რაციონალური წილადები და მათი თვისებები რაციონალური გამონათქვამები. „რაციონალური წილადი

ალგებრის კურსიდან სკოლის სასწავლო გეგმამოდით გადავიდეთ კონკრეტულებზე. ამ სტატიაში ჩვენ დეტალურად შევისწავლით რაციონალური გამონათქვამების განსაკუთრებულ ტიპს - რაციონალური წილადებიდა ასევე განიხილეთ რა მახასიათებელია იდენტური რაციონალური წილადების გარდაქმნაგაიმართება.

დაუყოვნებლივ აღვნიშნოთ, რომ რაციონალურ წილადებს იმ გაგებით, რომლითაც ჩვენ განვსაზღვრავთ ქვემოთ, ზოგიერთ ალგებრის სახელმძღვანელოში ალგებრულ წილადებს უწოდებენ. ანუ ამ სტატიაში ჩვენ გავიგებთ რაციონალურ და ალგებრულ წილადებს, როგორც ერთსა და იმავეს.

ჩვეულებისამებრ, დავიწყოთ განმარტებით და მაგალითებით. შემდეგ კასტინგზე ვისაუბრებთ. რაციონალური წილადიახალ მნიშვნელზე და წილადის წევრების ნიშნების შეცვლის შესახებ. ამის შემდეგ ჩვენ განვიხილავთ, თუ როგორ შევამციროთ წილადები. და ბოლოს, მოდით შევხედოთ რაციონალური წილადის წარმოდგენას რამდენიმე წილადის ჯამის სახით. ჩვენ მოგაწვდით ყველა ინფორმაციას მაგალითებით დეტალური აღწერილობებიგადაწყვეტილებები.

გვერდის ნავიგაცია.

რაციონალური წილადების განმარტება და მაგალითები

რაციონალური წილადები მე-8 კლასის ალგებრის გაკვეთილებზე ისწავლება. გამოვიყენებთ რაციონალური წილადის განმარტებას, რომელიც მოცემულია მე-8 კლასის ალგებრის სახელმძღვანელოში იუ ნ. მაკარიჩევის და სხვ.

IN ამ განმარტებასარ არის დაკონკრეტებული რაციონალური წილადის მრიცხველში და მნიშვნელში მრავალწევრი უნდა იყოს თუ არა სტანდარტული ხედითუ არა. ამიტომ, ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ რაციონალური წილადების აღნიშვნები შეიძლება შეიცავდეს როგორც სტანდარტულ, ასევე არასტანდარტულ მრავალწევრებს.

აქ არის რამდენიმე რაციონალური წილადების მაგალითები. ასე რომ, x/8 და - რაციონალური წილადები. და წილადები და არ ერგება რაციონალური წილადის მითითებულ განმარტებას, რადგან მათგან პირველში მრიცხველი არ შეიცავს მრავალწევრს, ხოლო მეორეში მრიცხველიც და მნიშვნელიც შეიცავს გამონათქვამებს, რომლებიც არ არის მრავალწევრი.

რაციონალური წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის გადაქცევა

ნებისმიერი წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი თვითკმარია მათემატიკური გამონათქვამებირაციონალური წილადების შემთხვევაში ეს არის მრავალწევრები კონკრეტულ შემთხვევაში, მონომები და რიცხვები. მაშასადამე, იდენტური გარდაქმნები შეიძლება განხორციელდეს რაციონალური წილადის მრიცხველით და მნიშვნელით, როგორც ნებისმიერი გამოსახულებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რაციონალური წილადის მრიცხველში გამოსახვა შეიძლება შეიცვალოს იდენტური ტოლი გამოსახულებით, ისევე როგორც მნიშვნელი.

თქვენ შეგიძლიათ შეასრულოთ იდენტური გარდაქმნები რაციონალური წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელში. მაგალითად, მრიცხველში შეგიძლიათ დაჯგუფება და შემცირება მსგავსი ტერმინები, ხოლო მნიშვნელში შეცვალეთ რამდენიმე რიცხვის ნამრავლი მისი მნიშვნელობით. და რადგან რაციონალური წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი პოლინომებია, შესაძლებელია მათთან მრავალწევრებისთვის დამახასიათებელი გარდაქმნების შესრულება, მაგალითად, სტანდარტულ ფორმამდე შემცირება ან წარმოდგენა პროდუქტის სახით.

სიცხადისთვის, განვიხილოთ რამდენიმე მაგალითის გადაწყვეტილებები.

მაგალითი.

რაციონალური წილადის გადაქცევა ისე, რომ მრიცხველი შეიცავს სტანდარტული ფორმის მრავალწევრს, ხოლო მნიშვნელი შეიცავს მრავალწევრების ნამრავლს.

გამოსავალი.

