უფრო მეტში რთული სტრუქტურებიშეიძლება საჭირო გახდეს დაშლის თეორემის განმეორებით გამოყენება. ასე რომ, ნახ. 2.2 გვიჩვენებს დაშლას მე-7 ელემენტთან (ზედა ხაზი), შემდეგ კი მე-8 ელემენტთან (ქვედა ხაზი) ​​მიმართ. შედეგად ოთხ ქვექსელს აქვს სერიულ-პარალელური სტრუქტურები და აღარ საჭიროებს დაშლას. ადვილი მისახვედრია, რომ ყოველ საფეხურზე მიღებულ ქვექსელებში ელემენტების რაოდენობა მცირდება ერთით და ქვექსელების რაოდენობა, რომლებიც შემდგომ განხილვას მოითხოვს, გაორმაგდება. მაშასადამე, აღწერილი პროცესი ნებისმიერ შემთხვევაში სასრულია და შედეგად მიღებული სერიულ-პარალელური სტრუქტურების რაოდენობა იქნება 2 მ, სადაც T -ელემენტების რაოდენობა, რომლებშიც დაშლა უნდა განხორციელებულიყო. ამ მეთოდის სირთულე შეიძლება შეფასდეს 2 მ-ით, რაც ნაკლებია ამომწურავი ძიების სირთულეზე, მაგრამ მაინც მიუღებელია რეალური გადართვის ქსელების საიმედოობის გამოსათვლელად.

ნახაზი 2.2 ქსელის თანმიმდევრული დაშლა

მონაკვეთების მეთოდი ან ბილიკების შეგროვება

განვიხილოთ ქსელების სტრუქტურული საიმედოობის გაანგარიშების კიდევ ერთი მეთოდი. დავუშვათ, როგორც ადრე, საჭიროა განვსაზღვროთ ქსელის დაკავშირების ალბათობა მოცემულ წყვილს შორის კვანძები A,B. ამ შემთხვევაში ქსელის სწორი ფუნქციონირების კრიტერიუმია მოცემულ კვანძებს შორის ინფორმაციის გადაცემის მინიმუმ ერთი ბილიკის არსებობა. დავუშვათ, გვაქვს სია შესაძლო გზებითითოეულ ბილიკში შემავალი ელემენტების (კვანძების და საკომუნიკაციო მიმართულებების) სიის სახით. ზოგადად, ბილიკები იქნება დამოკიდებული, რადგან ნებისმიერი ელემენტი შეიძლება იყოს ერთზე მეტ გზაზე. სანდოობა რ სნებისმიერი s-ro ბილიკი შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით სერიული კავშირი R s =p 1s p 2s …p ts, სადაც p არის - საიმედოობა მე-ეელემენტი s-ro გზა.

საჭირო საიმედოობა H AB დამოკიდებულია თითოეული ბილიკის საიმედოობაზე და მათი გადაკვეთის ვარიანტებზე საერთო ელემენტები. მოდით აღვნიშნოთ საიმედოობა, რომელიც უზრუნველყოფილია პირველით რბილიკები, H r. შემდეგი (r+1)-ე ბილიკის დამატება სანდოობით R r+1, ცხადია, გამოიწვევს სტრუქტურული საიმედოობის ზრდას, რაც ახლა განისაზღვრება ორი მოვლენის კომბინაციით: პირველი r-დან ერთი მაინც მუშაობს. ბილიკები ან (r+1) th გზა ფუნქციონირებს. ამ კომბინირებული მოვლენის დადგომის ალბათობის გათვალისწინებით შესაძლო დამოკიდებულება. წარუმატებლობა (r+1) - ე და სხვა გზები

ჰ r+i =ჰ რ +რ r+i -რ r+1 ჰ r/(r+1), (2.10)

სადაც H r/ (r+1) არის მინიმუმ ერთ-ერთი პირველი r ბილიკის გამართვის ალბათობა, იმ პირობით, რომ (r+1)-ე ბილიკი მომსახურეობაა.

პირობითი ალბათობის H r/ (r+1) განსაზღვრებიდან გამომდინარეობს, რომ მისი გამოთვლისას უნდა დადგინდეს (r+1) ბილიკში შემავალი ყველა ელემენტის გამართული მუშაობის ალბათობა. ერთის ტოლი. შემდგომი გამოთვლების მოხერხებულობისთვის წარმოგიდგენთ გამოხატვის ბოლო ტერმინს (2.10) შემდეგი ფორმით:

რ r+1 ჰ რ/ (r+1) = რ r+1 ¤ ჰ რ (2.11)

სადაც სიმბოლო (¤) ნიშნავს, რომ გამრავლებისას ყველა ელემენტის სანდოობის ინდიკატორი, რომელიც შედის პირველ r ბილიკებში და საერთოა (r+l) ბილიკთან, იცვლება ერთით. (2.11)-ის გათვალისწინებით, შეგვიძლია გადავიწეროთ (2.10):

?ჰ r+1 = რ r+1 ¤ ქ რ (2.12)

სად?H r+1 =H r+1 -H r - სტრუქტურის სანდოობის ზრდა (r+1) - ე ბილიკის დანერგვით; Q r =1 - H r არის ალბათობა იმისა, რომ მოხდეს პირველი r გზების ერთდროული უკმარისობა.

იმის გათვალისწინებით, რომ სანდოობის ზრდა?H r+1 რიცხობრივად უდრის არასანდოობის შემცირებას?Q r+1, მივიღებთ შემდეგ განტოლებას სასრულ სხვაობებში:

?Q r+1 =რ r+1 ¤ ქ რ (2.13)

ადვილია იმის შემოწმება, რომ (2.13) განტოლების ამონახსნი ფუნქციაა

Q r = (1-R 1) ¤ (1-R 2) ¤…¤ (1-R r) ( 2.14)

დამოუკიდებელი ბილიკების შემთხვევაში სიმბოლური გამრავლების მოქმედება იგივეა, რაც ჩვეულებრივი გამრავლებადა გამოთქმა (2.14), მსგავსი (2.4), იძლევა პარალელურად დაკავშირებული ელემენტებისაგან შემდგარი სისტემის შეფერხების კოეფიციენტს. ზოგად შემთხვევაში, ბილიკების საერთო ელემენტების გათვალისწინების აუცილებლობა ძალის გამრავლების (2.14) მიხედვით ალგებრული ფორმა. ამ შემთხვევაში, ფორმულაში ტერმინების რაოდენობა ყოველი მომდევნო ბინომით გამრავლებით გაორმაგდება და საბოლოო შედეგს ექნება 2 r წევრი, რაც უდრის ყველა r ბილიკის მთლიანობის სრულ ძიებას. მაგალითად, r=10-ით საბოლოო ფორმულაში ტერმინების რაოდენობა გადააჭარბებს 1000-ს, რაც უკვე სცილდება ხელით გაანგარიშების ფარგლებს. ბილიკების რაოდენობის შემდგომი ზრდით, თანამედროვე კომპიუტერების შესაძლებლობები სწრაფად ამოიწურება.

ამასთან, ზემოთ წარმოდგენილი სიმბოლური გამრავლების ოპერაციის თვისებები შესაძლებელს ხდის მკვეთრად შეამციროს გამოთვლების სირთულე. მოდით შევხედოთ ამ თვისებებს უფრო დეტალურად. სიმბოლური გამრავლების მოქმედების მიხედვით, ნებისმიერი ელემენტის სანდოობის p i მაჩვენებელზე მოქმედებს შემდეგი წესი:

გვ მე ¤ გვ მე =გვ მე . (2.15)

შეგახსენებთ, რომ მეორე ფაქტორს (2.15) აქვს i-ე ელემენტის გამართული მუშაობის ალბათობის მნიშვნელობა, იმ პირობით, რომ ის კარგ სამუშაო მდგომარეობაშია, რაც აშკარად უდრის ერთს.

