განზოგადებული კოორდინატები და განზოგადებული ძალები. განზოგადებული კოორდინატები და განზოგადებული ძალები როგორ გამოიყურება ძალების მუშაობა განზოგადებულ კოორდინატებში

ანალიტიკური მექანიკა. კავშირების კლასიფიკაცია. მაგალითები. შესაძლო მოძრაობები.

კავშირი– ეს არის კავშირი სისტემის წერტილების კოორდინატებსა და სიჩქარეებს შორის, რომელიც წარმოდგენილია ტოლობის ან უტოლობის სახით.

კლასიფიკაცია:

გეომეტრიული- აწესებს შეზღუდვებს მხოლოდ სისტემის წერტილების კოორდინატებზე (სიჩქარეები არ შედის)

კინემატიკური– სიჩქარეები შედის განტოლებებში. თუ შეგიძლიათ სიჩქარისგან თავის დაღწევა, მაშინ კავშირი ინტეგრირებულია.

ჰოლონომიური კავშირები- გეომეტრიული და ინტეგრირებადი დიფერენციალური კავშირები.

კავშირი ე.წ ჩატარების(დაწესებული ან შეზღუდვები რჩება სისტემის ნებისმიერ პოზიციაზე) და შეუზღუდავი, რომლებიც არ ფლობენ ამ თვისებას (ასეთი კავშირებისგან, როგორც ამბობენ, სისტემა შეიძლება "გათავისუფლდეს"

შესაძლო გადაადგილება

ნებისმიერი გონებრივი

უსასრულოდ მცირე

ნებადართულია სისტემის ქულების გადაადგილება

დროის ამ მომენტში

სისტემაზე დაწესებული კავშირები.

რეალური მოძრაობა– დამოკიდებულია ძალებზე, დროს, კავშირებზე, საწყის პირობებზე.

შესაძლო მოძრაობა დამოკიდებულია მხოლოდ კავშირებზე.

სტაციონარული კავშირებისთვის, რეალური მოძრაობა ერთ-ერთი შესაძლოა.

იდეალური კავშირები. შესაძლო მოძრაობების პრინციპი.

იდეალურიეწოდება კავშირები, რომლებისთვისაც ყველა მათი რეაქციის ელემენტარული სამუშაოების ჯამი ნებისმიერ შესაძლო გადაადგილებაზე უდრის 0-ს.

შესაძლო მოძრაობების პრინციპი.

იდეალური სტაციონარული შეერთებების მქონე მექანიკური სისტემის წონასწორობისთვის აუცილებელია და საკმარისია, რომ ყველა აქტიური ძალის ელემენტარული მუშაობის ჯამი ნებისმიერ შესაძლო გადაადგილებაზე იყოს 0-ის ტოლი. ამ შემთხვევაში, საკმარისობისთვის, საწყისი სიჩქარე ტოლი უნდა იყოს. ნულამდე. აუცილებელი ნაშთი => საკმარისი => ნაშთი.

განზოგადებული კოორდინატები. სისტემის თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა. განზოგადებული ძალები, მათი გამოთვლის მეთოდები. წონასწორობის პირობები ჰოლონომიური შეზღუდვების მქონე სისტემისთვის, გამოხატული განზოგადებული ძალებით.

განზოგადებული კოორდინატები– დამოუკიდებელი პარამეტრი, რომელიც მთლიანად განსაზღვრავს სისტემის პოზიციას და რომლის მეშვეობითაც სისტემაში არსებული წერტილების ყველა დეკარტის კოორდინატი შეიძლება გამოისახოს.

თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა განისაზღვრება განზოგადებული კოორდინატების რაოდენობით

ურთიერთდამოუკიდებელ სკალარული სიდიდეების რაოდენობას, რომლებიც ცალსახად განსაზღვრავენ მექანიკური სისტემის პოზიციას სივრცეში, ეწოდება თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა.

მექანიკური სისტემის განზოგადებული კოორდინატები არის ნებისმიერი გეომეტრიული სიდიდე ერთმანეთისგან დამოუკიდებელი, რომელიც ცალსახად განსაზღვრავს სისტემის პოზიციას სივრცეში.

Q i = δA j /δq j ან δA j = Q i ⋅ δq j .

განზოგადებული ძალა- ეს არის ძალა, რომელიც ასრულებს იმავე სამუშაოს შესაძლო გადაადგილებაზე მისი განზოგადებული კოორდინატის გასწვრივ, როგორც ყველა ძალა, რომელიც გამოიყენება სისტემაზე მათი გამოყენების წერტილების შესაბამის გადაადგილებაზე.

განზოგადებული ძალის საპოვნელად, ჩვენ ვაძლევთ შესაძლო გადაადგილებას მისი განზოგადებული კოორდინატის გასწვრივ, დანარჩენი კოორდინატები უცვლელი ვტოვებთ. შემდეგ ვპოულობთ სისტემაზე მიმართული ყველა ძალის მიერ შესრულებულ სამუშაოს და ვყოფთ შესაძლო გადაადგილებაზე.

შესაძლო გადაადგილების პრინციპი განზოგადებული ძალების თვალსაზრისით.

ვინაიდან წონასწორობაში არის ელემენტარული სამუშაოების ჯამი ნებისმიერ შესაძლო გადაადგილებაზე ( bA=ბქ ჯ , რომლებიც ერთმანეთზე არ არიან დამოკიდებულნი, მაშინ ამისთვის მართალი უნდა იყოს: Q 1 =0; Q 2 =0; Q K =0

განზოგადებული ძალების განმარტება

ერთი ხარისხის თავისუფლების სისტემისთვის განზოგადებული ძალა, რომელიც შეესაბამება განზოგადებულ კოორდინატს ქ, ეწოდება ფორმულით განსაზღვრულ რაოდენობას

სადაც დ ქ– განზოგადებული კოორდინატის მცირე მატება; – სისტემის ძალების ელემენტარული სამუშაოების ჯამი მის შესაძლო მოძრაობაზე.

შეგახსენებთ, რომ სისტემის შესაძლო მოძრაობა განისაზღვრება, როგორც სისტემის მოძრაობა დროის მოცემულ მომენტში კავშირებით დაშვებულ უსასრულოდ ახლო პოზიციამდე (დაწვრილებით იხილეთ დანართი 1).

ცნობილია, რომ სისტემის ნებისმიერ შესაძლო გადაადგილებაზე იდეალური ბმის რეაქციის ძალების მიერ შესრულებული სამუშაოს ჯამი ნულის ტოლია. ამიტომ იდეალური კავშირების მქონე სისტემისთვის გამონათქვამში მხედველობაში უნდა იქნას მიღებული მხოლოდ სისტემის აქტიური ძალების მუშაობა. თუ შეერთებები იდეალური არ არის, მაშინ მათი რეაქციის ძალები, მაგალითად, ხახუნის ძალები, პირობითად განიხილება აქტიურ ძალებად (იხ. ქვემოთ მოცემული ინსტრუქციები დიაგრამაზე ნახ. 1.5). ეს მოიცავს აქტიური ძალების ელემენტარულ მუშაობას და ძალების აქტიური წყვილების მომენტების ელემენტარულ მუშაობას. ჩამოვწეროთ ფორმულები ამ სამუშაოების დასადგენად. ვთქვათ ძალა ( F kx,F ky,F kz) გამოიყენება წერტილში TO, რომლის რადიუსის ვექტორი არის ( x k,y k,z k) და შესაძლო გადაადგილება – (დ xk,დ y k,დ z k). ძალის ელემენტარული მუშაობა შესაძლო გადაადგილებაზე ტოლია სკალარული პროდუქტის, რომელიც ანალიტიკური ფორმით შეესაბამება გამოხატვას

დ A( ) = F-მდედ r to cos(), (1.3a)

ხოლო კოორდინატულ ფორმაში – გამოთქმა

დ A( ) = F kxდ x k + F kyდ y k + F kzდ z k. (1.3b)

თუ ორიოდე ძალა მომენტით მმიმართულია მბრუნავ სხეულზე, რომლის კუთხური კოორდინატი არის j, ხოლო შესაძლო გადაადგილება არის dj, შემდეგ მომენტის ელემენტარული სამუშაო. მშესაძლო გადაადგილების შესახებ dj განისაზღვრება ფორმულით

დ ᲕᲐᲠ) = ± მდ ჯ. (1.3 ვ)

აქ ნიშანი (+) შეესაბამება შემთხვევას, როდესაც მომენტი მდა შესაძლო მოძრაობა dj ემთხვევა მიმართულებით; ნიშანი (–), როდესაც ისინი საპირისპირო მიმართულებით არიან.