რაციონალური წილადების ახალ მნიშვნელამდე შემცირება ძირითადად გამოიყენება რაციონალური წილადების შეკრებასა და გამოკლებაში.

ნიშნების შეცვლა წილადის წინ, ასევე მისი მრიცხველისა და მნიშვნელის

წილადის ძირითადი თვისება შეიძლება გამოყენებულ იქნას წილადის წევრების ნიშნების შესაცვლელად. მართლაც, რაციონალური წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის გამრავლება -1-ზე უდრის მათი ნიშნების შეცვლას და შედეგი არის წილადი, რომელიც იდენტურია მოცემულის ტოლი. ეს ტრანსფორმაცია საკმაოდ ხშირად უნდა იქნას გამოყენებული რაციონალურ წილადებთან მუშაობისას.

ამრიგად, თუ ერთდროულად შეცვლით წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის ნიშნებს, მიიღებთ ორიგინალის ტოლ წილადს. ამ განცხადებას პასუხობს თანასწორობა.

მოვიყვანოთ მაგალითი. რაციონალური წილადი შეიძლება შეიცვალოს იდენტურად ტოლი წილადით, ფორმის მრიცხველისა და მნიშვნელის შეცვლილი ნიშნებით.

წილადებით შეგიძლიათ განახორციელოთ კიდევ ერთი იდენტური ტრანსფორმაცია, რომელშიც იცვლება მრიცხველის ან მნიშვნელის ნიშანი. განვაცხადოთ შესაბამისი წესი. თუ წილადის ნიშანს ჩაანაცვლებთ მრიცხველის ან მნიშვნელის ნიშანს, მიიღებთ წილადს, რომელიც ტოლია ორიგინალის იდენტურად. წერილობითი განცხადება შეესაბამება თანასწორობას და .

ამ თანასწორობის დამტკიცება არ არის რთული. მტკიცებულება ეფუძნება რიცხვების გამრავლების თვისებებს. დავამტკიცოთ პირველი მათგანი: . მსგავსი გარდაქმნების გამოყენებით, თანასწორობა მტკიცდება.

მაგალითად, წილადი შეიძლება შეიცვალოს გამოსახულებით ან.

ამ პუნქტის დასასრულებლად წარმოგიდგენთ კიდევ ორ სასარგებლო თანასწორობას და . ანუ, თუ თქვენ შეცვლით მხოლოდ მრიცხველის ან მხოლოდ მნიშვნელის ნიშანს, წილადი ცვლის თავის ნიშანს. Მაგალითად, და .

განხილული გარდაქმნები, რომლებიც იძლევა წილადის ტერმინების ნიშნის შეცვლის საშუალებას, ხშირად გამოიყენება წილადი რაციონალური გამონათქვამების გარდაქმნისას.

რაციონალური წილადების შემცირება

რაციონალური წილადების შემდეგი ტრანსფორმაცია, რომელსაც რაციონალური წილადების შემცირება ეწოდება, ემყარება წილადის იმავე ძირითად თვისებას. ეს ტრანსფორმაცია შეესაბამება ტოლობას, სადაც a, b და c არის რამდენიმე მრავალწევრი, ხოლო b და c არ არის ნულოვანი.

ზემოაღნიშნული თანასწორობიდან ირკვევა, რომ რაციონალური წილადის შემცირება გულისხმობს მის მრიცხველსა და მნიშვნელში არსებული საერთო ფაქტორის მოშორებას.

მაგალითი.

გააუქმეთ რაციონალური წილადი.

გამოსავალი.

საერთო ფაქტორი 2 მაშინვე ჩანს, მოდით შევასრულოთ მისი შემცირება (წერისას მოსახერხებელია გადაკვეთოთ საერთო ფაქტორები, რომლებიც მცირდება). Ჩვენ გვაქვს . ვინაიდან x 2 =x x და y 7 =y 3 y 4 (იხ. საჭიროების შემთხვევაში), ცხადია, რომ x არის მიღებული წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო კოეფიციენტი, ისევე როგორც y 3. მოდით შევამციროთ ამ ფაქტორებით: . ეს ასრულებს შემცირებას.

ზემოთ ჩვენ განვახორციელეთ რაციონალური წილადების შემცირება თანმიმდევრობით. ან შესაძლებელი იყო შემცირება ერთი ნაბიჯით, წილადის დაუყოვნებლივ შემცირება 2 x y 3-ით. ამ შემთხვევაში გამოსავალი ასე გამოიყურება: .

