როგორ გამოვთვალოთ არითმეტიკული პროგრესიის ფორმულა. არითმეტიკული პროგრესია: რა არის ეს? პროგრესის განსხვავება: განმარტება

ან არითმეტიკა არის მოწესრიგებული რიცხვითი მიმდევრობის სახეობა, რომლის თვისებები შეისწავლება სასკოლო ალგებრის კურსში. ეს სტატია დეტალურად განიხილავს კითხვას, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი.

რა სახის პროგრესია ეს?

სანამ კითხვაზე გადავიდოდეთ (როგორ ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი), ღირს იმის გაგება, რაზეც ვსაუბრობთ.

რეალური რიცხვების ნებისმიერ თანმიმდევრობას, რომელიც მიიღება ყოველი წინა რიცხვის გარკვეული მნიშვნელობის მიმატებით (გამოკლებით), ეწოდება ალგებრული (არითმეტიკული) პროგრესია. ეს განმარტება, როდესაც ითარგმნება მათემატიკურ ენაზე, იღებს ფორმას:

აქ i არის a i მწკრივის ელემენტის სერიული ნომერი. ამრიგად, მხოლოდ ერთი საწყისი ნომრის ცოდნით, შეგიძლიათ მარტივად აღადგინოთ მთელი სერია. პარამეტრს d ფორმულაში ეწოდება პროგრესირების განსხვავება.

მარტივად შეიძლება აჩვენოს, რომ განსახილველი რიცხვების სერიისთვის მოქმედებს შემდეგი ტოლობა:

a n = a 1 + d * (n - 1).

ანუ n-ე ელემენტის მნიშვნელობის თანმიმდევრობით საპოვნელად, პირველ ელემენტს a უნდა დაამატოთ განსხვავება d 1 n-1 ჯერ.

რა არის არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი: ფორმულა

მითითებული თანხის ფორმულის მიცემამდე, ღირს მარტივი განსაკუთრებული შემთხვევის განხილვა. ნატურალური რიცხვების პროგრესირების გათვალისწინებით 1-დან 10-მდე, თქვენ უნდა იპოვოთ მათი ჯამი. ვინაიდან პროგრესში (10) რამდენიმე ტერმინია, შესაძლებელია პრობლემის უშუალოდ გადაჭრა, ანუ შეჯამება ყველა ელემენტის თანმიმდევრობით.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

ღირს ერთი საინტერესო რამის გათვალისწინება: ვინაიდან ყოველი ტერმინი განსხვავდება მომდევნოდან ერთი და იგივე მნიშვნელობით d = 1, მაშინ პირველის მეათესთან, მეორის მეცხრესთან და ა.შ. ნამდვილად:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

როგორც ხედავთ, ამ ჯამებიდან მხოლოდ 5 არის, ანუ ზუსტად ორჯერ ნაკლებია სერიის ელემენტების რაოდენობაზე. შემდეგ ჯამების რაოდენობა (5) გავამრავლოთ თითოეული ჯამის (11) შედეგზე, მიიღებთ პირველ მაგალითში მიღებულ შედეგს.

თუ განვაზოგადებთ ამ არგუმენტებს, შეგვიძლია დავწეროთ შემდეგი გამოთქმა:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

ეს გამოთქმა გვიჩვენებს, რომ სულაც არ არის აუცილებელი ყველა ელემენტის ზედიზედ შეჯამება; საკმარისია იცოდეთ პირველი a 1-ის და ბოლო a n-ის მნიშვნელობა, ისევე როგორც n ტერმინების საერთო რაოდენობა.

ითვლება, რომ გაუსმა პირველად მოიფიქრა ეს თანასწორობა, როდესაც ის ეძებდა გამოსავალს მისი სკოლის მასწავლებლის მიერ მოცემული პრობლემის შესახებ: შეაჯამეთ პირველი 100 მთელი რიცხვი.

ელემენტების ჯამი m-დან n-მდე: ფორმულა

წინა აბზაცში მოცემული ფორმულა პასუხობს კითხვას, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი (პირველი ელემენტები), მაგრამ ხშირად ამოცანებში აუცილებელია რიცხვების რიგის შეჯამება პროგრესიის შუაში. Როგორ გავაკეთო ეს?

ამ კითხვაზე პასუხის გაცემის უმარტივესი გზაა შემდეგი მაგალითის გათვალისწინება: მოდით, საჭირო იყოს ტერმინების ჯამის პოვნა m-დან n-მდე. პრობლემის გადასაჭრელად თქვენ უნდა წარმოადგინოთ პროგრესიის მოცემული სეგმენტი m-დან n-მდე ახალი რიცხვითი სერიის სახით. ამ წარმოდგენაში m-ის წევრი a m იქნება პირველი და a n იქნება დანომრილი n-(m-1). ამ შემთხვევაში, ჯამის სტანდარტული ფორმულის გამოყენებით, მიიღება შემდეგი გამოხატულება:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

ფორმულების გამოყენების მაგალითი

იმის ცოდნა, თუ როგორ უნდა იპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი, ღირს ზემოთ ჩამოთვლილი ფორმულების გამოყენების მარტივი მაგალითის გათვალისწინება.

