როგორ გამოვხატოთ რიცხვი ლოგარითმიდან. გადაწყვეტის ზოგადი პრინციპები

მიმართებაში

შეიძლება დაისვას დავალება, რომ იპოვოთ სამი რიცხვიდან რომელიმე დანარჩენი ორიდან. თუ მოცემულია a და შემდეგ N, ისინი იპოვიან სიმძლავრის მიხედვით. თუ N და შემდეგ a მოცემულია x ხარისხის ფესვის აღებით (ან მისი ხარისხამდე აწევით). ახლა განვიხილავთ შემთხვევას, როდესაც a-ს და N-ის მიცემით, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ x.

რიცხვი N იყოს დადებითი: რიცხვი a დადებითი და არა ერთის ტოლი: .

განმარტება. N რიცხვის ლოგარითმი a ფუძემდე არის ის მაჩვენებელი, რომელზეც a უნდა გაიზარდოს N რიცხვის მისაღებად; ლოგარითმი აღინიშნება

ამგვარად, ტოლობაში (26.1) მაჩვენებლის პოვნაა, როგორც N-ის ლოგარითმი a ფუძემდე. პოსტები

აქვთ იგივე მნიშვნელობა. ტოლობას (26.1) ზოგჯერ უწოდებენ ლოგარითმების თეორიის მთავარ იდენტობას; სინამდვილეში იგი გამოხატავს ლოგარითმის ცნების განმარტებას. მიერ ამ განმარტებას a ლოგარითმის საფუძველი ყოველთვის დადებითია და განსხვავდება ერთიანობისგან; ლოგარითმული რიცხვი N დადებითია. უარყოფით რიცხვებსა და ნულს არ აქვთ ლოგარითმები. შეიძლება დადასტურდეს, რომ მოცემული ფუძის მქონე ნებისმიერ რიცხვს აქვს კარგად განსაზღვრული ლოგარითმი. ამიტომ თანასწორობა გულისხმობს. გაითვალისწინეთ, რომ აქ მთავარი პირობაა წინააღმდეგ შემთხვევაშიდასკვნა არ იქნება გამართლებული, რადგან ტოლობა მართალია x და y-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.

მაგალითი 1. იპოვე

გამოსავალი. რიცხვის მისაღებად, თქვენ უნდა ააწიოთ ბაზის 2 სიმძლავრემდე.

ასეთი მაგალითების ამოხსნისას შეგიძლიათ გააკეთოთ შენიშვნები შემდეგი ფორმით:

მაგალითი 2. იპოვეთ.

გამოსავალი. Ჩვენ გვაქვს

მაგალითებში 1 და 2, ჩვენ ადვილად ვიპოვეთ სასურველი ლოგარითმი ლოგარითმის რიცხვის წარმოდგენით, როგორც ფუძის სიმძლავრე რაციონალური მაჩვენებელი. ზოგად შემთხვევაში, მაგალითად, და ა.შ., ამის გაკეთება შეუძლებელია, რადგან ლოგარითმს აქვს ირაციონალური მნიშვნელობა. ამ განცხადებასთან დაკავშირებულ ერთ საკითხს მივაქციოთ ყურადღება. მე-12 პუნქტში ჩვენ მივეცით ცნება მოცემულის ნებისმიერი რეალური ხარისხის განსაზღვრის შესაძლებლობის შესახებ დადებითი რიცხვი. ეს აუცილებელი იყო ლოგარითმების დანერგვისთვის, რომლებიც, ზოგადად, შეიძლება იყოს ირაციონალური რიცხვები.

მოდით შევხედოთ ლოგარითმების რამდენიმე თვისებას.

თვისება 1. თუ რიცხვი და ფუძე ტოლია, მაშინ ლოგარითმი ერთის ტოლიდა, პირიქით, თუ ლოგარითმი ერთის ტოლია, მაშინ რიცხვი და ფუძე ტოლია.

მტკიცებულება. მოდით, ლოგარითმის განმარტებით გვაქვს და საიდან

პირიქით, მოდით შემდეგ განმარტებით

თვისება 2. ერთის ლოგარითმი რომელიმე ფუძის მიმართ ნულის ტოლი.

მტკიცებულება. ლოგარითმის განმარტებით (ნებისმიერი დადებითი ფუძის ნულოვანი სიმძლავრე უდრის ერთს, იხ. (10.1)). აქედან

ქ.ე.დ.

საპირისპირო დებულება ასევე მართალია: თუ , მაშინ N = 1. მართლაც, გვაქვს .

ლოგარითმების შემდეგი თვისების ჩამოყალიბებამდე, შევთანხმდეთ ვთქვათ, რომ ორი რიცხვი a და b დევს მესამე c რიცხვის ერთ მხარეს, თუ ორივე მეტია c-ზე ან c-ზე ნაკლები. თუ ამ რიცხვებიდან ერთი დიდია c-ზე, ხოლო მეორე ნაკლებია c-ზე, მაშინ ვიტყვით, რომ ისინი დევს გასწვრივ. სხვადასხვა მხარესოფლიდან

თვისება 3. თუ რიცხვი და ფუძე დევს ერთის ერთ მხარეს, მაშინ ლოგარითმი დადებითია; თუ რიცხვი და ფუძე დევს ერთის საპირისპირო მხარეს, მაშინ ლოგარითმი უარყოფითია.

