ნიშნის მარჯვნივ რიცხვი შევცვალოთ ლოგარითმით იმავე ბაზაზე, როგორც მარცხნივ. შემდეგ შეგიძლიათ მოიცილოთ ლოგარითმის ნიშანი. ჩვენ ვიღებთ:

log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b

მივიღეთ ჩვეულებრივი განტოლება. მისი ფესვები თავდაპირველი განტოლების ფესვებია.

ხარისხების ამოღება

ხშირად ლოგარითმული განტოლებები, რომლებიც გარეგნულად რთულად და საშიშად გამოიყურება, წყდება სიტყვასიტყვით რამდენიმე სტრიქონში ჩართვის გარეშე. რთული ფორმულები. დღეს ჩვენ განვიხილავთ სწორედ ასეთ პრობლემებს, სადაც ყველაფერი რაც თქვენგან გჭირდებათ არის ფორმულის ფრთხილად დაყვანა კანონიკურ ფორმამდე და არ დაიბნეთ ლოგარითმების განსაზღვრის დომენის ძიებისას.

დღეს, როგორც თქვენ ალბათ სათაურიდან მიხვდით, ჩვენ მოვაგვარებთ ლოგარითმულ განტოლებებს კანონიკურ ფორმაზე გადასვლის ფორმულების გამოყენებით. ამ ვიდეო გაკვეთილის მთავარი „ხრიკი“ იქნება ხარისხებთან მუშაობა, უფრო სწორად, ხარისხის გამოტანა საფუძვლიდან და არგუმენტიდან. მოდით შევხედოთ წესს:

ანალოგიურად, თქვენ შეგიძლიათ მიიღოთ ხარისხი ბაზიდან:

როგორც ვხედავთ, თუ ხარისხს ლოგარითმის არგუმენტიდან ვხსნით, უბრალოდ წინ გვაქვს დამატებითი კოეფიციენტი, მაშინ როდესაც ხარისხს ფუძიდან ვხსნით, ვიღებთ არა მხოლოდ კოეფიციენტს, არამედ ინვერსიულ ფაქტორს. ეს უნდა ახსოვდეს.

და ბოლოს, ყველაზე საინტერესო. ეს ფორმულები შეიძლება გაერთიანდეს, შემდეგ მივიღებთ:

რა თქმა უნდა, ამ გადასვლების განხორციელებისას, არსებობს გარკვეული ხარვეზები, რომლებიც დაკავშირებულია განმარტების ფარგლების შესაძლო გაფართოებასთან ან, პირიქით, განმარტების ფარგლების შევიწროებასთან. თავად განსაჯეთ:

ჟურნალი 3 x 2 = 2 ∙ ჟურნალი 3 x

თუ პირველ შემთხვევაში x შეიძლება იყოს 0-ის გარდა ნებისმიერი რიცხვი, ანუ მოთხოვნა x ≠ 0, მაშინ მეორე შემთხვევაში ჩვენ ვკმაყოფილდებით მხოლოდ x-ით, რომელიც არა მხოლოდ არ არის ტოლი, არამედ მკაცრად მეტია 0-ზე, რადგან დომენი ლოგარითმის განმარტება არის ის, რომ არგუმენტი იყოს მკაცრად 0-ზე მეტი. ამიტომ, მე შეგახსენებთ მშვენიერ ფორმულას მე-8-9 კლასის ალგებრის კურსიდან:

ანუ, ჩვენ უნდა დავწეროთ ჩვენი ფორმულა შემდეგნაირად:

ჟურნალი 3 x 2 = 2 ∙ ჟურნალი 3 |x |

მაშინ არ მოხდება განმარტების ფარგლების შევიწროება.

თუმცა, დღევანდელ ვიდეო გაკვეთილში არ იქნება კვადრატები. თუ ჩვენს ამოცანებს გადახედავთ, მხოლოდ ფესვებს დაინახავთ. ამიტომ, ჩვენ არ გამოვიყენებთ ამ წესს, მაგრამ მაინც აუცილებელია მისი გათვალისწინება ისე, რომ შესაფერისი მომენტიროდესაც თქვენ ხედავთ კვადრატული ფუნქციაარგუმენტში ან ლოგარითმის საფუძველში თქვენ დაიმახსოვრებთ ამ წესს და სწორად შეასრულებთ ყველა ტრანსფორმაციას.

ასე რომ, პირველი განტოლება არის:

ამ პრობლემის გადასაჭრელად, მე გთავაზობთ ყურადღებით დავაკვირდეთ ფორმულაში მოცემულ თითოეულ ტერმინს.

მოდით გადავიწეროთ პირველი წევრი, როგორც ძალა რაციონალური მაჩვენებლით:

ჩვენ ვუყურებთ მეორე წევრს: log 3 (1 − x). აქ არაფრის გაკეთება არ არის საჭირო, აქ უკვე ყველაფერი ტრანსფორმირებულია.

და ბოლოს, 0, 5. როგორც წინა გაკვეთილებზე ვთქვი, ლოგარითმული განტოლებებისა და ფორმულების ამოხსნისას უაღრესად გირჩევთ ათობითი წილადებიდან ჩვეულებრივზე გადასვლას. Მოდი გავაკეთოთ ეს:

0,5 = 5/10 = 1/2

მოდით გადავიწეროთ ჩვენი ორიგინალური ფორმულა მიღებული ტერმინების გათვალისწინებით:

ჟურნალი 3 (1 − x) = 1

ახლა გადავიდეთ კანონიკურ ფორმაზე:

log 3 (1 − x ) = log 3 3

ლოგარითმის ნიშანს ვხსნით არგუმენტების გათანაბრების გზით:

1 − x = 3

-x = 2

x = −2

ესე იგი, ჩვენ გადავწყვიტეთ განტოლება. თუმცა, მოდით მაინც ვითამაშოთ უსაფრთხოდ და ვიპოვოთ განმარტების დომენი. ამისათვის დავუბრუნდეთ თავდაპირველ ფორმულას და ვნახოთ:

1 − x > 0

−x > −1

x< 1

ჩვენი ფესვი x = −2 აკმაყოფილებს ამ მოთხოვნას, ამიტომ x = −2 არის საწყისი განტოლების ამონახსნი. ახლა მივიღეთ მკაცრი, მკაფიო დასაბუთება. ესე იგი, პრობლემა მოგვარებულია.

გადავიდეთ მეორე დავალებაზე:

მოდით შევხედოთ თითოეულ ტერმინს ცალკე.

მოდით დავწეროთ პირველი:

ჩვენ შევცვალეთ პირველი ვადა. ჩვენ ვმუშაობთ მეორე ტერმინით:

დაბოლოს, ბოლო ტერმინი, რომელიც არის ტოლობის ნიშნის მარჯვნივ:

ჩვენ ვცვლით შედეგად გამოსახულებებს ტერმინების ნაცვლად მიღებული ფორმულაში:

ჟურნალი 3 x = 1

გადავიდეთ კანონიკურ ფორმაზე:

ჟურნალი 3 x = ჟურნალი 3 3

ჩვენ ვაშორებთ ლოგარითმის ნიშანს, არგუმენტების გათანაბრებას და მივიღებთ:

x = 3

ისევ იმისთვის, რომ უსაფრთხოდ ვიყოთ, დავუბრუნდეთ თავდაპირველ განტოლებას და შევხედოთ. თავდაპირველ ფორმულაში ცვლადი x არის მხოლოდ არგუმენტში, შესაბამისად,

x > 0

მეორე ლოგარითმში x არის ფესვის ქვეშ, მაგრამ ისევ არგუმენტში, შესაბამისად, ფესვი უნდა იყოს 0-ზე მეტი, ანუ რადიკალური გამოხატულება უნდა იყოს 0-ზე მეტი. ჩვენ ვუყურებთ ჩვენს ფესვს x = 3. ცხადია, ის აკმაყოფილებს ამ მოთხოვნას. მაშასადამე, x = 3 არის საწყისი ლოგარითმული განტოლების ამონახსნი. ესე იგი, პრობლემა მოგვარებულია.

დღევანდელ ვიდეო გაკვეთილში ორი ძირითადი პუნქტია:

1) არ შეგეშინდეთ ლოგარითმების გარდაქმნის და, კერძოდ, ნუ შეგეშინდებათ ძალაუფლების ამოღება ლოგარითმის ნიშნიდან, ამასთანავე გავიხსენოთ ჩვენი ძირითადი ფორმულა: არგუმენტიდან ძალაუფლების ამოღებისას ის უბრალოდ ამოღებულია ცვლილებების გარეშე. მულტიპლიკატორის სახით და ბაზიდან სიმძლავრის ამოღებისას ეს სიმძლავრე ინვერსიულია.

2) მეორე პუნქტი დაკავშირებულია თავად კანონიკურ ფორმასთან. ჩვენ გადავიდეთ კანონიკურ ფორმაზე ლოგარითმული განტოლების ფორმულის გარდაქმნის ბოლოს. ნება მომეცით შეგახსენოთ შემდეგი ფორმულა:

a = ჟურნალი b b a

რასაკვირველია, გამოთქმაში „ნებისმიერი რიცხვი b“ ვგულისხმობ იმ რიცხვებს, რომლებიც აკმაყოფილებენ ლოგარითმის ბაზაზე დაწესებულ მოთხოვნებს, ე.ი.

1 ≠ b > 0

ასეთი ბ-ისთვის და რადგან ჩვენ უკვე ვიცით საფუძველი, ეს მოთხოვნა ავტომატურად შესრულდება. მაგრამ ასეთი b - ნებისმიერი, რომელიც აკმაყოფილებს ამ მოთხოვნას - ეს გადასვლა შეიძლება შესრულდეს და ჩვენ წარმატებას მივაღწევთ კანონიკური ფორმა, რომელშიც შეგიძლიათ მოიცილოთ ლოგარითმის ნიშანი.

განმარტებისა და დამატებითი ფესვების დომენის გაფართოება

ლოგარითმული განტოლებების გარდაქმნის პროცესში შეიძლება მოხდეს განმარტების სფეროს იმპლიციტური გაფართოება. ხშირად მოსწავლეები ამას ვერც კი ამჩნევენ, რაც იწვევს შეცდომებს და არასწორ პასუხებს.

