რას ნიშნავს ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობის პოვნა. როგორ მოვძებნოთ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა

ვნახოთ, როგორ გამოვიკვლიოთ ფუნქცია გრაფიკის გამოყენებით. გამოდის, რომ გრაფიკის დათვალიერებით, ჩვენ შეგვიძლია გავარკვიოთ ყველაფერი, რაც გვაინტერესებს, კერძოდ:

• ფუნქციის დომენი
• ფუნქციის დიაპაზონი
• ფუნქცია ნულები
• გაზრდისა და კლების ინტერვალები
• მაქსიმალური და მინიმალური ქულები
• უდიდესი და უმცირესი ღირებულებაფუნქციონირებს სეგმენტზე.

მოდით დავაზუსტოთ ტერმინოლოგია:

აბსციზაარის წერტილის ჰორიზონტალური კოორდინატი.
ორდინატი- ვერტიკალური კოორდინატი.
აბსცისის ღერძი- ჰორიზონტალური ღერძი, რომელსაც ყველაზე ხშირად უწოდებენ ღერძს.
Y ღერძი - ვერტიკალური ღერძი, ან ღერძი.

არგუმენტი- დამოუკიდებელი ცვლადი, რომელზედაც დამოკიდებულია ფუნქციის მნიშვნელობები. ყველაზე ხშირად მითითებულია.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ ვირჩევთ, ჩავნაცვლებთ ფუნქციებს ფორმულაში და ვიღებთ.

დომენიფუნქციები - იმ (და მხოლოდ იმ) არგუმენტების მნიშვნელობების ნაკრები, რომლებისთვისაც არსებობს ფუნქცია.
მითითებულია: ან .

ჩვენს ფიგურაში ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის სეგმენტი. სწორედ ამ სეგმენტზეა დახატული ფუნქციის გრაფიკი. Მხოლოდ აქ ამ ფუნქციასარსებობს.

ფუნქციის დიაპაზონიარის მნიშვნელობების ნაკრები, რომელსაც იღებს ცვლადი. ჩვენს ფიგურაში ეს არის სეგმენტი - ყველაზე დაბალიდან უმაღლეს მნიშვნელობამდე.

ფუნქცია ნულები- წერტილები, სადაც ფუნქციის მნიშვნელობა ნულია, ანუ. ჩვენს ფიგურაში ეს არის პუნქტები და .

ფუნქციის მნიშვნელობები დადებითიასად . ჩვენს ფიგურაში ეს არის ინტერვალები და .
ფუნქციის მნიშვნელობები უარყოფითიასად . ჩვენთვის ეს არის ინტერვალი (ან ინტერვალი) დან .

ძირითადი ცნებები - მზარდი და შემცირების ფუნქციარაღაც კომპლექტზე. როგორც ნაკრები, შეგიძლიათ აიღოთ სეგმენტი, ინტერვალი, ინტერვალების გაერთიანება ან მთელი რიცხვითი ხაზი.

ფუნქცია იზრდება

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რაც უფრო მეტი, მით მეტი, ანუ გრაფიკი მიდის მარჯვნივ და ზემოთ.

ფუნქცია მცირდებასიმრავლეზე თუ რომელიმე და მიეკუთვნება სიმრავლეს, უტოლობა გულისხმობს უთანასწორობას.

კლებადი ფუნქციისთვის უფრო მაღალი ღირებულებაშეესაბამება უფრო მცირე მნიშვნელობას. გრაფიკი მიდის მარჯვნივ და ქვევით.

ჩვენს ფიგურაში ფუნქცია იზრდება ინტერვალზე და მცირდება ინტერვალებზე და .

მოდით განვსაზღვროთ რა არის ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური ქულები.

მაქსიმალური ქულა- ეს არის განმარტების დომენის შიდა წერტილი, ისეთი, რომ მასში ფუნქციის მნიშვნელობა მეტია, ვიდრე მასთან საკმარისად ახლოს ყველა წერტილში.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მაქსიმალური წერტილი არის წერტილი, სადაც არის ფუნქციის მნიშვნელობა მეტივიდრე მეზობელებში. ეს არის ადგილობრივი "გორაკი" გრაფიკზე.

ჩვენს ფიგურაში არის მაქსიმალური წერტილი.

