მთელი რიცხვების დაყოფა ნაშთით, წესები, მაგალითები. გაყოფა ნაშთით

რიცხვთა გაყოფის ნიშნები- ეს არის წესები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ შედარებით სწრაფად გაიგოთ, გაყოფის გარეშე, იყოფა თუ არა ეს რიცხვი მოცემულ რიცხვზე ნაშთის გარეშე.
Ზოგიერთი გაყოფის ნიშნებისაკმაოდ მარტივი, ზოგიერთი უფრო რთული. ამ გვერდზე ნახავთ მარტივი რიცხვების გაყოფის ორივე ნიშანს, როგორიცაა, მაგალითად, 2, 3, 5, 7, 11, და შედგენილი რიცხვების გაყოფის ნიშნები, როგორიცაა 6 ან 12.
ვიმედოვნებ, რომ ეს ინფორმაცია თქვენთვის სასარგებლო იქნება.
ბედნიერი სწავლა!

2-ზე გაყოფის ტესტი

ეს გაყოფის ერთ-ერთი უმარტივესი ნიშანია. ეს ასე ჟღერს: თუ ნატურალური რიცხვის აღნიშვნა მთავრდება ლუწი ციფრით, მაშინ ის ლუწია (ნარჩენის გარეშე იყოფა 2-ზე), ხოლო თუ ნატურალური რიცხვის აღნიშვნა კენტი ციფრით სრულდება, მაშინ ეს რიცხვი კენტია. .
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ რიცხვის ბოლო ციფრია 2 , 4 , 6 , 8 ან 0 - რიცხვი იყოფა 2-ზე, თუ არა, მაშინ არ იყოფა
მაგალითად, ნომრები: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 იყოფა 2-ზე, რადგან ისინი ლუწია.
ნომრები: 23 5 , 137 , 2303
ისინი არ იყოფა 2-ზე, რადგან კენტია.

3-ზე გაყოფის ტესტი

გაყოფის ამ ნიშანს სრულიად განსხვავებული წესები აქვს: თუ რიცხვის ციფრების ჯამი იყოფა 3-ზე, მაშინ რიცხვი იყოფა 3-ზე; თუ რიცხვის ციფრების ჯამი არ იყოფა 3-ზე, მაშინ რიცხვი არ იყოფა 3-ზე.
ეს ნიშნავს, რომ იმისათვის, რომ გავიგოთ არის თუ არა რიცხვი 3-ზე, თქვენ უბრალოდ უნდა დაამატოთ ის რიცხვები, რომლებიც მას ქმნიან.
ეს ასე გამოიყურება: 3987 და 141 იყოფა 3-ზე, რადგან პირველ შემთხვევაში 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - იყოფა 3-ზე), ხოლო მეორეში 1+4+1= 6 (6:3=2 - ასევე იყოფა 3-ზე).
მაგრამ რიცხვები: 235 და 566 არ იყოფა 3-ზე, რადგან 2+3+5= 10 და 5+6+6= 17 (და ჩვენ ვიცით, რომ არც 10 და არც 17 არ იყოფა სამზე ნაშთის გარეშე).

4-ზე გაყოფის ტესტი

გაყოფის ეს ნიშანი უფრო რთული იქნება. თუ რიცხვის ბოლო 2 ციფრი ქმნის რიცხვს, რომელიც იყოფა 4-ზე ან ის არის 00, მაშინ რიცხვი იყოფა 4-ზე, წინააღმდეგ შემთხვევაში მოცემული რიცხვი ნაშთის გარეშე არ იყოფა 4-ზე.
მაგალითად: 1 00 და 3 64 იყოფა 4-ზე, რადგან პირველ შემთხვევაში რიცხვი მთავრდება 00 , ხოლო მეორეზე 64 , რომელიც თავის მხრივ იყოფა 4-ზე ნაშთის გარეშე (64:4=16)
ნომრები 3 57 და 8 86 არ იყოფა 4-ზე, რადგან არც ერთი 57 არც ერთი 86 არ იყოფა 4-ზე, რაც ნიშნავს, რომ ისინი არ შეესაბამება გაყოფის ამ კრიტერიუმს.

გაყოფის ტესტი 5-ზე

და ისევ გვაქვს გაყოფის საკმაოდ მარტივი ნიშანი: თუ ნატურალური რიცხვის აღნიშვნა მთავრდება 0-ით ან 5-ით, მაშინ ეს რიცხვი იყოფა 5-ზე ნაშთის გარეშე, თუ რიცხვის აღნიშვნა მთავრდება სხვა ციფრით რიცხვი ნაშთის გარეშე არ იყოფა 5-ზე.
ეს ნიშნავს, რომ ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც მთავრდება ციფრებით 0 და 5 მაგალითად 1235 წ 5 და 43 0 , ექვემდებარება წესს და იყოფა 5-ზე.
და, მაგალითად, 1549 წ 3 და 56 4 არ დასრულდეს 5-ით ან 0-ით, რაც ნიშნავს, რომ მათი დაყოფა 5-ზე ნაშთის გარეშე შეუძლებელია.

6-ზე გაყოფის ტესტი

ჩვენამდე გვაქვს შედგენილი რიცხვი 6, რომელიც არის 2 და 3 რიცხვების ნამრავლი. ამიტომ, 6-ზე გაყოფის ნიშანიც შედგენილია: იმისათვის რომ რიცხვი იყოფა 6-ზე, ის უნდა შეესაბამებოდეს ორ ნიშანს. გასაყოფად ერთდროულად: გაყოფის ნიშანი 2-ზე და გაყოფის ნიშანი 3-ზე. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ისეთ შედგენილ რიცხვს, როგორიცაა 4, აქვს გაყოფის ინდივიდუალური ნიშანი, რადგან ის თავისთავად არის 2-ის ნამრავლი. მაგრამ დავუბრუნდეთ 6-ზე გაყოფის ტესტს.
რიცხვები 138 და 474 ლუწია და აკმაყოფილებენ 3-ზე გაყოფის კრიტერიუმებს (1+3+8=12, 12:3=4 და 4+7+4=15, 15:3=5), რაც ნიშნავს, რომ ისინი იყოფა. 6-ზე. მაგრამ 123 და 447, თუმცა ისინი იყოფა 3-ზე (1+2+3=6, 6:3=2 და 4+4+7=15, 15:3=5), მაგრამ ისინი კენტია, რაც ნიშნავს, რომ ისინი არ შეესაბამება 2-ზე გაყოფის კრიტერიუმს და, შესაბამისად, არ შეესაბამება 6-ზე გაყოფის კრიტერიუმს.

7-ზე გაყოფის ტესტი

გაყოფის ეს ტესტი უფრო რთულია: რიცხვი იყოფა 7-ზე, თუ ამ რიცხვის ათეულთა რიცხვიდან ბოლო ციფრის ორჯერ გამოკლების შედეგი იყოფა 7-ზე ან 0-ის ტოლი.
საკმაოდ დამაბნეველად ჟღერს, მაგრამ პრაქტიკაში მარტივია. ნახეთ თქვენთვის: ნომერი 95 9 იყოფა 7-ზე, რადგან 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 იყოფა 7-ზე ნაშთის გარეშე). უფრო მეტიც, თუ სირთულეები წარმოიქმნება ტრანსფორმაციის დროს მიღებულ რიცხვთან (მისი ზომის გამო ძნელია იმის გაგება, იყოფა თუ არა 7-ზე, მაშინ ეს პროცედურა შეიძლება იმდენჯერ გაგრძელდეს, რამდენჯერაც საჭიროდ ჩათვლით).
Მაგალითად, 45 5 და 4580 1-ს აქვს 7-ზე გაყოფის თვისებები. პირველ შემთხვევაში ყველაფერი საკმაოდ მარტივია: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. მეორე შემთხვევაში ჩვენ ამას გავაკეთებთ: 4580 -2*1=4580-2=4578. ჩვენთვის ძნელია იმის გაგება, თუ არა 457 8 7-ზე, ასე რომ გავიმეოროთ პროცესი: 457 -2*8=457-16=441. და ისევ გამოვიყენებთ გაყოფის ტესტს, რადგან ჯერ კიდევ გვაქვს სამნიშნა რიცხვი წინ 44 1. ასე რომ, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, ე.ი. 42 იყოფა 7-ზე ნაშთის გარეშე, რაც ნიშნავს, რომ 45801 იყოფა 7-ზე.
აი ნომრები 11 1 და 34 5 არ იყოფა 7-ზე, რადგან 11 -2*1=11-2=9 (9 არ იყოფა 7-ზე) და 34 -2*5=34-10=24 (24 ნაშთის გარეშე არ იყოფა 7-ზე).

