მატრიცის წოდება უდრის ნულოვანი მწკრივების რაოდენობას. მატრიცის რანგის გამოთვლა ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით

რიცხვს r ეწოდება A მატრიცის რანგი, თუ:
1) A მატრიცაში არის r რიგის მინორი, რომელიც განსხვავდება ნულისაგან;
2) რიგის ყველა მცირე (r+1) და უფრო მაღალი, თუ ისინი არსებობენ, ნულის ტოლია.
წინააღმდეგ შემთხვევაში, მატრიცის რანგი არის უმაღლესი მცირე რიგი, გარდა ნულისა.
აღნიშვნები: rangA, r A ან r.
განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ r არის მთელი რიცხვი დადებითი რიცხვი. ნულოვანი მატრიცისთვის, რანგი გამოითვლება ნულის ტოლი.

მომსახურების მიზანი. ონლაინ კალკულატორი შექმნილია საპოვნელად მატრიცული რანგი. ამ შემთხვევაში, გამოსავალი ინახება Word და Excel ფორმატში. იხილეთ გამოსავლის მაგალითი.

ინსტრუქციები. აირჩიეთ მატრიცის განზომილება, დააჭირეთ შემდეგი.

განმარტება . მოდით, მოცემულია r რანგის მატრიცა. მატრიცის ნებისმიერ მინორს, რომელიც განსხვავდება ნულისაგან და აქვს r რიგი, ეწოდება ძირითადი, ხოლო მისი კომპონენტების მწკრივებსა და სვეტებს - ძირითადი რიგები და სვეტები.
ამ განმარტების მიხედვით, A მატრიცას შეიძლება ჰქონდეს რამდენიმე საბაზისო მინორი.

იდენტურობის E მატრიცის რანგი არის n (სტრიქონების რაოდენობა).

მაგალითი 1. მოცემულია ორი მატრიცა, და მათი არასრულწლოვნები , . რომელი მათგანი შეიძლება მივიღოთ ძირითადად?
გამოსავალი. მცირე M 1 =0, ამიტომ ის არ შეიძლება იყოს საფუძველი რომელიმე მატრიცისთვის. მცირე M 2 =-9≠0 და აქვს რიგი 2, რაც ნიშნავს, რომ ის შეიძლება იქნას მიღებული A ან / და B მატრიცების საფუძვლად, იმ პირობით, რომ მათ აქვთ რიგები 2-ის ტოლი. ვინაიდან detB=0 (როგორც განმსაზღვრელი ორი პროპორციული სვეტით), მაშინ rangB=2 და M 2 შეიძლება მივიღოთ B მატრიცის საფუძვლიან მინორად. A მატრიცის რანგი არის 3, იმის გამო, რომ detA=-27≠ 0 და, შესაბამისად, ამ მატრიცის საბაზისო მინორის რიგი უნდა იყოს 3-ის ტოლი, ანუ M 2 არ არის საფუძველი A მატრიცისთვის. გაითვალისწინეთ, რომ A მატრიცას აქვს ერთი საბაზისო მინორი, რომელიც უდრის A მატრიცის განმსაზღვრელს.

თეორემა (ბაზის მინორის შესახებ). მატრიცის ნებისმიერი მწკრივი (სვეტი) არის მისი ძირითადი სტრიქონების (სვეტების) წრფივი კომბინაცია.
დასკვნა თეორემიდან.

1. r რანგის ყველა (r+1) სვეტის (მწკრივის) მატრიცა წრფივად არის დამოკიდებული.
2. თუ მატრიცული რანგი ნაკლები რაოდენობამისი რიგები (სვეტები), შემდეგ მისი რიგები (სვეტები) წრფივია დამოკიდებული. თუ რანგი A რიცხვის ტოლიმისი რიგები (სვეტები), შემდეგ რიგები (სვეტები) წრფივად დამოუკიდებელია.
3. A მატრიცის განმსაზღვრელი ნულის ტოლითუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი რიგები (სვეტები) წრფივად არის დამოკიდებული.
4. თუ მატრიცის მწკრივს (სვეტს) დაუმატებთ სხვა მწკრივს (სვეტს), გამრავლებული ნებისმიერი რიცხვით, გარდა ნულისა, მაშინ მატრიცის რანგი არ შეიცვლება.
5. თუ მატრიცაში გადაკვეთთ მწკრივს (სვეტს), რომელიც წარმოადგენს სხვა სტრიქონების (სვეტების) წრფივ კომბინაციას, მაშინ მატრიცის რანგი არ შეიცვლება.
6. მატრიცის წოდება უდრის მისი წრფივად დამოუკიდებელი მწკრივების (სვეტების) მაქსიმალურ რაოდენობას.
7. წრფივად დამოუკიდებელი მწკრივების მაქსიმალური რაოდენობა იგივეა რაც წრფივად დამოუკიდებელი სვეტების მაქსიმალური რაოდენობა.

მაგალითი 2. იპოვეთ მატრიცის რანგი .
გამოსავალი. მატრიცის რანგის განსაზღვრებიდან გამომდინარე, ჩვენ ვეძებთ უმაღლესი რიგის მინორს, რომელიც განსხვავდება ნულიდან. ჯერ მატრიცას უფრო მეტზე ვაქცევთ მარტივი ხედი. ამისთვის მატრიცის პირველი მწკრივი გავამრავლოთ (-2)-ზე და დავუმატოთ მეორეს, შემდეგ გავამრავლოთ (-1) და დავამატოთ მესამეს.

ელემენტარულიშემდეგი მატრიცის გარდაქმნები ეწოდება:

1) ნებისმიერი ორი მწკრივის (ან სვეტის) შეცვლა,

2) მწკრივის (ან სვეტის) გამრავლება არანულოვანი რიცხვით,

3) ერთ მწკრივს (ან სვეტს) კიდევ ერთი რიგის (ან სვეტის) დამატება, გამრავლებული გარკვეულ რიცხვზე.

ორ მატრიცას ე.წ ექვივალენტი, თუ ერთი მათგანი მიიღება მეორისგან ელემენტარული გარდაქმნების სასრული ნაკრების გამოყენებით.

ეკვივალენტური მატრიცები, ზოგადად რომ ვთქვათ, ტოლი არ არის, მაგრამ მათი რიგები ტოლია. თუ მატრიცები A და B ეკვივალენტურია, მაშინ იწერება შემდეგნაირად: A ~ B.

კანონიკურიმატრიცა არის მატრიცა, რომელშიც მთავარი დიაგონალის დასაწყისში არის რამდენიმე ზედიზედ (რომელთა რიცხვი შეიძლება იყოს ნული), ხოლო ყველა სხვა ელემენტი ნულის ტოლია, მაგალითად,

დახმარებით ელემენტარული გარდაქმნებირიგები და სვეტები, ნებისმიერი მატრიცა შეიძლება შემცირდეს კანონიკურად. კანონიკური მატრიცის წოდება უდრის მის მთავარ დიაგონალზე ერთეულთა რაოდენობას.

მაგალითი 2იპოვეთ მატრიცის რანგი

A=

და მოიყვანეთ იგი კანონიკურ ფორმამდე.

გამოსავალი.მეორე სტრიქონს გამოაკელი პირველი და გადააწყვე ეს სტრიქონები:

.

ახლა მეორე და მესამე სტრიქონებს გამოვაკლებთ პირველს, გამრავლებული 2-ით და 5-ით, შესაბამისად:

;

გამოვაკლოთ პირველი მესამე სტრიქონს; ჩვენ ვიღებთ მატრიცას

B = ,

რომელიც უდრის A მატრიცას, ვინაიდან მისგან მიღებულია ელემენტარული გარდაქმნების სასრული სიმრავლის გამოყენებით. ცხადია, B მატრიცის რანგი არის 2 და შესაბამისად r(A)=2. მატრიცა B ადვილად შეიძლება შემცირდეს კანონიკურად. პირველი სვეტი, გამრავლებული შესაფერის რიცხვებზე, ყველა მომდევნოდან გამოვაკლოთ პირველი რიგის ყველა ელემენტს, გარდა პირველისა, ხოლო დარჩენილი მწკრივების ელემენტები არ იცვლება. შემდეგ, გამოვაკლებთ მეორე სვეტს, გამრავლებული შესაბამის რიცხვებზე, ყველა მომდევნოდან, ნულზე ვაქცევთ მეორე რიგის ყველა ელემენტს, გარდა მეორისა და ვიღებთ:

.