პასუხი:

რაციონალური წილადების შემცირებისას მთავარი პრობლემა ის არის, რომ მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორი ყოველთვის არ ჩანს. უფრო მეტიც, ის ყოველთვის არ არსებობს. იმისათვის, რომ იპოვოთ საერთო კოეფიციენტი ან გადაამოწმოთ მისი არარსებობა, საჭიროა რაციონალური წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი შეაფასოთ. თუ არ არსებობს საერთო ფაქტორი, მაშინ თავდაპირველი რაციონალური წილადის შემცირება არ არის საჭირო წინააღმდეგ შემთხვევაში- შემცირება ხორციელდება.

რაციონალური წილადების შემცირების პროცესში შეიძლება წარმოიშვას სხვადასხვა ნიუანსი. ძირითადი დახვეწილობა განხილულია სტატიაში ალგებრული წილადების შემცირების მაგალითების გამოყენებით და დეტალურად.

რაციონალური წილადების შემცირების შესახებ საუბრის დასასრულს, აღვნიშნავთ, რომ ეს ტრანსფორმაცია იდენტურია და მისი განხორციელების მთავარი სირთულე მდგომარეობს მრიცხველსა და მნიშვნელში მრავალწევრების ფაქტორინგში.

რაციონალური წილადის წარმოდგენა წილადების ჯამის სახით

საკმაოდ სპეციფიკური, მაგრამ ზოგიერთ შემთხვევაში ძალიან სასარგებლოა რაციონალური წილადის ტრანსფორმაცია, რომელიც შედგება მის წარმოდგენაში, როგორც რამდენიმე წილადის ჯამი, ან მთლიანი გამოხატვისა და წილადის ჯამი.

რაციონალური წილადი, რომლის მრიცხველი შეიცავს მრავალწევრს, რომელიც წარმოადგენს რამდენიმე მონომის ჯამს, ყოველთვის შეიძლება დაიწეროს წილადების ჯამი. იგივე მნიშვნელები, რომელთა მრიცხველები შეიცავენ შესაბამის მონომებს. Მაგალითად, . ეს წარმოდგენა აიხსნება მსგავსი მნიშვნელების მქონე ალგებრული წილადების შეკრებისა და გამოკლების წესით.

ზოგადად, ნებისმიერი რაციონალური წილადი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადების ჯამის სახით სხვადასხვა გზით. მაგალითად, წილადი a/b შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ორი წილადის ჯამი - თვითნებური წილადი c/d და წილადი. თანაბარი განსხვავებაწილადები a/b და c/d. ეს განცხადება მართალია, რადგან თანასწორობა მოქმედებს . მაგალითად, რაციონალური წილადი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადების ჯამის სახით სხვადასხვა გზები: წარმოვიდგინოთ თავდაპირველი წილადი, როგორც მთელი რიცხვი გამოხატვისა და წილადის ჯამი. მრიცხველის მნიშვნელზე სვეტით გაყოფით მივიღებთ ტოლობას . n 3 +4 გამოხატვის მნიშვნელობა ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის n არის მთელი რიცხვი. ხოლო წილადის მნიშვნელობა არის მთელი რიცხვი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი მნიშვნელი არის 1, −1, 3 ან −3. ეს მნიშვნელობები შეესაბამება n=3, n=1, n=5 და n=−1 მნიშვნელობებს.

პასუხი:

−1 , 1 , 3 , 5 .

ბიბლიოგრაფია.

Ალგებრა:სახელმძღვანელო მე-8 კლასისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედაქტორი S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ.: განათლება, 2008. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019243-9.
მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-7 კლასი. 14 საათზე ნაწილი 1. სახელმძღვანელო მოსწავლეებისთვის საგანმანათლებო ინსტიტუტები/ A. G. Mordkovich. - მე-13 გამოცემა, რევ. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 გვ.: ill. ISBN 978-5-346-01198-9.
მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-8 კლასი. 2 საათში ნაწილი 1. სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A.G. Mordkovich. - მე-11 გამოცემა, წაშლილია. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-01155-2.
გუსევი V.A., Mordkovich A.G.მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკურ სასწავლებლებში მოსულთათვის): პროკ. შემწეობა.- მ. უმაღლესი სკოლა, 1984.-351გვ., ილ.

ჩაწერეთ გაკვეთილის თემა ბლოკნოტში

„რაციონალური წილადები“.

რა არის ეს?
ეს არის ალგებრული გამონათქვამები, რომლებიც შეიცავს დაყოფას გამოსახულებით ცვლადებით.

Მაგალითად:
- წილადური გამოხატულება.

მთელი რიცხვი, რადგან ის უდრის, ანუ მთლიან გამოსახულებას რაციონალური კოეფიციენტებით.

მთელ და წილად გამოსახულებებს რაციონალურ გამოსახულებებს უწოდებენ.

აი, ვისთანაც მოგვიწევს მუშაობა მომავალში!

