მოვლენებს შორის იპოვეთ საიმედო და შეუძლებელი. გაკვეთილის თემა: "სანდო, შეუძლებელი და შემთხვევითი მოვლენები"

უბრალოდ არა ონლაინ მთარგმნელში.

ოქროს კარიბჭე კიევის სიმბოლოა, არქიტექტურის ერთ-ერთი უძველესი ნიმუში, რომელიც ჩვენს დრომდეა შემორჩენილი. კიევის ოქროს კარიბჭე აშენდა ცნობილი კიევის პრინცის იაროსლავ ბრძენის დროს 1164 წელს. თავდაპირველად მათ სამხრეთს უწოდებდნენ და შეადგენდნენ ქალაქის თავდაცვითი სიმაგრეების სისტემის ნაწილს, პრაქტიკულად არაფრით განსხვავდებოდა ქალაქის სხვა მცველი კარიბჭეებისგან. სწორედ სამხრეთ კარიბჭეებს უწოდებდა პირველმა რუსმა მიტროპოლიტმა ილარიონმა „დიდი“ თავის „ქადაგებაში კანონისა და მადლის შესახებ“. დიდებული აია სოფიას აშენების შემდეგ, "დიდი" კარიბჭე გახდა კიევის მთავარი სახმელეთო შესასვლელი სამხრეთ-დასავლეთის მხრიდან. გააცნობიერა მათი მნიშვნელობა, იაროსლავ ბრძენმა ბრძანა, კარიბჭეზე აეშენებინათ ხარების ეკლესია, რათა ხარკი გადაეხადათ ქალაქსა და რუსეთში გაბატონებულ ქრისტიანულ რელიგიას. იმ დროიდან მოყოლებული, რუსული მატიანეების ყველა წყარომ დაიწყო კიევის სამხრეთ კარიბჭის ოქროს კარიბჭის მოწოდება. კარიბჭის სიგანე იყო 7,5 მ, გადასასვლელის სიმაღლე 12 მ, ხოლო სიგრძე დაახლოებით 25 მ.

le sport ce n "est pas seulement des cours de gym. C" est aussi sauter toujours plus haut nager jouer au ballon danser. le sport développé ton corps et aussi ton cerveau. Quand tu prends l "escalier et non pas l" ascenseur tu fais du sport. Quand tu fais une cabane dans un arbre tu fais du sport. Quand tu te bats avec ton frere tu fais du sport. Quand tu cours, parce que tu es en retard a l "ecole, tu fais du sport.

მოვლენა არის ტესტის შედეგი. რა არის მოვლენა? ურნადან შემთხვევით ამოღებულია ერთი ბურთი. ურნადან ბურთის ამოღება გამოცდაა. გარკვეული ფერის ბურთის გამოჩენა მოვლენაა. ალბათობის თეორიაში, მოვლენა გაგებულია, როგორც რაღაც, რომლის შესახებაც დროის გარკვეული მომენტის შემდეგ, ამ ორიდან მხოლოდ ერთის თქმა შეიძლება. დიახ, მოხდა. არა, ეს არ მოხდა. ექსპერიმენტის შესაძლო შედეგს ელემენტარული მოვლენა ეწოდება, ხოლო ასეთი შედეგების სიმრავლეს უბრალოდ მოვლენას უწოდებენ.

არაპროგნოზირებად მოვლენებს შემთხვევითი ეწოდება. მოვლენას შემთხვევითი ეწოდება, თუ იმავე პირობებში შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს. კვარცხლბეკის გადახვევა გამოიწვევს ექვსს. ლატარიის ბილეთი მაქვს. ლატარიის გათამაშების შედეგების გამოქვეყნების შემდეგ, მოვლენა, რომელიც მაინტერესებს - ათასი რუბლის მოგება, ან ხდება ან არ ხდება. მაგალითი.

ორ მოვლენას, რომელიც მოცემულ პირობებში შეიძლება მოხდეს ერთდროულად, ეწოდება სახსარს, ხოლო იმ მოვლენას, რომელიც არ შეიძლება მოხდეს ერთდროულად, ეწოდება შეუთავსებელი. მონეტა იყრება. „გერბის“ გარეგნობა გამორიცხავს წარწერის გარეგნობას. მოვლენები „გამოჩნდა გერბი“ და „გაჩნდა წარწერა“ შეუთავსებელია. მაგალითი.

მოვლენას, რომელიც ყოველთვის ხდება, ეწოდება გარკვეული. მოვლენას, რომელიც არ შეიძლება მოხდეს, შეუძლებელი ეწოდება. დავუშვათ, მაგალითად, ბურთი ამოღებულია ურნიდან, რომელიც შეიცავს მხოლოდ შავ ბურთებს. მაშინ შავი ბურთის გამოჩენა გარკვეული მოვლენაა; თეთრი ბურთის გამოჩენა შეუძლებელი მოვლენაა. მაგალითები. მომავალ წელს არ თოვს. როდესაც თქვენ გააფართოვებთ კვერს, ამოვა შვიდი. ეს შეუძლებელი მოვლენებია. მომავალ წელს თოვლი მოვა. კვარცხლბეკის გადახვევა გამოიწვევს რიცხვს შვიდზე ნაკლებს. ყოველდღიური მზის ამოსვლა. ეს რეალური მოვლენებია.

პრობლემის გადაჭრა თითოეული აღწერილი მოვლენისთვის დაადგინეთ რა არის ეს: შეუძლებელი, გარკვეული ან შემთხვევითი. 1. კლასის 25 მოსწავლიდან ორი აღნიშნავს დაბადების დღეს ა) 30 იანვარს; ბ) 30 თებერვალი. 2. შემთხვევითი წესით იხსნება ლიტერატურის სახელმძღვანელო და იპოვება მეორე სიტყვა მარცხენა გვერდზე. ეს სიტყვა იწყება: ა) ასო „კ“-ით; ბ) ასო „ბ“-ით.

3. დღეს სოჭში ბარომეტრი აჩვენებს ნორმალურ ატმოსფერულ წნევას. ამ შემთხვევაში: ა) ტაფაში ადუღებული წყალი 80ºC ტემპერატურაზე; ბ) როდესაც ტემპერატურა -5º C-მდე დაეცა, გუბეში წყალი გაიყინა. 4. ჩააგდე ორი კამათელი: ა) პირველ კამათელზე 3 ქულა, მეორეზე კი 5 ქულა; ბ) ორ კამათელზე ქულების ჯამი 1-ის ტოლია; გ) ორ კამათელზე გაშვებული ქულების ჯამი არის 13; დ) 3 ქულა ორივე კამათელზე; ე) ორ კამათელზე ქულების ჯამი 15-ზე ნაკლებია. ამოცანის ამოხსნა

5. თქვენ გახსენით წიგნი ნებისმიერ გვერდზე და წაიკითხეთ პირველი არსებითი სახელი, რომელსაც წააწყდით. აღმოჩნდა, რომ: ა) არჩეული სიტყვის მართლწერაში არის ხმოვანი; ბ) შერჩეული სიტყვის მართლწერაში არის ასო „ო“; გ) არჩეული სიტყვის მართლწერაში არ არის ხმოვნები; დ) შერჩეული სიტყვის მართლწერაში არის რბილი ნიშანი. Პრობლემის გადაჭრა

მე-5 კლასი შესავალი ალბათობაში (4 საათი)

(ამ თემაზე 4 გაკვეთილის შემუშავება)

სასწავლო მიზნები : - გააცნოს შემთხვევითი, სანდო და შეუძლებელი მოვლენის განმარტება;

წარუდგინეთ პირველი იდეები კომბინატორული ამოცანების ამოხსნის შესახებ: ვარიანტების ხის გამოყენება და გამრავლების წესის გამოყენება.

საგანმანათლებლო მიზანი: მოსწავლეთა აზროვნების განვითარება.

განვითარების მიზანი : სივრცითი წარმოსახვის განვითარება, მმართველთან მუშაობის უნარის გაუმჯობესება.

სანდო, შეუძლებელი და შემთხვევითი მოვლენები (2 საათი)

კომბინირებული დავალებები (2 საათი)

სანდო, შეუძლებელი და შემთხვევითი მოვლენები.

Პირველი გაკვეთილი

საგაკვეთილო აღჭურვილობა: კამათელი, მონეტა, ნარდი.

ჩვენი ცხოვრება ძირითადად უბედური შემთხვევებისგან შედგება. არსებობს ასეთი მეცნიერება "ალბათობის თეორია". მისი ენის გამოყენებით შესაძლებელია მრავალი ფენომენის და სიტუაციის აღწერა.

პირველყოფილ ლიდერსაც კი ესმოდა, რომ ათეულ მონადირეს უფრო დიდი "ალბათობა" ჰქონდა ბიზონს შუბით დაეჯახა, ვიდრე ერთს. ამიტომ, ისინი მაშინ კოლექტიური ნადირობდნენ.

ისეთი უძველესი მეთაურები, როგორიცაა ალექსანდრე მაკედონელი ან დიმიტრი დონსკოი, ბრძოლისთვის ემზადებიან, ეყრდნობოდნენ არა მხოლოდ მეომრების სიმამაცესა და უნარს, არამედ შემთხვევითობას.

ბევრს უყვარს მათემატიკა მარადიული ჭეშმარიტებისთვის, ორჯერ ორი ყოველთვის ოთხია, ლუწი რიცხვების ჯამი ლუწია, მართკუთხედის ფართობი უდრის მიმდებარე გვერდების ნამრავლს და ა.შ. ნებისმიერ პრობლემაში, რომელსაც თქვენ გადაწყვეტთ, ყველა იღებს იგივე პასუხი - თქვენ უბრალოდ უნდა დაუშვათ შეცდომები გადაწყვეტილებაში.

რეალური ცხოვრება არც ისე მარტივი და ცალსახაა. ბევრი მოვლენის შედეგების წინასწარ პროგნოზირება შეუძლებელია. შეუძლებელია, მაგალითად, დანამდვილებით იმის თქმა, თუ რომელ მხარეს დაჯდება გადაყრილი მონეტა, როდის მოვა პირველი თოვლი მომავალ წელს ან რამდენ ადამიანს მოუნდება ქალაქში სატელეფონო ზარი მომდევნო საათში. ასეთ არაპროგნოზირებად მოვლენებს ე.წ შემთხვევითი .

თუმცა, საქმესაც აქვს თავისი კანონები, რომლებიც იწყებენ გამოვლენას შემთხვევითი ფენომენების განმეორებით გამეორებით. თუ მონეტას 1000-ჯერ გადააგდებთ, მაშინ "არწივი" დაახლოებით ნახევარზე ამოვარდება, რაც არ შეიძლება ითქვას ორ ან თუნდაც ათ სროლაზე. "დაახლოებით" არ ნიშნავს ნახევარს. ეს, როგორც წესი, შეიძლება იყოს ან არ იყოს. კანონი, როგორც წესი, არაფერს ამბობს დანამდვილებით, მაგრამ იძლევა გარკვეულ ხარისხს, რომ რაიმე შემთხვევითი მოვლენა მოხდება. ასეთ კანონზომიერებებს სწავლობს მათემატიკის სპეციალური ფილიალი - ალბათობის თეორია . მისი დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ უფრო დიდი ნდობით იწინასწარმეტყველოთ (მაგრამ ჯერ კიდევ არ ხართ დარწმუნებული) როგორც პირველი თოვლის თარიღის, ასევე სატელეფონო ზარების რაოდენობის შესახებ.

ალბათობის თეორია განუყოფლად არის დაკავშირებული ჩვენს ყოველდღიურ ცხოვრებასთან. ეს გვაძლევს შესანიშნავ შესაძლებლობას დავადგინოთ ბევრი ალბათური კანონი ემპირიულად, შემთხვევითი ექსპერიმენტების განმეორებით განმეორებით. ამ ექსპერიმენტების მასალები ყველაზე ხშირად იქნება ჩვეულებრივი მონეტა, კამათელი, დომინოს ნაკრები, ნარდი, რულეტკა ან თუნდაც კარტების დასტა. თითოეული ეს ელემენტი ამა თუ იმ გზით დაკავშირებულია თამაშებთან. ფაქტია, რომ აქ საქმე ყველაზე ხშირად ჩნდება. და პირველი სავარაუდო ამოცანები დაკავშირებული იყო მოთამაშეთა გამარჯვების შანსების შეფასებასთან.

თანამედროვე ალბათობის თეორია გადავიდა აზარტულ თამაშებს, მაგრამ მათი რეკვიზიტები მაინც ყველაზე მარტივი და საიმედო წყაროა. რულეტის ბორბალითა და კალათით ვარჯიშით, თქვენ შეისწავლით თუ როგორ გამოთვალოთ შემთხვევითი მოვლენების ალბათობა რეალურ ცხოვრებაში, რაც საშუალებას მოგცემთ შეაფასოთ თქვენი წარმატების შანსები, შეამოწმოთ ჰიპოთეზები და მიიღოთ ოპტიმალური გადაწყვეტილებები არა მხოლოდ თამაშებსა და ლატარიებში. .

ალბათური ამოცანების გადაჭრისას, იყავით ძალიან ფრთხილად, შეეცადეთ გაამართლოთ თითოეული ნაბიჯი, რადგან მათემატიკის სხვა სფერო არ შეიცავს პარადოქსების ასეთ რაოდენობას. ალბათობის თეორიის მსგავსად. და ალბათ ამის მთავარი ახსნა არის მისი კავშირი რეალურ სამყაროსთან, რომელშიც ჩვენ ვცხოვრობთ.