მინიმალური ქულა- განმარტების დომენის შიდა წერტილი, ისეთი, რომ მასში ფუნქციის მნიშვნელობა ნაკლებია, ვიდრე მასთან საკმარისად ახლოს ყველა წერტილში.
ანუ მინიმალური წერტილი ისეთია, რომ მასში ფუნქციის მნიშვნელობა ნაკლებია, ვიდრე მეზობლებში. ეს არის ლოკალური "ხვრელი" გრაფიკზე.

ჩვენს ფიგურაში არის მინიმალური წერტილი.

წერტილი არის საზღვარი. ის არ არის განმარტების დომენის შიდა წერტილი და, შესაბამისად, არ შეესაბამება მაქსიმალური წერტილის განსაზღვრას. ბოლოს და ბოლოს, მას მეზობლები არ ჰყავს მარცხენა მხარეს. ანალოგიურად, ჩვენს სქემაზე არ შეიძლება იყოს მინიმალური წერტილი.

მაქსიმალური და მინიმალური ქულები ერთად ეწოდება ფუნქციის უკიდურესი წერტილები. ჩვენს შემთხვევაში ეს არის და.

რა უნდა გააკეთო, თუ უნდა იპოვოთ, მაგალითად, მინიმალური ფუნქციასეგმენტზე? ამ შემთხვევაში პასუხია: . იმიტომ რომ მინიმალური ფუნქციაარის მისი მნიშვნელობა მინიმალურ წერტილში.

ანალოგიურად, ჩვენი ფუნქციის მაქსიმალური არის . ის მიღწეულია წერტილში.

შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ფუნქციის უკიდურესობები ტოლია და .

ზოგჯერ პრობლემები მოითხოვს პოვნას ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობებიმოცემულ სეგმენტზე. ისინი სულაც არ ემთხვევა უკიდურესობებს.

ჩვენს შემთხვევაში ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობასეგმენტზე უდრის და ემთხვევა ფუნქციის მინიმუმს. მაგრამ მისი უდიდესი მნიშვნელობა ამ სეგმენტზე უდრის . იგი მიიღწევა სეგმენტის მარცხენა ბოლოში.

ნებისმიერ შემთხვევაში, სეგმენტზე უწყვეტი ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები მიიღწევა ან უკიდურეს წერტილებში ან სეგმენტის ბოლოებში.

ასეთი ამოცანების გადაჭრის სტანდარტული ალგორითმი გულისხმობს ფუნქციის ნულების პოვნის შემდეგ, წარმოებულის ნიშნების განსაზღვრას ინტერვალებზე. შემდეგ მნიშვნელობების გამოთვლა ნაპოვნი მაქსიმალურ (ან მინიმალურ) წერტილებზე და ინტერვალის საზღვარზე, იმისდა მიხედვით, თუ რა კითხვაა მდგომარეობაში.

გირჩევ ცოტა სხვანაირად მოიქცე. რატომ? ამის შესახებ დავწერე.

მე ვთავაზობ ასეთი პრობლემების მოგვარებას შემდეგნაირად:

1. იპოვეთ წარმოებული.
2. იპოვეთ წარმოებულის ნულები.
3. დაადგინეთ რომელი მათგანი ეკუთვნის ამ ინტერვალს.
4. ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს მე-3 ნაბიჯის ინტერვალისა და წერტილების საზღვრებზე.
5. ვაკეთებთ დასკვნას (უპასუხეთ დასმულ კითხვას).

წარმოდგენილი მაგალითების ამოხსნისას გამოსავალი დეტალურად არ განიხილებოდა კვადრატული განტოლებები, თქვენ უნდა შეძლოთ ამის გაკეთება. მათაც უნდა იცოდნენ.

მოდით შევხედოთ მაგალითებს:

77422. იპოვეთ y=x ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა 3 –3x+4 სეგმენტზე [–2;0].

მოდი ვიპოვოთ წარმოებულის ნულები:

წერტილი x = –1 განეკუთვნება პირობით მითითებულ ინტერვალს.

ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს –2, –1 და 0 წერტილებში:

ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა არის 6.

პასუხი: 6

77425. იპოვეთ y = x 3 – 3x 2 + 2 ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტზე.

