ინტერვალის შეფასებები. ნდობის ინტერვალი, ნდობის ალბათობა - აბსტრაქტული

ნდობის ინტერვალები.

Გაანგარიშება ნდობის ინტერვალიეფუძნება შესაბამისი პარამეტრის საშუალო შეცდომას. Ნდობის ინტერვალი გვიჩვენებს, თუ რა ლიმიტებშია ალბათობა (1-a) სავარაუდო პარამეტრის ჭეშმარიტი მნიშვნელობა. აქ a არის მნიშვნელოვნების დონე, (1-a) ასევე ეწოდება ნდობის ალბათობას.

პირველ თავში ჩვენ ვაჩვენეთ, რომ, მაგალითად, არითმეტიკული საშუალოსთვის, ჭეშმარიტი პოპულაციის საშუალო შემთხვევათა დაახლოებით 95%-ში მდგომარეობს საშუალოს 2 სტანდარტულ შეცდომებში. ამრიგად, 95% ნდობის ინტერვალის საზღვრები საშუალოსთვის ორჯერ უფრო შორს იქნება ნიმუშის საშუალოდან. საშუალო შეცდომასაშუალოდ, ე.ი. ჩვენ ვამრავლებთ საშუალოს საშუალო ცდომილებას გარკვეულ კოეფიციენტზე, ნდობის დონის მიხედვით. საშუალო და სხვაობაზე მიიღება Student კოეფიციენტი (სტუდენტის ტესტის კრიტიკული მნიშვნელობა), წილებისა და სხვაობისთვის - z კრიტერიუმის კრიტიკული მნიშვნელობა. კოეფიციენტისა და საშუალო ცდომილების ნამრავლი შეიძლება ეწოდოს უკიდურესი შეცდომაამ პარამეტრის, ე.ი. მაქსიმუმი, რაც შეგვიძლია მივიღოთ მისი შეფასებისას.

ნდობის ინტერვალი ამისთვის საშუალო არითმეტიკული : .

აქ არის ნიმუში საშუალო;

საშუალო არითმეტიკული ცდომილება;

s –ნიმუშის სტანდარტული გადახრა;

ნ

f = n-1 (სტუდენტის კოეფიციენტი).

ნდობის ინტერვალი ამისთვის არითმეტიკული საშუალებების განსხვავება :

აქ არის განსხვავება ნიმუშის საშუალებებს შორის;

- საშუალო არითმეტიკულ საშუალებებს შორის სხვაობის საშუალო ცდომილება;

s 1, s 2 -ნიმუში საშუალებები სტანდარტული გადახრები;

n1, n2

კრიტიკული ღირებულებასტუდენტის t ტესტი მოცემული მნიშვნელოვნების დონეზე a და თავისუფლების ხარისხით f=n 1 +n 2-2 (სტუდენტის კოეფიციენტი).

ნდობის ინტერვალი ამისთვის აქციები :

.

აქ d არის ნიმუშის წილადი;

– საშუალო წილადის შეცდომა;

ნ– ნიმუშის ზომა (ჯგუფის ზომა);

ნდობის ინტერვალი ამისთვის აქციების სხვაობა :

აქ არის განსხვავება ნიმუშის აქციებში;

– საშუალო არითმეტიკულ საშუალებებს შორის სხვაობის ცდომილება;

n1, n2– ნიმუშის ზომები (ჯგუფების რაოდენობა);

z კრიტერიუმის კრიტიკული მნიშვნელობა მოცემულ მნიშვნელოვნების დონეზე a ( , , ).

ინდიკატორებს შორის სხვაობის ნდობის ინტერვალების გამოთვლით, ჩვენ, პირველ რიგში, პირდაპირ ვხედავთ ეფექტის შესაძლო მნიშვნელობებს და არა მხოლოდ მის ქულების შეფასებას. მეორეც, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიტანოთ დასკვნა ნულოვანი ჰიპოთეზის მიღების ან უარყოფის შესახებ და, მესამე, შეგვიძლია გამოვიტანოთ დასკვნა ტესტის სიმძლავრის შესახებ.

ნდობის ინტერვალების გამოყენებით ჰიპოთეზების ტესტირებისას, უნდა დაიცვან შემდეგი წესი:

თუ საშუალებებში სხვაობის 100(1-a) პროცენტული ნდობის ინტერვალი არ შეიცავს ნულს, მაშინ განსხვავებები სტატისტიკურად მნიშვნელოვანია მნიშვნელოვნების დონეზე a; პირიქით, თუ ეს ინტერვალი შეიცავს ნულს, მაშინ განსხვავებები არ არის სტატისტიკურად მნიშვნელოვანი.

მართლაც, თუ ეს ინტერვალი შეიცავს ნულს, ეს ნიშნავს, რომ შედარებული ინდიკატორი შეიძლება იყოს ან მეტი ან ნაკლები ერთ ჯგუფში მეორესთან შედარებით, ე.ი. დაფიქსირებული განსხვავებები გამოწვეულია შემთხვევითობით.

ტესტის სიმძლავრე შეიძლება შეფასდეს ნდობის ინტერვალის ფარგლებში ნულის მდებარეობით. თუ ნული ახლოსაა ინტერვალის ქვედა ან ზედა ზღვართან, მაშინ შესაძლებელია როდის უფრო დიდი რიცხვებიჯგუფებთან შედარებით, განსხვავებები მიაღწევს სტატისტიკური მნიშვნელობა. თუ ნული ახლოს არის შუა ინტერვალთან, მაშინ ეს ნიშნავს, რომ ექსპერიმენტულ ჯგუფში ინდიკატორის ზრდა და შემცირება თანაბრად სავარაუდოა და, ალბათ, ნამდვილად არ არის განსხვავებები.

მაგალითები:

ორი განსხვავებული ტიპის ანესთეზიის გამოყენებისას ქირურგიული სიკვდილიანობა შევადაროთ: პირველი ტიპის ანესთეზიით ოპერაცია ჩაუტარდა 61 ადამიანს, 8 გარდაიცვალა, მეორე ტიპით – 67 ადამიანი, 10 გარდაიცვალა.

d 1 = 8/61 = 0,131; d2 = 10/67 = 0,149; d1-d2 = - 0,018.

შედარებული მეთოდების ლეტალურობის სხვაობა იქნება დიაპაზონში (-0,018 - 0,122; -0,018 + 0,122) ან (-0,14; 0,104) 100(1-a) = 95% ალბათობით. ინტერვალი შეიცავს ნულს, ე.ი. ჰიპოთეზა ერთი და იგივე ლეტალობის შესახებ ორში განსხვავებული ტიპებიანესთეზიის უარყოფა არ შეიძლება.

ამრიგად, სიკვდილიანობის მაჩვენებელი შეიძლება და შემცირდეს 14%-მდე და გაიზრდება 10,4%-მდე 95%-ის ალბათობით, ე.ი. ნული დაახლოებით შუაშია, ასე რომ, შეიძლება ითქვას, რომ, სავარაუდოდ, ეს ორი მეთოდი ნამდვილად არ განსხვავდება ლეტალურად.

