როგორ შევქმნათ რიცხვების მიმდევრობის ფორმულა. მიმდევრობის ლიმიტის განსაზღვრა

დავუშვათ, რომ თითოეული ნატურალური რიცხვი შეესაბამება გარკვეულს რეალური რიცხვი: რიცხვი 1 შეესაბამება 1-ს, ნომერი 2 - a 2, რიცხვი n - a n. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვამბობთ, რომ მოცემულია რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომელიც იწერება შემდეგნაირად: a 1, a 2, ..., a n, სადაც a 1 არის პირველი წევრი, ხოლო 2 არის მეორე წევრი, ..., და n არის მე-1 ტერმინითანმიმდევრობები.

თანმიმდევრობის განსაზღვრის სამი ძირითადი გზა არსებობს.

1. ანალიტიკური.თანმიმდევრობა მოცემულია n-ე წევრის ფორმულით; მაგალითად, ფორმულა a n = n/(n+1) განსაზღვრავს თანმიმდევრობას a 1, a 2, ..., a n, რომლისთვისაც

და 1 = 1/(1+1) = 1/2; და 2 = 2/(2+1) = 2/3...;

იმათ. თანმიმდევრობა 1/2, 2/3, 3/4, …, n/(n + 1).

2. განმეორებადი.მიმდევრობის ნებისმიერი წევრი გამოიხატება მისი წინა წევრების მეშვეობით. მიმდევრობის მითითების ამ მეთოდით უნდა იყოს მითითებული მიმდევრობის პირველი წევრი და ფორმულა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მიმდევრობის ნებისმიერი წევრი ცნობილი წინა წევრებიდან.

ვიპოვოთ მიმდევრობის რამდენიმე წევრი a 1 = 1, a 2 = 1..., a n +2 = a n + a n +1.

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2;

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3 და ა.შ.

შედეგად მივიღებთ თანმიმდევრობას: 1, 1, 2, 3, 5….

3. ვერბალური.ეს არის თანმიმდევრობის დავალება აღწერილობით. მაგალითად, ათწილადის მიახლოებათა თანმიმდევრობა რიცხვის დეფიციტისთვის.

თანმიმდევრობა შეიძლება იყოს მზარდი ან კლებადი.

თანმიმდევრობა (a n), რომლის თითოეული წევრი ნაკლებია მომდევნოზე, ე.ი. თუ ნ< а n +1 для любого n, называется возрастающей последовательностью.

თანმიმდევრობა (a n), რომლის თითოეული წევრი მეტია მომდევნოზე, ე.ი. თუ a n > a n +1 ნებისმიერი n-ისთვის, მას კლებადი მიმდევრობა ეწოდება.

მაგალითად:

ა) 1, 4, 9, 16, 25, …, n 2, … – მზარდი თანმიმდევრობა;

ბ) -1, -2, -3, -4, ..., -n, ... – თანმიმდევრობა კლებადია;

გ) -1, 2, -3, 4, -5, 6, …, (-1) n ∙ n, … – არამზარდი და შეუმცირებელი თანმიმდევრობა;

დ) 3, 3, 3, 3, 3, 3, …, 3, … – მუდმივი (სტაციონარული) მიმდევრობა.

თუ მიმდევრობის ყოველი წევრი (a n), მეორიდან დაწყებული, უდრის წინას, დაემატა იმავე რიცხვს d, მაშინ ასეთ მიმდევრობას არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება. რიცხვს d ეწოდება პროგრესირების სხვაობა.

რომ., არითმეტიკული პროგრესიამოცემულია ტოლობით: a n +1 = a n + d. მაგალითად,

a 5 = a 4 + d.

d > 0-ისთვის, არითმეტიკული პროგრესია იზრდება, d< 0 убывает.

თანმიმდევრობა 3, 5, 7, 9, 11, 13... არის არითმეტიკული პროგრესია,
სადაც a 1 = 3, d = 2 (5 – 3, 7 – 5, 9 – 7 და ა.შ.).

ზოგჯერ განიხილება არა მთელი თანმიმდევრობა, რომელიც არის არითმეტიკული პროგრესია, არამედ მხოლოდ მისი პირველი რამდენიმე წევრი. ამ შემთხვევაში ჩვენ ვსაუბრობთ სასრულ არითმეტიკულ პროგრესიაზე.

არითმეტიკული პროგრესიას სამი თვისება აქვს.

1. არითმეტიკული პროგრესიის მე-n წევრის ფორმულა:

a n = a 1 + d(n – 1)

2. არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამის ფორმულები:

ა) S n = ((a 1 + a n)/2) ∙ n;

ბ) S n = ((2a 1 + d(n – 1))/2) ∙ n.

აქ S 1 = a 1, S n = a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n.

3. არითმეტიკული პროგრესიის დამახასიათებელი თვისება:თანმიმდევრობა არის არითმეტიკული თანმიმდევრობათუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი ყოველი წევრი, გარდა პირველისა (და უკანასკნელი სასრული არითმეტიკული პროგრესიის შემთხვევაში), უდრის წინა და მომდევნო წევრთა საშუალო არითმეტიკულს:

a n = (a n -1 + a n +1) / 2.

თუ (b n) მიმდევრობის პირველი წევრი არ არის ნულოვანი და ყოველი წევრი, მეორიდან დაწყებული, ტოლია წინას გამრავლებული იმავე არანულოვანი რიცხვით q, მაშინ ასეთი მიმდევრობა ე.წ. გეომეტრიული პროგრესია. რიცხვს q ეწოდება პროგრესიის მნიშვნელი.

ამრიგად, გეომეტრიული პროგრესია მოცემულია ტოლობით b n +1 = b n ∙ q . მაგალითად, b 7 = b 6 ∙ q.

თანმიმდევრობა 100, 30, 9, 27/10, ... არის გეომეტრიული პროგრესია, სადაც b 1 = 100, q = 3/10.