დავიწყოთ უმარტივესი დიზაინით. უმარტივესი ლოგარითმული განტოლება შემდეგია:

log a f (x) = b

გაითვალისწინეთ, რომ x არის ერთი ლოგარითმის მხოლოდ ერთ არგუმენტში. როგორ ამოვხსნათ ასეთი განტოლებები? ჩვენ ვიყენებთ კანონიკურ ფორმას. ამისათვის წარმოიდგინეთ რიცხვი b = log a a b და ჩვენი განტოლება გადაიწერება შემდეგნაირად:

log a f (x) = log a a b

ამ ჩანაწერს კანონიკური ფორმა ეწოდება. სწორედ ამაზე უნდა შეამციროთ ნებისმიერი ლოგარითმული განტოლება, რომელსაც შეხვდებით არა მხოლოდ დღევანდელ გაკვეთილზე, არამედ ნებისმიერ დამოუკიდებელ და სატესტო სამუშაოში.

როგორ მივიდეთ კანონიკურ ფორმამდე და რა ტექნიკის გამოყენება პრაქტიკის საკითხია. მთავარი გასაგებად არის ის, რომ როგორც კი მიიღებთ ასეთ ჩანაწერს, შეგიძლიათ ჩათვალოთ პრობლემა მოგვარებულად. რადგან შემდეგი ნაბიჯი არის დაწერა:

f (x) = a b

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ ვიშორებთ ლოგარითმის ნიშანს და უბრალოდ ვაიგივებთ არგუმენტებს.

რატომ მთელი ეს საუბარი? ფაქტია, რომ კანონიკური ფორმა გამოიყენება არა მხოლოდ უმარტივეს პრობლემებზე, არამედ ნებისმიერ სხვაზე. კერძოდ, ის, რასაც დღეს გადავწყვეტთ. მოდით შევხედოთ.

პირველი დავალება:

რა პრობლემაა ამ განტოლებაში? ფაქტია, რომ ფუნქცია ერთდროულად ორ ლოგარითმშია. პრობლემა შეიძლება შემცირდეს უმარტივესამდე ერთი ლოგარითმის მეორის უბრალოდ გამოკლებით. მაგრამ პრობლემები წარმოიქმნება განმარტების არეალთან დაკავშირებით: შეიძლება გამოჩნდეს დამატებითი ფესვები. მოდით გადავიტანოთ ერთ-ერთი ლოგარითმი მარჯვნივ:

ეს ჩანაწერი ბევრად უფრო ჰგავს კანონიკურ ფორმას. მაგრამ არის კიდევ ერთი ნიუანსი: კანონიკური ფორმით, არგუმენტები უნდა იყოს იგივე. და მარცხნივ გვაქვს ლოგარითმი მე-3 ფუძეში, მარჯვნივ კი 1/3 ფუძეში. მან იცის, რომ ეს ბაზები ერთსა და იმავე რაოდენობაზე უნდა მიიყვანონ. მაგალითად, გავიხსენოთ რა არის უარყოფითი ძალები:

შემდეგ ჩვენ გამოვიყენებთ „−1“ მაჩვენებელს ჟურნალის გარეთ, როგორც მულტიპლიკატორად:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ხარისხი, რომელიც იყო ფუძეზე, გადატრიალებულია და იქცევა წილადად. ჩვენ მივიღეთ თითქმის კანონიკური აღნიშვნა სხვადასხვა ფუძის მოშორებით, მაგრამ სანაცვლოდ მივიღეთ ფაქტორი „−1“ მარჯვნივ. მოდით, ეს ფაქტორი არგუმენტად გადავიტანოთ ძალაში გადაქცევით:

რა თქმა უნდა, კანონიკური ფორმის მიღების შემდეგ, ჩვენ თამამად ვკვეთთ ლოგარითმის ნიშანს და ვაიგივებთ არგუმენტებს. ამავდროულად, ნება მომეცით შეგახსენოთ, რომ "−1" ხარისხზე ასვლისას წილადი უბრალოდ გადატრიალდება - მიიღება პროპორცია.

მოდით გამოვიყენოთ პროპორციის ძირითადი თვისება და გავამრავლოთ იგი ჯვარედინად:

(x − 4) (2x − 1) = (x − 5) (3x − 4)

2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20

2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20

x 2 − 10x + 16 = 0

რაც ჩვენს წინაშეა არის კვადრატული განტოლებაასე რომ, ჩვენ ვხსნით მას Vieta-ს ფორმულების გამოყენებით:

(x − 8) (x − 2) = 0

x 1 = 8; x 2 = 2

Სულ ეს არის. როგორ ფიქრობთ, განტოლება ამოხსნილია? არა! ასეთი ამოხსნისთვის მივიღებთ 0 ქულას, რადგან თავდაპირველი განტოლება შეიცავს ორ ლოგარითმს x ცვლადით. აქედან გამომდინარე, აუცილებელია გავითვალისწინოთ განმარტების სფერო.

და სწორედ აქ იწყება გართობა. სტუდენტების უმეტესობა დაბნეულია: რა არის ლოგარითმის განმარტების სფერო? რა თქმა უნდა, ყველა არგუმენტი (ჩვენ გვაქვს ორი) უნდა იყოს ნულზე მეტი:

(x − 4)/(3x − 4) > 0

(x − 5)/(2x − 1) > 0

თითოეული ეს უტოლობა უნდა გადაწყდეს, მონიშნოს სწორ ხაზზე, გადაიკვეთოს და მხოლოდ ამის შემდეგ ნახოთ, რომელი ფესვები დევს კვეთაზე.

გულწრფელი ვიქნები: ამ ტექნიკას აქვს არსებობის უფლება, ის საიმედოა და თქვენ მიიღებთ სწორ პასუხს, მაგრამ მასში ძალიან ბევრი არასაჭირო ნაბიჯია. მოდით, კიდევ ერთხელ გადავხედოთ ჩვენს გადაწყვეტას და ვნახოთ: ზუსტად სად უნდა გამოვიყენოთ ფარგლები? სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნათლად უნდა გესმოდეთ, როდის გამოჩნდება ზუსტად დამატებითი ფესვები.

1. თავდაპირველად ორი ლოგარითმი გვქონდა. შემდეგ ჩვენ გადავიყვანეთ ერთი მათგანი მარჯვნივ, მაგრამ ამან არ იმოქმედა განსაზღვრების არეალზე.
2. შემდეგ ჩვენ ვაშორებთ ძალას ფუძიდან, მაგრამ ჯერ კიდევ არის ორი ლოგარითმი და თითოეულ მათგანში არის ცვლადი x.
3. ბოლოს, ჩვენ გადავკვეთთ ლოგის ნიშნებს და ვიღებთ კლასიკას წილადი რაციონალური განტოლება.

ბოლო საფეხურზეა გაფართოვებული განმარტების ფარგლები! როგორც კი გადავედით წილად-რაციონალურ განტოლებაზე, ლოგის ნიშნების მოშორებით, x ცვლადის მოთხოვნები მკვეთრად შეიცვალა!

შესაბამისად, განმარტების დომენი შეიძლება ჩაითვალოს არა ამოხსნის დასაწყისში, არამედ მხოლოდ აღნიშნულ საფეხურზე - არგუმენტების უშუალო გათანაბრებამდე.

სწორედ აქ არის ოპტიმიზაციის შესაძლებლობა. ერთის მხრივ, ჩვენ გვჭირდება, რომ ორივე არგუმენტი იყოს ნულზე მეტი. მეორე მხრივ, ჩვენ კიდევ უფრო ვაიგივებთ ამ არგუმენტებს. მაშასადამე, თუ ერთი მათგანი მაინც დადებითია, მაშინ მეორეც დადებითი იქნება!

ასე რომ, გამოდის, რომ ორი უტოლობის ერთდროულად შესრულების მოთხოვნა ზედმეტია. საკმარისია ამ წილადებიდან მხოლოდ ერთის გათვალისწინება. Რომელი? ის, რაც უფრო მარტივია. მაგალითად, მოდით შევხედოთ მარჯვენა წილადს:

(x − 5)/(2x − 1) > 0

ეს ტიპიურია წილადი რაციონალური უტოლობა, ჩვენ ვხსნით მას ინტერვალის მეთოდით:

როგორ მოვათავსოთ ნიშნები? ავიღოთ რიცხვი, რომელიც აშკარად აღემატება ჩვენს ყველა ფესვს. მაგალითად, 1 მილიარდი და ჩვენ ვცვლით მის წილადს. ვიღებთ დადებით რიცხვს, ე.ი. ფესვის მარჯვნივ x = 5 იქნება პლუს ნიშანი.

შემდეგ ნიშნები ერთმანეთს ენაცვლება, რადგან არსად არ არის თანაბარი სიმრავლის ფესვები. ჩვენ გვაინტერესებს ინტერვალები, სადაც ფუნქცია დადებითია. აქედან გამომდინარე, x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).

ახლა გავიხსენოთ პასუხები: x = 8 და x = 2. მკაცრად რომ ვთქვათ, ეს ჯერ არ არის პასუხები, არამედ მხოლოდ პასუხის კანდიდატები. რომელი ეკუთვნის მითითებულ კომპლექტს? რა თქმა უნდა, x = 8. მაგრამ x = 2 არ გვერგება მისი განმარტების დომენის თვალსაზრისით.

საერთო ჯამში, პასუხი პირველ ლოგარითმულ განტოლებაზე იქნება x = 8. ახლა ჩვენ გვაქვს კომპეტენტური, კარგად დასაბუთებული გამოსავალი, განმარტების დომენის გათვალისწინებით.

