როგორ მოვძებნოთ ფიგურის მოცულობა. ფიგურების მოცულობა

და ძველი ეგვიპტელები იყენებდნენ მეთოდებს სხვადასხვა ფიგურების ფართობის გამოსათვლელად, ჩვენი მეთოდების მსგავსი.

ჩემს წიგნებში "საწყისები"ცნობილი ძველი ბერძენი მათემატიკოსიევკლიდემ საკმარისად აღწერა დიდი რიცხვიმრავალი გეომეტრიული ფიგურის ფართობის გამოთვლის მეთოდები. გეომეტრიული ინფორმაციის შემცველი პირველი ხელნაწერები რუსეთში მე-16 საუკუნეში დაიწერა. ისინი აღწერენ სხვადასხვა ფორმის ფიგურების ფართობის პოვნის წესებს.

დღეს დახმარებით თანამედროვე მეთოდებითქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი ფიგურის ფართობი დიდი სიზუსტით.

განვიხილოთ ერთ-ერთი უმარტივესი ფიგურა - მართკუთხედი - და მისი ფართობის პოვნის ფორმულა.

მართკუთხედის ფართობის ფორმულა

განვიხილოთ ფიგურა (ნახ. 1), რომელიც შედგება $8$ კვადრატისაგან $1$სმ გვერდით ერთი კვადრატის ფართობს $1$სმ გვერდით ეწოდება კვადრატული სანტიმეტრი და იწერება $1\cm^2. $.

ამ ფიგურის ფართობი (ნახ. 1) იქნება $8\cm^2$-ის ტოლი.

ფიგურის ფართობი, რომელიც შეიძლება დაიყოს რამდენიმე კვადრატად $1\cm$ გვერდით (მაგალითად, $p$) იქნება $p\cm^2$.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფიგურის ფართობი ტოლი იქნება იმდენი $cm^2$ რამდენ კვადრატად შეიძლება დაიყოს $1\cm$ გვერდით ეს ფიგურა.

განვიხილოთ მართკუთხედი (ნახ. 2), რომელიც შედგება $3$ ზოლებისაგან, რომელთაგან თითოეული დაყოფილია $5$ კვადრატებად $1\cm$ გვერდით. მთელი მართკუთხედი შედგება $5\cdot 3=15$ ასეთი კვადრატებისგან და მისი ფართობია $15\cm^2$.

სურათი 1.

სურათი 2.

ფიგურების ფართობი ჩვეულებრივ აღინიშნება ასო $S$-ით.

მართკუთხედის ფართობის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მისი სიგრძე მის სიგანეზე.

თუ მის სიგრძეს $a$ ასოთი აღვნიშნავთ, ხოლო სიგანეს ასო $b$-ით, მაშინ მართკუთხედის ფართობის ფორმულა ასე გამოიყურება:

განმარტება 1

ფიგურები ე.წ თანაბარითუ, ერთმანეთზე გადატანისას, ფიგურები ემთხვევა. თანაბარი ფიგურებიაქვს თანაბარი ფართობებიდა თანაბარი პერიმეტრი.

ფიგურის ფართობი შეიძლება მოიძებნოს, როგორც მისი ნაწილების ფართობების ჯამი.

მაგალითი 1

მაგალითად, სურათზე $3$ ოთხკუთხედი $ABCD$ დაყოფილია ორ ნაწილად $KLMN$ წრფით. ერთი ნაწილის ფართობია $12\cm^2$, ხოლო მეორე $9\cm^2$. მაშინ $ABCD$ ოთხკუთხედის ფართობი იქნება $12\cm^2+9\cm^2=21\cm^2$. იპოვეთ მართკუთხედის ფართობი ფორმულის გამოყენებით:

როგორც ხედავთ, ორივე მეთოდით ნაპოვნი არეები თანაბარია.

სურათი 3.

სურათი 4.

ხაზის სეგმენტი $AC$ ყოფს ოთხკუთხედს ორ თანაბარ სამკუთხედად: $ABC$ და $ADC$. ეს ნიშნავს, რომ თითოეული სამკუთხედის ფართობი უდრის მთელი მართკუთხედის ფართობის ნახევარს.