შემდგომი გამოთვლების შესამცირებლად, ჩვენ წარმოგიდგენთ შემდეგ აღნიშვნას i-ე ელემენტის არასანდოობისთვის:

=1-გვ მე (2.16)

(2.15) და (2.16) გათვალისწინებით შეგვიძლია დავწეროთ შემდეგი მარტივი წესები p და p-ის შემცველი გამონათქვამების კონვერტაცია :

p i ¤p i =p i (2.17)

p i p j ¤ =p i p j -p i p s

სანდოობის გაანგარიშებისას ამ წესების გამოყენების მაგალითისთვის, გაითვალისწინეთ უმარტივესი ქსელიკავშირი ნაჩვენებია. სურ.2.3 გრაფიკის კიდეებზე განთავსებული ასოები მიუთითებს შესაბამისი საკომუნიკაციო ხაზების სანდოობის მაჩვენებლებს.

სიმარტივისთვის, ჩვენ განვიხილავთ კვანძებს იდეალურად საიმედოდ. დავუშვათ, რომ A და B კვანძებს შორის კომუნიკაციისთვის შეიძლება გამოყენებულ იქნას ყველა გზა, რომელიც შედგება სამი ან ნაკლები თანმიმდევრულად დაკავშირებული ხაზისგან, ე.ი. გასათვალისწინებელია ბილიკების ქვეჯგუფი (m) = (ab, cdf, cgb, ahf). მოდით განვსაზღვროთ სანდოობის ზრდა, რომელიც უზრუნველყოფილია ყოველი მომდევნო გზაზე ფორმულის გამოყენებით (2.12) (2.14) გათვალისწინებით:

Зr+1=Rr+1¤ (¤1¤…¤) (2.18),

სურათი 2.3 - საანგარიშო ქსელის მაგალითი ბილიკების შეზღუდულ ქვეჯგუფზე

ნახაზი 2.4 - ქსელის მაგალითი ბილიკების სრულ კომპლექტზე საიმედოობის გამოსათვლელად, სადაც Ri=1-R1 მსგავსია (2.16).

ფორმულის (2.18) და სიმბოლური გამრავლების წესების (2.17) თანმიმდევრული გამოყენება. განსახილველ ქსელს მივიღებთ

Z 2 =cdf¤ () =cdf*;

3 =cgb¤ (¤) =cgb**;

Z 4 =ahf¤ (¤¤) =ahf**.

ბოლო ნამატის გამოთვლისას გამოვიყენეთ წესი 4, რომელსაც შეიძლება ვუწოდოთ მოკლე ჯაჭვების შთანთქმის წესი; ამ შემთხვევაში მისი გამოყენება იძლევა b¤cgb=b . თუ დაშვებულია სხვა გზები, როგორიცაა cdhb ბილიკი , მაშინ არ არის რთული მის მიერ უზრუნველყოფილი სანდოობის ზრდის გამოთვლა?H 5 =cdhb¤ (a¤ f¤ g¤ af) = =cdfb*a*f*g. შედეგად მიღებული ქსელის საიმედოობა ახლა შეიძლება გამოითვალოს, როგორც თითოეული განხილული ბილიკის მიერ მოწოდებული ნამატების ჯამი:

ჰ რ =?ჰ მე (2.19)

ასე რომ, განხილული მაგალითისთვის, იმ ვარაუდით, რომ სანდოობა. ქსელის ყველა ელემენტი ერთნაირია, ე.ი. a=b=c=d=f=h=g=p, მივიღებთ H 5 =p 2 +p 3 (1-p 2) + +2p 3 (1-p) (1-p 2) +p 4 (1-p) 3 . მანქანების განხორციელების შემთხვევაში, გამოთვლა შეიძლება ასევე დაეყრდნოს ფორმულას (2.13), იმის გათვალისწინებით, რომ

ქ რ =?Q მე (2.20)

(2.13) მიხედვით გვაქვს შემდეგი განმეორებითი კავშირი

ქ რ+მე =Q რ -რ r+1 ¤ ქ რ . (2.21)

ზე საწყისი მდგომარეობა Q 0 =l ყოველ მომდევნო საფეხურზე, ადრე მიღებული Q r გამოსახულებიდან, უნდა გამოვაკლოთ შემდეგი (r+1)-ე ბილიკის სანდოობის ნამრავლი იმავე გამოსახულებით, რომელშიც მხოლოდ სანდოობის მაჩვენებლებია ყველა. ელემენტები, რომლებიც შედის (r+1)-th ბილიკში უნდა იყოს ერთის ტოლი.

მაგალითად, მოდით გამოვთვალოთ ნახ. 2.4-ზე ნაჩვენები ქსელის საიმედოობა A და B კვანძებთან მიმართებაში. , რომელთა შორის არის ინფორმაციის გადაცემის 11 შესაძლო გზა. ყველა გამოთვლა შეჯამებულია ცხრილში 2.1: თითოეულ ბილიკში შემავალი ელემენტების სია, მოცემული ბილიკის სანდოობის გამრავლების შედეგი ყველა წინა ბილიკის გათვალისწინებით მიღებულ Q r მნიშვნელობაზე და მესამე შიგთავსის გამარტივების შედეგი. სვეტი წესების მიხედვით (2.17). q AB-ის საბოლოო ფორმულა არის ბოლო სვეტში, როდესაც იკითხება ზემოდან ქვემოდან. ცხრილი სრულად აჩვენებს ყველა გამოთვლას, რომელიც აუცილებელია მოცემული ქსელის სტრუქტურული საიმედოობის გამოსათვლელად.

ცხრილი 2.1 ქსელის საიმედოობის გაანგარიშების შედეგები ნაჩვენებია ნახ. 2.4-ზე

გამოთვლების რაოდენობის შესამცირებლად, მოერიდეთ ფრჩხილების ზედმეტ გაფართოებას; თუ შუალედური შედეგი იძლევა გამარტივების საშუალებას (მსგავსი ტერმინების მოტანა, საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება და ა.შ.), ისინი უნდა შესრულდეს.

მოდით ავუხსნათ გაანგარიშების რამდენიმე ეტაპი. ვინაიდან Q 0 = 1 (ბილიკების არარსებობის შემთხვევაში ქსელი გატეხილია), მაშინ Q 1-ისთვის (2.21) Q 1 =1 - აბ=აბ. ჩვენ ვდგამთ შემდეგ ნაბიჯს (6.21) Q 2 =ab-fghab==ab*fgh და ა.შ.

მოდით განვიხილოთ უფრო დეტალურად ის ნაბიჯი, რომლის დროსაც გათვალისწინებულია მე-9 ბილიკის წვლილი. შემდეგი, მეოთხე სვეტში დაგროვილი წინა რვა ბილიკის გარღვევის ალბათობა (პირველი რიგიდან დაწყებული), იწერება კვადრატულ ფრჩხილებში, წესის (2.15) გათვალისწინებით, რომლის მიხედვითაც ყველა ელემენტის სანდოობის ინდიკატორი შედის ბილიკი 9 შეიცვალა ერთით. მეოთხე, მეექვსე და მეშვიდე სტრიქონების წვლილი გამოდის ნულის ტოლიწესის მიხედვით 1. შემდეგ კვადრატულ ფრჩხილებში გამოთქმა გამარტივებულია (2.17) წესების მიხედვით შემდეგნაირად: b =b (fhc-hfc-fhc) =bc (h-fh) =bchf. გაანგარიშება ხორციელდება ანალოგიურად ყველა სხვა ბილიკისთვის.

