კოსინუსი მესამე მეოთხედში. ტრიგონომეტრიული წრე

ფერდობი სწორია. ამ სტატიაში განვიხილავთ მათემატიკაში ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში შეტანილ კოორდინატულ სიბრტყესთან დაკავშირებულ პრობლემებს. ეს არის დავალებები:

- სწორი ხაზის კუთხური კოეფიციენტის განსაზღვრა, როდესაც ცნობილია ორი წერტილი, რომლითაც იგი გადის;
- სიბრტყეზე ორი სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილის აბსცისის ან ორდინატის განსაზღვრა.

რა არის წერტილის აბსცისა და ორდინატი, აღწერილი იყო ამ ნაწილში. მასში უკვე განვიხილეთ კოორდინატულ სიბრტყესთან დაკავშირებული რამდენიმე პრობლემა. რა უნდა გესმოდეთ განსახილველი პრობლემის ტიპისთვის? ცოტა თეორია.

წრფის განტოლება საკოორდინაციო თვითმფრინავიაქვს ფორმა:

სად კ – ეს არის ის ფერდობზეპირდაპირი.

შემდეგი მომენტი! პირდაპირი ფერდობზე ტანგენტის ტოლისწორი ხაზის დახრილობის კუთხე. ეს არის კუთხე მოცემულ ხაზსა და ღერძს შორისოჰ.

ის მერყეობს 0-დან 180 გრადუსამდე.

ანუ თუ წრფის განტოლებას ფორმამდე შევამცირებთ წ = kx + ბ, მაშინ ყოველთვის შეგვიძლია განვსაზღვროთ k კოეფიციენტი (დახრის კოეფიციენტი).

ასევე, თუ პირობის საფუძველზე შეგვიძლია განვსაზღვროთ სწორი ხაზის დახრილობის კუთხის ტანგენსი, მაშინ ამით ვიპოვით მის კუთხურ კოეფიციენტს.

შემდეგი თეორიული წერტილი!ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება.ფორმულა ასე გამოიყურება:

მოდით განვიხილოთ პრობლემები (მსგავსი პრობლემების ღია ბანკიამოცანები):

იპოვეთ (–6;0) და (0;6) კოორდინატების მქონე წერტილებში გამავალი წრფის დახრილობა.

ამ პრობლემის გადაჭრის ყველაზე რაციონალური გზაა x ღერძსა და მოცემულ სწორ წრფეს შორის კუთხის ტანგენტის პოვნა. ცნობილია, რომ იგი ფერდობის ტოლია. განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი, რომელიც წარმოიქმნება სწორი ხაზით და ღერძებით x და oy:

კუთხის ტანგენტი in მართკუთხა სამკუთხედიარის მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა მეზობელ მხარესთან:

*ორივე ფეხი უდრის ექვსს (ეს მათი სიგრძეა).

რა თქმა უნდა, ამ პრობლემის გადაჭრა შესაძლებელია ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლების ფორმულის გამოყენებით. მაგრამ ეს უფრო გრძელი გამოსავალი იქნება.

პასუხი: 1

იპოვეთ (5;0) და (0;5) კოორდინატების მქონე წერტილებში გამავალი წრფის დახრილობა.

ჩვენს წერტილებს აქვთ კოორდინატები (5;0) და (0;5). ნიშნავს,

ფორმულა ჩავსვათ ფორმაში წ = kx + ბ

ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ ფერდობზე კ = – 1.

პასუხი: -1

პირდაპირ აგადის წერტილებში (0;6) და (8;0) კოორდინატებით. პირდაპირ ბგადის წერტილში კოორდინატებით (0;10) და არის წრფის პარალელურად ა ბღერძით ოჰ.

ამ ამოცანაში შეგიძლიათ იპოვოთ წრფის განტოლება ა, განსაზღვრეთ მისთვის დახრილობა. სწორ ხაზზე ბდახრილობა იგივე იქნება, რადგან ისინი პარალელურია. შემდეგ შეგიძლიათ იპოვოთ ხაზის განტოლება ბ. და შემდეგ, მასში y = 0 მნიშვნელობის ჩანაცვლებით, იპოვეთ აბსცისა. მაგრამ!

ამ შემთხვევაში უფრო ადვილია სამკუთხედების მსგავსების თვისების გამოყენება.

ამ (პარალელური) ხაზებითა და კოორდინატთა ღერძებით წარმოქმნილი მართკუთხა სამკუთხედები მსგავსია, რაც ნიშნავს, რომ მათი შესაბამისი გვერდების თანაფარდობები ტოლია.

საჭირო აბსციზა არის 40/3.

პასუხი: 40/3

პირდაპირ აგადის წერტილებში კოორდინატებით (0;8) და (–12;0). პირდაპირ ბგადის წერტილში კოორდინატებით (0; –12) და არის წრფის პარალელურად ა. იპოვეთ წრფის გადაკვეთის წერტილის აბსცისა ბღერძით ოჰ.

ამ პრობლემის გადაჭრის ყველაზე რაციონალური გზაა სამკუთხედების მსგავსების თვისების გამოყენება. მაგრამ ჩვენ ამას სხვა გზით მოვაგვარებთ.