იმისთვის, რომ განზოგადებული ძალის განსაზღვრა (1.3) ფორმულით შევძლოთ, აუცილებელია სხეულებისა და წერტილების შესაძლო მოძრაობების გამოხატვა განზოგადებული კოორდინატის d მცირე ნამატით. ქ, დამოკიდებულებების გამოყენებით (1)…(7) ადგ. 1.

განზოგადებული ძალის განმარტება ქშერჩეული განზოგადებული კოორდინატის შესაბამისი ქ, რეკომენდებულია ამის გაკეთება შემდეგი თანმიმდევრობით.

· საპროექტო დიაგრამაზე დახაზეთ სისტემის ყველა აქტიური ძალა.

· მიეცით მცირე ნამატი განზოგადებულ კოორდინატს d q> 0; გამოთვლების დიაგრამაზე აჩვენეთ ყველა წერტილის შესაბამისი შესაძლო გადაადგილება, რომელზედაც მოქმედებენ ძალები, და ყველა სხეულის შესაძლო კუთხური გადაადგილებები, რომლებზეც გამოიყენება ძალთა წყვილის მომენტები.

· შეადგინეთ გამოთქმა სისტემის ყველა აქტიური ძალის ელემენტარული მუშაობისთვის ამ მოძრაობებზე, გამოხატეთ შესაძლო მოძრაობები დ ქ.

· განზოგადებული ძალის განსაზღვრა (1.3) ფორმულით.

მაგალითი 1.4 (იხ. პირობა ნახ. 1.1).

განვსაზღვროთ განზოგადებული ძალა, რომელიც შეესაბამება განზოგადებულ კოორდინატს ს(ნახ. 1.4).

სისტემაზე მოქმედებს აქტიური ძალები: პ- ტვირთის წონა; გ- ბარაბნის წონა და ბრუნვის მომენტი მ.

უხეში დახრილი სიბრტყე განკუთვნილია დატვირთვისთვის აარასრულყოფილი კავშირი. მოცურების ხახუნის ძალა F tr, მოქმედებს დატვირთვაზე აამ კავშირიდან უდრის F tr = f N.

სიძლიერის დასადგენად ნსიბრტყეზე დატვირთვის ნორმალური წნევა მოძრაობისას, ვიყენებთ დ'ალმბერის პრინციპს: თუ სისტემის თითოეულ წერტილზე გამოიყენება პირობითი ინერციული ძალა, გარდა აქტიური აქტიური ძალებისა და შეერთებების რეაქციის ძალებისა, მაშინ მიღებული სიმრავლე ძალები დაბალანსდება და დინამიურ განტოლებებს შეიძლება მიეცეს სტატიკური წონასწორობის განტოლებების ფორმა. ამ პრინციპის გამოყენების ცნობილი მეთოდის მიხედვით, ჩვენ გამოვსახავთ დატვირთვაზე მოქმედ ყველა ძალას ა(ნახ. 1.5), – და , სად არის კაბელის დაჭიმვის ძალა.

ბრინჯი. 1.4 ნახ. 1.5

დავამატოთ ინერციის ძალა, სად არის დატვირთვის აჩქარება. დ'ალმბერის პრინციპის განტოლება ღერძზე პროექციისას წროგორც ჩანს N–Pcosა = 0.

აქედან N = Pcosა. მოცურების ხახუნის ძალა ახლა შეიძლება განისაზღვროს ფორმულით F tr = f P cosა.

მოდით მივცეთ განზოგადებული კოორდინატი სმცირე ნამატი დ s> 0. ამ შემთხვევაში დატვირთვა (ნახ. 1.4) გადაინაცვლებს დახრილ სიბრტყეზე d მანძილზე. ს, და ბარაბანი ბრუნავს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ კუთხით dj.

ისეთი ფორმულების გამოყენებით, როგორიცაა (1.3a) და (1.3c), მოდით შევადგინოთ გამოხატულება ელემენტარული ბრუნვის სამუშაოების ჯამისთვის. მ, ძალა პდა F tr:

გამოვსახოთ dj ამ განტოლებაში d-ით ს: , მაშინ

ჩვენ განვსაზღვრავთ განზოგადებულ ძალას ფორმულის გამოყენებით (1.3)

გავითვალისწინოთ ადრე დაწერილი ფორმულა F trდა ბოლოს მივიღებთ

თუ იმავე მაგალითში განზოგადებულ კოორდინატად ავიღებთ j კუთხეს, მაშინ განზოგადებულ ძალას ქჯგამოხატული ფორმულით

1.4.2. განზოგადებული სისტემის ძალების განსაზღვრა
თავისუფლების ორი ხარისხით

თუ სისტემას აქვს ნთავისუფლების ხარისხი, მისი პოზიცია განისაზღვრება ნგანზოგადებული კოორდინატები. თითოეული კოორდინატი qi(მე = 1,2,…,ნ) შეესაბამება მის განზოგადებულ ძალას Q ი, რომელიც განისაზღვრება ფორმულით

სადაც არის აქტიური ძალების ელემენტარული სამუშაოების ჯამი მე-სისტემის შესაძლო მოძრაობა, როდესაც დ q i > 0, ხოლო დარჩენილი განზოგადებული კოორდინატები უცვლელია.

განსაზღვრისას აუცილებელია გავითვალისწინოთ განზოგადებული ძალების განსაზღვრის ინსტრუქცია (1.3) ფორმულის მიხედვით.

რეკომენდებულია ორი ხარისხის თავისუფლების სისტემის განზოგადებული ძალების განსაზღვრა შემდეგი თანმიმდევრობით.

· საპროექტო დიაგრამაზე აჩვენეთ სისტემის ყველა აქტიური ძალა.

· პირველი განზოგადებული ძალის განსაზღვრა Q 1. ამისათვის მიეცით სისტემას პირველი შესაძლო მოძრაობა, როდესაც d q 1 > 0 და დ q 2 =q 1სისტემის ყველა სხეულისა და წერტილის შესაძლო მოძრაობა; შედგენა - სისტემის ძალების ელემენტარული მუშაობის გამოხატულება პირველ შესაძლო გადაადგილებაზე; შესაძლო მოძრაობები გამოხატული დ q 1; იპოვე Q 1ფორმულის მიხედვით (1.4), აღება მე = 1.

· მეორე განზოგადებული ძალის განსაზღვრა Q 2. ამისათვის მიეცით სისტემას მეორე შესაძლო მოძრაობა, როდესაც d q 2 > 0 და დ q 1 = 0; აჩვენეთ შესაბამისი d დიზაინის დიაგრამაზე q 2სისტემის ყველა სხეულისა და წერტილის შესაძლო მოძრაობა; შედგენა - სისტემური ძალების ელემენტარული მუშაობის გამოხატულება მეორე შესაძლო გადაადგილებაზე; შესაძლო მოძრაობები გამოხატული დ q 2; იპოვე Q 2ფორმულის მიხედვით (1.4), აღება მე = 2.

მაგალითი 1.5 (იხ. მდგომარეობა ნახ. 1.2)

განვსაზღვროთ Q 1და Q 2განზოგადებული კოორდინატების შესაბამისი xDდა x A(ნახ. 1.6, ა).