განმარტება 2

თანაბარი გვერდების მქონე მართკუთხედი ეწოდება კვადრატი.

თუ კვადრატის გვერდს აღვნიშნავთ ასო $a$-ით, მაშინ კვადრატის ფართობი იპოვება ფორმულით:

აქედან მოდის $a$ რიცხვის სახელის კვადრატი.

მაგალითი 2

მაგალითად, თუ კვადრატის გვერდი არის $5$ სმ, მაშინ მისი ფართობია:

ტომი

ვაჭრობისა და მშენებლობის განვითარებით ჯერ კიდევ უძველესი ცივილიზაციების დღეებში, გაჩნდა მოცულობების მოძიების საჭიროება. მათემატიკაში არის გეომეტრიის ფილიალი, რომელიც სწავლობს სივრცითი ფიგურებისტერეომეტრია. ამის ხსენება ცალკე მიმართულებითმათემატიკოსები შეხვდნენ ჩვენს წელთაღრიცხვამდე $IV$ საუკუნეში.

ძველმა მათემატიკოსებმა შეიმუშავეს მარტივი ფიგურების მოცულობის გამოთვლის მეთოდი - კუბი და პარალელეპიპედი. იმდროინდელი ყველა შენობა ამ ფორმის იყო. მაგრამ მოგვიანებით ნაპოვნი იქნა მეთოდები უფრო დიდი ფიგურების მოცულობის გამოსათვლელად რთული ფორმები.

მართკუთხა პარალელეპიპედის მოცულობა

თუ ყალიბს სველი ქვიშით ავსებთ და შემდეგ გადააბრუნებთ, მიიღებთ სამგანზომილებიანი ფიგურა, რომელიც ხასიათდება მოცულობით. თუ თქვენ გააკეთებთ რამდენიმე ასეთ ფიგურას ერთი და იგივე ფორმის გამოყენებით, მიიღებთ ფიგურებს, რომლებსაც აქვთ იგივე მოცულობა. თუ ყალიბს წყლით ავსებთ, მაშინ წყლის მოცულობა და ქვიშის ფიგურის მოცულობაც თანაბარი იქნება.

სურათი 5.

შეგიძლიათ შეადაროთ ორი ჭურჭლის მოცულობა ერთის წყლით შევსებით და მეორე ჭურჭელში ჩასხმით. თუ მეორე ჭურჭელი მთლიანად ივსება, მაშინ ჭურჭელს თანაბარი მოცულობა აქვს. თუ პირველში წყალი რჩება, მაშინ პირველი ჭურჭლის მოცულობა მეორის მოცულობაზე მეტია. თუ პირველი ჭურჭლიდან წყლის ჩამოსხმისას მეორე ჭურჭლის სრულად შევსება შეუძლებელია, მაშინ პირველი ჭურჭლის მოცულობა მეორის მოცულობაზე ნაკლებია.

მოცულობა იზომება შემდეგი ერთეულების გამოყენებით:

$mm^3$ -- კუბური მილიმეტრი,

$cm^3$ -- კუბური სანტიმეტრი,

$dm^3$ -- კუბური დეციმეტრი,

$m^3$ -- კუბური მეტრი,

$კმ^3$ -- კუბური კილომეტრი.

ნებისმიერი გეომეტრიული სხეულიშეიძლება ხასიათდებოდეს ზედაპირის ფართობით (S) და მოცულობით (V). ფართობი და მოცულობა საერთოდ არ არის იგივე. ობიექტს შეიძლება ჰქონდეს შედარებით პატარა V და დიდი S, მაგალითად, ასე მუშაობს ადამიანის ტვინი. მარტივი გეომეტრიული ფორმებისთვის ამ მაჩვენებლების გამოთვლა ბევრად უფრო ადვილია.

