ვინაიდან ლოგარითმების ფუძეები ტოლია. ლოგარითმების ძირითადი თვისებები

ბუნებრივი ლოგარითმის ძირითადი თვისებები, გრაფიკი, განსაზღვრების სფერო, მნიშვნელობების სიმრავლე, ძირითადი ფორმულები, წარმოებული, ინტეგრალი, გაფართოება დენის სერიადა ln x ფუნქციის წარმოდგენა რთული რიცხვების გამოყენებით.

განმარტება

ბუნებრივი ლოგარითმიარის ფუნქცია y = n x, ექსპონენციალურის შებრუნებული, x = e y, და არის ლოგარითმი e რიცხვის ფუძის მიმართ: ln x = ჟურნალი e x.

ბუნებრივი ლოგარითმი ფართოდ გამოიყენება მათემატიკაში, რადგან მის წარმოებულს აქვს უმარტივესი ფორმა: (ln x)′ = 1/ x.

დაფუძნებული განმარტებები, ბუნებრივი ლოგარითმის საფუძველია რიცხვი ე:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

y = ფუნქციის გრაფიკი n x.

ბუნებრივი ლოგარითმის გრაფიკი (ფუნქციები y = n x) მიიღება ექსპონენციალური გრაფიკიდან სარკისებური გამოსახულებასწორი ხაზის მიმართ y = x.

ბუნებრივი ლოგარითმი განისაზღვრება x ცვლადის დადებითი მნიშვნელობებისთვის. იგი მონოტონურად იზრდება მისი განმარტების დომენში.

x-ზე → 0 ბუნებრივი ლოგარითმის ზღვარი არის მინუს უსასრულობა (-∞).

როგორც x → + ∞, ბუნებრივი ლოგარითმის ზღვარი არის პლუს უსასრულობა (+ ∞). დიდი x-ისთვის ლოგარითმი საკმაოდ ნელა იზრდება. ნებისმიერი დენის ფუნქცია x a დადებითი მაჩვენებლით a იზრდება უფრო სწრაფად ვიდრე ლოგარითმი.

ბუნებრივი ლოგარითმის თვისებები

განსაზღვრების დომენი, მნიშვნელობების ნაკრები, ექსტრემა, ზრდა, შემცირება

ბუნებრივი ლოგარითმი არის მონოტონურად მზარდი ფუნქცია, ამიტომ მას არ აქვს ექსტრემები. ბუნებრივი ლოგარითმის ძირითადი თვისებები წარმოდგენილია ცხრილში.

ln x მნიშვნელობები

ln 1 = 0

ძირითადი ფორმულები ბუნებრივი ლოგარითმებისთვის

შებრუნებული ფუნქციის განმარტებიდან გამომდინარე ფორმულები:

ლოგარითმების ძირითადი თვისება და მისი შედეგები

ბაზის შეცვლის ფორმულა

ნებისმიერი ლოგარითმი შეიძლება გამოიხატოს ბუნებრივი ლოგარითმებით ბაზის ჩანაცვლების ფორმულის გამოყენებით:

ამ ფორმულების მტკიცებულებები წარმოდგენილია განყოფილებაში "ლოგარითმი".

ინვერსიული ფუნქცია

ბუნებრივი ლოგარითმის ინვერსია არის მაჩვენებელი.

თუ, მაშინ

თუ, მაშინ.

წარმოებული ln x

ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული:
.
x მოდულის ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული:
.
n-ე რიგის წარმოებული:
.
ფორმულების გამოყვანა >>>

ინტეგრალური

ინტეგრალი გამოითვლება ნაწილების ინტეგრირებით:
.
Ისე,

გამოთქმები რთული რიცხვების გამოყენებით

განვიხილოთ z რთული ცვლადის ფუნქცია:
.
გამოვხატოთ რთული ცვლადი ზმოდულის საშუალებით რდა არგუმენტი φ :
.
ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით, ჩვენ გვაქვს:
.
ან
.
არგუმენტი φ არ არის ცალსახად განსაზღვრული. თუ დააყენებთ
, სადაც n არის მთელი რიცხვი,
ეს იქნება იგივე რიცხვი სხვადასხვა n-სთვის.

ამრიგად, ბუნებრივი ლოგარითმი, როგორც რთული ცვლადის ფუნქცია, არ არის ერთმნიშვნელოვანი ფუნქცია.

დენის სერიის გაფართოება

როდესაც გაფართოება ხდება:

ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო ინჟინრებისა და კოლეჯის სტუდენტებისთვის, „ლან“, 2009 წ.

მიმართებაში

შეიძლება დაისვას დავალება, რომ იპოვოთ სამი რიცხვიდან რომელიმე დანარჩენი ორიდან. თუ მოცემულია a და შემდეგ N, ისინი იპოვიან სიმძლავრის მიხედვით. თუ N და შემდეგ a მოცემულია x ხარისხის ფესვის აღებით (ან მისი ხარისხამდე აწევით). ახლა განვიხილავთ შემთხვევას, როდესაც a-ს და N-ის მიცემით, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ x.

რიცხვი N იყოს დადებითი: რიცხვი a დადებითი და არა ერთის ტოლი: .

განმარტება. N რიცხვის ლოგარითმი a ფუძემდე არის ის მაჩვენებელი, რომელზეც a უნდა გაიზარდოს N რიცხვის მისაღებად; ლოგარითმი აღინიშნება

ამგვარად, ტოლობაში (26.1) მაჩვენებლის პოვნაა, როგორც N-ის ლოგარითმი a ფუძემდე. პოსტები

აქვთ იგივე მნიშვნელობა. ტოლობას (26.1) ზოგჯერ უწოდებენ ლოგარითმების თეორიის მთავარ იდენტობას; სინამდვილეში იგი გამოხატავს ლოგარითმის ცნების განმარტებას. მიერ ამ განმარტებას a ლოგარითმის საფუძველი ყოველთვის დადებითია და განსხვავდება ერთიანობისგან; ლოგარითმული რიცხვი N დადებითია. უარყოფით რიცხვებსა და ნულს არ აქვთ ლოგარითმები. შეიძლება დადასტურდეს, რომ მოცემული ფუძის მქონე ნებისმიერ რიცხვს აქვს კარგად განსაზღვრული ლოგარითმი. ამიტომ თანასწორობა გულისხმობს. გაითვალისწინეთ, რომ აქ მთავარი პირობაა წინააღმდეგ შემთხვევაშიდასკვნა არ იქნება გამართლებული, რადგან ტოლობა მართალია x და y-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.

