ცილინდრული ზედაპირები.

განმარტება. ცილინდრული ზედაპირიარის პარალელური სწორი ხაზების (გენერატორების) ერთობლიობა, რომელიც გადის გარკვეული წრფის ყველა წერტილში, რომელსაც ეწოდება სახელმძღვანელო.

მოდით ცილინდრული ზედაპირი განისაზღვროს ამ გზით მართკუთხა სისტემაკოორდინაციას OXYZ, რომ გენერატორები ამ

ზედაპირები პარალელურია OZ ღერძისა და სახელმძღვანელო დევს OXY სიბრტყეში და მოცემულია განტოლებით:

თუ ავიღებთ თვითნებურ წერტილს M(z,y,z) ცილინდრულ ზედაპირზე, მაშინ მისი პროექცია OXY სიბრტყეზე არის წერტილი M 1 (x 1,y 1,0). ვინაიდან წერტილები M და M 1 დევს გენერატრიქსზე, მაშინ x 1 = x, y 1 = y. და რადგან M 1 წერტილი დევს სახელმძღვანელოზე, M 1 წერტილის კოორდინატები და, შესაბამისად, წერტილი M აკმაყოფილებენ F(x,y)=0 განტოლებას.

ასე რომ, განტოლება კმაყოფილდება ნებისმიერი წერტილის კოორდინატებით

ცილინდრული ზედაპირი. ამიტომ განტოლება

– ცილინდრული ზედაპირის საჭირო განტოლება .

თუ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში OXYZ გზამკვლევი არის მეორე რიგის მრუდი, რომელიც განისაზღვრება F(x,y)=0 ფორმის კანონიკური განტოლებით და გენერატორები არიან OZ ღერძის პარალელურად, მაშინ მეორე რიგის ცილინდრული ზედაპირები იქნება. იყოს:

x 2 +y 2 =z 2 - სწორი წრიული ცილინდრი;

2)
- ელიფსური ცილინდრი;

3)
-ჰიპერბოლური ცილინდრი;

4) y 2 = 2 px - პარაბოლური ცილინდრი.

გაითვალისწინეთ რომ დამახასიათებელი თვისებაგანსახილველი ცილინდრული ზედაპირების განტოლებები არის ამ განტოლებებში ერთ-ერთი ცვლადის არარსებობა.

კონუსური ზედაპირები

განმარტება. კონუსური ზედაპირიეწოდება ხაზების სიმრავლე ( ფორმირება) რაღაც წერტილის გავლა (ზედა)და რაღაც ხაზის გადაკვეთა (მეგზური).

კონუსური PVP- კონუსური ზედაპირი გიდით, რომელიც არის KVP.

თუ წვერო ემთხვევა მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის OXY საწყისს, ხოლო სახელმძღვანელო არის ელიფსი:

კონუსური ზედაპირის განტოლებას აქვს ფორმა:

– კონუსური ზედაპირის განტოლება

რევოლუციის ზედაპირები

განმარტება.ზედაპირს ე.წ ბრუნვის ზედაპირი,თუ მის თითოეულ წერტილთან ერთად ის ასევე შეიცავს მთელ წრეს, რომელიც მიიღება ამ წერტილის ბრუნვისას რაიმე ფიქსირებული სწორი ხაზის გარშემო, ე.წ. ბრუნვის ღერძი.

დაე, მრუდი ხაზი l იყოს მოცემული YOZ სიბრტყეზე ფორმის განტოლებით

შემდეგ რევოლუციის ზედაპირის განტოლებას, რომელიც წარმოიქმნება OZ ღერძის გარშემო l მრუდის ბრუნვით, აქვს ფორმა:

ელიფსოიდი

ჰიპერბოლოიდი.

ერთფურცლიანი ჰიპერბოლოიდი:

კანონიკური განტოლება ბისექსუალიგჰიპერბოლოიდისაქვს ფორმა:

პარაბოლოიდი

ელიფსური პარაბოლოიდი.

z=ax 2 +2-ით (a,b>0).

ჰიპერბოლური პარაბოლოიდი.

z=-ax 2 + 2-ით (a,b>0)

ლიტერატურა:

1. ალექსანდროვი პ.ს. ანალიტიკური გეომეტრიის კურსი და წრფივი ალგებრა. – M: ნაუკა, 1979 წ.