გადავიდეთ მეორე განტოლებაზე:

log 5 (x − 9) = log 0.5 4 − log 5 (x − 5) + 3

შეგახსენებთ, რომ თუ განტოლებაში არის ათობითი წილადი, მაშინ უნდა მოიცილოთ იგი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გადავიწეროთ 0.5 ფორმაში საერთო წილადი. ჩვენ მაშინვე შევნიშნავთ, რომ ამ ბაზის შემცველი ლოგარითმი ადვილად გამოითვლება:

ეს ძალიან მნიშვნელოვანი მომენტია! როდესაც ჩვენ გვაქვს გრადუსები როგორც საფუძველში, ასევე არგუმენტში, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიტანოთ ამ გრადუსების ინდიკატორები ფორმულის გამოყენებით:

მოდით დავუბრუნდეთ ჩვენს თავდაპირველ ლოგარითმულ განტოლებას და ხელახლა დავწეროთ:

log 5 (x − 9) = 1 − log 5 (x − 5)

ჩვენ მივიღეთ კანონიკურ ფორმასთან საკმაოდ ახლოს დიზაინი. თუმცა, ჩვენ დაბნეული ვართ ტერმინებით და მინუს ნიშანი ტოლობის ნიშნის მარჯვნივ. მოდით წარმოვიდგინოთ ერთი, როგორც ლოგარითმი 5-ის ბაზაზე:

log 5 (x − 9) = log 5 5 1 − log 5 (x − 5)

გამოვაკლოთ ლოგარითმები მარჯვნივ (ამ შემთხვევაში მათი არგუმენტები იყოფა):

log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)

მშვენიერია. ასე მივიღეთ კანონიკური ფორმა! ჩვენ ვკვეთთ ჟურნალის ნიშნებს და ვაიგივებთ არგუმენტებს:

(x − 9)/1 = 5/(x − 5)

ეს არის პროპორცია, რომლის ამოხსნაც მარტივად შეიძლება ჯვარედინი გამრავლებით:

(x − 9) (x − 5) = 5 1

x 2 − 9x − 5x + 45 = 5

x 2 − 14x + 40 = 0

ცხადია, ჩვენ გვაქვს შემცირებული კვადრატული განტოლება. მისი მარტივად გადაჭრა შესაძლებელია Vieta-ს ფორმულების გამოყენებით:

(x − 10) (x − 4) = 0

x 1 = 10

x 2 = 4

ორი ფესვი გვაქვს. მაგრამ ეს არ არის საბოლოო პასუხები, არამედ მხოლოდ კანდიდატები, რადგან ლოგარითმული განტოლება ასევე მოითხოვს განსაზღვრების დომენის შემოწმებას.

შეგახსენებთ: არ არის საჭირო ძებნა როდის ყოველიარგუმენტებიდან ნულზე მეტი იქნება. საკმარისია მოვითხოვოთ, რომ ერთი არგუმენტი - x − 9 ან 5/ (x − 5) - იყოს ნულზე მეტი. განვიხილოთ პირველი არგუმენტი:

x − 9 > 0

x > 9

ცხადია, მხოლოდ x = 10 აკმაყოფილებს ამ მოთხოვნას. მთელი პრობლემა მოგვარებულია.

კიდევ ერთხელ, დღევანდელი გაკვეთილის ძირითადი აზრები:

1. როგორც კი ცვლადი x გამოჩნდება რამდენიმე ლოგარითმში, განტოლება წყვეტს ელემენტარულობას და მას უნდა გამოითვალოს განმარტების დომენი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად დაწეროთ დამატებითი ფესვები პასუხში.
2. თავად დომენთან მუშაობა შეიძლება მნიშვნელოვნად გამარტივდეს, თუ უთანასწორობას ამოვიწერთ არა მაშინვე, არამედ ზუსტად იმ მომენტში, როდესაც მოვიშორებთ ჟურნალის ნიშნებს. ბოლოს და ბოლოს, როდესაც არგუმენტები ერთმანეთს უტოლდება, საკმარისია მოვითხოვოთ, რომ მხოლოდ ერთი მათგანი იყოს ნულზე მეტი.

რა თქმა უნდა, ჩვენ თვითონ ვირჩევთ რომელი არგუმენტი გამოვიყენოთ უტოლობის ფორმირებისთვის, ამიტომ ლოგიკურია ავირჩიოთ უმარტივესი. მაგალითად, მეორე განტოლებაში ავირჩიეთ არგუმენტი (x − 9) - ხაზოვანი ფუნქცია, წილადი რაციონალური მეორე არგუმენტისგან განსხვავებით. დამეთანხმებით, x − 9 > 0 უტოლობის ამოხსნა ბევრად უფრო ადვილია, ვიდრე 5/(x − 5) > 0. თუმცა შედეგი იგივეა.

ეს შენიშვნა მნიშვნელოვნად ამარტივებს ODZ-ის ძიებას, მაგრამ ფრთხილად იყავით: თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ერთი უტოლობა ორის ნაცვლად მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ არგუმენტები ზუსტად არის ერთმანეთის ტოლები არიან!

რა თქმა უნდა, ვიღაც ახლა იკითხავს: რა ხდება სხვაგვარად? Დიახ ზოგჯერ. მაგალითად, თავად ნაბიჯში, როდესაც ვამრავლებთ ცვლადის შემცველ ორ არგუმენტს, არსებობს ზედმეტი ფესვების გაჩენის საშიშროება.

თავად განსაჯეთ: ჯერ საჭიროა, რომ თითოეული არგუმენტი იყოს ნულზე მეტი, მაგრამ გამრავლების შემდეგ საკმარისია მათი ნამრავლი იყოს ნულზე მეტი. შედეგად, გამოტოვებულია შემთხვევა, როდესაც თითოეული ეს წილადი უარყოფითია.

ამიტომ, თუ ახლა იწყებთ რთული ლოგარითმული განტოლებების გაგებას, არავითარ შემთხვევაში არ გაამრავლოთ ლოგარითმები, რომლებიც შეიცავს x ცვლადს - ეს ძალიან ხშირად გამოიწვევს არასაჭირო ფესვების გამოჩენას. უმჯობესია გადადგათ ერთი დამატებითი ნაბიჯი, გადაიტანოთ ერთი ტერმინი მეორე მხარეს და შექმნათ კანონიკური ფორმა.

აბა, რა უნდა გააკეთოთ, თუ არ შეგიძლიათ გააკეთოთ ასეთი ლოგარითმების გამრავლების გარეშე, განვიხილავთ შემდეგ ვიდეო გაკვეთილზე.

კიდევ ერთხელ განტოლებაში არსებული ძალების შესახებ

დღეს ჩვენ განვიხილავთ საკმაოდ მოლიპულ თემას ლოგარითმულ განტოლებებთან დაკავშირებით, უფრო ზუსტად კი, ძალაუფლების ამოღებას არგუმენტებიდან და ლოგარითმების საფუძვლებიდან.

მე კი ვიტყოდი ჩვენ ვისაუბრებთლუწი ძალაუფლების მოხსნის შესახებ, რადგან ლუწი ძალებთან ერთად წარმოიქმნება სირთულეების უმეტესობა რეალური ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნისას.

დავიწყოთ კანონიკური ფორმით. ვთქვათ, გვაქვს log a f (x) = b ფორმის განტოლება. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ხელახლა ვწერთ b რიცხვს b = log a a b ფორმულის გამოყენებით. გამოდის შემდეგი:

log a f (x) = log a a b

შემდეგ ვაიგივებთ არგუმენტებს:

f (x) = a b

ბოლო ფორმულას კანონიკური ფორმა ეწოდება. სწორედ ამით ცდილობენ შეამცირონ ნებისმიერი ლოგარითმული განტოლება, რაც არ უნდა რთული და საშინელი ჩანდეს ეს ერთი შეხედვით.

ამიტომ ვცადოთ. დავიწყოთ პირველი დავალებით:

წინასწარი შენიშვნა: როგორც ვთქვი, ყველაფერი ათწილადებილოგარითმულ განტოლებაში უმჯობესია გადაიყვანოთ იგი ჩვეულებრივად:

0,5 = 5/10 = 1/2

მოდით გადავიწეროთ ჩვენი განტოლება ამ ფაქტის გათვალისწინებით. გაითვალისწინეთ, რომ ორივე 1/1000 და 100 არის ათის ხარისხები და შემდეგ ავიღებთ ძალაუფლებებს, სადაც არ უნდა იყოს ისინი: არგუმენტებიდან და თუნდაც ლოგარითმების ფუძიდან:

და აქ ბევრ სტუდენტს აქვს შეკითხვა: "საიდან გაჩნდა მარჯვენა მოდული?" მართლაც, რატომ არ დაწეროთ უბრალოდ (x − 1)? რა თქმა უნდა, ახლა დავწერთ (x − 1), მაგრამ განსაზღვრების დომენის გათვალისწინება გვაძლევს ასეთი აღნიშვნის უფლებას. ბოლოს და ბოლოს, სხვა ლოგარითმი უკვე შეიცავს (x − 1) და ეს გამოხატულება უნდა იყოს ნულზე მეტი.

მაგრამ როცა კვადრატს ამოვიღებთ ლოგარითმის ფუძიდან, ზუსტად მოდული უნდა დავტოვოთ ბაზაზე. ნება მომეცით აგიხსნათ რატომ.

ფაქტია, რომ მათემატიკური თვალსაზრისით, ხარისხის აღება ფესვის აღების ტოლფასია. კერძოდ, როდესაც გამოსახულებას (x − 1) 2 კვადრატში ვაქცევთ, არსებითად ვიღებთ მეორე ფესვს. მაგრამ კვადრატული ფესვი სხვა არაფერია, თუ არა მოდული. ზუსტად მოდული, რადგანაც კი, თუ გამონათქვამი x − 1 უარყოფითია, კვადრატის კვადრატში „მინუსი“ მაინც დაიწვება. ფესვის შემდგომი ამოღება მოგვცემს დადებით რიცხვს - ყოველგვარი მინუსების გარეშე.

ზოგადად, შეურაცხმყოფელი შეცდომების თავიდან ასაცილებლად, ერთხელ და სამუდამოდ გახსოვდეთ:

ნებისმიერი ფუნქციის ლუწი სიმძლავრის ფესვი, რომელიც ამაღლებულია იმავე ძალამდე, უდრის არა თავად ფუნქციას, არამედ მის მოდულს:

დავუბრუნდეთ ჩვენს ლოგარითმულ განტოლებას. მოდულზე საუბრისას მე ვამტკიცებდი, რომ მისი ამოღება უმტკივნეულოდ შეგვიძლია. Ეს მართალია. ახლა აგიხსნით რატომ. მკაცრად რომ ვთქვათ, ორი ვარიანტი უნდა განვიხილოთ:

1. x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x − 1
2. x − 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

თითოეული ეს ვარიანტი უნდა განიხილებოდეს. მაგრამ არის ერთი დაჭერა: ორიგინალური ფორმულა უკვე შეიცავს ფუნქციას (x − 1) ყოველგვარი მოდულის გარეშე. და ლოგარითმების განსაზღვრის დომენის შემდეგ, ჩვენ გვაქვს უფლება დაუყოვნებლივ დავწეროთ, რომ x − 1 > 0.

