როგორ მოვძებნოთ ვექტორის პროგნოზები კოორდინატულ ღერძებზე. ვექტორული პროექცია

1. ვექტორის პროექცია მოცემულ მიმართულებაზე.

მიეცეს ორი ვექტორი `vec a` და `vec b`. ეს ვექტორები დავიყვანოთ იმავე საწყისამდე `O`.

"O" წერტილიდან გამომავალი სხივების მიერ წარმოქმნილ კუთხეს, რომელიც მიმართულია "vec a" და "vec b" ვექტორების გასწვრივ, ეწოდება "vec a" და "vec b" ვექტორებს შორის კუთხე. ავღნიშნოთ ეს კუთხე `ალფა~-ით.

რიცხვს `a_b = cos alpha` ეწოდება ვექტორის `vec a` პროექციას ვექტორის `vec b` მიმართულებით. ვექტორის `vec a` პროექცია მიიღება, თუ მისი ბოლოდან პერპენდიკულარი ჩაშვებულია ვექტორის `vec b` მიმართულებით (ნახ. 10), შემდეგ მანძილი ჯამიდან. ვექტორების დასაწყისი - წერტილები `O` - მითითებული პერპენდიკულარის გადაკვეთის წერტილამდე იმ წრფესთან, რომელზეც დევს ვექტორი `vec b`, ტოლი იქნება `vec a` ვექტორის პროექციის მოდული ვექტორის `vec b` მიმართულებით.

კუთხე `ალფა~ შეიძლება მიიღოს სხვადასხვა მნიშვნელობამაშასადამე, "cos alpha" ნიშნიდან გამომდინარე, პროექცია შეიძლება იყოს დადებითი, უარყოფითი მნიშვნელობებიან ნულოვანი. მაგალითად, თუ კუთხე `ალფა` ბლაგვია, ანუ `90^@`-ზე მეტი, მაგრამ `180^@`-ზე ნაკლები, მაშინ ასეთი კუთხის კოსინუსი უარყოფითია.

პროექცია არის ნული, თუ ვექტორების `vec a` და `vec b` მიმართულებები ორმხრივი პერპენდიკულარული.

პროგნოზები თანაბარი ვექტორებინებისმიერი მიმართულებით ერთმანეთის ტოლია. საპირისპირო ვექტორების პროგნოზები განსხვავდება ნიშნით.

ადვილია იმის ჩვენება, რომ ვექტორთა ჯამის პროექცია ტოლია ალგებრული ჯამიმათი პროგნოზები და რომ როდესაც ვექტორი მრავლდება რიცხვზე, მისი პროექცია მრავლდება იმავე რიცხვზე.

2. ვექტორული დაშლა.

აქამდე ვისაუბრეთ ვექტორის დამატებაზე. მრავალი პრობლემის გადასაჭრელად შეიძლება საჭირო გახდეს საპირისპირო პროცედურის ჩატარება - ვექტორის დაშლა კომპონენტებად, მაგალითად, იპოვნეთ რამდენიმე ძალა, რომლებიც ერთობლივი მოქმედებით შეიძლება შეცვალონ ერთი. მიცემული ძალაუფლება. ამ ოპერაციას ე.წ ძალების დაშლა.

სიბრტყეში მოცემულია ვექტორი `vec a` და ორი სწორი წრფე `AO` და `OB`, რომლებიც კვეთენ `O` წერტილს.

ვექტორი `vec a` შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მოცემული ხაზების გასწვრივ მიმართული ორი ვექტორის ჯამი. ამისათვის, პარალელური თარგმნით, ვექტორი `vec a`-ს დასაწყისს ვაერთებთ `O` წერტილს. ხაზების გადაკვეთები. `vec a` ვექტორის ბოლოდან ვხატავთ ორ სწორ სეგმენტს `AO`-სა და `OB`-ის პარალელურად. შედეგი იქნება პარალელოგრამი. მშენებლობით

ვექტორებს `vec(a_1)` და `vec(a_2)` ეწოდება კომპონენტებივექტორი `vec a` მოცემულ მიმართულებებში, ხოლო თავად ვექტორის წარმოდგენა ჯამის სახით (*) არის ვექტორის დაშლა ორი მიმართულებით.

რა განსხვავებაა ვექტორის პროექციას ღერძზე და ვექტორის კომპონენტს (კომპონენტს) შორის ამ ღერძის გასწვრივ?

ვექტორის პროექცია არის სკალარული; ამ ღერძის გასწვრივ ვექტორის კომპონენტი არის ამ ღერძის გასწვრივ მიმართული ვექტორი.

მოდით `a = 1`, კუთხე `AO` და `OB` წრფეებს შორის არის `phi = 45^@`, ხოლო კუთხე `vec a`-სა და `vec(a_1)` ვექტორებს შორის არის `phi = 15^@`. განსაზღვრეთ ვექტორების "vec a_1" და "vec a_2" სიდიდეები გაფართოებაში (*), ასევე "vec a" ვექტორის პროგნოზების მნიშვნელობები "vec(a_1)" და "vec" მიმართულებებზე. (a_2)`.