განხილული მეთოდის გამოყენება საშუალებას გვაძლევს მივიღოთ ზოგადი ფორმულასტრუქტურული საიმედოობა, რომელიც შეიცავს განხილულ შემთხვევაში მხოლოდ 15 ტერმინს, ნაცვლად მაქსიმალური რიცხვისა 2 11 = 2048, მიღებული ამ ბილიკების წარუმატებლობის ალბათობების პირდაპირ გამრავლებით. მეთოდის მანქანაში დანერგვისას მოსახერხებელია ქსელის ყველა ელემენტის პოზიციურ კოდში წარმოდგენა ბიტების სტრიქონში და ჩაშენებული ლოგიკური ფუნქციების გამოყენება ტრანსფორმაციების ლოგიკური ელემენტების განსახორციელებლად (2.17).

აქამდე ჩვენ განვიხილეთ ქსელის სტრუქტურული საიმედოობის ინდიკატორები შერჩეულ წყვილ კვანძთან მიმართებაში. ასეთი ინდიკატორების მთლიანობა წყვილების ყველა ან გარკვეული ქვეჯგუფისთვის შეიძლება საკმაოდ სრულად ახასიათებდეს მთლიანი ქსელის სტრუქტურულ საიმედოობას. ზოგჯერ გამოიყენება სტრუქტურული საიმედოობის სხვა, ინტეგრალური კრიტერიუმი. ამ კრიტერიუმის მიხედვით, ქსელი ითვლება ჯანსაღად, თუ არსებობს კომუნიკაცია მის ყველა კვანძს შორის და დაწესებულია მოთხოვნა ასეთი მოვლენის ალბათობის შესახებ.

ამ კრიტერიუმის გამოყენებით სტრუქტურული საიმედოობის გამოსათვლელად, საკმარისია შემოვიტანოთ ბილიკის კონცეფციის განზოგადება ხის სახით, რომელიც აკავშირებს ყველა მოცემულ ქსელურ კვანძს. მაშინ ქსელი იქნება დაკავშირებული, თუ არის მინიმუმ ერთი დამაკავშირებელი ხე, და გაანგარიშება ხდება ყველა განხილული ხის წარუმატებლობის ალბათობის გამრავლებაზე, საერთო ელემენტების არსებობის გათვალისწინებით. ალბათობა. s-ე ხის Q s წარუმატებლობა განისაზღვრება ბილიკის უკმარისობის ალბათობის ანალოგიურად

სადაც p არის - საიმედოობის მაჩვენებელი i-ro ელემენტი შედის ს-ე ხე; ns ელემენტების რაოდენობა s-ე ხეში.

განვიხილოთ, მაგალითად, უმარტივესი ქსელი სამკუთხედის, გვერდის სახით. რომელიც შეწონილია საიმედოობის ინდიკატორებით a, b, c შესაბამისი ფილიალები. ასეთი ქსელის დასაკავშირებლად საკმარისია მინიმუმ ერთი ხის არსებობა ab, bc, ca . განმეორებითი ურთიერთობის (2.12) გამოყენებით განვსაზღვრავთ ამ ქსელის დაკავშირების ალბათობას H . cb =ab+bca+კაბინა. თუ a=b=c=p , ჩვენ ვიღებთ დაკავშირების ალბათობის შემდეგ მნიშვნელობას, რომლის შემოწმებაც მარტივია უხეში ძალით: H . cb =3р 2 -2р 3.

საკმარისად განშტოებული ქსელების დაკავშირების ალბათობის გამოსათვლელად, დამაკავშირებელი ხეების სიის ნაცვლად, როგორც წესი, უფრო მოსახერხებელია გამოიყენოთ სექციების სია (y), რომლებიც იწვევს ქსელთან კავშირის დაკარგვას განხილული კრიტერიუმის მიხედვით. . მარტივია იმის ჩვენება, რომ ზემოაღნიშნული სიმბოლური გამრავლების ყველა წესი მოქმედებს განყოფილებისთვის, მხოლოდ ქსელის ელემენტების სანდოობის ინდიკატორების ნაცვლად, საწყის მონაცემად გამოყენებული უნდა იყოს არასანდოობის ინდიკატორები q=1-p. . მართლაც, თუ ყველა ბილიკი ან ხე შეიძლება ჩაითვალოს "პარალელურად" ჩართულად, მათი ურთიერთდამოკიდებულების გათვალისწინებით, მაშინ ყველა მონაკვეთი ამ გაგებით შედის "თანმიმდევრობით". მოდი, რ ს-ით ავღნიშნოთ ალბათობა, რომ ზოგიერთ s მონაკვეთში არ არის არც ერთი სამსახურებრივი ელემენტი. მაშინ შეგვიძლია დავწეროთ

რ ს =ქ 1წ ქ 2 წმ …ქ ქალბატონი , (2.22)

სადაც q არის - s-e განყოფილებაში შემავალი i-ro ელემენტის არასანდოობის მაჩვენებელი.

ქსელთან დაკავშირების H cb ალბათობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ანალოგიურად (2.14) სიმბოლური ფორმით.

ნ cb = (1-რ 1 ) ¤ ( 1-ლი 2 ) ¤…¤ ( 1-ლი რ) (2.23)

სადაც რ - განხილული სექციების რაოდენობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, იმისათვის, რომ ქსელი იყოს დაკავშირებული, აუცილებელია, რომ თითოეულ განყოფილებაში მინიმუმ ერთი ელემენტი იყოს ერთდროულად მოქმედი, სექციების საერთო ელემენტებზე ურთიერთდამოკიდებულების გათვალისწინებით. ფორმულა (2.23) გარკვეულწილად ორმაგია ფორმულასთან მიმართებაში (2.14) და მიიღება ამ უკანასკნელისგან ბილიკების სექციებით ჩანაცვლებით და სწორი ოპერაციის ალბათობით მარცხის მდგომარეობაში ყოფნის ალბათობით. ანალოგიურად ორმაგი ფორმულის მიმართ (2.21) არის რეციდივის მიმართება

ჰ r+1 =ჰ რ - რ r+1 ¤ ჰ რ (2.24)

მაგალითად, გამოვთვალოთ ზემოთ განხილული სამკუთხა ქსელის დაკავშირების ალბათობა ab, bc, ca სექციების სიმრავლით. (2.23) მიხედვით, საწყისი პირობით H 0 =1 გვაქვს H cd =ab-bca-cab. ქსელის ელემენტების იგივე არასანდო მაჩვენებლებით a=b=c=q ვიღებთ H cb =1-q 2 -2q 2 (1 - q). ეს შედეგი ემთხვევა ადრე მიღებულს ხეების ჩამოთვლის მეთოდის გამოყენებით.

განყოფილების მეთოდი, რა თქმა უნდა, შეიძლება გამოყენებულ იქნას ქსელის დაკავშირების ალბათობის გამოსათვლელად კვანძების არჩეულ წყვილთან მიმართებაში, განსაკუთრებით იმ შემთხვევებში, როდესაც განსახილველ ქსელში სექციების რაოდენობა მნიშვნელოვანია. ნაკლები რაოდენობანულები. თუმცა უდიდესი ეფექტიგამოთვლების სირთულის შემცირების თვალსაზრისით, ორივე მეთოდის ერთდროული გამოყენება, რაც შემდგომში იქნება განხილული, იძლევა სარგებელს.

ეს მოკლე გაკვეთილი არა მხოლოდ დაგეხმარებათ სწავლაში ტიპიური დავალება, რაც საკმაოდ გავრცელებულია პრაქტიკაში, მაგრამ ასევე სტატიის მასალების კონსოლიდაციის მიზნით ფუნქციების გაფართოება დენის სერიებში. დაგვჭირდება ფუნქციების გაფართოების ცხრილი დენის სერია , რომელიც შეგიძლიათ მიიღოთ გვერდზე მათემატიკური ფორმულები და ცხრილები. გარდა ამისა, მკითხველმა უნდა გაიგოს გეომეტრიული მნიშვნელობაგანსაზღვრული ინტეგრალი და აქვს ინტეგრაციის ძირითადი უნარები.

აქვე უნდა აღინიშნოს, რომ სიზუსტე სამ ათწილადამდე ყველაზე პოპულარულია. ასევე გამოიყენება სხვა გაანგარიშების სიზუსტეები, ჩვეულებრივ 0.01 ან 0.0001.