ვიპოვოთ მოცემული ფუნქციის წარმოებული:

მოდი ვიპოვოთ წარმოებულის ნულები:

წერტილი x = 2 განეკუთვნება პირობით მითითებულ ინტერვალს.

ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს 1, 2 და 4 წერტილებში:

ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა არის –2.

პასუხი: -2

77426. იპოვეთ y = x 3 – 6x 2 ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა [–3;3] სეგმენტზე.

ვიპოვოთ მოცემული ფუნქციის წარმოებული:

მოდი ვიპოვოთ წარმოებულის ნულები:

წერტილი x = 0 განეკუთვნება პირობით მითითებულ ინტერვალს.

ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს –3, 0 და 3 წერტილებში:

ფუნქციის ყველაზე მცირე მნიშვნელობა არის 0.

პასუხი: 0

77429. იპოვეთ y = x 3 – 2x 2 + x +3 ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტზე.

ვიპოვოთ მოცემული ფუნქციის წარმოებული:

3x 2 – 4x + 1 = 0

ჩვენ ვიღებთ ფესვებს: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

პირობით განსაზღვრული ინტერვალი შეიცავს მხოლოდ x = 1-ს.

ვიპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობები 1 და 4 წერტილებში:

ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა არის 3.

პასუხი: 3

77430. იპოვეთ y = x 3 + 2x 2 + x + 3 ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა [– 4; -1].

ვიპოვოთ მოცემული ფუნქციის წარმოებული:

ვიპოვოთ წარმოებულის ნულები და ამოვხსნათ კვადრატული განტოლება:

3x 2 + 4x + 1 = 0

მოდით მივიღოთ ფესვები:

ფესვი x = –1 ეკუთვნის პირობით მითითებულ ინტერვალს.

ვპოულობთ ფუნქციის მნიშვნელობებს –4, –1, –1/3 და 1 წერტილებში:

ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა არის 3.

პასუხი: 3

77433. იპოვეთ y = x 3 – x 2 – 40x +3 ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტზე.

ვიპოვოთ მოცემული ფუნქციის წარმოებული:

ვიპოვოთ წარმოებულის ნულები და ამოვხსნათ კვადრატული განტოლება:

3x 2 – 2x – 40 = 0

მოდით მივიღოთ ფესვები:

პირობით განსაზღვრული ინტერვალი შეიცავს ფესვს x = 4.

იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობები 0 და 4 წერტილებში:

ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა არის –109.

პასუხი: -109

მოდით განვიხილოთ ფუნქციების უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების განსაზღვრის გზა წარმოებულის გარეშე. ეს მიდგომა შეიძლება გამოყენებულ იქნას თუ გაქვთ დიდი პრობლემები. პრინციპი მარტივია - ჩვენ ვცვლით ყველა მთელ რიცხვს ინტერვალიდან ფუნქციაში (ფაქტია, რომ ყველა ასეთ პროტოტიპში პასუხი არის მთელი რიცხვი).

77437. იპოვეთ y=7+12x–x 3 ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა [–2;2] სეგმენტზე.

შემცვლელი ქულები –2-დან 2-მდე: გადაწყვეტის ნახვა

77434. იპოვეთ y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა [–2;0] სეგმენტზე.

Სულ ეს არის. Წარმატებას გისურვებ!

პატივისცემით, ალექსანდრე კრუტიცკიხი.

P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ მომიყვებით საიტის შესახებ სოციალურ ქსელებში.

ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა

ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა ყველაზე დიდია, უმცირესი მნიშვნელობა არის ყველაზე პატარა მის ყველა მნიშვნელობას.

ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს მხოლოდ ერთი უდიდესი და მხოლოდ ერთი უმცირესი მნიშვნელობა, ან შეიძლება საერთოდ არ ჰქონდეს. ყველაზე დიდი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნა უწყვეტი ფუნქციებიდაფუძნებულია ამ ფუნქციების შემდეგ თვისებებზე:

1) თუ გარკვეულ ინტერვალში (სასრული ან უსასრულო) ფუნქცია y=f(x) უწყვეტია და აქვს მხოლოდ ერთი უკიდურესი და თუ ეს არის მაქსიმუმი (მინიმუმი), მაშინ ეს იქნება ფუნქციის უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობა. ამ ინტერვალში.