სისტემაზე მოქმედებს სამი აქტიური ძალა: P A = 2P, P B = P D = P.

განმარტება Q 1. მოდით მივცეთ სისტემას პირველი შესაძლო მოძრაობა, როდესაც d xD> 0, დ x A = 0 (ნახ. 1.6, ა). ამავე დროს, დატვირთვა დ xD, ბლოკი ბბრუნავს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ კუთხით dj ბ, ცილინდრის ღერძი ადარჩება უმოძრაო, ცილინდრი აბრუნავს ღერძის გარშემო აკუთხით dj ასაათის ისრის მიმართულებით. მოდით შევადგინოთ სამუშაოს ჯამი მითითებულ მოძრაობებზე:

განვსაზღვროთ

განვსაზღვროთ Q 2. მოდით მივცეთ სისტემას მეორე შესაძლო მოძრაობა, როდესაც d x D = 0, დ xA> 0 (ნახ. 1.6, ბ). ამ შემთხვევაში ცილინდრის ღერძი აგადავა ვერტიკალურად ქვემოთ მანძილით დ x A, ცილინდრი აბრუნავს ღერძის გარშემო ასაათის ისრის მიმართულებით კუთხით dj ა, ბლოკი ბდა ტვირთი დდარჩება უმოძრაოდ. მოდით შევადგინოთ სამუშაოს ჯამი მითითებულ მოძრაობებზე:

განვსაზღვროთ

მაგალითი 1.6 (იხ. მდგომარეობა ნახ. 1.3)

განვსაზღვროთ Q 1და Q 2 j, განზოგადებული კოორდინატების შესაბამისი, ს(ნახ. 1.7, ა). სისტემაზე მოქმედებს ოთხი აქტიური ძალა: ღეროს წონა პ, ბურთის წონა, ზამბარის დრეკადობის ძალა და .

გავითვალისწინოთ რომ. დრეკადობის ძალების მოდული განისაზღვრება (a) ფორმულით.

გაითვალისწინეთ, რომ ძალის გამოყენების წერტილი F 2არის უმოძრაო, ამიტომ ამ ძალის მუშაობა სისტემის ნებისმიერ შესაძლო გადაადგილებაზე ტოლია ნულის, განზოგადებული ძალების ძალის გამოხატვით F 2არ შევა.

განმარტება Q 1. მოდით მივცეთ სისტემას პირველი შესაძლო მოძრაობა, როდესაც dj > 0, დ s = 0 (ნახ. 1.7, ა). ამ შემთხვევაში, როდ ABბრუნავს ღერძის გარშემო ზსაათის ისრის საწინააღმდეგოდ კუთხით dj, ბურთის შესაძლო მოძრაობები დდა ცენტრი ეწნელები მიმართულია სეგმენტის პერპენდიკულარულად ახ.წ, ზამბარის სიგრძე არ შეიცვლება. დავსვათ კოორდინატულ ფორმაში [იხ. ფორმულა (1.3b)]:

(გთხოვთ, გაითვალისწინოთ, რომ, შესაბამისად, ამ ძალის მიერ შესრულებული სამუშაო პირველ შესაძლო გადაადგილებაზე არის ნული).

გამოვხატოთ გადაადგილებები დ x Eდა დ xDდიჯეის მეშვეობით. ამისათვის ჩვენ ჯერ ვწერთ

შემდეგ, ფორმულის შესაბამისად (7) adj. 1 ჩვენ ვიპოვით

ნაპოვნი მნიშვნელობების ჩანაცვლებით ვიღებთ

ფორმულის გამოყენებით (1.4), იმის გათვალისწინებით, რომ , ჩვენ განვსაზღვრავთ

განმარტება Q 2. მოდით მივცეთ სისტემას მეორე შესაძლო მოძრაობა, როდესაც dj = 0, დ s> 0 (ნახ. 1.7, ბ). ამ შემთხვევაში, როდ ABდარჩება უმოძრაოდ და ბურთი მგადაადგილდება ღეროს გასწვრივ დ მანძილით ს. მოდით შევადგინოთ სამუშაოს ჯამი მითითებულ მოძრაობებზე:

განვსაზღვროთ

ძალის მნიშვნელობის ჩანაცვლება F 1ფორმულიდან (ა), ვიღებთ

1.5. სისტემის კინეტიკური ენერგიის გამოხატვა
განზოგადებულ კოორდინატებში

სისტემის კინეტიკური ენერგია უდრის მისი სხეულებისა და წერტილების კინეტიკური ენერგიების ჯამს (დანართი 2). მისაღებად ამისთვის თგამონათქვამმა (1.2) უნდა გამოხატოს სისტემის ყველა სხეულისა და წერტილის სიჩქარე განზოგადებული სიჩქარით კინემატიკის მეთოდების გამოყენებით. ამ შემთხვევაში სისტემა განიხილება თვითნებურ მდგომარეობაში, მისი ყველა განზოგადებული სიჩქარე ითვლება დადებითად, ანუ მიმართულია განზოგადებული კოორდინატების გაზრდისკენ.

მაგალითი 1. 7 (იხ. მდგომარეობა ნახ. 1.1)

მოდით განვსაზღვროთ სისტემის კინეტიკური ენერგია (ნახ. 1.8), ავიღოთ მანძილი განზოგადებული კოორდინატად. ს,

T = T A + T B.

ფორმულების მიხედვით (2) და (3) adj. 2 გვაქვს: .

ამ მონაცემების ჩანაცვლება თდა ამის გათვალისწინებით მივიღებთ

მაგალითი 1.8(იხ. პირობა ნახ. 1.2-ში)

მოდით განვსაზღვროთ სისტემის კინეტიკური ენერგია ნახ. 1.9, რაოდენობების განზოგადებულ კოორდინატებად აღება xDდა x A,

T = T A + T B + T D.

ფორმულების მიხედვით (2), (3), (4) adj. 2 ჩვენ ჩამოვწერთ

გამოვხატოთ V A, V D, w Bდა ვ ამეშვეობით:

W-ის განსაზღვრისას ამხედველობაში მიიღება, რომ პუნქტი ო(ნახ. 1.9) – ცილინდრის სიჩქარის მყისიერი ცენტრი ადა V k = V D(იხილეთ შესაბამისი განმარტებები, მაგალითად 2 დანართი 2).

მიღებული შედეგების ჩანაცვლება თდა იმის გათვალისწინებით, რომ

განვსაზღვროთ

მაგალითი 1.9(იხ. პირობა ნახ. 1.3-ზე)

მოდით განვსაზღვროთ სისტემის კინეტიკური ენერგია ნახ. 1.10, აღებული j და როგორც განზოგადებული კოორდინატები ს,

T = T AB + T D.

(1) და (3) ფორმულების მიხედვით adj. 2 გვაქვს

მოდით გამოვხატოთ w ABდა V დმეშვეობით და:

სად არის ბურთის გადაცემის სიჩქარე დ, მისი მოდული განისაზღვრება ფორმულით

მიმართულია სეგმენტის პერპენდიკულარულად ახ.წ j კუთხის გაზრდის მიმართულებით; - ბურთის ფარდობითი სიჩქარე, მისი მოდული განისაზღვრება ფორმულით, რომელიც მიმართულია კოორდინატების გაზრდისკენ ს. გაითვალისწინეთ, რომ პერპენდიკულარულია, ამიტომ

ამ შედეგების ჩანაცვლება თდა იმის გათვალისწინებით, რომ

1.6. დიფერენციალური განტოლებების შედგენა
მექანიკური სისტემების მოძრაობა

საჭირო განტოლებების მისაღებად აუცილებელია ლაგრანგის განტოლებებში (1.1) ჩანაცვლება სისტემის კინეტიკური ენერგიის ადრე ნაპოვნი გამოხატულება განზოგადებულ კოორდინატებში და განზოგადებულ ძალებში. ქ 1 , ქ 2 , … , Q n.

