როგორ გავამრავლოთ რიცხვი სხვადასხვა ნიშნით. რიცხვების გამრავლება სხვადასხვა ნიშნით (მე-6 კლასი)

ამ სტატიაში ჩვენ შევეხებით რიცხვების გამრავლება სხვადასხვა ნიშნები . აქ ჯერ ჩამოვაყალიბებთ დადებითი და უარყოფითი რიცხვების გამრავლების წესს, დავასაბუთებთ და შემდეგ განვიხილავთ ამ წესის გამოყენებას მაგალითების ამოხსნისას.

გვერდის ნავიგაცია.

სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გამრავლების წესი

დადებითი რიცხვის უარყოფით რიცხვზე, ასევე უარყოფითი რიცხვის დადებით რიცხვზე გამრავლება ხორციელდება შემდეგნაირად: სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გამრავლების წესი: სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ და მივიღოთ მინუს ნიშანი მიღებული ნამრავლის წინ.

მოდით ჩამოვწეროთ ეს წესი ასოების სახით. ნებისმიერი დადებითი რეალური რიცხვისთვის a და ნებისმიერი უარყოფითი −b რეალური რიცხვისთვის, ტოლობა a·(−b)=−(|a|·|b|) და ასევე უარყოფითი რიცხვისთვის −a და დადებითი რიცხვისთვის b ტოლობა (−a)·b=−(|a|·|b|) .

სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გამრავლების წესი სრულად შეესაბამება რეალური რიცხვებით მოქმედებების თვისებები. მართლაც, მათ საფუძველზე ადვილია იმის ჩვენება, რომ რეალური და დადებითი რიცხვებისთვის a და b ფორმის ტოლობების ჯაჭვია. a·(−b)+a·b=a·((−b)+b)=a·0=0, რომელიც ამტკიცებს, რომ a·(−b) და a·b არის საპირისპირო რიცხვები, რაც გულისხმობს ტოლობას a·(−b)=−(a·b) . და მისგან გამომდინარეობს მოცემული გამრავლების წესის მართებულობა.

უნდა აღინიშნოს, რომ მითითებული წესი სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გამრავლების შესახებ მოქმედებს ორივესთვის რეალური რიცხვები, როგორც რაციონალური რიცხვებისთვის, ასევე მთელი რიცხვებისთვის. ეს გამომდინარეობს იქიდან, რომ რაციონალური და მთელი რიცხვების მქონე ოპერაციებს აქვთ იგივე თვისებები, რაც გამოყენებული იყო ზემოთ მოცემულ მტკიცებულებაში.

გასაგებია, რომ მიღებული წესით სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გამრავლება დადებითი რიცხვების გამრავლებამდე მოდის.

რჩება მხოლოდ დაშლილი გამრავლების წესის გამოყენების მაგალითების განხილვა სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გამრავლებისას.

სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გამრავლების მაგალითები

მოდით შევხედოთ რამდენიმე გამოსავალს სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გამრავლების მაგალითები. დავიწყოთ იმით მარტივი შემთხვევა, ფოკუსირება წესის ეტაპებზე და არა გამოთვლით სირთულეებზე.

მაგალითი.

გაამრავლეთ უარყოფითი რიცხვი −4-ზე დადებითი რიცხვი 5 .

გამოსავალი.

სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გამრავლების წესის მიხედვით, ჯერ უნდა გავამრავლოთ საწყისი ფაქტორების მოდულები. −4-ის მოდული არის 4, ხოლო 5-ის მოდული არის 5, ხოლო ნატურალური რიცხვების 4 და 5 გამრავლებით მივიღებთ 20-ს. და ბოლოს, რჩება მინუს ნიშნის დაყენება მიღებული რიცხვის წინ, გვაქვს −20. ეს ასრულებს გამრავლებას.

მოკლედ ამონახსნი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად: (−4) 5=−(4 5)=−20.

პასუხი:

(−4)·5=−20.

სხვადასხვა ნიშნით წილადების გამრავლებისას თქვენ უნდა შეძლოთ ჩვეულებრივი წილადების გამრავლება, ათწილადების და მათი კომბინაციების გამრავლება ნატურალურ და შერეულ რიცხვებთან.

მაგალითი.

გაამრავლეთ რიცხვები სხვადასხვა ნიშნით 0, (2) და .

გამოსავალი.

პერიოდული ათობითი წილადის საერთო წილადად გადაქცევით და ასევე შერეული რიცხვიდან არასწორ წილადზე გადაყვანით, საწყისი ნამრავლიდან ჩვენ მივალთ პროდუქტზე ჩვეულებრივი წილადებიფორმის სხვადასხვა ნიშნებით. ეს ნამრავლი, სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გამრავლების წესის მიხედვით, უდრის. რჩება მხოლოდ ჩვეულებრივი წილადების ფრჩხილებში გამრავლება, გვაქვს .

IN ეს გაკვეთილიგანიხილება გამრავლება და გაყოფა რაციონალური რიცხვი.

რაციონალური რიცხვების გამრავლება

მთელი რიცხვების გამრავლების წესები ვრცელდება რაციონალურ რიცხვებზეც. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რაციონალური რიცხვების გასამრავლებლად, თქვენ უნდა შეძლოთ

ასევე, უნდა იცოდეთ გამრავლების ძირითადი კანონები, როგორიცაა: გამრავლების კომუტაციური კანონი, გამრავლების ასოციაციური კანონი, გამრავლებისა და ნულზე გამრავლების კანონი.

მაგალითი 1.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ეს არის რაციონალური რიცხვების გამრავლება სხვადასხვა ნიშნით. რაციონალური რიცხვების სხვადასხვა ნიშნით გასამრავლებლად საჭიროა მათი მოდულების გამრავლება და მიღებული პასუხის წინ მინუსის დადება.