ადრე განხილულ მაგალითში, დაჭერის ტესტის დროს საშუალო დაჭერის დრო შედარებულია სტუდენტების ოთხ ჯგუფში, რომლებიც განსხვავდებოდნენ გამოცდის ქულებით. მოდით გამოვთვალოთ ნდობის ინტერვალები საშუალო დაჭერის დროს სტუდენტებისთვის, რომლებმაც ჩააბარეს გამოცდა მე-2 და მე-5 კლასებით და ნდობის ინტერვალი ამ საშუალებებს შორის სხვაობისთვის.

სტუდენტის კოეფიციენტები ნაპოვნია სტუდენტის განაწილების ცხრილების გამოყენებით (იხ. დანართი): პირველი ჯგუფისთვის: = t(0.05;48) = 2.011; მეორე ჯგუფისთვის: = t(0.05;61) = 2.000. ამრიგად, ნდობის ინტერვალები პირველი ჯგუფისთვის: = (162.19-2.011*2.18; 162.19+2.011*2.18) = (157.8; 166.6), მეორე ჯგუფისთვის (156.55- 2000*1.88 ; 5+1.2805. 160.3). ასე რომ, მათთვის, ვინც გამოცდა 2-ით ჩააბარა, საშუალო დაჭერის დრო მერყეობს 157.8 ms-დან 166.6 ms-მდე 95% ალბათობით, მათთვის, ვინც გამოცდა 5-ით ჩააბარა - 152.8 ms-დან 160.3 ms-მდე 95% ალბათობით. .

თქვენ ასევე შეგიძლიათ შეამოწმოთ ნულოვანი ჰიპოთეზა ნდობის ინტერვალების გამოყენებით საშუალებებისთვის და არა მხოლოდ საშუალოების სხვაობისთვის. მაგალითად, როგორც ჩვენს შემთხვევაში, თუ საშუალებების ნდობის ინტერვალები ერთმანეთს ემთხვევა, მაშინ ნულოვანი ჰიპოთეზის უარყოფა შეუძლებელია. არჩეული მნიშვნელოვნების დონეზე ჰიპოთეზის უარყოფისთვის, შესაბამისი ნდობის ინტერვალები არ უნდა გადაფარდეს.

ვიპოვოთ ნდობის ინტერვალი საშუალო დაჭერის დროის სხვაობისთვის იმ ჯგუფებში, რომლებმაც გამოცდა ჩააბარეს მე-2 და მე-5 კლასებით. საშუალოების სხვაობა: 162,19 – 156,55 = 5,64. სტუდენტის კოეფიციენტი: = t(0.05;49+62-2) = t(0.05;109) = 1.982. ჯგუფის სტანდარტული გადახრები ტოლი იქნება: ; . ჩვენ ვიანგარიშებთ საშუალებებს შორის სხვაობის საშუალო ცდომილებას: . ნდობის ინტერვალი: =(5.64-1.982*2.87; 5.64+1.982*2.87) = (-0.044; 11.33).

ასე რომ, საშუალო დაჭერის დროის სხვაობა იმ ჯგუფებში, რომლებმაც გამოცდა ჩააბარეს 2-ით და 5-ით, იქნება -0,044 ms-დან 11,33 ms-მდე. ეს ინტერვალი მოიცავს ნულს, ე.ი. საშუალო დაჭერის დრო მათთვის, ვინც კარგად ჩააბარა გამოცდა, შეიძლება გაიზარდოს ან შემცირდეს მათთან შედარებით, ვინც გამოცდა არადამაკმაყოფილებლად ჩააბარა, ე.ი. ნულოვანი ჰიპოთეზის უარყოფა შეუძლებელია. მაგრამ ნული ძალიან ახლოს არის ქვედა ზღვართან და დაჭერის დრო ბევრად უფრო შემცირდება მათთვის, ვინც კარგად გაიარა. ამრიგად, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ჯერ კიდევ არის განსხვავებები დაჭერის საშუალო დროში მათ შორის, ვინც გადალახა 2 და 5, ჩვენ უბრალოდ ვერ აღმოვაჩინეთ ისინი საშუალო დროის ცვლილების, საშუალო დროის გავრცელებისა და ნიმუშის ზომების გათვალისწინებით.

ტესტის ძალა არის არასწორი ნულოვანი ჰიპოთეზის უარყოფის ალბათობა, ე.ი. იპოვნეთ განსხვავებები იქ, სადაც ისინი რეალურად არსებობს.

ტესტის სიმძლავრე განისაზღვრება მნიშვნელობის დონის, ჯგუფებს შორის განსხვავებების სიდიდის, ჯგუფებში მნიშვნელობების გავრცელებისა და ნიმუშების ზომის მიხედვით.

სტუდენტური გამოცდისთვის და დისპერსიის ანალიზიშეგიძლიათ გამოიყენოთ მგრძნობელობის დიაგრამები.

კრიტერიუმის ძალა შეიძლება გამოყენებულ იქნას ჯგუფების საჭირო რაოდენობის წინასწარ განსაზღვრისათვის.

ნდობის ინტერვალი გვიჩვენებს რა ფარგლებში მოცემული ალბათობანაპოვნია სავარაუდო პარამეტრის ნამდვილი მნიშვნელობა.

ნდობის ინტერვალების გამოყენებით შეგიძლიათ შეამოწმოთ სტატისტიკური ჰიპოთეზები და გამოიტანოთ დასკვნები კრიტერიუმების მგრძნობელობის შესახებ.

ლიტერატურა.

Glanz S. – თავი 6,7.

რებროვა O.Yu. – გვ.112-114, გვ.171-173, გვ.234-238.

Sidorenko E.V. – გვ.32-33.

კითხვები მოსწავლეთა თვითშემოწმებისთვის.

1. რა ძალა აქვს კრიტერიუმს?

2. რა შემთხვევაშია საჭირო კრიტერიუმების სიმძლავრის შეფასება?

3. სიმძლავრის გამოთვლის ხერხები.

6. როგორ შევამოწმოთ სტატისტიკური ჰიპოთეზა ნდობის ინტერვალის გამოყენებით?

7. რა შეიძლება ითქვას კრიტერიუმის ძალაზე ნდობის ინტერვალის გამოთვლისას?

Დავალებები.

შეფასების სიზუსტე, ნდობის ალბათობა(სანდოობა)

Ნდობის ინტერვალი

მცირე მოცულობის ნიმუშის აღებისას უნდა იქნას გამოყენებული ინტერვალის შეფასებები, რადგან ეს თავიდან აიცილებს უხეში შეცდომებიპუნქტური შეფასებებისგან განსხვავებით.

ინტერვალი არის შეფასება, რომელიც განისაზღვრება ორი რიცხვით - ინტერვალის ბოლოები, რომელიც ფარავს შეფასებულ პარამეტრს. ინტერვალური შეფასებები საშუალებას გვაძლევს დავადგინოთ შეფასებების სიზუსტე და სანდოობა.