ნაწილობრივი წარმოებულების პოვნისას თგანზოგადებული კოორდინატების და განზოგადებული სიჩქარის გამოყენებით მხედველობაში უნდა იქნას მიღებული, რომ ცვლადები ქ 1 , ქ 2 , … , q n; განიხილება ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად. ეს ნიშნავს, რომ ნაწილობრივი წარმოებულის განსაზღვრისას თერთ-ერთი ამ ცვლადისთვის, ყველა სხვა ცვლადი გამოსახულებაში for თმუდმივებად უნდა ჩაითვალოს.

ოპერაციის შესრულებისას ცვლადში შემავალი ყველა ცვლადი დროში უნდა იყოს დიფერენცირებული.

ხაზს ვუსვამთ, რომ ლაგრანგის განტოლებები იწერება თითოეული განზოგადებული კოორდინატისთვის qi (მე = 1, 2,…n) სისტემები.

ანალიტიკურ მექანიკაში ძალის, როგორც ვექტორული სიდიდის კონცეფციასთან ერთად, რომელიც ახასიათებს მოცემულ სხეულზე სხვა მატერიალური სხეულების ზემოქმედებას, ისინი იყენებენ კონცეფციას: განზოგადებული ძალა. დადგენისთვის განზოგადებული ძალაგანვიხილოთ ძალების ვირტუალური მუშაობა, რომელიც გამოიყენება სისტემის წერტილებზე.

თუ მასზე დაწესებული ჰოლონომიური შემაკავებელი ძალებით მექანიკური სისტემა თაქვს კავშირები s =3ნ-სთთავისუფლების ხარისხები , შემდეგ განისაზღვრება ამ სისტემის პოზიცია (მე = ს)

განზოგადებული კოორდინატები და (2.11) : (2.13), (2.14) ვირტუალური გადაადგილების მიხედვით კ –ქულები

(2.13)

(2.14)

ჩანაცვლება (2.14): ძალების ვირტუალური მუშაობის ფორმულაში

(2.24), ვიღებთ

სკალარული რაოდენობა = (2.26)

დაურეკა განზოგადებული ძალა, შესაბამისი მეგანზოგადებული კოორდინატი.

განზოგადებული ძალაშესაბამისი ი-განზოგადებული კოორდინატი არის მულტიპლიკატორის ტოლი სიდიდე მოცემული განზოგადებული კოორდინატის ვარიაციისთვის მექანიკურ სისტემაზე მოქმედი ძალების ვირტუალური მუშაობის გამოხატულებაში.

ვირტუალური სამუშაოგანისაზღვრა

¾ მითითებული აქტიური ძალები შეზღუდვებისგან დამოუკიდებელი და

¾ დაწყვილების რეაქციები (თუ შეერთებები იდეალური არ არის, მაშინ პრობლემის გადასაჭრელად საჭიროა დამატებით დააყენოთ ფიზიკური დამოკიდებულება თ j-დან ნჯ, ( თ j ¾ ეს არის, როგორც წესი, ხახუნის ძალები ან მოძრავი ხახუნის წინააღმდეგობის მომენტები, რომელთა დადგენა შეგვიძლია).

Ზოგადად განზოგადებული ძალაარის განზოგადებული კოორდინატების, სისტემის წერტილების სიჩქარისა და დროის ფუნქცია. განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ განზოგადებული ძალა¾ არის სკალარული სიდიდე, რომელიც დამოკიდებულია მოცემული მექანიკური სისტემისთვის არჩეულ განზოგადებულ კოორდინატებზე. ეს ნიშნავს, რომ როდესაც იცვლება განზოგადებული კოორდინატების სიმრავლე, რომლებიც განსაზღვრავენ მოცემული სისტემის პოზიციას, განზოგადებული ძალები.

მაგალითი 2.10. რადიუსის მქონე დისკისთვის რდა მასა მ, რომელიც მოძრაობს დახრილ სიბრტყეზე სრიალის გარეშე (ნახ. 2.9), შეიძლება მივიღოთ განზოგადებულ კოორდინატად:

¾ ან q = s¾ დისკის მასის ცენტრის მოძრაობა,

¾ ან ქ= j ¾ დისკის ბრუნვის კუთხე. თუ უგულებელყოფთ მოძრავი წინააღმდეგობის გაწევას, მაშინ:

¾ პირველ შემთხვევაში განზოგადებული ძალანება

ბრინჯი. 2.9 Q s = მგ სინა, ა

¾ მეორე შემთხვევაში ¾ Q j = mg r cosa.

განზოგადებული კოორდინატი ასევე განსაზღვრავს შესაბამისის საზომ ერთეულს განზოგადებული ძალა.გამონათქვამიდან (2.25)

(2.27)

აქედან გამომდინარეობს, რომ საზომი ერთეული განზოგადებული ძალასამუშაო ერთეულის ტოლია განზოგადებული კოორდინატის ერთეულზე გაყოფილი.

თუ განზოგადებული კოორდინატის სახით ქმიღება q = sნებისმიერი წერტილის ¾ მოძრაობა, შემდეგ საზომი ერთეული განზოგადებული ძალა Q s ¾ იქნება [ნიუტონი] ,

თუ, როგორც ა ქ= j ¾ მიიღება სხეულის ბრუნვის კუთხე (რადანებში), შემდეგ საზომი ერთეული განზოგადებული ძალა Q j 2 იქნება [ ნიუტონ მეტრი].

მოდით ჩამოვწეროთ სისტემის წერტილებზე მოქმედი ძალების ელემენტარული სამუშაოების ჯამი სისტემის შესაძლო გადაადგილებაზე:

დაე ჰოლონომიკურ სისტემას ჰქონდეს თავისუფლების ხარისხი და, შესაბამისად, მისი პოზიცია სივრცეში განისაზღვრება განზოგადებული კოორდინატები
.

(225) ჩანაცვლება (226)-ით და შეკრების რიგის შეცვლა ინდექსებით და , ვიღებთ

. (226")

სად არის სკალარული რაოდენობა

დაურეკა განზოგადებულ კოორდინატთან დაკავშირებული განზოგადებული ძალა . ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლის კარგად ცნობილი გამოხატვის გამოყენებით, გადაცემული ძალა ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

– ძალის პროგნოზები კოორდინატთა ღერძებზე;
– ძალის გამოყენების წერტილის კოორდინატები.

განზოგადებული ძალის განზომილება (226") შესაბამისად დამოკიდებულია განზომილებაზე შემდეგნაირად , განზომილებას ემთხვევა :

, (228)

ანუ განზოგადებული ძალის განზომილება უდრის ძალის (ენერგიის) მუშაობის განზომილებას ან ძალის მომენტს, გაყოფილი განზოგადებული კოორდინატის განზომილებაზე, რომელსაც ენიჭება განზოგადებული ძალა. აქედან გამომდინარეობს, რომ განზოგადებულ ძალას შეიძლება ჰქონდეს ძალის განზომილება ან ძალის მომენტი.

განზოგადებული ძალის გამოთვლა

1. განზოგადებული ძალა შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით (227), რომელიც განსაზღვრავს მას, ე.ი.

2. განზოგადებული ძალები შეიძლება გამოითვალოს კოეფიციენტებად განზოგადებული კოორდინატების შესაბამისი ვარიაციებისთვის ელემენტარული სამუშაოს გამოსახულებაში (226"), ე.ი.

3. განზოგადებული ძალების გამოთვლის ყველაზე შესაფერისი მეთოდი, რომელიც მიღებულია (226 ""), არის თუ სისტემას მიეცემა ისეთი შესაძლო მოძრაობა, რომ მხოლოდ ერთი განზოგადებული კოორდინატი იცვლება, ხოლო დანარჩენები არ იცვლება. ასე რომ, თუ
, და დანარჩენი
, შემდეგ (179")-დან გვაქვს

.

