თეორიის აგების აქსიომატური მეთოდის შესახებ. ნატურალური რიცხვის განმარტება

ნებისმიერი მათემატიკური თეორიის აქსიომატიურად აგებისას გარკვეული წესები:

· თეორიის ზოგიერთი ცნება არჩეულია საბაზისო და მიღებული განმარტების გარეშე;

· თეორიის თითოეულ ცნებას, რომელიც არ არის შეტანილი ძირითადთა ჩამონათვალში, მოცემულია განმარტება;

· ჩამოყალიბებულია აქსიომები - დებულებები, რომლებიც მოცემულ თეორიაში მიღებულია მტკიცების გარეშე; ისინი ავლენენ ძირითადი ცნებების თვისებებს;

· თეორიის ყველა დებულება, რომელიც არ არის აქსიომების ჩამონათვალში, უნდა დადასტურდეს; ასეთ დებულებებს თეორემებს უწოდებენ და დასტურდება აქსიომებისა და თეორემების საფუძველზე.

თეორიის აქსიომატური კონსტრუქციისას, ყველა დებულება გამომდინარეობს აქსიომებიდან მტკიცების გზით.

აქედან გამომდინარე, აქსიომების სისტემაზე ვრცელდება სპეციალური მოთხოვნები. მოთხოვნები:

· თანმიმდევრულობა (აქსიომების სისტემას ეწოდება თანმიმდევრული, თუ მისგან ორი ურთიერთგამომრიცხავი დებულება ლოგიკურად ვერ გამოიყვანება);

· დამოუკიდებლობა (აქსიომების სისტემას ეწოდება დამოუკიდებელი, თუ ამ სისტემის არც ერთი აქსიომა არ არის სხვა აქსიომების შედეგი).

მასში მითითებული მიმართებით სიმრავლეს ეწოდება მოცემული აქსიომური სისტემის მოდელი, თუ მასში მოცემული სისტემის ყველა აქსიომა დაკმაყოფილებულია.

ნატურალური რიცხვების სიმრავლისთვის აქსიომების სისტემის აგების მრავალი გზა არსებობს. მაგალითად, რიცხვების ჯამი ან რიგის მიმართება შეიძლება იქნას მიღებული, როგორც ძირითადი კონცეფცია. ნებისმიერ შემთხვევაში, თქვენ უნდა განსაზღვროთ აქსიომების სისტემა, რომელიც აღწერს ძირითადი ცნებების თვისებებს.

მოდით მივცეთ აქსიომების სისტემა, რომელიც მივიღებთ მიმატების მოქმედების ძირითად კონცეფციას.

არა ცარიელი ნაკრები ნჩვენ ვუწოდებთ მას ნატურალური რიცხვების ერთობლიობას, თუ მასში ოპერაცია არის განსაზღვრული (ა; ბ) → a + b, რომელსაც ეწოდება დამატება და აქვს შემდეგი თვისებები:

1. მიმატება არის შემცვლელი, ე.ი. a + b = b + a.

2. მიმატება ასოციაციურია, ე.ი. (a + b) + c = a + (b + c).

4. ნებისმიერ კომპლექტში ა, რომელიც კომპლექტის ქვეჯგუფია ნ, სად აარის რიცხვი და ისეთი, რომ ყველაფერი ჰა, თანაბარია a+b, სად bN.

1-4 აქსიომები საკმარისია ნატურალური რიცხვების მთელი არითმეტიკის ასაგებად. მაგრამ ასეთი კონსტრუქციით უკვე შეუძლებელია დაეყრდნო სასრულ სიმრავლეთა თვისებებს, რომლებიც არ არის ასახული ამ აქსიომებში.

საბაზისო კონცეფციად ავიღოთ არაცარიელ სიმრავლეზე განსაზღვრული მიმართება „პირდაპირ მიყვება...“. ნ. მაშინ რიცხვების ნატურალური რიგი იქნება N სიმრავლე, რომელშიც განსაზღვრულია მიმართება „მყისიერად მოჰყვება“ და N-ის ყველა ელემენტს დაერქმევა ნატურალური რიცხვები და მოქმედებს შემდეგი: პეანოს აქსიომები:

აქსიომა 1.

უხვადნარის ელემენტი, რომელიც დაუყოვნებლივ არ მოჰყვება ამ ნაკრების რომელიმე ელემენტს. ჩვენ მას დავარქმევთ ერთიანობას და აღვნიშნავთ 1-ით.

AXIOM 2.

თითოეული ელემენტისთვის a ofნარის ერთი ელემენტი, რომელიც დაუყოვნებლივ მოჰყვება a.

აქსიომა 3.

თითოეული ელემენტისთვის a ofნარის მაქსიმუმ ერთი ელემენტი, რასაც მოჰყვება a.

AXOIMA 4.

სიმრავლის ნებისმიერი M ქვესიმრავლენემთხვევან, თუ მას აქვს შემდეგი თვისებები: 1) 1 შეიცავს M-ში; 2) იქიდან, რომ a შეიცავს M-ში, გამოდის, რომ a ასევე შეიცავს M-ს.

Რამოდენიმე N,იმ ელემენტებისთვის, რომელთა მიმართებაც „პირდაპირ მიჰყვება...“ დადგენილია, რომელიც აკმაყოფილებს 1-4 აქსიომებს, ე.წ. ნატურალური რიცხვების ნაკრები და მისი ელემენტებია ნატურალური რიცხვები.

თუ კომპლექტად ნაირჩიეთ კონკრეტული სიმრავლე, რომელზედაც მოცემულია კონკრეტული მიმართება „პირდაპირ მიყვება...“ და აკმაყოფილებს აქსიომებს 1 - 4, შემდეგ მივიღებთ განსხვავებულს. ინტერპრეტაციები (მოდელები) მოცემული აქსიომური სისტემები.

პეანოს აქსიომური სისტემის სტანდარტული მოდელი არის რიცხვების სერია, რომელიც წარმოიშვა საზოგადოების ისტორიული განვითარების პროცესში: 1, 2, 3, 4, 5, ...

პეანოს აქსიომების მოდელი შეიძლება იყოს ნებისმიერი თვლადი ნაკრები.

მაგალითად, I, II, III, IIII, ...

ოჰ ოჰ ოჰ ოჰ...

ერთი ორი სამი ოთხი, …

განვიხილოთ სიმრავლეთა თანმიმდევრობა, რომელშიც სიმრავლე (oo) არის საწყისი ელემენტი, ხოლო ყოველი მომდევნო სიმრავლე მიიღება წინადან სხვა წრის მიმატებით (სურ. 15).

მერე ნარსებობს კომპლექტი, რომელიც შედგება აღწერილი ფორმის კომპლექტებისგან და ეს არის პეანოს აქსიომური სისტემის მოდელი.

მართლაც, ბევრში ნარის ელემენტი (oo), რომელიც დაუყოვნებლივ არ მოსდევს მოცემული სიმრავლის რომელიმე ელემენტს, ე.ი. აქსიომა 1 დაკმაყოფილებულია თითოეული ნაკრებისთვის აგანსახილველ პოპულაციაში არის ერთი ნაკრები, რომელიც მიღებულია აერთი წრის მიმატებით, ე.ი. აქსიომა 2 მოქმედებს თითოეული ნაკრებისთვის აარის მაქსიმუმ ერთი ნაკრები, საიდანაც კომპლექტი იქმნება აერთი წრის მიმატებით, ე.ი. აქსიომა 3 მოქმედებს თუ მნდა ცნობილია, რომ ბევრი აშეიცავს მ,აქედან გამომდინარეობს, რომ სიმრავლე, რომელშიც არის ერთი წრე მეტი, ვიდრე ნაკრებში ა, ასევე შეიცავს მ, ეს M =ნ, და შესაბამისად აქსიომა 4 დაკმაყოფილებულია.

ნატურალური რიცხვის განსაზღვრისას არცერთი აქსიომა არ შეიძლება გამოტოვდეს.

მოდით დავადგინოთ, რომელი ნაკრებია ნაჩვენები ნახ. 16 არის პეანოს აქსიომების მოდელი.

გამოსავალი.ნახაზი 16 ა) გვიჩვენებს კომპლექტს, რომელშიც 2 და 3 აქსიომები დაკმაყოფილებულია, მართლაც, თითოეული ელემენტისთვის არის უნიკალური, რომელიც მისდევს მას და არის უნიკალური ელემენტი. მაგრამ ამ კომპლექტში, აქსიომა 1 არ არის დაკმაყოფილებული (აქსიომა 4 აზრი არ აქვს, რადგან ნაკრებში არ არსებობს ელემენტი, რომელიც დაუყოვნებლივ არ მოჰყვება სხვას). ამიტომ, ეს ნაკრები არ არის პეანოს აქსიომების მოდელი.

ნახაზი 16 ბ) გვიჩვენებს სიმრავლეს, რომელშიც 1, 3 და 4 აქსიომები დაკმაყოფილებულია, მაგრამ ელემენტის უკან ამაშინვე მოჰყვება ორი ელემენტი და არა ერთი, როგორც ეს მოითხოვება მე-2 აქსიომაში. ამიტომ, ეს ნაკრები არ არის პეანოს აქსიომების მოდელი.

ნახ. 16 გ) აჩვენებს სიმრავლეს, რომელშიც 1, 2, 4 აქსიომები დაკმაყოფილებულია, მაგრამ ელემენტი თანდაუყოვნებლივ მიჰყვება ორ ელემენტს. ამიტომ, ეს ნაკრები არ არის პეანოს აქსიომების მოდელი.

ნახ. 16 დ) აჩვენებს სიმრავლეს, რომელიც აკმაყოფილებს 2, 3 აქსიომებს და თუ საწყის ელემენტად ავიღებთ რიცხვს 5, მაშინ ეს სიმრავლე დააკმაყოფილებს აქსიომებს 1 და 4. ანუ, ამ სიმრავლეში თითოეული ელემენტისთვის არის უნიკალური, დაუყოვნებლივ. მიჰყვება მას და არის ერთი ელემენტი, რომელსაც ის მიჰყვება. ასევე არის ელემენტი, რომელიც დაუყოვნებლივ არ მოჰყვება ამ ნაკრების რომელიმე ელემენტს, ეს არის 5 , იმათ. აქსიომა 1 დაკმაყოფილებულია, შესაბამისად, აქსიომაც 4 დაკმაყოფილდება.

პეანოს აქსიომების გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია დავამტკიცოთ რამდენიმე დებულება, მაგალითად, დავამტკიცოთ, რომ ყველა ნატურალური რიცხვისთვის არის უტოლობა x x.

მტკიცებულება.მოდით აღვნიშნოთ ანატურალური რიცხვების ნაკრები, რომლისთვისაც აა.ნომერი 1 ეკუთვნის ა, რადგან ის არ მოსდევს არცერთ რიცხვს ნ, რაც იმას ნიშნავს, რომ თავისთავად არ მოჰყვება: 1 1. დაე აა,მერე აა.აღვნიშნოთ ამეშვეობით ბ. მე-3 აქსიომიდან გამომდინარე, აბ,იმათ. ბ ბდა bA.

მთელი რიცხვების თეორიის აქსიომების მოცემული სისტემა არ არის დამოუკიდებელი, როგორც აღნიშნულია სავარჯიშო 3.1.4-ში.

თეორემა 1.მთელი რიცხვების აქსიომატური თეორია თანმიმდევრულია.

მტკიცებულება. ჩვენ დავამტკიცებთ მთელი რიცხვების აქსიომატური თეორიის თანმიმდევრულობას ნატურალური რიცხვების აქსიომური თეორიის თანმიმდევრულობის დაშვების საფუძველზე. ამისათვის ჩვენ ავაშენებთ მოდელს, რომელზეც ჩვენი თეორიის ყველა აქსიომა დაკმაყოფილებულია.

ჯერ ავაშენოთ ბეჭედი. განიხილეთ ნაკრები

ნ´ ნ = {(ა, ბ)ï ა, ბÎ ნ}.

ა, ბ) ნატურალური რიცხვები. ასეთი წყვილით გავიგებთ ნატურალური რიცხვების განსხვავებას ა–ბ. მაგრამ სანამ არ დამტკიცდება მთელი რიცხვების სისტემის არსებობა, რომელშიც ასეთი განსხვავება არსებობს, ჩვენ არ გვაქვს უფლება გამოვიყენოთ ასეთი აღნიშვნა. ამავდროულად, ასეთი გაგება გვაძლევს შესაძლებლობას დავაყენოთ წყვილების თვისებები ისე, როგორც ჩვენ ვითხოვთ.

ჩვენ ვიცით, რომ ნატურალური რიცხვების სხვადასხვა განსხვავება შეიძლება იყოს ერთი და იგივე მთელი რიცხვის ტოლი. შესაბამისად, წარმოგიდგენთ გადასაღებ მოედანზე ნ´ ნთანასწორობის ურთიერთობა:

(ა, ბ) = (გ, დ) Û a + d = b + c.

ადვილი მისახვედრია, რომ ეს მიმართება არის რეფლექსური, სიმეტრიული და გარდამავალი. მაშასადამე, ეს არის ეკვივალენტური მიმართება და აქვს უფლება ეწოდოს თანასწორობა. კომპლექტების ფაქტორების ნაკრები ნ´ ნ ზ. მის ელემენტებს ვუწოდებთ მთელ რიცხვებს. ისინი წარმოადგენენ ეკვივალენტობის კლასებს წყვილების სიმრავლეზე. კლასი, რომელიც შეიცავს წყვილს
(ა, ბ), აღნიშნეთ [ ა, ბ].

ზ ა, ბ] რაც შეეხება განსხვავებას ა–ბ

[ა, ბ] + [გ, დ] = [a+c, b+d];

[ა, ბ] × [ გ, დ] = [ac+bd, ad+bc].

გასათვალისწინებელია, რომ მკაცრად რომ ვთქვათ, აქ ოპერაციული სიმბოლოების გამოყენება მთლად სწორი არ არის. იგივე სიმბოლო + აღნიშნავს ნატურალური რიცხვებისა და წყვილების შეკრებას. მაგრამ რადგან ყოველთვის ნათელია, თუ რომელ კომპლექტშია შესრულებული მოცემული ოპერაცია, აქ ჩვენ არ შემოგთავაზებთ ცალკე აღნიშვნას ამ ოპერაციებისთვის.

საჭიროა შეამოწმოთ ამ ოპერაციების განმარტებების სისწორე, კერძოდ, რომ შედეგები არ იყოს დამოკიდებული ელემენტების არჩევანზე. ადა ბ, განსაზღვრავს წყვილს [ ა, ბ]. მართლაც, დაე

[ა, ბ] = [ა 1 ,ბ 1 ], [ს, დ] = [თან 1 , დ 1 ].

Ეს ნიშნავს, რომ a+b 1 = ბ+ა 1 , გ + დ 1 =დ + თან 1 . ამ თანასწორობების დამატებით მივიღებთ

a+b 1 + გ + დ 1 = ბ+ა 1 +დ + თან 1 Þ[ a + b, c + d] = [ა 1 +თან 1 ,ბ 1 + დ 1] Þ

Þ [ ა, ბ] + [გ, დ] = [ა 1 ,ბ 1 ] + [გ 1 , დ 1 ].

ანალოგიურად განისაზღვრება გამრავლების განმარტების სისწორე. მაგრამ აქ ჯერ უნდა შეამოწმოთ, რომ [ ა, ბ] × [ გ, დ] = [ა 1 ,ბ 1 ] × [ გ, დ].

ახლა ჩვენ უნდა შევამოწმოთ, რომ მიღებული ალგებრა არის რგოლი, ანუ აქსიომები (Z1) – (Z6).

მოდით შევამოწმოთ, მაგალითად, შეკრების კომუტატიურობა, ანუ აქსიომა (Z2). Ჩვენ გვაქვს

[გ, დ] + [ა, ბ] = = [a+c, b+d] = [ა, ბ] + [გ, დ].

მთელი რიცხვების შეკრების ურთიერთშენაცვლება მიღებულია ნატურალური რიცხვების შეკრების ურთიერთშენაცვლებიდან, რომელიც უკვე ცნობად ითვლება.

ანალოგიურად მოწმდება აქსიომები (Z1), (Z5), (Z6).

ნულის როლს ასრულებს წყვილი. მოდით აღვნიშნოთ 0 . მართლაც,

[ა, ბ] + 0 = [ა, ბ] + = [a+ 1,ბ+ 1] = [ა, ბ].

საბოლოოდ, -[ ა, ბ] = [ბ, ა]. მართლაც,

[ა, ბ] + [ბ, ა] = [a+b, b+a] = = 0 .

ახლა მოდით შევამოწმოთ გაფართოების აქსიომები. გასათვალისწინებელია, რომ აგებულ რგოლში არ არის ნატურალური რიცხვები, როგორც ასეთი, რადგან ბეჭდის ელემენტები ნატურალური რიცხვების წყვილთა კლასებია. მაშასადამე, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ნატურალური რიცხვების ნახევრად ნახევრად იზომორფული სუბალგებრა. აი ისევ წყვილის იდეა [ ა, ბ] რაც შეეხება განსხვავებას ა–ბ. ბუნებრივი რიცხვი ნშეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი ბუნებრივის სხვაობით, მაგალითად, შემდეგნაირად: ნ = (ნ+ 1) – 1. აქედან გამომდინარე, ჩნდება წინადადება მიმოწერის დადგენის შესახებ ვ: ნ ® ზწესის მიხედვით

ვ(ნ) = [ნ + 1, 1].

ეს მიმოწერა ინექციურია:

ვ(ნ) = ვ(მ) Þ [ ნ + 1, 1]= [მ+ 1, 1] Þ ( ნ + 1) + 1= 1 + (მ+ 1) Þ n = m.

შესაბამისად, ჩვენ შორის გვაქვს ერთი-ერთზე მიმოწერა ნდა ზოგიერთი ქვეჯგუფი ზ, რომელსაც ჩვენ აღვნიშნავთ N*. მოდით შევამოწმოთ, რომ ის ინახავს ოპერაციებს:

ვ(ნ) + ვ(მ) = [ნ + 1, 1]+ [მ + 1, 1] = [ნ + m+ 2, 2]= [ნ + მ+ 1, 1] = ვ(n+m);

ვ(ნ) × ვ(მ) = [ნ+ 1, 1]× [ მ + 1, 1] = [ნმ + ნ + m+ 2, n+m+ 2]= [ნმ+ 1, 1] = ვ(ნმ).

ეს ადგენს იმას N*აყალიბებს ზშეკრებისა და გამრავლების ოპერაციებთან მიმართებაში სუბალგებრის იზომორფული ნ

ავღნიშნოთ წყვილი [ ნ+ 1, 1]-დან N* ნ, მეშვეობით ნ ა, ბ] ჩვენ გვაქვს

[ა, ბ] = [ა + 1, 1] + = [ა + 1, 1] – [ბ + 1, 1] = ა – ბ .

ეს საბოლოოდ ამტკიცებს წყვილის იდეას [ ა, ბ] როგორც ნატურალური რიცხვების სხვაობა. ამავდროულად, დადგინდა, რომ თითოეული ელემენტი აშენებული ნაკრებიდან ზწარმოდგენილია როგორც ორი ბუნებრივის სხვაობა. ეს ხელს შეუწყობს მინიმალურობის აქსიომას.

