თუ ფუნქციათა სისტემის ვრონსკის განმსაზღვრელი. ვრონსკის განმსაზღვრელი

ვრონსკის განმსაზღვრელი

ვრონსკის განმსაზღვრელი ფუნქციების სისტემის დიფერენცირებადი ინტერვალზე (n-1) ჯერ არის ფუნქცია I-ზე, რომელიც მოცემულია შემდეგი მატრიცის განმსაზღვრელით:

ასევე ვრონსკიანს უწოდებენ ფუნქციას, რომელიც განისაზღვრება მეტის განმსაზღვრელით ზოგადი ხედი. კერძოდ, მოყვანილი იყოს n ვექტორული ფუნქცია n კომპონენტით. მაშინ განმსაზღვრელი ასე გამოიყურება (ამით აღვნიშნავ):

ვექტორული ფუნქცია არის ფუნქცია, რომლის მნიშვნელობები არის ვექტორები ორი, სამი ან მეტი განზომილების ვექტორულ სივრცეში. ფუნქციის არგუმენტები შეიძლება იყოს:

• 1. ერთი სკალარული ცვლადი - შემდეგ ვექტორული ფუნქციის მნიშვნელობები განისაზღვრება გარკვეულ მრუდში;
• 2. m სკალარული ცვლადები - მაშინ ვექტორული ფუნქციის მნიშვნელობები ქმნიან, ზოგადად, m განზომილებიან ზედაპირს;
• 3. ვექტორული ცვლადი - ამ შემთხვევაში ვექტორული ფუნქცია ჩვეულებრივ განიხილება როგორც ვექტორული ველი.

ვრონსკის განმსაზღვრელი გამოიყენება დიფერენციალური განტოლებების გადასაჭრელად, მაგალითად, იმის გასარკვევად, ნაპოვნია თუ არა ამონახსნები ერთგვაროვან წრფივზე. დიფერენციალური განტოლება(ან განტოლებათა სისტემები) წრფივად დამოუკიდებელი.

ვრონსკის დეტერმინანტის თვისებები

• 1. თუ წრფივად არის დამოკიდებული ინტერვალზე, მაშინ
• 2. თუ ვრონსკის განმსაზღვრელი ინტერვალზე განსხვავდება ნულიდან სულ მცირე ერთ წერტილში, მაშინ ფუნქციები წრფივად დამოუკიდებელია. საპირისპირო ზოგადად არ შეესაბამება სიმართლეს.
• 3. თუ ამონახსნებია რიგის წრფივი ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლება, მაშინ მას ე.წ. ვრონსკიანიეს განტოლება. ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ვრონსკის განმსაზღვრელი ან იდენტურია ნულის ტოლი, და ეს ნიშნავს, რომ ისინი წრფივად არიან დამოკიდებულნი, ან არ ქრება ნებისმიერ წერტილში, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქციები წრფივად დამოუკიდებელია.
• 4. თუ - წრფივი ერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნები, მაშინ ან ტოლია ნულის იდენტურად და ეს ნიშნავს, რომ ისინი წრფივად არიან დამოკიდებულნი, ან არ ქრება არცერთ წერტილში, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქციები წრფივად დამოუკიდებელია.

1. დავრწმუნდეთ, რომ წრფივად დამოკიდებული ფუნქციების ვრონსკი ნულის ტოლია:

2. ახლა შევამოწმოთ ფუნქციების წრფივი დამოუკიდებლობა:

არის წერტილები, სადაც ვრონსკი არ არის ნულოვანი (ჩვენს შემთხვევაში, ეს არის ნებისმიერი წერტილი x=0-ის გარდა). ამიტომ, ნებისმიერ ინტერვალზე ეს ფუნქციები წრფივად დამოუკიდებელი იქნება.

3. ახლა მოვიყვანოთ მაგალითი, როდესაც ვრონსკი ყველგან ნულის ტოლია, მაგრამ ფუნქციები მაინც წრფივად დამოუკიდებელია. მოდით განვსაზღვროთ ორი ფუნქცია:

ორივე ფუნქცია ყველგან დიფერენცირებადია (მათ შორის ნულზე, სადაც ორივე ფუნქციის წარმოებულები ქრება). დავრწმუნდეთ, რომ ვრონსკიანი ყველგან ნულის ტოლია:

თუმცა, ეს ფუნქციები აშკარად წრფივი დამოუკიდებელია. ჩვენ ვხედავთ, რომ ვრონსკის ტოლობა ნულთან არ იწვევს ხაზოვანი დამოკიდებულებაფუნქციების თვითნებური არჩევის შემთხვევაში.

წრფივი დიფერენციალური განტოლებების სისტემები

განმარტება. დიფერენციალური განტოლებების სისტემა ე.წ ხაზოვანი , თუ ის წრფივია ყველა უცნობი ფუნქციისა და მათი წარმოებულების მიმართ.

დიფერენციალური განტოლების სისტემის ზოგადი ხედვა

თუ საწყისი პირობაა მოცემული: , (3)

მაშინ ამონახსნი იქნება უნიკალური იმ პირობით, რომ ვექტორული ფუნქცია იყოს უწყვეტი და მატრიცის კოეფიციენტები ასევე უწყვეტი ფუნქციებია.

მოდით შემოვიტანოთ ხაზოვანი ოპერატორი, მაშინ (6) შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

თუ, მაშინ გამოძახებულია ოპერატორის განტოლება (4). ერთგვაროვანი და აქვს ფორმა:

წინააღმდეგ შემთხვევაში მას ეძახიან ჰეტეროგენული .

ვინაიდან ოპერატორი წრფივია, მისთვის შემდეგი თვისებები დაკმაყოფილებულია:

• 1. თუ ერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნი (5), მაშინ ის ასევე იქნება (5) განტოლების ამონახსნი.
• 2. თუ ისინი გამოსავალია (5), მაშინ ისინი ასევე არიან (5) გამოსავალი.

ლექციები 13. წრფივი დიფერენციალური განტოლებებინ-ე რიგი ცვლადი კოეფიციენტებით.

ხაზოვანი ერთგვაროვანი

ხაზოვანი ჰეტეროგენული n-ე რიგის დიფერენციალური განტოლება ცვლადი კოეფიციენტებით შეიძლება დაიწეროს როგორც

თუ კოეფიციენტები და მარჯვენა მხარეარის უწყვეტი ფუნქციები და მაშინ დაკმაყოფილებულია კოშის თეორემის პირობები, ერთგვაროვანი და არაერთგვაროვანი განტოლებების ამონახსნები არსებობს და უნიკალურია.

მოდით წარმოვიდგინოთ ხაზოვანი დიფერენციალური ოპერატორი

აქ აღნიშნავს დიფერენციაციის ოპერატორს.

მაშინ წრფივი ერთგვაროვანიგანტოლება შეიძლება დაიწეროს ფორმით და წრფივი არაჰომოგენური – სახით.

ვინაიდან ის წრფივია, მაშინ

ოპერატორის წრფივობის გამოყენებით, ამის დამტკიცება ადვილია თეორემები ერთგვაროვანი და არაერთგვაროვანი განტოლებების ამონახსნების თვისებებზე(ქვემოთ მითითებულია გამოსავალი ერთგვაროვანი განტოლება, - გამოსავალი არაჰომოგენური განტოლება).

თეორემები ამონახსნების თვისებებზე.

1) ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნების ჯამი ან სხვაობა არის ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნი,

2) არაჰომოგენური განტოლების ამონახსნების სხვაობა არის ერთგვაროვანი განტოლების ამოხსნა,

3) ერთგვაროვანი და არაერთგვაროვანი განტოლებების ამონახსნების ჯამი არის არაჰომოგენური განტოლების ამონახსნი.

მოდით დავამტკიცოთ ეს თეორემები.

თეორემა.ცვლადი კოეფიციენტებით წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნები ქმნიან წრფივ სივრცეს.

მტკიცებულება. ვინაიდან ერთგვაროვანი განტოლების ნებისმიერი ორი ამონახსნის ჯამი და რიცხვით ნებისმიერი ამოხსნის ნამრავლი ისევ ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნებია, ამონახსნების სიმრავლეზე რიცხვით შეკრების და გამრავლების მოქმედებები სწორად არის განსაზღვრული (ისინი არ არის მიღებული გადაწყვეტილებების ნაკრებიდან).