ჩვენ ვიცით წერტილები, რომლებზეც გადის ხაზი ა. ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ განტოლება სწორი ხაზისთვის. ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლების ფორმულას აქვს ფორმა:

პირობით, წერტილებს აქვთ კოორდინატები (0;8) და (–12;0). ნიშნავს,

გონს მოვიყვანოთ წ = kx + ბ:

აიღე ის კუთხე კ = 2/3.

*კუთხური კოეფიციენტი შეიძლება მოიძებნოს კუთხის ტანგენტის მეშვეობით მართკუთხა სამკუთხედში 8 და 12 ფეხებით.

ცნობილია, რომ პარალელურ ხაზებს აქვთ თანაბარი კუთხის კოეფიციენტები. ეს ნიშნავს, რომ (0;-12) წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლებას აქვს ფორმა:

იპოვეთ ღირებულება ბჩვენ შეგვიძლია შევცვალოთ აბსცისა და განტოლებაში შევადგინოთ:

ამრიგად, სწორი ხაზი ასე გამოიყურება:

ახლა, x ღერძთან წრფის გადაკვეთის წერტილის სასურველი აბსცისის მოსაძებნად, თქვენ უნდა ჩაანაცვლოთ y = 0:

პასუხი: 18

იპოვეთ ღერძის გადაკვეთის წერტილის ორდინატი ოჰდა წრფე, რომელიც გადის B(10;12) წერტილზე და საწყისზე გამავალი წრფისა და A(10;24) წერტილის პარალელურად.

ვიპოვოთ (0;0) და (10;24) კოორდინატების მქონე წერტილებზე გამავალი სწორი ხაზის განტოლება.

ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლების ფორმულას აქვს ფორმა:

ჩვენს წერტილებს აქვთ კოორდინატები (0;0) და (10;24). ნიშნავს,

გონს მოვიყვანოთ წ = kx + ბ

პარალელური წრფეების კუთხის კოეფიციენტები ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ B(10;12) წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლებას აქვს ფორმა:

მნიშვნელობა ბვიპოვოთ B(10;12) წერტილის კოორდინატების ამ განტოლებაში ჩანაცვლებით:

მივიღეთ სწორი ხაზის განტოლება:

ამ წრფის ღერძთან გადაკვეთის წერტილის ორდინატის პოვნა ოჰუნდა შეიცვალოს ნაპოვნი განტოლებაში X= 0:

* უმარტივესი გამოსავალი. პარალელური თარგმანის გამოყენებით, ჩვენ გადავიტანთ ამ ხაზს ქვემოთ ღერძის გასწვრივ ოჰწერტილამდე (10;12). ცვლა ხდება 12 ერთეულით, ანუ წერტილი A(10;24) „გადავიდა“ B წერტილში (10;12) და წერტილი O(0;0) „გადავიდა“ (0;–12) წერტილში. ეს ნიშნავს, რომ მიღებული სწორი ხაზი გადაკვეთს ღერძს ოჰწერტილში (0;–12).

საჭირო ორდინატია –12.

პასუხი: -12

იპოვეთ განტოლებით მოცემული წრფის გადაკვეთის წერტილის ორდინატი

3x + 2 = 6, ღერძით ოი.

მოცემული წრფის ღერძთან გადაკვეთის წერტილის კოორდინატი ოჰაქვს ფორმა (0; ზე). ჩავანაცვლოთ აბსციზა განტოლებაში X= 0 და იპოვე ორდინატი:

წრფისა და ღერძის გადაკვეთის წერტილის ორდინატი ოჰუდრის 3.

* სისტემა მოგვარებულია:

პასუხი: 3

იპოვეთ განტოლებებით მოცემული წრფეების გადაკვეთის წერტილის ორდინატი

3x + 2y = 6და y = – x.

როდესაც მოცემულია ორი წრფე და კითხვა ეხება ამ წრფეების გადაკვეთის წერტილის კოორდინატების პოვნას, ამ განტოლებათა სისტემა წყდება:

პირველ განტოლებაში ჩვენ ვცვლით - Xნაცვლად ზე:

ორდინატი უდრის მინუს ექვსს.

პასუხი: – 6

იპოვნეთ (–2;0) და (0;2) კოორდინატების მქონე წერტილებში გამავალი წრფის დახრილობა.

იპოვეთ (2;0) და (0;2) კოორდინატების მქონე წერტილებში გამავალი წრფის დახრილობა.

წრფე a გადის წერტილებს კოორდინატებით (0;4) და (6;0). b წრფე გადის წერტილში კოორდინატებით (0;8) და პარალელურია a წრფის. იპოვეთ b წრფის Ox ღერძთან გადაკვეთის წერტილის აბსციზა.

იპოვეთ oy ღერძის გადაკვეთის წერტილის ორდინატი და წრფე, რომელიც გადის B წერტილზე (6;4) და საწყისზე გამავალი წრფის პარალელურად და A წერტილზე (6;8).