`a_(a1) = cos phi_1 ~~ 0,97`, `a_(a2) = a cos phi_2 = cos 30^@ ~~ 0,87`.

საიდანაც `a_1 = (sin phi_2)/(sin (phi_1 + phi_2)) = (sin 30^@)/(sin 45^@) ~~ 0,71`

და ანალოგიურად `a_2 = (ცოდვა 15^@)/(ცოდვა 45^@) ~~ 0,37`.

3. ვექტორის პროექცია კოორდინატთა ღერძზე.

განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია განსაკუთრებული შემთხვევავექტორის გაფართოება ორი ერთმანეთის პერპენდიკულარული მიმართულებით. სიბრტყეზე მოყვანილი იყოს მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა `xOy` და რამდენიმე ვექტორი `vec a`. „Ox“ და „Oy“ ღერძების დადებითი მიმართულების საწყისიდან გამოვსახოთ ვექტორები `vec i` და `vec j`, შესაბამისად, ისე, რომ `|vec i| = 1` და `|vec j| = 1`. ვუწოდოთ ვექტორებს `vec i` და `vec j` ერთეული ვექტორები.

გადავიტანოთ ვექტორი `vec a` ისე, რომ მისი საწყისი ემთხვევა კოორდინატების საწყისს. მოდით ეს იყოს წარმოდგენილი ამ პოზიციაზე მიმართული სეგმენტით `AO`.

პერპენდიკულარები 'A' წერტილიდან 'Ox' და 'Oy' ღერძებზე ჩამოვუშვათ. მაშინ ვექტორები `vec(a_x)` და `vec(a_y)` იქნება ვექტორის `vec a` კომპონენტები კოორდინატთა ღერძების გასწვრივ, ხოლო ვექტორი `vec(a_x)` იქნება კოლინარული. ვექტორი`vec i`, და ვექტორი `vec(a_y)` თანასწორია ვექტორთან `vec j` მაშასადამე, არსებობს რიცხვები `a_x` და `a_y` ისეთი, რომ `vec(a_x) = a_x vec i` და `vec(a_y) =. a_y vec j `. ამრიგად, ვექტორი `vec a` შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ღერძის გაფართოების სახით:

რიცხვები `a_x` და `a_y` არის ვექტორის `vec a` პროექცია ვექტორების `vec i` და `vec j` მიმართულებებზე შესაბამისად, ანუ `Ox` და `Oy` ღერძებზე. ასევე გამოიყენება ვექტორების ჩაწერის სხვა ფორმა, გარდა (3), კერძოდ, `vec a = (a_x ; a_y)`.

ზოგჯერ ისინი საუბრობენ ვექტორულ კომპონენტზე ერთიერთი ღერძი - მეორის დაზუსტების გარეშე. უბრალოდ ჩუმად ვარაუდობენ, რომ მეორე ღერძი პერპენდიკულარულიპირველი (მაგრამ რატომღაც არ არის დახატული).

დაუშვით კუთხე `Ox` ღერძის დადებით მიმართულებას შორის და ვექტორი `vec a` უდრის `ალფას~. შემდეგ `a_x = cos alpha`, `a_y = ცოდვა ალფა`.

ღერძზე ვექტორის `vec a` პროექციის კუთხის `ალფა~ მნიშვნელობიდან გამომდინარე მართკუთხა სისტემაკოორდინატები შეიძლება იყოს დადებითი, უარყოფითი ან ნულოვანი.

`vec a` ვექტორის პროგნოზების ცოდნა კოორდინატთა ღერძზე შეგიძლიათ იპოვოთ მისი სიდიდე და მიმართულება ფორმულების გამოყენებით:

და ნიშნები `a_x` და `a_y` მიუთითებს რომელ კვადრატს ეკუთვნის მნიშვნელობა `alpha`.

4. მოდით ახლა მივცეთ ვექტორული ტოლობა `vec a + vec b = vec c`.

ყველა ვექტორის დაპროექტებით კოორდინატთა ღერძებზე, მივიღებთ აშკარა ტოლობას

`c_x = a_x + b_x`, `c_y = a_y + b_y`,

`c_x = cos alpha + b cos beta`,

`c_y = ცოდვა ალფა + b sin ბეტა`,

ე.ი. `vec a` და `vec b` ვექტორების პროგნოზებიდან მარტივად შეიძლება მოიძებნოს მთლიანი ვექტორის `vec c~ პროგნოზები.

პასუხი:

პროექციის თვისებები:

ვექტორული პროექციის თვისებები

საკუთრება 1.

ორი ვექტორის ჯამის პროექცია ღერძზე უდრის ვექტორების პროექციის ჯამს იმავე ღერძზე:

ეს თვისება საშუალებას გაძლევთ შეცვალოთ ვექტორების ჯამის პროექცია მათი პროგნოზების ჯამით და პირიქით.

საკუთრება 2.თუ ვექტორი მრავლდება λ რიცხვზე, მაშინ მისი პროექცია ღერძზე ასევე მრავლდება ამ რიცხვზე:

საკუთრება 3.