ინდექსი მიუთითებს, რომ ელემენტარული სამუშაოების ჯამი გამოითვლება შესაძლო გადაადგილებაზე, რომლის დროსაც იცვლება მხოლოდ კოორდინატი (იცვლება) . თუ ცვლადი კოორდინატი არის , ეს

. (227")

ძალთა სისტემის წონასწორობის პირობები განზოგადებული ძალების თვალსაზრისით

სისტემის წონასწორობის პირობები მომდინარეობს შესაძლო მოძრაობების პრინციპიდან. ისინი ვრცელდება სისტემებზე, რომლებისთვისაც მოქმედებს ეს პრინციპი: მექანიკური სისტემის წონასწორობისთვის, რომელიც ექვემდებარება ჰოლონომიურ, სტაციონალურ, იდეალურ და არაგანთავისუფლების შეზღუდვებს, იმ მომენტში, როდესაც სისტემის ყველა წერტილის სიჩქარე ნულის ტოლია, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ყველა განზოგადებული ძალა იყოს ნულის ტოლი.

. (228")

3.6.7. დინამიკის ზოგადი განტოლება

დინამიკის ზოგადი განტოლება ნებისმიერი კავშირის მქონე სისტემისთვის (კომბინირებული d'Alembert-Lagrange პრინციპიან მექანიკის ზოგადი განტოლება):

, (229)

სად - აქტიური ძალა გამოიყენება -სისტემის პუნქტი; - ბმების რეაქციის სიძლიერე;
– წერტილის ინერციის ძალა; - შესაძლო მოძრაობა.

სისტემის წონასწორობის შემთხვევაში, როდესაც სისტემის წერტილების ყველა ინერციული ძალა ქრება, ის გადადის შესაძლო გადაადგილების პრინციპში. ჩვეულებრივ გამოიყენება იდეალური კავშირების მქონე სისტემებისთვის, რისთვისაც პირობა დაკმაყოფილებულია

ამ შემთხვევაში (229) იღებს ერთ-ერთ ფორმას:

,

,

. (230)

ამრიგად, დინამიკის ზოგადი განტოლების მიხედვით, იდეალური შეერთებების მქონე სისტემის მოძრაობის ნებისმიერ მომენტში, ყველა აქტიური ძალების ელემენტარული სამუშაოების ჯამი და სისტემის წერტილების ინერციული ძალების ჯამი ნულის ტოლია სისტემის ნებისმიერ შესაძლო მოძრაობაზე. კავშირებით.

დინამიკის ზოგად განტოლებას შეიძლება მივცეთ სხვა, ექვივალენტური ფორმები. ვექტორების სკალარული ნამრავლის გაფართოებით, ის შეიძლება გამოისახოს როგორც

სად
- კოორდინატები - სისტემის პუნქტი. იმის გათვალისწინებით, რომ კოორდინატთა ღერძებზე ინერციის ძალების პროგნოზები ამ ღერძებზე აჩქარების პროექციებით გამოიხატება მიმართებით

,

დინამიკის ზოგადი განტოლება შეიძლება მიეცეს ფორმას

ამ ფორმით მას ე.წ დინამიკის ზოგადი განტოლება ანალიტიკური ფორმით.

დინამიკის ზოგადი განტოლების გამოყენებისას აუცილებელია სისტემის ინერციული ძალების ელემენტარული მუშაობის გამოთვლა შესაძლო გადაადგილებებზე. ამისათვის გამოიყენეთ ჩვეულებრივი ძალებისთვის მიღებული ელემენტარული სამუშაოს შესაბამისი ფორმულები. განვიხილოთ მათი გამოყენება ხისტი სხეულის ინერციულ ძალებზე მისი მოძრაობის კონკრეტულ შემთხვევებში.

წინ მოძრაობის დროს. ამ შემთხვევაში სხეულს აქვს თავისუფლების სამი ხარისხი და, დაწესებული შეზღუდვების გამო, შეუძლია მხოლოდ მთარგმნელობითი მოძრაობის შესრულება. სხეულის შესაძლო მოძრაობები, რომლებიც კავშირების საშუალებას იძლევა, ასევე მთარგმნელობითია.

ინერციის ძალები მთარგმნელობითი მოძრაობის დროს მცირდება შედეგამდე
. სხეულის შესაძლო გადამყვან მოძრაობაზე ინერციული ძალების ელემენტარული სამუშაოების ჯამისთვის ვიღებთ

სად
– მასის ცენტრისა და სხეულის ნებისმიერი წერტილის შესაძლო მოძრაობა, ვინაიდან სხეულის ყველა წერტილის ტრანსლაციის შესაძლო მოძრაობა ერთნაირია: აჩქარებებიც იგივეა, ე.ი.
.

როდესაც ხისტი სხეული ბრუნავს ფიქსირებული ღერძის გარშემო. სხეულს ამ შემთხვევაში აქვს თავისუფლების ერთი ხარისხი. მას შეუძლია ფიქსირებული ღერძის გარშემო ბრუნვა
. შესაძლო მოძრაობა, რომელიც დაშვებულია ზედმიწევნითი კავშირებით, არის აგრეთვე სხეულის ბრუნვა ელემენტარული კუთხით.
ფიქსირებული ღერძის გარშემო.

ინერციის ძალები შემცირდა წერტილამდე ბრუნვის ღერძზე, მცირდება მთავარ ვექტორამდე და მთავარი
. ინერციული ძალების ძირითადი ვექტორი გამოიყენება ფიქსირებულ წერტილზე და მისი ელემენტარული მუშაობა შესაძლო გადაადგილებაზე არის ნული. ინერციული ძალების ძირითადი მომენტისთვის, არანულოვანი ელემენტარული სამუშაო შესრულდება მხოლოდ ბრუნვის ღერძზე მისი პროექციით.
. ამრიგად, განსახილველ შესაძლო გადაადგილებაზე ინერციის ძალების მუშაობის ჯამისთვის გვაქვს

,

თუ კუთხე
მოხსენება კუთხური აჩქარების რკალის ისრის მიმართულებით .

ბრტყელ მოძრაობაში. ამ შემთხვევაში, ხისტ სხეულზე დაწესებული შეზღუდვები იძლევა მხოლოდ შესაძლო პლანტურ მოძრაობას. ზოგად შემთხვევაში, იგი შედგება პოლუსთან ერთად შესაძლო გადაადგილებისგან, რისთვისაც ვირჩევთ მასის ცენტრს და ბრუნვას ელემენტარული კუთხით.
ღერძის გარშემო
, გადის მასის ცენტრში და პერპენდიკულარულია იმ სიბრტყის პარალელურად, რომლის პარალელურადაც სხეულს შეუძლია შეასრულოს სიბრტყე მოძრაობა.

ვინაიდან ხისტი სხეულის სიბრტყე მოძრაობაში ინერციული ძალები შეიძლება შემცირდეს მთავარ ვექტორამდე და მთავარი
(თუ შემცირების ცენტრად ვირჩევთ მასის ცენტრს), მაშინ ინერციის ძალების ელემენტარული მუშაობის ჯამი სიბრტყეზე შესაძლო გადაადგილებაზე დაიყვანება ინერციის ძალის ვექტორის ელემენტარულ მუშაობამდე.
მასის ცენტრის შესაძლო მოძრაობაზე და ინერციის ძალების ძირითადი მომენტის ელემენტარულ მუშაობაზე ელემენტარული ბრუნვის მოძრაობაზე ღერძის გარშემო
, გადის მასის ცენტრში. ამ შემთხვევაში, არანულოვანი ელემენტარული სამუშაო შეიძლება შესრულდეს მხოლოდ ინერციის ძალების ძირითადი მომენტის ღერძზე პროექციით.
, ე.ი.
. ამრიგად, განსახილველ შემთხვევაში გვაქვს

თუ ბრუნი არის ელემენტარული კუთხით
პირდაპირ რკალის ისრში .

რა თქმა უნდა, ამ განზოგადებული ძალის გამოთვლისას პოტენციური ენერგია უნდა განისაზღვროს განზოგადებული კოორდინატების ფუნქციით.

