როგორ გამოვხატოთ გამოხატულება რაციონალურ წილადად. რაციონალური გამონათქვამების გარდაქმნების ძირითადი ტიპები

ეს სტატია ეძღვნება ტრანსფორმაცია რაციონალური გამონათქვამები , უპირატესად ფრაქციულად რაციონალური, – ერთს ძირითადი საკითხებიალგებრის კურსი მე-8 კლასისთვის. პირველ რიგში, ჩვენ ვიხსენებთ, თუ რა ტიპის გამონათქვამებს ეწოდება რაციონალური. შემდეგ ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ სტანდარტული გარდაქმნების განხორციელებაზე რაციონალური გამონათქვამებით, როგორიცაა ტერმინების დაჯგუფება, საერთო ფაქტორების ფრჩხილებიდან ამოღება, მოყვანა მსგავსი ტერმინებიდა ა.შ. და ბოლოს, ჩვენ ვისწავლით წილადი რაციონალური გამონათქვამების რაციონალურ წილადებად წარმოდგენას.

გვერდის ნავიგაცია.

რაციონალური გამონათქვამების განმარტება და მაგალითები

რაციონალური გამოთქმები სკოლაში ალგებრის გაკვეთილებზე შესწავლილი გამოთქმების ერთ-ერთი სახეობაა. მოდით მივცეთ განმარტება.

განმარტება.

რიცხვები, ცვლადები, ფრჩხილები, სიმძლავრეები, რომლებიც შედგება რიცხვების მაჩვენებლებით, დაკავშირებული ნიშნების გამოყენებით არითმეტიკული ოპერაციები+, −, · და:, სადაც გაყოფა შეიძლება მიეთითოს წილადის ზოლით, ეწოდება რაციონალური გამონათქვამები.

აქ არის რაციონალური გამონათქვამების რამდენიმე მაგალითი: .

რაციონალური გამონათქვამების მიზანმიმართულად შესწავლა იწყება მე-7 კლასში. უფრო მეტიც, მე-7 კლასში სწავლობს მუშაობის საფუძვლებს ე.წ მთელი რაციონალური გამონათქვამები, ანუ რაციონალური გამონათქვამებით, რომლებიც არ შეიცავს ცვლადებით გამოსახულებებად დაყოფას. ამისათვის თანმიმდევრულად იკვლევენ მონომებსა და მრავალწევრებს, ასევე მათთან მოქმედებების შესრულების პრინციპებს. მთელი ეს ცოდნა საბოლოოდ საშუალებას გაძლევთ განახორციელოთ მთელი გამონათქვამების ტრანსფორმაციები.

მე-8 კლასში ისინი გადადიან რაციონალური გამონათქვამების შესწავლაზე, რომლებიც შეიცავს დაყოფას გამოსახულებით ცვლადებით ე.წ. წილადი რაციონალური გამონათქვამები. ამავე დროს განსაკუთრებული ყურადღებაეძლევა ე.წ რაციონალური წილადები(მათ ასევე ეძახიან ალგებრული წილადები), ანუ წილადები, რომელთა მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს მრავალწევრებს. ეს საბოლოოდ შესაძლებელს ხდის რაციონალური წილადების გარდაქმნას.

შეძენილი უნარები საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ რაციონალური გამონათქვამების ტრანსფორმაციაზე თვითნებური ტიპი. ეს აიხსნება იმით, რომ ნებისმიერი რაციონალური გამოხატულება შეიძლება ჩაითვალოს როგორც გამოხატულება, რომელიც შედგება რაციონალური წილადებისა და არითმეტიკული მოქმედებების ნიშნებით დაკავშირებული მთელი რიცხვებისგან. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ ვიმუშაოთ მთლიან გამონათქვამებთან და ალგებრულ წილადებთან.

რაციონალური გამონათქვამების გარდაქმნების ძირითადი ტიპები

რაციონალური გამონათქვამებით შეგიძლიათ განახორციელოთ იდენტობის ნებისმიერი ძირითადი ტრანსფორმაცია, იქნება ეს ტერმინების თუ ფაქტორების დაჯგუფება, მსგავსი ტერმინების მოტანა, რიცხვებთან მოქმედებების შესრულება და ა.შ. როგორც წესი, ამ გარდაქმნების განხორციელების მიზანია რაციონალური გამოხატვის გამარტივება.

