როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები მარტივი მაგალითებია. ლოგარითმის და მისი თვისებების განმარტება: თეორია და პრობლემის გადაჭრა

საზოგადოება განვითარდა და წარმოება უფრო რთული გახდა, მათემატიკაც განვითარდა. მოძრაობა მარტივიდან რთულამდე. ჩვეულებრივი აღრიცხვიდან შეკრებისა და გამოკლების მეთოდის გამოყენებით, მათი განმეორებითი გამეორებით, მივედით გამრავლებისა და გაყოფის ცნებამდე. გამრავლების განმეორებითი მოქმედების შემცირება გახდა ექსპონენტაციის კონცეფცია. რიცხვების დამოკიდებულების პირველი ცხრილები ფუძეზე და გაძლიერების რაოდენობაზე შეადგინა ჯერ კიდევ VIII საუკუნეში ინდოელმა მათემატიკოსმა ვარასენამ. მათგან შეგიძლიათ დაითვალოთ ლოგარითმების გაჩენის დრო.

ისტორიული ჩანახატი

მე-16 საუკუნეში ევროპის აღორძინებამ ასევე ხელი შეუწყო მექანიკის განვითარებას. თ საჭირო იყო დიდი რაოდენობის გამოთვლადაკავშირებულია გამრავლებასთან და გაყოფასთან მრავალნიშნა რიცხვები. უძველესი მაგიდები დიდ მომსახურებას აძლევდა. მათ შესაძლებელი გახადეს რთული ოპერაციების ჩანაცვლება უფრო მარტივი მოქმედებებით - შეკრება და გამოკლება. დიდი წინგადადგმული ნაბიჯი იყო მათემატიკოს მაიკლ შტიფელის ნაშრომი, რომელიც გამოქვეყნდა 1544 წელს, რომელშიც მან გააცნობიერა მრავალი მათემატიკოსის იდეა. ამან შესაძლებელი გახადა ცხრილების გამოყენება არა მხოლოდ ხარისხებისთვის ფორმაში მარტივი რიცხვები, არამედ თვითნებური რაციონალებისთვისაც.

1614 წელს შოტლანდიელმა ჯონ ნაპიერმა, რომელიც ავითარებდა ამ იდეებს, პირველად გააცნო ახალი ტერმინი"რიცხვის ლოგარითმი". შეადგინეს ახლები რთული მაგიდებისინუსების და კოსინუსების ლოგარითმების, ასევე ტანგენტების გამოსათვლელად. ამან მნიშვნელოვნად შეამცირა ასტრონომების მუშაობა.

დაიწყო ახალი ცხრილების გამოჩენა, რომლებიც წარმატებით გამოიყენეს მეცნიერებმა მთელი პერიოდის განმავლობაში სამი საუკუნე. ბევრი დრო გავიდა, სანამ ალგებრაში ახალმა ოპერაციამ დასრულებული ფორმა შეიძინა. მოცემულია ლოგარითმის განმარტება და შესწავლილი იქნა მისი თვისებები.

მხოლოდ მე-20 საუკუნეში, კალკულატორისა და კომპიუტერის მოსვლასთან ერთად, კაცობრიობამ მიატოვა უძველესი ცხრილები, რომლებიც წარმატებით მუშაობდნენ მე-13 საუკუნეში.

დღეს b-ის ლოგარითმს ვუწოდებთ a-ს დასაფუძნებლად x რიცხვს, რომელიც არის a-ის ძალა b-ის გასაკეთებლად. ეს იწერება ფორმულის სახით: x = log a(b).

მაგალითად, log 3(9) იქნება 2-ის ტოლი. ეს აშკარაა, თუ დაიცავთ განმარტებას. თუ 3-ს ავწევთ 2-ის ხარისხზე, მივიღებთ 9-ს.

ამრიგად, ჩამოყალიბებული განმარტება ადგენს მხოლოდ ერთ შეზღუდვას: რიცხვები a და b უნდა იყოს რეალური.

ლოგარითმების სახეები

კლასიკურ განმარტებას რეალური ლოგარითმი ეწოდება და რეალურად არის a x = b განტოლების ამონახსნი. ვარიანტი a = 1 არის მოსაზღვრე და არ არის საინტერესო. ყურადღება: 1 ნებისმიერი სიმძლავრის მიმართ უდრის 1-ს.

ლოგარითმის რეალური მნიშვნელობაგანისაზღვრება მხოლოდ მაშინ, როდესაც ბაზა და არგუმენტი მეტია 0-ზე და ბაზა არ უნდა იყოს 1-ის ტოლი.

განსაკუთრებული ადგილი მათემატიკის სფეროშიითამაშეთ ლოგარითმები, რომლებიც დასახელდება მათი ბაზის ზომის მიხედვით:

წესები და შეზღუდვები

ლოგარითმების ფუნდამენტური თვისებაა წესი: ნამრავლის ლოგარითმი ლოგარითმული ჯამის ტოლია. log abp = log a(b) + log a(p).

როგორც ამ განცხადების ვარიანტი იქნება: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), კოეფიციენტის ფუნქცია უდრის ფუნქციების სხვაობას.

წინა ორი წესიდან ადვილად ჩანს, რომ: log a(b p) = p * log a(b).

სხვა თვისებები მოიცავს:

კომენტარი. არ დაუშვათ ჩვეულებრივი შეცდომა - ჯამის ლოგარითმი არ არის ჯამის ტოლილოგარითმები.

მრავალი საუკუნის განმავლობაში, ლოგარითმის პოვნის ოპერაცია საკმაოდ შრომატევადი ამოცანა იყო. მათემატიკოსებმა გამოიყენეს ცნობილი ფორმულა ლოგარითმული თეორიამრავალწევრი გაფართოება:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), სადაც n - ბუნებრივი რიცხვი 1-ზე მეტი, რაც განსაზღვრავს გაანგარიშების სიზუსტეს.