პარალელეპიპედი: განმარტება, ტიპები და თვისებები

პარალელეპიპედი არის ოთხკუთხა პრიზმა, რომლის ფუძესთან არის პარალელოგრამი. რატომ შეიძლება დაგჭირდეთ ფორმულა ფიგურის მოცულობის საპოვნელად? წიგნები, შესაფუთი ყუთები და ბევრი სხვა რამ Ყოველდღიური ცხოვრების. საცხოვრებელ და საოფისე შენობებში ოთახები, როგორც წესი, მართკუთხა პარალელეპიპედებია. ვენტილაციის, კონდიცირების დასაყენებლად და ოთახში გათბობის ელემენტების რაოდენობის დასადგენად აუცილებელია ოთახის მოცულობის გამოთვლა.

ფიგურას აქვს 6 სახე - პარალელოგრამები და 12 კიდეები თვითნებურად შერჩეულ სახეს ეწოდება ფუძე; პარალელეპიპედი შეიძლება იყოს რამდენიმე ტიპის. განსხვავებები გამოწვეულია მეზობელ კიდეებს შორის კუთხით. სხვადასხვა მრავალკუთხედის V-ების პოვნის ფორმულები ოდნავ განსხვავებულია.

თუ 6 სახეა გეომეტრიული ფიგურაარის ოთხკუთხედები, მაშინ მას მართკუთხასაც უწოდებენ. კუბი არის განსაკუთრებული შემთხვევაპარალელეპიპედი, რომელშიც ექვსივე სახეა თანაბარი კვადრატები. ამ შემთხვევაში, V-ის მოსაძებნად, თქვენ უნდა გაარკვიოთ მხოლოდ ერთი მხარის სიგრძე და აწიოთ იგი მესამე ძალამდე.

პრობლემების გადასაჭრელად დაგჭირდებათ ცოდნა არა მხოლოდ მზა ფორმულების, არამედ ფიგურის თვისებების შესახებ. ძირითადი თვისებების ჩამონათვალი მართკუთხა პრიზმაპატარა და ძალიან ადვილად გასაგები:

1. ფიგურის საპირისპირო მხარეები თანაბარი და პარალელურია. ეს ნიშნავს, რომ მოპირდაპირე ნეკნები სიგრძით და დახრილობის კუთხით ერთნაირია.
2. ყველა გვერდითი სახეები მარჯვენა პარალელეპიპედი- ოთხკუთხედები.
3. გეომეტრიული ფიგურის ოთხი ძირითადი დიაგონალი იკვეთება ერთ წერტილში და იყოფა მის ნახევრად.
4. პარალელეპიპედის დიაგონალის კვადრატი უდრის ფიგურის ზომების კვადრატების ჯამს (გამოდის პითაგორას თეორემიდან).

პითაგორას თეორემაამბობს, რომ მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებზე აგებული კვადრატების ფართობების ჯამი ტოლია იმავე სამკუთხედის ჰიპოტენუზაზე აგებული სამკუთხედის ფართობის.

ბოლო ქონების დამადასტურებელი საბუთი შეგიძლიათ იხილოთ ქვემოთ მოცემულ სურათზე. პრობლემის გადაჭრის პროცესი მარტივია და არ საჭიროებს დეტალურ განმარტებებს.

მართკუთხა პარალელეპიპედის მოცულობის ფორმულა

ყველა ტიპის გეომეტრიული ფიგურის პოვნის ფორმულა იგივეა: V=S*h, სადაც V არის სასურველი მოცულობა, S არის პარალელეპიპედის ფუძის ფართობი, h არის საპირისპირო წვეროდან დაშვებული სიმაღლე და ფუძის პერპენდიკულარულად. მართკუთხედში h ემთხვევა ფიგურის ერთ-ერთ მხარეს, ამიტომ მართკუთხა პრიზმის მოცულობის საპოვნელად საჭიროა სამი განზომილების გამრავლება.

მოცულობა ჩვეულებრივ გამოხატულია სმ3-ში. a, b და c სამივე მნიშვნელობის ცოდნა, ფიგურის მოცულობის პოვნა სულაც არ არის რთული. ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში ყველაზე გავრცელებული პრობლემაა პარალელეპიპედის მოცულობის ან დიაგონალის პოვნა. გადაჭრით ბევრი ტიპიური ამოცანებიერთიანი სახელმწიფო გამოცდა მართკუთხედის მოცულობის ფორმულის გარეშე შეუძლებელია. დავალების მაგალითი და მისი გადაწყვეტის დიზაინი ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში.

