ფართობების განსაზღვრული ინტეგრალური გაანგარიშების გამოყენება. განსაზღვრული ინტეგრალის აპლიკაციები

რუსეთის ფედერაციის განათლებისა და მეცნიერების სამინისტრო

ფედერალური სახელმწიფო ავტონომიური საგანმანათლებლო დაწესებულება

უმაღლესი პროფესიული განათლება

"ჩრდილოეთი (არქტიკა) ფედერალური უნივერსიტეტიმ.ვ. ლომონოსოვი"

მათემატიკის დეპარტამენტი

საკურსო სამუშაო

დისციპლინაში მათემატიკა

პიატიშევა ანასტასია ანდრეევნა

ზედამხედველი

Ხელოვნება. მასწავლებელი

ბოროდკინა T.A.

არხანგელსკი 2014 წ

დავალება საკურსო სამუშაოზე

განსაზღვრული ინტეგრალის აპლიკაციები

საწყისი მონაცემები:

21. y=x 3, y=; 22.

შესავალი

ამ საკურსო ნამუშევარში მე დამევალა შემდეგი დავალებები: გამოვთვალო ფიგურების ფართობები, რომლებიც შემოიფარგლება ფუნქციების გრაფიკით, შემოიფარგლება ხაზებით, მოცემული განტოლებებით, ასევე ხაზებით შემოიფარგლება, პოლარული კოორდინატებში მოცემული განტოლებებით, გამოვთვალო მრუდების რკალების სიგრძე. , მოცემული განტოლებით in მართკუთხა სისტემაპარამეტრული განტოლებებით განსაზღვრული კოორდინატები, რომლებიც მითითებულია პოლარული კოორდინატებში განტოლებებით, ასევე გამოთვალეთ სხეულების მოცულობები, რომლებიც შემოიფარგლება ზედაპირებით, შემოიფარგლება ფუნქციების გრაფიკებით და წარმოიქმნება პოლარული ღერძის გარშემო ფუნქციების გრაფიკებით შეზღუდული ფიგურების ბრუნვით. ავირჩიე საკურსო სამუშაო თემაზე „განსაზღვრული ინტეგრალი. ამასთან დაკავშირებით, გადავწყვიტე გამერკვია, რამდენად მარტივად და სწრაფად შეიძლება გამოვიყენოთ ინტეგრალური გამოთვლები და რამდენად ზუსტად შეიძლება გამოვთვალოთ ჩემთვის დაკისრებული ამოცანები.

INTEGRAL ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნებებიმათემატიკა, რომელიც წარმოიშვა საჭიროებასთან დაკავშირებით, ერთის მხრივ, იპოვონ ფუნქციები მათი წარმოებულებით (მაგალითად, მოძრავი წერტილის მიერ გავლილი გზის გამომხატველი ფუნქციის პოვნა ამ წერტილის სიჩქარის საფუძველზე), და მეორეს მხრივ. ხელით, არეების, მოცულობების, რკალების სიგრძის და გარკვეული დროის განმავლობაში ძალების მუშაობის გაზომვა და ა.შ.

თემის გამჟღავნება კურსის მუშაობაგანვახორციელე შემდეგი გეგმა: განსაზღვრული ინტეგრალის განსაზღვრა და მისი თვისებები; მრუდის რკალის სიგრძე; მოხრილი ტრაპეციის ფართობი; ბრუნვის ზედაპირის ფართობი.

ნებისმიერი f(x) ფუნქციისთვის, უწყვეტი ინტერვალზე, არის ანტიდერივატი ამ ინტერვალზე, რაც ნიშნავს რომ არსებობს განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

თუ ფუნქცია F(x) არის f(x) უწყვეტი ფუნქციის რომელიმე ანტიდერივატი, მაშინ ეს გამოხატულება ცნობილია როგორც ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა:

განსაზღვრული ინტეგრალის ძირითადი თვისებები:

თუ ინტეგრაციის ქვედა და ზედა ზღვარი ტოლია (a=b), მაშინ ინტეგრალი ნულის ტოლია:

თუ f(x)=1, მაშინ:

ინტეგრაციის საზღვრების გადაკეთებისას, განსაზღვრული ინტეგრალური ცვლილებები საპირისპიროს მიანიშნებს:

მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას განსაზღვრული ინტეგრალის ნიშნიდან:

თუ ფუნქციები ინტეგრირებადია, მაშინ მათი ჯამი და ჯამის ინტეგრალი ინტეგრირებულია ჯამის ტოლიინტეგრალები:

ასევე არსებობს ინტეგრაციის ძირითადი მეთოდები, როგორიცაა ცვლადის შეცვლა:

დიფერენციალური კორექტირება:

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ფორმულა შესაძლებელს ხდის ინტეგრალის გაანგარიშების შემცირებას ინტეგრალის გამოთვლაზე, რაც შეიძლება უფრო მარტივი აღმოჩნდეს:

განსაზღვრული ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობა არის ის, რომ უწყვეტი და არაუარყოფითი ფუნქციისთვის იგი გეომეტრიული გაგებით წარმოადგენს შესაბამისი მრუდი ტრაპეციის ფართობს.

გარდა ამისა, განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით, შეგიძლიათ იპოვოთ რეგიონის ტერიტორია, რომელიც შემოიფარგლება მრუდებით, სწორი ხაზებით და სად

თუ მრუდი ტრაპეცია შემოიფარგლება მრუდით, რომელიც განისაზღვრება პარამეტრული ხაზებით x = a და x = b და Ox ღერძი, მაშინ მისი ფართობი იპოვება ფორმულით, რომელიც განისაზღვრება ტოლობით:

. (12)

ძირითადი ტერიტორია, რომლის ფართობიც გვხვდება გარკვეული ინტეგრალის გამოყენებით, არის მრუდი სექტორი. ეს არის ორი სხივით და მრუდით შემოსაზღვრული არე, სადაც r და არის პოლარული კოორდინატები:

თუ მრუდი არის ფუნქციის გრაფიკი, სადაც და ფუნქცია მისი წარმოებული უწყვეტია ამ სეგმენტზე, მაშინ Ox ღერძის გარშემო მრუდის ბრუნვის შედეგად წარმოქმნილი ფიგურის ზედაპირის ფართობი შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით:

. (14)

თუ ფუნქცია და მისი წარმოებული უწყვეტია სეგმენტზე, მაშინ მრუდს აქვს სიგრძე ტოლი:

თუ მრუდის განტოლება მოცემულია პარამეტრული სახით

სადაც x(t) და y(t) არის უწყვეტი ფუნქციები უწყვეტი წარმოებულებით და შემდეგ მრუდის სიგრძე იპოვება ფორმულით:

თუ მრუდი მოცემულია განტოლებით პოლარულ კოორდინატებში, სადაც და უწყვეტია სეგმენტზე, მაშინ რკალის სიგრძე შეიძლება გამოითვალოს შემდეგნაირად:

თუ მრუდი ტრაპეცია, რომელიც შემოსაზღვრულია უწყვეტი ხაზის სეგმენტით და სწორი ხაზებით x = a და x = b, ბრუნავს Ox ღერძის გარშემო, მაშინ სხეულის მოცულობა, რომელიც წარმოიქმნება ამ ტრაპეციის ბრუნვით Ox ღერძის გარშემო, ტოლი იქნება:

თუ მოხრილი ტრაპეცია შემოიფარგლება უწყვეტი ფუნქციის გრაფიკით და ხაზებით x = 0, y = c, y = d (c< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен:

თუ ფიგურა შემოიფარგლება მრუდებით და (უფრო მაღალია და სწორი ხაზებით x = a, x = b), მაშინ Ox ღერძის გარშემო ბრუნვის სხეულის მოცულობა ტოლი იქნება:

და Oy ღერძის გარშემო (:

თუ მრუდი სექტორი ბრუნავს პოლარული ღერძის გარშემო, მაშინ მიღებული სხეულის ფართობი შეგიძლიათ იპოვოთ ფორმულის გამოყენებით:

2. პრობლემების გადაჭრა

ამოცანა 14: გამოთვალეთ ფიგურების ფართობები, რომლებიც შემოსაზღვრულია ფუნქციების გრაფიკებით:

1) გამოსავალი:

სურათი 1 - ფუნქციის გრაფიკი

X იცვლება 0-დან

x 1 = -1 და x 2 = 2 არის ინტეგრაციის საზღვრები (ეს ჩანს სურათზე 1).