ხსნარები ქმნიან დანამატის ჯგუფს დამატებით (აბელიანის მოდული). მართლაც, ასოციაციურობა მიმატებით აშკარაა (ტრივიალური ამონახსნები) არის ამონახსნული ერთგვაროვანი განტოლება; მაშასადამე, ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნები წარმოადგენს დამატებით ჯგუფს. ხსნარების დანამატობა აშკარაა, ამიტომ ეს ჯგუფი არის დანამატი. ნაჩვენებია რვა აქსიომიდან ოთხის მართებულობა. არის რიცხვი "1", რომელიც არის ამონახსნი, ასოციაციურობა რიცხვზე გამრავლებასთან დაკავშირებით მართალია . ეს არის ორი აქსიომა რიცხვზე გამრავლების მოქმედებასთან დაკავშირებით. დაბოლოს, მართებულია განაწილების ორი აქსიომა, რომლებიც აკავშირებს რიცხვით შეკრებისა და გამრავლების ოპერაციებს.

ამრიგად, არსებობს რვა აქსიომისგან შემდგარი სრული ნაკრები. კიდევ ერთხელ იფიქრეთ მათზე უფრო დეტალურად სახლში.

ხაზოვანი დამოკიდებულება და დამოუკიდებლობა.

ფუნქციები ეძახიან წრფივი დამოუკიდებელი,თუ

(დაშვებულია მხოლოდ ფუნქციების ტრივიალური წრფივი კომბინაცია, რომელიც უდრის ნულს). ვექტორების წრფივი დამოუკიდებლობისგან განსხვავებით, აქ წრფივი კომბინაცია ნულის იდენტურია და არა თანასწორობა. ეს გასაგებია, ვინაიდან წრფივი კომბინაციის ტოლობა ნულამდე უნდა დაკმაყოფილდეს არგუმენტის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.

ფუნქციები ეძახიან ხაზოვანი დამოკიდებული,თუ არსებობს მუდმივთა არანულოვანი სიმრავლე (ყველა მუდმივი არ არის ნულის ტოლი) ისეთი, რომ (არსებობს ფუნქციების არატრივიალური წრფივი კომბინაცია, რომელიც იდენტურია ნულის ტოლი).

თეორემა.იმისათვის, რომ ფუნქციები იყოს წრფივად დამოკიდებული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ რომელიმე მათგანი წრფივად იყოს გამოხატული სხვების მეშვეობით (წარმოდგენილი, როგორც მათი წრფივი კომბინაცია).

დაამტკიცეთ ეს თეორემა ისე, როგორც მსგავსი თეორემა ვექტორების წრფივი დამოკიდებულების შესახებ.

ვრონსკის განმსაზღვრელი.

ფუნქციების ვრონსკის განმსაზღვრელი შემოყვანილია, როგორც განმსაზღვრელი, რომლის სვეტები არის ამ ფუნქციების წარმოებულები ნულიდან (თვითონ ფუნქციები) n-1 რიგისკენ.

.

თეორემა. თუ ფუნქციები სწორხაზოვნად არიან დამოკიდებულნი, მაშინ

მტკიცებულება. ფუნქციებიდან გამომდინარე არის წრფივად დამოკიდებული, მაშინ რომელიმე მათგანი წრფივად არის გამოხატული სხვების მეშვეობით, მაგალითად,

იდენტურობა შეიძლება დიფერენცირებული იყოს, ასე

შემდეგ ვრონსკის განმსაზღვრელი წრფივად გამოიხატება დარჩენილი სვეტების მეშვეობით, ამიტომ ვრონსკის განმსაზღვრელი იდენტურად ნულის ტოლია.

თეორემა.წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის მიზნითნწესრიგი წრფივად არის დამოკიდებული, ეს აუცილებელია და საკმარისია.

მტკიცებულება. აუცილებლობა გამომდინარეობს წინა თეორემიდან.

ადეკვატურობა. დავაფიქსიროთ რაღაც წერტილი. ვინაიდან , მაშინ ამ წერტილში გამოთვლილი განმსაზღვრელი სვეტები წრფივად წარმოადგენენ დამოკიდებული ვექტორები.

, რომ ურთიერთობები დაკმაყოფილებულია

ვინაიდან წრფივი ჰომოგენური განტოლების ამონახსნების წრფივი კომბინაცია არის მისი ამონახსნი, ჩვენ შეგვიძლია შემოვიტანოთ ფორმის ამონახსნები

ამონახსნების წრფივი კომბინაცია იგივე კოეფიციენტებით.

გაითვალისწინეთ, რომ ეს ამონახსნი აკმაყოფილებს ნულოვან საწყის პირობებს, ეს გამომდინარეობს ზემოთ დაწერილი განტოლებების სისტემიდან. მაგრამ წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების ტრივიალური ამოხსნა ასევე აკმაყოფილებს იმავე ნულოვან საწყის პირობებს. მაშასადამე, კოშის თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ შემოღებული ამონახსნები იდენტურად უდრის ტრივიალურს, შესაბამისად,

ამიტომ ამონახსნები წრფივია დამოკიდებული.

შედეგი.თუ ვრონსკის განმსაზღვრელი, რომელიც აგებულია წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნებზე, ქრება სულ მცირე ერთ წერტილში, მაშინ ის იდენტურად ნულის ტოლია.

მტკიცებულება. თუ , მაშინ ამონახსნები წრფივია დამოკიდებული, შესაბამისად, .

თეორემა.1. ამონახსნების წრფივი დამოკიდებულებისათვის აუცილებელია და საკმარისი(ან).

2. გადაწყვეტილებების წრფივი დამოუკიდებლობისთვის ეს აუცილებელია და საკმარისია.

მტკიცებულება. პირველი დებულება გამომდინარეობს ზემოთ დადასტურებული თეორემიდან და დასკვნადან. მეორე განცხადება ადვილად შეიძლება დადასტურდეს წინააღმდეგობით.

მოდით, გადაწყვეტილებები იყოს ხაზოვანი დამოუკიდებელი. თუ , მაშინ ამონახსნები წრფივია დამოკიდებული. წინააღმდეგობა. აქედან გამომდინარე, .

დაე . თუ ამონახსნები წრფივად არის დამოკიდებული, მაშინ , შესაბამისად, წინააღმდეგობა. აქედან გამომდინარე, გადაწყვეტილებები ხაზოვანი დამოუკიდებელია.

შედეგი.ვრონსკის დეტერმინანტის გაუჩინარება ერთ წერტილში მაინც არის ამონახსნების წრფივი დამოკიდებულების კრიტერიუმი წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების მიმართ.

ვრონსკის განმსაზღვრელსა და ნულს შორის სხვაობა არის წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნების წრფივი დამოუკიდებლობის კრიტერიუმი.

თეორემა.წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების ამოხსნის სივრცის ზომანრიგის ტოლიან.

მტკიცებულება.

1. ვაჩვენოთ, რომ არსებობს n წრფივად დამოუკიდებელი ამონახსნები n-ე რიგის წრფივი ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლებისთვის. განვიხილოთ გადაწყვეტილებები , რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ საწყის პირობებს:

...........................................................

ასეთი გადაწყვეტილებები არსებობს. მართლაც, კოშის თეორემის მიხედვით, წერტილის მეშვეობით გადის ერთი ინტეგრალური მრუდი - ამონახსნი. წერტილის მეშვეობით გამოსავალი გადის წერტილში

- გამოსავალი, წერტილის მეშვეობით - გამოსავალი.

ეს გადაწყვეტილებები წრფივად დამოუკიდებელია, ვინაიდან .

2. ვაჩვენოთ, რომ წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების ნებისმიერი ამონახსნი წრფივად არის გამოხატული ამ ამონახსნებით (არის მათი წრფივი კომბინაცია).

განვიხილოთ ორი გამოსავალი. ერთი არის თვითნებური გადაწყვეტილება საწყისი პირობები . სამართლიანი თანაფარდობა

..........................................................................

მეორე გამოსავალი არის ამონახსნების წრფივი კომბინაცია იგივე კოეფიციენტებით.

ამოხსნის წერტილში საწყისი პირობების გამოთვლით, ჩვენ ვრწმუნდებით, რომ ისინი ემთხვევა ამოხსნის საწყის პირობებს. შესაბამისად, კოშის თეორემის მიხედვით, თვითნებური ამონახსნები წარმოდგენილია როგორც წრფივი დამოუკიდებელი ამონახსნების წრფივი კომბინაცია.

ამრიგად, არსებობს n წრფივი დამოუკიდებელი ამონახსნები n-ე რიგის წრფივი ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლებისთვის და თვითნებური ამონახსნები წრფივად გამოხატულია ამ ამონახსნების მიხედვით. მაშასადამე, n-ე რიგის წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის სივრცის განზომილება უდრის n-ს. .

n-ე რიგის წრფივი ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლების ნებისმიერი n წრფივი დამოუკიდებელი ამონახსნები არის საფუძველი გადაწყვეტის სივრცეებიან გადაწყვეტილებების ფუნდამენტური სისტემა.