ბევრ თამაშში გამოიყენება კვარცხლბეკი, რომელსაც აქვს ქულების განსხვავებული რაოდენობა 1-დან 6-მდე თითოეულ მხარეს.მოთამაშე ააგორებს კალთას, უყურებს რამდენი ქულა ამოვარდა (ზედა მდებარე მხარეს) და აკეთებს სვლების შესაბამისი რაოდენობა: 1,2,3,4,5 ან 6. სამაჯურის სროლა შეიძლება ჩაითვალოს გამოცდილებად, ექსპერიმენტად, გამოცდად, მიღებული შედეგი კი მოვლენად. ადამიანებს, როგორც წესი, ძალიან აინტერესებთ მოვლენის დაწყების გამოცნობა, მისი შედეგის პროგნოზირება. რა პროგნოზების გაკეთება შეუძლიათ მათ კამათლის გაშვებისას? პირველი პროგნოზი: ამოვარდება ერთ-ერთი რიცხვი 1,2,3,4,5, ან 6. როგორ ფიქრობთ, მოვა თუ არა ნაწინასწარმეტყველები მოვლენა? რა თქმა უნდა აუცილებლად მოვა. მოვლენას, რომელიც აუცილებლად მოხდება მოცემულ გამოცდილებაში, ეწოდება სანდო მოვლენა.

მეორე პროგნოზი : ამოვარდება რიცხვი 7. როგორ ფიქრობთ მოვა თუ არა ნაწინასწარმეტყველები მოვლენა? რა თქმა უნდა, ეს არ მოხდება, უბრალოდ შეუძლებელია. მოვლენას, რომელიც არ შეიძლება მოხდეს მოცემულ ექსპერიმენტში, ეწოდება შეუძლებელი მოვლენა.

მესამე პროგნოზი : რიცხვი 1 ამოვარდება.როგორ ფიქრობთ დადგება თუ არა მოსალოდნელი მოვლენა? ჩვენ არ შეგვიძლია ამ კითხვაზე პასუხის გაცემა სრული დარწმუნებით, რადგან სავარაუდო მოვლენა შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს. მოვლენას, რომელიც შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს მოცემულ გამოცდილებაში, ეწოდება შემთხვევითი მოვლენა.

ვარჯიში : აღწერეთ მოვლენები, რომლებიც განხილულია ქვემოთ მოცემულ ამოცანებში. როგორც გარკვეული, შეუძლებელი ან შემთხვევითი.

ჩვენ ვყრით მონეტას. გერბი გამოჩნდა. (შემთხვევითი)

მონადირემ ესროლა მგელს და დაარტყა. (შემთხვევითი)

სტუდენტი ყოველ საღამოს გადის სასეირნოდ. გასეირნებისას, ორშაბათს, სამი ნაცნობი გაიცნო. (შემთხვევითი)

გონებრივად ჩავატაროთ შემდეგი ექსპერიმენტი: ერთი ჭიქა წყალი გადაატრიალეთ. თუ ეს ექსპერიმენტი ჩატარდება არა სივრცეში, არამედ სახლში ან საკლასო ოთახში, მაშინ წყალი დაიღვრება. (ავთენტური)

სამი გასროლა მიზანში. იყო ხუთი დარტყმა" (შეუძლებელია)

ქვას მაღლა ვყრით. ქვა ჰაერში რჩება. (შეუძლებელი)

სიტყვა "ანტაგონიზმის" ასოები გადალაგებულია შემთხვევით. მიიღეთ სიტყვა "ანაქროიზმი". (შეუძლებელი)

№959. პეტიამ ნატურალური რიცხვი მოიფიქრა. ღონისძიება ასეთია:

ა) ჩაფიქრებულია ლუწი რიცხვი; (შემთხვევითი) ბ) კენტი რიცხვი ჩაფიქრებულია; (შემთხვევითი)

გ) ჩაფიქრებულია რიცხვი, რომელიც არც ლუწია და არც კენტი; (შეუძლებელი)

დ) ჩაფიქრებულია რიცხვი, რომელიც არის ლუწი ან კენტი. (ავთენტური)

№ 961. პეტია და ტოლია თავიანთ დაბადების დღეებს ადარებენ. ღონისძიება ასეთია:

ა) მათი დაბადების დღეები არ ემთხვევა; (შემთხვევითი) ბ) მათი დაბადების დღე ერთნაირია; (შემთხვევითი)

დ) ორივე დაბადების დღე დღესასწაულებზე მოდის - ახალ წელს (1 იანვარი) და რუსეთის დამოუკიდებლობის დღეს (12 ივნისი). (შემთხვევითი)

№ 962. ნარდის თამაშისას გამოიყენება ორი კამათელი. სვლების რაოდენობა, რომელსაც თამაშში მონაწილე აკეთებს, განისაზღვრება კვარცხლბეკის ორ სახეზე ამოვარდნილი ნომრების მიმატებით და თუ „ორმაგი“ ამოვარდება (1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6), შემდეგ სვლების რაოდენობა გაორმაგდება. თქვენ აგორებთ კამათელს და გამოთვლით რამდენი სვლა უნდა გააკეთოთ. ღონისძიება ასეთია:

ა) თქვენ უნდა გააკეთოთ ერთი ნაბიჯი; ბ) თქვენ უნდა გააკეთოთ 7 სვლა;

გ) უნდა გააკეთოთ 24 სვლა; დ) თქვენ უნდა გააკეთოთ 13 სვლა.

ა) - შეუძლებელია (1 სვლა შეიძლება გაკეთდეს, თუ კომბინაცია 1 + 0 ამოვარდება, მაგრამ კამათელზე არ არის ნომერი 0).

ბ) - შემთხვევითი (თუ 1 + 6 ან 2 + 5 ამოვარდება).

გ) - შემთხვევითი (თუ კომბინაცია 6 +6 ამოვარდება).

დ) - შეუძლებელია (არ არსებობს 1-დან 6-მდე რიცხვების კომბინაციები, რომელთა ჯამი არის 13; ეს რიცხვი ვერ მიიღება მაშინაც კი, როდესაც "ორმაგი" შემოვიდა, რადგან ის კენტია).

გამოცადე საკუთარი თავი. (მათემატიკის კარნახი)

1) მიუთითეთ ქვემოთ ჩამოთვლილი მოვლენებიდან რომელია შეუძლებელი, რომელია გარკვეული, რომელია შემთხვევითი:

საფეხბურთო მატჩი "სპარტაკი" - "დინამო" ფრედ დასრულდება. (შემთხვევითი)

თქვენ მოიგებთ მომგებიანი ლატარიაში მონაწილეობით (ავთენტური)

შუაღამისას თოვლი მოვა, 24 საათის შემდეგ კი მზე ანათებს. (შეუძლებელი)

ხვალ მათემატიკის გამოცდაა. (შემთხვევითი)

თქვენ აირჩევთ შეერთებული შტატების პრეზიდენტად. (შეუძლებელი)

თქვენ აირჩევთ რუსეთის პრეზიდენტად. (შემთხვევითი)

2) მაღაზიაში იყიდეთ ტელევიზორი, რაზეც მწარმოებელი იძლევა ორწლიან გარანტიას. ქვემოთ ჩამოთვლილი მოვლენებიდან რომელია შეუძლებელი, რომელია შემთხვევითი, რომელია გარკვეული:

ტელევიზორი არ გატყდება ერთი წლის განმავლობაში. (შემთხვევითი)

ტელევიზორი ორი წელი არ გაფუჭდება. (შემთხვევითი)

ორი წლის განმავლობაში ტელევიზორის შეკეთების გადახდა არ მოგიწევთ. (ავთენტური)

ტელევიზორი მესამე წელს გაფუჭდება. (შემთხვევითი)

3) 15 მგზავრიანი ავტობუსს აქვს 10 გაჩერება. ქვემოთ ჩამოთვლილი მოვლენებიდან რომელია შეუძლებელი, რომელია შემთხვევითი, რომელია გარკვეული:

ყველა მგზავრი ავტობუსიდან სხვადასხვა გაჩერებაზე გადმოვა. (შეუძლებელი)

ყველა მგზავრი ჩამოვა იმავე გაჩერებაზე. (შემთხვევითი)

ყოველ გაჩერებაზე ვიღაც გადმოვა. (შემთხვევითი)

იქნება გაჩერება, რომელზედაც არავინ ჩამოვა. (შემთხვევითი)

ყველა გაჩერებაზე ლუწი რაოდენობის მგზავრი გადმოვა. (შეუძლებელი)

ყველა გაჩერებაზე კენტი რაოდენობის მგზავრი ჩამოვა. (შეუძლებელი)

Საშინაო დავალება : 53 No. 960, 963, 965 (თქვენ თვითონ გამოიტანეთ ორი საიმედო, შემთხვევითი და შეუძლებელი მოვლენა).

მეორე გაკვეთილი.

საშინაო დავალების შემოწმება. (ზეპირად)

ა) ახსენით რა არის გარკვეული, შემთხვევითი და შეუძლებელი მოვლენები.

ბ) მიუთითეთ ქვემოთ ჩამოთვლილი მოვლენებიდან რომელია გარკვეული, რომელი შეუძლებელი, რომელია შემთხვევითი:

ზაფხულის არდადეგები არ იქნება. (შეუძლებელი)

სენდვიჩი დაეცემა კარაქის მხარეს. (შემთხვევითი)

სასწავლო წელი საბოლოოდ დასრულდება. (ავთენტური)

ხვალ კლასში მკითხავენ. (შემთხვევითი)

დღეს შავ კატას ვხვდები. (შემთხვევითი)

№ 960. თქვენ გახსენით ეს სახელმძღვანელო ნებისმიერ გვერდზე და აირჩიეთ პირველი არსებითი სახელი. ღონისძიება ასეთია:

ა) არჩეული სიტყვის მართლწერაში არის ხმოვანი. ((ავთენტური)

ბ) არჩეული სიტყვის მართლწერაში არის ასო „ო“. (შემთხვევითი)

გ) არჩეული სიტყვის მართლწერაში არ არის ხმოვნები. (შეუძლებელი)

დ) შერჩეული სიტყვის მართლწერაში არის რბილი ნიშანი. (შემთხვევითი)

№ 963. ისევ ნარდს თამაშობ. აღწერეთ შემდეგი მოვლენა:

ა) მოთამაშემ უნდა გააკეთოს არაუმეტეს ორი სვლა. (შეუძლებელია - უმცირესი რიცხვების 1 + 1 კომბინაციით მოთამაშე აკეთებს 4 სვლას; კომბინაცია 1 + 2 იძლევა 3 სვლას; ყველა სხვა კომბინაცია იძლევა 3-ზე მეტ მოძრაობას)

ბ) მოთამაშემ უნდა გააკეთოს ორზე მეტი მოძრაობა. (სანდო - ნებისმიერი კომბინაცია იძლევა 3 ან მეტ მოძრაობას)

გ) მოთამაშემ უნდა გააკეთოს არაუმეტეს 24 სვლა. (სანდო - უდიდესი რიცხვების კომბინაცია 6 + 6 იძლევა 24 სვლას, ხოლო დანარჩენი - 24 სვლაზე ნაკლებს)

დ) მოთამაშემ უნდა გააკეთოს სვლების ორნიშნა რიცხვი. (შემთხვევითი - მაგალითად, 2 + 3 კომბინაცია იძლევა სვლების ერთნიშნა რიცხვს: 5, ხოლო ორი ოთხეულის დაცემა იძლევა სვლების ორნიშნა რიცხვს)

2. პრობლემის გადაჭრა.

№ 964. ჩანთაში არის 10 ბურთი: 3 ლურჯი, 3 თეთრი და 4 წითელი. აღწერეთ შემდეგი მოვლენა:

ა) ჩანთიდან ამოღებულია 4 ბურთი და ყველა მათგანი ლურჯია; (შეუძლებელი)

ბ) ჩანთიდან ამოღებულია 4 ბურთი და ყველა წითელია; (შემთხვევითი)

გ) ჩანთიდან ამოიღეს 4 ბურთი და ყველა სხვადასხვა ფერის აღმოჩნდა; (შეუძლებელი)

დ) ჩანთიდან ამოღებულია 4 ბურთი და მათ შორის შავი ბურთი არ არის. (ავთენტური)

ამოცანა 1 . ყუთში არის 10 წითელი, 1 მწვანე და 2 ლურჯი კალამი. ყუთიდან შემთხვევით ამოღებულია ორი ელემენტი. ქვემოთ ჩამოთვლილი მოვლენებიდან რომელია შეუძლებელი, რომელია შემთხვევითი, რომელია გარკვეული:

ა) ამოღებულია ორი წითელი სახელური (შემთხვევითი)

ბ) ამოღებულია ორი მწვანე სახელური; (შეუძლებელი)

გ) ამოღებულია ორი ლურჯი სახელური; (შემთხვევითი)

დ) ამოღებულია ორი სხვადასხვა ფერის სახელურები; (შემთხვევითი)

ე) ამოღებულია ორი სახელური; (ავთენტური)

ე) ამოღებულია ორი ფანქარი. (შეუძლებელი)

დავალება 2. ვინი პუხი, გოჭი და ყველა - ყველა - ყველა სხედან მრგვალ მაგიდასთან დაბადების დღის აღსანიშნავად. რა რაოდენობის ყველა - ყველა - ყველა ღონისძიება "ვინი პუხი და გოჭი დაჯდებიან გვერდიგვერდ" არის სანდო და რა - შემთხვევითი?