მაგალითი 1. იპოვე

გამოსავალი. რიცხვის მისაღებად, თქვენ უნდა ააწიოთ ბაზის 2 სიმძლავრემდე.

ასეთი მაგალითების ამოხსნისას შეგიძლიათ გააკეთოთ შენიშვნები შემდეგი ფორმით:

მაგალითი 2. იპოვეთ .

გამოსავალი. Ჩვენ გვაქვს

მაგალითებში 1 და 2, ჩვენ ადვილად ვიპოვეთ სასურველი ლოგარითმი ლოგარითმის რიცხვის წარმოდგენით, როგორც ფუძის სიმძლავრე რაციონალური მაჩვენებელი. ზოგად შემთხვევაში, მაგალითად, და ა.შ., ამის გაკეთება შეუძლებელია, რადგან ლოგარითმს აქვს ირაციონალური მნიშვნელობა. ამ განცხადებასთან დაკავშირებულ ერთ საკითხს მივაქციოთ ყურადღება. მე-12 პუნქტში ჩვენ მივეცით ცნება მოცემულის ნებისმიერი რეალური ხარისხის განსაზღვრის შესაძლებლობის შესახებ დადებითი რიცხვი. ეს აუცილებელი იყო ლოგარითმების დანერგვისთვის, რომლებიც, ზოგადად, შეიძლება იყოს ირაციონალური რიცხვები.

მოდით შევხედოთ ლოგარითმების რამდენიმე თვისებას.

თვისება 1. თუ რიცხვი და ფუძე ტოლია, მაშინ ლოგარითმი ერთის ტოლიდა, პირიქით, თუ ლოგარითმი ერთის ტოლია, მაშინ რიცხვი და ფუძე ტოლია.

მტკიცებულება. მოდით, ლოგარითმის განმარტებით გვაქვს და საიდან

პირიქით, მოდით შემდეგ განმარტებით

თვისება 2. ერთი რომელიმე ფუძის ლოგარითმი ნულის ტოლია.

მტკიცებულება. ლოგარითმის განმარტებით (ნებისმიერი დადებითი ფუძის ნულოვანი სიმძლავრე უდრის ერთს, იხ. (10.1)). აქედან

ქ.ე.დ.

საპირისპირო დებულება ასევე მართალია: თუ , მაშინ N = 1. მართლაც, გვაქვს .

ლოგარითმების შემდეგი თვისების ჩამოყალიბებამდე, შევთანხმდეთ ვთქვათ, რომ ორი რიცხვი a და b დევს მესამე c რიცხვის ერთ მხარეს, თუ ორივე მეტია c-ზე ან c-ზე ნაკლები. თუ ამ რიცხვებიდან ერთი დიდია c-ზე, ხოლო მეორე ნაკლებია c-ზე, მაშინ ვიტყვით, რომ ისინი დევს გასწვრივ. სხვადასხვა მხარეებისოფლიდან

თვისება 3. თუ რიცხვი და ფუძე დევს ერთის ერთ მხარეს, მაშინ ლოგარითმი დადებითია; თუ რიცხვი და ფუძე დევს ერთის საპირისპირო მხარეს, მაშინ ლოგარითმი უარყოფითია.

თვისების 3 მტკიცებულება ემყარება იმ ფაქტს, რომ a-ს სიმძლავრე ერთზე მეტია, თუ ფუძე ერთზე მეტია და მაჩვენებელი დადებითია ან ფუძე. ერთზე ნაკლებიდა მაჩვენებელი უარყოფითია. სიმძლავრე ერთზე ნაკლებია, თუ ფუძე ერთზე მეტია და მაჩვენებელი უარყოფითია ან ფუძე ნაკლებია ერთზე და მაჩვენებელი დადებითია.

გასათვალისწინებელია ოთხი შემთხვევა:

ჩვენ შემოვიფარგლებით პირველის გაანალიზებით, დანარჩენს მკითხველი დამოუკიდებლად განიხილავს.

ასე რომ, თანასწორობაში მაჩვენებელი არ შეიძლება იყოს არც უარყოფითი და არც უარყოფითი ნულის ტოლიმაშასადამე, ის დადებითია, ანუ როგორც საჭიროა დასამტკიცებლად.

მაგალითი 3. გაარკვიეთ, რომელია ქვემოთ მოყვანილი ლოგარითმები დადებითი და რომელი უარყოფითი:

ამოხსნა, ა) ვინაიდან რიცხვი 15 და ფუძე 12 განლაგებულია ერთის ერთ მხარეს;

ბ) ვინაიდან 1000 და 2 განლაგებულია დანადგარის ერთ მხარეს; ამ შემთხვევაში, არ არის მნიშვნელოვანი, რომ ფუძე მეტი იყოს ლოგარითმულ რიცხვზე;

გ) ვინაიდან 3.1 და 0.8 დევს ერთიანობის მოპირდაპირე მხარეს;

გ) ; რატომ?

დ) ; რატომ?

შემდეგ თვისებებს 4-6 ხშირად უწოდებენ ლოგარითმაციის წესებს: ისინი საშუალებას გაძლევთ, იცოდეთ ზოგიერთი რიცხვის ლოგარითმები, იპოვოთ მათი ნამრავლის ლოგარითმები, კოეფიციენტები და თითოეული მათგანის სიმძლავრე.

თვისება 4 (პროდუქტის ლოგარითმის წესი). რამდენიმე დადებითი რიცხვის ნამრავლის ლოგარითმი მოცემულ ფუძეზე ჯამის ტოლიამ რიცხვების ლოგარითმები იმავე ფუძემდე.

მტკიცებულება. მოცემული რიცხვები დადებითი იყოს.