ვექტორის პროექცია l ღერძზე უდრის ვექტორის მოდულის ნამრავლს და ვექტორსა და ღერძს შორის კუთხის კოსინუსს:

ორთის ღერძი. ვექტორის დაშლა კოორდინატთა ერთეულ ვექტორებში. ვექტორული კოორდინატები. თვისებების კოორდინაცია

პასუხი:

ღერძების ერთეული ვექტორები.

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა (ნებისმიერი განზომილების) ასევე აღწერილია ერთეული ვექტორების სიმრავლით, რომლებიც შეესაბამება კოორდინატთა ღერძებს. ერთეული ვექტორების რაოდენობა უდრის კოორდინატთა სისტემის განზომილებას და ისინი ყველა ერთმანეთის პერპენდიკულარულია.

სამგანზომილებიან შემთხვევაში, ჩვეულებრივ აღინიშნება ერთეული ვექტორები

და ისრის სიმბოლოები და ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას.

ამ შემთხვევაში, მარჯვენა კოორდინატთა სისტემის შემთხვევაში, მოქმედებს შემდეგი ფორმულები ერთეული ვექტორების ვექტორული ნამრავლებით:

ვექტორის დაშლა კოორდინატთა ერთეულ ვექტორებში.

კოორდინატთა ღერძის ერთეული ვექტორი აღინიშნება ღერძებით , ღერძებით - (ნახ. 1)

ნებისმიერი ვექტორისთვის, რომელიც დევს სიბრტყეში, ხდება შემდეგი გაფართოება:

თუ ვექტორი მდებარეობს სივრცეში, მაშინ კოორდინატთა ღერძების ერთეულ ვექტორებში გაფართოებას აქვს ფორმა:

ვექტორული კოორდინატები:

ვექტორის კოორდინატების გამოსათვლელად, რომ იცოდეთ მისი A დასაწყისის კოორდინატები (x1; y1) და ბოლო B კოორდინატები (x2; y2), თქვენ უნდა გამოვაკლოთ დასაწყისის კოორდინატები დასასრულის კოორდინატებს: ( x2 – x1 y2 – y1).

კოორდინატების თვისებები.

განვიხილოთ კოორდინატთა წრფე O წერტილის საწყისით და ერთეული ვექტორით i. შემდეგ ნებისმიერი a ვექტორისთვის ამ წრფეზე: a = ღერძი.

რიცხვ ცულს ეწოდება a ვექტორის კოორდინატი კოორდინატულ ღერძზე.

საკუთრება 1.ღერძზე ვექტორების დამატებისას ემატება მათი კოორდინატები.

საკუთრება 2.როდესაც ვექტორი მრავლდება რიცხვზე, მისი კოორდინატი მრავლდება ამ რიცხვზე.

სკალარული პროდუქტივექტორები. Თვისებები.

პასუხი:

ორი არანულოვანი ვექტორის სკალარული ნამრავლი არის რიცხვი

პროდუქტის ტოლიამ ვექტორებიდან მათ შორის კუთხის კოსინუსით.

Თვისებები:

1. სკალარული ნამრავლი აქვს კომუტაციური თვისება: ab=ba

კოორდინატთა ერთეული ვექტორების სკალარული ნამრავლი. ვექტორების კოორდინატებით განსაზღვრული სკალარული ნამრავლის განსაზღვრა.

პასუხი:

ერთეული ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი (×).

ვექტორების კოორდინატებით განსაზღვრული სკალარული ნამრავლის განსაზღვრა.

ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი და მოცემული მათი კოორდინატებით შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით

ორი ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლი. Თვისებები ვექტორული პროდუქტი.

პასუხი:

სამი არათანაბარი ვექტორი ქმნის მარჯვენა სამეულს, თუ მესამის ბოლოდან ბრუნი პირველი ვექტორიდან მეორეზე ხდება საათის ისრის საწინააღმდეგოდ. თუ საათის ისრის მიმართულებით, მაშინ მარცხნივ, თუ არა, მაშინ საპირისპირო მიმართულებით. აჩვენე როგორ აჩვენა მან "სახელურებით")

ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლი ავექტორამდე ბვექტორად წოდებული საიდანაც:

1. ვექტორების პერპენდიკულარული ადა ბ

2. აქვს სიგრძე, რიცხობრივად ფართობის ტოლიჩამოყალიბებული პარალელოგრამი ადა ბვექტორები

3. ვექტორები, ა, ბ, და გშექმენით ვექტორების მარჯვენა სამეული

Თვისებები:

1.

3.

4.

კოორდინატთა ერთეული ვექტორების ვექტორული ნამრავლი. მათი კოორდინატებით განსაზღვრული ვექტორების ნამრავლის განსაზღვრა.

პასუხი:

კოორდინატთა ერთეული ვექტორების ვექტორული ნამრავლი.

მათი კოორდინატებით განსაზღვრული ვექტორების ნამრავლის განსაზღვრა.

მოდით ვექტორები a = (x1; y1; z1) და b = (x2; y2; z2) მოცემული იყოს მათი კოორდინატებით მართკუთხა ფორმაში. დეკარტის სისტემაკოორდინატები O, i, j, k და სამმაგი i, j, k სწორია.