დაე M -ქვეჯგუფი ზ, შემცველი N*და ნებისმიერ ელემენტთან ერთად ადა ბმათი განსხვავება ა – ბ. მოდით დავამტკიცოთ ეს ამ შემთხვევაში M =ზ. მართლაც, ნებისმიერი ელემენტი ზწარმოდგენილია როგორც ორი ნატურალური რიცხვის სხვაობა, რომლებიც პირობითად მიეკუთვნება მთავის განსხვავებებთან ერთად.

ზ

თეორემა 2.მთელი რიცხვების აქსიომატური თეორია კატეგორიულია.

მტკიცებულება. მოდით დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერი ორი მოდელი, რომლებზეც ამ თეორიის ყველა აქსიომა დაკმაყოფილებულია, იზომორფულია.

მოდით á ზ 1, +, ×, ნ 1 ñ და á ზ 2, +, ×, ნ 2 ñ – ჩვენი თეორიის ორი მოდელი. მკაცრად რომ ვთქვათ, მათში მოქმედებები უნდა იყოს მითითებული სხვადასხვა სიმბოლოებით. ჩვენ ამ მოთხოვნას გადავუხვიეთ ისე, რომ გამოთვლები არ გავაფუჭოთ: ყოველ ჯერზე გასაგებია, რომელ ოპერაციაზეა საუბარი. განსახილველ მოდელებს მიეკუთვნება ელემენტები შესაბამისი ინდექსებით 1 ან 2.

ჩვენ ვაპირებთ განვსაზღვროთ იზომორფული რუქა პირველი მოდელიდან მეორემდე. იმიტომ რომ ნ 1 და ნ 2 არის ნახევრად ნახევრად ნატურალური რიცხვები, შემდეგ არის იზომორფული გამოსახვა j პირველის მეორეზე. მოდით განვსაზღვროთ რუკება ვ: ზ 1® ზ 2. ყოველი მთელი რიცხვი X 1 Î ზ 1 წარმოდგენილია როგორც განსხვავება ორი ბუნებრივიდან:
X 1 = ა 1 – ბ 1 . Ჩვენ გვჯერა

ვ (x 1) = j( ა 1) – j( ბ 1).

ეს დავამტკიცოთ ვ- იზომორფიზმი. რუკების განსაზღვრა სწორად: თუ X 1 = ზე 1 სადაც წ 1 = გ 1 – დ 1, მაშინ

ა 1 – ბ 1 = გ 1 – დ 1 Þ ა 1 + დ 1 = ბ 1 + გ 1 Þ j( ა 1 + დ 1) = j( ბ 1 + გ 1) Þ

Þ j( ა 1) + j( დ 1) = j( ბ 1) + j( გ 1) Þ j( ა 1) – j( ბ 1)= j( გ 1) – j( დ 1) Þ ვ(x 1) =ვ (წ 1).

Აქედან გამომდინარეობს, რომ ვ –ერთი-ერთზე რუქა ზ 1 ინ ზ 2. მაგრამ ვინმესთვის X 2 of ზ 2 შეგიძლიათ იპოვოთ ბუნებრივი ელემენტები ა 2 და ბ 2 ისეთი რომ X 2 = ა 2 – ბ 2. ვინაიდან j არის იზომორფიზმი, ამ ელემენტებს აქვთ შებრუნებული გამოსახულებები ა 1 და ბ 1 . ნიშნავს, x 2 = j( ა 1) – j( ბ 1) =
= ვ (ა 1 – ბ 1) და თითოეული ელემენტისთვის ზ 2 არის პროტოტიპი. აქედან გამომდინარეობს მიმოწერა ვერთი-ერთზე. მოდით შევამოწმოთ, რომ ის ინახავს ოპერაციებს.

თუ X 1 = ა 1 – ბ 1 , წ 1 =გ 1 -დ 1, მაშინ

X 1 + წ 1 = (ა 1 + გ 1) – (ბ 1 +დ 1),

ვ(X 1 + წ 1) = j( ა 1 + გ 1) – j( ბ 1 +დ 1) = j( ა 1)+ j( გ 1) – j( ბ 1) – j( დ 1) =

J( ა 1) – j( ბ 1)+ j( გ 1)– j( დ 1) =ვ(X 1) + ვ(წ 1).

ანალოგიურად, დამოწმებულია, რომ გამრავლება შენარჩუნებულია. ეს ადგენს იმას ვარის იზომორფიზმი და თეორემა დადასტურებულია.

Სავარჯიშოები

1. დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერი რგოლი, რომელიც მოიცავს ნატურალურ რიცხვთა სისტემას, ასევე შეიცავს მთელი რიცხვების რგოლს.

2. დაამტკიცეთ, რომ ყოველი მინიმალური მოწესრიგებული კომუტაციური რგოლი იდენტურობით არის იზომორფული მთელი რიცხვების რგოლთან.

3. დაამტკიცეთ, რომ ყოველი მოწესრიგებული რგოლი ერთი და ნულოვანი გამყოფის გარეშე შეიცავს მხოლოდ ერთ ქვერგოლს, რომელიც იზომორფულია მთელი რიცხვების რგოლთან.

4. დაამტკიცეთ, რომ მეორე რიგის მატრიცების რგოლი რეალური რიცხვების ველზე შეიცავს უსასრულოდ ბევრ ქვერგოლს, რომლებიც იზომორფულია მთელი რიცხვების რგოლთან.

რაციონალური რიცხვების ველი

რაციონალური რიცხვების სისტემის განსაზღვრა და აგება ხორციელდება ისევე, როგორც ეს ხდება მთელი რიცხვების სისტემისთვის.

განმარტება.რაციონალური რიცხვების სისტემა არის მინიმალური ველი, რომელიც წარმოადგენს მთელი რიცხვების რგოლის გაფართოებას.

ამ განსაზღვრების შესაბამისად ვიღებთ რაციონალურ რიცხვთა სისტემის შემდეგ აქსიომატიურ კონსტრუქციას.

პირველადი ტერმინები:

ქ– რაციონალური რიცხვების ნაკრები;

0, 1 - მუდმივები;

+, × – ორობითი ოპერაციები Q;

ზ- ქვეჯგუფი ქ, მთელი რიცხვების ნაკრები;

Å, Ä – ორობითი ოპერაციები ზ.

აქსიომები:

ᲛᲔ. საველე აქსიომები.

(Q1) ა+ (ბ+გ) = (a+b) + გ.

(Q2) a + b = b + a.

(Q3) (" ა) ა + 0 = ა.

(Q4) (" ა)($(–ა)) ა + (–ა) = 0.

(Q5) ა× ( ბ× გ) = (ა× ბ) × გ.

(Q6) ა× b = b× ა.

(Q7) ა× 1 = ა.

(Q8) (" ა¹ 0)($ ა –1) ა × ა –1 = 1.

(Q9) ( a+b) × c = a × c + b× გ.

II. გაფართოების აქსიომები.

(Q10) ბ ზ, Å, Ä, 0, 1ñ – ნატურალური რიცხვების რგოლი.

(Q11) ზ Í ქ.

(Q12) (" ა, ბÎ ზ) a + b = aÅ ბ.

(Q13) (" ა, ბÎ ზ) ა× b = aÄ ბ.

III. მინიმალისტური აქსიომა.

(Q14) მÍ ქ, ზÍ მ, ("ა, ბÎ მ)(ბ ¹ 0 ® ა× ბ–1 О მ)Þ მ = ქ.

ნომერი ა× ბ–1 ეწოდება რიცხვთა კოეფიციენტს ადა ბ, აღნიშნა ა/ბან .

თეორემა 1.ყველა რაციონალური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ორი მთელი რიცხვის კოეფიციენტი.

მტკიცებულება. დაე მ- რაციონალური რიცხვების ერთობლიობა, რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი მთელი რიცხვის კოეფიციენტად. თუ ნ- მაშინ მთლიანი n = n/1 ეკუთვნის მ, შესაბამისად, ზÍ მ. თუ ა, ბÎ მ, ეს a = k/l, b = m/n,სად კ, ლ, მ, ნÎ ზ. აქედან გამომდინარე, ა/ბ=
= (კნ) / (მე ვარ)Î მ. აქსიომის მიხედვით (Q14) მ= ქდა თეორემა დადასტურებულია.

თეორემა 2.რაციონალური რიცხვების ველი შეიძლება იყოს წრფივი და მკაცრად დალაგებული და უნიკალური გზით. რაციონალური რიცხვების ველში წესრიგი არის არქიმედეს და აგრძელებს წესრიგს მთელი რიცხვების რგოლში.

მტკიცებულება. მოდით აღვნიშნოთ ქ+ წილადის სახით გამოსახული რიცხვების ერთობლიობა, სადაც კლ> 0. ადვილი მისახვედრია, რომ ეს პირობა არ არის დამოკიდებული რიცხვის გამომსახველ წილადზე.

მოდით შევამოწმოთ ეს ქ + – დარგის დადებითი ნაწილი ქ. ვინაიდან მთელი რიცხვისთვის კლშესაძლებელია სამი შემთხვევა: კლ = 0, კლÎ ნ, –კლ Î ნ, მაშინ a =-სთვის მივიღებთ სამ შესაძლებლობადან ერთს: a = 0, aО ქ+ , –aО ქ + . გარდა ამისა, თუ a = , b = ეკუთვნის ქ+ მაშინ კლ > 0, წთ> 0. შემდეგ a + b = , და ( kn + მლ)ln = kln 2 + მნლ 2 > 0. ანუ a + bО ქ + . ანალოგიურად შეიძლება დადასტურდეს, რომ abО ქ + . ამრიგად, ქ + – სფეროს დადებითი ნაწილი ქ.

დაე ქ++ - ამ სფეროს გარკვეული დადებითი ნაწილი. Ჩვენ გვაქვს

l =.l 2 О ქ ++ .

აქედან ნÍ ქ++. თეორემა 2.3.4-ით, ნატურალური რიცხვების შებრუნებებიც ეკუთვნის ქ++. მერე ქ + Í ქ++. თეორემა 2.3.6-ის ძალით ქ + =ქ++. შესაბამისად, დადებითი ნაწილებით განსაზღვრული ბრძანებებიც ემთხვევა ქ+ და ქ ++ .

იმიტომ რომ ზ + = ნÍ ქ+ , მაშინ ბრძანებაა ქაგრძელებს წესრიგს ზ.

მოდით ახლა a => 0, b => 0. ვინაიდან არქიმედეს მთელი რიცხვების რგოლში რიგი, მაშინ დადებითი კნდა მლარის რაღაც ბუნებრივი თანისეთივე როგორც თან× კნ>მლ. აქედან თან a = თან> = ბ. ეს ნიშნავს, რომ რაციონალური რიცხვების ველში წესრიგი არის არქიმედეს.

Სავარჯიშოები

1. დაამტკიცეთ, რომ რაციონალური რიცხვების ველი მკვრივია, ანუ ნებისმიერი რაციონალური რიცხვისთვის ა < ბარის რაციონალური რისეთივე როგორც ა < რ < ბ.

2. დაამტკიცეთ, რომ განტოლება X 2 = 2-ს არ აქვს გამოსავალი ქ.

3. დაამტკიცეთ, რომ კომპლექტი ქთვლადი.

თეორემა 3.რაციონალური რიცხვების აქსიომატური თეორია თანმიმდევრულია.

მტკიცებულება. რაციონალური რიცხვების აქსიომური თეორიის თანმიმდევრულობა დადასტურებულია ისევე, როგორც მთელი რიცხვებისთვის. ამისათვის აგებულია მოდელი, რომელზედაც დაკმაყოფილებულია თეორიის ყველა აქსიომა.

საფუძვლად ვიღებთ კომპლექტს

ზ´ ზ* = {(ა, ბ)ï ა, ბÎ ზ, ბ ¹ 0}.

ამ ნაკრების ელემენტებია წყვილი ( ა, ბ) მთელი რიცხვები. ასეთი წყვილით გავიგებთ მთელი რიცხვების კოეფიციენტს ა/ბ. ამის შესაბამისად ვაყენებთ წყვილების თვისებებს.

წარმოგიდგენთ გადასაღებ მოედანზე ზ´ ზ*თანასწორობის ურთიერთობა:

(ა, ბ) = (გ, დ) Û რეკლამა = ძვ.

აღვნიშნავთ, რომ ეს არის ეკვივალენტური მიმართება და აქვს უფლება ეწოდოს თანასწორობა. კომპლექტების ფაქტორების ნაკრები ზ´ ზ*ამ თანასწორობის მიმართებით ჩვენ აღვნიშნავთ ქ. მის ელემენტებს რაციონალურ რიცხვებს დავარქმევთ. კლასი, რომელიც შეიცავს წყვილს ( ა, ბ), აღნიშნეთ [ ა, ბ].

შემოვიღოთ აგებულ კომპლექტში ქშეკრებისა და გამრავლების ოპერაციები. ეს დაგვეხმარება ელემენტის გაგებაში [ ა, ბ] როგორც კერძო ა/ბ. ამის შესაბამისად, ჩვენ განმარტებით ვივარაუდებთ:

[ა, ბ] + [გ, დ] = [ad+bc, bd];

[ა, ბ] × [ გ, დ] = [ac, bd].

ჩვენ ვამოწმებთ ამ ოპერაციების განმარტებების სისწორეს, კერძოდ, რომ შედეგები არ არის დამოკიდებული ელემენტების არჩევანზე. ადა ბ, განსაზღვრავს წყვილს [ ა, ბ]. ეს კეთდება ისევე, როგორც თეორემა 3.2.1-ის დადასტურებაში.

ნულის როლს ასრულებს წყვილი. მოდით აღვნიშნოთ 0 . მართლაც,

[ა, ბ] + 0 = [ა, ბ] + = [a× 1+0× b, b× 1] = [ა, ბ].

Საწინააღმდეგო [ ა, ბ] არის წყვილი –[ ა, ბ] = [–ა, ბ]. მართლაც,

[ა, ბ] + [–ა, ბ]= [აბ – აბ, ბბ] = = 0 .

ერთეული არის წყვილი = 1 . შებრუნება წყვილზე [ ა, ბ] - წყვილი [ ბ, ა].

ახლა მოდით შევამოწმოთ გაფართოების აქსიომები. დავამყაროთ მიმოწერა
ვ: ზ ® ქწესის მიხედვით

ვ(ნ) = [ნ, 1].

ჩვენ ვამოწმებთ, რომ ეს არის ერთ-ერთი მიმოწერა ზდა ზოგიერთი ქვეჯგუფი ქ, რომელსაც ჩვენ აღვნიშნავთ ზ*. ჩვენ დამატებით ვამოწმებთ, რომ ის ინარჩუნებს ოპერაციებს, რაც ნიშნავს, რომ ის ადგენს იზომორფიზმს შორის ზდა ბეჭდის ქვეშ ზ*ვ ქ. ეს ნიშნავს, რომ გაფართოების აქსიომები დამოწმებულია.

ავღნიშნოთ წყვილი [ ნ, 1]-დან ზ*ნატურალური რიცხვის შესაბამისი ნ, მეშვეობით ნ . შემდეგ თვითნებური წყვილისთვის [ ა, ბ] ჩვენ გვაქვს

[ა, ბ] = [ა, 1] × = [ ა, 1] / [ბ, 1] = ა /ბ .

ეს ამართლებს წყვილის იდეას [ ა, ბ] როგორც მთელი რიცხვების კოეფიციენტი. ამავდროულად, დადგინდა, რომ თითოეული ელემენტი აშენებული ნაკრებიდან ქწარმოდგენილია როგორც ორი მთელი რიცხვის კოეფიციენტი. ეს ხელს შეუწყობს მინიმალურობის აქსიომას. დამოწმება ტარდება როგორც თეორემა 3.2.1-ში.

ამრიგად, აგებული სისტემისთვის ქმთელი რიცხვების თეორიის ყველა აქსიომა დაკმაყოფილებულია, ანუ ჩვენ ავაშენეთ ამ თეორიის მოდელი. თეორემა დადასტურდა.

თეორემა 4.რაციონალური რიცხვების აქსიომატური თეორია კატეგორიულია.

მტკიცებულება 3.2.2 თეორემის მსგავსია.

თეორემა 5.არქიმედეს მოწესრიგებული ველი რაციონალური რიცხვების ველის გაფართოებაა.

მტკიცებულება არის სავარჯიშო.

თეორემა 6.დაე ფ- არქიმედეს შეკვეთილი ველი, ა > ბ,სად ა, ბÎ ფ. არსებობს რაციონალური რიცხვი Î ფისეთივე როგორც ა > > ბ.

მტკიცებულება. დაე ა > ბ³ 0. შემდეგ ა–ბ> 0 და ( ა–ბ) –1 > 0. არსებობს ბუნებრივი თისეთივე როგორც მ×1 > ( ა–ბ) –1 , საიდანაც მ –1 < ა–ბ £ ა. გარდა ამისა, არსებობს ბუნებრივი კისეთივე როგორც კ× მ-1³ ა. დაე კარის უმცირესი რიცხვი, რომლისთვისაც ეს უტოლობა მოქმედებს. იმიტომ რომ კ> 1, მაშინ შეგვიძლია დავაყენოთ k = n + 1, ნ Î ნ. სადაც
(ნ+ 1)× მ-1³ ა, ნ× მ –1 < ა. თუ ნ× მ-1 £ ბ, ეს ა = ბ + (ა–ბ) > ბ+მ-1³ ნ× მ –1 + მ –1 =
= (ნ+ 1)× მ-1. წინააღმდეგობა. ნიშნავს, ა >ნ× მ –1 > ბ.

Სავარჯიშოები

4. დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერი ველი, რომელიც მოიცავს მთელ რიცხვთა რგოლს, მოიცავს რაციონალური რიცხვების ველსაც.

5. დაამტკიცეთ, რომ ყოველი მინიმალური მოწესრიგებული ველი იზომორფულია რაციონალური რიცხვების ველთან.

რეალური რიცხვები

სასკოლო მათემატიკის კურსზე რეალური რიცხვები განისაზღვრა კონსტრუქციულად, გაზომვების განხორციელების საჭიროებიდან გამომდინარე. ეს განმარტება არ იყო მკაცრი და ხშირად მკვლევარებს ჩიხებში მიჰყავდა. მაგალითად, რეალური რიცხვების უწყვეტობის საკითხი, ანუ არის თუ არა სიცარიელეები ამ სიმრავლეში. ამიტომ მათემატიკური კვლევის ჩატარებისას აუცილებელია შესწავლილი ცნებების მკაცრი განსაზღვრა, სულ მცირე, პრაქტიკასთან შესაბამისობაში მყოფი ზოგიერთი ინტუიციური დაშვების (აქსიომების) ფარგლებში.

განმარტება: ელემენტების ნაკრები x, y, z,…, რომელიც შედგება ერთზე მეტი ელემენტისგან,კომპლექტს უწოდებენ რრეალური რიცხვები, თუ ამ ობიექტებისთვის დადგენილია შემდეგი ოპერაციები და მიმართებები:

აქსიომების I ჯგუფი– მიმატების მოქმედების აქსიომები.