(თუ არის მხოლოდ 1 ყველა - ყველა - ყველა, მაშინ მოვლენა საიმედოა, თუ 1-ზე მეტი, მაშინ ის შემთხვევითია).

დავალება 3. 100 საქველმოქმედო ლატარიის ბილეთიდან 20 მომგებიანი რამდენი ბილეთის ყიდვა გჭირდებათ იმისათვის, რომ „არაფერს მოიგებთ“ ღონისძიება შეუძლებელი გახადოთ?

დავალება 4. კლასში 10 ბიჭი და 20 გოგოა. ჩამოთვლილი მოვლენებიდან რომელია შეუძლებელი ასეთი კლასისთვის, რომელია შემთხვევითი, რომელია გარკვეული

კლასში არის ორი ადამიანი, რომლებიც სხვადასხვა თვეში დაიბადნენ. (შემთხვევითი)

კლასში ორი ადამიანია დაბადებული ერთ თვეში. (ავთენტური)

კლასში ორი ბიჭია, რომლებიც ერთ თვეში დაიბადნენ. (შემთხვევითი)

კლასში ორი გოგონაა, რომლებიც ერთ თვეში დაიბადნენ. (ავთენტური)

ყველა ბიჭი სხვადასხვა თვეში დაიბადა. (ავთენტური)

ყველა გოგონა სხვადასხვა თვეში დაიბადა. (შემთხვევითი)

ერთ თვეში დაიბადნენ ბიჭი და გოგო. (შემთხვევითი)

არის ბიჭი და გოგო სხვადასხვა თვეში დაბადებული. (შემთხვევითი)

დავალება 5. ყუთში არის 3 წითელი, 3 ყვითელი, 3 მწვანე ბურთი. დახატეთ 4 ბურთი შემთხვევით. განვიხილოთ მოვლენა „დახატულ ბურთებს შორის იქნება ზუსტად M ფერის ბურთები“. თითოეული M 1-დან 4-მდე განსაზღვრეთ რომელი მოვლენაა ეს - შეუძლებელი, გარკვეული თუ შემთხვევითი და შეავსეთ ცხრილი:

დამოუკიდებელი მუშაობა.

მევარიანტი

ა) თქვენი მეგობრის დაბადების დღე 32 წელზე ნაკლებია;

გ) ხვალ ჩატარდება მათემატიკის გამოცდა;

დ) მომავალ წელს მოსკოვში პირველი თოვლი მოვა კვირას.

ჩააგდე კამათელი. აღწერეთ მოვლენა:

ა) დაცემული კუბი კიდეზე დადგება;

ბ) ამოვარდება ერთ-ერთი რიცხვი: 1, 2, 3, 4, 5, 6;

გ) რიცხვი 6 ამოვარდება;

დ) გამოვა რიცხვი, რომელიც 7-ის ნამრავლია.

ყუთში არის 3 წითელი, 3 ყვითელი და 3 მწვანე ბურთი. აღწერეთ მოვლენა:

ა) ყველა დახატული ბურთი ერთი ფერისაა;

ბ) სხვადასხვა ფერის ყველა დახატული ბურთი;

გ) დახატულ ბურთებს შორის არის სხვადასხვა ფერის ბურთულები;

გ) დახატულ ბურთებს შორის არის წითელი, ყვითელი და მწვანე ბურთი.

IIვარიანტი

აღწერეთ განსახილველი მოვლენა, როგორც გარკვეული, შეუძლებელი ან შემთხვევითი:

ა) მაგიდიდან ჩამოვარდნილი სენდვიჩი იატაკზე დაეცემა, კარაქით ქვევით;

ბ) მოსკოვში შუაღამისას თოვლი მოვა, 24 საათში კი მზე ანათებს;

გ) მოიგებთ მომგებიანი ლატარიაში მონაწილეობით;

დ) მომავალ წელს მაისში პირველი გაზაფხულის ჭექა-ქუხილი ისმის.

ყველა ორნიშნა რიცხვი იწერება ბარათებზე. ერთი ბარათი არჩეულია შემთხვევით. აღწერეთ მოვლენა:

ა) ბარათი ნული აღმოჩნდა;

ბ) ბარათზე არის რიცხვი, რომელიც არის 5-ის ჯერადი;

გ) ბარათზე არის რიცხვი, რომელიც არის 100-ის ჯერადი;

დ) ბარათი შეიცავს 9-ზე მეტი და 100-ზე ნაკლები რიცხვს.

ყუთში არის 10 წითელი, 1 მწვანე და 2 ლურჯი კალამი. ყუთიდან შემთხვევით ამოღებულია ორი ელემენტი. აღწერეთ მოვლენა:

ა) ამოღებულია ორი ლურჯი სახელური;

ბ) ამოღებულია ორი წითელი სახელური;

გ) ამოღებულია ორი მწვანე სახელური;

დ) მწვანე და შავი სახელურები ამოღებულია.

Საშინაო დავალება: 1). გამოიტანეთ ორი საიმედო, შემთხვევითი და შეუძლებელი მოვლენა.

2). Დავალება . ყუთში არის 3 წითელი, 3 ყვითელი, 3 მწვანე ბურთი. შემთხვევით ვხატავთ N ბურთულას. განვიხილოთ მოვლენა „დახატულ ბურთებს შორის იქნება ზუსტად სამი ფერის ბურთები“. თითოეული N 1-დან 9-მდე დაადგინეთ რომელი მოვლენაა ეს - შეუძლებელი, გარკვეული თუ შემთხვევითი და შეავსეთ ცხრილი:

კომბინატორული ამოცანები.

Პირველი გაკვეთილი

საშინაო დავალების შემოწმება. (ზეპირად)

ა) ვამოწმებთ იმ პრობლემებს, რომლებიც მოსწავლეებს მოუვიდათ.

ბ) დამატებითი დავალება.

ვკითხულობ ნაწყვეტს ვ.ლევშინის წიგნიდან „სამი დღე კარლიკანიში“.

„პირველ რიგში, გლუვი ვალსის ხმებზე, რიცხვებმა შექმნეს ჯგუფი: 1+ 3 + 4 + 2 = 10. შემდეგ ახალგაზრდა მოციგურავეებმა დაიწყეს ადგილების შეცვლა, უფრო და უფრო მეტი ახალი ჯგუფის შექმნა: 2 + 3 + 4 + 1. = 10

3 + 1 + 2 + 4 = 10

4 + 1 + 3 + 2 = 10

1 + 4 + 2 + 3 = 10 და ა.შ.

ასე გაგრძელდა მანამ, სანამ მოციგურავეები თავდაპირველ პოზიციას დაუბრუნდნენ.

რამდენჯერ შეცვალეს ადგილები?

დღეს გაკვეთილზე ჩვენ ვისწავლით როგორ მოვაგვაროთ ასეთი პრობლემები. მათ ეძახიან კომბინატორული.

3. ახალი მასალის შესწავლა.

დავალება 1. რამდენი ორნიშნა რიცხვი შეიძლება ჩამოყალიბდეს რიცხვებიდან 1, 2, 3?

გადაწყვეტილება: 11, 12, 13

31, 32, 33. მხოლოდ 9 ნომერი.

ამ პრობლემის გადაჭრისას ჩვენ ჩამოვთვალეთ ყველა შესაძლო ვარიანტი, ან როგორც ჩვეულებრივ ამბობენ ამ შემთხვევებში. ყველა შესაძლო კომბინაცია. ამიტომ, ასეთი ამოცანები ე.წ კომბინატორული. საკმაოდ გავრცელებულია ცხოვრებაში შესაძლო (ან შეუძლებელი) ვარიანტების გამოთვლა, ამიტომ სასარგებლოა კომბინატორული პრობლემების გაცნობა.

№ 967. რამდენიმე ქვეყანამ გადაწყვიტა გამოეყენებინა თავისი ეროვნული დროშის სიმბოლოები ერთი და იგივე სიგანის სამი ჰორიზონტალური ზოლის სახით სხვადასხვა ფერებში - თეთრი, ლურჯი, წითელი. რამდენ ქვეყანას შეუძლია გამოიყენოს ასეთი სიმბოლოები, იმ პირობით, რომ თითოეულ ქვეყანას აქვს საკუთარი დროშა?

გადაწყვეტილება. დავუშვათ, რომ პირველი ზოლი თეთრია. შემდეგ მეორე ზოლი შეიძლება იყოს ლურჯი ან წითელი, ხოლო მესამე ზოლი, შესაბამისად, წითელი ან ლურჯი. აღმოჩნდა ორი ვარიანტი: თეთრი, ლურჯი, წითელი ან თეთრი, წითელი, ლურჯი.

მოდით, პირველი ზოლი იყოს ლურჯი, შემდეგ კვლავ მივიღებთ ორ ვარიანტს: თეთრი, წითელი, ლურჯი ან ლურჯი, წითელი, თეთრი.

დაე, პირველი ზოლი იყოს წითელი, შემდეგ კიდევ ორი ​​ვარიანტი: წითელი, თეთრი, ლურჯი ან წითელი, ლურჯი, თეთრი.

სულ არის 6 შესაძლო ვარიანტი. ამ დროშის გამოყენება 6 ქვეყანას შეუძლია.

ასე რომ, ამ პრობლემის გადაჭრისას, ჩვენ ვეძებდით გზას, რომ ჩამოვთვალოთ შესაძლო ვარიანტები. ხშირ შემთხვევაში, გამოსადეგი აღმოჩნდება სურათის აგება - ვარიანტების ჩამოთვლის სქემა. ეს, ჯერ ერთი, ვიზუალურია და მეორეც, საშუალებას გვაძლევს ყველაფერი გავითვალისწინოთ, არაფერი გამოგვრჩეს.

ამ სქემას ასევე უწოდებენ შესაძლო ვარიანტების ხეს.

Წინა გვერდი

მეორე შესახვევი

მესამე შესახვევი

მიღებული კომბინაცია

№ 968. რამდენი ორნიშნა რიცხვი შეიძლება გაკეთდეს 1, 2, 4, 6, 8 რიცხვებიდან?

გადაწყვეტილება. ჩვენთვის საინტერესო ორნიშნა რიცხვებზე პირველ ადგილზე შეიძლება იყოს ნებისმიერი მოცემული ციფრი, გარდა 0-ისა. თუ პირველ ადგილზე დავაყენებთ რიცხვს 2, მაშინ ნებისმიერი მოცემული ციფრი შეიძლება იყოს მეორე ადგილზე. იქნება ხუთი ორნიშნა რიცხვი: 2.,22, 24, 26, 28. ანალოგიურად, იქნება ხუთი ორნიშნა რიცხვი პირველი ციფრით 4, ხუთი ორნიშნა რიცხვი პირველი ციფრით 6 და ხუთი ორნიშნა რიცხვი. ციფრული რიცხვები პირველი ციფრით 8.

პასუხი: სულ არის 20 ნომერი.

მოდით ავაშენოთ ამ პრობლემის გადაჭრის შესაძლო ვარიანტების ხე.

ორმაგი ფიგურები

პირველი ციფრი

მეორე ციფრი

მიღებული ნომრები

20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,

40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.

გადაჭრით შემდეგი ამოცანები შესაძლო ვარიანტების ხის აგებით.

№ 971. გარკვეული ქვეყნის ხელმძღვანელობამ გადაწყვიტა თავისი ეროვნული დროშა ასე გაეკეთებინა: ერთფეროვან მართკუთხა ფონზე, ერთ-ერთ კუთხეში სხვადასხვა ფერის წრეა მოთავსებული. გადაწყდა ფერების შერჩევა სამი შესაძლოდან: წითელი, ყვითელი, მწვანე. ამ დროშის რამდენი ვარიანტია

არსებობს? ფიგურაში ნაჩვენებია რამდენიმე შესაძლო ვარიანტი.

პასუხი: 24 ვარიანტი.

№ 973. ა) რამდენი სამნიშნა რიცხვი შეიძლება გაკეთდეს 1,3, 5, რიცხვებიდან? (27 ნომერი)

ბ) რამდენი სამნიშნა რიცხვის დამზადება შეიძლება 1,3, 5 რიცხვებიდან, იმ პირობით, რომ რიცხვები არ უნდა განმეორდეს? (6 ნომერი)

№ 979. თანამედროვე ხუთმოჭიდავეები ორი დღის განმავლობაში ასპარეზობენ ხუთ სპორტში: შოუ ხტომა, ფარიკაობა, ცურვა, სროლა და სირბილი.

ა) რამდენი ვარიანტი არსებობს კონკურსის სახეობების გავლის თანმიმდევრობისთვის? (120 ვარიანტი)

ბ) რამდენი ვარიანტი არსებობს კონკურსის ღონისძიებების გავლის თანმიმდევრობისთვის, თუ ცნობილია, რომ ბოლო ღონისძიება უნდა იყოს რბენა? (24 ვარიანტი)

გ) რამდენი ვარიანტია შეჯიბრის სახეობების გავლის თანმიმდევრობა, თუ ცნობილია, რომ ბოლო ტიპი უნდა იყოს სირბილი, ხოლო პირველი - შოუ ხტომა? (6 ვარიანტი)

№ 981. ორი ურნა შეიცავს ხუთ ბურთულს ხუთ სხვადასხვა ფერში: თეთრი, ლურჯი, წითელი, ყვითელი, მწვანე. თითო ურნადან თითო ბურთი ამოღებულია.