გაყოფის ტესტი 8-ზე

8-ზე გაყოფის ტესტი ასე ჟღერს: თუ ბოლო 3 ციფრი ქმნის რიცხვს, რომელიც იყოფა 8-ზე, ან არის 000, მაშინ მოცემული რიცხვი იყოფა 8-ზე.
ნომრები 1 000 ან 1 088 იყოფა 8-ზე: პირველი მთავრდება 000 , მეორე 88 :8=11 (ნაშთის გარეშე იყოფა 8-ზე).
და აქ არის რიცხვები 1 100 ან 4 757 არ იყოფა 8-ზე, რადგან რიცხვები 100 და 757 ნაშთის გარეშე არ იყოფა 8-ზე.

გაყოფის ტესტი 9-ზე

გაყოფის ეს ნიშანი 3-ზე გაყოფის ნიშნის მსგავსია: თუ რიცხვის ციფრების ჯამი იყოფა 9-ზე, მაშინ რიცხვი იყოფა 9-ზე; თუ რიცხვის ციფრების ჯამი არ იყოფა 9-ზე, მაშინ რიცხვი არ იყოფა 9-ზე.
მაგალითად: 3987 და 144 იყოფა 9-ზე, რადგან პირველ შემთხვევაში 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - იყოფა 9-ზე ნაშთის გარეშე), ხოლო მეორეში 1+4+4= 9 (9:9=1 - ასევე იყოფა 9-ზე).
მაგრამ რიცხვები: 235 და 141 არ იყოფა 9-ზე, რადგან 2+3+5= 10 და 1+4+1= 6 (და ჩვენ ვიცით, რომ არც 10 და არც 6 არ იყოფა 9-ზე ნაშთის გარეშე).

10, 100, 1000 და სხვა ციფრულ ერთეულებზე გაყოფის ნიშნები

მე გავაერთიანე გაყოფის ეს ნიშნები, რადგან მათი აღწერა შეიძლება ერთნაირად: რიცხვი იყოფა ციფრულ ერთეულზე, თუ რიცხვის ბოლოს ნულების რიცხვი მეტია ან ტოლია მოცემული ციფრული ერთეულის ნულების რიცხვზე. .
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ გვაქვს შემდეგი ნომრები: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . რომელთაგან ყველა იყოფა 1-ზე 0 ; 46400 და 867 000 ასევე იყოფა 1-ზე 00 ; და მათგან მხოლოდ ერთია 867 000 იყოფა 1-ზე 000 .
ნებისმიერი რიცხვი, რომელსაც აქვს ციფრულ ერთეულზე ნაკლები ნული, არ იყოფა ამ ციფრულ ერთეულზე, მაგალითად 600. 30 და 7 93 არ იყოფა 1 00 .

გაყოფის ტესტი 11-ზე

იმისათვის, რომ გაარკვიოთ არის თუ არა რიცხვი 11-ზე, თქვენ უნდა მიიღოთ სხვაობა ამ რიცხვის ლუწი და კენტი ციფრების ჯამებს შორის. თუ ეს სხვაობა 0-ის ტოლია ან იყოფა 11-ზე ნარჩენის გარეშე, მაშინ თავად რიცხვი იყოფა 11-ზე ნარჩენის გარეშე.
უფრო გასაგებად, მე გთავაზობთ მაგალითების ნახვას: 2 35 4 იყოფა 11-ზე, რადგან ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 ასევე იყოფა 11-ზე, რადგან ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
აი 1 1 1 ან 4 35 4 არ იყოფა 11-ზე, რადგან პირველ შემთხვევაში ვიღებთ (1+1)- 1 =1 და მეორეში ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

გაყოფის ტესტი 12-ზე

რიცხვი 12 არის კომპოზიტური. მისი გაყოფის ნიშანია 3-ზე და 4-ზე გაყოფის ნიშნებთან შესაბამისობა.
მაგალითად, 300 და 636 შეესაბამება 4-ზე გაყოფის ნიშნებს (ბოლო 2 ციფრი არის ნული ან იყოფა 4-ზე) და გაყოფის ნიშანს 3-ზე (როგორც პირველი, ასევე მესამე რიცხვის ციფრების ჯამი იყოფა. 3-ზე), მაგრამ საბოლოოდ, ისინი იყოფა 12-ზე ნაშთის გარეშე.
მაგრამ 200 ან 630 არ იყოფა 12-ზე, რადგან პირველ შემთხვევაში რიცხვი აკმაყოფილებს მხოლოდ 4-ზე გაყოფის კრიტერიუმს, ხოლო მეორეში - მხოლოდ 3-ზე გაყოფის კრიტერიუმს, მაგრამ არა ორივე კრიტერიუმს ერთდროულად.

გაყოფის ტესტი 13-ზე

13-ზე გაყოფის ნიშანია ის, რომ თუ 4-ზე გამრავლებული ამ რიცხვის ერთეულებზე დამატებული ათეულების რიცხვი არის 13-ის ნამრავლი ან 0-ის ტოლი, მაშინ თავად რიცხვი იყოფა 13-ზე.
ავიღოთ მაგალითად 70 2. ასე რომ, 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 იყოფა 13-ზე ნაშთის გარეშე), რაც ნიშნავს 70 2 იყოფა 13-ზე ნაშთის გარეშე. კიდევ ერთი მაგალითი არის რიცხვი 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. რიცხვი 130 იყოფა 13-ზე ნაშთის გარეშე, რაც ნიშნავს, რომ მოცემული რიცხვი შეესაბამება 13-ზე გაყოფის კრიტერიუმს.
თუ ავიღებთ ციფრებს 12 5 ან 21 2, შემდეგ მივიღებთ 12 +4*5=32 და 21 +4*2=29 შესაბამისად და არც 32 და არც 29 არ იყოფა 13-ზე ნაშთის გარეშე, რაც ნიშნავს, რომ მოცემული რიცხვები ნაშთის გარეშე არ იყოფა 13-ზე.

რიცხვების გაყოფა

როგორც ზემოაღნიშნულიდან ჩანს, შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის შეგიძლიათ აირჩიოთ გაყოფის საკუთარი ინდივიდუალური ნიშანი ან „შედგენილი“ ნიშანი, თუ რიცხვი რამდენიმე სხვადასხვა რიცხვის ნამრავლია. მაგრამ როგორც პრაქტიკა გვიჩვენებს, ზოგადად, რაც უფრო დიდია რიცხვი, მით უფრო რთულია მისი ნიშანი. შესაძლებელია, რომ გაყოფის კრიტერიუმის შესამოწმებლად დახარჯული დრო ტოლი ან მეტი იყოს, ვიდრე თავად გაყოფა. ამიტომ ჩვენ ჩვეულებრივ ვიყენებთ გაყოფის უმარტივეს ნიშნებს.

მოდით შევხედოთ მარტივ მაგალითს:
15:5=3
ამ მაგალითში გავყავით ნატურალური რიცხვი 15-ით მთლიანად 3-ით, ნარჩენების გარეშე.

ზოგჯერ ნატურალური რიცხვი მთლიანად არ შეიძლება დაიყოს. მაგალითად, განიხილეთ პრობლემა:
კარადაში 16 სათამაშო იყო. ჯგუფში ხუთი ბავშვი იყო. თითოეულმა ბავშვმა აიღო სათამაშოების იგივე რაოდენობა. რამდენი სათამაშო აქვს თითოეულ ბავშვს?

გამოსავალი:
რიცხვი 16 გავყოთ 5-ზე სვეტის გამოყენებით და მივიღებთ:

ჩვენ ვიცით, რომ 16 არ შეიძლება გაიყოს ხუთზე. უახლოესი პატარა რიცხვი, რომელიც იყოფა 5-ზე, არის 15, დარჩენილი 1-ით. რიცხვი 15 შეგვიძლია დავწეროთ როგორც 5⋅3. შედეგად (16 – დივიდენდი, 5 – გამყოფი, 3 – არასრული კოეფიციენტი, 1 – ნაშთი). მივიღე ფორმულა გაყოფა ნაშთითრაც შეიძლება გაკეთდეს ხსნარის შემოწმება.

ა= ბ⋅ გ+ დ
ა - გაყოფადი,
ბ - გამყოფი,
გ - არასრული კოეფიციენტი,
დ - დარჩენილი.

პასუხი: თითოეული ბავშვი მიიღებს 3 სათამაშოს და დარჩება ერთი სათამაშო.

განყოფილების დარჩენილი ნაწილი

ნაშთი ყოველთვის უნდა იყოს გამყოფზე ნაკლები.

თუ გაყოფის დროს ნაშთი არის ნული, მაშინ ეს ნიშნავს, რომ დივიდენდი იყოფა მთლიანადან გამყოფზე ნაშთის გარეშე.

თუ გაყოფის დროს ნაშთი მეტია გამყოფზე, ეს ნიშნავს, რომ ნაპოვნი რიცხვი არ არის ყველაზე დიდი. არის უფრო დიდი რიცხვი, რომელიც გაყოფს დივიდენდს და დარჩენილი იქნება გამყოფზე ნაკლები.