3) გამოვთვალოთ ფიგურის ფართობი ფორმულის გამოყენებით (10).

პასუხი: S = .

ამოცანა 15: გამოთვალეთ განტოლებებით მოცემული ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურების ფართობები:

1) გამოსავალი:

სურათი 2 - ფუნქციის გრაფიკი

განვიხილოთ ფუნქცია ინტერვალზე.

სურათი 3 - ფუნქციის ცვლადების ცხრილი

ვინაიდან, ამ პერიოდს მოერგება 1 რკალი. ეს თაღი შედგება ცენტრალური ნაწილისა (S 1) და გვერდითი ნაწილებისგან. ცენტრალური ნაწილი შედგება სასურველი ნაწილისა და მართკუთხედისაგან (S r):. მოდით გამოვთვალოთ რკალის ერთი ცენტრალური ნაწილის ფართობი.

2) ვიპოვოთ ინტეგრაციის საზღვრები.

და y = 6, შესაბამისად

ინტერვალისთვის - ინტეგრაციის საზღვრები.

3) იპოვეთ ფიგურის ფართობი ფორმულის გამოყენებით (12).

მრუდი ინტეგრალური ტრაპეცია

ამოცანა 16: გამოთვალეთ პოლარულ კოორდინატებში განტოლებებით მოცემული ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურების ფართობები:

1) გამოსავალი:

სურათი 4 - ფუნქციის გრაფიკი,

სურათი 5 - ცვლადი ფუნქციების ცხრილი,

2) ვიპოვოთ ინტეგრაციის საზღვრები.

აქედან გამომდინარე -

3) იპოვეთ ფიგურის ფართობი ფორმულის გამოყენებით (13).

პასუხი: S =.

დავალება 17: გამოთვალეთ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში მოცემული განტოლებებით მრუდების რკალების სიგრძე:

1) გამოსავალი:

სურათი 6 - ფუნქციის გრაფიკი

სურათი 7 - ფუნქციის ცვლადი ცხრილი

2) ვიპოვოთ ინტეგრაციის საზღვრები.

იცვლება ln-დან ln-მდე, ეს აშკარაა მდგომარეობიდან.

3) იპოვეთ რკალის სიგრძე ფორმულის გამოყენებით (15).

პასუხი: ლ =

დავალება 18: გამოთვალეთ პარამეტრული განტოლებებით მოცემული მრუდების რკალების სიგრძე: 1)

1) გამოსავალი:

სურათი 8 - ფუნქციის გრაფიკი

სურათი 11 - ფუნქციის ცვლადი ცხრილი

2) ვიპოვოთ ინტეგრაციის საზღვრები.

c განსხვავდება, ეს აშკარაა მდგომარეობიდან.

ვიპოვოთ რკალის სიგრძე ფორმულის გამოყენებით (17).

დავალება 20: გამოთვალეთ ზედაპირებით შემოსაზღვრული სხეულების მოცულობა:

1) გამოსავალი:

სურათი 12 - ფუნქციის გრაფიკი:

2) ვიპოვოთ ინტეგრაციის საზღვრები.

Z მერყეობს 0-დან 3-მდე.

3) იპოვეთ ფიგურის მოცულობა ფორმულის გამოყენებით (18)

ამოცანა 21: გამოთვალეთ სხეულების მოცულობები, რომლებიც შემოიფარგლება ფუნქციების გრაფიკებით, ბრუნვის ღერძით Ox: 1)

1) გამოსავალი:

სურათი 13 - ფუნქციის გრაფიკი

სურათი 15 - ფუნქციების გრაფიკის ცხრილი

2) ვიპოვოთ ინტეგრაციის საზღვრები.

წერტილები (0;0) და (1;1) საერთოა ორივე გრაფიკისთვის, ამიტომ ეს არის ინტეგრაციის საზღვრები, რაც აშკარაა ფიგურაში.

3) იპოვეთ ფიგურის მოცულობა ფორმულის გამოყენებით (20).

ამოცანა 22: გამოთვალეთ სხეულების ფართობი, რომელიც წარმოიქმნება ფიგურების ბრუნვით, რომელიც შემოიფარგლება პოლარული ღერძის გარშემო ფუნქციების გრაფიკებით:

1) გამოსავალი:

სურათი 16 - ფუნქციის გრაფიკი

სურათი 17 - ცვლადების ცხრილი ფუნქციის გრაფიკისთვის

2) ვიპოვოთ ინტეგრაციის საზღვრები.

c განსხვავდება

3) იპოვეთ ფიგურის ფართობი ფორმულის გამოყენებით (22).

პასუხი: 3.68

დასკვნა

თემაზე „განსაზღვრული ინტეგრალი“ კურსის დასრულების პროცესში ვისწავლე სხვადასხვა სხეულების ფართობის გამოთვლა, მრუდის სხვადასხვა რკალების სიგრძის პოვნა და ასევე მოცულობების გამოთვლა. ეს პრეზენტაციაინტეგრალებთან მუშაობის შესახებ, დამეხმარება მომავალში პროფესიული საქმიანობაროგორ შევასრულოთ სწრაფად და ეფექტურად სხვადასხვა ქმედებები. ბოლოს და ბოლოს, თავად ინტეგრალი მათემატიკის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნებაა, რომელიც წარმოიშვა ერთის მხრივ, ფუნქციების პოვნის აუცილებლობასთან დაკავშირებით მათი წარმოებულებით (მაგალითად, ფუნქციის პოვნა, რომელიც გამოხატავს მოძრავი გზას. აღვნიშნო ამ წერტილის სიჩქარით), ხოლო მეორეს მხრივ, გავზომოთ ფართობები, მოცულობა, რკალების სიგრძე, ძალების მუშაობა გარკვეული პერიოდის განმავლობაში და ა.შ.

გამოყენებული წყაროების სია

1. დაწერილი, დ.თ. ლექციის შენიშვნები უმაღლესი მათემატიკის შესახებ: ნაწილი 1 - მე-9 გამოცემა. - M.: Iris-press, 2008. - 288გვ.

2. ბუგროვი, ია.ს., ნიკოლსკი, ს.მ. უმაღლესი მათემატიკა. დიფერენციალური და ინტეგრალური გაანგარიშება: T.2 - M.: Bustard, 2004. - 512გვ.