ა) დახატული ბურთის რამდენი განსხვავებული კომბინაცია არსებობს (კომბინაციები, როგორიცაა "თეთრი-წითელი" და "წითელ-თეთრი" ერთნაირად ითვლება)?

(15 კომბინაცია)

ბ) რამდენი კომბინაციაა, რომლებშიც დახატული ბურთები ერთნაირი ფერისაა?

(5 კომბინაცია)

გ) რამდენი კომბინაციაა, რომლებშიც დახატული ბურთები სხვადასხვა ფერისაა?

(15 - 5 = 10 კომბინაცია)

Საშინაო დავალება: 54, No 969, 972, კომბინატორული პრობლემა თავად გამოვიდეთ.

№ 969. რამდენიმე ქვეყანამ გადაწყვიტა გამოიყენოს სიმბოლოები ერთი და იმავე სიგანის სამი ვერტიკალური ზოლის სახით, სხვადასხვა ფერებში მათი ეროვნული დროშისთვის: მწვანე, შავი, ყვითელი. რამდენ ქვეყანას შეუძლია გამოიყენოს ასეთი სიმბოლოები, იმ პირობით, რომ თითოეულ ქვეყანას აქვს საკუთარი დროშა?

№ 972. ა) რამდენი ორნიშნა რიცხვი შეიძლება ჩამოყალიბდეს 1, 3, 5, 7, 9 რიცხვებიდან?

ბ) რამდენი ორნიშნა რიცხვის დამზადება შეიძლება 1, 3, 5, 7, 9 რიცხვებიდან იმ პირობით, რომ რიცხვები არ უნდა განმეორდეს?

მეორე გაკვეთილი

საშინაო დავალების შემოწმება. ა) No969 და No972a) და No972b) - ააგეთ დაფაზე შესაძლო ვარიანტების ხე.

ბ) სიტყვიერად შეამოწმეთ შედგენილი ამოცანები.

Პრობლემის გადაჭრა.

ასე რომ, მანამდე ჩვენ ვისწავლეთ, თუ როგორ უნდა გადავჭრათ კომბინატორიული ამოცანები ვარიანტების ხის გამოყენებით. ეს კარგი გზაა? ალბათ კი, მაგრამ ძალიან შრომატევადი. შევეცადოთ სხვაგვარად გადავჭრათ No972 სახლის პრობლემა. ვინ გამოიცნობს, როგორ შეიძლება ამის გაკეთება?

პასუხი: მაისურების ხუთი ფერის თითოეულზე 4 ფერის შორტია. სულ: 4 * 5 = 20 ვარიანტი.

№ 980. ურნები შეიცავს ხუთ ბურთულს ხუთ სხვადასხვა ფერში: თეთრი, ლურჯი, წითელი, ყვითელი, მწვანე. თითო ურნადან თითო ბურთი ამოღებულია. აღწერეთ შემდეგი მოვლენა, როგორც გარკვეული, შემთხვევითი ან შეუძლებელი:

ა) სხვადასხვა ფერის დახატული ბურთები; (შემთხვევითი)

ბ) იმავე ფერის დახატული ბურთები; (შემთხვევითი)

გ) დახატულია შავი და თეთრი ბურთები; (შეუძლებელი)

დ) ამოიღება ორი ბურთი და ორივე შეღებილია ერთ-ერთ ფერში: თეთრი, ლურჯი, წითელი, ყვითელი, მწვანე. (ავთენტური)

№ 982. ტურისტების ჯგუფი გეგმავს მოგზაურობას ანტონოვო - ბორისოვო - ვლასოვო - გრიბოვო მარშრუტით. ანტონოვოდან ბორისოვომდე შეგიძლიათ ჯომარდობა მდინარეზე ან ფეხით გასეირნება. ბორისოვოდან ვლასოვომდე შეგიძლიათ ფეხით ან ველოსიპედით იაროთ. ვლასოვოდან გრიბოვომდე შეგიძლიათ ბანაობა მდინარის გასწვრივ, ველოსიპედით სიარული ან ფეხით. ლაშქრობის რამდენი ვარიანტის არჩევა შეუძლიათ ტურისტებს? ლაშქრობის რამდენი ვარიანტის არჩევა შეუძლიათ ტურისტებს, იმ პირობით, რომ მარშრუტის ერთ-ერთ მონაკვეთზე მაინც უნდა ისარგებლონ ველოსიპედით?

(მარშრუტის 12 ვარიანტი, მათგან 8 ველოსიპედით)

დამოუკიდებელი მუშაობა.

1 ვარიანტი

ა) რამდენი სამნიშნა რიცხვი შეიძლება გაკეთდეს რიცხვებიდან: 0, 1, 3, 5, 7?

ბ) რამდენი სამნიშნა რიცხვი შეიძლება გაკეთდეს რიცხვებიდან: 0, 1, 3, 5, 7 იმ პირობით, რომ რიცხვები არ უნდა განმეორდეს?

ათოსს, პორთოსს და არამისს მხოლოდ ხმალი, ხანჯალი და პისტოლეტი აქვთ.

ა) რამდენი გზით შეიძლება მუშკეტერების შეიარაღება?

ბ) რამდენი იარაღის ვარიანტი არსებობს, თუ არამისს ხმალი უნდა ეკეთოს?

გ) რამდენი იარაღის ვარიანტი არსებობს, თუ არამისს უნდა ჰქონდეს ხმალი, ხოლო პორთოსს უნდა ჰქონდეს პისტოლეტი?

სადღაც ღმერთმა ყველს ყველის ნაჭერი გაუგზავნა, ასევე ყველი, სოსისები, თეთრი და შავი პური. ნაძვის ხეზე ჩამომჯდარი ყვაი აპირებდა საუზმეს, მაგრამ მან დაფიქრდა: რამდენი გზით შეიძლება ამ პროდუქტებისგან სენდვიჩების დამზადება?

ვარიანტი 2

ა) რამდენი სამნიშნა რიცხვი შეიძლება გაკეთდეს რიცხვებიდან: 0, 2, 4, 6, 8?

ბ) რამდენი სამნიშნა რიცხვი შეიძლება გაკეთდეს რიცხვებიდან: 0, 2, 4, 6, 8 იმ პირობით, რომ რიცხვები არ უნდა განმეორდეს?

გრაფმა მონტე კრისტომ გადაწყვიტა პრინცესას ჰაიდს აჩუქოს საყურეები, ყელსაბამი და სამაჯური. ყოველი სამკაული უნდა შეიცავდეს თვლებიდან ერთ-ერთ შემდეგ სახეობას: ბრილიანტი, ლალი ან ბროწეული.

ა) ძვირფასი ქვის სამკაულების რამდენი კომბინაცია არსებობს?

ბ) რამდენი საიუველირო ვარიანტია, თუ საყურე უნდა იყოს ბრილიანტი?

გ) რამდენი სამკაულის ვარიანტი არსებობს, თუ საყურე უნდა იყოს ბრილიანტი და სამაჯური ბროწეული?

საუზმეზე შეგიძლიათ აირჩიოთ ფუნთუშა, სენდვიჩი ან ჯანჯაფილი ყავით ან კეფირით. საუზმის რამდენი ვარიანტის გაკეთება შეგიძლიათ?

Საშინაო დავალება : No 974, 975. (ვარიანტების ხის შედგენით და გამრავლების წესის გამოყენებით)

№ 974 . ა) რამდენი სამნიშნა რიცხვი შეიძლება ჩამოყალიბდეს 0, 2, 4 რიცხვებიდან?

ბ) რამდენი სამნიშნა რიცხვი შეიძლება გაკეთდეს 0, 2, 4 რიცხვებიდან იმ პირობით, რომ რიცხვები არ უნდა განმეორდეს?

№ 975 . ა) რამდენი სამნიშნა რიცხვი შეიძლება გაკეთდეს 1.3, 5.7 რიცხვებიდან?

ბ) რამდენი სამნიშნა რიცხვის დადგენა შეიძლება 1.3, 5.7 რიცხვებიდან მოწოდებული. რა რიცხვები არ უნდა განმეორდეს?

პრობლემის ნომრები აღებულია სახელმძღვანელოდან

„მათემატიკა-5“, ი.ი. ზუბარევა, ა.გ. მორდკოვიჩი, 2004 წ.

1.1. ზოგიერთი ინფორმაცია კომბინატორიკიდან

1.1.1. საცხოვრებლები

განვიხილოთ უმარტივესი ცნებები, რომლებიც დაკავშირებულია ობიექტების გარკვეული ნაკრების შერჩევასა და მდებარეობასთან.
ამ მოქმედებების შესრულების გზების რაოდენობის დათვლა ხშირად ხდება ალბათური პრობლემების გადაჭრისას.
განმარტება. განთავსება დან ნელემენტების მიერ კ (კ ≤ნ) არის ნებისმიერი მოწესრიგებული ქვეჯგუფი კკომპლექტის ელემენტები, რომელიც შედგება ნსხვადასხვა ელემენტები.
მაგალითი.რიცხვების შემდეგი თანმიმდევრობა არის 2 ელემენტის განლაგება სიმრავლის 3 ელემენტიდან (1;2;3): 12, 13, 23, 21, 31, 32.
გაითვალისწინეთ, რომ განლაგება განსხვავდება მათი შემადგენელი ელემენტების თანმიმდევრობით და შემადგენლობით. 12 და 21 პოზიციები შეიცავს ერთსა და იმავე რიცხვებს, მაგრამ მათი რიგი განსხვავებულია. ამიტომ, ეს ადგილები განსხვავებულად ითვლება.
სხვადასხვა განლაგების რაოდენობა დან ნელემენტების მიერ კაღინიშნება და გამოითვლება ფორმულით:
,
სადაც ნ! = 1∙2∙...∙(ნ - 1)∙ნ(წაიკითხე" ნფაქტორული).
ორნიშნა რიცხვების რაოდენობა, რომელიც შეიძლება შედგებოდეს 1, 2, 3 ციფრებისგან, იმ პირობით, რომ არცერთი ციფრი არ განმეორდება არის: .

1.1.2. პერმუტაციები

განმარტება. პერმუტაციები ეხლა ნელემენტებს უწოდებენ ასეთ განლაგებას ნელემენტები, რომლებიც განსხვავდებიან მხოლოდ ელემენტების განლაგებით.
პერმუტაციების რაოდენობა დან ნელემენტები P nგამოითვლება ფორმულით: P n=ნ!
მაგალითი.რამდენი გზით შეიძლება 5 ადამიანი გამოდგეს? გზების რაოდენობა უდრის 5 ელემენტის პერმუტაციების რაოდენობას, ე.ი.
პ 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
განმარტება. თუ მათ შორის ნელემენტები კიდენტურია, მაშინ ამათ გადანაცვლება ნელემენტებს ეწოდება პერმუტაცია გამეორებებით.
მაგალითი.დავუშვათ, რომ 6 წიგნს შორის 2 იგივეა. თაროზე ყველა წიგნის ნებისმიერი განლაგება არის გამეორება.
სხვადასხვა პერმუტაციების რაოდენობა გამეორებით (გარეთ ნელემენტები, რომელთა შორის კიდენტური) გამოითვლება ფორმულით: .
ჩვენს მაგალითში წიგნების თაროზე განლაგების გზების რაოდენობაა: .

1.1.3. კომბინაციები

განმარტება. კომბინაციები დან ნელემენტების მიერ კასეთ განლაგებას ე.წ ნელემენტების მიერ კ, რომლებიც განსხვავდებიან ერთმანეთისგან მინიმუმ ერთი ელემენტით.
სხვადასხვა კომბინაციების რაოდენობა ნელემენტების მიერ კაღინიშნება და გამოითვლება ფორმულით: .
განმარტებით, 0!=1.
კომბინაციებს აქვთ შემდეგი თვისებები:
1.
2.
3.
4.
მაგალითი.არის 5 სხვადასხვა ფერის ყვავილი. თაიგულისთვის შერჩეულია 3 ყვავილი. 5-დან 3 ყვავილის სხვადასხვა თაიგულების რაოდენობაა: .