მოდით გავაფართოვოთ a და b საბაზისო ვექტორებად:

a = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

ვექტორული პროდუქტის თვისებების გამოყენებით ვიღებთ

[A; b] = =

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (1)

ვექტორული ნამრავლის განმარტებით ვპოულობთ

= 0, = k, = - j,

= - k, = 0, = i,

= j, = - ი. = 0.

ამ თანასწორობების გათვალისწინებით, ფორმულა (1) შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

[A; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i

[A; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

ფორმულა (2) იძლევა გამოხატულებას ორი ვექტორის ვექტორული ნამრავლისთვის, რომლებიც მითითებულია მათი კოორდინატებით.

შედეგად მიღებული ფორმულა შრომატევადია.

ჩვეულებრივ ფორმულა (3) უფრო მოკლედ იწერება:

ხოლო ღერძზე ან სხვა ვექტორზე არის მისი გეომეტრიული პროექციისა და რიცხვითი (ან ალგებრული) პროექციის ცნებები. გეომეტრიული პროექციის შედეგი იქნება ვექტორი, ხოლო ალგებრული პროექციის შედეგი იქნება არაუარყოფითი. ნამდვილი რიცხვი. მაგრამ სანამ ამ ცნებებზე გადავიდოდეთ, გავიხსენოთ საჭირო ინფორმაცია.

წინასწარი ინფორმაცია

მთავარი კონცეფცია არის თავად ვექტორის კონცეფცია. გეომეტრიული ვექტორის განმარტების გასაცნობად, გავიხსენოთ რა არის სეგმენტი. მოდით შემოგთავაზოთ შემდეგი განმარტება.

განმარტება 1

სეგმენტი არის სწორი ხაზის ნაწილი, რომელსაც აქვს ორი საზღვარი წერტილების სახით.

სეგმენტს შეიძლება ჰქონდეს 2 მიმართულება. მიმართულების აღსანიშნავად სეგმენტის ერთ საზღვარს დავარქმევთ მის დასაწყისს, ხოლო მეორე საზღვარს დასასრულს. მიმართულება მითითებულია მისი დასაწყისიდან სეგმენტის ბოლომდე.

განმარტება 2

ვექტორს ან მიმართულ სეგმენტს დავარქმევთ სეგმენტს, რომლისთვისაც ცნობილია სეგმენტის რომელი საზღვრები ითვლება დასაწყისად და რომელი დასასრული.

აღნიშვნა: ორი ასოებით: $\overline(AB)$ – (სადაც $A$ არის მისი დასაწყისი და $B$ არის დასასრული).

ერთი პატარა ასოთი: $\overline(a)$ (ნახ. 1).

შემოვიღოთ კიდევ რამდენიმე ცნება, რომელიც დაკავშირებულია ვექტორის ცნებასთან.

განმარტება 3

ორ არანულ ვექტორს დავარქმევთ კოლინატურს, თუ ისინი დევს ერთ წრფეზე ან ერთმანეთის პარალელურ ხაზებზე (ნახ. 2).

განმარტება 4

ორ არანულოვან ვექტორს დავარქმევთ თანამიმართულებით, თუ ისინი აკმაყოფილებენ ორ პირობას:

1. ეს ვექტორები კოლინარულია.
2. თუ ისინი მიმართულია ერთი მიმართულებით (სურ. 3).

აღნიშვნა: $\overline(a)\overline(b)$

განმარტება 5

ორ არა-ნულოვან ვექტორს ვუწოდებთ საპირისპიროდ მიმართულს, თუ ისინი აკმაყოფილებენ ორ პირობას:

1. ეს ვექტორები კოლინარულია.
2. თუ ისინი მიმართულია სხვადასხვა მხარე(ნახ. 4).

აღნიშვნა: $\overline(a)↓\overline(d)$

განმარტება 6

$\overline(a)$ ვექტორის სიგრძე იქნება $a$ სეგმენტის სიგრძე.

აღნიშვნა: $|\overline(a)|$

გადავიდეთ ორი ვექტორის ტოლობის განსაზღვრაზე

განმარტება 7

ორ ვექტორს ტოლს ვუწოდებთ, თუ ისინი აკმაყოფილებენ ორ პირობას:

1. ისინი თანამიმართულები არიან;
2. მათი სიგრძე ტოლია (სურ. 5).

გეომეტრიული პროექცია

როგორც ადრე ვთქვით, გეომეტრიული პროექციის შედეგი იქნება ვექტორი.

განმარტება 8

$\overline(AB)$ ვექტორის გეომეტრიული პროექცია ღერძზე არის ვექტორი, რომელიც მიიღება შემდეგნაირად: $A$ ვექტორის საწყისი წერტილი დაპროექტებულია ამ ღერძზე. ვიღებთ $A"$ წერტილს - სასურველი ვექტორის დასაწყისს. $B$ ვექტორის ბოლო წერტილი პროეცირდება ამ ღერძზე. ვიღებთ $B"$ წერტილს - სასურველი ვექტორის დასასრულს. ვექტორი $\overline(A"B")$ იქნება სასურველი ვექტორი.