3. Zorich V. A. მათემატიკური ანალიზი. ნაწილი I. -- რედ. მე-4 - M.: MTsNMO, 2002. -664 გვ.

4. კუზნეცოვი დ.ა. „პრობლემების კრებული უმაღლესი მათემატიკა"მოსკოვი, 1983 წ

5. Nikolsky S. N. „ელემენტები მათემატიკური ანალიზი" - მ.: ნაუკა, 1981 წ.

მსგავსი დოკუმენტები

ფართობის გაანგარიშება ბრტყელი ფიგურები. ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალის პოვნა. მრუდის ქვეშ არსებული ფართობის განსაზღვრა, ფიგურის ფართობი, რომელიც მოქცეულია მოსახვევებს შორის. ბრუნვის სხეულების მოცულობების გამოთვლა. ფუნქციის ინტეგრალური ჯამის ლიმიტი. ცილინდრის მოცულობის განსაზღვრა.

პრეზენტაცია, დამატებულია 18/09/2013


ზედაპირებით შემოსაზღვრული სხეულების მოცულობის გამოთვლის თავისებურებები გეომეტრიული მნიშვნელობის გამოყენებით ორმაგი ინტეგრალი. ხაზებით შემოსაზღვრული სიბრტყე ფიგურების არეების განსაზღვრა ინტეგრაციის მეთოდის გამოყენებით გამოთვლების კურსში.

პრეზენტაცია, დამატებულია 17/09/2013


განსაზღვრული ინტეგრალის წარმოებული ცვლადის მიმართ ზედა ზღვარი. განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა ინტეგრალური ჯამის ზღვრად ნიუტონ–ლაიბნიცის ფორმულით, ცვლადის ცვლილება და ინტეგრაცია ნაწილების მიხედვით. რკალის სიგრძე პოლარულ კოორდინატულ სისტემაში.

ტესტი, დამატებულია 08/22/2009


სიბრტყე მრუდების მასის მომენტები და ცენტრები. გიულდენის თეორემა. ზედაპირის ფართობი, რომელიც წარმოიქმნება რკალის სიბრტყეში მდებარე ღერძის ირგვლივ, სიბრტყე მრუდის ბრუნვით, ტოლია რკალის სიგრძისა და წრის სიგრძის ნამრავლის.

ლექცია, დამატებულია 09/04/2003


პარამეტრების პოვნის მეთოდოლოგია და ძირითადი ეტაპები: მრუდი ტრაპეციისა და სექტორის ფართობი, მრუდის რკალის სიგრძე, სხეულების მოცულობა, რევოლუციის სხეულების ზედაპირის ფართობი, ცვლადი ძალის მუშაობა. ინტეგრალების გამოთვლის პროცედურა და მექანიზმი MathCAD პაკეტის გამოყენებით.

ტესტი, დამატებულია 21/11/2010


საჭირო და საკმარისი მდგომარეობაგანსაზღვრული ინტეგრალის არსებობა. -ის განსაზღვრული ინტეგრალის ტოლობა ალგებრული ჯამიორი ფუნქციის (განსხვავებები). საშუალო მნიშვნელობის თეორემა - დასკვნა და დადასტურება. განსაზღვრული ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

პრეზენტაცია, დამატებულია 18/09/2013


ფუნქციების რიცხვითი ინტეგრაციის პრობლემა. განსაზღვრული ინტეგრალის სავარაუდო მნიშვნელობის გამოთვლა. განსაზღვრული ინტეგრალის პოვნა მართკუთხედების, შუა ოთხკუთხედების და ტრაპეციის მეთოდების გამოყენებით. ფორმულების შეცდომა და მეთოდების შედარება სიზუსტის თვალსაზრისით.

სასწავლო სახელმძღვანელო, დამატებულია 01/07/2009


ინტეგრალების გამოთვლის მეთოდები. განუსაზღვრელი ინტეგრალის ფორმულები და დამოწმება. მოხრილი ტრაპეციის ფართობი. გაურკვეველი, გარკვეული და რთული ინტეგრალი. ინტეგრალების ძირითადი აპლიკაციები. განსაზღვრული და განუსაზღვრელი ინტეგრალების გეომეტრიული მნიშვნელობა.

პრეზენტაცია, დამატებულია 01/15/2014


ფიგურის ფართობის გაანგარიშება შეზღუდულია მოცემული ხაზებიორმაგი ინტეგრალის გამოყენებით. ორმაგი ინტეგრალის გამოთვლა, გადაადგილება პოლარულ კოორდინატებზე. განსაზღვრის მეთოდი მრუდი ინტეგრალიმეორე სახის მოცემული ხაზისა და ვექტორული ველის ნაკადის გასწვრივ.

ტესტი, დამატებულია 12/14/2012


განსაზღვრული ინტეგრალის ცნება, ფართობის, სხეულის მოცულობის და რკალის სიგრძის გამოთვლა, სტატიკური მომენტი და მრუდის სიმძიმის ცენტრი. ფართობის გამოთვლა მართკუთხა მოხრილი ფართობის შემთხვევაში. მრუდი, ზედაპირული და სამმაგი ინტეგრალის გამოყენება.

მრგვალი ტრაპეციის ფართობი, რომელიც ზემოთ არის შემოსაზღვრული ფუნქციის გრაფიკით y=f(x), მარცხნივ და მარჯვნივ - სწორი x=aდა x=bშესაბამისად, ქვემოდან - ღერძი ოქსი, გამოითვლება ფორმულით

მრუდი ტრაპეციის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია მარჯვნივ ფუნქციის გრაფიკით x=φ(y), ზემოთ და ქვემოთ - სწორი y=dდა y=cშესაბამისად, მარცხნივ - ღერძი ოი:

მოედანი მრუდი ფიგურა, ზემოთ შემოსაზღვრული ფუნქციის გრაფიკით y 2 =f 2 (x), ქვემოთ - ფუნქციის გრაფიკი y 1 =f 1 (x), მარცხნივ და მარჯვნივ - სწორი x=aდა x=b:

მრუდი ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება მარცხნივ და მარჯვნივ ფუნქციების გრაფიკებით x 1 =φ 1 (y)და x 2 =φ 2 (y), ზემოთ და ქვემოთ - სწორი y=dდა y=cშესაბამისად:

განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც ზემოდან მრუდი ტრაპეციის შემზღუდველი ხაზი მოცემულია პარამეტრული განტოლებებით. x = φ 1 (ტ), y = φ 2 (t), სად α ≤ t ≤ β, φ 1 (α)=a, φ 1 (β)=ბ. ეს განტოლებები განსაზღვრავს გარკვეულ ფუნქციას y=f(x)სეგმენტზე [ ა, ბ]. მრუდი ტრაპეციის ფართობი გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით

მოდით გადავიდეთ ახალ ცვლადზე x = φ 1 (ტ), მაშინ dx = φ" 1 (t) dt, ა y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), ამიტომ \ დასაწყისი (ჩვენება)

ფართობი პოლარულ კოორდინატებში

განვიხილოთ მრუდი სექტორი OAB, ესაზღვრება განტოლებით მოცემული ხაზით ρ=ρ(φ) პოლარულ კოორდინატებში, ორი სხივი ო.ა.და ო.ბ., რისთვისაც φ=α , φ=β .

სექტორს დავყოფთ ელემენტარულ სექტორებად OM k-1მ კ ( k=1, …, n, M 0 =A, M n =B). მოდით აღვნიშნოთ Δφkკუთხე სხივებს შორის OM k-1და OM კ, პოლარული ღერძით კუთხეების ფორმირება φ k-1და φkშესაბამისად. თითოეული ელემენტარული სექტორი OM k-1 M kშეცვალეთ იგი რადიუსით წრიული სექტორით ρ k =ρ(φ" k), სად φ"კ- კუთხის მნიშვნელობა φ ინტერვალიდან [ φ k-1 , φ k] და ცენტრალური კუთხე Δφk. ბოლო სექტორის ფართობი გამოიხატება ფორმულით .