ნება მიეცით ნაპოვნი ნიმუშის მონაცემებიდან სტატისტიკური მახასიათებელი* ემსახურება უცნობი პარამეტრის შეფასებას. ჩვენ მას მუდმივ რიცხვად მივიჩნევთ (შეიძლება შემთხვევითი ცვლადი). გასაგებია, რომ * რაც უფრო ზუსტად განსაზღვრავს b პარამეტრს, მით უფრო მცირეა აბსოლუტური მნიშვნელობაგანსხვავებები | - * |. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ >0 და | - * |< , то чем меньше, тем оценка точнее. Таким образом, დადებითი რიცხვიახასიათებს შეფასების სიზუსტეს.

თუმცა სტატისტიკური მეთოდებიარ გვაძლევს უფლებას კატეგორიულად განვაცხადოთ, რომ შეფასება * აკმაყოფილებს უტოლობას | - *|<, можно лишь говорить о вероятности, с которой это неравенство осуществляется.

*-ით შეფასების სანდოობა (ნდობის ალბათობა) არის ალბათობა, რომლითაც განხორციელდება უტოლობა | - *|<. Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

მოდით ალბათობა იმისა, რომ | - *|<, равна т.е.

უთანასწორობის ჩანაცვლება | - *|< равносильным ему двойным неравенством -<| - *|<, или *- <<*+, имеем

R(*-< <*+)=.

ნდობის ინტერვალი (*-, *+) ეწოდება ნდობის ინტერვალს, რომელიც ფარავს უცნობი პარამეტრს მოცემული სანდოობით.

ნდობის ინტერვალები ნორმალური განაწილების მათემატიკური მოლოდინის შესაფასებლად ცნობილი განაწილების გათვალისწინებით.

ნორმალურად განაწილებული რაოდენობრივი მახასიათებლის X-ის მათემატიკური მოლოდინის სანდოობით ინტერვალის შეფასება, რომელიც დაფუძნებულია შერჩევის საშუალო x-ზე პოპულაციის ცნობილი სტანდარტული გადახრით, არის ნდობის ინტერვალი.

x - t(/n^?)< a < х + t(/n^?),

სადაც t(/n^?)= არის შეფასების სიზუსტე, n არის ნიმუშის ზომა, t არის ლაპლასის ფუნქციის Ф(t) არგუმენტის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც Ф(t)=/2.

t(/n^?)= ტოლობიდან შეიძლება გამოვიტანოთ შემდეგი დასკვნა:

1. n ნიმუშის ზომის ზრდასთან ერთად რიცხვი მცირდება და, შესაბამისად, იზრდება შეფასების სიზუსტე;

2. შეფასების სანდოობის ზრდა = 2Ф(t) იწვევს t-ის ზრდას (Ф(t) არის მზარდი ფუნქცია) და შესაბამისად ზრდას; სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, კლასიკური შეფასების სანდოობის ზრდა იწვევს მისი სიზუსტის შემცირებას.

მაგალითი. შემთხვევითი X ცვლადი აქვს ნორმალური განაწილება ცნობილი სტანდარტული გადახრით =3. იპოვეთ სანდო ინტერვალები უცნობი მათემატიკური მოლოდინის a შეფასებისთვის, შერჩევის საშუალო x-ზე დაყრდნობით, თუ ნიმუშის ზომაა n = 36 და შეფასების სანდოობა მოცემულია = 0.95.

გამოსავალი. მოდი ვიპოვოთ ტ. 2Ф(t) = 0.95 მიმართებიდან ვიღებთ Ф(t) = 0.475. ცხრილიდან ვხვდებით t=1.96.

მოდით ვიპოვოთ შეფასების სიზუსტე:

სიზუსტის ნდობის ინტერვალის გაზომვა

T(/n^?)= (1.96.3)/ /36 = 0.98.

ნდობის ინტერვალი არის: (x - 0.98; x + 0.98). მაგალითად, თუ x = 4.1, მაშინ ნდობის ინტერვალს აქვს შემდეგი ნდობის ლიმიტები:

x - 0.98 = 4.1 - 0.98 = 3.12; x + 0.98 = 4.1 + 0.98 = 5.08.

ამრიგად, უცნობი პარამეტრის a მნიშვნელობები, რომლებიც შეესაბამება ნიმუშის მონაცემებს, აკმაყოფილებს 3.12 უტოლობას.< а < 5,08. Подчеркнем, что было бы ошибочным написать Р (3,12 < а < 5,08) = 0,95. Действительно, так как а - постоянная величина, то либо она заключена в найденном интервале (тогда событие 3,12 < а < 5,08 достоверно и его вероятность равна единице), либо в нем не заключена (в этом случае событие 3,12 < а < 5,08 невозможно и его вероятность равна нулю). Другими словами, доверительную вероятность не следует связывать с оцениваемым параметром; она связана лишь с границами доверительного интервала, которые, как уже было указано, изменяются от выборки к выборке.

მოდით ავხსნათ მოცემული სანდოობის მნიშვნელობა. სანდოობა = 0.95 მიუთითებს, რომ თუ საკმარისად დიდი რაოდენობის ნიმუშებია აღებული, მაშინ მათი 95% განსაზღვრავს ნდობის ინტერვალებს, რომლებშიც რეალურად არის პარამეტრი; მხოლოდ 5%-ში შეიძლება ის სცილდეს ნდობის ინტერვალს.

თუ აუცილებელია მათემატიკური მოლოდინის შეფასება წინასწარ განსაზღვრული სიზუსტით და სანდოობით, მაშინ მინიმალური ნიმუშის ზომა, რომელიც უზრუნველყოფს ამ სიზუსტეს, იპოვება ფორმულის გამოყენებით.

ნდობის ინტერვალები ნორმალური განაწილების მათემატიკური მოლოდინის შესაფასებლად უცნობით

ნორმალურად განაწილებული რაოდენობრივი X მახასიათებლის a მათემატიკური მოლოდინის სანდოობით ინტერვალის შეფასება, რომელიც დაფუძნებულია შერჩევის საშუალო x-ზე პოპულაციის უცნობი სტანდარტული გადახრით, არის ნდობის ინტერვალი.

x - t()(s/n^?)< a < х + t()(s/n^?),

სადაც s არის „შესწორებული“ ნიმუშის სტანდარტული გადახრა, t() გვხვდება ცხრილიდან მოცემული და n.

მაგალითი. პოპულაციის რაოდენობრივი მახასიათებელი X ჩვეულებრივ განაწილებულია. n=16 შერჩევის ზომაზე დაყრდნობით, აღმოჩნდა ნიმუშის საშუალო x = 20.2 და „შესწორებული“ სტანდარტული გადახრა s = 0.8. შეაფასეთ უცნობი მათემატიკური მოლოდინი ნდობის ინტერვალის გამოყენებით 0,95 სანდოობით.

გამოსავალი. მოდი ვიპოვოთ t(). ცხრილის გამოყენებით = 0.95-ით და n=16-ით ვპოულობთ t()=2.13.