მათი ნამრავლის ლოგარითმისთვის ჩვენ ვწერთ ტოლობას (26.1), რომელიც განსაზღვრავს ლოგარითმს:

აქედან ვიპოვით

პირველი და ბოლო გამონათქვამების მაჩვენებლების შედარებისას მივიღებთ საჭირო ტოლობას:

გაითვალისწინეთ, რომ პირობა აუცილებელია; ორი ნამრავლის ლოგარითმი უარყოფითი რიცხვებიაზრი აქვს, მაგრამ ამ შემთხვევაში მივიღებთ

ზოგადად, თუ რამდენიმე ფაქტორის ნამრავლი დადებითია, მაშინ მისი ლოგარითმი უდრის ამ ფაქტორების აბსოლუტური მნიშვნელობების ლოგარითმების ჯამს.

თვისება 5 (რაოდენობების ლოგარითმების აღების წესი). დადებითი რიცხვების კოეფიციენტის ლოგარითმი სხვაობის ტოლიდივიდენდისა და გამყოფის ლოგარითმები, რომლებიც აღებულია იმავე ბაზაზე. მტკიცებულება. ჩვენ მუდმივად ვპოულობთ

ქ.ე.დ.

თვისება 6 (ძალის ლოგარითმის წესი). ზოგიერთი დადებითი რიცხვის სიმძლავრის ლოგარითმი ლოგარითმის ტოლიეს რიცხვი გამრავლებული მაჩვენებელზე.

მტკიცებულება. მოდით კვლავ დავწეროთ ნომრის ძირითადი იდენტიფიკაცია (26.1):

ქ.ე.დ.

შედეგი. დადებითი რიცხვის ფესვის ლოგარითმი ლოგარითმის ტოლია რადიკალური რიცხვი, გაყოფილი ფესვის მაჩვენებელზე:

ამ დასკვნის მართებულობა შეიძლება დადასტურდეს თვისების 6-ის წარმოდგენით და გამოყენებით.

მაგალითი 4. აიღეთ ლოგარითმი a-ს დასაფუძნებლად:

ა) (ვარაუდობენ, რომ ყველა მნიშვნელობა b, c, d, e დადებითია);

ბ) (ვარაუდობენ, რომ ).

გამოსავალი, ა) მოსახერხებელია ამ გამოსახულებაში წილადის ხარისხებზე გადასვლა:

ტოლობების საფუძველზე (26.5)-(26.7), ახლა შეგვიძლია დავწეროთ:

შევნიშნავთ, რომ რიცხვების ლოგარითმებზე უფრო მარტივი მოქმედებები სრულდება, ვიდრე თავად რიცხვებზე: რიცხვების გამრავლებისას ემატება მათი ლოგარითმები, გაყოფისას აკლება და ა.შ.

სწორედ ამიტომ ლოგარითმები გამოიყენება გამოთვლით პრაქტიკაში (იხ. პუნქტი 29).

ლოგარითმის საპირისპირო მოქმედებას ეწოდება პოტენციაცია, კერძოდ: პოტენციაცია არის მოქმედება, რომლითაც რიცხვი თავად არის ნაპოვნი რიცხვის მოცემული ლოგარითმიდან. არსებითად, გაძლიერება არ არის რაიმე განსაკუთრებული მოქმედება: ის მოდის ბაზის ძლიერებამდე ამაღლებაზე ( ლოგარითმის ტოლინომრები). ტერმინი „პოტენციაცია“ შეიძლება ჩაითვალოს ტერმინ „გაძლიერების“ სინონიმად.

გაძლიერებისას უნდა გამოიყენოთ წესები ლოგარითმაციის წესების საპირისპიროდ: შეცვალეთ ლოგარითმების ჯამი ნამრავლის ლოგარითმით, ლოგარითმების სხვაობა კოეფიციენტის ლოგარითმით და ა.შ. კერძოდ, თუ წინ არის ფაქტორი. ლოგარითმის ნიშნის, მაშინ გაძლიერებისას უნდა გადავიდეს ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ მყოფი მაჩვენებლების ხარისხზე.

მაგალითი 5. იპოვეთ N, თუ ცნობილია, რომ

გამოსავალი. ამ ტოლობის მარჯვენა მხარეს ლოგარითმების ნიშნების წინ მდგარ ფაქტორებს 2/3 და 1/3 გადავიტანთ ამ ლოგარითმების ნიშნების ქვეშ არსებულ მაჩვენებლებში; ვიღებთ

ახლა ჩვენ ვცვლით ლოგარითმების სხვაობას კოეფიციენტის ლოგარითმით:

ამ ტოლობის ჯაჭვში ბოლო წილადის მისაღებად, ჩვენ გავათავისუფლეთ წინა წილადი მნიშვნელობის ირაციონალურობისაგან (პუნქტი 25).

თვისება 7. თუ ფუძე ერთზე მეტია, მაშინ უფრო დიდი რაოდენობააქვს უფრო დიდი ლოგარითმი (და უფრო მცირე რიცხვს აქვს პატარა), თუ ფუძე ერთზე ნაკლებია, მაშინ უფრო დიდ რიცხვს აქვს უფრო მცირე ლოგარითმი (და პატარა რიცხვს აქვს უფრო დიდი).

ეს თვისება ასევე ჩამოყალიბებულია უტოლობათა ლოგარითმების აღების წესით, რომელთა ორივე მხარე დადებითია:

უტოლობების ერთზე მეტ ფუძეზე ლოგარითმების შენარჩუნებისას უტოლობის ნიშანი შენარჩუნებულია, ხოლო ერთზე ნაკლებ ფუძეზე ლოგარითმისას უტოლობის ნიშანი იცვლება საპირისპიროდ (იხ. აგრეთვე პუნქტი 80).

მტკიცებულება ეფუძნება 5 და 3 თვისებებს. განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც თუ , მაშინ და ლოგარითმების აღებით მივიღებთ

(a და N/M დევს ერთიანობის ერთ მხარეს). აქედან

შემდეგ შემთხვევაში, მკითხველი თავად გაარკვევს.

როგორც საზოგადოება განვითარდა და წარმოება უფრო რთული გახდა, მათემატიკაც განვითარდა. მოძრაობა მარტივიდან რთულამდე. ჩვეულებრივი აღრიცხვიდან შეკრებისა და გამოკლების მეთოდის გამოყენებით, მათი განმეორებითი გამეორებით, მივედით გამრავლებისა და გაყოფის ცნებამდე. გამრავლების განმეორებითი მოქმედების შემცირება გახდა ექსპონენტაციის კონცეფცია. რიცხვების დამოკიდებულების პირველი ცხრილები ფუძეზე და გაძლიერების რაოდენობაზე შეადგინა ჯერ კიდევ VIII საუკუნეში ინდოელმა მათემატიკოსმა ვარასენამ. მათგან შეგიძლიათ დაითვალოთ ლოგარითმების გაჩენის დრო.