გეომეტრიული პროგრესია ხასიათდება სამი თვისებით

1. გეომეტრიული პროგრესიის მე-n წევრის ფორმულა:

b n = b 1 ∙ q n -1 .

2. გეომეტრიული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამის ფორმულები:

ა) S n = (b n q – b 1) / (q – 1);

ბ) S n = (b 1 (q n – 1)) / (q – 1).

3. გეომეტრიული პროგრესიის დამახასიათებელი თვისება:თანმიმდევრობა არის გეომეტრიული თანმიმდევრობათუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი თითოეული წევრი, გარდა პირველისა (და უკანასკნელი სასრული გეომეტრიული პროგრესიის შემთხვევაში), დაკავშირებულია წინა და მომდევნო წევრებთან ფორმულით:

b n 2 = b n -1 ∙ b n +1 .

blog.site, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა ორიგინალური წყაროს ბმული.

შესავალი ……………………………………………………………………………………… 3

1. თეორიული ნაწილი………………………………………………………………….4

ძირითადი ცნებები და ტერმინები ………………………………………………………………………………….

1.1 თანმიმდევრობების ტიპები……………………………………………………………………………

1.1.1.შეზღუდული და შეუზღუდავი რიცხვების თანმიმდევრობა…..6

1.1.2. მიმდევრობების ერთფეროვნება……………………………………………

1.1.3. უსასრულოდ დიდი და უსასრულოდ მცირე თანმიმდევრობები…….7

1.1.4. უსასრულოდ მცირე მიმდევრობის თვისებები………………………8

1.1.5.კონვერგენციული და განსხვავებული მიმდევრობები და მათი თვისებები.....9

1.2 თანმიმდევრობის ლიმიტი………………………………………………….11

1.2.1.თეორემები მიმდევრობის ზღვრებზე…………………………………15

1.3 არითმეტიკული პროგრესია……………………………………………

1.3.1. არითმეტიკული პროგრესიის თვისებები……………………………………..17

1.4 გეომეტრიული პროგრესია………………………………………………………………..19

1.4.1. გეომეტრიული პროგრესიის თვისებები…………………………………….19

1.5. ფიბონაჩის რიცხვები………………………………………………………………..21

1.5.1 ფიბონაჩის რიცხვების კავშირი ცოდნის სხვა სფეროებთან…………………….22

1.5.2. ფიბონაჩის რიცხვების სერიის გამოყენება ცოცხალი და უსულო ბუნების აღსაწერად………………………………………………………………………………………………………….23

2. საკუთარი კვლევა…………………………………………………….28

დასკვნა ……………………………………………………………………………….30

ცნობარების სია……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

შესავალი.

რიცხვების თანმიმდევრობა ძალიან საინტერესო და საგანმანათლებლო თემაა. ეს თემა ჩნდება დავალებებში გაზრდილი სირთულერომელსაც ავტორები სთავაზობენ სტუდენტებს დიდაქტიკური მასალებიმათემატიკური ოლიმპიადების ამოცანებში, მისაღები გამოცდებიუმაღლესისკენ საგანმანათლებლო დაწესებულებებიდა ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე. მე მაინტერესებს ვისწავლო თუ როგორ უკავშირდება მათემატიკური მიმდევრობები ცოდნის სხვა სფეროებს.

სამიზნე კვლევითი სამუშაოები: გააფართოვეთ ცოდნა რიცხვების თანმიმდევრობა.

1. განიხილეთ თანმიმდევრობა;

2. განიხილეთ მისი თვისებები;

3. განიხილეთ ანალიტიკური დავალებამიმდევრობები;

4. აჩვენოს თავისი როლი ცოდნის სხვა სფეროების განვითარებაში.

5. აჩვენეთ ფიბონაჩის რიცხვების სერიის გამოყენება ცოცხალი და უსულო ბუნების აღსაწერად.

1. თეორიული ნაწილი.

ძირითადი ცნებები და ტერმინები.

განმარტება. რიცხვითი მიმდევრობა არის y = f(x), x О N ფორმის ფუნქცია, სადაც N არის სიმრავლე. ნატურალური რიცხვები(ან ბუნებრივი არგუმენტის ფუნქცია), აღინიშნება y = f(n) ან y1, y2,…, yn,…. მნიშვნელობებს y1, y2, y3,... უწოდებენ მიმდევრობის პირველ, მეორე, მესამე,... წევრებს შესაბამისად.

რიცხვს a ეწოდება x = (x n) მიმდევრობის ზღვარი, თუ თვითნებურად წინასწარ განსაზღვრული თვითნებურად მცირე დადებითი რიცხვისთვის ε არის ნატურალური რიცხვი N ისეთი, რომ ყველა n>N-ისთვის უტოლობა |x n - a|< ε.

თუ რიცხვი a არის x = (x n) მიმდევრობის ზღვარი, მაშინ ისინი ამბობენ, რომ x n მიდრეკილია a-სკენ და წერენ

მიმდევრობა (yn) ნათქვამია, რომ იზრდება, თუ თითოეული წევრი (პირველის გარდა) მეტია წინაზე:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

მიმდევრობას (yn) ეწოდება კლებადი, თუ თითოეული წევრი (პირველის გარდა) ნაკლებია წინაზე:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > ….

მზარდი და დაღმავალი მიმდევრობები გაერთიანებულია ზოგადი ტერმინი- მონოტონური თანმიმდევრობები.

მიმდევრობას პერიოდული ეწოდება, თუ არსებობს ისეთი ნატურალური რიცხვი T, რომ რაღაც n-დან დაწყებული, მოქმედებს თანასწორობა yn = yn+T. რიცხვს T ეწოდება პერიოდის სიგრძე.

არითმეტიკული პროგრესია არის თანმიმდევრობა (an), რომლის ყოველი წევრი მეორედან დაწყებული, ჯამის ტოლიწინა წევრს და იგივე რიცხვს d ეწოდება არითმეტიკული პროგრესია, ხოლო რიცხვი d არის არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.