ახლა გადაწყვეტის მეორე ეტაპი:
პირველ რიგში, ჩვენ ვცვლით ინტეგრანდს მიღებულ სიმძლავრის სერიაზე:

რატომ შეიძლება ამის გაკეთება საერთოდ? Ეს ფაქტიგაკვეთილზე ახსნილი შესახებ ფუნქციების გაფართოება დენის სერიებში– უსასრულო მრავალწევრის გრაფიკი ზუსტად ემთხვევა ფუნქციის გრაფიკს! უფრო მეტიც, ამ შემთხვევაში განცხადება მართალია "x"-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის და არა მხოლოდ ინტეგრაციის სეგმენტისთვის.

შემდეგ ეტაპზე ჩვენ მაქსიმალურად ვამარტივებთ თითოეულ ტერმინს:

უმჯობესია ამის გაკეთება დაუყოვნებლივ, რათა შემდეგ ეტაპზე ზედმეტი გამოთვლებით არ აგერიოთ.

გაანგარიშების ტექნიკა სტანდარტულია: ჯერ თითოეულ ტერმინში ვანაცვლებთ 0.3, შემდეგ კი ნულს. გამოთვლებისთვის ვიყენებთ კალკულატორს:

სერიის რამდენი პირობაა საჭირო საბოლოო გამოთვლებისთვის?თუ კონვერგენტული სერია სიგნალიზაცია, ეს აბსოლუტური შეცდომაგაანგარიშების მოდული არ აღემატება სერიის ბოლო გაუქმებულ ტერმინს. ჩვენს შემთხვევაში უკვე სერიის მესამე წევრი ნაკლებია საჭირო სიზუსტეზე 0.001, და ამიტომ, თუ მას გავუშვებთ, აუცილებლად შევცდებით არაუმეტეს 0.000972 (მიხვდი რატომ!). ამრიგად, საბოლოო გაანგარიშებისთვის საკმარისია პირველი ორი პირობა: .

უპასუხე: ზუსტი 0.001-მდე

როგორი რიცხვი აღმოჩნდა ეს? გეომეტრიული წერტილიხედვა? არის დაჩრდილული ფიგურის სავარაუდო ფართობი (იხ. სურათი ზემოთ).

მაგალითი 2

გამოთვალეთ დაახლოებით განსაზღვრული ინტეგრალი, რომელმაც ადრე გააფართოვა ინტეგრადი სიმძლავრეების სერიად, 0,001 სიზუსტით.

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტილება. სრული გადაწყვეტადა პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

რატომღაც, დაუმსახურებლად, გვერდი ავუარე არქტანგენტს, ზედიზედ ერთხელაც არ დამიყენებია. გამოვასწოროთ შეცდომა.

მაგალითი 3

გამოთვალეთ განსაზღვრული ინტეგრალი 0,01 სიზუსტით ინტეგრანტის სერიის გაფართოების გამოყენებით.

გამოსავალი: არსებობს ძლიერი ეჭვი, რომ ეს ინტეგრალი შექცევადია, თუმცა გამოსავალი არ არის უმარტივესი.

მოდით გავაფართოვოთ ინტეგრადი მაკლარინის სერიაში. ჩვენ ვიყენებთ გაფართოებას:

Ამ შემთხვევაში


აქ გაუმართლა, რომ საბოლოოდ გრადუსები ხელუხლებელი დარჩა, წილადი ძალაუფრო რთული იქნება ინტეგრირება.

ამრიგად:

ასევე ხდება. წევრები კალათით - ეს უფრო ადვილია სტუდენტისთვის.

უპასუხე: 0,01 სიზუსტით.

კიდევ ერთხელ, გაითვალისწინეთ, რომ 0.01-ის სიზუსტე გარანტირებულია მხოლოდ იმიტომ, რომ კონვერგენტული სერია სიგნალიზაცია. დადებითი ტერმინების მქონე სერიებისთვის, მაგალითად, სერიალი ასეთი შეფასება არ შეიძლება განხორციელდეს, რადგან გადაყრილი "კუდის" რაოდენობა ადვილად შეიძლება აღემატებოდეს 0.00089-ს. რა უნდა გააკეთოს ასეთ შემთხვევებში? გაკვეთილის ბოლოს გეტყვით. ამასობაში მე გეტყვით საიდუმლოს: ყველა დღევანდელ მაგალითში რიგები ერთმანეთს ენაცვლება.

და, რა თქმა უნდა, თქვენ უნდა აკონტროლოთ სერიის კონვერგენციის რეგიონი. განხილულ მაგალითში, სხვათა შორის, ის "მოჭრილია": (იმის გამო კვადრატული ფესვი) თუმცა, ჩვენი ინტეგრაციის სეგმენტი მთლიანად ამ რეგიონშია.

რა მოხდება, თუ თქვენ ცდილობთ მოაგვაროთ რაიმე უკანონო საქმე, როგორიცაა ? ფუნქცია ასევე მშვენივრად გაფართოვდება სერიაში და სერიის პირობებიც მშვენივრად იქნება ინტეგრირებული. მაგრამ როცა ვიწყებთ ღირებულების ჩანაცვლებას ზედა ზღვარინიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის მიხედვით, ჩვენ ვხედავთ, რომ რიცხვები გაიზრდება განუსაზღვრელი ვადით, ანუ ყოველი შემდეგი ნომერიწინაზე მეტი იქნება. სერია მხოლოდ სეგმენტზე გადადის. ეს არ არის პარანოია პრაქტიკაში, ეს დროდადრო ხდება. მიზეზი პრობლემების კრებულში ან სასწავლო სახელმძღვანელოში შეცდომაა, როდესაც ავტორებმა ვერ შეამჩნიეს, რომ ინტეგრაციის ინტერვალი „გამოდის“ სერიის კონვერგენციის რეგიონის მიღმა.

მე არ განვიხილავ ინტეგრალს არქსინთან, რადგან ის წითელ წიგნშია ჩამოთვლილი. უმჯობესია დამატებით განიხილოს რაიმე "ბიუჯეტი":

მაგალითი 4

გამოთვალეთ განსაზღვრული ინტეგრალი 0,001 სიზუსტით ინტეგრადის სერიებად გაფართოებით და ამ სერიის ტერმინით ტერმინის ინტეგრირებით.

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. რაც შეეხება ნულს, აქ ხელისშემშლელი არ არის - ინტეგრანტი მხოლოდ მოითმენს შესაკეთებელი უფსკრულიწერტილში და ამიტომ არასწორი ინტეგრალიაქ არ წევს, ე.ი. ჩვენ ჯერ კიდევ ვსაუბრობთ განსაზღვრული ინტეგრალი. ამოხსნისას დაინახავთ, რომ მიღებული სერია მშვენივრად ემთხვევა ნულს.

და ბოლოს, მოდით შევხედოთ კიდევ რამდენიმე მაგალითს, რომლებიც ცოტა უფრო რთულია.

მაგალითი 5

გამოთვალეთ განსაზღვრული ინტეგრალი 0,001 სიზუსტით ინტეგრანის გაფართოების სერიებად და ამ სერიების ტერმინებით ინტეგრაციის გამოყენებით.

გამოსავალი: ინტეგრანდის გაანალიზებით მივდივართ დასკვნამდე, რომ უნდა გამოვიყენოთ ბინომიალური გაფართოება. მაგრამ ჯერ ფუნქცია უნდა იყოს წარმოდგენილი შესაბამისი ფორმით:

სამწუხაროდ, არცერთი განსაკუთრებული შემთხვევა ბინომალური გაფართოებაარ ჯდება და ჩვენ მოგვიწევს გამოვიყენოთ რთული ზოგადი ფორმულა:

Ამ შემთხვევაში: ,

ამ ეტაპზე ჯობია მაქსიმალურად გამარტივდეს დაშლა. ჩვენ ასევე აღვნიშნავთ, რომ აშკარად არ გვჭირდება სერიის მეოთხე წევრი, რადგან ინტეგრაციამდეც მასში გამოჩნდა წილადი, რომელიც აშკარად ნაკლებია საჭირო სიზუსტეზე 0,001.