მოდი ვიპოვოთ ნდობის საზღვრები:

x - t() (s/n^?) = 20.2 - 2.13 *. 0.8/16^? = 19.774

x + t()(s/n^?) = 20.2 + 2.13 * 0.8/16^? = 20.626

ასე რომ, 0.95 სანდოობით, უცნობი პარამეტრი a შეიცავს 19.774 სანდო ინტერვალში.< а < 20,626

გაზომილი სიდიდის ნამდვილი მნიშვნელობის შეფასება

მოდით გაკეთდეს n დამოუკიდებელი თანაბარი სიზუსტით გაზომვები ზოგიერთი ფიზიკური სიდიდისა, რომლის ნამდვილი მნიშვნელობა უცნობია.

ცალკეული გაზომვების შედეგებს განვიხილავთ შემთხვევით ცვლადებად Хl, Х2,...Хn. ეს რაოდენობები დამოუკიდებელია (გაზომვები დამოუკიდებელია). მათ აქვთ იგივე მათემატიკური მოლოდინი a (გაზომილი სიდიდის ჭეშმარიტი მნიშვნელობა), იგივე ვარიაციები ^2 (გაზომვები თანაბრად ზუსტია) და განაწილებულია ნორმალურად (ეს ვარაუდი დასტურდება გამოცდილებით).

ამრიგად, ყველა დაშვება, რომელიც გაკეთდა ნდობის ინტერვალების გამოტანისას, შესრულებულია და, შესაბამისად, ჩვენ თავისუფლად შეგვიძლია გამოვიყენოთ ფორმულები. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გაზომილი მნიშვნელობის ჭეშმარიტი მნიშვნელობა შეიძლება შეფასდეს ინდივიდუალური გაზომვების შედეგების საშუალო არითმეტიკულიდან სანდო ინტერვალების გამოყენებით.

მაგალითი. ფიზიკური სიდიდის ცხრა დამოუკიდებელი თანაბარი სიზუსტის გაზომვის მონაცემებზე დაყრდნობით, ცალკეული გაზომვების შედეგების საშუალო არითმეტიკული აღმოჩნდა x = 42.319 და „შესწორებული“ სტანდარტული გადახრა s = 5.0. საჭიროა გაზომილი მნიშვნელობის ნამდვილი მნიშვნელობის შეფასება სანდოობით = 0.95.

გამოსავალი. გაზომილი სიდიდის ნამდვილი მნიშვნელობა მისი მათემატიკური მოლოდინის ტოლია. მაშასადამე, პრობლემა მოდის მათემატიკური მოლოდინის შეფასებაზე (მოცემული უცნობია) ნდობის ინტერვალის გამოყენებით, რომელიც ფარავს a მოცემულ სანდოობას = 0,95.

x - t()(s/n^?)< a < х + t()(s/n^?)

ცხრილის გამოყენებით, y = 0.95 და l = 9 გამოყენებით ვპოულობთ

მოდით ვიპოვოთ შეფასების სიზუსტე:

t())(s/n^?) = 2.31 * 5/9^?=3.85

მოდი ვიპოვოთ ნდობის საზღვრები:

x - t() (s/n^?) = 42.319 - 3.85 = 38.469;

x + t() (s/n^?) = 42.319 +3.85 = 46.169.

ასე რომ, 0.95 სანდოობით, გაზომილი მნიშვნელობის ნამდვილი მნიშვნელობა დევს 38.469 სანდო ინტერვალში.< а < 46,169.

ნდობის ინტერვალები ნორმალური განაწილების სტანდარტული გადახრის შესაფასებლად.

მოდით, საერთო პოპულაციის რაოდენობრივი მახასიათებელი X ნორმალურად გადანაწილდეს. საჭიროა შეფასდეს უცნობი ზოგადი სტანდარტული გადახრები „შესწორებული“ ნიმუშის სტანდარტული გადახრებიდან s. ამისათვის ჩვენ გამოვიყენებთ ინტერვალის შეფასებას.

ნორმალურად განაწილებული რაოდენობრივი X მახასიათებლის o სტანდარტული გადახრის ინტერვალის შეფასება (სანდოობით) „შესწორებული“ ნიმუშის სტანდარტული გადახრის s-ზე დაფუძნებული არის ნდობის ინტერვალი.

s (1 -- q)< < s (1 + q) (при q < 1),

0 < < s (1 + q) (при q > 1),

სადაც q ნაპოვნია ცხრილიდან მოცემული n n-ისთვის.

მაგალითი 1. საერთო პოპულაციის რაოდენობრივი მახასიათებელი X განაწილებულია ნორმალურად. n = 25 ნიმუშის ზომაზე დაყრდნობით, ნაპოვნია s = 0.8 "შესწორებული" სტანდარტული გადახრა. იპოვეთ ნდობის ინტერვალი, რომელიც მოიცავს ზოგად სტანდარტულ გადახრას სანდოობით 0,95.

გამოსავალი. ცხრილის გამოყენებით მონაცემებით = 0,95 და n = 25, ვპოულობთ q = 0,32.

საჭირო ნდობის ინტერვალი s (1 -- q)< < s (1 + q) таков:

0,8(1-- 0,32) < < 0,8(1+0,32), или 0,544 < < 1,056.

მაგალითი 2. საერთო პოპულაციის რაოდენობრივი მახასიათებელი X ნორმალურად არის განაწილებული. n=10 შერჩევის ზომაზე დაყრდნობით, აღმოჩნდა s=0.16 სტანდარტული გადახრა „შესწორებული“. იპოვეთ ნდობის ინტერვალი, რომელიც მოიცავს ზოგად სტანდარტულ გადახრას სანდოობით 0,999.

გამოსავალი. დანართი ცხრილის გამოყენებით, = 0.999 და n=10 მონაცემებზე დაყრდნობით, ვპოულობთ 17= 1.80 (q > 1). საჭირო ნდობის ინტერვალი არის:

0 < < 0,16(1 + 1,80), или 0 < < 0,448.

შეფასებაგაზომვის სიზუსტე

შეცდომის თეორიაში ჩვეულებრივია გაზომვის სიზუსტის (ინსტრუმენტის სიზუსტის) დახასიათება შემთხვევითი გაზომვის შეცდომების სტანდარტული გადახრის გამოყენებით. შეფასებისთვის გამოიყენება "შესწორებული" სტანდარტული გადახრა s. ვინაიდან, როგორც წესი, გაზომვის შედეგები ურთიერთდამოუკიდებელნი არიან, აქვთ იგივე მათემატიკური მოლოდინი (გაზომილი მნიშვნელობის ნამდვილი მნიშვნელობა) და იგივე დისპერსია (თანაბარი სიზუსტის გაზომვების შემთხვევაში), წინა აბზაცში ასახული თეორია გამოიყენება შესაფასებლად. გაზომვების სიზუსტე.

მაგალითი. 15 თანაბარი სიზუსტის გაზომვის საფუძველზე, აღმოჩნდა "შესწორებული" სტანდარტული გადახრა s = 0.12. იპოვეთ გაზომვის სიზუსტე 0,99 სანდოობით.

გამოსავალი. გაზომვის სიზუსტე ხასიათდება შემთხვევითი შეცდომების სტანდარტული გადახრით, ამიტომ პრობლემა ჩნდება სანდო ინტერვალის s (1 -- q) პოვნამდე.< < s (1 + q) , покрывающего с заданной надежностью 0,99

დანართის ცხრილის გამოყენებით = 0.99 და n = 15 ვპოულობთ q = 0.73.