ქვემოთ მოცემულია რიცხვითი თანმიმდევრობა, თქვენ უნდა იპოვოთ მისი წევრთა ჯამი, დაწყებული მე-5-დან და დამთავრებული მე-12-ით:

მოცემული რიცხვები მიუთითებს, რომ სხვაობა d უდრის 3-ს. n-ე ელემენტის გამოხატვის გამოყენებით შეგიძლიათ იპოვოთ პროგრესიის მე-5 და მე-12 წევრთა მნიშვნელობები. გამოდის:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

იმის ცოდნა, თუ რა რიცხვებია განხილული ალგებრული პროგრესიის ბოლოებში, ასევე იმის ცოდნა, თუ რა რიცხვებს იკავებენ ისინი, შეგიძლიათ გამოიყენოთ წინა აბზაცში მიღებული ჯამის ფორმულა. გამოვა:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

აღსანიშნავია, რომ ამ მნიშვნელობის მიღება სხვაგვარად შეიძლებოდა: ჯერ იპოვეთ პირველი 12 ელემენტის ჯამი სტანდარტული ფორმულის გამოყენებით, შემდეგ გამოთვალეთ პირველი 4 ელემენტის ჯამი იმავე ფორმულით, შემდეგ გამოაკლეთ მეორე პირველ ჯამს.

მაშ, დავჯდეთ და დავიწყოთ რამდენიმე რიცხვის წერა. Მაგალითად:
თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი რიცხვი და შეიძლება იყოს იმდენი, რამდენიც გსურთ (ჩვენს შემთხვევაში, არის ისინი). რამდენი რიცხვიც არ უნდა დავწეროთ, ყოველთვის შეგვიძლია ვთქვათ, რომელია პირველი, რომელი მეორე და ასე შემდეგ ბოლომდე, ანუ შეგვიძლია მათი დათვლა. ეს არის რიცხვების თანმიმდევრობის მაგალითი:

რიცხვების თანმიმდევრობა
მაგალითად, ჩვენი თანმიმდევრობისთვის:

მინიჭებული ნომერი სპეციფიკურია თანმიმდევრობით მხოლოდ ერთი ნომრისთვის. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მიმდევრობაში არ არის სამი მეორე რიცხვი. მეორე რიცხვი (ისევე როგორც მეთე რიცხვი) ყოველთვის იგივეა.
რიცხვთან ერთად რიცხვს მიმდევრობის მე-თე წევრი ეწოდება.

ჩვენ ჩვეულებრივ მთელ მიმდევრობას ვუწოდებთ რაღაც ასოს (მაგალითად,) და ამ მიმდევრობის თითოეული წევრი არის იგივე ასო, რომლის ინდექსი ტოლია ამ წევრის რიცხვის: .

ჩვენს შემთხვევაში:

ვთქვათ, გვაქვს რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე რიცხვებს შორის იგივე და ტოლია.
Მაგალითად:

და ა.შ.
ამ რიცხვთა თანმიმდევრობას არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება.
ტერმინი „პროგრესია“ შემოიღო რომაელმა ავტორმა ბოეთიუსმა ჯერ კიდევ მე-6 საუკუნეში და ფართო გაგებით გაიგო, როგორც უსასრულო რიცხვითი თანმიმდევრობა. სახელწოდება „არითმეტიკა“ გადავიდა უწყვეტი პროპორციების თეორიიდან, რომელსაც სწავლობდნენ ძველი ბერძნები.

ეს არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის თითოეული წევრი უდრის იმავე რიცხვს დამატებულ წინას. ამ რიცხვს ეწოდება არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა და მითითებულია.

შეეცადეთ დაადგინოთ, რომელი რიცხვის მიმდევრობაა არითმეტიკული პროგრესია და რომელი არა:

ა)
ბ)
გ)
დ)

Გავიგე? მოდით შევადაროთ ჩვენი პასუხები:
არისარითმეტიკული პროგრესია - b, c.
Არ არისარითმეტიკული პროგრესია - ა, დ.

დავუბრუნდეთ მოცემულ პროგრესიას () და ვეცადოთ ვიპოვოთ მისი მე-ე წევრის მნიშვნელობა. არსებობს ორიმისი პოვნის გზა.

1. მეთოდი

ჩვენ შეგვიძლია დავამატოთ პროგრესიის ნომერი წინა მნიშვნელობას მანამ, სანამ არ მივაღწევთ პროგრესიის მე-6 ტერმინს. კარგია, რომ ბევრი რამ არ გვაქვს შესაჯამებელი - მხოლოდ სამი მნიშვნელობა:

ასე რომ, აღწერილი არითმეტიკული პროგრესიის მე-1 წევრი უდრის.

2. მეთოდი

რა მოხდება, თუ გვჭირდებოდა პროგრესიის მე-ე ტერმინის მნიშვნელობის პოვნა? შეჯამება ერთ საათზე მეტს დაგვჭირდება და ფაქტი არ არის, რომ რიცხვების შეკრებისას შეცდომას არ დავუშვებთ.
რა თქმა უნდა, მათემატიკოსებმა მოიგონეს გზა, რომლითაც არ არის აუცილებელი არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობის დამატება წინა მნიშვნელობაზე. დააკვირდით დახატულ სურათს... რა თქმა უნდა, თქვენ უკვე შენიშნეთ გარკვეული ნიმუში, კერძოდ:

მაგალითად, ვნახოთ, რას მოიცავს ამ არითმეტიკული პროგრესიის მე-ე წევრის მნიშვნელობა:


Სხვა სიტყვებით:

ეცადეთ, ამ გზით თავად იპოვოთ მოცემული არითმეტიკული პროგრესიის წევრის მნიშვნელობა.