კანონიკური მატრიცაკრონეკერი - კაპელის თეორემა - თავსებადობის კრიტერიუმი ხაზოვანი სისტემისთვის:

ალგებრული განტოლებები იმისათვის რომხაზოვანი სისტემა

იყო თავსებადი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ამ სისტემის გაფართოებული მატრიცის რანგი მისი მთავარი მატრიცის რანგის ტოლი იყოს.

დადასტურება (სისტემის თავსებადობის პირობები)

აუცილებლობა დაესისტემა ერთობლივიმერე არიან

ციფრები ასეთია

რა . ამრიგად, სვეტი არის მატრიცის სვეტების წრფივი კომბინაცია. იქიდან გამომდინარე, რომ მატრიცის რანგი არ შეიცვლება, თუ მწკრივი (სვეტი) წაიშლება ან დაემატება მისი მწკრივების (სვეტების) სისტემიდან, რომელიც წარმოადგენს სხვა სტრიქონების (სვეტების) წრფივ კომბინაციას, გამოდის, რომ .ადეკვატურობა

დაე .

ავიღოთ რამდენიმე ძირითადი მინორი მატრიცაში. ვინაიდან, მაშინ ის ასევე იქნება მატრიცის საფუძველი. შემდეგ საბაზისო თეორემის მიხედვითმცირეწლოვანი

მატრიცის ბოლო სვეტი იქნება საბაზისო სვეტების, ანუ მატრიცის სვეტების წრფივი კომბინაცია. დაეამრიგად, სისტემის თავისუფალი ტერმინების სვეტი არის მატრიცის სვეტების წრფივი კომბინაცია. შედეგებიძირითადი ცვლადების რაოდენობა

სისტემები

სისტემის რანგის ტოლი.15 . 2 ერთობლივი

დადგინდება (მისი

ერთადერთი გამოსავალი), თუ სისტემის რანგი უდრის მისი ყველა ცვლადის რაოდენობას.

განტოლებათა ჰომოგენური სისტემა

სისტემის რანგის ტოლი.15 . 3 შეთავაზება

ერთადერთი გამოსავალიგანტოლებათა ჰომოგენური სისტემა

ყოველთვის ერთობლივია.

მტკიცებულება

ყოველთვის ერთობლივია.

. ამ სისტემისთვის, რიცხვების სიმრავლე , , არის გამოსავალი.15 . 1 ამ განყოფილებაში ჩვენ გამოვიყენებთ სისტემის მატრიცულ აღნიშვნას: . წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნების ჯამი არის ამ სისტემის ამონახსნი. რიცხვზე გამრავლებული ამონახსნი ასევე ამონახსნილია. .მიეცით ისინი სისტემის გადაწყვეტილებებს.

მართლაც, არანულოვანი ამონახსნის სხვადასხვა რიცხვზე გამრავლებით, მივიღებთ სხვადასხვა ამონახსნებს.

განმარტება15 . 5 ჩვენ ვიტყვით, რომ გადაწყვეტილებები სისტემების ფორმა გადაწყვეტილებების ფუნდამენტური სისტემა, თუ სვეტები ქმნიან წრფივად დამოუკიდებელ სისტემას და სისტემის ნებისმიერი გამოსავალი არის ამ სვეტების წრფივი კომბინაცია.

მატრიცის წოდება მნიშვნელოვანია რიცხვითი მახასიათებელი. ყველაზე ტიპიური პრობლემა, რომელიც მოითხოვს მატრიცის რანგის პოვნას, არის ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემის თანმიმდევრულობის შემოწმება. ამ სტატიაში ჩვენ მივცემთ მატრიცის რანგის კონცეფციას და განვიხილავთ მის პოვნის მეთოდებს. მასალის უკეთ გასაგებად, დეტალურად გავაანალიზებთ რამდენიმე მაგალითის ამოხსნას.

გვერდის ნავიგაცია.

მატრიცის რანგის განსაზღვრა და საჭირო დამატებითი ცნებები.

სანამ მატრიცის რანგის დეფინიციას გამოთქვამთ, კარგად უნდა გესმოდეთ არასრულწლოვნის ცნება, ხოლო მატრიცის მინორების პოვნა გულისხმობს დეტერმინანტის გამოთვლის უნარს. ასე რომ, საჭიროების შემთხვევაში, გირჩევთ, გაიხსენოთ სტატიის თეორია, მატრიცის განმსაზღვრელი პოვნის მეთოდები და დეტერმინანტის თვისებები.

ავიღოთ რიგის A მატრიცა. მოდით k იყოს რამდენიმე ბუნებრივი რიცხვი, არ აღემატება m და n რიცხვებიდან უმცირესს, ანუ, .

განმარტება.

მცირე kth შეკვეთამატრიცა A არის რიგის კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი, რომელიც შედგება A მატრიცის ელემენტებისაგან, რომლებიც განლაგებულია წინასწარ შერჩეულ k სტრიქონებში და k სვეტებში და შენარჩუნებულია A მატრიცის ელემენტების განლაგება.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ A მატრიცაში ვშლით (p–k) რიგები და (n–k) სვეტები, ხოლო დარჩენილი ელემენტებიდან შევქმნით მატრიცას, შენარჩუნებული A მატრიცის ელემენტების განლაგება, მაშინ განმსაზღვრელი შედეგად მიღებული მატრიცა არის A მატრიცის k რიგის უმნიშვნელო.

მოდით შევხედოთ მატრიცის მინორის განმარტებას მაგალითის გამოყენებით.

განვიხილოთ მატრიცა .

მოდით ჩამოვწეროთ ამ მატრიცის რამდენიმე პირველი რიგის მცირე. მაგალითად, თუ ავირჩევთ A მატრიცის მესამე მწკრივს და მეორე სვეტს, მაშინ ჩვენი არჩევანი შეესაბამება პირველი რიგის მინორს. . სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამ მინორის მისაღებად, ჩვენ გადავკვეთეთ პირველი და მეორე რიგები, ისევე როგორც პირველი, მესამე და მეოთხე სვეტები A მატრიციდან და შევადგინეთ განმსაზღვრელი დარჩენილი ელემენტიდან. თუ ავირჩევთ A მატრიცის პირველ სტრიქონს და მესამე სვეტს, მაშინ მივიღებთ მინორს .

ილუსტრაციულად წარმოვადგინოთ პირველი რიგის არასრულწლოვანთა მოპოვების პროცედურა
და .

ამრიგად, მატრიცის პირველი რიგის მინორები თავად მატრიცის ელემენტებია.

ვაჩვენოთ რამდენიმე მეორე რიგის არასრულწლოვანი. აირჩიეთ ორი მწკრივი და ორი სვეტი. მაგალითად, აიღეთ პირველი და მეორე რიგები და მესამე და მეოთხე სვეტები. ამ არჩევანით გვაქვს მეორე რიგის მცირეწლოვანი . ეს მინორი ასევე შეიძლება შედგეს მესამე მწკრივის, პირველი და მეორე სვეტების წაშლით A მატრიციდან.

A მატრიცის მეორე რიგის მინორი არის.

მოდით ილუსტრაციულად ვაჩვენოთ ამ მეორე რიგის არასრულწლოვანთა კონსტრუქცია
და .

ანალოგიურად, შეიძლება მოიძებნოს A მატრიცის მესამე რიგის მცირე რაოდენობა. ვინაიდან A მატრიცაში მხოლოდ სამი მწკრივია, ჩვენ ვირჩევთ მათ ყველა. თუ ამ რიგების პირველ სამ სვეტს ავირჩევთ, მივიღებთ მესამე რიგის მინორს

ის ასევე შეიძლება აშენდეს A მატრიცის ბოლო სვეტის გადაკვეთით.