ამრიგად, არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვითი თანმიმდევრობა (an), რომელიც განმეორებით განისაზღვრება ურთიერთობებით

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, ...)

გეომეტრიული პროგრესია არის თანმიმდევრობა, რომელშიც ყველა წევრი განსხვავდება ნულიდან და რომლის თითოეული წევრი, მეორიდან დაწყებული, მიიღება წინა წევრიდან იმავე რიცხვზე q გამრავლებით.

ამრიგად, გეომეტრიული პროგრესია არის რიცხვითი თანმიმდევრობა (bn), რომელიც განმეორებით განისაზღვრება ურთიერთობებით

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 მიმდევრობის სახეები.

1.1.1 შეზღუდული და შეუზღუდავი მიმდევრობები.

მიმდევრობა (bn) ნათქვამია, რომ შემოსაზღვრულია ზემოთ, თუ არის ისეთი რიცხვი M, რომ ნებისმიერი n რიცხვისთვის მოქმედებს bn≤ M უტოლობა;

მიმდევრობას (bn) უწოდებენ შეზღუდულს ქვემოთ, თუ არის ისეთი რიცხვი M, რომ ნებისმიერი n რიცხვისთვის მოქმედებს bn≥ M უტოლობა;

მაგალითად:

1.1.2 მიმდევრობების ერთფეროვნება.

მიმდევრობას (bn) ეწოდება არამზარდი (არაკლებადი), თუ ნებისმიერი n რიცხვისთვის bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1) ჭეშმარიტია;

მიმდევრობას (bn) ეწოდება კლებადი (მზარდი), თუ რომელიმე რიცხვისთვის n უტოლობა bn> bn+1 (bn

კლებად და მზარდ მიმდევრობებს მკაცრად მონოტონური ეწოდება, არამზარდი მიმდევრობებს ფართო გაგებით მონოტონური.

მიმდევრობებს, რომლებიც შემოსაზღვრულია როგორც ზემოთ, ისე ქვემოთ, შეზღუდულს უწოდებენ.

ყველა ამ ტიპის თანმიმდევრობას მონოტონური ეწოდება.

1.1.3 უსასრულოდ დიდი და პატარა მიმდევრობები.

უსასრულოდ მცირე მიმდევრობა არის რიცხვითი ფუნქცია ან თანმიმდევრობა, რომელიც მიდრეკილია ნულისკენ.

an მიმდევრობა არის უსასრულოდ მცირე თუ

ფუნქციას ეწოდება უსასრულო მცირე x0 წერტილის სამეზობლოში, თუ ℓimx→x0 f(x)=0.

ფუნქციას უსასრულობაში უსასრულოდ მცირე ეწოდება, თუ ℓimx→.+∞ f(x)=0 ან ℓimx→-∞ f(x)=0

ასევე უსასრულოდ მცირე არის ფუნქცია, რომელიც წარმოადგენს განსხვავებას ფუნქციასა და მის ზღვარს შორის, ანუ თუ ℓimx→.+∞ f(x)=a, მაშინ f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f(( x)-a)=0.

უსასრულოდ დიდი მიმდევრობა არის რიცხვითი ფუნქცია ან თანმიმდევრობა, რომელიც მიდრეკილია უსასრულობისკენ.

an მიმდევრობაზე ამბობენ, რომ უსასრულოდ დიდია თუ

ℓimn→0 an=∞.

ფუნქციას ამბობენ, რომ უსასრულოდ დიდია x0 წერტილის სამეზობლოში, თუ ℓimx→x0 f(x)= ∞.

ფუნქციას ამბობენ, რომ უსასრულოდ დიდია უსასრულობაში თუ

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ ან ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 უსასრულოდ მცირე მიმდევრობების თვისებები.

ორი უსასრულოდ მცირე მიმდევრობის ჯამი თავისთავად ასევე უსასრულო მიმდევრობაა.

ორი უსასრულო მიმდევრობის სხვაობა თავისთავად ასევე უსასრულო მიმდევრობაა.

ნებისმიერი სასრული რაოდენობის უსასრულო მიმდევრობის ალგებრული ჯამი თავისთავად ასევე უსასრულო მიმდევრობაა.

შემოსაზღვრული მიმდევრობისა და უსასრულოდ მცირე მიმდევრობის ნამრავლი არის უსასრულოდ მცირე მიმდევრობა.

ნებისმიერი სასრული რაოდენობის უსასრულო მიმდევრობის ნამრავლი არის უსასრულო მცირე მიმდევრობა.

ნებისმიერი უსასრულოდ მცირე თანმიმდევრობა შემოსაზღვრულია.

თუ სტაციონარული მიმდევრობა უსასრულოდ მცირეა, მაშინ მისი ყველა ელემენტი, გარკვეული წერტილიდან დაწყებული, ნულის ტოლია.

თუ მთელი უსასრულოდ მცირე თანმიმდევრობა შედგება იდენტური ელემენტებისაგან, მაშინ ეს ელემენტები ნულებია.

თუ (xn) არის უსასრულოდ დიდი თანმიმდევრობა, რომელიც არ შეიცავს ნულოვან წევრებს, მაშინ არის მიმდევრობა (1/xn), რომელიც უსასრულოდ მცირეა. თუმცა, თუ (xn) შეიცავს ნულოვან ელემენტებს, მაშინ თანმიმდევრობა (1/xn) მაინც შეიძლება განისაზღვროს რაღაც n რიცხვიდან დაწყებული და მაინც იქნება უსასრულოდ მცირე.

თუ (an) არის უსასრულოდ მცირე მიმდევრობა, რომელიც არ შეიცავს ნულოვან წევრებს, მაშინ არის მიმდევრობა (1/an), რომელიც უსასრულოდ დიდია. თუ (an) მაინც შეიცავს ნულოვან ელემენტებს, მაშინ მიმდევრობა (1/an) მაინც შეიძლება განისაზღვროს რაღაც n რიცხვიდან დაწყებული და მაინც უსასრულოდ დიდი იქნება.