შენიშვნა 1. მართკუთხა პრიზმის ზედაპირის ფართობის პოვნა შესაძლებელია ფიგურის სამი სახის ფართობების ჯამის 2-ზე გამრავლებით: ფუძის (ab) და ორი მიმდებარე გვერდითი (bc + ac).

შენიშვნა 2. გვერდითი სახეების ზედაპირის ფართობი ადვილად შეიძლება განისაზღვროს ბაზის პერიმეტრის პარალელეპიპედის სიმაღლეზე გამრავლებით.

პარალელეპიპედების AB = A1B1 და სახის B1D1 = BD პირველი თვისების საფუძველზე. პითაგორას თეორემის შედეგების მიხედვით, მართკუთხა სამკუთხედის ყველა კუთხის ჯამი არის 180°, ხოლო 30° კუთხის მოპირდაპირე ფეხი უდრის ჰიპოტენუზას. ამ ცოდნის გამოყენებით სამკუთხედზე, ჩვენ მარტივად შეგვიძლია ვიპოვოთ AB და AD გვერდების სიგრძე. შემდეგ ვამრავლებთ მიღებულ მნიშვნელობებს და ვიანგარიშებთ პარალელეპიპედის მოცულობას.

დახრილი პარალელეპიპედის მოცულობის პოვნის ფორმულა

დახრილი პარალელეპიპედის მოცულობის საპოვნელად აუცილებელია ფიგურის ფუძის ფართობის გამრავლება მოპირდაპირე კუთხიდან მოცემულ ფუძემდე დაშვებულ სიმაღლეზე.

ამრიგად, საჭირო V შეიძლება წარმოდგენილი იყოს h-ის სახით - ფურცლების რაოდენობა საბაზისო ფართობით S, ამიტომ გემბანის მოცულობა შედგება ყველა კარტის V-ებისგან.

პრობლემის გადაჭრის მაგალითები

Დავალებები ერთიანი გამოცდაუნდა დასრულდეს გარკვეული დროის განმავლობაში. ტიპიური ამოცანები, როგორც წესი, არ შეიცავს დიდი რაოდენობითგამოთვლა და რთული წილადები. ხშირად მოსწავლეს ეკითხებიან, როგორ იპოვონ არარეგულარული გეომეტრიული ფიგურის მოცულობა. ასეთ შემთხვევებში, მარტივი წესი უნდა გვახსოვდეს, რომ მთლიანი მოცულობა ჯამის ტოლი V-ის კომპონენტები.

როგორც ზემოთ მოყვანილი სურათის მაგალითიდან ხედავთ, გამოსავალში არაფერია რთული მსგავსი ამოცანებიარა. უფრო რთული მონაკვეთებიდან ამოცანები მოითხოვს პითაგორას თეორემისა და მისი შედეგების ცოდნას, ასევე ფიგურის დიაგონალის სიგრძის ფორმულას. ტესტის ამოცანების წარმატებით გადასაჭრელად, საკმარისია წინასწარ გაეცნოთ ტიპიური პრობლემების ნიმუშებს.

გეომეტრიის პრობლემების გადასაჭრელად, თქვენ უნდა იცოდეთ ფორმულები - როგორიცაა სამკუთხედის ფართობი ან პარალელოგრამის ფართობი - ასევე მარტივი ტექნიკა, რაზეც ვისაუბრებთ.

პირველ რიგში, მოდით ვისწავლოთ ფორმულები ფიგურების ფართობებისთვის. ჩვენ სპეციალურად მოვაგროვეთ ისინი მოსახერხებელ მაგიდაზე. დაბეჭდე, ისწავლე და მიმართე!

რა თქმა უნდა, ყველა გეომეტრიის ფორმულა არ არის ჩვენს ცხრილში. მაგალითად, მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის პროფილის მეორე ნაწილში გეომეტრიისა და სტერეომეტრიის პრობლემების გადასაჭრელად, გამოიყენება სამკუთხედის ფართობის სხვა ფორმულები. ჩვენ აუცილებლად მოგიყვებით მათ შესახებ.