თვისების 3 მტკიცებულება ემყარება იმ ფაქტს, რომ a-ს სიმძლავრე ერთზე მეტია, თუ ფუძე ერთზე მეტია და მაჩვენებელი დადებითია ან ფუძე. ერთზე ნაკლებიდა მაჩვენებელი უარყოფითია. სიმძლავრე ერთზე ნაკლებია, თუ ფუძე ერთზე მეტია და მაჩვენებელი უარყოფითია ან ფუძე ნაკლებია ერთზე და მაჩვენებელი დადებითია.

გასათვალისწინებელია ოთხი შემთხვევა:

ჩვენ შემოვიფარგლებით პირველის გაანალიზებით, დანარჩენს მკითხველი დამოუკიდებლად განიხილავს.

მოდით, თანასწორობაში მაჩვენებელი არ შეიძლება იყოს არც უარყოფითი და არც უარყოფითი ნულის ტოლიმაშასადამე, ის დადებითია, ანუ როგორც საჭიროა დასამტკიცებლად.

მაგალითი 3. გაარკვიეთ, რომელია ქვემოთ მოყვანილი ლოგარითმები დადებითი და რომელი უარყოფითი:

ამოხსნა, ა) ვინაიდან რიცხვი 15 და ფუძე 12 განლაგებულია ერთის ერთ მხარეს;

ბ) ვინაიდან 1000 და 2 განლაგებულია დანადგარის ერთ მხარეს; ამ შემთხვევაში, არ არის მნიშვნელოვანი, რომ ფუძე მეტი იყოს ლოგარითმულ რიცხვზე;

გ) ვინაიდან 3.1 და 0.8 დევს ერთიანობის მოპირდაპირე მხარეს;

გ) ; რატომ?

დ) ; რატომ?

შემდეგ თვისებებს 4-6 ხშირად უწოდებენ ლოგარითმაციის წესებს: ისინი საშუალებას გაძლევთ, იცოდეთ ზოგიერთი რიცხვის ლოგარითმები, იპოვოთ მათი ნამრავლის ლოგარითმები, კოეფიციენტი და თითოეული მათგანის ხარისხი.

თვისება 4 (პროდუქტის ლოგარითმის წესი). რამდენიმე დადებითი რიცხვის ნამრავლის ლოგარითმი მოცემულ ფუძეზე ჯამის ტოლიამ რიცხვების ლოგარითმები იმავე ფუძემდე.

მტკიცებულება. მოცემული რიცხვები დადებითი იყოს.

მათი ნამრავლის ლოგარითმისთვის ჩვენ ვწერთ ტოლობას (26.1), რომელიც განსაზღვრავს ლოგარითმს:

აქედან ვიპოვით

პირველი და ბოლო გამონათქვამების მაჩვენებლების შედარებისას მივიღებთ საჭირო ტოლობას:

გაითვალისწინეთ, რომ პირობა აუცილებელია; ორი ნამრავლის ლოგარითმი უარყოფითი რიცხვებიაზრი აქვს, მაგრამ ამ შემთხვევაში მივიღებთ

ზოგადად, თუ რამდენიმე ფაქტორის ნამრავლი დადებითია, მაშინ მისი ლოგარითმი უდრის ამ ფაქტორების აბსოლუტური მნიშვნელობების ლოგარითმების ჯამს.

თვისება 5 (რაოდენობების ლოგარითმების აღების წესი). დადებითი რიცხვების კოეფიციენტის ლოგარითმი სხვაობის ტოლიდივიდენდისა და გამყოფის ლოგარითმები, რომლებიც აღებულია იმავე ბაზაზე. მტკიცებულება. ჩვენ მუდმივად ვპოულობთ

ქ.ე.დ.

თვისება 6 (ძალის ლოგარითმის წესი). ზოგიერთი დადებითი რიცხვის სიმძლავრის ლოგარითმი ლოგარითმის ტოლიეს რიცხვი გამრავლებული მაჩვენებელზე.

მტკიცებულება. მოდით კვლავ დავწეროთ ნომრის ძირითადი იდენტიფიკაცია (26.1):

ქ.ე.დ.

შედეგი. დადებითი რიცხვის ფესვის ლოგარითმი ლოგარითმის ტოლია რადიკალური რიცხვი, გაყოფილი ფესვის მაჩვენებელზე:

ამ დასკვნის მართებულობა შეიძლება დადასტურდეს თვისების 6-ის წარმოდგენით და გამოყენებით.

მაგალითი 4. აიღეთ ლოგარითმი a-ს დასაფუძნებლად:

ა) (ვარაუდობენ, რომ ყველა მნიშვნელობა b, c, d, e დადებითია);

ბ) (ვარაუდობენ, რომ ).

გამოსავალი, ა) მოსახერხებელია ამ გამოსახულებაში წილადის ხარისხებზე გადასვლა:

ტოლობების საფუძველზე (26.5)-(26.7), ახლა შეგვიძლია დავწეროთ:

შევნიშნავთ, რომ რიცხვების ლოგარითმებზე უფრო მარტივი მოქმედებები სრულდება, ვიდრე თავად რიცხვებზე: რიცხვების გამრავლებისას ემატება მათი ლოგარითმები, გაყოფისას აკლება და ა.შ.