P = P ( ქ 1 , ქ 2 , ქ 3 ,…,qs).

შენიშვნები.

Პირველი. განზოგადებული რეაქციის ძალების გაანგარიშებისას იდეალური კავშირები არ არის გათვალისწინებული.

მეორე. განზოგადებული ძალის განზომილება დამოკიდებულია განზოგადებული კოორდინატის განზომილებაზე. ასე რომ, თუ განზომილება [ ქ] – მეტრი, შემდეგ განზომილება

[Q]= Nm/m = ნიუტონი, თუ [ ქ] – რადიანი, შემდეგ [Q] = Nm; თუ [ ქ] = m 2, შემდეგ [Q] = H/m და ა.შ.

მაგალითი 4.ვერტიკალურ სიბრტყეში მოძრავი ღეროს გასწვრივ ბეჭედი სრიალებს. მწონა რ(ნახ. 10). ჩვენ მიგვაჩნია, რომ ჯოხი უწონად. განვსაზღვროთ განზოგადებული ძალები.

სურ.10

გამოსავალი.სისტემას აქვს თავისუფლების ორი ხარისხი. ჩვენ ვანიჭებთ ორ განზოგადებულ კოორდინატს სდა .

ვიპოვოთ განზოგადებული ძალა, რომელიც შეესაბამება კოორდინატს ს.ჩვენ ვაძლევთ ამ კოორდინატს ნამატს, ვტოვებთ კოორდინატს უცვლელად და ვიანგარიშებთ ერთადერთი აქტიური ძალის მუშაობას. რ, ვიღებთ განზოგადებულ ძალას

შემდეგ ჩვენ ვამატებთ კოორდინატს, ვარაუდით ს= კონსტ. როდესაც ღერო ბრუნავს კუთხით, ძალის გამოყენების წერტილი რ, ბეჭედი მ, გადავა . განზოგადებული ძალა იქნება

ვინაიდან სისტემა კონსერვატიულია, განზოგადებული ძალები ასევე შეიძლება მოიძებნოს პოტენციური ენერგიის გამოყენებით. ვიღებთ და . გაცილებით მარტივი გამოდის.

ლაგრანჟის წონასწორობის განტოლებები

განმარტებით (7) განზოგადებული ძალები , კ = 1,2,3,…,ს, სად ს- თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა.

თუ სისტემა წონასწორობაშია, მაშინ შესაძლო გადაადგილების პრინციპის მიხედვით (1) . აქ არის კავშირებით დაშვებული მოძრაობები, შესაძლო მოძრაობები. ამიტომ, როდესაც მატერიალური სისტემა წონასწორობაშია, მისი ყველა განზოგადებული ძალა ნულის ტოლია:

ქ კ= 0, (კ=1,2,3,…, ს). (10)

ეს განტოლებები წონასწორობის განტოლებები განზოგადებულ კოორდინატებშიან ლაგრანჟის წონასწორობის განტოლებები , დაუშვით კიდევ ერთი მეთოდი სტატიკური პრობლემების გადასაჭრელად.

თუ სისტემა კონსერვატიულია, მაშინ. ეს ნიშნავს, რომ ის წონასწორობის მდგომარეობაშია. ანუ ასეთი მატერიალური სისტემის წონასწორობის მდგომარეობაში მისი პოტენციური ენერგია არის ან მაქსიმალური ან მინიმალური, ე.ი. ფუნქცია П(q) აქვს უკიდურესი.

ეს აშკარაა უმარტივესი მაგალითის ანალიზიდან (სურ. 11). ბურთის პოტენციური ენერგია პოზიციაში მ 1-ს აქვს მინიმუმი, პოზიციაზე მ 2 - მაქსიმუმ. შეიძლება შეინიშნოს, რომ პოზიციაზე მ 1 წონასწორობა იქნება სტაბილური; ორსული მ 2 - არასტაბილური.

სურ.11

წონასწორობა ითვლება სტაბილურად, თუ ამ მდგომარეობაში მყოფ სხეულს მიეცემა დაბალი სიჩქარე ან გადაადგილდება მცირე მანძილზე და ეს გადახრები არ გაიზრდება მომავალში.

შეიძლება დადასტურდეს (ლაგრანჟ-დირიხლეს თეორემა), რომ თუ კონსერვატიული სისტემის წონასწორობის მდგომარეობაში მის პოტენციურ ენერგიას აქვს მინიმალური, მაშინ ეს წონასწორობა სტაბილურია.

ერთი ხარისხის თავისუფლების მქონე კონსერვატიული სისტემისთვის, მინიმალური პოტენციური ენერგიის პირობა და, შესაბამისად, წონასწორული პოზიციის სტაბილურობა განისაზღვრება მეორე წარმოებულით, მისი მნიშვნელობა წონასწორობის პოზიციაში,

მაგალითი 5.ბირთვი OAწონა რშეუძლია ვერტიკალურ სიბრტყეში ბრუნვა ღერძის გარშემო შესახებ(სურ. 12). ვიპოვოთ და შევისწავლოთ წონასწორობის პოზიციების სტაბილურობა.

სურ.12

გამოსავალი.ჯოხს აქვს თავისუფლების ერთი ხარისხი. განზოგადებული კოორდინატი – კუთხე.

ქვედა, ნულოვანი პოზიციის მიმართ, პოტენციური ენერგია P = Phან

წონასწორობის მდგომარეობაში უნდა იყოს . აქედან გამომდინარე, გვაქვს ორი წონასწორული პოზიცია, რომლებიც შეესაბამება კუთხეებს და (პოზიციებს OA 1 და OA 2). მოდით გამოვიკვლიოთ მათი სტაბილურობა. მეორე წარმოებულის პოვნა. რა თქმა უნდა, ერთად,. წონასწორობის პოზიცია სტაბილურია. ზე, . მეორე წონასწორობის პოზიცია არასტაბილურია. შედეგები აშკარაა.

განზოგადებული ინერციული ძალები.

იგივე მეთოდის გამოყენებით (8), რომლითაც გამოითვალეს განზოგადებული ძალები ქ კმოქმედი, განსაზღვრული, ძალების შესაბამისი, განზოგადებული ძალებიც განისაზღვრება ს კსისტემის წერტილების ინერციის ძალების შესაბამისი:

და მას შემდეგ რომ

რამდენიმე მათემატიკური ტრანსფორმაცია.

ცხადია,

ვინაიდან qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), მაშინ

ეს ნიშნავს, რომ სიჩქარის ნაწილობრივი წარმოებული მიმართებით

გარდა ამისა, ბოლო ტერმინში (14) შეგიძლიათ შეცვალოთ დიფერენციაციის რიგი:

(15) და (16) ჩანაცვლებით (14) და შემდეგ (14) (13)-ში, მივიღებთ

ბოლო ჯამის ორზე გაყოფა და იმის გათვალისწინებით, რომ წარმოებულთა ჯამი ტოლია ჯამის წარმოებულის, მივიღებთ

სად არის სისტემის კინეტიკური ენერგია და არის განზოგადებული სიჩქარე.

ლაგრანგის განტოლებები.

განმარტებით (7) და (12) განზოგადებული ძალები

მაგრამ ზოგადი დინამიკის განტოლების საფუძველზე (3), ტოლობის მარჯვენა მხარე ნულის ტოლია. და რადგან ყველაფერი ( კ = 1,2,3,…,ს) განსხვავდება ნულიდან, მაშინ . განზოგადებული ინერციის ძალის (17) მნიშვნელობის ჩანაცვლებით ვიღებთ განტოლებას

ეს განტოლებები განზოგადებულ კოორდინატებში მოძრაობის დიფერენციალურ განტოლებებს უწოდებენ, მეორე სახის ლაგრანგის განტოლებებს ან უბრალოდ – ლაგრანგის განტოლებები.

ამ განტოლებათა რაოდენობა უდრის მატერიალური სისტემის თავისუფლების ხარისხების რაოდენობას.