2. Birkhoff G., Barti T. თანამედროვე გამოყენებითი ალგებრა. – მ.: მირი, 1976 წ.

3. ბუზლანოვი ა.ვ., მონახოვი ვ.ს. ლაბორატორიული სამუშაო კურსზე „ალგებრა და რიცხვების თეორია“. – გომელი: Rotaprint GSU-ს სახელობის. F. Skorina, 1991 წ.

4. ბუზლანოვი A.V., Kamornikov S.F., Karmazin A.P. ლაბორატორიული სამუშაომათემატიკის ფაკულტეტის სტუდენტებისთვის კურსში „ალგებრა და რიცხვების თეორია“ (ნაწილი „წრფივი ალგებრა“). ნაწილი I, II, III. – გომელი: Rotaprint GSU-ს სახელობის. F. Skorina, 1990, 1991 წ.

5. ბურდუნი A.A., Murashko E.A., Tolkachev M.M., Fedenko A.O. ამოცანების კრებული ალგებრასა და ანალიტიკურ გეომეტრიაში. – Mn.: Universitetskoe, 1989 წ.

6. Ilyin V.A., Poznyak E.G. ანალიტიკური გეომეტრია. – მ.: ნაუკა, 1982 წ.

7. Ilyin V.A., Poznyak E.G. ხაზოვანი ალგებრა. – მ.: ნაუკა, 1974 წ.

8. კუროშ ა.გ. უმაღლესი ალგებრის კურსი. – მ.: ნაუკა, 1968 წ.

9. Milovanov M.V., Tyshkevich R.I., Fedenko A.S. ალგებრა და ანალიტიკური გეომეტრია. ნაწილი I, II. – მრ.: უმაღლესი სკოლა, 1984, 1987 წ.

10. რუბლევი ა.ნ. წრფივი ალგებრის და ანალიტიკური გეომეტრიის კურსი. – მ.: უმაღლესი სკოლა, 1972 წ.

საგანმანათლებლო გამოცემა

ხოდალევიჩი ალექსანდრე დიმიტრიევიჩი

ბოროდიჩ რუსლან ვიქტოროვიჩი

რიჟიკი ვალენტინა ნიკოლაევნა

ცილინდრული ზედაპირი არის ზედაპირი, რომელიც შედგება ყველა სწორი ხაზისგან, რომლებიც ერთმანეთს კვეთენ ეს ხაზი L და ამ სწორი ხაზის პარალელურად I. ამ შემთხვევაში, ხაზს L ეწოდება ცილინდრული ზედაპირის გზამკვლევი, ხოლო თითოეულ სწორ ხაზს, რომელიც ქმნის ამ ზედაპირს და პარალელურად სწორი ხაზის - გენერატორი (სურ. 89). ). სამომავლოდ განვიხილავთ მხოლოდ ისეთ ცილინდრულ ზედაპირებს, რომელთა მეგზური დევს ერთ-ერთ კოორდინატულ სიბრტყეში, ხოლო გენერატრიკები პარალელურია. კოორდინატთა ღერძი, ამ სიბრტყის პერპენდიკულარულად.

მოდით განვიხილოთ Oxy სიბრტყეში ზოგიერთი ხაზი L, რომელსაც აქვს განტოლება Oxy კოორდინატულ სისტემაში.

ავაშენოთ ცილინდრული ზედაპირი ოზის ღერძისა და L სახელმძღვანელოს პარალელურად გენერატრიციებით (სურ. 90). ვაჩვენოთ, რომ ამ ზედაპირის განტოლება იქნება განტოლება (39), თუ ის დაკავშირებულია სივრცეში არსებულ კოორდინატთა სისტემასთან. მოდით იყოს აგებული ცილინდრული ზედაპირის ნებისმიერი ფიქსირებული წერტილი.