თეორემა ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამოხსნის სტრუქტურის შესახებ.

წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნი არის ფუნდამენტური სისტემის ამონახსნების წრფივი კომბინაცია.

მტკიცებულება. ვაჩვენოთ, რომ წრფივი კომბინაცია

არის ზოგადი ამონახსნები (აკმაყოფილებს ზოგადი ამოხსნის განმარტების პუნქტებს)

1. - წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების ამოხსნა, როგორც ამონახსნების წრფივი კომბინაცია.

2. დავაყენოთ თვითნებური საწყისი პირობები , ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ შესაძლებელია ისეთი მუდმივების შერჩევა, რომ ისინი აკმაყოფილებენ ამ საწყის პირობებს.

.........................................................................

ეს არის მუდმივებისთვის ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემა. ამ სისტემის განმსაზღვრელი არის ვრონსკის განმსაზღვრელი. ის არ არის ნულის ტოლი, რადგან ამონახსნები წრფივად დამოუკიდებელია. აქედან გამომდინარე, მუდმივები განისაზღვრება ამ სისტემიდან საწყისი პირობების მიხედვით - სისტემის მარჯვენა მხარეები - უნიკალური გზით.

აქედან გამომდინარე, - ზოგადი გადაწყვეტა.

კომენტარი.ვრონსკის განმსაზღვრელი (როგორც ნებისმიერი განმსაზღვრელი) არის ორიენტირებული n-განზომილებიანი მოცულობა, რომელიც გადაჭიმულია ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის ამოხსნის ვექტორებზე.

ოსტროგრადსკი-ლიუვილის ფორმულა.

განვიხილოთ წრფივი ერთგვაროვანი განტოლება

ვრონსკის განმსაზღვრელი შეიძლება გამოითვალოს ოსტროგრადსკი-ლიუვილის ფორმულა

.

ოსტროგრადსკი-ლიუვილის ფორმულის წარმოშობა.

არსებობს დეტერმინანტის წარმოებულის ცნობილი ფორმულა

.

გამოვთვალოთ ...+

0+...+0+ .

, .

კომენტარი. ოსტროგრადსკი-ლიუვილის ფორმულა მოიცავს მხოლოდ ორი უმაღლესი წარმოებულის კოეფიციენტებს.

განვიხილოთ განსაკუთრებული შემთხვევამეორე რიგის განტოლებები.

აქ ოსტროგრადსკი-ლიუვილის ფორმულა უფრო მარტივად შეიძლება გამოვიტანოთ. განვიხილოთ ორი კონკრეტული გამოსავალი

გავამრავლოთ პირველი განტოლება, მეორე კი და გამოვაკლოთ პირველი განტოლება მეორეს.

იმიტომ რომ , შემდეგ = .

ახლა განტოლება შეიძლება გადაიწეროს როგორც . ამ განტოლების განცალკევებული ცვლადებით ამოხსნისას მივიღებთ ოსტროგრადსკი-ლიუვილის ფორმულას

მეორე კონკრეტული გადაწყვეტის აგების ფორმულა ცნობილიდან

(ფუნდამენტური სისტემის აგება).

.

მოდით გავყოთ განტოლების ორივე მხარე

.

აქედან. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ კონკრეტული გამოსავალი, ამიტომ ვირჩევთ C = 1, C 1 = 0, მივიღებთ .

თეორემა არაჰომოგენური განტოლების ზოგადი ამოხსნის სტრუქტურის შესახებ.

წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნები არის წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლების კონკრეტული ამოხსნისა და ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნის ჯამი.

მტკიცებულება. მოდით ვაჩვენოთ, რომ ეს არის არაჰომოგენური განტოლების ზოგადი ამოხსნა.

1. - არაერთგვაროვანი განტოლების ამოხსნა, როგორც ერთგვაროვანი და არაერთგვაროვანი განტოლებათა ამონახსნები (თეორემები ამონახსნების თვისებებზე).

დეფ. 14.5.3.1.ფუნქციონალური სისტემა წ 1 (x ), წ 2 (x ), …, წ ნ (x ) ეწოდება წრფივად დამოკიდებულიინტერვალზე ( ა , ბ ), თუ არსებობს მუდმივი კოეფიციენტების ერთობლიობა, რომელიც ერთდროულად არ არის ნულის ტოლი, ისეთი, რომ ამ ფუნქციების წრფივი კომბინაცია იდენტურია ნულის ტოლი ( ა , ბ ): ამისთვის
.

თუ თანასწორობისთვის
შესაძლებელია მხოლოდ ფუნქციური სისტემით წ 1 (x ), წ 2 (x ), …, წ ნ (x ) ეწოდება წრფივი დამოუკიდებელიინტერვალზე ( ა , ბ ).

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფუნქციები წ 1 (x ), წ 2 (x ), …, წ ნ (x ) წრფივად დამოკიდებულიინტერვალზე ( ა , ბ ), თუ არის ნულის ტოლი ( ა , ბ ) მათი არატრივიალური წრფივი კომბინაცია. ფუნქციები წ 1 (x ), წ 2 (x ), …, წ ნ (x ) წრფივი დამოუკიდებელიინტერვალზე ( ა , ბ ), თუ მხოლოდ მათი ტრივიალური წრფივი კომბინაცია უდრის ნულს ( ა , ბ ).

მაგალითები: 1. ფუნქციები 1, x , x 2 , x 3 წრფივად დამოუკიდებელია ნებისმიერ ინტერვალზე ( ა , ბ ). მათი ხაზოვანი კომბინაცია
- ხარისხის მრავალწევრი
- არ შეიძლება ჩართული ( ა , ბ ) მეტი სამი ფესვი, ასე რომ, თანასწორობა
შესაძლებელია მხოლოდ.

3. ფუნქციები
წრფივად დამოუკიდებელი ნებისმიერ ინტერვალზე ( ა , ბ ), თუ
. მართლაც, თუ, მაგალითად,
, შემდეგ თანასწორობა
ხდება ერთ წერტილში
.

4. ფუნქციონალური სისტემა
ასევე წრფივად დამოუკიდებელია თუ რიცხვები კ მე (მე = 1, 2, …, ნ ) წყვილში განსხვავებულია, მაგრამ ამ ფაქტის პირდაპირი დადასტურება საკმაოდ რთულია.

როგორც ზემოთ მოყვანილი მაგალითებიდან ჩანს, ზოგიერთ შემთხვევაში ფუნქციების წრფივი დამოკიდებულება ან დამოუკიდებლობა დასტურდება მარტივად, ზოგ შემთხვევაში ეს მტკიცებულება უფრო რთულია. აქედან გამომდინარე, საჭიროა მარტივი უნივერსალური ინსტრუმენტი, რომელიც უპასუხებს კითხვას ფუნქციების ხაზოვანი დამოკიდებულების შესახებ. ასეთი ინსტრუმენტი - ვრონსკის განმსაზღვრელი.

დეფ. 14.5.3.2. ვრონსკის განმსაზღვრელი (ვრონსკიანი)სისტემები ნ - 1 ჯერ დიფერენცირებადი ფუნქციები წ 1 (x ), წ 2 (x ), …, წ ნ (x ) ეწოდება განმსაზღვრელი

. (2 6 )

14.5.3.3. თეორემა ფუნქციათა წრფივად დამოკიდებული სისტემის ვრონსკის შესახებ. თუ ფუნქციების სისტემა წ 1 (x ), წ 2 (x ), …, წ ნ (x ) წრფივად დამოკიდებულიინტერვალზე ( ა , ბ ), მაშინ ამ სისტემის ვრონსკიანი იდენტურად უდრის ნულს ამ ინტერვალზე.

დოკუმენტი. თუ ფუნქციები წ 1 (x ), წ 2 (x ), …, წ ნ (x ) წრფივია დამოკიდებული ინტერვალზე ( ა , ბ ), შემდეგ არის ნომრები
, რომელთაგან ერთი მაინც არ არის ნულოვანი, ისეთი რომ

ამისთვის
. (27)

მოდით განვასხვავოთ x თანასწორობა (27) ნ - 1 ჯერ და შექმენით განტოლებათა სისტემა

ამ სისტემას განვიხილავთ, როგორც ალგებრულ განტოლებათა ერთგვაროვან წრფივ სისტემას მიმართ
. ამ სისტემის განმსაზღვრელი არის ვრონსკის განმსაზღვრელი (26). ყოველ წერტილში
ამ სისტემას აქვს არატრივიალური გადაწყვეტა
მაშასადამე, თითოეულ წერტილში
მისი განმსაზღვრელი არის ნული. ასე რომ, ვ (x ) = 0 საათზე
, ე.ი.
ზე ( ა , ბ ).