თუ სისტემა კონსერვატიულია და მოძრაობს პოტენციური ველის ძალების გავლენის ქვეშ, როდესაც განზოგადებული ძალებია, ლაგრანგის განტოლებები შეიძლება შედგეს სახით

სად ლ = თ– პ ეძახიან ლაგრანგის ფუნქცია (ვარაუდობენ, რომ პოტენციური ენერგია P არ არის დამოკიდებული განზოგადებულ სიჩქარეებზე).

ხშირად, მატერიალური სისტემების მოძრაობის შესწავლისას, აღმოჩნდება, რომ ზოგიერთი განზოგადებული კოორდინატები q jპირდაპირ არ შედის ლაგრანგის ფუნქციაში (ან თდა P). ასეთ კოორდინატებს ე.წ ციკლური. ამ კოორდინატების შესაბამისი ლაგრანგის განტოლებები უფრო მარტივად მიიღება.

ასეთი განტოლების პირველი ინტეგრალი შეიძლება მოიძებნოს დაუყოვნებლივ. მას ციკლური ინტეგრალი ეწოდება:

ლაგრანჟის განტოლებების შემდგომი კვლევები და გარდაქმნები წარმოადგენს თეორიული მექანიკის სპეციალური განყოფილების საგანს - „ანალიტიკური მექანიკა“.

ლაგრანჟის განტოლებებს არაერთი უპირატესობა აქვს სისტემების მოძრაობის შესწავლის სხვა მეთოდებთან შედარებით. ძირითადი უპირატესობები: განტოლებების შედგენის მეთოდი ყველა ამოცანებში ერთნაირია, იდეალური კავშირების რეაქციები არ არის გათვალისწინებული ამოცანების ამოხსნისას.

და კიდევ ერთი - ამ განტოლებების გამოყენება შესაძლებელია არა მხოლოდ მექანიკური, არამედ სხვა ფიზიკური სისტემების (ელექტრული, ელექტრომაგნიტური, ოპტიკური და ა.შ.) შესასწავლად.

მაგალითი 6.გავაგრძელოთ ბეჭდის მოძრაობის შესწავლა მსაქანელ ჯოხზე (მაგალითი 4).

გენერალიზებული კოორდინატები ენიჭება – და s (ნახ. 13). განზოგადებული ძალები განისაზღვრება: და .

სურ.13

გამოსავალი.ბეჭდის კინეტიკური ენერგია სადაც a და .

ჩვენ ვადგენთ ლაგრანგის ორ განტოლებას

მაშინ განტოლებები ასე გამოიყურება:

ჩვენ მივიღეთ ორი არაწრფივი მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლება, რომელთა ამოხსნა მოითხოვს სპეციალურ მეთოდებს.

მაგალითი 7.შევქმნათ სხივის მოძრაობის დიფერენციალური განტოლება AB, რომელიც გორავს ცილინდრული ზედაპირის გასწვრივ სრიალის გარეშე (სურ. 14). სხივის სიგრძე AB = ლწონა - რ.

წონასწორობის მდგომარეობაში, სხივი იყო ჰორიზონტალური და სიმძიმის ცენტრი თანიგი მდებარეობდა ცილინდრის ზედა წერტილში. სხივს აქვს თავისუფლების ერთი ხარისხი. მისი პოზიცია განისაზღვრება განზოგადებული კოორდინატით - კუთხით (სურ. 76).

სურ.14

გამოსავალი.სისტემა კონსერვატიულია. მაშასადამე, ჩვენ შევადგენთ ლაგრანჟის განტოლებას პოტენციური ენერგიის P=mgh გამოყენებით, რომელიც გამოითვლება ჰორიზონტალურ მდგომარეობასთან მიმართებაში. შეხების ადგილას არის სიჩქარის მყისიერი ცენტრი და (უდრის წრიული რკალის სიგრძეს კუთხით).

ამიტომ (იხ. სურ. 76) და.

კინეტიკური ენერგია (სხივი ექვემდებარება სიბრტყის პარალელურ მოძრაობას)

ვპოულობთ განტოლებისთვის საჭირო წარმოებულებს და

მოდით გავაკეთოთ განტოლება

ან, ბოლოს და ბოლოს,

თვითტესტის კითხვები

რა ჰქვია შეზღუდული მექანიკური სისტემის შესაძლო მოძრაობას?

როგორ არის დაკავშირებული სისტემის შესაძლო და რეალური მოძრაობები?

რა კავშირებს უწოდებენ: ა) სტაციონარული; ბ) იდეალური?

ჩამოაყალიბეთ შესაძლო მოძრაობის პრინციპი. დაწერეთ მისი ფორმულის გამოხატულება.

შესაძლებელია თუ არა ვირტუალური მოძრაობების პრინციპის გამოყენება არაიდეალური კავშირების მქონე სისტემებზე?

რა არის მექანიკური სისტემის განზოგადებული კოორდინატები?

რა არის მექანიკური სისტემის თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა?

რა შემთხვევაშია სისტემაში არსებული წერტილების დეკარტის კოორდინატები დამოკიდებული არა მხოლოდ განზოგადებულ კოორდინატებზე, არამედ დროზეც?

რა ჰქვია მექანიკური სისტემის შესაძლო მოძრაობებს?

დამოკიდებულია თუ არა შესაძლო მოძრაობები სისტემაზე მოქმედ ძალებზე?

მექანიკური სისტემის რომელ კავშირებს ეწოდება იდეალური?

რატომ არ არის ხახუნით შექმნილი ბმა იდეალური კავშირი?

როგორ არის ჩამოყალიბებული შესაძლო მოძრაობების პრინციპი?

რა ტიპები შეიძლება ჰქონდეს სამუშაო განტოლებას?

რატომ ამარტივებს შესაძლო გადაადგილების პრინციპი წონასწორობის პირობების წარმოქმნას ძალებისთვის, რომლებიც გამოიყენება შეზღუდულ სისტემებზე, რომლებიც შედგება დიდი რაოდენობით სხეულებისგან?

როგორ აგებულია სამუშაო განტოლებები მექანიკურ სისტემაზე მოქმედი ძალებისთვის თავისუფლების რამდენიმე ხარისხით?

რა კავშირია მამოძრავებელ ძალასა და წინააღმდეგობის ძალას შორის მარტივ მანქანებში?

როგორ არის ჩამოყალიბებული მექანიკის ოქროს წესი?

როგორ განისაზღვრება კავშირების რეაქციები შესაძლო მოძრაობის პრინციპის გამოყენებით?

რა კავშირებს ჰქვია ჰოლონომიური?

რა არის მექანიკური სისტემის თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა?

როგორია სისტემის განზოგადებული კოორდინატები?

რამდენი განზოგადებული კოორდინატი აქვს არათავისუფალ მექანიკურ სისტემას?

რამდენი გრადუსი თავისუფლება აქვს მანქანის საჭეს?

რა არის განზოგადებული ძალა?

ჩამოწერეთ ფორმულა, რომელიც გამოხატავს სისტემაზე გამოყენებული ყველა ძალის მთლიან ელემენტარულ მუშაობას განზოგადებული კოორდინატებით.

როგორ განისაზღვრება განზოგადებული ძალის განზომილება?

როგორ გამოითვლება გენერალიზებული ძალები კონსერვატიულ სისტემებში?

ჩამოწერეთ იდეალური კავშირების მქონე სისტემის დინამიკის ზოგადი განტოლების გამომხატველი ერთ-ერთი ფორმულა. რა არის ამ განტოლების ფიზიკური მნიშვნელობა?

რა არის სისტემაზე გამოყენებული აქტიური ძალების განზოგადებული ძალა?

რა არის განზოგადებული ინერციული ძალა?

ჩამოაყალიბეთ დ'ალმბერის პრინციპი განზოგადებულ ძალებში.

რა არის დინამიკის ზოგადი განტოლება?