N-ით ავღნიშნოთ გზამკვლევი L-ის გადაკვეთის წერტილი და M წერტილში გამავალი გენერატრიქსი. წერტილი აშკარად იქნება M წერტილის პროექცია სიბრტყეზე, ამიტომ M და N წერტილებს აქვთ იგივე აბსციზა იგივე ორდინატი y. მაგრამ N წერტილი დევს L მრუდზე და მისი x და y კოორდინატები აკმაყოფილებენ ამ მრუდის განტოლებას (39). შესაბამისად, ეს განტოლება ასევე კმაყოფილდება წერტილის კოორდინატებით, რადგან ის არ შეიცავს . ამრიგად, მოცემული ცილინდრული ზედაპირის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას (39). წერტილების კოორდინატები, რომლებიც არ დევს ამ ზედაპირზე, არ აკმაყოფილებს განტოლებას (39), რადგან ეს წერტილები დაპროექტებულია მრუდის გარეთ სიბრტყეზე.

ამრიგად, განტოლება, რომელიც არ შეიცავს, თუ დაკავშირებულია სივრცეში კოორდინატთა სისტემასთან, არის ცილინდრული ზედაპირის განტოლება ღერძისა და სახელმძღვანელო L-ის პარალელურად გენერატრიციებით, რომელიც სიბრტყეში მოცემულია იმავე განტოლებით.

სივრცეში სახელმძღვანელო L განისაზღვრება ორი განტოლების სისტემით:

ანალოგიურად, შეიძლება ნაჩვენები იყოს, რომ განტოლება, რომელიც არ შეიცავს y-ს და განტოლება, რომელიც არ შეიცავს, განსაზღვრავს ცილინდრულ ზედაპირებს Oxy სივრცეში გენერატორებით, შესაბამისად, ღერძების პარალელურად.

მოდით შევხედოთ ცილინდრული ზედაპირების მაგალითებს.

1. განტოლებით განსაზღვრული ზედაპირი

არის ცილინდრული და ეწოდება ელიფსური ცილინდრი (სურ. 91).

მისი გენერატორები ღერძის პარალელურია, ხოლო სახელმძღვანელო არის ელიფსი a და b ნახევრად ღერძებით, რომელიც დევს სიბრტყეში. კერძოდ, თუ მაშინ სახელმძღვანელო არის წრე და ზედაპირი სწორი ხაზი წრიული ცილინდრი. მისი განტოლება

2. განტოლებით განსაზღვრული ცილინდრული ზედაპირი

ჰიპერბოლური ცილინდრი ეწოდება (სურ. 92). ამ ზედაპირის გენერატრიკები პარალელურია a-ღერძისა და სახელმძღვანელო არის ჰიპერბოლა, რომელიც მდებარეობს სიბრტყეში რეალური ნახევრად ღერძით a და წარმოსახვითი ნახევრადღერძით b.

3. განტოლებით განსაზღვრული ცილინდრული ზედაპირი

პარაბოლური ცილინდრი ეწოდება (სურ. 93). მისი მეგზური არის პარაბოლა, რომელიც სიბრტყეში დევს და მისი გენერატრიკები ოქსის ღერძის პარალელურია.

კომენტარი. როგორც ცნობილია, სივრცეში ხაზი შეიძლება განისაზღვროს ამ ხაზის გასწვრივ გადაკვეთილი თვითმფრინავების სხვადასხვა წყვილის განტოლებით. ანალოგიურად, სივრცეში მრუდი შეიძლება განისაზღვროს სხვადასხვა ზედაპირის განტოლებების გამოყენებით, რომლებიც იკვეთება ამ მრუდის გასწვრივ.

გაკვეთილი No10.

თემა:ბრუნვის ზედაპირები.
ცილინდრული ზედაპირები

თეორიული ინფორმაცია.

1. ბრუნვის ზედაპირები.

ლიმიტი. ბრუნვის ზედაპირი არის ზედაპირი, რომელიც წარმოიქმნება ბრტყელი ხაზის ბრუნვით  ამ ხაზის სიბრტყეში მდებარე ღერძის გარშემო.

დაე
, მაშინ ის შეიძლება განტოლებით დაზუსტდეს

ღერძის გარშემო  ხაზის ბრუნვის შედეგად წარმოქმნილი ზედაპირის განტოლება ოზიგამოიყურება ასე:

(1)

2. ცილინდრული ზედაპირები.

მიეცით გარკვეული ბრტყელი ხაზი  და ვექტორი სივრცეში , არა თვითმფრინავის პარალელურადეს ხაზი.