კითხვები თემაზე "გაყოფა ნაშთით":
შეიძლება დარჩენილი იყოს გამყოფზე დიდი?
პასუხი: არა.

შეიძლება თუ არა დარჩენილი ნაწილი გამყოფის ტოლი იყოს?
პასუხი: არა.

როგორ ვიპოვოთ დივიდენდი არასრული კოეფიციენტის, გამყოფისა და ნაშთის გამოყენებით?
პასუხი: ჩვენ ვცვლით ნაწილობრივი კოეფიციენტის, გამყოფის და ნაშთის მნიშვნელობებს ფორმულაში და ვპოულობთ დივიდენდს. ფორმულა:
a=b⋅c+d

მაგალითი #1:
შეასრულეთ გაყოფა ნაშთით და შეამოწმეთ: ა) 258:7 ბ) 1873:8

გამოსავალი:
ა) გაყოფა სვეტების მიხედვით:

258 - დივიდენდი,
7 - გამყოფი,
36 – არასრული კოეფიციენტი,
6 - დარჩენილი. ნაშთი ნაკლებია გამყოფზე 6<7.

7⋅36+6=252+6=258

ბ) დაყავით სვეტების მიხედვით:

1873 - იყოფა,
8 - გამყოფი,
234 – არასრული კოეფიციენტი,
1 - დარჩენილი. ნაშთი ნაკლებია გამყოფ 1-ზე<8.

მოდით ჩავანაცვლოთ იგი ფორმულაში და შევამოწმოთ სწორად გადავჭრით თუ არა მაგალითი:
8⋅234+1=1872+1=1873

მაგალითი #2:
რა ნაშთები მიიღება ნატურალური რიცხვების გაყოფისას: ა) 3 ბ) 8?

პასუხი:
ა) ნაშთი ნაკლებია გამყოფზე, შესაბამისად ნაკლებია 3-ზე. ჩვენს შემთხვევაში ნაშთი შეიძლება იყოს 0, 1 ან 2.
ბ) ნაშთი ნაკლებია გამყოფზე, შესაბამისად ნაკლებია 8-ზე. ჩვენს შემთხვევაში ნაშთი შეიძლება იყოს 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ან 7.

მაგალითი #3:
რა არის ყველაზე დიდი ნაშთი, რომელიც შეიძლება მივიღოთ ნატურალური რიცხვების გაყოფისას: ა) 9 ბ) 15?

პასუხი:
ა) ნაშთი ნაკლებია გამყოფზე, შესაბამისად ნაკლებია 9-ზე. მაგრამ ჩვენ უნდა მივუთითოთ უდიდესი ნაშთი. ანუ რიცხვი ყველაზე ახლოს გამყოფთან. ეს არის ნომერი 8.
ბ) ნაშთი ნაკლებია გამყოფზე, შესაბამისად ნაკლებია 15-ზე. მაგრამ ჩვენ უნდა მივუთითოთ უდიდესი ნაშთი. ანუ რიცხვი ყველაზე ახლოს გამყოფთან. ეს რიცხვია 14.

მაგალითი #4:
იპოვეთ დივიდენდი: ა) a:6=3(დასვენება.4) ბ) c:24=4(დასვენება.11)

გამოსავალი:
ა) ამოხსენით ფორმულის გამოყენებით:
a=b⋅c+d
(a – დივიდენდი, b – გამყოფი, c – ნაწილობრივი კოეფიციენტი, d – ნაშთი.)
a:6=3 (დასვენება.4)
(ა - დივიდენდი, 6 - გამყოფი, 3 - ნაწილობრივი კოეფიციენტი, 4 - ნაშთი.) მოდით ჩავანაცვლოთ რიცხვები ფორმულაში:
a=6⋅3+4=22
პასუხი: a=22

ბ) ამოხსენით ფორმულის გამოყენებით:
a=b⋅c+d
(a – დივიდენდი, b – გამყოფი, c – ნაწილობრივი კოეფიციენტი, d – ნაშთი.)
s:24=4(დასვენება.11)
(c - დივიდენდი, 24 - გამყოფი, 4 - ნაწილობრივი კოეფიციენტი, 11 - ნაშთი.) მოდით ჩავანაცვლოთ რიცხვები ფორმულაში:
с=24⋅4+11=107
პასუხი: c=107

ამოცანა:

მავთული 4მ. უნდა დავჭრათ 13 სმ ნაჭრებად. რამდენი იქნება ასეთი ცალი?

გამოსავალი:
ჯერ უნდა გადაიყვანოთ მეტრი სანტიმეტრებად.
4მ.=400სმ.
შეგვიძლია გავყოთ სვეტად ან გონებაში მივიღოთ:
400:13=30 (დარჩენილი 10)
მოდით შევამოწმოთ:
13⋅30+10=390+10=400

პასუხი: მიიღებთ 30 ცალი და დარჩება 10 სმ მავთული.

სტატიაში განხილულია მთელი რიცხვების ნაშთით გაყოფის კონცეფცია. დავამტკიცოთ თეორემა ნაშთით მთელი რიცხვების გაყოფის შესახებ და გადავხედოთ დივიდენდებსა და გამყოფებს, არასრულ კოეფიციენტებსა და ნაშთებს შორის კავშირებს. მოდით შევხედოთ წესებს მთელი რიცხვების ნაშთებით გაყოფისას, დეტალურად შევხედოთ მათ მაგალითების გამოყენებით. ხსნარის ბოლოს ჩვენ შევამოწმებთ.

ნაშთებით მთელი რიცხვების დაყოფის ზოგადი გაგება

ნაშთით მთელი რიცხვების გაყოფა განიხილება, როგორც განზოგადებული გაყოფა ნატურალური რიცხვების ნაშთით. ეს კეთდება იმის გამო, რომ ნატურალური რიცხვები მთელი რიცხვების კომპონენტია.

თვითნებური რიცხვის ნაშთით გაყოფა ამბობს, რომ მთელი რიცხვი a იყოფა არანულოვან რიცხვზე. თუ b = 0, მაშინ ნუ გაყოფთ ნაშთით.

ისევე, როგორც ნატურალური რიცხვების ნაშთით გაყოფა, მთელი რიცხვები a და b იყოფა, სადაც b არ არის ნული, c-ზე და d-ზე. ამ შემთხვევაში a და b-ს ეწოდება დივიდენდი და გამყოფი, ხოლო d არის გაყოფის დარჩენილი ნაწილი, c არის მთელი რიცხვი ან არასრული კოეფიციენტი.

თუ დავუშვებთ, რომ ნაშთი არაუარყოფითი მთელი რიცხვია, მაშინ მისი მნიშვნელობა არ აღემატება b რიცხვის მოდულს. დავწეროთ ასე: 0 ≤ d ≤ b. უტოლობების ეს ჯაჭვი გამოიყენება 3 ან მეტი რიცხვის შედარებისას.

თუ c არის არასრული კოეფიციენტი, მაშინ d არის a მთელი რიცხვის b-ზე გაყოფის ნაშთი, რომელიც შეიძლება მოკლედ ითქვას: a: b = c (დარჩენილი d).

ნაშთი a რიცხვების b-ზე გაყოფისას შეიძლება იყოს ნული, შემდეგ ამბობენ, რომ a იყოფა b-ზე მთლიანად, ანუ ნაშთის გარეშე. გაყოფა ნაშთის გარეშე განიხილება გაყოფის განსაკუთრებულ შემთხვევად.

თუ ნულს გავყოფთ რომელიმე რიცხვზე, შედეგი იქნება ნული. გაყოფის დარჩენილი ნაწილი ასევე იქნება ნული. ეს შეიძლება გამოიკვეთოს ნულის მთელ რიცხვზე გაყოფის თეორიიდან.

ახლა მოდით შევხედოთ მთელი რიცხვების ნაშთით გაყოფის მნიშვნელობას.

ცნობილია, რომ დადებითი მთელი რიცხვები ნატურალური რიცხვებია, მაშინ ნაშთით გაყოფისას იგივე მნიშვნელობა მიიღება, რაც ნატურალური რიცხვების ნაშთით გაყოფისას.

უარყოფითი მთელი რიცხვის a დაყოფა დადებით რიცხვზე b აზრი აქვს. მოდით შევხედოთ მაგალითს. წარმოიდგინეთ სიტუაცია, როდესაც გვაქვს ნივთების დავალიანება a-ის ოდენობით, რომელიც უნდა დაფაროს b პირმა. ამის მისაღწევად, ყველამ თანაბრად უნდა შეიტანოს წვლილი. თითოეულის დავალიანების ოდენობის დასადგენად, ყურადღება უნდა მიაქციოთ კერძო ს. დარჩენილი d მიუთითებს, რომ ვალების დაფარვის შემდეგ ნივთების რაოდენობა ცნობილია.