მთელი გამოთქმა აზრი აქვს ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, მაგრამ წილადი გამოსახულება... არ შეიძლება დაიყოს 0-ზე!

Მაგალითად:
განსაზღვრულია a ცვლადის ყველა მნიშვნელობისთვის და b-ის ყველა მნიშვნელობისთვის, გარდა b=3.

ცვლადის რა მნიშვნელობებისთვის არის გამოხატული
?

გახსოვდეთ:
a, b და c-ის ნებისმიერი მნიშვნელობებისთვის, სადაც და , ტოლობა მართალია

თუ წილადს გავამრავლებთ რიცხვზე (ანუ წილადის მრიცხველს და მნიშვნელს გავამრავლებთ იმავე რიცხვზე), მაშინ მივიღებთ ტოლ წილადს, მაგრამ განსხვავებული მნიშვნელით.

თუ მრიცხველს და მნიშვნელს ერთ რიცხვზე გავყოფთ, წილადს ვამცირებთ.
Მაგალითად:
1) წილადი შევამციროთ წილადზე, რომლის მნიშვნელი არის 35у3.
ჯერ ახალ მნიშვნელს 35y3 ვყოფთ ძველ 7y-ზე და ვიღებთ დამატებით კოეფიციენტს 5y2.
შემდეგ გავამრავლოთ მრიცხველი და მნიშვნელი ამ დამატებით კოეფიციენტზე:
.

2) შევამციროთ წილადი.
გამოსავალი:

გახსოვდეთ:
წილადის შესამცირებლად საჭიროა მრიცხველის და მნიშვნელის ფაქტორზე გაყვანა და შემდეგ გაყოფა თანაბარი ფაქტორი, ე.ი. შემცირება.

გამოხატვის ფაქტორინგის რამდენიმე მეთოდი არსებობს.
ჩვენ ამ დრომდე ვიცნობთ ორ მათგანს:
1 მეთოდი
საერთო ფაქტორის ბრეკეტინგი.
მეთოდი 2
შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენება.

ფაქტორიზაციის პირველი და მარტივი გზაა
საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება.

Ac + bc = (a + b)c

მაგალითი 1: 5ab2c3 - 10a2b3c + 15a3bc2 = 5abc(bc2 - 2ab2 + 3a2c)

წესი:

თუ მრავალწევრის ყველა წევრს აქვს საერთო ფაქტორი (ან რამდენიმე საერთო ფაქტორი), მაშინ ეს ფაქტორი (ეს ფაქტორები) შეიძლება ამოღებულ იქნას ფრჩხილიდან,
ამ შემთხვევაში, თითოეულ ტერმინს ვყოფთ გამონათქვამზე, რომელიც გამოვყავით ფრჩხილებიდან: 5ab2c3: 5abc = bc2, - 10a2b3c: 5abc = - 2ab2 და ბოლოს, 15a3bc2: 5abc = 3a2c (უყურეთ ნიშნებს!!!)

და უნდა გვახსოვდეს, რომ ხარისხი ქვედა ინდექსით ამოღებულია ფრჩხილებიდან.

Ერთი საკუთარი:
ამოიღეთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან

Ჩეკი:

ზოგჯერ ყველა წევრი ალგებრული გამოხატულებამე არ მაქვს საერთო ფაქტორი, მაგრამ ტერმინების ცალკეულ ჯგუფებში არის ერთი, მაგალითად,

ah + ay + bx + by.

ამ პოლინომის ფაქტორიზაცია შესაძლებელია მისი ტერმინების ცალკეულ ჯგუფებად გაერთიანებით

(ax + bx) + (ay + by) = x(a + b) + y(a + b) = (x + y) (a + b).

მაგალითი:

ტერმინების დაჯგუფების მეთოდის გამოყენებით აკრიფეთ გამოხატულება
3x + xy2 - x2y - 3y

გამოსავალი:
3x + xy2 - x2y - 3y = 3(x - y) + xy(y -x) = 3(x - y) - xy(x -y) = (3 - xy)(x - y).

მოდით ვივარჯიშოთ კიდევ:
1) a3 - ab - a2b + a2,
2) ab2 - b2y - ax + xy + b2 - x .

გამოსავალი:
1) a3 - ab - a2b + a2 = a3 - a2b - ab + a2 = a2(a - b) + a(a - b)= (a2+ a)(a - b) = a(a +1)(a - ბ),
2) ab2 - b2y - ax + xy + b2 - x = b2(a - y + 1) - x(a - y + 1) = (b2 - x)(a - y + 1).

ახლა კი მე-2 მეთოდის შესახებ.
თუ ალგებრული გამონათქვამის ტერმინებს არ აქვთ განმეორებადი ფაქტორები, მაშინ შეგიძლიათ სცადოთ გამრავლების შემოკლებული ფორმულების გამოყენება...