სხვა საფუძვლებით ლოგარითმები გამოითვალეს ერთი ფუძიდან მეორეზე გადასვლის თეორემისა და პროდუქტის ლოგარითმის თვისების გამოყენებით.

ვინაიდან ეს მეთოდი ძალიან შრომატევადია და როდესაც გადაწყვეტს პრაქტიკული პრობლემები რთული განსახორციელებელი, გამოვიყენეთ ლოგარითმების წინასწარ შედგენილი ცხრილები, რამაც საგრძნობლად დააჩქარა მთელი სამუშაო.

ზოგიერთ შემთხვევაში გამოიყენებოდა სპეციალურად შემუშავებული ლოგარითმის გრაფიკები, რომლებიც ნაკლებ სიზუსტეს აძლევდნენ, მაგრამ საგრძნობლად აჩქარებდნენ ძიებას. სასურველი ღირებულება. y = log a(x) ფუნქციის მრუდი, რომელიც აგებულია რამდენიმე წერტილზე, საშუალებას გაძლევთ გამოიყენოთ ჩვეულებრივი სახაზავი ფუნქციის მნიშვნელობის საპოვნელად ნებისმიერ სხვა წერტილში. ინჟინრები დიდი დროამ მიზნით გამოიყენებოდა ე.წ.

მე-17 საუკუნეში გაჩნდა პირველი დამხმარე ანალოგური გამოთვლითი პირობები, რომელიც მე-19 საუკუნედასრულებული სახე შეიძინა. ყველაზე წარმატებულ მოწყობილობას ეწოდა სლაიდის წესი. მოწყობილობის სიმარტივის მიუხედავად, მისმა გარეგნობამ მნიშვნელოვნად დააჩქარა ყველა პროცესი საინჟინრო გამოთვლებიდა ეს ძნელია გადაჭარბებული შეფასება. ამჟამად, ცოტა ადამიანი იცნობს ამ მოწყობილობას.

კალკულატორებისა და კომპიუტერების გამოჩენამ ნებისმიერი სხვა მოწყობილობის გამოყენება უაზრო გახადა.

განტოლებები და უტოლობა

გადაწყვეტილებისთვის სხვადასხვა განტოლებებიდა უტოლობები ლოგარითმების გამოყენებით, გამოიყენება შემდეგი ფორმულები:

• ერთი ბაზიდან მეორეზე გადასვლა: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• წინა ვარიანტის შედეგად: log a(b) = 1 / log b(a).

უტოლობების გადასაჭრელად სასარგებლოა ვიცოდეთ:

• ლოგარითმის მნიშვნელობა დადებითი იქნება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ბაზა და არგუმენტი აღემატება ან ერთზე ნაკლები; თუ ერთი პირობა მაინც დაირღვა, ლოგარითმის მნიშვნელობა უარყოფითი იქნება.
• თუ ლოგარითმის ფუნქცია გამოიყენება უტოლობის მარჯვენა და მარცხენა მხარეს, ხოლო ლოგარითმის ფუძე ერთზე მეტია, მაშინ უტოლობის ნიშანი შენარჩუნებულია; ვ წინააღმდეგ შემთხვევაშიის იცვლება.

პრობლემების მაგალითები

განვიხილოთ ლოგარითმების გამოყენების რამდენიმე ვარიანტი და მათი თვისებები. მაგალითები განტოლებების ამოხსნით:

განვიხილოთ ლოგარითმის სიმძლავრეში მოთავსების ვარიანტი:

• ამოცანა 3. გამოთვალეთ 25^log 5(3). ამოხსნა: პრობლემის პირობებში ჩანაწერი მსგავსია (5^2)^log5(3) ან 5^(2 * log 5(3)). მოდით სხვანაირად ჩავწეროთ: 5^log 5(3*2), ან რიცხვის კვადრატი, როგორც ფუნქციის არგუმენტი, შეიძლება დაიწეროს როგორც თავად ფუნქციის კვადრატი (5^log 5(3))^2. ლოგარითმების თვისებების გამოყენებით ეს გამოხატულება უდრის 3^2. პასუხი: გაანგარიშების შედეგად ვიღებთ 9-ს.

პრაქტიკული გამოყენება

როგორც წმინდა მათემატიკური ინსტრუმენტი, ის შორს არის ნამდვილი ცხოვრებარომ ლოგარითმა მოულოდნელად შეიძინა დიდი მნიშვნელობაობიექტების აღწერისთვის რეალური სამყარო. ძნელია იპოვოთ მეცნიერება, სადაც ის არ გამოიყენება. ეს სრულად ეხება არა მხოლოდ ბუნებრივ, არამედ ჰუმანიტარულ ცოდნის სფეროებსაც.

ლოგარითმული დამოკიდებულებები

აქ მოცემულია რიცხვითი დამოკიდებულების რამდენიმე მაგალითი:

მექანიკა და ფიზიკა

ისტორიულად, მექანიკა და ფიზიკა ყოველთვის ვითარდებოდა გამოყენებით მათემატიკური მეთოდებიკვლევა და ამავდროულად ემსახურებოდა მათემატიკის, მათ შორის ლოგარითმების განვითარების სტიმულს. ფიზიკის კანონების უმეტესობის თეორია დაწერილია მათემატიკის ენაზე. მოვიყვანოთ აღწერის მხოლოდ ორი მაგალითი ფიზიკური კანონებილოგარითმის გამოყენებით.

ისეთი რთული სიდიდის გამოთვლის პრობლემა, როგორიც არის რაკეტის სიჩქარე, შეიძლება გადაწყდეს ციოლკოვსკის ფორმულის გამოყენებით, რომელმაც საფუძველი ჩაუყარა კოსმოსის კვლევის თეორიას:

V = I * ln (M1/M2), სადაც

• V არის თვითმფრინავის საბოლოო სიჩქარე.
• I - ძრავის სპეციფიკური იმპულსი.
• M 1 - რაკეტის საწყისი მასა.
• M 2 – საბოლოო მასა.