იმისათვის, რომ ნათლად დავინახოთ, რომ საქმე გვაქვს რიცხვებთან, რომლებსაც განსხვავებული ნიშნები აქვთ, თითოეულ რაციონალურ რიცხვს ვსვამთ ფრჩხილებში მის ნიშნებთან ერთად.

რიცხვის მოდული უდრის , ხოლო რიცხვის მოდული უდრის . მიღებული მოდულების გამრავლება როგორც დადებითი წილადები, პასუხი მივიღეთ, მაგრამ პასუხამდე დავაყენეთ მინუსი, როგორც წესი გვთხოვდა. პასუხის წინ ამ მინუსის უზრუნველსაყოფად, მოდულების გამრავლება შესრულდა ფრჩხილებში, წინ უსწრებდა მინუსს.

მოკლე გამოსავალი ასე გამოიყურება:

მაგალითი 2.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

მაგალითი 3.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ეს არის უარყოფითი რაციონალური რიცხვების გამრავლება. უარყოფითი რაციონალური რიცხვების გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მათი მოდულები და მიღებული პასუხის წინ დააყენოთ პლუსი.

გამოსავალი ამისთვის ეს მაგალითიშეიძლება მოკლედ დაიწეროს:

მაგალითი 4.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ამ მაგალითის გამოსავალი შეიძლება მოკლედ დაიწეროს:

მაგალითი 5.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ეს არის რაციონალური რიცხვების გამრავლება სხვადასხვა ნიშნით. გავამრავლოთ ამ რიცხვების მოდულები და მივიღოთ მინუსი მიღებული პასუხის წინ

მოკლე გამოსავალი გამოიყურება ბევრად უფრო მარტივი:

მაგალითი 6.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

გადავიყვანოთ შერეული რიცხვი არასწორი ფრაქცია. დანარჩენი გადავიწეროთ როგორც არის

მივიღეთ რაციონალური რიცხვების გამრავლება სხვადასხვა ნიშნით. გავამრავლოთ ამ რიცხვების მოდულები და მივიღოთ მინუსი მიღებული პასუხის წინ. მოდულებით ჩანაწერი შეიძლება გამოტოვოთ ისე, რომ არ მოხდეს გამოთქმა

ამ მაგალითის ამოხსნა შეიძლება მოკლედ დაიწეროს

მაგალითი 7.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ეს არის რაციონალური რიცხვების გამრავლება სხვადასხვა ნიშნით. გავამრავლოთ ამ რიცხვების მოდულები და მივიღოთ მინუსი მიღებული პასუხის წინ

თავიდან პასუხი არასწორი წილადი აღმოჩნდა, მაგრამ მასში მთელი ნაწილი გამოვყავით. გაითვალისწინეთ, რომ მთელი ნაწილი გამოყოფილია წილადის მოდულიდან. მიღებული შერეული რიცხვი ჩასმული იყო ფრჩხილებში, რომელსაც წინ უძღვოდა მინუს ნიშანი. ეს კეთდება იმისთვის, რომ წესის მოთხოვნა შესრულდეს. და წესი მოითხოვდა, რომ მიღებულ პასუხს წინ უძღოდა მინუსი.

ამ მაგალითის გამოსავალი შეიძლება მოკლედ დაიწეროს:

მაგალითი 8.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ჯერ გავამრავლოთ და და გავამრავლოთ მიღებული რიცხვი დარჩენილი რიცხვით 5. ჩვენ გამოვტოვებთ ჩანაწერს მოდულებით ისე, რომ არ გავაფუჭოთ გამოხატულება.

პასუხი:გამოხატვის მნიშვნელობა უდრის −2.

მაგალითი 9.იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

ვთარგმნოთ შერეული რიცხვებიარასწორ წილადებზე:

მივიღეთ უარყოფითი რაციონალური რიცხვების გამრავლება. გავამრავლოთ ამ რიცხვების მოდულები და მივიღოთ პლუსი მიღებული პასუხის წინ. მოდულებით ჩანაწერი შეიძლება გამოტოვოთ ისე, რომ არ მოხდეს გამოთქმა

მაგალითი 10.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

გამოხატულება შედგება რამდენიმე ფაქტორისგან. გამრავლების ასოციაციური კანონის მიხედვით, თუ გამოხატულება შედგება რამდენიმე ფაქტორისაგან, მაშინ ნამრავლი არ იქნება დამოკიდებული მოქმედებების თანმიმდევრობაზე. ეს საშუალებას გვაძლევს შევაფასოთ მოცემული გამონათქვამი ნებისმიერი თანმიმდევრობით.

მოდით არ გამოვიგონოთ ბორბალი, არამედ გამოვთვალოთ ეს გამოხატულება მარცხნიდან მარჯვნივ ფაქტორების თანმიმდევრობით. მოდით გამოვტოვოთ ჩანაწერი მოდულებით, რათა არ მოხდეს გამოთქმა

მესამე მოქმედება:

მეოთხე მოქმედება:

პასუხი:გამოხატვის მნიშვნელობა არის

მაგალითი 11.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

გავიხსენოთ ნულზე გამრავლების კანონი. ეს კანონი ამბობს, რომ პროდუქტი ტოლია ნულის, თუ ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლი.

ჩვენს მაგალითში, ერთ-ერთი ფაქტორი ნულის ტოლია, ამიტომ დროის დაკარგვის გარეშე ვპასუხობთ, რომ გამოხატვის მნიშვნელობა ნულის ტოლია:

მაგალითი 12.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია.

ჩვენს მაგალითში, ერთ-ერთი ფაქტორი ნულის ტოლია, ამიტომ დროის დაკარგვის გარეშე ვპასუხობთ, რომ გამოხატვის მნიშვნელობა უდრის ნულს:

მაგალითი 13.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

შეგიძლიათ გამოიყენოთ მოქმედებების თანმიმდევრობა და ჯერ გამოთვალოთ გამოხატულება ფრჩხილებში და მიღებული პასუხი გაამრავლოთ წილადით.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ გამრავლების კანონი - ჯამის თითოეული წევრი გაამრავლოთ წილადზე და დაამატეთ მიღებული შედეგები. ჩვენ გამოვიყენებთ ამ მეთოდს.

