მეორე რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა. მეორე რიგის წრფივი არაერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტებით

საგანმანათლებლო დაწესებულება "ბელორუსის სახელმწიფო

სასოფლო-სამეურნეო აკადემია"

უმაღლესი მათემატიკის კათედრა

გაიდლაინები

საკორესპონდენტო განათლების ბუღალტერიის ფაკულტეტის (NISPO) სტუდენტების მიერ თემის „მეორე რიგის ხაზოვანი დიფერენციალური განტოლებების“ შესწავლა.

გორკი, 2013 წ

ხაზოვანი დიფერენციალური განტოლებები

მეორე რიგის მუდმივებითკოეფიციენტები

წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებები

მეორე რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლება მუდმივი კოეფიციენტები ფორმის განტოლებას უწოდებენ

იმათ. განტოლება, რომელიც შეიცავს სასურველ ფუნქციას და მის წარმოებულებს მხოლოდ პირველ ხარისხში და არ შეიცავს მათ პროდუქტებს. ამ განტოლებაში და
- რამდენიმე რიცხვი და ფუნქცია
მოცემულია გარკვეული ინტერვალით
.

თუ
ინტერვალზე
, მაშინ განტოლება (1) მიიღებს ფორმას

, (2)

და ეწოდება ხაზოვანი ერთგვაროვანი . IN წინააღმდეგ შემთხვევაშიგანტოლება (1) ეწოდება წრფივი არაერთგვაროვანი .

განვიხილოთ რთული ფუნქცია

, (3)

სად
და
- რეალური ფუნქციები. თუ ფუნქცია (3) არის (2) განტოლების რთული ამოხსნა, მაშინ რეალური ნაწილი
და წარმოსახვითი ნაწილი
გადაწყვეტილებები
ცალკე არის იგივე გადაწყვეტილებები ერთგვაროვანი განტოლება. ამრიგად, ყველაფერი ყოვლისმომცველი გადაწყვეტაგანტოლება (2) ქმნის ამ განტოლების ორ რეალურ ამონახსნებს.

ერთგვაროვანი წრფივი განტოლების ამონახსნებს აქვთ შემდეგი თვისებები:

თუ არის (2) განტოლების ამონახსნი, შემდეგ ფუნქცია
, სად თან– თვითნებური მუდმივი ასევე იქნება (2) განტოლების ამონახსნი;

თუ და არის (2) განტოლების ამონახსნები, შემდეგ ფუნქცია
ასევე იქნება (2) განტოლების ამონახსნი;

თუ და არის (2) განტოლების ამონახსნები, შემდეგ მათი წრფივი კომბინაცია
ასევე იქნება (2) განტოლების ამონახსნი, სადაც და
- თვითნებური მუდმივები.

ფუნქციები
და
ეძახიან წრფივად დამოკიდებული ინტერვალზე
თუ ასეთი რიცხვები არსებობს და
, ერთდროულად ნულის ტოლი არ არის, რომ ამ ინტერვალზე ტოლია

თუ თანასწორობა (4) ხდება მხოლოდ მაშინ, როცა
და
, შემდეგ ფუნქციები
და
ეძახიან წრფივი დამოუკიდებელი ინტერვალზე
.

მაგალითი 1 . ფუნქციები
და
არიან წრფივი დამოკიდებულნი, ვინაიდან
მთელ რიცხვთა ხაზზე. ამ მაგალითში
.

მაგალითი 2 . ფუნქციები
და
ისინი წრფივად დამოუკიდებელნი არიან ნებისმიერ ინტერვალზე, რადგან თანასწორობაა
შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც
, და
.

ზოგადი ხსნარის აგება წრფივი ერთგვაროვანი

განტოლებები

განტოლების (2) ზოგადი ამოხსნის მოსაძებნად, თქვენ უნდა იპოვოთ მისი ორი წრფივად დამოუკიდებელი ამონახსნები და . ამ გადაწყვეტილებების ხაზოვანი კომბინაცია
, სად და
არის თვითნებური მუდმივები და მისცემს ზოგად ამოხსნას წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებისთვის.

ჩვენ ვეძებთ (2) განტოლების წრფივად დამოუკიდებელ ამონახსნებს ფორმაში

, (5)

სად - გარკვეული რაოდენობა. მერე
,
. მოდით ჩავანაცვლოთ ეს გამონათქვამები განტოლებაში (2):

ან
.

იმიტომ რომ
, ეს
. ასე რომ ფუნქცია
იქნება (2) განტოლების ამონახსნი თუ დააკმაყოფილებს განტოლებას

. (6)

განტოლება (6) ეწოდება დამახასიათებელი განტოლება (2) განტოლებისთვის. ეს განტოლება არის ალგებრული კვადრატული განტოლება.

დაე და არსებობს ამ განტოლების ფესვები. ისინი შეიძლება იყოს ან რეალური და განსხვავებული, ან რთული, ან რეალური და თანაბარი. განვიხილოთ ეს შემთხვევები.

დაუშვით ფესვები და დამახასიათებელი განტოლებები რეალური და განსხვავებულია. მაშინ (2) განტოლების ამონახსნები იქნება ფუნქციები
და
. ეს გადაწყვეტილებები წრფივი დამოუკიდებელია, რადგან თანასწორობაა
შეიძლება განხორციელდეს მხოლოდ მაშინ, როდესაც
, და
. ამრიგად, (2) განტოლების ზოგად ამონახსას აქვს ფორმა

,

სად და
- თვითნებური მუდმივები.

მაგალითი 3
.

გამოსავალი . ამ დიფერენციაციის დამახასიათებელი განტოლება იქნება
. ეს რომ გადავწყვიტე კვადრატული განტოლება, მოდი ვიპოვოთ მისი ფესვები
და
. ფუნქციები
და
არის დიფერენციალური განტოლების ამონახსნები. ზოგადი გამოსავალიამ განტოლებას აქვს ფორმა
.

კომპლექსური ნომერი ფორმის გამოხატულებას უწოდებენ
, სად და - რეალური რიცხვები, ა
დაურეკა წარმოსახვითი ერთეული. თუ
, შემდეგ ნომერი
ეწოდება წმინდა წარმოსახვითი. თუ
, შემდეგ ნომერი
იდენტიფიცირებულია რეალური რიცხვით .

ნომერი ეწოდება რთული რიცხვის ნამდვილ ნაწილს და - წარმოსახვითი ნაწილი. თუ ორი რთული რიცხვი ერთმანეთისგან განსხვავდება მხოლოდ წარმოსახვითი ნაწილის ნიშნით, მაშინ მათ კონიუგატი ეწოდება:
,
.