1. აუცილებელია ნათლად გვესმოდეს, რომ სწორი ხაზის კუთხური კოეფიციენტი ტოლია სწორი ხაზის დახრილობის კუთხის ტანგენტს. ეს დაგეხმარებათ ამ ტიპის მრავალი პრობლემის გადაჭრაში.

2. გასაგები უნდა იყოს ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი წრფის ფორმულა. მისი დახმარებით ყოველთვის იპოვით წრფის განტოლებას, თუ მოცემულია მისი ორი წერტილის კოორდინატები.

3. გახსოვდეთ, რომ პარალელური წრფეების ფერდობები ტოლია.

4. როგორც გესმით, ზოგიერთ პრობლემაში მოსახერხებელია სამკუთხედის მსგავსების ტესტის გამოყენება. პრობლემები წყდება პრაქტიკულად ზეპირად.

5. ამოცანები, რომლებშიც მოცემულია ორი წრფე და საჭიროა მათი გადაკვეთის წერტილის აბსცისის ან ორდინატის პოვნა, ამოსახსნელია. გრაფიკულად. ანუ ააგეთ ისინი კოორდინატულ სიბრტყეზე (კვადრატულ ფურცელზე) და ვიზუალურად განსაზღვრეთ გადაკვეთის წერტილი. *მაგრამ ეს მეთოდი ყოველთვის არ გამოიყენება.

6. და ბოლოს. თუ მოცემულია სწორი ხაზი და მისი გადაკვეთის წერტილების კოორდინატები კოორდინატთა ღერძებთან, მაშინ ასეთ ამოცანებში მოსახერხებელია კუთხის კოეფიციენტის პოვნა წარმოქმნილ მართკუთხა სამკუთხედში კუთხის ტანგენტის აღმოჩენით. როგორ „ვნახოთ“ ეს სამკუთხედი სიბრტყეზე სწორი ხაზების სხვადასხვა მდებარეობით, სქემატურად ნაჩვენებია ქვემოთ:

>> სწორი კუთხე 0-დან 90 გრადუსამდე<<

>> სწორი კუთხე 90-დან 180 გრადუსამდე<<

სულ ესაა. წარმატებებს გისურვებთ!

პატივისცემით, ალექსანდრე.

P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ მომიყვებით საიტის შესახებ სოციალურ ქსელებში.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ნიშანი დამოკიდებულია მხოლოდ კოორდინატთა კვადრატზე, რომელშიც მდებარეობს რიცხვითი არგუმენტი. ბოლო დროს ვისწავლეთ არგუმენტების გადაქცევა რადიანის საზომიდან ხარისხობრივ საზომად (იხილეთ გაკვეთილი „კუთხის რადიანი და ხარისხიანი ზომა“), შემდეგ კი იგივე კოორდინატთა მეოთხედი დავადგინეთ. ახლა რეალურად განვსაზღვროთ სინუსის, კოსინუსის და ტანგენტის ნიშანი.

α კუთხის სინუსი არის წერტილის ორდინატი (y კოორდინატი) ტრიგონომეტრიულ წრეზე, რომელიც ჩნდება, როდესაც რადიუსი ბრუნავს α კუთხით.

α კუთხის კოსინუსი არის ტრიგონომეტრიული წრის წერტილის აბსცისა (x კოორდინატი), რომელიც ჩნდება, როდესაც რადიუსი ბრუნავს α კუთხით.

α კუთხის ტანგენსი არის სინუსისა და კოსინუსის შეფარდება. ან, რაც იგივეა, y კოორდინატის შეფარდება x კოორდინატთან.

აღნიშვნა: sin α = y ; cos α = x; tg α = y: x.

ყველა ეს განმარტება თქვენთვის ცნობილია საშუალო სკოლის ალგებრადან. თუმცა ჩვენ გვაინტერესებს არა თავად განმარტებები, არამედ შედეგები, რომლებიც წარმოიქმნება ტრიგონომეტრიულ წრეზე. შეხედე:

ლურჯი ფერი მიუთითებს OY ღერძის დადებით მიმართულებაზე (ორდინატთა ღერძი), წითელი მიუთითებს OX ღერძის დადებით მიმართულებაზე (აბსცისის ღერძი). ამ "რადარზე" არის ნიშნები ტრიგონომეტრიული ფუნქციებიგახდეს აშკარა. კერძოდ:

1. sin α > 0, თუ კუთხე α დევს I ან II კოორდინატთა კვადრატში. ეს იმიტომ ხდება, რომ განმარტებით, სინუსი არის ორდინატი (y კოორდინატი). ხოლო y კოორდინატი დადებითი იქნება ზუსტად I და II კოორდინატთა კვარტალებში;
2. cos α > 0, თუ კუთხე α დევს 1 ან მე-4 კოორდინატულ კვადრატში. რადგან მხოლოდ იქ x კოორდინატი (aka abscissa) იქნება ნულზე მეტი;
3. tan α > 0 თუ კუთხე α დევს I ან III კოორდინატთა კვადრატში. ეს გამომდინარეობს განმარტებიდან: ბოლოს და ბოლოს, tan α = y : x, ამიტომ დადებითია მხოლოდ იქ, სადაც x და y ნიშნები ერთმანეთს ემთხვევა. ეს ხდება პირველ კოორდინატთა კვარტალში (აქ x > 0, y > 0) და მესამე კოორდინატთა კვარტალში (x< 0, y < 0).