სწორედ ამიტომ ლოგარითმები გამოიყენება გამოთვლით პრაქტიკაში (იხ. პუნქტი 29).

ლოგარითმის საპირისპირო მოქმედებას ეწოდება პოტენციაცია, კერძოდ: პოტენციაცია არის მოქმედება, რომლითაც რიცხვი თავად არის ნაპოვნი რიცხვის მოცემული ლოგარითმიდან. არსებითად, გაძლიერება არ არის რაიმე განსაკუთრებული მოქმედება: ის მოდის ბაზის ძლიერებამდე ამაღლებაზე ( ლოგარითმის ტოლინომრები). ტერმინი „პოტენციაცია“ შეიძლება ჩაითვალოს ტერმინ „გაძლიერების“ სინონიმად.

გაძლიერებისას უნდა გამოიყენოთ წესები ლოგარითმაციის წესების საპირისპიროდ: შეცვალეთ ლოგარითმების ჯამი ნამრავლის ლოგარითმით, ლოგარითმების სხვაობა კოეფიციენტის ლოგარითმით და ა.შ. კერძოდ, თუ წინ არის ფაქტორი. ლოგარითმის ნიშნის, მაშინ გაძლიერებისას უნდა გადავიდეს ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ მყოფი მაჩვენებლების ხარისხზე.

მაგალითი 5. იპოვეთ N, თუ ცნობილია, რომ

გამოსავალი. ამ ტოლობის მარჯვენა მხარეს ლოგარითმების ნიშნების წინ მდგარ ფაქტორებს 2/3 და 1/3 გადავიტანთ ამ ლოგარითმების ნიშნების ქვეშ არსებულ მაჩვენებლებში; ვიღებთ

ახლა ჩვენ ვცვლით ლოგარითმების სხვაობას კოეფიციენტის ლოგარითმით:

ამ ტოლობის ჯაჭვში ბოლო წილადის მისაღებად, ჩვენ გავათავისუფლეთ წინა წილადი მნიშვნელობის ირაციონალურობისაგან (პუნქტი 25).

თვისება 7. თუ ფუძე ერთზე მეტია, მაშინ უფრო დიდი რაოდენობააქვს უფრო დიდი ლოგარითმი (და უფრო მცირე რიცხვს აქვს პატარა), თუ ფუძე ერთზე ნაკლებია, მაშინ უფრო დიდ რიცხვს აქვს უფრო მცირე ლოგარითმი (და პატარა რიცხვს აქვს უფრო დიდი).

ეს თვისება ასევე ჩამოყალიბებულია უტოლობათა ლოგარითმების აღების წესით, რომელთა ორივე მხარე დადებითია:

უტოლობების ერთზე მეტ ფუძეზე ლოგარითმების შენარჩუნებისას უტოლობის ნიშანი შენარჩუნებულია, ხოლო ერთზე ნაკლებ ფუძეზე ლოგარითმისას უტოლობის ნიშანი იცვლება საპირისპიროდ (იხ. აგრეთვე პუნქტი 80).

მტკიცებულება ეფუძნება 5 და 3 თვისებებს. განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც თუ , მაშინ და ლოგარითმების აღებით მივიღებთ

(a და N/M დევს ერთიანობის ერთ მხარეს). აქედან

შემდეგ შემთხვევაში, მკითხველი თავად გაარკვევს.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, გადახედოთ ჩვენს კონფიდენციალურობის პრაქტიკას და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

შეიძლება მოგთხოვონ თქვენი პირადი ინფორმაციანებისმიერ დროს დაგვიკავშირდით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• როდესაც განაცხადებს წარადგენთ საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, მისამართი ელფოსტადა ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციებისა და სხვა ღონისძიებების შესახებ და მომავალი მოვლენები.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გასაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს აქციაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

ინფორმაციის გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვამხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• საჭიროების შემთხვევაში - კანონის, სასამართლო პროცესის, სასამართლო პროცესის შესაბამისად ან/და საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე. სამთავრობო სააგენტოებირუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი მნიშვნელობის მიზნებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეიძლება გადავიტანოთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მემკვიდრე მესამე მხარეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის პატივისცემა კომპანიის დონეზე

თქვენი პერსონალური ინფორმაციის უსაფრთხოების უზრუნველსაყოფად, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების სტანდარტებს ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

რა არის ლოგარითმი?

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალები 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც ძალიან "არ არის ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

რა არის ლოგარითმი? როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები? ეს კითხვები ბევრ კურსდამთავრებულს აბნევს. ტრადიციულად, ლოგარითმების თემა განიხილება რთული, გაუგებარი და საშინელი. განსაკუთრებით განტოლებები ლოგარითმებით.

ეს აბსოლუტურად არ შეესაბამება სიმართლეს. აბსოლუტურად! არ გჯერა? ჯარიმა. ახლა, სულ რაღაც 10-20 წუთში თქვენ:

1. გაიგებთ რა არის ლოგარითმი.

2. ისწავლეთ მთელი კლასის ამოხსნა ექსპონენციალური განტოლებები. მაშინაც კი, თუ მათ შესახებ არაფერი გსმენიათ.