მაგალითები
ა) კვადრატების განსხვავება:
0.49x4 - 121y2 = (0.7x2)2 - (11y)2 = (0.7x2 - 11y)(0.7x2 + 11y),

ბ) კუბების განსხვავება:
1 - 27s3 = 13 - (3s)3 = (1 - 3s)(1 + 3s + 9s2),

ბ) კვადრატული განსხვავება:
4a2 - 12ab + 9b2 = (2a)2 - 22a 3b + (3b)2 = (2a - 3b)2 ან (2a - 3b)(2a - 3b),

დ) განსხვავების კუბი:
27x6 - 27x4y + 9x2y2 - y3 = (3x2)3 - 3(3x2)2y + 3(3x2)y2 - y3 = (3x2 - y)3 ან (3x2 - y)(3x2 - y)(3x2 - y) t .ე. სამი ტოლი მამრავლი!

ალგორითმი:
- ჯერ ჩვენ "მორგება" გარეგნობაგამონათქვამები" შესაძლო ფორმულით...
- თუ მუშაობს, ჩვენ ვაგრძელებთ შემდგომს, როგორც ამას (ფორმულა) მოითხოვს...
- თუ არ გამოვიდა, მაშინ ვიწყებთ სხვა ფორმულის "ცდას"...
- და ასე შემდეგ, სანამ არ შეძლებ გამოთქმის დაშლას ფაქტორების ნამრავლად!

Ის გავს

სადაც P(x) და Q(x) რამდენიმე მრავალწევრია.

არსებობს სწორი და არასათანადო რაციონალური წილადები, ჩვეულებრივი რიცხვითი წილადების ანალოგიით. რაციონალურ წილადს მართებული ეწოდება, თუ მნიშვნელის რიგი აღემატება მრიცხველს და არაწესიერს, თუ პირიქით.

ნებისმიერი არასათანადო რაციონალური წილადი შეიძლება გარდაიქმნას რამდენიმე მრავალწევრისა და სათანადო რაციონალური წილადის ჯამად

მრავალწევრების ნებისმიერი რაციონალური წილადი რეალური კოეფიციენტებით შეიძლება წარმოდგენილი იყოს რაციონალური წილადების ჯამით, რომელთა მნიშვნელებია გამოსახულებები. (x − ა) კ (a არის Q(x)-ის ნამდვილი ფესვი) ან (x 2 + გვx + ქ) კ (სად x 2 + გვx + ქ არ აქვს ნამდვილი ფესვები), ხოლო k ხარისხი არ არის Q(x) მრავალწევრში შესაბამისი ფესვების სიმრავლეზე მეტი. ამ დებულებაზე დაყრდნობით ემყარება რაციონალური წილადების მთლიანობის თეორემას. მისი მიხედვით, ნებისმიერი რაციონალური წილადი შეიძლება იყოს ინტეგრირებული ელემენტარული ფუნქციები, რაც რაციონალურ წილადების კლასს ძალიან მნიშვნელოვანს ხდის მათემატიკურ ანალიზში.

იხილეთ ასევე

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წელი.

ნახეთ, რა არის „რაციონალური წილადი“ სხვა ლექსიკონებში:

რაციონალური ფუნქცია არის წილადი, რომლის მრიცხველი და მნიშვნელი მრავალწევრია. მას აქვს ფორმა, სადაც, პოლინომები ნებისმიერი რაოდენობის ცვლადებში. განსაკუთრებული შემთხვევაა ერთი ცვლადის რაციონალური ფუნქციები: , სადაც... ... ვიკიპედია

ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ ფრაქცია. 8 / 13 მრიცხველი მრიცხველი მნიშვნელი მნიშვნელი ერთი და იგივე წილადის ორი ჩანაწერი მათემატიკაში წილადი არის რიცხვი, რომელიც შედგება ერთი ან მეტი ნაწილისგან... ... ვიკიპედია

ვიქციონერს აქვს ჩანაწერი „ფრაქციისთვის“ სიმბოლო „⁄“ (სხვა, ძირითადად გავრცელებული ინგლისური ენა, სოლიდუსის სიმბოლოს სახელი (ინგლისური) ან სლეში), მაგალითად, სახლის ნომრებში. ასე რომ, სახლის ნომერი "5/17" იკითხება "ხუთი... ... ვიკიპედია

1) რ.ფ. ფუნქცია w=R(z), სადაც R(z) არის z-ის რაციონალური გამოხატულება, ე.ი. გამოსახვა, რომელიც მიღებულია დამოუკიდებელი ცვლადიდან z და რიცხვების გარკვეული სასრული სიმრავლე (რეალური ან რთული) სასრული რიცხვიარითმეტიკა მოქმედებები. რ.ფ....... მათემატიკური ენციკლოპედია