განმარტება. ცილინდრული ზედაპირი არის წერტილების ერთობლიობა სივრცეში, რომელიც დევს მოცემული ვექტორის პარალელურ ხაზებზე და კვეთს მოცემულ წრფეს .

 ხაზს ცილინდრული ზედაპირის გზამკვლევი ეწოდება, სწორ ხაზებს გენერატორები.

განვიხილოთ განსაკუთრებული შემთხვევა: სახელმძღვანელო ხაზი  დევს სიბრტყეში xOy: და მოცემულია განტოლებებით:
ხოლო გენერატორების მიმართულების ვექტორს აქვს კოორდინატები
,
.

ამ შემთხვევაში ცილინდრული ზედაპირის განტოლებას აქვს ფორმა

. (2)

სავარჯიშოები.

1. მიიღეთ ბრუნვის ზედაპირის განტოლება (1).

   მიიღეთ ცილინდრული ზედაპირის განტოლება (2).

ძირითადი ტიპიური ამოცანები.

1. ბრუნვის ზედაპირის განტოლების შედგენა სახელმძღვანელოს და ბრუნვის ღერძის განტოლებების გამოყენებით.

   ცილინდრული ზედაპირის განტოლების შედგენა გიდის და გენერატორების სახელმძღვანელო ვექტორის განტოლებების გამოყენებით.

პრობლემის გადაჭრის მაგალითები.

დავალება 1.თვითმფრინავში yOzმოცემულია წრე ცენტრით 1 რადიუსის წერტილში (0; 4; 0). დაწერეთ ზედაპირის განტოლება, რომელიც წარმოიქმნება მოცემული წრის ღერძის გარშემო ბრუნვით. ოზი.

გამოსავალი.

სიბრტყეში მოქცეული წრის განტოლებები yOzცენტრით 1 რადიუსის წერტილში (0; 4; 0), აქვს ფორმა

(3)

ოზის ღერძის გარშემო ამ წრის ბრუნვით მიიღება ზედაპირი, რომელსაც ტორუსი ეწოდება. დაე მარის თვითნებური წერტილი ტორუსზე. მოდით გავამახვილოთ წერტილი მსიბრტყე  ბრუნვის ღერძის პერპენდიკულარული, ე.ი. ცულები ოზი, კვეთაში ვიღებთ წრეს. ავღნიშნოთ ამ წრის ცენტრი პდა  სიბრტყის გადაკვეთის წერტილი წრეზე, რომელიც ქმნის ბრუნვის ზედაპირს არის ნ.

ავღნიშნოთ წერტილის კოორდინატები მ(x, წ, ზ), შემდეგ პ(0, 0, ზ), და N(0, , ზ). ვინაიდან M და N წერტილები დევს წრეზე, რომლის ცენტრი წერტილია პ, ეს

,

.

ბოლო ტოლობას ვწერთ კოორდინატებში

. (4)

წერტილი N დევს წრეზე, რომლის როტაცია ქმნის ტორუსს, რაც ნიშნავს, რომ მისი კოორდინატები უნდა აკმაყოფილებდეს განტოლებებს (3), ჩვენ ვწერთ სისტემის პირველ განტოლებას (3).

,

,

.

ბოლო ტოლობის კვადრატში გამოვყოთ.

და შეცვალეთ გამონათქვამი თანასწორობიდან (4) ვიღებთ

განტოლება (5) არის აუცილებელი.

დავალება 2.დაწერეთ განტოლება ცილინდრული ზედაპირისთვის, თუ სახელმძღვანელო დევს სიბრტყეში xOyდა აქვს განტოლება
, და გენერატორები ვექტორის პარალელურია (1; 2; –1).

დაუშვით წერტილი მ(x, წ, ზ) არის თვითნებური წერტილი ცილინდრულ ზედაპირზე. მოდით გავამახვილოთ წერტილი მფორმირება ლ, ის კვეთს მეგზურს წერტილში
. ვინაიდან მეგზური თვითმფრინავში დევს xOy, ეს
. შევადგინოთ წრფის კანონიკური განტოლებები ლ

.

პირველი და მეორე წილადები გავაიგივოთ ბოლოსთან

(6)

წერტილი N დევს სახელმძღვანელოზე, რაც ნიშნავს, რომ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებს მის განტოლებას:

.