3. ისწავლეთ მარტივი ლოგარითმების გამოთვლა.

უფრო მეტიც, ამისათვის თქვენ მხოლოდ უნდა იცოდეთ გამრავლების ცხრილი და როგორ ავიყვანოთ რიცხვი ხარისხამდე...

ვგრძნობ, რომ ეჭვი გეპარება... კარგი, კარგი, მონიშნე დრო! წადი!

პირველ რიგში, ამოხსენით ეს განტოლება თქვენს თავში:

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

როგორც საზოგადოება განვითარდა და წარმოება უფრო რთული გახდა, მათემატიკაც განვითარდა. მოძრაობა მარტივიდან რთულამდე. ჩვეულებრივი აღრიცხვიდან შეკრებისა და გამოკლების მეთოდის გამოყენებით, მათი განმეორებითი გამეორებით, მივედით გამრავლებისა და გაყოფის ცნებამდე. გამრავლების განმეორებითი მოქმედების შემცირება გახდა ექსპონენტაციის კონცეფცია. რიცხვების დამოკიდებულების პირველი ცხრილები ფუძეზე და გაძლიერების რაოდენობაზე შეადგინა ჯერ კიდევ VIII საუკუნეში ინდოელმა მათემატიკოსმა ვარასენამ. მათგან შეგიძლიათ დაითვალოთ ლოგარითმების გაჩენის დრო.

ისტორიული ჩანახატი

მე-16 საუკუნეში ევროპის აღორძინებამ ასევე ხელი შეუწყო მექანიკის განვითარებას. თ საჭირო იყო დიდი რაოდენობის გამოთვლადაკავშირებულია გამრავლებასთან და გაყოფასთან მრავალნიშნა რიცხვები. უძველესი მაგიდები დიდ მომსახურებას აძლევდა. მათ შესაძლებელი გახადეს რთული ოპერაციების ჩანაცვლება უფრო მარტივი - შეკრება და გამოკლება. დიდი წინგადადგმული ნაბიჯი იყო მათემატიკოს მაიკლ შტიფელის ნაშრომი, რომელიც გამოქვეყნდა 1544 წელს, რომელშიც მან გააცნობიერა მრავალი მათემატიკოსის იდეა. ამან შესაძლებელი გახადა ცხრილების გამოყენება არა მხოლოდ ხარისხებისთვის ფორმაში მარტივი რიცხვები, არამედ თვითნებური რაციონალებისთვისაც.

1614 წელს შოტლანდიელმა ჯონ ნაპიერმა, რომელიც ავითარებდა ამ იდეებს, პირველად გააცნო ახალი ტერმინი"რიცხვის ლოგარითმი". ახალი რთული მაგიდებისინუსების და კოსინუსების ლოგარითმების, ასევე ტანგენტების გამოსათვლელად. ამან მნიშვნელოვნად შეამცირა ასტრონომების მუშაობა.

დაიწყო ახალი ცხრილების გამოჩენა, რომლებიც წარმატებით გამოიყენეს მეცნიერებმა მთელი პერიოდის განმავლობაში სამი საუკუნე. ბევრი დრო გავიდა, სანამ ალგებრაში ახალმა ოპერაციამ დასრულებული ფორმა შეიძინა. მოცემულია ლოგარითმის განმარტება და შესწავლილი იქნა მისი თვისებები.

მხოლოდ მე-20 საუკუნეში, კალკულატორისა და კომპიუტერის მოსვლასთან ერთად, კაცობრიობამ მიატოვა უძველესი ცხრილები, რომლებიც წარმატებით მუშაობდნენ მე-13 საუკუნეში.

დღეს b-ის ლოგარითმს ვუწოდებთ a-ს დასაფუძნებლად x რიცხვს, რომელიც არის a-ის ძალა b-ის გასაკეთებლად. ეს იწერება ფორმულის სახით: x = log a(b).

მაგალითად, log 3(9) იქნება 2-ის ტოლი. ეს აშკარაა, თუ დაიცავთ განმარტებას. თუ 3-ს ავწევთ 2-ის ხარისხზე, მივიღებთ 9-ს.

ამრიგად, ჩამოყალიბებული განმარტება ადგენს მხოლოდ ერთ შეზღუდვას: რიცხვები a და b უნდა იყოს რეალური.

ლოგარითმების სახეები

კლასიკურ განმარტებას რეალური ლოგარითმი ეწოდება და რეალურად არის a x = b განტოლების ამონახსნი. ვარიანტი a = 1 არის მოსაზღვრე და არ არის საინტერესო. ყურადღება: 1 ნებისმიერი სიმძლავრის მიმართ უდრის 1-ს.

ლოგარითმის რეალური მნიშვნელობაგანისაზღვრება მხოლოდ მაშინ, როდესაც ბაზა და არგუმენტი მეტია 0-ზე და ბაზა არ უნდა იყოს 1-ის ტოლი.

განსაკუთრებული ადგილი მათემატიკის სფეროშიითამაშეთ ლოგარითმები, რომლებიც დასახელდება მათი ბაზის ზომის მიხედვით:

წესები და შეზღუდვები

ლოგარითმების ფუნდამენტური თვისებაა წესი: ნამრავლის ლოგარითმი ტოლია ლოგარითმული ჯამის. log abp = log a(b) + log a(p).