კიდევ ერთი მესამე რიგის მინორი არის

მიღებული A მატრიცის მესამე სვეტის წაშლით.

აქ არის სურათი, რომელიც აჩვენებს ამ მესამე რიგის არასრულწლოვანთა მშენებლობას
და .

მოცემული A მატრიცისთვის არ არსებობს მესამეზე მაღალი რიგის მცირე რაოდენობა, ვინაიდან .

Kth რიგის რამდენი მინორია A რიგის მატრიცაში?

k რიგის მცირეწლოვანთა რაოდენობა შეიძლება გამოითვალოს როგორც , სადაც და - კომბინაციების რაოდენობა p-დან k-მდე და n-დან k-მდე, შესაბამისად.

როგორ ავაშენოთ p რიგის A მატრიცის k რიგის ყველა მცირე n-ით?

ჩვენ დაგვჭირდება მრავალი მატრიცის მწკრივის ნომერი და მრავალი სვეტის ნომერი. ჩვენ ყველაფერს ვწერთ p ელემენტების კომბინაციები k-ით(ისინი შეესაბამებიან A მატრიცის შერჩეულ სტრიქონებს k რიგის მინორის აგებისას). მწკრივების რიცხვების თითოეულ კომბინაციას თანმიმდევრულად ვამატებთ k სვეტის n ელემენტის ყველა კომბინაციას. მწკრივების ნომრებისა და A მატრიცის სვეტების ნომრების კომბინაციების ეს ნაკრები დაგეხმარებათ k რიგის ყველა მცირე ზომის შედგენაში.

მოდით შევხედოთ მას მაგალითით.

მაგალითი.

იპოვნეთ მატრიცის ყველა მეორე რიგის მინორი.

გამოსავალი.

ვინაიდან თავდაპირველი მატრიცის თანმიმდევრობა არის 3-ზე 3, მაშინ მეორე რიგის ჯამური მცირე რაოდენობა იქნება .

მოდით ჩამოვწეროთ A მატრიცის 3-დან 2 მწკრივის ნომრების ყველა კომბინაცია: 1, 2; 1, 3 და 2, 3. 3-დან 2 სვეტის ნომრის ყველა კომბინაცია არის 1, 2; 1, 3 და 2, 3.

ავიღოთ A მატრიცის პირველი და მეორე რიგები. ამ სტრიქონებისთვის პირველი და მეორე სვეტების, პირველი და მესამე სვეტების, მეორე და მესამე სვეტების არჩევით, ვიღებთ, შესაბამისად, მინორებს.

პირველი და მესამე რიგებისთვის, სვეტების მსგავსი არჩევანით, გვაქვს

რჩება პირველი და მეორე, პირველი და მესამე, მეორე და მესამე სვეტების დამატება მეორე და მესამე რიგებში:

ასე რომ, ნაპოვნია A მატრიცის ცხრა მეორე რიგის მინორი.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია გავაგრძელოთ მატრიცის რანგის განსაზღვრა.

განმარტება.

მატრიცის რანგიარის მატრიცის არანულოვანი მინორის უმაღლესი რიგი.

A მატრიცის რანგი აღინიშნება როგორც Rank(A). ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ აღნიშვნები Rg(A) ან Rang(A).

მატრიცის რანგის და მატრიცის მინორის განმარტებებიდან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ნულოვანი მატრიცის რანგი ნულის ტოლია, ხოლო არანულოვანი მატრიცის რანგი არ არის ერთზე ნაკლები.

მატრიცის რანგის პოვნა განსაზღვრებით.

ასე რომ, პირველი მეთოდი მატრიცის რანგის მოსაძებნად არის არასრულწლოვანთა აღრიცხვის მეთოდი. ეს მეთოდი ეფუძნება მატრიცის რანგის განსაზღვრას.

მოდით ვიპოვოთ რიგის A მატრიცის რანგი.

მოკლედ აღვწეროთ ალგორითმიამ პრობლემის გადაჭრა არასრულწლოვანთა აღრიცხვით.

თუ არსებობს მინიმუმ ერთი მატრიცის ელემენტი, რომელიც განსხვავდება ნულიდან, მაშინ მატრიცის რანგი არის მინიმუმ ერთის ტოლი(რადგან არის პირველი რიგის მინორი, რომელიც არ არის ნულის ტოლი).

შემდეგ ჩვენ ვუყურებთ მეორე რიგის არასრულწლოვანებს. თუ მეორე რიგის ყველა მცირეწლოვანი უდრის ნულს, მაშინ მატრიცის წოდება უდრის ერთს. თუ არსებობს მეორე რიგის მინიმუმ ერთი არანულოვანი მინორი, მაშინ ვაგრძელებთ მესამე რიგის მინორების ჩამოთვლას და მატრიცის რანგი მინიმუმ ორის ტოლია.

ანალოგიურად, თუ ყველა მესამე რიგის არასრულწლოვანი არის ნულოვანი, მაშინ მატრიცის წოდება არის ორი. თუ არის მინიმუმ ერთი მესამე რიგის მინორი ნულის გარდა, მაშინ მატრიცის რანგი არის მინიმუმ სამი და გადავდივართ მეოთხე რიგის მცირეწლოვანთა ჩამოთვლაზე.

გაითვალისწინეთ, რომ მატრიცის რანგი არ შეიძლება აღემატებოდეს p და n რიცხვებიდან უმცირესს.

მაგალითი.

იპოვეთ მატრიცის წოდება .

გამოსავალი.

ვინაიდან მატრიცა არ არის ნულოვანი, მისი წოდება არ არის ერთზე ნაკლები.

მეორე რიგის მინორი განსხვავდება ნულისაგან, შესაბამისად, A მატრიცის რანგი მინიმუმ ორია. გადავდივართ მესამე რიგის არასრულწლოვანთა ჩამოთვლაზე. სულ ისინი რამ.

ყველა მესამე რიგის მინორი ნულის ტოლია. ამრიგად, მატრიცის წოდება არის ორი.

პასუხი:

წოდება (A) = 2.

მატრიცის რანგის პოვნა არასრულწლოვანთა მოსაზღვრე მეთოდის გამოყენებით.

არსებობს მატრიცის რანგის პოვნის სხვა მეთოდები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ შედეგი ნაკლები გამოთვლითი სამუშაოებით.

ერთ-ერთი ასეთი მეთოდია ზღვარზე მცირე მეთოდი.

მოდით გავუმკლავდეთ ზღვარზე მინორის კონცეფცია.

ნათქვამია, რომ A მატრიცის (k+1) რიგის მინორი M ok ესაზღვრება A მატრიცის k რიგის M მინორს, თუ მინორი M ok-ის შესაბამისი მატრიცა „შეიცავს“ მინორის შესაბამის მატრიცას. მ .

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მოსაზღვრე მცირე M-ის შესაბამისი მატრიცა მიიღება მოსაზღვრე მცირე M ok-ის შესაბამისი მატრიციდან ერთი მწკრივის და ერთი სვეტის ელემენტების წაშლით.

მაგალითად, განიხილეთ მატრიცა და მიიღეთ მეორე შეკვეთა მინორი. მოდით ჩამოვწეროთ ყველა მოსაზღვრე არასრულწლოვანი:

მინორების მოსაზღვრე მეთოდი გამართლებულია შემდეგი თეორემით (მის ფორმულირებას წარმოგიდგენთ მტკიცებულების გარეშე).

თეორემა.

თუ p რიგის A მატრიცის kth რიგის მინორის ესაზღვრება ნულის ტოლია, მაშინ A მატრიცის (k+1) რიგის ყველა მინორი ნულის ტოლია.