უხვად რდაინერგა დამატების ოპერაცია, ანუ ნებისმიერი წყვილი ელემენტისთვის ადა ბ თანხადა დანიშნული ა + ბ
მე 1. ა+ბ=ბ+ა, ა, ბ რ .

მე 2. ა+(ბ+გ)=(a+b)+გ,ა, ბ, გ რ .

I 3. არის ასეთი ელემენტი ე.წ ნულიდა აღინიშნება 0-ით, რომელიც ნებისმიერისთვის ა რ პირობა დაკმაყოფილებულია ა+0=ა.

მე 4. ნებისმიერი ელემენტისთვის ა რ არის ელემენტი, რომელსაც ჰქვია საწინააღმდეგოდა აღინიშნება - ა, რისთვისაც ა+(-ა)=0. ელემენტი ა+(-ბ), ა, ბ რ , დაურეკა განსხვავებაელემენტები ადა ბდა დანიშნულია ა - ბ.

II – აქსიომების ჯგუფი - გამრავლების ოპერაციის აქსიომები. უხვად როპერაცია შევიდა გამრავლება, ანუ ნებისმიერი წყვილი ელემენტისთვის ადა ბგანისაზღვრება ერთი ელემენტი, რომელსაც უწოდებენ მათ მუშაობადა დანიშნული ბ, რათა დაკმაყოფილდეს შემდეგი პირობები:
II 1. აბ=ბა, ა, ბ რ .

II 2 ა(ძვ.წ)=(აბ)გ, ა, ბ, გ რ .

II 3. არის ელემენტი ე.წ ერთეულიდა აღინიშნება 1-ით, რომელიც ნებისმიერისთვის ა რ პირობა დაკმაყოფილებულია ა 1=ა.

II 4. Ვინმესთვის ა 0 არის ელემენტი, რომელსაც ჰქვია საპირისპიროდა აღინიშნება ან 1/ ა, რისთვისაც ა=1. ელემენტი ა , ბ 0, დარეკა კერძოგაყოფისგან ა on ბდა დანიშნულია ა:ბან ან ა/ბ.

II 5. კავშირი შეკრებისა და გამრავლების მოქმედებებს შორის: ნებისმიერისთვის ა, ბ, გ რ მდგომარეობა დაკმაყოფილებულია ( ac + ბ)გ=ac+bc.

ობიექტების კრებულს, რომელიც აკმაყოფილებს I და II ჯგუფების აქსიომებს, ეწოდება რიცხვითი ველი ან უბრალოდ ველი. ხოლო შესაბამის აქსიომებს ველის აქსიომებს უწოდებენ.

III – აქსიომების მესამე ჯგუფი – რიგის აქსიომები.ელემენტებისთვის რშეკვეთის კავშირი განისაზღვრება. ეს არის შემდეგი. ნებისმიერი ორი განსხვავებული ელემენტისთვის ადა ბორი ურთიერთობიდან ერთი მოქმედებს: ან ა ბ(კითხულობს" ანაკლები ან თანაბარი ბ"), ან ა ბ(კითხულობს" ამეტი თუ თანაბარი ბ"). ვარაუდობენ, რომ დაცულია შემდეგი პირობები:

III 1. ა ათითოეულისთვის ა.დან ა ბ, ბუნდა a=b.

III 2. ტრანზიტულობა. თუ ა ბდა ბ გ, ეს აგ.

III 3. თუ ა ბ, შემდეგ ნებისმიერი ელემენტისთვის გხდება ა+გ ბ+გ.

III 4. თუ ა 0, ბ 0, რომ აბ 0 .

აქსიომების IV ჯგუფი შედგება ერთი აქსიომისგან - უწყვეტობის აქსიომისგან.ნებისმიერი არა ცარიელი ნაკრებისთვის Xდა ისაწყისი რისეთი, რომ თითოეული წყვილი ელემენტისთვის x Xდა წ იუთანასწორობა მოქმედებს x < წ, არის ელემენტი ა რ, პირობის დაკმაყოფილება

x < ა < წ, x X, წ ი(ნახ. 2). ჩამოთვლილი თვისებები სრულად განსაზღვრავს რეალური რიცხვების სიმრავლეს იმ გაგებით, რომ მისი ყველა სხვა თვისება გამომდინარეობს ამ თვისებებიდან. ეს განმარტება ცალსახად განსაზღვრავს რეალური რიცხვების სიმრავლეს მისი ელემენტების სპეციფიკურ ბუნებამდე. სიფრთხილე, რომ ნაკრები შეიცავს ერთზე მეტ ელემენტს, აუცილებელია, რადგან მხოლოდ ნულისაგან შემდგარი ნაკრები აშკარად აკმაყოფილებს ყველა აქსიომას. შემდეგში ჩვენ დავარქმევთ სიმრავლის ელემენტებს R რიცხვებს.

ახლა განვსაზღვროთ ნატურალური, რაციონალური და ირაციონალური რიცხვების ნაცნობი ცნებები. ნომრები 1, 2 1+1, 3 2+1, ... ეწოდება ნატურალური რიცხვები, და მათი ნაკრები აღინიშნება ნ . ნატურალური რიცხვების სიმრავლის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ მას აქვს შემდეგი დამახასიათებელი თვისება: თუ

1) ა ნ ,

3) თითოეული ელემენტისთვის x A ჩართვა x+ 1 ა, შემდეგ ა=ნ .

მართლაც, მე-2 პირობის მიხედვით) გვაქვს 1 ამაშასადამე, საკუთრებით 3) და 2 ადა შემდეგ იგივე თვისების მიხედვით მივიღებთ 3-ს ა. ვინაიდან ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი ნმიიღება 1-დან იმავე 1-ის თანმიმდევრულად მიმატებით, შემდეგ ნ ა, ე.ი. ნ ა, და ვინაიდან 1 პირობით ჩართვა ა ნ , ეს ა=ნ .

მტკიცების პრინციპი ემყარება ნატურალური რიცხვების ამ თვისებას მათემატიკური ინდუქციით. თუ ბევრი განცხადებაა, რომელთაგან თითოეულს ენიჭება ნატურალური რიცხვი (მისი ნომერი) ნ=1, 2, ... და თუ დადასტურდება, რომ:

1) განცხადება ნომერი 1 არის ჭეშმარიტი;

2) განცხადების მოქმედებიდან ნებისმიერი ნომრით ნ ნ მიჰყვება ნომრით განცხადების მართებულობას ნ+1;

მაშინ ამით ყველა განცხადების მართებულობა მტკიცდება, ე.ი. ნებისმიერი განცხადება თვითნებური ნომრით ნ ნ .

ნომრები 0, + 1, + 2, ... ჰქვია მთელი რიცხვები, მათი ნაკრები აღინიშნება ზ .

ფორმის ნომრები მ/ნ, სად მდა ნმთლიანი და ნ 0, ე.წ რაციონალური რიცხვი. ყველა რაციონალური რიცხვის სიმრავლე აღინიშნება ქ .

ნამდვილ რიცხვებს, რომლებიც არ არის რაციონალური, უწოდებენ ირაციონალური, მათი ნაკრები აღინიშნება მე .

ჩნდება კითხვა, რომ შესაძლოა რაციონალური რიცხვები ამოწურავს სიმრავლის ყველა ელემენტს R?ამ კითხვაზე პასუხს იძლევა უწყვეტობის აქსიომა. მართლაც, ეს აქსიომა არ ეხება რაციონალურ რიცხვებს. მაგალითად, განიხილეთ ორი ნაკრები:

ამის დანახვა ადვილია ნებისმიერი ელემენტისა და უთანასწორობისთვის. თუმცა რაციონალურიარ არსებობს რიცხვი, რომელიც გამოყოფს ამ ორ კომპლექტს. სინამდვილეში, ეს რიცხვი შეიძლება იყოს მხოლოდ , მაგრამ ეს არ არის რაციონალური. ეს ფაქტი მიუთითებს, რომ ნაკრებში არის ირაციონალური რიცხვები რ.

რიცხვებზე ოთხი არითმეტიკული მოქმედების გარდა, შეგიძლიათ შეასრულოთ გაძლიერების და ფესვის ამოღების ოპერაციები. ნებისმიერი ნომრისთვის ა რ და ბუნებრივი ნხარისხი a nგანისაზღვრება როგორც პროდუქტი ნთანაბარი ფაქტორები ა:

ა-პრიორიტეტი ა 0 1, ა>0, ა- n 1/ ა n, ა 0, ნ- ნატურალური რიცხვი.

მაგალითი.ბერნულის უტოლობა: ( 1+x)n> 1+nxდაამტკიცეთ ინდუქციით.

დაე ა>0, ნ- ნატურალური რიცხვი. ნომერი ბდაურეკა ფესვი nმერვე ხარისხიდან ა, თუ b n =a. ამ შემთხვევაში წერია. ნებისმიერი ხარისხის დადებითი ფესვის არსებობა და უნიკალურობა ნნებისმიერი დადებითი რიცხვიდან დადასტურდება ქვემოთ 7.3 ნაწილში.
ფესვიც კი, ა 0, აქვს ორი მნიშვნელობა: თუ ბ = , კ ნ , მაშინ -ბ= . მართლაც, დან ბ 2კ = აამას მოჰყვება

(-ბ)2 კ = ((-ბ) 2 )კ = (ბ 2)კ = ბ 2კ

არაუარყოფით მნიშვნელობას მისი ეწოდება არითმეტიკული მნიშვნელობა.
თუ რ = p/q, სად გვდა ქმთლიანი, ქ 0, ე.ი. რრაციონალური რიცხვია, შემდეგ ამისთვის ა > 0

ამრიგად, ხარისხი რგანსაზღვრულია ნებისმიერი რაციონალური რიცხვისთვის რ. მისი განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ნებისმიერი რაციონალური რარის თანასწორობა

a -r = 1/რ.

ხარისხი ნაჯახი(ნომერი xდაურეკა ექსპონენტი) ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის xმიღებულია ხარისხის უწყვეტი გამრავლების გამოყენებით რაციონალური მაჩვენებლით (დამატებითი ინფორმაციისთვის იხილეთ სექცია 8.2). ნებისმიერი ნომრისთვის ა რ არაუარყოფითი რიცხვი

მას ჰქვია აბსოლუტური მნიშვნელობაან მოდული. რიცხვების აბსოლუტური მნიშვნელობებისთვის მოქმედებს შემდეგი უტოლობები:

|ა + ბ| < |ა| + |ბ|,
||ა - ბ|| < |ა - ბ|, ა, ბ რ

ისინი დადასტურებულია რეალური რიცხვების I-IV თვისებების გამოყენებით.

უწყვეტობის აქსიომის როლი მათემატიკური ანალიზის აგებაში

უწყვეტობის აქსიომის მნიშვნელობა ისეთია, რომ მის გარეშე შეუძლებელია მათემატიკური ანალიზის მკაცრი აგება. [ წყარო არ არის მითითებული 1351 დღე] საილუსტრაციოდ წარმოგიდგენთ ანალიზის რამდენიმე ფუნდამენტურ დებულებას, რომელთა მტკიცებულება ემყარება რეალური რიცხვების უწყვეტობას:

· (ვაიერშტრასის თეორემა).ყოველი შემოსაზღვრული მონოტონურად მზარდი თანმიმდევრობა იყრის თავს

· (ბოლცანო-კოშის თეორემა).უწყვეტი ფუნქცია სეგმენტზე, რომელიც იღებს სხვადასხვა ნიშნის მნიშვნელობებს მის ბოლოებზე, ქრება სეგმენტის ზოგიერთ შიდა წერტილში.

· (ძალის, ექსპონენციალური, ლოგარითმული და ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქციის არსებობა განმარტების „ბუნებრივ“ დომენში).მაგალითად, დადასტურებულია, რომ ყველასთვის და მთლიანისთვის არსებობს, ანუ განტოლების ამონახსნი. ეს საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ გამოხატვის მნიშვნელობა ყველა რაციონალისთვის:

დაბოლოს, კვლავ რიცხვითი წრფის უწყვეტობის წყალობით, შესაძლებელია გამოთქმის მნიშვნელობის დადგენა თვითნებურისთვის. ანალოგიურად, უწყვეტობის თვისების გამოყენებით, რიცხვის არსებობა დამტკიცდება ნებისმიერისთვის.

ხანგრძლივი ისტორიული პერიოდის განმავლობაში მათემატიკოსები ამტკიცებდნენ თეორემებს ანალიზიდან, „დახვეწილ ადგილებში“, რომლებიც მიუთითებდნენ გეომეტრიულ დასაბუთებაზე და უფრო ხშირად - საერთოდ გამოტოვებდნენ მათ, რადგან ეს აშკარა იყო. უწყვეტობის უმნიშვნელოვანესი კონცეფცია გამოყენებული იყო ყოველგვარი მკაფიო განმარტების გარეშე. მხოლოდ მე-19 საუკუნის ბოლო მესამედში გერმანელმა მათემატიკოსმა კარლ ვეიერშტრასმა არითმეტიზაცია მოახდინა ანალიზზე, ააგო ნამდვილ რიცხვთა პირველი მკაცრი თეორია უსასრულო ათობითი წილადების სახით. მან შემოგვთავაზა ლიმიტის კლასიკური განმარტება ენაში, დაამტკიცა მთელი რიგი განცხადებები, რომლებიც მის წინაშე „აშკარად“ იყო მიჩნეული და ამით დაასრულა მათემატიკური ანალიზის საფუძვლის აგება.

მოგვიანებით შემოთავაზებული იქნა რეალური რიცხვის განსაზღვრის სხვა მიდგომები. აქსიომატურ მიდგომაში, რეალური რიცხვების უწყვეტობა ცალსახად არის გამოკვეთილი, როგორც ცალკე აქსიომა. რეალური რიცხვების თეორიის კონსტრუქციულ მიდგომებში, მაგალითად, დედეკინდის მონაკვეთების გამოყენებით რეალური რიცხვების აგებისას, უწყვეტობის თვისება (ამა თუ იმ ფორმით) დამტკიცებულია, როგორც თეორემა.

უწყვეტობის თვისების სხვა ფორმულირებები და ეკვივალენტური წინადადებები[რედაქტირება | ვიკი ტექსტის რედაქტირება]

არსებობს რამდენიმე განსხვავებული განცხადება, რომელიც გამოხატავს რეალური რიცხვების უწყვეტობის თვისებას. თითოეული ეს პრინციპი შეიძლება გამოვიყენოთ, როგორც საფუძველი რეალური რიცხვის თეორიის, როგორც უწყვეტობის აქსიომების ასაგებად, და ყველა დანარჩენი შეიძლება მისგან გამომდინარეობდეს. ეს საკითხი უფრო დეტალურად განიხილება შემდეგ ნაწილში.

უწყვეტობა დედეკინდის მიხედვით[რედაქტირება | ვიკი ტექსტის რედაქტირება]

მთავარი სტატია:ჭრების თეორია რაციონალური რიცხვების სფეროში

დედეკინდი განიხილავს ნამდვილ რიცხვთა უწყვეტობის საკითხს თავის ნაშრომში „განგრძობა და ირაციონალური რიცხვები“. მასში ის რაციონალურ რიცხვებს ადარებს სწორ ხაზზე არსებულ წერტილებს. როგორც ცნობილია, რაციონალურ რიცხვებსა და წერტილებს შორის შეიძლება დადგინდეს კორესპონდენცია, როდესაც ხაზზე არჩეულია საწყისი წერტილი და სეგმენტების საზომი ერთეული. ამ უკანასკნელის გამოყენებით თქვენ შეგიძლიათ ააწყოთ შესაბამისი სეგმენტი თითოეული რაციონალური რიცხვისთვის და მისი მარჯვნივ ან მარცხნივ გადაწევით, იმისდა მიხედვით, არის თუ არა დადებითი თუ უარყოფითი რიცხვი, შეგიძლიათ მიიღოთ რიცხვის შესაბამისი წერტილი. ამრიგად, თითოეული რაციონალური რიცხვისთვის შეესაბამება ერთი და მხოლოდ ერთი წერტილი წრფეზე.

გამოდის, რომ წრფეზე არის უსასრულოდ ბევრი წერტილი, რომელიც არ შეესაბამება არცერთ რაციონალურ რიცხვს. მაგალითად, წერტილი, რომელიც მიღებულია ერთეულ სეგმენტზე აგებული კვადრატის დიაგონალის სიგრძის გამოსახვით. ამრიგად, რაციონალური რიცხვების რეგიონს ეს არ გააჩნია სისრულე, ან უწყვეტობა, რომელიც თან ახლავს სწორ ხაზს.

იმის გასარკვევად, თუ რისგან შედგება ეს უწყვეტობა, დედეკინდი აკეთებს შემდეგ შენიშვნას. თუ ხაზზე არის გარკვეული წერტილი, მაშინ ხაზის ყველა წერტილი იყოფა ორ კლასად: წერტილები, რომლებიც მდებარეობს მარცხნივ და წერტილები, რომლებიც მდებარეობს მარჯვნივ. წერტილი შეიძლება თვითნებურად მიენიჭოს ქვედა ან ზედა კლასს. დედეკინდი უწყვეტობის არსს საპირისპირო პრინციპში ხედავს:

გეომეტრიულად ეს პრინციპი აშკარად ჩანს, მაგრამ ამის დამტკიცება არ შეგვიძლია. დედეკინდი ხაზს უსვამს, რომ, არსებითად, ეს პრინციპი არის პოსტულატი, რომელიც გამოხატავს იმ თვისების არსს, რომელიც მიეწერება პირდაპირს, რომელსაც ჩვენ ვუწოდებთ უწყვეტობას.

დედეკინდის გაგებით რიცხვითი წრფის უწყვეტობის არსის უკეთ გასაგებად, განიხილეთ რეალური რიცხვების სიმრავლის თვითნებური მონაკვეთი, ანუ ყველა რეალური რიცხვის დაყოფა ორ არაცარიელ კლასად, ისე რომ ყველა რიცხვი ერთი კლასის დაწოლა რიცხვით წრფეზე, მეორეს ყველა რიცხვის მარცხნივ. ეს კლასები დასახელებულია შესაბამისად ქვედადა მაღალი კლასებისექციები. თეორიულად არის 4 შესაძლებლობა:

1. ქვედა კლასს აქვს მაქსიმალური ელემენტი, ზედა კლასს არ აქვს მინიმუმი

2. ქვედა კლასს არ აქვს მაქსიმალური ელემენტი, მაგრამ ზედა კლასს აქვს მინიმალური

3. ქვედა კლასს აქვს მაქსიმალური, ხოლო ზედა კლასს აქვს მინიმალური ელემენტები

4. ქვედა კლასში არ არის მაქსიმალური ელემენტი და ზედა კლასში მინიმალური ელემენტი

პირველ და მეორე შემთხვევაში, ქვედა ნაწილის მაქსიმალური ელემენტი ან ზედა მინიმალური ელემენტი, შესაბამისად, ქმნის ამ მონაკვეთს. მესამე შემთხვევაში გვაქვს ნახტომიდა მეოთხეში - სივრცე. ამრიგად, რიცხვითი წრფის უწყვეტობა ნიშნავს, რომ რეალური რიცხვების სიმრავლეში არ არის ნახტომები ან ხარვეზები, ანუ, ფიგურალურად რომ ვთქვათ, არ არის სიცარიელე.