2) თუ ფუნქცია f(x) უწყვეტია გარკვეულ სეგმენტზე, მაშინ მას აუცილებლად აქვს უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები ამ სეგმენტზე. ეს მნიშვნელობები მიიღწევა ან სეგმენტის შიგნით მდებარე უკიდურეს წერტილებში, ან ამ სეგმენტის საზღვრებში.

სეგმენტზე უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების მოსაძებნად, რეკომენდებულია შემდეგი სქემის გამოყენება:

1. იპოვეთ წარმოებული.

2. იპოვეთ ფუნქციის კრიტიკული წერტილები, რომლებშიც =0 ან არ არსებობს.

3. იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობები კრიტიკულ წერტილებში და სეგმენტის ბოლოებში და აირჩიეთ მათგან ყველაზე დიდი f max და ყველაზე პატარა f max.

როცა გადაწყვეტს გამოყენებული პრობლემებიკერძოდ ოპტიმიზაცია, მნიშვნელოვანიაქვს ამოცანები X ინტერვალზე ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების (გლობალური მაქსიმალური და გლობალური მინიმალური) პოვნა. ასეთი ამოცანების გადასაჭრელად, პირობიდან გამომდინარე, უნდა აირჩიოთ დამოუკიდებელი ცვლადი და გამოვხატოთ შესასწავლი მნიშვნელობა ეს ცვლადი. შემდეგ იპოვეთ მიღებული ფუნქციის სასურველი უდიდესი ან უმცირესი მნიშვნელობა. ამ შემთხვევაში, პრობლემის პირობებიდან განისაზღვრება დამოუკიდებელი ცვლადის ცვლილების ინტერვალიც, რომელიც შეიძლება იყოს სასრული ან უსასრულო.

მაგალითი.წყალსაცავის ფორმის ღია ზედა მართკუთხა პარალელეპიპედიკვადრატული ფსკერით შიგნიდან უნდა დაასხათ. როგორი უნდა იყოს ავზის ზომები, თუ მისი მოცულობა 108 ლიტრია? წყალი ისე, რომ მისი დაკონსერვების ღირებულება მინიმალური იყოს?

გამოსავალი.ტანკის თუნუქით დაფარვის ღირებულება მინიმალური იქნება, თუ მოცემული სიმძლავრის შემთხვევაში მისი ზედაპირის ფართობი მინიმალურია. დმ-ით ავღნიშნოთ ფუძის მხარე, b დმ ავზის სიმაღლე. მაშინ მისი ზედაპირის ფართობი S უდრის

და

შედეგად მიღებული ურთიერთობა ადგენს ურთიერთობას წყალსაცავის S (ფუნქციის) ზედაპირის ფართობსა და a ბაზის მხარეს შორის (არგუმენტი). განვიხილოთ ფუნქცია S ექსტრემისთვის. ვიპოვოთ პირველი წარმოებული, გავატოლოთ ის ნულთან და მოვაგვაროთ მიღებული განტოლება:

აქედან გამომდინარე a = 6. (a) > 0 a > 6-ისთვის, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

მაგალითი. იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები ინტერვალზე.

გამოსავალი: მითითებული ფუნქციაუწყვეტი მთელ რიცხვთა ხაზზე. ფუნქციის წარმოებული

წარმოებული და ამისთვის. მოდით გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობები ამ წერტილებში:

.

მოცემული ინტერვალის ბოლოებში ფუნქციის მნიშვნელობები ტოლია. მაშასადამე, ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა უდრის --ს, ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა უდრის --ს.

თვითტესტის კითხვები

1. ჩამოაყალიბეთ L'Hopital-ის წესი ფორმის გაურკვევლობის გამოვლენისთვის. სია სხვადასხვა სახისგაურკვევლობა, რომლისთვისაც შესაძლებელია L'Hopital-ის წესის გამოყენება.

2. ჩამოაყალიბეთ ფუნქციების ზრდისა და კლების ნიშნები.

3. განსაზღვრეთ ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური.

4. ფორმულირება აუცილებელი პირობაექსტრემის არსებობა.

5. არგუმენტის რა მნიშვნელობებს (რომელ წერტილებს) უწოდებენ კრიტიკულს? როგორ მოვძებნოთ ეს პუნქტები?