ამ ინტეგრალის გამოსათვლელად, თუ ეს შესაძლებელია, ამა თუ იმ მეთოდის გამოყენებით, უნდა დავიყვანოთ იგი ცხრილის ინტეგრალამდე და ამით ვიპოვოთ სასურველი შედეგი. ჩვენს კურსში განვიხილავთ მხოლოდ რამდენიმე ყველაზე გავრცელებულ ინტეგრაციის ტექნიკას და მივუთითებთ მათ გამოყენებას უმარტივეს მაგალითებზე.

ინტეგრაციის ყველაზე მნიშვნელოვანი მეთოდებია:
1) პირდაპირი ინტეგრაციის მეთოდი (გაფართოების მეთოდი),
2) ჩანაცვლების მეთოდი (ახალი ცვლადის შემოღების მეთოდი),
3) ნაწილების მიერ ინტეგრაციის მეთოდი.

I. პირდაპირი ინტეგრაციის მეთოდი

მრავალი ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალის პოვნის პრობლემა წყდება ცხრილის ერთ-ერთ ინტეგრალამდე მათი შემცირებით.

∫(1-√x) 2 dx=∫(1-2√x+x)dx=∫dx-∫2√xdx+∫xdx=∫dx-2∫x dx+∫xdx=

მაგალითი 3. ∫sin 2 xdx

ვინაიდან sin 2 x=(1-cos2x), მაშინ
∫sin 2 xdx=(1-cos2x)dx=∫dx-∫cos2xd(2x)=x-sin2x+C

მაგალითი 4. ∫sinxcos3xdx

ვინაიდან sinxcos3x=(sin4x-sin2x), გვაქვს
∫sinxcos3xdx=∫(sin4x-sin2x)dx=∫sin4xd(4x)-∫sin2xd(2x)=-cos4x+cos2x+C

მაგალითი 5. იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი: ∫cos(7x-3)dx

∫cos(7x-3)=∫cos(7x-3)d(7x-3)=sin(7x-3)+C

მაგალითი 6.

II. ჩანაცვლების მეთოდი (ინტეგრაცია ცვლადის ცვლილებით)

თუ x=φ(t) ფუნქციას აქვს უწყვეტი წარმოებული, მაშინ ამ შემთხვევაში განსაზღვრული ინტეგრალი∫f(x)dx ყოველთვის შეგიძლიათ გადახვიდეთ t ახალ ცვლადზე ფორმულის გამოყენებით

∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ"(t)dt

შემდეგ იპოვნეთ ინტეგრალი მარჯვენა მხრიდან და დაუბრუნდით საწყის ცვლადს. ამ შემთხვევაში, ინტეგრალი ამ ტოლობის მარჯვენა მხარეს შეიძლება აღმოჩნდეს უფრო მარტივი, ვიდრე ინტეგრალი ამ ტოლობის მარცხენა მხარეს, ან თუნდაც ცხრილი. ინტეგრალის პოვნის ამ მეთოდს ცვლადის მეთოდის შეცვლა ეწოდება.

მაგალითი 7. ∫x√x-5dx

ფესვის მოსაშორებლად ვაყენებთ √x-5=t. აქედან გამომდინარე, x=t 2 +5 და შესაბამისად dx=2tdt. ჩანაცვლების განხორციელებისას ჩვენ მუდმივად გვაქვს:

∫x√x-5dx=∫(t 2 +5) 2tdt=∫(2t 4 +10t 2)dt=2∫t 4 dt+10∫t 2 dt=

მაგალითი 8.

მას შემდეგ, ჩვენ გვაქვს

მაგალითი 9.

მაგალითი 10. ∫e -x 3 x 2 dx

გამოვიყენოთ ჩანაცვლება -x 3 =t. მაშინ გვაქვს -3x 2 dx=dt და ∫e -x 3 x 2 dx=∫e t (-1/3)dt=-1/3e t +C=-1/3e -x 3 +C

მაგალითი 11.

გამოვიყენოთ ჩანაცვლება 1+sinx=t , შემდეგ cosxdx=dt და

III. ნაწილების მიერ ინტეგრაციის მეთოდი

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის მეთოდი ეფუძნება შემდეგ ფორმულას:

∫udv=uv-∫vdu

სადაც u(x),v(x) განუწყვეტლივ დიფერენცირებადი ფუნქციებია. ფორმულას ეწოდება ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ფორმულა. ეს ფორმულაგვიჩვენებს, რომ ინტეგრალი ∫udv მივყავართ ინტეგრალურ ∫vdu-მდე, რომელიც შეიძლება აღმოჩნდეს უფრო მარტივი ვიდრე ორიგინალი, ან თუნდაც ცხრილი.

მაგალითი 12. იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი ∫xe -2x dx

f(x) ფუნქციის ანტიწარმოებული F(x) არის ფუნქცია, რომლის წარმოებული ტოლია f(x):
F′(x) = f(x), x ∈ Δ,
სად Δ - პერიოდი, რომლის განმავლობაშიც იგი ხორციელდება მოცემული განტოლება.

ყველა ანტიდერივატივის სიმრავლეს განუსაზღვრელი ინტეგრალი ეწოდება:
,
სადაც C არის x ცვლადისგან დამოუკიდებელი მუდმივი.

ინტეგრაციის ძირითადი ფორმულები და მეთოდები

ინტეგრალების ცხრილი

საბოლოო მიზანიგანუსაზღვრელი ინტეგრალების გამოთვლა - გარდაქმნების საშუალებით მოცემული ინტეგრალის შემცირება უმარტივესი ან ტაბულური ინტეგრალის შემცველ გამოსახულებამდე.
იხილეთ ინტეგრალების ცხრილი >>>

ჯამების ინტეგრირების წესი (განსხვავებები)

მუდმივის გადატანა ინტეგრალური ნიშნის გარეთ

ვთქვათ c იყოს x-ისგან დამოუკიდებელი მუდმივი. მაშინ ის შეიძლება ამოღებულ იქნას ინტეგრალური ნიშნიდან:

ცვლადი ჩანაცვლება

მოდით x იყოს t ცვლადის ფუნქცია, x = φ(t), მაშინ
.
ან პირიქით, t ​​= φ(x) ,
.

ცვლადის ცვლილების გამოყენებით, თქვენ შეგიძლიათ არა მხოლოდ გამოთვალოთ მარტივი ინტეგრალები, არამედ გაამარტივოთ უფრო რთულის გამოთვლა.

ინტეგრაცია ნაწილების წესით

წილადების ინტეგრაცია (რაციონალური ფუნქციები)

შემოვიღოთ აღნიშვნა. მოდით P k (x), Q m (x), R n (x) აღვნიშნოთ k, m, n გრადუსების მრავალწევრები, შესაბამისად, x ცვლადის მიმართ.

განვიხილოთ ინტეგრალი, რომელიც შედგება მრავალწევრების წილადისაგან (ე.წ რაციონალური ფუნქცია):

თუ k ≥ n, მაშინ ჯერ უნდა აირჩიოთ წილადის მთელი ნაწილი:
.
S k-n (x) მრავალწევრის ინტეგრალი გამოითვლება ინტეგრალების ცხრილის გამოყენებით.

განუყოფელი რჩება:
, სადაც მ< n .
მის გამოსათვლელად ინტეგრანტი უნდა დაიშალოს მარტივ წილადებად.

ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ განტოლების ფესვები:
Q n (x) = 0 .
მიღებული ფესვების გამოყენებით, თქვენ უნდა წარმოადგინოთ მნიშვნელი, როგორც ფაქტორების პროდუქტი:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
აქ s არის კოეფიციენტი x n, x 2 + ex + f > 0, x 2 + gx + k > 0, ....