გამონათქვამების ჩანაცვლება და სისტემიდან (6) ვიღებთ

. (7)

(7) – საჭირო განტოლება.

ა) ელიფსი
;

ბ) ჰიპერბოლები
;

გ) პარაბოლები
.

ა) გიდი წევს თვითმფრინავში
და აქვს განტოლება , და გენერატორები ვექტორის პარალელურია (1; 0; 1);

ბ) გიდი წევს თვითმფრინავში yOzდა აქვს განტოლება
და გენერატორები ღერძის პარალელურია ოქსი;

გ) გზამკვლევი დევს xOz სიბრტყეში და არის წრე
და გენერატორები პარალელურია Oy ღერძის.

დაწერეთ ცილინდრული ზედაპირის განტოლება, თუ:

ა) სახელმძღვანელო მოცემულია განტოლებებით
ხოლო გენერატორი ვექტორის პარალელურია
;

ბ) სახელმძღვანელო მოცემულია განტოლებებით
გენერატორი კი წრფის პარალელურია x= წ= ზ.

ა)
,
,
, მ(2; 0; 1);

ბ) ლ:
, მ(2; –1; 1).

გაკვეთილი No11.

თემა:კონუსური ზედაპირები.

თეორიული ინფორმაცია.

მიეცით გარკვეული ბრტყელი ხაზი  და წერტილი სივრცეში ს, არ წევს ამ ხაზის სიბრტყეში.

განმარტება. კონუსური ზედაპირი არის წერტილების ერთობლიობა სივრცეში, რომელიც გადის სწორ ხაზებზე ეს წერტილი სდა ამ ხაზის გადაკვეთა .

 წრფეს ეწოდება კონუსური ზედაპირის, წერტილის სახელმძღვანელო ს– წვერო, ხაზებს გენერატორები ეწოდება.

განვიხილოთ განსაკუთრებული შემთხვევა: S წვერო ემთხვევა კოორდინატების საწყისს, სახელმძღვანელო ხაზი  დევს სიბრტყის პარალელურ სიბრტყეში. xOy: ზ= გდა მოცემულია განტოლებით:
.

ამ შემთხვევაში კონუსური ზედაპირის განტოლებას აქვს ფორმა

. (1)

თუ გზამკვლევი არის ელიფსი, რომელიც ორიენტირებულია ღერძზე ოზი,

შემდეგ მივიღებთ ზედაპირს, რომელსაც ეწოდება მეორე რიგის კონუსი, ამ ზედაპირის განტოლებას აქვს ფორმა:

. (2)

ღერძი ოზიამ შემთხვევაში არის მეორე რიგის კონუსის ღერძი.

მეორე რიგის კონუსის სექციები:

დაე,  სიბრტყე არ გაიაროს მეორე რიგის კონუსის წვეროზე, მაშინ  სიბრტყე კვეთს კონუსს:

ა) ელიფსის გასწვრივ, თუ  კვეთს კონუსის ყველა გენერატრიკას;

ბ) ჰიპერბოლით, თუ  პარალელურია კონუსის ორი გენერატორის;

გ) პარაბოლას გასწვრივ, თუ  პარალელურია კონუსის ერთი გენერატორის.

სავარჯიშოები.

მიიღეთ კონუსური ზედაპირის განტოლება (1).

მიიღეთ მეორე რიგის კონუსური ზედაპირის განტოლება (2).

ძირითადი ტიპიური ამოცანები.

კონუსური ზედაპირის განტოლების შედგენა წვეროს კოორდინატებისა და სახელმძღვანელოს განტოლების გამოყენებით.

პრობლემის გადაჭრის მაგალითები.

დავალება 1.დაწერეთ კონუსური ზედაპირის განტოლება, რომლის წვერო არის სათავეში და რომლის მიმართულება მოცემულია განტოლებებით.

დაუშვით წერტილი მ(x, წ, ზ) არის თვითნებური წერტილი კონუსურ ზედაპირზე. მოდით დავხატოთ გენერატორი ამ წერტილიდან ლ, ის გადაკვეთს მეგზურს წერტილში
. მოდით ჩამოვწეროთ წრფის კანონიკური განტოლებები ლ, როგორც წერტილში გამავალი წრფის განტოლებები ნდა კონუსის წვერო O(0, 0, 0)

,

.