ეს მოთხოვნა უნდა დაკმაყოფილდეს, მიუხედავად ნებისმიერი მოდულისა და სხვა ტრანსფორმაციისა, რომელსაც ჩვენ ვასრულებთ გადაწყვეტის პროცესში. ამიტომ, მეორე ვარიანტის განხილვას აზრი არ აქვს - ის არასოდეს წარმოიქმნება. უტოლობის ამ ტოტის ამოხსნისას რომც მივიღოთ რამდენიმე რიცხვი, ისინი მაინც არ ჩაირთვება საბოლოო პასუხში.

ახლა ჩვენ ფაქტიურად ერთი ნაბიჯით ვართ დაშორებული ლოგარითმული განტოლების კანონიკურ ფორმას. წარმოვიდგინოთ ერთეული შემდეგნაირად:

1 = log x − 1 (x − 1) 1

გარდა ამისა, ჩვენ არგუმენტში შემოგვაქვს ფაქტორი −4, რომელიც მარჯვნივ არის:

log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)

ჩვენს წინაშეა ლოგარითმული განტოლების კანონიკური ფორმა. ჩვენ ვაშორებთ ლოგარითმის ნიშანს:

10 −4 = x − 1

მაგრამ რადგან ბაზა იყო ფუნქცია (და არა მარტივი რიცხვი), ჩვენ დამატებით მოვითხოვთ, რომ ეს ფუნქცია იყოს ნულზე მეტი და არა ერთის ტოლი. შედეგად მიღებული სისტემა იქნება:

ვინაიდან მოთხოვნა x − 1 > 0 დაკმაყოფილებულია ავტომატურად (ბოლოს და ბოლოს, x − 1 = 10 −4), ერთ-ერთი უტოლობა შეიძლება წაიშალოს ჩვენი სისტემიდან. მეორე პირობა ასევე შეიძლება გადაიკვეთოს, რადგან x − 1 = 0.0001< 1. Итого получаем:

x = 1 + 0.0001 = 1.0001

ეს არის ერთადერთი ფესვი, რომელიც ავტომატურად აკმაყოფილებს ლოგარითმის განსაზღვრის დომენის ყველა მოთხოვნას (თუმცა, ყველა მოთხოვნა აღმოიფხვრა, როგორც აშკარად შესრულებულია ჩვენი პრობლემის პირობებში).

ასე რომ, მეორე განტოლება:

3 log 3 x x = 2 log 9 x x 2

რით განსხვავდება ეს განტოლება წინაგან ფუნდამენტურად? თუ მხოლოდ იმით, რომ ლოგარითმების ფუძეები - 3x და 9x - არ არის ბუნებრივი გრადუსებიერთმანეთი. მაშასადამე, გარდამავალი, რომელიც ჩვენ გამოვიყენეთ წინა გადაწყვეტაში, შეუძლებელია.

ხარისხებს მაინც დავაღწიოთ თავი. ჩვენს შემთხვევაში, ერთადერთი ხარისხი არის მეორე არგუმენტში:

3 ჟურნალი 3 x x = 2 ∙ 2 ჟურნალი 9 x |x |

თუმცა, მოდულის ნიშანი შეიძლება მოიხსნას, რადგან ცვლადი x ასევე არის ბაზაზე, ე.ი. x > 0 ⇒ |x| = x. მოდით გადავწეროთ ჩვენი ლოგარითმული განტოლება:

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

ჩვენ მივიღეთ ლოგარითმები, რომლებშიც არგუმენტები იგივეა, მაგრამ სხვადასხვა მიზეზები. რა უნდა გააკეთოს შემდეგ? აქ ბევრი ვარიანტია, მაგრამ ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ ორ მათგანს, რომლებიც ყველაზე ლოგიკურია და რაც მთავარია, ეს არის სწრაფი და გასაგები ტექნიკა სტუდენტების უმეტესობისთვის.

ჩვენ უკვე განვიხილეთ პირველი ვარიანტი: ნებისმიერ გაურკვეველ სიტუაციაში, გადაიყვანეთ ცვლადი ბაზის მქონე ლოგარითმები რაიმე მუდმივ ბაზაზე. მაგალითად, დუისამდე. გადასვლის ფორმულა მარტივია:

რა თქმა უნდა, c ცვლადის როლი უნდა იყოს ნორმალური რიცხვი: 1 ≠ c > 0. მოდით ჩვენს შემთხვევაში c = 2. ახლა ჩვენ წინაშე გვაქვს ჩვეულებრივი წილადი რაციონალური განტოლება. ჩვენ ვაგროვებთ ყველა ელემენტს მარცხნივ:

ცხადია, უმჯობესია ამოიღოთ log 2 x ფაქტორი, რადგან ის წარმოდგენილია როგორც პირველ, ასევე მეორე ფრაქციებში.

ჟურნალი 2 x = 0;

3 log 2 9x = 4 log 2 3x

თითოეულ ჟურნალს ვყოფთ ორ ტერმინად:

log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;

log 2 3x = log 2 3 + log 2 x

მოდით გადავიწეროთ თანასწორობის ორივე მხარე ამ ფაქტების გათვალისწინებით:

3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x )

6 log 2 3 + 3 log 2 x = 4 log 2 3 + 4 log 2 x

2 log 2 3 = log 2 x

ახლა რჩება მხოლოდ ორის შეყვანა ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ (ის გადაიქცევა ძალად: 3 2 = 9):

ჟურნალი 2 9 = ჟურნალი 2 x

ჩვენს წინაშე არის კლასიკური კანონიკური ფორმა, ჩვენ ვიშორებთ ლოგარითმის ნიშანს და ვიღებთ:

როგორც მოსალოდნელი იყო, ეს ფესვი ნულზე მეტი აღმოჩნდა. რჩება განსაზღვრის დომენის შემოწმება. მოდით შევხედოთ მიზეზებს:

მაგრამ ფესვი x = 9 აკმაყოფილებს ამ მოთხოვნებს. ამიტომ, ეს არის საბოლოო გადაწყვეტილება.

ამ გადაწყვეტილების დასკვნა მარტივია: არ შეგეშინდეთ გრძელი გამოთვლების! უბრალოდ, თავიდანვე შემთხვევით ავირჩიეთ ახალი ბაზა - და ამან მნიშვნელოვნად გაართულა პროცესი.

მაგრამ შემდეგ ჩნდება კითხვა: რა არის საფუძველი ოპტიმალური? ამაზე მეორე მეთოდით ვისაუბრებ.

დავუბრუნდეთ ჩვენს თავდაპირველ განტოლებას:

3 ჟურნალი 3x x = 2 ჟურნალი 9x x 2

3 ჟურნალი 3x x = 2 ∙ 2 ჟურნალი 9x |x |

x > 0 ⇒ |x| = x

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

ახლა ცოტა დავფიქრდეთ: რომელი რიცხვი ან ფუნქცია იქნება ოპტიმალური საფუძველი? აშკარაა რომ საუკეთესო ვარიანტიიქნება c = x - რაც უკვე არის არგუმენტებში. Ამ შემთხვევაში ჟურნალის ფორმულა a b = log c b / log c a მიიღებს ფორმას:

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გამოთქმა უბრალოდ შებრუნებულია. ამ შემთხვევაში არგუმენტი და საფუძველი ადგილებს იცვლის.

ეს ფორმულა ძალიან სასარგებლოა და ძალიან ხშირად გამოიყენება რთული ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნისას. თუმცა, ამ ფორმულის გამოყენებისას არის ერთი ძალიან სერიოზული პრობლემა. თუ ბაზის ნაცვლად ჩავანაცვლებთ x ცვლადს, მაშინ მასზე დაწესებულია შეზღუდვები, რომლებიც ადრე არ იყო დაცული:

თავდაპირველ განტოლებაში ასეთი შეზღუდვა არ იყო. ამიტომ, ჩვენ ცალკე უნდა შევამოწმოთ შემთხვევა, როდესაც x = 1. ჩაანაცვლეთ ეს მნიშვნელობა ჩვენს განტოლებაში:

3 ჟურნალი 3 1 = 4 ჟურნალი 9 1

მივიღებთ სწორ რიცხვობრივ ტოლობას. ამიტომ x = 1 არის ფესვი. ჩვენ აღმოვაჩინეთ ზუსტად იგივე ფესვი წინა მეთოდში გადაწყვეტის დასაწყისშივე.

მაგრამ ახლა, როცა ამას ცალკე განვიხილეთ განსაკუთრებული შემთხვევა, ჩვენ უსაფრთხოდ ვივარაუდებთ, რომ x ≠ 1. მაშინ ჩვენი ლოგარითმული განტოლება გადაიწერება შემდეგი სახით:

3 log x 9x = 4 log x 3x

ჩვენ გავაფართოვებთ ორივე ლოგარითმს იგივე ფორმულის გამოყენებით, როგორც ადრე. გაითვალისწინეთ, რომ ჟურნალი x x = 1:

3 (log x 9 + log x x ) = 4 (log x 3 + log x x)

3 ჟურნალი x 9 + 3 = 4 ჟურნალი x 3 + 4

3 log x 3 2 − 4 log x 3 = 4 − 3

2 ჟურნალი x 3 = 1

ასე მივედით კანონიკურ ფორმამდე:

ჟურნალი x 9 = ჟურნალი x x 1

x=9

ჩვენ მივიღეთ მეორე ფესვი. ის აკმაყოფილებს x ≠ 1 მოთხოვნას. ამიტომ, x = 9 x = 1-თან ერთად არის საბოლოო პასუხი.

როგორც ხედავთ, გამოთვლების მოცულობა ოდნავ შემცირდა. მაგრამ რეალური ლოგარითმული განტოლების ამოხსნისას, ნაბიჯების რაოდენობა გაცილებით ნაკლები იქნება, რადგან თქვენ არ გჭირდებათ თითოეული ნაბიჯის ასე დეტალურად აღწერა.