სხვა მნიშვნელოვანი მაგალითი - ეს გამოიყენება კიდევ ერთი დიდი მეცნიერის მაქს პლანკის ფორმულაში, რომელიც ემსახურება თერმოდინამიკაში წონასწორობის მდგომარეობის შეფასებას.

S = k * ln (Ω), სადაც

• S – თერმოდინამიკური თვისება.
• k – ბოლცმანის მუდმივი.
• Ω არის სხვადასხვა მდგომარეობის სტატისტიკური წონა.

Ქიმია

ნაკლებად აშკარაა ფორმულების გამოყენება ქიმიაში, რომლებიც შეიცავს ლოგარითმების თანაფარდობას. მხოლოდ ორი მაგალითი მოვიყვანოთ:

• ნერნსტის განტოლება, გარემოს რედოქსული პოტენციალის მდგომარეობა ნივთიერებების აქტივობასთან და წონასწორობის მუდმივთან მიმართებაში.
• ისეთი მუდმივების გამოთვლა, როგორიცაა ავტოლიზის ინდექსი და ხსნარის მჟავიანობა, ასევე შეუძლებელია ჩვენი ფუნქციის გარეშე.

ფსიქოლოგია და ბიოლოგია

და საერთოდ არ არის გასაგები, რა კავშირი აქვს მას ფსიქოლოგიას. გამოდის, რომ შეგრძნების სიძლიერე კარგად არის აღწერილი ამ ფუნქციით, როგორც სტიმულის ინტენსივობის მნიშვნელობის შებრუნებული თანაფარდობა ქვედა ინტენსივობის მნიშვნელობასთან.

ზემოაღნიშნული მაგალითების შემდეგ, გასაკვირი აღარ არის, რომ ლოგარითმების თემა ფართოდ გამოიყენება ბიოლოგიაში. მთელი ტომები შეიძლება დაიწეროს ლოგარითმული სპირალების შესაბამისი ბიოლოგიური ფორმების შესახებ.

სხვა სფეროები

როგორც ჩანს, სამყაროს არსებობა შეუძლებელია ამ ფუნქციასთან კავშირის გარეშე და ის მართავს ყველა კანონს. განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც ბუნების კანონები დაკავშირებულია გეომეტრიული პროგრესია. ღირს MatProfi ვებსაიტზე მიბრუნება და ასეთი მაგალითები ბევრია საქმიანობის შემდეგ სფეროებში:

სია შეიძლება იყოს უსასრულო. ამ ფუნქციის ძირითადი პრინციპების დაუფლების შემდეგ, შეგიძლიათ ჩაძიროთ უსაზღვრო სიბრძნის სამყაროში.

მიმართებაში

შეიძლება დაისვას დავალება, რომ იპოვოთ სამი რიცხვიდან რომელიმე დანარჩენი ორიდან. თუ მოცემულია a და შემდეგ N, ისინი იპოვიან სიმძლავრის მიხედვით. თუ N და შემდეგ a მოცემულია x ხარისხის ფესვის აღებით (ან მისი ხარისხამდე აწევით). ახლა განვიხილავთ შემთხვევას, როდესაც a-ს და N-ის მიცემით, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ x.

რიცხვი N იყოს დადებითი: რიცხვი a დადებითი და არა ერთის ტოლი: .

განმარტება. N რიცხვის ლოგარითმი a ფუძემდე არის ის მაჩვენებელი, რომელზეც a უნდა გაიზარდოს N რიცხვის მისაღებად; ლოგარითმი აღინიშნება

ამგვარად, ტოლობაში (26.1) მაჩვენებლის პოვნაა, როგორც N-ის ლოგარითმი a ფუძემდე. პოსტები

აქვთ იგივე მნიშვნელობა. ტოლობას (26.1) ზოგჯერ უწოდებენ ლოგარითმების თეორიის მთავარ იდენტობას; სინამდვილეში იგი გამოხატავს ლოგარითმის ცნების განმარტებას. ავტორი ამ განმარტებას a ლოგარითმის საფუძველი ყოველთვის დადებითია და განსხვავდება ერთიანობისგან; ლოგარითმული რიცხვი N დადებითია. უარყოფით რიცხვებსა და ნულს არ აქვთ ლოგარითმები. შეიძლება დადასტურდეს, რომ მოცემული ფუძის მქონე ნებისმიერ რიცხვს აქვს კარგად განსაზღვრული ლოგარითმი. ამიტომ თანასწორობა გულისხმობს. გაითვალისწინეთ, რომ პირობა აქ არსებითია, წინააღმდეგ შემთხვევაში, დასკვნა არ იქნება გამართლებული, რადგან ტოლობა ჭეშმარიტია x და y მნიშვნელობებისთვის.

მაგალითი 1. იპოვე

გამოსავალი. რიცხვის მისაღებად, თქვენ უნდა ააწიოთ ბაზის 2 სიმძლავრემდე.

ასეთი მაგალითების ამოხსნისას შეგიძლიათ გააკეთოთ შენიშვნები შემდეგი ფორმით:

მაგალითი 2. იპოვეთ .

გამოსავალი. Ჩვენ გვაქვს

მაგალითებში 1 და 2, ჩვენ ადვილად ვიპოვეთ სასურველი ლოგარითმი ლოგარითმის რიცხვის წარმოდგენით, როგორც ფუძის სიმძლავრე რაციონალური მაჩვენებელი. ზოგად შემთხვევაში, მაგალითად, და ა.შ., ამის გაკეთება შეუძლებელია, რადგან ლოგარითმს აქვს ირაციონალური მნიშვნელობა. ამ განცხადებასთან დაკავშირებულ ერთ საკითხს მივაქციოთ ყურადღება. მე-12 პუნქტში ჩვენ მივეცით ცნება მოცემულის ნებისმიერი რეალური ხარისხის განსაზღვრის შესაძლებლობის შესახებ დადებითი რიცხვი. ეს აუცილებელი იყო ლოგარითმების დანერგვისთვის, რომლებიც, ზოგადად, შეიძლება იყოს ირაციონალური რიცხვები.