რა ჰქვია განზოგადებულ ძალას, რომელიც შეესაბამება სისტემის ზოგიერთ განზოგადებულ კოორდინატს და რა განზომილება აქვს მას?

როგორია იდეალური ბმების განზოგადებული რეაქციები?

გამოიტანეთ დინამიკის ზოგადი განტოლება განზოგადებულ ძალებში.

როგორია წონასწორობის პირობები განზოგადებული ძალების დინამიკის ზოგადი განტოლებიდან მიღებული მექანიკური სისტემის მიმართ გამოყენებული ძალებისთვის?

რა ფორმულები გამოხატავს განზოგადებულ ძალებს დეკარტის კოორდინატების ფიქსირებულ ღერძებზე ძალების პროექციით?

როგორ განისაზღვრება განზოგადებული ძალები კონსერვატიული და არაკონსერვატიული ძალების შემთხვევაში?

რა კავშირებს უწოდებენ გეომეტრიულს?

მიეცით შესაძლო გადაადგილების პრინციპის ვექტორული წარმოდგენა.

დაასახელეთ იდეალური სტაციონარული გეომეტრიული კავშირების მქონე მექანიკური სისტემის წონასწორობის აუცილებელი და საკმარისი პირობა.

რა თვისება აქვს კონსერვატიული სისტემის ძალის ფუნქციას წონასწორობის მდგომარეობაში?

ჩამოწერეთ ლაგრანგის მეორე სახის დიფერენციალური განტოლებების სისტემა.

რამდენი ლაგრანგის მეორე ტიპის განტოლება შეიძლება აშენდეს შეზღუდული მექანიკური სისტემისთვის?

დამოკიდებულია თუ არა მექანიკური სისტემის ლაგრანგის განტოლებათა რაოდენობა სისტემაში შემავალი სხეულების რაოდენობაზე?

რა არის სისტემის კინეტიკური პოტენციალი?

რომელი მექანიკური სისტემებისთვის არსებობს ლაგრანჟის ფუნქცია?

რა არგუმენტებით არის მექანიკური სისტემის კუთვნილი წერტილის სიჩქარის ვექტორის ფუნქცია სთავისუფლების ხარისხები?

რა არის სისტემის წერტილის სიჩქარის ვექტორის ნაწილობრივი წარმოებული ზოგიერთი განზოგადებული სიჩქარის მიმართ?

რომელი არგუმენტების ფუნქციაა სისტემის კინეტიკური ენერგია ექვემდებარება ჰოლონომიურ არასტაციონარულ შეზღუდვებს?

რა ფორმა აქვს ლაგრანგის მეორე სახის განტოლებებს? რა არის ამ განტოლებების რაოდენობა თითოეული მექანიკური სისტემისთვის?

რა ფორმას იღებს მეორე სახის ლაგრანჟის განტოლებები იმ შემთხვევაში, როდესაც სისტემაზე ერთდროულად მოქმედებს კონსერვატიული და არაკონსერვატიული ძალები?

რა არის ლაგრანგის ფუნქცია, ანუ კინეტიკური პოტენციალი?

რა ფორმა აქვს მეორე ტიპის ლაგრანგის განტოლებებს კონსერვატიული სისტემისთვის?

რა ცვლადებზეა დამოკიდებული მექანიკური სისტემის კინეტიკური ენერგია ლაგრანჟის განტოლებების შედგენისას?

როგორ განისაზღვრება მექანიკური სისტემის პოტენციური ენერგია დრეკადობის ძალების გავლენის ქვეშ?

დამოუკიდებლად გადასაჭრელი პრობლემები

დავალება 1.შესაძლო გადაადგილების პრინციპის გამოყენებით განსაზღვრეთ კომპოზიციური სტრუქტურების შეერთების რეაქციები. სტრუქტურული დიაგრამები ნაჩვენებია ნახ. 15, ხოლო ამოხსნისთვის საჭირო მონაცემები მოცემულია ცხრილში. 1. სურათებზე ყველა ზომა არის მეტრებში.

ცხრილი 1

ვარიანტი 1 ვარიანტი 2

ვარიანტი 3 ვარიანტი 4

ვარიანტი 5 ვარიანტი 6

ვარიანტი 7 ვარიანტი 8

სურ.16 სურ.17

გამოსავალი.ადვილი დასადასტურებელია, რომ ამ პრობლემაში დაკმაყოფილებულია ლაგრანგის პრინციპის გამოყენების ყველა პირობა (სისტემა წონასწორობაშია, კავშირები სტაციონარული, ჰოლონომიური, შეზღუდული და იდეალურია).

გავთავისუფლდეთ რეაქციის შესაბამისი კავშირისგან X A (სურ. 17). ამისათვის, A წერტილში, ფიქსირებული ანჯა უნდა შეიცვალოს, მაგალითად, ღეროს საყრდენით, ამ შემთხვევაში სისტემა იღებს თავისუფლების ერთ ხარისხს. როგორც უკვე აღვნიშნეთ, სისტემის შესაძლო მოძრაობა განისაზღვრება მასზე დაწესებული შეზღუდვებით და არ არის დამოკიდებული გამოყენებული ძალებზე. აქედან გამომდინარე, შესაძლო გადაადგილების განსაზღვრა კინემატიკური პრობლემაა. ვინაიდან ამ მაგალითში ჩარჩოს გადაადგილება შეუძლია მხოლოდ სურათის სიბრტყეში, მისი შესაძლო მოძრაობები ასევე პლანშეტურია. სიბრტყეზე მოძრაობისას სხეულის მოძრაობა შეიძლება ჩაითვალოს ბრუნად სიჩქარის მყისიერი ცენტრის გარშემო. თუ სიჩქარის მყისიერი ცენტრი დევს უსასრულობაში, მაშინ ეს შეესაბამება მყისიერი მთარგმნელობითი მოძრაობის შემთხვევას, როდესაც სხეულის ყველა წერტილის გადაადგილება ერთნაირია.

სიჩქარის მყისიერი ცენტრის საპოვნელად საჭიროა ვიცოდეთ სხეულის ნებისმიერი ორი წერტილის სიჩქარის მიმართულებები. ამიტომ, კომპოზიტური სტრუქტურის შესაძლო გადაადგილების განსაზღვრა უნდა დაიწყოს იმ ელემენტის შესაძლო გადაადგილების მოძიებით, რომლისთვისაც ცნობილია ასეთი სიჩქარე. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა დაიწყოთ ჩარჩო CDB, რადგან მისი წერტილი INარის უმოძრაო და, მაშასადამე, ამ ჩარჩოს შესაძლო მოძრაობა არის მისი ბრუნვა ღერძის გარშემო კუთხით, რომელიც გადის საკინძით B. ახლა, ვიცით წერტილის შესაძლო მოძრაობა თან(იგი ერთდროულად მიეკუთვნება სისტემის ორივე ჩარჩოს) და წერტილის შესაძლო მოძრაობას ა(A წერტილის შესაძლო მოძრაობა არის მისი მოძრაობა ღერძის გასწვრივ X), იპოვეთ ჩარჩოს მყისიერი სიჩქარის ცენტრი C 1 AES. ამრიგად, ჩარჩოს შესაძლო მოძრაობა AESარის მისი ბრუნვა C 1 წერტილის გარშემო კუთხით. კუთხეებს შორის კავშირი განისაზღვრება C წერტილის მოძრაობით (იხ. სურ. 17)

სამკუთხედების EC 1 C და BCD მსგავსებიდან გვაქვს

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ დამოკიდებულებებს:

შესაძლო მოძრაობების პრინციპის მიხედვით

მოდით თანმიმდევრულად გამოვთვალოთ აქ შეტანილი შესაძლო სამუშაოები:

Q=2q – განაწილებული დატვირთვის შედეგი, რომლის გამოყენების წერტილი ნაჩვენებია ნახ. 79; მის მიერ შესრულებული შესაძლო სამუშაო თანაბარია.