მაგალითი 4 . ამოხსენით კვადრატული განტოლება
.

გამოსავალი . დისკრიმინაციული განტოლება
. მერე. ანალოგიურად,
. ამრიგად, ამ კვადრატულ განტოლებას აქვს კონიუგირებული რთული ფესვები.

დაე, დამახასიათებელი განტოლების ფესვები იყოს რთული, ე.ი.
,
, სად
.
,
(2) განტოლების ამონახსნები შეიძლება დაიწეროს ფორმით
,
ან

,
.

.
და
ეილერის ფორმულების მიხედვით

შემდეგ,. როგორც ცნობილია, თუ რთული ფუნქცია არის წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნი, მაშინ ამ განტოლების ამონახსნები არის ამ ფუნქციის როგორც რეალური, ასევე წარმოსახვითი ნაწილები. ამრიგად, (2) განტოლების ამონახსნები იქნება ფუნქციები
და
. თანასწორობიდან გამომდინარე

სად და
- თვითნებური მუდმივები.

შეიძლება შესრულდეს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ , მაშინ ეს გადაწყვეტილებები წრფივად დამოუკიდებელია. მაშასადამე, (2) განტოლების ზოგად ამოხსნას აქვს ფორმა
.

გამოსავალი მაგალითი 5
. იპოვეთ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნი
,
. ფუნქციები
და
არის დიფერენციალური განტოლების წრფივი დამოუკიდებელი ამონახსნები. ამ განტოლების ზოგადი გამოსავალია:

დაე, დამახასიათებელი განტოლების ფესვები იყოს რეალური და ტოლი, ე.ი.
. მაშინ (2) განტოლების ამონახსნები არის ფუნქციები
და
. ეს ამონახსნები წრფივად დამოუკიდებელია, რადგან გამონათქვამი შეიძლება იყოს იდენტურად ნულის ტოლი მხოლოდ მაშინ
და
. ამრიგად, (2) განტოლების ზოგად ამონახსას აქვს ფორმა
.

მაგალითი 6 , მაშინ ეს გადაწყვეტილებები წრფივად დამოუკიდებელია. მაშასადამე, (2) განტოლების ზოგად ამოხსნას აქვს ფორმა
.

გამოსავალი . დამახასიათებელი განტოლება
აქვს თანაბარი ფესვები
. ამ შემთხვევაში, დიფერენციალური განტოლების ხაზოვანი დამოუკიდებელი ამონახსნები არის ფუნქციები
და
. ზოგად გამოსავალს აქვს ფორმა
.

მეორე რიგის არაერთგვაროვანი წრფივი დიფერენციალური განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტებით

და განსაკუთრებული მარჯვენა მხარე

წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლების (1) ზოგადი ამონახსნი უდრის ზოგადი ამონახსნის ჯამს
შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლება და რომელიმე კონკრეტული ამონახსნი
არაჰომოგენური განტოლება:
.

ზოგიერთ შემთხვევაში, არაჰომოგენური განტოლების კონკრეტული ამონახსნი შეიძლება მოიძებნოს უბრალოდ მარჯვენა მხარის სახით.
განტოლება (1). მოდით შევხედოთ შემთხვევებს, როდესაც ეს შესაძლებელია.

იმათ. არაჰომოგენური განტოლების მარჯვენა მხარე არის ხარისხის მრავალწევრი მ. თუ
არ არის დამახასიათებელი განტოლების ფესვი, მაშინ არაჰომოგენური განტოლების კონკრეტული ამონახსნი უნდა ვეძებოთ ხარისხის მრავალწევრის სახით მ, ე.ი.

შანსები
განისაზღვრება კონკრეტული გადაწყვეტის ძიების პროცესში.

თუ
არის დამახასიათებელი განტოლების ფესვი, მაშინ არაჰომოგენური განტოლების კონკრეტული ამონახსნი უნდა ვეძებოთ ფორმით

მაგალითი 7 , მაშინ ეს გადაწყვეტილებები წრფივად დამოუკიდებელია. მაშასადამე, (2) განტოლების ზოგად ამოხსნას აქვს ფორმა
.

გამოსავალი . შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლება მოცემული განტოლებაარის
. მისი დამახასიათებელი განტოლება
აქვს ფესვები
და
. ერთგვაროვანი განტოლების ზოგად ამოხსნას აქვს ფორმა
.

იმიტომ რომ
არ არის დამახასიათებელი განტოლების ფესვი, მაშინ ჩვენ ვეძებთ არაჰომოგენური განტოლების კონკრეტულ ამოხსნას ფუნქციის სახით
. მოდი ვიპოვოთ ამ ფუნქციის წარმოებულები
,
და ჩაანაცვლეთ ისინი ამ განტოლებაში:

ან . მოდით გავატოლოთ კოეფიციენტები ამისთვის და თავისუფალი წევრები:
რომელმაც გადაწყვიტა ამ სისტემას, ვიღებთ
,
. მაშინ არაჰომოგენური განტოლების კონკრეტულ ამოხსნას აქვს ფორმა
და მოცემული არაერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნი იქნება შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნისა და არაერთგვაროვანის კონკრეტული ამოხსნის ჯამი:
.

დაე, არაერთგვაროვან განტოლებას ფორმა ჰქონდეს

თუ
არ არის დამახასიათებელი განტოლების ფესვი, მაშინ არაჰომოგენური განტოლების კონკრეტული ამონახსნი უნდა მოძებნოთ ფორმაში. თუ
არის დამახასიათებელი სიმრავლის განტოლების ფესვი კ (კ= 1 ან კ=2), მაშინ ამ შემთხვევაში არაერთგვაროვანი განტოლების კონკრეტულ ამონახსანს ექნება ფორმა .

მაგალითი 8 , მაშინ ეს გადაწყვეტილებები წრფივად დამოუკიდებელია. მაშასადამე, (2) განტოლების ზოგად ამოხსნას აქვს ფორმა
.

გამოსავალი . შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლებისთვის დამახასიათებელ განტოლებას აქვს ფორმა
. მისი ფესვები
,
. ამ შემთხვევაში, შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნები იწერება ფორმით
.

ვინაიდან რიცხვი 3 არ არის დამახასიათებელი განტოლების ფესვი, არაჰომოგენური განტოლების კონკრეტული ამონახსნი უნდა მოძებნოთ ფორმით
. ვიპოვოთ პირველი და მეორე რიგის წარმოებულები:

მოდით ჩავანაცვლოთ დიფერენციალური განტოლებით:
+ +,
+,.