განვიხილოთ პრობლემა:

მაგალითი 1

შექმენით გეომეტრიული პროექცია $\overline(AB)$ 6-ზე ნაჩვენები $l$ ღერძზე.

მოდით დავხატოთ პერპენდიკულარი $A$ წერტილიდან $l$ ღერძამდე, მივიღებთ $A"$ წერტილს მასზე. შემდეგ ვხატავთ პერპენდიკულარს $B$ წერტილიდან $l$ ღერძამდე, მივიღებთ $B წერტილს. $ მასზე (სურ. 7).

შესავალი ………………………………………………………………………………………… 3

1. ვექტორისა და სკალარულის მნიშვნელობა…………………………………….4

2. წერტილის პროექციის, ღერძისა და კოორდინატის განსაზღვრა………………….5

3. ვექტორის პროექცია ღერძზე………………………………………………………………...6

4. ვექტორული ალგებრის ძირითადი ფორმულა……………………………..8

5. ვექტორის მოდულის გამოთვლა მისი პროგნოზებიდან……………………...9

დასკვნა……………………………………………………………………………………….11

ლიტერატურა……………………………………………………………………………………….12

შესავალი:

ფიზიკა განუყოფლად არის დაკავშირებული მათემატიკასთან. მათემატიკა აძლევს ფიზიკას საშუალებებს და ტექნიკას შორის ურთიერთობის ზოგადი და ზუსტი გამოხატვისთვის ფიზიკური რაოდენობით, რომლებიც აღმოჩენილია ექსპერიმენტის ან თეორიული კვლევის შედეგად, ფიზიკაში კვლევის მთავარი მეთოდი ხომ ექსპერიმენტულია. ეს ნიშნავს, რომ მეცნიერი ავლენს გამოთვლებს გაზომვების გამოყენებით. აღნიშნავს ურთიერთობას სხვადასხვა ფიზიკურ რაოდენობას შორის. მერე ყველაფერი მათემატიკის ენაზე ითარგმნება. ჩამოყალიბდა მათემატიკური მოდელი. ფიზიკა არის მეცნიერება, რომელიც სწავლობს უმარტივესს და ამავდროულად ყველაზე მეტს ზოგადი ნიმუშები. ფიზიკის ამოცანაა, ჩვენს გონებაში შევქმნათ ფიზიკური სამყაროს სურათი, რომელიც ყველაზე სრულად ასახავს მის თვისებებს და უზრუნველყოფს ელემენტებს შორის არსებული მოდელის ელემენტებს შორის ასეთ ურთიერთობებს.

ასე რომ, ფიზიკა ქმნის ჩვენს გარშემო არსებული სამყაროს მოდელს და სწავლობს მის თვისებებს. მაგრამ ნებისმიერი მოდელი შეზღუდულია. კონკრეტული ფენომენის მოდელების შექმნისას მხედველობაში მიიღება მხოლოდ ის თვისებები და კავშირები, რომლებიც აუცილებელია ფენომენების მოცემული დიაპაზონისთვის. ეს არის მეცნიერის ხელოვნება - აირჩიოს მთავარი ყველა მრავალფეროვნებიდან.

ფიზიკური მოდელები მათემატიკურია, მაგრამ მათემატიკა არ არის მათი საფუძველი. რაოდენობრივი კავშირები ფიზიკურ სიდიდეებს შორის განისაზღვრება გაზომვების, დაკვირვებისა და ექსპერიმენტული კვლევადა მხოლოდ მათემატიკის ენაზეა გამოხატული. თუმცა, სხვა ენა არ არის ასაშენებელი ფიზიკური თეორიებიარ არსებობს.

1. ვექტორისა და სკალარის მნიშვნელობა.

ფიზიკასა და მათემატიკაში ვექტორი არის სიდიდე, რომელიც ხასიათდება მისი რიცხვითი მნიშვნელობითა და მიმართულებით. ფიზიკაში არსებობს მრავალი მნიშვნელოვანი სიდიდე, რომელიც არის ვექტორები, მაგალითად, ძალა, პოზიცია, სიჩქარე, აჩქარება, ბრუნვა, იმპულსი, ელექტრული და მაგნიტური ველის სიძლიერე. ისინი შეიძლება განსხვავდებოდეს სხვა რაოდენობებთან, როგორიცაა მასა, მოცულობა, წნევა, ტემპერატურა და სიმკვრივე, რაც შეიძლება აღწერილი იყოს რეგულარული ნომერიდა მათ უწოდებენ " სკალარები" .