კვარტლები Რაციონალური რიცხვი(ლათ. თანაფარდობა თანაფარდობა, გაყოფა, წილადი) რიცხვი წარმოდგენილი ჩვეულებრივი ფრაქცია, სადაც m არის მთელი რიცხვი და n ბუნებრივი რიცხვი. ამ შემთხვევაში m რიცხვს მრიცხველი ეწოდება, ხოლო n რიცხვს წილადის მნიშვნელი. ტაკუ ... ვიკიპედია

მეოთხედი რაციონალური რიცხვი (ლათ. თანაფარდობა, გაყოფა, წილადი) არის რიცხვი, რომელიც წარმოდგენილია ჩვეულებრივი წილადით, სადაც m არის მთელი რიცხვი, ხოლო n არის ნატურალური რიცხვი. ამ შემთხვევაში m რიცხვს მრიცხველი ეწოდება, ხოლო n რიცხვს წილადის მნიშვნელი. ტაკუ ... ვიკიპედია

ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ ფრაქცია. უმარტივესი წილადიოჰ ხარისხი ჰქვია რაციონალური ფუნქციაფორმის, სადაც იღებს ბუნებრივ მნიშვნელობებს, და წერტილები, რომლებიც ფუნქციის პოლუსებია, სულაც არ არის გეომეტრიულად განსხვავებული... ... ვიკიპედია

რაციონალური წილადის სახით გამოხატული რიცხვი. რადიო რიცხვების ფორმალური თეორია აგებულია მთელი რიცხვების წყვილების გამოყენებით. რაციონალური წილადი ეწოდება. a და b მთელი რიცხვების მოწესრიგებული წყვილი (a, b), ამოჭრა b#0. ორი რაციონალური წილადი და გამოძახებული. ე კ ვ ი ვ ა ლ ე ნ ... მათემატიკური ენციკლოპედია

ნებისმიერი წილადური გამოხატულება (პუნქტი 48) შეიძლება დაიწეროს იმ ფორმით, სადაც არის P და Q რაციონალური გამონათქვამებიდა Q აუცილებლად შეიცავს ცვლადებს. ასეთ წილადს რაციონალური წილადი ეწოდება.

რაციონალური წილადების მაგალითები:

წილადის მთავარი თვისება გამოიხატება იდენტურობით, რომელიც სამართლიანია აქაური პირობებით - მთლიანი რაციონალური გამოხატულება. ეს ნიშნავს, რომ რაციონალური წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება გავამრავლოთ ან გავყოთ იმავე არანულოვანი რიცხვით, მონომებით ან მრავალწევრებით.

მაგალითად, წილადის თვისება შეიძლება გამოყენებულ იქნას წილადის წევრების ნიშნების შესაცვლელად. თუ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გავამრავლებთ -1-ზე, მივიღებთ ამდენად, წილადის მნიშვნელობა არ შეიცვლება, თუ მრიცხველისა და მნიშვნელის ნიშნები ერთდროულად შეიცვლება. თუ შეცვლით მხოლოდ მრიცხველის ან მხოლოდ მნიშვნელის ნიშანს, მაშინ წილადი ცვლის თავის ნიშანს:

Მაგალითად,

60. რაციონალური წილადების შემცირება.

წილადის შემცირება ნიშნავს წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფას საერთო ფაქტორზე. ასეთი შემცირების შესაძლებლობა განპირობებულია წილადის ძირითადი თვისებით.

რაციონალური წილადის შესამცირებლად საჭიროა მრიცხველის და მნიშვნელის ფაქტორირება. თუ აღმოჩნდება, რომ მრიცხველს და მნიშვნელს აქვს საერთო ფაქტორები, მაშინ წილადი შეიძლება შემცირდეს. თუ არ არსებობს საერთო ფაქტორები, მაშინ წილადის გადაქცევა შემცირების გზით შეუძლებელია.

მაგალითი. წილადის შემცირება

გამოსავალი. Ჩვენ გვაქვს

წილადის შემცირება ხორციელდება პირობით .

61. რაციონალური წილადების შემცირება საერთო მნიშვნელამდე.

რამდენიმე რაციონალური წილადის საერთო მნიშვნელი არის მთელი რაციონალური გამოხატულება, რომელიც იყოფა თითოეული წილადის მნიშვნელზე (იხ. პუნქტი 54).

მაგალითად, წილადების საერთო მნიშვნელი არის მრავალწევრი, რადგან ის იყოფა ორივეზე და მრავალწევრებზე და მრავალწევრებზე და მრავალწევრებზე და ა.შ. ჩვეულებრივ ისინი იღებენ ისეთ საერთო მნიშვნელს, რომ ნებისმიერი სხვა საერთო მნიშვნელი იყოფა ეხოზენზე. ასეთი უმარტივესი მნიშვნელიზოგჯერ უწოდებენ ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელს.