გამოთვალეთ? შეადარეთ თქვენი შენიშვნები პასუხთან:

გთხოვთ, გაითვალისწინოთ, რომ თქვენ მიიღეთ ზუსტად იგივე რიცხვი, რაც წინა მეთოდში, როდესაც ჩვენ თანმიმდევრულად დავამატეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირობები წინა მნიშვნელობას.
შევეცადოთ ამ ფორმულის „დეპერსონალიზაცია“ - მოდი დავდოთ იგი ზოგადი ფორმით და მივიღოთ:

არითმეტიკული პროგრესიები შეიძლება იყოს მზარდი ან კლებადი.

მზარდი- პროგრესები, რომლებშიც ტერმინების ყოველი მომდევნო მნიშვნელობა წინაზე მეტია.
Მაგალითად:

Დაღმავალი- პროგრესები, რომლებშიც ტერმინების ყოველი მომდევნო მნიშვნელობა წინაზე ნაკლებია.
Მაგალითად:

მიღებული ფორმულა გამოიყენება არითმეტიკული პროგრესიის როგორც მზარდი, ისე კლებადი ტერმინების გამოთვლაში.
მოდით შევამოწმოთ ეს პრაქტიკაში.
ჩვენ გვეძლევა არითმეტიკული პროგრესია, რომელიც შედგება შემდეგი რიცხვებისგან: მოდით შევამოწმოთ რა იქნება ამ არითმეტიკული პროგრესიის მეათე რიცხვი, თუ გამოვიყენებთ ჩვენს ფორმულას მის გამოსათვლელად:

Მას შემდეგ:

ამრიგად, ჩვენ დარწმუნებულები ვართ, რომ ფორმულა მოქმედებს როგორც შემცირების, ისე გაზრდის არითმეტიკული პროგრესიის დროს.
შეეცადეთ თავად იპოვოთ ამ არითმეტიკული პროგრესიის მე-4 პუნქტები.

შევადაროთ შედეგები:

არითმეტიკული პროგრესიის თვისება

გავართულოთ პრობლემა - გამოვიყვანთ არითმეტიკული პროგრესიის თვისებას.
ვთქვათ, გვაქვს შემდეგი პირობა:
- არითმეტიკული პროგრესია, იპოვნეთ მნიშვნელობა.
მარტივია, ამბობ და იწყებ დათვლას უკვე ნაცნობი ფორმულის მიხედვით:

მოდით, აჰ, მაშინ:

Აბსოლუტურად სწორი. გამოდის, რომ ჯერ ვპოულობთ, შემდეგ ვამატებთ პირველ რიცხვს და ვიღებთ იმას, რასაც ვეძებთ. თუ პროგრესია წარმოდგენილია მცირე მნიშვნელობებით, მაშინ ამაში არაფერია რთული, მაგრამ რა მოხდება, თუ პირობით რიცხვებს მივიღებთ? გეთანხმებით, არის გამოთვლებში შეცდომის დაშვების შესაძლებლობა.
ახლა დაფიქრდით, შესაძლებელია თუ არა ამ პრობლემის გადაჭრა რომელიმე ფორმულით ერთი ნაბიჯით? რა თქმა უნდა, დიახ, და ეს არის ის, რისი გარკვევასაც ახლა შევეცდებით.

მოდი აღვნიშნოთ არითმეტიკული პროგრესიის საჭირო ტერმინი, როგორც ჩვენთვის ცნობილია მისი პოვნის ფორმულა - ეს არის იგივე ფორმულა, რაც თავიდან გამოვიყვანეთ:
, შემდეგ:

• პროგრესის წინა ვადა არის:
• პროგრესის შემდეგი ტერმინი არის:

მოდით შევაჯამოთ პროგრესის წინა და შემდგომი პირობები:

გამოდის, რომ პროგრესიის წინა და შემდგომი პუნქტების ჯამი არის მათ შორის მდებარე პროგრესიის ტერმინის ორმაგი მნიშვნელობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პროგრესული ტერმინის მნიშვნელობის საპოვნელად ცნობილი წინა და თანმიმდევრული მნიშვნელობებით, თქვენ უნდა დაამატოთ ისინი და გაყოთ.

მართალია, იგივე ნომერი მივიღეთ. დავიცავთ მასალას. თავად გამოთვალეთ პროგრესის ღირებულება, ეს სულაც არ არის რთული.

კარგად გააკეთე! თქვენ თითქმის ყველაფერი იცით პროგრესის შესახებ! რჩება მხოლოდ ერთი ფორმულის გარკვევა, რომელიც, ლეგენდის თანახმად, ადვილად გამოიტანა ყველა დროის ერთ-ერთმა უდიდესმა მათემატიკოსმა, „მათემატიკოსთა მეფემ“ - კარლ გაუსმა...

როდესაც კარლ გაუსი 9 წლის იყო, მასწავლებელმა, რომელიც დაკავებული იყო სხვა კლასებში მოსწავლეების მუშაობის შემოწმებით, კლასში დაავალა შემდეგი დავალება: „გამოთვალეთ ყველა ნატურალური რიცხვის ჯამი (სხვა წყაროების მიხედვით) ინკლუზივიდან“. წარმოიდგინეთ მასწავლებლის გაოცება, როდესაც მისმა ერთ-ერთმა მოსწავლემ (ეს იყო კარლ გაუსმა) ერთი წუთის შემდეგ სწორი პასუხი გასცა დავალებას, მაშინ როცა გაბედულის თანაკლასელების უმეტესობამ, ხანგრძლივი გათვლების შემდეგ, არასწორი შედეგი მიიღო...