საჭირო ნდობის ინტერვალი

0,12(1-- 0,73) < < 0,12(1+0,73), или 0.03 < < 0,21.

ალბათობის შეფასება (ბინომიური განაწილება) ფარდობითი სიხშირიდან

ბინომალური განაწილების უცნობი ალბათობის p ინტერვალის შეფასება (სანდოობით) ფარდობითი სიხშირით w არის ნდობის ინტერვალი (p1 და p2 სავარაუდო ბოლოებით)

p1< p < p2,

სადაც n არის ტესტების საერთო რაოდენობა; m არის მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა; w - ფარდობითი სიხშირე მ/ნ თანაფარდობის ტოლი; t არის ლაპლასის ფუნქციის არგუმენტის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც Ф(t) = /2.

კომენტარი. n-ის დიდი მნიშვნელობებისთვის (ასობით რიგის) შეიძლება მივიღოთ ნდობის ინტერვალის მიახლოებით ზღვრებად

ნება მიეცით გაზომვა განხორციელდეს რამდენჯერმე, რაც შეიძლება მუდმივი იყოს ექსპერიმენტული პირობები. ვინაიდან შეუძლებელია მუდმივი პირობების მკაცრად შენარჩუნება, ინდივიდუალური გაზომვების შედეგები ოდნავ განსხვავდება. ისინი შეიძლება ჩაითვალოს შემთხვევითი g ცვლადის მნიშვნელობებად, რომლებიც განაწილებულია ჩვენთვის წინასწარ უცნობი კანონის მიხედვით.

ცხადია, მათემატიკური მოლოდინი უდრის გაზომილი სიდიდის ზუსტ მნიშვნელობას (მკაცრად რომ ვთქვათ, ზუსტი მნიშვნელობა პლუს სისტემური შეცდომა).

გაზომვის დამუშავება ეფუძნება ალბათობის თეორიის ცენტრალურ ზღვრულ თეორემას: თუ c არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც განაწილებულია ნებისმიერი კანონის მიხედვით, მაშინ

ასევე არის შემთხვევითი ცვლადი და

და სიდიდის განაწილების კანონი მიდრეკილია ნორმალურისკენ (გაუსური) ზე. ამიტომ, რამდენიმე დამოუკიდებელი გაზომვის საშუალო არითმეტიკული

არის გაზომილი რაოდენობის მიახლოებითი მნიშვნელობა და უფრო მეტი სანდოობით, მით მეტია გაზომვების რაოდენობა.

თუმცა, თანასწორობა ზუსტი არ არის და მისი ცდომილების ზღვარზეც კი მკაცრად მითითება შეუძლებელია; პრინციპში, შეიძლება განსხვავდებოდეს იმდენად, რამდენადაც სასურველია, თუმცა ასეთი მოვლენის ალბათობა უმნიშვნელოა.

მიახლოებითი თანასწორობის შეცდომა (2) არის ალბათური ხასიათის და აღწერილია ნდობის ინტერვალით P, ანუ ზღვარი, რომელსაც განსხვავება არ აღემატება ნდობის ალბათობით. სიმბოლურად ეს ასე იწერება:

ნდობის ინტერვალი დამოკიდებულია განაწილების კანონზე (და ამით ექსპერიმენტის დაყენებაზე), გაზომვების რაოდენობაზე, ასევე არჩეულ ნდობის ალბათობაზე. (3)დან ირკვევა, რომ რაც უფრო ახლოს არის ერთიანობასთან, მით უფრო ფართოა ნდობის ინტერვალი.

ნდობის დონე არჩეულია მიღებული შედეგების გამოყენებასთან დაკავშირებული პრაქტიკული მოსაზრებებიდან გამომდინარე. მაგალითად, თუ სათამაშოს ვაკეთებთ, მაშინ უსაფრთხო ფრენის ალბათობა მოგვეწონება, მაგრამ თუ თვითმფრინავს ვაშენებთ, მაშინ ალბათობაც კი არასაკმარისია. ბევრ ფიზიკურ გაზომვაში ის საკმარისად ითვლება.

შენიშვნა 1. მოდით, საჭირო იყოს z-ის მნიშვნელობის პოვნა, მაგრამ უფრო მოსახერხებელია მასთან დაკავშირებული მნიშვნელობის გაზომვა ცნობილი ურთიერთობით, მაგალითად, ჩვენ გვაინტერესებს ჯოულის სითბო და უფრო ადვილია გაზომვა დენი. უნდა გვახსოვდეს რომ

ამრიგად, ალტერნატიული დენის საშუალო მნიშვნელობა არის ნული, ხოლო საშუალო ჯოულის გათბობა არ არის ნულოვანი. ამიტომ, თუ ჯერ გამოვთვალოთ და მერე დავდოთ, ეს იქნება უხეში შეცდომა. აუცილებელია თითოეული გაზომვისთვის მიღებული მნიშვნელობების გამოთვლა და შემდგომი დამუშავება.

ნდობის ინტერვალის სიგანე. თუ სიდიდის განაწილების სიმკვრივე ცნობილია, მაშინ ნდობის ინტერვალი შეიძლება განისაზღვროს (3)-დან განტოლების ამოხსნით

შედარებით . ზემოთ აღინიშნა, რომ როდესაც განაწილება ნორმალურია

აქ არის განაწილების დისპერსია და მნიშვნელობას ეწოდება სტანდარტული გადახრა ან უბრალოდ სტანდარტი.

(5) ჩანაცვლებით (4)-ით და ვივარაუდოთ, რომ გავზომოთ ნდობის ინტერვალი სტანდარტის ფრაქციებში, მივიღებთ მიმართებას.

(6)

შეცდომის ინტეგრალი (6)-ის მარჯვენა მხარეს არის ცხრილი, ასე რომ ნდობის ინტერვალი შეიძლება განისაზღვროს ამ ურთიერთობიდან. დამოკიდებულება მოცემულია ცხრილში 23 შესაბამისი ხაზით

ცხრილიდან 23 ჩანს, რომ ნდობის ინტერვალი შეესაბამება ნდობის ალბათობას ისე, რომ ერთზე მეტიდან გადახრა ნაკლებად სავარაუდოა. მაგრამ გადახრა უფრო მეტია, ვიდრე საკმაოდ სავარაუდოა, რადგან სიგანე შეესაბამება

ამრიგად, თუ განსხვავება ცნობილია, არ არის რთული სტანდარტის და, შესაბამისად, ნდობის ინტერვალის აბსოლუტური სიგანის დადგენა. ამ შემთხვევაში, თუნდაც ერთი გაზომვის შესრულებისას, შეგიძლიათ შეაფასოთ შემთხვევითი შეცდომა, ხოლო გაზომვების რაოდენობის გაზრდა საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ ნდობის ინტერვალი, რადგან

სტუდენტის t ტესტი. ყველაზე ხშირად, დისპერსიას D? უცნობია, ამიტომ, როგორც წესი, შეუძლებელია შეცდომის შეფასება ზემოაღნიშნული მეთოდით. თუმცა, ერთი გაზომვის სიზუსტე უცნობია. თუმცა, თუ გაზომვა რამდენჯერმე განმეორდება, დისპერსიის აღმოჩენა შეიძლება დაახლოებით:

ამ გამოთქმის სიზუსტე დაბალია ორი მიზეზის გამო: ჯერ ერთი, ჯამის ტერმინების რაოდენობა ჩვეულებრივ მცირეა; მეორეც, ჩანაცვლების გამოყენება იწვევს მნიშვნელოვან შეცდომას მცირე n-ზე. უკეთეს მიახლოებას იძლევა ეგრეთ წოდებული მიუკერძოებელი დისპერსიის შეფასება:

სადაც მნიშვნელობა s-ს ეწოდება შერჩევის სტანდარტი.