ამრიგად, მატრიცის რანგის საპოვნელად არ არის საჭირო ყველა მცირეწლოვანთა გავლა, რომლებიც საკმარისად მოსაზღვრეა. რიგის A მატრიცის kth რიგის მინორს ესაზღვრება მცირერიცხოვანი რიცხვი ფორმულით. . გაითვალისწინეთ, რომ A მატრიცის k-ე რიგის მინორი არ არის იმაზე მეტი, ვიდრე არის A მატრიცის (k + 1) რიგის მინორი. ამიტომ, უმეტეს შემთხვევაში, არასრულწლოვანთა მოსაზღვრე მეთოდის გამოყენება უფრო მომგებიანია, ვიდრე ყველა არასრულწლოვნის უბრალოდ ჩამოთვლა.

მოდით გადავიდეთ მატრიცის რანგის პოვნაზე არასრულწლოვანთა მოსაზღვრე მეთოდით. მოკლედ აღვწეროთ ალგორითმიამ მეთოდით.

თუ მატრიცა A არის ნულოვანი, მაშინ პირველი რიგის მინორად ვიღებთ A მატრიცის ნებისმიერ ელემენტს, რომელიც განსხვავდება ნულისაგან. მოდით შევხედოთ მის მოსაზღვრე არასრულწლოვანებს. თუ ისინი ყველა ნულის ტოლია, მაშინ მატრიცის წოდება ერთის ტოლია. თუ არის მინიმუმ ერთი არა-ნულოვანი მოსაზღვრე მინორი (მისი რიგი არის ორი), მაშინ ვაგრძელებთ მის მოსაზღვრე მცირეწლოვანთა განხილვას. თუ ისინი ყველა ნულის ტოლია, მაშინ წოდება (A) = 2. თუ ერთი მოსაზღვრე მინორი მაინც არ არის ნულოვანი (მისი რიგი არის სამი), მაშინ განვიხილავთ მის მოსაზღვრე მინორებს. და ასე შემდეგ. შედეგად, რანგი(A) = k, თუ A მატრიცის (k + 1) რიგის ყველა მოსაზღვრე მინორი ნულის ტოლია, ან რანგი(A) = min(p, n) თუ არსებობს არა- ნულოვანი მინორი ესაზღვრება რიგის მინორს (min( p, n) – 1) .

მოდით შევხედოთ არასრულწლოვანთა შეზღუდვის მეთოდს, რათა ვიპოვოთ მატრიცის რანგი მაგალითის გამოყენებით.

მაგალითი.

იპოვეთ მატრიცის წოდება არასრულწლოვანთა მოსაზღვრე მეთოდით.

გამოსავალი.

ვინაიდან A მატრიცის a 1 1 ელემენტი არ არის ნულოვანი, ჩვენ ვიღებთ მას, როგორც პირველი რიგის მინორს. დავიწყოთ ნულისაგან განსხვავებული მოსაზღვრე მინორის ძებნა:

ნაპოვნია მეორე რიგის მინორი, ნულისაგან განსხვავებული. მოდით გადავხედოთ მის მოსაზღვრე არასრულწლოვანებს (მათი ნივთები):

მეორე რიგის მინორის მოსაზღვრე ყველა მინორი ნულის ტოლია, შესაბამისად, A მატრიცის რანგი უდრის ორს.

პასუხი:

წოდება (A) = 2.

მაგალითი.

იპოვეთ მატრიცის წოდება მოსაზღვრე არასრულწლოვანთა გამოყენებით.

გამოსავალი.

როგორც პირველი რიგის არანულოვანი მინორი, ვიღებთ A მატრიცის a 1 1 = 1 ელემენტს. მეორე რიგის მიმდებარე არასრულწლოვანი არ არის ნულის ტოლი. ამ არასრულწლოვანს ესაზღვრება მესამე რიგის არასრულწლოვანი
. ვინაიდან ის არ არის ნულის ტოლი და არ არის მისთვის არც ერთი მოსაზღვრე მინორი, A მატრიცის რანგი უდრის სამს.

პასუხი:

წოდება (A) = 3.

რანგის პოვნა ელემენტარული მატრიცული გარდაქმნების გამოყენებით (გაუსის მეთოდი).

განვიხილოთ მატრიცის რანგის პოვნის კიდევ ერთი გზა.

შემდეგ მატრიცულ გარდაქმნებს ელემენტარული ეწოდება:

• მატრიცის რიგების (ან სვეტების) გადაწყობა;
• მატრიცის ნებისმიერი მწკრივის (სვეტის) ყველა ელემენტის გამრავლება თვითნებური რიცხვით k, ნულისაგან განსხვავებული;
• რიგის (სვეტის) ელემენტებს მატრიცის სხვა რიგის (სვეტის) შესაბამისი ელემენტების დამატება, თვითნებური რიცხვით k-ზე გამრავლებული.

მატრიცა B ეწოდება A მატრიცის ეკვივალენტსთუ B მიიღება A-დან გამოყენებით სასრული რიცხვიელემენტარული გარდაქმნები. მატრიცების ეკვივალენტობა აღინიშნება სიმბოლოთი "~", ანუ იწერება A ~ B.

მატრიცის რანგის პოვნა ელემენტარული მატრიცის გარდაქმნების გამოყენებით ეფუძნება დებულებას: თუ მატრიცა B მიიღება A მატრიციდან ელემენტარული გარდაქმნების სასრული რაოდენობის გამოყენებით, მაშინ Rank(A) = Rank(B) .

ამ განცხადების მართებულობა გამომდინარეობს მატრიცის დეტერმინანტის თვისებებიდან:

• მატრიცის რიგების (ან სვეტების) გადაწყობისას, მისი განმსაზღვრელი ცვლის ნიშანს. თუ ის ნულის ტოლია, მაშინ როცა რიგები (სვეტები) გადააწყდება, ის ნულის ტოლი რჩება.
• მატრიცის ნებისმიერი მწკრივის (სვეტის) ყველა ელემენტის გამრავლებისას თვითნებური რიცხვით k, ნულის გარდა, მიღებული მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის საწყისი მატრიცის განმსაზღვრელს გამრავლებული k-ზე. თუ თავდაპირველი მატრიცის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია, მაშინ ნებისმიერი მწკრივის ან სვეტის ყველა ელემენტის k რიცხვით გამრავლების შემდეგ, მიღებული მატრიცის განმსაზღვრელი ასევე იქნება ნულის ტოლი.
• მატრიცის გარკვეული მწკრივის (სვეტის) ელემენტების დამატება მატრიცის სხვა რიგის (სვეტის) შესაბამისი ელემენტების, გამრავლებული გარკვეულ k რიცხვზე, არ ცვლის მის განმსაზღვრელს.

ელემენტარული გარდაქმნების მეთოდის არსიშედგება იმ მატრიცის შემცირებაში, რომლის რანგიც უნდა ვიპოვოთ ტრაპეციულ ნიშნულამდე (კონკრეტულ შემთხვევაში, ზედა სამკუთხედამდე) ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით.

რატომ კეთდება ეს? ამ ტიპის მატრიცების რანგის პოვნა ძალიან ადვილია. ის უდრის ხაზების რაოდენობას, რომელიც შეიცავს მინიმუმ ერთ არანულოვან ელემენტს. და რადგან ელემენტარული გარდაქმნების განხორციელებისას მატრიცის რანგი არ იცვლება, შედეგად მიღებული მნიშვნელობა იქნება ორიგინალური მატრიცის რანგი.

ჩვენ ვაძლევთ მატრიცების ილუსტრაციებს, რომელთაგან ერთი უნდა მივიღოთ გარდაქმნების შემდეგ. მათი გარეგნობა დამოკიდებულია მატრიცის თანმიმდევრობაზე.

ეს ილუსტრაციები არის შაბლონები, რომლებშიც ჩვენ გადავიყვანთ მატრიცას A.

აღვწეროთ მეთოდის ალგორითმი.

მოდით ვიპოვოთ რიგის არა-ნულოვანი A მატრიცის რანგი (p შეიძლება იყოს n-ის ტოლი).