მოდით გამოვხატოთ ბოლო სისტემიდან და:
,
. იმიტომ რომ წერტილი ნდევს სახელმძღვანელო კონუსურ ზედაპირზე, მაშინ მისი კოორდინატები უნდა აკმაყოფილებდეს სახელმძღვანელოს განტოლებებს:

(3)

მოდით შევცვალოთ ნაპოვნი გამონათქვამები სისტემის მეორე განტოლებაში (3)

,

,

,

. (4)

,
. (5)

ჩაანაცვლეთ (4) და (5) სისტემის პირველ განტოლებაში (3)

,

.

მიღებული განტოლება არის კონუსური ზედაპირის სასურველი განტოლება ვექტორები. საკოორდინაციო სისტემა. ორთონორალური საფუძველი. ხაზოვანი ოპერაციები დასრულდა ვექტორებიკოორდინატებში. სკალარი მუშაობა ვექტორები. ვექტორი მუშაობა ვექტორები ...

§1. ცილინდრული და კონუსური ზედაპირი.

განმარტება.კონუსური ზედაპირი (კონუსი)წერტილში წვეროსთან არის ზედაპირი, რომელიც მისი ყოველი წერტილით M
შეიცავს მთელ ხაზს
.

ჩვენ მივიღებთ კონუსურ ზედაპირს შემდეგნაირად. განვიხილოთ ხაზი სივრცეში და წერტილი,
. ზედაპირი, რომელიც წარმოიქმნება ყველა ხაზით, რომელთაგან თითოეული გადის წერტილს, და ყველა ხაზი, რომელთაგან თითოეული გადის წერტილს და კვეთს ხაზს , არის კონუსური ზედაპირი. ხაზი დაურეკა სახელმძღვანელო, სწორი - ფორმირება.

ამოცანები.


გამოსავალი. გაითვალისწინეთ, რომ კონუსის მიმართულება განისაზღვრება, როგორც ორი ნაკრების გადაკვეთა: ზედაპირი
და თვითმფრინავები
. დაე, თვითნებური წერტილი
, ანუ სწორი
უნდა გადაკვეთოს გზამკვლევი . მერე
, ანუ სწორხაზოვანი გენერატრიქსი
კონუსური ზედაპირი K კვეთს სიბრტყეს
(დახატე ნახატი). მოდით დავწეროთ ეს პირობები განტოლების სახით.

. მოდი ვიპოვოთ კოორდინატები
ხაზის გადაკვეთის წერტილები
თვითმფრინავით .

. ნაპოვნია კოორდინატები
უნდა აკმაყოფილებდეს ზედაპირის განტოლებას
. ვიღებთ

ცვლადების ხელახალი დიზაინით, ჩვენ ვიღებთ

გამოსავალი. დაე






. ეს არის სასურველი კონუსური ზედაპირის განტოლება. 
განმარტება.ზედაპირი, რომელიც შეიცავს მთელ წრფეს, რომელიც გადის ამ წერტილში ფიქსირებული ვექტორის პარალელურად. , დაურეკა ცილინდრული ზედაპირი ან ცილინდრი.

ცილინდრული ზედაპირი შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად. დაე - რაღაც ხაზი და არის არანულოვანი ვექტორი. ზედაპირი, რომელიც წარმოიქმნება ყველა სწორი ხაზით, რომელთაგან თითოეული გადის ხაზის გარკვეულ წერტილში ვექტორის პარალელურად , იქნება ცილინდრული. ხაზი დაურეკა სახელმძღვანელო, სწორი - ფორმირება.

წრფის პარამეტრული განტოლებები :
. გადავკვეთოთ ეს ხაზი სიბრტყეს და იპოვნეთ კოორდინატები
გადაკვეთის წერტილები: . ამ წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებს ზედაპირის განტოლებას
, ანუ

. ცვლადების ხელახალი დიზაინით, ჩვენ ვიღებთ სასურველი ცილინდრული ზედაპირის განტოლებას:
. 

გამოსავალი. დაე
C
. გამოვთვალოთ
, სად
. მერე
.

ანალოგიურად ვპოულობთ
. ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ. ეს არის სასურველი ცილინდრული ზედაპირის განტოლება. ©

ამოცანები სატესტო სამუშაოსთვის.