დღევანდელი გაკვეთილის მთავარი წესი ასეთია: თუ პრობლემა შეიცავს ლუწი ხარისხს, საიდანაც ამოღებულია იმავე ხარისხის ფესვი, მაშინ გამოსავალი იქნება მოდული. თუმცა, ამ მოდულის ამოღება შესაძლებელია, თუ ყურადღებას მიაქცევთ ლოგარითმების განსაზღვრის დომენს.

მაგრამ ფრთხილად იყავით: ამ გაკვეთილის შემდეგ სტუდენტების უმეტესობა ფიქრობს, რომ ყველაფერი ესმის. მაგრამ რეალური პრობლემების გადაჭრისას მათ არ შეუძლიათ მთელი ლოგიკური ჯაჭვის რეპროდუცირება. შედეგად, განტოლება იძენს არასაჭირო ფესვებს და პასუხი არასწორი აღმოჩნდება.

ალგებრა მე-11 კლასი

თემა: „ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები“

გაკვეთილის მიზნები:

საგანმანათლებლო: ცოდნის ჩამოყალიბება სხვადასხვა გზითლოგარითმული განტოლებების ამოხსნა, მათი გამოყენების შესაძლებლობა თითოეულ კონკრეტულ სიტუაციაში და ამოხსნის ნებისმიერი მეთოდის არჩევა;

განმავითარებელი: დაკვირვების, შედარების, ცოდნის გამოყენების უნარების განვითარება ახალი სიტუაცია, ნიმუშების ამოცნობა, განზოგადება; ურთიერთკონტროლისა და თვითკონტროლის უნარების გამომუშავება;

საგანმანათლებლო: პასუხისმგებელი დამოკიდებულების ჩამოყალიბება საგანმანათლებლო სამუშაო, გაკვეთილზე მასალის ყურადღებიანი აღქმა, ფრთხილად ჩანაწერების აღება.

გაკვეთილის ტიპი: გაკვეთილი ახალი მასალის გაცნობის შესახებ.

"ლოგარითმების გამოგონებამ, ასტრონომის მუშაობის შემცირებისას, გაახანგრძლივა მისი სიცოცხლე."
ფრანგი მათემატიკოსი და ასტრონომი P.S. ლაპლასი

გაკვეთილების დროს

I. გაკვეთილის მიზნის დასახვა

შეისწავლა ლოგარითმის განმარტება, ლოგარითმის თვისებები და ლოგარითმული ფუნქციამოგვცემს ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის საშუალებას. ყველა ლოგარითმული განტოლება, რაც არ უნდა რთული იყოს, წყდება ერთიანი ალგორითმების გამოყენებით. ამ ალგორითმებს განვიხილავთ დღევანდელ გაკვეთილზე. ბევრი მათგანი არ არის. თუ მათ დაეუფლებით, მაშინ ლოგარითმებთან ნებისმიერი განტოლება შესაძლებელი იქნება თითოეული თქვენგანისთვის.

ჩაწერეთ გაკვეთილის თემა ბლოკნოტში: „ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები“. ყველას ვიწვევ თანამშრომლობისთვის.

II. განახლება ფონური ცოდნა

მოვემზადოთ გაკვეთილის თემის შესასწავლად. თქვენ ამოხსნით თითოეულ დავალებას და ჩაწერეთ პასუხი, არ უნდა დაწეროთ პირობა. მუშაობა წყვილებში.

1) x-ის რა მნიშვნელობებისთვის აქვს ფუნქციას აზრი:

(პასუხები მოწმდება თითოეულ სლაიდზე და დალაგებულია შეცდომები)

2) ემთხვევა თუ არა ფუნქციების გრაფიკები?

3) გადაწერეთ ტოლობები, როგორც ლოგარითმული ტოლობები:

4) დაწერეთ რიცხვები ლოგარითმების სახით 2 ფუძით:

5) გამოთვალეთ:

6) შეეცადეთ აღადგინოთ ან შეავსოთ დაკარგული ელემენტები ამ თანასწორობებში.

III. ახალი მასალის გაცნობა

შემდეგი განცხადება ნაჩვენებია ეკრანზე:

"განტოლება არის ოქროს გასაღები, რომელიც ხსნის ყველა მათემატიკურ სეზამს."
თანამედროვე პოლონელი მათემატიკოსი ს.კოვალი

შეეცადეთ ჩამოაყალიბოთ ლოგარითმული განტოლების განმარტება. (განტოლება, რომელიც შეიცავს უცნობს ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ).

განვიხილოთ უმარტივესი ლოგარითმული განტოლება:ჟურნალიაx = b(სადაც a>0, a ≠ 1). ვინაიდან ლოგარითმული ფუნქცია იზრდება (ან მცირდება) ნაკრებზე დადებითი რიცხვებიდა იღებს ყველაფერს რეალური ღირებულებები, მაშინ ფესვის თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ ნებისმიერი b მოცემული განტოლებააქვს და უფრო მეტიც, მხოლოდ ერთი გამოსავალი და დადებითი.

დაიმახსოვრე ლოგარითმის განმარტება. (X რიცხვის ლოგარითმი a ფუძემდე არის ინდიკატორი იმ სიმძლავრისა, რომლითაც უნდა გაიზარდოს a ფუძე x რიცხვის მისაღებად). ლოგარითმის განმარტებიდან მაშინვე გამომდინარეობს, რომ ავარის ასეთი გამოსავალი.

დაწერე სათაური: ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები

1. ლოგარითმის განმარტებით.

ასე იხსნება ფორმის უმარტივესი განტოლებები.

განვიხილოთ No514(a)): ამოხსენი განტოლება

როგორ სთავაზობთ მის მოგვარებას? (ლოგარითმის განმარტებით)

გამოსავალი. , აქედან გამომდინარე 2x - 4 = 4; x = 4.

ამ ამოცანაში, 2x - 4 > 0, რადგან > 0, ასე რომ არ შეიძლება გამოჩნდეს ზედმეტი ფესვები და არ არის საჭირო შემოწმება. ამ ამოცანაში არ არის საჭირო პირობის 2x - 4 > 0 ჩაწერა.

2. პოტენიზაცია(მოცემული გამოთქმის ლოგარითმიდან გადასვლა თავად ამ გამოთქმაზე).

განვიხილოთ No. 519 (გ): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

რა თვისება შენიშნე? (ფუძეები ერთნაირია და ორი გამონათქვამის ლოგარითმები ტოლია.) Რა შეიძლება გაკეთდეს? (გაძლიერება).

გასათვალისწინებელია, რომ ნებისმიერი ამონახსნი შეიცავს ყველა x-ს, რომლის ლოგარითმული გამოსახულებები დადებითია.

გამოსავალი: ODZ:

X2+8>0 არის არასაჭირო უტოლობა

log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8 x+8)

მოდით გავაძლიეროთ საწყისი განტოლება

ვიღებთ განტოლებას x2+8= 8x+8

მოვაგვაროთ: x2-8x=0

პასუხი: 0; 8

IN ზოგადი ხედი ეკვივალენტურ სისტემაზე გადასვლა:

განტოლება

(სისტემა შეიცავს ზედმეტ პირობას - ერთ-ერთი უტოლობის განხილვა საჭირო არ არის).

კითხვა კლასისთვის: ამ სამი გამოსავალიდან რომელი მოგეწონათ ყველაზე მეტად? (მეთოდების განხილვა).

თქვენ გაქვთ უფლება გადაწყვიტოთ ნებისმიერი გზით.

3. ახალი ცვლადის დანერგვა.

განვიხილოთ No. 520 (გ). .

რა შეამჩნიე? (ეს არის კვადრატული განტოლება log3x-ის მიმართ) რაიმე შემოთავაზება? (დანერგეთ ახალი ცვლადი)

გამოსავალი. ODZ: x > 0.

მოდით, მაშინ განტოლება იღებს ფორმას:. დისკრიმინანტი D > 0. ფესვები ვიეტას თეორემის მიხედვით:.

დავუბრუნდეთ ჩანაცვლებას: ან.

უმარტივესი ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის შემდეგ მივიღებთ:

პასუხი: 27;

4. განტოლების ორივე მხარის ლოგარითმი.

ამოხსენით განტოლება:.

ამოხსნა: ODZ: x>0, აიღეთ განტოლების ორივე მხარის ლოგარითმი 10 საფუძველში:

გამოვიყენოთ სიმძლავრის ლოგარითმის თვისება:

(logx + 3) logx = 4

მოდით logx = y, შემდეგ (y + 3)y = 4

, (D > 0) ფესვები ვიეტას თეორემის მიხედვით: y1 = -4 და y2 = 1.

დავუბრუნდეთ ჩანაცვლებას, მივიღებთ: lgx = -4,; lgx = 1, .

პასუხი: 0.0001; 10.

5. შემცირება ერთ ბაზაზე.

No523(c). ამოხსენით განტოლება:

ამოხსნა: ODZ: x>0. გადავიდეთ მე-3 ბაზაზე.

6. ფუნქციონალურ-გრაფიკული მეთოდი.

№ 509 (დ).ამოხსენით განტოლება გრაფიკულად: = 3 - x.

როგორ გვთავაზობ გადაჭრას? (ააგეთ ორი ფუნქციის გრაფიკები y = log2x და y = 3 - x წერტილების გამოყენებით და მოძებნეთ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების აბსცისა).

შეხედეთ თქვენს გამოსავალს სლაიდზე.

არსებობს გზა, რათა თავიდან იქნას აცილებული გრაფიკების გაკეთება . ეს არის შემდეგი : თუ ერთ-ერთი ფუნქცია y = f(x) იზრდება და მეორე y = g(x) მცირდება X ინტერვალზე, შემდეგ განტოლებაზე f(x)= g(x) აქვს მაქსიმუმ ერთი ფესვი X ინტერვალზე.

თუ არსებობს ფესვი, მაშინ მისი გამოცნობა შეიძლება.

ჩვენს შემთხვევაში, ფუნქცია იზრდება x>0-ისთვის, ხოლო ფუნქცია y = 3 - x მცირდება x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის, მათ შორის x>0-სთვის, რაც ნიშნავს, რომ განტოლებას არ აქვს ერთი ფესვზე მეტი. გაითვალისწინეთ, რომ x = 2-ზე განტოლება გადაიქცევა ნამდვილ ტოლობაში, ვინაიდან .