მოდით შევხედოთ ვაშლის მაგალითს. თუ 2 ადამიანს მართავს 7 ვაშლი. თუ გამოვთვლით, რომ ყველამ უნდა დააბრუნოს 4 ვაშლი, სრული გაანგარიშების შემდეგ დარჩება 1 ვაშლი. დავწეროთ ეს ტოლობის სახით: (− 7) : 2 = − 4 (ტ. 1-დან) .

ნებისმიერი a რიცხვის მთელ რიცხვზე დაყოფას აზრი არ აქვს, მაგრამ შესაძლებელია როგორც ვარიანტი.

თეორემა ნაშთით მთელი რიცხვების გაყოფის შესახებ

ჩვენ დავადგინეთ, რომ a არის დივიდენდი, შემდეგ b არის გამყოფი, c არის ნაწილობრივი კოეფიციენტი და d არის ნაშთი. ისინი ერთმანეთთან არიან დაკავშირებული. ჩვენ ვაჩვენებთ ამ კავშირს a = b · c + d ტოლობის გამოყენებით. მათ შორის კავშირს ახასიათებს გაყოფის თეორემა ნაშთით.

თეორემა

ნებისმიერი მთელი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მხოლოდ მთელი და არანულოვანი რიცხვის b მეშვეობით ასე: a = b · q + r, სადაც q და r არის რამდენიმე მთელი რიცხვი. აქ გვაქვს 0 ≤ r ≤ b.

დავამტკიცოთ a = b · q + r არსებობის შესაძლებლობა.

მტკიცებულება

თუ არის ორი რიცხვი a და b და a იყოფა b-ზე ნაშთის გარეშე, მაშინ განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ არის რიცხვი q და ტოლობა a = b · q იქნება ჭეშმარიტი. მაშინ ტოლობა შეიძლება ჩაითვალოს ჭეშმარიტად: a = b · q + r r = 0-სთვის.

მაშინ აუცილებელია ავიღოთ q ისეთი, რომელიც მოცემულია b · q უტოლობით< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

გვაქვს, რომ a − b · q გამოთქმის მნიშვნელობა ნულზე მეტია და არ აღემატება b რიცხვის მნიშვნელობას, აქედან გამომდინარეობს, რომ r = a − b · q. ვხვდებით, რომ რიცხვი a შეიძლება წარმოდგენილი იყოს a = b · q + r სახით.

ახლა ჩვენ უნდა განვიხილოთ a = b · q + r წარმოდგენა b-ის უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის.

რიცხვის მოდული დადებითი აღმოჩნდება, შემდეგ მივიღებთ a = b · q 1 + r, სადაც მნიშვნელობა q 1 არის გარკვეული მთელი რიცხვი, r არის მთელი რიცხვი, რომელიც აკმაყოფილებს 0 ≤ r პირობას.< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

უნიკალურობის დასტური

დავუშვათ, რომ a = b q + r, q და r არის მთელი რიცხვები პირობით 0 ≤ r მართალია.< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1და r 1არის რამდენიმე რიცხვი სადაც q 1 ≠ q, 0 ≤ r 1< b .

როდესაც უტოლობას გამოვაკლებთ მარცხენა და მარჯვენა მხარეს, მაშინ მივიღებთ 0 = b · (q − q 1) + r − r 1, რომელიც უდრის r - r 1 = b · q 1 - q. ვინაიდან მოდული გამოიყენება, ვიღებთ თანასწორობას r - r 1 = b · q 1 - q.

მოცემული პირობა ამბობს, რომ 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что ქდა q 1- მთლიანი და q ≠ q 1, შემდეგ q 1 - q ≥ 1. აქედან გვაქვს, რომ b · q 1 - q ≥ b. მიღებული უტოლობები r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

აქედან გამომდინარეობს, რომ რიცხვი a სხვაგვარად არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, გარდა a = b · q + r ჩაწერით.

კავშირი დივიდენდს, გამყოფს, ნაწილობრივ კოეფიციენტსა და ნაშთს შორის

a = b · c + d ტოლობის გამოყენებით, შეგიძლიათ იპოვოთ უცნობი დივიდენდი a, როდესაც ცნობილია b გამყოფი არასრული კოეფიციენტით c და ნაშთი d.

მაგალითი 1

განვსაზღვროთ დივიდენდი, თუ გაყოფისას მივიღებთ - 21-ს, ნაწილობრივი კოეფიციენტი არის 5, ხოლო დანარჩენი არის 12.

გამოსავალი

აუცილებელია a დივიდენდის გამოთვლა ცნობილი გამყოფით b = − 21, არასრული კოეფიციენტით c = 5 და ნაშთი d = 12. უნდა მივმართოთ ტოლობას a = b · c + d, აქედან მივიღებთ a = (− 21) · 5 + 12. თუ მოქმედებების თანმიმდევრობას მივყვებით, - 21-ს ვამრავლებთ 5-ზე, რის შემდეგაც მივიღებთ (− 21) · 5 + 12 = − 105 + 12 = − 93.

პასუხი: - 93 .

კავშირი გამყოფსა და ნაწილობრივ კოეფიციენტსა და ნაშთს შორის შეიძლება გამოისახოს ტოლობების გამოყენებით: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b და d = a − b · c . მათი დახმარებით შეგვიძლია გამოვთვალოთ გამყოფი, ნაწილობრივი კოეფიციენტი და ნაშთი. ეს გამოწვეულია ნაშთის მუდმივი მოძიებით a მთელი რიცხვის b-ზე გაყოფისას ცნობილი დივიდენდით, გამყოფით და ნაწილობრივი კოეფიციენტით. გამოიყენება ფორმულა d = a − b · c. განვიხილოთ გამოსავალი დეტალურად.

მაგალითი 2

იპოვეთ ნაშთი მთელი რიცხვის - 19-ის 3-ზე გაყოფისას ცნობილი არასრული კოეფიციენტის ტოლი - 7-ის.

გამოსავალი

გაყოფის დარჩენილი ნაწილის გამოსათვლელად ვიყენებთ d = a − b · c ფორმის ფორმულას. პირობით, ყველა მონაცემი ხელმისაწვდომია: a = − 19, b = 3, c = − 7. აქედან ვიღებთ d = a − b · c = − 19 − 3 · (− 7) = − 19 − (− 21) = − 19 + 21 = 2 (განსხვავება − 19 − (− 21). ეს მაგალითი გამოითვლება გამოკლების წესის გამოყენებით უარყოფითი მთელი რიცხვი.

პასუხი: 2 .

ყველა დადებითი რიცხვი ნატურალური რიცხვია. აქედან გამომდინარეობს, რომ გაყოფა ხდება ნატურალური რიცხვების ნაშთით გაყოფის ყველა წესის მიხედვით. ნატურალური რიცხვების ნარჩენებთან გაყოფის სიჩქარე მნიშვნელოვანია, რადგან მასზეა დაფუძნებული არა მხოლოდ დადებითი რიცხვების დაყოფა, არამედ თვითნებური რიცხვების გაყოფის წესებიც.

გაყოფის ყველაზე მოსახერხებელი მეთოდი არის სვეტი, რადგან უფრო ადვილი და სწრაფია ნაშთით არასრული ან უბრალოდ კოეფიციენტის მიღება. მოდით შევხედოთ გამოსავალს უფრო დეტალურად.

მაგალითი 3

14671 გაყავით 54-ზე.

გამოსავალი

ეს დაყოფა უნდა გაკეთდეს სვეტში:

ანუ ნაწილობრივი კოეფიციენტი უდრის 271-ს, ნაშთი კი 37-ს.

პასუხი: 14,671: 54 = 271. (დასვენება 37)

ნაშთით დადებითი მთელი რიცხვის უარყოფით რიცხვზე გაყოფის წესი, მაგალითები

დადებითი რიცხვის ნაშთით უარყოფით მთელ რიცხვზე გაყოფის შესასრულებლად საჭიროა წესის ჩამოყალიბება.

განმარტება 1

a დადებითი მთელი რიცხვის b უარყოფით რიცხვზე გაყოფის არასრული კოეფიციენტი იძლევა რიცხვს, რომელიც საპირისპიროა a რიცხვების მოდულების b-ზე გაყოფის არასრული კოეფიციენტის. მაშინ ნაშთი უდრის ნაშთს, როცა a იყოფა b-ზე.

აქედან გამომდინარე გვაქვს, რომ დადებითი მთელი რიცხვის უარყოფით რიცხვზე გაყოფის არასრული კოეფიციენტი ითვლება არადადებით მთელ რიცხვად.

ჩვენ ვიღებთ ალგორითმს:

• დივიდენდის მოდული გავყოთ გამყოფის მოდულზე, მაშინ მივიღებთ არასრულ კოეფიციენტს და
• ნაშთი;
• დავწეროთ საპირისპირო რიცხვი რაც მივიღეთ.

მოდით შევხედოთ დადებითი მთელი რიცხვის უარყოფით რიცხვზე გაყოფის ალგორითმის მაგალითს.