ისტორიული ჩანახატი

მე-16 საუკუნეში ევროპის აღორძინებამ ასევე ხელი შეუწყო მექანიკის განვითარებას. თ საჭირო იყო დიდი რაოდენობის გამოთვლადაკავშირებულია გამრავლებასთან და გაყოფასთან მრავალნიშნა რიცხვები. უძველესი მაგიდები დიდ მომსახურებას აძლევდა. მათ შესაძლებელი გახადეს რთული ოპერაციების ჩანაცვლება უფრო მარტივი - შეკრება და გამოკლება. დიდი წინგადადგმული ნაბიჯი იყო მათემატიკოს მაიკლ შტიფელის ნაშრომი, რომელიც გამოქვეყნდა 1544 წელს, რომელშიც მან გააცნობიერა მრავალი მათემატიკოსის იდეა. ამან შესაძლებელი გახადა ცხრილების გამოყენება არა მხოლოდ ხარისხებისთვის ფორმაში მარტივი რიცხვები, არამედ თვითნებური რაციონალებისთვისაც.

1614 წელს შოტლანდიელმა ჯონ ნაპიერმა, რომელიც ავითარებდა ამ იდეებს, პირველად გააცნო ახალი ტერმინი"რიცხვის ლოგარითმი". ახალი რთული მაგიდებისინუსების და კოსინუსების ლოგარითმების, ასევე ტანგენტების გამოსათვლელად. ამან მნიშვნელოვნად შეამცირა ასტრონომების მუშაობა.

დაიწყო ახალი ცხრილების გამოჩენა, რომლებიც წარმატებით გამოიყენეს მეცნიერებმა მთელი პერიოდის განმავლობაში სამი საუკუნე. ბევრი დრო გავიდა, სანამ ალგებრაში ახალმა ოპერაციამ დასრულებული ფორმა შეიძინა. მოცემულია ლოგარითმის განმარტება და შესწავლილი იქნა მისი თვისებები.

მხოლოდ მე-20 საუკუნეში, კალკულატორისა და კომპიუტერის მოსვლასთან ერთად, კაცობრიობამ მიატოვა უძველესი ცხრილები, რომლებიც წარმატებით მუშაობდნენ მე-13 საუკუნეში.

დღეს b-ის ლოგარითმს ვუწოდებთ a-ს დასაფუძნებლად x რიცხვს, რომელიც არის a-ის ძალა b-ის გასაკეთებლად. ეს იწერება ფორმულის სახით: x = log a(b).

მაგალითად, log 3(9) იქნება 2-ის ტოლი. ეს აშკარაა, თუ დაიცავთ განმარტებას. თუ 3-ს ავწევთ 2-ის ხარისხზე, მივიღებთ 9-ს.

ამრიგად, ჩამოყალიბებული განმარტება ადგენს მხოლოდ ერთ შეზღუდვას: რიცხვები a და b უნდა იყოს რეალური.

ლოგარითმების სახეები

კლასიკურ განმარტებას რეალური ლოგარითმი ეწოდება და რეალურად არის a x = b განტოლების ამონახსნი. ვარიანტი a = 1 არის მოსაზღვრე და არ არის საინტერესო. ყურადღება: 1 ნებისმიერი სიმძლავრის მიმართ უდრის 1-ს.

ლოგარითმის რეალური მნიშვნელობაგანისაზღვრება მხოლოდ მაშინ, როდესაც ბაზა და არგუმენტი მეტია 0-ზე და ბაზა არ უნდა იყოს 1-ის ტოლი.

განსაკუთრებული ადგილი მათემატიკის სფეროშიითამაშეთ ლოგარითმები, რომლებიც დასახელდება მათი ბაზის ზომის მიხედვით:

წესები და შეზღუდვები

ლოგარითმების ფუნდამენტური თვისებაა წესი: ნამრავლის ლოგარითმი ლოგარითმული ჯამის ტოლია. log abp = log a(b) + log a(p).

როგორც ამ განცხადების ვარიანტი იქნება: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), კოეფიციენტის ფუნქცია უდრის ფუნქციების სხვაობას.

წინა ორი წესიდან ადვილად ჩანს, რომ: log a(b p) = p * log a(b).

სხვა თვისებები მოიცავს:

კომენტარი. არ დაუშვათ ჩვეულებრივი შეცდომა - ჯამის ლოგარითმი არ არის ლოგარითმების ჯამის ტოლი.

მრავალი საუკუნის განმავლობაში, ლოგარითმის პოვნის ოპერაცია საკმაოდ შრომატევადი ამოცანა იყო. მათემატიკოსებმა გამოიყენეს ცნობილი ფორმულა ლოგარითმული თეორიამრავალწევრი გაფართოება:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), სადაც n არის 1-ზე მეტი ნატურალური რიცხვი, რომელიც განსაზღვრავს გამოთვლის სიზუსტეს.

სხვა საფუძვლებით ლოგარითმები გამოითვალეს ერთი ფუძიდან მეორეზე გადასვლის თეორემისა და პროდუქტის ლოგარითმის თვისების გამოყენებით.

ვინაიდან ეს მეთოდი ძალიან შრომატევადია და როდესაც გადაწყვეტს პრაქტიკული პრობლემები რთული განსახორციელებელი, გამოვიყენეთ ლოგარითმების წინასწარ შედგენილი ცხრილები, რამაც საგრძნობლად დააჩქარა მთელი სამუშაო.

ზოგიერთ შემთხვევაში გამოიყენებოდა სპეციალურად შექმნილი ლოგარითმის გრაფიკები, რომლებიც ნაკლებ სიზუსტეს აძლევდნენ, მაგრამ საგრძნობლად აჩქარებდნენ ძიებას სასურველი ღირებულება. y = log a(x) ფუნქციის მრუდი, რომელიც აგებულია რამდენიმე წერტილზე, საშუალებას გაძლევთ გამოიყენოთ ჩვეულებრივი სახაზავი ფუნქციის მნიშვნელობის საპოვნელად ნებისმიერ სხვა წერტილში. ინჟინრები დიდი დროამ მიზნით გამოიყენებოდა ე.წ.