მოქმედებების თანმიმდევრობის მიხედვით, თუ გამოხატულება შეიცავს დამატებას და გამრავლებას, მაშინ ჯერ გამრავლება უნდა შესრულდეს. ამიტომ, მიღებულ ახალ გამოსახულებაში, ფრჩხილებში ჩავდოთ ის პარამეტრები, რომლებიც უნდა გამრავლდეს. ამ გზით ჩვენ ნათლად დავინახავთ რომელი მოქმედებები უნდა შევასრულოთ ადრე და რომელი მოგვიანებით:

მესამე მოქმედება:

პასუხი:გამოხატვის მნიშვნელობა უდრის

ამ მაგალითის გამოსავალი შეიძლება დაიწეროს ბევრად უფრო მოკლედ. ეს ასე გამოიყურება:

ნათელია, რომ ამ მაგალითის ამოხსნა შესაძლებელია თუნდაც გონებით. ამიტომ გამონათქვამის ამოხსნამდე უნდა განივითაროთ ანალიზის უნარი. სავარაუდოა, რომ ეს შეიძლება მოგვარდეს გონებრივად და დაზოგოთ ბევრი დრო და ნერვები. ტესტებსა და გამოცდებში კი, მოგეხსენებათ, დრო ძალიან ღირებულია.

მაგალითი 14.იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა −4,2 × 3,2

ეს არის რაციონალური რიცხვების გამრავლება სხვადასხვა ნიშნით. გავამრავლოთ ამ რიცხვების მოდულები და მივიღოთ მინუსი მიღებული პასუხის წინ

დააკვირდით, როგორ მრავლდებოდა რაციონალური რიცხვების მოდულები. ამ შემთხვევაში რაციონალური რიცხვების მოდულის გასამრავლებლად დასჭირდა.

მაგალითი 15.იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა −0,15 × 4

ეს არის რაციონალური რიცხვების გამრავლება სხვადასხვა ნიშნით. გავამრავლოთ ამ რიცხვების მოდულები და მივიღოთ მინუსი მიღებული პასუხის წინ

დააკვირდით, როგორ მრავლდებოდა რაციონალური რიცხვების მოდულები. ამ შემთხვევაში რაციონალური რიცხვების მოდულების გასამრავლებლად საჭირო იყო შეძლება.

მაგალითი 16.იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა −4,2 × (−7,5)

ეს არის უარყოფითი რაციონალური რიცხვების გამრავლება. გავამრავლოთ ამ რიცხვების მოდულები და მივიღოთ პლუსი მიღებული პასუხის წინ

რაციონალური რიცხვების დაყოფა

მთელი რიცხვების გაყოფის წესები ვრცელდება რაციონალურ რიცხვებზეც. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რომ შეძლოთ რაციონალური რიცხვების გაყოფა, თქვენ უნდა შეძლოთ

წინააღმდეგ შემთხვევაში, გამოიყენება ჩვეულებრივი და ათობითი წილადების გაყოფის იგივე მეთოდები. საერთო წილადის სხვა წილადზე გასაყოფად, პირველი წილადი უნდა გაამრავლოთ მეორე წილადის საპასუხოდ.

და გაყოფა ათობითისხვა ათობითი წილადზე, თქვენ უნდა გადაიტანოთ ათობითი წერტილი დივიდენდში და გამყოფში მარჯვნივ იმდენი ციფრით, რამდენიც არის გამყოფში ათობითი წერტილის შემდეგ, შემდეგ შეასრულოთ გაყოფა, როგორც ჩვეულებრივი რიცხვით.

მაგალითი 1.იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

ეს არის რაციონალური რიცხვების დაყოფა სხვადასხვა ნიშნით. ასეთი გამოხატვის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი წილადი მეორის საპასუხოდ.

ასე რომ, მოდით გავამრავლოთ პირველი წილადი მეორის საპასუხოდ.

მივიღეთ რაციონალური რიცხვების გამრავლება სხვადასხვა ნიშნით. და ჩვენ უკვე ვიცით როგორ გამოვთვალოთ ასეთი გამონათქვამები. ამისათვის თქვენ უნდა გაამრავლოთ ამ რაციონალური რიცხვების მოდული და მივიღოთ მინუსი მიღებული პასუხის წინ.

ეს მაგალითი ბოლომდე დავასრულოთ. მოდულებით ჩანაწერი შეიძლება გამოტოვოთ ისე, რომ არ მოხდეს გამოთქმა

ასე რომ, გამოხატვის მნიშვნელობა არის

დეტალური გადაწყვეტა შემდეგია:

მოკლე გამოსავალი ასე გამოიყურება:

მაგალითი 2.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ეს არის რაციონალური რიცხვების დაყოფა სხვადასხვა ნიშნით. ამ გამოხატვის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი წილადი მეორის საპასუხოდ.

მეორე წილადის საპასუხო არის წილადი. გავამრავლოთ მასზე პირველი წილადი:

მოკლე გამოსავალი ასე გამოიყურება:

მაგალითი 3.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ეს არის უარყოფითი რაციონალური რიცხვების დაყოფა. ამ გამოხატვის გამოსათვლელად, თქვენ კვლავ უნდა გაამრავლოთ პირველი წილადი მეორის საპასუხოდ.

მეორე წილადის საპასუხო არის წილადი. გავამრავლოთ მასზე პირველი წილადი:

მივიღეთ უარყოფითი რაციონალური რიცხვების გამრავლება. როგორ გამოითვლება მსგავსი გამოხატულებაჩვენ უკვე ვიცით. თქვენ უნდა გაამრავლოთ რაციონალური რიცხვების მოდული და მივიღოთ პლუსი მიღებული პასუხის წინ.