რა უნდა გააკეთოთ, თუ უნდა იპოვოთ არა ტრაპეციის ან სამკუთხედის ფართობი, არამედ ზოგიერთის ფართობი რთული ფიგურა? ჭამე უნივერსალური მეთოდები! ჩვენ მათ ვაჩვენებთ FIPI დავალების ბანკის მაგალითების გამოყენებით.

1. როგორ მოვძებნოთ არასტანდარტული ფიგურის ფართობი? მაგალითად, თვითნებური ოთხკუთხედი? მარტივი ტექნიკა - მოდით დავყოთ ეს ფიგურა მათზე, რის შესახებაც ყველაფერი ვიცით და ვიპოვოთ მისი ფართობი - როგორც ამ ფიგურების ფართობების ჯამი.

ჰორიზონტალური ხაზით ეს ოთხკუთხედი გაყავით ორ სამკუთხედად, რომელთა საერთო ფუძე ტოლია. ამ სამკუთხედების სიმაღლეები ტოლია და . მაშინ ოთხკუთხედის ფართობი უდრის ორი სამკუთხედის ფართობების ჯამს: .

პასუხი:.

2. ზოგიერთ შემთხვევაში, ფიგურის ფართობი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც სხვაობა ზოგიერთი უბნის.

რის ტოლია ამ სამკუთხედის ფუძე და სიმაღლე, არც ისე ადვილია გამოთვლა! მაგრამ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მისი ფართობი უდრის სხვაობას კვადრატისა და სამის ფართობებს შორის მართკუთხა სამკუთხედები. ხედავთ მათ სურათზე? ვიღებთ: .

პასუხი:.

3. ზოგჯერ დავალებაში თქვენ უნდა იპოვოთ არა მთელი ფიგურის, არამედ მისი ნაწილის ფართობი. ჩვეულებრივ, ჩვენ ვსაუბრობთ სექტორის ფართობზე - წრის ნაწილზე იპოვნეთ რადიუსის სექტორის ფართობი, რომლის რკალი ტოლია.

ამ სურათზე ჩვენ ვხედავთ წრის ნაწილს. მთელი წრის ფართობი უდრის. რჩება იმის გარკვევა, თუ წრის რომელი ნაწილია გამოსახული. ვინაიდან მთელი წრის სიგრძე ტოლია (მას შემდეგ), და მოცემული სექტორის რკალის სიგრძე ტოლია, შესაბამისად, რკალის სიგრძე მთელი წრის სიგრძეზე ნაკლები ფაქტორია. კუთხე, რომელზეც ეს რკალი ეყრდნობა, ასევე არის სრულ წრეზე (ანუ გრადუსებზე) ნაკლები ფაქტორი. ეს ნიშნავს, რომ სექტორის ფართობი რამდენჯერმე ნაკლები იქნება, ვიდრე მთელი წრის ფართობი.

ზოგადი მიმოხილვა. სტერეომეტრიის ფორმულები!

გამარჯობა, ძვირფასო მეგობრებო! ამ სტატიაში მე გადავწყვიტე ზოგადი მიმოხილვა გამეკეთებინა სტერეომეტრიის პრობლემებზე, რომლებიც იქნება ჩართული ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა მათემატიკაშიე.ი უნდა ითქვას, რომ ამ ჯგუფის ამოცანები საკმაოდ მრავალფეროვანია, მაგრამ არა რთული. ეს არის გეომეტრიული სიდიდის პოვნის პრობლემები: სიგრძეები, კუთხეები, ფართობები, მოცულობა.

განიხილება: კუბი, კუბოიდი, პრიზმა, პირამიდა, რთული პოლიედონი, ცილინდრი, კონუსი, ბურთი. სამწუხარო ფაქტია, რომ ზოგიერთ კურსდამთავრებულს თავად გამოცდაზეც კი არ უდგება ასეთი პრობლემები, თუმცა 50%-ზე მეტი წყდება უბრალოდ, თითქმის ზეპირად.

დანარჩენი მოითხოვს მცირე ძალისხმევას, ცოდნას და სპეციალურ ტექნიკას. მომავალ სტატიებში განვიხილავთ ამ ამოცანებს, არ გამოტოვოთ ეს, გამოიწერეთ ბლოგის განახლებები.