20*. დაწერეთ ბრუნვის ცილინდრული ზედაპირის განტოლება, იცოდეთ მისი სამი გენერატორის განტოლებები, , (PDSC).

21*. დაწერეთ განტოლება წრიული კონუსითუ კოორდინატების ღერძი მისი სწორხაზოვანი გენერატორებია, ღერძი დევს 1 და 7 ოქტანტში (ASC).

22*. დაწერეთ სფეროების გარშემო შემოხაზული კონუსის განტოლება
და
(PDSC).
§2. მეორე რიგის ზედაპირების სწორხაზოვანი გენერატორები.

განმარტება. ზედაპირზე დაყრილ სწორ ხაზს ე.წ სწორხაზოვანი გენერატრიქსიამ ზედაპირს.

ამოცანები.

იმისათვის, რომ ეს განტოლება შენარჩუნდეს ნებისმიერისთვის აუცილებელია, რომ

. ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ ორი მიმართულების ვექტორი, რომლისთვისაც სწორი ხაზი შეიცავს ზედაპირზე:
და
. პირდაპირი გადამოწმება აჩვენებს, რომ ეს ვექტორები განსაზღვრავენ სწორხაზოვან გენერატორებს. შემდეგ ამ წერტილის გავლით
გადის მოცემული ზედაპირის ორი სწორხაზოვანი გენერატორი. ©
განვიხილოთ კანონიკური განტოლებაერთფურცლიანი ჰიპერბოლოიდი
და წარმოადგინეთ იგი ფორმით
. მაშინ მართკუთხა გენერატორების ორი ოჯახის განტოლებებს აქვს ფორმა:

;
, სად

სად
.

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ასეთი რიცხვები
ისე რომ სწორხაზოვანი გენერატორები ღერძის პერპენდიკულარული იყოს
. ამისათვის ჩვენ ვიპოვით ამ ხაზების მიმართულების ვექტორებს.

. მერე

მაშინ . ჩვენ ამას მოვითხოვთ
, ანუ

. მოდით ჩავანაცვლოთ განტოლებებში . ვიღებთ

და
.

ოჯახი მკურნალობენ ანალოგიურად. 

გამოსავალი. მოდით დავწეროთ ერთფურცლიანი ჰიპერბოლოიდის განტოლება სახით და ჩავწეროთ მართკუთხა გენერატორების ორი ოჯახის განტოლებები.

სად
.

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ასეთი რიცხვები
ისე, რომ სწორი ხაზის გენერატორები გაიარონ წერტილში (1,0,0). განიხილეთ პირდაპირი ოჯახები
. ვინაიდან წერტილი (1,0,0) უნდა ეკუთვნოდეს ასეთ წრფეებს, მისი კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებათა ამ სისტემას, ანუ
. მოდით ჩავრთოთ ეს განტოლებებში და შეამცირეთ . მერე
- სასურველი სწორხაზოვანი გენერატრიქსის განტოლებები. სწორხაზოვანი გენერატორების მეორე ოჯახი ანალოგიურად განიხილება. 

განვიხილოთ ჰიპერბოლური პარაბოლოიდის კანონიკური განტოლება
და წარმოადგინეთ იგი ფორმით
. მაშინ მართკუთხა გენერატორების ორი ოჯახის განტოლებებს აქვს ფორმა:
;
, სად
და ყოველ წყვილში ერთი რიცხვი მაინც არ არის ნულის ტოლი.


და შეადგინეთ მართკუთხა გენერატორების ორი ოჯახის განტოლებები

, სად

ისე რომ სწორხაზოვანი გენერატორები სიბრტყის პარალელურად იყოს
. ჩვენ გვაქვს
, ანუ
. იმიტომ რომ თვითმფრინავის პარალელურად
ვექტორისა და სიბრტყის პარალელურობის კრიტერიუმით ვიღებთ
. მოდით ჩავანაცვლოთ განტოლებებში .

. ეს ეწინააღმდეგება მოთხოვნას, რომ წყვილის მინიმუმ ერთი ნომერი
განსხვავდებოდა ნულისაგან. ამ შემთხვევაში გამოსავალი არ არის.

- სასურველი გამოსავალი. საქმეც ანალოგიურად განიხილება . 