მაგალითი.

.

გამოსავალი.

ნათელია, რომ ეს რაციონალური გამოთქმა არის განსხვავება ორ გამონათქვამს შორის და ეს გამონათქვამები მსგავსია, რადგან მათ აქვთ იგივე ასო ნაწილი. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია შევასრულოთ მსგავსი ტერმინების შემცირება:

პასუხი:

.

გასაგებია, რომ რაციონალური გამონათქვამებით გარდაქმნების განხორციელებისას, ისევე როგორც ნებისმიერი სხვა გამონათქვამებით, თქვენ უნდა დარჩეთ მოქმედებების მიღებულ წესრიგში.

მაგალითი.

შეასრულეთ რაციონალური გამოხატვის ტრანსფორმაცია.

გამოსავალი.

ჩვენ ვიცით, რომ ფრჩხილებში მოცემული მოქმედებები ჯერ შესრულებულია. ამიტომ, უპირველეს ყოვლისა, გამოვხატავთ ფრჩხილებში გამოსახულებას: 3·x−x=2·x.

ახლა შეგიძლიათ მიღებული შედეგი ჩაანაცვლოთ თავდაპირველ რაციონალურ გამონათქვამში: . ასე მივედით გამოთქმამდე, რომელიც შეიცავს ერთი ეტაპის მოქმედებებს - შეკრება და გამრავლება.

გამონათქვამის ბოლოს გამოსახული ფრჩხილები დავაღწიოთ ნამრავლზე გაყოფის თვისების გამოყენებით: .

და ბოლოს, შეგვიძლია დავაჯგუფოთ რიცხვითი ფაქტორები და ფაქტორები x ცვლადთან, შემდეგ შევასრულოთ შესაბამისი მოქმედებები რიცხვებზე და გამოვიყენოთ : .

ამით სრულდება რაციონალური გამოხატვის ტრანსფორმაცია და შედეგად ვიღებთ მონომს.

პასუხი:

მაგალითი.

რაციონალური გამოხატვის კონვერტაცია .

გამოსავალი.

ჯერ ვაქცევთ მრიცხველს და მნიშვნელს. წილადების გარდაქმნის ეს თანმიმდევრობა აიხსნება იმით, რომ წილადის წრფე არსებითად არის სხვა აღნიშვნა გაყოფისთვის, ხოლო თავდაპირველი რაციონალური გამოხატულება არსებითად ფორმის კოეფიციენტია. , და ფრჩხილებში მოცემული მოქმედებები ჯერ შესრულებულია.

ასე რომ, მრიცხველში ვასრულებთ მოქმედებებს მრავალწევრებთან, ჯერ გამრავლებით, შემდეგ გამოკლებით, ხოლო მნიშვნელში ვაჯგუფებთ რიცხვით ფაქტორებს და ვიანგარიშებთ მათ ნამრავლს: .

ასევე წარმოვიდგინოთ მიღებული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი ნამრავლის სახით: უცებ შესაძლებელია ალგებრული წილადის შემცირება. ამისათვის ჩვენ გამოვიყენებთ მრიცხველში კვადრატების ფორმულის განსხვავება, და მნიშვნელში ვიღებთ ორს ფრჩხილებიდან, გვაქვს .

პასუხი:

.

ასე რომ, თავდაპირველი გაცნობარაციონალური გამონათქვამების გარდაქმნით შეიძლება ჩაითვალოს დასრულებულად. გადავიდეთ, ასე ვთქვათ, ყველაზე ტკბილ ნაწილზე.

რაციონალური წილადის წარმოდგენა

ყველაზე ხშირად საბოლოო მიზანიგამონათქვამების გარდაქმნა არის მათი გარეგნობის გამარტივება. ამ კუთხით ყველაზე მეტად მარტივი ხედირომელშიც წილადი რაციონალური გამოხატულება შეიძლება გადავიდეს არის რაციონალური (ალგებრული) წილადი და განსაკუთრებულ შემთხვევაში მრავალწევრი, მონომიური ან რიცხვი.