შეფასება (8) ასევე სავარაუდოა, ასე რომ თქვენ არ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა (6), მისი ჩანაცვლება აუცილებელია მასში შესწორების შეტანა, რაც უფრო დიდია, მით უფრო პატარა. თუ განაწილება ნორმალურად ითვლება რომელიმესთვის, მაშინ კავშირი ნდობის ინტერვალსა და ნიმუშის სტანდარტს შორის მყარდება სტუდენტის ტესტით:

სადაც სტუდენტური კოეფიციენტები წარმოდგენილია ცხრილში 23.

ცხრილი 23

მოსწავლის კოეფიციენტები

ცხადია, დიდი მნიშვნელობებისთვის, კმაყოფილია კარგი სიზუსტით. ამიტომ, როდესაც სტუდენტის კრიტერიუმი გადაიქცევა ფორმულად (6); ზემოთ აღინიშნა, რომ ეს ფორმულა შეესაბამება ცხრილის 23-ე რიგს, თუმცა მცირე ნდობის ინტერვალებით (8) გაცილებით ფართოა, ვიდრე კრიტერიუმით (6).

მაგალითი 1: შერჩეული და შესრულებული 3 გაზომვა; ცხრილი 23-ის მიხედვით, ნდობის ინტერვალი არის

სამწუხაროდ, ყველა ფიზიკოსი და ინჟინერი არ იცნობს ნდობის ინტერვალის კონცეფციას და Student's t ტესტის. ხშირად არის ექსპერიმენტული სამუშაოები, რომლებშიც, მცირე რაოდენობის გაზომვებისთვის, ისინი იყენებენ კრიტერიუმს ან თუნდაც მიიჩნევენ, რომ მნიშვნელობა არის შეცდომა რაოდენობაში და დამატებით აფასებენ დისპერსიას ფორმულის გამოყენებით (7).

ზემოთ მოყვანილი მაგალითისთვის, პირველი შეცდომით პასუხი გაცემული იქნება მეორეთი, ხოლო მესამეზე, რომელიც ძალიან განსხვავდება სწორი მნიშვნელობისაგან.

შენიშვნა 2. ხშირად ერთი და იგივე მნიშვნელობა იზომება სხვადასხვა ლაბორატორიაში სხვადასხვა აღჭურვილობის გამოყენებით. შემდეგ თქვენ უნდა იპოვოთ საშუალო და სტანდარტი ფორმულების გამოყენებით (2) და (8), სადაც შეჯამება ხდება ყველა გაზომვისას ყველა ლაბორატორიაში და განსაზღვრეთ ნდობის ინტერვალი სტუდენტის ტესტის გამოყენებით.

ხშირად, მთლიანი სტანდარტი s უფრო მეტია, ვიდრე ცალკეული ლაბორატორიების მონაცემებით განსაზღვრული სტანდარტები. ეს ბუნებრივია. თითოეული ლაბორატორია უშვებს სისტემურ შეცდომებს გაზომვებში და ზოგიერთი სისტემატური შეცდომა სხვადასხვა ლაბორატორიაში ერთნაირია, ზოგი კი განსხვავებული. ერთობლივი დამუშავების დროს, სხვადასხვა სისტემატური შეცდომები ხდება შემთხვევითი, იზრდება სტანდარტი.

ეს ნიშნავს, რომ სხვადასხვა ტიპის გაზომვების ერთად დამუშავებისას, მნიშვნელობის სისტემური შეცდომა ჩვეულებრივ იქნება ნაკლები, ხოლო შემთხვევითი შეცდომა უფრო დიდი. მაგრამ შემთხვევითი შეცდომა შეიძლება შემცირდეს რამდენადაც სასურველია გაზომვების რაოდენობის გაზრდით. ამიტომ, ეს მეთოდი საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ საბოლოო შედეგი მეტი სიზუსტით.

შენიშვნა 3. თუ სხვადასხვა ლაბორატორია იყენებს სხვადასხვა სიზუსტის კლასის აღჭურვილობას, მაშინ ასეთი ერთობლივი დამუშავებისას აუცილებელია სასწორებით ჯამი.

სადაც ისინი ინსტრუმენტების სიზუსტის კვადრატებია.

შემთხვევითი განაწილება. ყველაზე ხშირად, გაზომვების რაოდენობა მცირეა და წინასწარ არ არის ნათელი, შეიძლება თუ არა განაწილება ნორმალურად ჩაითვალოს და ზემოთ ჩამოთვლილი კრიტერიუმების გამოყენება.

თვითნებური განაწილებისთვის, ჩებიშევის უთანასწორობა მოქმედებს

აქედან შეგიძლიათ შეაფასოთ ნდობის ინტერვალი:

კოეფიციენტი ამ შეფასებაში მოცემულია ცხრილი 23-ის დამატებით სტრიქონში.

ცხრილი გვიჩვენებს, რომ თუ მას ავიღებთ როგორც ნდობის ალბათობას, მაშინ თვითნებური განაწილების კანონისთვის ცნობილი დისპერსიით, ნდობის ინტერვალი არ აღემატება. სიმეტრიული ერთი წვერის განაწილებისთვის, მსგავსი შეფასებები აჩვენებს, რომ ნდობის ინტერვალი არ აღემატება, რომ ნორმალური განაწილებისთვის ის ტოლია (შერჩეულისთვის).

რა თქმა უნდა, თუ ისინი იყენებენ იმავე გაზომვებიდან ნაპოვნი მნიშვნელობას, მაშინ აუცილებელია სტუდენტის ტესტის მსგავსი კრიტერიუმის აგება. შეფასებები გაცილებით უარესი იქნება, ვიდრე მოცემული.

განაწილების ნორმალურობის შემოწმება. კრიტერიუმების (6) და (11) შედარებიდან ცხადია, რომ დაბალი ნდობის ალბათობითაც კი, თვითნებური განაწილების ნდობის ინტერვალის შეფასება ორჯერ უფრო ცუდია, ვიდრე ნორმალურისთვის. რაც უფრო ახლოს არის ერთთან, მით უფრო უარესია ამ შეფასებების თანაფარდობა. ამიტომ, მიზანშეწონილია შეამოწმოთ რამდენად განსხვავდება განაწილება ნორმალურისგან.