მოდით გავაიგივოთ კოეფიციენტები ამისთვის და თავისუფალი წევრები:

აქედან
,
. შემდეგ ამ განტოლების კონკრეტულ ამოხსნას აქვს ფორმა
და ზოგადი გადაწყვეტა

.

თვითნებური მუდმივების ვარიაციის ლაგრანგის მეთოდი

თვითნებური მუდმივების ცვალებადობის მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერ არაჰომოგენურ წრფივ განტოლებაზე მუდმივი კოეფიციენტებით, მარჯვენა მხარის ტიპის მიუხედავად. ეს მეთოდი საშუალებას გაძლევთ ყოველთვის იპოვოთ არაჰომოგენური განტოლების ზოგადი ამონახსნი, თუ ცნობილია შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახვა.

დაე
და
არის (2) განტოლების წრფივად დამოუკიდებელი ამონახსნები. მაშინ ამ განტოლების ზოგადი ამონახსნი არის
, სად და
- თვითნებური მუდმივები. თვითნებური მუდმივების ცვალებადობის მეთოდის არსი იმაში მდგომარეობს, რომ (1) განტოლების ზოგადი ამონახსნები მოძებნილია ფორმით

სად
და
- ახალი უცნობი ფუნქციები, რომლებიც უნდა მოიძებნოს. ვინაიდან არსებობს ორი უცნობი ფუნქცია, მათი საპოვნელად საჭიროა ამ ფუნქციების შემცველი ორი განტოლება. ეს ორი განტოლება ქმნის სისტემას

რომელიც არის განტოლებათა წრფივი ალგებრული სისტემა
და
. ამ სისტემის გადაჭრას ჩვენ ვპოულობთ
და
. მიღებული ტოლობების ორივე მხარის ინტეგრირებით ვხვდებით

და
.

ამ გამონათქვამების (9) ჩანაცვლებით, ჩვენ ვიღებთ ზოგად ამოხსნას არაჰომოგენური წრფივი განტოლებისთვის (1).

მაგალითი 9 , მაშინ ეს გადაწყვეტილებები წრფივად დამოუკიდებელია. მაშასადამე, (2) განტოლების ზოგად ამოხსნას აქვს ფორმა
.

გამოსავალი. მოცემული დიფერენციალური განტოლების შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების დამახასიათებელი განტოლება არის
. მისი ფესვები რთულია
,
. იმიტომ რომ
და
, ეს
,
და ერთგვაროვანი განტოლების ზოგად ამოხსნას აქვს ფორმა. შემდეგ ჩვენ ვეძებთ ამ არაერთგვაროვანი განტოლების ზოგად ამოხსნას იმ ფორმით, სადაც
და
- უცნობი ფუნქციები.

ამ უცნობი ფუნქციების საპოვნელ განტოლებათა სისტემას აქვს ფორმა

ამ სისტემის ამოხსნის შემდეგ, ჩვენ ვხვდებით
,
. მერე

,
. მოდით შევცვალოთ მიღებული გამონათქვამები ზოგადი ამოხსნის ფორმულაში:

ეს არის ამ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი გამოსავალი, მიღებული ლაგრანგის მეთოდით.

კითხვები ცოდნის თვითკონტროლისთვის

რომელ დიფერენციალურ განტოლებას ეწოდება მეორე რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლება მუდმივი კოეფიციენტებით?

რომელ წრფივ დიფერენციალურ განტოლებას ეწოდება ერთგვაროვანი და რომელს არაჰომოგენური?

რა თვისებები აქვს წრფივ ერთგვაროვან განტოლებას?

რომელ განტოლებას უწოდებენ ხაზოვანი დიფერენციალური განტოლების მახასიათებელს და როგორ მიიღება იგი?

რა ფორმით იწერება მუდმივი კოეფიციენტებით წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნები დამახასიათებელი განტოლების სხვადასხვა ფესვების შემთხვევაში?

რა ფორმით იწერება წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნები მუდმივი კოეფიციენტებით თანაბარი ფესვებიდამახასიათებელი განტოლება?

რა ფორმით იწერება მუდმივი კოეფიციენტებით წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნები დამახასიათებელი განტოლების რთული ფესვების შემთხვევაში?

როგორ იწერება წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნი?

რა ფორმით არის მოძიებული წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლების კონკრეტული ამონახსნი, თუ დამახასიათებელი განტოლების ფესვები განსხვავებულია და არ უდრის ნულს, ხოლო განტოლების მარჯვენა მხარე არის ხარისხის მრავალწევრი. მ?

რა ფორმით მოიძებნება წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლების კონკრეტული ამონახსნი, თუ დამახასიათებელი განტოლების ფესვებს შორის არის ერთი ნული, ხოლო განტოლების მარჯვენა მხარე არის ხარისხის მრავალწევრი. მ?

რა არის ლაგრანჟის მეთოდის არსი?

წრფივი არაერთგვაროვანი მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლებების (LNDE-2) ამოხსნის საფუძვლები მუდმივი კოეფიციენტებით (PC)

მე-2 რიგის LDDE მუდმივი კოეფიციენტებით $p$ და $q$ აქვს $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, სადაც $f\left(x \right)$ არის უწყვეტი ფუნქცია.

რაც შეეხება LNDU 2-ს კომპიუტერთან, შემდეგი ორი განცხადება მართალია.

დავუშვათ, რომ ზოგიერთი ფუნქცია $U$ არის არაჰომოგენური დიფერენციალური განტოლების თვითნებური ნაწილობრივი ამოხსნა. ასევე დავუშვათ, რომ ზოგიერთი ფუნქცია $Y$ არის შესაბამისი წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$-ის ზოგადი ამონახსნები (GS). LHDE-2 უდრის მითითებული კერძო და ზოგადი ამონახსნების ჯამს, ანუ $y=U+Y$.

თუ მე-2 რიგის LMDE-ის მარჯვენა მხარე არის ფუნქციების ჯამი, ანუ $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+ ..+f_(r) \left(x\right)$, შემდეგ ჯერ შეგვიძლია ვიპოვოთ PD-ები $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$, რომლებიც შეესაბამება. თითოეულ ფუნქციას $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ და ამის შემდეგ ჩაწერეთ CR LNDU-2 $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

მე-2 რიგის LPDE-ს ხსნარი კომპიუტერით

აშკარაა, რომ მოცემული LNDU-2-ის ამა თუ იმ PD $U$-ის ტიპი დამოკიდებულია მისი მარჯვენა მხარის $f\left(x\right)$ სპეციფიკურ ფორმაზე. PD LNDU-2-ის ძიების უმარტივესი შემთხვევები ჩამოყალიბებულია შემდეგი ოთხი წესის სახით.

წესი #1.