ახალგაზრდა კარლ გაუსმა შენიშნა გარკვეული ნიმუში, რომელსაც თქვენც ადვილად შეამჩნევთ.
ვთქვათ, გვაქვს არითმეტიკული პროგრესია, რომელიც შედგება -ე ტერმინებისგან: ჩვენ უნდა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის ამ წევრთა ჯამი. რა თქმა უნდა, ჩვენ შეგვიძლია ხელით შევაჯამოთ ყველა მნიშვნელობა, მაგრამ რა მოხდება, თუ დავალება მოითხოვს მისი ტერმინების ჯამის პოვნას, როგორც ამას გაუსი ეძებდა?

მოდით გამოვსახოთ ჩვენთვის მოცემული პროგრესი. დააკვირდით მონიშნულ რიცხვებს და შეეცადეთ მათთან ერთად შეასრულოთ სხვადასხვა მათემატიკური მოქმედებები.


სცადე? რა შეამჩნიე? უფლება! მათი ჯამები ტოლია

ახლა მითხარი, სულ რამდენი ასეთი წყვილია ჩვენთვის მოცემულ პროგრესში? რა თქმა უნდა, ყველა რიცხვის ზუსტად ნახევარი, ანუ.
იქიდან გამომდინარე, რომ არითმეტიკული პროგრესიის ორი წევრის ჯამი ტოლია და მსგავსი წყვილები ტოლია, მივიღებთ, რომ ჯამი უდრის:
.
ამრიგად, ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრთა ჯამის ფორმულა იქნება:

ზოგიერთ პრობლემაში ჩვენ არ ვიცით ტერმინი, მაგრამ ვიცით პროგრესირების განსხვავება. შეეცადეთ ჩაანაცვლოთ მეათე წევრის ფორმულა ჯამის ფორმულით.
Რა მიიღე?

კარგად გააკეთე! ახლა დავუბრუნდეთ პრობლემას, რომელიც დაუსვეს კარლ გაუსს: თავად გამოთვალეთ, თუ რის ტოლია th-დან დაწყებული რიცხვების ჯამი და th-დან დაწყებული რიცხვების ჯამი.

რამდენი მიიღეთ?
გაუსმა აღმოაჩინა, რომ ტერმინების ჯამი ტოლია და წევრთა ჯამი. ასე გადაწყვიტე?

სინამდვილეში, არითმეტიკული პროგრესიის ტერმინების ჯამის ფორმულა დაამტკიცა ძველმა ბერძენმა მეცნიერმა დიოფანტმა ჯერ კიდევ მე-3 საუკუნეში და მთელი ამ ხნის განმავლობაში მახვილგონივრული ადამიანები სრულად იყენებდნენ არითმეტიკული პროგრესიის თვისებებს.
მაგალითად, წარმოიდგინეთ ძველი ეგვიპტე და იმ დროის უდიდესი სამშენებლო პროექტი - პირამიდის მშენებლობა... სურათზე ჩანს მისი ერთი მხარე.

სად არის აქ პროგრესი, თქვენ ამბობთ? დააკვირდით და იპოვეთ ნიმუში პირამიდის კედლის თითოეულ რიგში ქვიშის ბლოკების რაოდენობაში.


რატომ არა არითმეტიკული პროგრესია? გამოთვალეთ რამდენი ბლოკია საჭირო ერთი კედლის ასაშენებლად, თუ ბლოკის აგური მოთავსებულია ბაზაზე. იმედი მაქვს, მონიტორზე თითის გადაადგილებისას არ ითვლით, გახსოვთ ბოლო ფორმულა და ყველაფერი, რაც ვთქვით არითმეტიკული პროგრესიის შესახებ?

ამ შემთხვევაში პროგრესი ასე გამოიყურება: .
არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.
არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა რაოდენობა.
მოდით ჩავანაცვლოთ ჩვენი მონაცემები ბოლო ფორმულებში (გამოვთვალოთ ბლოკების რაოდენობა 2 გზით).

მეთოდი 1.

მეთოდი 2.

ახლა კი შეგიძლიათ მონიტორზე გამოთვალოთ: შეადარეთ მიღებული მნიშვნელობები ჩვენს პირამიდაში არსებული ბლოკების რაოდენობასთან. Გავიგე? კარგია, თქვენ აითვისეთ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრთა ჯამი.
რა თქმა უნდა, თქვენ არ შეგიძლიათ პირამიდის აშენება ბაზაზე არსებული ბლოკებისგან, მაგრამ? შეეცადეთ გამოთვალოთ რამდენი ქვიშის აგურია საჭირო ამ პირობით კედლის ასაშენებლად.
მოახერხე?
სწორი პასუხი არის ბლოკები:

ტრენინგი

Დავალებები:

1. მაშა ზაფხულისთვის ფორმაში დგება. ყოველდღე ის ზრდის ჩაჯდომების რაოდენობას. რამდენჯერ გააკეთებს მაშა ჩაჯდომას კვირაში, თუ პირველ ვარჯიშზე ჯდება?
2. რა არის ყველა კენტი რიცხვის ჯამი, რომელიც შეიცავს.
3. ლოგების შენახვისას, ლოგერები აწყობენ მათ ისე, რომ ყოველი ზედა ფენა შეიცავს წინაზე ერთი ჟურნალის ნაკლებს. რამდენი მორი არის ერთ ქვისა, თუ ქვისა საფუძველი არის მორები?

პასუხები:

1. მოდით განვსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესიის პარამეტრები. Ამ შემთხვევაში
   (კვირები = დღეები).