1.2. შემთხვევითი მოვლენები

1.2.1. განვითარებული მოვლენები

საბუნებისმეტყველო მეცნიერებებში რეალობის შემეცნება ხდება ტესტების (ექსპერიმენტი, დაკვირვება, გამოცდილება) შედეგად.
ტესტი ან გამოცდილება არის გარკვეული კონკრეტული პირობების დანერგვა, რომელიც შეიძლება განმეორდეს თვითნებურად დიდი რაოდენობით.
შემთხვევითი ეწოდება მოვლენას, რომელიც შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს რაიმე ტესტის (გამოცდილების) შედეგად.
ამრიგად, მოვლენა განიხილება, როგორც ტესტის შედეგი.
მაგალითი.მონეტის სროლა გამოცდაა. სროლისას არწივის გამოჩენა მოვლენაა.
მოვლენები, რომლებსაც ჩვენ ვაკვირდებით, განსხვავდება მათი წარმოშობის შესაძლებლობის ხარისხითა და ურთიერთობის ხასიათით.
ღონისძიება ე.წ ავთენტური თუ დარწმუნებულია, რომ ეს მოხდება ტესტის შედეგად.
მაგალითი.გამოცდაზე დადებითი ან უარყოფითი ნიშნის მიმღები სტუდენტი გარკვეული მოვლენაა, თუ გამოცდა ჩვეული წესით მიმდინარეობს.
ღონისძიება ე.წ შეუძლებელია თუ ეს ვერ მოხდება ამ ტესტის შედეგად.
მაგალითი.თეთრი ბურთის ამოღება ურნიდან, რომელიც შეიცავს მხოლოდ ფერად (არათეთრი) ბურთებს, შეუძლებელი მოვლენაა. გაითვალისწინეთ, რომ ექსპერიმენტის სხვა პირობებში არ არის გამორიცხული თეთრი ბურთის გამოჩენა; ამდენად, ეს მოვლენა შეუძლებელია მხოლოდ ჩვენი გამოცდილების პირობებში.
შემდგომი შემთხვევითი მოვლენები აღინიშნა დიდი ლათინური ასოებით A,B,C... გარკვეული მოვლენა აღინიშნება ასო Ω-ით, შეუძლებელი მოვლენა Ø-ით.
ორ ან მეტ მოვლენას უწოდებენ თანაბრად შესაძლებელია მოცემულ ტესტში, თუ არსებობს საფუძველი იმის დასაჯერებლად, რომ არცერთი ეს მოვლენა არ არის უფრო სავარაუდო ან ნაკლებად სავარაუდო, ვიდრე სხვები.
მაგალითი.კამათლის ერთი სროლით, 1, 2, 3, 4, 5 და 6 ქულების გამოჩენა ყველა თანაბრად შესაძლო მოვლენაა. რა თქმა უნდა, ვარაუდობენ, რომ კვარცხლბეკი მზადდება ერთგვაროვანი მასალისგან და აქვს რეგულარული ფორმა.
ორ მოვლენას ე.წ შეუთავსებელი მოცემულ სასამართლო პროცესზე, თუ ერთი მათგანის დადგომა გამორიცხავს მეორის დადგომას და ერთობლივი წინააღმდეგ შემთხვევაში.
მაგალითი.ყუთი შეიცავს სტანდარტულ და არასტანდარტულ ნაწილებს. ავიღოთ ერთი დეტალი. სტანდარტული ნაწილის გამოჩენა გამორიცხავს არასტანდარტული ნაწილის გამოჩენას. ეს მოვლენები შეუთავსებელია.
რამდენიმე მოვლენა იქმნება მოვლენების სრული ჯგუფი ამ ტესტში, თუ ამ ტესტის შედეგად ერთი მათგანი მაინც მოხდება.
მაგალითი.მაგალითიდან მიღებული მოვლენები ქმნიან თანაბრად შესაძლო და წყვილად შეუთავსებელი მოვლენების სრულ ჯგუფს.
ორ განცალკევებულ მოვლენას, რომლებიც ქმნიან მოვლენათა სრულ ჯგუფს მოცემულ საცდელში, ეწოდება საპირისპირო მოვლენები.
თუ რომელიმე მათგანი აღინიშნა ა, მაშინ მეორე ჩვეულებრივ აღინიშნება მეშვეობით (იკითხება „არა ა»).
მაგალითი.მიზანში ერთი გასროლით დარტყმა და გაცდენა საპირისპირო მოვლენაა.

1.2.2. ალბათობის კლასიკური განმარტება

მოვლენის ალბათობა არის მისი წარმოშობის შესაძლებლობის რიცხვითი საზომი.
ღონისძიება დადაურეკა ხელსაყრელი ღონისძიება ATთუ რაიმე მოვლენა ხდება და, მოვლენა ხდება AT.
განვითარებული მოვლენები და 1 , და 2 , ..., დანფორმა საქმის დიაგრამა , თუ ისინი:
1) თანაბრად შესაძლებელია;
2) არიან წყვილთა შორის შეუთავსებელი;
3) შექმენით სრული ჯგუფი.
შემთხვევების სქემაში (და მხოლოდ ამ სქემაში) ხდება ალბათობის კლასიკური განმარტება პ(ა) განვითარებული მოვლენები და. აქ თითოეულ მოვლენას, რომელიც მიეკუთვნება თანაბრად შესაძლო და წყვილ-წყვილად შეუთავსებელი მოვლენების შერჩეულ სრულ ჯგუფს, ეწოდება შემთხვევა.
თუ ნარის სქემაში არსებული ყველა შემთხვევის რაოდენობა და მ- ღონისძიებისთვის ხელსაყრელი შემთხვევების რაოდენობა და, მაშინ მოვლენის ალბათობა დაგანისაზღვრება თანასწორობით:

ალბათობის განმარტებიდან გამომდინარეობს შემდეგი თვისებები:
1. გარკვეული მოვლენის ალბათობა ერთის ტოლია.
მართლაც, თუ მოვლენა გარკვეულია, მაშინ ყოველი მოვლენა მოვლენათა სქემაში ხელს უწყობს მოვლენას. Ამ შემთხვევაში მ = ნდა აქედან გამომდინარე

2. შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა ნულის ტოლია.
მართლაც, თუ მოვლენა შეუძლებელია, მაშინ საქმეთა სქემიდან არც ერთი შემთხვევა არ ემხრობა მოვლენას. ამიტომ მ=0 და, შესაბამისად,

შემთხვევითი მოვლენის ალბათობა არის დადებითი რიცხვი ნულსა და ერთს შორის.
მართლაც, შემთხვევით მოვლენას ხელს უწყობს შემთხვევების მთლიანი რაოდენობის მხოლოდ ნაწილი საქმეების სქემაში. ამიტომ 0<მ<ნ, რაც ნიშნავს 0<მ/ნ<1 и, следовательно, 0 < P(A) < 1.
ასე რომ, ნებისმიერი მოვლენის ალბათობა აკმაყოფილებს უტოლობებს
0 ≤ P(ა) ≤ 1.
ამჟამად, ალბათობის თვისებები განისაზღვრება ა.ნ.-ის მიერ ჩამოყალიბებული აქსიომების სახით. კოლმოგოროვი.
ალბათობის კლასიკური განმარტების ერთ-ერთი მთავარი უპირატესობა არის მოვლენის ალბათობის უშუალოდ გამოთვლის შესაძლებლობა, ე.ი. ექსპერიმენტებისადმი მიმართვის გარეშე, რომელსაც ანაცვლებს ლოგიკური მსჯელობა.

ალბათობების პირდაპირი გამოთვლის პრობლემები

ამოცანა 1.1. რა არის ალბათობა, რომ მიიღოთ ლუწი ქულების რაოდენობა (მოვლენა A) ერთ რგოლში?
გადაწყვეტილება. განიხილეთ მოვლენები დამე- ამოვარდა მექულები, მე= 1, 2, ..., 6. ცხადია, ეს მოვლენები ქმნიან შემთხვევების ნიმუშს. შემდეგ ყველა შემთხვევის რაოდენობა ნ= 6. ქულების ლუწი რაოდენობა ხელს უწყობს საქმეებს და 2 , და 4 , და 6, ე.ი. მ= 3. მაშინ .
ამოცანა 1.2. ურნა შეიცავს 5 თეთრ და 10 შავ ბურთულას. ბურთულებს კარგად ურევენ და შემდეგ შემთხვევით იღებენ 1 ბურთულას. რა არის იმის ალბათობა, რომ გათამაშებული ბურთი თეთრი იყოს?
გადაწყვეტილება. სულ 15 შემთხვევაა, რომლებიც ქმნიან საქმეების ნიმუშს. და მოსალოდნელი მოვლენა და- თეთრი ბურთის გამოჩენას 5 მათგანს ანიჭებს უპირატესობა, შესაბამისად .
ამოცანა 1.3. ბავშვი თამაშობს ანბანის ექვსი ასოებით: A, A, E, K, P, T. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ მას შეუძლია შემთხვევით დაამატოთ სიტყვა CARRIAGE (მოვლენა A).
გადაწყვეტილება. გადაწყვეტილებას ართულებს ის ფაქტი, რომ ასოებს შორის არის იგივე - ორი ასო "A". მაშასადამე, ამ საცდელში ყველა შესაძლო შემთხვევის რაოდენობა უდრის 6 ასოს გამეორებით პერმუტაციების რაოდენობას:
.
ეს შემთხვევები ერთნაირად შესაძლებელია, წყვილში შეუთავსებელია და ქმნიან მოვლენათა სრულ ჯგუფს, ე.ი. შექმენით საქმის დიაგრამა. მხოლოდ ერთი შანსი ხელს უწყობს მოვლენას და. ამიტომ
.
ამოცანა 1.4. ტანია და ვანია შეთანხმდნენ, რომ ახალი წელი აღენიშნათ 10 კაციან კომპანიაში. ორივეს ძალიან უნდოდა ერთმანეთის გვერდით ჯდომა. რა არის ალბათობა იმისა, რომ მათი სურვილი ახდება, თუ ჩვეულია ადგილების განაწილება მეგობრებს შორის წილისყრით?
გადაწყვეტილება. აღნიშნეთ მიერ დაღონისძიება "ტანიასა და ვანიას სურვილის შესრულება". 10 კაციან მაგიდასთან ჯდომა შეუძლია 10 ადამიანს! სხვადასხვა გზები. ამათგან რამდენი ნ= 10! თანაბრად შესაძლო გზები ხელსაყრელია ტანიასთვის და ვანიასთვის? ტანიას და ვანიას, გვერდიგვერდ მსხდომთ, შეუძლიათ 20 სხვადასხვა პოზიცია დაიკავონ. ამავდროულად, მათ რვა მეგობარს შეუძლია მე-8 მაგიდასთან იჯდეს! სხვადასხვა გზები, ასე რომ მ= 20∙8!. შესაბამისად,
.
ამოცანა 1.5. 5 ქალისა და 20 კაცისგან შემდგარი ჯგუფი ირჩევს სამ დელეგატს. თუ ვივარაუდებთ, რომ თითოეული დამსწრე თანაბრად იქნება არჩეული, იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ აირჩევა ორი ქალი და ერთი მამაკაცი.
გადაწყვეტილება. ტესტის თანაბრად სავარაუდო შედეგების საერთო რაოდენობა უდრის იმ გზების რაოდენობას, რომლითაც შესაძლებელია სამი დელეგატის არჩევა 25 ადამიანიდან, ე.ი. . ახლა გამოვთვალოთ ხელსაყრელი შემთხვევების რაოდენობა, ე.ი. რამდენჯერ ხდება საინტერესო მოვლენა. მამაკაცი დელეგატის არჩევა შესაძლებელია ოცი გზით. ამავდროულად, დარჩენილი ორი დელეგატი ქალი უნდა იყოს და შეგიძლიათ ხუთიდან ორი ქალი აირჩიოთ. შესაბამისად,. ამიტომ
.
პრობლემა 1.6.ოთხი ბურთი შემთხვევით მიმოფანტულია ოთხ ხვრელზე, თითოეული ბურთი ხვდება ამა თუ იმ ხვრელში იგივე ალბათობით და სხვებისგან დამოუკიდებლად (არ არსებობს დაბრკოლებები რამდენიმე ბურთის ერთ ხვრელში მოხვედრისთვის). იპოვნეთ ალბათობა, რომ ერთ ხვრელში იქნება სამი ბურთი, ერთი - მეორეში და არ არის ბურთი დანარჩენ ორ ხვრელში.
გადაწყვეტილება. შემთხვევების საერთო რაოდენობა ნ=4 4. გზების რაოდენობა, რომლითაც შესაძლებელია ერთი ხვრელის არჩევა, სადაც იქნება სამი ბურთი, . გზების რაოდენობა, რომლითაც შეგიძლიათ აირჩიოთ ხვრელი, სადაც იქნება ერთი ბურთი, . გზების რაოდენობა, რომლითაც შეგიძლიათ აირჩიოთ სამი ბურთი ოთხი ბურთიდან პირველ ხვრელში ჩასასმელად, . ხელსაყრელი შემთხვევების საერთო რაოდენობა. მოვლენის ალბათობა:
პრობლემა 1.7.ყუთში არის 10 იდენტური ბურთი, მონიშნული ნომრებით 1, 2, ..., 10. იღბლისთვის გათამაშებულია ექვსი ბურთი. იპოვეთ ალბათობა, რომ ამოღებულ ბურთებს შორის იქნება: ა) ბურთი No1; ბ) ბურთები #1 და #2.
გადაწყვეტილება. ა) ტესტის შესაძლო ელემენტარული შედეგების ჯამური რაოდენობა უდრის იმ ხერხების რაოდენობას, რომლითაც შესაძლებელია ექვსი ბურთის გამოყვანა ათიდან, ე.ი.
მოდი ვიპოვოთ ჩვენთვის საინტერესო მოვლენის სასარგებლო შედეგების რაოდენობა: შერჩეულ ექვს ბურთს შორის არის ბურთი ნომერი 1 და, შესაბამისად, დარჩენილ ხუთ ბურთს განსხვავებული ნომრები აქვს. ასეთი შედეგების რაოდენობა აშკარად უდრის იმ გზების რაოდენობას, რომლითაც შესაძლებელია ხუთი ბურთის შერჩევა დარჩენილი ცხრიდან, ე.ი.
სასურველი ალბათობა უდრის განსახილველ მოვლენას ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობის თანაფარდობას შესაძლო ელემენტარული შედეგების საერთო რაოდენობასთან:
ბ) ჩვენთვის საინტერესო მოვლენის სასარგებლო შედეგების რაოდენობა (შერჩეულ ბურთებს შორის არის ბურთები No1 და No2, შესაბამისად, ოთხი ბურთი განსხვავებულია) უდრის იმ ხერხების რაოდენობას, რომლითაც შეიძლება ოთხი ბურთი იყოს ამოღებულია დარჩენილი რვიდან, ე.ი. სასურველი ალბათობა