LNDU-2-ის მარჯვენა მხარეს აქვს ფორმა $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, სადაც $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, ანუ მას უწოდებენ $n$ ხარისხის მრავალწევრი. შემდეგ მისი PD $U$ მოიძებნება $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, სადაც $Q_(n) \left(x\right)$ არის სხვა პოლინომი იგივე ხარისხის $P_(n) \left(x\right)$ და $r$ არის შესაბამისი LODE-2-ის დამახასიათებელი განტოლების ფესვების რაოდენობა, ნულის ტოლი. $Q_(n) \left(x\right)$ პოლინომის კოეფიციენტები ნაპოვნია მეთოდის გამოყენებით გაურკვეველი კოეფიციენტები(NK).

წესი No2.

LNDU-2-ის მარჯვენა მხარეს აქვს ფორმა $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, სადაც $P_(n) \left( x\right)$ არის $n$ ხარისხის მრავალწევრი. შემდეგ მისი PD $U$ იძებნება სახით $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, სადაც $Q_(n ) \ left(x\right)$ არის იგივე ხარისხის კიდევ ერთი პოლინომი, როგორც $P_(n) \left(x\right)$, ხოლო $r$ არის შესაბამისი LODE-2-ის დამახასიათებელი განტოლების ფესვების რაოდენობა. $\alpha $-ის ტოლია. $Q_(n) \left(x\right)$ პოლინომის კოეფიციენტები ნაპოვნია NC მეთოდით.

წესი No3.

LNDU-2-ის მარჯვენა მხარეს აქვს ფორმა $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \მარჯვნივ) $, სადაც არის $a$, $b$ და $\beta$ ცნობილი ნომრები. შემდეგ მისი PD $U$ იძებნება სახით $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, სადაც $A$ და $B$ უცნობი კოეფიციენტებია, ხოლო $r$ არის შესაბამისი LODE-2-ის დამახასიათებელი განტოლების ფესვების რაოდენობა, ტოლია $i\cdot. \ბეტა $. კოეფიციენტები $A$ და $B$ გვხვდება არადესტრუქციული მეთოდის გამოყენებით.

წესი No4.

LNDU-2-ის მარჯვენა მხარეს აქვს ფორმა $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, სადაც $P_(n) \left(x\right)$ არის $ n$ ხარისხის მრავალწევრი, ხოლო $P_(m) \left(x\right)$ არის $m$ ხარისხის პოლინომი. შემდეგ მისი PD $U$ იძებნება $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, სადაც $Q_(s) \left(x\right)$ და $ R_(s) \left(x\right)$ არის $s$ ხარისხის პოლინომები, რიცხვი $s$ არის მაქსიმუმ ორი რიცხვი $n$ და $m$, ხოლო $r$ არის ფესვების რაოდენობა. შესაბამისი LODE-2-ის დამახასიათებელი განტოლების, $\alpha +i\cdot \beta $-ის ტოლი. $Q_(s) \left(x\right)$ და $R_(s) \left(x\right)$ პოლინომების კოეფიციენტები ნაპოვნია NC მეთოდით.

NDT მეთოდი შედგება გამოყენებისგან შემდეგი წესი. მრავალწევრის უცნობი კოეფიციენტების საპოვნელად, რომლებიც არაერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების LNDU-2 ნაწილობრივი ამოხსნის ნაწილია, საჭიროა:

• ჩაანაცვლეთ PD $U$ ჩაწერილი ზოგადი ხედი, LNDU-2-ის მარცხენა მხარეს;
• LNDU-2-ის მარცხენა მხარეს შეასრულეთ გამარტივებები და დააჯგუფეთ ტერმინები თანაბარი ხარისხით$x$;
• მიღებულ იდენტურობაში, გააიგივეთ ტერმინების კოეფიციენტები მარცხენა და მარჯვენა მხარის იგივე სიმძლავრეებით $x$;
• ამოხსნათ მიღებული წრფივი განტოლებათა სისტემა უცნობი კოეფიციენტებისთვის.

მაგალითი 1

ამოცანა: იპოვეთ OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. იპოვეთ ასევე PD , აკმაყოფილებს საწყის პირობებს $y=6$ $x=0$-ისთვის და $y"=1$ $x=0$-ისთვის.

ჩვენ ვწერთ შესაბამის LOD-2-ს: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

დამახასიათებელი განტოლება: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. დამახასიათებელი განტოლების ფესვებია: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. ეს ფესვები სწორი და განსხვავებულია. ამრიგად, შესაბამისი LODE-2-ის OR-ს აქვს ფორმა: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

ამ LNDU-2-ის მარჯვენა მხარეს აქვს ფორმა $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. აუცილებელია გავითვალისწინოთ $\alpha =3$ მაჩვენებლის კოეფიციენტი. ეს კოეფიციენტი არ ემთხვევა დამახასიათებელი განტოლების რომელიმე ფესვს. ამიტომ, ამ LNDU-2-ის PD-ს აქვს ფორმა $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

ჩვენ მოვიძიებთ კოეფიციენტებს $A$, $B$ NC მეთოდით.

ჩვენ ვპოულობთ ჩეხეთის რესპუბლიკის პირველ წარმოებულს:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \მარჯვნივ)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

ჩვენ ვპოულობთ ჩეხეთის რესპუბლიკის მეორე წარმოებულს:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \მარჯვნივ)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\მარჯვნივ)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\მარჯვნივ)\cdot e^(3\cdot x) .$

ჩვენ ვცვლით $U""$, $U"$ და $U$ ფუნქციებს $y""$, $y"$ და $y$-ის ნაცვლად მოცემულ NLDE-2 $y""-3\cdot y"-ში. -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x $ უფრო მეტიც, რადგან ფაქტორად შედის $e^(3\cdot x) $ ყველა კომპონენტში, მაშინ მისი გამოტოვება შეიძლება მივიღოთ:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \მარცხნივ(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

ჩვენ ვასრულებთ მოქმედებებს მიღებული ტოლობის მარცხენა მხარეს:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

ჩვენ ვიყენებთ NDT მეთოდს. ჩვენ ვიღებთ წრფივი განტოლებების სისტემას ორი უცნობით:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

ამ სისტემის გამოსავალია: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ჩვენი პრობლემა ასე გამოიყურება: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

OR $y=Y+U$ ჩვენი პრობლემისთვის ასე გამოიყურება: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ მარცხენა(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

იმისათვის, რომ მოვძებნოთ PD, რომელიც აკმაყოფილებს მოცემულ საწყის პირობებს, ჩვენ ვიპოვით OP-ის $y"$ წარმოებულს:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

ჩაანაცვლეთ $y$ და $y"$-ში საწყისი პირობები$y=6$$x=0$-ისთვის და $y"=1$$x=0$-ისთვის:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

ჩვენ მივიღეთ განტოლებების სისტემა:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

მოვაგვაროთ. ჩვენ ვპოულობთ $C_(1) $ კრამერის ფორმულის გამოყენებით და $C_(2) $ ჩვენ განვსაზღვრავთ პირველი განტოლებიდან:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(მასივი)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(მასივი)\მარჯვნივ|)(\მარცხნივ|\ დასაწყისი(მასივი)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(მასივი)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

ამრიგად, ამ დიფერენციალური განტოლების PD აქვს ფორმა: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

მე-2 რიგის დიფერენციალური განტოლებები

§1. განტოლების რიგის შემცირების მეთოდები.