თუ შემოვიტანთ რეალური რიცხვების სიმრავლის მონაკვეთის კონცეფციას, მაშინ დედეკინდის უწყვეტობის პრინციპი შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად.

დედეკინდის უწყვეტობის (სისრულის) პრინციპი. რეალური რიცხვების სიმრავლის თითოეული მონაკვეთისთვის არის რიცხვი, რომელიც ქმნის ამ მონაკვეთს.

კომენტარი. უწყვეტობის აქსიომის ფორმულირება ორი სიმრავლის გამყოფი წერტილის არსებობის შესახებ ძალიან მოგვაგონებს დედეკინდის უწყვეტობის პრინციპის ფორმულირებას. სინამდვილეში, ეს განცხადებები ეკვივალენტურია და არსებითად ერთი და იგივე ნივთის განსხვავებული ფორმულირებებია. ამიტომ, ორივე ეს განცხადება ე.წ ნამდვილ რიცხვთა უწყვეტობის დედეკინდის პრინციპი.

ლემა წყობილ სეგმენტებზე (კოში-კანტორის პრინციპი)[რედაქტირება | ვიკი ტექსტის რედაქტირება]

მთავარი სტატია:ლემა წყობილ სეგმენტებზე

ლემა წყობილ სეგმენტებზე (კოში - კანტორი). წყობილი სეგმენტების ნებისმიერი სისტემა

აქვს არა ცარიელი კვეთა, ანუ არის მინიმუმ ერთი რიცხვი, რომელიც მიეკუთვნება მოცემული სისტემის ყველა სეგმენტს.

თუ გარდა ამისა, მოცემული სისტემის სეგმენტების სიგრძე ნულისკენ მიისწრაფვის, ე.ი

მაშინ ამ სისტემის სეგმენტების გადაკვეთა შედგება ერთი წერტილისგან.

ამ ქონებას ე.წ ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლის უწყვეტობა კანტორის გაგებით. ქვემოთ ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ არქიმედეს მოწესრიგებული ველებისთვის კანტორის უწყვეტობა უდრის დედეკინდის უწყვეტობას.

უმაღლესი პრინციპი[რედაქტირება | ვიკი ტექსტის რედაქტირება]

უმაღლესი პრინციპი. ზემოთ შემოსაზღვრული რეალური რიცხვების ყველა არა ცარიელი სიმრავლე აქვს უმაღლესი.

გაანგარიშების კურსებში ეს წინადადება, როგორც წესი, თეორემაა და მისი დადასტურება არსებითად იყენებს რეალური რიცხვების სიმრავლის უწყვეტობას რაიმე ფორმით. ამავდროულად, შეიძლება, პირიქით, პოსტულირებული იყოს უზენაესობის არსებობა ზემოთ შემოსაზღვრული ნებისმიერი არა ცარიელი სიმრავლისთვის და ამის დაყრდნობით, მაგალითად, დედეკინდის მიხედვით უწყვეტობის პრინციპის დასამტკიცებლად. ამრიგად, უმაღლესი თეორემა არის ნამდვილ რიცხვთა უწყვეტობის თვისების ერთ-ერთი ექვივალენტური ფორმულირება.

კომენტარი. supremum-ის ნაცვლად, შეიძლება გამოყენებულ იქნას infimum-ის ორმაგი კონცეფცია.

ინფიმუმის პრინციპი. ქვემოდან შემოსაზღვრული რეალური რიცხვების ყველა არა ცარიელი სიმრავლე აქვს infimum.

ეს წინადადება ასევე დედეკინდის უწყვეტობის პრინციპის ტოლფასია. უფრო მეტიც, შეიძლება იმის ჩვენება, რომ უმაღლესი თეორემის დებულება პირდაპირ გამომდინარეობს infimum თეორემის დებულებიდან და პირიქით (იხ. ქვემოთ).

სასრული საფარის ლემა (ჰაინე-ბორელის პრინციპი)[რედაქტირება | ვიკი ტექსტის რედაქტირება]

მთავარი სტატია:ჰეინე-ბორელ ლემა

სასრული საფარის ლემა (ჰაინე - ბორელი). ინტერვალების ნებისმიერ სისტემაში, რომელიც ფარავს სეგმენტს, არის სასრული ქვესისტემა, რომელიც ფარავს ამ სეგმენტს.

ლიმიტის წერტილის ლემა (ბოლცანო-ვაიერშტრასის პრინციპი)[რედაქტირება | ვიკი ტექსტის რედაქტირება]

მთავარი სტატია:ბოლცანო-ვაიერშტრასის თეორემა

ლიმიტის წერტილის ლემა (ბოლცანო - ვეიერშტრასი). ყოველ უსასრულო შეზღუდულ რაოდენობას აქვს მინიმუმ ერთი ზღვრული წერტილი.

ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლის უწყვეტობის გამომხატველი წინადადებების ეკვივალენტობა[რედაქტირება | ვიკი ტექსტის რედაქტირება]

მოდით გავაკეთოთ რამდენიმე წინასწარი შენიშვნა. რეალური რიცხვის აქსიომატური განმარტების მიხედვით, ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე აკმაყოფილებს აქსიომების სამ ჯგუფს. პირველი ჯგუფი არის ველის აქსიომები. მეორე ჯგუფი გამოხატავს იმ ფაქტს, რომ რეალური რიცხვების სიმრავლე არის წრფივი მოწესრიგებული სიმრავლე და რიგის მიმართება შეესაბამება ველის ძირითად მოქმედებებს. ამრიგად, აქსიომების პირველი და მეორე ჯგუფი ნიშნავს, რომ რეალური რიცხვების სიმრავლე წარმოადგენს მოწესრიგებულ ველს. აქსიომების მესამე ჯგუფი შედგება ერთი აქსიომისგან - უწყვეტობის (ან სისრულის) აქსიომისგან.

რეალური რიცხვების უწყვეტობის სხვადასხვა ფორმულირების ეკვივალენტობის საჩვენებლად, საჭიროა დავამტკიცოთ, რომ თუ ამ დებულებიდან ერთ-ერთი მოქმედებს მოწესრიგებულ ველზე, მაშინ ყველა დანარჩენის მართებულობა აქედან გამომდინარეობს.

თეორემა. მოდით იყოს თვითნებური წრფივი მოწესრიგებული ნაკრები. შემდეგი განცხადებები ექვივალენტურია:

1. როგორიც არ უნდა იყოს არა ცარიელი სიმრავლეები და ისეთი, რომ ნებისმიერი ორი ელემენტისთვის და უტოლობა მოქმედებს, არსებობს ისეთი ელემენტი, რომ ყველასთვის და კავშირი მოქმედებს

2. ყველა განყოფილებისთვის არის ელემენტი, რომელიც ქმნის ამ განყოფილებას

3. ზემოთ შემოსაზღვრულ ყველა არაცარიელ კომპლექტს აქვს უმაღლესი ღირებულება

4. ქვემოდან შემოსაზღვრულ ყოველ არაცარიელ კომპლექტს აქვს ინფიმუმი

როგორც ამ თეორემიდან ჩანს, ეს ოთხი წინადადება იყენებს მხოლოდ იმ ფაქტს, რომ შემოღებულია წრფივი რიგის მიმართება და არ იყენებს ველის სტრუქტურას. ამრიგად, თითოეული მათგანი გამოხატავს სწორხაზოვნად მოწესრიგებულ კომპლექტად ყოფნის თვისებას. ეს თვისება (თვითნებურად წრფივად მოწესრიგებული სიმრავლის, არა აუცილებლად რეალური რიცხვების სიმრავლის) ე.წ. უწყვეტობა, ანუ სისრულე, დედეკინდის მიხედვით.

სხვა წინადადებების ეკვივალენტობის დასამტკიცებლად უკვე საჭიროა ველის სტრუქტურის არსებობა.

თეორემა. იყოს თვითნებური მოწესრიგებული ველი. შემდეგი წინადადებები ექვივალენტურია:

1. (როგორც წრფივი მოწესრიგებული ნაკრები) არის Dedekind სრული

2. არქიმედეს პრინციპის შესასრულებლადდა წყობილი სეგმენტების პრინციპი

3. ჰაინე-ბორელის პრინციპი დაკმაყოფილებულია

4. შესრულებულია ბოლცანო-ვეიერშტრასის პრინციპი

კომენტარი. როგორც თეორემიდან ჩანს, თავად წყობილი სეგმენტების პრინციპი არა ექვივალენტიდედეკინდის უწყვეტობის პრინციპი. დედეკინდის უწყვეტობის პრინციპიდან გამომდინარეობს წყობილი სეგმენტების პრინციპი, მაგრამ საპირისპიროდ საჭიროა დამატებით მოითხოვოს, რომ მოწესრიგებული ველი აკმაყოფილებდეს არქიმედეს აქსიომას.

ზემოაღნიშნული თეორემების დადასტურება შეგიძლიათ იხილოთ წიგნებში ქვემოთ მოცემული საცნობარო სიიდან.

· კუდრიავცევი, ლ.დ.მათემატიკური ანალიზის კურსი. - მე-5 გამოცემა. - M.: “Drofa”, 2003. - T. 1. - 704გვ. - ISBN 5-7107-4119-1.

· ფიხტენგოლცი, გ.მ.მათემატიკური ანალიზის საფუძვლები. - მე-7 გამოცემა. - M.: “FIZMATLIT”, 2002. - T. 1. - 416გვ. - ISBN 5-9221-0196-X.

· დედეკინდი, რ.უწყვეტობა და ირაციონალური რიცხვები = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - მე-4 შესწორებული გამოცემა. - ოდესა: მათეზისი, 1923. - 44გვ.

· ზორიჩი, ვ.ა.მათემატიკური ანალიზი. ნაწილი I. - რედ. მე-4, შესწორებული - M.: "MCNMO", 2002. - 657 გვ. - ISBN 5-94057-056-9.

· ფუნქციების და რიცხვითი დომენების უწყვეტობა: B. Bolzano, L. O. Cauchy, R. Dedekind, G. Cantor. - მე-3 გამოცემა. - ნოვოსიბირსკი: ANT, 2005. - 64 გვ.

4.5. უწყვეტობის აქსიომა

როგორიც არ უნდა იყოს A და რეალური რიცხვების ორი არა ცარიელი სიმრავლე

B , რომლის ნებისმიერი ელემენტისთვის a ∈ A და b ∈ B არის უტოლობა

a ≤ b, არის რიცხვი λ ისეთი, რომ ყველა a ∈ A, b ∈ B მოქმედებს შემდეგი:

თანასწორობა a ≤ λ ≤ ბ.

ნამდვილ რიცხვთა უწყვეტობის თვისება ნიშნავს რომ რეალურზე

ვენის ხაზში არ არის „სიცარიელე“, ანუ ივსება რიცხვების გამოსახული წერტილები

მთელი რეალური ღერძი.

მოდით მივცეთ უწყვეტობის აქსიომის კიდევ ერთი ფორმულირება. ამისათვის ჩვენ წარმოგიდგენთ

განმარტება 1.4.5. ორ A და B კომპლექტს განყოფილებას დავარქმევთ

რეალური რიცხვების ნაკრები, თუ

1) A და B კომპლექტები ცარიელი არ არის;

2) A და B სიმრავლეთა გაერთიანება წარმოადგენს ყველა უძრავის სიმრავლეს

ნომრები;

3) A სიმრავლის ყველა რიცხვი B სიმრავლის რიცხვზე ნაკლებია.

ანუ, თითოეული ნაკრები, რომელიც ქმნის განყოფილებას, შეიცავს მინიმუმ ერთს

ელემენტი, ეს კომპლექტები არ შეიცავს საერთო ელემენტებს და, თუ a ∈ A და b ∈ B, მაშინ

A სიმრავლეს დავარქმევთ ქვედა კლასს, ხოლო B დავარქვით ზედა კლასს.

განყოფილების კლასი. განყოფილებას A B-ით აღვნიშნავთ.

სექციების უმარტივესი მაგალითები შემდეგი სექციებია

აფეთქება გზა. ავიღოთ α რიცხვი და დავდოთ

A = (x x< α } , B = { x x ≥ α } . Легко видеть, что эти множества не пусты, не пере-

იჭრება და თუ a ∈ A და b ∈ B, მაშინ a< b , поэтому множества A и B образуют

განყოფილება. ანალოგიურად, თქვენ შეგიძლიათ შექმნათ განყოფილება კომპლექტების მიხედვით

A =(x x ≤ α ) , B =(x x > α ) .

ასეთ მონაკვეთებს დავარქმევთ α ან რიცხვით გამომუშავებულ სექციებს

ჩვენ ვიტყვით, რომ α რიცხვი წარმოქმნის ამ მონაკვეთს. ეს შეიძლება დაიწეროს როგორც

ნებისმიერი რიცხვით გენერირებული სექციები ორი საინტერესოა

თვისებები:

თვისება 1. ან ზედა კლასი შეიცავს უმცირეს რიცხვს და ქვედა

კლასს არ აქვს ყველაზე დიდი რიცხვი, ან ქვედა კლასს შეიცავს ყველაზე დიდი რიცხვი

აჰა, და მაღალ კლასში არანაკლებ.

თვისება 2. მოცემული განყოფილების წარმომქმნელი რიცხვი უნიკალურია.

გამოდის, რომ ზემოთ ჩამოყალიბებული უწყვეტობის აქსიომა ექვივალენტურია

შეესაბამება განცხადებას, რომელსაც ეწოდება დედეკინდის პრინციპი:

დედეკინდის პრინციპი. თითოეული განყოფილებისთვის არის რიცხვის გენერირება

ეს არის განყოფილება.

მოდით დავამტკიცოთ ამ განცხადებების ეკვივალენტობა.

დაე იყოს უწყვეტობის აქსიომა ჭეშმარიტი, და გარკვეული სე-

A B-ს კითხვა. შემდეგ, რადგან კლასები A და B აკმაყოფილებს პირობებს, ფორმულა

აქსიომაში ნათქვამია, არის რიცხვი λ ისეთი, რომ a ≤ λ ≤ b ნებისმიერი რიცხვისთვის

a ∈ A და b ∈ B. მაგრამ რიცხვი λ უნდა ეკუთვნოდეს ერთს და მხოლოდ ერთს

კლასები A ან B, შესაბამისად დაკმაყოფილდება a ≤ λ ერთ-ერთი უტოლობა< b или

ა< λ ≤ b . Таким образом, число λ либо является наибольшим в нижнем классе,

ან ყველაზე პატარა ზედა კლასში და წარმოქმნის მოცემულ მონაკვეთს.

პირიქით, დედეკინდის პრინციპი იყოს დაკმაყოფილებული და ორი არა ცარიელი

ადგენს A და B ისე, რომ ყველა a ∈ A და b ∈ B უტოლობა

a ≤ ბ. B-ით ავღნიშნოთ b რიცხვების სიმრავლე ისე, რომ a ≤ b ნებისმიერისთვის

b ∈ B და ყველა a ∈ A. შემდეგ B ⊂ B. A სიმრავლისთვის ვიღებთ ყველა რიცხვის სიმრავლეს

ბ-ში არ შემავალი სოფლები.

დავამტკიცოთ, რომ A და B სიმრავლეები ქმნიან განყოფილებას.

მართლაც, აშკარაა, რომ B სიმრავლე ცარიელი არ არის, რადგან შეიცავს

არა ცარიელი ნაკრები B. A სიმრავლე ასევე არ არის ცარიელი, რადგან თუ რიცხვი a ∈ A,

მაშინ რიცხვი a − 1∉ B, ვინაიდან B-ში შემავალი ნებისმიერი რიცხვი მაინც უნდა იყოს

რიცხვები a, შესაბამისად, a − 1∈ A.

ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე, სიმრავლეების არჩევის გამო.

და ბოლოს, თუ a ∈ A და b ∈ B, მაშინ a ≤ b. მართლაც, თუ არსებობს

რიცხვი c დააკმაყოფილებს უტოლობას c > b, სადაც b ∈ B, შემდეგ არასწორი

თანასწორობა c > a (a არის A სიმრავლის თვითნებური ელემენტი) და c ∈ B.

ასე რომ, A და B ქმნიან განყოფილებას და დედეკინდის პრინციპის მიხედვით, არის რიცხვი

lo λ ქმნის ამ განყოფილებას, ანუ არის ყველაზე დიდი კლასში

დავამტკიცოთ, რომ ეს რიცხვი არ შეიძლება მიეკუთვნებოდეს A კლასს. მოქმედებს

მაგრამ, თუ λ ∈ A, მაშინ არის რიცხვი a* ∈ A ისეთი, რომ λ< a* . Тогда существует

რიცხვი a′, რომელიც დევს λ და a* რიცხვებს შორის. უტოლობიდან a′< a* следует, что

a′ ∈ A , შემდეგ λ უტოლობიდან< a′ следует, что λ не является наибольшим в

კლასი A, რომელიც ეწინააღმდეგება დედეკინდის პრინციპს. შესაბამისად, რიცხვი λ იქნება

არის ყველაზე პატარა B კლასში და ყველასთვის a ∈ A და უტოლობა შენარჩუნდება

a ≤ λ ≤ b, რისი დამტკიცება იყო საჭირო.◄

ამრიგად, აქსიომაში ჩამოყალიბებული თვისება და თვისება

დედეკინდის პრინციპით ჩამოყალიბებული ეკვივალენტები არიან. მომავალში ეს

ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლის თვისებებს ვუწოდებთ უწყვეტობას

დედეკინდის მიხედვით.

დედეკინდის მიხედვით ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლის უწყვეტობიდან გამომდინარეობს

ორი მნიშვნელოვანი თეორემა.

თეორემა 1.4.3. (არქიმედეს პრინციპი) როგორიც არ უნდა იყოს რეალური რიცხვი

a, არის ნატურალური რიცხვი n ისეთი, რომ a< n .

დავუშვათ, რომ თეორემის განცხადება მცდარია, ანუ არსებობს ასეთი ა

ზოგიერთი რიცხვი b0 ისეთი, რომ უტოლობა n ≤ b0 მოქმედებს ყველა ნატურალური რიცხვისთვის

ნ. მოდით გავყოთ ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე ორ კლასად: B კლასში ჩავრთავთ

ყველა b რიცხვი, რომელიც აკმაყოფილებს n ≤ b უტოლობას ნებისმიერი ბუნებრივი n-სთვის.

ეს კლასი არ არის ცარიელი, რადგან შეიცავს რიცხვს b0. ყველაფერს ვათავსებთ A კლასში

დარჩენილი ნომრები. ეს კლასი ასევე არ არის ცარიელი, რადგან ნებისმიერი ბუნებრივი რიცხვი

შედის ა. A და B კლასები არ იკვეთება და მათი კავშირი არის

ყველა რეალური რიცხვის ნაკრები.