ისინი იწერება ან ჩვეულებრივი შრიფტის ასოებით ან რიცხვებით (a, b, t, G, 5, −7...). სკალარული სიდიდეებიშეიძლება იყოს დადებითი და უარყოფითი. ამავდროულად, ზოგიერთ სასწავლო ობიექტს შეიძლება ჰქონდეს ისეთი თვისებები, რომ სრული აღწერარისთვისაც მხოლოდ რიცხვითი საზომის ცოდნა არასაკმარისი აღმოჩნდება, ასევე აუცილებელია ამ თვისებების დახასიათება სივრცეში მიმართულების მიხედვით. ასეთ თვისებებს ახასიათებს ვექტორული სიდიდეები (ვექტორები). ვექტორები, სკალერებისგან განსხვავებით, აღინიშნება თამამი ასოებით: a, b, g, F, C....
ხშირად ვექტორი აღინიშნება ასოთი ჩვეულებრივი (არა თამამი) შრიფტით, მაგრამ მის ზემოთ არის ისარი:

ვექტორის მოდული, ანუ მიმართული სწორი ხაზის სიგრძე, აღინიშნება იგივე ასოებით, როგორც თავად ვექტორი, მაგრამ ჩვეულებრივი (არა თამამი) წერილობით და მათ ზემოთ ისრის გარეშე, ან ზუსტად იგივე გზით. როგორც ვექტორი (ანუ, თამამად ან რეგულარულად, მაგრამ ისრით), მაგრამ შემდეგ ვექტორის აღნიშვნა ჩასმულია ვერტიკალურ ტირეებში.
ვექტორი არის რთული ობიექტი, რომელიც ერთდროულად ხასიათდება როგორც სიდიდით, ასევე მიმართულებით.

ასევე არ არსებობს დადებითი და უარყოფითი ვექტორები. მაგრამ ვექტორები შეიძლება იყოს ერთმანეთის ტოლი. ეს არის მაშინ, როდესაც, მაგალითად, a და b-ს აქვთ ერთი და იგივე მოდულები და მიმართულია ერთი და იგივე მიმართულებით. ამ შემთხვევაში, აღნიშვნა მართალია ა= ბ. გასათვალისწინებელია ისიც, რომ ვექტორის სიმბოლოს შეიძლება წინ უსწრებდეს მინუს ნიშანი, მაგალითად - c, თუმცა ეს ნიშანი სიმბოლურად მიუთითებს, რომ ვექტორს -c აქვს იგივე მოდული, რაც ვექტორს c, მაგრამ მიმართულია საპირისპიროდ. მიმართულება.

ვექტორს -c ეწოდება ვექტორის საპირისპირო (ან შებრუნებული).
ფიზიკაში თითოეული ვექტორი ივსება კონკრეტული შინაარსით და იმავე ტიპის ვექტორების შედარებისას (მაგალითად, ძალები), მათი გამოყენების წერტილებიც შეიძლება იყოს მნიშვნელოვანი.

2. წერტილის პროექციის, ღერძისა და კოორდინატის განსაზღვრა.

ღერძი- ეს არის სწორი ხაზი, რომელსაც ეძლევა გარკვეული მიმართულება.
ღერძი აღინიშნება რაღაც ასოებით: X, Y, Z, s, t... ჩვეულებრივ ღერძზე (თვითნებურად) ირჩევა წერტილი, რომელსაც საწყისს უწოდებენ და, როგორც წესი, აღინიშნება ასო O. ამ წერტილიდან იზომება მანძილი ჩვენთვის საინტერესო პუნქტებამდე.

წერტილის პროექციაღერძზე არის ამ წერტილიდან მოცემულ ღერძზე გამოყვანილი პერპენდიკულურის საფუძველი. ანუ, წერტილის პროექცია ღერძზე არის წერტილი.

წერტილის კოორდინატიამ ღერძზე ეწოდება რიცხვი, აბსოლუტური მნიშვნელობარომელიც ტოლია ღერძის საწყისსა და ამ ღერძზე წერტილის პროექციას შორის შემოსაზღვრული ღერძის სეგმენტის სიგრძისა (შერჩეულ შკალაზე). ეს რიცხვი მიიღება პლუს ნიშნით, თუ წერტილის პროექცია მდებარეობს ღერძის მიმართულებით მისი საწყისიდან და მინუს ნიშნით, თუ საპირისპირო მიმართულებით.

3. ვექტორის პროექცია ღერძზე.

ვექტორის პროექცია ღერძზე არის ვექტორი, რომელიც მიიღება ვექტორის სკალარული პროექციის ამ ღერძზე და ამ ღერძის ერთეული ვექტორის გამრავლებით. მაგალითად, თუ x არის ვექტორის a სკალარული პროექცია X ღერძზე, მაშინ x ·i არის მისი ვექტორული პროექცია ამ ღერძზე.

ავღნიშნოთ ვექტორული პროექცია ისევე, როგორც თავად ვექტორი, მაგრამ იმ ღერძის ინდექსით, რომელზედაც ვექტორი არის დაპროექტებული. ამგვარად, ვექტორის a ვექტორულ პროექციას X ღერძზე აღვნიშნავთ, როგორც x (სქელი ასო, რომელიც აღნიშნავს ვექტორს და ღერძის სახელს) ან

სკალარული პროექციავექტორი თითო ღერძზე ეწოდება ნომერი, რომლის აბსოლუტური მნიშვნელობა უდრის ღერძის სეგმენტის სიგრძეს (შერჩეულ შკალაზე), რომელიც ჩასმულია საწყისი წერტილისა და ვექტორის ბოლო წერტილს შორის. ჩვეულებრივ გამოხატვის ნაცვლად სკალარული პროექციაისინი უბრალოდ ამბობენ - პროექტირება. პროექცია აღინიშნება იგივე ასოთი, როგორც პროეციული ვექტორი (ჩვეულებრივ, არასაქონლის წერაში), ქვედა ინდექსით (როგორც წესი) იმ ღერძის სახელწოდებით, რომელზედაც დაპროექტებულია ეს ვექტორი. მაგალითად, თუ ვექტორი დაპროექტებულია X ღერძზე A,მაშინ მისი პროექცია აღინიშნება x-ით. იმავე ვექტორის სხვა ღერძზე პროექციისას, თუ ღერძი არის Y, მისი პროექცია აღინიშნა y.