ამ განცხადების ვარიანტად იქნება: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), კოეფიციენტის ფუნქცია უდრის ფუნქციების სხვაობას.

წინა ორი წესიდან ადვილად ჩანს, რომ: log a(b p) = p * log a(b).

სხვა თვისებები მოიცავს:

კომენტარი. არ არის საჭირო ჩვეულებრივი შეცდომის დაშვება - ჯამის ლოგარითმი არ არის ლოგარითმების ჯამის ტოლი.

მრავალი საუკუნის განმავლობაში, ლოგარითმის პოვნის ოპერაცია საკმაოდ შრომატევადი ამოცანა იყო. მათემატიკოსებმა გამოიყენეს ცნობილი ფორმულა ლოგარითმული თეორიამრავალწევრი გაფართოება:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), სადაც n - ბუნებრივი რიცხვი 1-ზე მეტი, რაც განსაზღვრავს გაანგარიშების სიზუსტეს.

სხვა საფუძვლებით ლოგარითმები გამოითვალეს ერთი ფუძიდან მეორეზე გადასვლის თეორემისა და პროდუქტის ლოგარითმის თვისების გამოყენებით.

ვინაიდან ეს მეთოდი ძალიან შრომატევადი და როდესაც გადაწყვეტს პრაქტიკული პრობლემები რთული განსახორციელებელი, გამოვიყენეთ ლოგარითმების წინასწარ შედგენილი ცხრილები, რამაც საგრძნობლად დააჩქარა მთელი სამუშაო.

ზოგიერთ შემთხვევაში გამოიყენებოდა სპეციალურად შექმნილი ლოგარითმის გრაფიკები, რომლებიც ნაკლებ სიზუსტეს აძლევდნენ, მაგრამ საგრძნობლად აჩქარებდნენ ძიებას. სასურველი ღირებულება. y = log a(x) ფუნქციის მრუდი, რომელიც აგებულია რამდენიმე წერტილზე, საშუალებას გაძლევთ გამოიყენოთ ჩვეულებრივი სახაზავი ფუნქციის მნიშვნელობის საპოვნელად ნებისმიერ სხვა წერტილში. ინჟინრები დიდი დროამ მიზნით გამოიყენებოდა ე.წ.

მე-17 საუკუნეში გაჩნდა პირველი დამხმარე ანალოგური გამოთვლითი პირობები, რომელიც მე-19 საუკუნედასრულებული სახე შეიძინა. ყველაზე წარმატებულ მოწყობილობას ეწოდა სლაიდის წესი. მოწყობილობის სიმარტივის მიუხედავად, მისმა გარეგნობამ მნიშვნელოვნად დააჩქარა ყველა პროცესი საინჟინრო გამოთვლებიდა ეს ძნელია გადაჭარბებული შეფასება. ამჟამად, ცოტა ადამიანი იცნობს ამ მოწყობილობას.

კალკულატორებისა და კომპიუტერების გამოჩენამ ნებისმიერი სხვა მოწყობილობის გამოყენება უაზრო გახადა.

განტოლებები და უტოლობა

გადაწყვეტილებისთვის სხვადასხვა განტოლებებიდა უტოლობები ლოგარითმების გამოყენებით, გამოიყენება შემდეგი ფორმულები:

• ერთი ბაზიდან მეორეზე გადასვლა: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• წინა ვარიანტის შედეგად: log a(b) = 1 / log b(a).

უტოლობების გადასაჭრელად სასარგებლოა ვიცოდეთ:

• ლოგარითმის მნიშვნელობა დადებითი იქნება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ბაზა და არგუმენტი ერთზე დიდი ან ნაკლებია; თუ ერთი პირობა მაინც დაირღვა, ლოგარითმის მნიშვნელობა უარყოფითი იქნება.
• თუ ლოგარითმის ფუნქცია გამოიყენება უტოლობის მარჯვენა და მარცხენა მხარეს, ხოლო ლოგარითმის ფუძე ერთზე მეტია, მაშინ უტოლობის ნიშანი შენარჩუნებულია; წინააღმდეგ შემთხვევაში იცვლება.

პრობლემების ნიმუში

განვიხილოთ ლოგარითმების გამოყენების რამდენიმე ვარიანტი და მათი თვისებები. მაგალითები განტოლებების ამოხსნით:

განვიხილოთ ლოგარითმის სიმძლავრეში მოთავსების ვარიანტი:

• ამოცანა 3. გამოთვალეთ 25^log 5(3). ამოხსნა: პრობლემის პირობებში ჩანაწერი მსგავსია (5^2)^log5(3) ან 5^(2 * log 5(3)). მოდით სხვანაირად ჩავწეროთ: 5^log 5(3*2), ან რიცხვის კვადრატი, როგორც ფუნქციის არგუმენტი, შეიძლება დაიწეროს როგორც თავად ფუნქციის კვადრატი (5^log 5(3))^2. ლოგარითმების თვისებების გამოყენებით ეს გამოხატულება უდრის 3^2. პასუხი: გაანგარიშების შედეგად ვიღებთ 9-ს.