მე-2 რიგის დიფერენციალურ განტოლებას აქვს ფორმა:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( ან დიფერენციალური" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლება). ქოშის პრობლემა მე-2 რიგის დიფერენციალური განტოლებისთვის (1..gif" width="85" height= "25 src =">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.

დაე, მეორე რიგის დიფერენციალურ განტოლებას ჰქონდეს ფორმა: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.

ამრიგად, მე-2 რიგის განტოლება https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. მისი ამოხსნით, ვიღებთ ორიგინალური დიფერენციალური განტოლების ზოგად ინტეგრალს, რომელიც დამოკიდებულია ორ თვითნებურ მუდმივებზე: https://pandia.ru/text/78/516/images/image020_23.gif" width="95" height="25 src =">. gif" width="76" height="25 src=">.

გამოსავალი.

ვინაიდან თავდაპირველი განტოლება ცალსახად არ შეიცავს არგუმენტს https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">..gif" width="35" height="25 src=">.gif" width="82" height="38 src="> ..gif" width="99" height="38 src=">.

მას შემდეგ, რაც https://pandia.ru/text/78/516/images/image029_18.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="42" height="38 src= " >.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="68" height="35 src=">..gif" height="25 src=">.

დაე, მეორე რიგის დიფერენციალურ განტოლებას ჰქონდეს ფორმა: https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">..gif" width="161" height=" 25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="33" height="25 src=">..gif" width="225" height="25 src=">..gif" width="150" height="25 src=">.

მაგალითი 2.იპოვეთ განტოლების ზოგადი ამონახსნი: https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="107" სიმაღლე ="25 src=">..gif" width="100" height="27 src=">.gif" width="130" height="37 src=">.gif" width="34" height= "25 src =">.gif" width="183" height="36 src=">.

3. სიმძლავრის რიგი მცირდება, თუ შესაძლებელია მისი გარდაქმნა ისეთ ფორმაში, რომ განტოლების ორივე მხარე გახდეს სრული წარმოებული https://pandia.ru/text/78/516/images/image052_13.gif მიხედვით " width="92" height=" 25 src=">..gif" width="98" height="48 src=">.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="282" height="25 src=">, (2.1)

სადაც https://pandia.ru/text/78/516/images/image060_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> - მითითებული ფუნქციები, უწყვეტი იმ ინტერვალზე, რომელზედაც ეძებენ გამოსავალს. თუ დავუშვებთ, რომ a0(x) ≠ 0, ჩვენ ვყოფთ (2..gif" width="215" height="25 src="> (2.2)

მოდით, მტკიცებულების გარეშე მივიღოთ, რომ (2..gif" width="82" height="25 src=">.gif" width="38" height="25 src=">.gif" width="65" სიმაღლე = "25 src=">, მაშინ განტოლებას (2.2) უწოდებენ ერთგვაროვანს, ხოლო განტოლებას (2.2) - არაერთგვაროვანს.

განვიხილოთ მე-2 რიგის ამონახსნების თვისებები.

განმარტება.ფუნქციების ხაზოვანი კომბინაცია https://pandia.ru/text/78/516/images/image071_10.gif" width="93" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src = ">.gif" width="195" height="25 src=">, (2.3)

შემდეგ მათი ხაზოვანი კომბინაცია https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> (2.3)-ში და აჩვენეთ, რომ შედეგი არის იდენტურობა:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image078_10.gif" width="368" height="25 src=">.

ვინაიდან ფუნქციები https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> არის ამონახსნები განტოლებისთვის (2.3), მაშინ თითოეული ფრჩხილებში ბოლო განტოლება იდენტურია ნულის ტოლია, რაც დასამტკიცებელია.

დასკვნა 1.დადასტურებული თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ https://pandia.ru/text/78/516/images/image080_10.gif" width="77" height="25 src="> - განტოლების ამონახსნი (2. .gif" width=" 97" height="25 src=">.gif" width="165" height="25 src="> ეწოდება წრფივად დამოუკიდებელ რაღაც ინტერვალზე, თუ არცერთი ეს ფუნქცია არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც წრფივი. ყველა დანარჩენის კომბინაცია.

ორი ფუნქციის შემთხვევაში https://pandia.ru/text/78/516/images/image085_11.gif" width="119" height="25 src=">, ე.ი..gif" width="77" სიმაღლე ="47 src=">.gif" width="187" height="43 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. ამრიგად, ვრონსკის განმსაზღვრელი ორი წრფივად დამოუკიდებელი ფუნქციისთვის არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი.

მოდით https://pandia.ru/text/78/516/images/image091_10.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> .gif" width="605" height="50">..gif" width="18" height="25 src="> დააკმაყოფილეთ განტოლება (2..gif" width="42" height="25 src = "> – განტოლების ამოხსნა (3.1)..gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width= "162 " height="42 src=">.gif" width="51" height="25 src="> ამრიგად, იდენტურობა მიიღება.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, რომელშიც განტოლების წრფივად დამოუკიდებელი ამონახსნების განმსაზღვრელია (2..gif " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> (3.2) ფორმულის მარჯვენა მხარეს ორივე ფაქტორი ნულის ტოლია.

§4. მე-2 რიგის ლოდის ზოგადი ამოხსნის სტრუქტურა.