მოდით შევხედოთ ლოგარითმების რამდენიმე თვისებას.

თვისება 1. თუ რიცხვი და ფუძე ტოლია, მაშინ ლოგარითმი ერთის ტოლიდა, პირიქით, თუ ლოგარითმი ერთის ტოლია, მაშინ რიცხვი და ფუძე ტოლია.

მტკიცებულება. მოდით, ლოგარითმის განმარტებით გვაქვს და საიდან

პირიქით, მოდით მაშინ განსაზღვრებით

თვისება 2. ერთი რომელიმე ფუძის ლოგარითმი ნულის ტოლია.

მტკიცებულება. ლოგარითმის განმარტებით (ნებისმიერი დადებითი ბაზის ნულოვანი სიმძლავრე უდრის ერთს, იხ. (10.1)). აქედან

ქ.ე.დ.

საპირისპირო დებულება ასევე მართალია: თუ , მაშინ N = 1. მართლაც, გვაქვს .

ლოგარითმების შემდეგი თვისების ჩამოყალიბებამდე, შევთანხმდეთ ვთქვათ, რომ ორი რიცხვი a და b დევს მესამე c რიცხვის ერთ მხარეს, თუ ორივე მეტია c-ზე ან c-ზე ნაკლები. თუ ამ რიცხვებიდან ერთი დიდია c-ზე, ხოლო მეორე ნაკლებია c-ზე, მაშინ ვიტყვით, რომ ისინი დევს გასწვრივ. სხვადასხვა მხარეებისოფლიდან

თვისება 3. თუ რიცხვი და ფუძე დევს ერთის ერთ მხარეს, მაშინ ლოგარითმი დადებითია; თუ რიცხვი და ფუძე დევს ერთის საპირისპირო მხარეს, მაშინ ლოგარითმი უარყოფითია.

თვისების 3-ის მტკიცებულება ემყარება იმ ფაქტს, რომ a-ს სიმძლავრე ერთზე მეტია, თუ ფუძე ერთზე მეტია და მაჩვენებელი დადებითია ან ფუძე ნაკლებია ერთზე და მაჩვენებლი უარყოფითია. სიმძლავრე ერთზე ნაკლებია, თუ ფუძე ერთზე მეტია და მაჩვენებლი უარყოფითია ან ფუძე ნაკლებია ერთზე და მაჩვენებლი დადებითია.

გასათვალისწინებელია ოთხი შემთხვევა:

ჩვენ შემოვიფარგლებით პირველის გაანალიზებით, დანარჩენს მკითხველი დამოუკიდებლად განიხილავს.

მოდით, თანასწორობაში მაჩვენებელი არ შეიძლება იყოს არც უარყოფითი და არც უარყოფითი ნულის ტოლიმაშასადამე, ის დადებითია, ანუ როგორც საჭიროა დასამტკიცებლად.

მაგალითი 3. გაარკვიეთ, რომელია ქვემოთ მოყვანილი ლოგარითმები დადებითი და რომელი უარყოფითი:

ამოხსნა, ა) ვინაიდან რიცხვი 15 და ფუძე 12 განლაგებულია ერთის ერთ მხარეს;

ბ) ვინაიდან 1000 და 2 განლაგებულია დანადგარის ერთ მხარეს; ამ შემთხვევაში, არ არის მნიშვნელოვანი, რომ ფუძე მეტი იყოს ლოგარითმულ რიცხვზე;

გ) ვინაიდან 3.1 და 0.8 დევს ერთიანობის მოპირდაპირე მხარეს;

გ) ; რატომ?

დ) ; რატომ?

შემდეგ თვისებებს 4-6 ხშირად უწოდებენ ლოგარითმაციის წესებს: ისინი საშუალებას გაძლევთ, იცოდეთ ზოგიერთი რიცხვის ლოგარითმები, იპოვოთ მათი ნამრავლის ლოგარითმები, კოეფიციენტი და თითოეული მათგანის ხარისხი.

თვისება 4 (პროდუქტის ლოგარითმის წესი). მოცემულ ფუძეზე რამდენიმე დადებითი რიცხვის ნამრავლის ლოგარითმი უდრის ამ რიცხვების ლოგარითმების ჯამს იმავე ფუძეზე.

მტკიცებულება. მოცემული რიცხვები დადებითი იყოს.

მათი ნამრავლის ლოგარითმისთვის ჩვენ ვწერთ ტოლობას (26.1), რომელიც განსაზღვრავს ლოგარითმს:

აქედან ვიპოვით

პირველი და ბოლო გამონათქვამების მაჩვენებლების შედარებისას მივიღებთ საჭირო ტოლობას:

გაითვალისწინეთ, რომ პირობა აუცილებელია; ორი ნამრავლის ლოგარითმი უარყოფითი რიცხვებიაზრი აქვს, მაგრამ ამ შემთხვევაში მივიღებთ

ზოგადად, თუ რამდენიმე ფაქტორის ნამრავლი დადებითია, მაშინ მისი ლოგარითმი უდრის ამ ფაქტორების აბსოლუტური მნიშვნელობების ლოგარითმების ჯამს.

თვისება 5 (რაოდენობების ლოგარითმების აღების წესი). დადებითი რიცხვების კოეფიციენტის ლოგარითმი სხვაობის ტოლიდივიდენდისა და გამყოფის ლოგარითმები, რომლებიც აღებულია იმავე ბაზაზე. მტკიცებულება. ჩვენ მუდმივად ვპოულობთ

ქ.ე.დ.