1.1.5 კონვერგენტული და განსხვავებული მიმდევრობები და მათი თვისებები.

კონვერგენტული მიმდევრობა არის X სიმრავლის ელემენტების თანმიმდევრობა, რომელსაც აქვს ლიმიტი ამ სიმრავლეში.

განსხვავებული მიმდევრობა არის მიმდევრობა, რომელიც არ არის კონვერგენტული.

ყოველი უსასრულოდ მცირე თანმიმდევრობა კონვერგენტულია. მისი ზღვარი არის ნული.

ნებისმიერი სასრული რაოდენობის ელემენტების ამოღება დემონიდან სასრული თანმიმდევრობაარ ახდენს გავლენას ამ თანმიმდევრობის არც კონვერგენციაზე და არც ზღვარზე.

ნებისმიერი კონვერგენტული მიმდევრობა შემოსაზღვრულია. თუმცა, ყველა შემოსაზღვრული თანმიმდევრობა არ ემთხვევა.

თუ მიმდევრობა (xn) იყრის თავს, მაგრამ არ არის უსასრულოდ მცირე, მაშინ, გარკვეული რიცხვიდან დაწყებული, განისაზღვრება მიმდევრობა (1/xn), რომელიც შემოსაზღვრულია.

კონვერგენტული მიმდევრობების ჯამი ასევე კონვერგენტული მიმდევრობაა.

კონვერგენტული მიმდევრობების განსხვავება ასევე არის კონვერგენტული მიმდევრობა.

კონვერგენტული მიმდევრობების ნამრავლი ასევე კონვერგენტული მიმდევრობაა.

ორი კონვერგენტული მიმდევრობის კოეფიციენტი განისაზღვრება რომელიმე ელემენტიდან დაწყებული, თუ მეორე მიმდევრობა უსასრულოდ მცირეა. თუ ორი კონვერგენტული მიმდევრობის კოეფიციენტი არის განსაზღვრული, მაშინ ეს არის კონვერგენტული მიმდევრობა.

თუ კონვერგენტული თანმიმდევრობა შემოიფარგლება ქვემოთ, მაშინ მისი არც ერთი მინიმუმი არ აჭარბებს მის ზღვარს.

თუ კონვერგენტული მიმდევრობა შემოიფარგლება ზემოთ, მაშინ მისი ზღვარი არ აღემატება არცერთ ზედა ზღვარს.

თუ რომელიმე რიცხვისთვის ერთი კონვერგენტული მიმდევრობის წევრები არ აღემატება სხვა კონვერგენტული მიმდევრობის წევრებს, მაშინ პირველი მიმდევრობის ზღვარი ასევე არ აღემატება მეორის ზღვარს.

ვიდა წ= ვ(x), xშესახებ ნ, სად ნ– ნატურალური რიცხვების სიმრავლე (ან ნატურალური არგუმენტის ფუნქცია), აღინიშნება წ=ვ(ნ) ან წ 1 ,წ 2 ,…, y n,…. ღირებულებები წ 1 ,წ 2 ,წ 3 ,… ეძახიან შესაბამისად პირველ, მეორე, მესამე, ... მიმდევრობის წევრებს.

მაგალითად, ფუნქციისთვის წ= ნ 2 შეიძლება დაიწეროს:

წ 1 = 1 2 = 1;

წ 2 = 2 2 = 4;

წ 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

მიმდევრობის დაზუსტების მეთოდები.თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს სხვადასხვა გზით, რომელთა შორის სამი განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია: ანალიტიკური, აღწერითი და განმეორებითი.

1. მიმდევრობა მოცემულია ანალიზურად, თუ მოცემულია მისი ფორმულა ნწევრი:

y n=ვ(ნ).

მაგალითი. y n= 2n – 1 – კენტი რიცხვების თანმიმდევრობა: 1, 3, 5, 7, 9,…

2. აღწერითი რიცხვითი მიმდევრობის დაზუსტების გზა არის იმის ახსნა, თუ რომელი ელემენტებიდან არის აგებული მიმდევრობა.

მაგალითი 1. „მიმდევრობის ყველა წევრი უდრის 1-ს“. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ ვსაუბრობთ სტაციონარულ მიმდევრობაზე 1, 1, 1, ..., 1, ....

მაგალითი 2: "მიმდევრობა შედგება ყველა მარტივი რიცხვისაგან ზრდადი მიმდევრობით." ამრიგად, მოცემული თანმიმდევრობა არის 2, 3, 5, 7, 11, .... ამ მაგალითში მიმდევრობის დაზუსტების ამ მეთოდით ძნელია პასუხის გაცემა, ვთქვათ, რის ტოლია მიმდევრობის მე-1000 ელემენტი.

3. თანმიმდევრობის მითითების განმეორებითი მეთოდი არის წესის მითითება, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ნ-მიმდევრობის მე-ე წევრი, თუ ცნობილია მისი წინა წევრები. სახელწოდება მორეციდივე მეთოდი მომდინარეობს ლათინური სიტყვიდან განმეორებადი-დაბრუნდი. ყველაზე ხშირად, ასეთ შემთხვევებში, მითითებულია ფორმულა, რომელიც საშუალებას აძლევს ადამიანს გამოხატოს ნმიმდევრობის მე-1 წევრი წინაზე და მიუთითეთ მიმდევრობის 1-2 საწყისი წევრი.

მაგალითი 1. წ 1 = 3; y n = y n–1 + 4 თუ ნ = 2, 3, 4,….

აქ წ 1 = 3; წ 2 = 3 + 4 = 7;წ 3 = 7 + 4 = 11; ….

თქვენ ხედავთ, რომ ამ მაგალითში მიღებული თანმიმდევრობა ასევე შეიძლება დაზუსტდეს ანალიტიკურად: y n= 4n – 1.

მაგალითი 2. წ 1 = 1; წ 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 თუ ნ = 3, 4,….