დავასრულოთ ეს მაგალითი ბოლომდე. თქვენ შეგიძლიათ გამოტოვოთ ჩანაწერი მოდულებით, რათა არ მოხდეს გამოთქმა:

მაგალითი 4.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ამ გამოთქმის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი რიცხვი −3-ის შებრუნებულ წილადზე.

წილადის შებრუნებული არის წილადი. გაამრავლეთ მასზე პირველი რიცხვი −3

მაგალითი 6.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ამ გამოხატვის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი წილადი 4-ის საპასუხოდ.

4 რიცხვის საპასუხო წილადი არის წილადი. გაამრავლეთ მასზე პირველი წილადი

მაგალითი 5.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ამ გამოხატვის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი წილადი −3-ის შებრუნებულზე

−3-ის შებრუნებული არის წილადი. გავამრავლოთ მასზე პირველი წილადი:

მაგალითი 6.იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა −14.4: 1.8

ეს არის რაციონალური რიცხვების დაყოფა სხვადასხვა ნიშნით. ამ გამოხატვის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გაყოთ დივიდენდის მოდული გამყოფის მოდულზე და მიღებული პასუხის წინ დააყენოთ მინუსი.

ყურადღება მიაქციეთ, როგორ იყოფა დივიდენდის მოდული გამყოფის მოდულზე. ამ შემთხვევაში სწორად გასაკეთებლად საჭირო იყო შეძლება.

თუ არ გინდათ შეწუხდეთ ათწილადებით (და ეს ხშირად ხდება), მაშინ ესენი, შემდეგ გადააქციეთ ეს შერეული რიცხვები არასწორ წილადებად და შემდეგ გააკეთეთ თავად გაყოფა.

გამოვთვალოთ წინა გამოთქმა −14.4: 1.8 ამ გზით. გადავიყვანოთ ათწილადები შერეულ რიცხვებად:

ახლა გადავიყვანოთ მიღებული შერეული რიცხვები არასწორ წილადებად:

ახლა თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ გაყოფა პირდაპირ, კერძოდ, გაყოთ წილადი წილადზე. ამისათვის თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი წილადი მეორის შებრუნებულ წილადზე:

მაგალითი 7.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

გადავიყვანოთ ათწილადი −2.06 არასწორ წილადად და გავამრავლოთ ეს წილადი მეორე წილადის საპასუხოდ:

მრავალსართულიანი წილადები

ხშირად შეგხვდებათ გამოთქმა, რომელშიც წილადების გაყოფა იწერება წილადის ხაზის გამოყენებით. მაგალითად, გამოთქმა შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

რა განსხვავებაა გამონათქვამებსა და ? განსხვავება ნამდვილად არ არის. ეს ორი გამოთქმა ერთსა და იმავე მნიშვნელობას ატარებს და შეგვიძლია მათ შორის ტოლობის ნიშანი დავაყენოთ:

პირველ შემთხვევაში, გაყოფის ნიშანი არის ორწერტილი და გამოხატულება იწერება ერთ ხაზზე. მეორე შემთხვევაში, წილადების გაყოფა იწერება წილადის ხაზის გამოყენებით. შედეგი არის წილადი, რომელსაც ხალხი თანხმდება დარეკვას მრავალსართულიანი.

ასეთი მრავალსართულიანი გამონათქვამების შეხვედრისას, თქვენ უნდა გამოიყენოთ იგივე წესები ჩვეულებრივი წილადების გაყოფისთვის. პირველი წილადი უნდა გავამრავლოთ მეორის საპასუხოდ.

უკიდურესად მოუხერხებელია ასეთი წილადების გამოყენება ხსნარში, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ისინი გასაგები ფორმით, არა როგორც გაყოფის ნიშანი. წილადი ხაზიდა მსხვილი ნაწლავი.

მაგალითად, დავწეროთ მრავალსართულიანი წილადიგასაგებად. ამისათვის ჯერ უნდა გაარკვიოთ სად არის პირველი წილადი და სად მეორე, რადგან ამის სწორად გაკეთება ყოველთვის არ არის შესაძლებელი. მრავალსართულიან წილადებს აქვთ რამდენიმე წილადი ხაზი, რომელიც შეიძლება დამაბნეველი იყოს. ძირითადი წილადის ხაზი, რომელიც გამოყოფს პირველ წილადს მეორესგან, ჩვეულებრივ უფრო გრძელია ვიდრე დანარჩენი.

ძირითადი წილადი ხაზის განსაზღვრის შემდეგ, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად გაიგოთ, სად არის პირველი წილადი და სად არის მეორე:

მაგალითი 2.

ვპოულობთ მთავარ წილადის წრფეს (ის ყველაზე გრძელია) და ვხედავთ, რომ მთელი რიცხვი −3 იყოფა საერთო წილადზე.

და თუ შეცდომით ავიღეთ მეორე წილადი წრფე მთავარად (ის, რომელიც უფრო მოკლეა), მაშინ გამოვა, რომ წილადს ვყოფთ მთელ რიცხვზე 5-ზე. ამ შემთხვევაში, თუნდაც ეს გამოხატულება სწორად იყოს გამოთვლილი პრობლემა არასწორად მოგვარდება, რადგან დივიდენდი ამ შემთხვევაში რიცხვია −3, ხოლო გამყოფი არის წილადი.

მაგალითი 3.ჩავწეროთ მრავალდონიანი წილადი გასაგები ფორმით

ვპოულობთ ძირითად წილადის წრფეს (ის ყველაზე გრძელია) და ვხედავთ, რომ წილადი იყოფა მთელ რიცხვზე 2

და თუ შეცდომით ავიღეთ პირველი წილადი, როგორც წამყვანი (ის, რომელიც უფრო მოკლეა), მაშინ აღმოჩნდება, რომ ჩვენ ვყოფთ მთელ რიცხვს −5-ზე ამ შემთხვევაში, თუნდაც ეს გამოთვლა სწორად იყოს გამოთვლილი. პრობლემა არასწორად მოგვარდება, რადგან დივიდენდი ამ შემთხვევაში არის წილადი, ხოლო გამყოფი არის მთელი რიცხვი 2.