14.5.4. ამონახსნების თვისებები წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების (25).

14.5.4.1. თეორემა წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ნაწილობრივი ამონახსნების სივრცის წრფივობის შესახებ. წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ნაწილობრივი ამონახსნების სიმრავლე ქმნის წრფივ სივრცეს.

დოკუმენტი. საჭიროა დაამტკიცოს, რომ წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ნაწილობრივი ამონახსნები (25) (ან, რომელიც იგივეა, (21)), ე.ი. არანაკლებ ნ ჯერ დიფერენცირებადი ფუნქციები წ (x ) რისთვისაც ლ ნ (წ ) = 0, არის წრფივი სივრცე. ამისათვის საკმარისია იმის დამტკიცება, რომ თუ ფუნქციები წ , წ 1 (x ), წ 2 (x ) არის კონკრეტული გადაწყვეტილებები (25), შემდეგ ფუნქციები Cy , წ 1 (x ) + წ 2 (x ) ასევე ნაწილობრივი ხსნარებია (25). მართლაც, ნივთის თვისებების გამოყენებით 14.5.2. ხაზოვანი დიფერენციალური ოპერატორი და მისი თვისებები, ვიღებთ

თუ ლ ნ (წ ) = 0, მაშინ ლ ნ (Cy ) = C.L. ნ (წ ) = 0;

თუ ლ ნ (წ 1) = 0 და ლ ნ (წ 2) = 0, მაშინ ლ ნ (წ 1 + წ 2) = ლ ნ (წ 1) + ლ ნ (წ 2) = 0.

შედეგი. თუ წ 1 (x ), წ 2 (x ), …, წ ნ (x ) არის (25) განტოლების ნაწილობრივი ამონახსნები, შემდეგ მათი წრფივი კომბინაცია C 1 წ 1 (x ) + C 2 წ 2 (x ) + …+ C ნ წ ნ (x ) ასევე არის ამ განტოლების კონკრეტული ამოხსნა.

ახლა ჩვენ ვიმუშავებთ ამ სივრცის განზომილების დადგენაზე და მის საფუძველზე. ჯერ ჩამოვაყალიბოთ და დავამტკიცოთ განტოლების ამონახსნების სისტემის ვრონსკის განმსაზღვრელი რამდენიმე თვისება (25).

თეორემა 14.5.4.2.დაე წ 1 (x ), წ 2 (x ), …, წ ნ (x ) - წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ნაწილობრივი ამონახსნები. თუ ფუნქციების ამ სისტემის ვრონსკის განმსაზღვრელი რაღაც მომენტში ნულის ტოლია
, შემდეგ ფუნქციების სისტემა წ 1 (x ), წ 2 (x ), …, წ ნ (x ) არის წრფივად დამოკიდებული და მისი ვრონსკის განმსაზღვრელი იდენტურად უდრის ნულს ( ა , ბ ).

დოკუმენტი. დაე . მაშინ ერთგვაროვანი სისტემაწრფივი ალგებრული განტოლებები, რისთვისაც ვ (x 0) არის განმსაზღვრელი,

აქვს არატრივიალური გადაწყვეტა დაკავშირებით C 1 , C 2 , …, C ნ . განვიხილოთ ფუნქციების წრფივი კომბინაცია წ 1 (x ), წ 2 (x ), …, წ ნ (x ) ამ კოეფიციენტებით C 1 , C 2 , …, C ნ : წ (x ) = C 1 წ 1 (x ) + C 2 წ 2 (x ) + …+ + C ნ წ ნ (x ). ეს ფუნქცია აკმაყოფილებს განტოლებას (25) და, როგორც ზემოთ მოყვანილი სისტემიდან ჩანს, აქვს ნულოვანი საწყისი პირობები წერტილში. x 0, ე.ი. არის კოშის პრობლემის გადაწყვეტა

იგივე ქოშის პრობლემა ასევე კმაყოფილია ფუნქციით წ (x ) = 0, იდენტურად უდრის ნულს ინტერვალზე ( ა , ბ ). კოშის პრობლემის გადაწყვეტის უნიკალურობის გამო წ (x ) = C 1 წ 1 (x ) + C 2 წ 2 (x ) + …+ C ნ წ ნ (x ) = 0 ნებისმიერისთვის
. ამრიგად, ფუნქციების სისტემა წ 1 (x ), წ 2 (x ), …, წ ნ (x ) წრფივად არის დამოკიდებული ( ა , ბ ), და მიერ თეორემა 14.5.4 წრფივად დამოკიდებული სისტემის ვრონსკის შესახებმისი ვრონსკის განმსაზღვრელი იდენტურად უდრის ნულს ( ა , ბ ).

თეორემა 14.5.4.3. თუ ვრონსკის განმსაზღვრელი ვ (x ) სისტემები წ 1 (x ), წ 2 (x ), …, წ ნ (x ) წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ნაწილობრივი ამონახსნები რაღაც მომენტში ნულისაგან განსხვავდება
, ეს ვ (x ) განსხვავდება ნულისაგან ამ ინტერვალის ნებისმიერ წერტილში.

დოკუმენტიადვილად ხორციელდება წინააღმდეგობით. თუ დავუშვებთ, რომ რაღაც მომენტში
ვრონსკის განმსაზღვრელი უდრის ნულს, შემდეგ წინა თეორემით იგი იდენტურად უდრის ნულს ( ა , ბ ), რაც ეწინააღმდეგება პირობას
.

თეორემა 14.5.4.4. თუ ვ (x ) - ვრონსკის სისტემის განმსაზღვრელი წ 1 (x ), წ 2 (x ), …, წ ნ (x ) წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ნაწილობრივი ამონახსნები, მაშინ ან
ინტერვალზე ( ა , ბ ) (რაც ნიშნავს ამ ამონახსნების წრფივ დამოკიდებულებას ( ა , ბ )), ან
ამ ინტერვალის ნებისმიერ წერტილში (რაც ნიშნავს ამ ამონახსნების წრფივ დამოუკიდებლობას ( ა , ბ )).

14.5.5. ფუნდამენტური სისტემაწრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ამონახსნები. თეორემა წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ამონახსნების ზოგადი ამონახსნის სტრუქტურის შესახებ. ამ ნაწილში ჩვენ დავამტკიცებთ, რომ ერთგვაროვანი განტოლების ნაწილობრივი ამონახსნების წრფივი სივრცის საფუძველი შეიძლება იყოს ნებისმიერი სიმრავლე ნ მისი ხაზოვანი დამოუკიდებელი გადაწყვეტილებები.

დეფ. 14.5.5.1. გადაწყვეტილებების ფუნდამენტური სისტემა. გადაწყვეტილებების ფუნდამენტური სისტემაწრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლება ნ -ე რიგი არის ნებისმიერი წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა წ 1 (x ), წ 2 (x ), …, წ ნ (x ) მისი ნ პირადი გადაწყვეტილებები.

თეორემა 14.5.5.1.1 წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნის სტრუქტურის შესახებ. ზოგადი გამოსავალი წ (x ) წრფივი ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლება არის ფუნქციების წრფივი კომბინაცია ამ განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემიდან:

წ (x ) = C 1 წ 1 (x ) + C 2 წ 2 (x ) + …+ C ნ წ ნ (x ).

დოკუმენტი. დაე წ 1 (x ), წ 2 (x ), …, წ ნ (x ) არის წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა. საჭიროა რაიმე კონკრეტული გადაწყვეტის დამტკიცება წ რა ( x ) ამ განტოლების ამ განტოლების შეიცავს ფორმულას წ (x ) = C 1 წ 1 (x ) + C 2 წ 2 (x ) + …+ C ნ წ ნ (x C 1 , C 2 , …, C ნ . ავიღოთ ნებისმიერი წერტილი
, გამოთვალეთ რიცხვები ამ ეტაპზე და იპოვეთ მუდმივები C 1 , C 2 , …, C ნ როგორც ალგებრული განტოლებათა წრფივი არაერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნი

ასეთი გამოსავალი არსებობს და უნიკალურია, ვინაიდან ამ სისტემის განმსაზღვრელი ტოლია
. განვიხილოთ ხაზოვანი კომბინაცია წ (x ) = C 1 წ 1 (x ) + C 2 წ 2 (x ) + …+ C ნ წ ნ (x ) ფუნქციები ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემიდან მუდმივების ამ მნიშვნელობებით C 1 , C 2 , …, C ნ და შევადაროთ ფუნქციას წ რა ( x ). ფუნქციები წ (x ) და წ რა ( x ) დააკმაყოფილებს იმავე განტოლებას და იმავე საწყის პირობებს წერტილში x 0, შესაბამისად, კოშის პრობლემის გადაწყვეტის უნიკალურობის გამო, ისინი ემთხვევა: წ რა ( x ) = C 1 წ 1 (x ) + C 2 წ 2 (x ) + … + C ნ წ ნ (x ). თეორემა დადასტურდა.