პრაქტიკული გამოყენება

როგორც წმინდა მათემატიკური ინსტრუმენტი, ის შორს არის ნამდვილი ცხოვრებარომ ლოგარითმა მოულოდნელად შეიძინა დიდი მნიშვნელობაობიექტების აღწერისთვის რეალური სამყარო. ძნელია იპოვოთ მეცნიერება, სადაც ის არ გამოიყენება. ეს სრულად ეხება არა მხოლოდ ბუნებრივ, არამედ ჰუმანიტარულ ცოდნის სფეროებსაც.

ლოგარითმული დამოკიდებულებები

აქ მოცემულია რიცხვითი დამოკიდებულების რამდენიმე მაგალითი:

მექანიკა და ფიზიკა

ისტორიულად, მექანიკა და ფიზიკა ყოველთვის ვითარდებოდა გამოყენებით მათემატიკური მეთოდებიკვლევა და ამავდროულად ემსახურებოდა მათემატიკის, მათ შორის ლოგარითმების განვითარების სტიმულს. ფიზიკის კანონების უმეტესობის თეორია დაწერილია მათემატიკის ენაზე. მოვიყვანოთ აღწერის მხოლოდ ორი მაგალითი ფიზიკური კანონებილოგარითმის გამოყენებით.

ისეთი რთული სიდიდის გამოთვლის პრობლემა, როგორიც არის რაკეტის სიჩქარე, შეიძლება გადაწყდეს ციოლკოვსკის ფორმულის გამოყენებით, რომელმაც საფუძველი ჩაუყარა კოსმოსის კვლევის თეორიას:

V = I * ln (M1/M2), სადაც

• V არის თვითმფრინავის საბოლოო სიჩქარე.
• I - ძრავის სპეციფიკური იმპულსი.
• M 1 - რაკეტის საწყისი მასა.
• M 2 – საბოლოო მასა.

სხვა მნიშვნელოვანი მაგალითი - ეს გამოიყენება კიდევ ერთი დიდი მეცნიერის მაქს პლანკის ფორმულაში, რომელიც ემსახურება თერმოდინამიკაში წონასწორობის მდგომარეობის შეფასებას.

S = k * ln (Ω), სადაც

• S – თერმოდინამიკური თვისება.
• k – ბოლცმანის მუდმივი.
• Ω არის სხვადასხვა მდგომარეობის სტატისტიკური წონა.

Ქიმია

ნაკლებად აშკარაა ფორმულების გამოყენება ქიმიაში, რომლებიც შეიცავს ლოგარითმების თანაფარდობას. მხოლოდ ორი მაგალითი მოვიყვანოთ:

• ნერნსტის განტოლება, გარემოს რედოქსული პოტენციალის მდგომარეობა ნივთიერებების აქტივობასთან და წონასწორობის მუდმივთან მიმართებაში.
• ისეთი მუდმივების გამოთვლა, როგორიცაა ავტოლიზის ინდექსი და ხსნარის მჟავიანობა, ასევე შეუძლებელია ჩვენი ფუნქციის გარეშე.

ფსიქოლოგია და ბიოლოგია

და საერთოდ არ არის გასაგები, რა კავშირი აქვს მას ფსიქოლოგიას. გამოდის, რომ შეგრძნების სიძლიერე კარგად არის აღწერილი ამ ფუნქციით, როგორც სტიმულის ინტენსივობის მნიშვნელობის შებრუნებული თანაფარდობა ქვედა ინტენსივობის მნიშვნელობასთან.

ზემოაღნიშნული მაგალითების შემდეგ, გასაკვირი აღარ არის, რომ ლოგარითმების თემა ფართოდ გამოიყენება ბიოლოგიაში. მთელი ტომები შეიძლება დაიწეროს ლოგარითმული სპირალების შესაბამისი ბიოლოგიური ფორმების შესახებ.

სხვა სფეროები

როგორც ჩანს, სამყაროს არსებობა შეუძლებელია ამ ფუნქციასთან კავშირის გარეშე და ის მართავს ყველა კანონს. განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც ბუნების კანონები დაკავშირებულია გეომეტრიული პროგრესია. ღირს MatProfi ვებსაიტზე მიბრუნება და ასეთი მაგალითები ბევრია საქმიანობის შემდეგ სფეროებში:

სია შეიძლება იყოს უსასრულო. ამ ფუნქციის ძირითადი პრინციპების დაუფლების შემდეგ, შეგიძლიათ ჩაძიროთ უსასრულო სიბრძნის სამყაროში.

ლოგარითმები, ისევე როგორც ნებისმიერი რიცხვი, შეიძლება ყველანაირად დაემატოს, გამოკლდეს და გარდაიქმნას. მაგრამ რადგან ლოგარითმები ზუსტად არ არის რეგულარული ნომრები, აქ არის წესები, რომლებიც ე.წ ძირითადი თვისებები.

თქვენ აუცილებლად უნდა იცოდეთ ეს წესები - მათ გარეშე არც ერთი სერიოზული პრობლემის გადაჭრა შეუძლებელია. ლოგარითმული პრობლემა. გარდა ამისა, ისინი ძალიან ცოტაა - ყველაფრის სწავლა ერთ დღეში შეგიძლიათ. ასე რომ, დავიწყოთ.