   პასუხი:ორ კვირაში, მაშამ უნდა გააკეთოს squats დღეში ერთხელ.

2. პირველი კენტი რიცხვი, ბოლო რიცხვი.
   არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.
   კენტი რიცხვების რაოდენობა ნახევარშია, თუმცა, მოდით შევამოწმოთ ეს ფაქტი არითმეტიკული პროგრესიის მეათე წევრის ფორმულის გამოყენებით:

   რიცხვები შეიცავს კენტ რიცხვებს.
   მოდით ჩავანაცვლოთ არსებული მონაცემები ფორმულაში:

   პასუხი:ყველა კენტი რიცხვის ჯამი ტოლია.

3. გავიხსენოთ პრობლემა პირამიდების შესახებ. ჩვენს შემთხვევაში, a, რადგან თითოეული ზედა ფენა მცირდება ერთი ჟურნალით, მაშინ მთლიანობაში არის ფენების თაიგული, ანუ.
   მოდით ჩავანაცვლოთ მონაცემები ფორმულაში:

   პასუხი:ქვისა მორებია.

მოდით შევაჯამოთ

1. - რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე რიცხვებს შორის არის იგივე და ტოლი. ის შეიძლება გაიზარდოს ან შემცირდეს.
2. ფორმულის პოვნაარითმეტიკული პროგრესიის მე-1 წევრი იწერება ფორმულით - , სადაც არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესიაში.
3. არითმეტიკული პროგრესიის წევრების თვისება- - სად არის პროგრესირებადი რიცხვების რაოდენობა.
4. არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამიშეიძლება მოიძებნოს ორი გზით:
   
   , სადაც არის მნიშვნელობების რაოდენობა.

არითმეტიკული პროგრესია. საშუალო დონე

რიცხვების თანმიმდევრობა

დავჯდეთ და დავიწყოთ რამდენიმე რიცხვის წერა. Მაგალითად:

თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი რიცხვი და შეიძლება იყოს იმდენი, რამდენიც გსურთ. მაგრამ ყოველთვის შეგვიძლია ვთქვათ, რომელია პირველი, რომელი მეორე და ასე შემდეგ, ანუ შეგვიძლია მათი დათვლა. ეს არის რიცხვების მიმდევრობის მაგალითი.

რიცხვების თანმიმდევრობაარის რიცხვების ნაკრები, რომელთაგან თითოეულს შეიძლება მიენიჭოს უნიკალური ნომერი.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თითოეული რიცხვი შეიძლება დაკავშირებული იყოს გარკვეულ ბუნებრივ რიცხვთან და უნიკალურთან. და ჩვენ არ მივანიჭებთ ამ ნომერს ამ ნაკრებიდან არცერთ სხვა ნომერს.

რიცხვით რიცხვს უწოდებენ მიმდევრობის მე-ა წევრს.

ჩვენ ჩვეულებრივ მთელ მიმდევრობას ვუწოდებთ რაღაც ასოს (მაგალითად,) და ამ მიმდევრობის თითოეული წევრი არის იგივე ასო, რომლის ინდექსი ტოლია ამ წევრის რიცხვის: .

ძალიან მოსახერხებელია, თუ მიმდევრობის მეათე ტერმინი შეიძლება განისაზღვროს რაიმე ფორმულით. მაგალითად, ფორმულა

ადგენს თანმიმდევრობას:

და ფორმულა არის შემდეგი თანმიმდევრობა:

მაგალითად, არითმეტიკული პროგრესია არის თანმიმდევრობა (პირველი წევრი აქ ტოლია და განსხვავება არის). ან (, განსხვავება).

n-ე ტერმინის ფორმულა

ჩვენ ვუწოდებთ ფორმულას მორეციდივე, რომელშიც, იმისათვის, რომ გაიგოთ ტერმინი, თქვენ უნდა იცოდეთ წინა ან რამდენიმე წინა:

ამ ფორმულის გამოყენებით, მაგალითად, პროგრესიის მეათე წევრის საპოვნელად, უნდა გამოვთვალოთ წინა ცხრა. მაგალითად, ნება მიეცით. შემდეგ:

აბა, ახლა გასაგებია, რა ფორმულაა?

თითოეულ სტრიქონში ჩვენ ვამატებთ, გამრავლებული რაღაც რიცხვზე. Რომელი? ძალიან მარტივია: ეს არის ამჟამინდელი წევრის რიცხვი მინუს:

ახლა ბევრად უფრო მოსახერხებელია, არა? ჩვენ ვამოწმებთ:

თავად გადაწყვიტე:

არითმეტიკული პროგრესიით იპოვეთ n-ე წევრის ფორმულა და იპოვეთ მეასე წევრი.

გამოსავალი:

პირველი ვადა თანაბარია. Რა არის განსხვავება? აი რა:

(ამიტომ უწოდებენ მას განსხვავებას, რადგან უდრის პროგრესიის თანმიმდევრული ტერმინების სხვაობას).

ასე რომ, ფორმულა:

მაშინ მეასე წევრი უდრის:

რა არის ყველა ნატურალური რიცხვის ჯამი დან?

ლეგენდის თანახმად, დიდმა მათემატიკოსმა კარლ გაუსმა, როგორც 9 წლის ბიჭმა, რამდენიმე წუთში გამოთვალა ეს თანხა. მან შეამჩნია, რომ პირველი და ბოლო რიცხვების ჯამი ტოლია, მეორეს და წინაბოლოების ჯამი იგივეა, ბოლოდან მესამე და მე-3-ის ჯამი იგივეა და ა.შ. სულ რამდენი ასეთი წყვილია? მართალია, ყველა რიცხვის ზუსტად ნახევარი, ანუ. Ისე,

ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრთა ჯამის ზოგადი ფორმულა იქნება:

მაგალითი:
იპოვეთ ყველა ორნიშნა ჯერადი ჯამი.