ამის შემდეგ დაყავით წილადი უმარტივეს ფორმად:

ინტეგრირებისას ვიღებთ გამოსახულებას, რომელიც შედგება უფრო მარტივი ინტეგრალებისგან.
ფორმის ინტეგრალები

მცირდება ცხრილის ჩანაცვლებამდე t = x - a.

განვიხილოთ ინტეგრალი:

მოდით გარდავქმნათ მრიცხველი:
.
ინტეგრანდში ჩანაცვლებით, ვიღებთ გამონათქვამს, რომელიც მოიცავს ორ ინტეგრალს:
,
.
პირველი, ჩანაცვლებით t = x 2 + ex + f, მცირდება ტაბულად.
მეორე, შემცირების ფორმულის მიხედვით:

მცირდება ინტეგრალამდე

მოდით შევამციროთ მისი მნიშვნელი კვადრატების ჯამამდე:
.
შემდეგ ჩანაცვლებით, ინტეგრალი

ასევე არის ცხრილი.

ირაციონალური ფუნქციების ინტეგრაცია

შემოვიღოთ აღნიშვნა. მოდით R(u 1, u 2, ..., u n) ნიშნავს u 1, u 2, ..., u n ცვლადების რაციონალურ ფუნქციას. ანუ
,
სადაც P, Q არის მრავალწევრები u 1, u 2, ..., u n ცვლადებში.

ფრაქციული წრფივი ირაციონალურობა

განვიხილოთ ფორმის ინტეგრალები:
,
სად - რაციონალური რიცხვი, m 1 , n 1 , ..., m s , n s - მთელი რიცხვები.
მოდით n - საერთო მნიშვნელირიცხვები r 1, ..., r s.
შემდეგ ინტეგრალი მცირდება რაციონალური ფუნქციების ინტეგრალამდე ჩანაცვლებით:
.

ინტეგრალები დიფერენციალური ბინომებიდან

განვიხილოთ ინტეგრალი:
,
სადაც m, n, p არის რაციონალური რიცხვები, a, b - რეალური რიცხვები.
ასეთი ინტეგრალები მცირდება რაციონალური ფუნქციების ინტეგრალამდე სამ შემთხვევაში.

1) თუ p არის მთელი რიცხვი. ჩანაცვლება x = t N, სადაც N არის m და n წილადების საერთო მნიშვნელი.
2) თუ - მთელი რიცხვი. ჩანაცვლება a x n + b = t M, სადაც M არის p რიცხვის მნიშვნელი.
3) თუ - მთელი რიცხვი. ჩანაცვლება a + b x - n = t M, სადაც M არის p რიცხვის მნიშვნელი.

თუ სამი რიცხვიდან არცერთი არ არის მთელი რიცხვი, მაშინ, ჩებიშევის თეორემის მიხედვით, ამ ტიპის ინტეგრალები არ შეიძლება გამოისახოს სასრული კომბინაციით. ელემენტარული ფუნქციები.

ზოგიერთ შემთხვევაში, პირველ რიგში, სასარგებლოა ინტეგრალის შემცირება უფრო მოსახერხებელ მნიშვნელობებამდე m და p. ეს შეიძლება გაკეთდეს შემცირების ფორმულების გამოყენებით:
;
.

კვადრატული ტრინომის კვადრატული ფესვის შემცველი ინტეგრალები

აქ განვიხილავთ ფორმის ინტეგრალებს:
,

ეილერის ჩანაცვლება

ასეთი ინტეგრალები შეიძლება შემცირდეს ეილერის სამი ჩანაცვლების რაციონალური ფუნქციების ინტეგრალებამდე:
, ამისთვის > 0;
, c > 0-ისთვის;
, სადაც x 1 არის a x 2 + b x + c = 0 განტოლების ფესვი. თუ ამ განტოლებას აქვს ნამდვილი ფესვები.

ტრიგონომეტრიული და ჰიპერბოლური ჩანაცვლებები

პირდაპირი მეთოდები

უმეტეს შემთხვევაში, ეილერის ჩანაცვლება იწვევს უფრო ხანგრძლივ გამოთვლებს, ვიდრე პირდაპირი მეთოდები. პირდაპირი მეთოდების გამოყენებით, ინტეგრალი მცირდება ქვემოთ ჩამოთვლილ ერთ-ერთ ფორმამდე.

ტიპი I

ფორმის ინტეგრალი:
,
სადაც P n (x) არის n ხარისხის მრავალწევრი.

ასეთი ინტეგრალები გვხვდება მეთოდით გაურკვეველი კოეფიციენტებიიდენტიფიკაციის გამოყენებით:

ამ განტოლების დიფერენცირებით და მარცხენა და მარჯვენა გვერდების გათანაბრებით ვპოულობთ A i კოეფიციენტებს.

ტიპი II

ფორმის ინტეგრალი:
,
სადაც P m (x) არის m ხარისხის მრავალწევრი.

ჩანაცვლება t = (x - α) -1ეს ინტეგრალი დაყვანილია წინა ტიპზე. თუ m ≥ n, მაშინ წილადს უნდა ჰქონდეს მთელი რიცხვი.

III ტიპის

მესამე და ყველაზე რთული ტიპი:
.

აქ თქვენ უნდა გააკეთოთ ჩანაცვლება:
.
რის შემდეგაც ინტეგრალი მიიღებს ფორმას:
.
შემდეგ, α, β მუდმივები ისე უნდა აირჩეს, რომ t-ის კოეფიციენტები ნული გახდება:
B = 0, B 1 = 0.
შემდეგ ინტეგრალი იშლება ორი ტიპის ინტეგრალის ჯამად:
;
,
რომლებიც ინტეგრირებულია, შესაბამისად, ჩანაცვლებით:
z 2 = A 1 t 2 + C 1;
y 2 = A 1 + C 1 t -2.

ზოგადი შემთხვევა

ტრანსცენდენტული (ტრიგონომეტრიული და ექსპონენციალური) ფუნქციების ინტეგრაცია

წინასწარ აღვნიშნოთ, რომ ის მეთოდები გამოიყენება ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, ასევე გამოიყენება ჰიპერბოლური ფუნქციები. ამ მიზეზით, ჰიპერბოლური ფუნქციების ინტეგრაციას ცალკე არ განვიხილავთ.

cos x-ისა და sin x-ის რაციონალური ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ინტეგრაცია

განვიხილოთ ფორმის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ინტეგრალები:
,
სადაც R არის რაციონალური ფუნქცია. ეს ასევე შეიძლება მოიცავდეს ტანგენტებს და კოტანგენტებს, რომლებიც უნდა გარდაიქმნას სინუსებისა და კოსინუსების გამოყენებით.

ასეთი ფუნქციების ინტეგრირებისას სასარგებლოა სამი წესის გათვალისწინება:
1) თუ R( cos x, sin x)გამრავლებული -1-ზე ნიშნის ცვლილებადან ერთ-ერთ რაოდენობამდე cos xან ცოდვა x, მაშინ სასარგებლოა მეორის აღნიშვნა ტ-ით.
2) თუ R( cos x, sin x)არ იცვლება ადრე იმავე დროს ნიშნის ცვლილების გამო cos xდა ცოდვა x, მაშინ სასარგებლოა ჩასმა tg x = tან cot x = t.
3) ჩანაცვლება ყველა შემთხვევაში იწვევს ინტეგრალს რაციონალური წილადი. სამწუხაროდ, ეს ჩანაცვლება იწვევს უფრო ხანგრძლივ გამოთვლებს, ვიდრე წინა, თუ ეს შესაძლებელია.

cos x-ისა და sin x-ის სიმძლავრის ფუნქციების ნამრავლი

განვიხილოთ ფორმის ინტეგრალები:

თუ m და n რაციონალური რიცხვებია, მაშინ ერთ-ერთი ჩანაცვლება t = ცოდვა xან t = cos xინტეგრალი მცირდება დიფერენციალური ბინომის ინტეგრალამდე.