6. რა არის ფუნქციის ექსტრემუმის არსებობის საკმარისი ნიშნები? დახაზეთ ფუნქციის შესწავლის სქემა ექსტრემზე პირველი წარმოებულის გამოყენებით.

7. დახაზეთ ფუნქციის შესწავლის სქემა კიდურზე მეორე წარმოებულის გამოყენებით.

8. განსაზღვრეთ მრუდის ამოზნექილი და ჩაზნექილი.

9. რა ჰქვია ფუნქციის გრაფიკის დახრის წერტილს? მიუთითეთ ამ წერტილების პოვნის მეთოდი.

10. ჩამოაყალიბეთ საჭირო და საკმარისი მითითებადა მრუდის ამოზნექილი და ჩაზნექილი მოცემულ სეგმენტზე.

11. განსაზღვრეთ მრუდის ასიმპტოტი. როგორ მოვძებნოთ ვერტიკალური, ჰორიზონტალური და ირიბი ასიმპტოტებიფუნქციური გრაფიკა?

12. მონახაზი ზოგადი სქემაფუნქციის კვლევა და მისი გრაფიკის აგება.

13. ჩამოაყალიბეთ წესი მოცემულ ინტერვალზე ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების მოსაძებნად.

სეგმენტზე ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების ძიების პროცესი მოგვაგონებს მომხიბლავ ფრენას ობიექტის ირგვლივ (ფუნქციის გრაფიკი) ვერტმფრენში, შორ მანძილზე ქვემეხიდან გარკვეულ წერტილებზე სროლას და არჩევას. ძალიან განსაკუთრებული ქულები ამ პუნქტებიდან საკონტროლო სროლები. ქულები არჩეულია გარკვეული გზითდა მიერ გარკვეული წესები. რა წესებით? ამაზე შემდგომში ვისაუბრებთ.

თუ ფუნქცია წ = ვ(x) არის უწყვეტი ინტერვალზე [ ა, ბ] , შემდეგ ის აღწევს ამ სეგმენტზე სულ მცირე და უმაღლესი ღირებულებები . ეს შეიძლება მოხდეს ან შიგნით ექსტრემალური წერტილები, ან სეგმენტის ბოლოებში. ამიტომ, რომ იპოვოთ სულ მცირე და ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობები , უწყვეტი ინტერვალზე [ ა, ბ], თქვენ უნდა გამოთვალოთ მისი მნიშვნელობები ყველაში კრიტიკული წერტილებიდა სეგმენტის ბოლოებში და შემდეგ აირჩიე მათგან ყველაზე პატარა და უდიდესი.

მოდით, მაგალითად, გსურთ განსაზღვროთ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა ვ(x) სეგმენტზე [ ა, ბ] . ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ მისი ყველა კრიტიკული წერტილი, რომელიც მდებარეობს [ ა, ბ] .

Კრიტიკული წერტილი ე.წ. წერტილი, სადაც ფუნქცია განსაზღვრულია, და ის წარმოებულიან ნულის ტოლია ან არ არსებობს. შემდეგ თქვენ უნდა გამოთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობები კრიტიკულ წერტილებში. და ბოლოს, უნდა შევადაროთ ფუნქციის მნიშვნელობები კრიტიკულ წერტილებში და სეგმენტის ბოლოებში ( ვ(ა) და ვ(ბ)). ამ რიცხვებიდან ყველაზე დიდი იქნება სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა [ა, ბ] .

პოვნის პრობლემები ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობები .

ჩვენ ერთად ვეძებთ ფუნქციის უმცირეს და უდიდეს მნიშვნელობებს

მაგალითი 1. იპოვეთ უმცირესი და უმაღლესი ღირებულებაფუნქციები სეგმენტზე [-1, 2] .

გამოსავალი. იპოვეთ ამ ფუნქციის წარმოებული. წარმოებული გავუტოლოთ ნულს () და მივიღოთ ორი კრიტიკული წერტილი: და . მოცემულ სეგმენტზე ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების მოსაძებნად საკმარისია მისი მნიშვნელობების გამოთვლა სეგმენტის ბოლოებში და წერტილში, რადგან წერტილი არ ეკუთვნის სეგმენტს [-1, 2]. ეს ფუნქციის მნიშვნელობებია: , , . Აქედან გამომდინარეობს, რომ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა(ქვემოთ დიაგრამაზე წითლად არის მითითებული), -7-ის ტოლი, მიიღწევა სეგმენტის მარჯვენა ბოლოს - წერტილში, და უდიდესი(გრაფიკაზე ასევე წითელი), უდრის 9, - კრიტიკულ წერტილში.