პროექციის გამოსათვლელად ვექტორიღერძზე (მაგალითად, X ღერძი), აუცილებელია ამოვაკლოთ საწყისი წერტილის კოორდინატი მისი ბოლო წერტილის კოორდინატს, ე.ი.

a x = x k − x n.

ვექტორის პროექცია ღერძზე არის რიცხვი.უფრო მეტიც, პროექცია შეიძლება იყოს დადებითი, თუ მნიშვნელობა x k ღირებულებაზე მეტი xn,

უარყოფითი, თუ x k მნიშვნელობა ნაკლებია x n მნიშვნელობაზე

და ნულის ტოლი, თუ x k უდრის x n-ს.

ვექტორის პროექცია ღერძზე ასევე შეიძლება ვიპოვოთ ვექტორის მოდულისა და ამ ღერძით შექმნილი კუთხის ცოდნით.

ნახატიდან ირკვევა, რომ a x = a Cos α

ანუ, ვექტორის პროექცია ღერძზე ტოლია ვექტორის მოდულის ნამრავლისა და ღერძის მიმართულებას შორის კუთხის კოსინუსისა და ვექტორის მიმართულება. თუ კუთხე მწვავეა, მაშინ
Cos α > 0 და a x > 0, და თუ ბლაგვია, მაშინ კოსინუსი ბლაგვი კუთხეუარყოფითია და ვექტორის პროექცია ღერძზე ასევე უარყოფითი იქნება.

ღერძიდან საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით გაზომილი კუთხეები დადებითად ითვლება, ხოლო ღერძის გასწვრივ გაზომილი კუთხეები უარყოფითი. თუმცა, ვინაიდან კოსინუსი არის ლუწი ფუნქცია, ანუ Cos α = Cos (− α), პროგნოზების გაანგარიშებისას კუთხეების დათვლა შესაძლებელია როგორც საათის ისრის მიმართულებით, ასევე ისრის საწინააღმდეგოდ.

ვექტორის ღერძზე პროექციის საპოვნელად, ამ ვექტორის მოდული უნდა გავამრავლოთ კუთხის კოსინუსზე ღერძის მიმართულებასა და ვექტორის მიმართულებას შორის.

4. ვექტორული ალგებრის ძირითადი ფორმულა.

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის X და Y ღერძებზე დავპროექტოთ ვექტორი a. ვიპოვოთ ვექტორის ვექტორული პროგნოზები ამ ღერძებზე:

a x = a x ·i და y = a y ·j.

ოღონდ ვექტორის დამატების წესის შესაბამისად

a = a x + a y.

a = a x i + a y j.

ამრიგად, ჩვენ გამოვხატეთ ვექტორი მისი პროგნოზებით და მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის ვექტორებით (ან მისი ვექტორული პროგნოზების მიხედვით).

ვექტორულ პროგნოზებს a x და a y ეწოდება a ვექტორის კომპონენტებს ან კომპონენტებს. ჩვენ მიერ შესრულებულ ოპერაციას მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის ღერძების გასწვრივ ვექტორის დაშლა ეწოდება.

თუ ვექტორი მოცემულია სივრცეში, მაშინ

a = a x i + a y j + a z k.

ამ ფორმულას ეწოდება ვექტორული ალგებრის ძირითადი ფორმულა. რა თქმა უნდა, შეიძლება ასე დაიწეროს.

ფიზიკაში მე-9 კლასისთვის (I.K.Kikoin, A.K.Kikoin, 1999),
დავალება №5
თავში " თავი 1. ზოგადი ინფორმაცია საგზაო მოძრაობის შესახებ».

1. რას ჰქვია ვექტორის პროექცია კოორდინატულ ღერძზე?

1. ვექტორის a პროექცია კოორდინატთა ღერძზე არის სეგმენტის სიგრძე a ვექტორის დასაწყისისა და დასასრულის პროექციებს შორის (ამ წერტილებიდან ღერძზე ჩამოშვებული პერპენდიკულარები) ამ კოორდინატულ ღერძზე.

2. როგორ არის დაკავშირებული სხეულის გადაადგილების ვექტორი მის კოორდინატებთან?

2. გადაადგილების ვექტორის s-ის პროექციები კოორდინატთა ღერძებზე უდრის შესაბამისი სხეულის კოორდინატების ცვლილებას.