1.2.3. სტატისტიკური ალბათობა

ალბათობის სტატისტიკური განსაზღვრება გამოიყენება მაშინ, როდესაც ექსპერიმენტის შედეგები თანაბრად სავარაუდო არ არის.
მოვლენების შედარებითი სიხშირე დაგანისაზღვრება თანასწორობით:
,
სადაც მარის ცდების რაოდენობა, რომელშიც ეს მოვლენაა დამოვიდა ნარის ჩატარებული ტესტების საერთო რაოდენობა.
ჯ. ბერნულმა დაამტკიცა, რომ ექსპერიმენტების რაოდენობის შეუზღუდავი ზრდით, მოვლენის დადგომის ფარდობითი სიხშირე პრაქტიკულად თვითნებურად განსხვავდება რაიმე მუდმივი რიცხვისგან. აღმოჩნდა, რომ ეს მუდმივი რიცხვი არის მოვლენის დადგომის ალბათობა. ამიტომ, ბუნებრივია, საკმარისად დიდი რაოდენობის ცდების მქონე მოვლენის დადგომის შედარებით სიხშირეს სტატისტიკური ალბათობა ეწოდება, განსხვავებით ადრე შემოღებული ალბათობისგან.
მაგალითი 1.8. როგორ შეგიძლიათ დააახლოოთ თევზის რაოდენობა ტბაში?
შეუშვით ტბაში Xთევზი. ჩვენ ვყრით ქსელს და, ვთქვათ, ვპოულობთ მასში ნთევზი. ჩვენ აღვნიშნავთ თითოეულ მათგანს და ვუშვებთ უკან. რამდენიმე დღის შემდეგ, იმავე ამინდში და იმავე ადგილას, იგივე ბადე გავუშვით. დავუშვათ, რომ მასში ვპოულობთ მ თევზს, რომელთა შორის კეტიკეტირებული. დაე, ღონისძიება და- "დაჭერილი თევზი ეტიკეტირებულია". შემდეგ ფარდობითი სიხშირის განმარტებით.
მაგრამ თუ ტბაში Xთევზი და გავუშვით ნეტიკეტირებული, შემდეგ .
როგორც რ * (და) » რ(და), შემდეგ.

1.2.4. ოპერაციები მოვლენებზე. მიმატების თეორემა

ჯამი, ან რამდენიმე მოვლენის გაერთიანება არის მოვლენა, რომელიც შედგება ამ მოვლენის ერთ-ერთის დადგომაში (იგივე ტესტში).
ჯამი და 1 + და 2 + … + დანაღინიშნება ასე:
ან .
მაგალითი. იყრება ორი კამათელი. დაე, ღონისძიება დაშედგება მოძრავი 4 ქულა 1 კვერი, და ღონისძიება AT- 5 ქულის რგოლში მეორე კვარცხლბეკზე. განვითარებული მოვლენები დადა ATერთობლივი. ამიტომ მოვლენა და +ATშედგება 4 ქულის პირველ საძირეზე, ან 5 ქულის მეორეზე, ან 4 ქულის პირველ საძირეზე და 5 ქულა მეორეზე ერთდროულად.
მაგალითი.ღონისძიება და– მოიგე 1 სესხზე, ღონისძიება AT- მოიგე 2 სესხზე. შემდეგ ღონისძიება A+B- მინიმუმ ერთი სესხის მოგება (შესაძლებელია ერთდროულად ორი).
მუშაობაან რამდენიმე მოვლენის გადაკვეთა არის მოვლენა, რომელიც შედგება ყველა ამ მოვლენის ერთობლივი წარმოშობისგან (იგივე ტესტში).
მუშაობა ATივენთი და 1 , და 2 , …, დანაღინიშნება ასე:
.
მაგალითი.განვითარებული მოვლენები დადა ATმოიცავს I და II ტურის წარმატებულ გავლას, შესაბამისად, ინსტიტუტში მიღებისთანავე. შემდეგ ღონისძიება და×Bშედგება ორივე ტურის წარმატებით დასრულებაში.
მოვლენათა ჯამისა და პროდუქტის ცნებებს აქვთ მკაფიო გეომეტრიული ინტერპრეტაცია. დაე, ღონისძიება დარაიონში არის წერტილის დარტყმა დადა ღონისძიება AT- წერტილში დარტყმა მიდამოში AT. შემდეგ ღონისძიება A+Bამ უბნების გაერთიანებაში არის წერტილის დარტყმა (ნახ. 2.1) და მოვლენა დაATამ უბნების გადაკვეთაზე არის წერტილის დარტყმა (ნახ. 2.2).

ბრინჯი. 2.1 ნახ. 2.2
თეორემა. თუ მოვლენები აი(მე = 1, 2, …, ნ) წყვილში შეუთავსებელია, მაშინ მოვლენათა ჯამის ალბათობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს:
.
დაე დადა Ā – საპირისპირო მოვლენები, ე.ი. A + ა= Ω, სადაც Ω არის გარკვეული მოვლენა. მიმატების თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ
P(Ω) = რ(და) + რ(Ā ) = 1, შესაბამისად
რ(Ā ) = 1 – რ(და).
თუ მოვლენები და 1 და და 2 არის ერთობლივი, მაშინ ორი ერთობლივი მოვლენის ჯამის ალბათობა უდრის:
რ(და 1 + და 2) = რ(და 1) + რ(და 2) – P( და 1× და 2).
ალბათობის დამატების თეორემები შესაძლებელს ხდის გადავიდეთ ალბათობების პირდაპირი გამოთვლიდან რთული მოვლენების დადგომის ალბათობის დადგენაზე.
ამოცანა 1.8. მსროლელი ერთ გასროლას ისვრის მიზანში. 10 ქულის დამარცხების ალბათობა (მოვლენა და), 9 ქულა (ღონისძიება AT) და 8 ქულა (მოვლენა FROM) უდრის შესაბამისად 0,11-ს; 0,23; 0.17. იპოვეთ ალბათობა, რომ ერთი გასროლით მსროლელმა დააგროვოს 8 ქულაზე ნაკლები (მოვლენა დ).
გადაწყვეტილება. გადავიდეთ საპირისპირო მოვლენაზე - ერთი გასროლით მსროლელი 8 ქულას მაინც დაარტყამს. მოვლენა ხდება თუ დაან AT, ან FROM, ე.ი. . მოვლენების შემდეგ A, B, FROMისინი წყვილში არათანმიმდევრულია, შემდეგ, მიმატების თეორემით,
, სადაც .
ამოცანა 1.9. ბრიგადის გუნდიდან, რომელიც შედგება 6 კაცისა და 4 ქალისაგან, პროფკავშირის კონფერენციაზე ორი ადამიანი შეირჩევა. რა არის იმის ალბათობა, რომ არჩეულთა შორის ერთი ქალი მაინც იყოს (მოვლენა და).
გადაწყვეტილება. თუ მოხდა მოვლენა და, მაშინ აუცილებლად მოხდება ერთ-ერთი შემდეგი შეუთავსებელი მოვლენა: AT- "კაცი და ქალი არჩეულია"; FROM"ორი ქალი აირჩიეს." ამიტომ შეგვიძლია დავწეროთ: A=B+C. იპოვნეთ მოვლენების ალბათობა ATდა FROM. 10-დან ორი ადამიანის არჩევა შესაძლებელია. 4-დან ორი ქალის არჩევა შესაძლებელია. მამაკაცისა და ქალის არჩევა შესაძლებელია 6×4 გზით. მაშინ . მოვლენების შემდეგ ATდა FROMარათანმიმდევრულია, მაშ, მიმატების თეორემით,
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
პრობლემა 1.10.ბიბლიოთეკაში თაროზე შემთხვევით დალაგებულია 15 სახელმძღვანელო, რომელთაგან ხუთი აკინძულია. ბიბლიოთეკარი შემთხვევით იღებს სამ სახელმძღვანელოს. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ერთ-ერთი აღებული სახელმძღვანელო მაინც იკვრება (მოვლენა და).
გადაწყვეტილება. პირველი გზა. მოთხოვნა - მინიმუმ ერთი აღებული სამი შეკრული სახელმძღვანელოდან - შესრულდება, თუ მოხდება შემდეგი სამი შეუთავსებელი მოვლენადან რომელიმე: AT- 1 აკინძული სახელმძღვანელო FROM- ორი შეკრული სახელმძღვანელო დ- სამი შეკრული სახელმძღვანელო.
ღონისძიება, რომელიც ჩვენ გვაინტერესებს დაშეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მოვლენების ჯამი: A=B+C+D. დამატების თეორემით,
P(A) = P(B) + P(C) + P(D). (2.1)
იპოვნეთ მოვლენების ალბათობა B, Cდა დ(იხილეთ კომბინატორიული სქემები):

ამ ალბათობების ტოლობით (2.1) წარმოდგენით, საბოლოოდ მივიღებთ
P(A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
მეორე გზა. ღონისძიება და(აღებული სამი სახელმძღვანელოდან ერთს მაინც აქვს სავალდებულო) და Ā (არც ერთ აღებულ სახელმძღვანელოს არ აქვს სავალდებულო) საპირისპირო, ამიტომ P(A) + P(Ā) = 1 (ორი საპირისპირო მოვლენის ალბათობების ჯამი 1-ის ტოლია). აქედან P(A) = 1 – P(a).მოვლენის დადგომის ალბათობა Ā (არც ერთი აღებული სახელმძღვანელო არ არის დაკრული)
სასურველი ალბათობა
P(A) = 1 - P (ა) = 1 – 24/91 = 67/91.

1.2.5. პირობითი ალბათობა. ალბათობის გამრავლების თეორემა

პირობითი ალბათობა P(B/და) არის B მოვლენის ალბათობა, გამოითვლება იმ ვარაუდით, რომ მოვლენა A უკვე მოხდა.
თეორემა. ორი მოვლენის ერთობლივი წარმოშობის ალბათობა უდრის ერთი მათგანის ალბათობის ნამრავლს მეორის პირობითი ალბათობით, გამოითვლება იმ ვარაუდით, რომ პირველი მოვლენა უკვე მოხდა:
P(A∙B) = P(A)∙P( AT/და). (2.2)
ორ მოვლენას ეწოდება დამოუკიდებელი, თუ რომელიმე მათგანის დადგომა არ ცვლის მეორის დადგომის ალბათობას, ე.ი.
P(A) = P(A/B) ან P(B) = P(B/და). (2.3)
თუ მოვლენები დადა ATდამოუკიდებელია, მაშინ ფორმულები (2.2) და (2.3) გულისხმობს
P(A∙B) = P(A)∙P(B). (2.4)
საპირისპირო განცხადებაც მართალია, ე.ი. თუ თანასწორობა (2.4) მოქმედებს ორ მოვლენაზე, მაშინ ეს მოვლენები დამოუკიდებელია. მართლაც, ფორმულები (2.4) და (2.2) გულისხმობს
P(A∙B) = P(A)∙P(B) = P(A) × P(B/და), სადაც P(A) = P(B/და).
ფორმულა (2.2) შეიძლება განზოგადდეს მოვლენების სასრული რაოდენობის შემთხვევაში და 1 , და 2 ,…,A n:
P(A 1 ∙და 2 ∙…∙A n)=P(A 1)∙P(A 2 /და 1)∙P(A 3 /და 1 და 2)∙…∙P(A n/და 1 და 2 …A n -1).
ამოცანა 1.11. ურნადან, რომელიც შეიცავს 5 თეთრ და 10 შავ ბურთულას, ზედიზედ გამოყვანილია ორი ბურთი. იპოვეთ ალბათობა, რომ ორივე ბურთი თეთრია (მოვლენა და).
გადაწყვეტილება. განიხილეთ მოვლენები: AT- პირველი გათამაშებული ბურთი თეთრია; FROM- მეორე გათამაშებული ბურთი თეთრია. მერე A = ძვ.წ.
გამოცდილება შეიძლება გაკეთდეს ორი გზით:
1) დაბრუნებით: ფერის დამაგრების შემდეგ დახატული ბურთი ბრუნდება ურნაში. ამ შემთხვევაში, მოვლენები ATდა FROMდამოუკიდებელი:
P(A) = P(B)∙P(C) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) შეუცვლელად: გაყვანილი ბურთი განზე დევს. ამ შემთხვევაში, მოვლენები ATდა FROMდამოკიდებული:
P(A) = P(B)∙P(C/AT).
ღონისძიებისთვის ATპირობები იგივეა და ამისთვის FROMსიტუაცია შეიცვალა. მოხდა ATასე რომ, ურნაში დარჩა 14 ბურთი, რომელთაგან 4 თეთრია.
Ისე, .
ამოცანა 1.12. 50 ნათურს შორის 3 არასტანდარტულია. იპოვეთ ალბათობა, რომ ერთდროულად აღებული ორი ნათურა არასტანდარტულია.
გადაწყვეტილება. განიხილეთ მოვლენები: და- პირველი ნათურა არასტანდარტულია, AT- მეორე ნათურა არასტანდარტულია, FROM- ორივე ნათურა არასტანდარტულია. გასაგებია რომ C = A∙AT. ღონისძიება და 50 შესაძლოდან 3 შემთხვევის სასარგებლოდ, ე.ი. P(A) = 3/50. თუ მოვლენა დაუკვე მოხდა, მოვლენა ATემხრობა ორ საქმეს 49 შესაძლოდან, ე.ი. P(B/და) = 2/49. შესაბამისად,
.
ამოცანა 1.13. ორი სპორტსმენი დამოუკიდებლად ისვრის ერთსა და იმავე სამიზნეს. პირველი სპორტსმენის სამიზნეზე დარტყმის ალბათობა 0,7-ია, მეორეს კი 0,8. რა არის ალბათობა იმისა, რომ სამიზნე მოხვდება?
გადაწყვეტილება. სამიზნე მოხვდება, თუ მას მოხვდება ან პირველი მსროლელი, ან მეორე, ან ორივე, ე.ი. მოხდება მოვლენა A+B, სადაც ღონისძიება დაშედგება პირველი სპორტსმენის მიერ მიზანში დარტყმაში და ღონისძიებაში AT- მეორე. მერე
P(A+AT)=P(A)+P(B)–P(A∙AT)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
პრობლემა 1.14.სამკითხველო ოთახში ალბათობის თეორიის ექვსი სახელმძღვანელოა, რომელთაგან სამი აკინძულია. ბიბლიოთეკარმა შემთხვევით აიღო ორი სახელმძღვანელო. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ორი სახელმძღვანელო იქნება შეკრული.
გადაწყვეტილება. შემოვიღოთ მოვლენების აღნიშვნა : ა- პირველ აღებულ სახელმძღვანელოს აქვს სავალდებულო, AT- მეორე სახელმძღვანელო იკვრება. ალბათობა იმისა, რომ პირველ სახელმძღვანელოს აქვს სავალდებულო,
P(A) = 3/6 = 1/2.
ალბათობა იმისა, რომ მეორე სახელმძღვანელო დაკრულია, იმის გათვალისწინებით, რომ პირველი აღებული წიგნი იყო დაკრული, ე.ი. მოვლენის პირობითი ალბათობა AT, ეს არის: P(B/და) = 2/5.
სასურველი ალბათობა იმისა, რომ ორივე სახელმძღვანელოს აქვს სავალდებულო, მოვლენათა ალბათობის გამრავლების თეორემის მიხედვით, უდრის
P(AB) = P(A) ∙ P(B/და)= 1/2 ∙ 2/5 = 0.2.
პრობლემა 1.15.მაღაზიაში დასაქმებულია 7 კაცი და 3 ქალი. პერსონალის ნომრის მიხედვით შემთხვევითობის პრინციპით შეირჩა სამი ადამიანი. იპოვეთ ალბათობა, რომ ყველა შერჩეული ადამიანი მამაკაცია.
გადაწყვეტილება. მოდით წარმოგიდგინოთ მოვლენების აღნიშვნა: ა- ჯერ მამაკაცი აირჩია AT- მეორე არჩეული კაცი, საწყისი -მესამე შერჩეული კაცი. ალბათობა იმისა, რომ ჯერ მამაკაცი შეირჩევა P(A) = 7/10.
ალბათობა იმისა, რომ მამაკაცი მეორედ არის შერჩეული, იმ პირობით, რომ მამაკაცი უკვე შერჩეულია პირველი, ე.ი. მოვლენის პირობითი ალბათობა ATშემდეგი : P(B/A) = 6/9 = 2/3.
ალბათობა იმისა, რომ მამაკაცი მესამედ აირჩევა, იმ პირობით, რომ უკვე შერჩეული იქნება ორი მამაკაცი, ე.ი. მოვლენის პირობითი ალბათობა FROMარის: P(C/AB) = 5/8.
სასურველი ალბათობა იმისა, რომ სამივე შერჩეული ადამიანი მამაკაცია, P(ABC) = P(A) P(B/და) P(C/AB) = 7/10 2/3 5/8 = 7/24.