თეორემა.თუ https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> არის განტოლების წრფივი დამოუკიდებელი ამონახსნები (2..gif" width=" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">ეს არის (2.3) განტოლების ამონახსნი, გამომდინარეობს თეორემიდან ამონახსნების თვისებების შესახებ მე-2 რიგის სტატიაში.. gif" width="85 " height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">

მუდმივები https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> ამ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემიდან ცალსახად არის განსაზღვრული, ვინაიდან განმსაზღვრელი ეს სისტემა https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. წინა აბზაცის მიხედვით მე-2 რიგის Lod-ის ზოგადი ამონახსნი ადვილად განისაზღვრება, თუ ცნობილია ამ განტოლების ორი წრფივად დამოუკიდებელი ნაწილობრივი ამონახსნები. მარტივი მეთოდი. ლ. ეილერის მიერ შემოთავაზებული მუდმივი კოეფიციენტებით განტოლების ნაწილობრივი ამონახსნების საპოვნელად, მივიღებთ ალგებრული განტოლება, რომელსაც მახასიათებელს უწოდებენ:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> იქნება (5.1) განტოლების ამოხსნა მხოლოდ k-ის იმ მნიშვნელობებისთვის. რომ არის დამახასიათებელი განტოლების ფესვები (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src ="> და ზოგადი გამოსავალი (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src=">. მოდით შევამოწმოთ, რომ ეს ფუნქცია აკმაყოფილებს განტოლებას (5.1)..gif" width="190" height="26 src="> ამ გამონათქვამების ჩანაცვლება განტოლებაში (5.1), ვიღებთ

https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, რადგან..gif" width="137" height="26 src= ">.

კონკრეტული გადაწყვეტილებები https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> წრფივად დამოუკიდებელია, რადგან..gif" width="166" სიმაღლე ="26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" სიმაღლე = "25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.

ამ ტოლობის მარცხენა მხარეს ორივე ფრჩხილები ტოლია ნულის..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> არის (5.1) განტოლების ამოხსნა ..gif" width="129" height="25 src="> ასე გამოიყურება:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)

წარმოდგენილია ზოგადი ამოხსნის ჯამის სახით https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)

და ნებისმიერი კონკრეტული გამოსავალი https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> იქნება გამოსავალი განტოლების (6.1)..gif" width=" 272" height="25 src="> f(x). ეს თანასწორობა არის იდენტობა, რადგან..gif" width="128" height="25 src="> f(x). ამიტომ.gif" width="85" height="25 src=">.gif" სიგანე ="138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> არის ამ განტოლების წრფივი დამოუკიდებელი ამონახსნები. ამრიგად:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src="> და ასეთი განმსაზღვრელი, როგორც ზემოთ ვნახეთ, არ არის ნულოვანი..gif" width="19" height="25 src="> სისტემიდან განტოლებების (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src ="> ამოხსნის განტოლებას

https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> განტოლებაში (6.5), მივიღებთ

https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)

სადაც https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> განტოლება (7.1) იმ შემთხვევაში, როდესაც მარჯვენა მხარეს f(x) აქვს სპეციალური ტიპი. ამ მეთოდს უწოდებენ განუსაზღვრელი კოეფიციენტების მეთოდს და შედგება კონკრეტული ამონახსნის არჩევისგან, რომელიც დამოკიდებულია მარჯვენა მხარის f(x) ტიპზე. განვიხილოთ შემდეგი ფორმის მარჯვენა მხარეები:

1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">, შეიძლება იყოს ნული. მივუთითოთ რა ფორმით უნდა იქნას მიღებული ამ შემთხვევაში კონკრეტული გამოსავალი.

ა) თუ ნომერი https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src =>>.

გამოსავალი.

განტოლებისთვის https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= ">.

ორივე ნაწილს ვამცირებთ https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> ტოლობის მარცხენა და მარჯვენა მხარეს

https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">

მიღებული განტოლებათა სისტემიდან ვპოულობთ: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src="> და ზოგად ამოხსნას მოცემული განტოლებაარსებობს:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,

სადაც https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.

გამოსავალი.

შესაბამის მახასიათებელ განტოლებას აქვს ფორმა:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. საბოლოო ჩვენ გვაქვს შემდეგი გამოხატულება ზოგადი ამოხსნისთვის:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> შესანიშნავი ნულიდან. მოდით მივუთითოთ ამ შემთხვევაში კონკრეტული გადაწყვეტის ტიპი.

ა) თუ ნომერი https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,

სადაც https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> არის განტოლების დამახასიათებელი განტოლების ფესვი (5..gif" width="229 " height="25 src=">,

სადაც https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.

გამოსავალი.

განტოლებისთვის დამახასიათებელი განტოლების ფესვები https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" სიმაღლე ="25 src=">.

მე-3 მაგალითში მოცემული განტოლების მარჯვენა მხარეს აქვს სპეციალური ფორმა: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.

დასადგენად https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > და ჩაანაცვლეთ იგი მოცემულ განტოლებაში:

მსგავსი ტერმინების ციტირება, კოეფიციენტების გათანაბრება https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" სიმაღლეზე = "25 src=">.

მოცემული განტოლების საბოლოო ზოგადი ამონახსნი აქვს ფორმა: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width= "47" height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> შესაბამისად და ამ მრავალწევრებიდან ერთ-ერთი შეიძლება იყოს ნულის ტოლი. მოდით მივუთითოთ ამ კონკრეტული ამონახსნის ტიპი ზოგადი შემთხვევა.

ა) თუ ნომერი https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)

სადაც https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.

ბ) თუ ნომერი https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src=">, მაშინ lndu-ს კონკრეტული გამოსავალი ასე გამოიყურება:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. გამოთქმაში (7..gif" width="121" height= " 25 src=">.

მაგალითი 4.მიუთითეთ განტოლების კონკრეტული ამოხსნის ტიპი

https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . Lodu-ს ზოგადი გადაწყვეტა აქვს ფორმა:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.

დამატებითი კოეფიციენტები https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > არსებობს განტოლების კონკრეტული ამოხსნა მარჯვენა მხარეს f1(x) და Variation" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">თვითნებური მუდმივების ვარიაციები (ლაგრანგის მეთოდი).

განტოლების კონკრეტული ამოხსნის უშუალოდ პოვნა, გარდა განტოლებისა მუდმივი კოეფიციენტებით და სპეციალური თავისუფალი წევრებით, არის დიდი სირთულეები. ამიტომ, განტოლების ზოგადი ამოხსნის მოსაძებნად, ჩვეულებრივ გამოიყენება თვითნებური მუდმივების ცვალებადობის მეთოდი, რომელიც ყოველთვის შესაძლებელს ხდის განტოლების ზოგადი ამონახსნის პოვნას კვადრატებში, თუ ცნობილია შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა. . ეს მეთოდი შემდეგია.

ზემოაღნიშნულის მიხედვით, წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნი არის:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – არა მუდმივები, არამედ f(x)-ის ზოგიერთი, ჯერჯერობით უცნობი, ფუნქცია. . უნდა იქნას აღებული ინტერვალიდან. ფაქტობრივად, ამ შემთხვევაში ვრონსკის განმსაზღვრელი არ არის ნულოვანი ინტერვალის ყველა წერტილში, ანუ მთელ სივრცეში - დამახასიათებელი განტოლების რთული ფესვი..gif" width="20" height="25 src="> ფორმის წრფივად დამოუკიდებელი ნაწილობრივი გადაწყვეტილებები:

ზოგადი ამოხსნის ფორმულაში ეს ფესვი შეესაბამება ფორმის გამოხატულებას.