მაგალითი 4

დარჩენილი 17-ით გაყავით - 5-ზე.

გამოსავალი

გამოვიყენოთ ნაშთით დადებითი მთელი რიცხვის უარყოფით რიცხვზე გაყოფის ალგორითმი. აუცილებელია 17-ის გაყოფა - 5 მოდულზე. აქედან მივიღებთ, რომ ნაწილობრივი კოეფიციენტი უდრის 3-ს, ხოლო ნაშთი უდრის 2-ს.

ჩვენ ვიღებთ, რომ საჭირო რიცხვი 17-ზე - 5 = - 3-ზე გაყოფით ნაშთით 2-ის ტოლია.

პასუხი: 17: (− 5) = − 3 (დარჩენილი 2).

მაგალითი 5

თქვენ უნდა გაყოთ 45 - 15-ზე.

გამოსავალი

აუცილებელია რიცხვების მოდულის გაყოფა. რიცხვი 45 გავყოთ 15-ზე, მივიღებთ 3-ის კოეფიციენტს ნაშთის გარეშე. ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი 45 იყოფა 15-ზე ნაშთის გარეშე. პასუხი არის - 3, რადგან გაყოფა განხორციელდა მოდულით.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

პასუხი: 45: (− 15) = − 3 .

ნაშთით გაყოფის წესის ფორმულირება ასეთია.

განმარტება 2

იმისათვის, რომ მიიღოთ არასრული c კოეფიციენტი უარყოფითი მთელი რიცხვის a დადებით b-ზე გაყოფისას, თქვენ უნდა გამოიყენოთ მოცემული რიცხვის საპირისპირო და გამოკლოთ 1, შემდეგ დარჩენილი d გამოითვლება ფორმულით: d = a − ბ · გ.

წესიდან გამომდინარე, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ გაყოფისას ვიღებთ არაუარყოფით მთელ რიცხვს. ამოხსნის სიზუსტის უზრუნველსაყოფად გამოიყენეთ ალგორითმი a-ზე ნაშთით b-ზე გაყოფისთვის:

• იპოვეთ დივიდენდის და გამყოფის მოდულები;
• გაყოფის მოდული;
• ჩაწერეთ მოცემული რიცხვის საპირისპირო და გამოაკელი 1;
• გამოიყენეთ ნაშთის ფორმულა d = a − b · c.

მოდით შევხედოთ ამოხსნის მაგალითს, სადაც ეს ალგორითმი გამოიყენება.

მაგალითი 6

იპოვეთ გაყოფის ნაწილობრივი კოეფიციენტი და ნაშთი - 17 5-ზე.

გამოსავალი

მოცემული რიცხვების მოდულს ვყოფთ. ჩვენ ვხვდებით, რომ გაყოფისას კოეფიციენტი არის 3, ხოლო დარჩენილი არის 2. რადგან მივიღეთ 3, პირიქით არის 3. თქვენ უნდა გამოაკლოთ 1.

− 3 − 1 = − 4 .

სასურველი მნიშვნელობა უდრის - 4-ს.

ნაშთის გამოსათვლელად დაგჭირდებათ a = − 17, b = 5, c = − 4, შემდეგ d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 .

ეს ნიშნავს, რომ გაყოფის არასრული კოეფიციენტია რიცხვი - 4 ნაშთი 3-ის ტოლი.

პასუხი:(− 17) : 5 = − 4 (დარჩენილი 3).

მაგალითი 7

უარყოფითი მთელი რიცხვი - 1404 გაყავით დადებით 26-ზე.

გამოსავალი

აუცილებელია დაყოფა სვეტებითა და მოდულით.

მივიღეთ რიცხვების მოდულების დაყოფა ნაშთების გარეშე. ეს ნიშნავს, რომ გაყოფა შესრულებულია ნარჩენების გარეშე და სასურველი კოეფიციენტი = - 54.

პასუხი: (− 1 404) : 26 = − 54 .

გაყოფის წესი ნაშთით უარყოფითი მთელი რიცხვებისთვის, მაგალითები

აუცილებელია ჩამოაყალიბოთ უარყოფითი მთელი რიცხვების ნაშთით გაყოფის წესი.

განმარტება 3

უარყოფითი მთელი რიცხვის a უარყოფით b-ზე გაყოფისგან არასრული კოეფიციენტის მისაღებად საჭიროა მოდულური გამოთვლების შესრულება, შემდეგ 1-ის დამატება, შემდეგ შეგვიძლია გამოთვლები შევასრულოთ ფორმულით d = a − b · c.

აქედან გამომდინარეობს, რომ უარყოფითი რიცხვების გაყოფის არასრული კოეფიციენტი იქნება დადებითი რიცხვი.

მოდით ჩამოვაყალიბოთ ეს წესი ალგორითმის სახით:

• იპოვეთ დივიდენდის და გამყოფის მოდულები;
• გაყავით დივიდენდის მოდული გამყოფის მოდულზე, რომ მიიღოთ არასრული კოეფიციენტი
• ნაშთი;
• არასრულ კოეფიციენტზე 1-ის დამატება;
• ნაშთის გამოთვლა ფორმულის მიხედვით d = a − b · c.

მოდით შევხედოთ ამ ალგორითმს მაგალითის გამოყენებით.

მაგალითი 8

იპოვეთ ნაწილობრივი კოეფიციენტი და ნაშთი - 17-ზე - 5-ზე გაყოფისას.

გამოსავალი

ამოხსნის სისწორისთვის ვიყენებთ ნაშთით გაყოფის ალგორითმს. პირველ რიგში, გაყავით რიცხვების მოდული. აქედან მივიღებთ, რომ არასრული კოეფიციენტი = 3, ხოლო დანარჩენი არის 2. წესის მიხედვით, თქვენ უნდა დაამატოთ არასრული კოეფიციენტი და 1. მივიღებთ, რომ 3 + 1 = 4. აქედან მივიღებთ, რომ მოცემული რიცხვების გაყოფის ნაწილობრივი კოეფიციენტი 4-ის ტოლია.

დარჩენილი ნაწილის გამოსათვლელად გამოვიყენებთ ფორმულას. პირობით გვაქვს, რომ a = − 17, b = − 5, c = 4, შემდეგ ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ d = a − b c = − 17 − (− 5) 4 = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 . საჭირო პასუხი, ანუ ნაშთი უდრის 3-ს, ხოლო ნაწილობრივი კოეფიციენტი უდრის 4-ს.

პასუხი:(− 17) : (− 5) = 4 (დარჩენილი 3).

მთელი რიცხვების ნაშთით გაყოფის შედეგის შემოწმება

რიცხვების ნაშთით გაყოფის შემდეგ, თქვენ უნდა შეასრულოთ შემოწმება. ეს შემოწმება მოიცავს 2 ეტაპს. ჯერ დარჩენილი d მოწმდება არაუარყოფითობაზე, პირობა 0 ≤ d დაკმაყოფილებულია< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

მოდით შევხედოთ მაგალითებს.

მაგალითი 9

გაყოფა ხდება - 521 - 12-ზე. კოეფიციენტი არის 44, დანარჩენი არის 7. შეასრულეთ შემოწმება.

გამოსავალი

ვინაიდან ნაშთი დადებითი რიცხვია, მისი მნიშვნელობა გამყოფის მოდულზე ნაკლებია. გამყოფი არის - 12, რაც ნიშნავს, რომ მისი მოდული არის 12. შეგიძლიათ გადახვიდეთ შემდეგ გამშვებ პუნქტზე.

პირობით გვაქვს, რომ a = − 521, b = − 12, c = 44, d = 7. აქედან ვიანგარიშებთ b · c + d, სადაც b · c + d = − 12 · 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521. აქედან გამომდინარეობს, რომ თანასწორობა მართალია. გადამოწმება გავიდა.

მაგალითი 10

შეასრულეთ გაყოფის შემოწმება (− 17): 5 = − 3 (დარჩენილი − 2). მართალია თანასწორობა?

გამოსავალი

პირველი ეტაპის აზრი ის არის, რომ აუცილებელია მთელი რიცხვების დაყოფის შემოწმება ნაშთით. აქედან ირკვევა, რომ მოქმედება შესრულდა არასწორად, ვინაიდან ნაშთი - 2-ის ტოლია მოცემული. დანარჩენი არ არის უარყოფითი რიცხვი.

გვაქვს, რომ მეორე პირობა შესრულებულია, მაგრამ არა საკმარისი ამ შემთხვევისთვის.

პასუხი:არა.

მაგალითი 11

რიცხვი - 19 იყოფა - 3-ზე. ნაწილობრივი კოეფიციენტი არის 7 და დარჩენილი არის 1. შეამოწმეთ სწორად შესრულდა თუ არა ეს გამოთვლა.