ასე რომ,. მოდით გავამრავლოთ A მატრიცის პირველი რიგის ყველა ელემენტი. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვიღებთ ეკვივალენტურ მატრიცას, რომელიც აღვნიშნავთ მას A (1):

მიღებული მატრიცის A (1) მეორე რიგის ელემენტებს ვამატებთ პირველი რიგის შესაბამის ელემენტებს, გამრავლებული . მესამე ხაზის ელემენტებს ვამატებთ პირველი ხაზის შესაბამის ელემენტებს, გამრავლებული. და ასე შემდეგ p-th ხაზამდე. მივიღოთ ეკვივალენტური მატრიცა, აღვნიშნოთ ის A (2):

თუ მიღებული მატრიცის ყველა ელემენტი, რომელიც მდებარეობს მწკრივებში მეორიდან p-th-მდე ტოლია ნულის ტოლი, მაშინ ამ მატრიცის წოდება უდრის ერთს და, შესაბამისად, ორიგინალური მატრიცის წოდება ტოლია. ერთს.

თუ ხაზებში მეორიდან p-th-მდე არის მინიმუმ ერთი არანულოვანი ელემენტი, მაშინ ვაგრძელებთ გარდაქმნების განხორციელებას. უფრო მეტიც, ჩვენ ვმოქმედებთ აბსოლუტურად იგივე გზით, მაგრამ მხოლოდ მატრიცის A (2) ნაწილით, რომელიც აღინიშნება ფიგურაში.

თუ , მაშინ ჩვენ ვაწყობთ A (2) მატრიცის სტრიქონებს და (ან) სვეტებს ისე, რომ "ახალი" ელემენტი არ იყოს ნულოვანი.

მიეცით რამდენიმე მატრიცა:

.

მოდით ავირჩიოთ ამ მატრიცაში თვითნებური სიმები და თვითნებური სვეტები
. შემდეგ განმსაზღვრელი მატრიცული ელემენტებისაგან შემდგარი რიგი
, რომელიც მდებარეობს შერჩეული სტრიქონებისა და სვეტების კვეთაზე, ეწოდება მინორი რიგის მატრიცა
.

განმარტება 1.13.მატრიცის რანგი
არის ამ მატრიცის არანულოვანი მინორის უდიდესი რიგი.

მატრიცის რანგის გამოსათვლელად, უნდა გავითვალისწინოთ მისი ყველაზე დაბალი რიგის ყველა მინორი და, თუ ერთი მათგანი მაინც განსხვავდება ნულიდან, გადავიდეთ უმაღლესი რიგის მინუსების გათვალისწინებაზე. მატრიცის რანგის განსაზღვრის ამ მიდგომას უწოდებენ მოსაზღვრე მეთოდს (ან არასრულწლოვანთა მოსაზღვრე მეთოდს).

პრობლემა 1.4.არასრულწლოვანთა მოსაზღვრე მეთოდის გამოყენებით, განსაზღვრეთ მატრიცის რანგი
.

.

განვიხილოთ პირველი რიგის კიდეები, მაგალითად,
. შემდეგ ჩვენ გადავდივართ მეორე რიგის კიდეების განხილვაზე.

მაგალითად,
.

და ბოლოს, მოდით გავაანალიზოთ მესამე რიგის საზღვრები.

.

ასე რომ, ნულოვანი მინორის უმაღლესი რიგი არის 2, შესაბამისად
.

1.4 ამოცანის ამოხსნისას შეგიძლიათ შეამჩნიოთ, რომ მეორე რიგის მოსაზღვრე არასრულწლოვანთა რიცხვი არ არის ნულოვანი. ამასთან დაკავშირებით, შემდეგი კონცეფცია გამოიყენება.

განმარტება 1.14.მატრიცის საბაზისო მინორი არის ნებისმიერი არანულოვანი მინორი, რომლის რიგი უდრის მატრიცის რანგის.

თეორემა 1.2.(ძირითადი თეორემა). საბაზისო რიგები (ძირითადი სვეტები) წრფივად დამოუკიდებელია.

გაითვალისწინეთ, რომ მატრიცის რიგები (სვეტები) წრფივია დამოკიდებული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთი მათგანი მაინც შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც სხვების წრფივი კომბინაცია.

თეორემა 1.3.წრფივად დამოუკიდებელი მატრიცის მწკრივების რაოდენობა უდრის წრფივად დამოუკიდებელი მატრიცის სვეტების რაოდენობას და უდრის მატრიცის რანგის.

თეორემა 1.4.(აუცილებელი და საკმარისი პირობა, რომ განმსაზღვრელი იყოს ნულის ტოლი). იმისათვის, რომ განმსაზღვრელი - ბრძანება იყო ნულის ტოლი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მისი რიგები (სვეტები) იყოს წრფივად დამოკიდებული.

მატრიცის რანგის გამოთვლა მისი განმარტების საფუძველზე ძალიან რთულია. ეს განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია მაღალი შეკვეთების მატრიცებისთვის. ამასთან დაკავშირებით, პრაქტიკაში, მატრიცის რანგი გამოითვლება თეორემების 10.2 - 10.4 გამოყენების საფუძველზე, აგრეთვე მატრიცის ეკვივალენტობის და ელემენტარული გარდაქმნების ცნებების გამოყენებით.

განმარტება 1.15.ორი მატრიცა
და ეკვივალენტებს უწოდებენ, თუ მათი რიგები ტოლია, ე.ი.
.

თუ მატრიცები
და ეკვივალენტურია, შემდეგ გაითვალისწინეთ
 .

თეორემა 1.5.მატრიცის რანგი არ იცვლება ელემენტარული გარდაქმნების გამო.

ელემენტარულ მატრიცულ გარდაქმნებს დავარქმევთ
ნებისმიერი შემდეგი ოპერაცია მატრიცაზე:

სტრიქონების ჩანაცვლება სვეტებით და სვეტების შესაბამისი რიგებით;

მატრიცის რიგების გადაწყობა;

ხაზის გადაკვეთა, რომლის ელემენტები ყველა ნულოვანია;

სტრიქონის გამრავლება ნულის გარდა სხვა რიცხვზე;

ერთი ხაზის ელემენტებს ემატება მეორე ხაზის შესაბამისი ელემენტები გამრავლებული იმავე რიცხვზე
.

თეორემის დასკვნა 1.5.თუ მატრიცა
მიღებული მატრიციდან ელემენტარული გარდაქმნების სასრული რაოდენობის გამოყენებით, შემდეგ მატრიცა
და ექვივალენტები არიან.

მატრიცის რანგის გაანგარიშებისას, ის უნდა დაიწიოს ტრაპეციულ ფორმამდე ელემენტარული გარდაქმნების სასრული რაოდენობის გამოყენებით.

განმარტება 1.16.ტრაპეციულს დავარქმევთ მატრიცის წარმოდგენის ფორმას, როდესაც ნულის გარდა უმაღლესი რიგის მინორში, ყველა ელემენტი ქრება დიაგონალზე ქვემოთ. მაგალითად:

.

აქ
, მატრიცის ელემენტები
ნულზე გადასვლა. მაშინ ასეთი მატრიცის წარმოდგენის ფორმა იქნება ტრაპეციული.

როგორც წესი, მატრიცები ტრაპეციულ ფორმამდე მცირდება გაუსის ალგორითმის გამოყენებით. გაუსის ალგორითმის იდეა მდგომარეობს იმაში, რომ მატრიცის პირველი რიგის ელემენტების შესაბამის ფაქტორებზე გამრავლებით, მიიღწევა, რომ პირველი სვეტის ყველა ელემენტი მდებარეობს ელემენტის ქვემოთ.
, გადაიქცევა ნულამდე. შემდეგ, მეორე სვეტის ელემენტების შესაბამის ფაქტორებზე გამრავლებით, ჩვენ უზრუნველვყოფთ, რომ მეორე სვეტის ყველა ელემენტი მდებარეობს ელემენტის ქვემოთ.
, გადაიქცევა ნულამდე. შემდეგ გააგრძელეთ იგივე გზით.