მე-17 საუკუნეში გაჩნდა პირველი დამხმარე ანალოგური გამოთვლითი პირობები, რომელიც მე-19 საუკუნედასრულებული სახე შეიძინა. ყველაზე წარმატებულ მოწყობილობას ეწოდა სლაიდის წესი. მოწყობილობის სიმარტივის მიუხედავად, მისმა გარეგნობამ მნიშვნელოვნად დააჩქარა ყველა პროცესი საინჟინრო გამოთვლებიდა ეს ძნელია გადაჭარბებული შეფასება. ამჟამად, ცოტა ადამიანი იცნობს ამ მოწყობილობას.

კალკულატორებისა და კომპიუტერების გამოჩენამ ნებისმიერი სხვა მოწყობილობის გამოყენება უაზრო გახადა.

განტოლებები და უტოლობა

გადაწყვეტილებისთვის სხვადასხვა განტოლებებიდა უტოლობები ლოგარითმების გამოყენებით, გამოიყენება შემდეგი ფორმულები:

• გადასვლა ერთი ბაზიდან მეორეზე: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• წინა ვარიანტის შედეგად: log a(b) = 1 / log b(a).

უტოლობების გადასაჭრელად სასარგებლოა ვიცოდეთ:

• ლოგარითმის მნიშვნელობა დადებითი იქნება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ბაზა და არგუმენტი ერთზე დიდი ან ნაკლებია; თუ ერთი პირობა მაინც დაირღვა, ლოგარითმის მნიშვნელობა უარყოფითი იქნება.
• თუ ლოგარითმის ფუნქცია გამოიყენება უტოლობის მარჯვენა და მარცხენა მხარეს, ხოლო ლოგარითმის ფუძე ერთზე მეტია, მაშინ უტოლობის ნიშანი შენარჩუნებულია; წინააღმდეგ შემთხვევაში იცვლება.

პრობლემების ნიმუში

განვიხილოთ ლოგარითმების გამოყენების რამდენიმე ვარიანტი და მათი თვისებები. მაგალითები განტოლებების ამოხსნით:

განვიხილოთ ლოგარითმის სიმძლავრეში მოთავსების ვარიანტი:

• ამოცანა 3. გამოთვალეთ 25^log 5(3). ამოხსნა: პრობლემის პირობებში ჩანაწერი მსგავსია (5^2)^log5(3) ან 5^(2 * log 5(3)). მოდით სხვანაირად ჩავწეროთ: 5^log 5(3*2), ან რიცხვის კვადრატი, როგორც ფუნქციის არგუმენტი, შეიძლება დაიწეროს როგორც თავად ფუნქციის კვადრატი (5^log 5(3))^2. ლოგარითმების თვისებების გამოყენებით, ეს გამოხატულება უდრის 3^2. პასუხი: გაანგარიშების შედეგად ვიღებთ 9-ს.

პრაქტიკული გამოყენება

როგორც წმინდა მათემატიკური ინსტრუმენტი, ის შორს არის ნამდვილი ცხოვრებარომ ლოგარითმა მოულოდნელად შეიძინა დიდი მნიშვნელობაობიექტების აღწერისთვის რეალური სამყარო. ძნელია იპოვოთ მეცნიერება, სადაც ის არ გამოიყენება. ეს სრულად ეხება არა მხოლოდ ბუნებრივ, არამედ ჰუმანიტარულ ცოდნის სფეროებსაც.

ლოგარითმული დამოკიდებულებები

აქ მოცემულია რიცხვითი დამოკიდებულების რამდენიმე მაგალითი:

მექანიკა და ფიზიკა

ისტორიულად, მექანიკა და ფიზიკა ყოველთვის ვითარდებოდა გამოყენებით მათემატიკური მეთოდებიკვლევას და იმავდროულად ემსახურებოდა მათემატიკის, მათ შორის ლოგარითმების განვითარების სტიმულს. ფიზიკის კანონების უმეტესობის თეორია დაწერილია მათემატიკის ენაზე. მოვიყვანოთ აღწერის მხოლოდ ორი მაგალითი ფიზიკური კანონებილოგარითმის გამოყენებით.

ისეთი რთული სიდიდის გამოთვლის პრობლემა, როგორიც არის რაკეტის სიჩქარე, შეიძლება გადაწყდეს ციოლკოვსკის ფორმულის გამოყენებით, რომელმაც საფუძველი ჩაუყარა კოსმოსის კვლევის თეორიას:

V = I * ln (M1/M2), სადაც

• V არის თვითმფრინავის საბოლოო სიჩქარე.
• I - ძრავის სპეციფიკური იმპულსი.
• M 1 - რაკეტის საწყისი მასა.
• M 2 – საბოლოო მასა.

სხვა მნიშვნელოვანი მაგალითი - ეს გამოიყენება კიდევ ერთი დიდი მეცნიერის მაქს პლანკის ფორმულაში, რომელიც ემსახურება თერმოდინამიკაში წონასწორობის მდგომარეობის შეფასებას.

S = k * ln (Ω), სადაც

• S – თერმოდინამიკური თვისება.
• k – ბოლცმანის მუდმივი.
• Ω არის სხვადასხვა მდგომარეობის სტატისტიკური წონა.

Ქიმია

ნაკლებად აშკარაა ფორმულების გამოყენება ქიმიაში, რომლებიც შეიცავს ლოგარითმების თანაფარდობას. მხოლოდ ორი მაგალითი მოვიყვანოთ:

• ნერნსტის განტოლება, გარემოს რედოქსული პოტენციალის მდგომარეობა ნივთიერებების აქტივობასთან და წონასწორობის მუდმივთან მიმართებაში.
• ისეთი მუდმივების გამოთვლა, როგორიცაა ავტოლიზის ინდექსი და ხსნარის მჟავიანობა, ასევე შეუძლებელია ჩვენი ფუნქციის გარეშე.

ფსიქოლოგია და ბიოლოგია

და საერთოდ არ არის გასაგები, რა კავშირი აქვს მას ფსიქოლოგიას. გამოდის, რომ შეგრძნების სიძლიერე კარგად არის აღწერილი ამ ფუნქციით, როგორც სტიმულის ინტენსივობის მნიშვნელობის შებრუნებული თანაფარდობა ქვედა ინტენსივობის მნიშვნელობასთან.