გადაჭრისთვის საჭიროა იცოდეთ ზედაპირის ფართობისა და მოცულობის ფორმულებიპარალელეპიპედი, პირამიდა, პრიზმა, ცილინდრი, კონუსი და სფერო. რთული პრობლემები არ არის, ისინი ყველა წყდება 2-3 ნაბიჯში, მნიშვნელოვანია „დანახვა“ რა ფორმულის გამოყენებაა საჭირო.

ყველა საჭირო ფორმულა წარმოდგენილია ქვემოთ:

ბურთი ან სფერო. სფერული ან სფერული ზედაპირი (ზოგჯერ უბრალოდ სფერო) არის წერტილების გეომეტრიული ადგილი სივრცეში, რომელიც თანაბრად არის დაშორებული ერთი წერტილიდან - ბურთის ცენტრიდან.

ბურთის მოცულობაუდრის პირამიდის მოცულობას, რომლის ფუძეს აქვს იგივე ფართობი, როგორც ბურთის ზედაპირი, ხოლო სიმაღლე არის ბურთის რადიუსი.

სფეროს მოცულობა ერთნახევარჯერ ნაკლებია მის გარშემო შემოხაზული ცილინდრის მოცულობაზე.

წრიული კონუსის მიღება შესაძლებელია მისი ერთ-ერთი ფეხის გარშემო მართკუთხა სამკუთხედის მობრუნებით, რის გამოც წრიულ კონუსს რევოლუციის კონუსსაც უწოდებენ. აგრეთვე იხილეთ ზედაპირის ფართობი მრგვალი კონუსი

მრგვალი კონუსის მოცულობაუდრის S ფუძის ფართობის ნამრავლის მესამედს და H სიმაღლეს:

(H არის კუბის კიდის სიმაღლე)

პარალელეპიპედი არის პრიზმა, რომლის ფუძე არის პარალელოგრამი. პარალელეპიპედს აქვს ექვსი სახე და ყველა მათგანი პარალელოგრამია. პარალელეპიპედს, რომლის ოთხი გვერდითი მხარე მართკუთხედია, სწორი პარალელეპიპედი ეწოდება. მართკუთხა პარალელეპიპედს, რომლის ექვსი სახე ყველა მართკუთხედია, მართკუთხა ეწოდება.

მოცულობა მართკუთხა პარალელეპიპედი პროდუქტის ტოლიბაზის ფართობი სიმაღლემდე:

(S არის პირამიდის ფუძის ფართობი, h არის პირამიდის სიმაღლე)

პირამიდა არის პოლიედონი, რომელსაც აქვს ერთი სახე - პირამიდის ფუძე - თვითნებური მრავალკუთხედი, ხოლო დანარჩენს - გვერდითი სახეები - სამკუთხედები საერთო წვერით, რომელსაც ეწოდება პირამიდის მწვერვალი.

განყოფილება ბაზის პარალელურადპირამიდა პირამიდას ორ ნაწილად ყოფს. პირამიდის ნაწილი მის ფუძესა და ამ მონაკვეთს შორის არის დამსხვრეული პირამიდა.

შეკვეცილი პირამიდის მოცულობასიმაღლის ნამრავლის მესამედის ტოლია სთ (OS)ზედა ფუძის ფართობების ჯამით S1 (abcde), დამსხვრეული პირამიდის ქვედა ფუძე S2 (ABCDE)და მათ შორის საშუალო პროპორციულობა.

n - გვერდების რაოდენობა რეგულარული მრავალკუთხედი- საფუძველი რეგულარული პირამიდა
a - რეგულარული მრავალკუთხედის მხარე - რეგულარული პირამიდის ფუძე
h - რეგულარული პირამიდის სიმაღლე

რეგულარული სამკუთხა პირამიდა არის პოლიედონი, რომელსაც აქვს ერთი სახე - პირამიდის ფუძე - რეგულარული სამკუთხედი, ხოლო დანარჩენს - გვერდითი სახეები - თანაბარი სამკუთხედებისაერთო წვერით. სიმაღლე ზემოდან ეშვება ფუძის ცენტრამდე.