შესაძლებელია თუ არა რაიმე რაციონალური გამოხატვის ფორმაში წარმოდგენა რაციონალური წილადი? პასუხი არის დიახ. მოდით განვმარტოთ, რატომ არის ეს ასე.

როგორც უკვე ვთქვით, ნებისმიერი რაციონალური გამოხატულება შეიძლება ჩაითვალოს მრავალწევრებად და რაციონალურ წილადებად, რომლებიც დაკავშირებულია პლუს, მინუს, გამრავლებისა და გაყოფის ნიშნებით. ყველა შესაბამისი ოპერაცია მრავალწევრებთან აწარმოებს მრავალწევრს ან რაციონალურ წილადს. თავის მხრივ, ნებისმიერი მრავალწევრი შეიძლება გარდაიქმნას ალგებრულ წილადად მისი მნიშვნელის 1-ით ჩაწერით. და რაციონალური წილადების დამატება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა იწვევს ახალ რაციონალურ წილადს. მაშასადამე, რაციონალურ გამოხატულებაში მრავალწევრებთან და რაციონალურ წილადებთან ყველა მოქმედების შესრულების შემდეგ მივიღებთ რაციონალურ წილადს.

მაგალითი.

რაციონალური წილადის სახით გამოხატეთ გამოხატულება .

გამოსავალი.

ორიგინალური რაციონალური გამოხატულება არის განსხვავება წილადსა და ფორმის წილადების ნამრავლს შორის . მოქმედებების თანმიმდევრობის მიხედვით ჯერ უნდა შევასრულოთ გამრავლება და მხოლოდ ამის შემდეგ შეკრება.

ვიწყებთ ალგებრული წილადების გამრავლებით:

მიღებულ შედეგს ვცვლით თავდაპირველ რაციონალურ გამონათქვამში: .

ალგებრული წილადების გამოკლებამდე მივედით სხვადასხვა მნიშვნელი:

ასე რომ, ოპერაციების შესრულების შემდეგ რაციონალური წილადები, რომლებიც ქმნიან თავდაპირველ რაციონალურ გამოხატულებას, ჩვენ წარმოვადგინეთ რაციონალური წილადის სახით.

პასუხი:

.

მასალის კონსოლიდაციის მიზნით, ჩვენ გავაანალიზებთ სხვა მაგალითის ამოხსნას.

მაგალითი.

რაციონალური გამოთქმა რაციონალური წილადის სახით გამოხატეთ.

სტატიაში საუბარია რაციონალური გამონათქვამების ტრანსფორმაციაზე. განვიხილოთ რაციონალური გამონათქვამების ტიპები, მათი გარდაქმნები, დაჯგუფება და საერთო ფაქტორის ბრეკეტირება. ვისწავლოთ წილადი რაციონალური გამონათქვამების წარმოდგენა რაციონალური წილადების სახით.

Yandex.RTB R-A-339285-1

რაციონალური გამონათქვამების განმარტება და მაგალითები

გამონათქვამები, რომლებიც შედგება რიცხვებისგან, ცვლადებისაგან, ფრჩხილებისგან, ხარისხებისგან შეკრების, გამოკლების, გამრავლების, გაყოფის მოქმედებებით წილადის წრფის არსებობით ე.წ. რაციონალური გამონათქვამები.

მაგალითად, გვაქვს, რომ 5, 2 3 x - 5, - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3.

ანუ ეს არის გამონათქვამები, რომლებიც არ იყოფა ცვლადებით გამოსახულებებად. რაციონალური გამონათქვამების შესწავლა იწყება მე-8 კლასში, სადაც მათ უწოდებენ წილადის რაციონალურ გამონათქვამებს. განსაკუთრებული ყურადღება ექცევა მრიცხველში არსებულ წილადებს, რომლებიც გარდაიქმნება ტრანსფორმაციის წესების გამოყენებით.

ეს საშუალებას გვაძლევს გავაგრძელოთ თვითნებური ფორმის რაციონალური წილადების ტრანსფორმაცია. ასეთი გამოხატულება შეიძლება ჩაითვალოს გამოხატულებად რაციონალური წილადების არსებობით და მთელი რიცხვითი გამონათქვამებით მოქმედების ნიშნებით.