გამოსავალი:

პირველი ასეთი რიცხვია. ყოველი მომდევნო რიცხვი მიიღება წინა რიცხვის დამატებით. ამრიგად, რიცხვები, რომლებიც ჩვენ გვაინტერესებს, ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას პირველი წევრით და სხვაობით.

ამ პროგრესირების ტერმინის ფორმულა:

რამდენი ტერმინია პროგრესიაში, თუ ისინი ყველა ორნიშნა უნდა იყოს?

ძალიან ადვილია:.

პროგრესირების ბოლო ვადა თანაბარი იქნება. შემდეგ ჯამი:

პასუხი:.

ახლა თავად გადაწყვიტე:

1. ყოველდღე სპორტსმენი გარბის უფრო მეტ მეტრს, ვიდრე წინა დღეს. სულ რამდენ კილომეტრს გაივლის კვირაში, თუ პირველ დღეს კმ მ გაირბინა?
2. ველოსიპედისტი ყოველდღე უფრო მეტ კილომეტრს გადის, ვიდრე წინა დღეს. პირველ დღეს მან გაიარა კმ. რამდენი დღე სჭირდება მას კილომეტრის გასავლელად? რამდენ კილომეტრს გაივლის ის მოგზაურობის ბოლო დღეს?
3. მაღაზიაში მაცივრის ფასი ყოველწლიურად ამდენივე მცირდება. დაადგინეთ, რამდენად იკლებს მაცივრის ფასი ყოველწლიურად, თუ გაყიდვაში რუბლებში იყო გამოტანილი, ექვსი წლის შემდეგ ის გაიყიდა რუბლებში.

პასუხები:

1. აქ ყველაზე მნიშვნელოვანი არის არითმეტიკული პროგრესიის ამოცნობა და მისი პარამეტრების დადგენა. ამ შემთხვევაში, (კვირები = დღეები). თქვენ უნდა განსაზღვროთ ამ პროგრესიის პირველი ტერმინების ჯამი:
   .
   პასუხი:
2. აქ მოცემულია: , უნდა მოიძებნოს.
   ცხადია, თქვენ უნდა გამოიყენოთ იგივე ჯამის ფორმულა, როგორც წინა პრობლემაში:
   .
   შეცვალეთ მნიშვნელობები:

   ფესვი აშკარად არ ჯდება, ამიტომ პასუხი არის.
   გამოვთვალოთ ბოლო დღის განმავლობაში გავლილი გზა მე-ე წევრის ფორმულით:
   (კმ).
   პასუხი:

3. მოცემული: . იპოვეთ:.
   ეს არ შეიძლება იყოს უფრო მარტივი:
   (რუბში).
   პასუხი:

არითმეტიკული პროგრესია. მოკლედ მთავარის შესახებ

ეს არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე რიცხვებს შორის არის იგივე და ტოლი.

არითმეტიკული პროგრესია შეიძლება იყოს მზარდი () და კლებადი ().

Მაგალითად:

არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის პოვნის ფორმულა

იწერება ფორმულით, სადაც არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესირებაში.

არითმეტიკული პროგრესიის წევრების თვისება

ის საშუალებას გაძლევთ მარტივად იპოვოთ პროგრესიის ტერმინი, თუ ცნობილია მისი მეზობელი ტერმინები - სად არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესიაში.

არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამი

თანხის პოვნის ორი გზა არსებობს:

სად არის მნიშვნელობების რაოდენობა.

სად არის მნიშვნელობების რაოდენობა.

დარჩენილი 2/3 სტატია ხელმისაწვდომია მხოლოდ YOUCLEVER სტუდენტებისთვის!

გახდი YouClever-ის სტუდენტი,

მოემზადეთ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის ან მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის „თვეში ერთი ფინჯანი ყავის“ ფასად.

ასევე მიიღეთ შეუზღუდავი წვდომა "YouClever" სახელმძღვანელოზე, "100gia" მოსამზადებელ პროგრამაზე (გამხსნელის წიგნი), შეუზღუდავი საცდელი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა, 6000 პრობლემა გადაწყვეტილებების ანალიზთან და სხვა YouClever და 100gia სერვისებზე.

მათემატიკაში რიცხვების ნებისმიერ კრებულს, რომლებიც ერთმანეთს მიჰყვება, რაღაცნაირად ორგანიზებულნი, მიმდევრობას უწოდებენ. რიცხვების ყველა არსებული თანმიმდევრობიდან გამოიყოფა ორი საინტერესო შემთხვევა: ალგებრული და გეომეტრიული პროგრესიები.

რა არის არითმეტიკული პროგრესია?

დაუყოვნებლივ უნდა ითქვას, რომ ალგებრულ პროგრესიას ხშირად არითმეტიკას უწოდებენ, რადგან მის თვისებებს სწავლობს მათემატიკის ფილიალი - არითმეტიკა.

ეს პროგრესია არის რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელშიც ყოველი შემდეგი წევრი წინასგან განსხვავდება გარკვეული მუდმივი რიცხვით. მას ალგებრული პროგრესიის განსხვავებას უწოდებენ. განსაზღვრულობისთვის მას აღვნიშნავთ ლათინური ასოთი d.