სიცხადისთვის, მოდით აღვნიშნოთ თითოეული ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ნიშნები - სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი - ცალკეულ "რადარებზე". ჩვენ ვიღებთ შემდეგ სურათს:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ჩემს დისკუსიებში არასდროს მითქვამს მეოთხე ტრიგონომეტრიულ ფუნქციაზე - კოტანგენტს. ფაქტია, რომ კოტანგენტების ნიშნები ემთხვევა ტანგენტის ნიშნებს - იქ განსაკუთრებული წესები არ არსებობს.

ახლა მე ვთავაზობ B11 პრობლემების მსგავსი მაგალითების განხილვას საცდელი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდამათემატიკაში, რომელიც გაიმართა 2011 წლის 27 სექტემბერს. საუკეთესო გზათეორიის გაგება პრაქტიკაა. მიზანშეწონილია ბევრი პრაქტიკა. რა თქმა უნდა, დავალებების პირობები ოდნავ შეიცვალა.

დავალება. განსაზღვრეთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების და გამონათქვამების ნიშნები (თვით ფუნქციების მნიშვნელობები არ არის საჭირო გამოთვლა):

1. sin (3π/4);
2. cos(7π/6);
3. tg (5π/3);
4. sin (3π/4) cos (5π/6);
5. cos (2π/3) tg (π/4);
6. sin (5π/6) cos (7π/4);
7. რუჯი (3π/4) cos (5π/3);
8. ctg (4π/3) tg (π/6).

სამოქმედო გეგმა ასეთია: ჯერ ყველა კუთხეს გადავიყვანთ რადიანის ზომებიდან გრადუსამდე (π → 180°), შემდეგ კი ვნახოთ, რომელ კოორდინატულ მეოთხედშია მიღებული რიცხვი. კვარტლების ცოდნით, ჩვენ მარტივად შეგვიძლია ვიპოვოთ ნიშნები - ახლახან აღწერილი წესების მიხედვით. ჩვენ გვაქვს:

1. ცოდვა (3π/4) = ცოდვა (3 · 180°/4) = ცოდვა 135°. ვინაიდან 135° ∈ , ეს არის კუთხე II კოორდინატთა კვადრატიდან. მაგრამ მეორე მეოთხედში სინუსი დადებითია, ამიტომ sin (3π/4) > 0;
2. cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. იმიტომ რომ 210° ∈, ეს არის კუთხე მესამე კოორდინატთა კვადრატიდან, რომელშიც ყველა კოსინუსი უარყოფითია. ამიტომ cos(7π/6)< 0;
3. tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. 300° ∈ , ჩვენ ვართ IV კვარტალში, სადაც ტანგენსი იღებს უარყოფითი მნიშვნელობები. ამიტომ რუჯი (5π/3)< 0;
4. sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. გავუმკლავდეთ სინუსს: იმიტომ 135° ∈ , ეს არის მეორე მეოთხედი, რომელშიც სინუსები დადებითია, ე.ი. sin (3π/4) > 0. ახლა ვმუშაობთ კოსინუსით: 150° ∈ - ისევ მეორე მეოთხედი, იქ კოსინუსები უარყოფითია. ამიტომ cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. ჩვენ ვუყურებთ კოსინუსს: 120° ∈ არის II კოორდინატთა მეოთხედი, ამიტომ cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. ისევ მივიღეთ პროდუქტი, რომელშიც ფაქტორებს განსხვავებული ნიშნები აქვთ. ვინაიდან „მინუს პლუსით იძლევა მინუსს“, გვაქვს: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
6. sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. ჩვენ ვმუშაობთ სინუსზე: 150° ∈ დან, ჩვენ ვსაუბრობთ II კოორდინატთა მეოთხედის შესახებ, სადაც სინუსები დადებითია. მაშასადამე, sin (5π/6) > 0. ანალოგიურად, 315° ∈ არის IV კოორდინატთა მეოთხედი, იქ კოსინუსები დადებითია. ამიტომ cos (7π/4) > 0. მივიღეთ ორის ნამრავლი დადებითი რიცხვები- ასეთი გამოთქმა ყოველთვის დადებითია. ვასკვნით: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. მაგრამ კუთხე 135° ∈ არის მეორე მეოთხედი, ე.ი. tg (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. ვინაიდან „მინუს პლუსით იძლევა მინუს ნიშანს“, გვაქვს: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
8. ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. ჩვენ ვუყურებთ კოტანგენტის არგუმენტს: 240° ∈ არის III კოორდინატთა მეოთხედი, შესაბამისად ctg (4π/3) > 0. ანალოგიურად, ტანგენსისთვის გვაქვს: 30° ∈ არის I კოორდინატთა მეოთხედი, ე.ი. უმარტივესი კუთხე. ამიტომ tan (π/6) > 0. ისევ გვაქვს ორი დადებითი გამონათქვამი - მათი ნამრავლიც დადებითი იქნება. ამიტომ საწოლი (4π/3) tg (π/6) > 0.