შემოწმების ჩვეულებრივი გზაა განაწილების ეგრეთ წოდებული ცენტრალური მომენტების შესწავლა:

პირველი ორი მომენტი, განსაზღვრებით, ტოლია ნორმალური განაწილებისთვის, შემდეგი ორი მომენტი ჩვეულებრივ შემოიფარგლება ამ მომენტებით. მათი რეალური მნიშვნელობები გამოითვლება მიღებული გაზომვებიდან და მოწმდება, შეესაბამება თუ არა ისინი ნორმალურ განაწილების მნიშვნელობებს.

მოსახერხებელია გამოვთვალოთ არა თავად მომენტები, არამედ მათგან შედგენილი უგანზომილებიანი კომბინაციები - ასიმეტრია და კურტოზი ნორმალური განაწილებისთვის, ისინი გადადიან ნულამდე. დისპერსიის მსგავსად, ჩვენ ვიანგარიშებთ მათ მიუკერძოებელი შეფასებების გამოყენებით:

სადაც s განისაზღვრება ფორმულით (8). ამ რაოდენობების შინაგანი დისპერსიები ცნობილია და დამოკიდებულია მხოლოდ გაზომვების რაოდენობაზე:

ხოლო A-ს საკუთარი განაწილება სიმეტრიულია.

ამიტომ თუ ურთიერთობები

მაშინ ჩებიშევის კრიტერიუმის მიხედვით (11) განსხვავება A და E შორის ნულიდან არასანდოა, ამიტომ შეგვიძლია მივიღოთ ჰიპოთეზა განაწილების ნორმალურობის შესახებ.

ფორმულები (13)-(15) პირდაპირ კავშირშია ერთი გაზომვის განაწილებასთან. სინამდვილეში, თქვენ უნდა შეამოწმოთ არის თუ არა არითმეტიკული საშუალოს განაწილება არჩეულისთვის ნორმალური. ამისათვის კეთდება დიდი რაოდენობით გაზომვები, ისინი იყოფა თითოეულში გაზომვების ჯგუფებად და თითოეულ ჯგუფში საშუალო მნიშვნელობა განიხილება როგორც ერთი გაზომვა. შემდეგ შემოწმება ხორციელდება ფორმულების გამოყენებით (13)-(15), სადაც თქვენ უნდა შეცვალოთ .

რა თქმა უნდა, ასეთი საფუძვლიანი შემოწმება არ ტარდება ყველა გაზომილ წერტილში, არამედ მხოლოდ ექსპერიმენტული ტექნიკის შემუშავების დროს.

შენიშვნა 4. ნებისმიერი საბუნებისმეტყველო ჰიპოთეზა შემოწმებულია ანალოგიურად. ისინი ატარებენ უამრავ ექსპერიმენტს და არკვევენ, არის თუ არა მათ შორის ისეთი მოვლენები, რომლებიც ამ ჰიპოთეზის თვალსაზრისით ნაკლებად სავარაუდოა. თუ ასეთი მოვლენები იქნა ნაპოვნი, ჰიპოთეზა უარყოფილია, თუ არა, იგი პირობითად მიიღება.

არჩევანი . გაზომვების რაოდენობის გაზრდით, ნდობის ინტერვალი შეიძლება შემცირდეს განუსაზღვრელი ვადით. თუმცა, სისტემური შეცდომა არ მცირდება, ამიტომ მთლიანი შეცდომა მაინც იქნება უფრო დიდი, ამიტომ მიზანშეწონილია აირჩიოთ i ისე, რომ ნდობის ინტერვალის სიგანე იყოს გაზომვების რაოდენობის შემდგომი ზრდა უაზროა.

განვიხილოთ მშენებლობა ნდობის ინტერვალი მათემატიკური მოლოდინის შესაფასებლად.

მოდით იყოს ნიმუშის მოცულობა მოსახლეობის მოცულობიდან
;- ნიმუშის საშუალო; - ნიმუშის სტანდარტული გადახრა.

სანდოობის დონის ნდობის ინტერვალი მათემატიკური მოლოდინისთვის (ზოგადი საშუალო) როგორც ჩანს

,

სად -შერჩევის ზღვრული შეცდომა, რაც დამოკიდებულია ნიმუშის ზომაზე , ნდობის ალბათობა და უდრის ნდობის ინტერვალის ნახევარს.

ზოგადი საშუალო უცნობი ემსახურება როგორც ნდობის ინტერვალი:

სად - ნიმუშის საშუალო; -შესწორებულინიმუშის სტანდარტული გადახრა; - პარამეტრი, რომელიც ნაპოვნია სტუდენტური განაწილების ცხრილიდან (
) თავისუფლების ხარისხი და ნდობის ალბათობა .

ინტერვალის შეფასება სანდოობით ზოგადი საშუალო მოსახლეობის ნორმალური განაწილების შემთხვევაში ზე ცნობილი სტანდარტული გადახრა ემსახურება როგორც ნდობის ინტერვალი:

სად - ნიმუშის საშუალო;
- ნიმუშის სტანდარტული გადახრა; - ლაპლასის ფუნქციის არგუმენტის მნიშვნელობა
, რომელიც
;- ნიმუშის ზომა.

დასკვნები. Ნდობის ინტერვალირადგან საშუალო წარმოადგენს მნიშვნელობების ინტერვალს შეფასების გარშემო, სადაც, ნდობის მოცემული დონით, მდებარეობს ატრიბუტის "ჭეშმარიტი" (უცნობი) საშუალო მნიშვნელობა.

მაგალითად, ცნობილია, რომ რაც უფრო "გაურკვეველია" ამინდის პროგნოზი (ანუ რაც უფრო ფართოა ნდობის ინტერვალი), მით უფრო სავარაუდოა, რომ ის იყოს სწორი.

მაგალითი.იპოვეთ ნდობის ინტერვალი 0,95 სანდოობით ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინის შესაფასებლად, თუ ცნობილია მისი სტანდარტული გადახრა.
, ნიმუში ნიშნავს
და ნიმუშის ზომა
.

მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა
. მნიშვნელობა იპოვეთ ლაპლასის ფუნქციის მნიშვნელობების ცხრილიდან
, იმის გათვალისწინებით, რომ
, ე.ი.
. იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობა ცხრილიდან
არგუმენტის მნიშვნელობა
. ჩვენ ვიღებთ ნდობის ინტერვალს:

; ან
.

სატესტო დავალებები

1. ნდობის ინტერვალის სიგრძე მცირდება მატებასთან ერთად:

1) ნიმუშის მნიშვნელობები 2) ნიმუშის ზომა

3) ნდობის ალბათობა 4) ნიმუშის საშუალო

2. ნდობის ინტერვალის სიგრძე ნიმუშის ზომის გაზრდით:

1) მცირდება; 2) იზრდება;

3) არ იცვლება; 4) მერყეობს.

3. ნდობის ინტერვალის სიგრძე მზარდი ნდობის ალბათობით:

1) იცვლება, 2) მცირდება,

3) იზრდება, 4) მუდმივია.