გამოხატავს "საფეხურიანი" სექტორის არეალს, რომელიც დაახლოებით ანაცვლებს მოცემულ სექტორს OAB.

სექტორის ტერიტორია OABეწოდება "საფეხურიანი" სექტორის ფართობის ზღვარი n → ∞და λ=max Δφ k → 0:

იმიტომ რომ , ეს

მრუდის რკალის სიგრძე

დაუშვით სეგმენტი [ ა, ბ] მოცემულია დიფერენცირებადი ფუნქცია y=f(x), რომლის გრაფიკი არის რკალი. ხაზის სეგმენტი [ ა, ბ] გავყოთ ნნაწილები წერტილებით x 1, x 2, …, xn-1. ეს პუნქტები შეესაბამება ქულებს M 1, M 2, …, Mn-1რკალებს ვაკავშირებთ გატეხილი ხაზით, რომელსაც რკალში ჩაწერილ ხაზს უწოდებენ. ამ გატეხილი ხაზის პერიმეტრი აღინიშნა s n, ანუ

განმარტება. ხაზის რკალის სიგრძე არის მასში ჩაწერილი გატეხილი ხაზის პერიმეტრის ზღვარი, როდესაც ბმულების რაოდენობა მ კ-1 მ კიზრდება განუსაზღვრელი ვადით და მათგან ყველაზე დიდი სიგრძე ნულისკენ მიისწრაფვის:

სადაც λ არის უდიდესი რგოლის სიგრძე.

ჩვენ დავთვლით რკალის სიგრძეს რაღაც წერტილიდან, მაგალითად, ა. დაუშვით წერტილში M(x,y)რკალის სიგრძე არის ს, და წერტილში M"(x+Δ x,y+Δy)რკალის სიგრძე არის s+Δs, სადაც,i>Δs არის რკალის სიგრძე. სამკუთხედიდან MNM"იპოვეთ აკორდის სიგრძე: .

გეომეტრიული მოსაზრებებიდან გამომდინარეობს, რომ

ანუ წრფის უსასრულო რკალი და მასზე დაქვემდებარებული აკორდი ეკვივალენტურია.

მოდით გარდავქმნათ ფორმულა, რომელიც გამოხატავს აკორდის სიგრძეს:

ამ თანასწორობის ზღვარზე გადასვლისას, ჩვენ ვიღებთ ფორმულას ფუნქციის წარმოებულისთვის s=s(x):

საიდანაც ვპოულობთ

ეს ფორმულა გამოხატავს სიბრტყე მრუდის რკალის დიფერენციალს და აქვს მარტივი გეომეტრიული მნიშვნელობა : გამოხატავს პითაგორას თეორემას უსასრულო სამკუთხედისთვის MTN (ds=MT, ).

სივრცითი მრუდის რკალის დიფერენციალი განისაზღვრება ფორმულით

განვიხილოთ პარამეტრული განტოლებებით განსაზღვრული სივრცითი ხაზის რკალი

სად α ≤ t ≤ β, φi(t) (i=1, 2, 3) - არგუმენტის დიფერენცირებადი ფუნქციები ტ, ეს

ამ თანასწორობის ინტეგრირება ინტერვალზე [ α, β ], ვიღებთ ფორმულას ამ ხაზის რკალის სიგრძის გამოსათვლელად

თუ ხაზი დევს სიბრტყეში ოქსი, ეს z=0ყველას თვალწინ t∈[α, β], Ამიტომაც

იმ შემთხვევაში, როდესაც ბრტყელი ხაზი მოცემულია განტოლებით y=f(x) (a≤x≤b), სად f(x)არის დიფერენცირებადი ფუნქცია, ბოლო ფორმულა იღებს ფორმას

მოდით, სიბრტყის ხაზი მოცემულია განტოლებით ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) პოლარულ კოორდინატებში. ამ შემთხვევაში გვაქვს პარამეტრული განტოლებებიხაზები x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) sin φ, სადაც პარამეტრად აღებულია პოლარული კუთხე φ . Იმიტომ რომ

შემდეგ ფორმულა, რომელიც გამოხატავს წრფის რკალის სიგრძეს ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) პოლარულ კოორდინატებში აქვს ფორმა

სხეულის მოცულობა

მოდი ვიპოვოთ სხეულის მოცულობა, თუ ცნობილია ამ სხეულის რომელიმე განივი მონაკვეთის ფართობი გარკვეული მიმართულებით პერპენდიკულარული.

მოდით დავყოთ ეს სხეული ელემენტარულ შრეებად ღერძის პერპენდიკულარული სიბრტყეებით ოქსიდა განისაზღვრება განტოლებებით x=კონსტ. ნებისმიერი ფიქსირებული x∈ცნობილი ტერიტორია S=S(x)მოცემული სხეულის განივი მონაკვეთი.

თვითმფრინავებით მოწყვეტილი ელემენტარული ფენა x=x k-1, x=x კ (k=1, …, n, x 0 =a, x n =b), შეცვალეთ იგი სიმაღლის ცილინდრით Δx k =x k -x k-1და ბაზის ფართობი S(ξ k), ξ k ∈.

მითითებული ელემენტარული ცილინდრის მოცულობა გამოიხატება ფორმულით Δv k =E(ξ k)Δx k. მოდით შევაჯამოთ ყველა ასეთი პროდუქტი

რომელიც არის მოცემული ფუნქციის ინტეგრალური ჯამი S=S(x)სეგმენტზე [ ა, ბ]. იგი გამოხატავს საფეხურიანი სხეულის მოცულობას, რომელიც შედგება ელემენტარული ცილინდრებისგან და დაახლოებით ანაცვლებს ამ სხეულს.

მოცემული სხეულის მოცულობა არის მითითებული საფეხურიანი სხეულის მოცულობის ზღვარი λ→0 , სად λ - ელემენტარული სეგმენტებიდან ყველაზე დიდი სიგრძე Δxk. მოდით აღვნიშნოთ ვმოცემული სხეულის მოცულობა, შემდეგ განსაზღვრებით

Მეორეს მხრივ,

შესაბამისად, სხეულის მოცულობა მოცემულ კვეთებზე გამოითვლება ფორმულით

თუ სხეული წარმოიქმნება ღერძის გარშემო ბრუნვით ოქსიმრუდი ტრაპეცია, რომელიც შემოსაზღვრულია ზევით უწყვეტი ხაზის რკალით y=f(x), სად a≤x≤b, ეს S(x)=πf 2 (x)და ბოლო ფორმულა იღებს ფორმას:

კომენტარი. სხეულის მოცულობა, რომელიც მიღებულია მრუდი ტრაპეციის ბრუნვით, რომელიც მარჯვნივ არის შემოსაზღვრული ფუნქციის გრაფიკით x=φ(y) (c ≤ x ≤ d), ღერძის გარშემო ოიგამოითვლება ფორმულით

ბრუნვის ზედაპირის ფართობი

განვიხილოთ ზედაპირი, რომელიც მიღებულია ხაზის რკალის ბრუნვით y=f(x) (a≤x≤b) ღერძის გარშემო ოქსი(ვუშვათ, რომ ფუნქცია y=f(x)აქვს უწყვეტი წარმოებული). ღირებულების დაფიქსირება x∈, ფუნქციის არგუმენტს მივცემთ ნამატს dx, რომელიც შეესაბამება ელემენტარული რკალის ბრუნვით მიღებულ „ელემენტარულ რგოლს“. Δl. მოდით შევცვალოთ ეს "რგოლი" ცილინდრული რგოლით - სხეულის გვერდითი ზედაპირი, რომელიც წარმოიქმნება მართკუთხედის ბრუნვის შედეგად, ფუძით, რომელიც ტოლია რკალის დიფერენციალზე. დლდა სიმაღლე h=f(x). ბოლო რგოლის ამოჭრით და გაშლით ვიღებთ ზოლს სიგანით დლდა სიგრძე 2πy, სად y=f(x).