თუ ავიღებთ თვითნებურ რიცხვებს a ∈ A და b ∈ B, მაშინ არის ნატურალური რიცხვი

ნომერი n0 ისეთი, რომ ა< n0 ≤ b , откуда следует, что a < b . Следовательно, классы

A და B აკმაყოფილებს დედეკინდის პრინციპს და არის რიცხვი α, რომელიც

წარმოქმნის A B მონაკვეთს, ანუ α არის ყველაზე დიდი A კლასში ან

ან ყველაზე პატარა B კლასში. თუ დავუშვებთ, რომ α არის A კლასში, მაშინ

შეგიძლიათ იპოვოთ ნატურალური რიცხვი n1, რომლისთვისაც α უტოლობაა< n1 .

ვინაიდან n1 ასევე შედის A-ში, რიცხვი α არ იქნება ყველაზე დიდი ამ კლასში,

ამიტომ, ჩვენი ვარაუდი არასწორია და α არის ყველაზე პატარა

კლასი B.

მეორეს მხრივ, აიღეთ რიცხვი α − 1, რომელიც შედის A კლასში. სლედოვა-

მაშასადამე, არსებობს ნატურალური რიცხვი n2 ისეთი, რომ α − 1< n2 , откуда получим

α < n2 + 1 . Так как n2 + 1 - натуральное число, то из последнего неравенства

აქედან გამომდინარეობს, რომ α ∈ A. შედეგად მიღებული წინააღმდეგობა ამტკიცებს თეორემას.◄

შედეგი. როგორიც არ უნდა იყოს a და b რიცხვები ისეთი, რომ 0< a < b , существует

ნატურალური რიცხვი n, რომლისთვისაც მოქმედებს უტოლობა na > b.

ამის დასამტკიცებლად საკმარისია რიცხვზე არქიმედეს პრინციპის გამოყენება

და გამოიყენე უტოლობების თვისება.◄

დასკვნას აქვს მარტივი გეომეტრიული მნიშვნელობა: როგორიც არ უნდა იყოს ეს ორი

სეგმენტი, თუ მათგან უფრო დიდზე, მისი ერთ-ერთი ბოლოდან თანმიმდევრულად

დააყენეთ პატარა, შემდეგ სასრული რაოდენობის ნაბიჯებით შეგიძლიათ გასცდეთ

უფრო დიდი სეგმენტი.

მაგალითი 1. დაამტკიცეთ, რომ ყოველი არაუარყოფითი რიცხვისთვის არსებობს a

ერთადერთი არაუარყოფითი რეალური რიცხვი t ისეთი რომ

t n = a, n ∈ , n ≥ 2 .

ეს თეორემა n-ე ხარისხის არითმეტიკული ფესვის არსებობის შესახებ

სასკოლო ალგებრის კურსის არაუარყოფითი რიცხვიდან მიიღება მტკიცებულების გარეშე

საქმეები.

☺ თუ a = 0, მაშინ x = 0, ანუ არითმეტიკის არსებობის მტკიცებულება

a-ს ნამდვილი ფესვი საჭიროა მხოლოდ > 0-ისთვის.

დავუშვათ, რომ a > 0 და გავყოთ ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე

ორი კლასისთვის. B კლასში ჩვენ ვვრთავთ x ყველა დადებით რიცხვს, რომელიც აკმაყოფილებს

შექმენით უტოლობა x n > a, A კლასში, ყველა დანარჩენი.

არქიმედეს აქსიომის მიხედვით არსებობს ნატურალური რიცხვები k და m ისეთი, რომ

< a < k . Тогда k 2 ≥ k >a და 2 ≤< a , т.е. оба класса непусты, причем класс

A შეიცავს დადებით რიცხვებს.

ცხადია, A ∪ B = და თუ x1 ∈ A და x2 ∈ B, მაშინ x1< x2 .

ამრიგად, A და B კლასები ქმნიან კვეთას. რიცხვი, რომელიც ქმნის ამას

მონაკვეთი, აღინიშნება ტ. მაშინ t არის ყველაზე დიდი რიცხვი კლასში

ce A, ან ყველაზე პატარა B კლასში.

დავუშვათ, რომ t ∈ A და t n< a . Возьмем число h , удовлетворяющее нера-

სუვერენიტეტი 0< h < 1 . Тогда

(t + h)n = t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h2 + ... + Cnn hn< t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h =

T n + h (Cnt n−1 + Cn t n−2 + ... + Cn + Cn t n) − hCn t n = t n + h (t + 1) − ht n =

T n + h (t + 1) − t n

შემდეგ ვიღებთ (t + h)< a . Это означает,

აქედან გამომდინარე, თუ ავიღებთ თ<

რომ t + h ∈ A, რაც ეწინააღმდეგება იმ ფაქტს, რომ t არის ყველაზე დიდი ელემენტი A კლასში.

ანალოგიურად, თუ დავუშვებთ, რომ t არის B კლასის უმცირესი ელემენტი,

შემდეგ აიღეთ რიცხვი h, რომელიც აკმაყოფილებს 0 უტოლობას< h < 1 и h < ,

ვიღებთ (t − h) = t n − Cnt n−1h + Cn t n−2 h 2 − ... + (−1) Cn h n >

> t n − Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h = t n − h (t + 1) − t n > a .

ეს ნიშნავს, რომ t − h ∈ B და t არ შეიძლება იყოს ყველაზე პატარა ელემენტი

კლასი B. ამიტომ, t n = a.

უნიკალურობა გამომდინარეობს იქიდან, რომ თუ t1< t2 , то t1n < t2 .☻ n

მაგალითი 2. დაამტკიცეთ, რომ თუ ა< b , то всегда найдется рациональное число r

ისეთი რომ ა< r < b .

☺თუ a და b რიცხვები რაციონალურია, მაშინ რიცხვი რაციონალური და დამაკმაყოფილებელია

აკმაყოფილებს საჭირო პირობებს. დავუშვათ, რომ a ან b რიცხვებიდან ერთი მაინც

ირაციონალური, მაგალითად, ვთქვათ, რომ რიცხვი b არის ირაციონალური. სავარაუდოდ

ასევე ვივარაუდოთ, რომ a ≥ 0, შემდეგ b > 0. დავწეროთ a და b რიცხვების წარმოდგენები სახით

ათობითი წილადები: a = α 0,α1α 2α 3.... და b = β 0, β1β 2 β3..., სადაც მეორე წილადი უსასრულოა.

წყვეტილი და არა პერიოდული. რაც შეეხება a რიცხვის წარმოდგენას, განვიხილავთ

უნდა აღინიშნოს, რომ თუ რიცხვი a რაციონალურია, მაშინ მისი აღნიშვნა ან სასრულია ან არა.

პერიოდული წილადი, რომლის პერიოდი არ არის 9-ის ტოლი.

ვინაიდან b > a, მაშინ β 0 ≥ α 0; თუ β 0 = α 0, მაშინ β1 ≥ α1; თუ β1 = α1, მაშინ β 2 ≥ α 2

და ა.შ. და არის i-ს მნიშვნელობა, რომელზეც პირველად იქნება

მკაცრი უტოლობა βi > α i დაკმაყოფილებულია. მაშინ რიცხვი β 0, β1β 2 ...βi რაციონალური იქნება

nal და იქნება a და b რიცხვებს შორის.

Თუ< 0 , то приведенное рассуждение надо применить к числам a + n и

b + n, სადაც n ისეთი ნატურალური რიცხვია, რომ n ≥ a. ასეთი რიცხვის არსებობა

არქიმედეს აქსიომიდან გამომდინარეობს. ☻

განმარტება 1.4.6. მოდით, მოცემულია რიცხვითი წრფის სეგმენტების თანმიმდევრობა

([ an ; bn ]), ან< bn . Эту последовательность будем называть системой вло-

სეგმენტების თუ რომელიმე n-ისთვის არის ≤ an+1 და

ასეთი სისტემისთვის კეთდება ჩანართები

[a1; b1] ⊃ [a2; b2] ⊃ [a3; b3] ⊃ ... ⊃ [an; bn] ⊃ ...,

ანუ ყოველი მომდევნო სეგმენტი შეიცავს წინა.

თეორემა 1.4.4. წყობილი სეგმენტების ნებისმიერი სისტემისთვის არსებობს

მინიმუმ ერთი წერტილი, რომელიც შედის თითოეულ ამ სეგმენტში.

ავიღოთ ორი კომპლექტი A = (an) და B = (bn). ისინი არ არიან ცარიელი და ნებისმიერისთვის

n და m უტოლობა an< bm . Докажем это.

თუ n ≥ m, მაშინ an< bn ≤ bm . Если n < m , то an ≤ am < bm .

ამრიგად, A და B კლასები აკმაყოფილებენ უწყვეტობის აქსიომას და,

შესაბამისად, არის რიცხვი λ ისეთი, რომ ≤ λ ≤ bn ნებისმიერი n-ისთვის, ე.ი. ეს

რიცხვი ეკუთვნის ნებისმიერ სეგმენტს [an; ბნ ] .◄

შემდგომში (თეორემა 2.1.8) ჩვენ დავაზუსტებთ ამ თეორემას.

თეორემა 1.4.4-ში ჩამოყალიბებულ დებულებას პრინციპი ეწოდება

კანტორი და კომპლექტი, რომელიც აკმაყოფილებს ამ პირობას, დაერქმევა არა-

უწყვეტი კანტორის მიხედვით.

ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ თუ შეკვეთილი ნაკრები დედე-უწყვეტია

kindu, მაშინ მასში შესრულებულია არქიმედეს პრინციპი და ის უწყვეტია კანტორის მიხედვით.

შეიძლება დადასტურდეს, რომ მოწესრიგებული ნაკრები, რომელშიც პრინციპები დაკმაყოფილებულია

არქიმედესა და კანტორის ციპები, დედეკინდის მიხედვით უწყვეტი იქნება. მტკიცებულება

ეს ფაქტი შეიცავს, მაგალითად,.

არქიმედეს პრინციპი საშუალებას აძლევს თითოეულ ხაზს შეადაროს არა

რომელიც არის ერთადერთი დადებითი რიცხვი, რომელიც აკმაყოფილებს პირობებს:

1. ტოლი სეგმენტები შეესაბამება ტოლ რიცხვებს;

2. თუ AC სეგმენტის B წერტილი და AB და BC სეგმენტები შეესაბამება a და რიცხვებს.

b, მაშინ სეგმენტი AC შეესაბამება რიცხვს a + b;

3. რიცხვი 1 შეესაბამება გარკვეულ სეგმენტს.

რიცხვი, რომელიც შეესაბამება თითოეულ სეგმენტს და აკმაყოფილებს პირობებს 1-3 on-

ამ სეგმენტის სიგრძეს უწოდებენ.

კანტორის პრინციპი საშუალებას გვაძლევს დავამტკიცოთ ეს ყველა პოზიტიურად

რიცხვი, შეგიძლიათ იპოვოთ სეგმენტი, რომლის სიგრძე უდრის ამ რიცხვს. ამრიგად,

დადებითი რეალური რიცხვების სიმრავლესა და სეგმენტების სიმრავლეს შორის

კოვზები, რომლებიც იშლება გარკვეული წერტილიდან სწორ ხაზზე მოცემული მხარის გასწვრივ

ამ მომენტიდან შეიძლება დადგინდეს ერთი-ერთზე მიმოწერა.

ეს საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ რიცხვითი ღერძი და შემოვიტანოთ შესაბამისობა მათ შორის

ველოდები რეალურ რიცხვებს და წერტილებს ხაზზე. ამისათვის ავიღოთ რამდენიმე

პირველი ხაზი და მასზე აირჩიეთ წერტილი O, რომელიც ამ ხაზს ორად გაყოფს

სხივი. ამ სხივებიდან ერთს დადებითს დავარქმევთ, მეორეს კი უარყოფითს.

ნომ. შემდეგ ვიტყვით, რომ ამ სწორ ხაზზე ავირჩიეთ მიმართულება.

განმარტება 1.4.7. რიცხვთა ღერძს ვუწოდებთ სწორ ხაზს, რომელზეც

ა) წერტილი O, რომელსაც უწოდებენ კოორდინატების წარმოშობას ან წარმოშობას;

ბ) მიმართულება;

გ) ერთეული სიგრძის სეგმენტი.

ახლა ყოველი რეალური რიცხვისთვის M წერტილს ვუკავშირებთ რიცხვს

იყვირე პირდაპირ ისე, რომ

ა) რიცხვი 0 შეესაბამებოდა კოორდინატების საწყისს;

ბ) OM = a - მონაკვეთის სიგრძე საწყისიდან M წერტილამდე ტოლი იყო

მოდულის ნომერი;

გ) თუ a დადებითია, მაშინ წერტილი აღებულია დადებით სხივზე და, თუ

თუ უარყოფითია, მაშინ ის უარყოფითია.

ეს წესი ადგენს ერთ-ერთ კორესპონდენციას შორის

რეალური რიცხვების ნაკრები და წერტილების სიმრავლე წრფეზე.

რიცხვთა ხაზს (ღერძს) ნამდვილ ხაზსაც ვუწოდებთ

ეს ასევე გულისხმობს რეალური რიცხვის მოდულის გეომეტრიულ მნიშვნელობას.

la: რიცხვის მოდული უდრის მანძილს საწყისიდან გამოსახულ წერტილამდე

ამ ნომრის დაჭერით რიცხვთა ხაზზე.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია მივცეთ გეომეტრიული ინტერპრეტაცია 6 და 7 თვისებებს

რეალური რიცხვის მოდული. x რიცხვის დადებითი C-სთვის მე ვაკმაყოფილებ

დამაკმაყოფილებელი თვისება 6, შეავსეთ ინტერვალი (−C, C) და რიცხვები x დამაკმაყოფილებელია

თვისება 7, დევს სხივებზე (−∞,C) ან (C, +∞).

მოდით აღვნიშნოთ მატერიის მოდულის კიდევ ერთი შესანიშნავი გეომეტრიული თვისება:

ნამდვილი რიცხვი.

ორ რიცხვს შორის სხვაობის მოდული ტოლია წერტილებს შორის მანძილის შესაბამისი

ამ რიცხვების შესაბამისი რეალურ ღერძზე.

რი სტანდარტული რიცხვითი კომპლექტები.

ნატურალური რიცხვების ნაკრები;

მთელი რიცხვების ნაკრები;

რაციონალური რიცხვების ნაკრები;

რეალური რიცხვების ნაკრები;

სიმრავლეები, შესაბამისად, მთელი რიცხვების, რაციონალური და რეალური

რეალური არაუარყოფითი რიცხვები;

რთული რიცხვების ნაკრები.

გარდა ამისა, ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე აღინიშნება როგორც (−∞, +∞) .

ამ ნაკრების ქვეჯგუფები:

(a, b) = ( x | x ∈ R, a< x < b} - интервал;

[a, b] = ( x | x ∈ R, a ≤ x ≤ b) - სეგმენტი;

(a, b] = ( x | x ∈ R, a< x ≤ b} или [ a, b) = { x | x ∈ R, a ≤ x < b} - полуинтерва-

ly ან ნახევრად სეგმენტები;

(a, +∞) = ( x | x ∈ R, a< x} или (−∞, b) = { x | x ∈ R, x < b} - открытые лучи;

[ a, +∞) = ( x | x ∈ R, a ≤ x) ან (−∞, b] = ( x | x ∈ R, x ≤ b) - დახურული სხივები.

და ბოლოს, ხანდახან დაგვჭირდება ხარვეზები, რომლებზეც არ გვაინტერესებს

ეკუთვნის თუ არა მისი ბოლოები ამ ინტერვალს. ასეთი პერიოდი გვექნება

აღვნიშნოთ a, b.

§ 5 რიცხვითი სიმრავლეების შეზღუდვა

განმარტება 1.5.1. ციფრულ X სიმრავლეს შეზღუდული ეწოდება

ზემოდან, თუ არის რიცხვი M ისეთი, რომ x ≤ M ყოველი x ელემენტისთვის

კომპლექტი X.

განმარტება 1.5.2. ციფრულ X სიმრავლეს შეზღუდული ეწოდება

ქვემოთ, თუ არის რიცხვი m ისეთი, რომ x ≥ m თითოეული x ელემენტისთვის

კომპლექტი X.

განმარტება 1.5.3. ციფრული X სიმრავლეს უწოდებენ შეზღუდულს,

თუ ის შემოიფარგლება ზემოთ და ქვემოთ.

სიმბოლური აღნიშვნით, ეს განმარტებები ასე გამოიყურება:

X სიმრავლე შემოსაზღვრულია ზემოდან, თუ ∃M ∀x ∈ X: x ≤ M,

ესაზღვრება ქვემოთ, თუ ∃m ∀x ∈ X: x ≥ m და

შეზღუდულია, თუ ∃m, M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M .

თეორემა 1.5.1. რიცხვითი X სიმრავლე შემოსაზღვრულია თუ და მხოლოდ მაშინ

როდესაც არის რიცხვი C ისეთი, რომ ყველა x ელემენტისთვის ამ სიმრავლიდან

მოქმედებს უტოლობა x ≤ C.

მოდით X სიმრავლე შემოსაზღვრული იყოს. დავდოთ C = max (m, M) - ყველაზე მეტი

რაც უფრო დიდია m და M რიცხვებიდან. შემდეგ, Reals-ის მოდულის თვისებების გამოყენებით

რიცხვები, ვიღებთ უტოლობებს x ≤ M ≤ M ≤ C და x ≥ m ≥ − m ≥ −C , საიდანაც გამოდის

მართალია, x ≤ C.

პირიქით, თუ უტოლობა x ≤ C დაკმაყოფილებულია, მაშინ −C ≤ x ≤ C. ეს არის სამი -

მოსალოდნელია, თუ დავსვამთ M = C და m = −C .◄

რიცხვს M, რომელიც ზღუდავს X სიმრავლეს ზემოდან, ეწოდება ზედა

ნაკრების საზღვარი. თუ M არის X სიმრავლის ზედა ზღვარი, მაშინ ნებისმიერი

რიცხვი M ′, რომელიც მეტია M-ზე, ასევე იქნება ამ სიმრავლის ზედა ზღვარი.

ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია ვისაუბროთ ნაკრების ზედა საზღვრების სიმრავლეზე

X. ზედა საზღვრების სიმრავლე ავღნიშნოთ M-ით. შემდეგ, ∀x ∈ X და ∀M ∈ M

უტოლობა x ≤ M დაკმაყოფილდება, შესაბამისად, აქსიომის მიხედვით, უწყვეტად

არსებობს რიცხვი M 0 ისეთი, რომ x ≤ M 0 ≤ M . ამ რიცხვს ზუსტი ეწოდება

არ არის X რიცხვითი სიმრავლის ზედა ზღვარი ან მისი ზედა ზღვარი

სიმრავლე ან X სიმრავლის უზენაესობა და აღინიშნება M 0 = sup X-ით.

ამრიგად, ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ ყველა არა ცარიელი რიცხვი,

ზემოთ შემოსაზღვრულს ყოველთვის აქვს ზუსტი ზედა ზღვარი.