პრობლემა 1.5.განსაზღვრეთ მატრიცის რანგი მისი ტრაპეციის ფორმის შემცირებით.

.

გაუსიანური ალგორითმის გამოყენების გასაადვილებლად, შეგიძლიათ შეცვალოთ პირველი და მესამე ხაზი.








.

აშკარაა, რომ აქ
. თუმცა, იმისათვის, რომ შედეგი უფრო ელეგანტურ ფორმამდე მიიყვანოთ, შეგიძლიათ შემდგომ გააგრძელოთ სვეტების გარდაქმნა.










.

მოდით A იყოს m\ჯერ n ზომის მატრიცა და k იყოს ბუნებრივი რიცხვი, რომელიც არ აღემატება m და n-ს: k\leqslant\min\(m;n\). მცირე kth შეკვეთამატრიცა A არის kth რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი, ჩამოყალიბებულია ელემენტებით, დგას A მატრიცის შემთხვევით შერჩეული k სტრიქონების და k სვეტების გადაკვეთაზე. მინორების აღნიშვნისას აღვნიშნავთ არჩეული სტრიქონების ნომრებს ზედა ინდექსებად, ხოლო არჩეული სვეტების ნომრებს ქვედა ინდექსებად და ვაწყობთ მათ ზრდადი თანმიმდევრობით.

მაგალითი 3.4.ჩაწერეთ მატრიცის სხვადასხვა რიგის მცირეწლოვანები

A=\begin(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)\!.

გამოსავალი. A მატრიცას აქვს ზომები 3\ჯერ4. ჰყავს: 1-ლი რიგის 12 არასრულწლოვანი, მაგალითად, არასრულწლოვანი M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 მეორე რიგის არასრულწლოვანი, მაგალითად, M_(()_(23))^(()^(12))=\დაწყება(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; მე-3 რიგის 4 არასრულწლოვანი, მაგალითად,

M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

m\ჯერ n ზომის A მატრიცაში, r-th რიგის მინორი ეწოდება ძირითადი, თუ ის არ არის ნულოვანი და (r+1)-ro რიგის ყველა მინორი ნულის ტოლია ან საერთოდ არ არსებობს.

მატრიცის რანგიეწოდება საბაზისო მინორის რიგი. ნულოვანი მატრიცაში არ არის საბაზისო მინორი. მაშასადამე, ნულოვანი მატრიცის რანგი, განსაზღვრებით, ნულის ტოლია. A მატრიცის რანგი აღინიშნება \ოპერატორის სახელი(rg)A.

მაგალითი 3.5.იპოვეთ ყველა საბაზისო მცირეწლოვანი და მატრიცული რანგი

A=\ დასაწყისი (პმატრიცა)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\ბოლო(პმატრიცა)\!.

გამოსავალი.ამ მატრიცის ყველა მესამე რიგის მინორი ნულის ტოლია, რადგან ამ დეტერმინანტებს აქვთ ნულოვანი მესამე რიგი. აქედან გამომდინარე, მხოლოდ მეორე რიგის მინორი, რომელიც მდებარეობს მატრიცის პირველ ორ რიგში, შეიძლება იყოს ძირითადი. 6 შესაძლო არასრულწლოვანთა გავლისას ვირჩევთ არანულოვანს

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \დაწყება(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \ დასაწყისი(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

ამ ხუთი მცირეწლოვანიდან თითოეული არის ძირითადი. ამრიგად, მატრიცის წოდება არის 2.

შენიშვნები 3.2

1. თუ მატრიცაში k რიგის ყველა მინორი ნულის ტოლია, მაშინ მინორები მეტია მაღალი შეკვეთა. მართლაც, (k+1)-ro რიგის მინორის გაფართოებით ნებისმიერ მწკრივზე, ვიღებთ ამ მწკრივის ელემენტების ნამრავლების ჯამს kth რიგის მინორებით და ისინი ნულის ტოლია.

2. მატრიცის რანგი უდრის ამ მატრიცის არანულოვანი მინორის უმაღლესი რიგის.

3. თუ კვადრატული მატრიცაარადეგენერატი, მაშინ მისი წოდება მისი რიგის ტოლია. თუ კვადრატული მატრიცა სინგულარულია, მაშინ მისი წოდება მის წესრიგზე ნაკლებია.

4. აღნიშვნები ასევე გამოიყენება წოდებისთვის \ოპერატორის სახელი(Rg)A,~ \ოპერატორის სახელი(რენგ)A,~ \ოპერატორის სახელი(რანგი)A.

5. ბლოკის მატრიცის რანგიგანისაზღვრება, როგორც რეგულარული (რიცხობრივი) მატრიცის რანგი, ე.ი. მიუხედავად მისი ბლოკის სტრუქტურისა. ამ შემთხვევაში, ბლოკის მატრიცის წოდება არ არის ნაკლები, ვიდრე მისი ბლოკების რიგები: \ოპერატორის სახელი(rg)(A\შუა B)\geqslant\ოპერატორის სახელი(rg)Aდა \ოპერატორის სახელი(rg)(A\შუა B)\geqslant\ოპერატორის სახელი(rg)B, ვინაიდან A (ან B ) მატრიცის ყველა მინორი ასევე არის ბლოკის მატრიცის (A\mid B) მინორი.

თეორემები მინორისა და მატრიცის რანგის საფუძველზე

განვიხილოთ მატრიცის სვეტების (სტრიქონების) წრფივი დამოკიდებულების და წრფივი დამოუკიდებლობის თვისებების გამომხატველი ძირითადი თეორემები.

თეორემა 3.1 მინორის საფუძველზე.თვითნებურ მატრიცაში A, თითოეული სვეტი (სტრიქონი) არის სვეტების (სტრიქონების) წრფივი კომბინაცია, რომელშიც მდებარეობს საბაზისო მინორი.

მართლაც, ზოგადობის დაკარგვის გარეშე, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ m\ჯერ n ზომის A მატრიცაში საბაზისო მინორი მდებარეობს პირველ r სტრიქონებში და პირველ r სვეტებში. განიხილეთ განმსაზღვრელი

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),

რომელიც მიიღება A მატრიცის საბაზისო მინორისთვის შესაბამისის მინიჭებით ე ელემენტებირიგები და k-ე სვეტი. გაითვალისწინეთ, რომ ნებისმიერი 1\leqslant s\leqslant mდა ეს დეტერმინანტი ნულის ტოლია. თუ s\leqslant r ან k\leqslant r, მაშინ განმსაზღვრელი D შეიცავს ორ იდენტურ მწკრივს ან ორ იდენტურ სვეტს. თუ s>r და k>r, მაშინ D განმსაზღვრელი ნულის ტოლია, რადგან ის არის (r+l)-ro რიგის მცირე. ბოლო ხაზის გასწვრივ განმსაზღვრელი გავაფართოვოთ, მივიღებთ

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

სადაც D_(r+1\,j) - ელემენტების ალგებრული დანამატები ბოლო ხაზი. გაითვალისწინეთ, რომ D_(r+1\,r+1)\ne0 რადგან ეს არის საბაზისო მინორი. ამიტომაც

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), სად \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end (pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

იმათ. kth სვეტი (ნებისმიერი 1\leqslant k\leqslant n) არის საბაზისო მინორის სვეტების წრფივი კომბინაცია, რისი დასამტკიცებლადაც გვჭირდებოდა.

ძირითადი მცირე თეორემა ემსახურება შემდეგი მნიშვნელოვანი თეორემების დამტკიცებას.

პირობა, რომ განმსაზღვრელი იყოს ნული

თეორემა 3.2 (აუცილებელი და საკმარისი მდგომარეობადეტერმინანტი ნულის ტოლია).იმისათვის, რომ განმსაზღვრელი იყოს ნულის ტოლი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მისი ერთ-ერთი სვეტი (მისი ერთ-ერთი მწკრივი) იყოს დარჩენილი სვეტების (სტრიქონების) წრფივი კომბინაცია.