ზემოთ მოყვანილი მაგალითების შემდეგ გასაკვირი აღარ არის, რომ ლოგარითმების თემა ფართოდ გამოიყენება ბიოლოგიაში. მთელი ტომები შეიძლება დაიწეროს ლოგარითმული სპირალების შესაბამისი ბიოლოგიური ფორმების შესახებ.

სხვა სფეროები

როგორც ჩანს, სამყაროს არსებობა შეუძლებელია ამ ფუნქციასთან კავშირის გარეშე და ის მართავს ყველა კანონს. განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც ბუნების კანონები დაკავშირებულია გეომეტრიული პროგრესია. ღირს MatProfi ვებსაიტზე მიბრუნება და ასეთი მაგალითები ბევრია საქმიანობის შემდეგ სფეროებში:

სია შეიძლება იყოს უსასრულო. ამ ფუნქციის ძირითადი პრინციპების დაუფლების შემდეგ, შეგიძლიათ ჩაძიროთ უსაზღვრო სიბრძნის სამყაროში.

რა არის ლოგარითმი?

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალები 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც ძალიან "არც ძალიან..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

რა არის ლოგარითმი? როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები? ეს კითხვები ბევრ კურსდამთავრებულს აბნევს. ტრადიციულად, ლოგარითმების თემა განიხილება რთული, გაუგებარი და საშინელი. განსაკუთრებით განტოლებები ლოგარითმებით.

ეს აბსოლუტურად არ შეესაბამება სიმართლეს. აბსოლუტურად! არ გჯერა? ჯარიმა. ახლა, სულ რაღაც 10-20 წუთში თქვენ:

1. გაიგებთ რა არის ლოგარითმი.

2. ისწავლეთ მთელი კლასის ამოხსნა ექსპონენციალური განტოლებები. მაშინაც კი, თუ მათ შესახებ არაფერი გსმენიათ.

3. ისწავლეთ მარტივი ლოგარითმების გამოთვლა.

უფრო მეტიც, ამისათვის თქვენ მხოლოდ უნდა იცოდეთ გამრავლების ცხრილი და როგორ ავიყვანოთ რიცხვი ხარისხამდე...

ვგრძნობ, რომ ეჭვი გეპარება... კარგი, კარგი, მონიშნე დრო! წადი!

პირველ რიგში, ამოხსენით ეს განტოლება თქვენს თავში:

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

მოგეხსენებათ, გამონათქვამების ძალებით გამრავლებისას მათი მაჩვენებლები ყოველთვის იკრიბება (a b *a c = a b+c). ეს მათემატიკური კანონიმიღებული იქნა არქიმედეს მიერ, მოგვიანებით კი, მე-8 საუკუნეში, მათემატიკოსმა ვირასენმა შექმნა მთელი რიცხვების მაჩვენებლების ცხრილი. სწორედ ისინი ემსახურებოდნენ ლოგარითმების შემდგომ აღმოჩენას. ამ ფუნქციის გამოყენების მაგალითები შეგიძლიათ ნახოთ თითქმის ყველგან, სადაც თქვენ უნდა გაამარტივოთ რთული გამრავლება მარტივი შეკრებით. თუ 10 წუთს დაუთმობთ ამ სტატიის კითხვას, ჩვენ აგიხსნით რა არის ლოგარითმები და როგორ იმუშაოთ მათთან. მარტივი და ხელმისაწვდომი ენით.

განმარტება მათემატიკაში

ლოგარითმი არის შემდეგი ფორმის გამოხატულება: log a b=c, ანუ ნებისმიერი არაუარყოფითი რიცხვის (ანუ ნებისმიერი დადებითი) ლოგარითმი "b" მის ფუძეზე "a" ითვლება "c" ხარისხად. ” რომელზედაც უნდა გაიზარდოს ფუძე “a”, რათა საბოლოოდ მივიღოთ მნიშვნელობა “b”. გავაანალიზოთ ლოგარითმი მაგალითების გამოყენებით, ვთქვათ არის გამონათქვამი log 2 8. როგორ მოვძებნოთ პასუხი? ეს ძალიან მარტივია, თქვენ უნდა იპოვოთ სიმძლავრე ისეთი, რომ 2-დან საჭირო სიმძლავრემდე მიიღოთ 8. თქვენს თავში გარკვეული გამოთვლების გაკეთების შემდეგ მივიღებთ რიცხვს 3! და ეს მართალია, რადგან 2 3-ის ხარისხზე იძლევა პასუხს, როგორც 8.

ლოგარითმების სახეები

ბევრი მოსწავლისა და სტუდენტისთვის ეს თემა რთული და გაუგებარი ჩანს, მაგრამ სინამდვილეში ლოგარითმები არც ისე საშინელია, მთავარია მათი ზოგადი მნიშვნელობის გაგება და მათი თვისებების და ზოგიერთი წესის დამახსოვრება. არის სამი ცალკეული სახეობებილოგარითმული გამონათქვამები:

1. ბუნებრივი ლოგარითმი ln a, სადაც საფუძველი არის ეილერის რიცხვი (e = 2.7).
2. ათწილადი a, სადაც ფუძე არის 10.
3. ნებისმიერი b რიცხვის ლოგარითმი a>1-მდე.

თითოეული მათგანი წყდება სტანდარტული გზით, მათ შორის გამარტივება, შემცირება და შემდგომი შემცირება ერთ ლოგარითმზე ლოგარითმული თეორემების გამოყენებით. ლოგარითმების სწორი მნიშვნელობების მისაღებად, მათი ამოხსნისას უნდა გახსოვდეთ მათი თვისებები და მოქმედებების თანმიმდევრობა.