გამოსავალი

მოცემულია ნაშთი 1-ის ტოლი. ის დადებითია. მნიშვნელობა ნაკლებია გამყოფ მოდულზე, რაც ნიშნავს, რომ პირველი ეტაპი დასრულებულია. გადავიდეთ მეორე ეტაპზე.

გამოვთვალოთ b · c + d გამოთქმის მნიშვნელობა. პირობით გვაქვს, რომ b = − 3, c = 7, d = 1, რაც ნიშნავს, რომ რიცხვითი მნიშვნელობების ჩანაცვლებით მივიღებთ b · c + d = − 3 · 7 + 1 = − 21 + 1 = − 20. აქედან გამომდინარეობს, რომ a = b · c + d ტოლობა არ მოქმედებს, რადგან პირობა იძლევა a = - 19-ს.

აქედან გამომდინარეობს, რომ დაყოფა მოხდა შეცდომით.

პასუხი:არა.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ამ სტატიაში განვიხილავთ მთელი რიცხვების დაყოფა ნაშთებით. დავიწყოთ მთელი რიცხვების ნაშთით გაყოფის ზოგადი პრინციპით, ჩამოვაყალიბოთ და დავამტკიცოთ თეორემა ნაშთით მთელი რიცხვების გაყოფის შესახებ და მივყვეთ კავშირებს დივიდენდს, გამყოფს, არასრულ ნაწილსა და ნაშთს შორის. შემდეგი, ჩვენ გამოვყოფთ წესებს, რომლითაც იყოფა მთელი რიცხვები ნაშთით და განვიხილავთ ამ წესების გამოყენებას მაგალითების ამოხსნისას. ამის შემდეგ ჩვენ ვისწავლით როგორ შევამოწმოთ მთელი რიცხვების ნაშთით გაყოფის შედეგი.

გვერდის ნავიგაცია.

მთელი რიცხვების ნაშთით გაყოფის ზოგადი გაგება

ნაშთით მთელი რიცხვების დაყოფას განვიხილავთ, როგორც ნატურალური რიცხვების ნაშთით გაყოფის განზოგადებას. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ნატურალური რიცხვები მთელი რიცხვების შემადგენელი ნაწილია.

დავიწყოთ ტერმინებითა და აღნიშვნებით, რომლებიც გამოიყენება აღწერილობაში.

ნატურალური რიცხვების ნაშთით გაყოფის ანალოგიით ვივარაუდებთ, რომ a და b-ის ორი მთელი რიცხვის ნაშთით გაყოფის შედეგი (b არ არის ნულის ტოლი) არის ორი მთელი რიცხვი c და d. a და b რიცხვებს უწოდებენ გაყოფადიდა გამყოფიშესაბამისად, რიცხვი d – დარჩენილი a-ზე b-ზე გაყოფისგან და მთელი c ეწოდება არასრული პირადი(ან უბრალოდ კერძოთუ ნაშთი არის ნული).

მოდით შევთანხმდეთ ვივარაუდოთ, რომ ნაშთი არის არაუარყოფითი მთელი რიცხვი და მისი მნიშვნელობა არ აღემატება b-ს, ანუ (ჩვენ შეგვხვდა უტოლობების მსგავსი ჯაჭვები, როდესაც ვსაუბრობდით სამი ან მეტი მთელი რიცხვის შედარებაზე).

თუ რიცხვი c არის არასრული კოეფიციენტი, ხოლო რიცხვი d არის a მთელი რიცხვის b-ზე გაყოფის ნაშთი, მაშინ ამ ფაქტს მოკლედ დავწერთ a:b=c (დარჩენილი d) ფორმის ტოლობის სახით.

გაითვალისწინეთ, რომ a მთელი რიცხვის მთელ b-ზე გაყოფისას დარჩენილი შეიძლება იყოს ნული. ამ შემთხვევაში ვამბობთ, რომ a იყოფა b-ზე უკვალოდ(ან მთლიანად). ამრიგად, მთელი რიცხვების დაყოფა ნაშთების გარეშე არის მთელი რიცხვების ნაშთით გაყოფის განსაკუთრებული შემთხვევა.

ისიც უნდა ითქვას, რომ ნულის რომელიმე მთელ რიცხვზე გაყოფისას ყოველთვის საქმე გვაქვს ნაშთის გარეშე გაყოფასთან, რადგან ამ შემთხვევაში კოეფიციენტი იქნება ნულის ტოლი (იხილეთ ნულის მთელ რიცხვზე გაყოფის თეორიის განყოფილება), ხოლო ნაშთი ასევე იქნება ნულის ტოლი.

ჩვენ გადავწყვიტეთ ტერმინოლოგია და აღნიშვნა, ახლა მოდით გავიგოთ მთელი რიცხვების ნაშთით გაყოფის მნიშვნელობა.

უარყოფითი მთელი რიცხვის a დაყოფას დადებით მთელ რიცხვზე b ასევე შეიძლება მიეცეს მნიშვნელობა. ამისათვის განიხილეთ უარყოფითი მთელი რიცხვი ვალად. წარმოვიდგინოთ ეს სიტუაცია. ვალი, რომელიც წარმოადგენს ნივთებს, უნდა დაფაროს ბ ადამიანმა თანაბარი შენატანის შეტანით. არასრული c კოეფიციენტის აბსოლუტური მნიშვნელობა ამ შემთხვევაში განსაზღვრავს თითოეული ამ ადამიანის დავალიანების ოდენობას, ხოლო დარჩენილი d აჩვენებს რამდენი ელემენტი დარჩება ვალის გადახდის შემდეგ. მოვიყვანოთ მაგალითი. ვთქვათ, 2 ადამიანს მართავს 7 ვაშლი. თუ ჩავთვლით, რომ თითოეულ მათგანს 4 ვაშლი აქვს, მაშინ ვალის გადახდის შემდეგ 1 ვაშლი დარჩება. ეს სიტუაცია შეესაბამება ტოლობას (−7):2=−4 (დარჩენილი 1).

ჩვენ არანაირ მნიშვნელობას არ მივანიჭებთ თვითნებური მთელი რიცხვის a ნარჩენით გაყოფას უარყოფით მთელ რიცხვზე, მაგრამ ვიტოვებთ მის არსებობის უფლებას.

თეორემა ნაშთით მთელი რიცხვების გაყოფის შესახებ

როდესაც ვსაუბრობდით ნატურალური რიცხვების ნაშთით გაყოფაზე, აღმოვაჩინეთ, რომ დივიდენდი a, გამყოფი b, ნაწილობრივი კოეფიციენტი c და ნაშთი d დაკავშირებულია ტოლობით a=b·c+d. მთელ რიცხვებს a, b, c და d აქვთ იგივე ურთიერთობა. ეს კავშირი დადასტურებულია შემდეგნაირად გაყოფის თეორემა ნაშთით.

თეორემა.

ნებისმიერი მთელი რიცხვი a შეიძლება ცალსახად იყოს წარმოდგენილი მთელი და არანულოვანი რიცხვის b მეშვეობით a=b·q+r სახით, სადაც q და r არის რამდენიმე მთელი რიცხვი და .

მტკიცებულება.

ჯერ ვამტკიცებთ a=b·q+r-ის წარმოდგენის შესაძლებლობას.

თუ მთელი რიცხვები a და b ისეთია, რომ a იყოფა b-ზე, მაშინ განსაზღვრებით არის მთელი რიცხვი q ისეთი, რომ a=b·q. ამ შემთხვევაში მოქმედებს ტოლობა a=b·q+r r=0-ზე.

ახლა ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ b არის დადებითი მთელი რიცხვი. ავირჩიოთ მთელი რიცხვი q ისე, რომ b·q ნამრავლი არ აღემატებოდეს a რიცხვს, ხოლო b·(q+1) ნამრავლი უკვე მეტი იყოს a-ზე. ანუ ვიღებთ q ისე, რომ უტოლობები b q

რჩება a=b·q+r უარყოფითი b-ისთვის წარმოდგენის შესაძლებლობა.

ვინაიდან b რიცხვის მოდული ამ შემთხვევაში დადებითი რიცხვია, ამიტომ არის გამოსახულება, სადაც q 1 არის გარკვეული მთელი რიცხვი, ხოლო r არის მთელი რიცხვი, რომელიც აკმაყოფილებს პირობებს. შემდეგ, თუ ვიღებთ q=−q 1, ვიღებთ გამოსახულებას, რომელიც გვჭირდება a=b·q+r უარყოფითი b-ისთვის.

მოდით გადავიდეთ უნიკალურობის მტკიცებულებაზე.

დავუშვათ, რომ a=b·q+r წარმოდგენის გარდა, q და r არის მთელი რიცხვები და , არის კიდევ ერთი წარმოდგენა a=b·q 1 +r 1, სადაც q 1 და r 1 არის რამდენიმე მთელი რიცხვი, და q 1 ≠ ქ და .