ამ თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ უწყვეტი კოეფიციენტებით ერთგვაროვანი განტოლების ნაწილობრივი ამონახსნების წრფივი სივრცის განზომილება არ აღემატება ნ . რჩება იმის მტკიცება, რომ ეს განზომილება არ არის ნაკლები ნ .

თეორემა 14.5.5.1.2 წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის არსებობის შესახებ. ნებისმიერი წრფივი ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლება ნ უწყვეტი კოეფიციენტებით რიგითს აქვს ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა, ე.ი. სისტემადან ნ ხაზოვანი დამოუკიდებელი გადაწყვეტილებები.

დოკუმენტი. ავიღოთ ნებისმიერი რიცხვითი განმსაზღვრელი ნ - ბრძანება, არა ნულის ტოლი

დაე წ 1 (x ), წ 2 (x ), …, წ ნ (x ) - ამ პრობლემების გადაწყვეტა. ეს სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია ( ა , ბ ), ვინაიდან მისი ვრონსკის განმსაზღვრელი წერტილი x 0 არის მოცემული რიცხვითი განმსაზღვრელი და განსხვავდება ნულისაგან, შესაბამისად, ეს არის ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა. თეორემა დადასტურდა.

ამრიგად, ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ უწყვეტი კოეფიციენტებით ერთგვაროვანი განტოლების ნაწილობრივი ამონახსნების წრფივი სივრცის განზომილება ტოლია ნ და ამ სივრცეში საფუძველი არის გადაწყვეტილებების ნებისმიერი ფუნდამენტური სისტემა. ასეთი განტოლების ზოგადი ამონახსნი უდრის ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის ფუნქციების წრფივ კომბინაციას. რჩება კითხვა - როგორ მოვძებნოთ გადაწყვეტილებების ფუნდამენტური სისტემა; გამოდის, რომ ზოგად შემთხვევაში ეს შესაძლებელია მხოლოდ განტოლების შემთხვევაში მუდმივი კოეფიციენტები. ჩვენ შევეხებით ამას შემდეგში; ჯერ განვიხილოთ ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნების მთელი რიგი თვისებები.

14.5.6. ლიუვილის ფორმულა.

თეორემა 14.5.6.1. ვრონსკის სისტემის განმსაზღვრელი წ 1 (x ), წ 2 (x ), …, წ ნ (x ) ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნები აკმაყოფილებს განტოლებას, სადაც გვ 1 (x ) - კოეფიციენტი ზე ნ - 1 წარმოებული.

დოკუმენტი. მოდით დავამტკიცოთ ეს თეორემა მეორე რიგის განტოლებისთვის. დაე წ 1 (x ), წ 2 (x ) არის ამ განტოლების ნაწილობრივი ამონახსნები, მაშინ , .

იმიტომ რომ წ 1 (x ), წ 2 (x ) არის განტოლების ამონახსნები, მაშინ

კვადრატული ფრჩხილებიდან პირველი შეიცავს ვ (x ), მეორეში -
მაშასადამე, რისი დამტკიცება იყო საჭირო.

ამ თეორემის ზოგად შემთხვევაში დასამტკიცებლად, თქვენ უნდა იცოდეთ ფუნქციური დეტერმინანტების დიფერენცირების წესი: დეტერმინანტის წარმოებული. ნ რიგითი ტოლია ჯამის ნ დეტერმინანტები, რომლებიც მიიღება თავდაპირველი დეტერმინანტისგან მწკრივი-მწკრივი დიფერენციირებით. ვრონსკის განმსაზღვრელისთვის

პირველიდან ნ - 1 დეტერმინანტი შეიცავს თანაბარი სიმებიდა ტოლია ნულის. თითოეული ფუნქცია წ 1 (x ), წ 2 (x ), …, წ ნ (x ) აკმაყოფილებს განტოლებას ; მაშასადამე, ამ გამონათქვამების ბოლო სტრიქონში ჩასმა და დეტერმინანტების თვისებების გამოყენებით მივიღებთ

მოდი გადავწყვიტოთ ეს განტოლება ვ (x ). ფუნქცია ვ (x ) = 0 არის ამ განტოლების ამონახსნი; თუ
, ეს
ჩვენ ვაერთიანებთ ბოლო გამოხატულებას დიაპაზონში from x 0-მდე x :

(ჩვენ გავუქმეთ წილადის მოდულის ნიშანი, რადგან ვ (x ) - უწყვეტი ფუნქცია, რომელიც არ ქრება, ამიტომ ღირებულებები ვ (x ) და ვ (x 0) ყოველთვის აქვს იგივე ნიშანი). ბოლოს და ბოლოს

. (28)

ფორმულა (28) ეწოდება ლიუვილის ფორმულას. წინა მონაკვეთების შედეგებიც მისგან გამომდინარეობს: თუ ვ (x 0) = 0, მაშინ
; თუ
, ეს
ინტერვალის არცერთ წერტილში ( ა , ბ ).

14.5.7. წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების რეკონსტრუქცია ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემიდან.მოდით, მოცემულია ფუნქციების სისტემა წ 1 (x ), წ 2 (x ), …, წ ნ (x ) სეგმენტზე ნულოვანი ( ა , ბ ) ვრონსკიანი ვ (x ). საჭიროა წრფივი ჰომოგენური განტოლების აგება, რომლის ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა შედგება ფუნქციებისგან წ 1 (x ), წ 2 (x ), …, წ ნ (x ).

ეს პრობლემა მარტივად შეიძლება მოგვარდეს. ვინაიდან ამ განტოლების ზოგადი ამონახსნი უნდა იყოს ტოლი

წ (x ) = C 1 წ 1 (x ) + C 2 წ 2 (x ) + …+ C ნ წ ნ (x ), ფუნქციური სისტემა წ (x ), წ 1 (x ), წ 2 (x ), …, წ ნ (x ) არის წრფივი დამოკიდებული, ამიტომ მისი ვრონსკის განმსაზღვრელი (წესრიგის ნ + 1) უნდა იყოს ნულის ტოლი:

პირველ სვეტში ამ დეტერმინანტის გაფართოებით, ჩვენ ვიღებთ საჭირო განტოლებას. მაგალითი: შექმენით წრფივი განტოლება, რომლის ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა ტოლია წ 1 (x ) = cos x , წ 2 (x )= x 3. გამოსავალი:

გაითვალისწინეთ, რომ უმაღლესი წარმოებულის კოეფიციენტი ტოლია ფუნდამენტური ამოხსნის სისტემის ვრონსკის:
შემდგომი გარდაქმნები იძლევა , ან . ეს არის აუცილებელი განტოლება. მისი კოეფიციენტები უწყვეტია ნებისმიერ ინტერვალზე, რომელზეც
.

14.5.8. წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების რიგის შემცირება, თუ ცნობილია მისი რომელიმე კონკრეტული ამონახსნები.ნება ამისთვის წრფივი განტოლება

ცნობილია კონკრეტული გამოსავალი წ 1 (x ). ჩანაცვლება წ (x ) = ზ (x ) წ 1 (x ), ეს განტოლება შეიძლება გარდაიქმნას განტოლებად, რომელიც შეიძლება შემცირდეს თანმიმდევრობით. მოდით ვაჩვენოთ ეს იდეა მეორე რიგის განტოლების მაგალითის გამოყენებით. დაე წ 1 (x ) არის ამ განტოლების კონკრეტული ამოხსნა, ე.ი. . მოდით გადავიდეთ ცვლადზე ზ (x ) ასოცირდება წ (x ) თანაფარდობა წ (x )=ზ (x )წ 1 (x ). შემდეგ; ჩვენ ვცვლით ამ გამონათქვამებს განტოლებაში:

ბოლო განტოლება არ შეიცავს აშკარად უცნობ ფუნქციას ზ (x ), ამიტომ იძლევა შეკვეთის შემცირებას. განხილული მეორე რიგის განტოლების შემთხვევაში ვიღებთ პირველი რიგის წრფივ განტოლებას, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია:

შეიძლება დადასტურდეს, რომ ფუნქციების სისტემის ვრონსკი
უდრის
, ე.ი. განსხვავდება ნულისაგან და შესაბამისად ფუნქციისგან წ 1 (x ), წ 2 (x ) ქმნიან გადაწყვეტილებების ფუნდამენტურ სისტემას. შესაძლებელია, პირიქით, გამოთქმის მოპოვება წ 2 (x ) ეფუძნება ვრონსკის ამ მნიშვნელობას მათი ლიუვილის ფორმულის მიხედვით. მოდით დავწეროთ ლიუვილის ფორმულა შემდეგნაირად:

ამ გამოთქმის გაყოფა წ 1 (x ), (წ 1 (x )) 2 , მივიღებთ
. მარცხნივ გამოხატულება არის წილადის წარმოებული
, სწორედ ამიტომ
. მოდით ინტეგრირება:
,
და რადგან ჩვენ ვეძებთ გამოსავალს წ 2 (x ), წრფივად დამოუკიდებელი ერთად წ 1 (x ), შემდეგ ვიღებთ
.