აშკარაა, რომ ტოლობა M 0 = sup X უდრის ორ პირობას:

1) ∀x ∈ X მოქმედებს უტოლობა x ≤ M 0, ე.ი. M 0 - სიმრავლის ზედა ზღვარი

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X ისე, რომ უტოლობა xε > M 0 − ε მოქმედებს, ე.ი. ეს თამაში

ფასის გაუმჯობესება (დაკლება) შეუძლებელია.

მაგალითი 1. განვიხილოთ სიმრავლე X = ⎨1 − ⎬ . მოდით დავამტკიცოთ, რომ sup X = 1.

☺ მართლაც, პირველ რიგში, უტოლობა 1 −< 1 выполняется для любого

n ∈ ; მეორეც, თუ ავიღებთ თვითნებურ დადებით რიცხვს ε, მაშინ by

არქიმედეს პრინციპის გამოყენებით შეგიძლიათ იპოვოთ ნატურალური რიცხვი nε ისეთი, რომ nε > . რომ -

სადაც დაკმაყოფილებულია უტოლობა 1 − > 1 − ε, ე.ი. ნაპოვნი ელემენტი xnε multi-

X-დან, 1-ზე მეტი, რაც ნიშნავს, რომ 1 არის უმცირესი ზედა ზღვარი

ანალოგიურად, შეიძლება დაამტკიცოს, რომ თუ სიმრავლე შემოიფარგლება ქვემოთ, მაშინ

მას აქვს ზუსტი ქვედა ზღვარი, რომელსაც ასევე უწოდებენ ქვედა ზღვარს

X სიმრავლის ახალი ან infimum და აღინიშნება inf X-ით.

ტოლობა m0 = inf X არის პირობების ექვივალენტური:

1) ∀x ∈ X მოქმედებს x ≥ m0 უტოლობა;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X ისე, რომ xε უტოლობა შენარჩუნებულია< m0 + ε .

თუ X სიმრავლეს აქვს ყველაზე დიდი ელემენტი x0, მაშინ მას დავარქმევთ

X სიმრავლის მაქსიმალურ ელემენტს და აღვნიშნავთ x0 = max X-ს. მერე

sup X = x0. ანალოგიურად, თუ ნაკრებში არის უმცირესი ელემენტი, მაშინ

ჩვენ დავარქმევთ მას მინიმალურს, აღვნიშნავთ min X-ს და ეს იქნება in-

X ნაკრების ნომერი.

მაგალითად, ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს აქვს ყველაზე პატარა ელემენტი -

ერთეული, რომელიც ასევე არის ნაკრების ინფიმუმი. უმაღლესი

ამ კომპლექტს არ აქვს მუმა, რადგან ის არ არის შემოსაზღვრული ზემოდან.

ზუსტი ზედა და ქვედა საზღვრების განმარტებები შეიძლება გაფართოვდეს

სიმრავლეები, რომლებიც შეუზღუდავია ზევით ან ქვევით, ვივარაუდოთ sup X = +∞ ან, შესაბამისად,

შესაბამისად, inf X = −∞ .

დასასრულს, ჩვენ ჩამოვაყალიბებთ ზედა და ქვედა საზღვრების რამდენიმე თვისებას.

თვისება 1. დავუშვათ, რომ X იყოს გარკვეული რიცხვების სიმრავლე. მოდით აღვნიშნოთ

− X კომპლექტი (− x | x ∈ X ) . შემდეგ sup (− X) = − inf X და inf (− X) = − sup X.

თვისება 2. დავუშვათ, რომ X იყოს გარკვეული რიცხვი სიმრავლე λ იყოს რეალური

ნომერი. λ X-ით ავღნიშნოთ სიმრავლე (λ x | x ∈ X ) . მაშინ თუ λ ≥ 0, მაშინ

sup (λ X) = λ sup X , inf (λ X) = λ inf X და, თუ λ< 0, то

sup (λ X) = λ inf X , inf (λ X) = λ sup X.

თვისება 3. X1 და X2 იყოს რიცხვითი სიმრავლე. მოდით აღვნიშნოთ

X1 + X 2 არის სიმრავლე ( x1 + x2 | x1 ∈ X 1, x2 ∈ X 2 ) და X1 − X 2-ის მეშვეობით სიმრავლე

( x1 − x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2) . შემდეგ sup (X 1 + X 2) = sup X 1 + sup X 2,

inf (X1 + X 2) = inf X1 + inf X 2 , sup (X 1 − X 2) = sup X 1 − inf X 2 და

inf (X1 − X 2) = inf X1 − sup X 2 .

თვისება 4. მოდით, X1 და X2 იყოს რიცხვითი სიმრავლეები, რომელთა ყველა ელემენტი

ryh არის არაუარყოფითი. მერე

sup (X1 X 2) = sup X1 ⋅ sup X 2 , inf (X1 X 2) = inf X 1 ⋅ inf X 2 .

მოდით დავამტკიცოთ, მაგალითად, პირველი თანასწორობა თვისებაში 3.

მოდით x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2 და x = x1 + x2. შემდეგ x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X 2 და

x ≤ sup X1 + sup X 2, საიდანაც sup (X1 + X 2) ≤ sup X1 + sup X 2 .

საპირისპირო უტოლობის დასამტკიცებლად აიღეთ რიცხვი

წ< sup X 1 + sup X 2 . Тогда можно найти элементы x1 ∈ X1 и x2 ∈ X 2 такие,

რომ x1< sup X1 и x2 < sup X 2 , и выполняется неравенство

წ< x1 + x2 < sup X1 + sup X 2 . Это означает, что существует элемент

x = +x1 x2 ∈ X1+ X2, რომელიც მეტია რიცხვზე y და

sup X1 + sup X 2 = sup (X1 + X 2) .◄

დანარჩენი თვისებების მტკიცებულება ხორციელდება ანალოგიურად და უზრუნველყოფს

ეჩვენება მკითხველს.

§ 6 თვლადი და უთვალავი სიმრავლეები

განმარტება 1.6.1. განვიხილოთ პირველი n ნატურალური რიცხვების სიმრავლე

n = (1,2,..., n) და ზოგიერთი ნაკრები A. თუ შესაძლებელია ურთიერთობის დამყარება

A-სა და n-ს შორის ერთი-ერთზე შესაბამისობა, მაშინ A სიმრავლე გამოიძახება

საბოლოო.

განმარტება 1.6.2. მიეცით A კომპლექტი. Თუ შეიძლება

დაამყარეთ ერთი-ერთზე კორესპონდენცია A სიმრავლეს შორის და

ნატურალური რიცხვების სიმრავლე, მაშინ A სიმრავლეს დაერქმევა თვლა-

განმარტება 1.6.3. თუ სიმრავლე A არის სასრული ან თვლადი, მაშინ ჩვენ ვიქნებით

მჯერა, რომ ის არაუმეტეს დასათვლელია.

ამრიგად, ნაკრები იქნება თვლადი, თუ მისი ელემენტების დათვლა შესაძლებელია

დააყენეთ თანმიმდევრობით.

მაგალითი 1. ლუწი რიცხვების სიმრავლე თვლადია, ვინაიდან ასახულია n ↔ 2n

არის ერთ-ერთ შესაბამისობა ნატურალურთა სიმრავლეს შორის

რიცხვები და ბევრი ლუწი რიცხვი.

ცხადია, ასეთი მიმოწერა შეიძლება დამყარდეს არა მხოლოდ

ზომით. მაგალითად, შეგიძლიათ დაამყაროთ კორესპონდენცია კომპლექტსა და მრავალს შორის

gestion (მთლიანი რიცხვების), ამ გზით მიმოწერის დამყარება

რეკომენდაციები განკუთვნილია პედაგოგიური უნივერსიტეტების სტუდენტებისთვის, რომლებიც სწავლობენ დისციპლინას „ალგებრა და რიცხვების თეორია“. ამ დისციპლინის ფარგლებში, სახელმწიფო სტანდარტის შესაბამისად, მე-6 სემესტრში შესწავლილია განყოფილება „რიცხობრივი სისტემები“. ეს რეკომენდაციები წარმოადგენს მასალას ნატურალური რიცხვების სისტემების (პეანოს აქსიომური სისტემა), მთელი და რაციონალური რიცხვების სისტემების აქსიომატური აგების შესახებ. ეს აქსიომატიკა საშუალებას გვაძლევს უკეთ გავიგოთ რა არის რიცხვი, რომელიც სასკოლო მათემატიკის კურსის ერთ-ერთი ძირითადი ცნებაა. მასალის უკეთ ათვისებისთვის მოცემულია პრობლემები შესაბამის თემებზე. რეკომენდაციების ბოლოს არის პასუხები, ინსტრუქციები და პრობლემების გადაწყვეტა.

რეფერენტი: პედაგოგიურ მეცნიერებათა დოქტორი, პროფ. დალინჯერ V.A.

(გ) მოჟან ნ.ნ.

ხელმოწერილია გამოსაქვეყნებლად - 22.10.98

1. ნატურალური რიცხვები.

1.1 პეანოს აქსიომური სისტემა და უმარტივესი შედეგები.

პეანოს აქსიომატიურ თეორიაში საწყისი ცნებებია N სიმრავლე (რომელსაც ჩვენ დავარქმევთ ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს), მისგან სპეციალური რიცხვი ნული (0) და ბინარული მიმართება "მოყვება" N-ს, რომელიც აღინიშნება S(a) (ან ა ()).
აქსიომები:
1. ((a(N) a"(0 (არსებობს ნატურალური რიცხვი 0, რომელიც არცერთ რიცხვს არ მოსდევს.)
2. a=b (a"=b" (ყოველი ნატურალური რიცხვისთვის a არის ნატურალური რიცხვი a" მის შემდეგ და მხოლოდ ერთი.)
3. a"=b" (a=b (თითოეული ნატურალური რიცხვი მოჰყვება მაქსიმუმ ერთ რიცხვს.)
4. (ინდუქციური აქსიომა) თუ სიმრავლე M(N და M აკმაყოფილებს ორ პირობას:
ა) 0 (მ;
ბ) ((a(N) a(M ® a"(M, შემდეგ M=N.
ფუნქციონალურ ტერმინოლოგიაში ეს ნიშნავს, რომ რუკების S:N®N არის ინექციური. აქსიომა 1-დან გამომდინარეობს, რომ რუკების S:N®N არ არის სუბიექტური. აქსიომა 4 არის დებულებების დამტკიცების საფუძველი "მათემატიკური ინდუქციის მეთოდით".
მოდით აღვნიშნოთ ნატურალური რიცხვების ზოგიერთი თვისება, რომლებიც პირდაპირ გამომდინარეობს აქსიომებიდან.
თვისება 1. ყოველ ნატურალურ რიცხვს a(0 მოსდევს ერთ და მხოლოდ ერთ რიცხვს.
მტკიცებულება. მოდით M აღვნიშნოთ ნატურალური რიცხვების სიმრავლე, რომელიც შეიცავს ნულს და ყველა იმ ნატურალურ რიცხვს, რომელთაგან თითოეული მიჰყვება გარკვეულ რიცხვს. საკმარისია იმის ჩვენება, რომ M=N, უნიკალურობა გამომდინარეობს მე-3 აქსიომიდან. მოდით გამოვიყენოთ ინდუქციური აქსიომა 4:
ა) 0(M - M სიმრავლის კონსტრუქციით;
ბ) თუ a(M, მაშინ a"(M, რადგან a" მოჰყვება a.
ეს ნიშნავს, რომ აქსიომა 4, M=N.
თვისება 2. თუ a(b, მაშინ a"(b).
თვისება დასტურდება წინააღმდეგობით აქსიომ 3-ის გამოყენებით. შემდეგი თვისება 3 დასტურდება ანალოგიურად აქსიომ 2-ის გამოყენებით.
თვისება 3. თუ a"(b", მაშინ a(b.
თვისება 4. ((a(N)a(a). (არ მოყვება ნატურალური რიცხვი თავის თავს.)
მტკიცებულება. მოდით M=(x (x(N, x(x")). საკმარისია ვაჩვენოთ, რომ M=N. ვინაიდან აქსიომ 1-ის მიხედვით ((x(N)x"(0, მაშინ კერძოდ 0"(0) და ამგვარად, 4 0(M -) აქსიომის A) პირობა დაკმაყოფილებულია. თუ x(M, ანუ x(x), მაშინ თვისებით 2 x"((x")", რაც ნიშნავს, რომ პირობა B) x. (M ® x"(M. მაგრამ შემდეგ, აქსიომ 4-ის მიხედვით, M=N.
მოდით ( იყოს ნატურალური რიცხვების ზოგიერთი თვისება. A რიცხვს რომ აქვს თვისება (, დავწერთ ((a).
ამოცანა 1.1.1. დაამტკიცეთ, რომ აქსიომა 4 ნატურალური რიცხვების სიმრავლის განმარტებიდან უდრის შემდეგ დებულებას: ნებისმიერი თვისებისთვის (, თუ ((0) და, მაშინ.
ამოცანა 1.1.2. სამი ელემენტისგან შემდგარ A=(a,b,c) ერთობლიური ოპერაცია ( განისაზღვრება შემდეგნაირად: a(=c, b(=c, c(=a. პეანოს აქსიომებიდან რომელია ჭეშმარიტი სიმრავლეში. ოპერაციით (?
ამოცანა 1.1.3. მოდით A=(a) იყოს ერთტონიანი სიმრავლე, a(=a. პეანოს რომელი აქსიომაა ჭეშმარიტი A სიმრავლეზე მოქმედებით (?
ამოცანა 1.1.4. N სიმრავლეზე ჩვენ განვსაზღვრავთ უნიალურ ოპერაციას, ნებისმიერის ვარაუდით. გაარკვიეთ, იქნება თუ არა ჭეშმარიტი ოპერაციის თვალსაზრისით ჩამოყალიბებული პეანოს აქსიომების დებულებები ნ.
პრობლემა 1.1.5. დაე იყოს. დაამტკიცეთ, რომ A დახურულია მოქმედების ქვეშ (. გადაამოწმეთ A სიმრავლის Peano აქსიომების ჭეშმარიტება ოპერაციით (.
პრობლემა 1.1.6. დაე იყოს,. მოდით განვსაზღვროთ ერთიანი ოპერაცია A-ზე, პარამეტრზე. პეანოს აქსიომებიდან რომელია ჭეშმარიტი მოქმედების A სიმრავლეზე?

1.2. პეანოს აქსიომების სისტემის თანმიმდევრულობა და კატეგორიულობა.