იმისდა მიუხედავად, რომ მრავალდონიანი წილადები არასასიამოვნოა სამუშაოდ, მათ ძალიან ხშირად შევხვდებით, განსაკუთრებით უმაღლესი მათემატიკის შესწავლისას.

ბუნებრივია, სჭირდება Დამატებითი დროდა ადგილი. ამიტომ, შეგიძლიათ მეტი გამოიყენოთ სწრაფი მეთოდი. ეს მეთოდი მოსახერხებელია და გამომავალი საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ მზა გამოხატულება, რომელშიც პირველი ფრაქცია უკვე გამრავლებულია მეორის საპასუხო წილადზე.

ეს მეთოდი ხორციელდება შემდეგნაირად:

თუ ფრაქცია, მაგალითად, ოთხსართულიანია, მაშინ პირველ სართულზე განთავსებული რიცხვი ამაღლებულია ზედა სართულზე. ხოლო მეორე სართულზე მდებარე ფიგურა აწეულია მესამე სართულზე. მიღებული რიცხვები უნდა იყოს დაკავშირებული გამრავლების ნიშნებთან (×)

შედეგად, შუალედური აღნიშვნის გვერდის ავლით, ვიღებთ ახალ გამოსახულებას, რომელშიც პირველი წილადი უკვე გამრავლებულია მეორის საპასუხო წილადზე. კომფორტი და ეს არის ის!

გამოყენებისას შეცდომების თავიდან ასაცილებლად ამ მეთოდით, შეგიძლიათ იხელმძღვანელოთ შემდეგი წესით:

პირველიდან მეოთხემდე. მეორედან მესამემდე.

წესში ჩვენ ვსაუბრობთსართულების შესახებ. პირველი სართულიდან ფიგურა მეოთხე სართულზე უნდა აიწიოს. ხოლო მეორე სართულიდან ფიგურა მესამე სართულზე უნდა აწიოს.

შევეცადოთ გამოვთვალოთ მრავალსართულიანი წილადი ზემოაღნიშნული წესით.

ასე რომ, პირველ სართულზე განლაგებულ რიცხვს ვზრდით მეოთხე სართულზე, ხოლო მეორე სართულზე მდებარე რიცხვს მესამე სართულზე ვზრდით.

შედეგად, შუალედური აღნიშვნის გვერდის ავლით, ვიღებთ ახალ გამოსახულებას, რომელშიც პირველი წილადი უკვე გამრავლებულია მეორის საპასუხო წილადზე. შემდეგი, შეგიძლიათ გამოიყენოთ თქვენი არსებული ცოდნა:

შევეცადოთ გამოვთვალოთ მრავალდონიანი წილადი ახალი სქემის გამოყენებით.

არის მხოლოდ პირველი, მეორე და მეოთხე სართულები. მესამე სართული არ არის. მაგრამ ჩვენ არ გადავუხვიეთ ძირითადი სქემიდან: ფიგურას პირველი სართულიდან მეოთხე სართულზე ვაყენებთ. და რადგან მესამე სართული არ არის, მეორე სართულზე მდებარე ნომერს ვტოვებთ როგორც არის

შედეგად, შუალედური აღნიშვნის გვერდის ავლით, მივიღეთ ახალი გამოხატულება, რომელშიც პირველი რიცხვი −3 უკვე გამრავლებულია მეორის საპასუხო წილადზე. შემდეგი, შეგიძლიათ გამოიყენოთ თქვენი არსებული ცოდნა:

შევეცადოთ გამოვთვალოთ მრავალსართულიანი წილადი ახალი სქემის გამოყენებით.

არის მხოლოდ მეორე, მესამე და მეოთხე სართულები. პირველი სართული არ არის. ვინაიდან პირველი სართული არ არის, მეოთხე სართულზე ასასვლელი არაფერია, მაგრამ შეგვიძლია ფიგურის აწევა მეორე სართულიდან მესამეზე:

შედეგად, შუალედური აღნიშვნის გვერდის ავლით, მივიღეთ ახალი გამოხატულება, რომელშიც პირველი წილადი უკვე გამრავლებულია გამყოფის ინვერსიით. შემდეგი, შეგიძლიათ გამოიყენოთ თქვენი არსებული ცოდნა:

ცვლადების გამოყენება

თუ გამოთქმა რთულია და მოგეჩვენებათ, რომ ის დაგაბნევთ პრობლემის გადაჭრის პროცესში, მაშინ გამონათქვამის ნაწილი შეიძლება ჩადოთ ცვლადში და შემდეგ იმუშაოთ ამ ცვლადთან.

მათემატიკოსები ამას ხშირად აკეთებენ. რთული ამოცანადაყავით ისინი უფრო მარტივ ქვეამოცნებებად და გადაჭრით. შემდეგ ამოხსნილი ქვეამოცანები გროვდება ერთ მთლიანობაში. ეს არის შემოქმედებითი პროცესი და მას წლების განმავლობაში სწავლობს მძიმე ვარჯიშის საშუალებით.

ცვლადების გამოყენება გამართლებულია მრავალ დონის წილადებთან მუშაობისას. Მაგალითად:

იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ასე რომ, არის წილადური გამოხატულება მრიცხველში და რომლის მნიშვნელშიც წილადი გამონათქვამები. ანუ ისევ მრავალსართულიანი ფრაქციის წინაშე ვდგავართ, რომელიც ასე არ მოგვწონს.