« სწორი გამოყენებამეთოდების სწავლა შესაძლებელია
მხოლოდ მათი გამოყენებით სხვადასხვა მაგალითები».
დანიელი მათემატიკის ისტორიკოსი G.G. Zeiten

მევ. Საშინაო დავალება

გვ. 39 განიხილეთ მაგალითი 3, ამოხსენით No. 514(b), No.529(b), No.520(b), No.523(b)

V. გაკვეთილის შეჯამება

ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის რა მეთოდებს განვიხილეთ კლასში?

მომდევნო გაკვეთილებში უფრო მეტს განვიხილავთ რთული განტოლებები. მათ გადასაჭრელად გამოადგება შესწავლილი მეთოდები.

ბოლო სლაიდი ნაჩვენები:

„რა არის მსოფლიოში ყველაფერზე მეტი?
სივრცე.
რა არის ყველაზე გონივრული?
დრო.
რა არის საუკეთესო ნაწილი?
მიაღწიე იმას, რაც გინდა."
თალესი

ყველას ვუსურვებ მიაღწიოს იმას, რაც სურს. გმადლობთ თანამშრომლობისა და გაგებისთვის.

მაგალითები:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმული განტოლებები:

ლოგარითმული განტოლების ამოხსნისას თქვენ უნდა შეეცადოთ მისი გარდაქმნას ფორმაში \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), შემდეგ კი გადახვიდეთ \(f(x-ზე. )=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

მაგალითი:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Ძალიან მნიშვნელოვანი!ეს გადასვლა შეიძლება განხორციელდეს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ:

თქვენ დაწერეთ ორიგინალური განტოლებისთვის და ბოლოს შეამოწმებთ შედის თუ არა ნაპოვნი DL-ში. თუ ეს არ გაკეთებულა, შეიძლება გამოჩნდეს დამატებითი ფესვები, რაც ნიშნავს არასწორ გადაწყვეტილებას.

მარცხნივ და მარჯვნივ რიცხვი (ან გამოთქმა) იგივეა;

ლოგარითმები მარცხნივ და მარჯვნივ არის "სუფთა", ანუ არ უნდა იყოს გამრავლება, გაყოფა და ა.შ. - მხოლოდ ერთი ლოგარითმები ტოლობის ნიშნის ორივე მხარეს.

Მაგალითად:

გაითვალისწინეთ, რომ მე-3 და მე-4 განტოლებები ადვილად ამოიხსნება ლოგარითმების აუცილებელი თვისებების გამოყენებით.

მაგალითი . ამოხსენით განტოლება \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

გამოსავალი :

უპასუხე : \(5\)

მაგალითი : ამოხსენით განტოლება \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

გამოსავალი :

უპასუხე : \(4\); \(2\).

ლოგარითმული განტოლებაარის განტოლება, რომელშიც უცნობი (x) და მასთან ერთად გამოსახულებები ლოგარითმული ფუნქციის ნიშნის ქვეშ არიან. ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნა ვარაუდობს, რომ თქვენ უკვე იცნობთ და .
როგორ ამოხსნათ ლოგარითმული განტოლებები?

უმარტივესი განტოლებაა შესვლა a x = b, სადაც a და b ზოგიერთი რიცხვია, x უცნობია.
ლოგარითმული განტოლების ამოხსნაარის x = a b მოწოდებული: a > 0, a 1.

უნდა აღინიშნოს, რომ თუ x არის სადმე ლოგარითმის მიღმა, მაგალითად log 2 x = x-2, მაშინ ასეთ განტოლებას უკვე უწოდებენ შერეულს და მის ამოსახსნელად საჭიროა სპეციალური მიდგომა.

იდეალური შემთხვევაა, როდესაც წააწყდებით განტოლებას, რომელშიც მხოლოდ რიცხვებია ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ, მაგალითად x+2 = log 2 2. აქ საკმარისია იცოდეთ ლოგარითმების თვისებები მის ამოსახსნელად. მაგრამ ასეთი იღბალი ხშირად არ ხდება, ამიტომ მოემზადეთ უფრო რთული საქმეებისთვის.

მაგრამ ჯერ დავიწყოთ მარტივი განტოლებები. მათი გადასაჭრელად, სასურველია გქონდეთ ყველაზე მეტი ზოგადი იდეალოგარითმის შესახებ.

მარტივი ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნა

ეს მოიცავს log 2 x = log 2 ტიპის განტოლებებს 16. შეუიარაღებელი თვალით ჩანს, რომ ლოგარითმის ნიშნის გამოტოვებით ვიღებთ x = 16-ს.

უფრო რთული ლოგარითმული განტოლების ამოსახსნელად, ის ჩვეულებრივ მცირდება ჩვეულებრივის ამოხსნამდე ალგებრული განტოლებაან უმარტივესი ლოგარითმული განტოლების ამოხსნის log a x = b. უმარტივეს განტოლებებში ეს ხდება ერთ მოძრაობაში, რის გამოც მათ უმარტივესს უწოდებენ.

ლოგარითმების ჩამოშვების ზემოხსენებული მეთოდი ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის ერთ-ერთი მთავარი გზაა. მათემატიკაში ამ ოპერაციას პოტენციაცია ეწოდება. არსებობს გარკვეული წესებიან შეზღუდვები ამ ტიპის ოპერაციებისთვის:

• ლოგარითმებს აქვთ იგივე რიცხვითი საფუძვლები
• განტოლების ორივე მხარეს ლოგარითმები თავისუფალია, ე.ი. ყოველგვარი კოეფიციენტების გარეშე და სხვა სხვადასხვა სახისგამონათქვამები.

ვთქვათ განტოლებაში log 2 x = 2log 2 (1 - x) გაძლიერება არ გამოიყენება - კოეფიციენტი 2 მარჯვნივ არ იძლევა ამის საშუალებას. შემდეგ მაგალითში log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) ასევე არ აკმაყოფილებს ერთ-ერთ შეზღუდვას - მარცხნივ არის ორი ლოგარითმი. ერთი რომ ყოფილიყო, სულ სხვა საქმე იქნებოდა!

ზოგადად, თქვენ შეგიძლიათ წაშალოთ ლოგარითმები მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ განტოლებას აქვს ფორმა:

log a (...) = log a (...)

აბსოლუტურად ნებისმიერი გამონათქვამი შეიძლება განთავსდეს ფრჩხილებში, ეს აბსოლუტურად არ მოქმედებს გაძლიერების ოპერაციაზე. ლოგარითმების აღმოფხვრის შემდეგ კი უფრო მარტივი განტოლება დარჩება - წრფივი, კვადრატული, ექსპონენციალური და ა.შ., რომლის ამოხსნაც, იმედია, უკვე იცით.

ავიღოთ კიდევ ერთი მაგალითი:

ჟურნალი 3 (2x-5) = ჟურნალი 3 x

ჩვენ ვიყენებთ გაძლიერებას, ვიღებთ:

ჟურნალი 3 (2x-1) = 2

ლოგარითმის განმარტებიდან გამომდინარე, კერძოდ, რომ ლოგარითმი არის რიცხვი, რომელზედაც უნდა გაიზარდოს ფუძე, რათა მივიღოთ გამოხატვა, რომელიც ლოგარითმის ნიშნის ქვეშაა, ე.ი. (4x-1), ვიღებთ:

ისევ ლამაზი პასუხი მივიღეთ. აქ ჩვენ გავაკეთეთ ლოგარითმების აღმოფხვრის გარეშე, მაგრამ პოტენციაცია აქაც გამოიყენება, რადგან ლოგარითმი შეიძლება გაკეთდეს ნებისმიერი რიცხვიდან და ზუსტად ის, რაც ჩვენ გვჭირდება. ეს მეთოდი ძალიან სასარგებლოა ლოგარითმული განტოლებების და განსაკუთრებით უტოლობების ამოხსნაში.

მოდით ამოვხსნათ ჩვენი ლოგარითმული განტოლება log 3 (2x-1) = 2 პოტენციაციის გამოყენებით:

წარმოვიდგინოთ რიცხვი 2, როგორც ლოგარითმი, მაგალითად, ეს ჟურნალი 3 9, რადგან 3 2 =9.

შემდეგ log 3 (2x-1) = log 3 9 და ისევ მივიღებთ იგივე განტოლებას 2x-1 = 9. იმედი მაქვს, ყველაფერი ნათელია.

ასე რომ, ჩვენ შევხედეთ, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ უმარტივესი ლოგარითმული განტოლებები, რომლებიც რეალურად ძალიან მნიშვნელოვანია, რადგან ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნა, თუნდაც ყველაზე საშინელი და უკუღმართები, ბოლოს ყოველთვის უმარტივესი განტოლებების ამოხსნაზე მოდის.

ყველაფერში, რაც ზემოთ გავაკეთეთ, ერთი ძალიან გვაკლდა მნიშვნელოვანი წერტილი, რომელიც შემდგომში ექნება გადამწყვეტი როლი. ფაქტია, რომ ნებისმიერი ლოგარითმული განტოლების ამონახსნი, თუნდაც ყველაზე ელემენტარული, შედგება ორი თანაბარი ნაწილისგან. პირველი არის თავად განტოლების გადაწყვეტა, მეორე მუშაობს დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონთან (APV). ეს არის ზუსტად პირველი ნაწილი, რომელიც ჩვენ ავითვისეთ. ზემოთ მოყვანილ მაგალითებში ODZ არანაირად არ მოქმედებს პასუხზე, ამიტომ ჩვენ არ განვიხილავთ მას.

ავიღოთ კიდევ ერთი მაგალითი:

ჟურნალი 3 (x 2 -3) = ჟურნალი 3 (2x)

გარეგნულად, ეს განტოლება არაფრით განსხვავდება ელემენტარულისგან, რომლის ამოხსნაც ძალიან წარმატებით შეიძლება. მაგრამ ეს ასე არ არის. არა, რა თქმა უნდა მოვაგვარებთ, მაგრამ დიდი ალბათობით არასწორად, რადგან შეიცავს პატარა ჩასაფრებას, რომელშიც მაშინვე ხვდებიან C კლასის მოსწავლეებიც და წარჩინებულიც. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ.

ვთქვათ, თქვენ უნდა იპოვოთ განტოლების ფესვი ან ფესვების ჯამი, თუ რამდენიმე მათგანია:

ჟურნალი 3 (x 2 -3) = ჟურნალი 3 (2x)

ჩვენ ვიყენებთ გაძლიერებას, აქ მისაღებია. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ ჩვეულებრივ კვადრატულ განტოლებას.