გამოსავალი. მოდით დავწეროთ ჰიპერბოლური პარაბოლოიდის განტოლებები სახით
და შეადგინეთ მართკუთხა გენერატორების ორი ოჯახის განტოლებები
, სად
და ყოველ წყვილში ერთი რიცხვი მაინც არ არის ნულის ტოლი. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ასეთი რიცხვები
ისე, რომ მართკუთხა გენერატორები დევს სიბრტყეში
. ვიპოვოთ ოჯახის ხაზების მიმართულების ვექტორი .

, ანუ

თვითმფრინავში არ არის
(და მის პარალელურად).

განვიხილოთ მეორე ოჯახი
და განახორციელეთ მსგავსი გამოთვლები.

, ანუ
. იმისათვის, რომ წრფე შეიცავდეს სიბრტყეში, მისი მიმართულების ვექტორი უნდა იყოს ამ სიბრტყის პარალელურად, ანუ

. პირველ შემთხვევაში, ჩვენ ვიღებთ წინააღმდეგობრივ სისტემას (მსგავსად წინა დავალება), ხოლო მეორე შემთხვევაში გვაქვს
. დარწმუნდით, რომ ეს ხაზი დევს თვითმფრინავში
, უბრალოდ უნდა ავიღოთ სიბრტყეზე ნებისმიერი წერტილი, მაგალითად, (-1,0,0) და შევამოწმოთ, ეკუთვნის თუ არა ეს წერტილი ხაზს . კოორდინატების (-1,0,0) ჩანაცვლება განტოლებებში , ვხედავთ, რომ წერტილი არ ეკუთვნის წრფეს, ანუ ხაზს თვითმფრინავში არ არის
(და მის პარალელურად). ასე რომ, მივიღეთ, რომ არ არსებობს სწორხაზოვანი გენერატორები, თვითმფრინავს ეკუთვნის
. 

ამოცანები სატესტო სამუშაოსთვის.


§3. განყოფილების მეთოდი. მეორე რიგის ზედაპირების სურათი 1.

ამოცანები.


გამოსავალი. ელიფსოიდის კანონიკურ განტოლებას აქვს ფორმა
. მოდი ვიპოვოთ მისი მონაკვეთი თვითმფრინავით
. ამ სიბრტყეში არის "ბრტყელი" კოორდინატთა სისტემა
. წერტილი
ვ
და იგივე წერტილი
ვ
. თუ M ეკუთვნის ელიფსოიდს, მაშინ მისი „სივრცითი“ კოორდინატები აკმაყოფილებენ ელიფსოიდის განტოლებას, ანუ ტოლობა მართალია.
ან
. ეს თანასწორობა შეიძლება შეფასდეს, როგორც კოორდინატთა თანაფარდობა
ვ
, ანუ მივიღეთ ელიფსოიდის და სიბრტყის გადაკვეთის წრფის განტოლება
კოორდინატთა სისტემაში
. შევადაროთ მიღებულ ტოლობას პრობლემის დებულებაში მოცემულ ტოლობას. ვიღებთ
. შემდეგ ელიფსოიდის კანონიკური განტოლება იღებს ფორმას:
. ჩვენ მხოლოდ უნდა ვიპოვოთ ღირებულება . ამისათვის ვიყენებთ რა წერტილს
ეკუთვნის ელიფსოიდს, ანუ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებენ მის განტოლებას:
. ასე რომ, ელიფსოიდის კანონიკური განტოლება
. 


გამოსავალი. განიხილეთ ზედაპირი
, და ჩვენ შევისწავლით მას მონაკვეთების მეთოდით, ანუ ამ ზედაპირის გადაკვეთა საკოორდინაციო თვითმფრინავებიდა მათ პარალელურად თვითმფრინავები.

განვიხილოთ თვითმფრინავი
. შემდეგ ზედაპირის გადაკვეთის ხაზის განტოლება
ამ თვითმფრინავით „ბრტყელ“ კოორდინატულ სისტემაში
ჰგავს
(იხილეთ დავალება 1). ეს განტოლება განსაზღვრავს ჰიპერბოლას რეალური ღერძით
. მოდით დავხატოთ სურათზე. ვიღებთ დადებითი რიცხვი. განტოლების ორივე მხარის ამ რიცხვზე გაყოფით მივიღებთ. 