მრიცხველში გამოთქმა შეიძლება შეიტანოს ცვლადში ნებისმიერი სახელით, მაგალითად:

მაგრამ მათემატიკაში ასეთი შემთხვევაჩვეულებრივია ცვლადების დასახელება დიდი ლათინური ასოებით. ნუ დავარღვევთ ამ ტრადიციას და პირველი გამოთქმა დიდით აღვნიშნოთ ლათინური ასოა

ხოლო მნიშვნელში გამოთქმა შეიძლება აღინიშნოს დიდი ასო B-ით

ახლა ჩვენი ორიგინალური გამოხატულება იღებს ფორმას. ანუ ჩანაცვლება გავაკეთეთ რიცხვითი გამოხატულებაასოზე, მანამდე შეიყვანეთ მრიცხველი და მნიშვნელი A და B ცვლადებში.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია ცალკე გამოვთვალოთ A ცვლადის მნიშვნელობები და B ცვლადის მნიშვნელობა. დასრულებულ მნიშვნელობებს ჩავსვამთ გამოხატულებაში.

ვიპოვოთ ცვლადის მნიშვნელობა ა

ვიპოვოთ ცვლადის მნიშვნელობა ბ

ახლა მოდით ჩავანაცვლოთ მათი მნიშვნელობები მთავარ გამოსახულებაში A და B ცვლადების ნაცვლად:

ჩვენ მივიღეთ მრავალსართულიანი ფრაქცია, რომელშიც შეგვიძლია გამოვიყენოთ სქემა „პირველიდან მეოთხემდე, მეორედან მესამემდე“, ანუ პირველ სართულზე მდებარე რიცხვი ავწიოთ მეოთხე სართულზე და გავზარდოთ ნომერი მდებარეობს მეორე სართულზე მესამე სართულზე. შემდგომი გამოთვლები არ იქნება რთული:

ამრიგად, გამოხატვის მნიშვნელობა არის -1.

რა თქმა უნდა განვიხილეთ უმარტივესი მაგალითი, მაგრამ ჩვენი მიზანი იყო შეგვესწავლა, თუ როგორ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ცვლადები, რათა გავუადვილოთ საქმეები საკუთარ თავს, მინიმუმამდე მივიყვანოთ შეცდომები.

ასევე გაითვალისწინეთ, რომ ამ მაგალითის ამოხსნა შეიძლება დაიწეროს ცვლადების გამოყენების გარეშე. ასე გამოიყურება

ეს გამოსავალი უფრო სწრაფი და მოკლეა და ამ შემთხვევაში უფრო აზრიანია მისი ასე დაწერა, მაგრამ თუ გამონათქვამი აღმოჩნდება რთული, რომელიც შედგება რამდენიმე პარამეტრისგან, ფრჩხილებისგან, ფესვებისგან და ძალებისგან, მაშინ მიზანშეწონილია მისი გამოთვლა. რამდენიმე ეტაპი, მისი გამონათქვამების ნაწილის შეყვანა ცვლადებში.

მოგეწონა გაკვეთილი?
შემოუერთდით ჩვენს ახალი ჯგუფი VKontakte და დაიწყეთ შეტყობინებების მიღება ახალი გაკვეთილების შესახებ

საგანმანათლებლო:

• ხელშემწყობი საქმიანობა;

გაკვეთილის ტიპი

აღჭურვილობა:

1. პროექტორი და კომპიუტერი.

Გაკვეთილის გეგმა

1.ორგანიზაციული მომენტი

2. ცოდნის განახლება

3. მათემატიკური კარნახი

4.ტესტის შესრულება

5. სავარჯიშოების ამოხსნა

6. გაკვეთილის შეჯამება

7. Საშინაო დავალება.

გაკვეთილების დროს

1. საორგანიზაციო მომენტი

დღეს ჩვენ გავაგრძელებთ მუშაობას დადებითი და უარყოფითი რიცხვების გამრავლებასა და გაყოფაზე. თითოეული თქვენგანის ამოცანაა გაარკვიოს, თუ როგორ დაეუფლა მან ამ თემას და საჭიროების შემთხვევაში, დახვეწოს ის, რაც ჯერ კიდევ არ მუშაობს. გარდა ამისა, ბევრ საინტერესოს გაიგებთ გაზაფხულის პირველ თვეზე - მარტზე. (სლაიდი 1)

2. ცოდნის განახლება.

3x=27; -5 x=-45; x: (2.5) = 5.

3. მათემატიკური კარნახი(სლაიდი 6.7)

ვარიანტი 1

ვარიანტი 2

4. ტესტის შესრულება (სლაიდი 8)

უპასუხე : მარციუსი

5.სავარჯიშოების ამოხსნა

(სლაიდები 10-დან 19-მდე)

4 მარტი -

2) y×(-2.5)=-15

6 მარტი

3) -50, 4:x=-4, 2

4) -0,25:5×(-260)

13 მარტი

5) -29,12: (-2,08)

14 მარტი

6) (-6-3.6×2.5) ×(-1)

7) -81.6:48×(-10)

17 მარტი

8) 7.15×(-4): (-1.3)

22 მარტი

9) -12,5×50: (-25)

10) 100+(-2,1:0,03)

30 მარტს

6. გაკვეთილის შეჯამება

7. საშინაო დავალება:

დოკუმენტის შინაარსის ნახვა
"რიცხვების გამრავლება და გაყოფა სხვადასხვა ნიშნით"

გაკვეთილის თემა: „სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გამრავლება და გაყოფა“.

გაკვეთილის მიზნები:შესწავლილი მასალის გამეორება თემაზე „სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გამრავლება და გაყოფა“, გამრავლებისა და დადებითი რიცხვის გაყოფის მოქმედებების გამოყენების უნარ-ჩვევების პრაქტიკა. უარყოფითი რიცხვიდა პირიქით, ასევე უარყოფითი რიცხვი უარყოფითი რიცხვით.

გაკვეთილის მიზნები:

საგანმანათლებლო:

წესების კონსოლიდაცია ამ თემაზე;

სხვადასხვა ნიშნის მქონე რიცხვების გამრავლებისა და გაყოფის ოპერაციებთან მუშაობის უნარ-ჩვევებისა და შესაძლებლობების ფორმირება.