თვისება 6 (ძალის ლოგარითმის წესი). ზოგიერთი დადებითი რიცხვის სიმძლავრის ლოგარითმი ლოგარითმის ტოლიეს რიცხვი გამრავლებული მაჩვენებელზე.

მტკიცებულება. მოდით კვლავ დავწეროთ ნომრის ძირითადი იდენტიფიკაცია (26.1):

ქ.ე.დ.

შედეგი. დადებითი რიცხვის ფესვის ლოგარითმი ლოგარითმის ტოლია რადიკალური რიცხვი, გაყოფილი ფესვის მაჩვენებელზე:

ამ დასკვნის მართებულობა შეიძლება დადასტურდეს თვისების 6-ის წარმოდგენით და გამოყენებით.

მაგალითი 4. აიღეთ ლოგარითმი a-ს დასაფუძნებლად:

ა) (ვარაუდობენ, რომ ყველა მნიშვნელობა b, c, d, e დადებითია);

ბ) (ვარაუდობენ, რომ ).

გამოსავალი, ა) მოსახერხებელია ამ გამოსახულებაში წილადის ხარისხებზე გადასვლა:

ტოლობების საფუძველზე (26.5)-(26.7), ახლა შეგვიძლია დავწეროთ:

შევნიშნავთ, რომ რიცხვების ლოგარითმებზე უფრო მარტივი მოქმედებები სრულდება, ვიდრე თავად რიცხვებზე: რიცხვების გამრავლებისას ემატება მათი ლოგარითმები, გაყოფისას აკლება და ა.შ.

სწორედ ამიტომ ლოგარითმები გამოიყენება გამოთვლით პრაქტიკაში (იხ. პუნქტი 29).

ლოგარითმის საპირისპირო მოქმედებას ეწოდება პოტენციაცია, კერძოდ: პოტენციაცია არის მოქმედება, რომლითაც რიცხვი თავად არის ნაპოვნი რიცხვის მოცემული ლოგარითმიდან. არსებითად, გაძლიერება არ არის რაიმე განსაკუთრებული მოქმედება: ის მოდის ბაზის ძლიერებამდე ამაღლებაზე ( ლოგარითმის ტოლინომრები). ტერმინი „პოტენციაცია“ შეიძლება ჩაითვალოს ტერმინ „გაძლიერების“ სინონიმად.

გაძლიერებისას უნდა გამოვიყენოთ წესები ლოგარითმაციის წესების საპირისპიროდ: შეცვალეთ ლოგარითმების ჯამი ნამრავლის ლოგარითმით, ლოგარითმების სხვაობა კოეფიციენტის ლოგარითმით და ა.შ. კერძოდ, თუ წინა ფაქტორია. ლოგარითმის ნიშნის, მაშინ გაძლიერებისას უნდა გადავიდეს ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ მყოფი მაჩვენებლების ხარისხზე.

მაგალითი 5. იპოვეთ N, თუ ცნობილია, რომ

გამოსავალი. ამ ტოლობის მარჯვენა მხარეს ლოგარითმების ნიშნების წინ მდგარ ფაქტორებს 2/3 და 1/3 გადავიტანთ ამ ლოგარითმების ნიშნების ქვეშ არსებულ მაჩვენებლებში; ვიღებთ

ახლა ჩვენ ვცვლით ლოგარითმების სხვაობას კოეფიციენტის ლოგარითმით:

ამ ტოლობის ჯაჭვში ბოლო წილადის მისაღებად, ჩვენ გავათავისუფლეთ წინა წილადი მნიშვნელობის ირაციონალურობისაგან (პუნქტი 25).

თვისება 7. თუ ფუძე ერთზე მეტია, მაშინ უფრო დიდი რაოდენობააქვს უფრო დიდი ლოგარითმი (და უფრო მცირე რიცხვს აქვს პატარა), თუ ფუძე ერთზე ნაკლებია, მაშინ უფრო დიდ რიცხვს აქვს უფრო მცირე ლოგარითმი (და პატარა რიცხვს აქვს უფრო დიდი).

ეს თვისება ასევე ჩამოყალიბებულია უტოლობათა ლოგარითმების აღების წესით, რომელთა ორივე მხარე დადებითია:

უტოლობების ერთზე მეტ ფუძეზე ლოგარითმების შენარჩუნებისას უტოლობის ნიშანი შენარჩუნებულია, ხოლო ერთზე ნაკლებ ფუძეზე ლოგარითმისას უტოლობის ნიშანი იცვლება საპირისპიროდ (იხ. ასევე პუნქტი 80).

მტკიცებულება ემყარება 5 და 3 თვისებებს. განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც თუ , მაშინ და ლოგარითმების აღებით მივიღებთ

(a და N/M დევს ერთიანობის ერთ მხარეს). აქედან

შემდეგ შემთხვევაში, მკითხველი თავად გაარკვევს.

ლოგარითმული გამონათქვამები, მაგალითების ამოხსნა. ამ სტატიაში განვიხილავთ პრობლემებს, რომლებიც დაკავშირებულია ლოგარითმების ამოხსნასთან. ამოცანები სვამს კითხვას გამოთქმის მნიშვნელობის პოვნის შესახებ. უნდა აღინიშნოს, რომ ლოგარითმის ცნება გამოიყენება ბევრ ამოცანაში და მისი მნიშვნელობის გაგება ძალზე მნიშვნელოვანია. რაც შეეხება ერთიან სახელმწიფო გამოცდას, ლოგარითმი გამოიყენება განტოლებების ამოხსნისას, ქ გამოყენებული პრობლემები, ასევე ფუნქციების შესწავლასთან დაკავშირებულ ამოცანებში.