მეორე და უმაღლესი რიგის დიფერენციალური განტოლებები.
მეორე რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტებით.
გადაწყვეტილებების მაგალითები.

მოდით გადავიდეთ მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლებებისა და უმაღლესი რიგის დიფერენციალური განტოლებების განხილვაზე. თუ თქვენ გაქვთ ბუნდოვანი წარმოდგენა იმის შესახებ, თუ რა არის დიფერენციალური განტოლება (ან საერთოდ არ გესმით რა არის ეს), მაშინ გირჩევთ დაიწყოთ გაკვეთილი პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებები. გადაწყვეტილებების მაგალითები. გადაწყვეტის მრავალი პრინციპი და ძირითადი ცნებებიპირველი რიგის დიფუზორები ავტომატურად ვრცელდება უფრო მაღალი რიგის დიფერენციალურ განტოლებამდე ძალიან მნიშვნელოვანია პირველი რიგის განტოლებების გაგება.

ბევრ მკითხველს შეიძლება ჰქონდეს ცრურწმენა, რომ მე-2, მე-3 და სხვა შეკვეთების დისტანციური მართვა ძალიან რთული და მიუწვდომელია. ეს არასწორია . ისწავლეთ დიფუზების ამოხსნა უმაღლესი წესრიგიძნელად უფრო რთული ვიდრე "ჩვეულებრივი" 1-ლი რიგის DE-ები. ზოგან ეს კიდევ უფრო მარტივია, რადგან გადაწყვეტილებები აქტიურად იყენებენ მასალას სკოლის სასწავლო გეგმიდან.

ყველაზე პოპულარული მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლებები. მეორე რიგის დიფერენციალურ განტოლებამდე აუცილებლადმოიცავს მეორე წარმოებულს და არ შედის

გასათვალისწინებელია, რომ ზოგიერთი ბავშვი (და თუნდაც ყველა მათგანი) შეიძლება არ იყოს განტოლებაში, მნიშვნელოვანია, რომ მამა სახლში იყოს. ყველაზე პრიმიტიული მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლება ასე გამოიყურება:

მესამე რიგის დიფერენციალური განტოლებები პრაქტიკული ამოცანებიგაცილებით ნაკლებად გავრცელებულია, ჩემი სუბიექტური დაკვირვებით სახელმწიფო დუმაისინი მიიღებდნენ ხმების დაახლოებით 3-4%-ს.

მესამე რიგის დიფერენციალური განტოლებამდე აუცილებლადმოიცავს მესამე წარმოებულს და არ შედისუმაღლესი რიგის წარმოებულები:

უმარტივესი მესამე რიგის დიფერენციალური განტოლება ასე გამოიყურება: - მამა სახლშია, ყველა ბავშვი სასეირნოდ არის.

ანალოგიურად, შეგიძლიათ განსაზღვროთ მე-4, მე-5 და უფრო მაღალი რიგის დიფერენციალური განტოლებები. IN პრაქტიკული პრობლემებიასეთი საკონტროლო სისტემები ძალიან იშვიათად იშლება, თუმცა ვეცდები შესაბამისი მაგალითების მოყვანას.

უმაღლესი რიგის დიფერენციალური განტოლებები, რომლებიც შემოთავაზებულია პრაქტიკულ ამოცანებში, შეიძლება დაიყოს ორ ძირითად ჯგუფად.

1) პირველი ჯგუფი - ე.წ განტოლებები, რომლებიც შეიძლება შემცირდეს თანმიმდევრობით. მოდი!

2) მეორე ჯგუფი - წრფივი განტოლებებიუმაღლესი შეკვეთები მუდმივი კოეფიციენტებით. რომლის შესწავლას ახლავე დავიწყებთ.

მეორე რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლებები
მუდმივი კოეფიციენტებით

თეორიულად და პრაქტიკაში, ასეთი განტოლებების ორი ტიპი გამოირჩევა: ერთგვაროვანი განტოლებადა არაჰომოგენური განტოლება.

მეორე რიგის ერთგვაროვანი DE მუდმივი კოეფიციენტებითაქვს შემდეგი ფორმა:
, სადაც და არის მუდმივები (რიცხვები), ხოლო მარჯვენა მხარეს – მკაცრადნულოვანი.

როგორც ხედავთ, განსაკუთრებული სირთულეები არ არის ერთგვაროვან განტოლებებთან დაკავშირებით, მთავარია სწორად ამოხსენით კვადრატული განტოლება.

ზოგჯერ არსებობს არასტანდარტული ერთგვაროვანი განტოლებები, მაგალითად განტოლება ფორმაში , სადაც მეორე წარმოებულზე არის ერთიანისგან განსხვავებული მუდმივი (და, ბუნებრივია, ნულისაგან განსხვავებული). ამოხსნის ალგორითმი საერთოდ არ იცვლება, მშვიდად უნდა შეადგინოთ დამახასიათებელი განტოლება და იპოვოთ მისი ფესვები. თუ დამახასიათებელი განტოლება ექნება ორი განსხვავებული რეალური ფესვი, მაგალითად: , მაშინ ზოგადი ამოხსნა დაიწერება ჩვეულებრივი სქემის მიხედვით: .

ზოგიერთ შემთხვევაში, ამ მდგომარეობის შეცდომაში შეყვანის გამო, შეიძლება გამოიწვიოს "ცუდი" ფესვები, რაღაც მსგავსი . რა უნდა გააკეთოს, პასუხი ასე უნდა დაიწეროს:

"ცუდი" კონიუგირებული რთული ფესვებით, როგორიცაა არანაირი პრობლემა, ზოგადი გადაწყვეტა:

ანუ მაინც არსებობს ზოგადი გამოსავალი. რადგან ნებისმიერ კვადრატულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

ბოლო აბზაცში, როგორც დავპირდი, მოკლედ განვიხილავთ:

უმაღლესი რიგის წრფივი ჰომოგენური განტოლებები

ყველაფერი ძალიან, ძალიან ჰგავს.