განტოლების ფესვების პოვნა:

ორი ფესვი აღმოჩნდა.

პასუხი: 3 და -1

ერთი შეხედვით ყველაფერი სწორია. მაგრამ მოდით შევამოწმოთ შედეგი და ჩავანაცვლოთ იგი თავდაპირველ განტოლებაში.

დავიწყოთ x 1 = 3-ით:

ჟურნალი 3 6 = ჟურნალი 3 6

შემოწმება წარმატებით დასრულდა, ახლა რიგი არის x 2 = -1:

ჟურნალი 3 (-2) = ჟურნალი 3 (-2)

კარგი, გაჩერდი! გარეგნულად ყველაფერი იდეალურია. ერთი რამ - არ არსებობს ლოგარითმები უარყოფითი რიცხვებიდან! ეს ნიშნავს, რომ ფესვი x = -1 არ არის შესაფერისი ჩვენი განტოლების ამოსახსნელად. და ამიტომ სწორი პასუხი იქნება 3 და არა 2, როგორც დავწერეთ.

სწორედ აქ ითამაშა ODZ-მა თავისი საბედისწერო როლი, რომელიც ჩვენ დავიწყებული გვქონდა.

შეგახსენებთ, რომ მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი მოიცავს x-ის იმ მნიშვნელობებს, რომლებიც დაშვებულია ან აზრი აქვს ორიგინალური მაგალითისთვის.

ODZ-ის გარეშე, ნებისმიერი განტოლების ნებისმიერი გამოსავალი, თუნდაც აბსოლუტურად სწორი, გადაიქცევა ლატარიაში - 50/50.

როგორ მოვახერხეთ დაჭერა, როდესაც გადავწყვიტეთ, რა ჩანდა ელემენტარული მაგალითი? მაგრამ ზუსტად გაძლიერების მომენტში. გაქრა ლოგარითმები და მათთან ერთად ყველა შეზღუდვა.

რა უნდა გააკეთოს ამ შემთხვევაში? უარს ამბობ ლოგარითმების აღმოფხვრაზე? და სრულიად უარს ამბობ ამ განტოლების ამოხსნაზე?

არა, ჩვენ უბრალოდ, როგორც ნამდვილი გმირები ერთი ცნობილი სიმღერიდან, შემოვლით ვივლით!

სანამ რაიმე ლოგარითმული განტოლების ამოხსნას დავიწყებთ, ჩვენ ჩავწერთ ODZ-ს. მაგრამ ამის შემდეგ, თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ ის, რაც თქვენს გულს სურს ჩვენი განტოლებით. პასუხის მიღების შემდეგ, ჩვენ უბრალოდ ვყრით იმ ფესვებს, რომლებიც არ შედის ჩვენს ODZ-ში და ვწერთ საბოლოო ვერსიას.

ახლა მოდით გადავწყვიტოთ როგორ ჩავწეროთ ODZ. ამისათვის ჩვენ გულდასმით განვიხილავთ თავდაპირველ განტოლებას და ვეძებთ მასში საეჭვო ადგილებს, როგორიცაა გაყოფა x-ზე, ლუწი ფესვზე და ა.შ. სანამ განტოლებას არ ამოხსნით, ჩვენ არ ვიცით რისი ტოლია x, მაგრამ ზუსტად ვიცით, რომ არის x, რომელიც ჩანაცვლებისას მისცემს გაყოფას 0-ზე ან გამოყვანას კვადრატული ფესვისაწყისი უარყოფითი რიცხვი, აშკარად არ არის შესაფერისი როგორც პასუხი. ამიტომ, ასეთი x მიუღებელია, დანარჩენი კი წარმოადგენს ODZ-ს.

ისევ გამოვიყენოთ იგივე განტოლება:

ჟურნალი 3 (x 2 -3) = ჟურნალი 3 (2x)

ჟურნალი 3 (x 2 -3) = ჟურნალი 3 (2x)

როგორც ხედავთ, არ არის გაყოფა 0-ზე, ასევე არ არის კვადრატული ფესვები, მაგრამ არის გამონათქვამები x-ით ლოგარითმის სხეულში. დაუყოვნებლივ გვახსოვდეს, რომ ლოგარითმის შიგნით გამოხატულება ყოველთვის უნდა იყოს >0. ჩვენ ვწერთ ამ მდგომარეობას ODZ-ის სახით:

იმათ. ჩვენ ჯერ არაფერი მოვაგვარეთ, მაგრამ უკვე ჩავწერეთ სავალდებულო პირობა მთელი სუბლოგირითმული გამოსახულებისთვის. ხვეული სამაგრი ნიშნავს, რომ ეს პირობები ერთდროულად უნდა იყოს ჭეშმარიტი.

ODZ ჩაწერილია, მაგრამ ასევე აუცილებელია მიღებული უტოლობების სისტემის ამოხსნა, რასაც ჩვენ გავაკეთებთ. ვიღებთ პასუხს x > v3. ახლა ჩვენ ზუსტად ვიცით, რომელი x არ მოგვწონს. და შემდეგ ჩვენ ვიწყებთ თავად ლოგარითმული განტოლების ამოხსნას, რაც ზემოთ გავაკეთეთ.

მას შემდეგ რაც მივიღეთ პასუხები x 1 = 3 და x 2 = -1, ადვილი მისახვედრია, რომ მხოლოდ x1 = 3 ჯდება და ჩვენ მას ვწერთ როგორც საბოლოო პასუხს.

სამომავლოდ ძალიან მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს შემდეგი: ჩვენ ვხსნით ნებისმიერ ლოგარითმულ განტოლებას 2 ეტაპად. პირველი არის თავად განტოლების ამოხსნა, მეორე არის ODZ პირობის ამოხსნა. ორივე ეტაპი შესრულებულია ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად და შედარება ხდება მხოლოდ პასუხის წერისას, ე.ი. გადაყარეთ ყველაფერი არასაჭირო და ჩაწერეთ სწორი პასუხი.

მასალის გასაძლიერებლად, ჩვენ გირჩევთ უყუროთ ვიდეოს:

ვიდეოში ნაჩვენებია ჟურნალის ამოხსნის სხვა მაგალითები. განტოლებები და ინტერვალის მეთოდის პრაქტიკაში პრაქტიკაში პრაქტიკა.

ამ კითხვაზე, როგორ ამოხსნათ ლოგარითმული განტოლებებიჯერ სულ ესაა. თუ რამეს ლოგინი წყვეტს. განტოლებები რჩება გაუგებარი ან გაუგებარი, დაწერეთ თქვენი შეკითხვები კომენტარებში.

შენიშვნა: სოციალური განათლების აკადემია (ASE) მზად არის მიიღოს ახალი სტუდენტები.

ლოგარითმული განტოლებები. მარტივიდან რთულამდე.

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალები 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც ძალიან "არ არის ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

რა არის ლოგარითმული განტოლება?

ეს არის განტოლება ლოგარითმებთან. მიკვირს, არა?) მერე დავაზუსტებ. ეს არის განტოლება, რომელშიც გვხვდება უცნობი (x-ები) და მათთან დაკავშირებული გამონათქვამები ლოგარითმების შიგნით.და მხოლოდ იქ! Ეს არის მნიშვნელოვანი.

აი ზოგიერთი მაგალითი ლოგარითმული განტოლებები:

ჟურნალი 3 x = ჟურნალი 3 9

ჟურნალი 3 (x 2 -3) = ჟურნალი 3 (2x)

ჟურნალი x+1 (x 2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg (x+1)

აბა, გესმის... )

Შენიშვნა! ყველაზე მრავალფეროვანი გამონათქვამები X-ებით არის განლაგებული ექსკლუზიურად ლოგარითმებში.თუ უეცრად X გამოჩნდება განტოლებაში სადმე გარეთ, Მაგალითად:

ჟურნალი 2 x = 3 + x,

ეს იქნება განტოლება შერეული ტიპი. ასეთ განტოლებებს არ აქვთ მათი ამოხსნის მკაფიო წესები. ჩვენ მათ ჯერ არ განვიხილავთ. სხვათა შორის, ლოგარითმების შიგნით არის განტოლებები მხოლოდ ნომრები. Მაგალითად:

Რა შემიძლია ვთქვა? გაგიმართლა, თუ ამას წააწყდები! ლოგარითმი რიცხვებით არის რაღაც ნომერი.Სულ ეს არის. ასეთი განტოლების ამოსახსნელად საკმარისია ლოგარითმების თვისებების ცოდნა. სპეციალური წესების ცოდნა, სპეციალურად ამოსახსნელად ადაპტირებული ტექნიკები ლოგარითმული განტოლებები,აქ არ არის საჭირო.

Ისე, რა არის ლოგარითმული განტოლება- ჩვენ გავარკვიეთ.

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმული განტოლებები?

გამოსავალი ლოგარითმული განტოლებები- საქმე რეალურად არც ისე მარტივია. ასე რომ, ჩვენი განყოფილება არის ოთხი... თქვენ გჭირდებათ სოლიდური ცოდნა ყველა სახის საკითხზე დაკავშირებული თემები. გარდა ამისა, ამ განტოლებებში არის განსაკუთრებული თვისება. და ეს ფუნქცია იმდენად მნიშვნელოვანია, რომ მას უსაფრთხოდ შეიძლება ვუწოდოთ მთავარი პრობლემა ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნისას. ამ პრობლემას დეტალურად განვიხილავთ შემდეგ გაკვეთილზე.

ჯერ არ ინერვიულო. ჩვენ სწორი გზით წავალთ მარტივიდან რთულამდე.ჩართულია კონკრეტული მაგალითები. მთავარია, მარტივ რაღაცეებში ჩავუღრმავდეთ და არ დაიზაროთ ლინკების მიყოლა, მე დავდე იქ მიზეზით... და ყველაფერი გამოგივათ. აუცილებლად.

დავიწყოთ ყველაზე ელემენტარული, უმარტივესი განტოლებებით. მათი გადასაჭრელად მიზანშეწონილია გქონდეთ წარმოდგენა ლოგარითმის შესახებ, მაგრამ მეტი არაფერი. უბრალოდ წარმოდგენა არ აქვს ლოგარითმი,მიიღოს გადაწყვეტილება ლოგარითმულიგანტოლებები - რაღაცნაირად უხერხულიც... ძალიან თამამი, ვიტყოდი).