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება

განვიხილოთ ორი ლოგარითმი ერთნაირი ფუძეებით: log ა xდა შესვლა ა წ. შემდეგ მათი დამატება და გამოკლება შესაძლებელია და:

1. ჟურნალი ა x+ ჟურნალი ა წ= ჟურნალი ა (x · წ);
2. ჟურნალი ა x- ჟურნალი ა წ= ჟურნალი ა (x : წ).

მაშასადამე, ლოგარითმების ჯამი ტოლია ნამრავლის ლოგარითმისა, ხოლო სხვაობა უდრის კოეფიციენტის ლოგარითმს. Შენიშვნა: საკვანძო მომენტიᲐქ - იდენტური საფუძველი. თუ მიზეზები განსხვავებულია, ეს წესები არ მუშაობს!

ეს ფორმულები დაგეხმარებათ გამოთვალოთ ლოგარითმული გამოხატულებამაშინაც კი, როცა მისი ცალკეული ნაწილები არ არის დათვლილი (იხ. გაკვეთილი „რა არის ლოგარითმი“). გადახედეთ მაგალითებს და ნახეთ:

ჟურნალი 6 4 + ჟურნალი 6 9.

ვინაიდან ლოგარითმებს აქვთ იგივე ფუძეები, ვიყენებთ ჯამის ფორმულას:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 2 48 − log 2 3.

საფუძვლები იგივეა, ჩვენ ვიყენებთ განსხვავების ფორმულას:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 3 135 − log 3 5.

ისევ ბაზები იგივეა, ამიტომ გვაქვს:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

როგორც ხედავთ, ორიგინალური გამონათქვამები შედგება "ცუდი" ლოგარითმებისგან, რომლებიც ცალკე არ არის გამოთვლილი. მაგრამ გარდაქმნების შემდეგ მიიღება სრულიად ნორმალური რიცხვები. ბევრი აგებულია ამ ფაქტზე ტესტის ფურცლები. რაც შეეხება კონტროლებს? მსგავსი გამონათქვამებიმთელი სერიოზულობით (ზოგჯერ პრაქტიკულად ცვლილებების გარეშე) სთავაზობენ ერთიან სახელმწიფო გამოცდას.

მაჩვენებლის ამოღება ლოგარითმიდან

ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება. რა მოხდება, თუ ლოგარითმის საფუძველი ან არგუმენტი არის ძალა? მაშინ ამ ხარისხის მაჩვენებლის ამოღება შესაძლებელია ლოგარითმის ნიშნიდან შემდეგი წესების მიხედვით:

ადვილი მისახვედრია, რომ ბოლო წესი პირველ ორს მიჰყვება. მაგრამ უმჯობესია დაიმახსოვროთ ის მაინც - ზოგიერთ შემთხვევაში ეს მნიშვნელოვნად შეამცირებს გამოთვლების რაოდენობას.

რა თქმა უნდა, ყველა ამ წესს აქვს აზრი, თუ შეინიშნება ლოგარითმის ODZ: ა > 0, ა ≠ 1, x> 0. და კიდევ ერთი: ისწავლეთ ყველა ფორმულის გამოყენება არა მარტო მარცხნიდან მარჯვნივ, არამედ პირიქით, ე.ი. თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ რიცხვები ლოგარითმის ნიშანიმდე ლოგარითმში. ეს არის ის, რაც ყველაზე ხშირად საჭიროა.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 7 49 6 .

მოდით, თავი დავაღწიოთ არგუმენტის ხარისხს პირველი ფორმულის გამოყენებით:
ჟურნალი 7 49 6 = 6 ჟურნალი 7 49 = 6 2 = 12

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

[წარწერა სურათზე]

გაითვალისწინეთ, რომ მნიშვნელი შეიცავს ლოგარითმს, რომლის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი ხარისხებია: 16 = 2 4; 49 = 7 2. Ჩვენ გვაქვს:

ვფიქრობ, რომ ბოლო მაგალითისაჭიროა დაზუსტება. სად წავიდა ლოგარითმები? ბოლო მომენტამდე ჩვენ ვმუშაობთ მხოლოდ მნიშვნელით. იქ მდგომი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი წარვადგინეთ სიმძლავრეების სახით და ამოვიღეთ მაჩვენებლები - მივიღეთ „სამსართულიანი“ წილადი.

ახლა გადავხედოთ ძირითად წილადს. მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს ერთსა და იმავე რიცხვს: log 2 7. ვინაიდან log 2 7 ≠ 0, შეგვიძლია შევამციროთ წილადი - 2/4 დარჩება მნიშვნელში. არითმეტიკის წესების მიხედვით, ოთხი შეიძლება გადავიდეს მრიცხველზე, რაც გაკეთდა. შედეგი იყო პასუხი: 2.

ახალ საძირკველზე გადასვლა

ლოგარითმების შეკრების და გამოკლების წესებზე საუბრისას, მე კონკრეტულად ხაზგასმით აღვნიშნე, რომ ისინი მუშაობენ მხოლოდ ერთი და იგივე ფუძეებით. რა მოხდება, თუ მიზეზები განსხვავებულია? რა მოხდება, თუ ისინი არ არიან იგივე რიცხვის ზუსტი სიმძლავრეები?