მესამე რიგის წრფივ ჰომოგენურ განტოლებას აქვს შემდეგი ფორმა:
, სადაც არის მუდმივები.
ამ განტოლებისთვის, თქვენ ასევე უნდა შექმნათ დამახასიათებელი განტოლება და იპოვოთ მისი ფესვები. დამახასიათებელი განტოლება, როგორც ბევრმა გამოიცნო, ასე გამოიყურება:
და ის ყოველ შემთხვევაშიაქვს ზუსტად სამიფესვი

მოდით, მაგალითად, ყველა ფესვი იყოს რეალური და განსხვავებული: , მაშინ ზოგადი ამოხსნა დაიწერება შემდეგნაირად:

თუ ერთი ფესვი რეალურია, ხოლო დანარჩენი ორი კონიუგატური რთული, მაშინ ჩვენ ვწერთ ზოგად ამონახსნებს შემდეგნაირად:

განსაკუთრებული შემთხვევა, როცა სამივე ძირი მრავლობითია (იგივე). განვიხილოთ მე-3 რიგის უმარტივესი ერთგვაროვანი DE მარტოხელა მამასთან: . დამახასიათებელ განტოლებას აქვს სამი დამთხვევა ნულოვანი ფესვი. ჩვენ ვწერთ ზოგად გადაწყვეტას შემდეგნაირად:

თუ დამახასიათებელი განტოლება აქვს, მაგალითად, სამი მრავალჯერადი ფესვი, მაშინ ზოგადი გადაწყვეტა, შესაბამისად, ასეთია:

მაგალითი 9

ამოხსენით მესამე რიგის ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლება

გამოსავალი:შევადგინოთ და ამოხსნათ დამახასიათებელი განტოლება:

, – ერთმა მიიღო ნამდვილი ფესვიდა ორი კონიუგირებული რთული ფესვი.

პასუხი:ზოგადი გადაწყვეტა

ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია განვიხილოთ მეოთხე რიგის წრფივი ერთგვაროვანი განტოლება მუდმივი კოეფიციენტებით: , სადაც არის მუდმივები.

აქ გამოვიყენებთ ლაგრანგის მუდმივთა ვარიაციის მეთოდს წრფივი არაერთგვაროვანი მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლებების ამოსახსნელად. დეტალური აღწერათვითნებური რიგის განტოლებების ამოხსნის ეს მეთოდი აღწერილია გვერდზე
უმაღლესი რიგის წრფივი არაერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნა ლაგრანგის მეთოდით >>>.

მაგალითი 1

ამოხსენით მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლება მუდმივი კოეფიციენტებით ლაგრანგის მუდმივების ვარიაციის მეთოდის გამოყენებით:
(1)

გამოსავალი

ჯერ ვხსნით ერთგვაროვან დიფერენციალურ განტოლებას:
(2)

ეს არის მეორე რიგის განტოლება.

კვადრატული განტოლების ამოხსნა:
.
მრავალი ფესვი: . ფუნდამენტური სისტემა(2) განტოლების ამონახსნებს აქვს ფორმა:
(3) .
აქედან ვიღებთ ზოგად ამონახსანს ერთგვაროვანი განტოლებისთვის (2):
(4) .

C მუდმივების შეცვლა 1 და C 2 .
.
ანუ, ჩვენ ვცვლით მუდმივებს (4) ფუნქციებით: გამოსავალს ეძებსორიგინალური განტოლება
(5) .

(1) როგორც:
.
წარმოებულის პოვნა:
(6) .
დავაკავშიროთ ფუნქციები და განტოლება:
.

მერე
.
ჩვენ ვპოულობთ მეორე წარმოებულს:
(1) ;



.
ჩაანაცვლეთ თავდაპირველ განტოლებაში (1): ვინაიდან და აკმაყოფილებთ ერთგვაროვან განტოლებას (2), ბოლო სამი მწკრივის თითოეულ სვეტში წევრთა ჯამი იძლევა ნულს დაწინა განტოლება
(7) .
იღებს ფორმას:

აქ .
(6) :
(7) .

(6) განტოლებასთან ერთად ვიღებთ განტოლებათა სისტემას ფუნქციების დასადგენად და:

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა
.
ვხსნით განტოლებათა სისტემას (6-7). მოდით დავწეროთ გამონათქვამები ფუნქციებისთვის და:
;
.

ჩვენ ვპოულობთ მათ წარმოებულებს:

.
განტოლებათა სისტემას (6-7) ვხსნით კრამერის მეთოდით. ჩვენ ვიანგარიშებთ სისტემის მატრიცის განმსაზღვრელს:
;
.

კრამერის ფორმულების გამოყენებით ვხვდებით:
;
.
ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ ფუნქციების წარმოებულები:
; ; ; .

.
.

;
.

მოდით გავერთიანდეთ (იხ. ფესვების ინტეგრირების მეთოდები). ჩანაცვლების გაკეთება

უპასუხე

მაგალითი 2
(8)

გამოსავალი

ამოხსენით დიფერენციალური განტოლება ლაგრანჟის მუდმივების ვარიაციის მეთოდით:

ნაბიჯი 1. ერთგვაროვანი განტოლების ამოხსნა

(9)
ჩვენ ვხსნით ერთგვაროვან დიფერენციალურ განტოლებას:

ჩვენ ვეძებთ გამოსავალს ფორმაში.
.
ჩვენ ვადგენთ დამახასიათებელ განტოლებას:
(10) .
ამ განტოლებას აქვს რთული ფესვები:
(11) .

ამ ფესვების შესაბამისი გადაწყვეტილებების ფუნდამენტურ სისტემას აქვს ფორმა:

ერთგვაროვანი განტოლების (9) ზოგადი ამოხსნა: 1 და C 2 ნაბიჯი 2. მუდმივების ცვალებადობა - მუდმივების ჩანაცვლება ფუნქციებით
.
ახლა ჩვენ ვცვლით C მუდმივებს
(12) .

.
(13) :
(14) .
იღებს ფორმას:

(6) განტოლებასთან ერთად ვიღებთ განტოლებათა სისტემას ფუნქციების დასადგენად და:

ანუ, ჩვენ ვცვლით მუდმივებს (11) ფუნქციებით:
.
ჩვენ ვეძებთ ამონახსანს თავდაპირველი განტოლების (8) სახით:
;
.

გარდა ამისა, ამოხსნის პროგრესი იგივეა, რაც მაგალითში 1. ფუნქციების დადგენის განტოლებათა შემდეგ სისტემამდე მივდივართ და:

.
განტოლებათა სისტემას (6-7) ვხსნით კრამერის მეთოდით. ჩვენ ვიანგარიშებთ სისტემის მატრიცის განმსაზღვრელს:
;
.

.
მოვაგვაროთ ეს სისტემა. მოდით ჩამოვწეროთ ფუნქციების გამონათქვამები და:
.
დავაკავშიროთ ფუნქციები და განტოლება:
.

წარმოებულების ცხრილიდან ვხვდებით:


.