რაციონალური გამონათქვამების გარდაქმნების ძირითადი ტიპები

შესასრულებლად გამოიყენება რაციონალური გამონათქვამები იდენტობის გარდაქმნები, დაჯგუფება, მსგავსების მოყვანა, რიცხვებით სხვა მოქმედებების შესრულება. ასეთი გამონათქვამების მიზანი გამარტივებაა.

მაგალითი 1

რაციონალური გამონათქვამის გარდაქმნა 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .

გამოსავალი

ჩანს, რომ ასეთი რაციონალური გამოხატულება არის განსხვავება 3 x x y - 1 და 2 x x y - 1 შორის. ჩვენ ვამჩნევთ, რომ მათი მნიშვნელი იდენტურია. ეს ნიშნავს, რომ მსგავსი ტერმინების შემცირება მიიღებს ფორმას

3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1

პასუხი: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1.

მაგალითი 2

გადაიყვანეთ 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) .

გამოსავალი

თავდაპირველად ვასრულებთ მოქმედებებს ფრჩხილებში 3 · x − x = 2 · x. წარმოგიდგენთ ამ გამოთქმას 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x. ჩვენ მივდივართ გამოსახულებამდე, რომელიც შეიცავს მოქმედებებს ერთი ნაბიჯით, ანუ აქვს შეკრება და გამოკლება.

ჩვენ ვაშორებთ ფრჩხილებს გაყოფის თვისების გამოყენებით. შემდეგ მივიღებთ, რომ 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x.

ვაჯგუფებთ რიცხვით ფაქტორებს x ცვლადთან, რის შემდეგაც შეგვიძლია მოქმედებების შესრულება ძალაუფლებით. ჩვენ ამას მივიღებთ

2 x 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4

პასუხი: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4.

მაგალითი 3

x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 ფორმის გამონათქვამის გარდაქმნა.

გამოსავალი

პირველი, ჩვენ გარდაქმნის მრიცხველს და მნიშვნელს. შემდეგ მივიღებთ ფორმის გამოსახულებას (x · (x + 3) - (3 · x + 1)): 1 2 · x · 4 + 2 და ჯერ კეთდება ფრჩხილებში მოცემული მოქმედებები. მრიცხველში კეთდება ოპერაციები და ჯგუფდება ფაქტორები. შემდეგ მივიღებთ x · (x + 3) - (3 · x + 1) ფორმის გამოხატვას 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x + 2 = x 2 - 1 2 · x + 2 .

მოდით გარდავქმნათ კვადრატების ფორმულის სხვაობა მრიცხველში, შემდეგ მივიღებთ ამას

x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2

უპასუხე: x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .

რაციონალური წილადის წარმოდგენა

ალგებრული წილადები ყველაზე ხშირად გამარტივებულია ამოხსნისას. ყველა რაციონალური აქამდეა დაყვანილი სხვადასხვა გზით. აუცილებელია ყველა საჭირო მოქმედების შესრულება მრავალწევრებთან ისე, რომ რაციონალურმა გამოხატულებამ საბოლოოდ მისცეს რაციონალური წილადი.

მაგალითი 4

რაციონალური წილადის სახით წარმოადგინეთ a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a.

გამოსავალი

ეს გამონათქვამი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a. გამრავლება ძირითადად ხდება წესების მიხედვით.

უნდა დავიწყოთ გამრავლებით, შემდეგ მივიღებთ ამას

a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 (a + 3) a (a + 5) = a - 5 (a + 3) a

მიღებულ შედეგს წარმოგიდგენთ ორიგინალთან ერთად. ჩვენ ამას მივიღებთ

a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a

ახლა გავაკეთოთ გამოკლება:

a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · (a - 3) · (a + 3) - (a - 5) · (a - 3) (a + 3) a (a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 a 2 - 9

რის შემდეგაც აშკარაა, რომ ორიგინალური გამოხატულება მიიღებს ფორმას 16 a 2 - 9.

პასუხი: a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9 .

მაგალითი 5

გამოხატეთ x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x რაციონალური წილადის სახით.