დასასრულს, მოდით შევხედოთ კიდევ რამდენიმე რთული ამოცანები. ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ნიშნის გარკვევის გარდა, აქ მოგიწევთ ცოტა მათემატიკის გაკეთება - ზუსტად ისე, როგორც ეს კეთდება რეალურ ამოცანებში B11. პრინციპში, ეს არის თითქმის რეალური პრობლემები, რომლებიც რეალურად ჩნდება მათემატიკაში ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში.

დავალება. იპოვეთ sin α, თუ sin 2 α = 0,64 და α ∈ [π/2; π].

ვინაიდან sin 2 α = 0,64 გვაქვს: sin α = ±0,8. რჩება მხოლოდ გადაწყვეტა: პლუსი თუ მინუსი? პირობით, კუთხე α ∈ [π/2; π] არის II კოორდინატთა მეოთხედი, სადაც ყველა სინუსი დადებითია. მაშასადამე, sin α = 0.8 - ნიშნებით გაურკვევლობა აღმოფხვრილია.

დავალება. იპოვეთ cos α, თუ cos 2 α = 0,04 და α ∈ [π; 3π/2].

ჩვენც ანალოგიურად ვმოქმედებთ, ე.ი. ამონაწერი კვადრატული ფესვი: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. პირობით, კუთხე α ∈ [π; 3π/2], ე.ი. საუბარია მესამე კოორდინატულ კვარტალზე. იქ ყველა კოსინუსი უარყოფითია, ამიტომ cos α = −0.2.

დავალება. იპოვეთ sin α, თუ sin 2 α = 0,25 და α ∈ .

გვაქვს: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. ისევ ვუყურებთ კუთხეს: α ∈ არის IV კოორდინატთა მეოთხედი, რომელშიც, როგორც ვიცით, სინუსი უარყოფითი იქნება. ამრიგად, დავასკვნათ: sin α = −0,5.

დავალება. იპოვეთ tan α, თუ tan 2 α = 9 და α ∈ .

ყველაფერი იგივეა, მხოლოდ ტანგენტისთვის. ამოიღეთ კვადრატული ფესვი: tan 2 α = 9 ⇒ tan α = ±3. მაგრამ პირობის მიხედვით, კუთხე α ∈ არის I კოორდინატთა მეოთხედი. ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, მათ შორის. ტანგენტი, არის დადებითი, ამიტომ tan α = 3. ეს არის ის!

ეს სტატია განიხილავს ტრიგონომეტრიული ფუნქციების სამ ძირითად თვისებას: სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს.

პირველი თვისება არის ფუნქციის ნიშანი იმის მიხედვით, თუ რომელი კვარტალი ერთეული წრემიეკუთვნება α კუთხეს. მეორე თვისებაა პერიოდულობა. ამ თვისების მიხედვით, ტიგონომეტრიული ფუნქცია არ ცვლის თავის მნიშვნელობას, როდესაც კუთხე იცვლება ბრუნების მთელი რიცხვით. მესამე თვისება განსაზღვრავს, თუ როგორ იცვლება მნიშვნელობები ფუნქციები ცოდვა, cos, tg, ctg საპირისპირო კუთხით α და - α.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ხშირად მათემატიკურ ტექსტში ან პრობლემის კონტექსტში შეგიძლიათ იპოვოთ ფრაზა: „პირველი, მეორე, მესამე ან მეოთხე კოორდინატთა კვარტალის კუთხე“. რა არის ეს?

მოდით მივმართოთ ერთეულ წრეს. იგი დაყოფილია ოთხ კვარტალად. წრეზე ავღნიშნოთ საწყისი წერტილი A 0 (1, 0) და O წერტილის გარშემო α კუთხით ვატრიალებთ, მივიღებთ A 1 წერტილს (x, y). იმისდა მიხედვით, თუ რომელ მეოთხედში დევს A 1 (x, y) წერტილი, α კუთხეს ეწოდება შესაბამისად პირველი, მეორე, მესამე და მეოთხე მეოთხედის კუთხე.

სიცხადისთვის, აქ არის ილუსტრაცია.

კუთხე α = 30° დევს პირველ მეოთხედში. კუთხე - 210° არის მეორე მეოთხედის კუთხე. 585° კუთხე არის მესამე მეოთხედის კუთხე. კუთხე - 45° მეოთხე მეოთხედის კუთხეა.

ამ შემთხვევაში, კუთხეები ± 90 °, ± 180 °, ± 270 °, ± 360 ° არ მიეკუთვნება არცერთ მეოთხედს, რადგან ისინი დევს კოორდინატთა ღერძებზე.

ახლა განიხილეთ ნიშნები, რომლებსაც სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი იღებენ, იმისდა მიხედვით, თუ რომელ კვადრატში მდებარეობს კუთხე.

სინუსის ნიშნების დასადგენად მეოთხედით, გაიხსენეთ განმარტება. სინუსი არის A 1 (x, y) წერტილის ორდინატი. ფიგურა აჩვენებს, რომ პირველ და მეორე კვარტალში დადებითია, ხოლო მესამე და ოთხმაგში უარყოფითი.