აქედან გამომდინარე, ზედაპირის ფართობის დიფერენციაცია გამოიხატება ფორმულით

ეს ფორმულა გამოხატავს ზედაპირის ფართობს, რომელიც მიიღება ხაზის რკალის ბრუნვით y=f(x) (a≤x≤b) ღერძის გარშემო ოქსი.

ლექციები 8. განსაზღვრული ინტეგრალის აპლიკაციები.

ინტეგრალის გამოყენება ფიზიკური დავალებებიეფუძნება ინტეგრალის დამატების თვისებას სიმრავლეზე. ამრიგად, ინტეგრალის გამოყენებით, შეიძლება გამოითვალოს რაოდენობები, რომლებიც თავად დანამატია ნაკრებში. მაგალითად, ფიგურის ფართობი უდრის მისი ნაწილების არეების ჯამს რკალის სიგრძე, ზედაპირის ფართობი, სხეულის მოცულობა და სხეულის მასა. ამრიგად, ყველა ეს რაოდენობა შეიძლება გამოითვალოს განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით.

პრობლემების გადასაჭრელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ ორი მეთოდი: ინტეგრალური ჯამების მეთოდი და დიფერენციალური მეთოდი.

ინტეგრალური ჯამების მეთოდი იმეორებს განსაზღვრული ინტეგრალის კონსტრუქციას: აგებულია დანაყოფი, აღინიშნება წერტილები, მათზე გამოითვლება ფუნქცია, გამოითვლება ინტეგრალური ჯამი და შესრულებულია ზღვრამდე გადასვლა. ამ მეთოდში მთავარი სირთულე არის იმის მტკიცება, რომ ლიმიტში შედეგი არის ზუსტად ის, რაც საჭიროა პრობლემაში.

დიფერენციალური მეთოდი იყენებს განუსაზღვრელი ინტეგრალი და ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა. გამოითვლება დასადგენი სიდიდის დიფერენციალი, შემდეგ კი, ამ დიფერენციალის ინტეგრირებით, საჭირო რაოდენობა მიიღება ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით. ამ მეთოდში მთავარი სირთულე არის იმის მტკიცება, რომ გამოითვლება საჭირო მნიშვნელობის დიფერენციალი და არა სხვა.

სიბრტყე ფიგურების ფართობების გამოთვლა.

1. ფიგურა შემოიფარგლება მითითებული ფუნქციის გრაფიკით დეკარტის სისტემაკოორდინატები

ჩვენ მივედით განსაზღვრული ინტეგრალის კონცეფციამდე მოსახვევი ტრაპეციის ფართობის პრობლემისგან (ფაქტობრივად, ინტეგრალური ჯამების მეთოდის გამოყენებით). თუ ფუნქცია მხოლოდ იღებს უარყოფითი მნიშვნელობები, მაშინ სეგმენტზე ფუნქციის გრაფიკის ქვეშ არსებული ფართობი შეიძლება გამოითვალოს განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით. შეამჩნია, რომ მაშასადამე, დიფერენციალური მეთოდი აქაც ჩანს.

მაგრამ ფუნქციას ასევე შეუძლია მიიღოს უარყოფითი მნიშვნელობები გარკვეულ სეგმენტზე, მაშინ ინტეგრალი ამ სეგმენტზე მისცემს უარყოფით არეალს, რაც ეწინააღმდეგება ფართობის განსაზღვრას.

თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ ფართობი ფორმულის გამოყენებითს=. ეს უდრის ფუნქციის ნიშნის შეცვლას იმ ადგილებში, სადაც ის უარყოფით მნიშვნელობებს იღებს.

თუ თქვენ გჭირდებათ ფიგურის ფართობის გამოთვლა, რომელიც შემოიფარგლება ზემოთ ფუნქციის გრაფიკით და ქვემოთ ფუნქციის გრაფიკით, მაშინ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულას= , იმიტომ რომ.

მაგალითი. გამოთვალეთ სწორი ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი x=0, x=2 და y=x 2, y=x 3 ფუნქციების გრაფიკები.

გაითვალისწინეთ, რომ (0,1) ინტერვალზე მოქმედებს უტოლობა x 2 > x 3, ხოლო x >1-ისთვის მოქმედებს უტოლობა x 3 > x 2. Ამიტომაც

2. ფიგურა შემოიფარგლება პოლარულ კოორდინატულ სისტემაში მითითებული ფუნქციის გრაფიკით.

მოდით, ფუნქციის გრაფიკი იყოს მოცემული პოლარულ კოორდინატულ სისტემაში და გვინდა გამოვთვალოთ მრუდი სექტორის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ორი სხივით და ფუნქციის გრაფიკი პოლარულ კოორდინატულ სისტემაში.

აქ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ინტეგრალური ჯამების მეთოდი, გამოთვალოთ მრუდი სექტორის ფართობი, როგორც ელემენტარული სექტორების არეების ჯამის ზღვარი, რომელშიც ფუნქციის გრაფიკი იცვლება წრიული რკალით. .

ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ დიფერენციალური მეთოდი: .

შეგიძლია ასე იფიქრო. შესაბამისი ელემენტარული მრუდი სექტორის ჩანაცვლება ცენტრალური კუთხეწრიული სექტორი, გვაქვს პროპორცია . აქედან . ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის ინტეგრირებისა და გამოყენებით ვიღებთ .

მაგალითი. მოდით გამოვთვალოთ წრის ფართობი (შეამოწმეთ ფორმულა). Ჩვენ გვჯერა. წრის ფართობი არის .

მაგალითი. გამოვთვალოთ კარდიოიდით შემოსაზღვრული ფართობი .

3 ფიგურა შემოიფარგლება პარამეტრულად მითითებული ფუნქციის გრაფიკით.

ფუნქცია პარამეტრულად შეიძლება მითითებული იყოს ფორმაში. ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას ს= , ჩაანაცვლებს მასში ინტეგრაციის საზღვრებს ახალ ცვლადზე. . ჩვეულებრივ, ინტეგრალის გაანგარიშებისას იზოლირებულია ის ადგილები, სადაც ინტეგრანდულ ფუნქციას აქვს გარკვეული ნიშანი და მხედველობაში მიიღება შესაბამისი ფართობი ამა თუ იმ ნიშნით.

მაგალითი. გამოთვალეთ ელიფსით შემოსაზღვრული ფართობი.

ელიფსის სიმეტრიის გამოყენებით, ჩვენ ვიანგარიშებთ ელიფსის მეოთხედის ფართობს, რომელიც მდებარეობს პირველ კვადრატში. ამ კვადრატში. Ამიტომაც .

სხეულების მოცულობების გამოთვლა.

1. სხეულების მოცულობების გამოთვლა პარალელური მონაკვეთების ფართობებიდან.