აქ: წ 1 = 1; წ 2 = 1; წ 3 = 1 + 1 = 2; წ 4 = 1 + 2 = 3; წ 5 = 2 + 3 = 5; წ 6 = 3 + 5 = 8;

ამ მაგალითში თანმიმდევრობა განსაკუთრებით შესწავლილია მათემატიკაში, რადგან მას აქვს მრავალი საინტერესო თვისება და გამოყენება. მას ფიბონაჩის მიმდევრობას უწოდებენ, რომელსაც მე-13 საუკუნის იტალიელი მათემატიკოსის სახელი ეწოდა. ფიბონაჩის თანმიმდევრობის განმეორებით განსაზღვრა ძალიან ადვილია, მაგრამ ანალიტიკურად ძალიან რთული. ნფიბონაჩის რიცხვი გამოიხატება მისი მეშვეობით სერიული ნომერიშემდეგი ფორმულა.

ერთი შეხედვით, ფორმულა ნფიბონაჩის რიცხვი წარმოუდგენელია, რადგან ფორმულა, რომელიც განსაზღვრავს ნატურალური რიცხვების თანმიმდევრობას, შეიცავს მხოლოდ კვადრატულ ფესვებს, მაგრამ შეგიძლიათ „ხელით“ შეამოწმოთ ამ ფორმულის მართებულობა პირველი რამდენიმესთვის. ნ.

რიცხვთა მიმდევრობის თვისებები.

რიცხვითი მიმდევრობა არის რიცხვითი ფუნქციის განსაკუთრებული შემთხვევა, ამიტომ ფუნქციების მთელი რიგი თვისებები ასევე განიხილება მიმდევრობებისთვის.

განმარტება . შემდგომი ( y n} ეწოდება მზარდი, თუ მისი თითოეული წევრი (გარდა პირველისა) მეტია წინაზე:

წ 1 y 2 y 3 y n y n +1

განმარტება.მიმდევრობა ( y n} კლებადი ეწოდება, თუ მისი ყოველი პირობა (პირველის გარდა) წინაზე ნაკლებია:

წ 1 > წ 2 > წ 3 > … > y n> y n +1 > … .

მზარდი და კლებადი მიმდევრობები გაერთიანებულია საერთო ტერმინით - მონოტონური მიმდევრობები.

მაგალითი 1. წ 1 = 1; y n= ნ 2 - მზარდი თანმიმდევრობა.

ამრიგად, შემდეგი თეორემა მართალია (არითმეტიკული პროგრესიის დამახასიათებელი თვისება). რიცხვითი მიმდევრობა არის არითმეტიკული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი თითოეული წევრი, გარდა პირველისა (და უკანასკნელი სასრული მიმდევრობის შემთხვევაში), უდრის წინა და მომდევნო წევრების საშუალო არითმეტიკულს.

მაგალითი. რა ღირებულებით xნომრები 3 x + 2, 5x- 4 და 11 x+ 12 ქმნიან სასრულ არითმეტიკულ პროგრესიას?

მიხედვით დამახასიათებელი თვისება, მოცემული გამონათქვამები უნდა აკმაყოფილებდეს მიმართებას

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

ამ განტოლების ამოხსნა იძლევა x= –5,5. ამ ღირებულებით xმოცემული გამონათქვამები 3 x + 2, 5x- 4 და 11 x+ 12 იღებს, შესაბამისად, მნიშვნელობებს -14.5, –31,5, –48,5. ეს არის არითმეტიკული პროგრესია, მისი სხვაობა არის –17.

გეომეტრიული პროგრესია.

რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის ყველა წევრი არ არის ნულოვანი და რომლის თითოეული წევრი, მეორიდან დაწყებული, მიიღება წინა წევრიდან იმავე რიცხვზე გამრავლებით. ქ, ეწოდება გეომეტრიულ პროგრესიას და რიცხვს ქ- გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი.

ამრიგად, გეომეტრიული პროგრესია არის რიცხვითი თანმიმდევრობა ( b n), რეკურსიულად განსაზღვრული ურთიერთობებით

ბ 1 = ბ, b n = b n –1 ქ (ნ = 2, 3, 4…).

(ბდა q -მოცემული ნომრები, ბ ≠ 0, ქ ≠ 0).

მაგალითი 1. 2, 6, 18, 54, ... – გეომეტრიული პროგრესიის გაზრდა ბ = 2, ქ = 3.

მაგალითი 2. 2, –2, 2, –2, … – გეომეტრიული პროგრესია ბ= 2,ქ= –1.

მაგალითი 3. 8, 8, 8, 8,… – გეომეტრიული პროგრესია ბ= 8, ქ= 1.

გეომეტრიული პროგრესია არის მზარდი თანმიმდევრობა, თუ ბ 1 > 0, ქ> 1 და მცირდება თუ ბ 1 > 0, 0 ქ

გეომეტრიული პროგრესიის ერთ-ერთი აშკარა თვისება ის არის, რომ თუ მიმდევრობა გეომეტრიული პროგრესიაა, მაშინ ასეა კვადრატების მიმდევრობა, ე.ი.

ბ 1 2 , ბ 2 2 , ბ 3 2 , …, b n 2,... არის გეომეტრიული პროგრესია, რომლის პირველი წევრი უდრის ბ 1 2 და მნიშვნელი არის ქ 2 .

ფორმულა n-გეომეტრიული პროგრესიის მე-6 ტერმინს აქვს ფორმა

b n= ბ 1 qn– 1 .

შეგიძლიათ მიიღოთ ფორმულა სასრული გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამისთვის.

მიეცით სასრული გეომეტრიული პროგრესია

ბ 1 ,ბ 2 ,ბ 3 , …, b n

ნება S n -მისი წევრების ჯამი, ე.ი.

S n= ბ 1 + ბ 2 + ბ 3 + … +b n.