კოსინუსი არის A 1 (x, y) წერტილის აბსცისა. ამის შესაბამისად ვადგენთ წრეზე კოსინუსის ნიშნებს. პირველ და მეოთხე კვარტალში კოსინუსი დადებითია, მეორე და მესამე მეოთხედებში უარყოფითი.

ტანგენტისა და კოტანგენტის ნიშნების კვარტლების დასადგენად, ჩვენ ასევე გავიხსენებთ ამ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებებს. ტანგენტი არის წერტილის ორდინატის შეფარდება აბსცისასთან. ეს ნიშნავს, რომ რიცხვების გაყოფის წესის მიხედვით სხვადასხვა ნიშნები, როცა ორდინატსა და აბსცესს აქვს იდენტური ნიშნები, წრეზე ტანგენტის ნიშანი დადებითი იქნება, ხოლო როცა ორდინატსა და აბსცისს განსხვავებული ნიშნები ექნება, უარყოფითი. ანალოგიურად განისაზღვრება კვარტლების კოტანგენტების ნიშნები.

მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ!

1. α კუთხის სინუსს აქვს პლუსის ნიშანი პირველ და მე-2 მეოთხედებში, მინუს ნიშანი მე-3 და მე-4 მეოთხედებში.
2. α კუთხის კოსინუსს აქვს პლუსის ნიშანი პირველ და მე-4 მეოთხედებში, მინუს ნიშანი მე-2 და მე-3 მეოთხედებში.
3. კუთხის α ტანგენტს აქვს პლუსის ნიშანი 1-ელ და მე-3 მეოთხედებში, მინუს ნიშანი მე-2 და მე-4 მეოთხედებში.
4. α კუთხის კოტანგენტს აქვს პლუსის ნიშანი პირველ და მე-3 მეოთხედებში, მინუს ნიშანი მე-2 და მე-4 კვარტალში.

პერიოდულობის თვისება

პერიოდულობის თვისება ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ერთ-ერთი ყველაზე აშკარა თვისებაა.

პერიოდულობის თვისება

კუთხის მთელი რიცხვით შეცვლისას სრული რევოლუციებიმოცემული კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის მნიშვნელობები უცვლელი რჩება.

მართლაც, როდესაც კუთხე იცვლება ბრუნთა მთელი რიცხვით, ჩვენ ყოველთვის მივიღებთ ერთეული წრის საწყისი წერტილიდან A 1 წერტილამდე იგივე კოორდინატებით. შესაბამისად, სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის მნიშვნელობები არ შეიცვლება.

მათემატიკურად ამ ქონებასწერია ასე:

sin α + 2 π z = sin α cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α c t g α + 2 π z = c t g α

როგორ გამოიყენება ეს ქონება პრაქტიკაში? პერიოდულობის თვისება, ისევე როგორც შემცირების ფორმულები, ხშირად გამოიყენება დიდი კუთხეების სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და კოტანგენტების მნიშვნელობების გამოსათვლელად.

მოვიყვანოთ მაგალითები.

sin 13 π 5 = ცოდვა 3 π 5 + 2 π = ცოდვა 3 π 5

tg (- 689 °) = t g (31 ° + 360 ° (- 2)) = t g 31 ° t g (- 689 °) = t g (- 329 ° + 360 ° (- 1)) = t g (- 329 °)

მოდით კიდევ ერთხელ გადავხედოთ ერთეულების წრეს.

წერტილი A 1 (x, y) არის A 0 (1, 0) საწყისი წერტილის ბრუნვის შედეგი წრის ცენტრის გარშემო α კუთხით. წერტილი A 2 (x, - y) არის საწყისი წერტილის - α კუთხით ბრუნვის შედეგი.

A 1 და A 2 წერტილები სიმეტრიულია აბსცისის ღერძის მიმართ. იმ შემთხვევაში, როდესაც α = 0 °, ± 180 °, ± 360 ° წერტილები A 1 და A 2 ემთხვევა. ერთ წერტილს ჰქონდეს კოორდინატები (x, y) და მეორე - (x, - y). გავიხსენოთ სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის, კოტანგენტის განმარტებები და დავწეროთ:

sin α = y , cos α = x , t g α = y x , c t g α = x y sin - α = - y , cos - α = x , t g - α = - y x , c t g - α = x - y

ეს გულისხმობს სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და კოტანგენტების თვისებას მოპირდაპირე კუთხეები.