მეორე ტოლობის მარცხენა და მარჯვენა გვერდების გამოკლების შემდეგ პირველი ტოლობის მარცხენა და მარჯვენა მხარეს, შესაბამისად, მივიღებთ 0=b·(q−q 1)+r−r 1, რომელიც უდრის ტოლობას r−. r 1 =b·(q 1 −q) . შემდეგ ფორმის თანასწორობა , ხოლო რიცხვთა მოდულის თვისებების გამო ტოლობა .

პირობებიდან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ. ვინაიდან q და q 1 არის მთელი რიცხვები და q≠q 1, მაშინ დავასკვნათ, რომ . მიღებული უტოლობებიდან და აქედან გამომდინარეობს, რომ ფორმის თანასწორობა ჩვენი ვარაუდით შეუძლებელია. მაშასადამე, a=b·q+r-ის გარდა სხვა რიცხვის სხვა წარმოდგენა არ არსებობს.

ურთიერთობა დივიდენდს, გამყოფს, ნაწილობრივ კოეფიციენტსა და ნაშთს შორის

ტოლობა a=b·c+d საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ უცნობი დივიდენდი a, თუ ცნობილია b გამყოფი, ნაწილობრივი კოეფიციენტი და ნაშთი d. მოდით შევხედოთ მაგალითს.

მაგალითი.

რა არის დივიდენდის ღირებულება, თუ მთელ რიცხვზე −21-ზე გაყოფისას შედეგი არის 5-ის არასრული კოეფიციენტი და დარჩენილი 12-ის?

გამოსავალი.

დივიდენდი a უნდა გამოვთვალოთ, როცა ცნობილია გამყოფი b=−21, ნაწილობრივი კოეფიციენტი c=5 და ნაშთი d=12. a=b·c+d ტოლობისკენ მივმართავთ, მივიღებთ a=(−21)·5+12. დაკვირვებით პირველ რიგში ვამრავლებთ −21 და 5 მთელ რიცხვებს სხვადასხვა ნიშნით გამრავლების წესის მიხედვით, რის შემდეგაც ვასრულებთ სხვადასხვა ნიშნით მთელი რიცხვების შეკრებას: (−21)·5+12=−105+12=−93. .

პასუხი:

−93 .

დივიდენდის, გამყოფის, ნაწილობრივი კოეფიციენტსა და ნაშთს შორის კავშირები ასევე გამოიხატება b=(a−d):c, c=(a−d):b და d=a−b·c ფორმის ტოლობებით. ეს ტოლობები საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ გამყოფი, ნაწილობრივი კოეფიციენტი და ნაშთი, შესაბამისად. ჩვენ ხშირად მოგვიწევს ნაშთის პოვნა მთელი a მთელი რიცხვის b-ზე გაყოფისას, როცა დივიდენდი, გამყოფი და ნაწილობრივი კოეფიციენტი ცნობილია, ფორმულის გამოყენებით d=a−b·c. დამატებითი კითხვების თავიდან ასაცილებლად, მოდით შევხედოთ ნაშთის გამოანგარიშების მაგალითს.

მაგალითი.

იპოვეთ ნაშთი −19 მთელი რიცხვის 3-ზე გაყოფისას, თუ იცით, რომ ნაწილობრივი კოეფიციენტი −7-ის ტოლია.

გამოსავალი.

გაყოფის ნაშთის გამოსათვლელად ვიყენებთ d=a−b·c ფორმის ფორმულას. პირობიდან გვაქვს ყველა საჭირო მონაცემი a=−19, b=3, c=−7. ვიღებთ d=a−b·c=−19−3·(−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (სხვაობა −19−(−21) გამოვთვალეთ წესის გამოყენებით. უარყოფითი მთელი რიცხვის გამოკლება).

პასუხი:

დაყოფა დადებითი მთელი რიცხვებით, მაგალითები

როგორც არაერთხელ აღვნიშნეთ, დადებითი მთელი რიცხვები ნატურალური რიცხვებია. მაშასადამე, დადებითი რიცხვების ნაშთით გაყოფა ხორციელდება ნატურალური რიცხვების ნაშთით გაყოფის ყველა წესის მიხედვით. ძალზე მნიშვნელოვანია ნატურალური რიცხვების ნაშთით გაყოფის მარტივად შესრულება, რადგან ეს არის ის, რაც საფუძვლად უდევს არა მხოლოდ დადებითი რიცხვების დაყოფას, არამედ თვითნებური რიცხვების ნარჩენებით გაყოფის ყველა წესის საფუძველს.

ჩვენი თვალსაზრისით, ყველაზე მოსახერხებელია სვეტების დაყოფა, ეს მეთოდი საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ როგორც არასრული კოეფიციენტი (ან უბრალოდ კოეფიციენტი) და ნაშთი. მოდით შევხედოთ დადებითი მთელი რიცხვების ნაშთით გაყოფის მაგალითს.

მაგალითი.

დარჩენილი 14671-ით გაყავით 54-ზე.

გამოსავალი.

მოდით გავყოთ ეს დადებითი მთელი რიცხვები სვეტით:

ნაწილობრივი კოეფიციენტი აღმოჩნდა 271-ის ტოლი, ხოლო ნაშთი უდრის 37-ს.

პასუხი:

14 671:54=271 (დასვენება 37) .

ნაშთით დადებითი მთელი რიცხვის უარყოფით რიცხვზე გაყოფის წესი, მაგალითები

ჩამოვაყალიბოთ წესი, რომელიც საშუალებას გვაძლევს შევასრულოთ დაყოფა დადებითი მთელი რიცხვის ნაშთით უარყოფით რიცხვზე.

a დადებითი მთელი რიცხვის უარყოფით b-ზე გაყოფის ნაწილობრივი კოეფიციენტი არის a b-ის მოდულზე გაყოფის ნაწილობრივი კოეფიციენტის საპირისპირო, ხოლო a b-ზე გაყოფის დარჩენილი ნაწილი უდრის ნარჩენების გაყოფას.

ამ წესიდან გამომდინარეობს, რომ დადებითი მთელი რიცხვის უარყოფით რიცხვზე გაყოფის ნაწილობრივი კოეფიციენტი არის არაპოზიტიური მთელი რიცხვი.

მოდი ჩამოთვლილი წესი გადავაქციოთ ნაშთით დადებითი მთელი რიცხვის უარყოფით რიცხვზე გაყოფის ალგორითმად:

• დივიდენდის მოდულს ვყოფთ გამყოფის მოდულზე, ვიღებთ ნაწილობრივი კოეფიციენტს და ნაშთს. (თუ ნაშთი ნულის ტოლია, მაშინ თავდაპირველი რიცხვები იყოფა ნაშთების გარეშე, ხოლო საპირისპირო ნიშნებით მთელი რიცხვების გაყოფის წესის მიხედვით, საჭირო კოეფიციენტი უდრის მოდულების გაყოფის კოეფიციენტის საპირისპირო რიცხვს. )
• ჩვენ ვწერთ საპირისპირო რიცხვს მიღებული არასრული კოეფიციენტისა და ნარჩენის. ეს რიცხვები, შესაბამისად, არის საჭირო კოეფიციენტი და დარჩენილი საწყისი დადებითი მთელი რიცხვის უარყოფით რიცხვზე გაყოფა.

მოვიყვანოთ დადებითი მთელი რიცხვის უარყოფით რიცხვზე გაყოფის ალგორითმის გამოყენების მაგალითი.

მაგალითი.

დადებითი მთელი რიცხვის ნარჩენი 17 გავყოთ უარყოფით რიცხვზე -5.

გამოსავალი.

გამოვიყენოთ ნაშთით დადებითი მთელი რიცხვის უარყოფით რიცხვზე გაყოფის ალგორითმი.

გაყოფით

3-ის საპირისპირო რიცხვია -3. ამრიგად, 17-ის −5-ზე გაყოფის აუცილებელი ნაწილობრივი კოეფიციენტი არის −3, ხოლო დანარჩენი არის 2.

პასუხი:

17 :(−5)=−3 (დარჩენილი 2).

მაგალითი.

გაყოფა 45 −15-ზე.

გამოსავალი.

დივიდენდის და გამყოფის მოდულები არის 45 და 15, შესაბამისად. რიცხვი 45 ნაშთის გარეშე იყოფა 15-ზე, ხოლო კოეფიციენტი არის 3. მაშასადამე, დადებითი მთელი რიცხვი 45 იყოფა უარყოფით მთელ რიცხვზე −15 ნაშთის გარეშე და კოეფიციენტი უდრის 3-ის საპირისპირო რიცხვს, ანუ −3. მართლაც, სხვადასხვა ნიშნით მთელი რიცხვების გაყოფის წესის მიხედვით გვაქვს .

პასუხი:

45:(−15)=−3 .

უარყოფითი მთელი რიცხვის ნაშთით დაყოფა დადებით რიცხვზე, მაგალითები

მოდით მივცეთ ნაშთით უარყოფითი მთელი რიცხვის დადებით რიცხვზე გაყოფის წესის ფორმულირება.