3. თუ წერტილის კოორდინატი დროთა განმავლობაში იზრდება, მაშინ რა ნიშანი აქვს გადაადგილების ვექტორის პროექციას კოორდინატთა ღერძზე? რა მოხდება, თუ ის შემცირდება?

3. თუ წერტილის კოორდინატი დროთა განმავლობაში იზრდება, მაშინ გადაადგილების ვექტორის პროექცია კოორდინატთა ღერძზე დადებითი იქნება, რადგან ამ შემთხვევაში დასაწყისის პროექციადან გადავალთ ვექტორის ბოლოს პროექციაზე თავად ღერძის მიმართულებით.

თუ წერტილის კოორდინატი დროთა განმავლობაში მცირდება, მაშინ გადაადგილების ვექტორის პროექცია კოორდინატთა ღერძზე უარყოფითი იქნება, რადგან ამ შემთხვევაში ჩვენ გადავალთ დასაწყისის პროექციიდან ვექტორის ბოლოს პროექციაზე თავად ღერძის მეგზურის მიმართ.

4. თუ გადაადგილების ვექტორი X ღერძის პარალელურია, მაშინ როგორია ვექტორის პროექციის მოდული ამ ღერძზე? და რაც შეეხება იმავე ვექტორის პროექციის მოდულს Y ღერძზე?

4. თუ გადაადგილების ვექტორი X ღერძის პარალელურია, მაშინ ვექტორის პროექციის მოდული ამ ღერძზე. მოდულის ტოლითავად ვექტორი და მისი პროექცია Y ღერძზე არის ნული.

5. განსაზღვრეთ 22-ზე ნაჩვენები გადაადგილების ვექტორების X ღერძზე პროექციების ნიშნები. როგორ იცვლება სხეულის კოორდინატები ამ გადაადგილების დროს?

5. ყველა შემდეგ შემთხვევაში სხეულის Y კოორდინატი არ იცვლება, ხოლო სხეულის X კოორდინატი შემდეგნაირად:

ა) s 1;

ვექტორის s 1 პროექცია X ღერძზე უარყოფითია და აბსოლუტური მნიშვნელობით უდრის ვექტორის s 1 სიგრძის. ასეთი მოძრაობით სხეულის X კოორდინატი შემცირდება ვექტორის s 1 სიგრძით.

ბ) s 2;

ვექტორის s 2 პროექცია X ღერძზე დადებითია და სიდიდით უდრის ვექტორის s 1 სიგრძის. ასეთი მოძრაობით სხეულის X კოორდინატი გაიზრდება ვექტორის s 2 სიგრძით.

გ) s 3;

ვექტორის s 3 პროექცია X ღერძზე უარყოფითია და სიდიდით უდრის ვექტორის s 3 სიგრძის. ასეთი მოძრაობით სხეულის X კოორდინატი შემცირდება ვექტორის s 3 სიგრძით.

დ)ს 4;

ვექტორის s 4 პროექცია X ღერძზე დადებითია და სიდიდით უდრის ვექტორის s 4 სიგრძის. ასეთი მოძრაობით სხეულის X კოორდინატი გაიზრდება ვექტორის s 4 სიგრძით.

ე)ს 5;

ვექტორის s 5 პროექცია X ღერძზე უარყოფითია და სიდიდით უდრის ვექტორის s 5 სიგრძის. ასეთი მოძრაობით სხეულის X კოორდინატი შემცირდება ვექტორის s 5 სიგრძით.

6. თუ გავლილი მანძილის მნიშვნელობა დიდია, მაშინ შეიძლება თუ არა გადაადგილების მოდული მცირე იყოს?

6. შესაძლოა. ეს იმიტომ ხდება, რომ გადაადგილება (გადაადგილების ვექტორი) არის ვექტორული რაოდენობა, ე.ი. არის მიმართული სწორი ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს სხეულის საწყის მდგომარეობას მის შემდგომ პოზიციებთან. ხოლო სხეულის საბოლოო პოზიცია (მიუხედავად გავლილი მანძილისა) შეიძლება იყოს მაქსიმალურად ახლოს სხეულის საწყის პოზიციასთან. თუ სხეულის საბოლოო და საწყისი პოზიციები ემთხვევა, გადაადგილების მოდული იქნება ნულის ტოლი.

7. რატომ არის სხეულის მოძრაობის ვექტორი უფრო მნიშვნელოვანი მექანიკაში, ვიდრე მისი განვლილი გზა?

7. მექანიკის მთავარი ამოცანაა სხეულის პოზიციის განსაზღვრა ნებისმიერ დროს. სხეულის მოძრაობის ვექტორის ცოდნით შეგვიძლია განვსაზღვროთ სხეულის კოორდინატები, ე.ი. სხეულის პოზიცია დროის ნებისმიერ მომენტში და მხოლოდ გავლილი მანძილის ცოდნით, ჩვენ არ შეგვიძლია სხეულის კოორდინატების დადგენა, რადგან ჩვენ არ გვაქვს ინფორმაცია მოძრაობის მიმართულების შესახებ, მაგრამ შეგვიძლია ვიმსჯელოთ მხოლოდ განვლილი მანძილის სიგრძის შესახებ ამ მომენტშიდრო.