წესები და გარკვეული შეზღუდვები

მათემატიკაში არის რამდენიმე წესი-შეზღუდვა, რომლებიც მიღებულია აქსიომად, ანუ ისინი არ ექვემდებარება განხილვას და არის ჭეშმარიტება. მაგალითად, შეუძლებელია რიცხვების გაყოფა ნულზე და ასევე შეუძლებელია უარყოფითი რიცხვების ლუწი ფესვის ამოღება. ლოგარითმებს ასევე აქვთ საკუთარი წესები, რომელთა დაცვით შეგიძლიათ მარტივად ისწავლოთ მუშაობა გრძელი და ტევადი ლოგარითმული გამონათქვამებითაც კი:

• ფუძე "a" ყოველთვის უნდა იყოს ნულზე მეტი და არა 1-ის ტოლი, წინააღმდეგ შემთხვევაში გამოთქმა დაკარგავს თავის მნიშვნელობას, რადგან "1" და "0" ნებისმიერი ხარისხით ყოველთვის მათი მნიშვნელობების ტოლია;
• თუ a > 0, მაშინ a b >0, გამოდის, რომ „c“ ასევე უნდა იყოს ნულზე მეტი.

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები?

მაგალითად, დავალება მოცემულია პასუხის პოვნა განტოლებაზე 10 x = 100. ეს ძალიან მარტივია, თქვენ უნდა აირჩიოთ სიმძლავრე ათი რიცხვის აწევით, რომლითაც მივიღებთ 100-ს. ეს, რა თქმა უნდა, არის 10 2 = 100.

ახლა წარმოვიდგინოთ ეს გამონათქვამი ლოგარითმული ფორმით. ვიღებთ log 10 100 = 2. ლოგარითმების ამოხსნისას ყველა მოქმედება პრაქტიკულად იყრის თავს იმ სიმძლავრის საპოვნელად, რომელზედაც საჭიროა ლოგარითმის ფუძის შეყვანა მოცემული რიცხვის მისაღებად.

უცნობი ხარისხის მნიშვნელობის ზუსტად დასადგენად, თქვენ უნდა ისწავლოთ როგორ იმუშაოთ გრადუსების ცხრილთან. ეს ასე გამოიყურება:

როგორც ხედავთ, ზოგიერთი მაჩვენებლის გამოცნობა შესაძლებელია ინტუიციურად, თუ თქვენ გაქვთ ტექნიკური გონება და ცოდნა გამრავლების ცხრილის შესახებ. თუმცა იმისთვის დიდი ღირებულებებიდაგჭირდებათ ხარისხების ცხრილი. მისი გამოყენება შეუძლიათ მათაც, ვინც საერთოდ არაფერი იცის კომპლექსის შესახებ მათემატიკური თემები. მარცხენა სვეტი შეიცავს რიცხვებს (ბაზა a), რიცხვების ზედა მწკრივი არის c სიმძლავრის მნიშვნელობა, რომელზედაც ამაღლებულია რიცხვი. კვეთაზე, უჯრედები შეიცავს ნომრის მნიშვნელობებს, რომლებიც პასუხია (a c =b). ავიღოთ, მაგალითად, პირველივე უჯრედი 10-ით და კვადრატში მივიღოთ მნიშვნელობა 100, რომელიც მითითებულია ჩვენი ორი უჯრედის გადაკვეთაზე. ყველაფერი ისეთი მარტივი და მარტივია, რომ ყველაზე ჭეშმარიტი ჰუმანისტიც კი მიხვდება!

განტოლებები და უტოლობა

გამოდის, რომ გარკვეულ პირობებში მაჩვენებლის მაჩვენებელი ლოგარითმია. აქედან გამომდინარე, ნებისმიერი მათემატიკური რიცხვითი გამონათქვამი შეიძლება დაიწეროს ლოგარითმული ტოლობის სახით. მაგალითად, 3 4 = 81 შეიძლება ჩაიწეროს, როგორც 81-ის მე-3 ლოგარითმი, რომელიც ტოლია ოთხს (log 3 81 = 4). ამისთვის უარყოფითი ძალებიწესები იგივეა: 2 -5 = 1/32 ვწერთ ლოგარითმად, ვიღებთ log 2 (1/32) = -5. მათემატიკის ერთ-ერთი ყველაზე მომხიბვლელი განყოფილება არის "ლოგარითმების" თემა. განტოლებების მაგალითებსა და ამონახსნებს განვიხილავთ ქვემოთ, მათი თვისებების შესწავლისთანავე. ახლა ვნახოთ, როგორ გამოიყურება უტოლობები და როგორ განვასხვავოთ ისინი განტოლებისგან.

მოცემულია შემდეგი ფორმის გამოხატულება: log 2 (x-1) > 3 - ეს არის ლოგარითმული უტოლობა, ვინაიდან უცნობი მნიშვნელობა „x“ ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ იმყოფება. და ასევე გამონათქვამში შედარებულია ორი სიდიდე: სასურველი რიცხვის ლოგარითმი ორზე მეტია, ვიდრე სამი.

ყველაზე მნიშვნელოვანი განსხვავება ლოგარითმულ განტოლებებსა და უტოლობას შორის არის ის, რომ განტოლებები ლოგარითმებით (მაგალითად, ლოგარითმი 2 x = √9) გულისხმობს ერთ ან მეტ კონკრეტულ პასუხს. რიცხვითი მნიშვნელობები, ხოლო უტოლობების ამოხსნისას განისაზღვრება რეგიონად მისაღები ღირებულებებიდა ამ ფუნქციის წყვეტის წერტილები. შედეგად, პასუხი არ არის მარტივი ნაკრები ინდივიდუალური ნომრებიროგორც პასუხში არის განტოლება, ხოლო a არის უწყვეტი სერია ან რიცხვების სიმრავლე.

ძირითადი თეორემები ლოგარითმების შესახებ

ლოგარითმის მნიშვნელობების პოვნის პრიმიტიული ამოცანების გადაჭრისას, მისი თვისებები შეიძლება არ იყოს ცნობილი. თუმცა, როდესაც საქმე ეხება ლოგარითმულ განტოლებებს ან უტოლობას, უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია ლოგარითმების ყველა ძირითადი თვისების მკაფიოდ გაგება და პრაქტიკაში გამოყენება. განტოლებათა მაგალითებს განვიხილავთ ჯერ უფრო დეტალურად.