მართლაც, აუცილებლობა გამომდინარეობს ძირითადი მცირე თეორემიდან. თუ n რიგის კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია, მაშინ მისი რანგი ნაკლებია n-ზე, ე.ი. მინიმუმ ერთი სვეტი არ შედის საბაზისო მინორში. მაშინ ეს არჩეული სვეტი, თეორემა 3.1-ით, არის სვეტების წრფივი კომბინაცია, რომელშიც მდებარეობს საბაზისო მინორი. საჭიროების შემთხვევაში ამ კომბინაციის სხვა სვეტების ნულოვანი კოეფიციენტების დამატებით, მივიღებთ, რომ არჩეული სვეტი არის მატრიცის დარჩენილი სვეტების წრფივი კომბინაცია. საკმარისობა გამომდინარეობს დეტერმინანტის თვისებებიდან. თუ, მაგალითად, განმსაზღვრელი ბოლო სვეტი A_n \det(A_1~A_2~\cdots~A_n)წრფივად გამოხატული დანარჩენის მეშვეობით

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

შემდეგ დაამატეთ A_n სვეტს A_1 გამრავლებული (-\lambda_1), შემდეგ სვეტი A_2 გამრავლებული (-\lambda_2) და ა.შ. სვეტი A_(n-1) გამრავლებული (-\lambda_(n-1)) მივიღებთ განმსაზღვრელს \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o)ნულოვანი სვეტით, რომელიც უდრის ნულს (განმსაზღვრელი 2 თვისება).

მატრიცის რანგის უცვლელობა ელემენტარული გარდაქმნების პირობებში

თეორემა 3.3 (რანგის ინვარიანტობის შესახებ ელემენტარული გარდაქმნებისას). მატრიცის სვეტების (სტრიქონების) ელემენტარული გარდაქმნების დროს მისი წოდება არ იცვლება.

მართლაც, დაე ასე იყოს. დავუშვათ, რომ A მატრიცის სვეტების ერთი ელემენტარული ტრანსფორმაციის შედეგად მივიღეთ მატრიცა A". თუ შესრულდა I ტიპის ტრანსფორმაცია (ორი სვეტის პერმუტაცია), მაშინ მატრიცის რიგის ნებისმიერი უმნიშვნელო (r+l)-ro. A" ან უდრის A მატრიცის რიგის შესაბამის მინორს (r+l)-ro, ან განსხვავდება მისგან ნიშნით (განმსაზღვრელი 3 თვისება). თუ განხორციელდა II ტიპის ტრანსფორმაცია (სვეტის გამრავლება რიცხვით \lambda\ne0 ), მაშინ მატრიცის A" რიგის ნებისმიერი უმნიშვნელო (r+l)-ro ან უდრის შესაბამის მინორს (r+l) -ro მატრიცის რიგის ან მისგან განსხვავებული ფაქტორის \lambda\ne0 (განმსაზღვრელი 6-ის თვისება თუ შესრულდა III ტიპის ტრანსფორმაცია (ერთ სვეტს დაემატება მეორე სვეტი გამრავლებული რიცხვით \Lambda), მაშინ ნებისმიერი. A მატრიცის (r+1) რიგის მინორი ან უდრის შესაბამის მინორს. (r+1) რიგის A მატრიცა (განმსაზღვრელი 9 თვისება), ან ჯამის ტოლი A მატრიცის რიგის ორი მინორი (r+l)-ro (დეტერმინანტის თვისება 8). მაშასადამე, ნებისმიერი ტიპის ელემენტარული ტრანსფორმაციის დროს, A მატრიცის რიგის ყველა მცირე (r+l)-ro ნულის ტოლია, ვინაიდან A მატრიცის რიგის ყველა მცირე (r+l)-ro არის. ნულის ტოლია, დადასტურდა, რომ სვეტების ელემენტარული გარდაქმნებით, რანგის მატრიცა არ შეიძლება გაიზარდოს, ვინაიდან ელემენტარული გარდაქმნები არის ელემენტარული, მატრიცის რანგი არ შეიძლება შემცირდეს სვეტების ელემენტარული გარდაქმნების დროს. დაამტკიცა, რომ მატრიცის რანგი არ იცვლება რიგების ელემენტარული გარდაქმნების დროს.

დასკვნა 1. თუ მატრიცის ერთი მწკრივი (სვეტი) არის მისი სხვა რიგების (სვეტების) წრფივი კომბინაცია, მაშინ ეს მწკრივი (სვეტი) შეიძლება წაიშალოს მატრიციდან მისი რანგის შეცვლის გარეშე.

მართლაც, ასეთი სტრიქონი შეიძლება იყოს ნულოვანი ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით, ხოლო ნულოვანი სტრიქონი არ შეიძლება იყოს ჩართული საბაზისო მინორში.

დასკვნა 2. თუ მატრიცა შემცირდა უმარტივეს ფორმამდე (1.7), მაშინ

\ოპერატორის სახელი(rg)A=\ოპერატორის სახელი(რგ)\ლამბდა=r\,.

მართლაც, უმარტივესი ფორმის მატრიცას (1.7) აქვს rth რიგის საბაზისო მინორი.

დასკვნა 3. ნებისმიერი არასინგულარული კვადრატული მატრიცა არის ელემენტარული, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნებისმიერი არასინგულარული კვადრატული მატრიცა არის იგივე რიგის იდენტურობის მატრიცის ექვივალენტი.

მართლაც, თუ A არის n-ე რიგის კვადრატული მატრიცა, მაშინ \ოპერატორის სახელი(rg)A=n(იხ. 3.2 კომენტარის მე-3 პუნქტი). მაშასადამე, A მატრიცას უმარტივეს ფორმამდე (1.7) მიყვანით ელემენტარული გარდაქმნებით, მივიღებთ იდენტობის მატრიცას \Lambda=E_n, ვინაიდან \ოპერატორის სახელი(rg)A=\ოპერატორის სახელი(რგ)\ლამბდა=n(იხ. დასკვნა 2). მაშასადამე, მატრიცა A არის იდენტობის მატრიცის E_n ეკვივალენტური და მისი მიღება შესაძლებელია ელემენტარული გარდაქმნების სასრული რაოდენობის შედეგად. ეს ნიშნავს, რომ მატრიცა A ელემენტარულია.

თეორემა 3.4 (მატრიცის რანგის შესახებ). მატრიცის წოდება უდრის ამ მატრიცის წრფივად დამოუკიდებელი მწკრივების მაქსიმალურ რაოდენობას.

ფაქტობრივად, მოდით \ოპერატორის სახელი(rg)A=r. მაშინ A მატრიცას აქვს r წრფივად დამოუკიდებელი რიგები. ეს ის ხაზებია, რომლებშიც ბაზის მინორი მდებარეობს. თუ ისინი წრფივად დამოკიდებულნი იქნებიან, მაშინ ეს მინორი 3.2 თეორემის მიხედვით ნულის ტოლი იქნება, ხოლო A მატრიცის რანგი არ იქნება r-ის ტოლი. ვაჩვენოთ, რომ r არის წრფივად დამოუკიდებელი მწკრივების მაქსიმალური რაოდენობა, ე.ი. ნებისმიერი p მწკრივი წრფივად არის დამოკიდებული p>r-ზე. მართლაც, ჩვენ ვქმნით B მატრიცას ამ p რიგებიდან. ვინაიდან მატრიცა B არის A მატრიცის ნაწილი, მაშინ \operatorname(rg)B\leqslant \operatorname(rg)A=r

ეს ნიშნავს, რომ B მატრიცის მინიმუმ ერთი მწკრივი არ შედის ამ მატრიცის საბაზისო მინორში. შემდეგ, საბაზისო მინორის თეორემით, ის უდრის მწკრივების წრფივ კომბინაციას, რომლებშიც მდებარეობს საბაზისო მინორი. მაშასადამე, B მატრიცის რიგები წრფივია დამოკიდებული. ამრიგად, A მატრიცას აქვს მაქსიმუმ r წრფივი დამოუკიდებელი რიგები.