ამოხსნა: ეს არის წრფივი ერთგვაროვანი განტოლება, მისი ზოგადი ამოხსნის პოვნა ნიშნავს ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის პოვნას. როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ზოგად შემთხვევაში, ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის პოვნა შესაძლებელია მხოლოდ მუდმივი კოეფიციენტების მქონე განტოლებისთვის, მაგრამ ზოგიერთ შემთხვევაში შესაძლებელია განტოლების სტრუქტურის საფუძველზე კონკრეტული ამონახსნების პოვნა. განსახილველ შემთხვევაში განტოლების კოეფიციენტები მოიცავს სიმძლავრეებს x და ლნ x , ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ სცადოთ მოძებნოთ კონკრეტული გამოსავალი ფორმაში წ = x კ ან წ = ჟურნალი x . დავუშვათ, რომ განტოლებას აქვს ფორმის კონკრეტული ამონახსნი წ 1 = x კ . შემდეგ; ამ გამონათქვამების განტოლებაში ჩანაცვლების შემდეგ მივიღებთ,
. განტოლება დაკმაყოფილებულია თუ
ეს ხდება მხოლოდ მაშინ, როდესაც კ = 1. ასე რომ, ფუნქცია წ 1 (x ) = x არის ამ განტოლების განსაკუთრებული ამოხსნა. მეორე ნაწილობრივი ამონახსნის საპოვნელად, პირველთან წრფივად დამოუკიდებელი, განტოლებას ვამცირებთ ფორმამდე უმაღლესი წარმოებულის კოეფიციენტით, რომელიც უდრის ერთიანობას:

და გამოიყენეთ ფორმულა
:

ამრიგად, ამ განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემაა: წ 1 (x ) = x , წ 2 (x ) = ჟურნალი x , მისი ზოგადი გადაწყვეტა წ (x ) = C 1 x + C 2 ლნ x .

14.5.9. თეორემა წრფივი არაერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნის სტრუქტურის შესახებ. თეორემა ამონახსნების დაწესების შესახებ.ჩვენ დავადგინეთ, რომ წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების ამოსახსნელად აუცილებელია მისი ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის პოვნა. ამ განყოფილებაში ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ არაჰომოგენური განტოლების ამონახსნი მცირდება ერთგვაროვანის ამონახსნით, თუ შესაძლებელია ამ არაერთგვაროვანი განტოლების კონკრეტული ამოხსნის პოვნა. სამართლიანი

თემა 14.5.9.1 წრფივი არაჰომოგენური დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნის სტრუქტურის შესახებ.წრფივი არაჰომოგენური დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა ინტერვალზე უწყვეტი ფუნქციებით ( ა , ბ ) კოეფიციენტები და მარჯვენა მხარე

(2 0 )

უდრის შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნის ჯამს

(2 1 )

და არაჰომოგენური განტოლების კონკრეტული ამონახსნი (20):

წ ის ( x ) = წ ოო ( x ) + წ ჩნ ( x ) = (C 1 წ 1 (x ) + C 2 წ 2 (x ) + …+ C ნ წ ნ (x )) + წ ჩნ ( x ).

დოკუმენტი. ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ, რომ თუ კონკრეტული გამოსავალი ცნობილია წ ჩნ ( x ) არაჰომოგენური განტოლების (20), შემდეგ მისი ნებისმიერი სხვა კონკრეტული ამონახსნის
შეიძლება მივიღოთ მუდმივთა გარკვეული სიმრავლის ფორმულით C 1 , C 2 , …, C ნ . მას შემდეგ, რაც წ ჩნ ( x ), და
- ამონახსნები არაჰომოგენური განტოლების (20), შემდეგ ლ ნ (წ ჩნ ( x ))=ვ (x ) და
მაშასადამე, ოპერატორის წრფივობით ლ ნ (წ ), . ფუნქცია
აკმაყოფილებს ერთგვაროვან განტოლებას, ამიტომ იგი შეიცავს ფორმულას C 1 წ 1 (x ) + C 2 წ 2 (x ) + …+ C ნ წ ნ (x ) მუდმივთა გარკვეული სიმრავლისთვის C 1 , C 2 , …, C ნ : . ამრიგად, სწორედ ამის დამტკიცება იყო საჭირო.

წინა თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ წრფივი არაჰომოგენური დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნის საპოვნელად აუცილებელია მისი კონკრეტული ამონახსნის ცოდნა. აქ ჩვენ ჩამოვაყალიბებთ და დავამტკიცებთ თეორემას, რომელიც საშუალებას გვაძლევს შევიყვანოთ კონკრეტული ამონახსნის პოვნა არაჰომოგენურ განტოლებამდე ფორმის მარჯვენა მხარეს (
- მუდმივები) ამ განტოლების ნაწილობრივი ამონახსნების პოვნის ალბათ უფრო მარტივ პრობლემას ფორმის მარჯვენა მხარეებით ვ (x ) = ვ 1 (x ), ვ (x )=ვ 2 (x ):

თეორემა 14.5.9.2 ამონახსნების დაწესების შესახებ.თუ წ 1, ჩნ ( x ლ ნ (წ ) = ვ 1 (x ), წ 2, ჩნ ( x ) არის არაჰომოგენური განტოლების კონკრეტული ამონახსნი ლ ნ (წ ) = ვ 2 (x ), მაშინ ფუნქცია არის არაჰომოგენური განტოლების კონკრეტული ამოხსნა.

დოკუმენტიოპერატორის წრფივობაზე დაყრდნობით ლ ნ (წ ): , რისი დამტკიცება იყო საჭირო.

14.5.10. ლაგრანჟის მეთოდი (თვითნებური მუდმივების ცვალებადობის მეთოდი) არაჰომოგენური განტოლების ამოხსნისათვის.ახლა ჩვენ ვიცით, როგორ არის სტრუქტურირებული როგორც არაჰომოგენური წრფივი განტოლების (მისი კონკრეტული ამონახსნის ჯამი და შესაბამისი ჰომოგენური განტოლების ზოგადი ამონახსნები) ასევე ჰომოგენური წრფივი განტოლების (ფუნქციების წრფივი კომბინაცია ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემისგან) ზოგადი ამონახსნები. . რჩება კითხვა: როგორ მოვძებნოთ გადაწყვეტილებების ფუნდამენტური სისტემა და კონკრეტული გამოსავალი? გამოდის, რომ ზოგად შემთხვევაში, ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა შეიძლება მოიძებნოს მხოლოდ მუდმივი კოეფიციენტების მქონე განტოლებისთვის (და განტოლებები, რომლებიც მცირდება მუდმივი კოეფიციენტების განტოლებამდე). ასეთ განტოლებებს ქვემოთ განვიხილავთ და ამ ნაწილში განვიხილავთ არაჰომოგენური განტოლების ამოხსნის თვითნებური მუდმივების ცვალებადობის მეთოდს. მნიშვნელოვანია, რომ ეს მეთოდი მუშაობს, თუ ცნობილია წრფივი განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა. ჩვენ წარმოგიდგენთ ამ მეთოდის მთავარ იდეას მეორე რიგის არაჰომოგენური განტოლების უმარტივესი შემთხვევისთვის.