მიღებულია რომ ქ No 1. რათა დადგინდეს S nგამოიყენება ხელოვნური ტექნიკა: შესრულებულია გამოხატვის ზოგიერთი გეომეტრიული ტრანსფორმაცია S n q.

S n q = (ბ 1 + ბ 2 + ბ 3 + … + b n –1 + b n)ქ = ბ 2 + ბ 3 + ბ 4 + …+ b n+ ბ ნ ქ = S n+ ბ ნ ქ– ბ 1 .

ამრიგად, S n q= S n +b n q – ბ 1 და ამიტომ

ეს არის ფორმულა umma n გეომეტრიული პროგრესიის პირობებიიმ შემთხვევისთვის, როდესაც ქ≠ 1.

ზე ქ= 1 ფორმულა ცალ-ცალკე არ არის გამოყვანილი, აშკარაა, რომ ამ შემთხვევაში S n= ა 1 ნ.

პროგრესიას ეწოდება გეომეტრიული, რადგან მასში არსებული თითოეული ტერმინი, გარდა პირველისა, უდრის წინა და შემდგომი ტერმინების გეომეტრიულ საშუალოს. მართლაც, მას შემდეგ

bn=bn- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

აქედან გამომდინარე, b n 2=bn– 1 bn+ 1 და შემდეგი თეორემა მართალია (გეომეტრიული პროგრესიის დამახასიათებელი თვისება):

რიცხვითი მიმდევრობა არის გეომეტრიული პროგრესია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი თითოეული წევრის კვადრატი, გარდა პირველისა (და უკანასკნელი სასრული მიმდევრობის შემთხვევაში), პროდუქტის ტოლიწინა და მომდევნო წევრები.

თანმიმდევრულობის ლიმიტი.

იყოს თანმიმდევრობა ( c n} = {1/ნ}. ამ თანმიმდევრობას ჰარმონიული ეწოდება, რადგან მისი ყოველი ტერმინი, მეორიდან დაწყებული, არის ჰარმონიული საშუალო წინა და მომდევნო ტერმინებს შორის. საშუალო გეომეტრიული რიცხვები ადა ბარის ნომერი

IN წინააღმდეგ შემთხვევაშითანმიმდევრობას დივერგენტული ეწოდება.

ამ განსაზღვრებიდან გამომდინარე, შეიძლება, მაგალითად, დაამტკიცოს ლიმიტის არსებობა A=0ჰარმონიული თანმიმდევრობისთვის ( c n} = {1/ნ). დაე, ε იყოს თვითნებურად პატარა დადებითი რიცხვი. განიხილება განსხვავება

ასეთი რამ არსებობს? ნეს ყველასთვის n ≥ ნმოქმედებს უტოლობა 1 / N ? თუ მივიღებთ როგორც ნნებისმიერი ბუნებრივი რიცხვი, რომელიც აღემატება 1/ε , შემდეგ ყველასთვის n ≥ Nმოქმედებს უტოლობა 1 /n ≤ 1/N ε , ქ.ე.დ.

კონკრეტული თანმიმდევრობისთვის ლიმიტის არსებობის დამტკიცება ზოგჯერ შეიძლება ძალიან რთული იყოს. ყველაზე ხშირად წარმოქმნილი თანმიმდევრობები კარგად არის შესწავლილი და ჩამოთვლილია საცნობარო წიგნებში. არსებობს მნიშვნელოვანი თეორემები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ დაასკვნათ, რომ მოცემულ მიმდევრობას აქვს ლიმიტი (და გამოთვალოთ კიდეც), უკვე შესწავლილი მიმდევრობების საფუძველზე.

თეორემა 1. თუ მიმდევრობას აქვს ზღვარი, მაშინ ის შემოსაზღვრულია.

თეორემა 2. თუ მიმდევრობა არის მონოტონური და შემოსაზღვრული, მაშინ მას აქვს ზღვარი.

თეორემა 3. თუ მიმდევრობა ( a n} აქვს საზღვარი ა, შემდეგ მიმდევრობები ( დაახლოებით ნ}, {a n+ გ) და (| a n|} აქვს საზღვრები cA, ა +გ, |ა| შესაბამისად (აქ გ- თვითნებური ნომერი).

თეორემა 4. თუ მიმდევრობები ( a n} და ( b n) აქვს ტოლი ლიმიტები ადა ბ pa n + qbn) აქვს ლიმიტი pA+ qB.

თეორემა 5. თუ მიმდევრობები ( a n) და ( b n) აქვს ტოლი ლიმიტები ადა ბშესაბამისად, შემდეგ თანმიმდევრობა ( a n b n) აქვს ლიმიტი AB.

თეორემა 6. თუ მიმდევრობები ( a n} და ( b n) აქვს ტოლი ლიმიტები ადა ბშესაბამისად და გარდა ამისა, b n ≠ 0 და B≠ 0, შემდეგ თანმიმდევრობა ( a n / b n) აქვს ლიმიტი A/B.

ანა ჩუგაინოვა

განვიხილოთ ნატურალური რიცხვების სერია: 1, 2, 3, , ნ – 1, ნ,  .

თუ ყველა ნატურალურ რიცხვს შევცვლით ნამ სერიაში გარკვეული რაოდენობით ა ნზოგიერთი კანონის მიხედვით, ჩვენ ვიღებთ რიცხვების ახალ სერიას:

ა 1 , ა 2 , ა 3, , ა ნ –1 , ა ნ , ,

მოკლედ დაინიშნა და გამოიძახა რიცხვითი თანმიმდევრობა. მაგნიტუდა ა ნეწოდება რიცხვთა მიმდევრობის საერთო წევრი. ჩვეულებრივ, რიცხვების თანმიმდევრობა მოცემულია რაიმე ფორმულით ა ნ = ვ(ნ) საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მიმდევრობის ნებისმიერი წევრი მისი ნომრის მიხედვით ნ; ამ ფორმულას ეწოდება ზოგადი ტერმინი ფორმულა. გაითვალისწინეთ, რომ ყოველთვის არ არის შესაძლებელი რიცხვითი მიმდევრობის განსაზღვრა ზოგადი ტერმინის ფორმულის გამოყენებით; ზოგჯერ თანმიმდევრობა მითითებულია მისი წევრების აღწერით.