იმისათვის, რომ მიიღოთ არასრული კოეფიციენტი a უარყოფითი მთელი რიცხვის დადებით რიცხვზე b-ზე, თქვენ უნდა აიღოთ არასრული კოეფიციენტის საპირისპირო რიცხვი საწყისი რიცხვების მოდულების გაყოფისგან და გამოკლოთ ერთი, რის შემდეგაც გამოითვლება დარჩენილი d. d=a−b·c ფორმულის გამოყენებით.

ნაშთით გაყოფის ამ წესიდან გამომდინარეობს, რომ უარყოფითი მთელი რიცხვის დადებით მთელ რიცხვზე გაყოფის ნაწილობრივი კოეფიციენტი არის უარყოფითი მთელი რიცხვი.

ჩამოთვლილი წესიდან გამომდინარეობს ალგორითმი ნაშთით a უარყოფითი მთელი რიცხვის დადებით b-ზე გაყოფისთვის:

• დივიდენდის და გამყოფის მოდულების მოძიება.
• დივიდენდის მოდულს ვყოფთ გამყოფის მოდულზე, ვიღებთ ნაწილობრივი კოეფიციენტს და ნაშთს. (თუ ნაშთი ნულის ტოლია, მაშინ თავდაპირველი მთელი რიცხვები იყოფა ნაშთების გარეშე და საჭირო კოეფიციენტი უდრის მოდულის გაყოფის კოეფიციენტის საპირისპირო რიცხვს.)
• მიღებული არასრული კოეფიციენტის საპირისპირო რიცხვს ვწერთ და მას 1-ს ვაკლებთ. გამოთვლილი რიცხვი არის სასურველი ნაწილობრივი კოეფიციენტი c საწყისი უარყოფითი მთელი რიცხვის დადებით რიცხვზე გაყოფისგან.

გავაანალიზოთ მაგალითის ამოხსნა, რომელშიც ნაშთით ვიყენებთ წერილობით გაყოფის ალგორითმს.

მაგალითი.

იპოვეთ ნაწილობრივი კოეფიციენტი და ნაშთი უარყოფითი მთელი რიცხვის −17 დადებით მთელ რიცხვზე 5-ზე გაყოფისას.

გამოსავალი.

დივიდენდის −17 მოდული უდრის 17-ს, ხოლო გამყოფი 5-ის მოდული 5-ის ტოლია.

გაყოფით 17 5-ზე, ვიღებთ ნაწილობრივ კოეფიციენტს 3 და დანარჩენს 2-ს.

3-ის საპირისპირო არის -3. გამოვაკლოთ ერთი −3-ს: −3−1=−4. ასე რომ, საჭირო ნაწილობრივი კოეფიციენტი უდრის -4-ს.

რჩება მხოლოდ დარჩენილი ნაწილის გამოთვლა. ჩვენს მაგალითში a=−17, b=5, c=−4, შემდეგ d=a−b·c=−17−5·(−4)= −17−(−20)=−17+20=3 .

ამრიგად, უარყოფითი მთელი რიცხვის −17 გაყოფის ნაწილობრივი კოეფიციენტი დადებით მთელ რიცხვზე 5 არის −4, ხოლო დანარჩენი არის 3.

პასუხი:

(−17):5=−4 (დარჩენილი 3) .

მაგალითი.

უარყოფითი მთელი რიცხვი −1,404 გაყავით დადებით მთელ რიცხვზე 26.

გამოსავალი.

დივიდენდის მოდული არის 1404, გამყოფის მოდული არის 26.

გაყავით 1404 26-ზე სვეტის გამოყენებით:

ვინაიდან დივიდენდის მოდული იყოფა გამყოფის მოდულზე ნარჩენების გარეშე, თავდაპირველი მთელი რიცხვები იყოფა ნაშთების გარეშე და სასურველი კოეფიციენტი უდრის 54-ის საპირისპირო რიცხვს, ანუ −54.

პასუხი:

(−1 404):26=−54 .

გაყოფის წესი ნაშთით უარყოფითი მთელი რიცხვებისთვის, მაგალითები

ჩამოვაყალიბოთ უარყოფითი მთელი რიცხვების ნაშთით გაყოფის წესი.

იმისათვის, რომ მიიღოთ არასრული კოეფიციენტი a უარყოფითი მთელი რიცხვი a უარყოფით მთელ რიცხვზე b-ზე, თქვენ უნდა გამოთვალოთ არასრული კოეფიციენტი ორიგინალური რიცხვების მოდულების გაყოფისგან და დაამატოთ მას ერთი, რის შემდეგაც დარჩენილი d გამოითვლება d ფორმულით. =a−b·c.

ამ წესიდან გამომდინარეობს, რომ უარყოფითი რიცხვების გაყოფის ნაწილობრივი კოეფიციენტი არის დადებითი მთელი რიცხვი.

მოდით გადავიწეროთ მითითებული წესი უარყოფითი მთელი რიცხვების გაყოფის ალგორითმის სახით:

• დივიდენდის და გამყოფის მოდულების მოძიება.
• დივიდენდის მოდულს ვყოფთ გამყოფის მოდულზე, ვიღებთ ნაწილობრივი კოეფიციენტს და ნაშთს. (თუ ნაშთი ნულის ტოლია, მაშინ თავდაპირველი მთელი რიცხვები იყოფა ნაშთების გარეშე და საჭირო კოეფიციენტი უდრის გამყოფის მოდულის კოეფიციენტს გაყოფილი გამყოფის მოდულზე.)
• მიღებულ არასრულ კოეფიციენტს ვამატებთ ერთს.
• ნაშთს ვიანგარიშებთ d=a−b·c ფორმულით.

მაგალითის ამოხსნისას განვიხილოთ უარყოფითი მთელი რიცხვების გაყოფის ალგორითმის გამოყენება.

მაგალითი.

იპოვეთ ნაწილობრივი კოეფიციენტი და ნაშთი −17 უარყოფითი მთელი რიცხვის უარყოფით −5-ზე გაყოფისას.

გამოსავალი.

გამოვიყენოთ შესაბამისი გაყოფის ალგორითმი ნაშთით.

დივიდენდის მოდული არის 17, გამყოფის მოდული არის 5.

განყოფილება 17 5-ზე იძლევა ნაწილობრივ კოეფიციენტს 3-ს და დანარჩენს 2-ს.

არასრულ კოეფიციენტს 3 ვუმატებთ ერთს: 3+1=4. მაშასადამე, −17 −5-ზე გაყოფის აუცილებელი ნაწილობრივი კოეფიციენტი უდრის 4-ს.

რჩება მხოლოდ დარჩენილი ნაწილის გამოთვლა. ამ მაგალითში a=−17, b=−5, c=4, შემდეგ d=a−b·c=−17−(−5)·4= −17−(−20)=−17+20=3 .

ასე რომ, −17 უარყოფითი მთელი რიცხვის −5-ზე გაყოფის ნაწილობრივი კოეფიციენტი არის 4, ხოლო დანარჩენი არის 3.

პასუხი:

(−17):(−5)=4 (დარჩენილი 3) .

მთელი რიცხვების ნაშთით გაყოფის შედეგის შემოწმება

მთელი რიცხვების ნაშთით გაყოფის შემდეგ, სასარგებლოა შედეგის შემოწმება. შემოწმება ხდება ორ ეტაპად. პირველ ეტაპზე მოწმდება არის თუ არა დარჩენილი d არაუარყოფითი რიცხვი და ასევე ამოწმებს დაკმაყოფილებულია თუ არა პირობა. თუ შემოწმების პირველი ეტაპის ყველა პირობა დაკმაყოფილებულია, მაშინ შეგიძლიათ გადახვიდეთ გადამოწმების მეორე ეტაპზე, წინააღმდეგ შემთხვევაში შეიძლება ითქვას, რომ სადმე დაშვებული იყო შეცდომა ნაშთით გაყოფისას. მეორე ეტაპზე მოწმდება a=b·c+d ტოლობის მართებულობა. თუ ეს თანასწორობა მართალია, მაშინ ნაშთით გაყოფა სწორად განხორციელდა, წინააღმდეგ შემთხვევაში სადღაც დაშვებული იყო შეცდომა.

მოდით შევხედოთ მაგალითების ამონახსნებს, რომლებშიც შემოწმდება მთელი რიცხვების ნაშთით გაყოფის შედეგი.

მაგალითი.

−521 რიცხვის −12-ზე გაყოფისას, ნაწილობრივი კოეფიციენტი იყო 44, დარჩენილი იყო 7, შეამოწმეთ შედეგი.

გამოსავალი. −2 b=−3-სთვის, c=7, d=1. Ჩვენ გვაქვს b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20. ამრიგად, ტოლობა a=b·c+d არასწორია (ჩვენს მაგალითში a=−19).

ამიტომ ნაშთით გაყოფა არასწორად განხორციელდა.