თუ ფუნქცია უწყვეტია გარკვეულ ინტერვალში და ეს ინტერვალი არ არის სეგმენტი (მაგრამ არის, მაგალითად, ინტერვალი; განსხვავება ინტერვალსა და სეგმენტს შორის: ინტერვალის სასაზღვრო წერტილები არ შედის ინტერვალში, მაგრამ სეგმენტის სასაზღვრო წერტილები შედის სეგმენტში), მაშინ ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის შეიძლება არ იყოს ყველაზე პატარა და უდიდესი. მაგალითად, ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში ნაჩვენები ფუნქცია უწყვეტია ]-∞, +∞[-ზე და არ აქვს უდიდესი მნიშვნელობა.

თუმცა, ნებისმიერი ინტერვალისთვის (დახურული, ღია ან უსასრულო), უწყვეტი ფუნქციების შემდეგი თვისება მართალია.

მაგალითი 4. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობები სეგმენტზე [-1, 3] .

გამოსავალი. ჩვენ ვპოულობთ ამ ფუნქციის წარმოებულს, როგორც კოეფიციენტის წარმოებულს:

.

წარმოებულს ვატოლებთ ნულს, რაც ერთს გვაძლევს კრიტიკული წერტილი: . ის ეკუთვნის სეგმენტს [-1, 3]. მოცემულ სეგმენტზე ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების საპოვნელად, ჩვენ ვპოულობთ მის მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში და ნაპოვნი კრიტიკულ წერტილში:

მოდით შევადაროთ ეს ღირებულებები. დასკვნა: -5/13-ის ტოლია, წერტილში და უმაღლესი ღირებულებაუდრის 1 წერტილში.

ჩვენ ერთად ვაგრძელებთ ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების ძიებას

არიან მასწავლებლები, რომლებიც ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების პოვნის თემაზე არ აძლევენ მოსწავლეებს გადასაჭრელ მაგალითებს, რომლებიც უფრო რთულია, ვიდრე ახლახან განვიხილეთ, ანუ ისეთები, სადაც ფუნქცია არის მრავალწევრი ან წილადი, რომლის მრიცხველი და მნიშვნელი მრავალწევრია. მაგრამ ჩვენ არ შემოვიფარგლებით ასეთი მაგალითებით, რადგან მასწავლებლებს შორის არიან ისეთებიც, რომლებსაც სურთ აიძულონ მოსწავლეები სრულად იფიქრონ (წარმოებულთა ცხრილი). ამიტომ გამოყენებული იქნება ლოგარითმი და ტრიგონომეტრიული ფუნქცია.

მაგალითი 6. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობები სეგმენტზე .

გამოსავალი. ამ ფუნქციის წარმოებულს ვპოულობთ როგორც პროდუქტის წარმოებული :

წარმოებულს ვატოლებთ ნულს, რომელიც იძლევა ერთ კრიტიკულ წერტილს: . ის ეკუთვნის სეგმენტს. მოცემულ სეგმენტზე ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების საპოვნელად, ჩვენ ვპოულობთ მის მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში და ნაპოვნი კრიტიკულ წერტილში:

ყველა მოქმედების შედეგი: ფუნქცია აღწევს მინიმალურ მნიშვნელობას 0-ის ტოლი, წერტილში და წერტილში და უმაღლესი ღირებულება, თანაბარი ე², წერტილში.

მაგალითი 7. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობები სეგმენტზე .

გამოსავალი. იპოვეთ ამ ფუნქციის წარმოებული:

წარმოებულს ვატოლებთ ნულს:

ერთადერთი კრიტიკული წერტილი ეკუთვნის სეგმენტს. მოცემულ სეგმენტზე ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების საპოვნელად, ჩვენ ვპოულობთ მის მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში და ნაპოვნი კრიტიკულ წერტილში:

დასკვნა: ფუნქცია აღწევს მინიმალურ მნიშვნელობას, ტოლია , წერტილში და უმაღლესი ღირებულება, თანაბარი , წერტილში .