ზემოთ განხილულ მაგალითში საერთო მნიშვნელია ჩვენ გვაქვს

მოცემული წილადების შემცირება საერთო მნიშვნელიმიიღწევა პირველი წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის 2-ზე გამრავლებით. ხოლო მეორე წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს მრავალწევრებით ეწოდება დამატებითი ფაქტორები, შესაბამისად, პირველი და მეორე წილადებისთვის. მოცემული წილადის დამატებითი კოეფიციენტი უდრის საერთო მნიშვნელის მოცემული წილადის მნიშვნელზე გაყოფის კოეფიციენტს.

რამდენიმე რაციონალური წილადის საერთო მნიშვნელამდე შესამცირებლად საჭიროა:

1) თითოეული წილადის მნიშვნელის გაანგარიშება;

2) შექმენით საერთო მნიშვნელი გაფართოებების 1) საფეხურზე მიღებული ყველა ფაქტორის ფაქტორებად ჩართვით; თუ გარკვეული ფაქტორი იმყოფება რამდენიმე გაფართოებაში, მაშინ იგი აღებულია მაჩვენებლით, რომელიც უდრის ყველაზე დიდს;

3) იპოვეთ დამატებითი ფაქტორები თითოეული წილადისთვის (ამისთვის საერთო მნიშვნელი იყოფა წილადის მნიშვნელზე);

4) ყოველი წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის დამატებით კოეფიციენტზე გამრავლებით, მიიტანეთ წილადი საერთო მნიშვნელამდე.

მაგალითი. წილადის შემცირება საერთო მნიშვნელამდე

გამოსავალი. მოდით, მნიშვნელები გავამრავლოთ:

საერთო მნიშვნელში უნდა იყოს ჩართული შემდეგი ფაქტორები: და 12, 18, 24 რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი, ე.ი. ეს ნიშნავს, რომ საერთო მნიშვნელს აქვს ფორმა

დამატებითი ფაქტორები: პირველი წილადისთვის მეორე მესამესთვის.

62. რაციონალური წილადების შეკრება და გამოკლება.

ორი (და ზოგადად ნებისმიერი სასრული რიცხვის) რაციონალური წილადის ჯამი ერთი და იგივე მნიშვნელით ტოლია წილადისა, რომელსაც აქვს იგივე მნიშვნელი და მრიცხველი, თანხის ტოლიდამატებული წილადების მრიცხველები:

მსგავსი სიტუაციაა მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების გამოკლების შემთხვევაში:

მაგალითი 1: გამოხატვის გამარტივება

გამოსავალი.

რაციონალური წილადების შეკრება ან გამოკლება სხვადასხვა მნიშვნელიჯერ უნდა შეამციროთ წილადები საერთო მნიშვნელამდე და შემდეგ შეასრულოთ მოქმედებები მიღებულ წილადებზე იგივე მნიშვნელებით.

მაგალითი 2: გამოხატვის გამარტივება

გამოსავალი. Ჩვენ გვაქვს

63. რაციონალური წილადების გამრავლება და გაყოფა.

ორი (და ზოგადად ნებისმიერი სასრული რიცხვის) რაციონალური წილადის ნამრავლი იდენტურად ტოლია იმ წილადისა, რომლის მრიცხველიც პროდუქტის ტოლიმრიცხველები, ხოლო მნიშვნელი - გამრავლებული წილადების მნიშვნელების ნამრავლი:

ორი რაციონალური წილადის გაყოფის კოეფიციენტი ტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი ტოლია პირველი წილადის მრიცხველისა და მეორე წილადის მნიშვნელის ნამრავლისა, ხოლო მნიშვნელი არის პირველი წილადისა და მნიშვნელის ნამრავლი. მეორე წილადის მრიცხველი:

გამრავლებისა და გაყოფის ფორმულირებული წესები ვრცელდება მრავალწევრზე გამრავლების ან გაყოფის შემთხვევაშიც: საკმარისია ეს მრავალწევრი დავწეროთ წილადის სახით 1-ის მნიშვნელით.

რაციონალური წილადების გამრავლების ან გაყოფის შედეგად მიღებული რაციონალური წილადის შემცირების შესაძლებლობის გათვალისწინებით, ისინი ჩვეულებრივ ცდილობენ ამ მოქმედებების შესრულებამდე ორიგინალური წილადების მრიცხველებისა და მნიშვნელების ფაქტორიზირებას.