საპირისპირო კუთხეების სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და კოტანგენტების თვისება

sin - α = - sin α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α

ამ თვისების მიხედვით, ტოლობები ჭეშმარიტია

sin - 48 ° = - sin 48 ° , c t g π 9 = - c t g - π 9 , cos 18 ° = cos - 18 °

განხილული თვისება ხშირად გამოიყენება ამოხსნისას პრაქტიკული პრობლემებიიმ შემთხვევებში, როდესაც თქვენ უნდა მოიცილოთ უარყოფითი კუთხის ნიშნები ტრიგონომეტრიული ფუნქციების არგუმენტებში.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

საშუალებას გაძლევთ დაადგინოთ მრავალი დამახასიათებელი შედეგი - სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის თვისებები. ამ სტატიაში განვიხილავთ სამ ძირითად თვისებას. პირველი მათგანი მიუთითებს α კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის ნიშნებს იმის მიხედვით, თუ რომელი კუთხიდან არის α კოორდინატთა მეოთხედი. შემდეგ განვიხილავთ პერიოდულობის თვისებას, რომელიც ადგენს α კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის მნიშვნელობების შეუცვლელობას, როდესაც ეს კუთხე იცვლება ბრუნების მთელი რიცხვით. მესამე თვისება გამოხატავს ურთიერთობას α და -α მოპირდაპირე კუთხეების სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის მნიშვნელობებს შორის.

თუ გაინტერესებთ სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენტის ფუნქციების თვისებები, მაშინ მათი შესწავლა შეგიძლიათ სტატიის შესაბამის ნაწილში.

გვერდის ნავიგაცია.

სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის ნიშნები მეოთხედებში

ამ აბზაცის ქვემოთ გამოჩნდება ფრაზა „I, II, III და IV კოორდინატთა კვარტალის კუთხე“. მოდით ავხსნათ რა არის ეს კუთხეები.

ავიღოთ ერთეული წრე, მოვნიშნოთ მასზე საწყისი წერტილი A(1, 0) და მოვატრიალოთ O წერტილის ირგვლივ α კუთხით და დავუშვათ, რომ მივიღებთ A 1 წერტილს (x, y).

ამას ამბობენ კუთხე α არის I, II, III, IV კოორდინატთა კვადრატის კუთხე, თუ A 1 წერტილი დევს I, II, III, IV კვარტლებში, შესაბამისად; თუ კუთხე α ისეთია, რომ A 1 წერტილი დევს Ox ან Oy რომელიმე კოორდინატ წრფეზე, მაშინ ეს კუთხე არ მიეკუთვნება არცერთ ოთხ მეოთხედს.

სიცხადისთვის, აქ არის გრაფიკული ილუსტრაცია. ქვემოთ მოყვანილ ნახაზებზე ნაჩვენებია ბრუნვის კუთხეები 30, −210, 585 და −45 გრადუსი, რაც შესაბამისად I, II, III და IV კოორდინატთა კვარტლების კუთხეებია.

კუთხეები 0, ±90, ±180, ±270, ±360, ...გრადუსი არცერთ კოორდინატთა მეოთხედს არ ეკუთვნის.

ახლა გავარკვიოთ, რა ნიშნებს აქვთ α ბრუნვის კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის მნიშვნელობები, იმისდა მიხედვით, თუ რომელი კვადრატის კუთხეა α.

სინუსისთვის და კოსინუსისთვის ამის გაკეთება მარტივია.

განმარტებით, α კუთხის სინუსი არის A 1 წერტილის ორდინატი. ცხადია, I და II კოორდინატ კვარტალებში დადებითია, ხოლო III და IV კვარტლებში უარყოფითი. ამრიგად, α კუთხის სინუსს აქვს პლუს ნიშანი პირველ და მე-2 მეოთხედებში, ხოლო მინუსის ნიშანი მე-3 და მე-6 მეოთხედებში.

თავის მხრივ, α კუთხის კოსინუსი არის A 1 წერტილის აბსცისა. I და IV კვარტალებში დადებითია, ხოლო II და III კვარტალებში უარყოფითი. შესაბამისად, α კუთხის კოსინუსის მნიშვნელობები I და IV კვარტალებში დადებითია, ხოლო II და III კვარტალებში ისინი უარყოფითი.

ტანგენტისა და კოტანგენსის მეოთხედების ნიშნების დასადგენად, თქვენ უნდა გახსოვდეთ მათი განმარტებები: ტანგენტი არის A 1 წერტილის ორდინატის თანაფარდობა აბსცისასთან, ხოლო კოტანგენსი არის A 1 წერტილის აბსცისის შეფარდება ორდინატთან. შემდეგ საიდან რიცხვების გაყოფის წესებიიგივე და განსხვავებული ნიშნებით ირკვევა, რომ ტანგენტსა და კოტანგენტს აქვთ პლუს ნიშანი, როდესაც A 1 წერტილის აბსცისა და ორდინატთა ნიშნები ერთნაირია და აქვთ მინუს ნიშანი, როცა A 1 წერტილის აბსცისა და ორდინატთა ნიშნები განსხვავებულია. შესაბამისად, კუთხის ტანგენტსა და კოტანგენტს აქვს + ნიშანი I და III კოორდინატთა მეოთხედებში, ხოლო მინუს ნიშანი II და IV მეოთხედებში.

მართლაც, მაგალითად, პირველ კვარტალში A 1 წერტილის აბსციზა x და ორდინატი y დადებითია, მაშინ x/y და y/x კოეფიციენტი დადებითია, შესაბამისად, ტანგენტსა და კოტანგენტს აქვთ + ნიშნები. ხოლო მეორე კვარტალში აბსცისა x უარყოფითია, ხოლო ორდინატი y დადებითია, ამიტომ ორივე x/y და y/x უარყოფითია, შესაბამისად ტანგენტსა და კოტანგენტს აქვს მინუს ნიშანი.