1.2.6. საერთო ალბათობის ფორმულა და ბეიზის ფორმულა

დაე ბ 1 , ბ 2 ,…, B nარის წყვილში შეუთავსებელი მოვლენები (ჰიპოთეზები) და და- მოვლენა, რომელიც შეიძლება მოხდეს მხოლოდ ერთ მათგანთან ერთად.
გვაცნობეთ ჩვენც Р(B i) და P(A/ბ ი) (მე = 1, 2, …, ნ).
ამ პირობებში, ფორმულები მოქმედებს:
(2.5)
(2.6)
ფორმულა (2.5) ე.წ საერთო ალბათობის ფორმულა . ის ითვლის მოვლენის ალბათობას და(სრული ალბათობა).
ფორმულა (2.6) ე.წ ბეიზის ფორმულა . ეს საშუალებას გაძლევთ ხელახლა გამოთვალოთ ჰიპოთეზის ალბათობა მოვლენის შემთხვევაში დამოხდა.
მაგალითების შედგენისას მოსახერხებელია გავითვალისწინოთ, რომ ჰიპოთეზები ქმნიან სრულ ჯგუფს.
ამოცანა 1.16. კალათაში არის იგივე ჯიშის ოთხი ხის ვაშლი. პირველიდან - ყველა ვაშლის 15%, მეორედან - 35%, მესამედან - 20%, მეოთხედან - 30%. მწიფე ვაშლი არის შესაბამისად 99%, 97%, 98%, 95%.
ა) რა არის იმის ალბათობა, რომ შემთხვევით არჩეული ვაშლი მწიფდება? და).
ბ) იმ პირობით, რომ შემთხვევით აღებული ვაშლი მწიფე აღმოჩნდება, გამოთვალეთ ალბათობა, რომ ის პირველი ხისგან იყოს.
გადაწყვეტილება. ა) გვაქვს 4 ჰიპოთეზა:
B 1 - შემთხვევით აღებული ვაშლი აღებულია 1-ლი ხიდან;
B 2 - შემთხვევით აღებული ვაშლი აღებულია მე-2 ხიდან;
B 3 - შემთხვევით აღებული ვაშლი აღებულია მე-3 ხიდან;
B 4 - შემთხვევით აღებული ვაშლი აღებულია მე-4 ხიდან.
მათი ალბათობა პირობების მიხედვით: P(B 1) = 0,15; P(B 2) = 0,35; P(B 3) = 0,2; P(B 4) = 0,3.
პირობითი მოვლენის ალბათობა და:
P(A/ბ 1) = 0,99; P(A/ბ 2) = 0,97; P(A/ბ 3) = 0,98; P(A/ბ 4) = 0,95.
ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით არჩეული ვაშლი მწიფდება, გვხვდება საერთო ალბათობის ფორმულით:
P(A)=P(B 1)∙P(A/ბ 1)+P(B 2)∙P(A/ბ 2)+P(B 3)∙P(A/ბ 3)+P(B 4)∙P(A/ბ 4)=0,969.
ბ) ბეიზის ფორმულას ჩვენი შემთხვევისთვის აქვს ფორმა:
.
პრობლემა 1.17.თეთრ ბურთულს ყრიან ურნაში, რომელშიც ორი ბურთია, რის შემდეგაც ერთი ბურთი იშლება შემთხვევით. იპოვეთ ალბათობა, რომ დახატული ბურთი იყოს თეთრი, თუ ყველა შესაძლო ვარაუდი ბურთების საწყისი შემადგენლობის შესახებ (ფერის მიხედვით) თანაბრად შესაძლებელია.
გადაწყვეტილება. აღნიშნეთ მიერ დაღონისძიება - დახატულია თეთრი ბურთი. შესაძლებელია შემდეგი ვარაუდები (ჰიპოთეზები) ბურთების საწყისი შემადგენლობის შესახებ: B1არა თეთრი ბურთები 2-ში- ერთი თეთრი ბურთი 3-ში- ორი თეთრი ბურთი.
ვინაიდან სულ სამი ჰიპოთეზაა და ჰიპოთეზების ალბათობათა ჯამი არის 1 (რადგან ისინი ქმნიან მოვლენათა სრულ ჯგუფს), მაშინ თითოეული ჰიპოთეზის ალბათობა არის 1/3, ე.ი.
P(B 1) = P(B 2)= P(B 3) = 1/3.
თეთრი ბურთის გათამაშების პირობითი ალბათობა, იმის გათვალისწინებით, რომ თავდაპირველად ურნაში არ იყო თეთრი ბურთულები, P(A/ბ 1)=1/3. თეთრი ბურთის დახატვის პირობითი ალბათობა, იმის გათვალისწინებით, რომ ურნა თავდაპირველად შეიცავდა ერთ თეთრ ბურთს, P(A/ბ 2)=2/3. თეთრი ბურთის დახატვის პირობითი ალბათობა, იმის გათვალისწინებით, რომ ურნა თავდაპირველად შეიცავდა ორ თეთრ ბურთულას. P(A/ბ 3)=3/ 3=1.
თეთრი ბურთის დახატვის სასურველი ალბათობა გვხვდება საერთო ალბათობის ფორმულით:
რ(და)=P(B 1)∙P(A/ბ 1)+P(B 2)∙P(A/ბ 2)+P(B 3)∙P(A/ბ 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
ამოცანა 1.18. ორი მანქანა აწარმოებს იგივე ნაწილებს, რომლებიც მიეწოდება საერთო კონვეიერს. პირველი აპარატის შესრულება ორჯერ აღემატება მეორეს. პირველი მანქანა აწარმოებს საშუალოდ შესანიშნავი ხარისხის ნაწილებს 60%, ხოლო მეორე - 84%. ასამბლეის ხაზიდან შემთხვევით აღებული ნაწილი შესანიშნავი ხარისხის აღმოჩნდა. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ეს ნივთი პირველი მანქანამ შექმნა.
გადაწყვეტილება. აღნიშნეთ მიერ დაღონისძიება არის შესანიშნავი ხარისხის ნივთი. ორი ვარაუდის გაკეთება შეიძლება: B1- ნაწილს აწარმოებს პირველი მანქანა და (რადგან პირველი მანქანა აწარმოებს ორჯერ მეტ ნაწილს, ვიდრე მეორე) P(A/ბ 1) = 2/3; ბ 2 - ნაწილი დამზადებულია მეორე მანქანით და P(B 2) = 1/3.
პირობითი ალბათობა იმისა, რომ ნაწილი იქნება შესანიშნავი ხარისხის, თუ იგი დამზადებულია პირველი მანქანით, P(A/ბ 1)=0,6.
პირობითი ალბათობა იმისა, რომ ნაწილი იქნება შესანიშნავი ხარისხის, თუ იგი დამზადებულია მეორე მანქანით, P(A/ბ 1)=0,84.
ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით შერჩეული ნაწილი იქნება შესანიშნავი ხარისხის, საერთო ალბათობის ფორმულის მიხედვით, უდრის
P(A)=P(B 1) ∙P(A/ბ 1)+P(B 2) ∙P(A/ბ 2)=2/3 0,6+1/3 0,84 = 0,68.
სასურველი ალბათობა იმისა, რომ აღებული შესანიშნავი ნაწილი წარმოიქმნება პირველი ავტომატის მიერ, ბეიზის ფორმულის მიხედვით, უდრის

ამოცანა 1.19. არის ნაწილების სამი პარტია თითო 20 ნაწილით. პირველ, მეორე და მესამე პარტიაში სტანდარტული ნაწილების რაოდენობა არის შესაბამისად 20, 15 და 10. ნაწილი, რომელიც აღმოჩნდა სტანდარტული, შემთხვევით იქნა ამოღებული შერჩეული პარტიიდან. ნაწილები უბრუნდება პარტიას და მეორედ შემთხვევით ამოღებულია ერთი და იგივე პარტიიდან ნაწილი, რაც ასევე სტანდარტული გამოდის. იპოვეთ ალბათობა, რომ ნაწილები აღებულია მესამე პარტიიდან.
გადაწყვეტილება. აღნიშნეთ მიერ დაღონისძიება - ორი ტესტიდან თითოეულში (დაბრუნებით) იქნა მოძიებული სტანდარტული ნაწილი. სამი ჰიპოთეზის დადგენა შეიძლება: ბ 1 - ნაწილები ამოღებულია პირველი პარტიიდან, AT 2 - ნაწილები აღებულია მეორე პარტიიდან, AT 3 - ნაწილები ამოღებულია მესამე პარტიიდან.
დეტალები შემთხვევით იქნა აღებული მიღებული პარტიიდან, ამიტომ ჰიპოთეზების ალბათობა იგივეა: P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
იპოვეთ პირობითი ალბათობა P(A/ბ 1), ე.ი. ალბათობა იმისა, რომ ორი სტანდარტული ნაწილი ზედიზედ იქნება შედგენილი პირველი პარტიიდან. ეს ღონისძიება სანდოა, რადგან. პირველ პარტიაში ყველა ნაწილი სტანდარტულია, ასე რომ P(A/ბ 1) = 1.
იპოვეთ პირობითი ალბათობა P(A/ბ 2), ე.ი. ალბათობა იმისა, რომ ორი სტანდარტული ნაწილი თანმიმდევრულად იქნება ამოღებული (დაბრუნებით) მეორე პარტიიდან: P(A/ბ 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
იპოვეთ პირობითი ალბათობა P(A/ბ 3), ე.ი. ალბათობა იმისა, რომ ორი სტანდარტული ნაწილი თანმიმდევრულად მოიხსნება (დაბრუნებით) მესამე პარტიიდან: P(A/ბ 3) = 10/20 10/20 = 1/4.
სასურველი ალბათობა იმისა, რომ ორივე ამოღებული სტანდარტული ნაწილი აღებულია მესამე პარტიიდან, ბეიზის ფორმულის მიხედვით, უდრის