განმარტებით, მიმდევრობა ყოველთვის შეიცავს ელემენტთა უსასრულო რაოდენობას: ნებისმიერი ორი განსხვავებული ელემენტი განსხვავდება მათი რიცხვით მაინც, რომელთაგანაც უსასრულოდ ბევრია.

რიცხვების თანმიმდევრობა არის ფუნქციის განსაკუთრებული შემთხვევა. თანმიმდევრობა არის ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია ნატურალური რიცხვების სიმრავლეზე და იღებს მნიშვნელობებს რეალური რიცხვების სიმრავლეში, ანუ ფორმის ფუნქცია. ვ : ნ  რ.

ქვემიმდევრობა
დაურეკა იზრდება(მცირდება), თუ რომელიმე ნ  ნ
ასეთ თანმიმდევრობას ე.წ მკაცრად ერთფეროვანი.

ზოგჯერ მოსახერხებელია არა ყველა ნატურალური რიცხვის რიცხვად გამოყენება, არამედ მხოლოდ ზოგიერთი მათგანი (მაგალითად, ნატურალური რიცხვები, რომლებიც იწყება ნატურალური რიცხვიდან. ნ 0). ნუმერაციისთვის ასევე შესაძლებელია გამოვიყენოთ არა მხოლოდ ნატურალური რიცხვები, არამედ სხვა რიცხვებიც, მაგალითად, ნ= 0, 1, 2,  (აქ ნული ემატება როგორც სხვა რიცხვი ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს). ასეთ შემთხვევებში, თანმიმდევრობის მითითებისას მიუთითეთ რა მნიშვნელობებს იღებს რიცხვები ნ.

თუ რომელიმე თანმიმდევრობით ნ  ნ
მაშინ თანმიმდევრობა ეწოდება არ კლებულობს(არ მზარდი). ასეთ თანმიმდევრობას ე.წ ერთფეროვანი.

მაგალითი 1 . რიცხვთა თანმიმდევრობა 1, 2, 3, 4, 5, ... არის ნატურალური რიცხვების სერია და აქვს საერთო ტერმინი. ა ნ = ნ.

მაგალითი 2 . რიცხვთა თანმიმდევრობა 2, 4, 6, 8, 10, ... არის ლუწი რიცხვების სერია და აქვს საერთო ტერმინი ა ნ = 2ნ.

მაგალითი 3 . 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ... - სავარაუდო მნიშვნელობების რიცხვითი თანმიმდევრობა მზარდი სიზუსტით.

ბოლო მაგალითში შეუძლებელია მიმდევრობის ზოგადი ტერმინის ფორმულის მიცემა.

მაგალითი 4 . დაწერეთ რიცხვითი მიმდევრობის პირველი 5 წევრი მისი საერთო ტერმინის გამოყენებით
. გამოთვლა ა 1 საჭიროა ზოგადი ტერმინის ფორმულაში ა ნნაცვლად ნჩაანაცვლე 1 გამოთვლა ა 2 − 2 და ა.შ. მაშინ გვაქვს:

ტესტი 6 . 1, 2, 6, 24, 120,  მიმდევრობის საერთო წევრია:

ტესტი 7 .
არის:

ტესტი 8 . მიმდევრობის საერთო წევრი
არის:

რიცხვების თანმიმდევრობის ლიმიტი

განვიხილოთ რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის საერთო ტერმინი უახლოვდება გარკვეულ რიცხვს აროდესაც სერიული ნომერი იზრდება ნ. ამ შემთხვევაში რიცხვთა თანმიმდევრობას აქვს ლიმიტი. ამ კონცეფციას უფრო მკაცრი განმარტება აქვს.

ნომერი აეწოდება რიცხვთა მიმდევრობის ზღვარი
:

(1)

თუ რომელიმე  > 0-ისთვის არის ასეთი რიცხვი ნ 0 = ნ 0 (), დამოკიდებულია -ზე, რომელიც
ზე ნ > ნ 0 .

ეს განმარტება იმას ნიშნავს აარსებობს რიცხვის მიმდევრობის ზღვარი, თუ მისი საერთო ტერმინი უახლოვდება შეუზღუდავად ამატებასთან ერთად ნ. გეომეტრიულად ეს ნიშნავს, რომ ნებისმიერი  > 0-ისთვის შეიძლება ასეთი რიცხვის პოვნა ნ 0, რომელიც, დაწყებული ნ > ნ 0, მიმდევრობის ყველა წევრი განლაგებულია ინტერვალის შიგნით ( ა – , ა+ ). ლიმიტის მქონე მიმდევრობას ეწოდება კონვერგენტული; წინააღმდეგ შემთხვევაში - განსხვავებული.

რიცხვთა თანმიმდევრობას შეიძლება ჰქონდეს გარკვეული ნიშნის მხოლოდ ერთი ზღვარი (სასრული ან უსასრულო).

მაგალითი 5 . ჰარმონიული თანმიმდევრობა აქვს ზღვრული რიცხვი 0. მართლაც, ნებისმიერი ინტერვალისთვის (–; +), როგორც რიცხვი ნ 0 შეიძლება იყოს ნებისმიერი მთელი რიცხვი მეტი. მაშინ ყველასთვის ნ > ნ 0 > გვაქვს

მაგალითი 6 . თანმიმდევრობა 2, 5, 2, 5,  განსხვავებულია. მართლაც, არც ერთი სიგრძის ინტერვალი, მაგალითად, ერთზე ნაკლები, არ შეიძლება შეიცავდეს მიმდევრობის ყველა წევრს, დაწყებული გარკვეული რიცხვიდან.