მოდით მოვიყვანოთ მაგალითები ლოგარითმის მნიშვნელობის გასაგებად:

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა:

ლოგარითმების თვისებები, რომლებიც ყოველთვის უნდა გვახსოვდეს:

*ნამრავლის ლოგარითმი უდრის ფაქტორების ლოგარითმების ჯამს.

* * *

*რაოდენობის (წილადის) ლოგარითმი ტოლია სხვაობის ფაქტორების ლოგარითმებს შორის.

* * *

*ხარისხის ლოგარითმი პროდუქტის ტოლიმაჩვენებელი მისი ფუძის ლოგარითმით.

* * *

* ახალ საძირკველზე გადასვლა

* * *

მეტი თვისებები:

* * *

ლოგარითმების გამოთვლა მჭიდროდ არის დაკავშირებული ექსპონენტების თვისებების გამოყენებასთან.

ჩამოვთვალოთ რამდენიმე მათგანი:

არსი ამ ქონებისმდგომარეობს იმაში, რომ მრიცხველის მნიშვნელზე გადატანისას და პირიქით, მაჩვენებლის ნიშანი იცვლება საპირისპიროდ. Მაგალითად:

დასკვნა ამ ქონებისგან:

* * *

სიმძლავრის სიმძლავრემდე აყვანისას, ბაზა იგივე რჩება, მაგრამ მაჩვენებლები მრავლდება.

* * *

როგორც ხედავთ, თავად ლოგარითმის კონცეფცია მარტივია. მთავარია რა არის საჭირო კარგი პრაქტიკა, რაც გარკვეულ უნარს იძლევა. რა თქმა უნდა, საჭიროა ფორმულების ცოდნა. თუ ელემენტარული ლოგარითმების გარდაქმნის უნარი არ არის გამომუშავებული, მაშინ ამოხსნისას მარტივი დავალებებიშეცდომის დაშვება ადვილია.

ივარჯიშეთ, ჯერ მათემატიკის კურსიდან ამოხსენით უმარტივესი მაგალითები, შემდეგ გადადით უფრო რთულებზე. მომავალში აუცილებლად გაჩვენებთ, როგორი "საშინელი" ლოგარითმები არ გამოჩნდებიან ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე, მაგრამ საინტერესოა, არ გამოტოვოთ!

Სულ ეს არის! Წარმატებას გისურვებ!

პატივისცემით, ალექსანდრე კრუტიცკიხი

P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ მომიყვებით საიტის შესახებ სოციალურ ქსელებში.

ჩვენ ვაგრძელებთ ლოგარითმების შესწავლას. ამ სტატიაში ვისაუბრებთ ლოგარითმების გამოთვლა, ამ პროცესს ე.წ ლოგარითმი. ჯერ გავიგებთ ლოგარითმების გამოთვლას განმარტებით. შემდეგი, მოდით შევხედოთ, თუ როგორ არის ნაპოვნი ლოგარითმების მნიშვნელობები მათი თვისებების გამოყენებით. ამის შემდეგ, ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ თავდაპირველად ლოგარითმების გამოთვლაზე დააყენეთ ღირებულებებისხვა ლოგარითმები. და ბოლოს, მოდით ვისწავლოთ ლოგარითმის ცხრილების გამოყენება. მთელი თეორია მოცემულია მაგალითებით დეტალური გადაწყვეტილებებით.

გვერდის ნავიგაცია.

ლოგარითმების გამოთვლა განმარტებით

უმარტივეს შემთხვევებში შესაძლებელია საკმაოდ სწრაფად და მარტივად შესრულება ლოგარითმის პოვნა განსაზღვრებით. მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ, თუ როგორ ხდება ეს პროცესი.

მისი არსი არის b რიცხვის წარმოდგენა a c სახით, საიდანაც, ლოგარითმის განმარტებით, რიცხვი c არის ლოგარითმის მნიშვნელობა. ანუ, განმარტებით, ტოლობების შემდეგი ჯაჭვი შეესაბამება ლოგარითმის პოვნას: log a b=log a a c =c.

ამგვარად, ლოგარითმის განსაზღვრებით გამოთვლა მთავრდება c რიცხვის პოვნამდე, რომ c = b და თავად რიცხვი c არის ლოგარითმის სასურველი მნიშვნელობა.

წინა აბზაცების ინფორმაციის გათვალისწინებით, როდესაც ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ რიცხვი მოცემულია ლოგარითმის ფუძის გარკვეული სიმძლავრით, შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ მიუთითოთ რისი ტოლია ლოგარითმი - ის ინდიკატორის ტოლიგრადუსი. მოდით ვაჩვენოთ მაგალითების გადაწყვეტილებები.

მაგალითი.

იპოვეთ log 2 2 −3 და ასევე გამოთვალეთ რიცხვის e 5,3 ბუნებრივი ლოგარითმი.

გამოსავალი.

ლოგარითმის განმარტება საშუალებას გვაძლევს დაუყოვნებლივ ვთქვათ, რომ log 2 2 −3 =−3. მართლაც, რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ უდრის 2-ს −3 ხარისხს.

ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ მეორე ლოგარითმს: lne 5.3 =5.3.

პასუხი:

log 2 2 −3 =−3 და lne 5,3 =5,3.

თუ რიცხვი b ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ არ არის მითითებული, როგორც ლოგარითმის ფუძის სიმძლავრე, მაშინ საჭიროა ყურადღებით დაათვალიეროთ, რომ ნახოთ შესაძლებელია თუ არა რიცხვის b გამოსახვა a c სახით. ხშირად ეს წარმოდგენა საკმაოდ აშკარაა, განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ უდრის ბაზის ხარისხს 1, ან 2, ან 3, ...

მაგალითი.

გამოთვალეთ ლოგარითმები log 5 25 და .

გამოსავალი.