გამოსავალი

მოცემული გამოხატულება იწერება წილადის სახით, რომლის მრიცხველს აქვს x x + 1 + 1, ხოლო მნიშვნელს 2 x - 1 1 + x. აუცილებელია გარდაქმნების გაკეთება x x + 1 + 1 . ამისათვის თქვენ უნდა დაამატოთ წილადი და რიცხვი. მივიღებთ, რომ x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1

აქედან გამომდინარეობს, რომ x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x

მიღებული წილადი შეიძლება დაიწეროს როგორც 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x.

გაყოფის შემდეგ მივდივართ ფორმის რაციონალურ წილადამდე

2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1

ამის გადაჭრის სხვა გზა არსებობს.

იმის ნაცვლად, რომ გავყოთ 2 x - 1 1 + x-ზე, ვამრავლებთ მის შებრუნებულ 1 + x 2 x - 1-ზე. მოდით გამოვიყენოთ განაწილების თვისება და ვიპოვოთ ის

x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1

პასუხი: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

როგორც ქვემოთ დავინახავთ, ყველა ელემენტარულ ფუნქციას არ აქვს ინტეგრალი, რომელიც გამოხატულია ელემენტარულ ფუნქციებში. აქედან გამომდინარე, ძალიან მნიშვნელოვანია ფუნქციების კლასების იდენტიფიცირება, რომელთა ინტეგრალები გამოხატულია ელემენტარული ფუნქციები. ამ კლასებიდან უმარტივესი არის რაციონალური ფუნქციების კლასი.

ყველანაირი რაციონალური ფუნქციაშეიძლება წარმოდგენილი იყოს რაციონალური წილადის სახით, ანუ ორი მრავალწევრის თანაფარდობით:

არგუმენტის ზოგადობის შეზღუდვის გარეშე, ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ მრავალწევრებს არ აქვთ საერთო ფესვები.

თუ მრიცხველის ხარისხი მნიშვნელის ხარისხზე დაბალია, მაშინ წილადს სათანადო ეწოდება, წინააღმდეგ შემთხვევაშიწილადს არასწორ წილადს უწოდებენ.

თუ წილადი არასწორია, მაშინ მრიცხველის მნიშვნელზე გაყოფით (პოლინომების გაყოფის წესის გამოყენებით), შეგიძლიათ წარმოადგინოთ მოცემული წილადიროგორც მრავალწევრისა და ზოგიერთი სწორი წილადის ჯამი:

აქ არის მრავალწევრი და a არის სწორი წილადი.

მაგალითი ტ. მიეცით არასწორი რაციონალური წილადი

მრიცხველის მნიშვნელზე გაყოფით (მრავალწევრების გაყოფის წესის გამოყენებით) მივიღებთ

ვინაიდან მრავალწევრების ინტეგრირება არ არის რთული, რაციონალური წილადების ინტეგრირების მთავარი სირთულე არის სწორი რაციონალური წილადების ინტეგრირება.

განმარტება. ფორმის სწორი რაციონალური წილადები

უწოდებენ I, II, III და IV ტიპის მარტივ წილადებს.

I, II და III ტიპების უმარტივესი წილადების ინტეგრირება არც ისე რთულია, ამიტომ მათ ინტეგრაციას ყოველგვარი დამატებითი ახსნის გარეშე განვახორციელებთ:

მეტი რთული გამოთვლებიმოითხოვს IV ტიპის მარტივი წილადების გაერთიანებას. მოდით, მოგვცეს ამ ტიპის ინტეგრალი:

მოდით გავაკეთოთ ტრანსფორმაცია:

პირველი ინტეგრალი აღებულია ჩანაცვლებით

მეორე ინტეგრალი - აღვნიშნავთ და ვწერთ ფორმაში

ვარაუდით, მნიშვნელის ფესვები რთულია და, შესაბამისად, შემდეგი ვაგრძელებთ შემდეგნაირად:

მოდით გარდავქმნათ ინტეგრალი:

ნაწილების მიხედვით ინტეგრირება, გვაქვს

ამ გამოთქმის ტოლობით (1) ჩანაცვლებით, მივიღებთ

მარჯვენა მხარე შეიცავს იგივე ტიპის ინტეგრალს, მაგრამ ინტეგრანტის მნიშვნელის მაჩვენებელი ერთით დაბალია; ამრიგად, ჩვენ ეს გამოვხატეთ . იმავე გზას ვაგრძელებთ, მივაღწევთ ცნობილ ინტეგრალს.