1. ძირითადი იდენტურობა ასე გამოიყურება: a logaB =B. იგი გამოიყენება მხოლოდ მაშინ, როდესაც a მეტია 0-ზე, არ უდრის ერთს და B არის ნულზე მეტი.
2. პროდუქტის ლოგარითმი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი ფორმულით: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. ამ შემთხვევაში სავალდებულო პირობაა: d, s 1 და s 2 > 0; a≠1. ამ ლოგარითმული ფორმულის დადასტურება შეგიძლიათ მაგალითებითა და ამოხსნით. მოდით log a s 1 = f 1 და log a s 2 = f 2, შემდეგ a f1 = s 1, a f2 = s 2. მივიღებთ, რომ s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (თვისებები გრადუსი ), და შემდეგ განმარტებით: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, რაც დასამტკიცებლად იყო საჭირო.
3. კოეფიციენტის ლოგარითმი ასე გამოიყურება: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. ფორმულის სახით თეორემა იღებს შემდეგ ფორმას: log a q b n = n/q log a b.

ამ ფორმულას ეწოდება "ლოგარითმის ხარისხის თვისება". ის წააგავს ჩვეულებრივი ხარისხების თვისებებს და გასაკვირი არ არის, რადგან ყველა მათემატიკა ემყარება ბუნებრივ პოსტულატებს. მოდით შევხედოთ მტკიცებულებას.

მოდით log a b = t, გამოდის t =b. თუ ორივე ნაწილს ავწევთ m ხარისხზე: a tn = b n;

მაგრამ რადგან a tn = (a q) nt/q = b n, ამიტომ log a q b n = (n*t)/t, მაშინ log a q b n = n/q log a b. თეორემა დადასტურდა.

პრობლემებისა და უთანასწორობის მაგალითები

ლოგარითმებზე ამოცანების ყველაზე გავრცელებული ტიპები არის განტოლებებისა და უტოლობების მაგალითები. ისინი გვხვდება თითქმის ყველა პრობლემურ წიგნში და ასევე არის მათემატიკის გამოცდების აუცილებელი ნაწილი. უნივერსიტეტში ჩაბარებისთვის ან ჩაბარებისთვის მისაღები გამოცდებიმათემატიკაში თქვენ უნდა იცოდეთ როგორ გადაჭრათ ასეთი ამოცანები სწორად.

სამწუხაროდ, გადაჭრისა და განსაზღვრის ერთიანი გეგმა ან სქემა არ არსებობს უცნობი ღირებულებაარ არსებობს ლოგარითმი, მაგრამ შეგიძლიათ გამოიყენოთ იგი ყველა მათემატიკური უტოლობის ან ლოგარითმული განტოლებისთვის. გარკვეული წესები. უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გაარკვიოთ, შეიძლება თუ არა გამოხატვის გამარტივება ან გამოიწვიოს იერი. გაამარტივეთ გრძელი ლოგარითმული გამონათქვამებიშესაძლებელია მათი თვისებების სწორად გამოყენების შემთხვევაში. მოდით გავეცნოთ მათ სწრაფად.

როცა გადაწყვეტს ლოგარითმული განტოლებები, უნდა განვსაზღვროთ რა ტიპის ლოგარითმი გვაქვს: მაგალითის გამოხატულება შეიძლება შეიცავდეს ბუნებრივ ლოგარითმს ან ათობითი.

აქ არის მაგალითები ln100, ln1026. მათი გამოსავალი ემყარება იმ ფაქტს, რომ მათ უნდა დაადგინონ სიმძლავრე, რომლის ფუძე 10 ტოლი იქნება, შესაბამისად, 100 და 1026. გადაწყვეტილებისთვის ბუნებრივი ლოგარითმებიუნდა მიმართო ლოგარითმული იდენტობებიან მათი თვისებები. მოდით შევხედოთ გამოსავალს მაგალითებით ლოგარითმული პრობლემებიგანსხვავებული ტიპები.

როგორ გამოვიყენოთ ლოგარითმის ფორმულები: მაგალითებითა და გადაწყვეტილებებით

ასე რომ, მოდით შევხედოთ ლოგარითმების შესახებ ძირითადი თეორემების გამოყენების მაგალითებს.

1. პროდუქტის ლოგარითმის თვისება შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამოცანებში, სადაც აუცილებელია b რიცხვის დიდი მნიშვნელობის დაშლა უფრო მარტივ ფაქტორებად. მაგალითად, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. პასუხი არის 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - როგორც ხედავთ, ლოგარითმის სიმძლავრის მეოთხე თვისების გამოყენებით, ჩვენ მოვახერხეთ ერთი შეხედვით რთული და ამოუხსნელი გამოსახულების ამოხსნა. თქვენ უბრალოდ უნდა შეაფასოთ საფუძველი და შემდეგ ამოიღოთ მაჩვენებლების მნიშვნელობები ლოგარითმის ნიშნიდან.

დავალებები ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან

ლოგარითმები ხშირად გვხვდება მისაღები გამოცდები, განსაკუთრებით ბევრი ლოგარითმული პრობლემა ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში ( სახელმწიფო გამოცდასკოლის ყველა დამამთავრებელთათვის). როგორც წესი, ეს ამოცანები წარმოდგენილია არა მხოლოდ A ნაწილში (გამოცდის ყველაზე მარტივი ტესტი), არამედ C ნაწილში (ყველაზე რთული და მოცულობითი ამოცანები). გამოცდა მოითხოვს ზუსტ და სრულყოფილ ცოდნას თემის „ბუნებრივი ლოგარითმები“.

მაგალითები და პრობლემების გადაწყვეტა აღებულია ოფიციალური პირებისგან ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ვარიანტები. ვნახოთ, როგორ წყდება ასეთი ამოცანები.

მოცემული ჟურნალი 2 (2x-1) = 4. ამოხსნა:
მოდით გადავიწეროთ გამონათქვამი, გავამარტივოთ იგი ცოტა log 2 (2x-1) = 2 2, ლოგარითმის განმარტებით მივიღებთ, რომ 2x-1 = 2 4, შესაბამისად 2x = 17; x = 8.5.

• უმჯობესია, ყველა ლოგარითმი ერთსა და იმავე ფუძეზე შევიყვანოთ, რათა გამოსავალი არ იყოს რთული და დამაბნეველი.
• ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ მყოფი ყველა გამონათქვამი მითითებულია, როგორც დადებითი, ამიტომ, როდესაც გამოხატვის გამოხატულება, რომელიც არის ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და მისი ფუძე ამოღებულია მულტიპლიკატორად, ლოგარითმის ქვეშ დარჩენილი გამოხატულება უნდა იყოს დადებითი.