ახალ საძირკველზე გადასვლის ფორმულები სამაშველოში მოდის. მოდით ჩამოვაყალიბოთ ისინი თეორემის სახით:

მიეცეს ლოგარითმის ჟურნალი ა x. შემდეგ ნებისმიერი ნომრისთვის გისეთივე როგორც გ> 0 და გ≠ 1, ტოლობა მართალია:

[წარწერა სურათზე]

კერძოდ, თუ დავაყენებთ გ = x, ვიღებთ:

[წარწერა სურათზე]

მეორე ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი შეიძლება შეიცვალოს, მაგრამ ამ შემთხვევაში მთელი გამოთქმა „გადატრიალებულია“, ე.ი. ლოგარითმი გამოჩნდება მნიშვნელში.

ეს ფორმულები იშვიათად გვხვდება ჩვეულებრივში რიცხვითი გამონათქვამები. შესაძლებელია შეაფასოთ რამდენად მოსახერხებელია ისინი მხოლოდ გადაწყვეტილებით ლოგარითმული განტოლებებიდა უთანასწორობები.

თუმცა არის პრობლემები, რომელთა მოგვარებაც საერთოდ შეუძლებელია, გარდა ახალ ფონდში გადასვლისა. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მათგანს:

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 5 16 log 2 25.

გაითვალისწინეთ, რომ ორივე ლოგარითმის არგუმენტები შეიცავს ზუსტ ძალას. ამოვიღოთ ინდიკატორები: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; ჟურნალი 2 25 = ჟურნალი 2 5 2 = 2ლოგი 2 5;

ახლა მოდით "შევუბრუნდეთ" მეორე ლოგარითმს:

ვინაიდან პროდუქტი არ იცვლება ფაქტორების გადაწყობისას, ჩვენ მშვიდად გავამრავლეთ ოთხი და ორი, შემდეგ კი ლოგარითმებს მივმართეთ.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 9 100 lg 3.

პირველი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი სიმძლავრეებია. მოდით დავწეროთ ეს და მოვიშოროთ ინდიკატორები:

ახლა მოდით დავაღწიოთ ათობითი ლოგარითმი ახალ ბაზაზე გადასვლით:

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

ხშირად ამოხსნის პროცესში აუცილებელია რიცხვის ლოგარითმის სახით წარმოდგენა მოცემულ ბაზაზე. ამ შემთხვევაში შემდეგი ფორმულები დაგვეხმარება:

პირველ შემთხვევაში, ნომერი ნხდება არგუმენტში მდგომი ხარისხის მაჩვენებელი. ნომერი ნშეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი, რადგან ეს მხოლოდ ლოგარითმის მნიშვნელობაა.

მეორე ფორმულა რეალურად არის პერიფრაზირებული განმარტება. ასე ჰქვია: ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა.

ფაქტობრივად, რა მოხდება, თუ ნომერი ბაიყვანეთ ისეთ ძალამდე, რომ რიცხვი ბამ ძალას აძლევს რიცხვს ა? ეს მართალია: თქვენ მიიღებთ იმავე რიცხვს ა. კიდევ ერთხელ ყურადღებით წაიკითხეთ ეს აბზაცი - ბევრი ადამიანი ჩერდება მასზე.

ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულების მსგავსად, ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა ზოგჯერ ერთადერთი შესაძლო გამოსავალია.

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

[წარწერა სურათზე]

გაითვალისწინეთ, რომ log 25 64 = log 5 8 - უბრალოდ აიღო კვადრატი ლოგარითმის ფუძიდან და არგუმენტიდან. ძალაუფლების გამრავლების წესების გათვალისწინებით იგივე საფუძველი, ვიღებთ:

თუ ვინმემ არ იცის, ეს იყო რეალური დავალება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან :)

ლოგარითმული ერთეული და ლოგარითმული ნული

დასასრულს, მე მივცემ ორ იდენტობას, რომლებსაც ძნელად შეიძლება ვუწოდოთ თვისებები - უფრო მეტიც, ისინი ლოგარითმის განსაზღვრის შედეგებია. ისინი გამუდმებით ჩნდებიან პრობლემებში და, რა გასაკვირია, პრობლემებს უქმნიან თუნდაც „მოწინავე“ მოსწავლეებს.

1. ჟურნალი ა ა= 1 არის ლოგარითმული ერთეული. ერთხელ და სამუდამოდ გახსოვდეთ: ლოგარითმი ნებისმიერ ბაზაზე ასწორედ ამ ფუძიდან უდრის ერთს.
2. ჟურნალი ა 1 = 0 არის ლოგარითმული ნული. ბაზა აშეიძლება იყოს ნებისმიერი, მაგრამ თუ არგუმენტი შეიცავს ერთს, ლოგარითმი ნულის ტოლია! იმიტომ რომ ა 0 = 1 არის პირდაპირი შედეგიგანმარტებიდან.

ეს არის ყველა თვისება. დარწმუნდით, რომ ივარჯიშეთ მათ პრაქტიკაში! ჩამოტვირთეთ მოტყუების ფურცელი გაკვეთილის დასაწყისში, ამობეჭდეთ და მოაგვარეთ პრობლემები.