ხმა სწორია სამკუთხა პირამიდა ფართობის ნამრავლის მესამედის ტოლია რეგულარული სამკუთხედი, რომელიც არის საფუძველი S (ABC)სიმაღლემდე სთ (OS)

a - რეგულარული სამკუთხედის მხარე - რეგულარული სამკუთხა პირამიდის ფუძე
h - რეგულარული სამკუთხა პირამიდის სიმაღლე

ტეტრაედრის მოცულობის ფორმულის წარმოშობა

ტეტრაედრის მოცულობა გამოითვლება პირამიდის მოცულობის კლასიკური ფორმულით. თქვენ უნდა ჩაანაცვლოთ მასში ტეტრაედრის სიმაღლე და რეგულარული (ტოლგვერდა) სამკუთხედის ფართობი.

ტეტრაედრის მოცულობა- ტოლია იმ წილადისა, რომლის მრიცხველში ორი ფესვის კვადრატული ფესვი არის თორმეტი, გამრავლებული ტეტრაედონის კიდის სიგრძის კუბზე.

(h არის რომბის მხარის სიგრძე)

გარშემოწერილობა გვარის დაახლოებით სამი მთელი და წრის დიამეტრის სიგრძის ერთი მეშვიდე. წრის წრეწირის ზუსტი თანაფარდობა მის დიამეტრთან მითითებულია ბერძნული ასოებით π

შედეგად, წრის ან წრეწირის პერიმეტრი გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით

(r - რკალის რადიუსი, n - ცენტრალური კუთხერკალი გრადუსით.)

"მიიღე A" ვიდეო კურსი მოიცავს ყველა იმ თემას, რომელიც გჭირდებათ წარმატებული დასრულებაერთიანი სახელმწიფო გამოცდა მათემატიკაში 60-65 ქულა. მთლიანად ყველა პრობლემა 1-13 პროფილის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდამათემატიკა. ასევე შესაფერისია მათემატიკაში ძირითადი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩასაბარებლად. თუ გსურთ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა 90-100 ქულით ჩააბაროთ, პირველი ნაწილი 30 წუთში და უშეცდომოდ უნდა მოაგვაროთ!

ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მოსამზადებელი კურსი 10-11 კლასებისთვის, ასევე მასწავლებლებისთვის. ყველაფერი, რაც გჭირდებათ მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის 1 ნაწილის (პირველი 12 ამოცანის) და მე-13 ამოცანის (ტრიგონომეტრია) გადასაჭრელად. და ეს ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე 70 ქულაზე მეტია და მათ გარეშე არც 100-ქულიანი და არც ჰუმანიტარული სტუდენტი არ შეუძლია.

ყველა აუცილებელი თეორია. სწრაფი გზებიგადაწყვეტილებები, ხაფანგები და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის საიდუმლოებები. გაანალიზებულია FIPI Task Bank-ის პირველი ნაწილის ყველა მიმდინარე დავალება. კურსი სრულად შეესაბამება 2018 წლის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მოთხოვნებს.

კურსი შეიცავს 5 დიდ თემას, თითო 2,5 საათი. თითოეული თემა მოცემულია ნულიდან, მარტივად და ნათლად.

ასობით ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის დავალება. სიტყვის პრობლემებიდა ალბათობის თეორია. მარტივი და ადვილად დასამახსოვრებელი ალგორითმები პრობლემების გადასაჭრელად. გეომეტრია. თეორია, საცნობარო მასალა, ყველა სახის ერთიანი სახელმწიფო საგამოცდო ამოცანების ანალიზი. სტერეომეტრია. რთული გადაწყვეტილებები, სასარგებლო მოტყუების ფურცლები, სივრცითი წარმოსახვის განვითარება. ტრიგონომეტრია ნულიდან ამოცანამდე 13. გაგება ჩაკეტვის ნაცვლად. ვიზუალური ახსნა რთული ცნებები. Ალგებრა. ფესვები, სიმძლავრეები და ლოგარითმები, ფუნქცია და წარმოებული. გადაწყვეტის საფუძველი რთული ამოცანებიერთიანი სახელმწიფო გამოცდის 2 ნაწილი.