. (29 )

დაე წ 1 (x ), წ 2 (x ) - შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა

წ ოო ( x ) = C 1 წ 1 (x ) + C 2 წ 2 (x ) არის ერთგვაროვანი განტოლების (30) ზოგადი ამონახსნები. ლაგრანგის მეთოდის იდეა შემდეგია. ჩვენ ვეძებთ არაჰომოგენური განტოლების (29) ზოგად ამოხსნას იმავე ფორმით წ (x )=C 1 (x )წ 1 (x ) + C 2 (x )წ 2 (x ), იმის გათვალისწინებით, რომ მუდმივები C 1 , C 2 - არა მუდმივები, არამედ ფუნქციები დამოკიდებულია x : C 1 = C 1 (x ), C 2 = C 2 (x ). ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ეს ფუნქციები. წარმოებულის პოვნა
: . შემდეგ ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ მეორე წარმოებული. ვისარგებლოთ იმით, რომ ერთი ფუნქციის ნაცვლად წ (x ) ჩვენ ვეძებთ ორ ფუნქციას C 1 (x ) და C 2 (x ), და, შედეგად, ჩვენ შეგვიძლია დავაწესოთ თვითნებური კავშირი ამ ფუნქციებზე. მეორე წარმოებულის გამოხატვის მიზნით
ფუნქციების მეორე წარმოებულები არ იყო ჩართული C 1 (x ) და C 2 (x ), როგორც ეს კავშირი ჩვენ ვაყენებთ

. (3 1 )

ჩვენ ვცვლით გამონათქვამებს წ (x ) და მისი წარმოებულები განტოლებაში (29):

მოდით გარდავქმნათ:

კვადრატულ ფრჩხილებში გამოსახულებები ნულოვანია, რადგან ფუნქციებია წ 1 (x ), წ 2 (x ) - ამონახსნები ერთგვაროვანი განტოლების (30), შესაბამისად, საბოლოოდ

განტოლებები (31), (32) იძლევა ფუნქციების დახურულ სისტემას
და
:

(33)

ამ სისტემის განმსაზღვრელი ემთხვევა ფუნქციების ვრონსკიანს წ 1 (x ), წ 2 (x ) და შესაბამისად განსხვავდება ნულისაგან, შესაბამისად სისტემას აქვს ერთადერთი გამოსავალი
,
. ამ ამონახსნების პოვნა და წარმოებული გამონათქვამების ინტეგრირება
და
, ვიღებთ C 1 (x ) და C 2 (x წ (x ) = C 1 წ 1 (x ) + C 2 წ 2 (x ).

მაგალითი: იპოვნეთ განტოლების ზოგადი ამონახსნი.

ჩვენ დავიწყეთ ამ პრობლემის გადაჭრა განყოფილებაში 14.5.8. წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების რიგის შემცირება. ნაპოვნია შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა და მისი ზოგადი ამონახსნები წ ოო ( x ) = C 1 x + C 2 ლნ x . ვარიაციის მეთოდის შესაბამისად, ჩვენ ვეძებთ ამონახსანს არაჰომოგენური განტოლებისთვის უმაღლესი წარმოებულის კოეფიციენტით, რომელიც შემცირებულია ფორმაში ერთიანობამდე. წ (x ) = C 1 (x ) x + C 2 (x ) ლნ x . სისტემა (33) წარმოებული კოეფიციენტებისთვის
და
იქნება ასეთი:

პასუხი: განტოლების ზოგადი ამოხსნა წ (x ) = C 1 წ 1 (x ) + C 2 წ 2 (x ) = (- x ლნ x + C 1 0)x +

(საბოლოო პასუხში მუდმივებისთვის ინდექსი „0“ გამოტოვებულია).

არაჰომოგენური განტოლების ზოგად შემთხვევაში ნ - ბრძანება,

თუ ცნობილია ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა წ 1 (x ), წ 2 (x ), …, წ ნ (x ) შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების, არაჰომოგენური განტოლების ამონახსნი მოძებნილია ფორმით

წ (x ) = C 1 (x ) წ 1 (x ) + C 2 (x ) წ 2 (x ) + …+ C ნ (x ) წ ნ (x ). მაშინ

ჩვენ ვითხოვთ ფუნქციების წარმოებულების შემცველი ტერმინების ჯამს C მე (x ), ე.ი. ისე რომ ჯამი კვადრატულ ფრჩხილში ნულის ტოლია:

ისევ დავაყენოთ და ა.შ. ამისთვის ნ -წარმოებული მივიღებთ

წარმოებულების გამონათქვამების ჩანაცვლება არაჰომოგენურ განტოლებაში და იმის გათვალისწინებით, რომ ფუნქციები წ მე (x ) დავაკმაყოფილოთ შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლება, მივიღებთ .

წარმოებულებისთვის ადრე მიღებულ ურთიერთობებთან ერთად
ვიღებთ განტოლებათა სისტემას

ამ სისტემის განმსაზღვრელი, როგორც ნ = 2, ემთხვევა ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის ვრონსკიანს, შესაბამისად, სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნები
. ამ გადაწყვეტის პოვნა და ინტეგრირება, ჩვენ ვპოულობთ C მე (x) (მე = 1, 2, …, ნ ), და აქედან გამომდინარე, არაჰომოგენური განტოლების (29) ზოგადი ამოხსნა. წ (x ) = C 1 (x ) წ 1 (x ) + C 2 (x ) წ 2 (x ) + …+ C ნ (x ) წ ნ (x ).

14.5.11. წრფივი განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტებით.ზემოთ არაერთხელ აღინიშნა, რომ იმ შემთხვევაში, როდესაც წრფივი განტოლების კოეფიციენტები მუდმივია ( გვ მე (x ) = ა მე = კონსტი, მე = 1, 2, …, ნ ), ჩვენ ვახერხებთ ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის პოვნას. განვიხილოთ ეს შემთხვევა.

14.5.11.1. წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტებით.მოდით განტოლების კოეფიციენტები

(3 4 )

მუდმივია განხილულ ინტერვალზე ( ა , ბ ) (ა მე = const at მე = 1, 2, …, ნ ). (34) განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის (FSS) საპოვნელად, ვივარაუდოთ, რომ ამ განტოლების ამონახსნებს აქვთ ფორმა y = ე kx . მაშინ . ამ გამონათქვამების წარმოებულებით ჩანაცვლება (34) და მისი შემცირება ე kx , ვიღებთ ალგებრული განტოლება ნ ე ხარისხი

კ ნ + ა 1 კ ნ -1 + ა 2 კ ნ -2 + ა 3 კ ნ -3 + …. + ა ნ = 0 . (35)

განტოლება (35) ეწოდება დამახასიათებელი განტოლებაგანტოლება (34). ამ განტოლებას აქვს ნ (შესაძლოა რთული ფესვები) კ 1 , კ 2 , …, კ ნ , რომელთაგან ზოგიერთი შეიძლება ერთმანეთის ტოლი იყოს. თითოეული ეს ფესვი შეესაბამება FSR-ის ფუნქციას. წესი, რომლითაც FSR იქმნება, შემდეგია:

თუ კ ჯ - მარტივი ნამდვილი ფესვიდამახასიათებელი განტოლება (ანუ სიმრავლის ფესვი რ = 1), მაშინ ის შეესაბამება ფუნქციას
FSR-ში;

თუ კ ჯ - სიმრავლის დამახასიათებელი განტოლების რეალური ფესვი რ > 1 (ე.ი. კ ჯ = კ ჯ +1 = კ ჯ +2 = …= კ ჯ + რ -1), მაშინ ფესვების ეს ნაკრები შეესაბამება FSR-ში ფუნქციების ერთობლიობას;

თუ
- დამახასიათებელი განტოლების მარტივი რთული ფესვი (აქ
- წარმოსახვითი ერთეული), მაშინ დამახასიათებელი განტოლების ფესვი ასევე იქნება მისი კონიუგატი კ ჯ ნომერი
. კ ჯ , კ ჯ წყვილი ფესვები
,
FSR-ში;

თუ
+1 ემთხვევა ფუნქციას რ - დამახასიათებელი სიმრავლის განტოლების რთული ფესვი
. კ ჯ , კ ჯ > 1, მაშინ იგივე სიმრავლის დამახასიათებელი განტოლების ფესვი იქნება რიცხვი რ +1, რომელთაგან თითოეულს აქვს მრავლობითი
,
,
,
,
,
, ….,
,
> 1, შეესაბამება ფუნქციების სიმრავლეს

FSR-ში. ნ ჩვენ მივცემთ ამ წესის დასაბუთებას საქმისთვის

. (36 )

= 2. განვიხილოთ მეორე რიგის განტოლება კ 2 + ა 1 კ + ა მისი დამახასიათებელი განტოლება 2 = 0, დისკრიმინაციული მნიშვნელობის მიხედვით = ა 1 2 - 4ა დ

2, შეიძლება ჰქონდეს კ 1 , კ 2 (2 = 0, დისკრიმინაციული მნიშვნელობის მიხედვით 1. ნამდვილი უთანასწორო ფესვები
> 0). ფუნქციები

, მათი განსაზღვრის მეთოდით, არის (36) განტოლების ამონახსნები. ფუნქციების ამ სისტემის ვრონსკი
.