ადვილი მისახვედრია, რომ 25=5 2, ეს საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ პირველი ლოგარითმი: log 5 25=log 5 5 2 =2.

გადავიდეთ მეორე ლოგარითმის გამოთვლაზე. რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს 7-ის ხარისხად: (იხილეთ საჭიროების შემთხვევაში). აქედან გამომდინარე, .

გადავიწეროთ მესამე ლოგარითმი შემდეგი ფორმით. ახლა თქვენ ხედავთ ამას , საიდანაც ვასკვნით, რომ . მაშასადამე, ლოგარითმის განმარტებით .

მოკლედ, გამოსავალი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად: .

პასუხი:

ჟურნალი 5 25=2, და .

როდესაც ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ არის საკმარისად დიდი ნატურალური რიცხვი, მისი გაფართოება არაფერ შუაშია ძირითადი ფაქტორები. ხშირად გვეხმარება ისეთი რიცხვის წარმოდგენაში, როგორიც არის ლოგარითმის ფუძის გარკვეული სიმძლავრე და, შესაბამისად, ამ ლოგარითმის განსაზღვრებით გამოთვლა.

მაგალითი.

იპოვეთ ლოგარითმის მნიშვნელობა.

გამოსავალი.

ლოგარითმების ზოგიერთი თვისება საშუალებას გაძლევთ დაუყოვნებლივ მიუთითოთ ლოგარითმების მნიშვნელობა. ეს თვისებები მოიცავს ერთეულის ლოგარითმის თვისებას და რიცხვის ლოგარითმის თვისებას, ბაზის ტოლი: log 1 1=log a a 0 =0 და log a a=log a 1 =1 . ანუ, როდესაც ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ არის რიცხვი 1 ან რიცხვი, რომელიც ტოლია ლოგარითმის ფუძესთან, მაშინ ამ შემთხვევებში ლოგარითმები უდრის 0-ს და 1-ს.

მაგალითი.

რის ტოლია ლოგარითმები და log10?

გამოსავალი.

ვინაიდან , მაშინ ლოგარითმის განმარტებიდან გამომდინარეობს .

მეორე მაგალითში რიცხვი 10 ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ ემთხვევა მის ფუძეს, ამიტომ ათეულის ათწილადი ლოგარითმი უდრის ერთს, ანუ lg10=lg10 1 =1.

პასუხი:

და lg10=1.

გაითვალისწინეთ, რომ ლოგარითმების გამოთვლა განმარტებით (რაზეც წინა აბზაცში ვისაუბრეთ) გულისხმობს ტოლობის log a a p =p გამოყენებას, რაც ლოგარითმების ერთ-ერთი თვისებაა.

პრაქტიკაში, როდესაც რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და ლოგარითმის ფუძის ქვეშ არის ადვილად წარმოდგენილი, როგორც გარკვეული რიცხვის სიმძლავრე, ძალიან მოსახერხებელია ფორმულის გამოყენება. , რომელიც შეესაბამება ლოგარითმების ერთ-ერთ თვისებას. მოდით შევხედოთ ლოგარითმის პოვნის მაგალითს, რომელიც ასახავს ამ ფორმულის გამოყენებას.

მაგალითი.

გამოთვალეთ ლოგარითმი.

გამოსავალი.

პასუხი:

.

ლოგარითმების თვისებები, რომლებიც ზემოთ არ არის ნახსენები, ასევე გამოიყენება გამოთვლებში, მაგრამ ამაზე ვისაუბრებთ შემდეგ აბზაცებში.

ლოგარითმების პოვნა სხვა ცნობილი ლოგარითმების მეშვეობით

ამ პარაგრაფში მოცემული ინფორმაცია აგრძელებს ლოგარითმების თვისებების გამოყენების თემას მათი გამოთვლისას. მაგრამ აქ მთავარი განსხვავება ისაა, რომ ლოგარითმების თვისებები გამოიყენება ორიგინალური ლოგარითმის სხვა ლოგარითმით გამოხატვისთვის, რომლის მნიშვნელობა ცნობილია. გარკვევისთვის მოვიყვანოთ მაგალითი. ვთქვათ, ვიცით, რომ log 2 3≈1.584963, შემდეგ შეგვიძლია ვიპოვოთ, მაგალითად, log 2 6 მცირე ტრანსფორმაციის განხორციელებით ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

ზემოთ მოყვანილ მაგალითში საკმარისი იყო პროდუქტის ლოგარითმის თვისების გამოყენება. თუმცა, ბევრად უფრო ხშირად საჭიროა ლოგარითმების თვისებების უფრო ფართო არსენალის გამოყენება, რათა გამოვთვალოთ ორიგინალური ლოგარითმი მოცემულების მეშვეობით.

მაგალითი.

გამოთვალეთ 27-ის ლოგარითმი 60-მდე, თუ იცით, რომ log 60 2=a და log 60 5=b.

გამოსავალი.

ასე რომ, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ჟურნალი 60 27. ადვილი მისახვედრია, რომ 27 = 3 3 და ორიგინალური ლოგარითმი, სიმძლავრის ლოგარითმის თვისების გამო, შეიძლება გადაიწეროს როგორც 3·log 60 3.