აქსიომათა სისტემას ეწოდება თანმიმდევრული, თუ მისი აქსიომებიდან შეუძლებელია T თეორემა და მისი უარყოფა (T. ცხადია, რომ აქსიომების ურთიერთსაწინააღმდეგო სისტემებს მათემატიკაში აზრი არ აქვს, რადგან ასეთ თეორიაში შეიძლება დაამტკიცო ყველაფერი და ასეთი. თეორია არ ასახავს რეალური სამყაროს კანონებს, ამიტომ აქსიომური სისტემის თანმიმდევრულობა აბსოლუტურად აუცილებელი მოთხოვნაა.
თუ თეორემა T და მისი უარყოფა არ არის ნაპოვნი აქსიომურ თეორიაში, ეს არ ნიშნავს, რომ ასეთი თეორიები შეიძლება დადასტურდეს თანმიმდევრულობის დასამტკიცებლად ყველაზე გავრცელებული გზაა ინტერპრეტაციის მეთოდი, რომელიც ეფუძნება იმ ფაქტს, რომ თუ აქსიომური სისტემის ინტერპრეტაცია აშკარად თანმიმდევრულ S თეორიაშია, მაშინ აქსიომური სისტემა მართლაც თანმიმდევრულია, თუ აქსიომური სისტემა არათანმიმდევრულია. მაშინ თეორემები T და (T) იქნებოდა მასში დასამტკიცებელი, მაგრამ მაშინ ეს თეორემები მართებული იქნებოდა და მის ინტერპრეტაციაში, და ეს ეწინააღმდეგება თეორიის თანმიმდევრულობას S. ინტერპრეტაციის მეთოდი საშუალებას იძლევა დაამტკიცოს მხოლოდ თეორიის შედარებითი თანმიმდევრულობა. .
მრავალი განსხვავებული ინტერპრეტაცია შეიძლება აშენდეს პეანოს აქსიომური სისტემისთვის. სიმრავლეების თეორია განსაკუთრებით მდიდარია ინტერპრეტაციებით. მოდით მივუთითოთ ამ ინტერპრეტაციებიდან ერთ-ერთი. სიმრავლეები (, ((), ((()), (((())),... ნატურალურ რიცხვებად მივიჩნევთ, ნულს განსაკუთრებულ რიცხვად მივიჩნევთ (. მიმართება "შემდეგ" იქნება ინტერპრეტაცია შემდეგნაირად: M სიმრავლეს მოსდევს სიმრავლე (M), რომლის ერთადერთი ელემენტია თავად M. ამრიგად, ("=((), (()"=(()) და ა.შ აქსიომები 1-4 ადვილად შეიძლება შემოწმდეს, თუმცა, ასეთი ინტერპრეტაციის ეფექტურობა მცირეა: ის გვიჩვენებს, რომ პეანოს აქსიომების სისტემა თანმიმდევრულია, თუ სიმრავლეების თეორია თანმიმდევრულია. ამოცანა პეანოს აქსიომების სისტემის ყველაზე დამაჯერებელი ინტერპრეტაცია არის ინტუიციური არითმეტიკა, რომლის თანმიმდევრულობა დადასტურებულია მისი განვითარების საუკუნეებით.
აქსიომების თანმიმდევრულ სისტემას უწოდებენ დამოუკიდებელ სისტემას, თუ ამ სისტემის თითოეული აქსიომა არ შეიძლება დადასტურდეს, როგორც თეორემა სხვა აქსიომების საფუძველზე. იმის დასამტკიცებლად, რომ აქსიომა (არ არის დამოკიდებული სისტემის სხვა აქსიომებზე
(1, (2, ..., (n, ((1)
საკმარისია იმის დასამტკიცებლად, რომ აქსიომების სისტემა თანმიმდევრულია
(1, (2, ..., (n, (((2)
მართლაც, თუ (დადასტურდა სისტემის (1) დარჩენილი აქსიომების საფუძველზე, მაშინ სისტემა (2) წინააღმდეგობრივი იქნებოდა, რადგან მასში თეორემა (და აქსიომა ((.
ასე რომ, აქსიომის დამოუკიდებლობის დასამტკიცებლად ((1 სისტემის სხვა აქსიომებისგან) საკმარისია აქსიომების სისტემის ინტერპრეტაციის აგება (2).
აქსიომური სისტემის დამოუკიდებლობა არჩევითი მოთხოვნაა. ზოგჯერ, „რთული“ თეორემების დამტკიცების თავიდან აცილების მიზნით, აგებულია აქსიომების მიზანმიმართულად ზედმეტი (დამოკიდებული) სისტემა. თუმცა, „დამატებითი“ აქსიომები ართულებს თეორიაში აქსიომების როლის შესწავლას, ასევე თეორიის სხვადასხვა მონაკვეთებს შორის შიდა ლოგიკურ კავშირებს. გარდა ამისა, აქსიომების დამოკიდებული სისტემებისთვის ინტერპრეტაციების აგება გაცილებით რთულია, ვიდრე დამოუკიდებელისთვის; ყოველივე ამის შემდეგ, ჩვენ უნდა შევამოწმოთ "დამატებითი" აქსიომების მართებულობა. ამ მიზეზების გამო აქსიომებს შორის დამოკიდებულების საკითხს უძველესი დროიდან ენიჭებოდა უმთავრესი მნიშვნელობა. ერთ დროს, ევკლიდეს აქსიომებში მე-5 პოსტულატის დამტკიცების მცდელობები: „A წერტილიდან მაქსიმუმ ერთი წრფე გადის წრფის პარალელურად (“ არის თეორემა (ანუ დამოკიდებულია დანარჩენ აქსიომებზე) და გამოიწვია ლობაჩევსკის აღმოჩენამდე. გეომეტრია.
თანმიმდევრულ სისტემას დედუქციურად სრულს უწოდებენ, თუ მოცემული თეორიის A წინადადება შეიძლება იყოს დამტკიცებული ან უარყოფილი, ანუ ან A ან (A არის ამ თეორიის თეორემა. თუ არსებობს დებულება, რომლის დამტკიცება ან უარყოფა შეუძლებელია, მაშინ აქსიომების სისტემას დედუქციური სისრულე ასევე არ წარმოადგენს სავალდებულო მოთხოვნას. ამ თეორიებში შეუძლებელია წინადადების დამტკიცება ან უარყოფა: "ჯგუფი (რგოლი, ველი) შეიცავს სასრულ რაოდენობას."
უნდა აღინიშნოს, რომ ბევრ აქსიომატიურ თეორიაში (კერძოდ, არაფორმალიზებულში) წინადადებათა ნაკრები არ შეიძლება ჩაითვალოს ზუსტად განსაზღვრულად და, შესაბამისად, შეუძლებელია ასეთი თეორიის აქსიომების სისტემის დედუქციური სისრულის დამტკიცება. სრულყოფილების სხვა გრძნობას კატეგორიულობა ეწოდება. აქსიომების სისტემას უწოდებენ კატეგორიულს, თუ მისი ნებისმიერი ორი ინტერპრეტაცია იზომორფულია, ანუ არსებობს ასეთი ერთ-ერთი შესაბამისობა ერთი და მეორე ინტერპრეტაციის საწყისი ობიექტების სიმრავლეს შორის, რომელიც დაცულია ყველა საწყისი ურთიერთობის ქვეშ. კატეგორიულობა ასევე არჩევითი პირობაა. მაგალითად, ჯგუფის თეორიის აქსიომური სისტემა კატეგორიული არ არის. ეს გამომდინარეობს იქიდან, რომ სასრული ჯგუფი არ შეიძლება იყოს იზომორფული უსასრულო ჯგუფისთვის. თუმცა, ნებისმიერი რიცხვითი სისტემის თეორიის აქსიომატიზაციისას, კატეგორიულობა სავალდებულოა; მაგალითად, ნატურალური რიცხვების განმსაზღვრელი აქსიომების სისტემის კატეგორიული ბუნება ნიშნავს იმას, რომ იზომორფიზმიმდე არსებობს მხოლოდ ერთი ბუნებრივი რიგი.
მოდით დავამტკიცოთ პეანოს აქსიომური სისტემის კატეგორიული ბუნება. მოდით (N1, s1, 01) და (N2, s2, 02) იყოს პეანოს აქსიომური სისტემის ნებისმიერი ორი ინტერპრეტაცია. საჭიროა მიეთითოს bijective (ერთი-ერთზე) რუკების f:N1®N2, რომლისთვისაც დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობები:
ა) f(s1(x)=s2(f(x)) ნებისმიერი x-ისთვის N1-დან;
ბ) f(01)=02
თუ ორივე ცალსახა ოპერაციები s1 და s2 აღინიშნა ერთი და იგივე მარტივით, მაშინ პირობა a) გადაიწერება სახით.
ა) f(x()=f(x)(.
განვსაზღვროთ f ორობითი მიმართება N1(N2) სიმრავლეზე შემდეგი პირობებით:
1) 01f02;
2) თუ xfy, მაშინ x(fy(.
მოდით დავრწმუნდეთ, რომ ეს მიმართება არის N1-დან N2-ის რუქა, ანუ თითოეული x-ისთვის N1-დან
(((y(N2) xfy (1)
მოდით M1 აღვნიშნოთ N1-დან x ყველა ელემენტის სიმრავლე, რომლისთვისაც (1) პირობა დაკმაყოფილებულია. მერე
ა) 01(M1 1-ის გამო);
ბ) x(M1 ® x((M1 2-ის ძალით) და 1-ლი პუნქტის თვისებები 1.
აქედან, მე-4 აქსიომის მიხედვით, დავასკვნით, რომ M1=N1 და ეს ნიშნავს, რომ f მიმართება არის N1-ის N2-ში გადატანა. უფრო მეტიც, 1)-დან გამომდინარეობს, რომ f(01)=02. პირობა 2) იწერება სახით: თუ f(x)=y, მაშინ f(x()=y(. აქედან გამომდინარეობს, რომ f(x()=f(x)(). ) და ბ) დაკმაყოფილებულია. რჩება იმის დასამტკიცებლად, რომ შედგენილი f არის ბიექტური.
მოდით M2 აღვნიშნოთ N2-დან იმ ელემენტების სიმრავლე, რომელთაგან თითოეული არის N1-დან ერთი და მხოლოდ ერთი ელემენტის გამოსახულება f ასახვის ქვეშ.
ვინაიდან f(01)=02, მაშინ 02 არის სურათი. უფრო მეტიც, თუ x(N2 და x(01), მაშინ 1 x პუნქტის თვისებით 1 მოჰყვება c ელემენტს N1-დან და შემდეგ f(x)=f(c()=f(c)((02. ეს ნიშნავს 02-ს. არის ერთადერთი ელემენტის სურათი 01, ანუ 02(M2.
მოდით კიდევ y(M2 და y=f(x), სადაც x არის y ელემენტის ერთადერთი შებრუნებული გამოსახულება. შემდეგ, a პირობით) y(=f(x)(=f(x()), ანუ, y(არის x ელემენტის გამოსახულება (. მოდით c იყოს y(, ანუ f(c)=y(. რადგან y((02, მაშინ c(01 და c-სთვის არის წინა ელემენტი, რომელსაც აღვნიშნავთ d-ით, შემდეგ y(=f(c)=f(d()=f(d)(), საიდანაც აქსიომით y=f(d). x, საიდანაც c=d(=x(. ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ თუ y არის უნიკალური ელემენტის გამოსახულება, მაშინ y(არის უნიკალური ელემენტის გამოსახულება, ანუ y(M2 ® y((M2. ორივე აქსიომ 4-ის პირობები დაკმაყოფილებულია და, შესაბამისად, M2=N2, რომელიც ასრულებს კატეგორიულობის მტკიცებულებას.
ყველა წინაბერძნულ მათემატიკას ემპირიული ხასიათი ჰქონდა. თეორიის ცალკეული ელემენტები დაიხრჩო პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრის ემპირიული მეთოდების მასაში. ბერძნებმა ეს ემპირიული მასალა ლოგიკურ დამუშავებას დაუქვემდებარა და ცდილობდნენ ეპოვათ კავშირი სხვადასხვა ემპირიულ ინფორმაციას შორის. ამ თვალსაზრისით პითაგორამ და მისმა სკოლამ (ძვ. წ. V ს.) დიდი როლი შეასრულეს გეომეტრიაში. აქსიომური მეთოდის იდეები ნათლად ისმოდა არისტოტელეს შრომებში (ძვ. წ. IV ს.). თუმცა ამ იდეების პრაქტიკული განხორციელება განხორციელდა ევკლიდემ თავის ელემენტებში (ძვ. წ. III ს.).
ამჟამად აქსიომური თეორიების სამი ფორმა შეიძლება გამოიყოს.
1). აზრიანი აქსიომატიკა, რომელიც ერთადერთი იყო გასული საუკუნის შუა ხანებამდე.
2). ნახევრადფორმალური აქსიომატიკა, რომელიც წარმოიშვა გასული საუკუნის ბოლო მეოთხედში.
3). ფორმალური (ან ფორმალიზებული) აქსიომატიკა, რომლის დაბადების თარიღად შეიძლება ჩაითვალოს 1904 წელი, როდესაც დ. ჰილბერტმა გამოაქვეყნა თავისი ცნობილი პროგრამა ფორმალიზებული მათემატიკის ძირითადი პრინციპების შესახებ.
ყოველი ახალი ფორმა არ უარყოფს წინას, არამედ მისი განვითარება და დაზუსტებაა, ისე რომ ყოველი ახალი ფორმის სიმკაცრის დონე წინაზე მაღალი იყოს.
ინტენსიური აქსიომატიკა ხასიათდება იმით, რომ საწყის ცნებებს აქვთ ინტუიციურად მკაფიო მნიშვნელობა აქსიომების ჩამოყალიბებამდეც კი. ამრიგად, ევკლიდეს ელემენტებში წერტილი ნიშნავს ზუსტად იმას, რასაც ჩვენ ინტუიციურად გვესმის ამ კონცეფციით. ამ შემთხვევაში გამოიყენება ჩვეულებრივი ენა და ჩვეულებრივი ინტუიციური ლოგიკა, რომელიც არისტოტელეს დროიდან თარიღდება.
ნახევრადფორმალური აქსიომატური თეორიები ასევე იყენებენ ჩვეულებრივ ენას და ინტუიციურ ლოგიკას. თუმცა, შინაარსიანი აქსიომატიკისგან განსხვავებით, თავდაპირველ ცნებებს არ ენიჭება რაიმე ინტუიციური მნიშვნელობა, ისინი ხასიათდებიან მხოლოდ აქსიომებით. ეს ზრდის სიმკაცრეს, რადგან ინტუიცია გარკვეულწილად ერევა სიმკაცრეს. გარდა ამისა, ზოგადობა შეძენილია, რადგან ასეთ თეორიაში დადასტურებული ყოველი თეორემა მოქმედი იქნება ნებისმიერ ინტერპრეტაციაში. ნახევრადფორმალური აქსიომური თეორიის მაგალითია ჰილბერტის თეორია, რომელიც ჩამოყალიბებულია მის წიგნში „გეომეტრიის საფუძვლები“ ​​(1899). ნახევრადფორმალური თეორიების მაგალითებია აგრეთვე რგოლების თეორია და ალგებრის კურსში წარმოდგენილი რიგი სხვა თეორიები.
ფორმალიზებული თეორიის მაგალითია წინადადებების გამოთვლა, რომელიც შესწავლილია მათემატიკური ლოგიკის კურსზე. არსებითი და ნახევრადფორმალური აქსიომატიკისგან განსხვავებით, ფორმალიზებული თეორია იყენებს სპეციალურ სიმბოლურ ენას. კერძოდ, მოცემულია თეორიის ანბანი, ანუ სიმბოლოების გარკვეული ნაკრები, რომლებიც იგივე როლს ასრულებენ, რაც ასოებს ჩვეულებრივ ენაში. სიმბოლოების ნებისმიერ სასრულ თანმიმდევრობას გამონათქვამი ან სიტყვა ეწოდება. გამონათქვამებს შორის გამოიყოფა ფორმულების კლასი და მითითებულია ზუსტი კრიტერიუმი, რომელიც საშუალებას აძლევს თითოეულ გამონათქვამს გაარკვიოს არის თუ არა ფორმულა. ფორმულები თამაშობენ იგივე როლს, როგორც წინადადებები ჩვეულებრივ ენაში. ზოგიერთი ფორმულა გამოცხადებულია აქსიომებად. გარდა ამისა, მითითებულია ლოგიკური დასკვნის წესები; ყოველი ასეთი წესი ნიშნავს, რომ გარკვეული ფორმულა პირდაპირ გამომდინარეობს ფორმულების გარკვეული ნაკრებიდან. თავად თეორემის მტკიცებულება არის ფორმულების სასრული ჯაჭვი, რომელშიც ბოლო ფორმულა არის თავად თეორემა და თითოეული ფორმულა არის ან აქსიომა, ან ადრე დადასტურებული თეორემა, ან პირდაპირ გამომდინარეობს ჯაჭვის წინა ფორმულებიდან ერთ-ერთის მიხედვით. დასკვნის წესები. ამდენად, მტკიცებულების სიმკაცრის შესახებ აბსოლუტურად არავითარი კითხვა არ არსებობს: ან მოცემული ჯაჭვი არის მტკიცებულება, ან არ არსებობს საეჭვო მტკიცებულება. ამასთან დაკავშირებით, ფორმალიზებული აქსიომატიკა გამოიყენება მათემატიკური თეორიების დასაბუთების განსაკუთრებით დახვეწილ კითხვებში, როდესაც ჩვეულებრივმა ინტუიციურმა ლოგიკამ შეიძლება გამოიწვიოს მცდარი დასკვნები, რაც ძირითადად ხდება ჩვენი ჩვეულებრივი ენის უზუსტობებისა და ორაზროვნების გამო.
ვინაიდან ფორმალიზებულ თეორიაში თითოეულ გამონათქვამზე შეიძლება ითქვას, არის თუ არა ეს ფორმულა, მაშინ ფორმალიზებული თეორიის წინადადებების ნაკრები შეიძლება ჩაითვალოს განსაზღვრულად. ამასთან დაკავშირებით, პრინციპში, შეიძლება დაისვას საკითხი დედუქციური სისრულის დადასტურების, ასევე თანმიმდევრულობის დადასტურების შესახებ, ინტერპრეტაციის გამოყენების გარეშე. რამდენიმე მარტივ შემთხვევაში ამის მიღწევა შესაძლებელია. მაგალითად, წინადადებების გაანგარიშების თანმიმდევრულობა დადასტურებულია ინტერპრეტაციის გარეშე.
არაფორმალიზებულ თეორიებში ბევრი წინადადება მკაფიოდ არ არის განსაზღვრული, ამიტომ უაზროა თანმიმდევრულობის დადასტურების საკითხის დაყენება ინტერპრეტაციების გამოყენების გარეშე. იგივე ეხება დედუქციური სისრულის დადასტურების საკითხს. თუმცა, თუ არაფორმალიზებული თეორიის წინადადებას შევხვდებით, რომლის არც დამტკიცება და არც უარყოფა შეუძლებელია, მაშინ თეორია აშკარად დედუქციურად არასრულია.
აქსიომური მეთოდი დიდი ხანია გამოიყენება არა მხოლოდ მათემატიკაში, არამედ ფიზიკაშიც. პირველი მცდელობები ამ მიმართულებით განხორციელდა არისტოტელეს მიერ, მაგრამ აქსიომატურმა მეთოდმა მიიღო თავისი რეალური გამოყენება ფიზიკაში მხოლოდ ნიუტონის ნაშრომებში მექანიკაზე.
მეცნიერებათა მათემატიზაციის სწრაფ პროცესთან დაკავშირებით აქსიომატიზაციის პროცესიც მიმდინარეობს. ამჟამად აქსიომური მეთოდი ბიოლოგიის ზოგიერთ სფეროშიც კი გამოიყენება, მაგალითად, გენეტიკაში.
მიუხედავად ამისა, აქსიომური მეთოდის შესაძლებლობები უსაზღვრო არ არის.
უპირველეს ყოვლისა, აღვნიშნავთ, რომ ფორმალიზებულ თეორიებშიც კი შეუძლებელია ინტუიციის სრულად აცილება. თავად ფორმალიზებულ თეორიას ინტერპრეტაციების გარეშე აზრი არ აქვს. აქედან გამომდინარე, ჩნდება მთელი რიგი კითხვები ფორმალიზებულ თეორიასა და მის ინტერპრეტაციას შორის ურთიერთობის შესახებ. გარდა ამისა, როგორც ფორმალიზებულ თეორიებში, ჩნდება კითხვები აქსიომური სისტემის თანმიმდევრულობის, დამოუკიდებლობისა და სისრულის შესახებ. ყველა ასეთი კითხვის მთლიანობა წარმოადგენს სხვა თეორიის შინაარსს, რომელსაც ფორმალიზებული თეორიის მეტათეორია ეწოდება. ფორმალიზებული თეორიისგან განსხვავებით, მეტათეორიის ენა ჩვეულებრივი ყოველდღიური ენაა, ლოგიკური მსჯელობა კი ჩვეულებრივი ინტუიციური ლოგიკის წესებით ხორციელდება. ამრიგად, ფორმალიზებული თეორიიდან სრულიად განდევნილი ინტუიცია ხელახლა ჩნდება მის მეტათეორიაში.
მაგრამ ეს არ არის აქსიომური მეთოდის მთავარი სისუსტე. ჩვენ უკვე ვახსენეთ დ.ჰილბერტის პროგრამა, რომელმაც საფუძველი ჩაუყარა ფორმალიზებულ აქსიომატიურ მეთოდს. ჰილბერტის მთავარი იდეა იყო გამოეხატა კლასიკური მათემატიკა, როგორც ფორმალიზებული აქსიომატური თეორია და შემდეგ დაემტკიცებინა მისი თანმიმდევრულობა. თუმცა, ეს პროგრამა თავისი ძირითადი პუნქტებით უტოპიური აღმოჩნდა. 1931 წელს ავსტრიელმა მათემატიკოსმა კ.გოდელმა დაამტკიცა თავისი ცნობილი თეორემები, საიდანაც გამომდინარეობდა, რომ ჰილბერტის მიერ დასმული ორივე ძირითადი პრობლემა შეუძლებელი იყო. მისი კოდირების მეთოდის გამოყენებით, მან მოახერხა მეტათეორიიდან ზოგიერთი ჭეშმარიტი დაშვების გამოხატვა ფორმალური არითმეტიკის ფორმულების გამოყენებით და დაამტკიცა, რომ ეს ფორმულები არ არის გამოყვანილი ფორმალურ არითმეტიკაში. ამრიგად, ფორმალიზებული არითმეტიკა დედუქციურად არასრული აღმოჩნდა. გოდელის შედეგებიდან გამომდინარეობდა, რომ თუ ეს დაუმტკიცებელი ფორმულა შედის აქსიომების რიცხვში, მაშინ იქნება სხვა დაუმტკიცებელი ფორმულა, რომელიც გამოხატავს რაიმე ჭეშმარიტ დებულებას. ეს ყველაფერი იმას ნიშნავდა, რომ არა მხოლოდ ყველა მათემატიკა, არამედ არითმეტიკაც კი - მისი უმარტივესი ნაწილი - არ შეიძლებოდა სრულად გაფორმებულიყო. კერძოდ, გოდელმა შექმნა ფორმულა, რომელიც შეესაბამება წინადადებას „ფორმალიზებული არითმეტიკა თანმიმდევრულია“ და აჩვენა, რომ ეს ფორმულა ასევე არ არის გამოყვანილი. ეს ფაქტი ნიშნავს, რომ ფორმალიზებული არითმეტიკის თანმიმდევრულობა არ შეიძლება დადასტურდეს თავად არითმეტიკაში. რა თქმა უნდა, შესაძლებელია უფრო ძლიერი ფორმალიზებული თეორიის აგება და მისი საშუალებების გამოყენება ფორმალიზებული არითმეტიკის თანმიმდევრულობის დასამტკიცებლად, მაგრამ შემდეგ უფრო რთული კითხვა ჩნდება ამ ახალი თეორიის თანმიმდევრულობის შესახებ.
გოდელის შედეგები მიუთითებს აქსიომური მეთოდის შეზღუდვებზე. და მაინც, პესიმისტური დასკვნების საფუძველი არ არსებობს ცოდნის თეორიაში, რომ არსებობს შეუცნობელი ჭეშმარიტებები. ის, რომ არსებობს არითმეტიკული ჭეშმარიტებები, რომლებიც არ შეიძლება დადასტურდეს ფორმალური არითმეტიკით, არ ნიშნავს რომ არსებობს შეუცნობელი ჭეშმარიტებები და არ ნიშნავს რომ ადამიანის აზროვნება შეზღუდულია. ეს მხოლოდ იმას ნიშნავს, რომ ჩვენი აზროვნების შესაძლებლობები არ შემოიფარგლება მთლიანად ფორმალიზებული პროცედურებით და რომ კაცობრიობას ჯერ კიდევ არ აქვს აღმოჩენილი და გამოგონილი მტკიცების ახალი პრინციპები.