უმარტივესი ლოგარითმული განტოლებები.

ეს არის ფორმის განტოლებები:

1. ჟურნალი 3 x = ჟურნალი 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. ჟურნალი 7 (50x-1) = 2

გადაწყვეტის პროცესი ნებისმიერი ლოგარითმული განტოლებაშედგება ლოგარითმებით განტოლებიდან მათ გარეშე განტოლებაზე გადასვლაში. უმარტივეს განტოლებებში ეს გადასვლა ხორციელდება ერთ საფეხურზე. ამიტომ ისინი უმარტივესები არიან.)

და ასეთი ლოგარითმული განტოლებები საოცრად მარტივი ამოსახსნელია. თავად ნახეთ.

მოდით გადავწყვიტოთ პირველი მაგალითი:

ჟურნალი 3 x = ჟურნალი 3 9

ამ მაგალითის გადასაჭრელად, თქვენ არ გჭირდებათ თითქმის არაფრის ცოდნა, დიახ... წმინდა ინტუიცია!) რა გვჭირდება განსაკუთრებითარ მოგწონს ეს მაგალითი? რა-რა... არ მიყვარს ლოგარითმები! უფლება. მაშ, მოვიშოროთ ისინი. ჩვენ ყურადღებით ვუყურებთ მაგალითს და გვაქვს ბუნებრივი სურვილი... პირდაპირ დაუძლეველი! აიღეთ და საერთოდ ამოაგდეთ ლოგარითმები. და რა კარგია ეს შეუძლიაკეთება! მათემატიკა იძლევა საშუალებას. ლოგარითმები ქრებაპასუხი არის:

დიდი, არა? ეს ყოველთვის შეიძლება (და უნდა) გაკეთდეს. ლოგარითმების აღმოფხვრა ანალოგიურად- ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის ერთ-ერთი მთავარი გზა. მათემატიკაში ამ ოპერაციას ე.წ გაძლიერება.რა თქმა უნდა, არსებობს ასეთი ლიკვიდაციის წესები, მაგრამ ისინი ცოტაა. გახსოვდეთ:

თქვენ შეგიძლიათ ყოველგვარი შიშის გარეშე აღმოფხვრათ ლოგარითმები, თუ მათ აქვთ:

ა) იგივე რიცხვითი ფუძეები

გ) ლოგარითმები მარცხნიდან მარჯვნივ არის სუფთა (ყოველგვარი კოეფიციენტების გარეშე) და ბრწყინვალე იზოლაციაშია.

ნება მომეცით დავაზუსტო ბოლო პუნქტი. განტოლებაში, ვთქვათ

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

ლოგარითმები ვერ მოიხსნება. ორი მარჯვნივ არ იძლევა ამის საშუალებას. კოეფიციენტი იცით... მაგალითში

ჟურნალი 3 x+log 3 (x+1) = ჟურნალი 3 (3+x)

ასევე შეუძლებელია განტოლების გაძლიერება. მარცხენა მხარეს არ არის მარტოხელა ლოგარითმი. ორი მათგანია.

მოკლედ, თქვენ შეგიძლიათ წაშალოთ ლოგარითმები, თუ განტოლება გამოიყურება ასე და მხოლოდ ასე:

log a (.....) = log a (.....)

ფრჩხილებში, სადაც არის ელიფსისი, შეიძლება იყოს ნებისმიერი გამონათქვამები.მარტივი, სუპერ რთული, ყველანაირი. Სულ ერთია. მთავარია, რომ ლოგარითმების აღმოფხვრის შემდეგ დაგვრჩება უფრო მარტივი განტოლება.რა თქმა უნდა, ვარაუდობენ, რომ თქვენ უკვე იცით როგორ ამოხსნათ წრფივი, კვადრატული, წილადი, ექსპონენციალური და სხვა განტოლებები ლოგარითმების გარეშე.)

ახლა თქვენ შეგიძლიათ მარტივად ამოხსნათ მეორე მაგალითი:

ჟურნალი 7 (2x-3) = ჟურნალი 7 x

სინამდვილეში, ეს გონებაშია გადაწყვეტილი. ჩვენ ვაძლიერებთ, ვიღებთ:

ისე, ძალიან რთულია?) როგორც ხედავთ, ლოგარითმულიგანტოლების ამოხსნის ნაწილია მხოლოდ ლოგარითმების აღმოფხვრაში...და შემდეგ მოდის გამოსავალი დარჩენილი განტოლებისთვის მათ გარეშე. ტრივიალური საკითხია.

მოვაგვაროთ მესამე მაგალითი:

ჟურნალი 7 (50x-1) = 2

ჩვენ ვხედავთ, რომ მარცხნივ არის ლოგარითმი:

გავიხსენოთ, რომ ეს ლოგარითმი არის რიცხვი, რომელზეც ფუძე უნდა გაიზარდოს (ე.ი. შვიდი), რათა მივიღოთ სუბლოგარითმული გამოხატულება, ე.ი. (50x-1).

მაგრამ ეს რიცხვი ორია! განტოლების მიხედვით. ანუ:

ეს ძირითადად ყველაფერია. ლოგარითმი გაუჩინარდა,რჩება უწყინარი განტოლება:

ეს ლოგარითმული განტოლება ჩვენ მხოლოდ ლოგარითმის მნიშვნელობიდან გამომდინარე გადავწყვიტეთ. კიდევ უფრო ადვილია ლოგარითმების აღმოფხვრა?) გეთანხმები. სხვათა შორის, თუ ლოგარითმს გააკეთებთ ორიდან, ამ მაგალითის ამოხსნა შეგიძლიათ ელიმინაციის გზით. ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება გადაკეთდეს ლოგარითმად. უფრო მეტიც, ისე, როგორც ჩვენ გვჭირდება. ძალიან სასარგებლო ტექნიკა ლოგარითმული განტოლებების და (განსაკუთრებით!) უტოლობების ამოხსნისას.

არ იცით როგორ გააკეთოთ ლოგარითმი რიცხვიდან!? Ყველაფერი კარგადაა. სექცია 555 დეტალურად აღწერს ამ ტექნიკას. თქვენ შეგიძლიათ დაეუფლოთ მას და გამოიყენოთ იგი სრულად! ეს მნიშვნელოვნად ამცირებს შეცდომების რაოდენობას.

მეოთხე განტოლება ამოხსნილია სრულიად მსგავსი გზით (განმარტებით):

Ის არის.

მოდით შევაჯამოთ ეს გაკვეთილი. ჩვენ შევხედეთ უმარტივესი ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნას მაგალითების გამოყენებით. Ეს ძალიან მნიშვნელოვანია. და არა მხოლოდ იმიტომ, რომ ასეთი განტოლებები ჩნდება ტესტებსა და გამოცდებში. ფაქტია, რომ ყველაზე ბოროტი და რთული განტოლებებიც კი აუცილებლად უმარტივესამდეა დაყვანილი!

სინამდვილეში, უმარტივესი განტოლებები არის ამოხსნის ბოლო ნაწილი ნებისმიერიგანტოლებები. და ეს ბოლო ნაწილი მკაცრად უნდა იქნას გაგებული! და შემდგომ. აუცილებლად წაიკითხეთ ეს გვერდი ბოლომდე. აქ არის სიურპრიზი...)

ახლა ჩვენ თვითონ გადავწყვიტეთ. მოდი გავუმჯობესდეთ, ასე ვთქვათ...)

იპოვეთ განტოლებების ფესვი (ან ფესვების ჯამი, თუ რამდენიმეა):

ln(7x+2) = ln(5x+20)

ჟურნალი 2 (x 2 +32) = ჟურნალი 2 (12x)

ჟურნალი 16 (0.5x-1.5) = 0.25

ჟურნალი 0.2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

ჟურნალი 2 (14x) = ჟურნალი 2 7 + 2

პასუხები (რა თქმა უნდა არეულობაში): 42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2; 16.

რა, ყველაფერი არ გამოდის? ხდება. არ ინერვიულო! ნაწილი 555 განმარტავს ყველა ამ მაგალითის ამოხსნას ნათლად და დეტალურად. თქვენ აუცილებლად გაერკვევით იქ. თქვენ ასევე შეისწავლით სასარგებლო პრაქტიკულ ტექნიკას.

ყველაფერი გამოვიდა!? „ერთი დარჩა“-ს ყველა მაგალითი?) გილოცავთ!

დროა გაგიმხილოთ მწარე სიმართლე. ამ მაგალითების წარმატებით ამოხსნა არ იძლევა წარმატების გარანტიას ყველა სხვა ლოგარითმული განტოლების ამოხსნაში. ყველაზე უბრალოებიც კი, როგორც ეს. ვაი.

ფაქტია, რომ ნებისმიერი ლოგარითმული განტოლების ამონახსნი (თუნდაც ყველაზე ელემენტარული!) შედგება ორი თანაბარი ნაწილი.განტოლების ამოხსნა და ODZ-თან მუშაობა. ჩვენ ავითვისეთ ერთი ნაწილი - თავად განტოლების ამოხსნა. არც ისე რთულიაუფლება?

ამ გაკვეთილისთვის მე სპეციალურად შევარჩიე მაგალითები, რომლებშიც DL არანაირად არ მოქმედებს პასუხზე. მაგრამ ყველა ჩემნაირი კეთილი არ არის, არა?...)

ამიტომ, აუცილებელია მეორე ნაწილის დაუფლება. ოძ. ეს არის მთავარი პრობლემა ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნისას. და არა იმიტომ, რომ რთულია - ეს ნაწილი უფრო ადვილია, ვიდრე პირველი. მაგრამ იმიტომ, რომ ხალხს უბრალოდ ავიწყდება ODZ. ან არ იციან. Ან ორივე). და ისინი ცვივიან...

შემდეგ გაკვეთილზე ამ პრობლემას გავეცნობით. მაშინ თქვენ შეგიძლიათ დარწმუნებით გადაწყვიტოთ ნებისმიერიმარტივი ლოგარითმული განტოლებები და საკმაოდ მყარი ამოცანების მიდგომა.

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.