ასეთი თანმიმდევრობის მაგალითი შეიძლება იყოს შემდეგი: 3, 5, 7, 9, 11 ..., აქ ხედავთ, რომ რიცხვი 5 მეტია რიცხვზე 3 2-ით, 7 მეტია 5-ზე 2-ით და ასე შემდეგ. ამრიგად, წარმოდგენილ მაგალითში d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.

რა არის არითმეტიკული პროგრესიების ტიპები?

რიცხვების ამ მოწესრიგებული თანმიმდევრობის ბუნება დიდწილად განისაზღვრება d რიცხვის ნიშნით. განასხვავებენ ალგებრულ პროგრესირებას:

• იზრდება როცა d დადებითია (d>0);
• მუდმივი, როდესაც d = 0;
• მცირდება, როდესაც d უარყოფითია (დ<0).

წინა აბზაცში მოცემული მაგალითი გვიჩვენებს მზარდ პროგრესს. კლებადი მიმდევრობის მაგალითია რიცხვების შემდეგი თანმიმდევრობა: 10, 5, 0, -5, -10, -15... მუდმივი პროგრესია, როგორც მისი განმარტებიდან გამომდინარეობს, არის იდენტური რიცხვების კრებული.

პროგრესირების მე-n ვადა

გამომდინარე იქიდან, რომ განსახილველ პროგრესში ყოველი მომდევნო რიცხვი განსხვავდება წინა მუდმივი d-ით, მისი n წევრის დადგენა მარტივად შეიძლება. ამისათვის თქვენ უნდა იცოდეთ არა მხოლოდ d, არამედ 1 - პროგრესირების პირველი ტერმინი. რეკურსიული მიდგომის გამოყენებით, შეიძლება მივიღოთ ალგებრული პროგრესიის ფორმულა n-ე ტერმინის საპოვნელად. ეს ასე გამოიყურება: a n = a 1 + (n-1)*d. ეს ფორმულა საკმაოდ მარტივია და მისი გაგება შესაძლებელია ინტუიციურად.

ასევე არ არის რთული გამოყენება. მაგალითად, ზემოთ მოცემულ პროგრესში (d=2, a 1 =3), ჩვენ განვსაზღვრავთ მის 35-ე წევრს. ფორმულის მიხედვით ტოლი იქნება: a 35 = 3 + (35-1)*2 = 71.

თანხის ფორმულა

როდესაც მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია, მისი პირველი n წევრის ჯამი ხშირად გვხვდება პრობლემა, n-ე წევრის მნიშვნელობის განსაზღვრასთან ერთად. ალგებრული პროგრესიის ჯამის ფორმულა იწერება შემდეგი სახით: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2, აქ სიმბოლო ∑ n 1 მიუთითებს, რომ 1-დან n-მდე წევრთა ჯამია.

ზემოაღნიშნული გამოთქმის მიღება შესაძლებელია იმავე რეკურსიის თვისებების გამოყენებით, მაგრამ არსებობს უფრო მარტივი გზა მისი მართებულობის დასამტკიცებლად. ჩამოვწეროთ ამ ჯამის პირველი 2 და ბოლო 2 წევრი, გამოვხატოთ რიცხვებში a 1, a n და d და მივიღებთ: a 1, a 1 +d,...,a n -d, a n. ახლა გაითვალისწინეთ, რომ თუ პირველ წევრს ბოლოს დავუმატებთ, ის ზუსტად უდრის მეორე და წინაბოლო წევრთა ჯამს, ანუ a 1 +a n. ანალოგიურად შეიძლება აჩვენოს, რომ იგივე ჯამის მიღება შესაძლებელია მესამე და წინაბოლო ტერმინების მიმატებით და ა.შ. თანმიმდევრობით რიცხვების წყვილის შემთხვევაში ვიღებთ n/2 ჯამს, რომელთაგან თითოეული უდრის 1 +a n-ს. ანუ ვიღებთ ალგებრული პროგრესიის ზემოთ მოცემულ ფორმულას ჯამისთვის: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2.

n ტერმინების დაუწყვილებელი რაოდენობისთვის მსგავსი ფორმულა მიიღება, თუ დაიცავთ აღწერილ მსჯელობას. უბრალოდ გახსოვდეთ, რომ დაამატოთ დარჩენილი ტერმინი, რომელიც პროგრესირების ცენტრშია.

მოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ გამოვიყენოთ ზემოაღნიშნული ფორმულა მარტივი პროგრესიის მაგალითის გამოყენებით, რომელიც ზემოთ იყო შემოღებული (3, 5, 7, 9, 11 ...). მაგალითად, აუცილებელია მისი პირველი 15 წევრის ჯამის დადგენა. ჯერ განვსაზღვროთ 15. n-ე ტერმინის ფორმულის გამოყენებით (იხ. წინა აბზაცი), ვიღებთ: a 15 = a 1 + (n-1)*d = 3 + (15-1)*2 = 31. ახლა შეგვიძლია გამოვიყენოთ ფორმულა ალგებრული პროგრესიის ჯამი: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255.