დაე, საჭირო გახდეს ზოგიერთი V სხეულის მოცულობის გამოთვლა ცნობილი მოედნებიამ სხეულის მონაკვეთები OX წრფის პერპენდიკულარული სიბრტყეებით, რომლებიც გაყვანილია OX წრფის სეგმენტის ნებისმიერ x წერტილში.

მოდით გამოვიყენოთ დიფერენციალური მეთოდი. ელემენტარული მოცულობის გათვალისწინებით, სეგმენტზე სწორი ხაზის მოცულობა წრიული ცილინდრიბაზის ფართობითა და სიმაღლით ვიღებთ . ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის ინტეგრირებითა და გამოყენებით ვიღებთ

2. ბრუნვის სხეულების მოცულობების გამოთვლა.

დაე, საჭირო იყოს გამოთვლა ოქსი.

მაშინ .

ანალოგიურად, ღერძის გარშემო ბრუნვის სხეულის მოცულობაOYთუ ფუნქცია მოცემულია ფორმაში, შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით.

თუ ფუნქცია მითითებულია ფორმაში და საჭიროა ღერძის გარშემო ბრუნვის სხეულის მოცულობის განსაზღვრაOY, მაშინ მოცულობის გამოთვლის ფორმულა შეიძლება მივიღოთ შემდეგნაირად.

დიფერენციალზე გადასვლა და კვადრატული ტერმინების უგულებელყოფა გვაქვს . ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის ინტეგრირება და გამოყენება გვაქვს.

მაგალითი. გამოთვალეთ სფეროს მოცულობა.

მაგალითი. გამოთვალეთ სწორი ხაზის მოცულობა წრიული კონუსი, შეზღუდული ზედაპირით და სიბრტყით.

მოდით გამოვთვალოთ მოცულობა, როგორც ბრუნვის სხეულის მოცულობა, რომელიც წარმოიქმნება OZ ღერძის გარშემო ბრუნვის შედეგად მართკუთხა სამკუთხედი OXZ სიბრტყეში, რომლის ფეხები დევს OZ ღერძზე და ხაზი z = H, ხოლო ჰიპოტენუზა დევს ხაზზე.

x გამოვხატავთ z-ით, მივიღებთ .

რკალის სიგრძის გაანგარიშება.

რკალის სიგრძის გამოსათვლელად ფორმულების მისაღებად გავიხსენოთ 1 სემესტრში მიღებული ფორმულები რკალის სიგრძის დიფერენციალისთვის.

თუ რკალი არის მუდმივად დიფერენცირებადი ფუნქციის გრაფიკი, რკალის სიგრძის დიფერენციალი შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით

. Ამიტომაც

თუ გლუვი რკალი მითითებულია პარამეტრულად, ეს

. Ამიტომაც .

თუ რკალი მითითებულია პოლარულ კოორდინატულ სისტემაში, ეს

. Ამიტომაც .

მაგალითი. გამოთვალეთ ფუნქციის გრაფიკის რკალის სიგრძე, . .

ლექცია 18. განსაზღვრული ინტეგრალის აპლიკაციები.

18.1. სიბრტყე ფიგურების ფართობების გამოთვლა.

ცნობილია, რომ სეგმენტზე განსაზღვრული ინტეგრალი წარმოადგენს მრუდი ტრაპეციის ფართობს, შეზღუდული გრაფიკითფუნქციები f(x). თუ გრაფიკი მდებარეობს Ox ღერძის ქვემოთ, ე.ი. f(x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0, მაშინ ტერიტორიას აქვს "+" ნიშანი.

მთლიანი ფართობის საპოვნელად გამოიყენეთ ფორმულა.

გარკვეული ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი შეიძლება მოიძებნოს გარკვეული ინტეგრალის გამოყენებით, თუ ცნობილია ამ ხაზების განტოლებები.

მაგალითი.იპოვეთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია y = x, y = x2, x = 2.

საჭირო ფართობი (სურათზე დაჩრდილული) შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულის გამოყენებით:

18.2. მოსახვევი სექტორის ფართობის პოვნა.

მრუდი სექტორის ფართობის საპოვნელად, ჩვენ შემოგთავაზებთ პოლარული კოორდინატთა სისტემას. ამ კოორდინატულ სისტემაში სექტორის შემზღუდველი მრუდის განტოლებას აქვს ფორმა  = f(), სადაც  არის რადიუსის ვექტორის სიგრძე, რომელიც აკავშირებს ბოძს მრუდის თვითნებურ წერტილთან, ხოლო  არის დახრილობის კუთხე. ეს რადიუსის ვექტორი პოლარული ღერძისკენ.

მრუდი სექტორის ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულის გამოყენებით

18.3. მრუდის რკალის სიგრძის გამოთვლა.

y y = f(x)

S i y i

გატეხილი ხაზის სიგრძე, რომელიც შეესაბამება რკალს, შეიძლება მოიძებნოს როგორც
.

მაშინ რკალის სიგრძეა
.

გეომეტრიული მოსაზრებებიდან:

Ამავე დროს

მაშინ შეიძლება ამის ჩვენება

იმათ.

თუ მრუდის განტოლება მოცემულია პარამეტრულად, მაშინ პარამეტრულად მოცემული წარმოებულის გამოთვლის წესების გათვალისწინებით, ვიღებთ

,

სადაც x = (t) და y = (t).

თუ დაყენებულია სივრცითი მრუდიდა x = (t), y = (t) და z = Z(t), შემდეგ

თუ მრუდი მოცემულია პოლარული კოორდინატები, ეს

,  = f().

მაგალითი:იპოვეთ x 2 + y 2 = r 2 განტოლებით მოცემული წრის გარშემოწერილობა.

1 გზა.გამოვსახოთ ცვლადი y განტოლებიდან.

მოდი ვიპოვოთ წარმოებული

მაშინ S = 2r. ჩვენ მივიღეთ წრის გარშემოწერილობის ცნობილი ფორმულა.

მეთოდი 2.თუ მოცემულ განტოლებას წარმოვადგენთ პოლარულ კოორდინატულ სისტემაში, მივიღებთ: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2, ე.ი. ფუნქცია  = f() = r,
მაშინ

18.4. სხეულების მოცულობების გამოთვლა.

სხეულის მოცულობის გამოთვლა მისი პარალელური მონაკვეთების ცნობილი უბნებიდან.

იყოს V მოცულობის სხეული. Q სხეულის ნებისმიერი კვეთის ფართობი ცნობილია როგორც უწყვეტი ფუნქცია Q = Q (x). მოდით გავყოთ სხეული "ფენებად" ჯვარი მონაკვეთებით, რომლებიც გადიან სეგმენტის დანაყოფის x i წერტილებს. იმიტომ რომ ფუნქცია Q(x) უწყვეტია დანაყოფის ნებისმიერ შუალედურ სეგმენტზე, მაშინ ის იღებს უდიდეს და უმცირესი ღირებულება. ავღნიშნოთ ისინი შესაბამისად M i და m i.

თუ ამ უდიდეს და უმცირეს მონაკვეთებზე ავაშენებთ ცილინდრებს x ღერძის პარალელურად გენერატრიულებით, მაშინ ამ ცილინდრების მოცულობა იქნება შესაბამისად M i x i და m i x i აქ x i = x i - x i -1.

დანაყოფის ყველა სეგმენტისთვის ასეთი კონსტრუქციების გაკეთების შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ ცილინდრებს, რომელთა მოცულობა, შესაბამისად, თანაბარია
და
.