მაგალითი 1: შეასრულეთ გამრავლება

გამოსავალი. Ჩვენ გვაქვს

წილადების გამრავლების წესის გამოყენებით მივიღებთ:

მაგალითი 2: შეასრულეთ გაყოფა

გამოსავალი. Ჩვენ გვაქვს

გაყოფის წესის გამოყენებით ვიღებთ:

64. რაციონალური წილადის აწევა მთელ ხარისხზე.

რაციონალური წილადის აწევა - მდე ბუნებრივი ხარისხი, წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი ცალკე უნდა გაზარდოთ ამ ხარისხზე; პირველი გამოხატულება არის მრიცხველი, ხოლო მეორე გამოხატულება არის შედეგის მნიშვნელი:

მაგალითი 1: გადაიყვანეთ სიმძლავრის წილადად 3.

Solution Solution.

წილადის მთელ რიცხვზე აწევისას უარყოფითი ხარისხიგამოიყენება იდენტურობა, რომელიც მოქმედებს ცვლადის ყველა მნიშვნელობისთვის, რომლისთვისაც .

მაგალითი 2: გადაიყვანეთ გამოხატულება წილადად

65. რაციონალური გამონათქვამების ტრანსფორმაცია.

ნებისმიერი რაციონალური გამონათქვამის გარდაქმნა მოდის რაციონალური წილადების შეკრებაზე, გამოკლებაზე, გამრავლებაზე და გაყოფაზე, ასევე წილადის ბუნებრივ ხარისხზე აყვანაზე. ნებისმიერი რაციონალური გამოხატულება შეიძლება გარდაიქმნას წილადად, რომლის მრიცხველი და მნიშვნელი არის მთელი რაციონალური გამონათქვამები; ეს არის როგორც წესი მიზანი იდენტობის გარდაქმნებირაციონალური გამონათქვამები.

მაგალითი. გამოხატვის გამარტივება

66. არითმეტიკული ფესვების (რადიკალების) უმარტივესი გარდაქმნები.

არითმეტიკული კორიების გარდაქმნისას გამოიყენება მათი თვისებები (იხ. პარაგრაფი 35).

განვიხილოთ არითმეტიკული ფესვების თვისებების გამოყენების რამდენიმე მაგალითი რადიკალების უმარტივესი გარდაქმნებისთვის. ამ შემთხვევაში, ჩვენ განვიხილავთ ყველა ცვლადს, რომ მიიღოს მხოლოდ არაუარყოფითი მნიშვნელობები.

მაგალითი 1. ამოიღეთ პროდუქტის ფესვი

გამოსავალი. 1° თვისების გამოყენებისას მივიღებთ:

მაგალითი 2. ამოიღეთ მულტიპლიკატორი ფესვის ნიშნის ქვეშ

გამოსავალი.

ამ ტრანსფორმაციას ეწოდება ფაქტორის ამოღება ფესვის ნიშნის ქვეშ. ტრანსფორმაციის მიზანია რადიკალური გამოხატვის გამარტივება.

მაგალითი 3: გამარტივება.

გამოსავალი. 3°-ის თვისებით, როგორც წესი, ისინი ცდილობენ გაამარტივონ რადიკალური გამოხატულება, რისთვისაც ისინი იღებენ ფაქტორებს კორიუმის ნიშნიდან. Ჩვენ გვაქვს

მაგალითი 4: გამარტივება

გამოსავალი. გამოვხატოთ გამონათქვამი ფესვის ნიშნის ქვეშ ფაქტორის შემოღებით: თვისებით 4° გვაქვს

მაგალითი 5: გამარტივება

გამოსავალი. 5°-ის თვისებით ჩვენ გვაქვს უფლება გავყოთ ფესვის მაჩვენებლის და რადიკალური გამოხატვის მაჩვენებლის ერთსა და იმავე ნატურალურ რიცხვზე. თუ განხილულ მაგალითში მითითებულ მაჩვენებლებს გავყოფთ 3-ზე, მივიღებთ.

მაგალითი 6. გამოთქმების გამარტივება:

ამოხსნა, ა) თვისებით 1° ვხვდებით, რომ იმავე ხარისხის ფესვების გასამრავლებლად საკმარისია რადიკალური გამონათქვამების გამრავლება და მიღებული შედეგიდან იმავე ხარისხის ფესვის ამოღება. ნიშნავს,

ბ) უპირველეს ყოვლისა, რადიკალები უნდა დავიყვანოთ ერთ ინდიკატორამდე. 5°-ის თვისების მიხედვით შეგვიძლია ფესვის მაჩვენებლის და რადიკალური გამოხატვის მაჩვენებლის გამრავლება იმავე ნატურალურ რიცხვზე. მაშასადამე, შემდეგი, ახლა გვაქვს მიღებული შედეგი, რომელიც გავყოფთ ფესვის მაჩვენებლებს და რადიკალური გამოხატვის ხარისხს 3-ზე, მივიღებთ.