გადავიდეთ სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის შემდეგ თვისებაზე.

პერიოდულობის თვისება

ახლა ჩვენ გადავხედავთ კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსისა და კოტანგენტის ალბათ ყველაზე აშკარა თვისებას. ეს არის შემდეგი: როდესაც კუთხე იცვლება სრული ბრუნვის მთელი რიცხვით, ამ კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის მნიშვნელობები არ იცვლება.

ეს გასაგებია: როდესაც კუთხე იცვლება ბრუნთა მთელი რიცხვით, ჩვენ ყოველთვის მივიღებთ ამოსავალი წერტილიდან A 1 წერტილამდე ერთეულ წრეზე, შესაბამისად, სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის მნიშვნელობები უცვლელი რჩება. ვინაიდან A 1 წერტილის კოორდინატები უცვლელია.

ფორმულების გამოყენებით სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განხილული თვისება შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: sin(α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tan(α+ 2·π· z)=tgα, ctg(α+2·π·z)=ctgα, სადაც α არის ბრუნვის კუთხე რადიანებში, z არის ნებისმიერი, აბსოლუტური მნიშვნელობარომელიც მიუთითებს სრული ბრუნვების რაოდენობას, რომლითაც იცვლება α კუთხე, ხოლო z რიცხვის ნიშანი მიუთითებს ბრუნვის მიმართულებაზე.

თუ ბრუნვის კუთხე α მითითებულია გრადუსებში, მაშინ მითითებული ფორმულები გადაიწერება როგორც sin(α+360° z)=sinα, cos(α+360° z)=cosα, tg(α+360° z)=tgα. , ctg(α+360°·z)=ctgα.

მოდით მოვიყვანოთ ამ ქონების გამოყენების მაგალითები. მაგალითად, , იმიტომ , ა . აი კიდევ ერთი მაგალითი: ან .

ეს თვისება, შემცირების ფორმულებთან ერთად, ძალიან ხშირად გამოიყენება "დიდი" კუთხეების სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის მნიშვნელობების გამოთვლისას.

სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განხილულ თვისებას ზოგჯერ პერიოდულობის თვისებას უწოდებენ.

საპირისპირო კუთხეების სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და კოტანგენტების თვისებები

დავუშვათ A 1 წერტილი, რომელიც მიიღება A(1, 0) საწყისი წერტილის O წერტილის გარშემო α კუთხით მობრუნებით, ხოლო A 2 წერტილი A წერტილის ბრუნვის შედეგი −α კუთხით, α კუთხის საპირისპირო.

საპირისპირო კუთხეების სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტებისა და კოტანგენტების თვისება ემყარება საკმაოდ აშკარა ფაქტს: ზემოთ ნახსენები A 1 და A 2 წერტილები ან ემთხვევა (at) ან განლაგებულია სიმეტრიულად Ox ღერძის მიმართ. ანუ, თუ A 1 წერტილს აქვს კოორდინატები (x, y), მაშინ A 2 წერტილს ექნება კოორდინატები (x, −y). აქედან, სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განმარტებების გამოყენებით ვწერთ ტოლობებს და .
მათი შედარებისას მივედით კავშირებამდე ფორმის α და −α საპირისპირო კუთხეების სინუსებს, კოსინუსებს, ტანგენტებსა და კოტანგენტებს შორის.
ეს არის განსახილველი ქონება ფორმულების სახით.

მოდით მოვიყვანოთ ამ ქონების გამოყენების მაგალითები. მაგალითად, თანასწორობები და .

რჩება მხოლოდ იმის აღნიშვნა, რომ საპირისპირო კუთხის სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტებისა და კოტანგენტების თვისება, ისევე როგორც წინა თვისება, ხშირად გამოიყენება სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენტის მნიშვნელობების გაანგარიშებისას და საშუალებას გაძლევთ მთლიანად თავიდან აიცილოთ უარყოფითი კუთხეები.

ცნობები.

• ალგებრა:სახელმძღვანელო მე-9 კლასისთვის. საშ. სკოლა/იუ. ნ.მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა; რედ. S. A. Telyakovsky - M.: განათლება, 1990. - 272 გვ.: ISBN 5-09-002727-7
• ალგებრადა ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 კლასებისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn და სხვ. რედ. A. N. Kolmogorov - 14th ed - M.: განათლება, 2004. - 384 pp.
• ბაშმაკოვი M.I.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: სახელმძღვანელო. 10-11 კლასებისთვის. საშ. სკოლა - მე-3 გამოცემა. - მ.: განათლება, 1993. - 351გვ.: ავად. - ISBN 5-09-004617-4.
• გუსევი V.A., Mordkovich A.G.მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკურ სასწავლებლებში შესვლისთვის): პროკ. შემწეობა.- მ. უმაღლესი სკოლა, 1984.-351გვ., ილ.