ვინაიდან დანაყოფის საფეხური  მიდრეკილია ნულისკენ, ამ ჯამებს აქვთ საერთო ლიმიტი:

ამრიგად, სხეულის მოცულობა შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულის გამოყენებით:

ამ ფორმულის მინუსი არის ის, რომ მოცულობის საპოვნელად საჭიროა იცოდეთ ფუნქცია Q(x), რაც ძალიან პრობლემურია. რთული სხეულები.

მაგალითი:იპოვეთ R რადიუსის სფეროს მოცულობა.

წრეები მიიღება ბურთის ჯვარედინი მონაკვეთებში ცვლადი რადიუსი u. მიმდინარე x კოორდინატიდან გამომდინარე, ეს რადიუსი გამოიხატება ფორმულით
.

მაშინ კვეთის ფართობის ფუნქციას აქვს ფორმა: Q(x) =
.

ჩვენ ვიღებთ ბურთის მოცულობას:

მაგალითი:იპოვეთ თვითნებური პირამიდის მოცულობა H სიმაღლით და ფუძის ფართობი S.

როდესაც პირამიდა იკვეთება სიმაღლის პერპენდიკულარული სიბრტყეებით, განივი კვეთით ვიღებთ ფუძის მსგავს ფიგურებს. ამ ფიგურების მსგავსების კოეფიციენტი თანაფარდობის ტოლი x/H, სადაც x არის მანძილი მონაკვეთის სიბრტყიდან პირამიდის ზევით.

გეომეტრიიდან ცნობილია, რომ ფართობების შეფარდება მსგავსი ფიგურებიტოლია მსგავსების კოეფიციენტის კვადრატში, ე.ი.

აქედან ვიღებთ განივი უბნების ფუნქციას:

იპოვნეთ პირამიდის მოცულობა:

18.5. რევოლუციის ორგანოების მოცულობა.

განვიხილოთ მრუდი მოცემული განტოლებით y = f(x). დავუშვათ, რომ ფუნქცია f(x) უწყვეტია ინტერვალზე. თუ შესაბამისი მრუდი ტრაპეცია a და b ფუძეებით ბრუნავს Ox ღერძის გარშემო, მაშინ მივიღებთ ე.წ. რევოლუციის ორგანო.

y = f(x)

იმიტომ რომ სხეულის თითოეული მონაკვეთი სიბრტყით x = const არის რადიუსის წრე
, მაშინ ბრუნვის სხეულის მოცულობა მარტივად შეგიძლიათ იპოვოთ ზემოთ მიღებული ფორმულის გამოყენებით:

18.6. რევოლუციის სხეულის ზედაპირის ფართობი.

M i B

განმარტება: ბრუნვის ზედაპირის ფართობიმრუდი AB მოცემული ღერძის ირგვლივ არის ზღვარი, რომლისკენაც მიისწრაფვის AB მრუდში ჩაწერილი გატეხილი ხაზების ბრუნვის ზედაპირების არეები, როდესაც ამ გატეხილი ხაზების ბმულების სიგრძეებიდან ყველაზე დიდი მიისწრაფვის ნულისკენ.

რკალი AB გავყოთ n ნაწილად M 0, M 1, M 2, ..., M n წერტილებით. მიღებული გატეხილი ხაზის წვეროების კოორდინატებს აქვთ x i და y i კოორდინატები. ღერძის ირგვლივ გატეხილი ხაზის ბრუნვისას ვიღებთ ზედაპირს, რომელიც შედგება დამსხვრეული კონუსების გვერდითი ზედაპირებისგან, რომლის ფართობი უდრის P i. ეს ტერიტორია შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულის გამოყენებით:

აქ S i არის თითოეული აკორდის სიგრძე.

ჩვენ ვიყენებთ ლაგრანჟის თეორემას (იხ. ლაგრანჟის თეორემა) დამოკიდებულებაზე
.

წარმოგიდგენთ განსაზღვრული ინტეგრალის რამდენიმე გამოყენებას.

ბრტყელი ფიგურის ფართობის გამოთვლა

მრუდი ტრაპეციის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია მრუდით (სად
), სწორი
,
და სეგმენტი
ცულები
, გამოითვლება ფორმულით

.

მრუდებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი
და
(სად
) სწორი
და
გამოითვლება ფორმულით

თუ მრუდი მოცემულია პარამეტრული განტოლებებით
, შემდეგ მრუდი ტრაპეციის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ამ მრუდით სწორი ხაზებით
,
და სეგმენტი
ცულები
, გამოითვლება ფორმულით

,

სად და განისაზღვრება განტოლებებიდან
,
, ა
ზე
.

მრუდი სექტორის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია მრუდით, რომელიც მოცემულია განტოლებით პოლარულ კოორდინატებში
და ორი პოლარული რადიუსი
,
(
), გვხვდება ფორმულით

.

მაგალითი 1.27.გამოთვალეთ პარაბოლით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი
და სწორი
(სურათი 1.1).

სიბრტყე მრუდის რკალის სიგრძის გამოთვლა

თუ მრუდი
სეგმენტზე
- გლუვი (ანუ წარმოებული
უწყვეტი), მაშინ ამ მრუდის შესაბამისი რკალის სიგრძე იპოვება ფორმულით

.

მრუდის პარამეტრულად მითითებისას
(
- მუდმივად დიფერენცირებადი ფუნქციები) მრუდის რკალის სიგრძე, რომელიც შეესაბამება პარამეტრის მონოტონურ ცვლილებას საწყისი ადრე , გამოითვლება ფორმულით

მაგალითი 1.28.გამოთვალეთ მრუდის რკალის სიგრძე
,
,
.

გამოსავალი.მოდი ვიპოვოთ წარმოებულები პარამეტრთან მიმართებაში :
,
. შემდეგ ფორმულიდან (1.7) ვიღებთ

.

2. რამდენიმე ცვლადის ფუნქციების დიფერენციალური გამოთვლა

მოდით, თითოეული შეკვეთილი წყვილი ნომრები
რაღაც ტერიტორიიდან
შეესაბამება გარკვეულ რიცხვს
. მაშინ დაურეკა ორი ცვლადის ფუნქცია და ,
-დამოუკიდებელი ცვლადები ან არგუმენტები ,
-განმარტების სფერო ფუნქციები და კომპლექტი ყველა ფუნქციის მნიშვნელობა - მისი ღირებულებების დიაპაზონი და აღვნიშნავთ
.

გეომეტრიულად, ფუნქციის განსაზღვრის დომენი ჩვეულებრივ წარმოადგენს სიბრტყის ზოგიერთ ნაწილს
, შემოსაზღვრულია ხაზებით, რომლებიც შეიძლება ეკუთვნოდეს ან არ ეკუთვნოდეს ამ ტერიტორიას.

მაგალითი 2.1.იპოვნეთ განსაზღვრების დომენი
ფუნქციები
.

თუ ცვლადი მიეცით გარკვეული ზრდა
, ა დატოვე მუდმივი, შემდეგ ფუნქცია
მიიღებს დანამატს
, დაურეკა ფუნქციის პირადი ზრდა ცვლადის მიხედვით :

ანალოგიურად, თუ ცვლადი იღებს ზრდას
, ა რჩება მუდმივი, შემდეგ ფუნქცია
მიიღებს დანამატს
, დაურეკა ფუნქციის პირადი ზრდა ცვლადის მიხედვით :

თუ არსებობს შეზღუდვები:

,

,

მათ ეძახიან ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები
ცვლადების მიხედვით და შესაბამისად.