ახლა ვნახოთ, როგორ გამოვხატოთ log 60 3 ცნობილი ლოგარითმების მიხედვით. ფუძის ტოლი რიცხვის ლოგარითმის თვისება საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ ტოლობის ჟურნალი 60 60=1. მეორეს მხრივ, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . ამრიგად, 2 ლოგი 60 2+ლოგი 60 3+ლოგი 60 5=1. აქედან გამომდინარე, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

დაბოლოს, ჩვენ ვიანგარიშებთ თავდაპირველ ლოგარითმს: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

პასუხი:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

ცალკე, აღსანიშნავია ფორმის ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულის მნიშვნელობა. . ის საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ ლოგარითმებიდან ნებისმიერი ფუძით ლოგარითმებზე კონკრეტული ფუძის მქონე ლოგარითმებზე, რომელთა მნიშვნელობები ცნობილია ან შესაძლებელია მათი პოვნა. ჩვეულებრივ, ორიგინალური ლოგარითმიდან, გარდამავალი ფორმულის გამოყენებით, ისინი გადადიან ლოგარითმებზე ერთ-ერთ 2, e ან 10 ფუძეზე, რადგან ამ ბაზებისთვის არის ლოგარითმების ცხრილები, რომლებიც საშუალებას იძლევა გარკვეული ზომითზუსტად გამოთვალეთ მათი მნიშვნელობები. შემდეგ აბზაცში ჩვენ გაჩვენებთ, თუ როგორ კეთდება ეს.

ლოგარითმის ცხრილები და მათი გამოყენება

ლოგარითმის მნიშვნელობების სავარაუდო გაანგარიშებისთვის შეიძლება გამოყენებულ იქნას ლოგარითმის ცხრილები. ყველაზე ხშირად გამოყენებული ბაზის 2 ლოგარითმის ცხრილი, ბუნებრივი ლოგარითმის ცხრილი და ათობითი ლოგარითმები. მუშაობის დროს ათობითი სისტემაგამოთვლებისთვის მოსახერხებელია ლოგარითმების ცხრილის გამოყენება, რომელიც დაფუძნებულია ათეულზე. მისი დახმარებით ჩვენ ვისწავლით ლოგარითმების მნიშვნელობების პოვნას.

წარმოდგენილი ცხრილი საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ რიცხვების ათობითი ლოგარითმების მნიშვნელობები 1000-დან 9999-მდე (სამი ათობითი ადგილით) ათიათასიანი სიზუსტით. ჩვენ გავაანალიზებთ ლოგარითმის მნიშვნელობის პოვნის პრინციპს ათობითი ლოგარითმების ცხრილის გამოყენებით კონკრეტული მაგალითი- ასე უფრო გასაგებია. მოდი ვიპოვოთ log1.256.

ათობითი ლოგარითმების ცხრილის მარცხენა სვეტში ვხვდებით 1.256 რიცხვის პირველ ორ ციფრს, ანუ ვპოულობთ 1.2-ს (სიცხადისთვის ეს რიცხვი შემოხაზულია ლურჯად). ვპოულობთ 1.256-ის მესამე ციფრს (ციფრი 5) პირველში ან ბოლო ხაზიორმაგი ხაზის მარცხნივ (ეს რიცხვი შემოხაზულია წითლად). ორიგინალური რიცხვის 1.256 მეოთხე ციფრი (ციფრი 6) გვხვდება ორმაგი ხაზის მარჯვნივ პირველ ან ბოლო სტრიქონში (ეს რიცხვი შემოხაზულია მწვანე ხაზით). ახლა ჩვენ ვპოულობთ რიცხვებს ლოგარითმების ცხრილის უჯრედებში მონიშნული მწკრივისა და მონიშნული სვეტების კვეთაზე (ეს რიცხვები მონიშნულია ფორთოხალი). მონიშნული რიცხვების ჯამი იძლევა ათწილადის ლოგარითმის სასურველ მნიშვნელობას მეოთხე ათწილადამდე, ანუ log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

შესაძლებელია თუ არა, ზემოთ მოყვანილი ცხრილის გამოყენებით, ვიპოვოთ რიცხვების ათობითი ლოგარითმების მნიშვნელობები, რომლებსაც აქვთ სამზე მეტი ციფრი ათწილადის წერტილის შემდეგ, ისევე როგორც ის, ვინც სცილდება 1-დან 9.999-მდე დიაპაზონს? Დიახ, შეგიძლია. მოდით აჩვენოთ, თუ როგორ კეთდება ეს მაგალითით.

გამოვთვალოთ lg102.76332. ჯერ უნდა დაწერო ნომერი შევიდა სტანდარტული ფორმა : 102.76332=1.0276332·10 2. ამის შემდეგ მანტისა უნდა დამრგვალდეს მესამე ათწილადამდე, გვაქვს 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, მაშინ როცა თავდაპირველი ათობითი ლოგარითმი დაახლოებით უდრის მიღებული რიცხვის ლოგარითმს, ანუ ვიღებთ log102.76332≈lg1.028·10 2. ახლა ჩვენ ვიყენებთ ლოგარითმის თვისებებს: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. საბოლოოდ, ათწილადი ლოგარითმების ცხრილიდან ვპოულობთ lg1.028 ლოგარითმის მნიშვნელობას lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. შედეგად, ლოგარითმის გამოთვლის მთელი პროცესი ასე გამოიყურება: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

დასასრულს, აღსანიშნავია, რომ ათობითი ლოგარითმების ცხრილის გამოყენებით შეგიძლიათ გამოთვალოთ ნებისმიერი ლოგარითმის სავარაუდო მნიშვნელობა. ამისათვის საკმარისია გამოიყენოთ გარდამავალი ფორმულა, რომ გადავიდეთ ათობითი ლოგარითმებზე, იპოვოთ მათი მნიშვნელობები ცხრილში და შეასრულოთ დარჩენილი გამოთვლები.

მაგალითად, გამოვთვალოთ ჟურნალი 2 3 . ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულის მიხედვით გვაქვს . ათობითი ლოგარითმების ცხრილიდან ვხვდებით log3≈0.4771 და log2≈0.3010. ამრიგად, .

ბიბლიოგრაფია.

• კოლმოგოროვი A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. და სხვა ალგებრა და ანალიზის საწყისები: ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების მე-10 - მე-11 კლასების სახელმძღვანელო.
• გუსევი V.A., Mordkovich A.G. მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკურ სასწავლებლებში მოსულთათვის).