საინტერესოა საინტერესო ისტორიული ფაქტის მოყვანა. არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულა პირველად მიიღო კარლ გაუსმა (მე-18 საუკუნის ცნობილმა გერმანელმა მათემატიკოსმა). როდესაც ის მხოლოდ 10 წლის იყო, მასწავლებელმა სთხოვა ეპოვა რიცხვების ჯამი 1-დან 100-მდე. ამბობენ, რომ პატარა გაუსმა ეს პრობლემა რამდენიმე წამში გადაჭრა და შეამჩნია, რომ მიმდევრობის დასაწყისიდან და ბოლოდან რიცხვების შეჯამებით. წყვილებში ყოველთვის შეგიძლიათ მიიღოთ 101 და რადგან 50 ასეთი ჯამია, მან სწრაფად გასცა პასუხი: 50*101 = 5050.

პრობლემის გადაჭრის მაგალითი

ალგებრული პროგრესიის თემის დასასრულებლად კიდევ ერთი საინტერესო პრობლემის გადაჭრის მაგალითს მოვიყვანთ, რითაც გავაძლიერებთ განსახილველი თემის გაგებას. მიეცით გარკვეული პროგრესია, რომლისთვისაც ცნობილია სხვაობა d = -3, ისევე როგორც მისი 35-ე წევრი a 35 = -114. აუცილებელია ვიპოვოთ პროგრესიის მე-7 წევრი a 7 .

როგორც პრობლემის პირობებიდან ჩანს, 1-ის მნიშვნელობა უცნობია, ამიტომ შეუძლებელი იქნება n-ე ტერმინის ფორმულის პირდაპირ გამოყენება. მოუხერხებელია რეკურსიის მეთოდიც, რომლის ხელით განხორციელება რთულია და შეცდომის დაშვების დიდი ალბათობაა. მოდით ვიმოქმედოთ შემდეგნაირად: ჩაწერეთ ფორმულები 7-ისა და 35-ისთვის, გვაქვს: a 7 = a 1 + 6*d და a 35 = a 1 + 34*d. გამოვაკლოთ მეორე პირველ გამოსახულებას, მივიღებთ: a 7 - a 35 = a 1 + 6*d - a 1 - 34*d. შემდეგნაირად ხდება: a 7 = a 35 - 28*d. რჩება პრობლემის დებულებიდან ცნობილი მონაცემების ჩანაცვლება და პასუხის ჩაწერა: a 7 = -114 - 28*(-3) = -30.

გეომეტრიული პროგრესია

სტატიის თემის უფრო სრულყოფილად გამოსავლენად გთავაზობთ პროგრესის სხვა ტიპის - გეომეტრიულის მოკლე აღწერას. მათემატიკაში ეს სახელი გაგებულია, როგორც რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელშიც ყოველი მომდევნო ტერმინი განსხვავდება წინადან გარკვეული ფაქტორით. ავღნიშნოთ ეს ფაქტორი ასო r-ით. მას ეწოდება განსახილველი პროგრესიის ტიპის მნიშვნელი. ამ რიცხვების მიმდევრობის მაგალითი იქნება: 1, 5, 25, 125, ...

როგორც ზემოაღნიშნული განმარტებიდან ჩანს, ალგებრული და გეომეტრიული პროგრესიები იდეით მსგავსია. მათ შორის განსხვავება ისაა, რომ პირველი იცვლება უფრო ნელა, ვიდრე მეორე.

გეომეტრიული პროგრესია ასევე შეიძლება იყოს მზარდი, მუდმივი ან კლებადი. მისი ტიპი დამოკიდებულია r მნიშვნელის მნიშვნელობაზე: თუ r>1, მაშინ არის მზარდი პროგრესია, თუ r<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.

გეომეტრიული პროგრესირების ფორმულები

როგორც ალგებრულის შემთხვევაში, გეომეტრიული პროგრესიის ფორმულები მცირდება მისი n-ე წევრისა და n-ის ჯამის განსაზღვრამდე. ქვემოთ მოცემულია ეს გამონათქვამები:

• a n = a 1 *r (n-1) - ეს ფორმულა გამომდინარეობს გეომეტრიული პროგრესიის განმარტებიდან.
• ∑ n 1 = a 1 *(r n -1)/(r-1). მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ თუ r = 1, მაშინ ზემოაღნიშნული ფორმულა იძლევა გაურკვევლობას, ამიტომ მისი გამოყენება შეუძლებელია. ამ შემთხვევაში, n წევრთა ჯამი ტოლი იქნება მარტივი ნამრავლის a 1 *n.

მაგალითად, ვიპოვოთ 1, 5, 25, 125, მიმდევრობის მხოლოდ 10 წევრის ჯამი, თუ ვიცით, რომ a 1 = 1 და r = 5, მივიღებთ: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1 )/4 = 2441406. მიღებული მნიშვნელობა არის ნათელი მაგალითი იმისა, თუ რამდენად სწრაფად იზრდება გეომეტრიული პროგრესია.

ალბათ ისტორიაში ამ პროგრესის პირველი ნახსენები ლეგენდაა ჭადრაკის დაფასთან დაკავშირებით, როდესაც ერთ-ერთ სულთანს მეგობარმა ჭადრაკის თამაში ასწავლა, სამსახურისთვის მარცვლეული სთხოვა. უფრო მეტიც, მარცვლის რაოდენობა უნდა ყოფილიყო ასეთი: ერთი მარცვალი უნდა დაიდოს ჭადრაკის დაფის პირველ კვადრატზე, მეორეზე ორჯერ მეტი, ვიდრე პირველზე, მესამეზე ორჯერ მეტი მეორეზე და ა.შ. . სულთანი ნებით დათანხმდა ამ თხოვნის შესრულებას, მაგრამ არ იცოდა, რომ თავისი ქვეყნის ყველა ურნის დაცლა მოუწევდა, რათა სიტყვა შეესრულებინა.