შენიშვნა 2.1. ანალოგიურად განისაზღვრება ნებისმიერი რაოდენობის დამოუკიდებელი ცვლადის ფუნქციების ნაწილობრივი წარმოებულები.

შენიშვნა 2.2. ვინაიდან ნაწილობრივი წარმოებული ნებისმიერი ცვლადის მიმართ არის წარმოებული ამ ცვლადის მიმართ, იმ პირობით, რომ სხვა ცვლადები მუდმივია, მაშინ ერთი ცვლადის ფუნქციების დიფერენცირების ყველა წესი გამოიყენება ნებისმიერი რაოდენობის ცვლადის ფუნქციების ნაწილობრივი წარმოებულების საპოვნელად.

მაგალითი 2.2.
.

გამოსავალი. Ჩვენ ვიპოვეთ:

,

.

მაგალითი 2.3.იპოვნეთ ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები
.

გამოსავალი. Ჩვენ ვიპოვეთ:

,

,

.

სრული ფუნქციის ზრდა
განსხვავებას უწოდებენ

მთავარი ნაწილი სრული ზრდაფუნქციები
, წრფივად დამოკიდებული დამოუკიდებელი ცვლადების ნამატებზე
და
,ეწოდება ფუნქციის მთლიანი დიფერენციალი და დანიშნულია
. თუ ფუნქციას აქვს უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები, მაშინ სრული დიფერენციალი არსებობს და ტოლია

,

სად
,
- დამოუკიდებელი ცვლადების თვითნებური ზრდა, რომელსაც უწოდებენ მათ დიფერენციალებს.

ანალოგიურად, სამი ცვლადის ფუნქციისთვის
მთლიანი დიფერენციალი მოცემულია

.

დაუშვით ფუნქცია
აქვს წერტილში
პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები ყველა ცვლადის მიმართ. შემდეგ ვექტორი ეწოდება გრადიენტი ფუნქციები
წერტილში
და დანიშნულია
ან
.

შენიშვნა 2.3. სიმბოლო
ჰამილტონის ოპერატორს უწოდებენ და გამოითქმის "ნამბლა".

მაგალითი 2.4.იპოვეთ ფუნქციის გრადიენტი წერტილში
.

გამოსავალი. მოდი ვიპოვოთ ნაწილობრივი წარმოებულები:

,
,

და გამოთვალეთ მათი მნიშვნელობები წერტილში
:

,
,
.

აქედან გამომდინარე,
.

წარმოებული ფუნქციები
წერტილში
ვექტორის მიმართულებით
თანაფარდობის ზღვარს უწოდებენ
ზე
:

, სად
.

თუ ფუნქცია
არის დიფერენცირებადი, მაშინ წარმოებული მოცემული მიმართულებით გამოითვლება ფორმულით:

,

სად ,- კუთხეები, რომელიც არის ვექტორი ფორმები ცულებით
და
შესაბამისად.

სამი ცვლადის ფუნქციის შემთხვევაში
მიმართულების წარმოებული განისაზღვრება ანალოგიურად. შესაბამისი ფორმულა არის

სად
- ვექტორის მიმართულების კოსინუსები .

მაგალითი 2.5.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული
წერტილში
ვექტორის მიმართულებით
, სად
.

გამოსავალი. მოდი ვიპოვოთ ვექტორი
და მისი მიმართულების კოსინუსები:

,
,
,
.

მოდით გამოვთვალოთ ნაწილობრივი წარმოებულების მნიშვნელობები წერტილში
:

,
,
;
,
,
.

ჩანაცვლებით (2.1), ვიღებთ

.

მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები ეწოდება ნაწილობრივი წარმოებულები, რომლებიც აღებულია პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულებიდან:

,

,

,

ნაწილობრივი წარმოებულები
,
უწოდებენ შერეული . შერეული წარმოებულების მნიშვნელობები ტოლია იმ წერტილებში, სადაც ეს წარმოებულები უწყვეტია.

მაგალითი 2.6.იპოვეთ ფუნქციის მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები
.

გამოსავალი. ჯერ გამოვთვალოთ პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები:

,
.

მათი კიდევ ერთხელ დიფერენცირებით, მივიღებთ:

,
,

,
.

ბოლო გამონათქვამების შედარება, ჩვენ ამას ვხედავთ
.

მაგალითი 2.7.დაამტკიცეთ, რომ ფუნქცია
აკმაყოფილებს ლაპლასის განტოლებას

.

გამოსავალი. Ჩვენ ვიპოვეთ:

,
.

,
.

.

Წერტილი
დაურეკა ადგილობრივი მაქსიმალური წერტილი (მინიმალური ) ფუნქციები
, თუ ყველა პუნქტისთვის
, განსხვავებულია
და მის საკმარისად მცირე უბნის კუთვნილება, უთანასწორობა

(
).

ფუნქციის მაქსიმუმს ან მინიმუმს მისი ეწოდება ექსტრემალური . წერტილი, სადაც მიღწეულია ფუნქციის უკიდურესობა, ეწოდება ფუნქციის უკიდურესი წერტილი .

თეორემა 2.1 (ექსტრემისთვის აუცილებელი პირობები ). თუ წერტილი
არის ფუნქციის უკიდურესი წერტილი
, ან ამ წარმოებულებიდან ერთი მაინც არ არსებობს.

ქულები, რომლებზეც ეს პირობები დაკმაყოფილებულია, ეწოდება სტაციონარული ან კრიტიკული . ექსტრემალური წერტილები ყოველთვის სტაციონარულია, მაგრამ სტაციონარული წერტილი შეიძლება არ იყოს ექსტრემალური წერტილი. იმისათვის, რომ სტაციონარული წერტილი იყოს ექსტრემალური წერტილი, უნდა დაკმაყოფილდეს საკმარისი პირობები ექსტრემისთვის.

ჯერ შემოვიღოთ შემდეგი აღნიშვნა :

,
,
,
.

თეორემა 2.2 (საკმარისი პირობები ექსტრემისთვის ). დაუშვით ფუნქცია
ორჯერ დიფერენცირებადი წერტილის სამეზობლოში
და პერიოდი
სტაციონარულია ფუნქციისთვის
. შემდეგ:

1.თუ
, შემდეგ მიუთითეთ
არის ფუნქციის ექსტრემუმი და
იქნება მაქსიმალური წერტილი
(
)და მინიმალური წერტილი ზე
(
).

2.თუ
, შემდეგ წერტილში

არ არის უკიდურესი.

3.თუ
, მაშინ ექსტრემუმი შეიძლება არსებობდეს ან არ არსებობდეს.

მაგალითი 2.8.გამოიკვლიეთ ექსტრემალური ფუნქცია
.

გამოსავალი. ვინაიდან ამ შემთხვევაში პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები ყოველთვის არსებობს, სტაციონარული (კრიტიკული) წერტილების საპოვნელად ჩვენ ვხსნით სისტემას:

,
,

სადაც
,
,
,
. ამრიგად, მივიღეთ ორი სტაციონარული წერტილი:
,
.

,
,
.

ერთი წერტილისთვის
ვიღებთ:, ანუ ამ ეტაპზე ექსტრემუმი არ არის. ერთი წერტილისთვის
ვიღებთ: და
, აქედან გამომდინარე

ამ ეტაპზე ამ ფუნქციასაღწევს ადგილობრივ მინიმუმს: .