თუ m და n მთელი რიცხვებია, მაშინ ინტეგრალები გამოითვლება ნაწილების ინტეგრირებით. ეს ქმნის შემდეგ შემცირების ფორმულებს:

;
;
;
.

ინტეგრაცია ნაწილების მიხედვით

ეილერის ფორმულის გამოყენება

თუ ინტეგრანტი ერთ-ერთი ფუნქციის მიმართ წრფივია
cos ცულიან სინაქსი, მაშინ მოსახერხებელია ეილერის ფორმულის გამოყენება:
e iax = cos ცული + isin ცული(სადაც მე 2 = - 1 ),
ამ ფუნქციის ჩანაცვლება e iaxდა ხაზს უსვამს რეალურს (ჩანაცვლებისას cos ცული) ან წარმოსახვითი ნაწილი(ჩანაცვლებისას სინაქსი) მიღებული შედეგიდან.

ცნობები:
ნ.მ. გიუნტერი, რ.ო. კუზმინი, პრობლემების კრებული უმაღლესი მათემატიკა, „ლან“, 2003 წ.

4.1. ინტეგრაციის მარტივი მეთოდები 4.1.1. განუსაზღვრელი ინტეგრალის ცნება

დიფერენციალურ გამოთვლაში წარმოებულის ან დიფერენციალის პოვნის პრობლემა მიმართებაში მოცემული ფუნქცია წ= F(x),ე.ი საჭირო იყო მოძებნა f(x)= F"(x)ან dF(x)= F"(x)dx= f(x)dx.დავაყენოთ შებრუნებული პრობლემა: დიფერენცირებული ფუნქციის აღდგენა, ანუ წარმოებულის ცოდნა f(x)(ან დიფერენციალური f(x)dx),იპოვნეთ ასეთი ფუნქცია F(x),რომ F"(x)= f(x).ეს ამოცანა გაცილებით რთული აღმოჩნდება, ვიდრე დიფერენციაციის ამოცანა. მაგალითად, წერტილის გადაადგილების სიჩქარე ცნობილი იყოს, მაგრამ კანონი უნდა ვიპოვოთ

მისი მოძრაობები ს= S(t),და გადაჭრის ასეთი

ამოცანები, ახალი ცნებები და მოქმედებებია წარმოდგენილი.

განმარტება.დიფერენცირებადი ფუნქცია F(x)დაურეკა ანტიდერივატიფუნქციისთვის f(x) on (ა; ბ),თუ F"(x)= f(x) on (ა; ბ).

მაგალითად, ამისთვის ვ(x) = x 2 ანტიწარმოებული რადგან

ამისთვის ვ(x) = cos xანტიწარმოებული იქნება F(x) = sin x, რადგან F"(x) = (sin x)" = cos x, რომელიც ემთხვევა ვ(x).

ყოველთვის არსებობს ანტიდერივატი მოცემული ფუნქციისთვის? f(x)?დიახ, თუ ეს ფუნქცია უწყვეტია (a; b). გარდა ამისა, უამრავი პრიმიტივი არსებობს და ისინი ერთმანეთისგან მხოლოდ მუდმივი ვადით განსხვავდებიან. მართლაც, ცოდვა x+ 2, ცოდვა x- 2, ცოდო x+ გ- ყველა ეს ფუნქცია იქნება cos-ის ანტიდერივატივები x(მუდმივი მნიშვნელობის წარმოებული არის 0) - ნახ. 4.1.

განმარტება.გამოხატულება F(x)+ C,სად თან- თვითნებური მუდმივი მნიშვნელობა, რომელიც განსაზღვრავს ფუნქციის ანტიწარმოებულთა სიმრავლეს f(x),დაურეკა განუსაზღვრელი ინტეგრალიდა მითითებულია სიმბოლოთი , ე.ი. , სადაც ნიშანი არის განუსაზღვრელი ნიშანი

განუყოფელი, f(x)- დაუძახა ინტეგრანდული ფუნქცია, f (x)dx- ინტეგრანდით, x- ინტეგრაციის ცვლადი.

ბრინჯი. 4.1.ინტეგრალური მრუდების ოჯახის მაგალითი

განმარტება.მოცემული წარმოებულიდან ან დიფერენციალიდან ანტიწარმოებულის პოვნის ოპერაციას ეწოდება ინტეგრაციაამ ფუნქციას.

ინტეგრაცია არის დიფერენციაციის საპირისპირო მოქმედება, მისი შემოწმება შესაძლებელია დიფერენციაციის გზით, ხოლო დიფერენციაცია უნიკალურია, ხოლო ინტეგრაცია იძლევა პასუხს მუდმივამდე. მუდმივი მნიშვნელობის მიცემა თანკონკრეტული ღირებულებები By-

ჩვენ ვიღებთ სხვადასხვა ფუნქციებს

რომელთაგან თითოეული ადგენს საკოორდინაციო თვითმფრინავიმრუდი ე.წ განუყოფელი.ინტეგრალური მრუდების ყველა გრაფიკი ერთმანეთის პარალელურად გადაადგილებულია ღერძის გასწვრივ ოი.მაშასადამე, გეომეტრიულად განუსაზღვრელი ინტეგრალი არის ინტეგრალური მრუდების ოჯახი.

ასე რომ, შემოღებულ იქნა ახალი ცნებები (ანტიდერივატი და განუსაზღვრელი ინტეგრალი) და ახალი მოქმედება (ინტეგრაცია), მაგრამ მაინც როგორ იპოვით ანტიწარმოებულს? ამ კითხვაზე მარტივად პასუხის გასაცემად, ჯერ უნდა შეადგინოთ და დაიმახსოვროთ ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილი. იგი მიიღება შესაბამისი დიფერენციაციის ფორმულების ინვერსიით. მაგალითად, თუ

როგორც წესი, ცხრილი შეიცავს რამდენიმე ინტეგრალს, რომლებიც მიიღება ინტეგრაციის უმარტივესი მეთოდების გამოყენების შემდეგ. ეს ფორმულები მითითებულია ცხრილში. 4.1 სიმბოლო „*“ და დასტურდება მასალის შემდგომ წარდგენაში.

ცხრილი 4.1.ძირითადი განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილი

ფორმულა 11 ცხრილიდან. 4.1 შეიძლება გამოიყურებოდეს
,

რადგან. მსგავსი შენიშვნა ფორმის შესახებ

ჯორები 13:

4.1.2. განუსაზღვრელი ინტეგრალების თვისებები

განვიხილოთ განუსაზღვრელი ინტეგრალის უმარტივესი თვისებები, რაც საშუალებას მოგვცემს გავაერთიანოთ არა მხოლოდ ძირითადი ელემენტარული ფუნქციები.

1. განუსაზღვრელი ინტეგრალის წარმოებული უდრის ინტეგრანდს:

2. განუსაზღვრელი ინტეგრალის დიფერენციალი ინტეგრადის ტოლია:

3. ფუნქციის დიფერენციალური განუსაზღვრელი ინტეგრალი უდრის თვითნებურ მუდმივთან დამატებულ ამ ფუნქციას:

მაგალითი 1. მაგალითი 2.

4. მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას ინტეგრალური ნიშნიდან: მაგალითი 3.

5.ორი ფუნქციის ჯამის ან სხვაობის ინტეგრალი ჯამის ტოლიან ამ ფუნქციების ინტეგრალების განსხვავებები:

მაგალითი 4.

ინტეგრაციის ფორმულა ძალაში რჩება, თუ ინტეგრაციის ცვლადი არის ფუნქცია: თუ რომ

თვითნებური ფუნქცია, რომელსაც აქვს უწყვეტი წარმოებული. ამ ქონებას ე.წ უცვლელობა.