თანმიმდევრობა ე.წ შეზღუდულითუ ასეთი რიცხვი არსებობს მ, რა
ყველასთვის ნ. ყველა კონვერგენტული მიმდევრობა შემოსაზღვრულია. ყველა მონოტონურ და შემოსაზღვრულ მიმდევრობას აქვს საზღვარი. ყველა კონვერგენტულ მიმდევრობას აქვს უნიკალური ზღვარი.

მაგალითი 7 . ქვემიმდევრობა
იზრდება და შეზღუდულია. მას აქვს საზღვარი
=ე.

ნომერი ედაურეკა ეილერის ნომერიდა დაახლოებით უდრის 2.718 28.

ტესტი 9 . თანმიმდევრობა 1, 4, 9, 16,  არის:

1) კონვერგენტული;

2) განსხვავებული;

3) შეზღუდული;

ტესტი 10 . ქვემიმდევრობა
არის:

1) კონვერგენტული;

2) განსხვავებული;

3) შეზღუდული;

4) არითმეტიკული პროგრესია;

5) გეომეტრიული პროგრესია.

ტესტი 11 . ქვემიმდევრობა არ არის:

1) კონვერგენტული;

2) განსხვავებული;

3) შეზღუდული;

4) ჰარმონიული.

ტესტი 12 . საერთო ტერმინით მოცემული მიმდევრობის ლიმიტი
თანაბარი.

რიცხვთა თანმიმდევრობა და მისი ზღვარი წარმოადგენს ერთ-ერთს ყველაზე მნიშვნელოვანი პრობლემებიმათემატიკა ამ მეცნიერების ისტორიის განმავლობაში. მუდმივად განახლებული ცოდნა, ჩამოყალიბებული ახალი თეორემები და მტკიცებულებები - ეს ყველაფერი საშუალებას გვაძლევს განვიხილოთ ეს კონცეფციაახალი პოზიციებიდან და სხვადასხვა ქვეშ

რიცხვების თანმიმდევრობა, ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებული განმარტების მიხედვით, არის მათემატიკური ფუნქცია, რომლის საფუძველს წარმოადგენს ამა თუ იმ ნიმუშის მიხედვით მოწყობილი ნატურალური რიცხვების ერთობლიობა.

რიცხვების თანმიმდევრობის შესაქმნელად რამდენიმე ვარიანტი არსებობს.

პირველ რიგში, ეს ფუნქცია შეიძლება განისაზღვროს ეგრეთ წოდებული „გამოკვეთილი“ გზით, როდესაც არსებობს გარკვეული ფორმულა, რომლის დახმარებითაც მისი თითოეული წევრი შეიძლება განისაზღვროს სერიული ნომრის მოცემულ თანმიმდევრობაში უბრალოდ ჩანაცვლებით.

მეორე მეთოდს ეწოდება "განმეორებადი". მისი არსი იმაში მდგომარეობს, რომ მითითებულია რიცხვითი მიმდევრობის პირველი რამდენიმე ტერმინი, ასევე სპეციალური განმეორებადი ფორმულა, რომლის დახმარებითაც, წინა ტერმინის ცოდნით, შეგიძლიათ იპოვოთ შემდეგი.

საბოლოოდ, უმეტესობა ზოგადადთანმიმდევრობის მინიჭება არის ეგრეთ წოდებული, როდესაც დიდი სირთულის გარეშე შეგიძლიათ არა მხოლოდ ამა თუ იმ წევრის იდენტიფიცირება გარკვეული სერიული ნომრის ქვეშ, არამედ რამდენიმე თანმიმდევრული წევრის ცოდნით, მიხვიდეთ ზოგადი ფორმულაამ ფუნქციას.

რიცხვების თანმიმდევრობა შეიძლება იყოს კლებადი ან გაზრდილი. პირველ შემთხვევაში ყოველი მომდევნო წევრი წინაზე ნაკლებია, მეორეში კი პირიქით უფრო დიდია.

იმის გათვალისწინებით ამ თემას, არ შეიძლება არ შევეხოთ მიმდევრობის საზღვრების საკითხს. მიმდევრობის ზღვარი არის რიცხვი, როდესაც ნებისმიერი, მათ შორის უსასრულო, მნიშვნელობისთვის არის რიგითი რიცხვი, რომლის შემდეგაც ხდება მიმდევრობის თანმიმდევრული წევრების გადახრა მოცემული წერტილირიცხვითი სახით ხდება ამ ფუნქციის ფორმირებისას მითითებულ მნიშვნელობაზე ნაკლები.

რიცხვითი მიმდევრობის ზღვრის კონცეფცია აქტიურად გამოიყენება გარკვეული ინტეგრალური და დიფერენციალური გამოთვლების განხორციელებისას.

მათემატიკურ მიმდევრობებს საკმაოდ საინტერესო თვისებების მთელი ნაკრები აქვთ.

პირველ რიგში, ნებისმიერი რიცხვითი თანმიმდევრობა არის მათემატიკური ფუნქციის მაგალითი, ამიტომ ის თვისებები, რომლებიც დამახასიათებელია ფუნქციებისთვის, შეიძლება უსაფრთხოდ იქნას გამოყენებული მიმდევრობებზე. ყველაზე მეტად ნათელი მაგალითიასეთი თვისებებია დებულება გაზრდისა და კლების შესახებ არითმეტიკული სერია, რომლებიც გაერთიანებულია ერთით ზოგადი კონცეფცია- მონოტონური თანმიმდევრობები.

მეორეც, საკმარისია დიდი ჯგუფითანმიმდევრობები, რომლებიც არ შეიძლება კლასიფიცირდეს როგორც მზარდი ან კლებადი, არის პერიოდული თანმიმდევრობა. მათემატიკაში ისინი ჩვეულებრივ განიხილება იმ ფუნქციებად, რომლებშიც არის ე.წ. პერიოდის სიგრძე, ანუ გარკვეული წერტილი(n) შემდეგი ტოლობა იწყება: y n = y n+T, სადაც T იქნება პერიოდის სიგრძე.