4. გთხოვთ მონიშნოთ ორი სწორი პასუხი. სიმბოლოები და ნდობის ინტერვალის ფორმულაში ნიშნავს:

1) პარამეტრის შეფასება; 2) ნდობის ინტერვალი;

3) ნიმუშის ზომა; 4) ნდობის ალბათობა.

პასუხები. 1. 2). 2. 1 3. 2). 4. 4) და 3).

საკონტროლო კითხვები

რას გულისხმობს ტერმინი „განაწილების პარამეტრის ინტერვალური შეფასება“?

განსაზღვრეთ ნდობის ინტერვალი.

რა არის შეფასების სიზუსტე და შეფასების სანდოობა?

რა არის ნდობის დონე? რა მნიშვნელობა აქვს მას?

როგორ შეიცვლება ნდობის ინტერვალის სიგრძე, თუ გავზრდით: 1) ნიმუშის ზომას, 2) ნდობის ალბათობას? დაასაბუთეთ თქვენი პასუხი.

ჩაწერეთ ფორმულა ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინის ნდობის ინტერვალის საპოვნელად, თუ ზოგადი ვარიაცია: 1) ცნობილია; 2) უცნობი.

გვერდი 2

ელექტრული აღჭურვილობის სანდოობის ინდიკატორებზე საწყისი მონაცემების (სტატისტიკის) ხარისხი (ელექტრომომარაგების გაუმართაობის შედეგად დაზიანების ინდიკატორებთან და ოპერაციული რეჟიმებთან და უსაფრთხოების შეკეთების შესახებ ინფორმაციას) ფასდება სიზუსტით - ინდიკატორის დაფარვის ნდობის ინტერვალის სიგანე, ხოლო საიმედოობა - ამ ინტერვალის არჩევისას შეცდომის არ დაშვების ალბათობა. სანდოობის მათემატიკური მოდელების სიზუსტე ფასდება მათი ადეკვატურობით რეალურ ობიექტთან, ხოლო სანდოობის გამოთვლის მეთოდის სიზუსტე ფასდება მიღებული ამოხსნის იდეალურთან ადეკვატურობით.  

ახლა ნაკადის სიჩქარის ცვალებადობის კოეფიციენტი, ისევე როგორც თავად ნაკადის სიჩქარე, მნიშვნელოვნად არის დამოკიდებული &0 / &1-ზე - ასე რომ, მაგალითად, pi 1 m და ku / k 5-ით, საშუალო ნაკადის სიჩქარე მცირდება ორიგინალთან შედარებით. დაახლოებით 2-ჯერ და ნდობის ინტერვალის სიგანე თითქმის 3-ჯერ. ცხადია, ამ შემთხვევაში ჭაბურღილის მიმდებარე ზონის პარამეტრების გარკვევა მნიშვნელოვან ინფორმაციას იძლევა და მნიშვნელოვნად აუმჯობესებს პროგნოზის ხარისხს.  

n ტესტების რაოდენობის უცვლელობა თითოეულ ეტაპზე მნიშვნელოვან გავლენას ახდენს შედეგების სიზუსტეზე. ნდობის ინტერვალის სიგანე მცირდება ნიმუშის ზომის გაზრდით.  

ნდობის ინტერვალები არის ის, რომლებშიც განლაგებულია სავარაუდო პარამეტრების ნამდვილი მნიშვნელობები გარკვეული (დარწმუნებული) ალბათობით. როგორც წესი, ნდობის ინტერვალის სიგანე გამოიხატება ინდივიდუალური დაკვირვების ცულის შედეგების სტანდარტული გადახრით.  

ნდობის ინტერვალის სიგანე დამოკიდებულია სასურველ სტატისტიკურ სანდოობაზე e, ნიმუშის ზომაზე n და შემთხვევითი მნიშვნელობების განაწილებაზე, განსაკუთრებით გავრცელებაზე. ნდობის ინტერვალების სიგრძე და სიგანე ასევე განისაზღვრება ხელმისაწვდომი (შემთხვევითი) ნიმუშით.  

თუმცა, ნდობის ინტერვალის სიგანე დაუშვებლად დიდია. თუმცა, ამ შემთხვევაში, ნდობის ინტერვალის სიგანე ძალიან დიდია.  

აქედან გამომდინარე, ნდობის ინტერვალის საზღვრებია (23 85 - 2 776 - 0 13; 23 85 2 776Х Х0 13) (23 49; 24 21) მპა. შედეგებიდან ირკვევა, რომ ნდობის ინტერვალის სიგანე იგივე ალბათობისთვის უნდა იყოს თითქმის 15-ჯერ დიდი იმის გამო, რომ მცირე რაოდენობის გაზომვებით, მათ მიმართ ნდობა ნაკლებია.  

(2.29) მიმართებიდან გამომდინარეობს, რომ ალბათობა იმისა, რომ ნდობის ინტერვალი (0 - D; D-ში) შემთხვევითი საზღვრებით დაფარავს ცნობილ პარამეტრს 0, უდრის y. მნიშვნელობა D, რომელიც უდრის სანდო ინტერვალის სიგანის ნახევარს, ეწოდება შეფასების სიზუსტე, ხოლო ალბათობა y არის შეფასების ნდობის ალბათობა (ან სანდოობა).  

ინტერვალს (04, 042) ეწოდება ნდობის ინტერვალი, მისი საზღვრებია 04 და 0W, რომლებიც შემთხვევითი ცვლადებია, შესაბამისად, ქვედა და ზედა ნდობის ლიმიტები. ნებისმიერი ინტერვალის შეფასება შეიძლება ხასიათდებოდეს ორი რიცხვის კომბინაციით: ნდობის ინტერვალის სიგანე H 04 - 0I, რომელიც არის 0 პარამეტრის შეფასების სიზუსტის საზომი, და ნდობის ალბათობა y, რომელიც ახასიათებს სანდოობის ხარისხს (სანდოობა ) შედეგები.  

ამ პირობებში, ნდობის ლიმიტები განისაზღვრება: Me და a-სთვის განაწილების გამოყენებით, ხოლო Mn-სთვის სტუდენტური განაწილების გამოყენებით. გრაფიკებიდან ირკვევა, რომ მცირე რაოდენობის n დაფიქსირებული ჩავარდნებით, ნდობის ინტერვალის სიგანე, რომელიც ახასიათებს განაწილების პარამეტრის შეფასებაში შესაძლო გადახრას, დიდია. პარამეტრის რეალური მნიშვნელობა შეიძლება რამდენჯერმე განსხვავდებოდეს გამოცდილებიდან მიღებული შესაბამისი სტატისტიკური შეფასების მნიშვნელობიდან. როგორც n იზრდება, ნდობის ინტერვალის საზღვრები თანდათან ვიწროვდება. საკმარისად ზუსტი და სანდო შეფასებების მისაღებად საჭიროა ტესტირების დროს დაფიქსირდეს დიდი რაოდენობის მარცხი, რაც, თავის მხრივ, მოითხოვს მნიშვნელოვან ტესტს, განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც ობიექტები ძალიან საიმედოა.