მაგალითი 5. , Ამიტომაც

შეადარე

არ არსებობს ინტეგრაციის უნივერსალური მეთოდი. ქვემოთ წარმოგიდგენთ მეთოდებს, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მოცემული ინტეგრალი 1-5 თვისებების და ცხრილის გამოყენებით. 4.1.

4.1.3.პირდაპირი ინტეგრაცია

ეს მეთოდი არის პირდაპირი გამოყენებაცხრილის ინტეგრალები და თვისებები 4 და 5. მაგალითები.

4.1.4.დაშლის მეთოდი

ეს მეთოდი მოიცავს ინტეგრადის გაფართოებას უკვე ცნობილ ინტეგრალებთან ფუნქციების ხაზოვან კომბინაციაში.

მაგალითები.

4.1.5. დიფერენციალური ნიშნის გამოწერის მეთოდი

ამ ინტეგრალის ტაბულამდე შესამცირებლად, მოსახერხებელია დიფერენციალური გარდაქმნების გაკეთება.

1. წრფივი ფუნქციის დიფერენციალური ნიშნის ქვევით

აქედან
კერძოდ, dx = d(x + ბ),

დიფერენციალი არ იცვლება, თუ ცვლადს დაამატებთ

ან წაიღეთ მუდმივი მნიშვნელობა. თუ ცვლადი რამდენჯერმე იზრდება, მაშინ დიფერენციალი მრავლდება მის საპასუხო მნიშვნელობაზე. მაგალითები ხსნარებით.

მოდით შევამოწმოთ ფორმულები 9*, 12* და 14* ცხრილიდან. 4.1, დიფერენციალური ნიშნის გამოწერის მეთოდის გამოყენებით:

ქ.ე.დ.

2. ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების შეჯამება დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ:

კომენტარი.ფორმულები 15* და 16* შეიძლება დამოწმებული იყოს დიფერენციაციის გზით (იხ. თვისება 1). Მაგალითად,

და ეს არის ინტეგრირებული ფუნქცია ფორმულიდან 16*.

4.1.6. სრულყოფილი კვადრატის კვადრატული ტრინომისგან გამოყოფის მეთოდი

ისეთი გამონათქვამების ინტეგრირებისას, როგორიცაა ან

სრული კვადრატის იზოლირება კვადრატული ტრინომიალი

ცული 2 + bx+ გშესაძლებელია მათი შემცირება ცხრილის 12*, 14*, 15* ან 16*-მდე (იხ. ცხრილი 4.1).

მას შემდეგ, რაც ში ზოგადი ხედიეს ოპერაცია უფრო რთულად გამოიყურება, ვიდრე სინამდვილეშია, ამიტომ მაგალითებით შემოვიფარგლებით.

მაგალითები.

1.

გამოსავალი.აქ ჩვენ ხაზს ვუსვამთ იდეალური მოედანიკვადრატული ტრინომიდან x 2 + 6x+ 9 = (x 2 + 6x+ 9) - 9 + 5 = (x+ 3) 2 - 4 და შემდეგ ვიყენებთ დიფერენციალური ნიშნის გამოყვანის მეთოდს.

მსგავსი მსჯელობის გამოყენებით შეგვიძლია გამოვთვალოთ შემდეგი ინტეგრალები:

2. 3.

ჩართულია საბოლოო ეტაპიინტეგრაციისთვის გამოყენებული იყო ფორმულა 16*.

4.1.7. ინტეგრაციის ძირითადი მეთოდები

არსებობს ორი ასეთი მეთოდი: ცვლადის შეცვლის მეთოდი, ან ჩანაცვლება და ინტეგრაცია ნაწილებით.

ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდი

განუსაზღვრელი ინტეგრალში ცვლადის შეცვლის ორი ფორმულა არსებობს:

1) 2)

აქ არსი არის ერთფეროვანი დიფერენცირებადი ფუნქციები

მათი ცვლადების რაოდენობა.

მეთოდის გამოყენების ხელოვნება ძირითადად მდგომარეობს ფუნქციების არჩევაში ისე, რომ ახალი ინტეგრალები იყოს ცხრილის სახით ან მათზე შემცირება. საბოლოო პასუხი უნდა დაუბრუნდეს ძველ ცვლადს.

გაითვალისწინეთ, რომ დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ ჩანაცვლება არის ცვლადის ჩანაცვლების განსაკუთრებული შემთხვევა.

მაგალითები.

გამოსავალი.აქ უნდა შეიყვანოთ ახალი ცვლადიტრათა მოშორდეს კვადრატული ფესვი. დავაყენოთx+ 1 = ტ,მერე x= t 2+ 1 და dx = 2 tdt:

გამოსავალი.ჩანაცვლება x- 2 თითო ტ, ვიღებთ მონომს მნიშვნელში და ტერმინებით ნაწილებად დაყოფის შემდეგ ინტეგრალი მცირდება სიმძლავრის ფუნქციის ტაბულურ ინტეგრალამდე:

ცვლადზე გადასვლისას xგამოყენებული ფორმულები:

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის მეთოდი

ორი ფუნქციის პროდუქტის დიფერენციალი განისაზღვრება ფორმულით

ამ თანასწორობის ინტეგრირებით (იხ. თვისება 3), ჩვენ ვპოულობთ:

აქედან ეს არის ფორმულა ინტეგრაციის მიერ

ნაწილები.

ნაწილების მიერ ინტეგრაცია მოიცავს ინტეგრანის სუბიექტურ წარმოდგენას ფორმაში u . dV,და ამავე დროს ინტეგრალი უფრო ადვილი უნდა იყოს ვიდრე IN წინააღმდეგ შემთხვევაშიგანაცხადი

მეთოდს აზრი არ აქვს.

ასე რომ, ნაწილების მიერ ინტეგრაციის მეთოდი ითვალისწინებს ინტეგრანდიდან ფაქტორების იზოლირების უნარს uდა dVზემოაღნიშნული მოთხოვნების გათვალისწინებით.

წარმოგიდგენთ უამრავ ტიპურ ინტეგრალს, რომელთა ნახვა შესაძლებელია ნაწილების მიერ ინტეგრაციის მეთოდით. 1. ფორმის ინტეგრალები

სად P(x)- მრავალწევრი; კ- მუდმივი. Ამ შემთხვევაში u= P(x) და dV- ყველა სხვა ფაქტორი.

მაგალითი 1.

2. ტიპის ინტეგრალები

აქ სხვა ფაქტორებს ვათავსებთ.

მაგალითი 2.

მაგალითი 3.
მაგალითი 4.

ნებისმიერი შედეგის შემოწმება შესაძლებელია დიფერენციაციის გზით. მაგალითად, ამ შემთხვევაში

შედეგი სწორია.

3.ფორმის ინტეგრალები

სადაც ა, ბ- კონსტ. უკან uუნდა აიღოს ნაჯახი, ცოდო bxან cos bx.

მაგალითი 5.

აქედან ვიღებთ მაგალითი 6.

აქედან

მაგალითი 7.
მაგალითი 8.

გამოსავალი.აქ თქვენ ჯერ უნდა შეცვალოთ ცვლადი და შემდეგ გააერთიანოთ ნაწილების მიხედვით:

მაგალითი 9.
მაგალითი 10.

გამოსავალი.ეს ინტეგრალი თანაბარი წარმატებით შეიძლება მოიძებნოს ან ცვლადის 1 + x 2 = t 2 ჩანაცვლებით ან ნაწილებით ინტეგრირებით:

დამოუკიდებელი მუშაობა

განახორციელეთ პირდაპირი ინტეგრაცია (1-10).

გამოიყენეთ მარტივი ინტეგრაციის მეთოდები (11-46).

შეასრულეთ ინტეგრაცია ცვლადის შეცვლისა და ნაწილების მეთოდებით ინტეგრაციის გამოყენებით (47-74).