გამოყენებული ექსტრემალური პრობლემების დროს, ფუნქციის უმცირესი (მაქსიმალური) მნიშვნელობების პოვნა, როგორც წესი, მიდის მინიმუმის (მაქსიმუმის) პოვნამდე. მაგრამ უფრო დიდი პრაქტიკული ინტერესი არ არის თავად მინიმუმები ან მაქსიმუმები, არამედ არგუმენტის ის მნიშვნელობები, რომლითაც ისინი მიიღწევა. გამოყენებული პრობლემების გადაჭრისას წარმოიქმნება დამატებითი სირთულე - ფუნქციების შედგენა, რომელიც აღწერს განსახილველ ფენომენს ან პროცესს.

მაგალითი 8. 4 ცალი ტევადობის ავზი, რომელსაც აქვს კვადრატული ფუძის მქონე პარალელეპიპედის ფორმა და ზემოდან გახსნილი, უნდა იყოს დაკონსერვებული. როგორი უნდა იყოს ავზის ზომები ისე, რომ მას დასჭირდეს მინიმალური თანხამასალა?

გამოსავალი. დაე x- ბაზის მხარე, თ- ავზის სიმაღლე, ს- მისი ზედაპირის ფართობი საფარის გარეშე, ვ- მისი მოცულობა. ავზის ზედაპირის ფართობი გამოიხატება ფორმულით, ე.ი. არის ორი ცვლადის ფუნქცია. გამოხატოს სერთი ცვლადის ფუნქციად ვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ , საიდან . ნაპოვნი გამონათქვამის ჩანაცვლება თფორმულაში შევიდა ს:

განვიხილოთ ეს ფუნქცია უკიდურესად. ის ყველგან არის განსაზღვრული და დიფერენცირებადი ]0, +∞[ და

.

წარმოებულს ვატოლებთ ნულს () და ვპოულობთ კრიტიკულ წერტილს. გარდა ამისა, როდესაც წარმოებული არ არსებობს, მაგრამ ეს მნიშვნელობა არ შედის განმარტების დომენში და, შესაბამისად, არ შეიძლება იყოს ექსტრემალური წერტილი. ასე რომ, ეს არის ერთადერთი კრიტიკული წერტილი. მოდით შევამოწმოთ ის ექსტრემის არსებობაზე მეორე საკმარისი ნიშნის გამოყენებით. ვიპოვოთ მეორე წარმოებული. როდესაც მეორე წარმოებული მეტია ნულზე (). ეს ნიშნავს, რომ როდესაც ფუნქცია მიაღწევს მინიმუმს . მას შემდეგ მინიმალური არის ამ ფუნქციის ერთადერთი უკიდურესი, ეს არის მისი ყველაზე მცირე მნიშვნელობა. ასე რომ, ავზის ფუძის მხარე უნდა იყოს 2 მ, ხოლო მისი სიმაღლე უნდა იყოს .

მაგალითი 9.წერტილიდან ამდებარეობს რკინიგზის ხაზზე, წერტილამდე თან, მდებარეობს მისგან დაშორებით ლ, ტვირთის ტრანსპორტირება უნდა მოხდეს. წონის ერთეულის გადაზიდვის ღირებულება ერთეულ მანძილზე რკინიგზით უდრის, ხოლო გზატკეცილი უდრის. რომელ წერტილამდე მხაზები რკინიგზაუნდა აშენდეს მაგისტრალი ტვირთების გადასაზიდად ავ თანიყო ყველაზე ეკონომიური (განყოფილება ABვარაუდობენ, რომ რკინიგზა სწორია)?

ფუნქციის უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობა არის ორდინატის ყველაზე დიდი (უმცირესი) მიღებული მნიშვნელობა განხილულ ინტერვალზე.

ფუნქციის უდიდესი ან უმცირესი მნიშვნელობის საპოვნელად საჭიროა:

1. შეამოწმეთ რომელი სტაციონარული წერტილები შედის მოცემულ სეგმენტში.
2. გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობა სეგმენტის ბოლოებში და ზე სტაციონარული წერტილებიმე-3 წერტილიდან
3. მიღებული შედეგებიდან აირჩიეთ ყველაზე დიდი ან უმცირესი მნიშვნელობა.