დასკვნა 1. მატრიცაში წრფივად დამოუკიდებელი მწკრივების მაქსიმალური რაოდენობა უდრის ხაზოვანი დამოუკიდებელი სვეტების მაქსიმალურ რაოდენობას:

\ოპერატორის სახელი(rg)A=\ოპერატორის სახელი(rg)A^T.

ეს დებულება გამომდინარეობს თეორემა 3.4-დან, თუ მას გამოვიყენებთ ტრანსპონირებული მატრიცის მწკრივებზე და გავითვალისწინებთ, რომ მინორები არ იცვლება ტრანსპოზიციის დროს (დეტერმინანტის თვისება 1).

დასკვნა 2. მატრიცის რიგების ელემენტარული გარდაქმნებით, წრფივი დამოკიდებულებით (ან ხაზოვანი დამოუკიდებლობა) ამ მატრიცის სვეტების ნებისმიერი სისტემა შენარჩუნებულია.

ფაქტობრივად, მოდით ავირჩიოთ მოცემული A მატრიცის ნებისმიერი k სვეტი და შევადგინოთ მათგან B მატრიცა. მოდით მივიღოთ მატრიცა A" A მატრიცის რიგების ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად, ხოლო B მატრიცა "B" მატრიცის რიგების იგივე გარდაქმნების შედეგად. თეორემა 3.3 \ოპერატორის სახელი(rg)B"=\ოპერატორის სახელი(rg)B. მაშასადამე, თუ B მატრიცის სვეტები წრფივად დამოუკიდებელი იყო, ე.ი. k=\ოპერატორის სახელი(rg)B(იხ. დასკვნა 1), მაშინ B მატრიცის სვეტები ასევე წრფივად დამოუკიდებელია, რადგან k=\ოპერატორის სახელი(rg)B". თუ B მატრიცის სვეტები წრფივად იყო დამოკიდებული (k>\ოპერატორის სახელი(rg)B), მაშინ B მატრიცის სვეტები ასევე წრფივად არის დამოკიდებული (k>\ოპერატორის სახელი(rg)B"). შესაბამისად, A მატრიცის ნებისმიერი სვეტისთვის წრფივი დამოკიდებულება ან წრფივი დამოუკიდებლობა შენარჩუნებულია მწკრივის ელემენტარული გარდაქმნების ქვეშ.

შენიშვნები 3.3

1. 3.4 თეორემის 1-ლი დასკვნის მიხედვით, დასკვნა 2-ში მითითებული სვეტების თვისება ასევე ჭეშმარიტია მატრიცის მწკრივების ნებისმიერი სისტემისთვის, თუ ელემენტარული გარდაქმნები შესრულებულია მხოლოდ მის სვეტებზე.

2. 3.3 თეორემის მე-3 დასკვნა შეიძლება შემდეგნაირად დაიხვეწოს: ნებისმიერი არაინგულარული კვადრატული მატრიცა, მხოლოდ მისი რიგების (ან მხოლოდ მისი სვეტების) ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით, შეიძლება შემცირდეს იმავე რიგის იდენტურ მატრიცამდე.

ფაქტობრივად, მწკრივის მხოლოდ ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით, ნებისმიერი მატრიცა A შეიძლება შემცირდეს გამარტივებულ ფორმამდე \Lambda (ნახ. 1.5) (იხ. თეორემა 1.1). ვინაიდან A მატრიცა არაერთგულოვანია (\det(A)\ne0), მისი სვეტები წრფივად დამოუკიდებელია. ეს ნიშნავს, რომ მატრიცის \ლამბდას სვეტები ასევე წრფივად დამოუკიდებელია (თეორემა 3.4-ის დასკვნა 2). მაშასადამე, არასიგნორული მატრიცის A გამარტივებული ფორმა \ლამბდა ემთხვევა მის უმარტივეს ფორმას (ნახ. 1.6) და არის იდენტურობის მატრიცა \Lambda=E (იხ. თეორემა 3.3-ის დასკვნა 3). ამრიგად, არასიგნორული მატრიცის მხოლოდ მწკრივების გარდაქმნით, ის შეიძლება შემცირდეს იდენტურობის მატრიცამდე. მსგავსი მსჯელობა მოქმედებს არასინგულარული მატრიცის სვეტების ელემენტარული გარდაქმნებისთვის.

პროდუქტის რანგი და მატრიცების ჯამი

თეორემა 3.5 (მატრიცების ნამრავლის რანგზე). მატრიცების ნამრავლის რიგი არ აღემატება ფაქტორების რიგს:

\ოპერატორის სახელი(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\ოპერატორის სახელი(rg)A,\ოპერატორის სახელი(rg)B\).

მართლაც, მოდით A და B მატრიცებს ჰქონდეს ზომები m\ჯერ p და p\ჯერ n. მოდით, A მატრიცას მივცეთ მატრიცა C=AB\კოლონი\,(A\შუა C). რა თქმა უნდა, რომ \ოპერატორის სახელი(rg)C\leqslant\ოპერატორის სახელი(rg)(A\შუა C), ვინაიდან C არის მატრიცის ნაწილი (A\mid C) (იხილეთ 3.2 შენიშვნების მე-5 პუნქტი). გაითვალისწინეთ, რომ ყოველი სვეტი C_j, მატრიცის გამრავლების ოპერაციის მიხედვით, არის სვეტების წრფივი კომბინაცია A_1, A_2,\ldots,A_pმატრიცები A=(A_1~\cdots~A_p):

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.

ასეთი სვეტი შეიძლება წაიშალოს მატრიციდან (A\mid C) მისი რანგის შეცვლის გარეშე (თეორემის 3.3 დასკვნა 1). C მატრიცის ყველა სვეტის გადაკვეთისას მივიღებთ: \ოპერატორის სახელი(rg)(A\mid C)=\ოპერატორის სახელი(rg)A. აქედან, \ოპერატორის სახელი(rg)C\leqslant\ოპერატორის სახელი(rg)(A\mid C)=\ოპერატორის სახელი(rg)A. ანალოგიურად, შეგვიძლია დავამტკიცოთ, რომ პირობა ერთდროულად დაკმაყოფილებულია \ოპერატორის სახელი(rg)C\leqslant\ოპერატორის სახელი(rg)B, და გამოიტანე დასკვნა თეორემის მართებულობის შესახებ.

შედეგი. თუ A არის არასიგნორული კვადრატული მატრიცა, მაშინდა \ოპერატორის სახელი(rg)(AB)= \ოპერატორის სახელი(rg)B, ე.ი. მატრიცის რანგი არ იცვლება, როდესაც ის მარცხნიდან ან მარჯვნივ მრავლდება არაერთგულოვან კვადრატულ მატრიცზე.

თეორემა 3.6 მატრიცების ჯამების რანგზე. მატრიცების ჯამის რანგი არ აღემატება ტერმინების რიგების ჯამს:

\ოპერატორის სახელი(rg)(A+B)\leqslant \ოპერატორის სახელი(rg)A+\ოპერატორის სახელი(rg)B.

მართლაც, მოდით შევქმნათ მატრიცა (A+B\შუა A\შუა B). გაითვალისწინეთ, რომ A+B მატრიცის თითოეული სვეტი არის A და B მატრიცების სვეტების წრფივი კომბინაცია. ამიტომაც \ოპერატორის სახელი(rg)(A+B\mid A\mid B)= \ოპერატორის სახელი(rg)(A\mid B). იმის გათვალისწინებით, რომ მატრიცაში წრფივად დამოუკიდებელი სვეტების რაოდენობა (A\mid B) არ აღემატება \ოპერატორის სახელი(rg)A+\ოპერატორის სახელი(rg)B, ა \ოპერატორის სახელი(rg)(A+B)\leqslant \ოპერატორის სახელი(rg)(A+B\mid A\mid B)(იხ. შენიშვნების 3.2 ნაწილი 5), ვიღებთ დადასტურებულ უტოლობას.