საგანმანათლებლო:

შემეცნებითი ინტერესის განვითარება;

განვითარება ლოგიკური აზროვნება, მეხსიერება, ყურადღება;

საგანმანათლებლო:

ხელშემწყობი საქმიანობა;

მოსწავლეებში დამოუკიდებელი მუშაობის უნარ-ჩვევების დანერგვა;

ბუნების სიყვარულის გაღვივება, ხალხური ნიშნებისადმი ინტერესის გაღვივება.

გაკვეთილის ტიპი. გაკვეთილი-გამეორება და განზოგადება.

აღჭურვილობა:

პროექტორი და კომპიუტერი.

Გაკვეთილის გეგმა

1.ორგანიზაციული მომენტი

2. ცოდნის განახლება

3. მათემატიკური კარნახი

4.ტესტის შესრულება

5. სავარჯიშოების ამოხსნა

6. გაკვეთილის შეჯამება

7. საშინაო დავალება.

გაკვეთილების დროს

1. საორგანიზაციო მომენტი

Გამარჯობათ ბიჭებო! რას ვაკეთებდით წინა გაკვეთილებზე? (რაციონალური რიცხვების გამრავლება და გაყოფა.)

დღეს ჩვენ გავაგრძელებთ მუშაობას დადებითი და უარყოფითი რიცხვების გამრავლებასა და გაყოფაზე. თითოეული თქვენგანის ამოცანაა გაარკვიოს, თუ როგორ დაეუფლა მან ამ თემას და საჭიროების შემთხვევაში, დახვეწოს ის, რაც ჯერ არ მუშაობს. გარდა ამისა, ბევრ საინტერესოს გაიგებთ გაზაფხულის პირველ თვეზე - მარტი. (სლაიდი 1)

2. ცოდნის განახლება.

გადახედეთ დადებითი და უარყოფითი რიცხვების გამრავლებისა და გაყოფის წესებს.

გავიხსენოთ მნემონური წესი. (სლაიდი 2)

შეასრულეთ გამრავლება: (სლაიდი 3)

5x3; 9×(-4); -10×(-8); 36×(-0.1); -20×0,5; -13×(-0.2).

2. შეასრულეთ დაყოფა: (სლაიდი 4)

48:(-8); -24: (-2); -200:4; -4,9:7; -8,4: (-7); 15:(- 0,3).

3. ამოხსენით განტოლება: (სლაიდი 5)

3x=27; -5 x=-45; x: (2.5) = 5.

3. მათემატიკური კარნახი(სლაიდი 6.7)

ვარიანტი 1

ვარიანტი 2

მოსწავლეები ცვლიან რვეულებს, ასრულებენ ტესტს და აძლევენ შეფასებას.

4. ტესტის შესრულება (სლაიდი 8)

ოდესღაც რუსეთში წლებს ითვლიდნენ 1 მარტიდან, სასოფლო-სამეურნეო გაზაფხულის დაწყებიდან, პირველი გაზაფხულის წვეთიდან. მარტი იყო წლის "სტარტერი". თვის სახელწოდება "მარტი" რომაელებისგან მოდის. მათ ამ თვეს თავიანთი ღმერთის სახელი დაარქვეს, ტესტი დაგეხმარებათ გაიგოთ, როგორი ღმერთია ეს.

უპასუხე : მარციუსი

რომაელებმა ომის ღმერთის მარსის პატივსაცემად წელიწადის ერთ თვეს მარციუსი დაარქვეს. რუსეთში ეს სახელი გამარტივდა მხოლოდ პირველი ოთხი ასოს აღებით (სლაიდი 9).

ხალხი ამბობს: მარტი ღალატია, ხან ტირის, ხან იცინის. მარტთან დაკავშირებული ბევრი ხალხური ნიშანია. მის ზოგიერთ დღეს თავისი სახელები აქვს. მოდით, ახლა ყველამ ერთად შევადგინოთ მარტის ხალხური თვის წიგნი.

5.სავარჯიშოების ამოხსნა

მოსწავლეები დაფაზე ხსნიან მაგალითებს, რომელთა პასუხებია თვის დღეები. მაგალითი ჩნდება დაფაზე, შემდეგ კი თვის დღე სახელით და ხალხური ნიშანი.

(სლაიდები 10-დან 19-მდე)

4 მარტი -არქიპ. არქიპზე ქალები მთელი დღე სამზარეულოში უნდა გაეტარებინათ. რაც უფრო მეტ საკვებს მოამზადებს, მით უფრო მდიდარი იქნება სახლი.

2) y×(-2.5)=-15

6 მარტი- ტიმოფეი-გაზაფხული. თუ ტიმოფეის დღეს თოვლია, მაშინ მოსავალი გაზაფხულისთვისაა.

3) -50, 4:x=-4, 2

4) -0,25:5×(-260)

13 მარტი- ვასილი წვეთოვანი: წვეთები სახურავიდან. ჩიტები ბუდობენ, გადამფრენი ფრინველები დაფრინავენ თბილი ადგილებიდან.

5) -29,12: (-2,08)

14 მარტი- ევდოკია (ავდოტია სურო) - თოვლი ბრტყელდება ინფუზიით. გაზაფხულის მეორე შეხვედრა (პირველი შეხვედრაზე). როგორც ევდოკია, ისეა ზაფხული. ევდოკია წითელია - და გაზაფხული წითელია; თოვლი ევდოკიაზე - მოსავლისთვის.

6) (-6-3.6×2.5) ×(-1)

7) -81.6:48×(-10)

17 მარტი- გერასიმე მხურვალე შემოიტანა კვერთხები. ყანწები სახნავ-სათესი მიწაზე ეშვებიან და თუ პირდაპირ ბუდეში გაფრინდებიან, მეგობრული წყარო იქნება.

8) 7.15×(-4): (-1.3)

22 მარტი- კაჭკაჭი - დღე ღამეს უდრის. ზამთარი მთავრდება, გაზაფხული იწყება, ლარნაკები მოდიან. უძველესი ჩვეულების მიხედვით, ცომისგან აცხობენ ლარნაკებს და ღორებს.