1.2.7. ხელახალი ტესტირება

თუ რამდენიმე ტესტი ჩატარდა და მოვლენის ალბათობა დათითოეულ ცდაში არ არის დამოკიდებული სხვა ცდების შედეგებზე, მაშინ ასეთ ცდებს უწოდებენ დამოუკიდებელი მოვლენა ა.სხვადასხვა დამოუკიდებელ სასამართლო პროცესებში, ღონისძიება დაშეიძლება ჰქონდეს ან განსხვავებული ალბათობა ან იგივე ალბათობა. ჩვენ შემდგომში განვიხილავთ მხოლოდ ისეთ დამოუკიდებელ სასამართლო პროცესებს, რომლებშიც ეს მოვლენაა დააქვს იგივე ალბათობა.
დაე, წარმოიქმნას პდამოუკიდებელი სასამართლო პროცესები, რომელთაგან თითოეულში არის მოვლენა დაშეიძლება გამოჩნდეს ან არ გამოჩნდეს. დავუშვათ მოვლენის ალბათობა დათითოეულ ტესტში არის იგივე, კერძოდ ტოლი რ.მაშასადამე, მოვლენის არ დადგომის ალბათობა დათითოეულ ტესტში ასევე მუდმივია და უდრის 1-ს რ.ასეთ ალბათურ სქემას ე.წ ბერნულის სქემა. მოდით დავსვათ ამოცანა, გამოვთვალოთ ამის ალბათობა პბერნულის ღონისძიების გამოცდები დაზუსტად ახდება კერთხელ ( კ- წარმატებების რაოდენობა) და, შესაბამისად, არ განხორციელდება P-ერთხელ. მნიშვნელოვანია ხაზგასმით აღვნიშნო, რომ ღონისძიება არ არის საჭირო დაგაიმეორა ზუსტად კჯერ გარკვეული თანმიმდევრობით. მიუთითეთ სასურველი ალბათობა R p (k). მაგალითად, სიმბოლო რ 5 (3) ნიშნავს ალბათობას, რომ ხუთ ცდაში მოვლენა ზუსტად 3-ჯერ გამოჩნდება და, შესაბამისად, არ მოხდება 2-ჯერ.
პრობლემის გადაჭრა შესაძლებელია ე.წ ბერნულის ფორმულები,რომელიც ასე გამოიყურება:
.
პრობლემა 1.20.იმის ალბათობა, რომ ელექტროენერგიის მოხმარება ერთი დღის განმავლობაში არ გადააჭარბოს დადგენილ ნორმას, უდრის რ=0.75. იპოვეთ ალბათობა, რომ მომდევნო 6 დღეში ელექტროენერგიის მოხმარება 4 დღის განმავლობაში არ გადააჭარბოს ნორმას.
გადაწყვეტილება.ელექტროენერგიის ნორმალური მოხმარების ალბათობა ყოველი 6 დღის განმავლობაში მუდმივი და ტოლია რ=0.75. ამიტომ ელექტროენერგიის ყოველ დღე გადამეტებული ხარჯვის ალბათობაც მუდმივი და ტოლია q= 1–რ=1–0,75=0,25.
სასურველი ალბათობა ბერნულის ფორმულის მიხედვით უდრის
.
ამოცანა 1.21. ორი თანაბარი მოჭადრაკე თამაშობს ჭადრაკს. რომელია უფრო სავარაუდო: მოიგოთ ორი თამაში ოთხიდან ან სამი თამაშიდან ექვსიდან (ფრე არ არის გათვალისწინებული)?
გადაწყვეტილება. თანაბარი მოჭადრაკეები თამაშობენ, ამიტომ გამარჯვების ალბათობა რ= 1/2, აქედან გამომდინარე, წაგების ალბათობა ქასევე უდრის 1/2-ს. იმიტომ რომ ყველა თამაშში გამარჯვების ალბათობა მუდმივია და არ აქვს მნიშვნელობა რა თანმიმდევრობით არის მოგებული თამაშები, მაშინ გამოიყენება ბერნულის ფორმულა.
იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ოთხი თამაშიდან ორი მოიგოთ:

იპოვეთ ალბათობა, რომ ექვსი თამაშიდან სამი მოიგოთ:

იმიტომ რომ პ 4 (2) > პ 6 (3), უფრო სავარაუდოა, რომ მოიგოს ორი თამაში ოთხიდან, ვიდრე სამი ექვსიდან.
თუმცა, შეიძლება დავინახოთ, რომ ბერნულის ფორმულის გამოყენება დიდი მნიშვნელობებისთვის ნეს საკმაოდ რთულია, რადგან ფორმულა მოითხოვს ოპერაციების შესრულებას უზარმაზარ რიცხვებზე და, შესაბამისად, შეცდომები გროვდება გამოთვლების პროცესში; შედეგად, საბოლოო შედეგი შეიძლება მნიშვნელოვნად განსხვავდებოდეს ნამდვილისგან.
ამ პრობლემის გადასაჭრელად, არსებობს რამდენიმე ლიმიტის თეორემა, რომლებიც გამოიყენება დიდი რაოდენობით ცდების შემთხვევაში.
1. პუასონის თეორემა
ბერნულის სქემის მიხედვით დიდი რაოდენობით ტესტების ჩატარებისას (ერთად ნ=> ∞) და მცირე რაოდენობის ხელსაყრელი შედეგებით კ(ვივარაუდოთ, რომ წარმატების ალბათობა გვმცირე), ბერნულის ფორმულა უახლოვდება პუასონის ფორმულას
.
მაგალითი 1.22.საწარმოს მიერ წარმოების ერთეულის წარმოებაში ქორწინების ალბათობა ტოლია გვ=0.001. რა არის იმის ალბათობა, რომ 5000 ერთეული პროდუქტის წარმოებაში იქნება 4-ზე ნაკლები დეფექტური (მოვლენა და გადაწყვეტილება. იმიტომ რომ ნდიდია, ჩვენ ვიყენებთ ლაპლასის ადგილობრივ თეორემას:

გამოთვლა x:
ფუნქცია არის ლუწი, ამიტომ φ(–1.67) = φ(1.67).
A.1 დანართის ცხრილის მიხედვით ვხვდებით φ(1.67) = 0.0989.
სასურველი ალბათობა პ 2400 (1400) = 0,0989.
3. ლაპლასის ინტეგრალური თეორემა
თუ ალბათობა რმოვლენის დადგომა ათითოეულ ცდაში ბერნულის სქემის მიხედვით არის მუდმივი და განსხვავდება ნულიდან და ერთიდან, შემდეგ ცდების დიდი რაოდენობით ნ, ალბათობა R p (k 1 , კ 2) მოვლენის დადგომა აამ განსაცდელებში კ 1-მდე კ 2-ჯერ დაახლოებით თანაბარი
რ პ(კ 1 , კ 2) = Φ ( x"") – Φ ( x"), სადაც
არის ლაპლასის ფუნქცია,

ლაპლასის ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალი არ არის გამოთვლილი ანალიტიკური ფუნქციების კლასზე, ამიტომ ცხრილი 1 გამოიყენება მის გამოსათვლელად. პუნქტი 2, მოცემულია დანართში.
მაგალითი 1.24.ასი დამოუკიდებელ ცდაში მოვლენის მოვლენის ალბათობა მუდმივია და ტოლია გვ= 0.8. იპოვეთ მოვლენის დადგომის ალბათობა: ა) არანაკლებ 75-ჯერ და მაქსიმუმ 90-ჯერ; ბ) არანაკლებ 75-ჯერ; გ) არაუმეტეს 74-ჯერ.
გადაწყვეტილება. გამოვიყენოთ ლაპლასის ინტეგრალური თეორემა:
რ პ(კ 1 , კ 2) = Φ ( x"") – Φ( x"), სადაც Ф( x) არის ლაპლასის ფუნქცია,

ა) პირობით ნ = 100, გვ = 0,8, ქ = 0,2, კ 1 = 75, კ 2 = 90. გამოთვალეთ x""და x" :


იმის გათვალისწინებით, რომ ლაპლასის ფუნქცია კენტია, ე.ი. F(- x) = – F( x), ვიღებთ
პ 100 (75; 90) \u003d F (2.5) - F (-1.25) \u003d F (2.5) + F (1.25).
ცხრილის მიხედვით P.2. აპლიკაციების პოვნა:
F(2.5) = 0.4938; Ф(1.25) = 0.3944.
სასურველი ალბათობა
პ 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
ბ) მოთხოვნა, რომ მოვლენა მოხდეს არანაკლებ 75-ჯერ, ნიშნავს, რომ მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა შეიძლება იყოს 75-ის, ან 76-ის, ..., ან 100-ის ტოლი. ამგვარად, განსახილველ შემთხვევაში, უნდა დაეთანხმოთ კ 1 = 75, კ 2 = 100. მაშინ

.
ცხრილის მიხედვით P.2. განაცხადები, ვპოულობთ Ф (1.25) = 0.3944; Ф(5) = 0.5.
სასურველი ალბათობა
პ 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
გ) მოვლენა - " დაგამოჩნდა მინიმუმ 75 ჯერ" და " დაგამოჩნდა არაუმეტეს 74-ჯერ” საპირისპიროა, ამიტომ ამ მოვლენების ალბათობათა ჯამი არის 1. ამიტომ სასურველი ალბათობა
პ 100 (0;74) = 1 – პ 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.

ალბათობის თეორია, ისევე როგორც მათემატიკის ნებისმიერი ფილიალი, მოქმედებს ცნებების გარკვეული სპექტრით. ალბათობის თეორიის ცნებების უმეტესობა განსაზღვრულია, მაგრამ ზოგიერთი აღებულია, როგორც პირველადი, არა განსაზღვრული, როგორც გეომეტრიაში წერტილი, წრფე, სიბრტყე. ალბათობის თეორიის პირველადი კონცეფცია არის მოვლენა. მოვლენა არის ის, რის შესახებაც დროის გარკვეული პერიოდის შემდეგ შეიძლება ითქვას ამ ორიდან მხოლოდ ერთი:

• · დიახ, მოხდა.
• · არა, ეს არ მოხდა.

მაგალითად, ლატარიის ბილეთი მაქვს. ლატარიის გათამაშების შედეგების გამოქვეყნების შემდეგ, მოვლენა, რომელიც მაინტერესებს - ათასი რუბლის მოგება ან ხდება ან არ ხდება. ნებისმიერი მოვლენა ხდება ტესტის (ან გამოცდილების) შედეგად. ტესტის (ან გამოცდილების) ქვეშ გაიგეთ ის პირობები, რის შედეგადაც ხდება მოვლენა. მაგალითად, მონეტის სროლა გამოცდაა და მასზე „გერბის“ გამოჩენა მოვლენაა. მოვლენა ჩვეულებრივ აღინიშნება დიდი ლათინური ასოებით: A, B, C, .... მატერიალურ სამყაროში მოვლენები შეიძლება დაიყოს სამ კატეგორიად - გარკვეული, შეუძლებელი და შემთხვევითი.

გარკვეული მოვლენა არის ის, რაც წინასწარ ცნობილია. იგი აღინიშნება ასო W-ით. ამრიგად, არაუმეტეს ექვსი ქულაა საიმედო ჩვეულებრივი კამათლის სროლისას, თეთრი ბურთის გამოჩენა მხოლოდ თეთრი ბურთულების შემცველი ურნიდან გამოყვანისას და ა.შ.

შეუძლებელი მოვლენა არის მოვლენა, რომელიც წინასწარ არის ცნობილი, რომ არ მოხდება. იგი აღინიშნება ასო E-ით. შეუძლებელი მოვლენების მაგალითებია ოთხზე მეტი ტუზის გამოღება ჩვეულებრივი კარტის დასტადან, წითელი ბურთის გამოჩენა ურნიდან, რომელიც შეიცავს მხოლოდ თეთრ და შავ ბურთებს და ა.შ.

შემთხვევითი მოვლენა არის მოვლენა, რომელიც შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს ტესტის შედეგად. A და B მოვლენებს უწოდებენ შეუთავსებელს, თუ ერთი მათგანის დადგომა გამორიცხავს მეორის დადგომის შესაძლებლობას. ასე რომ, ნებისმიერი შესაძლო რაოდენობის ქულების გამოჩენა კამათლის სროლისას (მოვლენა A) არ შეესაბამება სხვა რიცხვის (მოვლენა B) გამოჩენას. ლუწი ქულების გადახვევა შეუთავსებელია კენტი რიცხვის გადახვევასთან. პირიქით, ლუწი რაოდენობა (მოვლენა A) და პუნქტების რაოდენობა, რომლებიც იყოფა სამზე (მოვლენა B) არ იქნება შეუთავსებელი, რადგან ექვსი ქულის დაკარგვა ნიშნავს A და B მოვლენის დადგომას, ამიტომ ერთის დადგომა. მათგან არ გამორიცხავს მეორის გაჩენას. ოპერაციები შეიძლება შესრულდეს მოვლენებზე. ორი მოვლენის გაერთიანება C=AUB არის მოვლენა C, რომელიც ხდება მაშინ და მხოლოდ მაშინ, თუ ამ მოვლენათაგან ერთი მაინც მოხდება A და B. ორი მოვლენის გადაკვეთა D=A?? B არის მოვლენა, რომელიც ხდება მაშინ და მხოლოდ მაშინ, თუ ორივე მოვლენა A და B მოხდება.