მაქსიმალური ან მინიმალური ქულების მოსაძებნად გჭირდებათ:

1. იპოვეთ $f"(x)$ ფუნქციის წარმოებული
2. იპოვეთ სტაციონარული წერტილები $f"(x)=0$ განტოლების ამოხსნით
3. შეაფასეთ ფუნქციის წარმოებული.
4. დახაზეთ კოორდინატთა ხაზი, მოათავსეთ მასზე სტაციონარული წერტილები და განსაზღვრეთ წარმოებულის ნიშნები მიღებულ ინტერვალებში მე-3 ნაბიჯის აღნიშვნის გამოყენებით.
5. იპოვეთ მაქსიმალური ან მინიმალური ქულები წესის მიხედვით: თუ ერთ წერტილში წარმოებული ცვლის ნიშანს პლუსიდან მინუსზე, მაშინ ეს იქნება მაქსიმალური წერტილი (თუ მინუსიდან პლუსზე, მაშინ ეს იქნება მინიმალური წერტილი). პრაქტიკაში მოსახერხებელია ისრების გამოსახულების გამოყენება ინტერვალებით: იმ ინტერვალზე, სადაც წარმოებული დადებითია, ისარი დახატულია ზემოთ და პირიქით.

ზოგიერთი ელემენტარული ფუნქციის წარმოებულების ცხრილი:

დიფერენცირების ძირითადი წესები

1. ჯამისა და სხვაობის წარმოებული უდრის თითოეული წევრის წარმოებულს

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

იპოვეთ $f(x) = 3x^5 ფუნქციის წარმოებული - cosx + (1)/(x)$

ჯამისა და სხვაობის წარმოებული უდრის თითოეული წევრის წარმოებულს

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+(1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. პროდუქტის წარმოებული.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

იპოვეთ წარმოებული $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. კოეფიციენტის წარმოებული

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

იპოვეთ წარმოებული $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. წარმოებული რთული ფუნქციაწარმოებულის ნამრავლის ტოლი გარე ფუნქციაშინაგანი ფუნქციის წარმოებულამდე

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

იპოვეთ $y=2x-ln⁡(x+11)+4$ ფუნქციის მინიმალური წერტილი

1. ვიპოვოთ ODZ ფუნქციები: $x+11>0; x> -11$

2. იპოვეთ $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$ ფუნქციის წარმოებული.

3. იპოვნეთ სტაციონარული წერტილები წარმოებულის ნულის ტოლობით

$(2x+21)/(x+11)=0$

წილადი ნულის ტოლია, თუ მრიცხველია ნულის ტოლი, და მნიშვნელი არ არის ნული

$2x+21=0; x≠-11$

4. გავავლოთ კოორდინატთა ხაზი, დავაყენოთ მასზე სტაციონარული წერტილები და განვსაზღვროთ წარმოებულის ნიშნები მიღებულ ინტერვალებში. ამისათვის შეცვალეთ ნებისმიერი რიცხვი ყველაზე მარჯვენა რეგიონიდან წარმოებულში, მაგალითად, ნულში.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. მინიმალურ წერტილში წარმოებული იცვლება ნიშანი მინუსდან პლუსზე, შესაბამისად, წერტილი $-10.5$ არის მინიმალური წერტილი.

პასუხი: -10,5$

იპოვეთ $y=6x^5-90x^3-5$ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა $[-5;1]$ სეგმენტზე

1. იპოვეთ $y′=30x^4-270x^2$ ფუნქციის წარმოებული

2. გაატოლეთ წარმოებული ნულთან და იპოვეთ სტაციონარული წერტილები

$30x^4-270x^2=0$

ავიღოთ ფრჩხილებიდან ჯამური კოეფიციენტი $30x^2$

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

მოდით გავათანაბროთ თითოეული ფაქტორი ნულთან

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. აირჩიეთ სტაციონარული წერტილები, რომლებიც მიეკუთვნება მოცემულ სეგმენტს $[-5;1]$

სტაციონარული წერტილები $x=0$ და $x=-3$ გვერგება

4. გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობა სეგმენტის ბოლოებში და სტაციონარულ წერტილებში მე-3 საფეხურიდან