9) -12,5×50: (-25)

10) 100+(-2,1:0,03)

30 მარტს- ალექსეი თბილია. წყალი მთებიდან მოდის, თევზი კი ბანაკიდან (ზამთრის ქოხიდან). როგორიც არ უნდა იყოს ნაკადულები ამ დღეს (დიდი თუ პატარა), ისეთივეა ჭალა (წყალდიდობა).

6. გაკვეთილის შეჯამება

ბიჭებო, მოგეწონათ დღევანდელი გაკვეთილი? რა ახალი ისწავლეთ დღეს? რა გავიმეორეთ? გირჩევთ მოამზადოთ საკუთარი თვის წიგნი აპრილისთვის. თქვენ უნდა იპოვოთ აპრილის ნიშნები და შექმნათ მაგალითები თვის დღის შესაბამისი პასუხებით.

7. საშინაო დავალება:გვ 218 No 1174, 1179(1) (სლაიდი20)

ახლა მოდით გავუმკლავდეთ გამრავლება და გაყოფა.

ვთქვათ, უნდა გავამრავლოთ +3 -4-ზე. Როგორ გავაკეთო ეს?

განვიხილოთ ასეთი შემთხვევა. სამი ადამიანი ვალშია და თითოეულს 4 დოლარი აქვს ვალი. რა არის მთლიანი დავალიანება? მის საპოვნელად სამივე დავალიანება უნდა დაამატო: 4 დოლარი + 4 დოლარი + 4 დოლარი = 12 დოლარი. ჩვენ გადავწყვიტეთ, რომ სამი რიცხვი 4-ის დამატება აღინიშნა 3x4. ვინაიდან ამ შემთხვევაში ჩვენ ვსაუბრობთ ვალზე, 4-ის წინ არის "-" ნიშანი. ჩვენ ვიცით, რომ მთლიანი დავალიანება არის $12, ამიტომ ჩვენი პრობლემა ახლა ხდება 3x(-4)=-12.

იგივე შედეგს მივიღებთ, თუ პრობლემის მიხედვით, ოთხივე ადამიანს აქვს 3 დოლარის ვალი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, (+4)x(-3)=-12. და რადგან ფაქტორების თანმიმდევრობას მნიშვნელობა არ აქვს, მივიღებთ (-4)x(+3)=-12 და (+4)x(-3)=-12.

მოდით შევაჯამოთ შედეგები. როდესაც ამრავლებთ ერთ დადებით და უარყოფით რიცხვს, შედეგი ყოველთვის იქნება უარყოფითი რიცხვი. პასუხის რიცხვითი მნიშვნელობა იგივე იქნება, რაც დადებითი რიცხვების შემთხვევაში. პროდუქტი (+4)x(+3)=+12. "-" ნიშნის არსებობა გავლენას ახდენს მხოლოდ ნიშანზე, მაგრამ არ ახდენს გავლენას ციფრულ მნიშვნელობაზე.

როგორ გავამრავლოთ ორი უარყოფითი რიცხვი?

სამწუხაროდ, ძალიან რთულია ამ თემაზე რეალური რეალური მაგალითის მოფიქრება. ადვილი წარმოსადგენია 3 ან 4 დოლარის ვალი, მაგრამ აბსოლუტურად შეუძლებელია წარმოიდგინო -4 ან -3 ადამიანი, ვინც ვალში ჩავარდა.

ალბათ სხვა გზით წავალთ. გამრავლებისას, როდესაც იცვლება ერთ-ერთი ფაქტორის ნიშანი, იცვლება პროდუქტის ნიშანი. თუ ორივე ფაქტორის ნიშანს შევცვლით, ორჯერ უნდა შევცვალოთ სამუშაო ნიშანი, ჯერ დადებითიდან უარყოფითამდე, შემდეგ კი პირიქით, უარყოფითიდან პოზიტიურამდე, ანუ პროდუქტს ექნება საწყისი ნიშანი.

აქედან გამომდინარე, საკმაოდ ლოგიკურია, თუმცა ცოტა უცნაურია, რომ (-3) x (-4) = +12.

მოაწერე პოზიციაგამრავლებისას იცვლება ასე:

• დადებითი რიცხვი x დადებითი რიცხვი = დადებითი რიცხვი;
• უარყოფითი რიცხვი x დადებითი რიცხვი = უარყოფითი რიცხვი;
• დადებითი რიცხვი x უარყოფითი რიცხვი = უარყოფითი რიცხვი;
• უარყოფითი რიცხვი x უარყოფითი რიცხვი = დადებითი რიცხვი.

Სხვა სიტყვებით, ორი რიცხვის გამრავლება იდენტური ნიშნები, ვიღებთ დადებით რიცხვს. გავამრავლოთ ორი რიცხვი სხვადასხვა ნიშნით, მივიღებთ უარყოფით რიცხვს.

იგივე წესი მოქმედებს გამრავლების საწინააღმდეგო მოქმედებაზე - for.

ამის დადასტურება მარტივად შეგიძლიათ გაშვებით შებრუნებული გამრავლების ოპერაციები. თითოეულ ზემოთ მოყვანილ მაგალითში, თუ კოეფიციენტს გაამრავლებთ გამყოფზე, მიიღებთ დივიდენდს და დარწმუნდით, რომ მას აქვს იგივე ნიშანი, მაგალითად (-3)x(-4)=(+12).

იმის გამო, რომ ზამთარი მოდის, დროა ვიფიქროთ იმაზე, თუ რაში შეცვალოთ თქვენი რკინის ცხენის ფეხსაცმელი, რათა ყინულზე არ გადაიჩეხოთ და ყინულზე თავდაჯერებულად არ იგრძნოთ თავი. ზამთრის გზები. შეგიძლიათ, მაგალითად, იყიდოთ იოკოჰამას საბურავები საიტზე: mvo.ru ან სხვა, მთავარია მაღალი ხარისხის იყოს, მეტი ინფორმაციადა ფასები შეგიძლიათ გაიგოთ ვებგვერდზე Mvo.ru.