1.3.ნატურალური რიცხვების შეკრება

ნატურალური რიცხვების შეკრებისა და გამრავლების ოპერაციები არ არის პოსტულირებული Peano-ს აქსიომური სისტემის მიერ, ჩვენ განვსაზღვრავთ ამ მოქმედებებს.
განმარტება. ნატურალური რიცხვების დამატება არის ორობითი ალგებრული ოპერაცია + N სიმრავლეზე, რომელსაც აქვს შემდეგი თვისებები:
1წ. ((a(N) a+0=a;
2c. ((a,b(N) a+b(=(a+b)(.
ჩნდება კითხვა: არის თუ არა ასეთი ოპერაცია და თუ ასეა, ეს ერთადერთია?
თეორემა. ნატურალური რიცხვების მხოლოდ ერთი დამატებაა.
მტკიცებულება. ორობითი ალგებრული ოპერაცია N სიმრავლეზე არის გამოსახვა (:N(N®N. საჭიროა იმის დასამტკიცებლად, რომ არსებობს უნიკალური გამოსახვა (:N(N®N) თვისებებით: 1) ((x(N) ( (x,0)=x ;2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y)(). fx:N®N თვისებებით 1() fx(0 )=x 2() fx(y()=fx(y)(), შემდეგ ტოლობით განსაზღვრული ფუნქცია ((x,y); ,y) (fx(y), დააკმაყოფილებს 1) და 2 პირობებს).
N სიმრავლეზე ჩვენ განვსაზღვრავთ ბინარულ მიმართებას fx პირობებით:
ა) 0fxx;
ბ) თუ yfxz, მაშინ y(fxz(.
დავრწმუნდეთ, რომ ეს მიმართება არის N-დან N-ის რუქა, ანუ თითოეული y-სთვის N-დან
(((z(N) yfxz (1)
მოდით M აღვნიშნოთ y ნატურალური რიცხვების სიმრავლე, რომლისთვისაც (1) პირობა დაკმაყოფილებულია. შემდეგ a) პირობიდან გამომდინარეობს, რომ 0(M, ხოლო b) და 1-ლი პუნქტის თვისებიდან გამომდინარეობს, რომ თუ y(M, მაშინ y((M. აქედან გამომდინარე, მე-4 აქსიომაზე დაყრდნობით, დავასკვნათ, რომ M = N , და ეს ნიშნავს, რომ მიმართება fx არის N-დან N-მდე დახატვა. ამ რუკებისთვის დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობები:
1() fx(0)=x - ა-ს გამო);
2() fx((y)=fx(y() - b-ის ძალით.
ამრიგად, დამატების არსებობა დადასტურებულია.
დავამტკიცოთ უნიკალურობა. ვთქვათ + და ( არის ნებისმიერი ორი ბინარული ალგებრული ოპერაცია N სიმრავლეზე 1c და 2c თვისებებით. ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ, რომ
((x,y(N) x+y=x(y
დავაფიქსიროთ თვითნებური რიცხვი x და S-ით ავღნიშნოთ იმ ნატურალური რიცხვების y სიმრავლე, რომლებისთვისაც ტოლია
x+y=x(y (2)
შესრულებული. ვინაიდან 1c-ის მიხედვით x+0=x და x(0=x, მაშინ
ა) 0 (S
მოდით ახლა y(S, ანუ ტოლობა (2) დაკმაყოფილებულია. ვინაიდან x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y)(და x+y=x(y), შემდეგ აქსიომით 2 x+y(=x(y(, ანუ პირობა დაკმაყოფილებულია
ბ) y(S ® y((S.
აქედან გამომდინარე, მე-4 აქსიომის მიხედვით, S=N, რომელიც ასრულებს თეორემის დადასტურებას.
მოდით დავამტკიცოთ დამატების რამდენიმე თვისება.
1. რიცხვი 0 არის შეკრების ნეიტრალური ელემენტი, ანუ a+0=0+a=a ყოველი ნატურალური რიცხვისთვის a.
მტკიცებულება. ტოლობა a+0=a გამომდინარეობს 1c პირობიდან. დავამტკიცოთ ტოლობა 0+a=a.
M-ით ავღნიშნოთ ყველა რიცხვის სიმრავლე, რომლისთვისაც ის შეესაბამება. ცხადია, 0+0=0 და შესაბამისად 0(M. მოდით a(M, ანუ 0+a=a. შემდეგ 0+a(=(0+a)(=a(და, შესაბამისად, a((M ეს ნიშნავს M=N, რაც უნდა დადასტურდეს.
შემდეგ ჩვენ გვჭირდება ლემა.
ლემა. a(+b=(a+b)(.
მტკიცებულება. მოდით M იყოს b ყველა ნატურალური რიცხვის სიმრავლე, რომლის ტოლობა a(+b=(a+b) ჭეშმარიტია a-ს ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. მაშინ:
A) 0(M, ვინაიდან a(+0=(a+0)(;
B) b(M ® b((M. მართლაც, იქიდან გამომდინარე, რომ b(M და 2c, გვაქვს
a(+b(=(a(+b)(=((a+b)()(=(a+b())(,
ანუ b((M. ეს ნიშნავს M=N, რისი დამტკიცება იყო საჭირო.
2. ნატურალური რიცხვების შეკრება კომუტაციურია.
მტკიცებულება. მოდით M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a). საკმარისია დავამტკიცოთ, რომ M=N. გვაქვს:
ა) 0(M - საკუთრების გამო 1.
B) a(M ® a((M. მართლაც, ლემის და იმ ფაქტის გამოყენებით, რომ a(M, მივიღებთ:
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.
ეს ნიშნავს a((M და აქსიომით 4 M=N.
3. დამატება ასოციაციურია.
მტკიცებულება. დაე
M=(c(c(N(((a,b(N)(a+b)+c=a+(b+c))
საჭიროა დაამტკიცოს, რომ M=N. ვინაიდან (a+b)+0=a+b და a+(b+0)=a+b, მაშინ 0(M. მოდით c(M, ანუ (a+b)+c=a+(b+c) მაშინ
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c().
ეს ნიშნავს c((M და აქსიომით 4 M=N.
4. a+1=a(, სადაც 1=0(.
მტკიცებულება. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. თუ b(0, მაშინ ((a(N)a+b(a.
მტკიცებულება. მოდით M=(a(a(N(a+b(a). ვინაიდან 0+b=b(0, მაშინ 0(M. გარდა ამისა, თუ a(M, ანუ a+b(a), მაშინ თვისება 2 პუნქტი 1 (a+b)((a(ან a(+b(a(. ასე რომ a((M და M=N.
6. თუ b(0, მაშინ ((a(N)a+b(0.
მტკიცებულება. თუ a=0, მაშინ 0+b=b(0, მაგრამ თუ a(0 და a=c(, მაშინ a+b=c(+b=(c+b)(0. ასე რომ, ნებისმიერ შემთხვევაში a + ბ(0.
7. (დამატების ტრიქოტომიის კანონი). ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის a და b, სამი მიმართულებიდან მხოლოდ ერთი არის ჭეშმარიტი:
1) a=b;
2) b=a+u, სადაც u(0;
3) a=b+v, სადაც v(0.
მტკიცებულება. დავაფიქსიროთ თვითნებური რიცხვი a და M-ით ავღნიშნოთ ყველა ნატურალური რიცხვის b სიმრავლე, რომლისთვისაც მოქმედებს 1), 2), 3) მიმართებებიდან ერთი მაინც. საჭიროა დაამტკიცოს, რომ M=N. მოდით b=0. მაშინ თუ a=0, მაშინ მიმართება 1 არის ჭეშმარიტი), ხოლო თუ a(0, მაშინ მიმართება 3 არის ჭეშმარიტი), ვინაიდან a=0+a. ასე რომ 0 (მ.
ახლა დავუშვათ, რომ b(M, ანუ არჩეული a-სთვის, ერთ-ერთი მიმართება 1), 2), 3) დაკმაყოფილებულია. თუ a=b, მაშინ b(=a(=a+1, ანუ b-სთვის (მიმართება 2 მოქმედებს). თუ b=a+u, მაშინ b(=a+u(, ანუ b(-ისთვის მიმართება 2 თუ a=b+v, მაშინ შესაძლებელია ორი შემთხვევა: v=1 და v(1. თუ v=1, მაშინ a=b+v=b", ანუ b" მიმართებაში არის 1). დაკმაყოფილებულია იგივე v(1, შემდეგ v=c", სადაც c(0 და შემდეგ a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, სადაც c(0, ეს არის ამისთვის. b" მიმართება 3 დაკმაყოფილებულია). ასე რომ, ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ b(M®b"(M, და შესაბამისად M=N, ანუ ნებისმიერი a და b მიმართება 1), 2), 3 არის დავრწმუნდეთ, რომ არცერთი მათგანი არ შეიძლება ერთდროულად შესრულდეს: თუ 1) და 2) დაკმაყოფილებული იქნება, მაშინ მათ ექნებოდათ b=b+u, სადაც u(0 და ეს ეწინააღმდეგება თვისებას. 1)-ის დაკმაყოფილების შეუძლებლობა შემოწმებულია ანალოგიურად 3) და 2) და 3) რომ იყოს დაკმაყოფილებული, მაშინ გვექნებოდა a=(a+u)+v = a+ +(u+v). ), და ეს შეუძლებელია 5 და 6 თვისებების გამო. საკუთრება 7 სრულიად დადასტურებულია.
ამოცანა 1.3.1. მოდით 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9). დაამტკიცეთ, რომ 3+5=8, 2+4=6.

1.4. ნატურალური რიცხვების გამრავლება.

1.5. ბუნებრივი რიცხვების სისტემის მოწესრიგება.

1.6. ბუნებრივი რიცხვების სისტემის სრული წესრიგი.

1.7. ინდუქციის პრინციპი.

1.8. ნატურალური რიცხვების გამოკლება და გაყოფა.

1.10. ნატურალური რიცხვების სისტემა, როგორც დისკრეტული, სრულიად შეკვეთილი ნაკრები.

2. მთელი და რაციონალური რიცხვები.

2.2. მთელი რიცხვების სისტემის არსებობა.

2.3. მთელი რიცხვების სისტემის უნიკალურობა.

2.4. რაციონალური რიცხვების სისტემის განმარტება და თვისებები.

2.5. რაციონალური რიცხვების სისტემის არსებობა.

2.6. რაციონალური რიცხვების სისტემის უნიკალურობა.

პასუხები, ინსტრუქციები, გადაწყვეტილებები.

ლიტერატურა

მთელი სისტემა

გავიხსენოთ, რომ ბუნებრივი სერია გამოჩნდა ობიექტების სიაში. მაგრამ თუ ჩვენ გვინდა შევასრულოთ რაღაც მოქმედებები ობიექტებთან, მაშინ დაგვჭირდება არითმეტიკული მოქმედებები რიცხვებზე. ანუ თუ გვინდა ვაშლების დაწყობა ან ნამცხვრის გაყოფა, ეს მოქმედებები რიცხვების ენაზე უნდა გადავთარგმნოთ.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ + და * მოქმედებების ნატურალური რიცხვების ენაზე შესატანად აუცილებელია აქსიომების დამატება, რომლებიც განსაზღვრავენ ამ მოქმედებების თვისებებს. მაგრამ თავად ნატურალური რიცხვების სიმრავლე ასევე არის გაფართოება.

ვნახოთ, როგორ ფართოვდება ნატურალური რიცხვების სიმრავლე. უმარტივესი ოპერაცია, რომელიც ერთ-ერთი პირველი იყო საჭირო, არის დამატება. თუ ჩვენ გვინდა განვსაზღვროთ შეკრების მოქმედება, უნდა განვსაზღვროთ მისი შებრუნებული - გამოკლება. სინამდვილეში, თუ ვიცით, რა იქნება შეკრების შედეგი, მაგალითად, 5 და 2, მაშინ უნდა შევძლოთ ამოცანების ამოხსნა, როგორიცაა: რა უნდა დაემატოს 4-ს, რომ მივიღოთ 11. ანუ შეკრებასთან დაკავშირებული პრობლემები აუცილებლად იქნება. მოითხოვს საპირისპირო მოქმედების - გამოკლების უნარს. მაგრამ თუ ნატურალური რიცხვების შეკრებით კვლავ ნატურალური რიცხვი იქნება, მაშინ ნატურალური რიცხვების გამოკლება იძლევა შედეგს, რომელიც არ ჯდება N-ში. საჭირო იყო რამდენიმე სხვა რიცხვი. უფრო დიდი რიცხვიდან უფრო მცირე რიცხვის გასაგებად გამოკლების ანალოგიით შემოიღეს მცირე რიცხვიდან დიდი რიცხვის გამოკლების წესი - ასე გაჩნდა უარყოფითი მთელი რიცხვები.

ბუნებრივი რიგის + და - ოპერაციებით შევსებით, მივდივართ მთელი რიცხვების სიმრავლემდე.

Z=N+ოპერაციები(+-)

რაციონალური რიცხვების სისტემა, როგორც არითმეტიკის ენა

ახლა განვიხილოთ შემდეგი ყველაზე რთული მოქმედება - გამრავლება. არსებითად, ეს არის განმეორებითი დამატება. და მთელი რიცხვების ნამრავლი რჩება მთელ რიცხვად.

მაგრამ გამრავლების შებრუნებული ოპერაცია არის გაყოფა. მაგრამ ის ყოველთვის არ იძლევა საუკეთესო შედეგებს. და ისევ დილემის წინაშე ვდგავართ - ან მივიღოთ მოცემულად, რომ გაყოფის შედეგი შეიძლება „არ არსებობდეს“, ან გამოვიტანოთ რაიმე ახალი ტიპის რიცხვები. ასე გაჩნდა რაციონალური რიცხვები.

ავიღოთ მთელი რიცხვების სისტემა და შევავსოთ აქსიომებით, რომლებიც განსაზღვრავენ გამრავლებისა და გაყოფის მოქმედებებს. ვიღებთ რაციონალური რიცხვების სისტემას.

Q=Z+ოპერაციები(*/)

ასე რომ, რაციონალური რიცხვების ენა საშუალებას გვაძლევს ვაწარმოოთ ყველა არითმეტიკული ოპერაციაციფრებზე მეტი. ამისთვის ნატურალური რიცხვების ენა საკმარისი არ იყო.

მოდით მივცეთ რაციონალური რიცხვების სისტემის აქსიომატური განმარტება.

განმარტება. Q სიმრავლეს რაციონალური რიცხვების სიმრავლე ეწოდება, ხოლო მის ელემენტებს რაციონალური რიცხვები, თუ დაკმაყოფილებულია პირობების შემდეგი ნაკრები, რომელსაც რაციონალური რიცხვების აქსიომატიკა ეწოდება:

მიმატების მოქმედების აქსიომები. ყოველი შეკვეთილი წყვილისთვის x, yელემენტებიდან ქგარკვეული ელემენტია განსაზღვრული x+y OQ, სახელწოდებით ჯამი Xდა ზე. ამ შემთხვევაში, შემდეგი პირობები დაკმაყოფილებულია:

1. (ნულის არსებობა) არის ელემენტი 0 (ნული) ისეთი, რომ ნებისმიერისთვის XÎQ

X+0=0+X=X.

2. ნებისმიერი ელემენტისთვის XО Q არის ელემენტი - XО Q (საპირისპირო X) ისეთივე როგორც

X+ (-X) = (-X) + X = 0.

3. (კომუტატიურობა) ნებისმიერისთვის x, yО Q

4. (ასოციაციურობა) ნებისმიერი x,y,zО Q

x + (y + z) = (x + y) + z

გამრავლების მოქმედების აქსიომები.

ყოველი შეკვეთილი წყვილისთვის x, yელემენტები Q-დან ზოგიერთი ელემენტია განსაზღვრული xyО Q, რომელსაც ეწოდება პროდუქტი Xდა u.ამ შემთხვევაში, შემდეგი პირობები დაკმაყოფილებულია:

5. (ერთეული ელემენტის არსებობა) არის ელემენტი 1 О Q ისეთი, რომ ნებისმიერი XО Q

X . 1 = 1. x = x

6. ნებისმიერი ელემენტისთვის XО Q, ( X≠ 0) არის შებრუნებული ელემენტი X-1 ≠0 ისეთი, რომ

X. x -1 = x -1. x = 1

7. (ასოციაციურობა) ნებისმიერი x, y, zО Q

X . (y . ზ) = (x . y) . ზ

8. (კომუტატიურობა) ნებისმიერისთვის x, yО Q

შეკრებისა და გამრავლების კავშირის აქსიომა.

9. (დისტრიბუცია) ნებისმიერი x, y, zО Q

(x+y) . z = x . z+y . ზ

წესრიგის აქსიომები.

ნებისმიერი ორი ელემენტი x, y,О Q შედით შედარების მიმართებაში ≤. ამ შემთხვევაში, შემდეგი პირობები დაკმაყოფილებულია:

10. (X≤ზე) ლ ( ზე≤x) ó x=y

11. (X≤y)ლ ( y≤ ზ) => x≤ზ

12. ვინმესთვის x, yО Q ან x< у, либо у < x .

დამოკიდებულება< называется строгим неравенством,

მიმართებას = ეწოდება Q ელემენტების ტოლობას.

მიმატებისა და წესრიგის კავშირის აქსიომა.

13. ნებისმიერი x, y, z ОQ, (x £ y) Þ x+z £ y+z

გამრავლებისა და რიგის კავშირის აქსიომა.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)

არქიმედეს უწყვეტობის აქსიომა.

15. ნებისმიერი a > b > 0-ისთვის არსებობს m О N და n О Q ისეთი, რომ m³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

ამრიგად, რაციონალური რიცხვების სისტემა არის არითმეტიკის ენა.

თუმცა ეს ენა არ არის საკმარისი პრაქტიკული გამოთვლითი პრობლემების გადასაჭრელად.