აქედან გამომდინარე, ეს არის გადაწყვეტილებების ფუნდამენტური სისტემა. (36) განტოლების ზოგადი ამონახსნი ამ შემთხვევაში არის
2. ნამდვილი თანაბარი ფესვები
. ფუნქცია
, როგორც წინა შემთხვევაში, (36) განტოლების ამონახსნი. დავამტკიცოთ, რომ ფუნქცია

იმიტომ რომ კ ასევე აკმაყოფილებს განტოლებას:
1 - დამახასიათებელი განტოლების ფესვი:
. ფუნქციები

- გადაწყვეტილებების ფუნდამენტური სისტემა, ვინაიდან

ამ შემთხვევაში (36) განტოლების ზოგადი ამონახსნი არის .
3. რთული ფესვები. ამ შემთხვევაში სად

. ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ, რომ ფუნქციები

დააკმაყოფილეთ განტოლება. ჩვენ ვპოულობთ:

ჩაანაცვლეთ განტოლებაში:
განვიხილოთ ცალკე კოეფიციენტები
: ,
და ზე
. ასე რომ,
, ე.ი. ფუნქცია
ნამდვილად არის განტოლების ამოხსნა. ანალოგიურად შეიძლება დადასტურდეს, რომ ფუნქცია

- განტოლების ამოხსნა. ფუნქციების ამ სისტემის იაკობიანი არის:

იმათ. ეს არის ფუნდამენტური გადაწყვეტილების სისტემა. ამ შემთხვევაში (36) განტოლების ზოგადი ამონახსნი არის . კ 2 + 4 კ დამახასიათებელი განტოლება კ - 5 = 0. მისი ფესვები წ 1 (x ) = ე -5 x , წ 2 (x ) = ე x 2 = 1. გადაწყვეტილებების ფუნდამენტური სისტემა წ (x ) = C 1 ე -5 x + C 2 ე x .

, ზოგადი გადაწყვეტა კ 2 - 40 კ დამახასიათებელი განტოლება 16
+ 73 = 0. მისი ფესვებია . ფუნდამენტური გადაწყვეტის სისტემა
.

, ზოგადი გადაწყვეტა კ 2 + 112 კ დამახასიათებელი განტოლება 64
+ 73 = 0. მისი ფესვებია . ფუნდამენტური გადაწყვეტის სისტემა
.

+ 49 = 0. მისი ფესვებია . ფუნდამენტური გადაწყვეტის სისტემა კ 7 + 2კ 6 + 8კ 4 +16კ ეს არის მე-7 რიგის განტოლება, მისი დამახასიათებელი განტოლება კ 3 (კ 4 + 2 კ 3 + 8 კ + 16) = კ 3 [კ 3 (კ + 2) + 8(კ + 2)] = კ 3 (კ + 2)( კ 3 + 8) =

= კ 3 (კ + 2)(კ + 2)(კ 2 -2კ + 4) = კ 3 (კ + 2) 2 (კ 2 - 2კ 3 = 0. გარდაქმენით მისი მარცხენა მხარე: კ 1,2,3 = 0, კ 4,5 = -2,
.

+ 4). ფესვები: წ 1 = ე 0 x = 1, წ 2 = ფუნდამენტური გადაწყვეტის სისტემა 0 x = x , წ 2 = x 2 ე 0 x = x 2 , წ 4 = ე -2 x , წ 5 = ფუნდამენტური გადაწყვეტის სისტემა -2 x xe

ფუნქციების ვრონსკის განმსაზღვრელი შემოყვანილია, როგორც განმსაზღვრელი, რომლის სვეტები არის ამ ფუნქციების წარმოებულები ნულიდან (თვითონ ფუნქციები) n-1 რიგისკენ.

.

თეორემა. თუ ფუნქციები სწორხაზოვნად არიან დამოკიდებულნი, მაშინ

მტკიცებულება. ფუნქციებიდან გამომდინარე არის წრფივად დამოკიდებული, მაშინ რომელიმე მათგანი წრფივად არის გამოხატული სხვების მეშვეობით, მაგალითად,

იდენტურობა შეიძლება დიფერენცირებული იყოს, ასე

შემდეგ ვრონსკის განმსაზღვრელი წრფივად გამოიხატება დარჩენილი სვეტების მეშვეობით, ამიტომ ვრონსკის განმსაზღვრელი იდენტურად ნულის ტოლია.

თეორემა.იმისათვის, რომ n-ე რიგის წრფივი ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლების ამონახსნები იყოს წრფივად დამოკიდებული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ.

მტკიცებულება. აუცილებლობა გამომდინარეობს წინა თეორემიდან.

ადეკვატურობა. დავაფიქსიროთ რაღაც წერტილი. ვინაიდან , ამ ეტაპზე გამოთვლილი განმსაზღვრელი სვეტები წრფივად დამოკიდებული ვექტორებია.

, რომ ურთიერთობები დაკმაყოფილებულია

ვინაიდან წრფივი ჰომოგენური განტოლების ამონახსნების წრფივი კომბინაცია არის მისი ამონახსნი, ჩვენ შეგვიძლია შემოვიტანოთ ფორმის ამონახსნები

ამონახსნების წრფივი კომბინაცია იგივე კოეფიციენტებით.

გაითვალისწინეთ, რომ ეს ამონახსნი აკმაყოფილებს ნულოვან საწყის პირობებს, ეს გამომდინარეობს ზემოთ დაწერილი განტოლებების სისტემიდან. მაგრამ წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების ტრივიალური ამოხსნა ასევე აკმაყოფილებს იმავე ნულოვან საწყის პირობებს. მაშასადამე, კოშის თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ შემოღებული ამონახსნები იდენტურად უდრის ტრივიალურს, შესაბამისად,

ამიტომ ამონახსნები წრფივია დამოკიდებული.

შედეგი.თუ ვრონსკის განმსაზღვრელი, რომელიც აგებულია წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნებზე, ქრება სულ მცირე ერთ წერტილში, მაშინ ის იდენტურად ნულის ტოლია.

მტკიცებულება. თუ , მაშინ ამონახსნები წრფივია დამოკიდებული, შესაბამისად, .

თეორემა.1. ამონახსნების წრფივი დამოკიდებულებისათვის აუცილებელია და საკმარისი(ან).

2. გადაწყვეტილებების წრფივი დამოუკიდებლობისთვის ეს აუცილებელია და საკმარისია.

მტკიცებულება. პირველი დებულება გამომდინარეობს ზემოთ დადასტურებული თეორემიდან და დასკვნადან. მეორე განცხადება ადვილად შეიძლება დადასტურდეს წინააღმდეგობით.

მოდით, გადაწყვეტილებები იყოს ხაზოვანი დამოუკიდებელი. თუ , მაშინ ამონახსნები წრფივია დამოკიდებული. წინააღმდეგობა. აქედან გამომდინარე, .

დაე . თუ ამონახსნები წრფივად არის დამოკიდებული, მაშინ , შესაბამისად, წინააღმდეგობა. აქედან გამომდინარე, გადაწყვეტილებები ხაზოვანი დამოუკიდებელია.

შედეგი.ვრონსკის დეტერმინანტის გაუჩინარება ერთ წერტილში მაინც არის ამონახსნების წრფივი დამოკიდებულების კრიტერიუმი წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების მიმართ.

ვრონსკის განმსაზღვრელსა და ნულს შორის სხვაობა არის წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნების წრფივი დამოუკიდებლობის კრიტერიუმი.

თეორემა.n-ე რიგის წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნების სივრცის განზომილება უდრის n-ს.

მტკიცებულება.

ა) ვაჩვენოთ, რომ არსებობს n წრფივად დამოუკიდებელი ამონახსნები n-ე რიგის წრფივი ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლებისთვის. განვიხილოთ გადაწყვეტილებები , რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ საწყის პირობებს:

...........................................................

ასეთი გადაწყვეტილებები არსებობს. მართლაც, კოშის თეორემის მიხედვით, წერტილის მეშვეობით გადის ერთი ინტეგრალური მრუდი - ამონახსნი. წერტილის მეშვეობით გამოსავალი გადის წერტილში

- გამოსავალი, წერტილის მეშვეობით - გამოსავალი.

ეს გადაწყვეტილებები წრფივად დამოუკიდებელია, ვინაიდან .

ბ) ვაჩვენოთ, რომ წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების ნებისმიერი ამონახსნი წრფივად არის გამოხატული ამ ამონახსნებით (არის მათი წრფივი კომბინაცია).

განვიხილოთ ორი გამოსავალი. ერთი - თვითნებური გადაწყვეტა საწყისი პირობებით . სამართლიანი თანაფარდობა